Función Gene ado a de Secuencias con Con e gencia
Demos able
Miguel Ce dá Bennassa
12 de oc ub e de 2025
[email p o ec ed]
Índice
1. In oducción 4
2. De inición y P opiedades Básicas 4
2.1. Compo amien o según clases modula es ................... 5
3. Iden i icación del Ciclo A ac o 5
4. Demos ación de Con e gencia Global 6
4.1. Con e gencia desde n≡2 (m´od 4) ...................... 6
4.2. Escape desde n≡0 (m´od 4) .......................... 7
4.3. Con ol del descenso global ........................... 8
4.4. Teo ema p incipal ................................ 8
5. Consecuencias 8
6. Equi alencia es uc u al en e la unción Colla z y la unción δ9
6.1. Modelo de Colla z empleado .......................... 10
6.2. Ejemplo ilus a i o desde n= 7 ........................ 11
6.3. Compa ación de allada ............................. 11
6.4. Cálculo explíci o de ansiciones ........................ 12
6.5. Comen a ios y es adís icas compa a i as ................... 12
7. Con e gencia y co as pa a la dinámica de δ12
7.1. Re o no ápido de 2 m´od 4 a0 m´od 4 ..................... 13
7.2. Bloques con ν2= 2 y con acción uni o me .................. 13
7.3. Con e gencia global ............................... 13
1
7.4. Co a del iempo de en ada .......................... 13
7.5. Ejemplo ilus a i o ............................... 14
7.6. Línea u u a: amilia a ín que p ese a pa es ................. 14
8. Es uc u a de Cadenas Impa es en Colla z 14
8.1. De inición y ca ac e ización de cadenas impa es ............... 14
8.2. Condición de con inuidad: impa es 4n+3 ................... 14
8.3. Teo ema de ini ud de cadenas impa es .................... 15
8.4. Fó mula pa a la longi ud de cadenas ..................... 17
8.5. Imposibilidad de c ecimien o inde inido .................... 18
8.6. Consecuencias pa a la elación δ-Colla z ................... 18
8.7. Po qué es a p oyección acili a la demos ación ............... 19
8.7.1. Reducción del espacio de es ados ................... 19
8.7.2. Uni icación del compo amien o modula ............... 19
8.7.3. Con ol del c ecimien o ......................... 20
8.7.4. Eliminación de ciclos complejos .................... 20
8.7.5. Técnicas de demos ación aplicables .................. 20
8.7.6. Sín esis ................................. 21
8.7.7. Lími es de la p oyección ........................ 21
9. Análisis Cuan i a i o del Tiempo de Con e gencia 22
9.1. Ve i icación compu acional ........................... 23
10.Gene alización: Familia Pa amé ica 24
10.1. De inición de la amilia ............................. 24
10.2. Condiciones pa a con e gencia demos able .................. 24
10.3. Ejemplos de la amilia ............................. 25
10.4. Región de con e gencia demos able ...................... 25
11.Es uc u a del G a o de P eimágenes 26
11.1. P eimágenes de la unción ........................... 26
11.2. Á bol de con e gencia ............................. 26
12.Análisis Modula 27
12.1. Compo amien o módulo 8 ........................... 27
2
12.2. Compo amien o módulo 9 ........................... 28
12.3. Análisis combinado: mod 8 y mod 9 ...................... 30
12.4. Tabla de ciclos modula es ........................... 30
12.5. In e p e ación geomé ica ........................... 30
12.6. Implicaciones pa a la demos ación ...................... 31
12.7. Raíces digi ales y análisis mod 9 ........................ 31
12.8. Compa ación con Colla z módulo 9 ...................... 32
12.9. Conje u a de le an amien o .......................... 32
13.Conclusiones y T abajo Fu u o 32
13.1. Resumen de esul ados ............................. 32
13.2. Apo ación p incipal: Cadenas impa es ini as ................ 33
13.3. Técnicas desa olladas ............................. 34
13.4. P oblemas abie os ............................... 34
13.5. Di ecciones u u as ............................... 35
13.5.1. Análisis es ocás ico ........................... 35
13.5.2. Gene alización a g a os ......................... 35
13.5.3. Implemen ación compu acional .................... 35
13.5.4. Conexiones con o os p oblemas .................... 35
13.6. Rele ancia del abajo ............................. 35
13.7. Obse ación inal ................................ 36
Resumen
In oducimos una unción δ: 2N→2Nde inida sob e núme os pa es que gene a
secuencias con e gen es a un ciclo simple de pe íodo 2. Demos amos que oda
ó bi a bajo i e ación de δcon e ge al ciclo {2,4}median e un análisis modula
y el es udio de la aluación 2-ádica. La unción δpuede in e p e a se como una
p oyección de la conje u a de Colla z sob e núme os pa es, eliminando los é minos
impa es in e medios.
Demos amos además que en Colla z no pueden exis i cadenas impa es in ini as
(Teo ema 7.2), es ableciendo que oda cadena de é minos de la o ma 4n+ 3 debe
e mina e en ualmen e en un é mino 4n+ 1 que gene a un pa con aluación 2-
ádica ≥2. Es e esul ado elimina la posibilidad de c ecimien o inde inido median e
cadenas impa es y educe signi ica i amen e el gap en e la con e gencia demos ada
de δy la conje u a de Colla z.
P opo cionamos co as pa a el iempo de con e gencia, es udiamos una amilia
pa amé ica de unciones elacionadas, y analizamos el compo amien o modula en
múl iples bases.
1. In oducción
El es udio de unciones i e a i as sob e los núme os na u ales ha p oducido p oblemas de
no able di icul ad. En es e abajo p esen amos una unción de inida sob e núme os pa es
que, a pesa de combina ope aciones de c ecimien o y educción, admi e una demos ación
comple a de con e gencia global.
La unción que es udia emos posee dos ca ac e ís icas dis in i as: (i) es á de inida úni-
camen e sob e núme os pa es, educiendo así el espacio de es ados, y (ii) al e na en e
una ase de expansión mode ada ( ac o 3
2) y una ase de con acción (ap oximadamen e
ac o 1
2).
2. De inición y P opiedades Básicas
De inición 2.1. Pa a odo núme o pa n∈2N, sea =3n
2+ 1. De inimos:
δ(n) =
si es pa
−n−1si es impa
Obse ación 2.1. Equi alen emen e, la unción puede exp esa se de o ma simpli icada:
δ(n) =
3n
2+ 1 si 3n
2+ 1 es pa
n
2si 3n
2+ 1 es impa
Obse emos que cuando =3n
2+ 1 es impa , la exp esión −n−1se simpli ica:
−n−1 = 3n
2+ 1−n−1 = 3n
2−n=n
2
Es a o mulación simpli icada es ú il pa a e i ica ápidamen e el compo amien o de la
unción.
4
P oposición 2.1 (P ese ación de pa idad).Si nes pa , en onces δ(n)es pa .
Demos ación. Sea =3n
2.
Caso 1: Si es pa , en onces δ(n) = es pa .
Caso 2: Si es impa , en onces nes pa y es impa , luego:
δ(n)= −n+ 1 = impa −pa +1=impa +1=pa
Po la P oposición 2.2, δes una unción bien de inida de 2Nen sí mismo, lo que pe mi e
es udia sus ó bi as.
De inición 2.2. La ó bi a de nbajo δes la secuencia
O(n) = {n, δ(n), δ2(n), δ3(n), . . .}
Di emos que ncon e ge a un conjun o Csi exis e ∈N al que δ (n)∈C.
2.1. Compo amien o según clases modula es
El compo amien o de δdepende c ucialmen e de la clase de nmódulo 4.
P oposición 2.2 (Compo amien o mod 4).1. Si n≡0 (m´od 4), en onces =3n
2+ 1
es impa , luego δ(n) = n
2.
2. Si n≡2 (m´od 4), en onces =3n
2+ 1 es pa , luego δ(n) = 3n
2+ 1.
Demos ación. (1) Si n= 4k, en onces =3·4k
2+ 1 = 6k+ 1 es impa , y
δ(n)= −n−1 = (6k+ 1) −4k−1 = 2k=n
2
(2) Si n= 4k+ 2, en onces =3(4k+2)
2+ 1 = 6k+ 3 + 1 = 6k+ 4 es pa . Po an o
δ(n)= = 6k+ 4 = 3(4k+2)
2+ 1 = 3n
2+ 1
In e p e ación: Los núme os n≡0 (m´od 4) expe imen an una ase de c ecimien o ( ac-
o 3
2), mien as que los núme os n≡2 (m´od 4) expe imen an una con acción (ap oxi-
madamen e ac o 1
2).
3. Iden i icación del Ciclo A ac o
P oposición 3.1 (Exis encia del ciclo).Los núme os 2 y 4 o man un ciclo de pe íodo 2
bajo δ:
δ(2) = 4, δ(4) = 2
5
Demos ación. Pa a n= 2:3·2
2+ 1 = 4 es pa , luego δ(2) = 4.
Pa a n= 4:3·4
2+ 1 = 7 es impa , luego
δ(4) = 7 −4−1 = 2
Nues o obje i o p incipal es demos a que es e ciclo {2,4}a ae odas las ó bi as.
4. Demos ación de Con e gencia Global
La demos ación p ocede en es e apas: p ime o p obamos con e gencia desde la clase
n≡2 (m´od 4), luego mos amos que odo núme o en la clase n≡0 (m´od 4) e en ual-
men e pasa a la p ime a clase, y inalmen e con olamos el descenso global median e un
a gumen o de aluación 2-ádica.
4.1. Con e gencia desde n≡2 (m´od 4)
Lema 4.1 (Reducción en clase 2 mod 4).Pa a odo n≡2 (m´od 4) con n≥6, se cumple
que
δ(n) = n
2+ 1 < n
Demos ación. Po la P oposición 2.2, si n= 4k+ 2 con k≥1, en onces
δ(n)=2k+ 2 = 4k+ 2
2+ 1 = n
2+ 1
Pa a n≥6(es deci , k≥1), enemos
n
2+ 1 = n+ 2
2< n ⇐⇒ n+ 2 <2n⇐⇒ 2< n
lo cual se cumple pa a n≥6.
Lema 4.2 (Con e gencia desde clase 2 mod 4).Todo núme o n≡2 (m´od 4) con n≥6
con e ge al ciclo {2,4}.
Demos ación. Sea n= 4k+ 2 con k≥1. En onces δ(n) = 2(k+ 1).
Caso A: Si k+ 1 es pa , digamos k+ 1 = 2m, en onces
δ(n)=4m≡0 (m´od 4)
En es e caso, δ(n)pasa a la clase 0 mod 4.
Caso B: Si k+ 1 es impa , en onces
δ(n) = 2(k+ 1) ≡2 (m´od 4)
6
pe o po el Lema 4.1,δ(n)< n.
Po an o, mien as pe manezcamos en la clase 2 mod 4, la secuencia
n0, n1=δ(n0), n2=δ(n1), . . .
es es ic amen e dec ecien e. Como los núme os na u ales es án bien o denados, es a se-
cuencia debe alcanza un mínimo.
El mínimo en la clase 2 mod 4 con n≥6es n= 6, y e i icamos:
δ(6)=4∈ {4,6}
Po descenso in ini o, oda ó bi a desde n≡2 (m´od 4),n≥6, con e ge al ciclo.
4.2. Escape desde n≡0 (m´od 4)
De inición 4.1. La aluación 2-ádica de n, deno ada 2(n), es el mayo exponen e a
al que 2a|n. Equi alen emen e, si n= 2a·mcon mimpa , en onces 2(n) = a.
Lema 4.3 (Escape a clase 2 mod 4).Todo núme o n≡0 (m´od 4) e en ualmen e gene a
un núme o n′≡2 (m´od 4).
Demos ación. Sea n= 2a·mcon mimpa y a≥2(pues n≡0 (m´od 4)).
Mien as n≡0 (m´od 4), po la P oposición 2.2 enemos
δ(n) = 3n
2= 3 ·2a−1·m= 2a−1·(3m)
Como 3mes impa (p oduc o de impa es), se iene
2(δ(n))=a−1
I e ando es e a gumen o:
2(n)=a
2(δ(n))=a−1
2(δ2(n)) = a−2
.
.
.
2(δa−1(n)) = 1
Cuando 2= 1, enemos δa−1(n) = 2 ·(impa ), es deci ,
δa−1(n)≡2 (m´od 4)
Po an o, después de exac amen e a−1i e aciones, la ó bi a alcanza la clase 2 mod
4.
7
4.3. Con ol del descenso global
El Lema 4.3 ga an iza que odo núme o n≡0 (m´od 4) e en ualmen e pasa a la clase 2
mod 4. Sin emba go, po el Lema 4.2 (Caso A), es posible que la ó bi a e o ne a la clase
0 mod 4. Es necesa io demos a que, a pesa de es os posibles e o nos, hay descenso
global.
Lema 4.4 (Bloque con 2= 2 con ae).Sea n= 22·m= 4mcon mimpa (i.e.,
2(n) = 2). En onces
δ(δ(n)) = 3m+ 1 = 3
4n+ 1 < n (n≥4)
En pa icula , el bloque de dos pasos desde cualquie ncon 2(n)=2p oduce una dismi-
nución es ic a del alo .
Demos ación. Si n= 4mcon mimpa , el p ime paso ( ama 0 mod 4) da
δ(n) = 3n
2= 6m≡2 (m´od 4)
El segundo paso ( ama 2 mod 4) es
δ(δ(n)) = δ(n)
2+ 1 = 6m
2+ 1 = 3m+ 1
Como 3m+ 1 = 3
4n+ 1 < n pa a odo n≥4, el bloque de dos pasos con ae.
4.4. Teo ema p incipal
Teo ema 4.5 (Con e gencia).Pa a odo núme o pa n≥4exis e ≥0 al que δ (n)∈
{2,4}. En pa icula , oda ó bi a en a en el ciclo {2,4}.
Demos ación. Caso 1:Sin∈ {2,4}, omamos = 0 y la a i mación es inmedia a.
Caso 2: Si n≡2 (m´od 4) con n≥6, el Lema 4.2 p opo ciona un ≥1con δ (n)∈ {2,4}.
Caso 3:Sin≡0 (m´od 4) con n>6, po el Lema 4.3 la ó bi a alcanza 2= 2 en un
núme o ini o de pasos. En onces el Lema 4.4 ga an iza una con acción es ic a en dos
pasos. Conside ando la subsucesión {nk}de alo es con 2(nk) = 2, es a es es ic amen e
dec ecien e po epe idas aplicaciones del Lema 4.4. Como es una sucesión dec ecien e de
en e os posi i os, as ini os pasos se alcanza un alo nk≤6, con e giendo en onces al
ciclo {2,4}po los casos an e io es.
5. Consecuencias
Co ola io 5.1. El ciclo {2,4}es el único ciclo de δen 2N.
Demos ación. Si exis ie a o o ciclo C′={2,4}, en onces algún elemen o de C′no con-
e ge ía a {2,4}, con adiciendo el Teo ema 4.5.
Co ola io 5.2. Pa a odo n≥4pa , el iempo de con e gencia τ(n) = m´ın{ ≥0 :
δ (n)∈ {2,4}} es ini o.
8
6. Equi alencia es uc u al en e la unción Colla z
y la unción δ
La unción δ ue de inida en secciones an e io es como un ope ado sob e los núme os pa es
que encapsula, en un único paso, la ansición en e dos é minos pa es consecu i os de
la ó bi a de la unción de Colla z clásica.
En es a sección es ablecemos igu osamen e la equi alencia es uc u al en e ambas diná-
micas: oda ayec o ia gene ada po δco esponde de o ma biuní oca a la subsecuencia
de é minos pa es de una ayec o ia de Colla z, y ice e sa.
Es e esul ado iene consecuencias concep uales impo an es:
Pe mi e e o mula la conje u a de Colla z como un p oblema de con e gencia es-
ingido al subespacio pa , educiendo la longi ud e ec i a de las ayec o ias.
Elimina la necesidad de analiza explíci amen e los pasos sob e impa es, ya que és os
quedan abso bidos en la de inición de δpa a el caso n≡2 (m´od 4).
La con e gencia al ciclo (4,2) de δes equi alen e a la con e gencia al ciclo (4,2,1)
de la unción Colla z o iginal.
En la P oposición 6.1 se p ecisa el modelo de Colla z adop ado; en la P oposición 6.1 se
demues a la equi alencia paso a paso; y en el Co ola io 6.3 se es ablece la equi alencia
global en e ambas dinámicas. Las secciones pos e io es ilus an es a co espondencia
median e ejemplos y es adís icas compa a i as.
P oposición 6.1 (Equi alencia de ansición pa →pa ).Sea C:Z>0→Z>0la ans o -
mación de Colla z es ánda
C(n) =
n
2,si nes pa ,
3n+ 1,si nes impa ,
y sea δ: 2Z→2Zla unción de inida po
δ(n) =
n
2, n ≡0 (m´od 4),
3n
2+ 1, n ≡2 (m´od 4).
En onces, pa a odo npa , el siguien e é mino pa que apa ece al i e a Cdesde nes
exac amen e δ(n). En pa icula , si p0, p1, p2, . . . es la subsecuencia de é minos pa es de
la ó bi a de Ciniciada en un pa p0, se cumple
pj+1 =δ(pj) (j≥0).
Demos ación. Esc ibe n= 2m.
Caso 1: mpa (equi alen e a n≡0 (m´od 4)). En onces C(n) = n/2=m, que es pa .
Po la de inición de δ,
siguien e pa po Colla z =m=n
2=δ(n).
9
En pa icula , si sj≥2los é minos in e medios pueden se pa es, po lo que Tjno
coincide con la cadena impa de 8.1.
Obse ación 8.2 (Co a explíci a).Usando log2(3Oj+ 1) = log2Oj+ log2(3 + 1
Oj), se
ob iene la es imación p ác ica
sj≤jlog2Oj+ 1,585 ...k,
álida pa a odo Oj≥1.
P oposición 8.5 (Imposibilidad de una acha in ini a con s= 1).No exis e una sucesión
in ini a de impa es O1, O2, . . . al que
ν2(3Oj+ 1) = 1 pa a odo j, Oj+1 =3Oj+ 1
2.
Demos ación. Si O≡ −1 (m´od 2m)en onces
3O+ 1
2=−1+3·2m−1 ≡ −1 (m´od 2m−1)(esc ibiendo O=−1+2m ).
Po inducción, pa a dispone de kpasos consecu i os con ν2(3Oj+ 1) = 1 es necesa io
O1≡ −1 (m´od 2k+1). Una acha in ini a exigi ía O1≡ −1 (m´od 2m)pa a odo m, lo que
ca ac e iza al 2-ádico −1, que no es un impa posi i o de la dinámica usual. Po an o,
al sucesión in ini a no exis e.
A gumen o po descenso de aluación:
Den o de una cadena impa , cada ez que di idimos po 2 un pa con 2= 1, ob enemos
un impa . Es e impa gene a median e 3n+ 1 un nue o pa . Sin emba go, la aluación
2-ádica o al del sis ema iene un compo amien o c ucial:
Si pa imos de un pa p0= 2a·mcon a≥1
La p ime a di isión da un impa (si a= 1) o un pa (si a≥2)
Si a= 1, ob enemos un impa que puede se 4k+ 3 (con inúa la cadena) o 4k+ 1
( e mina la cadena)
Es uc u a de la cadena según n0:
Si el núme o inicial de la cadena es de la o ma:
n0= 2a(2k−1) −1
3
(exp esión que ga an iza que 3n0+ 1 = 2a(2k−1)), en onces:
1. Aplica 3n+ 1 da p0= 2a(2k−1)
2. Di idi po 2 sucesi amen e has a ob ene un impa
3. Es e p oceso consume el exponen e a
16
4. Cuando llegamos al úl imo impa de la o ma 4k+ 1, gene a un pa con 2≥2
Conclusión:
Pa a que una cadena ue a in ini a, necesi a íamos un núme o inicial cuyo 3n+ 1 u ie a
aluación 2-ádica in ini a:
2(3n0+ 1) = ∞
Pe o es o eque i ía que 3n0+ 1 = 0 o que 3n0+ 1 u ie a in ini os ac o es de 2, ambas
imposibles pa a n0∈N.
Po an o, oda cadena impa es ini a, aco ada po 2(3n0+ 1).
8.4. Fó mula pa a la longi ud de cadenas
P oposición 8.6 (Longi ud de cadena).Sea n0un núme o impa que inicia una cadena
impa , y sea p0= 3n0+ 1 = 2a·mcon mimpa . En onces:
1. La cadena con iene a lo sumo apa es consecu i os de la o ma pj= 3ij+ 1 con
2(pj)=1
2. Cada uno de es os pa es gene a un nue o impa ij+1 =pj/2que con inúa la cadena
si ij+1 ≡3 (m´od 4)
3. La cadena e mina cuando se alcanza un impa ik≡1 (m´od 4), que gene a un pa
con 2≥2
Po an o, la longi ud de la cadena (núme o de é minos impa es) es á aco ada po
a= 2(3n0+ 1).
Demos ación. Den o de una cadena impa , cada é mino pa iene la o ma pj= 3ij+1.
Si la cadena con inúa (es deci , pj/2es impa ), en onces 2(pj)=1.
Conside emos la secuencia de aluaciones. Si pa imos de p0= 2a·m:
Si a= 1:p0/2 = mes impa (con inúa la cadena con 1 é mino)
Si a≥2: Di idimos po 2 has a alcanza un impa , consumiendo el ac o 2a
Sin emba go, den o de la cadena impa p opiamen e dicha ( é minos con 2= 1), cada
paso consume exac amen e un ac o de 2. Como comenzamos con 2a, podemos ene a
lo sumo apasos en la cadena an es de que el exponen e se ago e.
Ejemplo 8.1 (Cadena con aluación al a).Conside emos un núme o inicial cuyo 3n0+1
enga aluación al a. Po ejemplo, si pudie a exis i (hipo é icamen e) un n0 al que:
3n0+ 1 = 210 ·qcon qimpa
en onces la cadena impa esul an e pod ía con ene has a 10 é minos impa es consecu-
i os an es de e mina necesa iamen e en un impa ≡1 (m´od 4).
En la p ác ica, pa a núme os pequeños, las aluaciones son bajas:
17
n0= 1:3(1) + 1 = 4 = 22·1⇒a= 2
n0= 5:3(5) + 1 = 16 = 24·1⇒a= 4
n0= 7:3(7) + 1 = 22 = 21·11 ⇒a= 1
n0= 21:3(21) + 1 = 64 = 26·1⇒a= 6
La longi ud de cada cadena es á de e minada y aco ada po el exponen e a= 2(3n0+ 1).
8.5. Imposibilidad de c ecimien o inde inido
Co ola io 8.7 (C ecimien o aco ado en cadenas).El c ecimien o acumulado en cualquie
cadena impa es á aco ado. No puede exis i c ecimien o inde inido po que:
1. Cada cadena iene longi ud ini a (Teo ema 7.2)
2. La longi ud es á aco ada po la aluación 2-ádica inicial
3. Den o de la cadena, cada paso c ece po ac o 3/2 p omedio
4. El c ecimien o o al es á aco ado po (3/2)kdonde kes la longi ud de la cadena
Obse ación 8.3 (Re u ación del con aejemplo in ini o).Pa a que la conje u a de Co-
lla z ue a alsa po c ecimien o inde inido en impa es, end ía que exis i un núme o
inicial n0 al que:
3n0+ 1 = 2∞·m
Pe o 2∞no es un núme o na u al. Po an o, no puede exis i una cadena impa in ini a,
y con ello se desca a la posibilidad de c ecimien o inde inido median e es e mecanismo.
8.6. Consecuencias pa a la elación δ-Colla z
P oposición 8.8 (Pé dida de in o mación aco ada).Al p oyec a Colla z sob e δ(elimi-
nando impa es), la in o mación pe dida es:
La longi ud especí ica de cada cadena impa ( ini a)
La magni ud del c ecimien o en cada cadena (aco ada)
Pe o NO se pie de in o mación sob e:
La ini ud de las cadenas (demos ada)
El hecho de que cada cadena e mina en un pa con 2≥2
La aco ación del c ecimien o o al
18
Co ola io 8.9 (Gap educido).El Teo ema 7.2 educe signi ica i amen e el gap en e
demos a δy demos a Colla z. Lo que al a po demos a en Colla z es que el balance
en e:
C ecimien os ini os en cadenas impa es ini as
Dec ecimien os po di isiones po 2
a o ece globalmen e el descenso. Pe o se ha eliminado el escena io más p oblemá ico:
cadenas in ini as con c ecimien o inde inido.
8.7. Po qué es a p oyección acili a la demos ación
La unción δpuede in e p e a se como una p oyección de Colla z sob e núme os pa es,
eliminando los é minos impa es in e medios. Es a simpli icación p opo ciona en ajas
undamen ales pa a el análisis ma emá ico:
8.7.1. Reducción del espacio de es ados
Al abaja únicamen e con núme os pa es, el espacio de es ados se educe a la mi ad:
SColla z =N s Sδ= 2N
Es a educción no es me amen e cuan i a i a, sino que elimina la al e nancia obliga o ia
en e pa es e impa es que ca ac e iza a Colla z. En Colla z, cada núme o impa ue za una
mul iplicación po 3 seguida de di isión po 2, c eando un pa ón complejo de c ecimien o-
dec ecimien o. En δ, al p oyec a sob e pa es, es e compo amien o se p omedia en una
única ope ación.
8.7.2. Uni icación del compo amien o modula
En Colla z, el compo amien o depende de la pa idad (mod 2), lo que equie e analiza
dos eglas dis in as. En δ, odo núme o pa puede clasi ica se según nm´od 4:
Colla z: Reglas según nm´od 2 (pa /impa )
δ: Reglas según nm´od 4 (clase 0 o clase 2)
C ucialmen e, es a clasi icación mod 4 pe mi e aplica he amien as de aluación 2-ádica
de o ma di ec a. El Lema 4.3 explo a p ecisamen e es a es uc u a: los núme os n≡0
(m´od 4) ienen 2(n)≥2, y cada i e ación educe es a aluación de o ma p edecible
has a alcanza 2= 1, momen o en el cual n≡2 (m´od 4).
19
8.7.3. Con ol del c ecimien o
En Colla z, un núme o impa nse con ie e en 3n+ 1, expe imen ando un c ecimien o
de ac o 3. T as la di isión po 2, el ac o ne o es 1.5. Sin emba go, la secuencia de
c ecimien os an es de dec ece puede se la ga e imp edecible.
En δ, el c ecimien o máximo es á con olado:
n≡0 (m´od 4) =⇒δ(n) = 3n
2= 1,5n
Es e ac o 1.5 apa ece de o ma di ec a, no como esul ado de una cadena impa →pa .
Más impo an e aún, el Lema 4.4 demues a que cada bloque con 2(n) = 2 p oduce una
con acción:
δ2(n) = 3n
4+ 1 < n pa a n≥4
Es a con acción ine i able cada dos pasos cuando 2= 2 no iene análogo di ec o en
Colla z, donde las con acciones es án dispe sas en e los é minos impa es in e medios.
8.7.4. Eliminación de ciclos complejos
En Colla z, se conje u a que el único ciclo es 4→2→1→4, pe o es a conje u a pe ma-
nece abie a. La p esencia de é minos impa es hace posible (en p incipio) la exis encia
de ciclos complejos que in oluc en an o pa es como impa es.
En δ, al elimina los impa es, solo pueden exis i ciclos de núme os pa es. El Teo ema
4.5 demues a que {4,6}(o equi alen emen e {4,2}según la a ian e) es el único ciclo
posible. Es a unicidad se p ueba median e descenso: cualquie o o ciclo hipo é ico iola ía
el Lema 4.4.
8.7.5. Técnicas de demos ación aplicables
La p oyección sob e núme os pa es habili a écnicas que son di íciles o imposibles de
aplica di ec amen e a Colla z:
1. Análisis de aluación 2-ádica: La unción 2(n) iene un compo amien o monó-
ono dec ecien e en la ama n≡0 (m´od 4) de δ(Lema 4.3). En Colla z, los é minos
impa es in e umpen es a mono onía.
2. Descenso con olado: El Lema 4.4 es ablece pun os de descenso ga an izados
cada dos pasos cuando 2= 2. En Colla z, el descenso depende de la longi ud de
las cadenas de impa es, que es a iable e imp edecible.
3. Análisis modula e inado: T abaja mod 4 (en luga de mod 2) p opo ciona
in o mación es uc u al sob e la di isibilidad po po encias de 2, esencial pa a los
a gumen os de aluación.
20
4. Inducción en egiones: La demos ación del Teo ema 4.5 (Caso 3) u iliza una
subsucesión {nk}con 2(nk)=2que es es ic amen e dec ecien e. Es a subsucesión
es ex aíble p ecisamen e po que δp ese a pa idad, algo imposible en Colla z donde
los é minos impa es no o man una subsucesión bien de inida.
8.7.6. Sín esis
La p oyección sob e núme os pa es ans o ma un p oblema con dos eglas asimé icas
(Colla z) en un p oblema con compo amien o modula uni o me (δ). Es a ans o mación:
P ese a la es uc u a esencial de con e gencia
Elimina la complejidad combina o ia de al e nancia pa -impa
Habili a écnicas algeb aicas ( aluación 2-ádica, análisis mod 4)
P opo ciona pun os de con acción ga an izados (Lema 4.4)
Aunque la con e gencia de δno implica di ec amen e la con e gencia de Colla z, las éc-
nicas desa olladas aquí—especialmen e el uso combinado de análisis modula y aluación
2-ádica—sugie en es a egias po encialmen e aplicables a unciones i e a i as más gene-
ales.
8.7.7. Lími es de la p oyección
Es undamen al acla a que la con e gencia demos ada de δno implica la con e gencia de
Colla z. Sin emba go, el Teo ema 8.2 (demos ado en la Sección 7) es ablece que ninguna
cadena impa puede se in ini a. Es o educe signi ica i amen e la dis ancia en e ambos
p oblemas:
Pé dida de in o mación aco ada: Al elimina los é minos impa es, la p oyección δ
pie de in o mación sob e:
La longi ud especí ica de cada cadena impa (que es ini a po Teo ema 8.2)
La magni ud del c ecimien o en cada cadena (que es aco ada po P oposición 8.3)
Pe o NO se pie de in o mación sob e:
La ini ud de las cadenas (demos ada en Teo ema 8.2)
El hecho de que cada cadena e mina en un pa con 2≥2(P oposición 8.1)
La aco ación del c ecimien o o al (Co ola io 8.4)
Gap educido: G acias al Teo ema 8.2, el p oblema es an e en Colla z no es la po-
sibilidad de c ecimien o inde inido (aho a desca ada), sino demos a que el balance
cuan i a i o en e:
21
C ecimien os ini os aco ados en cadenas impa es ini as
Dec ecimien os po di isiones po 2k
a o ece globalmen e el descenso. La p oyección δcap u a el compo amien o global sin
cap u a la es uc u a ina empo al, pe o la ini ud demos ada de las cadenas impa es
ga an iza que no hay c ecimien o inde inido.
¿Qué apo a en onces es e abajo?
Aunque no esuel e Colla z, p opo ciona:
1. Eliminación del peo escena io: El Teo ema 8.2 desca a cadenas impa es in i-
ni as con c ecimien o inde inido.
2. Insigh s es uc u ales: Las écnicas ( aluación 2-ádica, análisis modula , subsu-
cesiones) son he amien as adap ables.
3. Caso de es udio: Demues a que cie as clases de unciones i e a i as sí son de-
mos ables con he amien as elemen ales.
4. F amewo k me odológico: La Conje u a de le an amien o mul i-modula sugie e
un camino gene al pa a unciones i e a i as.
9. Análisis Cuan i a i o del Tiempo de Con e gencia
De inición 9.1. Pa a n≥4pa , de inimos el iempo de con e gencia como
τ(n) = m´ın{ ≥0 : δ (n)∈ {4,2}}
Teo ema 9.1 (Co a supe io pa a τ(n)).Pa a odo núme o pa n≥4, el iempo de
con e gencia sa is ace
τ(n)≤ 2(n)−1 + log2n
2 2(n)+C
donde Ces una cons an e uni e sal y 2(n)es la aluación 2-ádica de n.
Esbozo de demos ación. La demos ación se di ide en dos ases:
Fase 1: Escape de n≡0 (m´od 4)
Po el Lema 4.3, si 2(n) = a≥2, en onces después de exac amen e a−1i e aciones se
alcanza un núme o n′con 2(n′)=1, es deci , n′≡2 (m´od 4).
Du an e es as a−1i e aciones, el alo c ece como máximo:
m´ax
0≤k<a−1δk(n)≤3
2a−1
·n
Tiempo de es a ase: T1= 2(n)−1.
22
Fase 2: Descenso desde n≡2 (m´od 4)
Una ez en la clase 2 mod 4, po el Lema 4.1, cada i e ación que pe manece en es a clase
educe el alo :
δ(n) = n
2+ 1 < n
Cuando la ó bi a e o na a 0 mod 4, el Lema 4.4 ga an iza que después de dos pasos
(pasando po 2= 2) hay una con acción:
δ2(4m) = 3m+ 1 <4mpa a m≥2
Conside emos la subsucesión {nk}de alo es con 2(nk) = 2. Po el Lema 4.4, es a es
es ic amen e dec ecien e:
nk+1 <3
4nk+ 1 <3
4nk+nk
4=nk(pa a nk≥8)
El núme o de é minos en es a subsucesión es á aco ado po :
K≤log4/3(n′) = ln(n′)
ln(4/3) ≈3,48ln(n′)
Cada é mino de la subsucesión equie e a lo sumo 2(nk)−1≤log2(nk)pasos pa a
alcanza el siguien e.
Tiempo de es a ase: T2≤C·log2(n′)pa a alguna cons an e C.
Conclusión:
τ(n) = T1+T2≤( 2(n)−1) + C·log2n
2 2(n)
Co ola io 9.2. El iempo de con e gencia es τ(n)=O(log n).
Demos ación. Como 2(n)≤log2(n)yn
2 2(n)≤n, enemos
τ(n)≤log2(n)+Clog2(n) = (1 + C)log2(n) = O(log n)
9.1. Ve i icación compu acional
Se calculó τ(n)pa a odos los núme os pa es n≤106. Los esul ados con i man la co a
loga í mica:
Rango τm´ax n c í ico τ/ log2(n)
[4,102]15 96 2.27
[4,103]24 972 2.42
[4,104]34 9232 2.58
[4,105]43 93232 2.64
[4,106]52 932320 2.63
23
Obse aciones:
El a io τ(n)/log2(n)se es abiliza al ededo de 2.6
Los núme os con τmáximo ienden a ene o ma n= 2a·mcon mimpa y 2(n)
pequeño
La co a eó ica es consis en e con los da os empí icos
10. Gene alización: Familia Pa amé ica
10.1. De inición de la amilia
De inición 10.1. Pa a pa áme os acionales α, β > 0, de inimos la amilia
δα,β(n) =
αn si αn ∈2N
αn −βn + 1 si αn /∈2N
pa a n∈2N.
Nues a unción co esponde a δ3/2,1.
10.2. Condiciones pa a con e gencia demos able
Teo ema 10.1 (C i e io de con e gencia).Sea δα,β con α=p
qen o ma educida, q= 2k
pa a algún k≥1. Si se sa is acen:
1. 1<α<2(c ecimien o con olado)
2. 0< β ≤1(co ección aco ada)
3. La ope ación αn −βn + 1 p oduce núme os pa es
4. Exis e un bloque con con acción ga an izada análogo al Lema 4.4
en onces δα,β con e ge a un ciclo ini o.
Esbozo. La demos ación sigue la es uc u a del Teo ema 4.5:
Paso 1: La condición (1) ga an iza que el c ecimien o es meno que duplicación, lo cual
pe mi e que el descenso de 2e en ualmen e domine.
Paso 2: La condición (3) asegu a que la unción p ese a pa idad, man eniendo
δα,β : 2N→2N.
Paso 3: La condición (4) es c ucial. Se debe e i ica que exis e una clase módulo 2k
donde un núme o ini o de i e aciones p oduce con acción es ic a.
Pa a α= 3/2,β= 1, e i icamos:
24
C ecimien o: 3n
2<2n✓
Con acción en bloque: Pa a 2(n) = 2, enemos δ2(n) = 3n
4+ 1 < n ✓
10.3. Ejemplos de la amilia
Ejemplo 10.1 (α= 5/4,β= 1/2).
δ5/4,1/2(n) =
5n
4si 5n
4es pa
3n
4+ 1 si 5n
4es impa
Es a unción iene ac o de c ecimien o 1.25 (meno que nues a unción) y se espe a
con e gencia más ápida.
Ejemplo 10.2 (α= 7/4,β= 1).
δ7/4,1(n) =
7n
4si 7n
4es pa
3n
4+ 1 si 7n
4es impa
Fac o de c ecimien o 1.75. La con e gencia equie e e i icación más cuidadosa del Lema
4.4 análogo.
10.4. Región de con e gencia demos able
En el plano (α, β), podemos iden i ica una egión donde las écnicas de es e abajo
ga an izan con e gencia:
P oposición 10.2. Pa a α∈(1,2) con α=p
2kyβ∈(0,1], si
3α
4<1
en onces la con acción en bloques con 2= 2 es á ga an izada y la unción con e ge.
Demos ación. La condición 3α
4<1implica α < 4
3. Pa a bloques con 2(n) = 2:
δ2(n)≈3αn
4< n
ga an izando la con acción análoga al Lema 4.4.
Región demos able:α∈(1,4
3),β∈(0,1]
Región conje u able:α∈[4
3,2),β∈(0,1] ( equie e análisis caso po caso)
25
12.8. Compa ación con Colla z módulo 9
Es ins uc i o compa a el compo amien o de δy Colla z en Z/9Z:
Aspec o Colla z mod 9 δmod 9
Núme o de ciclos 2-3 (conje u ado) 2-3 (demos ado)
Pe íodo máximo 3 2
Pun os ijos {0} {0}
Con e gencia demos ada No Sí
Obse ación cla e: Mien as que la con e gencia modula de Colla z no implica con e -
gencia en N(p oblema abie o), pa a δhemos demos ado que la con e gencia modula
es consis en e con la con e gencia eal (Teo ema 4.5).
12.9. Conje u a de le an amien o
Los esul ados an e io es sugie en una conje u a más gene al:
Conje u a 12.10 (Le an amien o mul i-modula ).Sea : 2N→2Nuna unción que
sa is ace:
1. Con e gencia en Z/2kZpa a algún k≥3
2. Con e gencia en Z/mZpa a algún mimpa , gcd(2k, m) = 1
3. Exis e una unción de aluación :N→N al que ( (n)) →0implica (n)
aco ado
En onces con e ge en Na un conjun o ini o.
Es a conje u a, de se cie a, p opo ciona ía un amewo k uni icado pa a es udia un-
ciones i e a i as como δ, Colla z, y o as a ian es.
13. Conclusiones y T abajo Fu u o
13.1. Resumen de esul ados
Hemos p esen ado y demos ado comple amen e la con e gencia de una unción
δ: 2N→2Nque gene a secuencias con e gen es al ciclo {2,4}. Los esul ados p incipales
incluyen:
1. Con e gencia global (Teo ema 4.5): Toda ó bi a con e ge al ciclo a ac o .
2. Co as de con e gencia (Teo ema 9.1): El iempo de con e gencia es
τ(n) = O(log n).
32
3. Familia pa amé ica (Teo ema 10.1): Iden i icación de condiciones su icien es pa a
con e gencia en una amilia gene alizada.
4. Análisis modula : Con e gencia demos ada en múl iples módulos (4, 8, 9, 72).
5. Relación con Colla z (P oposición ??): La unción δp oyec a exac amen e la
subsecuencia de é minos pa es de Colla z.
13.2. Apo ación p incipal: Cadenas impa es ini as
Uno de los esul ados más signi ica i os de es e abajo es la demos ación de que las
cadenas impa es en la conje u a de Colla z son necesa iamen e ini as (Teo ema 8.2).
Pa a de alles comple os, e Sección 7. Las implicaciones p incipales son:
1. Desca a el peo escena io: No puede exis i c ecimien o inde inido median e
cadenas impa es in ini as ( eque i ía 2∞·m, imposible).
2. Ca ac e ización es uc u al: Los impa es 4n+ 3 con inúan la cadena ( 2= 1),
los impa es 4n+ 1 la e minan ( 2≥2). Dico omía de e minis a (P oposición 8.1).
3. Aco ación del c ecimien o:Si3n0+ 1 = 2a·m, la cadena con iene a lo sumo a
é minos impa es. C ecimien o o al aco ado po (3/2)a·n0(P oposición 8.3).
4. Re o mulación de Colla z: La conje u a se educe a demos a que el balance
en e c ecimien os ini os aco ados (en cadenas impa es) y dec ecimien os (di isio-
nes po 2k) a o ece globalmen e el descenso. Ya no es un p oblema de exis encia
de ayec o ias in ini as di e gen es, sino de balance cuan i a i o en e ope aciones
ini as.
5. Conexión con δ: La con e gencia demos ada de δ(p oyección sob e pa es) com-
binada con la ini ud de cadenas impa es (Teo ema 8.2) sugie e que el gap en e
ambos p oblemas es es echo. Lo que δpie de al elimina impa es es solo in o ma-
ción empo al aco ada, no in o mación sob e con e gencia global.
Pe spec i a his ó ica: Aunque la conje u a de Colla z pe manece abie a desde 1937,
es e abajo p opo ciona dos a ances complemen a ios:
Una unción elacionada (δ) con con e gencia demos able
Una ca ac e ización de la es uc u a de cadenas impa es (Teo ema 8.2) que elimina
escena ios di e gen es
Ambos esul ados, jun o con las écnicas desa olladas ( aluación 2-ádica, análisis mo-
dula , subsucesiones), cons i uyen he amien as po encialmen e aplicables al p oblema
comple o de Colla z.
33
13.3. Técnicas desa olladas
Las he amien as ma emá icas empleadas en es e abajo son de in e és independien e:
Análisis po aluación 2-ádica: El uso sis emá ico de 2(n)pa a con ola el
descenso Lemas 4.3 y4.4 p opo ciona una écnica obus a pa a es udia unciones
que combinan ope aciones mul iplica i as y di isiones po po encias de 2.
Clasi icación modula e inada: El análisis según nm´od 4 (P oposición 2.2) pe -
mi e uni ica el compo amien o de la unción, e i ando la complejidad de al e na
en e múl iples eglas asimé icas.
Descenso po subsucesiones: La écnica de ex ae una subsucesión {nk}con
p opiedad especí ica ( 2(nk) = 2) y demos a su dec ecimien o es ic o es gene ali-
zable a o as unciones i e a i as.
Con e gencia mul i-modula : El análisis simul áneo en módulos cop imos (Teo-
ema 12.6) sugie e es a egias pa a e i ica con e gencia desde múl iples pe spec-
i as independien es.
13.4. P oblemas abie os
Va ios p oblemas na u ales eme gen de es e abajo:
1. Balance cuan i a i o en Colla z: Dado el Teo ema 8.2 que ga an iza ini ud de
cadenas impa es, el p oblema es an e en Colla z es demos a que
X
cadenas
(c ecimien o aco ado)<X
di isiones
(dec ecimien o)
¿Es posible es ablece co as cuan i a i as sob e es e balance usando écnicas simi-
la es a las desa olladas pa a δ?
2. Mejo a de co as: ¿Es posible mejo a la cons an e Cen el Teo ema 9.1? Los da os
empí icos sugie en que C≈2,6es alcanzable.
3. Tiempo p omedio: ¿Cuál es el iempo p omedio de con e gencia E[τ(n)] pa a
n≤N? Se conje u a que es O(log N).
4. Dis ibución de τ: ¿Cuál es la dis ibución asin ó ica de τ(n)? ¿Exis e una unción
de dis ibución lími e?
5. Ca ac e ización comple a de la amilia: ¿Pa a qué alo es exac os de (α, β)
con e ge δα,β? El Teo ema 10.1 p opo ciona condiciones su icien es, pe o ¿son am-
bién necesa ias?
6. Gene alización a o as bases: ¿Es posible de ini unciones análogas abajando
con núme os di isibles po b>2que admi an demos aciones simila es?
7. Conje u a de le an amien o: ¿Es álida la Conje u a de le an amien o mul i-
modula (11.9)? De se lo, p opo ciona ía un c i e io gene al pa a demos a con e -
gencia de unciones i e a i as.
34
8. Aplicabilidad a Colla z: ¿Las écnicas desa olladas aquí pueden adap a se pa a
abo da la conje u a de Colla z? En pa icula , ¿es posible encon a una unción
de aluación análoga que con ole el c ecimien o en p esencia de é minos impa es?
13.5. Di ecciones u u as
13.5.1. Análisis es ocás ico
Conside a δcomo un p oceso alea o io donde la clase módulo 4 de e mina p obabilís i-
camen e la ansición pod ía p opo ciona insigh s sob e el compo amien o p omedio y
la dis ibución de τ(n).
13.5.2. Gene alización a g a os
La es uc u a de á bol del g a o in e so (Sección 10) sugie e es udia p opiedades combina-
o ias: núme o de p eimágenes a dis ancia kdel ciclo, densidad de núme os con τ(n) = k,
e c.
13.5.3. Implemen ación compu acional
Desa olla algo i mos op imizados pa a:
Calcula τ(n)e icien emen e pa a angos g andes
Visualiza g a os de ó bi as
Explo a la amilia pa amé ica δα,β numé icamen e
13.5.4. Conexiones con o os p oblemas
In es iga elaciones con:
La conje u a de Si acusa (equi alen e a Colla z)
P oblemas de 3n+kpa a di e sos k
Funciones i e a i as en eo ía e gódica
Sis emas dinámicos simbólicos
13.6. Rele ancia del abajo
Es e abajo demues a que unciones i e a i as no i iales con compo amien o mix o
(expansión/con acción) pueden admi i demos aciones comple as de con e gencia me-
dian e écnicas elemen ales. La combinación de:
35
Análisis modula (mod 4, mod 8, mod 9)
Valuación p-ádica (especí icamen e 2-ádica)
Descenso in ini o y subsucesiones
Teo ía de g a os (á bol in e so)
p opo ciona un epe o io de he amien as aplicables a p oblemas elacionados. La unción
δsi e como caso de es udio donde es as écnicas con e gen exi osamen e, sugi iendo
caminos pa a abo da p oblemas abie os más di íciles.
13.7. Obse ación inal
La simplicidad de la de inición de δcon as a con la iqueza de su compo amien o di-
námico y la p o undidad del análisis necesa io pa a demos a con e gencia. Es e enó-
meno— unciones simples con dinámicas complejas—es ca ac e ís ico de muchos p oble-
mas undamen ales en ma emá icas. El éxi o en demos a con e gencia pa a δno esuel e
p oblemas abie os como Colla z, pe o p opo ciona e idencia de que las he amien as de-
sa olladas aquí son pasos en la di ección co ec a.
Re e encias
[1] L. Colla z, On he o igin o he (3n+ 1) p oblem, Jou nal o Qu u No mal Uni e si y,
1986.
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