Коначан увод у бесконачност: како је Ахил стигао корњачу и још две приче

Коначан увод у бесконачност: како jе Ахил
стигао корњачу и jош две приче
Предраг Пеjовић
05.11.2025. 20:42:15
1 Увод
Оваj текст jе настао као последица разговора коjе jе аутор текста водио са jедним своjим
делимичним колегом и драгим приjатељем. Колега jе професор, али jе по образовању
социлог, па смо често водили лингвистичке расправе у коjима jе аутор овог текста заступао
ставове да jе термин „друштвена наука“ оксиморон, док jе термин „природна наука“
плеоназам. Поштовани колега jе имао супротно мишљење. Феномен наших разговора
jе био у томе што се у процесу закључивања никада ни у чему нисмо слагали, али
би се око закључка увек потпуно сложили. За разлику од саговорника, сматрам да jе
за таj феномен обjашњење дала математичка логика, по коjоj двострука негациjа даjе
афирмациjу, ¬(¬(A)) = A. Додуше, у нашим разговорима jе био већи броj негациjа, али
би на краjу увек испао паран, а како смо причали без ограда онда се то може записати
без заграда, на пример као ¬¬¬¬¬¬A=A. Уосталом, за ово ниjе потребна математичка
логика, довољно jе искуство из породичног живота где jе потребно да паран броj пута
кажете „не“, па де буде протумачено као „да“. Зато вам и постављаjу иста питања паран
броj пута, мада се обично већ код првог парног броjа (за неупућене то jе 2) прогласи
закључак, ефикасности ради. А боље jе и „да“ у руци него „да“ на грани, нема потребе да
неки неваљали непаран броj поквари закључак.
У jедном од броjних интервjуа коjе jе моj приjатељ дао, а коjе jа углавном са
задовољством слушам, све док не почне да се меша у науке (да не користим поменути
плеоназам), као потпуно периферан поjам се jавило питање бесконачности и наше схватање
или несхватање тог поjма. Jасно jе да љубитељ математике, а посебно инфинитезималног
рачуна, гледа на поjам бесконачности другачиjе од оних коjи нису превелики љубитељи
математике. Као особа склона математици, аутор овог текста се баш закачио за таj
периферан поjам, за бесконачност, иако jе могао да се фокусира и на друге, актуелниjе,
али сродне, теме из тог интервjуа, попут нашег европског пута. Различити људи различито
виде шта jе битно. И тако се оваj текст бави поjмом бесконачности у математици, онако
како таj поjам види корисник математике, инжењер. Мада, текст jе и дубоко емоционалан,
аутор воли математику и сматра да jе њено изучавање и jош више разумевање jако лепо,
приjатно, важно, а уз то и забавно. Када читате историjу математике упознаћете се
са стварним личностима коjе су много необичниjе од ликова коjе књижевници могу да
измисле.
На краjу увода, ваља рећи да jе циљ текста да забави читаоца макар делом онолико
колико се аутор забавио пишући га. Математика jе толико необична и забавна, као
и математичари коjи су jе откривали или стварали, како год да гледате на порекло
математичких знања, да jе био потребан заиста велик напор образовног система да огади
математику ђацима. Аутор jе склон мишљењу да jе образовни систем у случаjу драгог
колеге успео у свом великом подухвату. Конкретно, за такав трагичан исход аутор jе
склон да оптужи трауму принудног писања мастилом на часовима математике, како jе
реализациjа наставе у датом случаjу захтевала. Да ниjе било тога, ценећи приjатеља,
мислим да би он постао изванредан математичар или макар велики и искрени љубитељ
математике.
2 Трка Ахила и корњаче
Прву причу из овог текста jе своjим делима иницирао Зенон из Елеjе [1]. Зенон jе био
филозоф, па jе у оквиру своjе струке налазио логичке доказе за разне физичке поjаве,
а за нашу причу су битни његови докази против кретања. Наиме, Зенон jе сматрао да
jе кретање немогуће. Ружна чињеница да се кретао jе била од мањег значаjа. Уосталом,
коме треба веровати, ружним чињеницама или своjим лепим идеjама? Jедан од примера
аргумената против кретања jе популарно приказан кроз трку Ахила [2] и корњаче [3].
Ахил jе jунак из грчке митологиjе, из света идеjа, снажан и брз. Корњача jе спора. Како
би њихова трка била по данашњим мерилима равноправна, корњачи jе дата предност на
почетку трке. Идеjа коjу jе Зенон проповедао доказивала jе да Ахил никада неће стићи
корњачу. Размишљање jе било jедноставно: да би Ахил стигао корњачу мора прво да
стигне на место у коме jе она у датом тренутку времена. Док он стигне на то место, она
ће му мало измаћи. И тако до бескраjа, корњача ће увек измицати Ахилу, он jе никада
неће стићи. Пише ли то „до бескраjа“? Да, бесконачност улази у нашу причу. Никада jе
неће стићи? До када jе то никада? До бесконачности?
Решење овог проблема, квантитативно, ниво jе другог разреда средње школе, такво jе
искуство аутора овог текста, тада jе први пут чуо за Зенона и његове парадоксе, а тада
jе научио и сабирање геометриjског реда. Оно што заиста jесте забавно jе постављање
приоритета. Пошто jе и много млађоj деци од другог разреда средње школе jасно да ће
Ахил и стићи и престићи корњачу, то jе експериментално искуство сваког човека, чак и
спориjег од митског Ахила, поставља се питање како jе могуће да наведена аргументациjа
буде третирана као доказ да jе кретање немогуће, уместо да се постави питање где jе
пропуст у размишљању? Тако jе то у науци, често дивну теориjу сруши нека ружна
чињеница. Ако решите да игноришете чињенице како би сачували веру у дивну теориjу, то
jе проблем ваше перцепциjе реалности. Има и лекова и лекара за то, делимично ефикасних.
Мада, има и мишљења по коjима jе веровање важниjе од чињеница.
2.1 Математички модел
Математички модел jезиком математике, jедначинама и квантитативно, описуjе поjаву
коjу разматрамо. Физичку поjаву пресликава у Платонов свет идеjа [4]. Повољно jе
да математички модел разматраног процеса буде наjjедноставниjи могући, али мора да
буде довољно прецизан да опише поjаву на потребном нивоу детаља, да се предвиђања
математичког модела слажу са експерименталним резултатима. Математика треба да
предвиди будућност. И то тачно. У супротном, решавање математичког модела неће
донети никакав вредан резултат. Математичко моделовање захтева знање и разумевање
код особе коjа математички модел прави, треба да исправно перципира реалност, природне
поjаве коjе преводи у jезик математике како би их квантитативно анализирао и предвидео
будућност. Често jе математичко моделовање наjкреативниjи део решавања проблема, али
и наjтежи, посебно за људе коjима jе краjњи интелектуални домет спровођење алгоритама,
рад по скупу правила коjа им jе неко дао. Такви људи су често омиљени сарадници.
Алгоритме данас спроводе машине, од настанка рачунара jе тако. Тиме jе омиљеним
сарадницима опала популарност, али и тржишна вредност.
2
Наш математички модел, довољан за опис проблема, сматраће да се Ахил и корњача
тркаjу дуж идеално правог пута на коме ће свако место бити одређено координатом x,
броjем. Ахила и корњачу ћемо сматрати за материjалне тачке, занемарићемо физичке
димензиjе великог Ахила и мале корњаче. Ни Ахил ни корњача нису материjалне тачке,
а ни пут ниjе идеално прав, али ћемо сматрати да њихову позициjу у тренутку времена
карактерише координата jедне тачке, xa( )за Ахила и xk( )за корњачу. Ово jе довољно
прецизан модел за потребе наше приче. Када кажете да вам треба jош 20 километара до
неког града не улазите у детаље колико до тог града треба предњем, а колико задњем
бранику вашег аутомобила. Мада, има људи са истанчаним смислом за небитно коjи би
на тоj разлици инсистирали. На краjу, кад трка почне, сматраћемо да се Ахил креће
брзином aкоjа се не мења, а корњача брзином k, коjа се такође не мења. Нити jе
Ахил одмах кренуо са a, него се убрзавао до a, а исто важи и за корњачу и њено
k. Ипак, оваj математички модел ће бити довољно добар да предвиди исход коjи нас
занима, место сусрета Ахила и корњаче. Ако не веруjете, измерите. Ниjе битно што
се ваш експериментални модел Ахила неће звати Ахил. И ово jе процес математичког
моделовања, апстракциjе и генерализациjе, да схватите да име тркача коjи jе човек неће
утицати на тренутак сусрета са безименом корњачом, већ брзина. Не може баш свако да
лако раздвоjи битно од небитног, зато се математичко моделовање учи.
Трка Ахила и корњаче почиње тако што jе у = 0 Ахил на координати xa= 0,
док jе корњача, због равноправности учесника у трци, на координати xk=d, где jе d
предност коjа jе корњачи као спориjоj дата. Нека комисиjа jе одлучила колико jе d, ниjе
неки уставни или сличан суд дисквалификовао Ахила као бржег. Ко, зашто, како и када
jе одлучио колико jе dнама jе свеjедно, битно jе да корњача у почетку трке има предност
dи да таj броj некако знамо.
Математички модел коjи jе овде описан речима се веома лако решава. Координата или
позициjа Ахила се у времену мења као
xa( ) = a (1)
док jе координата корњаче одређена као
xk( ) = d+ k . (2)
Постоjи кинематика тачке коjа се предаjе по школама различитог нивоа, тема ближа
математици него физици.
Да ли описани математички модел каже све што нас занима? Да видимо прво шта оваj
математички модел каже за тренутак и место сусрета Ахила и корњаче.
2.2 Сусрет
Када ће Ахил стићи корњачу? У тренутку sи координати xsкада се Ахил и корњача
по jедначинама њиховог кретања нађу на истом месту, xs,
xs=xa( s) = xk( s)(3)
што даjе jедначину по тренутку сусрета s
a s=d+ k s(4)
коjи се из горње линеарне jедначине са jедном непознатом лако одређуjе као
s=d
a− k
.(5)
3
Замена тренутка = sу jедначину кретања било Ахила било корњаче, у оба случаjа даjе
исти резултат за xs
xs= a
a− k
d. (6)
Дакле, сазнали смо када и где ће Ахил сустићи корњачу. Па у чему jе онда проблем?
Ова математика jе тачно она коjу jе аутор овог текста написао у другом разреду
средње школе на табли, на часу (марксистичке) филозофиjе када jе тема био Зенон и
његови парадокси. Овако решен математички модел нам говори све о кретању Ахила и
корњаче. Искуство и експеримент кажу да ће се срести, тачно како решење и предвиђа,
ко нормалан би помислио да Ахил неће стићи и престићи корњачу? Учило се то на
физици jош у основноj школи, а обнављало у математички формалниjем облику, са
уведеним координатним системом, у првом разреду средње школе. Тако се учило некада,
а могло jе и боље. Зачуђуjуће, професорка филозофиjе jе била изненађена решењем коjе
одговара поделементарном знању физике и математике. Проблем jе што различите области
међусобно не комуницираjу. Аутора овог текста jе прича о Зенону заувек одвоjила од
филозофиjе као наставног предмета и усмерила ка математици и физици, што и ниjе било
тешко постићи.
2.3 Пут до сусрета
Ипак, да анализирамо Зенонове аргументе и сагледамо где jе погрешио када jе, иако
покретан, тврдио да jе кретање немогуће.
Како jе Ахил стигао корњачу? Прво, морао jе да стигне у тачку у коjоj jе корњача била
на почетку трке, означимо jе са
x1=d. (7)
Да би стигао до те тачке, Ахил треба да пређе растоjање
∆x1=x1−0 = d(8)
jер му jе полазна координата нула. Овако компликовано записивање jе изабрано да би се
увеле координате и сагледала правилност даљег развоjа догађаjа.
Да би прешао растоjање ∆x1Ахилу jе потребно време
∆ 1=∆x1
a
=d
a
.(9)
Тренутак времена у коме ће се Ахил наћи на месту на коме jе претходно била корњача,
то jе x1, рачунато од почетка трке, jе
1= 0 + ∆ 1= ∆ 1=d
a
(10)
пошто трка почиње у = 0. Опет компликовање да би се сагледала правилност даљих
догађања.
Док jе Ахил пристизао у тачку x1, корњача ниjе стаjала, већ му jе измакла за
∆x2=x2−x1= k∆ 1= k
a
d. (11)
Одавде се добиjа друга тачка у коjу Ахил мора да стигне пре него што ће престићи
корњачу, то jе
x2=x1+ ∆x2=d+ k∆ 1=d+ k
a
d=d1 + k
a(12)
4
Да би од тачке x1Ахил стигао до тачке x2потребно му jе време
∆ 2=∆x2
a
= k
2
a
d= k
a
∆ 1(13)
коjе одређуjе тренутак другог доласка Ахила у претходну позициjу корњаче
2= 1+ ∆ 2= ∆ 1+ k
a
∆ 1= ∆ 11 + k
a=d
a1 + k
a(14)
Међутим, корњача и даље не мируjе, током ∆ 2jе побегла Ахилу за додатних
∆x3=x3−x2= k∆ 2= 2
k
2
a
d(15)
а тиме jе и поставила нову координату у коjу ће Ахил морати да стигне не би ли jе
престигао,
x3=d1 + k
a
+ 2
k
2
a(16)
Да би стигао у новозадату тачку, Ахилу jе потребно време
∆ 3=∆x3
a
= 2
k
3
a
d(17)
и он ће се у тоj тачки наћи
3=d
a1 + k
a
+ 2
k
2
a(18)
од почетка трке.
Наш проблем већ постаjе досадан. Уочава се правилност. Да би Ахил прешао растоjање
∆xnкако би дошао на место на коме jе корњача претходно била, Ахилу jе потребно време
∆ n=∆xn
a
.(19)
За то време, корњача побегне за
∆xn+1 = k∆ n.(20)
Одавде jе, када из претходне две jедначине елиминишемо ∆ nдобиjа се
∆xn+1 = k
a
∆xn(21)
а то важи за n= 1,2,3,4, . . . до бесконачности (математичари ово воле да напишу као
n∈N), а почели смо са
∆x1=d. (22)
Даље се трка одвиjа сама по себи:
∆x2= k
a
∆x1= k
a
d(23)
∆x3= k
a
∆x2= k
a2
d(24)
∆x4= k
a
∆x3= k
a3
d(25)
5

Табела 1: Места на коjима jе корњача била и на коjа jе Ахил стизао.
време Ахил корњача
0= 0 x0= 0 x1=d
1x1x2
2x2x3
3x3x4
.
.
..
.
..
.
.
или по уоченоj правилности у општем облику
∆xn= k
a
∆xn−1= k
an−1
d(26)
jе растоjање за коjе корњача бежи Ахилу, а он jе стиже за
∆ n=∆xn
a
= k
an−1d
a
.(27)
Сваки пут ће Ахил стићи у тачку у коjоj jе претходно била корњача, а она ће му
увек измаћи. Управо то jе и основ Зеноновог парадокса коjи указуjе да Ахил никада неће
стићи корњачу, сваки пут она помало измакне. Додуше, кванитативна анализа коjа узима
у обзир чињеницу да jе Ахил бржи од корњаче, a> k, указуjе да jе сваки пут корњача
побегла све мање, ∆x1>∆x2>∆x3. . . , као и да jе Ахилу сваки пут било потребно
све мање времена да се нађе на месту где jе она раниjе била, ∆ 1>∆ 2>∆ 3. . .. Ахил
ипак сустиже корњачу. Хоће ли jе коначно стићи или ће му она заувек (до бесконачности)
бежати? Да би одговорили на ово питање, мораћемо из домена физике прећи у домен
математике, мада им jе граница прилично замагљена, као да су у Шенгенскоj зони. Већ
до сада смо имали мало физике и пуно математике, ако уопште може да се раздвоjи шта
jе математика, а шта физика.
2.4 Трка се наставља . . .
У претходном одељку смо направили квантитативни математички модел долазака
Ахила на место на коме jе корњача претходно била. Увели смо тренутке nу коjима Ахил
долази на место xnна коме jе корњача претходно била, како jе приказано у табели 1. Када
би Ахил стигао у xnкорњача би већ побегла у xn+1, као што се и види из табеле 1.
Претпоставимо да пратимо кретање Ахила, jедноставниjи су му индекси, у кораку n
нашег модела он jе у тренутку nна координати xn. Знамо да jе
n= 0 + ∆ 1+ ∆ 2+ ∆ 3+. . . + ∆ n(28)
што математичари воле да пишу као
n=
n
X
i=1
∆ i(29)
и да jе
xn= 0 + ∆x1+ ∆x2+ ∆x3+. . . + ∆xn(30)
што математичари воле да пишу као
xn=
n
X
i=1
∆xi.(31)
6
Заменимо сада резултате из претходног одељка, па из (27) добиjамо
n=d
a 1 + k
a
+ k
a2
+. . . + k
an−1!(32)
док из (26) добиjамо
xn=d 1 + k
a
+ k
a2
+. . . + k
an−1!.(33)
Опет jе презентациjа резултата важна, да се лако уочи да у jедначинама (32) и (33) постоjи
бар jедан заjеднички члан, збир у загради. Таj збир jе тема коjа се опет проучавала
у другом разреду средње школе, зове се геометриjски ред [5] и његов збир се може
написати у jедноставниjем облику, а како ће се показати таj облик ће нам пуно тога рећи
о бесконачности. Стога, сада ваља освежити знање средњошколске математике, тема jе
сабирање геометриjског реда.
2.5 Сабирање геометриjског реда
Претходно поменути геометриjски ред, „оно у загради“ у jедначинама (32) i (33) ћемо
звати Sn, што ћемо дефинисати као
Sn= 1 + k
a
+ k
a2
+. . . + k
an−1
=
n−1
X
i=0  k
ai
.(34)
Индекс nуSnтреба да нам означи до ког nсе сабирање врши, то може бити 5, 10,
1000, више милиjарди, или више милиона милиjарди. У принципу исто, али у пракси врло
различито. У свету идеjа исто, али у физичком свету веома различито.
Ипак, да поjедноставимо запис jош мало, стално нам се jавља k
a, па jе згодно да таj
однос коjи jе неки броj означимо jедноставниjе, са
q= k
a
.(35)
Како су брзине и Ахила и корњаче позитивне, нико не трчи уназад, те како jе Ахил бржи
од корњаче, што се у математици каже a> k, важиће
0< q < 1.(36)
Сада наш збир (34) добиjа jедноставниjи запис
Sn= 1 + q+q2+. . . +qn−1=
n−1
X
i=0
qi(37)
коjи ће нам олакшати сабирање коjе би било jако незгодно за велике броjеве n.
Сада jе време да уведемо типичан математички трик коjи jе свима очигледан онда
када им га неко покаже, током чега се прави важан и jако паметан, чиме додатно одбиjа
ученике од математике. Прво помножимо (37) са q, па добиjамо
q Sn=q+q2+q3+. . . +qn.(38)
Па шта са тим? Полако, одузмите га од (37) и десиће се чудо, jако добра ствар
Sn−q Sn= 1 −qn(39)
7
сви чланови редова (37) и (38) ће да се потру (или како се то популарно каже „да
се пократе“) осим два! Остало jе jош само да одредимо Sn, за то jе потребно решити
линеарну jедначину са jедном непознатом. Неки нижи разред основне школе, али треба
идентификовати проблем када има више општих броjева, Snкоjи jе непознат, док су qиn
познати. Изражени у општим броjевима не разврставаjу се лако као познати или непознати
ако нисте увежбани, не види се одмах. Без много напора добиjа се
Sn=1−qn
1−q.(40)
Тако смо уштедели пуно труда око сабирања. Све на шта нам броj „сусрета“ nутиче jе
садржано у члану qnи нигде више. Управо то ће нам бити важно.
2.6 Граница
Ако сте мислили да математика другог разреда средње школе стаjе код сабирања
геометриjског реда, заборавили сте математику другог разреда средње школе баш на
наjузбудљивиjем и наjзанимљивиjем месту, на месту где у нашу причу улази бесконачност.
Како jе Чехов говорио [6], ако jе наглашено у одељку 2.5, у jедначини (36) да jе 0< q <
1, ту чињеницу ваља искористити у некоj jедначини до краjа текста. За почетак, слажемо
ли се да jе
1> q > q2> q3> q4> q5> . . . > 0(41)
односно да са растом nброj qnопада, али да никада неће пасти испод нуле? То jе jедан
монотоно опадаjући низ броjева, ограничен са доње стране. Да, па шта са тим, зашто jе
то важно? Зато што такав низ има граничну вредност, има лимес, како се то учило у
поменутом другом разреду средње школе,
lim
n→∞ qn= 0.(42)
Овако написано, без образложења, имаће ефекат коjи jе математика другог разреда средње
школе оставила на већину ученика: побегли су од математике главом без обзира. Да апсурд
буде већи, баш на наjзанимљивиjем месту, на месту где су Лаjбниц [7] и Њутн [8] отворили
нове хоризонте математике увођењем бесконачности и инфинитезималног рачуна [9], баш
на месту где jе римски воjник прекинуо научни рад Архимеда [10] коjи jе jако близу стигао
са своjом применом метода исцрпљивања [11], не ученика него броjева. Управо jе та грана
математике, инфинитезимални рачун, коjи се данас популарно зове математичка анализа
[12], нашла огромну примену у техници и битно утицала на свет у коме живимо. Ред jе да
поменемо и да jе ране радове на тему метода исцрпљивања имао и Еуклид из Александриjе
[13], оснивач аксиоматске геометриjе.
Шта jе основа инфинитезималног рачуна? Управо оно што означава знак ∞, а то jе
бесконачност [14] коjа jе централна тема овог текста. Шта нам каже jедначина (42)? Каже
нам да ма како мали позитиван броj εизаберете, можете да одредите минималну вредност
nza koju je qn< ε. Вероватно желите да знате за коjе вредности nможете да смањите qn
испод ε, па да вам дам резултат, за
n > log ε
log q.(43)
Успут, и логаритми су се некада учили у другом разреду средње школе, добро jе
било школство, мада увек може боље. Само одређивање njе била тема предмета
Математичка анализа у трећем разреду, усмерено образовање, математичко-техничка
струка, Математичка гимназиjа.
8
Табела 2: Ахилов пут и сусрет са корњачом.
време Ахил корњача
0 0 x1=d
1x1x2
2x2x3
3x3x4
.
.
..
.
..
.
.
∞x∞x∞
Какво jе практично значење горњих разматрања, какве везе имаjу са Ахиловим
проблемом jурења корњаче? Знамо колико jе Sn, каже нам то формула (40). Заменимо
сада таj резултат у формуле за nиxn, па добиjемо
n=d
a
Sn(44)
и
xn=d Sn(45)
где су nиxnтренутак и место на коме jе Ахил n-ти пут стигао на место на коме jе
претходно била корњача. Колико ће се то пута догодити? Док се Ахил не умори, под
претпоставком да jе корњача спора али неуморна? Како повећавамо nтако се Ахил не
умара превише, jер jе qnсве мање и мање. Може ли nда буде бесконачно? Може, тада jе
qnпрактично нула, qn→0. Нама jе то qnсамо кварило резултат увођењем коначног броjа
долазака на место на коме jе корњача била. Када бесконачно пута Ахил дође на то место
он ће заиста сустићи корњачу. Оно што Зенон ниjе знао jе чињеница да збир бесконачно
сабирака може да буде коначан, а баш тако jе у нашем случаjу
S∞= lim
n→∞ Sn=1
1−q(46)
па када се замени колико jе qдобиjа се
S∞=1
1− k
a
= a
a− k
.(47)
Коначно, за тренутак у коме Ахил стиже корњачу добиjамо
∞=d
a
a
a− k
=d
a− k
(48)
а то ће да се деси на месту
x∞=d a
a− k
.(49)
Дакле, Ахил ипак стиже корњачу, на коначном растоjању од почетка трке, за коначно
време од почетка трке. Да би jе стигао, морао jе бесконачно пута да прође кроз место на
коме jе корњача већ била. Тако су се Ахил и корњача коначно први пут срели након што
jе бесконачно пута Ахил прошао кроз њен траг.
Да завршимо сада табелу 1 са редом (у математици се то каже врста) коjи jе фото
финиш, а то jе последњи ред у табели 2. На том месту jе Ахил стигао корњачу. Краj.
Оно што Зенон из Елеjе ниjе знао jе то да збир бесконачно броjева може да буде
коначан. Нека вам уплаћуjу нулу на рачун у банци бесконачно пута и никада се нећете
обогатити, тривиjалан пример. Из незнања математике Зенон jе закључио да jе кретање
немогуће, упркос чињеници да се кретао. Кретање jе сматрао за привид, али ниjе посумњао
да jе његово закључивање привид, да jе погрешно. Помињана перцепциjа реалности.
9
Табела 3: Преброjавање парних броjева.
n1 2 3 4 5 . . .
p246810...
Претпоставимо сада да хоћете да преброjите парне броjеве, да видите колико их има.
Парних броjева до 10 има 5, то су 2, 4, 6, 8, и 10. Природних броjева до 10 има тачно
10, природни броjеви броjе сами себе. Колико парних броjева укупно има? Бесконачно.
Природних? Бесконачно. Ако екстраполирамо закључивање из примера парних броjева
до 10, парних броjева би било пола од бесконачно, али jе и то опет бесконачно! У овом
закључку се криjе проблем коjи ће проширити видике математике на трансфинитне
броjеве. Да ли пола скупа природних броjева има мање елемената од скупа природних
броjева, да ли jе пола од бесконачно мање од бесконачно или jе свако бесконачно jеднако
бесконачно?
Вратимо се на Чехова, комплексни броjеви уведени у одељку 3.3 мораjу да буду
искоришћени негде до краjа текста. Сада jе то место. Применимо исти метод: код
комплексних броjева нисмо знали шта jе √−1па смо дефинисали i=√−1и пратили
куда нас то води даље, а одвело нас jе jако далеко. Да кажемо да природних броjева има
ℵ0, да тако назовемо таj броj, па пратимо траг тог крштења и његов даљи животни пут.
Дакле, природних броjева сада има ℵ0, штагод то било. Ако у неком скупу сваком
елементу одговара тачно jедан, jедан и само jедан природни броj, ако можемо таj скуп да
преброjавамо, онда он има исто елемената као и скуп природних броjева, то jе уведени
ℵ0. Да пробамо да преброjимо парне броjеве? Кога то занима? Има људи коjе то занима,
неке људе занима чак и то да гледаjу утакмице па се нико не чуди. Да видимо шта ће
да испадне? А испада нешто занимљиво. Сваком природном броjу nодговара тачно jедан
паран броj p, веза jе
p= 2 n. (60)
Са друге стране, сваком парном броjу одговара тачно jедан природан броj
n=p
2(61)
како jе то приказано у табели 3. Овим преброjасмо парне броjеве. Има их ℵ0, таман колико
и природних броjева. Jедно jе бесконачно, пола од бесконачно jе опет бесконачно, ниjе
сасвим логично, али ниjе ни апсурдно.
Користећи исте методе и исту логику, закључићемо да исто колико природних и парних
има и непарних броjева, а потом и целих броjева. За сада изгледа да су све бесконачности
исте. Да пробамо са разломцима, они су дупло већи залогаj. Два природна броjа имаjу,
jедан у имениоцу и jедан у броjиоцу. Има ли их ℵ2
0? Или некако можемо да их преброjимо?
Рационални броjеви, а овде ћемо само позитивне рационалне броjеве разматрати, у
духу питагореjаца, састоjе се из два природна броjа, имениоца и броjиоца, облика су p
q,
где су pиqприродни броjеви, то се отмено каже p, q ∈N. Ако хоћете да покриjете баш све
рационалне броjеве, пустите да jе pцео броj, p∈Z, али то за ову причу сада ниjе важно.
Дакле, два природна броjа даjу разломак, па пошто jе тако организоваћемо их у табелу
каква jе приказана у табели 4 лево. Изаберете pиqи добиjете разломак, у врсти qи колони
pсе налази, у њиховом пресеку. Табела иде у два смера у бесконачност, на десно и на доле.
Можемо ли како разломке да преброjимо? Да би их изброjали, потребно jе да их на неки
начин поређамо тако да код броjања ниjедан разломак не преброjимо више пута, као и да
не прескочимо неки од њих. Па, како да броjимо? Редом! Нумерисање разломака можемо
да изведемо како jе приказано у табели 4 десно, броjањем по диjагоналама. Погледаjте
16

Табела 4: Преброjавање рационалних броjева.
q p1 2 3 4 . . .
11
1
2
1
3
1
4
1...
21
2
2
2
3
2
4
2...
31
3
2
3
3
3
4
3...
41
4
2
4
3
4
4
4...
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
q p1 2 3 4 . . .
1 1 2 6 7 . . .
2 3 5 8 14 . . .
3 4 9 13 18 . . .
4 10 12 19 25 . . .
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
како то иде, прва диjагонала има jедан разломак, 1
1коjи jе нумерисан са 1, потом иде
диjагонала од два члана, редни броjеви 2 и 3, потом диjагонала 4−5−6, потом 7−8−9−10
и тако даље. Изброjасмо тако све позитивне разломке, испаде да и њих има ℵ0, а личило
jе на ℵ2
0=ℵ0. Jош jедно чудо аритметике трансфинитних броjева. Ако хоћете да уброjите
и све негативне рационалне броjеве, њих опет има ℵ2
0=ℵ0. Кад саберете, опет испадне ℵ0.
Онда jош да додате све нула разломке, са нулом у броjиоцу и свим природним броjевима
у имениоцу, а и њих има ℵ0. Кад све саберете, опет ℵ0.
Ова прича о броjању бесконачних скупова већ постаjе досадна, шта год да броjите
испадне ℵ0, иако нисте изборна комисиjа. Ако jе скуп преброjив, ако се његови елементи
могу поређати на неки начин, увек ће резултат бити ℵ0. Па постоjи ли нешто што ниjе
преброjиво? Постоjи!
4.3 Аритметика трансфинитних броjева
Пре него што уведемо бесконачниjе бесконачности у ову причу, а све како би се
оправдали за чудне и наоко апсурдне резултате рачунања са ℵ0, добро jе да се вратимо у
прошлост и видимо да чудна математика са ℵ0ниjе нешто чему сличног ниjе било раниjе.
Посматраjмо jедноставну jедначину
x4= 1.(62)
Колико jе x? Зависи где га тражите. Ако решење тражите међу природним броjевима,
имате само jедно решење, x= 1. Ако пустите банкаре на тржиште решења, укључите
макар целе броjеве, а може и рационалне и реалне, у било ком од ових скупова посматрана
jедначина има два решења, x= 1 ix=−1, банкари вам увек нуде дуг као решење. Ако сте
маштовитиjи и укључите скуп комплексних броjева као место где тражите решење, наћи
ћете четири решења, 1,−1,iи−i, поjављуjу се и два чисто имагинарна решења, честа у
свакодневном животу.
Какве смо чудне резултате у рачуну са ℵ0до сада добили? Из броjања парних броjева
смо добили 1
2x=x(63)
што у скупу реалних броjева даjе решење x= 0. Из броjања целих броjева би добили
2x+ 1 = x(64)
што у скупу реалних броjева даjе решење x=−1. Из броjања позитивних рационалних
броjева смо добили
x2=x(65)
17
што у скупу реалних броjева даjе решење x= 0.
Ако скуп броjева где тражите могуће решење проширите са ℵ0, све три претходне
jедначине добиjаjу ℵ0као могуће решење. Тако jе то у животу, што више могућности то
више решења. Наравоучениjе jе да чудна математика са ℵ0ниjе нешто први пут виђено
у математици. Људи коjи нису навикли на дуг су били jеднако згрожени негативним
броjевима као решењем.
4.4 Колико има реалних броjева
Досадашња разматрања су нам за величину бесконачног скупа давала увек ℵ0. Постоjи
ли неки „бесконачниjи“ скуп? Одговор на ово питање jе дао Георг Кантор, кога смо до
сада само овлаш поменули, а баш он jе увео кардиналне броjеве и ℵ0, баш он jе открио
или створио сву ову математику. Дакле, можемо ли да поређамо реалне броjеве у низ и
да их нумеришемо, да знамо коjи jе први, коjи други и тако даље, до бесконачности? Ако
можемо, нас ће и даље пратити ℵ0као кардинални броj скупа. Неће бити тако.
Броjеви коjима се сада бавимо су „дужине“, реални броjеви попут свих целих броjева,
рационалних броjева, али jе скуп обогаћен и ирационалним броjевима, попут √2због
кога jе Хипас изгубио главу. Баш због тих броjева не можемо реалне броjеве ређати као
разломке, а морамо и да користимо децимални запис броjа, где морамо да допустимо
бесконачан броj децималних места . . .
Да би представили доказ коjи jе на неки начин круна овог текста, проблем ћемо за
почетак посматрати у jедноставниjоj форми, посматраћемо све реалне броjеве од нула до
jедан, на интервалу x∈(0,1). Све реалне броjеве можемо покрити тим интервалом, већи
од jедан су броjеви 1
x, онда додамо негативне вредности −xи−1
x, као и jош три броjа
{−1,0,1}и имамо их све. Дакле, интервал нам покрива практично четвртину проблема,
а за бесконачности то jе све, научио нас jе томе ℵ0.
Претпоставимо да jе могуће уредити броjеве x∈(0,1). Ти броjеви почињу са „0.“ и
настављаjу се са преброjиво бесконачно много цифара, оне се могу уредити, зна се коjа jе
коjа иза децималне тачке. Дакле, у складу са претпоставком могуће jе формирати „ранг
листу“ реалних броjева каква jе приказана у табели 5. И сада ступа на сцену Канторова
гениjалност, чувени диjагонални аргумент. Покушаћемо да измислимо броj коjи мора да
буде у посматраном подскупу реалних броjева, а коjи сигурно ниjе на листи. Таj броj
ће бити специфичан, почињаће као и сви броjеви из листе са „0.“, а онда ће на месту
прве цифре имати цифру коjа се разликуjе од прве цифре првог броjа са листе. За други
броj исто тако, само ћемо сада заменити другу цифру. И тако даље, ℵ0пута, за сваку
цифру. Таj поступак jе илустрован у табели 5, а jедноставности ради замена цифара jе
формализована, свака цифра коjа се мења jе добиjена увећањем за jедан, са тим што се
цифра 9 коjу када увећате за 1 добиjате 10 мења цифром нула. То jе инкрементирање
по модулу 10, тако се то у математици зове. У програмском jезику Py hon се то каже
x = (x + 1) % 10. Какав jе таj броj коjи смо добили? Различит jе од било ког броjа у
табели, сигурно jе различит бар по цифри чиjи jе редни броj jеднак редном броjу броjа
из табеле са коjим се пореди. Он ниjе у табели, а морао би бити у табели. Претпоставка
о преброjивости скупа реалних броjева нас води у апсурд. Реалних броjева има превише,
они се не могу преброjати. Ово jе била прва бесконачност већа од ℵ0.
Колико реалних броjева има? Претпоставимо сада да немамо бесконачно цифара у
разматрању, ℵ0, већ само коначан броj, A0. На место сваке децималне цифре претендуjе 10
кандидата, од 0 до 9. Да извртимо све могућности, имамо 10A0броjева. Ако исту логику
екстраполирамо на ℵ0, имаћемо 10ℵ0броjева у посматраном подскупу реалних броjева.
Само, таj броj више ниjе ℵ0, већи jе, дођосмо до веће бесконачности. Да украсимо jош мало,
броjеви су могли да буду и у бинарном запису, не зависи садржаj текста од величине слова.
18
Табела 5: Диjагонални аргумент.
редни броj . . . n n + 1 ...
.
.
..
.
..
.
..
.
.
n0.... 14 . . .
n+ 1 0.. . . 2 9...
.
.
..
.
..
.
..
.
.
?0.... 2 0 ...
Тада се jош лакше цифре мењаjу, 0 постаjе 1, а 1 постаjе 0. Колико би тада било броjева
коjи не могу да се поређаjу? 2ℵ0. И то jе прва већа бесконачност коjу jе Георг Кантор успео
да пронађе. Додаjте на ℵ0било коjи броj, добићете ℵ0. Помножите ℵ0било коjим коначним
броjем, добићете ℵ0. Помножите ℵ0са самим собом, дигните га на квадрат, опет jе резултат
ℵ0. Али, 2ℵ0jе већа бесконачност, ℵ1. Да ли jе то прва следећа бесконачност, питање jе
коjе jе мучило Кантора, а решено jе доста година после његовог одласка у бесконачност.
Уз аксиом избора, ℵ1= 2ℵ0. Ово jе тема коjа jе била планирана за следеће поглавље, али
пошто jе текст већ предуг, jош jедног веома специфичног математичара, Курта Гедела
[28], ћемо оставити за неку следећу верзиjу овог текста ако икада буде написана, што
рационално ниjе у изгледу. Стога, ако вас тема занима, читаjте даље сами, има шта да се
прочита. Ако Курт Гедел не може да вас забави, насмеjе и растужи, не знам ко може.
И где нас jе довео Георг Кантор? Показао jе да постоjе различите бесконачности, ℵ1=
2ℵ0, бесконачност бесконачниjа од ℵ0. Само, пазите се математичке индукциjе, неки разред
средње школе, постоjи и ℵ2= 2ℵ1и тако даље, ℵ0пута. Има бесконачно различитих
бесконачности, свака следећа већа од оне претходне, све бесконачниjа. Ни бесконачност
ниjе што jе некад била. Георг Кантор jе то открио.
4.5 Пар речи о Георгу Кантору, судбина jош jедног математичара
Овде укратко изложена прича о трансфинитним броjевима и различитим нивоима
бесконачности jе везана за открића jедног математичара, Георга Кантора. Открио jе
дивну математику. Наравно, ако откривате нешто ново нисте добродошли, поткопавате
пирамиду ауторитета, па jе био нападан од стране колега са свих страна, а предњачио
jе у нападима математичар склон банкарству Леополд Кронекер [29]. Завист jе увек
и свуда била ендемска болест академских кругова. Кантор jе тешко подносио нападе
колега. Ипак, судећи по [23]: „Оштре критике су праћене касниjим похвалама. Године
1904. Краљевско друштво га jе наградило Силвестер медаљом, што jе наjвиша част коjа
се може доделити за математички рад. Претпоставља се да jе Кантор веровао да га jе
његова теориjа о трансфинитним броjевима повезивала са Богом. Деjвид Хилберт га jе
бранио од критика познатом изjавом „Нико нас не може протерати из раjа коjи jе Кантор
створио“. “ Међутим, да цитирамо исти извор, [23]: „Кантор jе патио од хроничне депресиjе
до краjа свог живота, због тога jе у неколико наврата био изузет из наставе и више пута jе
био затваран у разним санаториjумима. Од jедног универзитета у Шкотскоj jе 1912. добио
почасни докторат, али због болести ниjе могао лично да преузме диплому. Пензионисао се
1913, живео jе у сиромаштву, а jедно време jе био и неухрањен. Jавна прослава његовог
70. рођендана jе била отказана због рата. Умро jе 6. jануара 1918. у санаториjуму где
19
jе провео последњу годину свог живота.“ Прошао jе на неки начин боље од Архимеда и
Хипаса, али не можемо рећи да jе прошао добро. Прича о броjању започета у психологиjи
завршила jе на психиjатриjи. Нама jе остала дивна математика коjу jе открио.
5 Закључак
Ово jе била прича о Платоновом свету идеjа. О свету коjи jако утиче на наше животе,
а не примећуjемо га jер ниjе материjалан. Сваки пут када нешто броjимо, сваки пут када
нешто рачунамо, сваки пут када нешто одбацимо као небитно у нашем моделу стварности,
ми улазимо у свет идеjа. У том свету постоjи бесконачност. Она jе омогућила Ахилу, jунаку
из света идеjа, да стигне корњачу. Она омогућава нама из материjалног света да стигнемо
материjалне корњаче, ако немамо преча посла до да их jуримо. Она jе дошла главе Хипасу
jер jе увидео да се разломак не може скраћивати бесконачно много пута са два, да то баш
и ниjе неки разломак. Она jе омогућила Лаjбницу и Њутну да изграде инфинитезимални
рачун на коме сва данашња техника почива. Она jе заинтересовала Георга Кантора да
jе проучава и омогућила му откриjе да има више различитих бесконачности, не само
jедна. Штавише, да има бесконачно много различитих бесконачности, свака бесконачниjа
од претходне. Кантора више нема, али нематериjалне идеjе остаjу, не рђаjу, не труну, не
кваре се.
Оваj текст су иницирали шаљиви разговори двоjице колега из потпуно различитих
струка, са различитим погледом на математику, а jош више од тога са различитим
емотивним ставом према математици. Аутор jе очекивао да ће текст завршити у веселом
тону, како jе и започео, да ће то бити jош jедна шала на рачун „неприjатељске“ струке.
Судбине Хипаса и историjски jош ближег Кантора су радост поквариле. Открили су дивне
ствари, а због тих открића су их колеге, у наjбољем случаjу, одбациле. Да су мудро ћутали
и бавили се свакодневним тривиjалностима, вероватно би боље прошли. У том случаjу,
свако од нас коjе то занима би морао да открива бесконачности за себе. Не би било дивова
на чиjа рамена би могли да се попнемо како би видели даље.
Литература
[1] Зенон из Елеjе, Википедиjа, приступљено 23.10.2025.
[2] Ахил, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[3] Корњача, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[4] Платонова теориjа идеjа, Википедиjа, приступљено 04.11.2025.
[5] Геометриjски ред, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[6] Чеховљева пушка, Википедиjа, приступљено 01.11.2025.
[7] Готфрид Вилхелм Лаjбниц, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[8] Исак Њутн, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[9] Математичка анализа, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[10] Архимед, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[11] Метод исцрпљивања, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
20
[12] Математичка анализа, Википедиjа, приступљено 29.10.2025.
[13] Еуклид, Википедиjа, приступљено 29.10.2025.
[14] Бесконачност, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[15] Хипас из Метапонта, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[16] Питагореjци, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[17] Вегетариjанство, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[18] Питагорина теорема, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[19] Бранислав Нушић, Аутобиографиjа, приступљено 24.10.2025.
[20] Ирационалан броj, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[21] O empo a, o mo es!, Википедиjа, приступљено 25.10.2025.
[22] Застава Шкотске, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[23] Георг Кантор, Википедиjа, приступљено 24.10.2025.
[24] Ami D. Aczel, The mys e y o he Aleph: Ma hema ics, he Kabbalah, and he sea ch
o in ini y. Simon and Schus e , 2001.
[25] Cha les Sei e, Ze o: The biog aphy o a dange ous idea. Penguin, 2000.
[26] Комплексна анализа, Википедиjа, приступљено 30.10.2025.
[27] Манделбротов скуп, Википедиjа, приступљено 30.10.2025.
[28] Курт Гедел, Википедиjа, приступљено 27.10.2025.
[29] Леополд Кронекер, Википедиjа, приступљено 28.10.2025.
21