ГРАФИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ

VOLUME-3, ISSUE-10
128
ГРАФИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ
Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А., Вафаев Б.М., Муродиллаев Ф.Ш.
Аннотация: Ушбу ишда шарнирли таянчларга эга бўлган тўғри тўртбурчакли изотроп
пластинанинг эркин тебраниши масаласининг тўлиқ аналитик ечими келтирилган. Классик
Кирхгоф-Ляв пластиналар назарияси асосида ҳаракат тенгламаси чиқарилган ва ўз-ўзидан
тебраниш частоталари ва тебраниш шакллари учун ўзгарувчиларни ажратиш усулидан
фойдаланган ҳолда аниқ ифодалар олинган. Квадрат пўлат пластина (a = b= 1 м, h = 0.01
м) учун биринчи ўз-ўзидан тебраниш частотаси ҳисоблаб чиқилган (ω₁₁ ≈ 95.7 рад/с, ₁₁ ≈
15.2 Гц) ва мос келувчи мода шакли қурилган. Ечим мақолада таклиф қилинган
тебранишларнинг ўз-ўзидан тебраниш частоталарини график-сонли аниқлаш усули билан
верификация қилинган. Биринчи ўз-ўзидан тебраниш частотасининг сонли
қийматларидаги фарқ 2% дан кам бўлган. Геометрик параметрлар ва материалнинг
механик хусусиятларининг динамик реакцияга таъсирини таҳлил қилишга алоҳида
эътибор қаратилган. Олинган натижалар авиация, кемасозлик ва иқтисодиётнинг бошқа
тармоқларидаги конструкцияларни лойиҳалашда ишлатилиши мумкин.
Калит сўзлар: изотроп пластина, шарнирли маҳкамлаш, ўз-ўзидан тебраниш частоталари,
ўзгарувчиларни ажратиш усули, аналитик ечим.
Аннотация: В работе представлено полное аналитическое решение задачи о свободных
колебаниях прямоугольной изотропной пластины с шарнирно опертыми краями. На основе
классической теории пластин Кирхгофа-Лява выведено уравнение движения и получены
точные выражения для собственных частот и форм колебаний с использованием метода
разделения переменных. Для квадратной стальной пластины (a = b = 1 м, h = 0.01 м)
рассчитана первая собственная частота (ω11 ≈ 95.7 рад/с, 11 ≈ 15.2 Гц) и построена
соответствующая форма моды. Решение верифицировано предлагаемым в статье методом
графико-численного определения собственных частот колебаний. Расхождение в
численных значениях в первой собственной частоте оказалось менее 2%. Особое внимание
уделено анализу влияния геометрических параметров и механических свойств материала
на динамический отклик. Полученные результаты могут быть использованы при
проектировании конструкций в авиастроении, судостроении и в других отраслях
экономики.
Ключевые слова: изотропная пластина, шарнирное закрепление, собственные частоты,
метод разделения переменных, аналитическое решение
Abs ac : This pape p esen s he comple e analy ical solu ion o he p oblem o ee ib a ions
o a ec angula iso opic pla e wi h simply suppo ed edges. Based on he classical Ki chho -
Lo e pla e heo y, he equa ion o mo ion is de i ed, and exac exp essions o he na u al
equencies and ib a ion mode shapes a e ob ained using he me hod o sepa a ion o a iables.
The i s na u al equency (ω₁₁ ≈ 95.7 ad/s, ₁₁ ≈ 15.2 Hz) is calcula ed o a squa e s eel pla e (a
= b= 1 m, h = 0.01 m), and he co esponding mode shape is cons uc ed. The solu ion is e i ied
by he g aphical-nume ical me hod o de e mining na u al ib a ion equencies p oposed in he
a icle. The disc epancy in he nume ical alues o he i s na u al equency was ound o be less
han 2%. Special a en ion is paid o analyzing he in luence o geome ic pa ame e s and he
VOLUME-3, ISSUE-10
129
ma e ial's mechanical p ope ies on he dynamic esponse. The esul s ob ained can be used in
designing s uc u es in ae ospace, shipbuilding, and o he sec o s o he economy.
Keywo ds: iso opic pla e, simply suppo ed edges, na u al equencies, me hod o sepa a ion o
a iables, analy ical solu ion.
1. Введение (In oduc ion). Колебания пластин являются ключевой проблемой в динамике
конструкций. Прямоугольные пластины с шарнирным закреплением краёв представляют
собой классическую модель, используемую в аэрокосмической инженерии и
строительстве. Несмотря на кажущуюся простоту, точное определение их собственных
частот требует строгого математического аппарата.
Проведение точного анализа колебательных процессов позволяет предотвратить
резонансные явления, снизить усталостные нагрузки и существенно повысить надежность
конструкций. Особое значение этот вопрос приобретает в авиационно-космической
технике, строительстве и в других отраслях экономики.
Анализ колебаний пластин в современных инженерных конструкциях имеет огромное
значение. В авиационной и космической отрасли пластинчатые конструкции широко
применяются в элементах обшивки крыльев, фюзеляжа и шасси. Основные проблемы
связаны с вибрациями, возникающими от работы двигателей, аэродинамических сил и
турбулентности, которые могут привести к серьезным последствиям: усталостным
разрушениям крепежных элементов, флаттеру (динамической неустойчивости крыла) и
повышенному шуму в салоне. Для решения этих задач применяется комплекс мер: точный
расчет собственных частот композитных обшивок (ω11) с целью исключения совпадения с
частотами работы силовых установок (50-200 Гц), добавление ребер жесткости для
повышения низших частот (ω11) и использование специальных демпфирующих покрытий.
В строительстве и гражданской инженерии пластинчатые конструкции (перекрытия,
мостовые полотна, фасадные системы) подвергаются воздействию ветровых и
сейсмических нагрузок, а также резонансным явлениям от движения людей и техники. Для
обеспечения надежности применяются следующие решения: оптимизация толщины
бетонных плит перекрытий (поддержание ω11 > 5 Гц, что превышает частоту шага человека
1-3 Гц), динамический анализ мостовых пролетов с учетом колебательных характеристик
от транспортных потоков и использование упругих креплений для фасадных панелей.
Для инженеров-практиков можно сформулировать ключевые выводы: в авиации контроль
частотных характеристик является основой безопасности и требует учета
аэродинамических факторов и сложных граничных условий; в строительстве критически
важно избегать совпадений собственных частот с эксплуатационными нагрузками,
применяя методы упрочнения (ребра жесткости).
Отметим, что перспективными направлениями развития являются: использование
метаматериалов для управления частотными характеристиками; применение
искусственного интеллекта для оптимизации форм пластин.
Теорию пластин посвящены достаточно большое количество книг в виде монографии,
учебников. В них нашли достаточного отражения основы теории пластин, вариационные
методы, энергетические принципы, классические методы решения задач устойчивости и
колебания, а также методы, основанные на конечных элементах [1-7]. Здесь мы приводим
некоторые из них. Например, в пункте «Прямоугольные пластины» книги [2-Тимошенко
С.П.] представлено аналитическое исследование поперечных колебаний прямоугольных
VOLUME-3, ISSUE-10
130
пластин с акцентом на уточнение расчётных моделей для свободно опёртых краёв. Научная
новизна работы заключается в систематизации энергетического подхода к определению
собственных частот колебаний; в разработке модифицированной методики применения
метода Релея-Ритца для пластин с комбинированными граничными условиями;
верификации теоретических выкладок через сопоставление с классическими решениями
Кирхгофа. Полученные результаты позволяют точнее прогнозировать вибрационное
поведение пластинчатых элементов в строительных конструкциях, авиа- и
машиностроении. Особое внимание уделено случаям, когда традиционные аналитические
методы дают значительную погрешность.
Далее приводятся работы, где рассмотрены, в основном, колебания прямоугольных
пластин, у которой все стороны шарнирно-оперты. В них найдены собстенные частоты или
же параметр частоты.
Работа [9-Ganesh Naik Gugulo h, Baij Na h Singh, Vinayak Ranjan] посвящена исследованию
методом конечных элементов (МКЭ) колебаний прямоугольной пластин. Определены
первые шести характерных собственных частот свободных колебаний и соответствующие
форм колебаний для пластин, у которой все стороны шарнирно-оперты.
В работе [10-Ramu-2] используется точное решение типа Леви для определения
собственных частот шарнирно опёртой прямоугольной пластины применительно к теории
пластин Кирхгофа в рамках метода конечных элементов (МКЭ). Определяются матрицы
жёсткости и массы, которые затем используются для расчёта собственных частот через
решение задачи на собственные значения. Численные результаты показали, что метод
применим для анализа свободных колебаний тонких прямоугольных пластин. Однако при
увеличении толщины пластины погрешность в параметрах частот увеличивается. Точные
решения (Леви) хорошо работают для тонких пластин.
В работе [11-Nkounhawa, P.K., Ndapeu, D., Kenmeugne, B. and Began,] изучены
динамические поведения конструкций, подверженных свободным колебаниям,
проводится с помощью модального анализа для расчета собственных частот и модальных
деформаций. В этой статье представлен модальный анализ тонкой прямоугольной
шарнирно опертой пластины. Аналитическое решение дифференциального уравнения
получается путем применения метода разделения переменных. Результаты, полученные
MКЭ с помощью Ansys сравниваются с результатами, полученными аналитическим
методом.
В данной работе [12-Leissa, A. W., 1973] предпринята попытка представить всесторонние
и точные результаты анализа свободной вибрации прямоугольных пластин. Приведен
двадцать один пример, в котором возможно сочетание условий зажатия, простой опоры и
свободной кромки. Точные характеристические уравнения приведены для шести случаев,
когда две противоположные стороны просто поддерживаются. Существование решений
различных характеристических уравнений тщательно описано. Используется метод Ритца
с 36 членами, содержащими произведения лучевых функций на проанализируйте
оставшиеся 15 случаев. Представлены точные частотные параметры для диапазона
соотношений сторон (a/b = 0:4, 2/3, 1:0, 1:5, и 2:5) для каждого случая. Для последних 15
случаев были проведены сравнения с использованием полезных приближенных формул
Уорбертона.
VOLUME-3, ISSUE-10
131
Сбору теоретических оценок, позволяющих рассчитать частоту колебаний прямоугольных
изотропных пластин, подверженных различным граничным условиям посвяўена работа
[13-R. F. S. Hea mon].
В работе [14-Морозов Н.А., Гребенюк Г.И., Максак В.И., Гаврилов А.А.] исследованы
собственные колебания прямоугольных металлических пластин с различными
граничными. Применены аналитические методы, метод конечных элементов и
экспериментальные исследования. Выявлены расхождения в частотах колебаний в
зависимости от метода и граничных условий.
Автор работы [15- Алгазин С.Д.] решил опубликовать работу по вычислению собственных
частот прямоугольной пластины, во-первых, из-за её важности, во-вторых из-за того, что
работы по вычислению частот прямоугольной пластины продолжают появляться в
литературе. Вместе с тем в 2003 году автор опубликовал работу о флаттере прямоугольной
пластины (Наука, ПМТФ, Т. 44, №4, 2003, с.35-42), где как промежуточный результат
вычислялись собственные значения бигармонического оператора в прямоугольнике, т.е.
собственные частоты защемлённой прямоугольной пластины. В настоящем препринте
приводится обзор по работам о вычислении частот свободных колебаний прямоугольной
пластины и программа для их вычисления.
В работе [16- Нестеров С.В] построены аналитические выражения для вычисления
собственных частот и форм изгибных колебаний защемленной по контуру квадратной
однородной пластины. Дана оценка погрешности сравнением с известными
высокоточными расчетами. Произведено также сравнение аналитических расчетов с
экспериментальными данными, полученными автором резонансным методом.
Установлено, что аналитические и соответственно численные результаты совпадают с
экспериментальными с погрешностью менее 1%. Высокоточное определение собственных
частот требуется при создании современных прецизионных электромеханических
преобразователей и анализа качества их функционирования. Предложенная методика
исследований и алгоритм расчета могут быть использованы для исследования изгибных
колебаний пластин при других типах граничных условий
Пособие [17- Мондрус В.Л., Ковальчук О.А ] включает три раздела, в которых
рассматриваются основные методы определения частот свободных колебаний
прямоугольных пластинок. Приведены примеры расчетов.
В статье [18-Co nel Ha iegan,] представлено дифференциальное бигармоническое
уравнение тонких пластин, с помощью которого были получены формы колебаний для
прямоугольной тонкой пластины, шарнирно просто закрепленной по контуру. Кроме того,
были получены первые четыре режима вибрации и первые четыре собственные частоты
этой прямоугольной тонкой стальной пластины. С помощью программного обеспечения
MATLAB были графически представлены формы режимов вибрации.
На следующих четырех работах были вычислены не сами собственные частоты, а её
параметр.
Например, в статье [19- Byoung Kee Han, Kang Chung and Dae Sik Han] представлен анализ
колебаний пластин методом Рэлея-Ритца с использованием ортогональных многочленов.
Разработана компьютерная программа, и численные результаты вычислений хорошо
согласуются с результатами, полученными другими авторами.
Исследование колебании прямоугольных пластин с различными комбинациями граничных
условий, которые включают свободные края, проводится в работе [20- K. M. Liew, K. Y.
VOLUME-3, ISSUE-10
132
Lam and S. T. Chow] с использованием ортогональной функции пластины в процедуре
Рэлея-Ритца. Функция ортогональной пластины построена с использованием соотношения
ортогональности Грама-Шмидта. Вычисленные собственные частоты были проверены
путем сравнения с результатами анализа, опубликованными в открытой литературе, и
оказались в очень хорошем соответствии.
В работе проведено [21- Ne a i M. We alli, Abobake A. Ka oud] исследование свободных
колебаний тонких изотропных прямоугольных пластин с различными краевыми
условиями. Это исследование включает в себя получение собственных частот путем
решения математической модели с использованием метода конечных элементов,
основанного на методе Галеркина. Эффективность метода точного вычисления
собственных частот очень высокая, которая продемонстрировано путем сравнения
полученного решения с существующими аналитическими результатами.
Собственные частоты прямоугольных пластин в работе [22- R. B. Bha .] определяются с
использованием набора ортогональных полиномов, характерных для балок, в методе
Рэлея-Ритца. Эти ортогональные полиномы генерируются с помощью процесса Грама-
Шмидта после того, как первый член строится таким образом, чтобы удовлетворять всем
граничным условиям соответствующей задачи для балок, связанной с задачей для пластин.
Собственные частоты, полученные с использованием ортогональных полиномиальных
функций, сравниваются с частотами, найденными другими методами. Данный метод дает
превосходные результаты для низших мод.
Таким образом, анализ колебаний пластин остается актуальной междисциплинарной
задачей, требующей комплексного подхода и учитывающей специфику конкретного
применения.
В данной работе рассматривается изотропная пластина толщины h, длины a и ширины b.
Целью является вывод аналитического решения для частот и форм колебаний с
использованием метода разделения переменных и верификация полученных результатов
предлагаемым в данной статье графико-численным методом определения собственных
частот колебаний.
2. Методы (Me hods). Рассмотрим аналитическое решение задачи о свободных
колебаниях прямоугольной изотропной пластины, у которой все стороны шарнирно
оперты. Уравнение Софи Жермен–Лагранжа для изгибных колебаний изотропной
пластины имеет вид:
( )
0,, 2
2
4=


+
w
h yxwD

, (1)
где
( )
2
3
112

−
=Eh
D
− цилиндрическая жесткость пластины,
4
4
22
4
4
4
42yyxx 

+


+


=
−
бигармонический оператор, ρ − плотность материала пластины, h − толщина пластины, 
− коэффициент Пуассона, w (x, y, ) − прогиб пластины.
Решение уравнение (1) ищем в виде произведения пространственных и временных
функций:
( ) ( ) ( )

= =
= M
m
N
nmnmn Tyxw yxw
1 1
,,,
, (2)

VOLUME-3, ISSUE-10
133
где
( )
yxwmn ,
− собственные формы колебаний, удовлетворяющие заданным граничным
условиям.
Подставляя (2) в уравнение (1), получим:
0
4=+ ThwTwD 

. (3)
Разделяя переменные в уравнении (3), получим:
2
4


=−=

T
T
hw
wD 
, (4)
где ω − собственная частота колебаний пластины.
Таким образом, из (4) получаем следующие два уравнения:
1. Уравнение с пространственными переменными:
0
44 =− wkw
,
D
h
k2
4

=
. (5)
Здесь бигармонический оператор
4

легко представляется через квадрат лапласиана:
( )
2
2
2
2
2
2
24 









+


== yx
.
2. Уравнение с временным переменным:
0
2=+ TT


. (6)
Теперь приступаем к решению уравнений (5). Для прямоугольной пластины, у которой все
стороны шарнирно оперты граничные условия выглядит так:
( ) ( ) ( ) ( )
0,0,,,0 ==== bxWxWyaWyW
,
0 ,0
,0
2
2
,0
2
2=


=


=
=by
ax y
W
x
W
. (7)
Собственные формы колебаний, удовлетворяющие заданным граничным условиям (7)
выбираем в виде:
( )












=b
yn
a
xm
yxwmn

sinsin,
. (8)
Подставив (8) в уравнение (5), получим:
WkW
b
n
a
m4
2
2
22
2
22 =





+

. (9)
Из равенства (9) получим соотношения для связи частоты и волновых чисел:
2
2
22
2
22
4




+= b
n
a
m
k

. (10)
Учитывая в равенстве (10) обозначение для
4
k
находим формулу по определению
собственных частот пластины:





+= 2
2
2
2
2
b
n
a
m
h
D
mn


. (11)
Решение уравнений с временным переменным (6) имеет вид:
VOLUME-3, ISSUE-10
134
( ) ( ) ( )
B A T mnmnmnmnmn

sincos +=
. (12)
Подставив (8) и (10) в (2) получим общее решение для прогиба пластины:
( ) ( ) ( )
 
B A
b
yn
a
xm
yxw mnmnmnmn
M
m
N
n


sincossinsin,,
1 1
+












=
= =
. (13)
Коэффициенты
mn
A
и
mn
B
в (13) находятся из начальных условий:
при =0:
( )












=b
yn
a
xm
Ayxw mn mn

sinsin0,,
,












=


=b
yn
a
xm
B
w
mn mnmn


sinsin
0
.
Следуя методу Бубнова-Галеркина умножаем обе части на












b
yl
a
xk

sinsin
и
интегрируя по x∈[0,a], y∈[0,b], используя ортогональность синусов, получаем:
( )
dxdy
b
yn
a
xm
yxw
ab
Aa b
mn 











=

sinsin0,,
4
0 0
,
dxdy
b
yn
a
xm
w
ab
Ba b
mn
mn 













= =


sinsin
4
0 0 0
,
Таким образом, получаем выражение для частот:
h
D
b
n
a
m
mn









+= 2
2
2
2
2
.
Для квадратной пластины (a = b) низшая частота:
4
2
11 2ha
D


=
.
Учитывая, что
mn

=2π mn, собственные частоты прямоугольной пластины могут быть
вычислены по следующему уравнению:
h
D
b
n
a
m
mn









+= 2
2
2
2
2
Обозначим первые шесть собственных частот (мод) для комбинаций следующим образом:
(m,n) = (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (2,3).
Формы колебаний (моды) выглядит так:
( )












=b
yn
a
xm
yxWmn

sinsin,
.
Это решение полностью описывает свободные колебания пластины с граничными
условиями шарнирного оперения. Для практических приложений и инженерных расчетов
обычно учитывают только первые несколько форм колебаний, так как они дают основной
вклад в колебательный процесс пластины.
Рассмотрим в качестве примера колебания квадратной изотропной пластины с шарнирно
опертыми краями. Предположим, что дана квадратная изотропная стальная пластина, у
которой длина и ширина соответственно равны a = b = 1 м, толщина h = 0.01 м, модуль
VOLUME-3, ISSUE-10
135
Юнга E = 2×1011 Па, коэффициент Пуассона ν = 0.3 и плотность материала пластины ρ =
7800 кг/м3.
Требуется определение первой собственной частоты колебаний ω11, а также написать
форму первой моды w11(x, y) и решить уравнение для T( ) при нулевой начальной скорости.
В первую очередь вычислим цилиндрическую жесткость D:
( )
( )
( )
01832.18315
91.012
10102
3.0112
01.0102
112
611
2
3
11
2
3


=
−

=
−
=
−

Eh
D
.
Далее определим первую собственную частоту 11 . Для моды (m = 1, n = 1):
h
D
ba









+= 2
2
2
2
11
11
2
. (14)
Подставляя в (14) линейные размеры a = b = 1 м, получим:
h
D
h
D




=





+= 1
1
1
1
2
11
.
==

== 78
01832.18315
141592.3
01.07800
01832.18315
141592.3
11 h
D


Гц 14001819.4832344371.15141592.38079271.234141592.3 ===
Выражения для формы первой моды w11 (x, y) имеет вид:
( ) ( ) ( )
yx
b
y
a
x
yxw


sinsinsinsin,
11 =












=
.
График формы колебаний представляет собой полуволну с максимумом в центре (x = y =
0.5 м) пластины.
Общее решение уравнений с временным параметром (6) выглядит так:
( ) ( ) ( )
C C T 112111sincos

+=
.
пусть при = 0:
( ) ( ) ( )
yxyxw

sinsin01.00,, =
(начальное отклонение),
0
0
=


−
w
(нулевая начальная скорость).
Тогда
( )
01.00 1== CT
,
( )
0 00 2112=== CCT


.
Решение для T( ):
( ) ( )
T 7.95cos01.0=
.
Таким образом получим итоговое решение для прогиба пластины w (x, y, ):
( ) ( ) ( ) ( )
yx yxw 7.95cossinsin01.0,,

=
.
Отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемая изотропная квадратная пластина с
заданными выше исходными данными колеблется с частотой 48.14 Гц, а амплитуда в
центре равна 0.01 м.
Теперь переходим к изложению сути и содержания графико-численного метода
определения собственных частот колебаний пластины, предлагаемы в данной работы,
который дополняет классическое аналитическое решение, основанное на теории
Кирхгофа-Лява. Хотя аналитический подход позволяет точно определить собственные
VOLUME-3, ISSUE-10
136
частоты и формы колебаний для пластины с шарнирно опертыми краями, предлагаемый
метод расширяет возможности анализа, особенно для случаев со сложными граничными
условиями.
Метод, описываемый ниже опирается на фундаментальное понятие как частоты колебаний
в одном секунде и является практическим способом определения частоты колебаний,
опираясь на её временное представление и определение количества полных и частичных
циклов колебаний в единицу времени.
Суть метода заключается в определении собственных частот по графическому
представлению колебательного процесса - зависимости амплитуды колебаний от времени.
Для демонстрации его работоспособности рассмотрим задачу о свободных колебаниях
квадратной пластины, решение которой было получено аналитически. Верификация
результатов проводится путём сопоставления значений основной частоты, найденных
обоими методами. Такой подход не только подтверждает корректность аналитического
решения, но и открывает перспективы для исследования более сложных динамических
систем, где применение классических методов затруднено.
Метод включает в себя следующие этапы:
1. Получение графических данных: график амплитуды колебаний во времени
получается экспериментально или в результате численного моделирования; при
необходимости графические данные переводятся в цифровой формат.
2. Определение периодов: на графике определяются полные периоды колебаний. Для
этого находятся пики колебаний (максимальные и минимальные точки); на интервале
времени в одну секунду, начиная с нулевой точки, определяется количество полных
периодов колебаний.
3. Определение неполного периода: в конце секундного интервала времени
определяется доля неполного периода; для этого используется метод пропорций:
отношение временного интервала неполного периода к временному интервалу полного
периода.
4. Расчет частоты: к количеству определенных полных периодов добавляется доля
неполного периода; результат дает значение частоты колебаний в герцах, то есть
количество колебаний в секунду.
Для разработки метода графико-численного определения собственных частот колебаний
применим метод Бубнова-Галеркина к решению уравнений движения (1), с граничными
условиями (7) и следующими начальнами условиями:
при
0=
,
( ) ( )
yxwyxw ,0,, 0
=
,
( ) ( )
yxwyxw ,0,, 0
 =
(12)
Решение ищем в виде:
( ) ( ) ( ) ( )

= =
=M
mn
N
nmmn yYxX w yxw 1 1
,,
(13)
(13) подставим в (1), тогда получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= =
=





++
M
m
N
n
n
m
nm
n
m
mn dy
yYd
xX
dy
yYd
dx
xXd
yY
dx
xXd
wD 1 1 4
4
2
2
2
2
4
42
( ) ( ) ( )

= =
−= M
m
N
nnmmn yYxX wh 1 1


(14)
VOLUME-3, ISSUE-10
143
n
Источ
ник
Круговая частота (рад/с)
Собственая частота (Гц)
m=1
m=2
m=3
m=4
m=1
m=2
m=3
m=4
1
[18]
ГЧМ
149,607
149,607
239,372
239,496
388,979
389,193
598,43
598,794
23,822
23,822
38,116
38,117
61,939
61,942
95,291
95,301
2
[18]
ГЧМ
508,665
508,950
598,430
598,794
748,037
748,598
957,487
958,305
80,997
81,002
95,291
95,301
119,114
119,143
152,466
152,519
3
[18]
ГЧМ
1107,09
1108,24
1196,86
1198,11
1346,47
1348,11
1555,92
1558,34
176,288
176,381
190,582
190,686
214,406
214,558
247,758
248,017
4
[18]
ГЧМ
1944,90
1948,94
2034,66
2039,22
2184,27
2189,76
2393,72
2400,64
309,697
310,183
323,990
324,552
347,813
348,511
381,165
382,073
С помощью MATLAB были получены формы колебаний прямоугольной пластины,
свободно опёртой по краям, которые представлены на рисунках. Как видно из таблицы,
результаты для низших собственных частот, рассчитанные разными методами,
практически совпадают. Это свидетельствует о корректности применяемых подходов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ (Conclusion). Особенности метода: метод объединяет визуальный
анализ колебательного процесса и численные расчеты; предлагает простой и понятный
способ определения частоты колебаний и метод может применяться для анализа колебаний
в различных областях. К преимуществам данного метода можно отнести, наглядность
колебательного процесса, и быстроту получения результатов. К недостаткам можно
отнести зависимость от точности графика.
1. Как мы видим разработанный подход успешно применён для анализа колебаний
изотропных пластин с шарнирным закреплением по контуру.
Полученные результаты демонстрируют: высокую точность определения собственных
частот; полное соответствие классическим аналитическим решениям; эффективность
численной реализации метода.
2. Особый интерес представляет распространение метода графико-численного
определения собственных частот колебаний на случай вязкоупругих пластин с ядром
релаксации Колтунова-Ржаницына.
Предлагаемый подход открывает новые возможности для анализа динамики вязкоупругих
систем, где классические методы оказываются неработоспособными, а синтез
аналитических и графических методов открывает новые возможности в решении
прикладных задач динамики вязкоупругих конструкций, сочетая строгость
математического подхода с наглядностью инженерного анализа.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Бабаков, И. М. Теория колебаний: учеб. пособие / И. М. Бабаков. 4-е изд., испр. - М.:
Дрофа, 2004. - 591, [1] с.: 130 ил., 15 табл.
2. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. Л. Г.
Корнейчука; под ред. Э. И. Григолюка. - М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.
3. Leissa A. W. Vib a ion o pla es. Washing on: Scien i ic and Technical In o ma ion Di ision
O ice o Technology U ilisa ion Na ional Ae onau ics and Space Adminis a ion, 1969. 353 р.4.
4. Go man Daniel J. F ee Vib a ion Analysis o Rec angula Pla es. Else ie No h Holland, In.,
1982. - 324 p.
5. Mindlin R. D. An In oduc ion o he Ma hema ical Theo y o Vib a ions o Elas ic Pla es. 2006
by Wo ld Scien i ic Publishing Co., 190 p.

VOLUME-3, ISSUE-10
144
6. Chak a a y S. Vib a ion o PLATES. 2009 by Taylo & F ancis G oup, 411 p.
7. We ne Soedel. Vib a ion o Shells and Pla es. 2004 by Ma cel Dekke , 553 p.
8. J. N. Reddy, Theo y and Analysis o Elas ic Pla es and Shells, 2nd ed., CRC P ess, Taylo &
F ancis G oup, Boca Ra on, FL, 2007, 568 pp.
9. Ganesh Naik Gugulo h, Baij Na h Singh, Vinayak Ranjan. F ee ib a ion analysis o simply
suppo ed ec angula pla es No embe 2019 Vib oenginee ing P ocedia 29(4): p. 270-273.
10. Ramu I., Mohan y S. C. S udy on ee ib a ion analysis o ec angula pla e s uc u es using
ini e elemen me hod. P ocedia Enginee ing, Vol. 38, 2012, p. 2758-2766.
11. Nkounhawa, P.K., Ndapeu, D., Kenmeugne, B. and Began, The. (2020) Analysis o he
Beha io o a Squa e Pla e in F ee Vib a ion by FEM in Ansys. Wo ld Jou nal o Mechanics, 10,
11-25. h ps://doi.o g/10.4236/wjm.2020.102002/
12. Leissa, A. W., 1973, The F ee Vib a ion o Rec angula Pla es // J. Sound Vib., 31, pp.
257 293
13. R. F. S. Hea mon. The F equency o Vib a ion o Rec angula Iso opic Pla es / J. Appl. Mech.
Sep 1952, 19(3): 402-403 (2 pages).
14. Морозов Н.А., Гребенюк Г.И., Максак В.И., Гаврилов А.А. Исследования
собственных колебаний прямоугольных пластин // Вестник Томского государственного
архитектурно-строительного университета. 2023. Т. 25. № 3. C. 96-111. DOI:
10.31675/1607-1859-2023-25-3-96-111. EDN: IBTUVQ.
15. Алгазин С.Д. Свободные колебания прямоугольной пластины // Внедрение
современных конструкций и передовых технологий в путевое хозяйство, 2016 г., Том 9,
номер 9 (9), стр. 130-137.
16. Нестеров С.В. Изгибные колебания квадратной пластины, защемленной по
контуру // Известия Российской Академии Наук. Механика твердого тела, 2011 г., номер
6, стр.159-165.
17. Мондрус В.Л., Ковальчук О.А. Определение частот свободных колебаний
прямоугольных пластинок. Учебное пособие, Москва, 2010 г. – 24 стр.
18. Co nel Ha iegan, Gilbe -Raine Gillich, Eugen Răduca, Ma ian-Dumi u Nedeloni,
Lenuța Cîndea. Equa ion o Mo ion and De e mining he Vib a ion Mode Shapes o a Rec angula
Thin Pla e Simply Suppo ed on Con ou Using MATLAB, Analele uni e si ății "EFTİMİE
MURGU" RESİTA ANUL XX, NR. 1, 2013.
19. Byoung Kee Han, Kang Chung and Dae Sik Han. Vib a ion analysis on pla es by
o hogonal polynomials. KSME Jou nal, Vol. 3, No. 2, pp. 95~102, 1989.
20. K. M. Liew, K. Y. Lam and S. T. Chow. F ee ib a ion analysis o ec angula pla es
using o hogonal pla e unc ion. Compu e s & S uc u es Vol. 34, No. 1, pp. 79-85, 1990
21. Ne a i M. We alli, Abobake A. Ka oud. F ee Vib a ion Analysis o Rec angula Pla es
Using Gale kin-Based Fini e Elemen Me hod. In e na ional Jou nal o Mechanical Enginee ing,
Volume 2, Issue 2, 59-67 pp.
22. R. B. Bha . Na u al equencies o ec angula pla es using cha ac e is ic o hogonal
polynomials in Rayleigh-Ri z me hod. Jou nal o Sound and Vib a ion (1985) 102(4), 493-499.