Ac as de las XV Jo nadas
de Ingenie ía Telemá ica
(JITEL 2021),
A Co uña (España),
27-29 de oc ub e de 2021.
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Re a do en edes on haul con spli uncional
lexible: un modelo basado en eo ´
ıa de colas
Luis Diez, Ram´
on Ag¨
ue o
Depa amen o de Ingenie ´
ıa de Comunicaciones. Uni e sidad de Can ab ia.
{ldiez, amon}@ lma .unican.es
En es e abajo se es udia el e a do en opolog´
ıas
de ed RAN, conside ando an o las es aciones base,
que se di iden en e un con olado y un cabezal de
adio emo o, y la ed de conmu aci´
on de paque-
es on haul que los une. Se con empla el uso de
unc ional spli lexible, seg´
un el que las unciones
que se ejecu an en cada una de las dos en idades
se puede modi ica din´
amicamen e. Se p opone un
modelo basado en eo ´
ıa de colas, que es capaz
de e leja de mane a p ecisa el compo amien o de
es os nodos, que se alida as una ex ensa campa˜
na
de medidas. Adem´
as, se u iliza la eo ´
ıa de edes
abie as de Jackson pa a modela el e a do ex emo
a ex emo en la ed on haul, lo que pe mi e analiza
el impac o de es ablece di e en es pol´
ı icas de ed.
Los esul ados ponen de mani ies o que el modelo
p opues o se puede emplea pa a es ablece las con-
igu aciones ´
op imas de ed, pues los esul ados que
o ece son p ´
ac icamen e id´
en icos a los ob enidos
median e simulaci´
on.
Index Te ms— RAN, unc ional spli , eo ´
ıa de colas, edes
de Jackson
I. INTRODUCCI ´
ON
Uno de los equisi os m´
as exigen es en los sis emas
5G es el ela i o al e a do, que esul a undamen al pa a
sopo a adecuadamen e se icios de ipo Ul a-Reliable
Low La ency Communica ion (URLLC), ales como los
ela i os a In e ne ´
ac il o a la conducci´
on au ´
onoma.
Po o o lado, las a qui ec u as de edes de acceso adio
es ´
an su iendo una con inua e oluci´
on, inco po ando,
en e o os, elemen os SDN y NFV, dando luga a lo que
ya se conoce como i ual RAN. Aunque la capacidad de
i ualizaci´
on de unciones de las es aciones base iene
g andes en ajas (como educci´
on de cos es), ambi´
en
apa ecen nue os aspec os que deben se analizados, ales
como el e a do asociado a es a i ualizaci´
on.
Inicialmen e, las soluciones Cloud-RAN (C-RAN) p o-
pon´
ıan la comple a i ualizaci´
on de las unidades de
banda base, con una conexi´
on de g an capacidad con
los an enas. En es e a ´
ıculo se conside a una e oluci´
on
de es e soluci´
on, en la que exis en di e en es g ados de
cen alizaci´
on ( unc ional-spli s) [1] y es a cen alizaci´
on
puede se modi icada de mane a din´
amica, lo que da luga
a la uncionalidad conocida como lexible unc ional-spli .
Es a adap aci´
on pe mi e sol en a algunas de las limi a-
ciones de las soluciones C-RAN [2] iniciales, adap ando
la ed a las necesidades conc e as y ecu sos que se ienen.
En es as a qui ec u as la es aci´
on base se di ide en una
cen alized uni (CU) que con iene cie as unciones y que
se conec a, a a ´
es de una ed de conmu aci´
on de paque es
on haul, a las dis ibu ed uni s (DU) en las que es ´
an el
es o de unciones. A su ez las DUs poseen una conexi´
on
de g an capacidad con las an enas o adio uni s. A in
de sopo a se icios que p ecisen URLLC, es necesa io
conoce el e a do asociado en e las CUs y DUs. En
es e a ´
ıculo se ex iende el modelo p esen ado inicialmen e
en [3], que pe mi e analiza el e a do asociado a una CU
o DU, pa a conoce la la encia ex emo a ex emo en la
ed on haul cuando se aplica una de e minada pol´
ı ica de
selecci´
on de spli . El modelo p opues o pod ´
ıa ayuda al
dimensionado de es e ipo de edes, y a es ablece l´
ımi es
en el ´
a ico admisible an e cie os equisi os de e a do.
El es o del documen o se es uc u a de la siguien e
mane a. En la Secci´
on II se p esen a una e isi´
on de la
li e a u a ela i a a lexible unc ional-spli , esal ando el
ca ´
ac e inno ado del modelo p opues o. A con inuaci´
on,
en la Secci´
on III se p esen a el modelo basado en cadenas
de Ma ko y eo ´
ıa de edes de Jackson, que se alida en
la Secci´
on IV sob e di e en es escena ios. en la Secci´
on V
se p esen an las conclusiones m´
as ele an es que se han
ob enido, y se enume an l´
ıneas de abajo u u o.
II. TRABAJOS RELACIONADOS
El po encial de las a qui ec u as unc ional-spli lex-
ibles se ha analizado ampliamen e en la li e a u a [4],
[3], y ya exis en abajos desc ibiendo su implemen aci´
on
pa a posibili a la selecci´
on din´
amica del ni el de cen al-
izaci´
on, ales como [5], [6].
M´
as elacionados con es e abajo, han apa ecido p op-
ues as de pol´
ı icas de selecci´
on de spli cen adas en
di e en es aspec os. Po ejemplo, en [7], [8] Ha u yunyan
e al. modelan la selecci´
on de spli como un p oblema de
ipo Vi ual Ne wo k Embedding (VNE) o mulado como
265
Diez, Ag¨
ue o 2021.
un In ege Linea P og am (ILP). De o ma simila , los
au o es de[9] y [10] p oponen algo i mos de selecci´
on de
spli que asegu e el uso de ´
ecnicas de coope aci´
on en e
elemen os de acceso, mien as se hace un uso e icien e
de la ed on haul, pe mi iendo el despliegue de se icios
que equie an URLLC.
O os abajos p es an a enci´
on a m´
e icas di e sas en
sus pol´
ı icas de selecci´
on de spli , ales como la asa [11], o
el e a do [12]. En e los pa ´
ame os conside ados, exis en
mul i ud de p opues as que se cen an en la e iciencia
ene g´
e ica, ales como [13], [14], [15]. O o g upo de
abajos se cen an en la in e acci´
on de la selecci´
on de spli
con la ed on haul ´
op ica. En es e sen ido se ha analizado
an o la educci´
on de la encia [16] como la limi aci´
on de
capacidad de la ed [17]. Asimismo, exis en abajos que
p esen an soluciones de o ques aci´
on [18], que pe mi an
la econ igu aci´
on global de la ed de acceso an e cambios
en el ni el de cen alizaci´
on.
Aunque la e isi´
on de la li e a u a se pod ´
ıa ex ende ,
la mayo ´
ıa de las in es igaciones p e ias p oponen solu-
ciones pa a de ini el ni el de cen alizaci´
on. Po el con-
a io, el modelo p esen ado en es e abajo ienen como
obje i o modela el compo amien o de la ed de on haul,
en unci´
on del e a do, cuando se aplica cualquie pol´
ı ica.
III. MODELO DE COLAS PARA EL on haul
En es a secci´
on se a a p esen a el modelo, basado
en eo ´
ıa de colas, que conside a dos ipos de nodos: (1)
e leja el compo amien o del CU o DU; y (2) se usan
pa a modela swi ches y enlaces en la ed. El segundo
ipo se modela ´
a median e un nodo M/M/1, mien as que
el p ime o p ecisa una ap oximaci´
on m´
as compleja. A
con inuaci´
on se desc ibi ´
a el modelo de los nodos que
ep esen an los CU y DU, pa a pos e io men e es ablece
el e a do ex emo a ex emo espe ado en la ed de
on haul. Pa a acili a la lec u a, la Tabla I enume a los
s´
ımbolos que se u ilizan en el es o de la secci´
on.
A. Modelo de los nodos CU y DU
Como se ha mencionado an e io men e, el modelo de
los nodos CU y DU es una ex ensi´
on del p esen ado
en [3]. Se conside a una comunicaci´
on downlink, aunque
se pod ´
ıa aplica ambi´
en al uplink. Se asume que las
amas llegan al CU siguiendo un p oceso de Poisson de
asa λ ms−1y que se admi en sspli s, cada uno de
los cuales se ca ac e iza po un iempo de se icio con
dis ibuci´
on exponencial y alo medio µ−1
kms pa a cada
spli k h. De acue do a la pol´
ı ica adop ada se asume
que el iempo de pe manencia en cada ni el de spli
k ambi´
en es ´
a dis ibuido exponencialmen e, con media
γ−1
kms. Al cambia de spli se pe manece en si uaci´
on
de s andby du an e el iempo necesa io pa a p ocede a la
econ igu aci´
on, que ambi´
en se asume exponencial, con
media ξ−1
kms, pa a cada spli k h. Al abandona un spli
k, y siemp e de acue do con la pol´
ı ica u ilizada, el sis ema
usa el spli lcon p obabilidad αkl, y se de ine αkk = 0,
pa a asegu a que no se ansi a al mismo spli .
Las p incipales mejo as con espec o al abajo p esen-
ado en [3] son:
Tabla I: S´
ımbolos y a iables
Nodos CU/DU
sN´
ume o de spli s
λTasa de llegada de amas
µjTasa de se icios del spli j h
αj,k P obabilidad de ansi a del spli j h al k h
Ps
k=1 αj,k = 1, αj,j = 0
γjTasa de cambio del spli j h
ξjIn e so del iempo de s and-by del spli j h
πi( )P obabilidad del es ado (i, )
Hay i amas en el nodo:
(1) impa , usando el spli j:j= +1
2,(i, j)
(2) pa , s and-by as spli j:j=
2,(i,e
j)
πiVec o columna: [πi(1) ...πi( )...πi(2s)]
Qma iz in ini esimal del p oceso de QBD
Fma iz de e-en ´
ıo
BMa iz de ansici´
on hacia a ´
as
L, L0ma ices de ansici´
on de es ado con mismo n´
ume o de amas
Red on haul
λTasa de llegada el nodo (swi ch/enlace)
µTasa de se icio del nodo (swi ch/enlace)
ρOcupaci´
on del nodo (swi ch/enlace)
ΛVec o de asas de en ada en los nodos
ΓVec o de ´
a ico ex e no
γi= 0 solo pa a nodos CU
RMa iz de encaminamien o de la ed on haul
•Se conside an di e en es iempos de pe manencia
pa a cada ni el de spli .
•El iempo en el es ado s andby es di e en e pa a cada
spli .
•Se asegu a que el spli de des ino es di e en e al de
o igen en cada cambio.
Es as modi icaciones pe mi en un modelado m´
as ealis a
y un mayo ni el de con igu aci´
on, que da luga a la
cadena de Ma ko i-dimensional que se mues a en la
Figu a 1.
Se de inen dos ipos de es ados con las duplas (i, j)y
(i,e
j) espec i amen e. La p ime a dupla indica el es ado
de ope aci´
on no mal, donde ise co esponde con el
n´
ume o de amas en el nodo, y jindica el ´
ındice asociado
al spli uncional. La segunda dupla ep esen a el es ado de
s andby al abandona el spli j. De es e modo, la cadena
de Ma ko esul an e iene splanos ho izon ales, cada uno
ep esen ando un ni el de spli . Si el nodo se encuen a
ac i o en el spli j, an e la llegada de una ama ( asa
λ) o al e mina el p ocesado ( asa µj) se p oduce una
ansici´
on a de echa o izquie da, espec i amen e. Adem´
as,
se puede ansi a al es ado de s anby,(i,e
j), con asa γ,
de modo que las amas pueden segui llegando, pe o no
se p ocesan has a abandona ese es ado, al como se e en
la Figu a 1.
T as sali de s anby el nodo pasa a o o ni el de spli
con asa ξj. En conc e o el nue o spli kse selecciona con
p obabilidad αjk con k∈ {1, . . . , s}, k =j, de modo que
la asa de ansici´
on desde (i,e
j)a(i, k)es αjk ·ξj. Aunque
du an e la es ancia en s andby no se pueden p ocesa
amas, se asume que es posible almacena las has a ol e
a es a en si uaci´
on de a ende las. El modelo p esen ado da
luga a un p oceso de quasi nacimien o y mue e (quasi-
bi h-dea h, QBD), en el que cada ni el se co esponde con
odos los es ados con el mismo n´
ume o de amas: (i, j)y
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266
Spli 1
0,1 1,1 2,1i, 1
0,e
1 1,e
1 2,e
1i,e
1
λλλ λ λ
µ1µ1µ1µ1µ1
λ λ λ λ λ
γ1γ1γ1γ1
Spli j
0, j 1, j 2, j i, j
0,e
j1,e
j2,e
j i,e
j
λλλ λ λ
µjµjµjµjµj
λ λ λ λ λ
γjγjγjγj
Spli s
0, s 1, s 2, s i, s
0,es1,es2,es i, es
λλλ
µsµsµs
λ λ
µsµs
λ λ
λλλ
γsγsγsγs
α1sξ1
α1jξ1
αjsξj
αj1ξj
αsjξs
αs1ξs
Fig. 1: Cadena de Ma ko pa a los nodos CU y DU
(i,e
j), pa a j,e
j∈ {1, . . . , s}. Se p opone aplica el m´
e odo
Ma ix Geome ic pa a de ini el e a do de p ocesado de
cada ama, al como se mues an los abajos de Neu s y
Hajek [19], [20]. La ma iz in ini esimal que ca ac e iza
el QBD se de ine como:
Q=
L0F0 0 · · ·
B L F 0· · ·
0B L F · · ·
.
.
.......
(1)
donde L0, B, L, F ∈R2s×2s. Las ma ices B, F se
de inen en la ecuaci´
on (2), Len la ecuaci´
on (3) y
L0=L+B.
F=
λ0· · · 0
0λ· · · 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 · · · λ
,
B=
µ10 0 0 · · · 0 0
0 0 0 0 · · · 0 0
0 0 µ20· · · 0 0
0 0 0 0 · · · 0 0
.
.
..
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
.
0 0 0 0 · · · µs0
0 0 0 0 · · · 0 0
,
(2)
Se de ine la dis ibuci´
on es aciona ia del p oceso QBD
como Π=[π0, π1, π2, . . .], donde πies un ec o columna
de longi ud 2s, y πi( ), ∈ {1, . . . , 2s}es la p obabilidad
de ene i amas en el nodo cuando: (1) es impa , el
nodo se encuen a en el spli j, y j= +1
2, (2) es pa ,
el nodo es ´
a en s andby as pasa po el spli j,j=
2.
Si el nodo es ´
a abajando en ´
egimen de es abilidad, la
dis ibuci´
on es aciona io exis e, y hay una ma iz cons an e
Rque cumple la siguien e elaci´
on [19, Theo em 3.1.1]
R2·B+R·L+F= 0,(4)
donde R∈R2s×2s. Aunque no hay una soluci´
on
ce ada pa a la ecuaci´
on cuad ´
a ica (4), se puede u iliza
un m´
e odo i e a i o pa a encon a R. Adem´
as, se sabe
que exis e una ´
unica soluci´
on posi i a, con la que se puede
ob ene π0:
π⊺
0(L0+R·B) = 0⊺,
π⊺
0(I−R)−11= 1,(5)
donde 0,1son ec o es de ce os y unos espec i amen e,
de longi ud 2s. As´
ı, la dis ibuci´
on es aciona ia Π=
[π0, π1, . . .]se ob iene como:
π⊺
i=π⊺
0·Ri.(6)
A pa i de la dis ibuci´
on es aciona ia, se pude ob ene
´
acilmen e el n´
ume o medio de amas en el nodo Ncu/du
como:
Ncu/du =
π1
(I−R)2
1
=
π⊺
0·R
(I−R)2
1
(7)
donde ∥ · ∥1es la no ma-1. Finalmen e, usando la ley de
Li le se puede encon a el e a do medio po ama τcu/du,
que iene en cuen a an o el iempo de espe a como de
p ocesado:
τcu/du =Ncu/du
λ(8)
Como se ha mencionado, la dis ibuci´
on es aciona ia
exis e si la asa de se icio media en el nodo es supe io
a la asa de en ada. Po lo an o, se puede es ablece la
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267
Diez, Ag¨
ue o 2021.
L=
−(λ+µ1+γ1)γ10 0 0 · · · 0 0
0−(λ+ξ1)α12 ·ξ10α13 ·ξ1· · · α1s·ξ10
0 0 −(λ+µ2+γ2)γ20· · · 0 0
α21 ·ξ20 0 −(λ+ξ2)α23 ·ξ2· · · 0 0
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
.
00000· · · −(λ+µs+γs)γs
αs1·ξs0αs2·ξs0αs3·ξs· · · 0−(λ+ξs)
(3)
asa m´
axima λmax que ga an ice la es abilidad del sis ema
como:
λmax =
s
X
i=1
θi·µi(9)
donde θies la p obabilidad de que el nodo se encuen e
en un ni el de spli , la cual se puede calcula esol iendo
el siguien e sis ema:
Θ⊺·A=0⊺; Θ⊺·1= 1 (10)
donde Θes un ec o columna de longi ud 2scon las
p obabilidades de los spli s y es ado de s andby,A=L+
B+F, y 0y1son ec o es columna de ce os y unos
espec i amen e de longi ud 2s.
B. Re a do ex emo a ex emo en el on haul
Como se ha mencionado, se asumen que los nodos
CU y DU es ´
an conec ados po una ed de conmu aci´
on
de paque es o mada po swi ches y enlaces que pod ´
ıan
u iliza ecnolog´
ıas di e en es. Es os elemen os (enlaces
yswi ches) se modelan como sis emas M/M/1, lo que
pe mi e aplica eo ´
ıa de edes abie as de Jackson. Se
modela la opolog´
ıa de ed como un g a o di igido G=
(V,E), donde VyEson el conjun o de nodos y enlaces,
espec i amen e. Si se asume que exis en cCUs, dDUs,
nswi ches ylenlaces, se puede de ini V≜|V|=
c+d+n+l. Se de ine la ma iz de encaminamien o R,
de ama˜
no V×V, que indica c´
omo las amas eco en
la ed en e los CUs y sus DUs co espondien es. En la
Figu a 2 se mues a, a modo de ejemplo, una conexi´
on
en e la CUxy DUxa a ´
es de in swi ch Sxy los enlaces
co espondien es. Como se puede e , el modelo basado
en el p oceso QBD se u iliza en los nodos CU y DU,
mien as que el swi ch y los enlaces se modelan como
sis emas M/M/1.
Si se asume que se espe an las condiciones de los
eo emas de Bu ke y Jackson [21], [22], se puede es-
ablece el e a do ex emo a ex emo como la suma
de los e a dos asociados a cada nodo en la u a. Es as
condiciones implican que el p oceso de ´
a ico a la salida
de cada nodo sea es ad´
ıs icamen e id´
en ico al de en ada.
En el caso de los nodos M/M/1 el e a do se puede calcula
como τmm1 =1
µ−λ, donde µyλson las asas de se icio
y de ´
a ico de en ada al nodo. En es e caso, se ga an iza
la es abilidad si µ>λ. Se asume que ´
unicamen e los
CUs eciben ´
a ico, y que la ma iz de encaminamien o
Rindica la u a has a el DU co espondien e. Adem´
as,
los swi ches y enlaces pueden se compa idos po a ios
lujos de ´
a ico. Con ello, se de ine Λcomo el ec o de
asas de en ada λ de cada nodo ∈V, que se puede
calcula como [23], [22]:
Λ=Φ·(I − R)−1(11)
donde Φes o o ec o ila que con iene el ´
a ico ex e no
en la ed, de modo que ϕ = 0 pa a los swi ches, enlaces
y DUs, y ϕ = 0 pa a los CUs. Po lo an o, usando la
ma iz de encaminamien o Ry las asas de en ada en los
CUs se puede calcula la la asa de en ada y la ocupaci´
on
en cada nodo y, a pa i de ello, el e a do co espondien e.
Finalmen e, el e a do ex emo a ex emo pa a cada lujo
∈F, siendo Fel conjun o de lujos de en ada, se ob iene
como:
τ =X
∈P( )
τ ;P( ) : F−→ V(12)
donde P( )es una unci´
on que de uel e los nodos que
a a iesa el lujo .
Adem´
as, es posible es ablece el e a do p omedio en
la ed (sin necesidad de calcula los e a dos indi iduales
po lujo), aplicando la ley de Li le:
τ=P ∈Vn
λ0
(13)
donde λ0es la asa o al de ´
a ico ex e no en la ed: λ0=
P ∈Vϕ . Po o o lado n es el n´
ume o medio de amas
en el nodo , de inido (pa a swi ches y enlaces) po :
n =ρ
1−ρ(14)
En la ecuaci´
on (14) ρ ep esen a la ocupaci´
on del nodo,
calculada como ρ=λ
µ. Como se discu i ´
a a con inuaci´
on,
el p oceso de salida de las CUs y DUs no es es ic amen e
de Poisson y es o puede di icul a el uso de la eo ´
ıa de
edes abie as de Jackson. Como se e ´
a, bajo si uaciones
azonables ( iempos de s andby peque˜
nos), los esul ados
siguen siendo ´
alidos y ce canos al endimien o eal.
IV. VALIDACI ´
ON DEL MODELO
En es a secci´
on se alida ´
a el modelo desc i o an e-
io men e, compa ando los esul ados e´
o icos con los
ob enidos median e simulaci´
on. Pa a ello se ha ´
a uso de
un simulado po e en os implemen ado en C++, que
ha sido implemen ado ad-hoc. La az´
on de u iliza una
nue a he amien a en luga de soluciones exis en es (p.e.
ns-3) es que el obje i o es la alidaci´
on del modelo,
po lo que se ha buscado ene un mayo con ol sob e el
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268
CUx
DUx
0,0 1,0 2,0
λ λ λ
µ µ µ
0,0 1,0 2,0
λ λ λ
µ µ µ
0,0 1,0 2,0
λ λ λ
µ µ µ
Spli 1
0,1 1,1 2,1i, 1
0,e
1 1,e
1 2,e
1i,e
1
λ λ λ λ λ
µ1µ1µ1µ1µ1
λ λ λ λ λ
γ1γ1γ1γ1
Spli j
0,j1,j2,ji, j
0,e
j1,e
j2,e
j i,e
j
λ λ λ λ λ
µjµjµjµjµj
λ λ λ λ λ
γjγjγjγj
Spli s
0, s 1, s 2, s i, s
0,es1,es2,es i, es
λ λ λ
µsµsµs
λ λ
µsµs
λ λλ λ λ
γsγsγsγs
α1sξ1
α1jξ1
αjsξj
αj1ξj
αsjξs
αs1ξs
Spli 1
0,1 1,1 2,1i, 1
0,e
1 1,e
1 2,e
1i,e
1
λ λ λ λ λ
µ1µ1µ1µ1µ1
λ λ λ λ λ
γ1γ1γ1γ1
Spli j
0, j 1, j 2, j i, j
0,e
j1,e
j2,e
j i,e
j
λ λ λ λ λ
µjµjµjµjµj
λ λ λ λ λ
γjγjγjγj
Spli s
0,s1,s2,si, s
0,es1,es2,es i, es
λ λ λ
µsµsµs
λ λ
µsµs
λ λλ λ λ
γsγsγsγs
α1sξ1
α1jξ1
αjsξj
αj1ξj
αsjξs
αs1ξs
Sx
Modelo M/M/1 de Sx
Modelo M/M/1 de lcu-s
Modelo M/M/1 de ls-du
Fig. 2: Modelo ex emo a ex emo basado en cadenas de Ma ko
compo amien o simulado y e i a la complejidad a˜
nadida
po soluciones m´
as comple as, ales como l´
ogica de p o-
ocolos, que end ´
ıan alg´
un impac o en los esul ados. A
modo de esumen, el simulado implemen a los dos ipos
de nodo u ilizados (M/M/1 y QBD) y cua o ipos de
e en os. Todos los nodos ges ionan dos clases de e en os:
(1) llegada de una ama y (2) inalizaci´
on de p ocesado
de ama. Adem´
as, en los nodos QBD hay o os dos
ipos de e en os: (3) cambio de spli y (4) inalizaci´
on
de s anby. Se pueden con igu a a ios lujos de en ada,
y la ma iz de encaminamien o indica las u as que las
amas pe enecien es a es os lujos siguen. En la Tabla II
se mues an los pa ´
ame os de con igu aci´
on u ilizados en
odos los escena ios. Se han conside ado 4 ni eles de spli
(s= 4), con asas de se icio µ1,2,3,4={1,1.5,2,4}
ms−1. Es os alo es se han seleccionado pa a ilus a el
po encial del modelo, y e lejan di e en es capacidades de
p ocesado de amas de los ni eles de spli .
Po o o lado, el iempo medio de pe manencia en cada
spli es γ1,2,3,4={1
100 ,2
100 ,3
100 ,4
100 }ms−1. Como se
puede e , las asas pa a las DUs son “complemen a ias”,
ya que el p ocesado o al ha de epa i se en e la CU y
la DU. Adem´
as, se asume que ξj=ξ∀jde modo que
el iempo de s andby es el mismo pa a odos los spli s.
La ma iz Aes ablece las p obabilidades de selecci´
on del
siguien e ni el de spli , siendo la p obabilidad de ansi a
al mismo es ado αi,i = 0, y asegu ando que una ez
iniciado el cambio de spli es e inalice, Pj=1sαi,j = 1.
Como se puede obse a en la Tabla II la ma iz Aen
los DUs ambi´
en es la “complemen a ia” de la co e-
spondien e a los CUs, pa a e leja los cambios de spli
co espondien es.
En cuan o a los nodos M/M/1, u ilizados pa a modela
los swi ches y enlaces, se han de inido a ias asas de
se icio, pa a e leja di e en es si uaciones y ecnolog´
ıas.
Inicialmen e la asa de se icio de los swi ches se ´
a
µn= 5 ms−1y se educi ´
aa3ms−1en el ´
ul imo
escena io. Asimismo, las asas de los enlaces ep esen an
dos ecnolog´
ıas: ib a ´
op ica con una asa de µo = 8 ms−1
y ondas milim´
e icas, cuya asa µmmw se a ia ´
a (1, 2, 4,
6 ms−1) pa a analiza su impac o.
Tabla II: Con igu aci´
on del escena io
Nodos CU y DU
Tasas de se icio µ={1,1.5,2,4}(ms−1)
Tasas de cambio de spli γcu ={1
100 ,2
100 ,3
100 ,4
100 }(ms−1)
γdu ={4
100 ,3
100 ,2
100 ,1
100 }(ms−1)
Du aci´
on de s andby ξ−1= 1,5,10,20,50 (ms)
P obabilidades de an-
sici´
on en e spli s
Acu =
0 0.6 0.2 0.2
0.1 0 0.3 0.6
0.3 0.300.4
0.2 0.3 0.5 0
Adu =
0 0.5 0.3 0.2
0.4 0 0.3 0.3
0.6 0.300.1
0.2 0.2 0.6 0
Red on haul
Tasas de se icio de los
swi ches
µn= 5,3(ms−1)
Tasa de se icio de en-
laces de ib a ´
op ica
µo = 8 (ms−1)
Tasa de se icio de en-
laces mmWa e
µmmw = 1,2,4(ms−1)
A. Nodos CU/DU
En el p ime escena io a e alua se alida ´
a el com-
po amien o de los nodos CU y DU. Se usa ´
a la con igu-
aci´
on indicada en la Tabla II y se es udia ´
a el iempo
de pe manencia en el nodo al inc emen a la asa de
en ada pa a los di e en es alo es de iempo de s andby.
En la Figu a 3 se mues an los esul ados e´
o icos con
l´
ınea con inua, y los ob enidos con el simulado con
ma cado es. Los alo es de simulaci´
on se han ob enido
a pa i de 100 simulaciones independien es, en cada una
de las cuales se han gene ado 106 amas, pa a asegu a
esul ados es ad´
ıs icamen e iables. En p ime luga , se
puede obse a que con el modelo e´
o ico se ob ienen
alo es casi id´
en icos a los simulados, lo que pe mi e
alida el modelo de los nodos CU/DU, as´
ı como la
co ec a implemen aci´
on del simulado . Po o o lado, los
esul ados ambi´
en indican que el iempo de s andby iene
un g an impac o, ya que el iempo medio de pe manencia
c ece de o ma acusada al aumen a el alo de ξ−1.
Me ece la pena indica que en sis emas eales, es espe able
que el iempo de s anby necesa io pa a la econ igu aci´
on
de las es aciones base sea a ios ´
o denes de magni ud
meno que el de pe manencia en cada uno de los spli ,
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269
Diez, Ag¨
ue o 2021.
0
100
200
300
400
Tiempo CU (ms)
ξ−1= 1 ξ−1= 5
ξ−1= 10 ξ−1= 20
ξ−1= 50 1.8 1.9 2
0
10
20
30
0 0.5 1 1.5 2
0
100
200
300
400
λ(ms−1)
Tiempo DU (ms)
Fig. 3: Tiempo de pe manencia en los nodos CU/DU
inc emen ando la asa de en ada λy con di e en es
iempos de s andby
como se ha is o en [5].
Como se ha mencionado p e iamen e, pa a u iliza la
eo ´
ıa de edes abie as de Jackson en la ca ac e izaci´
on
del e a do ex emo a ex emo se equie e que se cumpla el
eo ema de Bu ke, de modo que el p oceso de ´
a ico a la
salida sea es ad´
ıs icamen e id´
en ico al de la en ada [21],
[23]. Po ello, se necesi a asegu a que el ´
a ico de
salida en los CU sea un p oceso de Poisson, o de o o
modo, que el iempo en e salidas consecu i as sigue una
dis ibuci´
on exponencial. Incluso si el ´
a ico de en ada
sea al que se asegu e la es abilidad del sis ema, de inida
po la ecuaci´
on (9), pod ´
ıa habe ci cuns ancias en las que
el eo ema de Bu ke no se cumplie a. Po ello, se debe
asegu a que: (i) el ´
a ico de en ada sea meno que la
asa de se icio del spli m´
as len o y (ii) que el iempo de
s andby pueda conside a se desp eciable en compa aci´
on
con los iempos de pe manencia en los spli .
A in de analiza si es as dos condiciones han de
espe a se de mane a es ic a, se ha usado el simulado
pa a es udia el iempo en e salidas en el CU. En la
Figu a 4 se mues a la des iaci´
on es ´
anda ela i a (DER)
de es os iempos, que se de ine como la elaci´
on en e su
des iaci´
on es ´
anda y su media. Si la salida del nodo CU
ue a un p oceso de Poisson, la DER debe oma alo 1.
Se puede obse a que la DER es no ablemen e mayo que
1 cuando el iempo de s andby es al o, po lo que en esas
ci cuns ancias el p oceso de salida del ´
a ico no pod ´
ıa se
conside ado de Poisson, incluso cuando la asa de en ada
es ´
a po debajo de su posible alo m´
aximo, aquel que
asegu a es abilidad. Po o o lado, cuando el alo del
iempo de s andby es meno , la DER es ´
a muy p ´
oxima a
la unidad. Dado que es a si uaci´
on es la m´
as e os´
ımil, se
puede conside a que en condiciones ealis as el ´
a ico a la
salida del CU se co esponde ´
a con un p oceso de Poisson,
y que po lo an o el modelo p esen ado se ´
a ´
alido.
2
4
6
8
DER
ξ−1= 5
ξ−1= 10
ξ−1= 20
ξ−1= 50
0 0.511.522.5 3
1
1.1
1.2
λ(ms−1)
DER
ξ−1= 1
sin s andby
Fig. 4: Des iaci´
on es ´
anda ela i a (DER) del iempo
en e salidas en el CU pa a di e en es alo es de la asa
de en ada y iempos de s andby
CU1
CU2
CU3
S1S2
S3
S4
DU1
DU3
DU2
Flow1
Flow2
Flow3
Fig. 5: Red on haul pa a alida el modelo ex emo a
ex emo
B. Re a do ex emo a ex emo
A con inuaci´
on se analiza ´
a el e a do ex emo a ex-
emo espe ado sob e el escena io ep esen ado en la
Figu a 5 que incluye es pa es CU/DU y cua o swi ches.
Sob e es e escena io se es ablece un lujo en e cada pa
CU/DU, el cual sigue la u a mos ada en la igu a: (i)
CU1→S1→S2→DU1; (ii) CU2→S1→S3→S4→
DU2; (iii) CU3→S3→DU3.
En p ime luga se asume que odos los enlaces ienen
al a capacidad ( ib a ´
op ica), po lo que ´
unicamen e se
incluye en la e aluaci´
on del e a do el e ec o de los
nodos CU/DU y de los swi ches. En la Figu a 6a se
mues an los e a dos medios de cada lujo y el p omedio
global, al inc emen a el alo de la asa de en ada. Los
esul ados e´
o icos se han ob enido con las ecuaciones (13)
y (14), y se han compa ado con los ob enidos median e
simulaci´
on. Nue amen e, pa a cada con igu aci´
on se han
ealizado 100 simulaciones independien es gene ando en
cada una de ellas 106 amas. Como se puede obse a ,
nue amen e los esul ados e´
o icos son casi id´
en icos a
los simulados, aumen ando el e a do en ambos casos al
inc emen a la asa de en ada. Tambi´
en se puede obse a
que el modelo e´
o ico p opo ciona esul ado p ´
ac icamen e
id´
en icos, en su alo medio, a los simulados, incluso
cuando el ´
a ico de en ada es supe io a la asa de se icio
del spli m´
as len o (1 pk /ms), lo que implica que no se
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270
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
20
40
60
80
100
λpo lujo (pk /ms)
Tiempo (ms)
P omedio
Flujo1
Flujo2
Flujo3
0.8
4
4.5
5
(a) Re a do medio
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
2
4
6
8
10
Tiempo (ms)
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
0
100
200
300
400
Flujo1
Flujo2
Flujo3
λpo lujo (pk /ms)
Tiempo (ms)
(b) Dis ibuci´
on del e a do
Fig. 6: Re a do ex emo a ex emo al inc emen a λ
po lujo. La igu a supe io mues a el e a do medio
y la in e io ep esen a la a iabilidad de los esul ados
ob enidos.
cumplen es ic amen e los equisi os pa a aplica la eo ´
ıa
de Jackson.
Usando el simulado se puede ex ende el an´
alisis pa a
conoce , no solo los alo es medios, sino la dis ibuci´
on
del e a do, que puede ene un impac o no able en el
endimien o de los se icios. En la Figu a 6b se usan dia-
g amas de caja ( boxplo s) pa a ep esen a la a iabilidad
del e a do po lujo pa a a ios alo es de asa de en ada
(λ). Cada diag ama indica la mediana (pe cen il del 50%)
con una l´
ınea ho izon al, as´
ı como los pe cen iles del 25 y
75%, que co esponden a los l´
ımi es de la cada. Po o o
lado, las l´
ıneas supe io e in e io indican los pe cen iles
del 5 y 95%. Tambi´
en se indica en cada caja el alo
medio median e un ma cado . Como se puede obse a
el e a do c ece al aumen a la asa de en ada, al como
se io an e io men e. Es os esul ados mues an que pa a
asas de en ada bajas el e a do m´
aximo se encuen a po
debajo de 10ms, el cual aumen a b uscamen e cuando la
asa de en ada supe a la asa de se icio del spli m´
as
len o (1 pk /ms).
En el siguien e escena io se ija la asa de los lujos
1 y 3 ( 1y 3) a 0.8 pk /ms, y se a inc emen ando la
co espondien e al lujo 2 ( 2). Como se puede ap ecia en
la Figu a 5, 2a a iesa los swi ches S1, que ambi´
en es
usado po 1, y S3, que se compa e con 3. En la Figu a 7
se mues a el e a do medio ex emo a ex emo. Al igual
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
4
6
8
Flujo2λ(pk /ms)
Tiempo (ms)
P omedio Flujo1
Flujo2Flujo3
Fig. 7: Re a do ex emo a ex emo inc emen ando λ 2
que en los esul ados an e io es los alo es e´
o icos se
indican con l´
ınea con inua, mien as que las esul ados
ob enidos en la simulaci´
on se ep esen an con ma cado es,
que indican el alo medio as 100 expe imen os in-
dependien es. En es e caso, dado que las asas de los
lujos son di e en es, cada simulaci´
on gene a amas has a
asegu a que el lujo con meno asa en ´
ıa 106 amas,
y que el es o no ha dejado de gene a ´
a ico, pa a
que las condiciones de la ed no cambien a lo la go de
cada expe imen o. Adem´
as de comp oba se nue amen e
que los esul ados de la simulaci´
on y e´
o icos son casi
id´
en icos, se puede obse a que el inc emen o de la asa
λ 2p ´
ac icamen e no in luye en los o os lujos con los
que compa e swi ch, ya que los swi ches en es e escena io
ienen poca ocupaci´
on en elaci´
on a su capacidad. Po o o
lado, los esul ados ambi´
en mues an el inc emen o del
e a do de 2aumen a su asa, po lo que se deduce que,
con es a con igu aci´
on, el e a do es debido p incipalmen e
al p ocesado en los nodos CU/DU.
C. Impac o de es a egia de encaminamien o y enlaces
he e og´
eneos
Se analiza a con inuaci´
on el impac o sob e el e a do
al modi ica la ecnolog´
ıa de los enlaces que con o man
la ed que se es ´
a analizado (Figu a 5), as´
ı como al
adap a la con igu aci´
on de encaminamien o. Se asume que
odos los enlaces ienen capacidad al a (µ o = 8 ms−1),
excep o el que conec a los swi ches S1yS2, que emula
un enlace mmWa e. Bajo es as condiciones se ha a iado
la pol´
ı ica de encaminamien o de S1, de modo que con
p obabilidad φse usa el camino co o (a a esando el
enlace en e S1yS2) y con p obabilidad 1−φel ´
a ico
se een ´
ıa po la siguien e u a: CU1→S1→S3→
S2→DU1. La Figu a 8 mues a que el e a do medio
global (conside ando odos lo lujos) a ´
ıa a medida que se
modi ica el alo de φ. Las asas pa a odos los lujos son
0.8pk /ms, y los esul ados se ep esen an como en las
igu as an e io es. Los alo es que se ob ienen a a ´
es del
simulado ambi´
en se han ob enido de 100 simulaciones
independien es, en las que se han gene ado 106 amas
po lujo. Los esul ados mues an que la es a egia de
encaminamien o, como e a de espe a , iene un impac o
e iden e en el endimien o. En es e sen ido, se puede e
que hay un pun o de ope aci´
on ´
op imo ( espec o a φ)
donde el e a do p esen e el alo m´
as bajo. En conc e o,
con la con igu aci´
on desc i a, cuando la asa del enlace
en e los swi ches S1yS2es 1pk /ms, el alo que
op imiza el endimien o es φ≈0.6.
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271
Diez, Ag¨
ue o 2021.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
4
5
6
7
8
φ
Tiempo (ms)
µmmw = 1 pk /ms µmmw = 2 pk /ms
µmmw = 4 pk /ms
Fig. 8: Re a do ex emo a ex emo con enlaces he -
e og´
eneos y di e en es pol´
ı icas de encaminamien o
V. CONCLUSIONES
En es e a ´
ıculo se ha p esen ado un modelo basado
en eo ´
ıa de colas pa a analiza el endimien o de la ed
on haul en edes de acceso con selecci´
on din´
amica de
unc ional spli . El modelo conside a di e en es asas de
se icio pa a cada uno de los ni eles de cen alizaci´
on,
as´
ı como di e en es iempos de s andby, que se con empla
pa a las a eas de econ igu aci´
on de los nodos CU y DU
al modi ica su spli . Se plan ea el uso de un p oceso QBD,
cuyo compo amien o se ha ob enido usando el m´
e odo de
la ma iz geom´
e ica. Tambi´
en se ha analizado bajo qu´
e
ci cuns ancias el modelo de los nodos CU/DU se puede
u iliza jun o con eo ´
ıa de edes de Jackson pa a e alua el
e a do ex emo a ex emo en la ed on haul. Se ha is o
que, pa a eg´
ımenes de ope aci´
on ealis as, los esul ados
ob enidos po el modelo e´
o ico son casi id´
en icos a los
p opo cionados median e simulaci´
on.
Pos e io men e se ha es udiado el e a do ex emo a ex-
emo de la ed on haul, obse ando nue amen e que los
esul ados p opo cionados po el modelo y los ob enidos
median e simulaci´
on son p ´
ac icamen e id´
en icos. Final-
men e, se ha modi icado la con igu aci´
on del escena io
de e aluaci´
on pa a mos a el po encial del modelo an e
di e en es ci cuns ancias. En conc e o, se ha analizado el
endimien o de la ed al aplica di e en es pol´
ı icas de
encaminamien o sob e enlaces he e og´
eneos, poniendo de
mani ies o que el modelo puede se u ilizado pa a ob ene
pun os ´
op imos de ope aci´
on.
Se han iden i icado dos l´
ıneas de abajo que se abo -
da ´
an en el u u o. Po un lado, u ilizando el simulado
se a a analiza el impac o que iene limi a el ama˜
no de
los bu e en los di e en es nodos, as´
ı como el e ec o de
cambia los pa ones de ´
a ico. Po o o lado, se p e ende
u iliza el modelo pa a e alua di e en es pol´
ı icas de spli ,
y esquemas de ges i´
on de los bu e .
AGRADECIMIENTOS
Los au o es ag adecen la inanciaci´
on de Gobie no de
Espa˜
na (Minis e io de Econom´
ıa y Compe i i idad, Fondo
Eu opeo de Desa ollo Regional, MINECO-FEDER) po
medio del p oyec o FIERCE: Fu u e In e ne Enabled
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