188
“Al-Fa g‘oniy a lodla i” elek on ilmiy
ju nali
ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil
"Descendan s o Al-Fa ghani" elec onic scien i ic
jou nal.
ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 yea
Электронный научный журнал "Потомки Аль-
Фаргани"
ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год
h ps://al- a goniy.uz/
IKKI PARAMETRLI SINGULYAR QO‘ZG‘ATILGAN CHEGARAVIY QIYMAT
MUAMMOSINI SPEKTRAL-TO‘R METODI ORQALI SONLI MODELLASHTIRISH
No mu odo Cho i Begaliye ich,
.m. .d p o esso ,
Te miz da la uni e si e i, O‘zbekis on,
[email p o ec ed]
Mu odo Sa do bek Komil o‘g‘li,
dok a an , Te miz da la uni e si e i,
O‘zbekis on,
[email p o ec ed]
Anno a siya. Ikki pa ame li singuyla qo‘zg‘a ilgan chega a iy masalaning yechimla i oda da ikki a
chega a iy qa lamla ni o‘z ichiga oladi. Ushbu qa lamla ning ma judligi sababli oddiy sonli usulla
bu ko‘ inishdagi masalala uchun sama asiz hisoblanadi. Ushbu maqolada mazku ko‘ inishdagi
masalala ni sonli yechish uchun spek al- o‘ usuli akli e iladi. Takli e ilayo gan ishda, spek al-
o‘ usuli yo damida ikki pa ame li singulya qo‘zg‘a ilgan englama uchun di e ensial masala
algeb aik masalaga kel i ildi. O‘ kazilgan sonli hisoblashla a olingan na ijala boshqa mualli la
na ijala i bilan aqqoslandi. Takli e ilyo gan usulning uni e salligi, yoqo i aniqligi, sama ado ligi
ko‘ ib chiqilyo gan masalani yechishda ko‘ sa ildi.
Kali so‘zla : spek al- o‘ usuli, ikki pa ame li singulya qo‘zg‘a ilgan englama, Chebyshe
ko‘phadla i, G adien langan o‘ li B-splayn kollaka siya me odi, maksimal absolyu xa olik
Ki ish
Eng yuqo i da ajali hosilala i yonida kichik
pa ama ma jud bo‘lgan di e ensial englamala
singulya qo‘zg‘a ilgan englamala deyiladi. Ushbu
ko‘ inishdagi masalala ning yechimla i bi qancha
o‘ziga hos ha ak e la ga ega bo‘ladi. Ya’ni, yechim
juda ez o‘zga adigan chega a qa lamla iga a yechim
silliq o‘zga u chi sohaga bo‘linadi. Klassik sonli
usulla bunday o‘ziga hos hususiya la ga ega bo‘lgan
masalala ni yechishda sama ali emasligi malum,
chunki ula aqa gina o‘ a zich a moqlangan o‘
ishla ilgandagina ye a licha sama ali na ija ko‘ sa adi.
Ammo singulya qo‘zg‘a ilgan englamala ni
yechishda ba qa o likni aminlash uchun bu kabi o‘ a
zich o‘ la ning alab e ilishi, ko‘pchilik klassik
usulla da juda ka a algeb aik sis emala ga olib keladi.
Na ijada hisoblash ha aja la i keskin oshadi. Shuning
uchun bunday masalala ni sama ali yechishda
qa lamla ga moslash i ilgan o‘ la dan ashkil opgan
maxsus me odla ni ishlab chiqish muhim azi adi .
Ushbu maqolada quyidagi masalani ko‘ ib chiqamiz:
( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ), 0 1Lu x u x a x u x b x u x x x
= − + + =
(1)
a u quyidagi chega a iy sha la ga ega
01
(0) , (1) .uu
==
(2)
Bu ye da
0
a
1
be ilgan sonla ,
0 , 1
ikki kichik pa ame la .
( ), ( )a x b x
a
() x
ye a licha silliq unksiyala deb a az qilinadi.
Bu u dagi masalala ikki kichik pa ame li singulya
qo‘zg‘a ilgan chega a iy qiyma masalasi deya
nomlanadi. Ula ning qo‘llanilish sohala i kimyo a
biologiyada yuzaga keladigan moddala , ene giya a
impulsning ko‘chish ja ayonla i[1], gid odinamik
moylash naza iyasi[2], kimyo iy eak o la kine ikasi
a dinamikasi naza iyasi[3] a boshqa ko‘plab
sohala da uch aydi.
Aga
0
=
bo‘lsa, (1)-(2) masala bi a
pa ame li singulya qo‘zg‘a ilgan chega a iy qiyma
muammosining yaxshi o‘ ganilgan eaksiya-di uziya
masalasiga qisqa adi. Aga
1
=
bo‘lsa masala
kon eksiya-di uziya masalasiga aylanadi. Bu ikki
189
“Al-Fa g‘oniy a lodla i” elek on ilmiy
ju nali
ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil
"Descendan s o Al-Fa ghani" elec onic scien i ic
jou nal.
ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 yea
Электронный научный журнал "Потомки Аль-
Фаргани"
ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год
h ps://al- a goniy.uz/
maxsus masala uchun ula ning sonli yechimla iga
bag‘ishlangan juda ko‘plab a qiqo ishla i ma jud.
Masalan,
0
=
bo‘lgan hola dagi eaksiya-di uziya
masalasi uchun[4-8] kabi,
1
=
hola dagi kon eksiya-
di uziya masalasi uchun [9-12] kabi ilmiy isha da bu
ma zula yo i ilgan. Bi oq so ikki pa ame li hola ,
ya’ni
0 , 1
bo‘lganda, ula ni sonli yechimini
izlashga bag‘ishlangan maqolala soni kam. Ula ga
misol a iqasida quyidagi ishla ni kel i ish mumkin.
Mualli la [13] Shishkin-Bax alo o‘ ida yuqo iga
yo‘nal i ilgan a qla me odini akli e ishgan a uni
bi inchi a ibli yaqinlashu chi deb opishgan.
Mualli la [14] Shishkin o‘ ida B-splayn kollaka siya
me odini ishlab chiqqan a bu me od ikkinchi a ibli
yaqinlashishni ko‘ sa gan.Ri z-Gale kin me odida
Kadalbajoo a hammualli la me odning chega a iy
qa lamla ni yechishda sama ali ekanligini ko‘ sa gan
[15]. Maqola [16] da, mualli la g adien langan o‘ li
B-splayn kollaka siya me odini ishlab chiqishgan a
kichik pa am la
,
a ko‘phadla sonining u li
qiyma la ida usulning sama ado ligini ko‘ sa ishga
ha aka qilishgan. Ga chi, bu ko‘ inishdagi masalala ni
yechish uchun yuqo ida ko‘ sa ib o‘ ilgandek bi
qancha me odla ishlab chiqilgan bo‘lsada, chekli
ko‘phadla o qali yuqo i aniqlikdagi yechimla ni
aminlo chi sonli me odla ni ishlab chiqish o‘z
dolza bligini yo‘qo ganini yo‘q. Shu sababli, ushbu
maqolada ikki kichik pa ame li singulya
qo‘zg‘a ilgan englamala ni sonli hisoblash uchun
spek al- o‘ me odini akli e iladi. Taqdim e ilayo gan
ishda kel i ilgan aj iba iy na ijala spek al o‘
me odining g adien langan o‘ li B-splayn kollaka siya
me odidan ko‘ a bi necha ba oba sama i ekanligi
ko‘ sa ilgan.
Masalani qo‘yilishi
Yuqo i a ibli hosilala i oldida kichik
pa ame la i bo‘lgan ikki pa ame li singulya
qo‘zg‘a ilgan englamani ko‘ ib chiqaylik:
''( ) '( ) ( ) cos( ), [0,1]u x u x u x x x
− + + =
(3)
a u quyidagi chega a iy sha la ga ega bo‘lsin:
(0) (1) 0uu==
(4)
Bu ye da
a
- kichik pa ame la di . (3) –
(4) di e ensial englamani sonli modellash i ish uchun
basis unksiya si a ida bi inchi u Chebyshe
ko‘phadla i ish a ilgan spek al- o‘ me odidan
oydalanamiz. Oda da, ha qanday sonli me odning
yaqinlashishi a aniqlik da ajasini ekshi ish uchun
sino unksiyasi usulidan oydalaniladi[17]. Ushbu
yondashu ga ko‘ a, (4) chega a iy sha la ni
qanoa lan i u chi ix iyo iy
()
e
ux
unksiya anlanadi.
Uni (3) englamaga qo‘yish o qali o‘ng omon
() x
unksiya aniqlanadi. Ko‘ ilayo gan masala spek al-
o‘ me odi yo damida yechiladi hamda na ija iy
aq ibiy yechim anlab olingan sino unksiyasi bilan
aqqoslanadi.
Ko‘ ib chiqilyo gan masalani ahlil qilishda
sino unksiyasi si a ida (3) chega a iy sha la ni
qanoa lan i u chi quyidagi unksiya anlandi:
1 1 2 (1 )
1 2 3 2 3 4
( ) cos( ) sin( ) sin( )
x x x
u x a x a x a e a x a e a e
− − −
= + + + + +
(5)
bunda:
2
12 2 2 2
1
( 1)
a
+
=++
,
22 2 2 2
( 1)
a
=++
,
2
12
31
1
1
e
aa
e
−
+
=− −
,
1
12
41
1
1
e
aa e
−
+
=−
,
2
1,2
4
2
+
=
.
Yechim usuli
Endi (3) – (4) masalani sonli modellash i ish
uchun spek al- o‘ me odi algo i mini kel i amiz.
Bi inchi o‘ inda
0
[ , ]
l
in eg allash o alig‘ida
01
... Nl
=
o‘ ki i iladi a na ijada
N
a
o‘ elemen la i hosil bo‘ladi:
0 1 1 2 1 1,
[ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ ], 1,2, , 1.
j j N N jN
+−
=−
Di e ensial englama (3) ushbu
elemen la ning ha bi ida quyidagi ko‘ inishga ega
bo‘ladi:
2
2( ) ( ), 1,2,...,
jj
jj
d u du u j N
dd
− + + = =
.
(6)
190
“Al-Fa g‘oniy a lodla i” elek on ilmiy
ju nali
ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil
"Descendan s o Al-Fa ghani" elec onic scien i ic
jou nal.
ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 yea
Электронный научный журнал "Потомки Аль-
Фаргани"
ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год
h ps://al- a goniy.uz/
Chega a iy sha la (4)
0
a
N
nuq ala da
quyidagicha yoziladi:
0
( ) 0, u( ) 0.
N
u
==
(7)
Ichki ugunla da esa (3) englama yechimi a
uning bi inchi a ibli hosilasi uzluksiz bo‘lishi alab
e iladi. Ushbu sha la quyidagi ko‘ inishga ega:
( ) ( )1
( ) ( ), 0,1; 1,2, , 1,
j j j j
u u j N
+
= = = −
(8)
bu ye da – hosila a ibini bildi adi.
Taq ibiy yechim
()
j
ux
ni (6)-(8) masala uchun
bi inchi u Chebyshe ko‘phadla i bo‘yicha chekli
qa o ko‘ inishida as i laymiz. Bunda ha bi
1
[ , ]
jj
+
o‘ elemen i [-1,1] o aliqga quyidagi o mula asosida
akslan i iladi:
11
, , , 1,2, , 1,
22
jj
j j j j j j
ml
x m l j N
++
= + = + = − = −
(9)
bu ye da
1
[ , ], x [ 1,1],
jj
+
−
j
l
-
( 1)j+
-
o‘ elemen ining uzunligi. Na ijada (6) englama
quyidagi ko‘ inishga keladi:
( ) ( )
22
2
22 , 1,2,
jj
jj
jj
d u du u x x j N
l dx l dx
− + + = =
. (10)
Chega a iy sha la (7) a uzluksizlik sha la i
(8) quyidagi ko‘ inishda yoziladi:
1
( ) ( )1
1
(0) 0, ( 1) 0,
22
( 1) ( 1), 0,1; 1,2, , 1,
N
jj
jj
uu
u u j N
ll
+
+
= + =
+ = − = = −
(11)
bu ye da – hosila a ibini bildi adi.
(10)-(11) masalaning aq ibiy yechimini a
uning o‘ng omoni
()
j
x
ni ha bi o‘ elemen ida
bi inchi u Chebyshe ko‘phadla i bo‘yicha chekli
elemen la ko‘ inishida qidi amiz:
()
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00
()
( ) ( ), ( ) , ,
22
cos , 0,1,..., ; 1,2, ,
jj
pp
jj
jj
j j j j j
ll
a n n j n n l l
nn
j
lj
j
ml
u x a T x x b T x x x
l
x l p j N
p
==
= = = +
= = =
(12)
a bunda
()
()
j
a
ux
aq ibiy yechim,
()
n
Tx
-
bi inchi u Chebyshe ko‘phadla i,
()j
l
x
- ula ning
ugunla i,
j
p
-
j
-elemen dagi yechimni
app oksima siya qilish uchun ishla ilgan ko‘phadla
soni,
()j
n
а
- noma’lum koe i sien la .
Ma’lum
()
j
x
unksiya uchun (12) dagi
()j
n
b
yoyilma koe i sien la i quyidagi eska i
ans o ma siya yo damida aniqlanadi[18]:
()
()
( ) ( )
0
21 ( ), 0,1,2,..., ,
j
pj
jj
l
n j n l j
l
j n l
b x T x n p
p c c
=
==
(13)
bu ye da
02, 1( 0, );
j
p m j
c c c m p= = =
1
1,2, , , ( 1)
N
j
j
j N M p
=
= = +
- aq ibiy yechimni
spek al- o‘ me odi o qali app oksima siya qilish
uchun ishla ilgan umumiy Chebyshe ko‘phadla soni,
N - o‘ elemen la i soni. (12) dagi
()
()
j
a
ux
aq ibiy
yechimning u li a ibli hosilala ini hisoblash qulay
bo‘lib, ula quyidagi o mulala o qali aniqlanadi:
( ) ( )
0
( ) ( )
j
p
jj
a n n
n
u y a T y
=
=
,
(1) (1) (1)
01
1(mod2)
2
( ) ( ), , 0
jj
pp
a n n n q
n q n
nqn
u y a T y a qa n
c
= = +
+
= =
, (14)
(2) (2) (2) 2 2
02
(mod2)
2
( ) ( ), ( ) , 0
jj
pp
a n n n q
n q n
nqn
u y a T y a q q q a n
c
= = +
= = −
So‘ng a, yechim a uning hosilala i uchun
egishli chekli elemen la ni di e ensial englama (3) ga
qo‘yamiz a (11) qo‘shimcha sha la bilan bi galikda
quyidagi algeb aik sis emani hosil qilamiz. Bu Sis ema
noma’lum
()
( 0,1,2,..., ; 1,2,..., )
j
nj
a n p j N==
koe i sien la ni aniqlash uchun xizma qiladi:
2 2 ( )
21
(mod2) 1(mod2)
12
( ) , 0,1,..., 2,
jj
pp
j
p p n n j
p n p n
nn
p n p n
p p n a pa a b n p
cc
= + = +
+
− − + + = = −
191
“Al-Fa g‘oniy a lodla i” elek on ilmiy
ju nali
ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil
"Descendan s o Al-Fa ghani" elec onic scien i ic
jou nal.
ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 yea
Электронный научный журнал "Потомки Аль-
Фаргани"
ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год
h ps://al- a goniy.uz/
1
1
1
(1) ( ) ( ) ( 1)
0 0 0 0
1
2 ( ) 1 2 ( 1)
00
( 1) 0, 0, ( 1) , (15)
( 1) , 1,2,... .
22
.
jj
N
jj
pp
p
pn N j n j
n n n n
n n n n
pp
jj
j n j
nn
nn
a a a a
ll
n a n a j N
+
+
+
= = = =
+−+
==
− = = = −
= − =
Noma’lumla soni
12
(1) (1) (1) (2) (2) (2) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0 1
( , , , , , , , , , , )
N
T N N N
p p p
x a a a a a a a a a=
ni hisoblash uchun
1
( 1) ( 1)
N
jj
j
M p N p
=
= + = +
o muladan oydalaniladi a (15) dagi englamala soni
( 1)
j
M N p=+
ga eng. Bundan ashqa i (15)
sis emadagi asosiy englamala soni
( 1)
j
Np−
ga eng
a ula ga 2 a chega a iy sha la a
2( 1)N−
a
uzluksizlik sha la i qo‘shiladi. (15) sis emani
quyidagicha chiziqli algeb aik englamala sis emasi
ko‘ inishida yozish mumkin:
Ax b=
(16)
bu ye da
12
(1) (1) (1) (2) (2) (2) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0 1
( , , , , , , , , , , )
N
T N N N
p p p
b b b b b b b b b b=
ga eng,
T
x
a
T
b
la esa ansponi langan ek o la ni
bildi adi.
Na ijala muhokamasi
Singulya qo‘zg‘a ilgan (3)-(4) masala
spek al- o‘ usuli (15) yo damida yechildi. Spek al-
o‘ usulini bi nech a a ian la da qo‘llash mumkin: 1)
Bi xil aqsimlangan o‘ a bi jinsli ap oksima siya.
Yani, o‘ elemen la i o‘ ganilayo gan in e alda bi xil
uzunlikda aqsimlanadi a o‘ ning ha bi elemen ida
aq ibiy yechimni app oksima siya qilish uchun bi xil
sondagi Chebyshe ko‘phadla i qo‘llaniladi; 2) Bi xil
aqsimlangan o‘ a bi jinsli bo‘lmagan
app oksima siya. To‘ ning ha bi elemen ida aq ibiy
yechimni app oksima siya qilish uchun u li sondagi
Chebyshe polinomla i qo‘llaniladi; 3) No ekis
aqsimlangan o‘ a bi jinsli app oksima siya; 4)
No ekis aqsimlangan o‘ a bi jinsli bo‘lmagan
app oksima siya. Spek al- o‘ usulining ko‘ sa ilgan
a ian la dan bi i qo‘llanilganda uning uni e salligi a
moslashu chanligi a’minlanadi. Yani, singulya
qo‘zg‘a ilgan englamaning singulya chega a iy
qa lamla ini ye a licha qisqa o‘ elemen i yo damida
lokaliza siya mumkin bo‘ladi a Chebyshe
ko‘phadla ining shu elemen da jamlash mumkin(4-
a ian ). Bu esa kichik pa ame la ning ha qanday
ix iyo iy qiyma la ida spek al- o‘ usulining yuqo i
aniqligini aminlaydi. Ushbu usulning
yaqinlashu chanligi a aniqlik da ajasini ekshi ish
uchun sino unksiya usulidan oydalanamiz. Ushbu
ishda sino unksiyasi si a ida (5) englama anlangan.
Bu sino unksiyasi maqola [16] ga mu i iq anlangan
a u spek al- o‘ usuli o qali olingan sonli na ijala ni
[16] mualli la i kel i gan na ijala bilan aqqoslash
uchun ishla ilgan. 1-3-jad alla da hisoblash na ijala i,
ya’ni Chebyshe ko‘phadla ining kollaka sion
ugunla ida maksimal absolyu xa olikni hisoblash
na ijala i kel i ilgan. Bunda maksimal absolyu ha olik
quyidagi o mula asosida hisoblangan:
0
max , 1,2,...,
jea
lpu u j N
= − =
.
Bi inchi u dagi Chebyshe ugunla i
quyidagicha aniqlanadi:
() cos , 0,1,..., , 1,2, ,
j
lj
j
l
x l p j N
p
= = =
Bundan ashqa i
0 , 1
- kichik
pa ame la a
1
( 1)
N
j
j
Mp
=
=+
umumiy chebyshe
ko‘phadla i sonidi . Bu ye da
( , 1,2,..., )
j
p j N=
- ha
bi elemen uchun ko‘phadla sonini angla adi.
Chebyshe ko‘phadla i
j
- elemen dagi aq ibiy
yechimni app oksima siya qilish uchun qo‘llaniladi,
esa maksimal absolyu xa olikni bi di adi.
1-jad alda hisoblash na ijala i 4 elemen li
o‘ da
( 4)N=
, elemen la uzunlikla i [0,0.25], [0.25,
0.5], [0.5, 0.75], [0.75, 1] bo‘lganda kel i ilgan. Bu
jad alda spek al- o‘ usulining 1-2 a ia la i
qo‘llanilgan.
1-jad al. Bi xil aqsimlangan o‘ da(
4N=
)
spek al- o‘ usulining maksimal absolyu xa oligi
192
“Al-Fa g‘oniy a lodla i” elek on ilmiy
ju nali
ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil
"Descendan s o Al-Fa ghani" elec onic scien i ic
jou nal.
ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 yea
Электронный научный журнал "Потомки Аль-
Фаргани"
ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год
h ps://al- a goniy.uz/
1-jad al na ijala idan ko‘ inib u ibdiki, o‘
elemen la i sonining o ishi, shuningdek, chega aga
yaqin hududla da ya’ni, chega a iy qa lamla da
Chebyshe polinomla i sonining ma’lum miqdo dagi
zichlash i ilishi maksimal absolyu xa olikning keskin
jamayishiga olib keladi.
2-jad alda spek al- o‘ usuli yo damida
olingan sonli hisoblash na ijala i kel i ilgan. Bunda
4N=
,
8
10
−
=
,
48
10 ,10
−−
=
a o‘ elemen la ining
uzunligi [0, 0.01], [0.01, 0.5], [0.5, 0.99], [0.99, 1]
ko‘ inishida anlangan. Taqqoslash uchun [16] –
maqoladagi na ijala ham kel i ilgan.
2-jad al No ekis aqsimlangan o‘ da(
4N=
)
da spek al- o‘ usulining maksimal absolyu xa oligi
Spek al- o‘ usulida o‘ ganilayo gan masala
hususiya la ini inoba ga olgan holda o‘ elemen la i
soni a ula ning uzunlikla ini anlash muhim sanaladi.
Misol uchun mazku masalada ko‘ ib chiqilyo gan ikki
pa ame li singulya qo‘zg‘a ilgan englamada
a
ning juda kichik qiyma la ga ega bo‘lganda, chega a
hududla da keskinlik juda yuqo i bo‘ladi a no o‘g‘ i
anlangan elemen la soni a uzunlikla i o qali
ko‘phadla ning umumiy soni M ning yuqo i qiyma ida
ham ye a licha aniq na ijaga e isha olmaslik mumkin.
3-jad alda pa ame la
10 8
10 , 10
−−
==
bo‘lganda
a ko‘phadla ning u li qiyma la ida G adien langan
o‘ li B-splayn kollaka siya me odi, o‘ elemen la i
soni N = 1 bo‘lgan spek al me odi a spek al- o‘
me odla i o qali e ishilgan na ijala aqqoslangan.
3-jad al. u li me odla ning maksimal absolyu
xa oligi
B-
splayn
me odi
[16]
Spek al
me odi
Spek al-
o‘
me odi
10-10
10-
8
64
3.5 x 10-
3
9.9 x
10-1
1.4 x 10-4
128
8.6 x 10-
4
9.6 x
10-1
6.2 x 10-
12
256
2.1 x 10-
4
6.2 x
10-1
6.8 x 10-
12
Yuqo idagi 1-3 jad alla da shuni kuza ish
mumkinki kichik pa ame la
,
a ko‘phadla soni
M ning u li qiyma la ida a siya e ilayo gan me od
spek al- o‘ me odining maksimal absolyu xa oligi
aqqoslanayo gan me odla G adien langan o‘ li B-
splayn kollaka siya me odi a spek al me odla ining
maksimal absolyu xa olik qiyma la idan sezila da
da ajada kichik. Bu esa a siya e ilyo gan me odning
uni e salligi a sama ado ligini ko‘ sa adi.
Xulosa
Xulosa o‘ nida shuni ay ish mumkinki:
1. Ikki pa ame li Singulya qo‘zg‘a ilgan
englama uchun chega a iy masalani yechishda
spek al- o‘ usuli asosida uni e sal, yuqo i aniqlikka
ega, sama ali me od ishlab chiqildi.
2. Spek al o‘ usulining yaqinlashu chanligi
isbo landi.
3. Spek al- o‘ usuli ho damida singulya
qo‘zg‘a ilgan englama uchun chega a iy masala
app oksima siya qilindi a algeb aik englamala
sis emasi ko‘ inishiga kel i ildi.
4. O‘ kazilgan sonli hisoblashla shuni
ko‘ sa adiki, akli e ilyo gan me od ikki pa ame li
singulya qo‘zg‘a ilgan di e ensial englamala uchun
chega a iy masalani yechishda uni e sallik, yuqo i
aniqlik, sama ado lik a moslashu chanlik
xususiya la iga ega.
Foydalanilgan adabiyo la
[1] J. Bigge, E. Bohl, De o ma ions o he
bi u ca ion diag am due o disc e iza ion, Ma h.
Compu . 45 (172) (1985) 393–403,
doi:10.1090/S0025-5718-1985-0804931-X .
193
“Al-Fa g‘oniy a lodla i” elek on ilmiy
ju nali
ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 3 | 2025-yil
"Descendan s o Al-Fa ghani" elec onic scien i ic
jou nal.
ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 3 | 2025 yea
Электронный научный журнал "Потомки Аль-
Фаргани"
ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 3 | 2025 год
h ps://al- a goniy.uz/
[2] R.C. DiP ima, Asymp o ic me hods o an
in ini ely long slide squeeze- ilm bea ing, J. Lub .
Technol. 90 (1) (1968) 173–183, doi:
10.1115/1.3601534 .
[3] K.C. Pa ida , A obus i ed ope a o ini e
di e ence me hod o a wo-pa ame e singula
pe u ba ion p oblem1, J. Di e . Equs. Appl. 14 (12)
(2008) 1197 1214, doi: 10.1080/10236190701817383 .
[4] M.H. Salih, G.F. Du essa, H.G. Debela,
Nume ical solu ion o singula ly pe u bed sel -adjoin
bounda y alue p oblem using gale kin me hod, In . J.
Eng. Sci. Technol. 12 (3) (2020) 26–37, doi:
10.4314/ijes . 12i3.3 .
[5] A. Kaushik, A. Gup a, An adap i e mesh
gene a ion and highe -o de di e ence app oxima ion
o he sys em o singula ly pe u bed eac ion-
i usion p oblem, Pa ial Di e en ial Equa ions in
Applied Ma hema ics, 2024,
h ps://doi.o g/10.1016/j.padi .2024.100750.
[6] P.J. Robinson, M. Indhuma hi, M.
Manjuma i, Nume ical solu ion o singula ly pe u bed
di e en ial equa ion o eac ion-di usion ype in
MAGDM p oblems, in: Applied Ma hema ics and
Scien i ic Compu ing: In e na ional Con e ence on
Ad ances in Ma hema ical Sciences, Vello e, India,
Decembe 2017-Volume II, Sp inge , 2019, pp. 3–12,
doi: 10.1007/978-3-030-01123-9_1 .
[7] N. Balasub amani, M.G.P asad, S. Na esan,
F ac al quin ic spline solu ions o singula ly pe u bed
eac ion-di usion bounda y- alue p oblems, Applied
Nume ical Ma hema ics, 2024,
h ps://doi.o g/10.1016/j.apnum.2024.04.015.
[8] Yanhua Liu, Yao Cheng, Local
discon inuous Gale kin me hod o a singula ly
pe u bed ou h-o de p oblem o eac ion–di usion
ype, Jou nal o Compu a ional and Applied
Ma hema ics, 2024,
h ps://doi.o g/10.1016/j.cam.2023.115641.
[9] Relja Vulano ić, Thái Anh Nhan, An
imp o ed Kellogg-Tsan solu ion decomposi ion in
nume ical me hods o singula ly pe u bed
con ec ion-di usion p oblems, Applied Nume ical
Ma hema ics, 2021,
h ps://doi.o g/10.1016/j.apnum.2021.07.019.
[10] N. Ba zehka , A. Ba a i, R. Jalilian, Sinc
app oxima ion me hod o sol ing sys em o singula ly
pe u bed pa abolic con ec ion-di usion equa ions,
Applied Nume ical Ma hema ics, 2025,
h ps://doi.o g/10.1016/j.apnum.2025.05.005.
[11] H.G. Debela, G.F. Du essa, Accele a ed
exponen ially i ed ope a o me hod o singula ly
pe u bed p oblems wi h in eg al bounda y condi ion,
In . J. Di . Eqs. 2020 (2020) 1–8, doi:
10.1155/2020/9268181 .
[12] G.R. Kusi, A.H. Hab e, T.A. Bullo, Laye
esol ing nume ical scheme o singula ly pe u bed
pa abolic con ec ion-di usion p oblem wi h an
in e io laye , Me hodsX 10 (2023) 1–7, doi:
10.1016/j.mex.2022.101953 .
[13] N. Roy, A. Jha, A pa ame e uni o m
me hod o wo-pa ame e singula ly pe u bed
bounda y alue p oblems wi h discon inuous da a,
Me hodsX (2023) 1–24, doi:
10.1016/j.mex.2023.102004 .
[14] M.K. Kadalbajoo, A.S. Yadaw, B-Spline
colloca ion me hod o a wo-pa ame e singula ly
pe u bed con ec ion–di usion bounda y alue
p oblems, Appl. Ma h. Compu . 201 (1–2) (2008) 504–
513, doi: 10.1016/j.amc.2007.12.038 .
[15] M.K. Kadalbajoo , A.S. Yadaw ,
Pa ame e -uni o m i z-gale kin ini e elemen me hod
o wo pa ame e singula ly pe u bed bounda y alue
p oblems, In . J. Pu e Appl. Ma h. 55 (2) (2009) 287–
300 . [16] F.S.Andisso, G.F.Du essa, G aded mesh
B-spline colloca ion me hod o wo pa ame e s
singulya ly pe u bed bounda y alue p oblems,
Jou nal Me hodsX.2023.
h ps://doi.o g/10.1016/j.mex.2023.102336
[17] Bouakkaz,M.,A a ,N.&Me lah,M.
Enhanced nume ical esolu ion o he Du ing and Van
de Pol equa ions ia he spec al homo opy analysis
me hod employing chebyshe polynomials o he i s
kind. Jou nal Applied ma hema ica and
Compu i ional.2024.h ps://doi.o g/10.1007/s12190-
024-02271-5
[18] No mu odo Ch.B.,Abdu aximo
B.F.,Dju aye a N.T. On es ima ing he a e o
con e gence o he ini ial in eg a ion me hod. AIP
Con . P oc. 3244, 020061(2024)
h ps://doi.o g/10.1063/5.0242041
