512
IKKINCHI TARTIBLI HOSILASI KVADRATI BILAN
INTEGRALLANUVCHI FUNKSIYALAR FAZOSIDA KVADRATUR
FORMULANING EKSTREMAL FUNKSIYASI
Uliko Shuku illo Sha ka o ich
O ien al uni e si e i ka a oʻqi u chisi
sh_uliko @mail. u
Anno a siya: Ushbu ishda,
(2)
2(0,1)W
- azosida yaʼni 2- a ibli umumlashgan
hosilasi
0,1
kesmada k ad a i bilan jamlanu chi unksiyala azosida op imal
k ad a u o mulani qu ishni koʻ ib chiqamiz. Bundan ashqa i, chiziqli uzluksiz
unksionalning umumiy koʻ inishi oʻgʻ isidagi Riss eo emasidan oydalanib,
k ad a u o mulaning xa olik unksionali eks emal unksiyasini opish oddiy
di e ensial englamala uchun chega a iy masala yechishga kel i iladi. Bu chega a iy
masalani yechish o qali k ad a u o mulaning xa olik unksionalining eks emal
unksiyasining koʻ inishi olinadi.
Kali soʻzla : K ad a u o mula, eks emal unksiya, xa olik unksionali.
Abs ac : In his pape , le ʼs conside cons uc ing an op imal quad a u e o mula
in he
(2)
2(0,1)W
-space i.e. in he space o unc ions whose gene alized de i a i e o
o de 2 is summed by i s Squa e in he c oss sec ion
0,1
. Fu he mo e, using Reesʼs
heo em on he gene al appea ance o a linea con inuous unc ional, inding he e o -
unc ional ex eme unc ion o a quad a u e o mula is b ough o sol e he bounda y
p oblem o O dina y Di e en ial Equa ions. By sol ing his bounda y p oblem, a
ep esen a ion o he ex eme unc ion o he e o unc ional o he quad a u e o mula
is ob ained.
Keywo ds: Quad a u e o mula, ex eme Func ion, E o unc ional.
Ki ish. Masalani qoʻyilishi. Oda da amaliy masalala ni aniq in eg alni
hisoblashga kel i ilganda, ishning eng qiyin qismi allaqachon o da qolganligini
ay ishimiz mumkin. Bundan ashqa i, aga in eg al os idagi unksiya
() x
ga eng
boʻlsa, uning boshlangʻichini
()Fx
unksiya elemen a i si a ida i odalash mumkin
boʻlsa, unda aniq in eg alning qiyma ini ushbu
( ) ( ) ( )
b
a
x dx F b F a=−
o muladan
oydalanib osongina olish mumkin. Amalda, bu baʼzan sezila li qiyinchilikla ga olib
kelishi mumkin, chunki in eg al os idagi unksiyaning boshlangʻichi
()Fx
juda
mu akkab koʻ inishga ega boʻlishi mumkin.
Bu usul mu laqo ya oqsiz boʻlib chiqishi mumkin, aga (bu ez- ez sodi boʻladi)
unksiyasi
()Fx
elemen a unksiyala o qali i odalanmaydi.
Alohida maxsus unksiyala uchun ula ning qiyma la i jad alga ki i ilgan, boshqa
holla da, aniq in eg al in eg alni u yoki bu u dagi qa o la ga yoyish o qali hisoblanishi
mumkin.
513
Baʼzan baʼzi aniq in eg alla ni kompleks oʻzga u chining unksiyala i
naza iyasidan oydalanib hisoblash mumkin.
Aga ushbu usulla mos boʻlmasa, u holda aniq in eg alning qiyma i aqamli
in eg a siya o mulala i deb a aladigan o mulala yo damida aqamli a zda
hisoblanishi mumkin, yaʼni k ad a u a o mulala i.
K ad a u a usuli koʻp holla da boshqa usulla ga nisba an kam oq hisoblash
kuchini alab qiladi. Ay im in eg alla ning qiyma la ini eng yuqo i aniqlikda a a zon
na xla da axminiy hisoblash hisoblash ma ema ikasining dolza b muammola idan
bi idi .
Qa alayo gan unksiyala sin ida k ad a u o mulaning maksimal xa oligi
k ad a u o mulala naza yasining muhim masalasi hisoblanadi.
Biz quyidagi koʻ inishda k ad a u o mulani qa aymiz [1-2]
( ) ( )
1
0
0
1( ) [ ]
N
х dx k h
=
bu ye da
k
- (1) k ad a u o mulaning hozi cha nomaʼlum koe i siyen la i,
1 / ,hN=
N−
na u al son, in eg al os idagi
( )
x
unksiya
(2)
2(0,1)W
azoga egishli.
Bunda
(2)
2(0,1)W
azo bu bi inchi a ibli hosilasi absolyu uzluksiz a ikkinchi a ibli
hosilasi
2(0,1)L
ga egishli ba cha unksiyala sin i. Ushbu
(2)
2(0,1)W
azo
( ) ( ) ( ) ( )
22
1
22
0
,.
W
dх d х d х d х dx
dx dx dx dx
= +
(2)
skalya koʻpay maga nisba an Gilbe azosi boʻladi. Bu ye da (2)- skalya
koʻpay ma yo damida
( ) ( )
1
222
2
1
2
0
d x d x dx
dx dx
=+
(3)
aniqlanadi.
(1)-k ad a u o mulaning xa oligi deb
( )
1
0
0
( ) [ ]
N
x dx k h
=
−
(4)
ayi maga ay iladi a bu ayi maga
(2)
2(0,1)W
azosida aniqlangan quydagi xa olik
unksionali mos keladi
( )
[0,1]
0
( ) ( ) [ ] ,
N
x i x k x h
=
= − −
(5)
bu ye da
[0,1] ()ix
-[0,1] kesmaning xa ak e is ik unksiyasi,
)(х
-Di akning del a-
unksiyasi.
Oda da,
()х
unksionalning
()х
unksiyadagi qiyma i quyidagicha aniqlanadi
( )
, ( ) ( )x x dx
−
=
. (6)
514
(6) englikka asosan, (5) o mulani e ibo ga olib, (4) ayi ma haqiqa dan ham,
()х
xa olik unksionalining
()х
dagi qiyma i ekanligiga ishonch hosil qilamiz, yaʼni
( ) ( ) ( )
[0,1]
0
, ( ) ( ) ( ) [ ]
N
x x dx i x k x h x dx
=
− −
= = − − =
( ) ( ) ( )
1
[0,1]
00
0
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] .
NN
i x x dx k x h x dx x dx k h
==
−
= − − = −
Demak,
( )
1
0
0
( , ) ( ) [ ]
N
x dx k h
=
=−
(7)
k ad a u o mulaning (7) xa oligi
(2)
2(0,1)W
azosida chiziqli unksionalni
aniqlaydi,
bu ye da
(2)
2
W
azo
(2)
2
W
azoga qoʻshma azo. U holda, Koshi-Sh a s
engsizligidan xa olikning absolyu qiyma i yuqo idan quyidagicha baholanadi:
(2) (2)*
22
( , ) | (0,1) | (0,1)WW
Bu engsizlikdan biz (1) k ad a u o mulaning (7) xa oligi
()х
xa olik
unksionalining
(2)
2
(2)*
2(2)
,0 2
| (0,1) 1
( , )
| (0,1) ( , ) | (0,1)
sup sup
W
WW
=
==
no masi o qali baholanishini xulosa qilamiz.
Yuqo idagi engsizlikdan koʻ inadiki, (4) xa olikning absolyu qiyma ini
yuqo idan baholash uchun, (5) xa olik unksionalining no masini opish alab e iladi.
Buning uchun esa mos eks emal unksiyani aniqlash ke ak. Quyida aynan shu
eks emal unksiyani aniqlash masalasini qa aymiz.
Ushbu masalani yechish uchun, exs emal unksiya aʼ i idan oydalanamiz.
Maʼlumki, Koshi-Sh a s engsizligini englikka aylan i u chi
()Ux
unksiyaga
eks emal unksiya deyiladi, yaʼni
(2)* (2)
22
( , ) (0,1) (0,1) .U W U W=
(8)
)1,0(
)(
2
m
W
Gilbe azosida chiziqli uzluksiz unksionalning umumiy koʻ inishi
haqidagi Riss eo emasidan oydalanib quyidagini yozamiz.
(2)* (2)
22
(0,1) (0,1) .W U W=
( 9 )
Shuningdek, (8) a (9) dan quyidagi xulosaga ega boʻlamiz:
2
(2)*
2
( , ) (0,1) .UW=
( 10 )
Boshqa omondan, xuddi shu eo ema boʻyicha,
(2)
2(0,1)W
azoning ha qanday
()x
elemen i uchun ushbu englikni olamiz
( , ) , ,U
=
bu ye da
515
( ) ( ) ( ) ( )
22
1
22
0
,dх d U х d х dU х
U dx
dx dx dx dx
= +
. ( 11 )
Ay aylik,
()x
unksiya
(2)
2(0,1)W
azoga egishli cheksiz di e ensiallanu chi
unksiya boʻlsin, yaʼni.
( )
( )
( ) 0,1 .xC
(11) englikning oʻng omonini boʻlaklab in egallab quyidagini hosil qilamiz
(4) (2)
( ) ( ) ( ).U x U x x−=
(12 )
( )
(3) (1) 1
( ) ( ) 0,
0
x
U x U x x
=
−=
=
(13)
(2) 1
( ) 0.
0
x
Ux
x
==
=
(14)
Teo ema 1. (12)-(14) chega a iy masalaning yechimi (1) k ad a u o mulaning
(5) xa olik unksionali eks emal unksiyasi boʻlib, quyidagi koʻ inishga ega.
20
( ) ( )* ( )U x x x P
=+
,
bu ye da
2() 22
xx
signx e e
xx
−
−
=−
(1 5 )
ushbu
42
42
dd
dx dx
−
di e ensial ope a o ning undamen al yechimi,
1, 0,
0, 0,
1, 0,
x
signx x
x
==
−
0
P
-ix iyo iy oʻzga mas son.
Xulosa. Shunday qilib, biz ushbu ishda
(2)
2(0,1)W
azoda op imal k ad a u a
o mulasini qu ishni koʻ ib chiqdik. Bundan ashqa i, k ad a u a o mulala ining
eks emal unksiyasini opdik keying ishla imizda xa olik unksionalining no masini
koʻ inishini opishni amalga oshi amiz. .
Foydalanilgan adabiyo la
1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. – М.: Наука. 1974. 808 с.
2. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ
СО РАН, 1996. - 484 с.
3. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным
пограничным слоем. – Уфа, 2009. - 178 с.
4. Шадиметов Х.М., Нуралиев Ф.А., Уликов Ш.Ш., Абдукайимова Г.А.,
Квадратнормы функционала погрешности квадратурных формул в факторизованном
пространстве Соболева –Проблемы вычыслительной и прикладной математики,
Ташкент N-4(34) 2021.
