Fo schung am IVW Köln, 5/2015
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Momen e und cha ak e is ische
Funk ion des Ba we s eine
bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e
Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen
Ral Knobloch
Fo schung am IVW Köln, 5
/
2015 Wählen Sie ein Elemen aus.
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine
bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e. Anwendung bei
isikobeha e en Zahlungss ömen.
Zusammen assung
Eine wich ige F ages ellung in den Wi scha swissenscha en is die Bewe ung on Zahlungss ömen mi
dem Ba we . Sind diese Zahlungss öme mi Risiken beha e , so kann de Ba we als Zu alls a iable
in e p e ie we den. In de o liegenden A bei wi d de isikobeha e e Zahlungss om als bewe e e
inhomogene Ma ko -Ke e modellie . Als Haup e gebnis wi d eine Fo mel ü die cha ak e is ische
Funk ion bzw. die momen ene zeugende Funk ion de Zu alls a iablen „Ba we “ he gelei e . Dami is die
Ve eilung de Zu alls a iablen eindeu ig es geleg . In konk e en Fallbeispielen wi d gezeig , wie man mi
eine EDV- echnischen Umse zung de Fo mel den E wa ungswe , die Va ianz und die
S anda dabweichung de Zu alls a iablen „Ba we “ e mi eln kann.
Abs ac
An impo an ques ion in economics and business is o e alua e cash lows by he p esen alue. I he cash
lows a e no sa e he p esen alue can be in e p e ed as a andom a iable. In his pape , he unsa e cash
low will be modelled by a p iced inhomogeneous Ma ko -Chain. The main esul is a o mula o he
cha ac e is ic unc ion esp. he momen s gene a ing unc ion o he andom a iable “p esen alue”. The
cha ac e is ic unc ion de e mina es unambiguously he dis ibu ion o he andom a iable. In speci ic
case examples will be shown how o calcula e he expec ed alue, he a iance and he s anda d de ia ion
o he andom a iable “p esen alue” by an IT- echnical implemen a ion o he o mula.
Schlagwö e :
Ba we , cha ak e is ische Funk ion, Ma ko -Ke en, Pensions e siche ungsma hema ik
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2
2.DAS MODELL ............................................................................................................................................ 4
3.DER ERWARTUNGSWERT DES BARWERTS ............................................................................................. 6
4.DIE CHARAKTERISTISCHE FUNKTION DES BARWERTS......................................................................... 7
5.DIE MOMENTE DES BARWERTS ............................................................................................................ 10
6.FALLBEISPIEL 1: FORDERUNGSAUSFALL ............................................................................................ 12
7.FALLBEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ...................................................................... 15
8.FALLBEISPIEL 3: EINDIMENSIONALE RANDVERTEILUNGEN UND KORRELATIONEN ...................... 17
9.SCHLUSSBEMERKUNG ........................................................................................................................... 19
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 20
- 2 -
1. Einlei ung
In den Wi scha swissenscha en is de inanzma hema ische Ba we eines
Zahlungss oms ein zen ale Beg i . E bilde die G undlage ü iele ökonomische
En scheidungen und dien bei de (bilanziellen) Bewe ung un e schiedlichs e
Sach e hal e als Basis. Dabei dominie en in den Wi scha swissenscha en die
de e minis ischen Modelle. Da jedoch zukün ige Zahlungss öme in de Regel mi Risiken
beha e sind, e schein es sinn oll auch s ochas ische Modelle zu un e suchen. Dies üh
di ek dazu den Ba we nich als es e G öße, sonde n als Zu alls a iable zu e s ehen.
In [4] und [6] wi d ein Modell be ach e , bei dem sich ein isikobeha e e Zahlungss om
aus eine zug undeliegenden inhomogenen Ma ko -Ke e bzw. aus einem gedäch nis-
losen P ozess e gib . In beiden A ikeln wi d als Haup e gebnis eine Fo mel ü den
e wa e en Ba we he gelei e : in [4] bei jäh liche Zahlweise, in [6] bei un e jäh liche
Zahlweise. In [5] wi d die Anwendung au die be iebliche Al e s e so gung bzw. die
Pensions e siche ungsma hema ik nähe beleuch e . Das diesen A ikeln zug unde
liegende Modell wi d in de Li e a u als bewe e e Ma ko -Ke e bezeichne . Bewe e e
Ma ko -Ke en inden ih e Anwendungen in den un e schiedlichs en wi scha swissen-
scha lichen F ages ellungen ( gl. [10], S.45 ).
In de o liegenden A bei s ehen - neben dem E wa ungswe - die Ve eilung und die
(höhe en) Momen e, z.B. die Va ianz und die S anda dabweichung, de Zu alls a iablen
„Ba we “ im Mi elpunk des In e esses. Zu Da s ellung de Ve eilung eine
Zu alls a iablen gib es meh e e Möglichkei en. Übliche weise bes imm man die
Ve eilungs unk ion ode al e na i bei disk e en Zu alls a iablen die
Einzelwah scheinlichkei en bzw. bei s e igen Zu alls a iablen die Dich e unk ion. Diese
Ansä ze schei e n beim hie be ach e en Modell an dessen Komplexi ä .
Eine wei e e Möglichkei die Ve eilung eindeu ig da zus ellen e gib aus dem
Eindeu igkei ssa z ü cha ak e is ische Funk ionen: Fü eine eellwe ige Zu alls a iable
Bis die Ve eilung du ch die komplexwe ige Funk ion





IRx , BxiexpEx





eindeu ig es geleg ( gl. [2], S.92). Dabei is 1i  die imaginä e Einhei .
Im o liegenden A ikel wi d ü den Ba we eine bewe e en Ma ko -Ke e, d.h. ü den
Ba we eines isikobeha e en Zahlungss oms, eine geschlossene Fo mel ü die
cha ak e is ische Funk ion he gelei e .
Analog zu cha ak e is ischen Funk ion kann ü besch änk e Zu alls a iablen auch die
momen ene zeugende Funk ion





IRx , BxexpExm



- 3 -
bes imm we den. Die höhe en Momen e e geben sich du ch Ablei en diese Funk ion
( gl. [2], S.95). Se z man dies EDV- echnisch um, so können z.B. du ch zweimaliges
nume isches Ablei en die Va ianz und die S anda dabweichung e mi el we den.


- 4 -
2. Das Modell
Gegeben sei eine Ma ko -Ke e


,...2,1,0
Xmi dem endlichen Zus ands aum
}N,...,2,1,0{S . Dabei s eh de Zei punk ü den Beginn des )1 ( - en Jah es bzw.
die Zu alls a iable
X ü den Zus and zu Beginn des )1 (

- en Jah es, ,...2,1,0 . Die
Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk 1

zum Zei punk seien gegeben
du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix


}N,...,1,0{k,j
jk ) (q) (Q 

,
d.h.
,...2,1 ,N,...,1,0k.j ),jX|kX(P:) (q 1 jk



 
( gl. [4]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e abhängen, heiß die
Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [8], S.16 , ode [10], S.11).
Die Ve eilung de Zu alls a iablen
X, ,...2,1,0

, sei gegeben du ch den Zeilen ek o


N,...,2,1,0j
j, PP 
 , d.h.
N,...2,1,0j,P)jX(P j,



.
Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 0
P o gegeben is und alle Wah scheinlich-
kei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung be echne we den.
Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [8], S.14)
e gib sich ü ,...2,1,0 



1s
0 )s(QPP
( gl. [4]).
Fü jeden Zei punk ,...2,1,0  sei die Höhe de Zahlung in Abhängigkei des
eingenommenen Zus ands du ch den Spal en ek o
L es leg :


,...2,1,0 ,LL N,...,2,1,0j
j,

.
Diese Spal en ek o wi d im Folgenden Leis ungs ek o genann . Es sei )x(abs de
Absolu be ag eine eellen Zahl x. Es wi d ü die Leis ungs ek o en olgende Bedingung
o ausgese z :






,...,N2,1,0j ,,...2,1,0 |)L(abs max:L j, .
- 5 -
Die Menge de Leis ungs ek o en wi d in de Li e a u auch Bewe ung de Ma ko -Ke e
genann .

,...2,1,0
X wi d dahe als bewe e e inhomogene Ma ko -Ke e bezeichne .
Bewe e e Ma ko -Ke en haben in den Wi scha swissenscha en eine Vielzahl on
Anwendungen. Beispielsweise we den sie bei Lage hal ungsmodellen eingese z , dabei
s eh die Bewe ung ü die mi de Lage hal ung e bundenen Kos en (Bes ell-, Lage -
und Fehlmengenkos en). In ande en ökonomischen Anwendungen modellie die
Bewe ung zus andsabhängige Gewinne ( gl. [10], S.45 ). Im o liegenden Modell s eh
die Bewe ung ü den isikobeha e en Zahlungss om.
Ausgehend on de besch iebenen Ma ko -Ke e is de Ba we des isikobeha e en
Zahlungss oms wie olg de inie :





0
N
0j j, jX
0L1 :B
Dabei sei de Diskon ie ungs ak o ü eine Pe iode de inie du ch 1
1

 und 0 
de zei lich kons an e Rechnungszins p o Jah . Wg.


L und 1 0 

kon e gie die
Reihe 0
B absolu ( gl. [4]). Da aus olg die Kon e genz de Reihe 0
B ( gl. [1], S.40 ). De
Ba we 0
B is somi eine eellwe ige Zu alls a iable.
P ak ische Anwendungen we den i.d.R. ü einen endlichen Zei aum modellie . Dahe is
es sinn oll den Zahlungss om au einen endlichen Zei aum zu besch änken und die
Zu alls a iable ü 0
INn wie olg zu modi izie en:



 n
0
N
0j j, jX
n
0L1 :B .
Bei einem endlichen Zei aum kann au die Bedingung


L e zich e we den. Fe ne is
ü den jäh lichen Rechnungszins 0

zugelassen.

- 6 -
3. De E wa ungswe des Ba we s
Fü den E wa ungswe de Zu alls a iablen „Ba we “ wu de in [4] olgende Sa z
bewiesen:
Sa z 1: 



0s s
s
1
0
s
0L) (QP )B(E
Im Spezial all eine homogenen Ma ko -Ke e, d.h. alls gil ,...2,1 ,Q) (Q 

, e gib sich




0s s
s
0
s
0LQP )B(E .
Fü die Zu alls a iable n
0
B e häl man


 n
0s s
s
1
0
sn
0L) (QP )B(E .

- 7 -
4. Die cha ak e is ische Funk ion des Ba we s
Es sei 0
INn. Gemäß Eindeu igkei ssa z is die Ve eilung de eellwe igen
Zu alls a iable n
0
B du ch die (komplexwe ige) cha ak e is ische Funk ion





IRx , BxiexpEx n
o
eindeu ig es geleg ( gl. [2], S.92). Dabei is 1i  die imaginä e Einhei .
Zu Fo mulie ung des Haup sa zes we den die olgenden (N+1)x(N+1)-Diagonalma izen
de inie :


























N,
1,
0,
L xiexp
0
0L xiexp
L xiexp
:)x, (V

,2,1,0  und IRx.
Haup sa z:



IRx , )x, (V) (Q)x,0(VPBxiexpEx
j
N
0j
n
1
0
n
0







 

En scheidend ü den Beweis diese Aussage is das olgende elemen a e E gebnis de
Ma izen echnung.
Hil ssa z:
Es seien gegeben die (N+1)x(N+1)-Ma izen


}N,...,1,0{k,j
jk ) (a) (A 

, ,3,2,1  und de
Vek o

N21 zzzz .
Fü INn gil : 









N
0l,,l,l
n
1 lll
l
n
1 1n10
k1k0
n
) (az) (Az

.
Beweis: Induk ion nachn
- 14 -
den Wah scheinlichkei en 54321 q,q,q,q,q und de Fes legung 0:q0 we den die
Übe gangsma izen ü 5,4,3,2,1k  du ch
1k
k
1,1
1k
1kk
0,1
1,0
0,0
q1
q1
:)k(q
q1
qq
:)k(q
0:)k(q
1:)k(q











de inie .
Die EDV- echnische Umse zung de Fo mel aus Sa z 2 in Ve bindung mi den nume ischen
Ablei ungen
2
x
2)x(m)x(m
)0(m
x2
)x(m)x(m
)0(m







(0x  hin eichend klein) lie e die olgenden (ge unde en) E gebnisse:
x


5
0
BE


5
0
BVa
0,0001 444,66 4.308,86
0,00001 444,50 4.309,25
0,000001 444,50 4.310,26
0,0000001 444,50 4.310,26
0,00000001 444,50 4.310,71
0,000000001 444,50 4.700,40
Wähl man x im Be eich on 5
10 und 7
10, so e häl man (bis au Rundung) in diesem
Beispiel die E gebnisse de exak en Be echnung. Ve wende man zu Nähe ung ande e
We e ü x, so kann es du ch nume ische E ek e zu g öße en Ungenauigkei en kommen.
Dabei is zu beach en, dass de sinn olle Be eich ü x on de G ößeno dnung de
Zahlungen, dem zug undeliegenden Zei aum und dem jäh lichen Rechnungszins
abhäng .


- 15 -
7. Fallbeispiel 2: Be iebliche Al e s e so gung
In Deu schland basie die Bewe ung on Ve p lich ungen aus be iebliche
Al e s e so gung übliche weise au dem Rich a el-Modell on Klaus Heubeck. Dieses
Modell sieh ü jeden A bei nehme bzw. Ren ne meh e e Zus ände o . So kann eine
Pe son ak i , ausgeschieden ode in alide sein ode sie bezieh als Al e s-, In aliden- ode
Hin e bliebenen en ne eine lau ende Ren e. Das Rich a el-Modell en häl zu Bewe ung
zum einen ein Fo melwe k und zum ande en biome ische Rechnungsg undlagen ü den
Übe gang zwischen den Zus änden. Le z e e sind als eine sogenann e Gene a ionen a el
gegeben, d.h. die Wah scheinlichkei en hängen nich nu om Geschlech und om Al e
ab, sonde n auch om Gebu sjah gang. Mi dem Rich a el-Modell können u.a.
Bewe ungs ak o en ü eine jäh lich o schüssige Zahlung de Höhe 1e mi el we den
( gl. [3]).
Die be iebliche Al e s e so gung kann abe auch als eine bewe e e inhomogene Ma ko -
Ke e modellie we den. Dabei we den die biome ischen Rechnungsg undlagen des
Rich a eln-Modells als Übe gangswah scheinlichkei en e wende ( gl. [5]). Se z man
dies EDV- echnisch um, so kann man mi hil e de Fo mel aus Sa z 2 und den nume ischen
Ablei ungen den E wa ungswe , die Va ianz und die S anda dabweichung de
Zu alls a iablen „Ba we de Ve p lich ungen“ e mi eln. Ve gleich man die o.g.
Bewe ungs ak o en gemäß Rich a el-Modell und die E wa ungswe e zum „Ba we de
Ve p lich ungen“, so zeigen sich lediglich minimale Abweichungen. Diese sind du ch
Rundungen und echen echnische E ek e beim numme ischen Ablei en e u sach .
Im Folgenden wi d anhand eines konk e en Pe sonenbes ands die Bewe ung gemäß
Rich a el-Modell und die Be echnung de Momen e au Basis eine bewe e en
inhomogenen Ma ko -Ke e e glichen. De Ein achhei halbe wi d ein eine
Ren ne bes and be ach e , in dem zum S ich ag (31.12.2013) alle Al e s -und
In aliden en ne eine jäh lich o schüssige Ren e in Höhe on 1.200 € und alle Wi we -
/Wi wen en ne eine jäh lich o schüssige Ren e in Höhe on 720 € beziehen. Die Al e s-
und In aliden en ne haben eine Anwa scha au Wi wen-/Wi we en e in Höhe on 60%
de eigenen Ren e. De Bes and se z sich wie olg zusammen::
 100 männlichen Ren ne : 20 In aliden en en, 75 Al e s en en, 5 Wi we en en
 81 weibliche Ren ne : 5 In aliden en en, 20 Al e s en en, 56 Wi wen en en
Wie bei be ieblichen Ve so gungswe ken üblich wi d jede Pe son einzeln bewe e , d.h.
ü jede Pe son we den de E wa ungswe und die Va ianz de Zu alls a iable „Ba we
de Ve p lich ungen“ e mi el . Den E wa ungswe und die Va ianz ü den Bes and e häl
man du ch Addi ion de Einzelwe e, die S anda dabweichung als Wu zel aus de Va ianz.
Dass sich de E wa ungswe ü den Bes and du ch Addi ion e gib , beg ünde sich mi
de Linea i ä des E wa ungswe es. Dass sich die Va ianz ü den Bes and als Summe de
Va ianzen be echne , se z die s ochas ische Unabhängigkei de pe sonenbezogenen
Ba we e o aus. Le z e es is de Fall, wenn die biome ischen E eignisse de einzelnen
- 16 -
Pe sonen s ochas isch unabhängig sind.1 Zu E mi lung de nume ischen Ablei ungen
wi d die Va iable de momen ene zeugenden Funk ion mi
6
10x

angese z .
Die Bewe ung e olg zum S ich ag 31.12.2013 un e Be ücksich igung eine jäh lichen
Dynamik in Höhe on 1,5% sowie eines jäh lichen Rechnungszinses in Höhe on 3,0%. Als
biome ische Rechnungsg undlagen we den die Wah scheinlichkei en de Rich a eln
angese z . Die E gebnisse de üblichen Bewe ung gemäß Rich a el-Modell und die
E gebnisse au Basis eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke en sind in de olgenden
Tabelle zusammenge ass . Fe ne en häl die Tabelle zum Ve gleich die Resul a e eine
Mon e-Ca lo-Simula ion mi 100 Simula ionsläu en.
Me hode/Modell Bewe ung/
E wa ungswe
Va ianz S anda dabweichung
Rich a el-Modell 2.546.124
Bewe e e
inhomogene
Ma ko -Ke e
2.546.037 5.410.171.495 73.554
Mon e-Ca lo-
Simula ion
2.555.959 5.240.631.196 72.293
Somi s immen in diesem Beispiel die Bewe ung gemäß Rich a el-Modell und de
E wa ungswe au Basis eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e bis au eine
Abweichung im P omillebe eich übe ein. Zusä zlich lie e die Modellie ung mi eine
bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e die Va ianz und die S anda dabweichung (in
Höhe on ca. 2,9% des E wa ungswe es). Die E gebnisse au Basis eine bewe e en
inhomogenen Ma ko -Ke e passen im Wesen lichen zu den E gebnissen de Mon e-Ca lo-
Simula ion. Die Abweichungen sind du ch die ela i ge inge Anzahl on Simula ions-
läu en (100) und e en uell du ch die Quali ä des zug unde liegenden Zu allsgene a o s
e u sach .



1Al e na i kanndiemomen ene zeugendeFunk iondesBes andesdu chMul iplika ionde pe sonen‐
bezogenenmomen ene zeugendenFunk ionenbe echne undanschließenddasP oduk ande S ellex=0
abgelei e we den.DieseVo gehensweisese z eben allsdies ochas ischeUnabhängigkei de 
pe sonenbezogenenBa we e o aus.
- 17 -
8. Fallbeispiel 3: Eindimensionale Rand e eilungen und
Ko ela ionen
In de P axis in e essie man sich bei isikobeha e en Zahlungss ömen o mals ü die
Chancen und Risiken in einem einzelnen Jah , d.h. man analysie die Ve eilung de
en sp echenden Zahlung. Auch ü diese Zu alls a iable e gib sich die cha ak e is ische
Funk ion wie olg au Basis des Haup sa zes.
Es seien INk,n  mi nk0  . Es



 N
0j j,kjXk L1:Y k die om Zus and de
inhomogenen Ma ko -Ke e zum Zei punk k abhängige - sp ich zu ällige - Zahlung. Man
wähl nun
(1) 0L j,  ü alle N,,1,0j , n,,1,0 

, k

(2) 0  bzw. 1
1
1



Somi gil ü den im Haup sa z be ach e en zu älligen Ba we

k
n
0
N
0j j, jX
sn
0YL1 B  

.
D.h. die zu älligen Zahlung im k- en Jah kann als Ba we eine bewe e en Ma ko -Ke e
da ges ell we den. Wg. (1) gil
E)x, (V  ü alle n,,1,0 

, k

, IRx

(E= Einhei sma ix). Aus dem Haup sa z e gib sich:
  


IRx , ) (Q)x,k(V) (QP
)x, (V) (Q)x,0(VPBxiexpEYxiexpE:x
j
N
0j
n
1k
k
1
0
j
N
0j
n
1
0
n
0kk






















Dabei is zu beach en, dass de jäh liche Rechnungszins mi 0 angese z wi d ( gl. (2)).
Ve s eh man un e


n,,,1,0k
k
Y einen s ochas ischen P ozess, so sind du ch die
zugehö igen cha ak e is ischen Funk ionen



n,,,1,0k
k

dessen eindimensionale Rand-
e eilungen eindeu ig es geleg .
Analog zu cha ak e is ischen Funk ion e häl man ü die momen ene zeugende Funk ion
  
IRx , ) (Q)x,k(U) (QPYxexpE:xm
j
N
0j
n
1k
k
1
0kk 







 

.
- 18 -
Somi können de E wa ungswe , die Va ianz, die S anda dabweichung on k
Y du ch die
EDV- echnische Umse zung de Fo mel und die nume ischen Ablei ungen bes imm
we den.
Neben de Analyse de eindimensionalen Rand e eilungen bes eh auch die Möglichkei
den Ko ela ionskoe izien en  zweie Zahlungen k
Y und l
Y, nlk0  , mi
olgenden Sch i en zu bes immen:
1. E mi lung on

k
YVa und


l
YVa wie oben besch ieben.
2. Analog zu den obigen Aus üh ungen gil :

IRx , ) (Q)x,l(U) (Q)x,k(U) (QPYYxexpE
j
N
0j
n
1l
l
1k
k
1
0lk 







 

.
3. E mi lung on

lk YYVa  du ch die EDV- echnische Umse zung und die
nume ische Ablei ung de Fo mel.
4. E mi lung des Ko ela ionskoe izien en

du ch Einse zen und Um o men de
Gleichung





 lklklk YVa YVa 2YVa YVa YYVa .

- 19 -
9. Schlussbeme kung
Das in diesem A ikel e wende e Modell basie au eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e und dami e bunden au einem isikobeha e en Zahlungss om. Im
Haup sa z wu de mi hil e de Ma izen echnung eine Fo mel ü die cha ak e is ische
Funk ion de Zu alls a iable „Ba we des Zahlungss oms“ he gelei e . Dami is die
Ve eilung diese Zu alls a iablen eindeu ig es geleg . Geh man on de komplex-
we igen cha ak e is ischen Funk ion zu eellwe igen momen ene zeugenden Funk ion
übe und se z man die au de Ma izen echnung basie ende Fo mel EDV- echnisch um,
so kann man mi hil e de nume ischen Ablei ung die Momen e, z.B. den E wa ungswe ,
die Va ianz und die S anda dabweichung, e mi eln.
In den d ei Fallbeispielen wi d ausge üh , wie man diese Vo gehensweise in de P axis bei
ganz konk e en F ages ellungen nu zen kann. Dabei wi d in den Beispielen eine jäh liche
Be ach ungsweise bzw. Zahlweise zug unde geleg . In de P axis abe sind iele
Sach e hal e au eine un e jäh liche Zahlweise (z.B. mona lich ode qua alsweise)
abges ell . In [6] und [7] wi d die Ve allgemeine ung ü den E wa ungswe bei
un e jäh liche Zahlweise ausge üh . Es zeig sich, dass es ganz en scheidend is , wie man
den Jah eszins und die Wah scheinlichkei en un e jäh lich e eil . Als ein achs es Modell
wi d dabei eine linea e Ve eilung behandel .
Es s ell sich nun die F age, welche Auswi kungen eine un e jäh liche Zahlweise au die
cha ak e is ische Funk ion de Zu alls a iable „Ba we “ ha . Kann diese wei e hin mi de
Ma izen echnung be echne we den? Können mi hil e eine EDV- echnischen Umse zung
aus de momen ene zeugenden Funk ion auch bei un e jäh liche Zahlweise de
E wa ungswe , die Va ianz und die S anda dabweichung e mi el we den? Und zu gu e
Le z : Wie e häl es sich mi dem In a ianzsa z, de in de Pensions e siche ungs-
ma hema ik eine wich ige Rolle spiel ( gl. [6], [9])?

- 20 -
Li e a u e zeichnis
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01. Mä z 2015).
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Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e
on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In: Fo schung
am IVW Köln, Band 6/2012, Köln 2012, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204 (S and 01. Mä z
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Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am IVW Köln“. Alle
Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode hie abge u en we den.
Fo schung am IVW Köln, 5/2015
Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen.
Köln, Mä z 2015
ISSN (online) 2192-8479
He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship:
P o . D . Lu z Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
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Ins i u e o Insu ance S udies
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Facul y o Business, Economics and Law
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Zule z e schienen im Rahmen on „Fo schung am IVW Köln“
2015
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gene ic algo i hm, N . 3/2015
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 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014, N . 1/2015
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 Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we , N . 9/2014
 Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen
am Beispiel eines ik i en S o nobes andes, N . 8/2014
 G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-
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 Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man
Made Risiken, Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am
13.06.2014 in Köln, N . 6/2014
 Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6.
Dezembe 2013 in Köln, N . 5/2014
 Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en, N . 4/2014
 Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu
Rück e siche ungsop imie ung, N . 3/2014
 Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu?, N .
2/2014
 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013, N . 1/2014
 Maie , Schimikowski: P oceedings zum 6. Diskussions o um Ve siche ungs ech am 25.
Sep embe 2012 an de FH Köln, N . 2/2013
 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2012, N . 1/2013