Fair Value Bewertung von zedierten Reserven

Forschung am IVW Köln, 4/2014 Institut für Versicherungswesen Fair Value Bewertung von zedierten Reserven Maria Heep-Altiner, Sebastian Hoos, Christoph Krahforst Forschung am IVW Köln 4/2014 Maria Heep-Altiner, Sebastian Hoos, Christoph Krahforst Fair Value Bewertung von zedierten Reserven Zusammenfassung Für Schadenreserven existieren keine hinreichend fungiblen Märkte und somit auch keine Marktpreise im klassischen Sinn. Für eine Fair Value Bewertung bedarf es also eines geeigneten Modellansatzes. In der Schadenversicherung wird üblicherweise der Transak tionswert modelliert, wobei hier die korrekte Modellierung der Kapitalkosten einer der zentralen Punkte ist. Der Fair Value der zedierten Reserven kann als Differenz zwischen dem Fair Value der Bruttoreserven und dem Fair Value der Nettoreserven angesetzt werden. Dieser Ansatz berücksichtigt allerdings nicht das Bonitätsrisiko des Rückversicherers. Eine adäquate Anpassung des Bewertungsmodells ist demnach erforderlich. Abstract Due to non-existing deep and liquid markets for claims reserves, there does not exist a market price in the classical sense. With respect to a fair value valuation, a mark -to-model approach has to be applied. In nonlife insurance, traditi onally the transaction value is modeled. Here the correct approach for the capital costs is one of the most significant aspects. The fair value of ceded reserves could be defined as the difference between the fair value of gross reserves and the fair value of net reserves, but this approach does not consider the reinsurers default risk. Therefore, the model approach needs to consider the default risk as well. Schlagwörter: Rückversicherung , Fair Value von Reserven, zedierte Reserven, Effizienz einer Rückversicherungslösung Inhaltsverzeichnis 1VORBEMERKUNGEN ................................................................................................................................ 1 1.1DER FAIR VALUE ALS TRANSAKTIONSWERT .......................................................................................... 1 1.2BERECHNUNGSBEISPIEL .......................................................................................................................... 3 2DER FAIR VALUE EINER ZEDIERTEN RESERVE ................................................................................. 5 2.1BERECHNUNGSBEISPIEL .......................................................................................................................... 5 2.2MODELLIERUNG DES AUSFALLRISIKOS .................................................................................................. 6 3EFFIZIENZ EINER RÜCKVERSICHERUNGSLÖSUNG ....................................................................... 8 3.1KAPITALKOSTENENTLASTUNG VS. KAPITALKOSTENBELASTUNG .......................................................... 8 3.2BERECHNUNGSBEISPIEL .......................................................................................................................... 8 4SIMULATIONSMODELL FÜR NAT CAT RISIKEN ............................................................................ 11 4.1MODELLIERUNG DES BRUTTO AUFWANDS ......................................................................................... 11 4.2WIRKUNG EINER RÜCKVERSICHERUNGSLÖSUNG ................................................................................ 13 4.3EINBEZIEHUNG VON RÜCKVERSICHERUNGSAUSFALL .......................................................................... 14 5BERECHNUNGSERGEBNISSE FÜR NAT CAT RISIKEN .................................................................. 17 5.1VERTEILUNGEN ..................................................................................................................................... 17 5.2EIGENKAPITALBEDARFE ........................................................................................................................ 20 5.3FAIR VALUE BERECHNUNG ................................................................................................................... 21 5.4EFFIZIENZ EINER RÜCKVERSICHERUNGSLÖSUNG................................................................................. 24 6SIMULATIONSMODELL FÜR GROßSCHADENRISIKEN ............................................................... 26 7ZUSAMMENFASSUNG .......................................................................................................................... 29 LITERATURVERZEICHNIS .............................................................................................................................. 31 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 32 - 1 - 1 Vorbemerkungen Da es in der Schadenversicherung keine tiefen und liquiden Märkte für Schadenreserven gibt, muss bei einer Fair Value Bewertung auf einen geeigneten Modellansatz abgestellt werden. 1.1 Der Fair Value als Transaktionswert Bei Schadenreserven handelt es sich um einen „passivischen Cash Flow“. Bei einem Verkauf bekommt der Käufer einen festen Betrag zum Kaufdatum und muss später dafür variable Auszahlungen vornehmen. Das Risiko besteht also darin, dass der feste Betrag zu Beginn nicht ausreicht, um die späteren Zahlungen abzudecken. Der Käufer wird einen Aufschlag für dieses Risiko verlangen. Auf der anderen Seite wird der Verkäufer darauf hinweisen, dass die Auszahlungen erst zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen und somit der Zeitwert des Geldes Preis mindernd in die Betrachtung einbezogen werden muss. Einigen sich also Käufer und Verkäufer, dann ergibt sich konsequenterweise der nachfolgende Transaktionswert: Transaktionswert = Barwert der erwarteten zukünftigen Zahlungen + Risikomarge. Die erwarteten zukünftigen Zahlungen ergeben sich dabei aus einer Best Estimate Schätzung des Aufwands in Verbindung mit einer Schätzung des zukünftigen Auszahlungsmusters. Da bei einem Transaktionswert der Preis für das Risiko in der Risikomarge abgebildet ist, erfolgt die Diskontierung mit einer risikofreien Zinsstrukturkurve. Neben (teilweise erheblich) abweichenden Ansichten über die Höhe der Best Estimate Schätzungen zwischen Käufer und Verkäufer gibt es auch keine festen Regeln für den Ansatz der Risikomarge. (Bei fungiblen Märkten ergibt sich der Marktpreis ja gerade aus einer Art „Durchschnittsbildung“ über alle individuellen Ansichten und Präferenzen.) In der Schadenversicherung finden Reservetransfers meistens nur in einer etwas angespannten Unternehmenssituation statt, wobei die Verkäufer hier in Mangel von ausreichend vielen Kaufinteressenten oft erhebliche Risikoaufschläge in Kauf nehmen müssen. Im Rahmen einer ökonomischen Bewertung (insbesondere im Kontext von Solvency II) müssen Unternehmen den Fair Value einer Schadenreserve ermitteln. Bei einer unternehmensinternen Fair Value Bewertung spielen unterschiedliche Auffassungen über den Best Estimate einer Schadenreserve keine wesentliche Rolle; hier gilt es ein geeignetes Modell für die Risikomarge zu finden. Im Kontext einer wertorientierten Unternehmenssteuerung muss der risikobehaftete Zahlungsstrom aus den Schadenreserven geeignet mit Eigenkapital hinterlegt werden. Der Eigenkapitalgeber kann hierbei eine Zusatzrendite (zusätzlich zur risikofreien Rendite) als angemessene Kompensation für das getragene Risiko erwarten. Daraus resultieren folgende prinzipiellen Zusammenhänge: - 2 - Zusatzdividende = Zusatzzins · erforderliches Eigenkapital je Periode, Kapitalkosten = Barwert aller Zusatzdividenden über alle Perioden. Die Kapitalkosten, als Preis für die Bereitstellung von Eigenkapital zur Risikoabdeckung, liefern somit im Kontext einer wertorientierten Steuerung ein geeignetes Konzept zur Modellierung einer Risikomarge. In diesem Zusammenhang bleibt die Frage, wie hoch das erforderliche Eigenkapital sein sollte und welcher Zusatzzins hierfür angemessen erscheint. Bei der Auswahl geeigneter Parameter gibt es prinzipiell zwei verschiedene Ansätze: Beim Ansatz von Entry Values werden unternehmensindividuelle Produktionskosten (d. h. die Parameter aus der eigenen wertorientierten Steuerung) angesetzt, beim Ansatz von Exit Values die Produktionskosten des Käufers (z. B. aus dessen wertorientierter Steuerung). Der Ansatz von Entry Values liefert für viele Unternehmen (insbesondere für große Aktiengesellschaften) aufgrund der hohen Anforderungen, die von den Shareholdern an die Eigenkapitalverzinsung gestellt werden, hohe Risikoaufschläge. Auch der Ansatz von Exit Values ist ebenfalls nicht immer zielführend, da es gerade den „idealtypischen“ Käufer nicht gibt und es in der Realität eine Vielzahl unterschiedlicher Parameter aus wertorientierten Steuerungssystemen der einzelnen Unternehmen gibt. Auf Versicherungsmärkten existieren sowohl für die Nachfrageals auch für die Anbieterseite neben Bereichen mit vergleichsweise hohem Wettbewerb (Privatkundenversicherung) auch Segmente mit Oligopoloder sogar Monopolstrukturen (Industrieversicherung und Rückversicherung). Hierdurch ist zum Teil das Phänomen zu beobachten, dass ggf. bei besonders hohen Sicherheitsanforderungen verbunden mit extrem niedrigem Ausfallrisiko sehr hohe Zusatzrenditen gefordert werden. Dies scheint zunächst die plausible Aussage, dass es „mehr Rendite nur bei mehr Risiko gibt“, ad Absurdum zu führen. Hier handelt es sich aber eher um den Effekt, dass auf Oligopoloder Monopolmärkten strukturbedingt ökonomische (Über-) Renditen erzielet werden können, die auf einem Wettbewerbsmarkt nicht realisierbar sind. Im Zusammenhang mit Solvency II oder vergleichbaren Solvabilitätsystemen wird dieser „gordische Knoten“ dahingehend gelöst, dass die Aufsichtsbehörden die Definitionskriterien eines „idealtypischen“ Käufers vorgeben: Der Käufer sollte mindestens eine den Solvency II Anforderungen entsprechende Eigenkapitalhinterlegung mit einem Sicherheitsniveau von 99,5% haben. Dies kann mit einem guten BBB Rating (beispielsweise bei einem S&P Hebesatz von 125%) gleichgesetzt werden. Für das getragene Risiko kann eine Zusatzrendite von 6% gefordert werden (analog zur Vorgehensweise im Schweizer Solvenzmodell). Hier bleibt die offene Frage, in welchem Maße Synergien in die Berechnungen Berücksichtigung finden dürfen. Da die Eigenkapitalhinterlegung für ein größeres Segment wegen der Synergie i. d. R. (relativ gesehen) kleiner ist als die Summe der Eigenkapitalhinterlegungen einzelner Teilsegmente, verhalten sich die Kapitalkosten nicht additiv und fallen insgesamt oft deutlich geringer aus. Hier handelt es sich grob gesprochen um den Effekt eines „Mengenrabatts“. - 3 - Es stellt sich die Frage: Welche Synergien können im Sinne von Mengenrabatten erzielt werden? Bei einem Entry Value Ansatz ist die Antwort klar: Das Unternehmen hat das Portfolio insgesamt erworben und kann somit die gesamte Synergie erzielen. Bei einem Exit Value Ansatz muss präzisiert werden, welche Verkäufe als realistisch angesehen werden. Aber auch hier kann zumindest im Zusammenhang mit Solvency II eine Definition vorgenommen werden: Dort sind Synergien häufig nur im Rahmen fest spezifizierter Segmente möglich.1 1.2 Berechnungsbeispiel In diesem Abschnitt werden anhand eines vereinfachten Berechnungsbeispiels die wichtigsten Eigenschaften des Fair Values einer Brutto Reserve erläutert. Diese Beispielrechnung wird im nachfolgenden Abschnitt weiter verwendet, um die Eigenschaften des Fair Values einer zedierten Reserve zu erläutern. Es wird von einer Brutto Reserve mit approximativ normal verteilten, voneinander unabhängigen Zahlungen der einzelnen Restperioden mit folgendem Cash Flow ausgegangen: Abbildung 1: Cash Flow – Brutto Schadenreserve. Der Variationskoeffizient beträgt gemäß der getroffenen Annahmen für alle Zahlungen insgesamt 20,0%, d. h. für die gesamte Standardabweichung ergibt sich ein Wert von 200. Diese wird aber erst nach der gesamten Abwicklung beobachtet; die Einperioden-Volatilität2 für die Variabilität der Reserveschätzung ist geringer. Mit Hilfe eines „Diffusionsansatzes“ (der später noch genauer erläutert wird) ergeben sich unter einer Normalverteilungsannahme bei einem Sicherheitsniveau von 99,5% (dies entspricht bei der Normalverteilung einem Quantilswert von 2,58) die folgenden Eigenkapitalbedarfe zur Absicherung der Schwankungen der Reserveschätzung zu Periodenbeginn: 1 Z. B. bei Anwendung der Standardformel, vergleiche dazu auch [2]. 2 Solvency II stellt ganz allgemein auf eine Einperiodenrechnung ab, vergleiche dazu auch [3]. Periode Diskont 4,0% JB JM nom. diskont. 1 100,00% 98,06% 200,0 196,1 2 96,15% 94,29% 300,0 282,9 3 92,46% 90,66% 400,0 362,6 4 88,90% 87,17% 100,0 87,2 5 85,48% 83,82% 6 82,19% 80,60% 7 79,03% 77,50% 1.000,0 928,8 200,0 20,0% Zahlungen STD ges / Var. Koeff ges Summe - 4 - Abbildung 2: Eigenkapitalallokation – Brutto Schadenreserve. Die Kapitalkosten CoC (Cost of Capital) ergeben sich in diesem Beispiel auf Basis eines Kapitalkostensatzes von 6%, siehe dazu die nachfolgende Tabelle: Abbildung 3: Kapitalkosten – Brutto Schadenreserve. Der Fair Value FV dieser Schadenreserve ergibt sich aus den diskontierten Best Estimate Reserven DBE und den Kapitalkosten CoC wie folgt: FV Brutto Reserve = DBE + CoC = 928,8 + 50,0 = 978,8. An dieser Stelle muss darauf hingewiesen werden, dass die Kapitalkosten in Anlehnung an Solvency II und an das Schweizer Solvenzmodell gerechnet wurden. Die Kapitalkostenmodelle im Rahmen der unternehmensindividuellen wertorientierten Steuerung liegen i. d. R. deutlich höher.  Periode RestEigennom. reserve Kapital 1 200,0 1.000,0 373,7 2 300,0 800,0 299,0 3 400,0 500,0 186,9 4 100,0 100,0 37,4 5 6 71.000,0 200,0 Zahlun STD ges Summe Periode Diskont 4,0% EigenCoC 6,0% JB JM Kapital nom. diskont. 1 100,00% 98,06% 373,7 2 96,15% 94,29% 299,0 22,4 21,6 3 92,46% 90,66% 186,9 17,9 16,6 4 88,90% 87,17% 37,4 11,2 10,0 5 85,48% 83,82% 2,2 1,9 6 82,19% 80,60% 7 79,03% 77,50% 53,8 50,0 STD ges / Var. Koeff ges Summe - 5 - 2 Der Fair Value einer zedierten Reserve Sofern Fair Value Bewertungen für die Brutto und Netto Schadenreserven im Sinne eines „passivischen Cash Flow“ existieren, kann der Fair Value der zedierten Reserven als Differenz der beiden Fair Values ermitteln werden. 2.1 Berechnungsbeispiel Die Nettozahlungen werden ebenfalls approximativ als unabhängig und normalverteilt angenommen. Es werden 30% der Zahlungen im Schnitt zediert, wobei allerdings nur 50% der Entlastungen in der aktuellen Periode und 50% der Entlastungen in der Folgeperiode stattfinden. Folglich hat der zedierte Cash Flow eine höhere und der Netto Cash Flow eine niedrigere Duration als der Brutto Cash Flow. In der letzten Periode folgt unter diesen Annahmen sogar ein negativer Netto Cash Flow. Durch die Rückversicherung reduziert sich der Variationskoeffizient der Reserven zu Periodenbeginn von 20,0% im Brutto auf 15,0% im Netto. Abbildung 4: Fair Value Berechnung – Netto Schadenreserve. Der Fair Value FV dieser Schadenreserve ergibt sich aus den diskontierten Best Estimate Reserven DBE und den Kapitalkosten CoC wie folgt: FV Netto Reserve = DBE + CoC = 655,5 + 25,4 = 680,9. In diesem Beispiel ergibt sich als Differenz zwischen dem Fair Value der Brutto Reserve und dem Fair Value der Netto Reserve folgender Betrag: FV Brutto Reserve – Fair Value Netto Reserve = 978,8 – 680,9 = 297,9. Dieser Betrag setzt sich aus dem Barwert der Schadenentlastung in Höhe von 273,3 und dem Barwert der Kapitalkostenentlastung in Höhe von 24,6 zusammen. Diese Darstellung berücksichtigt aber nicht das Risiko eines Zahlungsausfalls des Rückversicherers. Somit muss bei einer Fair Value Bewertung der zedierten Reserven noch das Rating eines Rückversicherers in Form eines Bonitätsabschlags angesetzt werden: Periode Diskont 4,0% RestEigenCoC 6,0% JB JM nom. diskont. reserve Kapital nom diskont. 1 100,00% 98,06% 170,0 166,7 700,0 203,7 2 96,15% 94,29% 225,0 212,1 530,0 154,2 12,2 11,7 3 92,46% 90,66% 295,0 267,4 305,0 88,7 9,3 8,6 4 88,90% 87,17% 25,0 21,8 10,0 2,9 5,3 4,7 5 85,48% 83,82% -15,0 -12,6 -15,0 4,4 0,2 0,1 6 82,19% 80,60% 0,3 0,2 7 79,03% 77,50% 700,0 655,5 27,2 25,4 105,0 15,0% Zahlungen Netto STD ges / Var. Koeff ges Summe - 6 - FV der zedierten Reserven = Barwert der Schadenentlastung + Barwert der Kapitalkostenentlastung – Bonitätsabschlag. Der Bonitätsabschlag kann dabei ggf. als Prozentsatz aus der Summe der Schadenentlastung und der Kapitalkostenentlastung ermittelt werden. 2.2 Modellierung des Ausfallrisikos Bei den zedierten Reserven handelt es sich um einen „aktivischen Cash Flow“, d. h. der Käufer zahlt dem Verkäufer zum Kaufdatum einen festen Betrag und bekommt später variable Rückzahlungen. Das Risiko aus Sicht des Käufers besteht darin, dass die Rückzahlungen geringer ausfallen als erwartet. Er wird zum Kaufdatum einen Risikoabschlag verlangen. Klassischerweise wird bei der Bewertung von riskanten festverzinslichen Wertpapieren hier ein Risikospread zusätzlich zum risikofreien Zins r angesetzt, so dass beispielsweise für den Fair Value (FV) eines Zerobonds mit Nominalwert N und Dauer D folgende Beziehung gilt: FV = N / ( 1 + r + s)D. Aus dieser Darstellung kann ein Bonitätsabschlag BA wie folgt ermittelt werden: BA = N / (1 + r)D – N / (1 + r + s)D ≈ D · s · N. Eine Möglichkeit einen Bonitätsabschlag für die zedierten Reserven zu ermitteln besteht also darin, im Hinblick auf das Rating und die Duration vergleichbare festverzinsliche Wertpapiere zu betrachten und näherungsweise mit den entsprechenden Bonitätsabschlägen zu arbeiten. Eine stochastische Modellierung eines Bonitätsabschlages in einem Jahr würde in einem solchen Ansatz mit den Techniken einer ökonomischen Szenariogeneration erfolgen. Eine alternative Möglichkeit besteht darin, das Ausfallrisiko explizit zu modellieren. Für den erwarteten Ausfall gilt dabei folgende Beziehung: Erw. Ausfall = Ausfallwahrscheinlichkeit · erw. Ausfallhöhe in % · Ausfallexposure. Dabei ergibt sich bei einer Rückversicherung das Ausfallexposure aus der Summe der Schadenentlastungen und der Kapitalkostentlastungen. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten a* können den Tabellen der Ratingagenturen entnommen werden, wo die Ergebnisse ihrer Marktrecherchen zusammengefasst sind. Die erwartete Ausfallhöhe in % wird üblicherweise – unter der Annahme einer Gleichverteilung im Intervall [0, 1] – mit 50% angesetzt, so dass für den Ausfall A in % die Beziehungen E(A) = a*/2 = a, VAR(A) = a* · (1/3 – a*/4) = a · (2/3 – a). - 13 - Abbildung 8: Gezogene Nat Cat Events. Die ersten beiden Events treten ausgesprochen selten ein, so dass die gezogenen Zufallszahlen schon nahe bei 100% liegen müssen. Das dritte Event hingegen tritt im Schnitt alle 40 Jahre einmal ein. Die Kombination der beiden seltenen Ereignisse in dieser Ziehung ist somit eine noch seltenere Konstellation; in einem Simulationslauf ist somit entscheidend, wie oft solche seltenen Konstellationen auftreten. Zu jedem der drei gezogenen Events wurden auch die Eventhöhen gezogen, siehe dazu die nachfolgende Tabelle: Abbildung 9: Gezogene Eventhöhen. Obwohl in allen drei Fällen Eventhöhen unterhalb des Erwartungswertes gezogen wurden, handelt es sich bei den ersten beiden Events doch um ausgesprochen seltene Ereignisse mit hoher Schadenbelastung, so dass der gezogene Gesamtbruttoaufwand ungewöhnlich hoch ist. Im Hinblick auf die Wirkung einer Rückversicherungslösung handelt es sich hier um ein extremes Szenario. 4.2 Wirkung einer Rückversicherungslösung In diesem Abschnitt soll die Auswirkung einer Rückversicherungslösung auf dieses Extremszenario analysiert werden. Konkret soll dabei ein Layer 500 xs 5 betrachtet werden mit einer freien Wiederauffüllung (d. h. es sind nur maximal zwei Events ohne weitere Wiederauffüllungsprämien abgedeckt) bei einer Gesamtkapazität von 750. Bei dieser Konstruktion ist jetzt die Eventreihenfolge bedeutsam, insbesondere dass die beiden teuersten Schadenereignisse auch genau die ersten beiden sind. Die nachfolgende Tabelle illustriert die Wirkung dieser Vertragskonstruktion auf die gezogene Konstellation: Event EintrittsZufallsEventEvent Nr. wahrsch. zahl eintritt? Reihenf. Summe / Erwartungswert 3 10,50% 100,0% 11 30,75% 99,9% 12 22 2,50% 98,5% 13 Event ZufallsBrutto Nr. EW Var. zahl Sch.Höhe Koeff. Summe / Erwartungswert 887,6 1600,00 25,0% 45,0% 564,4 3300,00 25,0% 50,0% 291,0 22 49,50 25,0% 5,3% 32,3 Basisexposure - 14 - Abbildung 10: Auswirkung eines Kumulschadenexzedenten. Im konkreten Fall ist also die maximale Kapazität ausgeschöpft und es verbleibt eine doch noch ausgesprochen hohe Netto Schadenbelastung von 137,6. Die gezogene Konstellation ist zugegebener Maßen äußerst selten, zeigt aber deutlich, dass bestimmte Effekte nur mit Simulationsansätzen erkannt werden können. Bei einem Simulationslauf erhält man empirische Verteilungen für den Bruttound den Nettoaufwand. Sofern man ausreichend viele Simulationen betrachtet, sind die empirischen Verteilungen gute Approximationen der wahren Verteilungen, wobei man allerdings bei sehr (rechts) schiefen Verteilungen deutlich mehr Simulationen für eine gute Approximation braucht als bei symmetrischen Verteilungen. Aus dem Vergleich der Brutto und Netto Verteilung ergibt sich dann die Eigenkapitalentlastung durch den Rückversicherungsvertrag und man erhält durch den Vergleich der eigenen Kapitalkostenentlastung mit der in der RV Prämie eingerechneten Kapitalkostenbelastung ein Kriterium, um die Effizienz der RV Lösung zu beurteilen. 4.3 Einbeziehung von Rückversicherungsausfall Wie bereits zuvor im vereinfachten Beispiel illustriert, kann bei einem sehr schlechten Rating des Rückversicherers die Effizienz eines Rückversicherungsvertrages durch einen hohen Bonitätsabschlag beeinflusst werden. Der Bonitätsabschlag ist ein Preis für das Risiko eines Rückversicherungsausfalls. Aus diesem Grund wurde bei der Simulation der Auswirkung einer Rückversicherung auf Nat Cat Risiken auch ein stochastisches Modell für den Rückversicherungsausfall einbezogen – bei einem gegebenen (Durchschnitts-) Rating und einer dazu korrespondierenden Ausfallfallwahrscheinlichkeit a*. Sofern man nur ein einziges RVU betrachtet, kann der RV Ausfall durch die Faltung der Binomialverteilung Ba* mit einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0, 1] modelliert werden. Erwartungswert und Standardabweichung dieser Ausfallverteilung wurden bereits in einem vorherigen Abschnitt angegeben. Diese Ausfallverteilung ist ein Spezialfall eines Zweiklassen Histogramms Hu, v auf dem Intervall [0, 1] mit einer diskreten Masse auf dem Nullpunkt (mit Gewicht 1 – v) und einer Gleichverteilung auf dem restlichen Intervall (mit Gewicht v). Event Brutto Rück Netto Nr. Sch.Höhe Prio. 5,0 Events 2Sch.Höhe Sch.Höhe XS 500,0 Kapaz. 750,0 Summe 887,6 813,3 2 750,0 137,6 1564,4 500,0 1 500,0 3291,0 286,0 1 286,0 22 32,3 27,3 0 0,0 LimitierungLayer - 15 - Betrachtet man n Rückversicherer mit paarweise unkorrelierten Ausfällen und den Gewichten w1, … , wn, dann ergibt sich für die Gesamtvarianz die folgende Formel: σ n2 = σ12 · ∑ wi2. Den Wert ∑ wi2 bezeichnet dabei den sogenannten Herfindahl-Index HFI6, der ein Maß für die Konzentration darstellt. Bei totaler Konzentration beträgt der Herfindahl-Index 1; bei totaler Gleichverteilung 1/n. Im vorliegenden Modell konnte eine Herfindahl-Konzentration HFK eingegeben werden, die durch die Beziehung HFI = 1/n + HFK · (1 – 1/n) definiert wurde. Der Parameter HFK ist unabhängig von der Anzahl n und beträgt 0 bei der absoluten Gleichverteilung und 1 bei der absoluten Konzentration. Definiert man bei korrelierten Ausfällen die mittlere Korrelation ρ* als ρ* := (∑ i ≠ j wi · wj · ρi, j · σi · σj) / (∑ i ≠ j wi · wj · σi · σj), dann gilt für n Rückversicherer mit Herfindahl-Index HFI und mittlerer Korrelation ρ* die Beziehung σ n2 = σ12 · ((1 – ρ*) · HFI + ρ*). Herfindahl-Konzentration und mittlere Korrelation konnten im Modell vorgegeben werden. Da für n = 1 ein Spezialfall des Zweiklassenhistogramms vorliegt, wurde zur Vereinfachung auch für n > 1 diese Verteilungsannahme (die recht plausible Eigenschaften aufweist) mit den zuvor ermittelten Parametern für den Erwartungswert und die Varianz ermittelt. Alternativ wäre auch eine Zugrundlegung einer Vasicek Verteilung möglich. Da dies eine stetige Approximation ist, wird immer etwas Rückversicherungsausfall gezogen. In den meisten Fällen handelt es sich aber um sehr kleine Werte, die eher einem Zinsverlust durch zu spät eingegangene Rückversicherungszahlungen entsprechen als einem echten Rückversicherungsausfall. Trotz dieser Approximation ist der Modellansatz also relativ plausibel. Das Zweiklassen Histogramm wir eindeutig durch die Parameter (u, v) bestimmt, wobei u in diesem Fall mit dem erwarteten Ausfall a = a*/2 übereinstimmt. Der Parameter v ergibt sich dann aus der Beziehung σ n2 = 1/3 · (a2 + v · (1 – 2 · a)). Um im Modellansatz noch die Tatsache abzubilden, dass Rückversicherungsausfall und Schadenaufwand miteinander korrelieren, wurde approximativ eine Rangkorrelation wie folgt abgebildet: Falls p = 1 – ∏ (1 – pi) 6 Siehe dazu auch [5]. - 16 - die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass mindestens ein Event eintritt, dann kann man in einer sehr groben Näherung die Brutto Schadenverteilung für die Nat Cat Risiken als eine Faltung aus einer Binomial Verteilung Bp und einer Lognormal Verteilung mit den Parametern EW* und VAR* approximieren. Man erhält dann folgende Beziehung mit den Parametern EW und VAR (die zuvor berechnet wurden) der Brutto Schadenverteilung: EW = p · EW* VAR = p · (VAR* + (EW*)2) – EW2 · (EW*)2. Für einen positiven Schadenaufwand kann man mit dieser Approximation näherungsweise das Quantil oberhalb von (1 – p) bestimmen und dieses mit der Zufallszahl für den gezogenen Ausfall über eine Rangkorrelation miteinander verknüpfen. Unterhalb des (1 – p) Quantils ist dieser Wert natürlich nicht eindeutig; aber da in diesen Fällen kein Schadenaufwand gezogen wurde, spielt ein gezogener RV Ausfall in solchen Fällen auch keine Rolle. Trotz einiger Näherungsformeln bekommt man insgesamt ein stimmiges Modell, bei dem alle wichtigen Aspekte plausibel abgebildet sind.  - 17 - 5 Berechnungsergebnisse für Nat Cat Risiken Im vorherigen Abschnitt wurde das Modell für die Simulation anhand eines Extremszenarios illustriert. Mit Hilfe eines gesamten Simulationslaufs mit ausreichend vielen Simulationen erhält man durch die empirischen Verteilungen eine gute Approximation der wahren Verteilungen für den Brutto und den Netto Schadenaufwand. 5.1 Verteilungen In der nachfolgenden Tabelle sind die Ergebnisse eines Simulationslaufes mit 10.000 Simulationen illustriert. Da die Wahrscheinlichkeit eines Eventeintritts nur bei ca. 28,8% liegt, wurden nur Quantile oberhalb von 75% aufgelistet. Abbildung 11: Simulationsergebnisse – Schadenaufwand ohne Bonitätsabschlag. In der Simulation wurde mit erwarteten 0,3 Events pro Simulation eine Eintrittswahrscheinlichkeit von ca. 30% realisiert, was etwas oberhalb des theoretischen Wertes liegt. Bei einer derart schiefen Verteilung sind 10.000 Simulationen ggf. aber auch noch nicht ausreichend, um alle Effekte schon hinreichend gut zu treffen. Um den Effekt der betrachteten RV Lösung (noch vor Berücksichtigung eines Ausfallrisikos) zu verdeutlichen, wurden die Quantile für den Netto Schadenaufwand mit den entsprechenden Quantilen bei einer reinen quotalen Rückversicherung mit ca. 92,0% Quote verglichen, da diese Quote den gleichen Erwartungswert liefert wie der betrachtete Kumulschadenexzedent. Bis zu einem Quantil von ca. 99,27% entlastet die nicht-proportionale Rückversicherung besser als die entsprechende Quote. Darüber hinaus beobachtet man aufgrund der Begrenzungen in der RV Lösung den umgekehrten Effekt – in diesem Bereich entlasten die KapazitätsVerteilungsEvent Quote 8,0% parameter Anzahl Brutto Rück Netto Mittelwerte 0,3 32,2 29,6 2,6 2,6 Std. Abw. 0,6 76,0 67,7 14,2 6,1 Var. Koeff 169% 236% 229% 551% 236% Maximum 3 1.090,4 709,6 575,7 87,0 Quantile 75,00% 1 50,8 45,8 5,0 4,1 90,00% 1 96,1 90,5 5,0 7,7 95,00% 1 140,9 130,1 5,0 11,2 97,50% 2 215,9 198,7 10,0 17,2 99,00% 2 393,5 388,5 10,0 31,4 99,27% 2 456,0 444,2 36,4 36,4 99,50% 2 513,9 500,0 72,5 41,0 99,90% 3 724,3 578,4 200,2 57,8 Schadenaufwand ohne BA Netto - 18 - begrenzungen den Rückversicherer. Es würde sich in der Praxis aber auch kaum ein Rückversicherer finden lassen, der in einem so riskanten Segment eine Quote in einer derartigen Höhe anbietet. Zusammengefasst beobachtet man also hohe Eigenkapitalentlastungseffekte für den Erstversicherer, wobei aber aufgrund der Kapazitätsbegrenzungen für den Rückversicherer das Nettoergebnis stärker schwankt, da man ca. einmal in 136 Jahren beobachtet, dass die gewählte nicht-proportionale Rückversicherung schlechter entlastet als eine vergleichbare Quote. In der nachfolgenden Tabelle sind für den Brutto, zedierten und Netto Schadenaufwand die Simulationen aufgelistet, bei denen maximale Werte erzeugt wurden. Abbildung 12: Simulationsergebnisse – Maxima für Brutto & Netto Schadenaufwand. In Szenario Nr. 5.373 realisieren sich die Maxima für den Brutto und den zedierten Aufwand, in Szenario Nr. 6.553 tritt ein derart extremes Event ein, dass der Nettoaufwand auch bei nur einem einzigen Event aufgrund der Begrenzung am höchsten ist. Das zuvor erläuterte Szenario, bei dem bei drei Events die maximale Kapazität von 750,0 ausgeschöpft wurde, ist in den 10.000 Simulationen nicht einmal annähernd aufgetreten. Die zuvor skizzierten Ergebnisse berücksichtigen noch nicht den Effekt des Rückversicherungsausfalls. In der nachfolgenden Tabelle sind die Ergebnisse diesbezüglich aufgelistet: Sim. Nr. Brutto Zediert Netto Brutto Zediert Netto Event 1 875,7 500,0 375,7 1.075,7 500,0 575,7 Event 2 214,6 209,6 5,0 Event 3 Gesamt 1.090,4 709,6 380,7 1.075,7 500,0 575,7 5.373 6.553 - 19 - Abbildung 13: Simulationsergebnisse – Schadenaufwand mit Bonitätsabschlag. Wie bereits zuvor erläutert, wurde der RV Ausfall in einem einfachen Modell durch einen stetigen Bonitätsabschlag (BA) modelliert, der mit dem Brutto Schadenaufwand korreliert werden kann. Wie der Tabelle entnommen werden kann, ist dieser Abschlag (in % des zedierten Schadenaufwands und absolut) in den meisten Fällen nur marginal; es gibt aber extreme Szenarien mit einem annähernden Totalausfall. Die Auswirkungen auf den Netto Schadenaufwand sind signifikant; Erwartungswert und Volatilität erhöhen sich spürbar. Es sollte an dieser Stelle angemerkt werden, dass ein extremes Szenario mit einer sehr schlechten (mittleren) Bonität der Rückversicherer gerechnet wurde, die im Rahmen von Solvency II vermutlich gar nicht zulässig wäre oder extrem mit Eigenkapitalaufschlag „bestraft“ würde. Insofern ist dieses Modell natürlich extrem, wodurch sich die Effekte signifikant erkennen lassen. Abbildung 14: Simulationsergebnisse – Maxima für den Bonitätsabschlag. In der Tabelle zuvor sind besonders extreme Szenarien im Hinblick auf den Bonitätsabschlag aufgelistet, insbesondere x der maximale Abschlag absolut (Szenario 9.475), x der maximale Netto Schadenaufwand inkl. Bonitätsabschlag (Szenario 4.307) und x der maximale Bonitätsabschlag in % (Szenario 6.604). VerteilungsBA parameter in % BA RV ./. BA Netto + BA Mittelwerte 0,5% 0,7 28,9 3,2 Std. Abw. 4,5% 12,6 65,7 20,9 Var. Koeff 896% 1861% 227% 645% Maximum 98,5% 475,0 619,0 672,4 Quantile 75,00% 0,3% 0,1 44,9 5,1 90,00% 0,4% 0,3 89,1 5,3 95,00% 0,4% 0,4 127,8 8,8 97,50% 0,4% 0,7 187,0 10,5 99,00% 0,4% 1,7 361,2 39,8 99,50% 16,6% 2,3 486,3 101,6 99,90% 82,6% 180,3 540,3 340,1 Schadenaufwand mit BA Sim. Netto Netto Nr. in % absolut inkl. BA 9.475 137,3 95,0 475,0 612,3 4.307 227,6 89,0 444,8 672,4 6.604 5,0 98,5 63,0 68,0 Bonitätsabschlag - 20 - Wie bereits erläutert wurden in den vorliegenden Berechnungen Bonitätsabschlag und Bruttoschadenhöhe über eine Rangkorrelation der Quantile der Ausfallfunktion und des Bruttoschadenaufwandes (sofern dieser positiv war) miteinander korreliert. Da der Brutto Schadenaufwand in 71,2% der Fälle Null ist, wurden daher die modifizierten Quantile Q mod = (Q – 71,2%) / ( 100,0% – 71,2%) für den Brutto Schadenaufwand betrachtet. In der nachfolgenden Tabelle sind für fünf ausgewählte Szenarien die jeweiligen Quantile (für den Bonitätsabschlag) bzw. die modifizierten Quantile (für alle Aufwandsvariablen) aufgelistet: Abbildung 15: Simulationsergebnisse – Quantile für die ausgewählten Szenarien. Obwohl es natürlich kein wissenschaftlicher Beweis im strengen Sinne ist, erkennt man dennoch gut die Zusammenhänge zwischen den Aufwandsvariablen und dem Bonitätsabschlag. 5.2 Eigenkapitalbedarfe Im vorherigen Abschnitt wurden die Ergebnisse eines Simulationslaufs mit 10.000 Simulationen illustriert, insbesondere die daraus resultierenden empirischen Verteilungen als Approximationen der wahren Verteilungen. Auf Basis dieser Ergebnisse kann nun eine Eigenkapitalallokation vorgenommen werden, wobei zur Vereinfachung eine Eigenkapitalallokation nach dem Value-at-Risk Prinzip betrachtet werden soll, d. h. für den Eigenkapitalbedarf zu einem Risikoniveau α soll EKα[X] = VaRα[X] – E[X] gelten. Da natürlich ein Versicherungsunternehmen nicht nur Nat Cat Risiken zeichnet, ergibt sich durch die Mischung mit dazu relativ unabhängigen Risiken ein Diversifikationseffekt. Um diesen zumindest näherungsweise zu modellieren, soll wieder mit dem Herfindahl-Index und der mittleren Korrelation gearbeitet werden. Falls n die Anzahl der Geschäftssegmente, HFK die Konzentration dieser Segmente und ρ* die mittlere Korrelation zwischen den Geschäftssegmenten bezeichnet, dann erhält man über diesen Ansatz eines Reduktionsfaktor RF RF = ((1/n + HFK · (1 – 1/n)) · (1 – ρ*) + ρ*)0,5. Simul. Quantil Nr. Brutto Zediert Netto BA Netto + BA BA in % 5.373 Max. Max. 99,9% 99,9% 100,0% 99,6% 6.553 100,0% 98,2% Max. 97,4% 99,9% 98,5% 9.475 99,2% 98,2% 99,3% Max. 99,9% 100,0% 4.307 99,7% 98,2% 99,8% 99,9% Max. 99,9% 6.604 35,8% 35,8% 35,8% 99,1% 97,4% Max. modifiziertes Quantil - 21 - Die Wurzel muss gezogen werden, da sich der im vorherigen Abschnitt definierte Faktor auf die Varianz bezogen hat. Für den Eigenkapitalbedarf nach Synergie kann man dann approximativ EKα[X]Synergie = EKα[X] · RF setzen. In der nachfolgenden Tabelle ist eine solche Berechnung zum Niveau 99,8% (dies entspricht in etwa einem angestrebten A-Rating) illustriert. Abbildung 16. Eigenkapitalbedarf – vor und nach Synergie. Mit der Ermittlung eines Eigenkapitalbedarfs nach Synergie (Brutto, Netto und Netto unter Berücksichtigung von Rückversicherungsausfall) hat man jetzt die wichtigsten Parameter für die Ermittlung eines Fair Values von zedierten Reserven – mit und ohne Berücksichtigung von Rückversicherungsausfall. 5.3 Fair Value Berechnung Zunächst einmal muss das Modell um eine angemessene Cash Flow Modellierung ergänzt werden. Um möglichst viele Durationen abbilden zu können, ohne separat immer wieder neue Cash Flow Muster eingeben zu müssen, wurde ein Modellansatz CFkum. (t) = 1 – a · b-(t – 1) angesetzt. In der ersten Periode beobachtet man also einen Anteil von (1 – a) %, danach ergibt sich eine geometrische Absenkung auf jeweils b%. Um aus Praktikabilitätsgründen den Bestand auslaufen zu lassen, wurden die Werte so normiert, dass ab einem fest gewählten Zeitpunkt (im konkreten Fall t = 30) der Wert genau 100% beträgt. Gibt man einen festen Parameter für a und somit für das Volumen ab der zweiten Periode vor (z. B. 75%), dann kann man beispielsweise durch die Zielwertsuche den Absenkungsparameter b so bestimmen, dass eine gewünschte Duration für den Brutto Schaden Cash Flow generiert wird. In der nachfolgenden Tabelle ist für die ersten Perioden das gewählte Brutto Cash Flow Modell illustriert. Verteilungsparameter Brutto Rück Netto BA Netto + BA Quantil 99,8% EK-Bedarf 613,6 136,2 190,0 Segmente 20 HF Konz. 20,0% Synergie 34,4% 34,4% 34,4% mittl. Korr. 25,0% EK-Bedarf 402,4 89,3 124,6 Red. Fkt. 65,6% nach Syn. Schadenaufwand ohne BA Schadenaufwand mit BA - 22 - Abbildung 17: Fair Value Berechnungen – Brutto Cash Flows. Für die zedierten Zahlungen wurde eine Verschiebung von ca. 6 Wochen (d. h. 1,5 Monate) angesetzt, d. h. v = 1,5/12 = 12,5% aller Zahlungen verschieben sich in die nächste Periode. Somit gilt also: CFzed. (t) = CF (t) · (1 – v) + CF (t – 1) · v. In der nachfolgenden Tabelle sind für die ersten Perioden die modellierten Rückversicherungs-Cash Flows sowie die daraus resultierenden Netto Cash Flows illustriert. Abbildung 18: Fair Value Berechnungen – zedierte & Netto Cash Flows. Die Cash Flows für den erwarteten RV Ausfall wurden proportional zu den Cash Flows der zedierten Schadenaufwendungen angesetzt, wobei sich dann folgende Ergebnisse ergeben: Periode Offset Absenk. Einzel 0,7500 0,6250 Zahlungen Dur. / BW 2,50 30,0 Summe 100,0% 32,2 125,0% 25,0% 8,0 253,1% 28,1% 9,1 370,7% 17,6% 5,7 481,7% 11,0% 3,5 588,6% 6,9% 2,2 Brutto Schadenhöhe Periode Netto Dur.Shift Einzel Schaden12,5% Zahlungen höhe Dur. / BW 2,63 27,5 2,5 Summe 29,6 2,6 121,9% 6,5 1,6 227,7% 8,2 0,8 318,9% 5,6 0,1 411,8% 3,5 0,0 57,4% 2,2 0,0 Rück Schadenhöhe - 29 - 7 Zusammenfassung In den vorherigen Abschnitten wurde intensiv am Beispiel von Nat Cat Risiken (und exemplarisch am Beispiel von Großschadenrisiken) ein Simulationsmodell diskutiert, mit dem nicht nur der Eigenkapitalbedarf – und somit auch die Kapitalkosten – sondern auch die Auswirkungen eines Rückversicherungsausfalls mit Hilfe eines einfachen stochastischen Modells mit einbezogen wird. Hier sind natürlich auch alternative Ansätze – beispielsweise mit Hilfe einer Vasicek Verteilung – denkbar. Mit Hilfe eines derartigen Modellansatz kann man konzeptionell (im Sinne eines Mark-toModel Ansatzes) einen Bonitätsabschlag auf die zedierten Reserven ermitteln. Dieser Bonitätsabschlag setzt sich zusammen aus x der Erhöhung des risikofrei diskontierten erwarteten Nettoaufwandes und x der Erhöhung des Netto Kapitalkostenbarwertes. Die Parametrisierung des Ausfallmodells ist natürlich der „kritische“ Punkt. Das vorgeschlagene Modell benötigt neben der Ausfallwahrscheinlichkeit (die man aus den Tabellen der Rating Agenturen entnehmen kann) nur noch einen Varianzparameter, der zumindest aus der bekannten Varianz bei einem einzigen Rückversicherer hergeleitet werden kann. Da der RV Ausfall zur Vereinfachung stetig modelliert wurde, gibt es in jedem Szenario immer etwas RV Ausfall, der aber in den meisten Szenarien vernachlässigbar gering ist – und somit eher einem Zinsverlust durch verzögerte RV Zahlungen entspricht als einen echten Ausfall. Der RV Ausfall kann – was durchaus plausibel ist – mit der Höhe des Bruttoschadenaufwandes korreliert werden. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass Nat Cat Ereignisse zusammenhängen und somit viele Erstversicherungsunternehmen gleichzeitig betreffen. Ein extremes Nat Cat Ereignis trifft somit nicht nur ein Einzelunternehmen, sondern ganze Märkte und tangiert dadurch natürlich die Belastbarkeit der Rückversicherungsindustrie. In dieser Ausarbeitung wurden nur die wichtigsten Modellierungsaspekte detailliert erläutert, um dadurch die Konzeption des Fair Values einer zedierten Reserve zu beleuchten. In [1] sind darüber hinaus die Auswirkungen von Parameteränderungen getestet und diskutiert worden. Dies ist umso wichtiger, da in der Praxis – anders als bei den hier skizzierten synthetischen Beispielen – die korrekte Parametrisierung des Modells ein wichtiger Punkt darstellt. Hier zeigen Sensitivitätsrechnungen die Auswirkungen von Fehleinschätzungen bei den Parametrisierungen. Korrekterweise sollte man abschließend anmerken, dass man bei der Modellierung von RV Ausfall eigentlich mehrjährig mit Übergangsmatrizen arbeiten sollte, bei denen der Wechsel von einer Ratingklasse in eine andere abgebildet ist, was aber den Rahmen des hier vorgestellten Modells deutlich überstiegen hätte. - 30 - Eine Modellierung einer Einzelsimulation in EXCEL (und anschließender Steuerung des Simulationslaufes durch Visual Basic) bietet den Vorteil von Transparenz und relativ flexibler Modellgestaltung. Dynamische Effekte können hingegen nicht wirklich abgebildet werden. Hier muss man ggf. immer mit geeigneten mittleren Werten arbeiten. Weitere Nachteile der EXCEL Lösung sind das Laufzeitverhalten (z. B. beim Übergang von 10.000 zu 20.000 Simulationen) und die häufig kritisierte mangelnde Qualität des EXCEL Zufallszahlengenerators. Man wird also mit einem EXCEL basierten Modell nur allgemeine Effekte testen können. Für genaue und schnelle Rechnungen – insbesondere bei den sehr schiefen Nat Cat Risiken – wird man wohl kaum auf professionelle Simulationssoftware verzichten können.  - 31 - Literaturverzeichnis [1] Krahforst, Christoph: Fair Value Bewertung von zedierten Reserven. Masterarbeit, Institut für Versicherungswesen der FH Köln, Köln, 2012. [2] European Commission (Editor): QIS 5 Technical Specifications, Brussels, 05.07.2010. http://www.bafin.de/SharedDocs/Downloads/DE/Versicherer_Pensionsfonds/QIS/dl_adapted_technical_specifications.pdf;jsessionid=A92F65FB9540E5315DB337B3BD17970E.1_cid372?__blob=publicationFile&v=6 (Status 27.04.2013). [3] DIRECTIVE 2009/138/EC OF THE EUROPEAN PARLIAMENT AND OF THE COUNCIL, 17.12.2009, http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2009:335:0001:0155:en:PDF (Status 16.03.2013). [4] Heep-Altiner, Kaya, Krenzlin, Welter: Interne Modelle nach Solvency II. Schritt für Schritt zum internen Modell in der Schadenversicherung. Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, 2010. [5] Hirschman, Albert Otto: The Paternity of an Index, in: The American Economic Review, Nr. 5, S. 761 ff., 1964. [6] Heep-Altiner: Ein vereinfachtes Modell zur Ermittlung der Einperiodenvolatilität einer Reserve. Der Aktuar, Heft 2, Juni 2008. - 32 - Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Cash Flow – Brutto Schadenreserve. ................................................................................. 3 Abbildung 2: Eigenkapitalallokation – Brutto Schadenreserve.......................................................... 4 Abbildung 3: Kapitalkosten – Brutto Schadenreserve. .......................................................................... 4 Abbildung 4: Fair Value Berechnung – Netto Schadenreserve. ......................................................... 5 Abbildung 5: Kapitalkostenbelastung – 10 Zessionäre. ........................................................................ 9 Abbildung 6: Kapitalkostenbelastung – 20 Zessionäre. ........................................................................ 9 Abbildung 7: Auszug aus der Event Loss Tabelle. .................................................................................12 Abbildung 8: Gezogene Nat Cat Events. ...................................................................................................13 Abbildung 9: Gezogene Eventhöhen. ........................................................................................................13 Abbildung 10: Auswirkung eines Kumulschadenexzedenten. .........................................................14 Abbildung 11: Simulationsergebnisse – Schadenaufwand ohne Bonitätsabschlag................17 Abbildung 12: Simulationsergebnisse – Maxima für Brutto & Netto Schadenaufwand. ........18 Abbildung 13: Simulationsergebnisse – Schadenaufwand mit Bonitätsabschlag. ..................19 Abbildung 14: Simulationsergebnisse – Maxima für den Bonitätsabschlag. ..............................19 Abbildung 15: Simulationsergebnisse – Quantile für die ausgewählten Szenarien. ...............20 Abbildung 16. Eigenkapitalbedarf – vor und nach Synergie. ...........................................................21 Abbildung 17: Fair Value Berechnungen – Brutto Cash Flows. ........................................................22 Abbildung 18: Fair Value Berechnungen – zedierte & Netto Cash Flows. ....................................22 Abbildung 19: Fair Value Berechnungen – Cash Flow des Rückversicherungsausfalls. .........23 Abbildung 20: Fair Value Berechnungen – CoC Brutto .......................................................................23 Abbildung 21: Fair Value Berechnungen – CoC Netto mit und ohne RV Ausfall. ......................24 Abbildung 22: Fair Value Berechnungen – Rückversicherungsergebnis......................................25 Abbildung 23: Häufigkeiten der modellierten Poisson Verteilung. ................................................26 Abbildung 24: Dichte und Verteilungsfunktion der modellierten Pareto Verteilung. ............27 Abbildung 25: Einzelsimulation – Brutto und Netto Schadenaufwand. .......................................27 Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am IVW Köln“. Alle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder hier abgerufen werden. Forschung am IVW Köln, 4/2014 Heep -Altiner, Hoos, Krahforst: Fair Value Bewertung von zedierten Reserven Köln, Juni 2014 ISSN (online) 2192 -8479 Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers -Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275 -3270 Fax +49 221 8275 -3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: P rof. Dr. Maria Heep-Altiner Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275 -3449 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected]