Fo schung am IVW Köln, 4/2011
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Ein Konzep zu Be echnung on
ein achen Ba we en in de
be ieblichen Al e s e so gung
mi hil e eine Ma ko -Ke e
Ral Knobloch
Zusammen assung
In de o liegenden A bei wi d ü die Pensions e siche ungsma hema ik
eine Me hode zu Be echnung on ein achen Ba we en mi hil e on
Ma ko -Ke en da ges ell . Dabei s ehen die konzep ionelle Au be ei ung
und die Vo be ei ung eine EDV- echnischen Umse zung im Mi elpunk
des In e esses.
Abs ac
In his pape , a me hod o calcula ing p esen alues in he ma hema ics
o pension insu ance by using a Ma ko Chain is p esen ed. I ocuses on
he concep ual ea men and he p epa a ion o an IT implemen a ion.
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG .......................................................................................................................................... 2
2. DAS ALLGEMEINE MODELL DER BETRIEBLICHEN ALTERSVERSORGUNG ......................................... 3
3. DER EINPERSONENFALL OHNE HINTERBLIEBENENVERSORGUNG UND FLUKTUATION .................. 5
4. DER ALLGEMEINE EINPERSONENFALL ................................................................................................ 9
5. EDV-TECHNISCHE UMSETZUNG ........................................................................................................ 11
6. AUSBLICK ............................................................................................................................................ 12
LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................................................................. 14
- 2 -
1. Einlei ung
Nach dem deu schen A bei s ech (§1 Abs.1 Gese z zu Ve besse ung de be ieblichen
Al e s e so gung – ku z Be AVG) handel es sich um be iebliche Al e s e so gung, wenn
ein A bei gebe einem A bei nehme aus Anlass des A bei s e häl nisses Leis ungen de
Al e s-, In aliden- und Hin e bliebenen e so gung zusag . Diese Leis ungen können in
un e schiedlichen Du ch üh ungswegen abgewickel we den. Zum einen bes eh die
Möglichkei eine Di ek zusage, d.h. die Ve so gungs e p lich ung wi d om A bei gebe
di ek übe nommen. Zum ande en bes eh die Möglichkei die Zusage au be iebliche
Al e s e so gung übe eine ex e ne Ve so gungsein ich ung zu übe agen. Neben dem
Abschluss eine Di ek e siche ung bei einem Ve siche ungsun e nehmen gib es als
ex e ne Du ch üh ungswege ü die be iebliche Al e s e so gung im deu schen Rech die
Pensionskasse, die Un e s ü zungskasse und den Pensions ond. ( gl. z.B. [2])
Bei de Di ek zusage muss die sich e gebende Ve p lich ung sowohl in de Handelsbilanz
als auch de S eue bilanz au de Passi sei e ausgewiesen we den. Zu Du ch üh ung
diese bilanziellen Bewe ungen müssen u.a. e siche ungsma hema ische Ba we e
be echne we den. Abe auch bei den ex e nen Du ch üh ungswegen bes eh die
No wendigkei de Bewe ung de mi dem Ve so gungs e sp echen e bundenen
zukün igen Zahlungs e p lich ungen und dami zu Be echnung e siche ungs-
ma hema ische Ba we e. Dazu ha sich eine Modellie ung e ablie , die da on ausgeh ,
dass sich das Kollek i de Ve so gungsbe ech ig en aus e schiedenen G uppen, wie z.B.
ak i en A bei nehme n ode Al e s en ne n, zusammense z . Pe sonen wechseln du ch
das Ein e en eines biologischen E eignisses (z.B. E eichen de Al e sg enze, In alidi ä
ode Tod) die G uppe inne halb des Kollek i s.
Zu Be echnung de e siche ungsma hema ischen Ba we e ü die be iebliche
Al e s e so gung inde man in de Li e a u und in de P axis im Wesen lichen zwei
Me hoden. Die e s e Me hode be echne die Ba we e di ek als E wa ungswe de
zukün igen Zahlungen ( gl. [7] S. 48 , [4] S. 494 ). Die zwei e Me hode e wende ein
linea es Gleichungssys em zu Bewe ung de Zahlungs e p lich ungen ( g. [7], S.78 ]. In
de o liegenden A bei wi d ein Konzep da ges ell , mi dem man sowohl bei
Anwa scha en als auch bei lau enden Leis ungen e siche ungsma hema ische Ba we e
mi hil e eine Ma ko -Ke e be echnen kann. Die o ges ell e Modellie ung kann als Basis
ü eine EDV- echnische Umse zung e wende we den. Zu Modellie ung de
be ieblichen Al e s e so gung mi Ma ko -P ozessen e gleiche auch [6] S. 291 .
- 3 -
2. Das allgemeine Modell de be ieblichen Al e s e so gung
Im allgemeinen Modell de be ieblichen Al e s e so gung bes eh das Kollek i aus
meh e en G uppen: den ak i en A bei nehme n, den ausgeschiedenen A bei nehme n,
den Al e s en ne n, den In aliden en ne n und den Hin e bliebenen en ne n. Die
Zusammenhänge de einzelnen G uppen und die möglichen Übe gänge sind in de
olgenden G a ik zusammenge ass .
Ak i e Ausgeschiedene
A bei nehme A bei nehme
In aliden en ne
Al e s en ne Hin e bliebenen-
en ne
Ohne Ansp uch
( gl. [7] S.57 und S.66 bzw. [4] S.508)
- 4 -
Man e kenn , dass ein ak i e A bei nehme zwa in alle G uppen di ek ode auch übe
Umwege wechseln kann, abe das Modell keine Reak i ie ung on A bei nehme n z.B. aus
de In alidi ä ode nach dem Ausscheiden aus dem A bei s e häl nis o sieh . Am Ende
lande jede Ve so gungsansp uch in dem Zus and „Ohne Ansp uch“.
Das in de G a ik besch iebene Modell wi d in de Pensions e siche ungsma hema ik wie
olg o malisie ( gl. [7] S.47 bzw. [4] S.492 ):
aa
x
q : Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige ak i e A bei nehme als Ak i e im
Al e sin e all
[
)
1x,x +
s i b .
x
i
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige ak i e A bei nehme im Al e sin e all
[
)
1x,x +
in alide wi d.
x
s
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige ak i e A bei nehme im Al e sin e all
[
)
1x,x +
ausscheide .
i
x
q
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige In aliden en ne im Al e sin e all
[
)
1x,x +
s i b .
x
q
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige Al e s en ne im Al e sin e all
[
)
1x,x +
s i b .
w
x
q
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige Hin e bliebenen en ne im Al e sin e all
[
)
1x,x +
s i b .
oF,aa
x
q : Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige ausgeschiedene A bei nehme als
ausgeschiedene A bei nehme im Al e sin e all
[
)
1x,x +
s i b .
oF
x
i
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige ausgeschiedene A bei nehme im
Al e sin e all
[
)
1x,x +
in alide wi d.
- 5 -
x
h
: Wah scheinlichkei , dass ein x-jäh ige Mann, bei Tod im Al e sin e all
[
)
1x,x +
e hei a e is .
)x(y
: Al e de Hin e bliebenen am Beginn des Todesjah es des Mannes, bei Tod im
Al e sin e all
[
)
1x,x +
.
Dabei wi d das Al e
x
e siche ungs echnisch (d.h. du ch no male Rundung) e mi el . Bei
eine männlichen Pe son wi d dieses e siche ungs echnische Al e wie in den obigen
De ini ionen mi
x
, bei eine weiblichen Pe son mi
y
bezeichne .
)x(y
is das
e siche ungs echnische Al e de Wi we zu Beginn des Todesjah es des Mannes. Die
en sp echende Bezeichnung des e siche ungs echnischen Al e s des Wi we s is
)y(x
.
Hängen die Wah scheinlichkei en nu om Al e und om Geschlech ab, so handel es sich
um eine Pe ioden a el. Gib es da übe hinaus eine Abhängigkei om Gebu sjah gang, so
sp ich man on eine Gene a ionen a el. In de be ieblichen Al e s e so gung haben sich
in Deu schland die Rich a eln on K. Heubeck du chgese z . Bis ins Jah 2005 wu de dabei
eine Pe ioden a el, die Rich a eln 1998 bzw. die Vo gänge e sion die Rich a eln 1983,
e wende . Bei dem heu e in de P axis e wende en Modell - den Rich a eln 2005 G -
handel es sich um eine Gene a ionen a el ( gl. [4]).
3. De Einpe sonen all ohne Hin e bliebenen e so gung und
Fluk ua ion
In dem in Abschni 2 besch iebenen allgemeinen Modell de be ieblichen
Al e s e so gung hängen die Wah scheinlichkei en nu om ak uellen e siche ungs-
ma hema ischen Al e ab. Es spiel dabei z.B. ü die In alidens e blichkei keine Rolle, wie
lange die Pe son schon in alide is . Dahe is es sinn oll zu Modellie ung eine Ma ko -
Ke e zu e wenden. Da die Wah scheinlichkei en ü die Übe gänge on einem zum
ande en Zus and abe om jeweiligen Al e abhängen, handel es sich um eine
inhomogene Ma ko -Ke e. Das Ziel is es, mi hil e de in [5] da ges ell en E gebnisse
e siche ungsma hema ische Ba we e zu be echnen. Die Ve wendung on Ma ko -
P ozessen zu Be echnung on e siche ungsma hema ischen Ba we en ü die
be iebliche Al e s e so gung inde man auch in de Li e a u wiede . So wi d z.B. in [6]
S.291 die Be echnung on Anwa scha sba we en in de Pensions e siche ungs-
ma hema ik mi hil e on Ma ko -Modellen ausge üh .
In diesem Abschni sei eine Pe son mi eine Zusage au Al e s- und In aliden e so gung
gegeben. Eine Hin e bliebenen e so gung is nich zugesag . Eine Fluk ua ion, d.h. ein
- 6 -
o zei iges Ausscheiden aus dem Un e nehmen is in diesem ein achen Modell nich
o gesehen. Das Geschlech wi d als männlich angenommen, somi wi d das Al e am
Bewe ungss ich ag im Folgenden mi
x
bezeichne . Fü die Pe son gib es die olgenden
Zus ände in denen sie sich be inden kann.
Zus and Numme 0:
Die Pe son is o und es bes ehen somi keine lei Zahlungs e p lich ungen meh .
Zus and Numme 1:
Die Pe son is ak i e A bei nehme und im Un e nehmen ä ig.
Zus and Numme 2:
Die Pe son bezieh In aliden en e.
Zus and Numme 3:
Die Pe son bezieh Al e s en e.
Es sei
n
X
de Zus and, in dem sich die Pe son am Ende des
n
- en Jah es be inde ,
,...2,1,0n =
. Dann is
( )
,...2,1,0n
n
X
=
die zugehö ige Ma ko -Ke e mi dem Zus ands aum
}3,2,1,0{S =
. Die 4x4 Übe gangsma izen
))n(q()n(Q j,i
=
,
,...3,2,1n =
, seien wie olg
gegeben. Dabei sei
x
das Al e de Pe son im Zei punk
0
(Bewe ungszei punk ),
A
das
ühs e mögliche Ein i sal e in die Un e nehmung,
E
das Endal e de Finanzie ung
bzw. de Übe gang in die Al e s en e und
Ω
das le z e mögliche Al e übe haup . Die
De ini ion de Übe gangswah scheinlichkei en e olg dabei au Basis de Modellie ung in
[4] S.505.
Übe gänge aus Zus and 0:
,...3,2,1n ,
3,2,1j ,0:)n(q
,...3,2,1n ,1:)n(q
j,0
0,0
===
==
- 7 -
Übe gänge aus Zus and 1:
1E1nx ,0)n(q)n(q)n(q,1)n(q
1E1nxA ,
q5,01
q5,0
iq )n(q1:)n(q
1E1nx ,
q5,01
q1
iiq1:)n(q
1E1nx A,0:)n(q
1E1nx A,0:)n(q
2E1nxA ,
q5,01
q1
i:)n(q
1E1nx ,0:)n(q
2E1nxA ,iq1:)n(q
3,12,11,10,1
i1nx
i1nx
1nx
aa
1nx
3
1j
j,10,1
i1nx
i1nx
1nx1nx
aa
1nx
3,1
3,1
2,1
i1nx
i1nx
1nx2,1
1,1
1nx
aa
1nx
1,1
−>−+====
−≤−+≤
⋅−
⋅
⋅+=−=
−=−+
⋅−
−
⋅+−−=
−<−+≤=
−=−+≤=
−≤−+≤
⋅−
−
⋅=
−=−+=
−≤−+≤−−=
−+
−+
−+
−+
=
−+
−+
−+−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
∑
Übe gänge aus Zus and 2:
1E1nx ,0)n(q)n(q,1)n(q
1E1nxA ,q )n(q1:)n(q
1E1nx ,q1:)n(q
1E1nx A,0:)n(q
1E1nx ,0:)n(q
2E1nxA ,q1:)n(q
,...3,2,1n ,0:)n(q
3,22,20,2
i
1nx
3
1j
j,20,2
i
1nx
3,2
3,2
2,2
i
1nx
2,2
1,2
−>−+===
−≤−+≤=−=
−=−+−=
−<−+≤=
−=−+=
−≤−+≤−=
==
−+
=
−+
−+
∑
- 14 -
Li e a u e zeichnis
[1] Ge be , Hans U. Lebens e siche ungsma hema ik, Sp inge -Ve lag, Be lin
Heidelbe g New Yo k 1986.
[2] Kempe , Ku ;
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Ma ga e e;
Be enz, Klaus;
Hube , B igi e
Be AVG Kommen a zum Be iebs en egese z, 4. Au lage,
Luch e hand 2010.
[3] Kolle , Michael S ochas ische Modelle in de Lebens e siche ung, 2. Au lage,
Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g 2010.
[4] Heubeck, Klaus;
He mann, Richa d;
D’Souza, Gab iele
Die Rich a el 2005 G - Modell, He lei ung, Fo meln -, Blä e
de DGVFM, Band XXVII, He 3, S. 473-517.
[5] Knobloch, Ral
Bewe ung isikobeha e e Zahlungss öme mi hil e on
Ma ko -Ke en. In: Fo schung am IVW Köln 3/2011, Köln
2011,www. h-koeln.de/ a is (S and 27. Juli 2011).
[6] Milb od , Ha mu ;
Helbig, Man ed
Ma hema ische Me hoden de
Pe sonen e siche ungsma hema ik, Wal e de G uy e ,
Be lin New Yo k 1999.
[7] Neubu ge , Edga
(H sg.)
Ma hema ik und Technik be iebliche Pensionszusagen,
Sch i en eihe Angewand e Ve siche ungsma hema ik He
25, Ve lag Ve siche ungswi scha e.V., Ka ls uhe 1997.
[8] Neubu ge , Edga
Sk ip zu Ma hema ik de Pensions e siche ung,
www.neubu ge .com/Sk ip .h ml (S and 27. Juli 2011).
Kon ak /Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de OnlinePublika ions eihe
„Fo schung am IVW Köln“
.
Alle Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode un e h p://opus.bsz-bw.de/ hk/index.php?la=de
abge u en we den.
Eine wei e e Publika ions eihe is die
Sch i en eihe des Ins i u s ü Ve siche ungswesen de Fachhochschule Köln
.
He ausgebe : Ve ein de Fö de e des Ins i u s ü Ve siche ungswesen an de Fachhochschule Köln e. V.
Die Sch i en eihe kann
übe den Ve lag Ve siche ungswi scha bezogen we den (h p://www. w.de/).
Eine Übe sich alle He e de Sch i en eihe kann auch un e olgende Ad esse abge u en we den:
h p://www. 04. h-koeln.de/ akul ae /ins i u e/i w/in o ma ionen/publika ionen/00366/index.h ml
Köln, Ok obe 2011
He ausgebe / Edi o ship:
P o . D . Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Web www.i w-koeln.de
Sch i lei ung / Con ac edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Tel. +49 221 8275-3270
Fax +49 221 8275-3277
Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Ral Knobloch
Ins i u ü Be iebswi scha sleh e /
Ins i u e o Business Adminis a ion
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Tel. +49 221 8275-3425
Fax +49 221 8275-3135
Mail al .knobloch@ h-koeln.de
ISSN (online) 2192-8479
