IKKI PARAMETRLI SINGULYAR QO'ZG'ATILGAN CHEGARAVIY QIYMAT MUAMMOSINI SPEKTRAL-TO'R METODI ORQALI SONLI MODELLASHTIRISH

188 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ IKKI PARAMETRLI SINGULYAR QO‘ZG‘ATILGAN CHEGARAVIY QIYMAT MUAMMOSINI SPEKTRAL-TO‘R METODI ORQALI SONLI MODELLASHTIRISH Normurodov Chori Begaliyevich, f.m.f.d professor, Termiz davlat universiteti, O‘zbekiston, [email protected] Murodov Sardorbek Komil o‘g‘li, doktarant, Termiz davlat universiteti, O‘zbekiston, [email protected] Annotatsiya. Ikki parametrli singuylar qo‘zg‘atilgan chegaraviy masalaning yechimlari odatda ikkita chegaraviy qatlamlarni o‘z ichiga oladi. Ushbu qatlamlarning mavjudligi sababli oddiy sonli usullar bu ko‘rinishdagi masalalar uchun samarasiz hisoblanadi. Ushbu maqolada mazkur ko‘rinishdagi masalalarni sonli yechish uchun spektral-to‘r usuli taklif etiladi. Taklif etilayotgan ishda, spektralto‘r usuli yordamida ikki parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan tenglama uchun differensial masala algebraik masalaga keltirildi. O‘tkazilgan sonli hisoblashlar va olingan natijalar boshqa mualliflar natijalari bilan taqqoslandi. Taklif etilyotgan usulning universalligi, yoqori aniqligi, samaradorligi ko‘rib chiqilyotgan masalani yechishda ko‘rsatildi. Kalit so‘zlar: spektral-to‘r usuli, ikki parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan tenglama, Chebyshev ko‘phadlari, Gradientlangan to‘rli B-splayn kollakatsiya metodi, maksimal absolyut xatolik Kirish Eng yuqori darajali hosilalari yonida kichik paramatr mavjud bo‘lgan differensial tenglamalar singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalar deyiladi. Ushbu ko‘rinishdagi masalalarning yechimlari bir qancha o‘ziga hos harakterlarga ega bo‘ladi. Ya’ni, yechim juda tez o‘zgaradigan chegara qatlamlariga va yechim silliq o‘zgaruvchi sohaga bo‘linadi. Klassik sonli usullar bunday o‘ziga hos hususiyatlarga ega bo‘lgan masalalarni yechishda samarali emasligi malum, chunki ular faqatgina o‘ta zich tarmoqlangan to‘r ishlatilgandagina yetarlicha samarali natija ko‘rsatadi. Ammo singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalarni yechishda barqarorlikni taminlash uchun bu kabi o‘ta zich to‘rlarning talab etilishi, ko‘pchilik klassik usullarda juda katta algebraik sistemalarga olib keladi. Natijada hisoblash harajatlari keskin oshadi. Shuning uchun bunday masalalarni samarali yechishda qatlamlarga moslashtirilgan to‘rlardan tashkil topgan maxsus metodlarni ishlab chiqish muhim vazifadir. Ushbu maqolada quyidagi masalani ko‘rib chiqamiz: ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ), 0 1Lu x u x a x u x b x u x f x x  = − + + =   (1) va u quyidagi chegaraviy shartlarga ega 01 (0) , (1) .uu  == (2) Bu yerda 0  va 1  berilgan sonlar, 0 , 1    ikki kichik parametrlar. ( ), ( )a x b x va ()fx yetarlicha silliq funksiyalar deb faraz qilinadi. Bu turdagi masalalar ikki kichik parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan chegaraviy qiymat masalasi deya nomlanadi. Ularning qo‘llanilish sohalari kimyo va biologiyada yuzaga keladigan moddalar, energiya va impulsning ko‘chish jarayonlari[1], gidrodinamik moylash nazariyasi[2], kimyoviy reaktorlar kinetikasi va dinamikasi nazariyasi[3] va boshqa ko‘plab sohalarda uchraydi. Agar 0  = bo‘lsa, (1)-(2) masala bitta parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan chegaraviy qiymat muammosining yaxshi o‘rganilgan reaksiya-diffuziya masalasiga qisqaradi. Agar 1  = bo‘lsa masala konveksiya-diffuziya masalasiga aylanadi. Bu ikki 189 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ maxsus masala uchun ularning sonli yechimlariga bag‘ishlangan juda ko‘plab tatqiqot ishlari mavjud. Masalan, 0  = bo‘lgan holatdagi reaksiya-diffuziya masalasi uchun[4-8] kabi, 1  = holatdagi konveksiyadiffuziya masalasi uchun [9-12] kabi ilmiy isharda bu mavzular yoritilgan. Biroq sof ikki parametrli holat, ya’ni 0 , 1    bo‘lganda, ularni sonli yechimini izlashga bag‘ishlangan maqolalar soni kam. Ularga misol tariqasida quyidagi ishlarni keltirish mumkin. Mualliflar [13] Shishkin-Baxvalov to‘rida yuqoriga yo‘naltirilgan farqlar metodini taklif etishgan va uni birinchi tartibli yaqinlashuvchi deb topishgan. Mualliflar [14] Shishkin to‘rida B-splayn kollakatsiya metodini ishlab chiqqan va bu metod ikkinchi tartibli yaqinlashishni ko‘rsatgan.Ritz-Galerkin metodida Kadalbajoo va hammualliflar metodning chegaraviy qatlamlarni yechishda samarali ekanligini ko‘rsatgan [15]. Maqola [16] da, mualliflar gradientlangan to‘rli B-splayn kollakatsiya metodini ishlab chiqishgan va kichik paramtrlar ,  va ko‘phadlar sonining turli qiymatlarida usulning samaradorligini ko‘rsatishga harakat qilishgan. Garchi, bu ko‘rinishdagi masalalarni yechish uchun yuqorida ko‘rsatib o‘tilgandek bir qancha metodlar ishlab chiqilgan bo‘lsada, chekli ko‘phadlar orqali yuqori aniqlikdagi yechimlarni taminlovchi sonli metodlarni ishlab chiqish o‘z dolzarbligini yo‘qotganini yo‘q. Shu sababli, ushbu maqolada ikki kichik parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalarni sonli hisoblash uchun spektral-to‘r metodini taklif etiladi. Taqdim etilayotgan ishda keltirilgan tajribaviy natijalar spektral to‘r metodining gradientlangan to‘rli B-splayn kollakatsiya metodidan ko‘ra bir necha barobar samari ekanligi ko‘rsatilgan. Masalani qo‘yilishi Yuqori tartibli hosilalari oldida kichik parametrlari bo‘lgan ikki parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamani ko‘rib chiqaylik: ''( ) '( ) ( ) cos( ), [0,1]u x u x u x x x    − + + =  (3) va u quyidagi chegaraviy shartlarga ega bo‘lsin: (0) (1) 0uu== (4) Bu yerda  va  - kichik parametrlardir. (3) – (4) differensial tenglamani sonli modellashtirish uchun basis funksiya sifatida birinchi tur Chebyshev ko‘phadlari ishtatilgan spektral-to‘r metodidan foydalanamiz. Odatda, har qanday sonli metodning yaqinlashishi va aniqlik darajasini tekshirish uchun sinov funksiyasi usulidan foydalaniladi[17]. Ushbu yondashuvga ko‘ra, (4) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy () e ux funksiya tanlanadi. Uni (3) tenglamaga qo‘yish orqali o‘ng tomon ()fx funksiya aniqlanadi. Ko‘rilayotgan masala spektralto‘r metodi yordamida yechiladi hamda natijaviy taqribiy yechim tanlab olingan sinov funksiyasi bilan taqqoslanadi. Ko‘rib chiqilyotgan masalani tahlil qilishda sinov funksiyasi sifatida (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi quyidagi funksiya tanlandi: 1 1 2 (1 ) 1 2 3 2 3 4 ( ) cos( ) sin( ) sin( ) x x x u x a x a x a e a x a e a e       − − − = + + + + + (5) bunda: 2 12 2 2 2 1 ( 1) a     + =++ , 22 2 2 2 ( 1) a     =++ , 2 12 31 1 1 e aa e   − + =− − , 1 12 41 1 1 e aa e   − + =− , 2 1,2 4 2     + = . Yechim usuli Endi (3) – (4) masalani sonli modellashtirish uchun spektral-to‘r metodi algoritmini keltiramiz. Birinchi o‘rinda 0 [ , ] l  integrallash oralig‘ida 01 ... Nl        = to‘r kiritiladi va natijada N ta to‘r elementlari hosil bo‘ladi: 0 1 1 2 1 1, [ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ ], 1,2, , 1. j j N N jN         +− =− Differensial tenglama (3) ushbu elementlarning har birida quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 2 2( ) ( ), 1,2,..., jj jj d u du u f j N dd      − + + = = . (6) 190 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ Chegaraviy shartlar (4) 0  va N  nuqtalarda quyidagicha yoziladi: 0 ( ) 0, u( ) 0. N u  == (7) Ichki tugunlarda esa (3) tenglama yechimi va uning birinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo‘lishi talab etiladi. Ushbu shartlar quyidagi ko‘rinishga ega: ( ) ( )1 ( ) ( ), 0,1; 1,2, , 1, tt j j j j u u t j N  + = = = − (8) bu yerda t – hosila tartibini bildiradi. Taqribiy yechim () j ux ni (6)-(8) masala uchun birinchi tur Chebyshev ko‘phadlari bo‘yicha chekli qator ko‘rinishida tasvirlaymiz. Bunda har bir 1 [ , ] jj  + to‘r elementi [-1,1] oraliqga quyidagi formula asosida akslantiriladi: 11 , , , 1,2, , 1, 22 jj j j j j j j ml x m l j N      ++ = + = + = − = − (9) bu yerda 1 [ , ], x [ 1,1], jj    +   − j l - ( 1)j+ - to‘r elementining uzunligi. Natijada (6) tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi: ( ) ( ) 22 2 22 , 1,2, jj jj jj d u du u x f x j N l dx l dx      − + + = =             . (10) Chegaraviy shartlar (7) va uzluksizlik shartlari (8) quyidagi ko‘rinishda yoziladi: 1 ( ) ( )1 1 (0) 0, ( 1) 0, 22 ( 1) ( 1), 0,1; 1,2, , 1, N tt tt jj jj uu u u t j N ll + + = + =     + = − = = −             (11) bu yerda t – hosila tartibini bildiradi. (10)-(11) masalaning taqribiy yechimini va uning o‘ng tomoni () j fx ni har bir to‘r elementida birinchi tur Chebyshev ko‘phadlari bo‘yicha chekli elementlar ko‘rinishida qidiramiz: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 () ( ) ( ), ( ) , , 22 cos , 0,1,..., ; 1,2, , jj pp jj jj j j j j j ll a n n j n n l l nn j lj j ml u x a T x f x b T x x x l x l p j N p  == = = = + = = =  (12) va bunda () () j a ux taqribiy yechim, () n Tx - birinchi tur Chebyshev ko‘phadlari, ()j l x - ularning tugunlari, j p - j -elementdagi yechimni approksimatsiya qilish uchun ishlatilgan ko‘phadlar soni, ()j n а - noma’lum koeffitsientlar. Ma’lum () j fx funksiya uchun (12) dagi ()j n b yoyilma koeffitsientlari quyidagi teskari transformatsiya yordamida aniqlanadi[18]: () () ( ) ( ) 0 21 ( ), 0,1,2,..., , j pj jj l n j n l j l j n l b f x T x n p p c c = ==  (13) bu yerda 02, 1( 0, ); j p m j c c c m p= = =  1 1,2, , , ( 1) N j j j N M p = = = +  - taqribiy yechimni spektral-to‘r metodi orqali approksimatsiya qilish uchun ishlatilgan umumiy Chebyshev ko‘phadlar soni, N - to‘r elementlari soni. (12) dagi () () j a ux taqribiy yechimning turli tartibli hosilalarini hisoblash qulay bo‘lib, ular quyidagi formulalar orqali aniqlanadi: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) j p jj a n n n u y a T y = = , (1) (1) (1) 01 1(mod2) 2 ( ) ( ), , 0 jj pp a n n n q n q n nqn u y a T y a qa n c = = + + = =   , (14) (2) (2) (2) 2 2 02 (mod2) 2 ( ) ( ), ( ) , 0 jj pp a n n n q n q n nqn u y a T y a q q q a n c = = +  = = −   So‘ngra, yechim va uning hosilalari uchun tegishli chekli elementlarni differensial tenglama (3) ga qo‘yamiz va (11) qo‘shimcha shartlar bilan birgalikda quyidagi algebraik sistemani hosil qilamiz. Bu Sistema noma’lum () ( 0,1,2,..., ; 1,2,..., ) j nj a n p j N== koeffitsientlarni aniqlash uchun xizmat qiladi: 2 2 ( ) 21 (mod2) 1(mod2) 12 ( ) , 0,1,..., 2, jj pp j p p n n j p n p n nn p n p n p p n a pa a b n p cc  = + = +  +  − − + + = = −  191 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ 1 1 1 (1) ( ) ( ) ( 1) 0 0 0 0 1 2 ( ) 1 2 ( 1) 00 ( 1) 0, 0, ( 1) , (15) ( 1) , 1,2,... . 22 . jj N jj pp p pn N j n j n n n n n n n n pp jj j n j nn nn a a a a ll n a n a j N + + + = = = = +−+ == − = = = − = − =      Noma’lumlar soni 12 (1) (1) (1) (2) (2) (2) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 ( , , , , , , , , , , ) N T N N N p p p x a a a a a a a a a= ni hisoblash uchun 1 ( 1) ( 1) N jj j M p N p = = + = +  formuladan foydalaniladi va (15) dagi tenglamalar soni ( 1) j M N p=+ ga teng. Bundan tashqari (15) sistemadagi asosiy tenglamalar soni ( 1) j Np− ga teng va ularga 2 ta chegaraviy shartlar va 2( 1)N− ta uzluksizlik shartlari qo‘shiladi. (15) sistemani quyidagicha chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozish mumkin: Ax b= (16) bu yerda 12 (1) (1) (1) (2) (2) (2) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 ( , , , , , , , , , , ) N T N N N p p p b b b b b b b b b b= ga teng, T x va T b lar esa transponirlangan vektorlarni bildiradi. Natijalar muhokamasi Singulyar qo‘zg‘atilgan (3)-(4) masala spektral-to‘r usuli (15) yordamida yechildi. Spektralto‘r usulini bir nechta variantlarda qo‘llash mumkin: 1) Bir xil taqsimlangan to‘r va bir jinsli aproksimatsiya. Yani, to‘r elementlari o‘rganilayotgan intervalda bir xil uzunlikda taqsimlanadi va to‘rning har bir elementida taqribiy yechimni approksimatsiya qilish uchun bir xil sondagi Chebyshev ko‘phadlari qo‘llaniladi; 2) Bir xil taqsimlangan to‘r va bir jinsli bo‘lmagan approksimatsiya. To‘rning har bir elementida taqribiy yechimni approksimatsiya qilish uchun turli sondagi Chebyshev polinomlari qo‘llaniladi; 3) Notekis taqsimlangan to‘r va bir jinsli approksimatsiya; 4) Notekis taqsimlangan to‘r va bir jinsli bo‘lmagan approksimatsiya. Spektral-to‘r usulining ko‘rsatilgan variantlardan biri qo‘llanilganda uning universalligi va moslashuvchanligi ta’minlanadi. Yani, singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamaning singulyar chegaraviy qatlamlarini yetarlicha qisqa to‘r elementi yordamida lokalizatsiya mumkin bo‘ladi va Chebyshev ko‘phadlarining shu elementda jamlash mumkin(4variant). Bu esa kichik parametrlarning har qanday ixtiyoriy qiymatlarida spektral-to‘r usulining yuqori aniqligini taminlaydi. Ushbu usulning yaqinlashuvchanligi va aniqlik darajasini tekshirish uchun sinov funksiya usulidan foydalanamiz. Ushbu ishda sinov funksiyasi sifatida (5) tenglama tanlangan. Bu sinov funksiyasi maqola [16] ga muvifiq tanlangan va u spektral-to‘r usuli orqali olingan sonli natijalarni [16] mualliflari keltirgan natijalar bilan taqqoslash uchun ishlatilgan. 1-3-jadvallarda hisoblash natijalari, ya’ni Chebyshev ko‘phadlarining kollakatsion tugunlarida maksimal absolyut xatolikni hisoblash natijalari keltirilgan. Bunda maksimal absolyut hatolik quyidagi formula asosida hisoblangan: 0 max , 1,2,..., jea lpu u j N   = − = . Birinchi turdagi Chebyshev tugunlari quyidagicha aniqlanadi: () cos , 0,1,..., , 1,2, , j lj j l x l p j N p  = = = Bundan tashqari 0 , 1    - kichik parametrlar va 1 ( 1) N j j Mp = =+  umumiy chebyshev ko‘phadlari sonidir. Bu yerda ( , 1,2,..., ) j p j N= - har bir element uchun ko‘phadlar sonini anglatadi. Chebyshev ko‘phadlari j - elementdagi taqribiy yechimni approksimatsiya qilish uchun qo‘llaniladi,  esa maksimal absolyut xatolikni birdiradi. 1-jadvalda hisoblash natijalari 4 elementli to‘rda ( 4)N= , elementlar uzunliklari [0,0.25], [0.25, 0.5], [0.5, 0.75], [0.75, 1] bo‘lganda keltirilgan. Bu jadvalda spektral-to‘r usulining 1-2 variatlari qo‘llanilgan. 1-jadval. Bir xil taqsimlangan to‘rda( 4N= ) spektral-to‘r usulining maksimal absolyut xatoligi 192 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ 1-jadval natijalaridan ko‘rinib turibdiki, to‘r elementlari sonining ortishi, shuningdek, chegaraga yaqin hududlarda ya’ni, chegaraviy qatlamlarda Chebyshev polinomlari sonining ma’lum miqdordagi zichlashtirilishi maksimal absolyut xatolikning keskin jamayishiga olib keladi. 2-jadvalda spektral-to‘r usuli yordamida olingan sonli hisoblash natijalari keltirilgan. Bunda 4N= , 8 10  − = , 48 10 ,10  −− = va to‘r elementlarining uzunligi [0, 0.01], [0.01, 0.5], [0.5, 0.99], [0.99, 1] ko‘rinishida tanlangan. Taqqoslash uchun [16] – maqoladagi natijalar ham keltirilgan. 2-jadval Notekis taqsimlangan to‘rda( 4N= ) da spektral-to‘r usulining maksimal absolyut xatoligi Spektral-to‘r usulida o‘rganilayotgan masala hususiyatlarini inobatga olgan holda to‘r elementlari soni va ularning uzunliklarini tanlash muhim sanaladi. Misol uchun mazkur masalada ko‘rib chiqilyotgan ikki parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamada  va  ning juda kichik qiymatlarga ega bo‘lganda, chegara hududlarda keskinlik juda yuqori bo‘ladi va noto‘g‘ri tanlangan elementlar soni va uzunliklari orqali ko‘phadlarning umumiy soni M ning yuqori qiymatida ham yetarlicha aniq natijaga erisha olmaslik mumkin. 3-jadvalda parametrlar 10 8 10 , 10  −− == bo‘lganda va ko‘phadlarning turli qiymatlarida Gradientlangan to‘rli B-splayn kollakatsiya metodi, to‘r elementlari soni N = 1 bo‘lgan spektral metodi va spektral-to‘r metodlari orqali erishilgan natijalar taqqoslangan. 3-jadval. turli metodlarning maksimal absolyut xatoligi  Bsplayn metodi [16] Spektral metodi Spektralto‘r metodi 10-10 108 64 3.5 x 103 9.9 x 10-1 1.4 x 10-4 128 8.6 x 104 9.6 x 10-1 6.2 x 1012 256 2.1 x 104 6.2 x 10-1 6.8 x 1012 Yuqoridagi 1-3 jadvallarda shuni kuzatish mumkinki kichik parametrlar  ,  va ko‘phadlar soni M ning turli qiymatlarida tafsiya etilayotgan metod spektral-to‘r metodining maksimal absolyut xatoligi taqqoslanayotgan metodlar Gradientlangan to‘rli Bsplayn kollakatsiya metodi va spektral metodlarining maksimal absolyut xatolik qiymatlaridan sezilarda darajada kichik. Bu esa tafsiya etilyotgan metodning universalligi va samaradorligini ko‘rsatadi. Xulosa Xulosa o‘rnida shuni aytish mumkinki: 1. Ikki parametrli Singulyar qo‘zg‘atilgan tenglama uchun chegaraviy masalani yechishda spektral-to‘r usuli asosida universal, yuqori aniqlikka ega, samarali metod ishlab chiqildi. 2. Spektral to‘r usulining yaqinlashuvchanligi isbotlandi. 3. Spektral-to‘r usuli hordamida singulyar qo‘zg‘atilgan tenglama uchun chegaraviy masala approksimatsiya qilindi va algebraik tenglamalar sistemasi ko‘rinishiga keltirildi. 4. O‘tkazilgan sonli hisoblashlar shuni ko‘rsatadiki, taklif etilyotgan metod ikki parametrli singulyar qo‘zg‘atilgan differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalani yechishda universallik, yuqori aniqlik, samaradorlik va moslashuvchanlik xususiyatlariga ega. Foydalanilgan adabiyotlar [1] J. Bigge, E. Bohl, Deformations of the bifurcation diagram due to discretization, Math. Comput. 45 (172) (1985) 393–403, doi:10.1090/S0025-5718-1985-0804931-X . 193 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ [2] R.C. DiPrima, Asymptotic methods for an infinitely long slider squeeze-film bearing, J. Lubr. Technol. 90 (1) (1968) 173–183, doi: 10.1115/1.3601534 . [3] K.C. Patidar, A robust fitted operator finite difference method for a two-parameter singular perturbation problem1, J. Differ. Equs. Appl. 14 (12) (2008) 1197 1214, doi: 10.1080/10236190701817383 . [4] M.H. Salih, G.F. Duressa, H.G. Debela, Numerical solution of singularly perturbed self-adjoint boundary value problem using galerkin method, Int. J. Eng. Sci. Technol. 12 (3) (2020) 26–37, doi: 10.4314/ijest.v12i3.3 . [5] A. Kaushik, A. Gupta, An adaptive mesh generation and higher-order difference approximation for the system of singularly perturbed reactionfiffusion problem, Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 2024, https://doi.org/10.1016/j.padiff.2024.100750. [6] P.J. Robinson, M. Indhumathi, M. Manjumari, Numerical solution to singularly perturbed differential equation of reaction-diffusion type in MAGDM problems, in: Applied Mathematics and Scientific Computing: International Conference on Advances in Mathematical Sciences, Vellore, India, December 2017-Volume II, Springer, 2019, pp. 3–12, doi: 10.1007/978-3-030-01123-9_1 . [7] N. Balasubramani, M.G.Prasad, S. Natesan, Fractal quintic spline solutions for singularly perturbed reaction-diffusion boundary-value problems, Applied Numerical Mathematics, 2024, https://doi.org/10.1016/j.apnum.2024.04.015. [8] Yanhua Liu, Yao Cheng, Local discontinuous Galerkin method for a singularly perturbed fourth-order problem of reaction–diffusion type, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2024, https://doi.org/10.1016/j.cam.2023.115641. [9] Relja Vulanović, Thái Anh Nhan, An improved Kellogg-Tsan solution decomposition in numerical methods for singularly perturbed convection-diffusion problems, Applied Numerical Mathematics, 2021, https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.07.019. [10] N. Barzehkar, A. Barati, R. Jalilian, Sinc approximation method for solving system of singularly perturbed parabolic convection-diffusion equations, Applied Numerical Mathematics, 2025, https://doi.org/10.1016/j.apnum.2025.05.005. [11] H.G. Debela, G.F. Duressa, Accelerated exponentially fitted operator method for singularly perturbed problems with integral boundary condition, Int. J. Diff. Eqs. 2020 (2020) 1–8, doi: 10.1155/2020/9268181 . [12] G.R. Kusi, A.H. Habte, T.A. Bullo, Layer resolving numerical scheme for singularly perturbed parabolic convection-diffusion problem with an interior layer, MethodsX 10 (2023) 1–7, doi: 10.1016/j.mex.2022.101953 . [13] N. Roy, A. Jha, A parameter uniform method for two-parameter singularly perturbed boundary value problems with discontinuous data, MethodsX (2023) 1–24, doi: 10.1016/j.mex.2023.102004 . [14] M.K. Kadalbajoo, A.S. Yadaw, B-Spline collocation method for a two-parameter singularly perturbed convection–diffusion boundary value problems, Appl. Math. Comput. 201 (1–2) (2008) 504– 513, doi: 10.1016/j.amc.2007.12.038 . [15] M.K. Kadalbajoo , A.S. Yadaw , Parameter-uniform ritz-galerkin finite element method for two parameter singularly perturbed boundary value problems, Int. J. Pure Appl. Math. 55 (2) (2009) 287– 300 . [16] F.S.Andisso, G.F.Duressa, Graded mesh B-spline collocation method for two parameters singulyarly perturbed boundary value problems, Journal MethodsX.2023. https://doi.org/10.1016/j.mex.2023.102336 [17] Bouakkaz,M.,Arar,N.&Meflah,M. Enhanced numerical resolution of the Duffing and Van der Pol equations via the spectral homotopy analysis method employing chebyshev polynomials of the first kind. Journal Applied mathematica and Computitional.2024.https://doi.org/10.1007/s12190024-02271-5 [18] Normurodov Ch.B.,Abduraximov B.F.,Djurayeva N.T. On estimating the rate of convergence of the initial integration method. AIP Conf. Proc. 3244, 020061(2024) https://doi.org/10.1063/5.0242041