To'g'ri to'rtburchak shaklidagi plastinka egilishini kompyuterli modellashtirish

130 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ To’g’ri to’rtburchak shaklidagi plastinka egilishini kompyuterli modellashtirish Nаrkulоv Akram Sidikovich, Texnika fanlari falsafa doktori, Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Samarqand filiali dotsenti [email protected] Annotatsiya. Ushbu maqolada to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi plastinkaning tashqi kuch ta’sirida egilish jarayoni nazariy va amaliy jihatdan o‘rganildi. Deformatsiyalanish jarayoni elastiklik nazariyasi, o’zgarmas qalinlikdagi to’g’ri burchakli yupqa plastinka shaklidagi konstruktiv element tashkil qiladi. Statik yuklama ta’siridagi plastinkaning egilish kattaligi, egilish burchagi va ichki kuchlanishlarning taqsimlanishi analitik va grafik usulda ifodalandi. Olingan natijalar mexanik konstruksiyalarni loyihalashda, qurilish va mashinasozlik sohalarida optimal shakl va material tanlashda amaliy ahamiyatga ega. Kalit so’zlar: Plastinka egilishi, to‘g‘ri to‘rtburchak plastinka, deformatsiya, egilish nazariyasi, kuchlanish tahlili. Kirish. Mexanik tizimlarning ishonchliligi va mustahkamligi ko‘p jihatdan ularning yuklama ta’siriga nisbatan bardoshliligiga bog‘liq. Shu nuqtai nazardan, turli shakldagi plastinkalarning egilish jarayonini o‘rganish mashinasozlik, qurilish konstruksiyalari, aerokosmik muhandislik va boshqa ko‘plab sohalarda muhim ahamiyatga ega. Ayniqsa, to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi plastinkalar amaliyotda eng ko‘p uchraydigan konstruktiv elementlardan biri hisoblanadi. Plastinkalarning egilish holatini aniqlashda yuklamaning turi, chegaraviy mustahkamlash sharoiti, materialning elastiklik moduli va qalinligi kabi omillar hal qiluvchi ahamiyat kasb etadi. Mazkur maqolada to‘g‘ri to‘rtburchak plastinkaning markaziy qismiga qo‘llangan statik kuch ta’sirida deformatsiyalanish jarayoni nazariy jihatdan tahlil qilinadi va egilish kattaliklari hisoblanadi. Shuningdek, olingan natijalar asosida konstruksiyalarni optimal loyihalash bo‘yicha tavsiyalar ishlab chiqiladi. Аdаbiyotlаr tаhlili vа metodologiyа. Agar plastinka to’g’ri to’rtburchak shaklida bo’lsa har bir tomonda kuchlanishlar funktsiyasi va egilish funktsiyasi har biri uchun chegaraviy shartlar qanoatlantirilishi kerak ya’ni har bir tomon uchun 2 ta chegaraviy shart beriladi. Plastinka egilishini o’rganishda ko’chish va deformasiyalarni ifodalashdan boshlaymiz. Plastinka o’rta sirti normali bo’yicha qo’yilgan yuklanishlar ta’sirini qaraymiz. Bunday kuchllanish ta’sirida plastinka ko’chishlarini qabul qilingan gipotezalar bo’yicha ifodalaymiz. Birinchi gipotezadan (2) shartga ko’ra; 0=   =z w z  (1) Bundan plastinka egilishlari zw, kordinatadan bog’liq emasligi kelib chiqadi, ya’ni; ),( yxww = Bu esa plastinka o’rta sirti egilishi hamma nuqtalari vertikal ko’shishlar w bilan ifodalanishini bildiradi. Siljsh uchun (1) shartlarni quyidagicha olamiz; ;0=   +   =y w z v yz  ;0=   +   =z u x w zx  (2) bu sartlardan quyidagilarni olamiz: . x w z u   −=   ; y w z v   −=   Bu tenglamalarni z bo’yicha integrallasab, quyidagilarni olamiz, 131 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ );,( 1yxf x w zu +   −= );,( 2yxf y w zv +   −= (3) ),( 1yxf va ),( 2yxf xususiy hosilalarni integrallashdan hosil bo’lgan funksiyalarni topish uchun o’ta sirtning deformasiyalanmaslik gipotezasidan foydalanamiz. 0 00 == vu shartga ko’ra (3) formula z=0 uchun; da quyidagi ko’rinishni oladi: ;0),( 10 == yxfu ;0),( 20 == yxfv (4) bunga ko’ra (a) quyidagi ko’rinishni oladi: ; x w zu   −= . y w zv   −= (5) Bu esa plastinka nuqalarining x va y o’qi yonalishida ko’chishlari, plastinka orta sirti egilishi funksiyasi orqali ifodalanishini bildiradi. Plastinkani noldan farqli deformasiyalari (4) ga ko’ra quyidagicha ifodalanadi: ; 2 2 x w z x u x  −=   =  ; 2 2 y w z y v y  −=   =  (6) yx w z x v y u xy   −=   +   =2 2  Demak, plastinka o’rta sirti egilishida deformasiyalar va ko’chishlar bitta funksiya bilan ifodalanadi. Plastinkalarnig tebranma harakat nazariyasi sterjenlarning tebranma harakat nazriyasiga qaraganda birmuncha murakkabdir. Plastinkalar ikki o’lchamli mexanik sistemadan iborat bo’lganidan, bunday sistemada tebranish harakati murakkab qonun bilan o’zgaradi. Bundan tashqari, chiziqli sistemadagi kuchlanishlarni qaraganda, tekis kuchlanish holatining birmuncha murakkabligi bizga ma’lumdir [1; 82–90б.]. Masalan, sterjenlar uchun ko’ndalang deformasiyani e’tiborga olmaslik mumkin bo’lgan holda, plastinkalar uchun bu deformasiyani hisobga olish zarurdir. Plastinkalarning erkin tebranma harakatini chiqarishda, uning muvozanat tenglamasini chiqarganda qabul qilingan gipotezalardan foydalanamiz. Shuning uchun ham plastinkalarning ko’ndalang tebranishlarinigina tekshiramiz. Chetlari ixtiyoriy ravishda tiralgan plastinka, qandaydir impuls ta’sirida erkin tebranma harakat qiladi deb, faraz qilaylik. Bu impuls, plastinka zarralariga, uning deformasiyalanmagan o’rta sirtiga tik yo’nalishdagi ko’chish va tezlikni bersin. Plastinkadan asosi dx dy bo’lgan bir elementni ajratib, Dalamber prinsipidan foydalanib, harakat tenglamasini tuzamiz. Oldin qabul qilingan ishoralarni qoldirsak, plastinka materiali zichligi  deb, egilishni ),,( tyxW desak, quyidagi harakat tenglamasini tuzgan bo’lamiz: . 2 2 t W h y Q x Qy x   =   +    (7) Yuqoridagilar ko’zda tutilsa, bu tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi: .0 4 2 2=+  W Ph D t W (8) Bunda: )1(12 2 3  − =Eh D silindrik bikrlik va Laplas operatori W 4  ning qiymati quyidagicha ifodalanadi: 4 4 22 4 2 4 42y w yx w x w W  +   +   = bizga ma’lum edi. Egilish W chegara shartlari bilan, boshlang’ich shartni qanoatlantirishi zarur. Masalan: 0=t bo’lganda ( ) yxWW , 0 = va ( ) txV t w, 0 =   (9) 132 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ bo’lishi kerak. Bunda 0 W - harakat boshlanish oldidan koordinatalari (x,y) bo’lgan nuqtaning egilishi, 0 V –shu nuqtaning tezligi [3]. Plastinkaning erkin tebranishiga oid masalani yechishdan maqsad uning har qanday nuqtasi uchun har bir ondagi plastinkaning xususiy tebranish chastotasi va unga tegishli tebranish formasini aniqlashdan iboratdir, chunki bularni aniqlamasdan turib o’zgaruvchi dinamik yuk ta’sirida plastinkada hosil bo’ladigan dinamik kuchlanishi hisoblab bo’lmaydi. Plastinkaning tebranma harakatini quyidagicha ifodalaymiz: ( ) ( ) yxWptBptAW ,sincos += (10) Bunda T p  2 = plastinkaning xususiy tebranma harakat chastotasi. Buni (2) ga qo’yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: 0 24 =− D hSW pW (11) Bu tenglamaning qo’yilgan masala uchun tegishli chegara shartini qanoatlantiruvchi yechimini topamiz[6; 52–62-б.]. ( ) yxW , ning chegara sharti statik masala uchun chiqarilgan shartlardan hech narsa bilan farq qilmaydi. Shuni ham eslatib o’tish kerakki, plastinkaning erkin tebranishiga oid masalalardan faqat, konturi bilan erkin tiralgan to’g’ri to’rt burchakli plastinka uchungina masala oxirigacha to’la yechilgandir. Shu masalani keltiramiz. Koordinata o’qlarini plastinka konturi bo’ylab yo’naltirib shu plastinkaning yon tomonlarini a va b bilan belgilaymiz. ( ) yxW , funksiya biz tekshirayotgan holda quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1-rasm. Koordinata o’qlarini plastinka konturi bo’ylab yo’naltirilgan. axvax== 0 bo’lganda ,0=W 0 2 2 2 2=   +   y W x W (12) va byy == ,0 bo’lganda 2 2 2 2 ,0 x W y W W  +   = To’g’ri burchakli plastinkaning to’rtta tomoni ham sharnirli mahkamlangan bo’lsin. U holda plastinka egilishi tenglamasi ),(2 4 4 22 4 4 4yxq y w yx w x w D=           +   +   , (13) bu yerda )1(12 2 3  − =Eh D . (7) tenglamaning yechimini quyidagi ko’rinishdagi ikki karrali trigonometrik qator yordamida izlaymiz, b ym a xn wyxw n m nm   sinsin),( 1 1   =  = = , (14) bu yerda nm w - sonli koeffisiyent. Chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi. a) x=0 va x=a chiziqda, ,0=w 0 2 2=   x w ; 133 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ b) y=0 va y=b chiziqda, ,0=w 0 2 2=   y w . Tashqi yuklanish ),( yxq ni ko’rinishini quyidagi ikki karrali trigonometrik qator ko’rinishida tasvirlaymiz. b ym a xn qyxq n m nm   sinsin),( 1 1   =  = = (15) Bu qatorning koeffisentlari bizga ma’lum bo’lgan Furye qatorlari nazariyasidan kelib chiqib quyidagi formuladan topiladi. dxdy b ym a xn yxq ав q b a nm   sinsin),( 4 0 0  = . (16) (14) va (15) ni (13) ga qo’ysak va har ikkala tomonini b ym a xn   sinsin ga qisqartirib quydagiga kelamiz. D q w b m ab nm a nnm nm =        ++ 4 4 22 22 4 4 42  , (17) bundan 2 2 2 2 2 4       + = b m a n D q wnm nm  , (18) u holda kichik burilish deformasiyalari esa, (8) ifodaga ko’ra quyidagicha topiladi. Ko’ndalang kuchlarni hisoblashda quyidagi ifodalarga kelamiz: ;sincos )( 16 1 1 2 2 2 2 223 43 b ym a xn b m a n bam bqa y M x M Q n m xy x x     =  =       + + =   +   = .cossin )( 16 1 1 2 2 2 2 223 34 b ym a xn b m a n ban bqa x M y M Q n m xyy y     =  =       + + =   +   = Natijalar. Quyidagi to’g’ri burchakli tomonlari sharnirli mahkamlangan po’lat plastinkaga )1)(1(),( yxyxq −−= ko’rinishda yuk ta’sir etadi, plastinka o’lchamlari 2 1 , 2 1== ba bo’lganda, plastinka o’rta sirti uchun ko’chishlar, deformasiyalar zo’riqish kuchlari, momentlar va ko’ndalang kuchlar ifodasini topamiz. Masalada (8) ko’chishlar ifodasini topish uchun (18) ifodadan nm q ni topish kerak, buning uchun (4) ga ko’ra =−−= =−−=   dy b ym ydx a xn x ав dxdy b ym a xn yx ав q ba b a nm   sin)1(sin)1( 4 sinsin)1)(1( 4 00 0 0 ( ) ( ) .)1(1)1()1(1)1( 422      −+−−−      −+−−−= nnnn m b m b n a n a ab  Agar m va n lar juft bo’lsa, . 4 2  nm ab qmn = Agar m va n lar toq bo’lsa, . )2)(2(4 222  mn ba qmn −− = Masala shartiga ko’ra 2 1 , 2 1== ba ga teng bunga ko’ra . 9 2  = mn q (12) formuladan D wnm 6 64 9  = . Ko’chish funksiyasi n=1 va m=1 da (3.14) ga ko’ra quyidagi ko’rinishda bo’ladi: Ko’ndalang kuchlarni hisoblashda quyidagi ifodalardan foydalanamiz: yxсоs y M x M Qxy x x   2sin2 4 9 3 =   +   = ; 134 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ yx x M y M Qxyy y   2cos2sin 4 9 3 =   +   = . Qx funksiyaning grafigi quyidagicha: 2-rasm. Ko’ndalang kuch Qx funksiyasi grafigi Xulosa.Tadqiqot natijalariga ko‘ra, to‘g‘ri to‘rtburchak plastinkaning egilish kattaligi yuklama hajmi va plastinka qalinligiga bevosita bog‘liqligi aniqlandi. Chegaraviy mustahkamlash turi deformatsiya darajasiga sezilarli ta’sir ko‘rsatishi kuzatildi: to‘liq qotirilgan holatda egilish minimal bo‘lsa, sharnirli mahkamlashda egilish qiymati biroz ortishi qayd etildi. Analitik tahlil natijalari konstruktiv elementlarning ishonchliligini ta’minlashda qalinlik va material tanlovining muhimligini ko‘rsatdi. Foydalanilgan adabiyotlar 1. M.Raxmatov, R.Indiaminov, Yupqa plastinkalarning egilishi nazariyasi. Samarqand. 2000y. 2. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. - Москва: Высшая школа, 1982. - 264 с. 3. Ржаницын А. Р. Строительная механика. - Москва: Bысшая школа, 1991. 439 c. 5. Xolmurodov R.I., Xudoynazarov X. X. Elastiklik nazariyasi. I, II qismlar. Fan. 2003. 6. K.Ismayilov, A.A. Suleymanov, S.K. Toshev. Plastinkalar nazariyasi: O`quv qo`llanma. Potsdam (Germany). Lambyert Academik Publishing, 2020, 169-b. 7. A. Ambartsumyan, G.E. Bagdasaryan and M.V. Belubekyan, Magnetoelasticity of Thin Shells and Plates [in Russian], (Nauka, Moscow, 1977).