K elle, Wilhelm (Ed.)
Book
Mul iplika o , Gleichgewich , op imale Wachs ums a e und
S ando e eilung
Sch i en des Ve eins ü Socialpoli ik, No. 42
P o ided in Coope a ion wi h:
Ve ein ü Socialpoli ik / Ge man Economic Associa ion
Sugges ed Ci a ion: K elle, Wilhelm (Ed.) (1965) : Mul iplika o , Gleichgewich , op imale
Wachs ums a e und S ando e eilung, Sch i en des Ve eins ü Socialpoli ik, No. 42, ISBN
978-3-428-41074-3, Duncke & Humblo , Be lin,
h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Sch i en des Ve eins ü Socialpoli ik
Gesellscha ü Wi scha s-
und
Sozialwissenscha en
Neue Folge Band
42
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
SCHRIFTEN
DES VEREINS F JR SOCIALPOLITIK
Gesellscha ü Wi scha s-
und
Sozialwissenscha en
Neue Folge Band
42
Mul iplika o , Gleichgewich ,
op imale Wachs ums a e
und
S ando e eilung
VERLAG
VON
DUNCKER
&
HUMBLOT
BERLIN
1965
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Mul iplika o , Gleichgewich ,
op imale Wachs ums a e
und
S ando e eilung
Von
He be GÜliche . E win Scheele
Win ied Vog , Hans·] ü gen V osge au
He ausgegeben on P o . D . Wilhelm K elle
VERLAG
VON
DUNCKER
&
HUMBLOT
BERLIN
1965
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
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Alle
Rech e
o behal en
©
1965
Duncke
&
Humblo ,
Be lin
41
Ged uck
1965
bei
Be line
Buchd ucke ei
Union
GmbH.,
Be lln
61
P in ed
in
Ge many
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Vo wo
Hie mi
lege ich die
Re e a e
de
He en
Güliche , Scheele
und
Vosge au
de
Ö en lichkei o .
Sie
wa en
Gegens and
de
Diskussio-
nen
des Theo e ischen Ausschusses des
Ve eins
ü
Socialpoli ik
au
seinen
Si zungen
im
"Haus
E bachsho "
bei
Wü zbu g
am
17./18. 10. 1963
und
in
"Haus
Ahlenbe g"
bei
Do mund
am
1.-3.
5.
1964.
Ein
Teil
de
Diskussionse gebnisse
is
on
den
Au o en
gleich
bei
de
endgül-
igen
Fassung
be ücksich ig
wo den.
Ein
wich ige Diskussionsbei ag
on
Win ied
Vog ,
de
die
A bei en
on
H.
J.
Vosge au
e wei e ,
wu de
eben alls
in
diese
Sch i
au genommen.
W.
K elle
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Inhal s e zeichnis
Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
bei
Disagg ega ion
des
Einkommens
Von
P o .
D .
E win
Scheele,
Ka ls uhe
............................
9
Zu
mak o
ökonomischen
Theo ie
des
In es i ionsop imums
Von D .
Hans-Jü gen
Vosge au,
Heidelbe g
........................
79
Diskussionsbei ag
zu
H.-J.
Vosge au,
Zu
mak oökonomischen
Theo ie
des
In es i ionsop imums
Von
P o .
D .
Win ied
Vog , Kiel
..........
.
.......................
103
Einige
Eigenscha en
op imale
S ando e
in
Ve keh sne zen
Von
P o .
D .
He be
GüUche ,
Müns e
............................
111
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14 E win Scheele
plika o s
und
des gleichgewich igen Wachs ums soll
im
Folgenden
un e such
we den.
11
Es
is
die
e s e
These
des o liegenden Bei ages, daß die übliche
Mul iplika o heo ie
-selbs
wenn
die zug undeliegende G eichge-
wich sbedingung (E üllung des gewünsch en Ve häl nisses zwischen
E spa nissen
und
Volkseinkommen) als aus eichend
akzep ie
wi d
-
un olls ändig is , sobald
das
Volkseinkommen
in
die
unk ionalen
Einkommenska ego ien disagg egie wi d.
De
G und
lieg
da in,
daß
-
wie
oben abgelei e -die Beziehung zwischen
den
Ände ungen
de
E spa nisse
und
des Volkseinkommens, die
ma ginale
Spa quo e, nich
unabhängig
is
on
de
Höhe
de
In es i ionsausgaben selbs
ode
-
genaue
gesag -
on
de
Wachs ums a e
de
In es i ionen.
1.
Aus
den
Gleichungen
(1)
bis
(6)
e gib
sich die
Ände ung
des
Volkseinkommens als
(12)
Es zeig sich also,
daß
de
Einkommenszuwachs nich
wie
in
de
üb-
lichen
Mul iplika o heo ie
gleich
den
zusä zlichen In es i ionen di i-
die
du ch
die
agg egie e
ma ginale
Spa quo e
is . Seine G öße
häng
auch
on
de
Höhe
de
lau enden
In es i ionsausgaben ab. Es
i
ein
zwei e
Mul iplikand
au ,
und
als
Mul iplika o
ungie
die Rezi-
p oke
de
Spa neigung
de
Gewinnbeziehe .
De
Einkommenszuwachs,
de
sich
bei
Disagg ega ion des Volkseinkommens e echne ,
kann
g öße
ode
kleine
sein als
de
Einkommenszuwachs,
de
sich
bei
den-
selben zusä zlichen
In es i ionen
aus
dem
üblichen Mul iplika o -Modell
e gib . Insbesonde e
kann
das
Volkseinkommen auch
dann
s eigen,
wenn
de
Zuwachs
de
In es i ionsausgaben gleich
Null
is ,
o ausge-
se z
nu ,
daß die
lau enden
In es i ionen
posi i sind. Die
E klä ung
is
olgende:
Die Gewinne
sind
die Di e enz zwischen
dem
Volkseinkommen
und
dem
Fak o einkommen
(Lohn-
und
Zinszahlungen). Die
In es i ionen
scha en
neues
Sachkapi al,
das
mi
zusä zliche
A bei
kombinie
wi d.
Dadu ch
en s eh
zusä zliches
Fak o einkommen.
Die
E höhung
de
Fak o kos en
geh
zu
Las en
de
Gewinne; das Volkseinkommen
sink
dahe
um
die
Abnahme
de
Konsumausgaben
de
Gewinnbezie-
he .
Die
Emp änge
des zusä zlichen
Lohn-
und
Zinseinkommens
geben
einen Teil
da on
aus;
das
Volkseinkommen
s eig
dahe
um
die
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
15
Zunahme
de
Konsumausgaben
de
Lohn-
und
Zinseinkommens-Emp-
änge .
Da
dami
ge echne
we den
kann,
daß
die Konsumneigung
aus
Lohneinkommen
höhe
is
als die
aus
Gewinnen,
und
wenn
dies auch
ü
die Konsumneigung
aus
Zinseinkommen gil s,
is
de
Saldo
aus
de
Abnahme
de
Konsumausgaben
de
Gewinnbeziehe
und
de
Zunahme
de
Konsumausgaben
de
Emp änge
on
Fak o einkommen
posi i .
Dies
is
de
e s e
Mul iplikand.
De
zwei e
Mul iplikand
is
die
Zunahme
de
In es i ionen.
De
Mul iplika o
is
die Rezip oke
de
ma ginalen
Spa neigung
de
Ge-
winnbeziehe
(s a
de
agg egie en
Spa neigung). Dies
e gib
sich
aus
de
A
des obigen Modells,
in
dem
eine
Zunahme
des
Fak o einkom-
mens
an
eine
Ve g öße ung
des Sachkapi albes andes
gebunden
is .
Das
Zinseinkommen
is
eine
Funk ion
des Kapi als ocks, das Lohnein-
kommen
übe
die Beschä igung eben alls.
De
Kapi als ock
e ände
sich
du ch
die In es i ionen. Eine
Zunahme
de
mone ä en
Nach age
üh
dahe
-
bei
kons an em
Lohn-
und
Zinsni eau
-
e s
dann
zu
eine
E höhung
des
Fak o einkommens,
wenn
sie zusä zliche
In es i-
ionen
induzie
ha
und
diese
den
Kapi als ock
e g öße
haben.
In
de
Zwischenzei
wi d
jede
zusä zliche
mone ä e
Nach age
zu
Gewinn.
Dahe
we den
die
aus
de
Einkommens-Um e eilung
in olge
de
Ve -
g öße ung
des Kapi als ocks
esul ie enden
zusä zlichen
Konsumaus-
gaben
und
die zusä zlichen In es i ionsausgaben
mi
de
Rezip oken
de
Spa neigung
de
Gewinnbeziehe mul iplizie .
2.
Die
lau enden
In es i ionsausgaben
haben
also
einen
Um e ei-
lungse ek . Sie
üh en
zu
eine
Ve g öße ung
des Kapi als ocks
und
des Fak o einsa zes. Die
esul ie ende
Zunahme
des
Fak o einkommens
geh
zunächs
zu
Las en
des Gewinns.
Wenn
die au onomen Ausgaben
nich en sp echend s eigen,
wi d
also das Volkseinkommen
zuguns en
des
Fak o einkommens
um e eil .
Die
lau enden
In es i ionen
we den
na ü lich
o genommen
in
de
E wa ung,
daß
eine
Zunahme
de
mone ä en
Nach age die
höhe en
Fak o kos en
kompensie en
-
und
übe kompensie en
-we de,
abe
zunächs
einmal
schießen die
Un e -
nehme
un e
den
Annahmen
des o liegenden Modells
den
Fak o en
das
zusä zliche
Einkommen
aus
ih en
Gewinnen
o .
Au
diesem
Um e eilungse ek
de
In es i ionen
be uh
es,
daß
das
Volkseinkommen selbs
dann
s eigen kann,
wenn
die Zu.nahme
de
In es i ionen gleich
Null
is , o ausgese z , daß die
lau enden
In es i-
ionen
posi i sind.
Ih
Um e eilungse ek
wi k
dabei
übe
eine
Abnahme
de
agg egie en
(du chschni lichen) Spa quo e.
Fü
die
8 Diese Annahmen sind hin eichend, abe nich no wendig.
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16
E win
Scheele
Ände ung
de
agg egie en
du chschni lichen
Spa quo e
e gib
sich
aus
dem
Gleichungssys em9•
(13)
Aus
de
Beziehung
(13)
is
Folgendes e sich lich:
(a)
Wenn
die
au onomen
Ausgaben
kons an
sind
(dI =
0),
is
(13)
nega-
i .
Die
du chschni liche
agg egie e
Spa quo e
sink . Aus
jedem
gegebenen Volkseinkommen
wi d
meh
konsumie ;
dahe
s eig
das Volkseinkommen auch
bei
kons an en
In es i ionsausgaben.
Dies
is
eine
Folge des Um e eilungse ek es
de
In es i ionen,
de
eine
E höhung
des An eils des
Fak o einkommens
F = L + Z
am
Volkseinkommen
bewi k .
Diese
E höhung
des An eils
de
Fak o -
einkommen
am
Volkseinkommen
e gib
sich
aus
dem
Gleichungs-
sys em
als10
F E I
II
. G
(1
-
cd
Ä
~
+
(1
-cz)i 1
dI
1
(14)
d ( E) F = E
().
P +
1)
F + 1 -
CG
-1 -
cG
• T
Diese Ausd uck
is
in
alle
Regel posi i ,
wenn
dI
= 0 is .
De
An eil
de
Fak o einkommen
s eig
also;
das
Volkseinkommen
wi d
zuguns en
des
Fak o einkommens
um e eil .
Da
die Beziehe
die-
se
Einkommenska ego ie eine un e du chschni liche
Spa neigung
haben,
sink
die
agg egie e
du chschni liche
Spa quo e;
dadu ch
wi d
die
E höhung
des Volkseinkommens
bei
kons an en
In es i-
ionsausgaben
bewi k .
(b)
Wenn
1=0,
jedoch
dI>
0 is ,
is
(13)
posi i ; die du chschni liche
agg egie e
Spa quo e
s eig . Das
be uh
da au ,
daß
de
An eil des
Fak o einkommens
am
Volkseinkommen sink :
Bei
I = 0
und
dI
> 0
is
(14)
nega i .
Das
Volkseinkommen
wi d
zuguns en
de
Gewinne
um e eil .
Da
die
Emp änge
de
Gewinne
eine übe du chschni -
liche
Spa neigung
haben, olg
da aus
die
Zunahme
de
agg egie -
en
du chschni lichen Spa quo e.
Wenn
die
In es i ionen
bishe
gleich
Null
wa en,
de
Sachkapi albes and
im
be ach e en
Zei -
punk
also nich s eig ,
nimm
auch
das
Fak o einkommen
nich zu.
Von
den
zusä zlichen E lösen
de
Un e nehme
aus
den
zusä zlichen
In es i ionsausgaben
b auch
nich s
an
die
Fak o en
wei e gegeben
zu
we den;
die
Zunahme
de
mone ä en
Nach age
wi d
oll
zu
,
Das
K eislau gleichgewich
is
im
o liegenden
Modell
s e s
gewah ;
dahe
kann
bei
de
Ablei ung
on
(13)
ü
den
Ausgangszei punk
I = S
gese z
we den.
10 Vgl.
Anhang
B, I b).
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
17
Gewinn.
De
An eil
de
Gewinne
am
Volkseinkommen
und
dahe
die
agg egie e
du chschni liche
Spa quo e
s eigen. Die
Zunahme
des Volkseinkommens
is
jedoch
ge inge
als
wenn
-
wie
die
übliche
Mul iplika o heo ie
implizi e
annimm
-
ein
Teil
de
zu-
sä zlichen
E löse
an
die
Fak o en
wei e gegeben
we den
müß e:
die
agg egie e
ma ginale
Spa quo e
be äg
1 -
CG
s a
1 -
c.
De
Einkommenszuwachs nach
dem
disagg egie en
Modell
un e -
scheide sich also
on
dem
Einkommenszuwachs nach
de
üblichen
Mul iplika o heo ie
(1)
dadu ch,
daß
de
Mul iplikand
g öße
is ,
weil
zu
den
zusä zlichen
In es i ionen
noch
die
zusä zlichen
Konsumaus-
gaben
au g und
des
Um e eilungse ek es
de
lau enden
In es i ionen
hinzukommen,
und
(2)
dadu ch,
daß
de
Mul iplika o
kleine
is ,
weil
es
ü
die
Mul iplika o wi kung
au onome
Ausgabene höhungen
au
die
Spa neigung
de
Gewinnbeziehe
ankomm
und
nich
au
die
agg egie e
ma ginale
Spa neigung.
Die
Disagg ega ion
ände
nich s,
wenn
die
Konsumneigungen
de
Beziehe
alle
d ei
Einkommensa en
gleich sind;
de
obige
Ausd uck
(12)
eduzie
sich
dann
au
die übliche
Mul
iplika o o mel.
3.
Die Ta sache,
daß
de
Um e eilungse ek
de
In es i ionen
bis-
he
übe sehen
wu de,
be uh
wah scheinlich
da au ,
daß
die
Theo ie
des VOlkseinkommens übliche weise
on
de
Ve wendungssei e
des
Einkommens
he
o mulie
wi d.
Man
geh
aus
on
bes imm en
In-
es i ionsausgaben. Diese
we den
zu
Einkommen
de
Haushal e. Die
Haushal e
geben
einen
Teil dieses
Einkommens
ü
Konsumgü e
aus;
den
Res
spa en
sie. Die
Konsumausgaben
we den
jedoch
wiede um
zu
Einkommen,
on
dem
ein
Teil ausgegeben
und
de
Res
gespa
wi d,
e c. Die
gegebenen
In es i ionsausgaben
induzie en
so
o lau-
ende
Einkommenss eige ungen, die so
lange
anhal en,
bis
die
E spa -
nisse
in
de
on
den
Haushal en
gewünsch en
Rela ion
zum
Volksein-
kommen
s ehen.
Die
gleiche
A gumen a ion
gil
ü
eine
Zunahme
de
In es i ionsausgaben.
Die
Theo ie
des Volkseinkommens
und
des
Mul iplika o s
läß
sich
jedoch auch
olgende maßen
on
de
En s ehungssei e
des Volksein-
kommens
he
o mulie en:
Wäh end
eine
gegebenen
Pe iode
is
ein
bes imm e
Kapi als ock beschä ig .
Mi
diesem
Sachkapi al
wi d
eine
bes imm e
Menge
ande e
P oduk ions ak o en
-
o
allem
A bei
-
kombinie .
Es
wi d
also
mi
diesem
Sachkapi al
ein
bes imm e
Ou -
pu
e zeug ,
de
-
mi
den
lau enden
P eisen
bewe e
-
das
Volks-
einkommen
de
Pe iode
da s ell .
1m
Gegenwe
dieses
Ou pu s
en -
s eh
Einkommen
in
Fo m
on
Fak o einkommen
und
Gewinnen,
das
den
Haushal en
zu ließ . Die
Haushal e
geben
einen
Teil
da on
ü
Konsumgü e
aus;
de
Res
des
Ou pu s
wi d
im
Gleichgewich
on
den
In es i ionsausgaben
abso bie .
2
Sch i en
d.
Ve eins
.
Socialpoli ik
42
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18
E win Scheele
Es
is
kla ,
daß
die
beiden
Fo mulie ungen
-
die
on
de
Ve wen-
dungssei e
und
die
on
de
En s ehungssei e
he
-
im
Gleichgewich
übe eins immen
müssen.
Au
de
En s ehungssei e
wi d
in
Fo m
de
gezahl en
Fak o einkommen
und
de
kalkulie en
Gewinne
gewisse -
maßen
ein
Wechsel gezogen,
de
on
de
Ve wendungssei e
in
Fo m
de
Ausgaben
ü
Konsum-
und
In es i ionsgü e
eingelös
we den
muß, so
daß
au
den
P oduk ionskon en
de
Un e nehmen
bei
gege-
benen
Lohn-
und
P eisni eaus
geplan e
Ausgaben
und
geplan e
Ein-
nahmen
übe eins immen.
Die Gleichhei des Volkseinkommens als
Summe
alle
Einkommen
und
des Volkseinkommens
als
Summe
alle
Ausgaben
wi d
bei
gegebene
P oduk ions echnik
und
gegebenem
Lohnni eau
übe
eine en sp echende
Bewe ung
des
Ou pu s
dadu ch
he beige üh ,
daß
ein
Bes and eil
des Volkseinkommens als
Summe
alle
Einkommen
sich
en sp echend
anpaß :
die Gewinne.
Die obige
A gumen a ion,
die
zu
Ablei ung
des
Um e eilungs-
e ek es
de
In es i ionen
üh e,
is
nich s
ande es
als die
Fo mulie-
l'Ung
de
Mul iplika o heo ie
on
de
En s ehungssei e
des Volksein-
kommens
he .
In
de
be ach e en
Pe iode
nimm
de
beschä ig e
Kapi als ock zu.
Mi
dem
zusä zlichen
Sachkapi al
we den
wei e e
P oduk ions ak o en
kombinie ,
insbesonde e A bei .
Bei
gegebene
P oduk ions echnik
(ausged ück
du ch
A)
und
gegebenem
Lohn-
und
Zinsni eau
en s eh
also
ein
bes imm es
zusä zliches
Fak o einkommen.
Au
de
Ausgabensei e des
P oduk ionskon os
haben
die
Un e nehmen
auße dem
bes imm e
zusä zliche
Gewinne
geplan .
Diese Rechnung
muß
na ü lich
du ch
eine
en sp echende
E höhung
de
Einnahmesei e
des
P oduk ionskon os,
also
de
Gesam ausgaben
de
Volkswi scha ,
hono ie
we den.
Zunächs jedoch
bedeu e
die
Zunahme
des
Fak o -
einkommens
eine gleich
g oße
Abnahme
de
Gewinne; die
lau enden
In es i ionen
bewi ken
eine
Um e eilung
des Volkseinkommens. Die
Konsumausgaben
de
Beziehe
on
Fak o einkommen
s eigen also,
wäh end
die
de
Gewinnemp änge
sinken.
Haben
die
Beziehe
on
Fak o einkommen
eine
höhe e
Konsumneigung
als
die
Gewinnemp-
änge , so
nehmen
die
Konsumausgaben
pe
Saldo zu,
ohne
daß
die
In es i ionen
ges iegen sind.
Das
Volkseinkommen
e höh
sich in olge
de
Abnahme
de
agg egie en
du chschni lichen
Spa quo e.
Das
is
eine
Folge des
Um e eilungse ek es
de
In es i ionen.
Diese
Um-
e eilungse ek
de
In es i ionen
is
zu
un e scheiden
on
ih em
Kapazi ä se ek .
De
Kapazi ä se ek
de
In es i ionen
wi d
allge-
mein
de inie
als
ih e
Wi kung
au
den
Sachkapi albes and
eine
Volkswi scha ; als
Zunahme
de
P oduk ionsmöglichkei en.
De
Um-
e eilungse ek
de
In es i ionen
is
die
Abnahme
de
Gewinne
in-
olge
de
Zunahme
des
Fak o einkommens.
Die G öße des
Kapazi ä s-
e ek es
is
de
-
zu
kons an en
Gü e p eisen
e mi el e
-
We
de
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
19
Gü e , die
mi
den
neuen
Kapazi ä en
p oduzie
we den
können.
De
Um e eilungse ek
be uh
da au ,
daß eben diese
Kapazi ä en
in
Be ieb
genommen
we den.
Die G öße des Um e eilungse ek es
de
In es i ionen
is
abe
e schieden
on
de
ih es
Kapazi ä se ek es:
Das
Fak o einkommen,
das zu
kons an en
Fak o p eisen
bei
Inbe ieb-
nahme
de
neuen
Kapazi ä en
en s eh ,
is
in
de
Regel
kleine
als
de
We
de
Gü e
zu
kons an en
P eisen, die
mi
den
neuen
Kapazi ä en
p oduzie
we den
können.
De
Um e eilungse ek
is
also
kleine
als
de
Kapazi ä se ek
de selben In es i ion;
zudem
ha
de
e s e e
einen
po en iellen,
de
le z e e
einen
a sächlichen
Cha ak e .
4.
An
diese
S elle
sind
auße dem
noch einige
Beme kungen
zu
de
A
des
hie
e wende en
Modells
angeb ach
ll
•
a)
Die Beschä igung
is
eine
Funk ion
des Kapi als ocks. Das
im-
plizie , daß
das
K
den
genu z en Kapi als ock da s ell .
Da
die
In-
es i ionen
den
Kapi als ock
e g öße n,
heiß
das also, daß
de
be-
schä ig e
Kapi als ock
g öße
wi d.
Das zeig , daß
im
obigen Modell
angenommen is , daß
de
o handene
Kapi als ock s e s ollbeschä -
ig
is .
Fü
die Diskussion
de
Theo ie
des gleichgewich igen Wachs-
ums, die
ja
ge ade
die
Bedingungen
ü
einen
kons an en
Ausnu -
zungsg ad
de
P oduk ionskapazi ä en
au s ellen will,
is
das
ein
sinn-
olles Vo gehen.
Bishe
s and
jedoch die
Mul iplika o heo ie
zu
Diskussion.
Da
de
o handene
Kapi als ock
annahmegemäß
ollbeschä ig is ,
üh
im
obigen Modell eine
Zunahme
de
mone ä en
Nach age
nu
dann
zu
eine
Zunahme
des
Fak o einkommens,
wenn
In es i ionen
induzie
we den, die das
o handene
Sachkapi al
e meh en.
In
eine
Si ua ion
de
un e no malen
Ausnu zung
de
o handenen
P oduk ionskapazi-
ä en
kann
eine
Zunahme
de
mone ä en
Nach age
abe
be ei s
ohne
o he ige
In es i ionen
zu
eine
E höhung
auch des
Fak o einkommens
üh en,
da
nu
de
beschä ig e
Kapi als ock
g öße
zu
we den
b auch .
In
diesem
Fall
sind
die En wicklung
de
agg egie en
Konsumquo e
und
dahe
die
Ände ung
des Volkseinkommens wah scheinlich
ande e
als
im
oben
e ö e en
Fall
de
Vollbeschä igung des Sachkapi als.
In
einem
disagg egie en
Modell
gib
es also
e mu lich
zwei Ve sionen
de
Mul iplika o heo ie
je
nach
de
Beschä igungssi ua ion,
on
de
hie
nu
eine
behandel
wu de.
Auße dem
kann
eine
E höhung
des
Fak o einkommens
auch
bei
kons an e
Beschä igung ein e en,
wenn
das
Lohnni eau
s eig .
Lohn-
e höhungen
sind
im
o liegenden Modell
annahmegemäß
ausgeschlos-
sen.
Abe
selbs
wenn
das
nich
de
Fall
wä e,
wü de
eine
Lohne hö-
11
Im
Anhang
(Abschni
A)
wi d
die
Funk ionsweise
des Modells g aphisch
da ges ell .
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20
E win Scheele
hung
nich
ohne
eine
Zunahme
des Kapi als ocks
ein e en
können.
Annahmegemäß
is
das
Sachkapi al
ollbeschä ig
und
eine
Zunahme
de
A bei snach age
bei
gegebene
P oduk ions echnik
(ma ginalem
A bei /Kapi al-Ve häl nis)
an
eine
Zunahme
des Kapi als ocks
gebun-
den.
Aus
diesem
G unde
is
die
Annahme
eines
kons an en
Lohnm eaus
ohne
Bedeu ung
ü
die
Funk ionsweise
des
o liegenden
Modells,
solange das
ma ginale
Kapi a1!A bei -Ve häl nis
und
dami
de
Ka-
pi alkoe izien
aLS
kons an
angenommen
we den.
b)
Wenn
das
Modell auch
ü
den
s a ionä en
Zus and
anwendba
sein
soll,
sind
Modi ika ionen e o de lich,
je
nachdem,
wie
de
s a io-
nä e
Zus and
de inie
wi d.
(1)
Wenn
eine
s a ionä e
Wi scha so de inie
wi d,
daß
keine
Kapi alakkumula ion
s a inde
(auch
kein
capi al
deepening), also
dK, I
und
S gleich
Null
sind,
muß
das
Volkseinkommen noch
posi i
sein.
Das
is
nach
dem
Gleichungssys em
de
Fall, solange
de
be-
schä ig e Kapi als ock
K>
0 is .
Dami
noch
ein
Teil des Kapi als ocks
beschä ig
bleib ,
dü en
abe
wah scheinlich
die
Gewinne
mmdes ens
nich
nega i
sein.
Dazu
müssen
die
Konsum unk ionen
absolu e
Gliede
au weisen.
Dann
e schein
ein
s a ionä es
Gleichgewich auch
bei
gegebenen
und
kons an en
Geldlohn-
und
Zinssä zen
ku z is ig
möglich
(wenn
auch
bei
Un e beschä igung), o ausgese z ,
daß
die
ge inge e
Beschä igung
on
A
und
Kalle
}'ak o besi ze
gleichmäßig
i ,
so
daß
S
Null
wi d,
be o
G
nega i
wi d.
Lang is ig
e schein
ein
s a ionä e
Zus and
im
oben
de inie en
Sinne
auch
bei
gegebenem
Zinsni eau
möglich,
wenn
die
Lohnsä ze
öllig lexibel sind.
Das
Sys em
wä e
dann
du ch
eine
Beziehung
zu
e gänzen,
die
den
Zu-
sammenhang
zwischen
den
Gewinnen
und
de
Höhe des beschä ig en
Kapi als ocks
wiede gib .
(2)
Wenn
eine
s a ionä e
Wi scha so de inie
wi d,
daß
zwa
I>
0,
abe
kons an
is , so
daß
die
s a indende
Kapi alakkumula ion
im
wesen lichen die
Fo m
des
capi al
deepening
ha ,
wi d
die
Annahme
eines
kons an en,
gegebenen
Zinsni eaus
au gegeben
we den
müssen.
In
de
agg egie en
P oduk ions unk ion
wä en
die
kon inuie lichen
Ände ungen
de
G enzp oduk i i ä en
zu
be ücksich igen.
Selbs
wenn
also
das
Modell so modi izie
we den
kann,
daß
es
au
s a ionä e
Zus ände
anwendba
is , so
is
es doch
ehe
zu
Un e -
suchung
eine
wachsenden Wi scha
mi
Vollbeschä igung des
Kapi-
als ocks
geeigne
und
au ges ell .
5.
Das
neue
Volkseinkommen, das sich aus
de
Mul iplika o o mel
(12)
e gib ,
is
ein
Gleichgewich seinkommen
im
Sinne
de
Mul ipli-
ka o heo ie,
inso e n
also, als die
E spa nisse
alle
Haushal e
in
de
gewünsch en
Rela ion
zu
ih en
Einkommen
s ehen.
Diese
Zus and
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
21
is
inso e n
kein
Gleichgewich , als
ohne
eine
E höhung
de
In es i-
ionsausgaben
die
geplan e
E löszunahme
de
Un e nehmen
und
dami
de
geplan e
zusä zliche Gewinn,
de
die
lau enden
In es i ionen
e -
anlaß
ha ,
nich
ealisie
we den.
Die E löse
de
Un e nehmen
s eigen
ohne
eine
au onome
Zunahme
de
Ausgabensei e
ja
nu
um
die
Kon-
sumausgaben,
die aus
dem
Um e eilungse ek
de
In es i ionen
s ammen;
die
geplan en
zusä zlichen
Gewinne
we den
nich
oll
e -
dien . Dieses Ungleichgewich
gehö
jedoch schon nich
meh
in
die
Mul iplika o heo ie,
sonde n
in
die
Theo ie
des gleichgewich igen
Wachs ums.
Lang is ig
jedoch
muß
de
Um e eilungse ek
de
In es i ionen
kompensie
we den;
de
Zunahme
des
ausgezahl en
Fak o einkom-
mens
muß
eine
Zunahme
de
Einnahmen
de
Un e nehme
en sp e-
chen. Die
E löse
we den
in
eine
gegebenen
Pe iode
soga
absolu
s ä ke
zunehmen
müssen
als das
Fak o einkommen,
wenn
de
Fo -
gang
des Akkumula ionsp ozesses
die
Au ech e hal ung
eine
be-
s imm en
Rela ion,
wie
des
An eils
de
Gewinne
am
Volkseinkommen
ode
am
Umsa z
ode
de
Ve zinsung des
in es ie en
Kapi als,
e o -
de .
Diese
Kompensa ion
des
Um e eilungse ek es
de
lau enden
In es i ionen
kann
nu
du ch
zusä zliche
In es i ionsausgaben
e olgen.
Eine
Zunahme
de
E löse
wi d,
wie
e läu e ,
un e
den
o liegenden
Annahmen
zu Gewinn; sie
kann
also die
Abnahme
des
Gewinns
du ch
e höh e
Zahlungen
on
Fak o einkommen
kompensie en.
Da
die
Zu-
nahme
de
Fak o einkommen
on
den
lau enden
In es i ionen, die
Zunahme
de
Gewinne
on
den
zusä zlichen
In es i ionsausgaben
ab-
häng ,
wi d
es eine
Wachs ums a e
de
In es i ionen
geben,
die
den
Um e eilungse ek
so
übe lage ,
daß
die
ü
das dynamische Gleich-
gewich en scheidende
Rela ion
-
de
An eil
de
Gewinne
am
Volks-
einkommen
ode
am
Umsa z, die
Kapi al e zinsung
ode
de
Reallohn
-jeweils
den
e o de lichen
We
ha .
Mi
diese
F age
be aß
sich
de
olgende Abschni .
Wie die Beziehung
(13)
zeig ,
kann
sich die
agg egie e
du chschni -
liche
Spa quo e
je
nach
de
Höhe
de
lau enden
In es i ionen
und
de
G öße
de
In es i ionszunahme
ände n.
Ih e
En wicklung
häng
also
om
Ve häl nis
de
zusä zlichen zu
den
lau enden,
m. a.
W.
on
de
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben
ab.
Die
lau enden
In es i-
ionen
bewi ken
übe
den
Um e eilungse ek
eine
Abnahme
de
agg egie en
du chschni lichen
Spa quo e;
die zusä zlichen
In es i-
ionsausgaben
üh en
übe
eine
Zunahme
des
Gewinnan eils
am
Volks-
einkommen
zu
eine
Zunahme
de
agg egie en
du chschni lichen
Spa quo e.
Die
Abhängigkei
de
agg egie en
du chschni lichen
Spa -
quo e
on
de
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben
is
o enba
ele an
ü
die
Theo ie
des gleichgewich igen Wachs ums.
Im
Folgen-
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
22
E win Scheele
den
soll
dahe
die
F age
un e such
we den,
welche
Bedeu ung
de
Um e eilungse ek
de
In es i ionen
ü
die Theo ie des dynamischen
Gleichgewich s
ha .
III
Doma
12
gelang
zu
Ablei ung
seine
gleichgewich igen Wachs ums-
a e
de
In es i ionen,
indem
e
die
Zunahme
des Volkseinkommens
bes imm ,
die
in
einem
gegebenen
Augenblick e o de lich is ,
um
das
dynamische Gleichgewich
au ech zue hal en.
E
geh
aus
on
eine
gegebenen
Kapi albildung
(einem gegebenen In es i ions olumen),
be-
s imm
den
zusä zlichen
Ou pu ,
de
mi
Hil e dieses
neugebilde en
Sachkapi als
p oduzie
we den
kann
13:
dR=
Ia
und
se z
die
Bedingung,
daß
dieses zusä zliche
Angebo
auch nach-
ge ag
wi d:
dE
= Ia .
Da
im
Modell
ande e
au onome
Ausgaben
wie
S aa sausgaben
e c.
nich
o handen
sind,
kann
diese zusä zliche Nach age
nu
on
zu-
sä zlichen
In es i ionen
induzie
we den
14 :
dI
(I_C)=Ia.
Doma s
ganze
Ansa z
bes eh
in
de
F age
nach
de
G öße
eben
diese
Zunahme
de
In es i ionen, die die zusä zliche Nach age scha en
kann,
die das
po en ielle
zusä zliche
Gü e angebo
zu
kons an en
P ei-
sen
abso bie .
Wie
die
E ö e ung
im
e s en
Abschni e gab,
i
bei
Disagg e-
ga ion
des
Einkommens
die
in
den
Modellen on
Ha od
und
Doma
implizie e
Annahme
nich zu,
daß
die
e o de liche zusä zliche Nach-
age
nUT
du ch
eine
Zunahme
de
In es i ionsausgaben
gescha en
we den
kann.
Gemäß Bez.
(12)
e gib
sich auch
bei
kons an en
In es i-
ionen
eine
Einkommenszunahme,
die
einen
Teil des
po en iellen
Gü e angebo s
abso bie en
kann.
De
Um e eilungse ek
de
In es i-
ionen
scha zusä zliche
Konsumausgaben,
die
aus
eine
Abnahme
12
E.
DomaT, Expansion and Employmen , Ame ican Economic Re iew,
Vol.
37/1947,
S.
34
.
13 Das a s ell also den (Keh we
des)
"po en iellen" Kapi alkoe izien en
da .
14 Doma e wende also den "logischen Mul iplika o ",
d.
h.
e
un e s ell ,
daß de Mul iplika o p ozeß unendlich schnell abläu .
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
23
de
agg egie en
Spa quo e
esul ie en
und
dahe
eine
zusä zliche
au onome
Ausgabe
da s ellen.
Mul iplizie
mi
dem
Mul iplika o
-1_1-
-c
G
scha
diese
au onome
Ausgabe
zusä zliche Nach age,
ohne
daß
die
In es i ionen
zunehmen.
Diese
du ch
den
Um e eilungse ek
de
lau enden
In es i ionen
gescha ene zusä zliche
Nach age
eich
na ü lich
nich
aus,
um
das
gesam e
du ch
den
Kapazi ä se ek
de
lau enden
In es i ionen
e -
möglich e
Gü e angebo
zu
kons an en
P eisen
zu
abso bie en.
Dahe
muß
du ch
eine
Zunahme
de
In es i ionen
wei e e
zusä zliche Nach-
age
gescha en
we den.
Wie
hoch
die
zusä zlichen
In es i ionen
sein
müssen,
häng
da on
ab,
wie iel
neue
Nach age
du ch
die
lau enden
In es i ionen
be ei s
gescha en
wo den
is .
De
Be ag
diese
be ei s
du ch
die
lau enden
In es i ionen
gescha enen zusä zlichen
Nach age
wi d
bes imm
on
(a)
dem
ma ginalen
A bei /Kapi al-Ve häl nis,
(b)
den
Fak o p eisen
und
(c)
den
Di e enzen
zwischen
den
Konsum-
neigungen
de
Fak o einkommens-Beziehe
eine sei s
und
de
Ge-
winn-Emp änge
(zu
de en
Las en
ja
die
Zunahme
des
Fak o einkom-
mens
geh )
ande e sei s.
Diese
G ößen
müssen
also
bei
de
Bes im-
mung
de
gleichgewich igen
Wachs ums a e
de
In es i ionen
eine
Rolle spielen;
insbesonde e
müssen
die
echnischen
Bedingungen
de
P oduk ion
nich
nu
die
Angebo ssei e
(0),
sonde n
auch
die
Nach-
agesei e
(A)
mi bes immen.
Die
Bedingung
ü
das
dynamische
Gleich-
gewich
is
also
ü
ein
disagg egie es
Modell
neu
abzulei en.
Aus
dem
Ansa z
Doma s
e gib
sich
die
gleichgewich ige
Wachs ums-
a e
de
In es i ionen
als
~I
=
(1
-
c)
o.
Sie
is
gleichgewich ig
in
dem
Sinne,
daß
die
Un e nehmen
die
Ra e
(1
-
c)
0
de
Expansion
de
P o-
duk ionskapazi ä en
au ech e hal en,
da
die
bes ehenden
Kapazi ä en
s e s
zu
kons an en
P eisen
ausgelas e
sind
15• Nach
Ha od/Doma
is
15 Ha od (R. Ha od, Towa ds a Dynamic Economics, London/New Yo k
1954,
S.
63
.) lei e on einem ande en Ausgangspunk die Wachs ums a e
des Ou pu s ab.
E
geh aus on einem gegebenen Ou pu -Zuwachs, bes imm
das zusä zliche Sachkapi al, das zu E s ellung dieses Ou pu s e o de lich is
(Das
C is dahe de "e o de liche" Kapi alkoe izien ) :
dR·
C = I,
und se z die Bedingung, daß die a sächliche Kapi albildung gleich dem
Kapi ale o de nis is :
dR,C
= S.
Da die Kapi albildung (die lau ende E spa nis) om Volkseinkommen ab-
häng , muß dieses also eine bes imm e Höhe haben:
dR·
C = sR.
Da aus e gib sich die gleichgewich ige Wachs ums a e des Realeinkom-
mens als
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30
E win Scheele
Kapi al-Ve häl nisses
und
dami
de
Fak o p eise.
Die
Annahme
de
Kons anz
des
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
implizie
also
L
dL
(17)
K =
J.l
= dK und
(18)
~=
iP =
:~
•
Die
Zuwachs a en
de
Fak o einkommen
sind
dann
also gleich
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
d:
.
Es
läß
sich
nun
zeigen,
daß
die
Bedingung
(15a)
zwa
hin eichend,
abe
nich
no wendig
ü
das dynamische Gleichgewich is ,
wenn
die
Kons anz
des du chschni lichen
Kapi alkoe izien en
angenommen
. dI
dK
wi d.
Un e
den
Annahmen
(17)
und
(18)
wI d
(15a) zu I = K
Wenn
gemäß
(4),
(8)
und
(15)
gese z
wi d
dI
I
dK*
-dK d Abk" dK d *
dK*
-dK
--d=K=---
un
zu
u zung
-K- =
o
un
=
--dK--
läß
sich die
Bedingung
(15a) auch sch eiben
19
(15b)
Dabei
is
*
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
(bei
P eiskon-
s anz
auch die
de
In es i ionsausgaben), o
is
die
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks.
Wenn
*
= o is ,
is
die
Wachs ums a e
des
Kapi al-
s ocks
kons an
20
• Die
Bedingung
(15b)
besag
also:
Das
du ch
den
Kapazi ä se ek
de
lau enden
In es i ionen
e möglich e zusä zliche
Gü e angebo
wi d
-
wenn
Kons anz des
Kapi alkoe izien en
o -
ausgese z
wi d
-
dann
zu
kons an en
P eisen
lau end
nachge ag ,
wenn
de
Kapi als ock
mi
eine
kons an en
Ra e
wächs .
Die
E klä ung
is
olgende.
Wenn
die
Annahmen
(17)
und
(18)
gel-
en
-
und
mi
ihnen
die
Konsequenz,
daß
de
ma ginale
Kapi al-
koe izien
(a)
gleich
dem
du chschni lichen
(Z)
is
-
gil
ü
die
Wachs ums a e
des
Ou pu s
(unabhängig da on, ob
das
P eisni eau
kons an
is
ode
nich ):
(19)
Fü
die
Wachs ums a e
des Volkseinkommens
e gib
sich
(unabhängig
da on, ob
das
P eisni eau
kons an
is
ode
nich )
aus
dem
Sys em
(1)
bis
(9):
(20) dE I
--
= +
( ·
- o)'
E 0
(1
-
cG)
E - I
19
Vgl.
Anhang
B, I cl.
20
Vgl.
Anhang
B,
I d).
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Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
31
Wenn
also
de
Kapi als ock
mi
eine
kons an en
Ra e
wächs ( * =
o),
nimm
die
mone ä e
Nach age
mi
de selben
Ra e
zu
wie
de
Kapi al-
s ock
und
dami
wie
die
P oduk ion;
das
P eisni eau
bleib
kons an .
De
Ou pu
wächs
bei
Kons anz
des Kapi alkoe izien en
mi
de -
selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock.
Das
Gleiche
gil
gemäß
(17)
und
(18)
auch
ü
die
Fak o einkommen;
also wachsen -
da
kons an e
du ch-
schni liche
Konsumneigungen
angenommen
wu den
-auch
die
Kon-
sumausgaben
aus
Fak o einkommen
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi-
als ock. Die
Konsumausgaben
aus
Gewinnen
können
die Wachs ums-
a e
des Volkseinkommens nich
selbs ändig
mi bes immen:
Die
Ge-
winne
sind
die
Di e enz zwischen
dem
Volkseinkommen
und
den
Fak o einkommen;
da
das
Fak o einkommen
mi
de selben
Ra e
wächs
wie
de
Kapi als ock,
wi d
bei
gegebene
Zuwachs a e
des
Kapi al-
s ocks die
Wachs ums a e
de
Gewinne
selbs
on
de
Wachs ums a e
des Volkseinkommens
bes imm .
Das
Volkseinkommen wächs
dahe
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock,
wenn
die
In es i ionsausgaben
mi
de selben
Ra e
wachsen
wie
de
Kapi als ock.
Die
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben
wi d
gemäß
(Ba)
dI
= * +
dP
I P
on
de
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
und
de
En wicklung des
P eisni eaus
bes imm .
Die
le z e e
häng
abe
ih e sei s
on
de
Wachs ums a e
des
Ou pu s
-die gleich
de
des Kapi als ocks
und
dahe
gegeben
is
-
und
de
Wachs ums a e
des Volkseinkommens ab.
Als einzige
au onome
Bes immungs ak o
ü
die
Wachs ums a e
des
Volkseinkommens
bleib
also
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
üb ig.
Wenn
also die
Realin es i ionen
mi
de selben
Ra e
wachsen
wie
de
Kapi als ock ( * = o
),
gil
das auch
ü
das
Volkseinkommen.
Dann
wachsen also
Ou pu
und
Volkseinkommen
mi
de selben
Ra e
und
das
P eisni eau
bleib
kons an
21
•
Is
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
g öße
als
die des
Kapi-
als ocks, so
wü de
selbs
un e
Ve nachlässigung
de
Abhängigkei
de
In es i ionsausgaben
om
P eisni eau
das Volkseinkommen
mi
eine
g öße en
Ra e
als
de
Kapi als ock
und
dami
schnelle wachsen
als
de
Ou pu ;
das
P eisni eau
wü de
s eigen. Die
P eiss eige ung
e höh
die
Zunahme
de
In es i ionsausgaben, die
ü
den
gegebenen
Zuwachs
21
Im
o liegenden Modell
sind
die
Konsumausgaben
nu
eine
Funk ion
des Nominaleinkommens. Es
is
jedoch
kla ,
daß
es nich s Wesen liches
ände n
wü de,
wenn
die
Konsumausgaben
auch
om
P eisni eau
abhängig
gemach
wü den
in
de
Weise,
daß
die
ma ginalen
Konsumneigungen
bei
s eigendem
P eisni eau
zunehmen.
Wenn
eine
P eiss eige ung
ein i ,
wü de
sie
dadu ch
e s ä k ;
die
Bedingung
ü
die
Kons anz
des
P eisni eaus
wi d
dadu ch
nich geände .
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32
E win Scheele
de
Realin es i ionen
e o de lich is ,
und
e g öße
dahe
die Wachs-
ums a e
des Volkseinkommens.
Eine
einmal
einge e ene
P eiss eige-
ung
wi d
also beschleunig .
Fü
die
Kons anz
des
P eisni eaus
komm
es also
allein
au
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
an:
Is
sie
gleich
de
des Kapi als ocks, so wächs das Volkseinkommen
mi
de -
selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock;
da
das
ü
den
Ou pu
ohnehin
gil ,
bleib
das
P eisni eau
kons an .
Es
handel
sich
hie
also
um
denselben
Zusammenhang,
de
be ei s
im
e s en
Abschni
da ges ell
wu de:
Die
Zunahme
de
Fak o ein-
kommen
häng
on
de
Höhe
de
lau enden
In es i ionen
ab,
die
Zu-
nahme
de
Gewinne
wi d
om
Zuwachs
de
In es i ionen
bes imm .
Das
Ve häl nis
de
Zunahme
zu
Höhe
de
In es i ionen, also
ih e
Wachs ums a e,
bes imm
die
Wachs ums a e
des Volkseinkommens.
Diese
häng
also
om
Ve häl nis
des "Um e eilungse ek es"
de
lau-
enden
zum
Einkommense ek
de
zusä zlichen
In es i ionen
ab. Wach-
sen
die
In es i ionsausgaben
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock,
so
nimm
die
gesam e
mone ä e
Nach age
mi
de selben
Ra e
zu
wie
de
Kapi als ock.
Die
Bedingung
ü
gleichgewich iges Wachs um, also
da ü ,
daß
s e s
das
zusä zliche
Angebo
zu
kons an en
P eisen
nachge ag
wi d,
daß
also das
Sachkapi al
ohne
In la ion
ode
De la ion ollbeschä ig bleib ,
is
also
bei
o ausgese z e
Kons anz des Kapi alkoe izien en die,
daß
de
Kapi als ock
mi
eine
kons an en
Ra e
wächs
( *
= o
).
Dann
nehmen
gemäß
(19)
de
Ou pu
und
gemäß
(20) das Volkseinkommen
mi
de -
selben
kons an en
Ra e
o
zu. Vo ausse zung
da ü
is ,
daß
die
agg e-
gie e
du chschni liche
Konsumneigung
-
und
dami
die
ma ginale
im
üblichen
Sinne
-
kons an
bleib ,
und
das
kann
wiede um
nu
de
Fall
sein,
wenn
die
Einkommens e eilung
sich nich
ände .
Un e
Be-
ücksich igung
de
Annahme
(17)
und
(18)
we den
(13)
und
(14)
ZU
22
(13b)
d(~)~= *-i o
(14b)
Da
Kons anz
des du chschni lichen Kapi alkoe izien en
o ausgese z
wi d
(0
= 2:),
sind
beide
Ausd ücke gleich Null,
wenn
*
= o is . Die
Einkommens e eilung
bleib
dann
un e ände :
De
Um e eilungs-
e ek
de
lau enden
In es i ionen
wi d
s e s
om
Einkommense ek
de
In es i ionszunahme
kompensie .
Da
die
Einkommens e eilung
sich
nich
ände ,
bleib
auch die du chschni liche
agg egie e
Spa -
quo e
kons an .
Wenn
also die Kons anz des Kapi alkoe izien en
o -
22 Vgl.
Anhang
B, I d)
und
e).
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
33
ausgese z
wi d,
wachsen
Ou pu ,
Volkseinkommen, Gewinne,
Fak o -
einkommen,
E spa nisse
und
In es i ionen
mi
de selben
kons an en
Ra e, nämlich
de
des Kapi als ocks, solange
de
Kapi als ock
mi
eine
kons an en
Ra e
wächs . In es i ionsquo e,
Einkommens e eilung,
Kapazi ä sausnu zung
und
P eisni eau
bleiben
un e ände .
5.
Die
Bedingung
da ü
is
gemäß
(15b) lediglich die,
daß
die Wachs-
ums a e
des Kapi als ocks
kons an
is .
Wenn
die Kons anz des
Kapi alkoe izien en
o ausgese z
wi d,
e o de
das dynamische
Gleichgewich also
keine
bes imm e,
du ch
den
Kapi alkoe izien en,
die
Konsumneigung
e c.
de e minie e
Wachs ums a e
de
In es i ionen;
die
Bedingung
ü
das
gleichgewich ige Wachs um
is
dann
lediglich
die,
daß
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
gleich
de
Wachs-
ums a e
des Kapi als ocks sein, die
le z e e
also
kons an
bleiben
muß.
Die Höhe
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
wi d
nich
bes imm ;
das
Sys em
leg
dahe
keine
bes imm e
gleichgewich ige Wachs ums-
a e
de
In es i ionen
es .
Das
is
e s
dann
de
Fall,
wenn
eine
be-
s imm e
Einkommens e eilung
angenommen
und
de en
Kons anz
mi
de
Bedingung
de
P eiss abili ä
ge o de
wi d.
Die
F age,
die
sich
dami
e gib ,
is
o enba die olgende:
Bedeu e
das
obige
E gebnis
(daß die
lang is ige
Kons anz des
P eisni eaus
keine
bes imm e
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
und
dahe
de
In es i ionen
e o de ),
daß
die
Vi scha sich
bei
eine
beliebigen
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
und
de
In es i ionen
im
lang is i-
gen
dynamischen Gleichgewich be inden
kann?
Das
is
in
de
Ta
de
Fall,
wenn
die
Kons anz
des
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
o aus-
gese z
und
als
Gleichhei
on
ma ginalem
und
du chschni lichem
Kapi alkoe izien en
in e p e ie
wi d.
In
i gendeinem
Zei punk
exis ie
ein
bes imm e
Kapi als ock,
dem
gemäß
dem
du chschni lichen Kapi alkoe izien en eine
bes imm e
B ei e
des
Gü e s omes
und
bei
i gendeinem
gegebenen
P eisni eau
eine
bes imm e
Höhe des Volkseinkommens
p o
Pe iode
en sp ich .
Aus
diesem Volkseinkommen
wi d
eal
ein
bes imm e
Teil
gespa ,
de
zu
Ve g öße ung
des Kapi als ocks
e wand
wi d
und
dahe
mi
dem
gegebenen
Ausgangs-Kapi als ock eine
bes imm e
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks e gib . Die Aussage
nun,
daß
die Höhe
de
gleichgewich-
igen
Wachs ums a e
des Kapi als ocks beliebig sei,
is
bei
gegebenem
Kapi als ock
und
Realeinkommen
gleichbedeu end
mi
de
Aussage,
daß
die
Volkswi scha
e anlaß
we den
kann,
au
den
Konsum
eines
beliebigen
Teils dieses
Realeinkommens
zu
e zich en.
Mi
ande en
Wo en:
Es
muß
bei
gegebenem
Einkommen
beliebig iele
Spa quo en
de
Gesam wi scha
geben.
Das
is
in
de
Ta
de
Fall;
es
kann
zwi-
schen
bes imm en
G enzen
jede
beliebige
agg egie e
(du chschni liche)
Spa quo e
du ch
eine
en sp echende
Um e eilung
des Volkseinkom-
3
Sch i en
d.
Ve eins
.
Socialpol1 ik
42
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34
E win
Scheele
mens
he ges ell
we den. Die G enzen
sind
die du chschni liche
Spa -
neigung
de
Gewinn-Emp änge
(wenn diesen das
gesam e
Volksein-
kommen
zu äll ) nach
oben
und
die agg egie e du chschni liche
Spa -
neigung
de
Beziehe
on
Fak o einkommen
(wenn die
Gewinne
gleich
Null
sind) nach
un en.
Üb igens
be uh
die gesam e mak oökonomische
Wi scha spoli ik
au
diese Möglichkei .
Diese
Zusammenhang
zwischen
de
Einkommens e eilung
und
de
gleichgewich igen Wachs ums a e
de
In es i ionen
bei
o ausgese z e
Kons anz des Kapi alkoe izien en
is
nähe
zu
e läu e n.
Es
gil
(un e
Beach ung
on
R =
~K,
E =
R'
P
und
a =
~):
(21)
I
=~-.
o E
In
einem gegebenen Augenblick
exis ie
ein
bes imm e
Kapi al-
s ock.
Mi
diesem
Sachkapi al
kann
bei gegebenem du chschni lichen
Kapi alkoe izien en (de o ausse zungsgemäß gleich
dem
ma ginalen
is ) ein
bes imm e
Ou pu
p oduzie
we den.
Je
g öße
nun
de
Teil
dieses
Ou pu s
is ,
de
gespa
und
in es ie
wi d,
des o
g öße
is
de
Zuwachs des Sachkapi als. Bei gegebenem Kapi alkoe izien en
is
also
die Wachs ums a e des Kapi als ocks o allein eine
Funk ion
de
In e-
s i ionsquo e.
Fü
die
agg egie e
du chschni liche
Spa quo e
gil
23
S G
(1
-CL)
i.
~
+
(1
-
cd
i
(22)
E =
(1
-
cd
E +
~
Bei gegebenen
Pa ame e n
des Sys ems
is
die
Spa quo e
um
so g öße ,
je
g öße
de
An eil
de
Gewinne
am
Volkseinkommen is ;
da
die
Spa -
neigung
aus
Gewinnen
g öße
is
als die
aus
Fak o einkommen,
is
bei
gegebenem Volkseinkommen die
Spa quo e
um
so höhe ,
je
meh
on
diesem Volkseinkommen
den
Gewinn-Emp änge n
zu äll . Wenn
im
Ausgangszus and I = S
e üll
wa ,
gil
de
gleiche
Zusammenhang
ü
die In es i ionsquo e.
Je
g öße
also
de
An eil
de
Gewinne
am
Volkseinkommen is , des o
g öße
is
gemäß
(22)
die In es i ionsquo e,
des o
höhe
is
dahe
bei gegebenem Kapi alkoe izien en die Wachs-
ums a e
des Kapi als ocks24•
Inne halb
de
genann en
G enzen
kann
also
jede
Wachs ums a e des
Kapi als ocks
du ch
eine
en sp echende
Um e eilung
des Einkommens
zu
eine
gleichgewich igen
Ra e
im
Sinne
des K eislau -Gleichgewich s
23
Es
sind
bei
de
Ablei ung
zu
beach en
(17), (18), E =
RP
und
R =
~K.
24
Diese
Zusammenhang
is
be ei s
on
Kaldo
au gezeig
wo den;
gl.
N.
Kaldo ,
Al e na i e
Theo ies
o
Dis ibu ion,
Re iew
o
Economic
S udies,
Val.
23/1955-56,
S.
94
.
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Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
35
(I = S) gemach
we den.
Eine gleichgewich ige Wachs ums a e
im
Sinne
on
Ha od
und
Doma
is
diese Wachs ums a e des Kapi als ocks
dann,
wenn
sie
kons an
is ,
wenn
also die Realin es i ionen
mi
de -
selben
Ra e
wachsen
wie
de
Kapi als ock: Wie gezeig wachsen
dann
-
bei
o ausgese z e Kons anz des du chschni lichen
Kapi alkoe -
izien en25 -
Ou pu
und
Volkseinkommen
mi
de selben
Ra e; das
P eisni eau
is
kons an . E o de lich
da ü
is
also -bei
o aus-
gese z e
Kons anz des du chschni lichen Kapi alkoe izien en -ledig-
lich, daß die Wachs ums a e
de
Realin es i ionen gleich
de
des
Kapi-
als ocks is .
Da
abe ,
wie
gezeig ,
bei
Va iabili ä
de
Einkommens-
e eilung
die Wi scha
mi
eine
(inne halb gewisse G enzen)
be-
liebigen
Ra e
de
Kapi alakkumula ion
wachsen
kann,
exis ie
auch
keine
bes imm e
gleichgewich ige Wachs ums a e
de
In es i ionen.
Sie
muß
nu
gleich
de
des Kapi als ocks sein.
Wenn
jedoch
im
Ausgangszus and eine
bes imm e
Einkommens e -
eilung
angenommen
wi d
und
wenn
zusä zlich zu
de
Bedingung
de
P eiskons anz
ge o de
wi d,
daß die Ausgangs-Einkommens e eilung
sich nich
ände n
soll,
sind
die Wachs ums a en des Kapi als ocks
und
de
In es i ionen
es geleg .
De
gegebenen Einkommens e eilung
en -
sp ich
dann
eine
bes imm e
In es i ionsquo e,
und
diese
de e minie
bei
gegebenem (ma ginalen gleich du chschni lichen) Kapi alkoe izien-
en
gemäß
(21)
eine
bes imm e
Wachs ums a e des Kapi als ocks. Die
Bedingung
de
P eiskons anz
leg
dann
gemäß (15b) eine
bes imm e
gleichgewich ige Wachs ums a e
de
Realin es i ionen es , eben die
des Kapi als ocks.
Wenn
dahe
die Ausgangs-Einkommens e eilung nich spezi izie
wi d,
implizie
bei
o ausgese z e
Kons anz des
ma ginalen
Kapi al-
koe izien en die
Ha od'Doma -Bedingung
also lediglich die Kons anz
de
Wachs ums a e des Kapi als ocks
und
keine
bes imm e Wachs ums-
a e
de
In es i ionen.
Wenn
'Ände ungen
de
Einkommens e eilung
zugelassen
we den,
kann
die Wi scha
mi
jede
Wachs ums a e des
Kapi als ocks
und
de
In es i ionen
im
Gleichgewich wachsen.
Wi d
ü
den
Ausgangszus and
eine
ande e
Einkommens e eilung angenom-
men, so
en sp ich
diese gemäß
den
Pa ame e n
des Sys ems eine
an-
de e
In es i ionsquo e, eine
ande e
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
und
dami
eine
ande e
gleichgewich ige Wachs ums a e
de
In es i ions-
ausgaben.
Fü
die Kons anz des
P eisni eaus
im
Wachs umsp ozeß
komm
es nich
au
die Höhe
de
Wachs ums a e des Kapi als ocks an.
25
Va ia ionen
de
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks
sind
mi
Kons anz
des
du chschni lichen Kapi alkoe izien en
bei
Fehlen
on
echnischem
Fo sch i
nu
e einba ,
wenn
die
Elas izi ä
des
A bei sangebo s
unendlich
is .
Die
Annahme
-bzw.
ih
Äqui alen ,
daß
das
A bei sangebo
s e s
mi
de selben
Ra e
wächs
wie
die Nach age -
wi d
jedoch
on
de
ein achen
Theo ie
des
gleichgewich igen
Wachs ums
gemach .
3*
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36
E win Scheele
Nach
de
üblichen
Theo ie
is
die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
gleich a
(1
-
c)
mi
kons an em
a
und
c.
Da
bei
E -
üllung
de
Ha od/Doma -Bedingung
das
P eisni eau
kons an
is ,
gib
diese
Bedingung
mi
de
gleichgewich igen
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben
auch
die
de
Realin es i ionen
an.
Da
ce e is
pa ibus
diese
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
kons an
is ,
is
sie
auch gleich
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks26• Die
Ha od/Doma -
Bedingung
besag
also,
daß
die gleichgewich ige
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks gleich
dem
P oduk
aus
de
agg egie en
ma ginalen
Spa neigung
und
dem
Kapi alkoe izien en is . Danach
muß
also
de
Kapi als ock
mi
eine
ganz
bes imm en
Ra e
wachsen,
wenn
dynami-
sches Gleichgewich -
im
Sinne
de
Kons anz des
P eisni eaus
-
he schen
soll.
Im
Gegensa z
dazu
olg
aus
de
Gleichgewich sbedingung (15b)
ü
das
e wei e e
disagg egie e
Modell
keine
bes imm e
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks.
Zwa
läß
sich sch eiben,
wenn
auch
ü
das
Ha odl
Doma -Modell
Kons anz
de
du chschni lichen
agg egie en
Spa quo e
angenommen
wi d:
(23)
dK
I . C
o = K = aE = a
(1
-cl,
mi
c = E·
Diese
Beziehung
is
im
disagg egie en
Modell jedoch eine
eine
ex-
pos -Beziehung.
Sie
kann
im
Ha od/Doma -Modell
zu
ex-an e-Be-
s immung
des gleichgewich igen Wachs ums
de
In es i ionsausgaben
in
de
lau enden
Pe iode
benu z
we den,
weil
a
o gegeben
und
c
o -
ausse zungsgemäß
kons an
is .
In
einem
disagg egie en
Modell
is
es
nich möglich, die obige Gleichung
zu
ex-an e-Bes immung
des gleich-
gewich igen Wachs ums
de
Realin es i ionen
zu benu zen,
weil
die
agg egie e
du chschni liche
Konsumneigung
selbs
eine
Va iable
des
Sys ems
is .
Sie
häng
on
de
Einkommens e eilung
ab, die
ih e sei s
-
wie
oben
gezeig -
on
de
Wachs ums a e
de
In es i ionen
ab-
häng .
In olgedessen
kann
die
agg egie e
du chschni liche
Konsum-
neigung
in
einem
disagg egie en
Modell nich
ih e sei s
zu
Bes im-
mung
des gleichgewich igen Wachs ums des Kapi als ocks
und
dami
de
In es i ionen
benu z
we den.
Jede
Wachs ums a e
des Kapi als ocks -
und
dami
de
In es i io-
nen
-
kann
also
im
Sinne
on
Ha odlDoma
gleichgewich ig sein,
o ausgese z ,
daß
die
Einkommens e eilung
sich
en sp echend
an-
passen
kann.
De
Anpassungs o gang
is
bei
Kaldo
be ei s
implizie
27•
Die
Vo ausse zung
ü
eine
höhe e
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
26 Vo ausgese z , daß om Gleichgewich ausgegangen wi d ode die Real-
in es i ionen lange genug mi eine kons an en Ra e gewachsen sind.
27
Vgl.
N.
KaldoT,
a.a.O.,
S.
94 .
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e 37
sind
höhe e
In es i ionsausgaben.
Mi
eine
E höhung
de
In es i ions-
ausgaben
s eig
das
P eisni eau
einmalig;
in
(15a)
sink
also (bei
Kons anz
on
Nominallohnsa z
und
Beschä igung)
de
Reallohn
~
einmalig. Vom
un e ände en
Ou pu
äll
dahe
den
A bei-
e n
ein
ge inge e ,
den
Un e nehme n
ein
g öße e
Teil zu.
Da
die
Konsumquo e
de
Un e nehme
ge inge
is
als die
de
A bei e ,
we -
den
du ch
diese
Um e eilung
P oduk ions ak o en
eigese z ;
dadu ch
wi d
die
E höhung
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks e möglich .
In
de
mone ä en
Sphä e
geh
diese
Um e eilungsp ozeß
übe
die
E höhung
de
Gesam ausgaben
ü
den
-in olge Vollbeschä igung -
un e ände en
Ou pu
o
sich.
Da
zusä zliche
au onome
Ausgaben
in-
olge
de
Bindung
des
Fak o einkommens
an
den
Kapi als ock oll zu
Gewinn
we den,
is
auch
de
An eil
de
Gewinne
am
Volkseinkommen
höhe .
Da
die
Gewinn-Emp änge
eine übe du chschni liche
Spa nei-
gung
haben,
is
dann
die
agg egie e
du chschni liche
Spa quo e
en -
sp echend
g öße .
Aus
dem
gegebenen
Ou pu
wi d
dadu ch
ein g öße-
e
Teil
ü
eale
In es i ionen
eigese z ; das
e gib
bei
dem
gegebe-
nen
Sachkapi albes and
im
Ausgangszei punk
eine
höhe e
Wachs ums-
a e
des Kapi als ocks.
Dami
das
P eisni eau
dann
im
wei e en
Wachs-
um
kons an
bleib ,
komm
es
nu
da au
an,
daß
de
Kapi als ock
mi
diese (höhe en)
Ra e
wei e
wächs ; es
wu de
oben
gezeig ,
daß
-
bei
Kons anz
des Kapi alkoe izien en -
die
Wachs ums a en
des
Ou -
pu s
und
des Volkseinkommens gleich sind,
wenn
die
In es i ionsaus-
gaben
mi
de selben
Ra e
wachsen
wie
de
Kapi als ock; die
le z e e
also
kons an
is .
Diese
Um e eilungs-Mechanismus -
de
also
übe
eine
einmalige,
exogene
Ände ung
des Reallohnsa zes
wi k
-
e klä
es auch,
wa um
in
(15b)
die
Konsumneigungen
und
de
ma ginale
Kapi alkoe izien ,
die
nach (15a)
die
gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
mi bes immen,
nich
meh
en hal en,
also o enba
ü
die
mi
dem
dynamischen Gleichgewich
e einba e
Wachs ums a e
de
In es i io-
nen
ohne
Bedeu ung
sind.
Sie
sind
ele an
nu
ü
die
Höhe des
P eis-
ni eaus
in
einem
gegebenen
Zei punk ,
nich
ü
die
Kons anz
des
P eisni eaus
im
Wachs umsp ozeß selbs .
Bei
einem
pa ame ischen
Sinken
des (du chschni lichen
und
ma ginalen) Kapi alkoe izien en
nimm
das
in
einem
gegebenen
Zei punk
de
mone ä en
Nach age
gegenübe s ehende
Angebo plö zlich ab; das
P eisni eau
s eig
einmal.
Die
agg egie e
ma ginale
Spa quo e
ände
sich in olge
de
die
P eis-
s eige ung
beglei enden
Um e eilung
des Einkommens;
dadu ch
wi d
die
al e
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
wiede
zu
Gleichgewich s-
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38
E win Scheele
a e
(im
Sinne
des K eislau gleichgewich s).
Im
Folgenden
bleib
das
P eisni eau
wiede
kons an .
Auch
jedem
spä e en
Kapi als ock
en -
sp ich
ein
ge inge e
Ou pu
als
bei
dem
al en
(höhe en)
Kapi alkoe -
izien en,
abe
Ou pu
und
Volkseinkommen wachsen nach
de
kompen-
sie enden
Ände ung
de
agg egie en
ma ginalen
Spa quo e
wiede
mi
de selben
Ra e, so
daß
das
P eisni eau
kons an
is . -
Das
Analoge
gil ,
wenn
eine
Konsumneigung
pa ame isch
g öße
wi d.
Bei
Kon-
s anz
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
und
des Kapi alkoe izien-
en
e olg
eine
Um e eilung
des Einkommens,
die
die
agg egie e
ma ginale
Spa quo e
wiede
au
die
al e
Höhe
b ing .
Im
Ha od Doma -Modell
bes imm ,
wenn
zu
Kons anz
des
Kapi al-
koe izien en auch die
de
agg egie en
du chschni lichen
Spa quo e
o ausgese z
wi d,
die
gegebene
Spa quo e
die gleichgewich ige Wachs-
ums a e
des Kapi als ocks.
Im
disagg egie en
Modell
keh en
sich die
Zusammenhänge
um.
Hie
bes imm
die
Wachs ums a e
des
Kapi al-
s ocks die gleichgewich ige
Spa quo e.
Zu
beach en
is ,
daß
es
hie
nu
um
die
gleichgewich igen
Ra en
geh .
Du ch
die
einmalige
P eiss eige ung
in olge
de
Ände ung
eines
de
Pa ame e
kann,
wenn
die Wi scha
bishe
mi
de
gleichgewich igen
Ra e
gewachsen is , eine Abweichung om Gleichgewich ausgelös
we den,
die
das Wachs um des Kapi als ocks beschleunig . Dies
be i
jedoch die a sächlichen
Wachs ums a en
on
Kapi als ock,
Ou pu
und
Volkseinkommen,
übe
die
das Modell
keine
Aussagen
mach ,
da
es
keine
In es i ions unk ion
en häl .
Die
übe legungen
zu
den
Bedingungen
(15a)
und
15b)
lassen
sich
wie
olg zusammen assen:
Wenn
a
und
(1
-
c)
nich s
wei e
sind
als
de
augenblickliche
ma ginale
Kapi alkoe izien
und
die
augenblick-
liche
agg egie e
ma ginale
Spa
quo e,
dann
gib
die
Ha od
'Doma -
Gleichung lediglich die
Bedingung
ü
die
Kons anz
des
P eisni eaus
zu
einem
gegebenen
Zei punk
an
28•
Ausgangspunk
sind
dann
die
lau-
enden
In es i ionen,
denen
gemäß
dem
ma ginalen
Kapi alkoe izien-
en
ein
bes imm e
Ou pu zuwachs
en sp ich . Gemäß
de
agg egie en
ma ginalen
Spa quo e
is
dann
eine
bes imm e
Zunahme
de
In es i-
ionen
e o de lich,
dami
de
Nach agezuwachs gescha en
wi d,
de
den
zusä zlichen
Ou pu
zu
kons an en
P eisen
abso bie .
Diese
ku z-
is igen
In e p e a ion
de
Ha od
'Doma -Gleichung
en sp ich
die
Bedingung
(15a).
Sie
un e scheide
sich
on
de
e s e en
nu
dadu ch,
daß
(1
-
cG)
s a
(1
-
c)
s eh
(weil
die
zusä zlichen
In es i ionsaus-
gaben
allein
den
Gewinn-Emp änge n
zu ließen),
und
dadu ch,
daß
ein
zusä zliches Glied
au i
(weil in olge des Um e eilungse ek es
de
In es i ionen
die
mone ä e
Nach age
be ei s
au g und
de
lau enden
In es i ionen
wächs ).
28 Vgl. jedoch Abschni
IV
Zi e
3.
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
39
Wenn
die
Ha od/Doma -Fo mel
jedoch als
Bedingung
ü
das lang-
is ige
dynamische Gleichgewich ,
ü
die
Kons anz
des
P eisni eaus
im
Wachs umsp ozeß,
au ge aß
wi d,
müssen
de
ma ginale
Kapi al-
koe izien
und
die
agg egie e
ma ginale
Spa quo e
als
kons an
29
und
gleich
den
en sp echenden
Du chschni sg ößen30
be ach e
we den.
Dann
zeig die Gleichung (15b),
daß
die
Ha od/Doma -Bedingung
zwa
hin eichend, nich
abe
no wendig
ü
das dynamische Gleichgewich
is .
Wenn
de
ma ginale
Kapi alkoe izien gleich
dem
du chschni -
lichen is ,
s eh
bei
gegebene
Höhe
de
lau enden
In es i ionen
de
Zuwachs des Kapi als ocks
in
einem
bes imm en
Ve häl nis
zu
absolu-
en
Höhe des Kapi als ocks,
de
Zuwachs des
Ou pu s
zu
absolu en
Höhe des
Ou pu s
und
de
Zuwachs des
Fak o einkommens
zum
lau-
enden
Fak o einkommen;
und
zwa
sind
alle
diese
Wachs ums a en
gleich.
Dahe
müssen
auch die
Gewinne
mi
de selben
Ra e
wachsen
wie
de
Kapi als ock,
und
das
is
de
Fall,
wenn
die
In es i ionen
mi
diese
Ra e
wachsen. Die
Kons anz
de
Wachs ums a e
des
Kapi al-
s ocks
is
dann
die
no wendige
und
hin eichende
Bedingung
ü
das
dynamische Gleichgewich .
Da
die
Höhe
de
In es i ionsausgaben
im
Ausgangszei punk
eine
exogene G öße is ,
sind
die
Wachs ums a en
des Kapi als ocks
im
Ausgangszei punk
und
dami
de ·
In es i ionen
du ch
die
Bedingung
de
Kons anz
des
P eisni eaus
im
Wachs ums-
p ozeß
allein
noch nich es geleg . Das
is
e s
dann
de
Fall,
wenn
im
Ausgangszei punk
eine
bes imm e
Einkommens e eilung
ange-
nommen
und
zusä zlich
ge o de
wi d,
daß
le z e e
kons an
bleiben
soll.
6.
Wenn
die
Kons anz
des du chschni lichen Kapi alkoe izien en -
und
dami
die
Gül igkei
de
Gleichungen
(17)
und
(18)
-sowie die
Kons anz
de
indi iduellen
du chschni lichen
Spa quo en
o ausgese z
we den,
kann
das
E gebnis
de
übe legungen
zu
Mul iplika o heo ie
in
Abschni
II
wei e
ausgebau
we den.
Die übliche
Mul iplika o -
o mel
läß
sich
dann
sch eiben31
(24) dE =
-------
(1 dI
(1
-cG)
(1-
[(CL
-
CG)l.~
+
(c
z -
CG)i]
Es
läß
sich
dann
agen,
un e
welchen
Bedingungen
de
Einkommens-
zuwachs nach
de
üblichen
Mul iplika o o mel
bei
demselben
Zuwachs
29 Daß beim Ha od/Doma -Ansa z die ma ginale Spa quo e als kons an
angenommen wu de, geh da aus he o , daß ande n alls das Einkommen
in de Bedingung au e en müß e.
30 Be . die Gleichhei on ma ginalem und du chschni lichem Kapi al-
koe izien en gl. die Ablei ung de Gleichungen (17) und (18). Ein kons an es
Glied in de Spa unk ion kann im lang is igen Wachs um e nachlässig
we den.
31
Vgl.
Anhang
B,
I ).
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46
E win Scheele
Wenn die A bei snach age
mi
dem
Kapi als ock wächs ,
is
Kon-
s anz
des Lohnni eaus jedoch
nu
in
zwei
Fällen
möglich:
(a)
Das A bei sangebo
is
öllig elas isch.
Dann
is
in
(10)
de
Koe i-
zien
b gleich
Null
und
db
is
gleich Null, so daß
dl
= 0
e üll
is . Aus
de
Bes immungsgleichung
ü
das
ma ginale
A bei !
Kapi al-Ve häl nis
olg
dann
~~
=
:i:.
Aus
de
De ini ion des
ma -
ginalen
Kapi alkoe izien en olg
dann
0 =
aA.
+ k. Beschä igung
und
Kapi als ock wachsen
dann
p opo ional; die
G enzp oduk-
i i ä en
sind
kons an , so daß auch
ohne
echnischen
Fo sch i
o =
~
is
und
de
Ou pu
mi
de selben
Ra e
wächs
wie
de
Kapi-
als ock.
(b) Die Wachs ums a e des Kapi als ocks
is
gleich
de
des
A bei s-
dl bA
angebo s ( o =
- b).
Aus
(6a)
und
(10) olg
dann
1=1 + bA
( o
+
b).
Da
bei
wachsendem A bei sangebo b
kleine
wi d,
is
b
nega i
und
dl
=
0,
wenn
Kapi als ock
und
Be ölke ung
mi
de selben
Ra e
wachsen. Aus
de
Bes immungsgleichung
ü
das
ma ginale
A bei /Kapi al-Ve häl nis
olg
ü
o
=
-~,
daß
dA
=
1.
Aus
de
dK _
De ini ion des
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
e gib
sich 0 =
aA.
+ k.
Wenn
also die Wachs ums a e des Kapi als ocks gleich
de
des
A bei sangebo s is ,
bleib
das
Lohnni eau
kons an ;
Beschä igung
und
Kapi als ock wachsen p opo ional.
Die
agg egie en
G enz-
p oduk i i ä en
und
die du chschni liche
A bei sin ensi ä
de
P oduk ion
ände n
sich nich , so daß auch ohne echnischen
Fo -
sch i
de
Kapi alkoe izien
kons an
bleib
(0
=~)
und
de
Ou -
pu
mi
de selben
Ra e
wächs
wie
de
Kapi als ock.
De
nich -neu ale
echnische
Fo sch i
soll
im
Folgenden ausge-
schlossen bleiben,
um
sowei
wie
möglich die Vo ausse zungen
de
Ha odlDoma schen Wachs ums heo ie beizubehal en.
De
du chschni -
liche Kapi alkoe izien
kann
jedoch auch bei s eigendem
Lohnni eau
und
en sp echende
Abnahme
des A bei /Kapi al-Ve häl nisses
kon-
s an
bleiben,
wenn
die
Ände ung
de
agg egie en
G enzp oduk i i-
ä en
in olge
de
Fak o subs i u ion
und
das "De izi
an
Beschä igung"
selbs (das
in
de
Abnahme
on
A.
in olge
de
S eige ung
des
Lohn-
ni eaus
zum
Ausd uck komm )
du ch
neu alen
echnischen
Fo sch i
kompensie
we den.
Fü
die
Ände ung
des
Ou pu s
is
bei echnischem
Fo sch i
zu
sch eiben
39
(7a)
dR = a .
dA
+ k . dK + A . da + K . dk
39
De neu ale Cha ak e des echnischen Fo sch i s komm da in zum
da
dk.
Ausd uck, daß a = k
1s .
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34

Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
47
Zu
Ve ein achung soll
angenommen
we den,
daß
die
Be ölke ung
kons an
und
die
Elas izi ä
des A bei sangebo s
kleine
als Unendlich
is . Wenn die A bei snach age
mi
dem
Kapi als ock wächs ,
s eig
dahe
das
Lohnni eau
gemäß
(lOa)
dl=b·dA
und
das
ma ginale
A bei /Kapi al-Ve häl nis
sink :
dA
Xl
Pi
dK
= 1 +
bA
= 1 +
bA
.
Fü
den
ma ginalen
Kapi alkoe izien en olg
aus
(6a), (7a)
und
(lOa):
a=
~
+
k+lda+d~
al +
bA
o'
wobei
de
Zähle
des zwei en Gliedes
den
(neu alen) echnischen
Fo sch i
wiede gib .
Das
Wachs um des Kapi als ocks
üh
also
in olge
de
s eigenden A bei snach age
zu
eine
E höhung
des
Lohnsa zes.
Das
ma ginale
Ve häl nis
~
sink
dahe
ebenso
_
l+bA
wie
das du chschni liche
(A);
inso e n
sink
also
de
ma ginale
Kapi alkoe izien . Die
E höhung
des Lohnni eaus
üh
zu
Sub-
s i u ion
on
A bei
du ch Kapi al; die Beschä igung wächs
lang-
same
als
de
Kapi als ock.
Da aus
olgen
eine
Abnahme
on
kund
eine
Zunahme
on
a, die sich
abe
nich ausgleichen, so
daß
auch
aus
diesem
G unde
de
ma ginale
Kapi alkoe izien sink . Die
Ände ungen
des
ma ginalen
und
du chschni lichen
A bei /Kapi al-Ve häl nisses
und
de
agg egie en
G enzp oduk i i ä en
sind
dabei eine
Funk ion
de
Di e enz zwischen
den
Wachs ums a en
de
Be ölke ung
und
des
Kapi als ocks. Die
Abnahme
des
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
in-
olge des
Sinkens
des A bei /Kapi al-Ve häl nisses
kann
jedoch
du ch
den
(neu alen) echnischen
Fo sch i
ausgeglichen we den.
Wenn
die
Be ölke ung
wachsen
und
de
Kapi als ock
mi
de
Ra e
de
Be ölke ungszunahme
expandie en
wü de,
wä e
das
ma ginale
gleich
dem
du chschni lichen
A bei /Kapi al-Ve häl nis,
wie
oben
gezeig .
De
neu ale
echnische
Fo sch i
wü de
dann
den
ma gi-
nalen
Kapi alkoe izien en
übe
den
du chschni lichen e höhen;
de
le z e e
wü de
s eigen. Diese
Zunahme
des du chschni lichen
Kapi al-
koe izien en
kann
dadu ch
au gehoben
we den,
daß das Wachs um
des Kapi als ocks
übe
de
Zunahme
de
Be ölke ung
lieg .
Geh
de
(neu ale) echnische
Fo sch i
mi
eine
kons an en
Ra e
o
sich,
kann
also die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
um
diesen
P ozen sa z
übe
de
Wachs ums a e
de
Be ölke ung
liegen, ohne daß
de
du ch-
schni liche Kapi alkoe izien sink .
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48
E win Scheele
Die
Summe
de
Wachs ums a e
de
Be ölke ung
und
de
Ra e
des
echnischen
Fo sch i s
is
die
na ü liche
Wachs ums a e
Ha ods
40
( n).
Wenn
de
Kapi als ock
mi
diese
Ra e
expandie ,
s eig
das
Lohnni eau,
und
de
Kapi als ock wächs schnelle als die Beschä i-
gung. Die
Ände ungen
de
agg egie en
G enzp oduk i i ä en
und
des
A bei /Kapi al-Ve häl nisses
in olge
de
Fak o subs i u ion
we den
jedoch
du ch
den
echnischen
Fo sch i
kompensie , so
daß
de
Kapi alkoe izien
kons an
bleib
(0
=
.J:).
Die
Wachs ums a e
des
Ou -
pu
is
gleich
de
des Kapi als ocks.
Wi d
das
Tempo
de
Kapi alakkumula ion
übe
die
na ü liche
Ra e
hinaus
e höh
( o> n
),
so gleich
de
(neu ale) echnische
Fo sch i
das
"De izi "
an
Beschä igung nich
meh
aus.
Das
Lohnni eau
s eig
so schnell,
daß
die
Abnahme
des
A bei /Kapi al-Ve häl nisses
in olge
des
Subs i u ionse ek es
du ch
den
neu alen
echnischen
Fo sch i
nich
meh
kompensie
wi d
41
• Die
aus
de
Fak o subs i u ion
esul-
ie ende
Di e enz
zwischen
de
Abnahme
de
agg egie en
G enz-
p oduk i i ä
des
Kapi als
und
de
Zunahme
de
agg egie en
G enz-
p oduk i i ä
de
A bei
sowie
die
Abnahme
des
A bei /Kapi al-Ve -
häl nisses
we den
so g oß,
daß
de
(neu ale) echnische
Fo sch i
es
nich
e hinde n
kann,
daß
de
ma ginale
Kapi alkoe izien
un e
den
du chschni lichen sink .
Wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
übe
de
na ü lichen
lieg
( o
> n
),
wächs
zwa
de
Ou pu
schnelle
als
wenn
die
beiden
Ra en
gleich sind,
da
o
dann
g öße
is ,
abe
de
Ou pu
wächs
langsame
als
de
Kapi als ock,
da
0<.J:
is .
Umgekeh
wü de
de
du chschni liche Kapi alkoe izien s eigen
(0)
.J:),
wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
un e
de
na ü lichen
Ra e
läge;
de
Ou pu
wü de
dann
schnelle wachsen als
de
Kapi als ock.
Lieg
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks nich
nu
un e
de
na ü lichen
Ra e,
sonde n
auch
un e
de
Ra e
des Be ölke ungswachs ums, so
is
jedoch
Vo ausse zung
ü
ein
wei e es
S eigen
des du chschni lichen
Kapi alkoe izien en -also
ü
die
olle
Abso p ion
des jeweiligen
A bei sangebo s-,
daß
das
Lohnni eau
sink ,
dami
de
Subs i u ions-
e ek
wi ksam
we den
kann.
2.
Aus
dem
Beziehungssys em olg als
Bedingung
ü
das
dyna-
mische Gleichgewich , d. h.
ü
die Kons anz des
P eisni eaus
42
(27)
~
-0 I
( *
0)
-~-
+
(1-
cd
E - I o
-};
= 0
Die
Kons anz
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
und
dami
de
de
In es i ionsausgaben
( *
=
o)
genüg
je z
also
ü
die
E üllung
de
40
Vgl.
R.
Ha od,
a.a.O.,
S.
81.
41
Eine e en uelle Wechselwi kung zwischen dem S eigen des Lohnni eaus
und de Ra e des echnischen Fo sch i s wi d hie e nachlässig .
42
Vgl.
Anhang
B,
II
e).
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Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
49
Ha od/Doma -Gleichgewich sbedingung nich
meh .
Auße dem
muß
de
Kapi alkoe izien
kons an
sein
(0
=
.2').
Dies
is
-
wie
oben
ge-
zeig -
de
Fall,
wenn
de
Kapi als ock
mi
de
na ü lichen
Ra e
wächs
(
o = n
).
Es
sind
also nich
meh
beliebige
Wachs ums a en
des Kapi als ocks
i.m
Wi scha swachs um
mi
P eiskons anz
e einba .
Gleichgewich ige
und
na ü liche
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
allen
zusammen.
Im
s e igen
lang is igen
Wachs um,
wenn
de
Kapi als ock
kons an
mi
de
na ü lichen
Ra e
wächs ,
is
die
Wachs ums a e
de
Realin es i-
ionen
gleich
de
des
Kapi als oc.~s,
und
bei
P eiskons anz
is
die
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben
gleich
de de
Realin es i-
ionen. Auch die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionsaus-
gaben
kann
also nich
meh
(inne halb
gewisse
G enzen) beliebige
We e
haben
-
wie
es
bishe
de
Fall
wa ,
wenn
keine
bes imm e
Einkommens e eilung
im
Ausgangszei punk
zug undegeleg
wu de-;
sie
is
ielmeh
iden isch
mi
de
na ü lichen
Wachs ums a e.
Wenn
die
Summe
de
Ra en
des
Be ölke ungswachs ums
und
des ech-
nischen
Fo sch i s
(die
na ü liche
Wachs ums a e)
kons an
sind,
is
lang-
is ig
Kons anz
des
P eisni eaus
(lang is iges dynamisches Gleichge-
wich ) also
nu
bei
Kons anz
des Kapi alkoe izien en
und
de
Wachs ums-
a e
des Kapi als ocks (0 =
.2'
und
*
=
o
= n) möglich.
Ku z is ig
kann
das
P eisni eau,
wenn
z.B.
o>
n sein soll e, auch
bei
sinkendem
Kapi al-
koe izien en
(0<.2')
s abil
bleiben,
wenn
die
Wachs ums a e
des
Kapi-
als ocks
en sp echend
eduzie
wi d
( *
< o
),
so
daß
das Volksein-
kommen
nich schnelle wächs als
de
Ou pu .
So
lange
jedoch die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
kleine
is
als die des
Kapi al-
s ocks,
sink
die
le z e e.
Sie
muß
sich also
einmal
wiede
an
die
na ü liche
Ra e
angleichen;
wenn
das
de
Fall
is ,
bleib
de
Kapi al-
koe izien
kons an ,
und
das
dynamische Gleichgewich
e o de
wiede
die
Kons anz
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks.
Da
ein
daue ndes
S eigen
ode
Sinken
de
na ü lichen
Wachs ums a e
nich
in age
komm ,
is
die
plausibels e
lang is ige
Hypo hese
die
de
Kons anz
on
n.
Dann
e o de
das
gleichgewich ige Wachs um auch
die
Kons anz
de
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen, die gleich
de
des Kapi als ocks
und
dami
gleich
de
na ü lichen
Ra e
is .
Nu
wenn
de
Kapi als ock
mi
de
na ü lichen
Ra e
wächs ,
bleib
de
Kapi al-
koe izien
kons an .
De
Ou pu
wächs
dann
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock.
Nu
wenn
die
Realin es i ionen
mi
de selben
Ra e
wachsen
wie
de
Kapi als ock,
bleib
die
Wachs ums a e
des
Kapi al-
s ocks
kons an
und
gleich
de
na ü lichen
Ra e.
Das
Volkseinkommen
wächs
dann
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock.
Ou pu
und
Volkseinkommen wachsen
dann
also
mi
de selben
Ra e;
das
jeweilige
zusä zliche
Angebo
wi d
lau end
zu
kons an en
P eisen
abgenommen;
4
Sch i en
d.
Ve eins
.
Soclalpoll lk
42
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50 E win Scheele
de
Ausnu zungsg ad
de
P oduk ionskapazi ä en
bleib
gleich. Die
In es i ionsquo e
und
dami
die
Einkommens e eilung
sind
dann
eben alls
kons an .
Aus
de
Beziehung
(27),
de
ja
die
Ha od
Doma -Gleichgewich s-
bedingung
zug undelieg ,
kann
die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
e mi el
we den.
Sie
is
iden isch
mi
de
gleich-
gewich igen
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben. Nach Au lösung
und
Um o mung
e gib
sich43
(27a)
~
=
~
[ 1 - (CL
~
+ Cz
~
+ cG
~)]-
(~
-
a)
(1
-
cd
Auch
hie
zeig sich,
daß
die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In-
es i ionen
e s
dann
nume isch es lieg ,
wenn
eine
bes imm e
Ein-
kommens e eilung
im
Ausgangszus and
angenommen
wi d.
Wenn
dann
die
Kons anz
des
Kapi alkoe izien en
o ausgese z
wi d
(0
= 2'),
is
die
Gleichung (27a)
eine
öllige
En sp echung
zu
Ha od
'Doma -
Fo mel.
Sie
un e scheide
sich
on
de
le z e en
nu
dadu ch,
daß
die
agg egie e
ma ginale
Konsumneigung
hie
ausgesch ieben
is
als
de
mi
den
be e enden
An eilen
am
Volkseinkommen gewogene
Du ch-
schni
de
Konsumneigungen
de
d ei
G uppen
on
Einkommensbe-
ziehe n.
3.
Die Gleichung (27a) zeig abe , daß die
Ha od'Doma -Bedingung
nu
im
langj1·is ig gleichgewich igen Wachs um gil ,
da
sie die
Kon-
s anz
des Kapi alkoe izien en implizie . Die gleichgewich ige Wachs-
ums a e
de
In es i ionen
is
nu
dann
gleich
dem
P oduk
aus
dem
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
und
de
agg egie en
Spa quo e,
wenn
de
ma ginale
gleich
dem
du chschni lichen Kapi alkoe izien en (0= 2'),
de
le z e e
also
kons an
is .
Das
is
jedoch
nu
dann
de
Fall,
wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
kons an
und
gleich
de
na ü -
lichen
Ra e
( * = o = n) is .
Wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
kons an
( *
=
o)
übe
de
na ü lichen
Ra e
lieg
( o> n
),
wächs
die
A bei snach age
schnelle
als
mi
dem
Gleichgewich
e einba
is ; das
Lohnni eau
s eig
so
s a k,
daß
die
ein e ende
Subs i u ion
on
A bei
du ch
Kapi al
om
echnischen
Fo sch i
nich
meh
kompensie
wi d;
de
Kapi alkoe izien
sink ;
es
wi d
0<
2'. Die Beziehung (27a) zeig ,
daß
die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
dann
kleine
wi d.
Wü de
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
gleichbleiben,
so
wü de
das Volkseinkommen gemäß44
dE I * a
(28) E = o +
(1
_ cd E _ I
(
-:
o)
43 Vgl.
Anhang
B,
II
e).
44 Vgl.
Anhang
B,
II
d).
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
51
mi
eine
g öße en
Ra e
wachsen
als
de
Kapi als ock,
wäh end
de
Ou pu
in olge
de
Abnahme
des Kapi alkoe izien en
mi
eine
ge in-
ge en
Ra e
wächs
als
de
Kapi als ock.
Das
P eisni eau
wü de
dahe
s eigen;
die
Ha od
Doma -Gleichgewich sbedingung
wä e
nich
meh
e üll .
Soll
sie
e üll
bleiben, so
muß
die
Wachs ums a e
des
Volks-
einkommens
au
die
des
Ou pu s,
also
un e
die
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks,
eduzie
we den.
Das
is
nu
möglich
du ch
eine
Ve -
minde ung
de
Wachs ums a e
de
In es i ionen.
Dahe
besag
Glei-
chung (27a),
daß
die
gleichgewich ige
Wachs ums a e
kleine
is
als
on
de
Ha od/Doma -Fo mel
angegeben,
wenn
de
Kapi alkoe izien
sink , also
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
übe
de
na ü lichen
Ra e
lieg .
Die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
muß
eduzie
we den,
bis
sie
gleich
de
na ü lichen
Ra e
is .
Dann
is
de
Kapi alkoe izien
kons an ;
die
Di e enz
zwischen
dem
du chschni lichen
und
dem
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
45 e schwinde .
Die
Ha od'Doma -Bedingung
gil
also
nu ,
wenn
de
Kapi alkoe -
izien
kons an
is , d. h.
un e
den
speziellen Vo ausse zungen,
daß
(a)
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks gleich
de
na ü lichen
Ra e,
und
(b)
diese
kons an
is .
Sie
gil
also
nu
ü
das
s e ige
lang is ige
Wachs um. Sie
e laub
keine
Aussage
da übe ,
welche
Wachs ums a e
de
In es i ionen
im
Augenblick
P eiss abili ä
ga an ie ,
wenn
die
na ü liche
Wachs ums a e
sich
ände ,
ode
wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
on
de
na ü lichen
Ra e
abweich .
Die
Ha odl
Doma -Bedingung
is
au
F agen
des
ku z is igen
Gleichgewich s
im
Wachs umsp ozeß
nich
anwendba .
Die
Bedingung
(27a) jedoch
gib
sowohl
die
gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
im
s e i-
gen
lang is igen
Wachs um
( *
=-=
o = n)
an
-diese
is
dann
gleich
de
Ha od/Doma -Ra e,
da
dann
0 = X
gil
und
die
Einkommens e -
eilung
kons an
bleib
-
als
auch
die
Wachs ums a e
de
In es i ionen,
die
im
Augenblick
das
P eisni eau
kons an
häl
-
da
(27a)
nich
die
Kons anz
des Kapi alkoe izien en
o ausse z
-,
wenn
die augenblick-
liche
Si ua ion
kein
lang is iges
Gleichgewich
da s ell ,
weil
o
=1=
n
ode
n
nich
kons an
is .
45 Diese Di e enz zwischen dem du chschni lichen und dem ma ginalen
Kapi alkoe izien en is gewisse maßen eine Meßzi e ü den Be ag, um
den die a sächliche Wachs ums a e des Kapi als ocks
übe
de na ü lichen
Ra e lieg -ande s o mulie :
ü
das Ausmaß, in dem die Wachs ums a e
des Volkseinkommens eduzie we den muß.
Wie
eingangs e läu e , wi ken
sich Ve ände ungen im Wachs ums empo des Volkseinkommens zunächs au
die Gewinne aus; in einem disagg egie en Modell is de "eigen liche Mul i-
plika o " die Rezip oke de Spa neigung de Gewinnbeziehe . Diese
übe -
legungen e klä en die spezielle Fo m des zwei en Gliedes au de ech en
Sei e on
(27a),
das angib , um wie iel die Wachs ums a e de In es i ionen
un e den Ha od-Doma -We eduzie we den muß, wenn die a sächliche
Wachs ums a e des Kapi als ocks übe de na ü lichen Ra e lieg .
.'
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52
E win
Scheele
Eine
Aussage
übe
die
wei e e
En wicklung
de
ku z is ig
gleich-
gewich igen
Wachs ums a e
de
In es i ionen
in
eine
im
lang is igen
Sinne
ungleichgewich igen
Si ua ion
( o + n
ode
n + cons .)
mach
jedoch auch
die
Bedingung
(27a) nich .
Wenn
die
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks
übe
de
na ü lichen
Ra e
lieg ,
de
Kapi alkoe izien
somi
abnimm
(0<
.2'), olg aus (27a)
zwa
die
Wachs ums a e
de
In es i ionen
( ~
< o
),
die
im
gegebenen Augenblick das
P eisni eau
kons an
häl ,
abe
diese gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i-
ionen
is
nich
kons an .
Wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
sink
( ~
= * < o
),
ände
sich
gemäß
(27a) auch die "gleichgewich ige
Einkommens e eilung",
die
gemäß
(27a)
de
E mi lung
on
g
zu-
g undelieg ;
d. h.
die
agg egie e
Spa quo e
ände
sich.
Die
gleich-
gewich ige
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
bekomm
dann
einen
neuen
We
-
de
aus
de
Ha od/Doma -Bedingung
wie
aus
ih em
Aequi alen
(27a) nich
e mi el
we den
kann.
Die
Bedingung
(27a)
jedoch
kann
umge o m
we den
ZU
46
(27b)
~
= o -
(1
-cG)
(2
-a).
Hie
kann
jeweils
aus
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
in
einem
gegebenen
Zei punk
die
neue
gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In-
es i ionen
e mi el
we den,
wenn
die
En wicklung
des
Kapi alkoe -
izien en
bekann
is
(die
on
de
En wicklung
de
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks
im
Ve häl nis
zu
na ü lichen
Ra e
bes imm
wi d).
Is
0<.2',
so
muß
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
eduzie
we den
( * < o
);
dami
is
die
neue
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
bekann ,
und
bei
gegebene
En wicklung
des Kapi alkoe izien en
kann
so
je-
weils
ku z is ig
die
En wicklung
de
gleichgewich igen
Wachs ums a e
de
In es i ionen
angegeben
we den.
Wie gesag ,
gib
die
Ha od/Doma -Bedingung
die
ku z is ig
gleich-
gewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
zu
hoch
ode
zu
nied ig
an,
wenn
en wede
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks nich gleich
de
na ü lichen
Ra e
is
ode
die
le z e e
sich
ände ,
da
dann
die
im-
plizi e
Vo ausse zung
0
=.2'
nich
meh
zu i .
Die
E klä ung
ü
diese "Fehl-Anzeige"
de
Ha od/Doma -Bedingung
lieg
im
Um e -
eilungs
e ek
de
In es i ionen.
Lieg
de
ma ginale
Kapi alkoe izien
übe
dem
du chschni lichen, so wächs
de
Ou pu
schnelle
als
de
Kapi als ock;
das
Fak o einkommen
jedoch
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi 'als ock.
Dami
zwecks Voll
ausnu zung
de
P oduk ionskapazi ä
das
Volkseinkommen
mi
de selben
Ra e
wächs
wie
de
Ou pu ,
müs-
sen
die
In es i ionen
schnelle
zunehmen
als
de
Kapi als ock. In olge
des Um e eilungse ek es
de
In es i ionen
s eigen
de
An eil
de
Gewinne
am
Volkseinkommen
und
dami
die
agg egie e
du chschni -
46
Vgl.
Anhang
B,
II
).
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
53
liche
Spa quo e.
Die
Ha od/Doma -Fo mel,
die
ja
mi
de
Kons anz
des
P eisni eaus
auch die
de
Einkommens e eilung
o de ,
gib
in
diesem
Falle
eine
zu
ge inge
Gleichgewich s-Wachs ums a e
de
In-
es i ionen
an.
Das
Umgekeh e
gil ,
wenn
de
ma ginale
Kapi alkoe ';
izien
un e
dem
du chschni lichen lieg .
In olge des Um e eilungse l'ek es
de
In es i ionen
gib
die
Ha odl
Doma -Fo mel
die
gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
nu
dann
ich ig an,
wenn
de
Kapi alkoe izien
kons an
is .
Wenn
die
Kons anz
des (du chschni lichen
und
ma ginalen) Kapi alkoe izien-
en
nich
meh
ein ach
angenommen
wi d,
sonde n
die
Fak o en,
die
seine
Höhe bes immen,
explizi e
in
das
Sys em
einbezogen
we den,
e -
gib
sich,
daß
de
Kapi alkoe izien
nu
dann
kons an
bleib ,
wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks gleich
de
na ü lichen
Ra e
is .
Is
die
le z e e
kons an ,
so
sind
die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
und
des Kapi als ocks
und
die
na ü liche
Ra e
iden-
isch.
4.
Im
Folgenden
sollen noch
ku z
die
Folgen
eine
Abweichung
de
a sächlichen
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
( *)
on
de
na ü -
lichen
Ra e
un e such
we den.
Aus
de
Gleichung
(28)
ü
die Wachs-
ums a e
des Volkseinkommens olg ,
daß
diese
kons an
und
gleich
de
des Kapi als ocks is ,
wenn
de
Kapi als ock
mi
eine
kons an en
Ra e
wächs
und
de
Kapi alkoe izien
un e ände
bleib . Die
Fak o -
einkommen
und
dami
die
Konsumausgaben
ih e
Emp änge
wachsen
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock. Die
Konsumausgaben
aus
Gewinnen
sind
kein
selbs ändige
Bes immungs ak o
de
Wachs ums-
a e
des Volkseinkommens: Die
Gewinne
als
Di e enz zwischen Volks-
einkommen
und
Fak o einkommen
we den
bei
-
du ch
die Höhe des
Kapi als ocks -
gegebenen
Fak o einkommen
du ch
das Volkseinkom-
men
bes imm ;
die
Ände ung
de
Gewinne
kann
dahe
die
des Volks-
einkommens
nich
selbs ändig
beein lussen.
Bei
gegebene
Wachs ums-
a e
des Kapi als ocks
häng
dahe
die
Wachs ums a e
des Volksein-
kommens
ausschließlich
on
de de
In es i ionsausgaben
ab. Diese
we den
wiede
on
de
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
bes imm .
Is
de
Kapi alkoe izien
kons an
(a
=
2:'),
und
wachsen die Real';
in es i ionen
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock
( *
=
o),
so
wächs
dahe
das
gesam e
Volkseinkommen
mi
de
Ra e
o.
Da
bei
Kons anz
des Kapi alkoe izien en auch
de
Ou pu
mi
diese
Ra e
wächs ,
bleib
also das
P eisni eau
kons an ,
wenn
de
ma ginale
gleich
dem
du chschni lichen Kapi alkoe izien en
is
und
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
gleich
de
des Kapi als ockes is .
S eig
jedoch die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
( * >
o),
so
wü de
selbs
bei
Ve nachlässigung
de
Wi kung
de
P eis
s eige ung
au
die
In es i ions-
ausgaben
das
Volkseinkommen schnelle wachsen
als
de
Kapi als ock
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54 E win Scheele
und
dahe
auch schnelle wachsen als
de
Ou pu .
Das
P eisni eau
wü de
dahe
s eigen,
was
die
Wachs ums a en
de
In es i ionsausgaben,
des Volkseinkommens
und
des
P eisni eaus
e höh .
Sink
de
Kapi al-
koe izien
(0)
.l'), so
wü de
selbs
bei
Kons anz
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
( *
= o)
de
Ou pu
langsame
wachsen als das Volks-
einkommen,
was
die
Wachs ums a en
de
In es i ionsausgaben, des
Volkseinkommens
und
des
P eisni eaus
e s ä k .
Ände
sich
de
Kapi alkoe izien , so
kann
das
P eisni eau
nu
kons an
bleiben,
wenn
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks sich
in
bes imm e
Weise
anpaß .
Angenommen, die
Wi scha
sei
bishe
mi
de
gleichgewich igen,
also
de
na ü lichen,
Ra e
gewachsen
( o
= n
und
*
=
o,
so
daß
a = .l').
Wenn
aus
i gendeinem
G unde
die a sächliche
Wachs ums a e
de
Real-
in es i ionen
s eig , so
wü de
selbs
bei
Kons anz
des
P eisni eaus
die
Wachs ums a e
des Volkseinkommens
g öße
we den
als die des
Kapi-
als ocks.
Zunächs
wächs
de
Ou pu
noch
mi
de
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks.
Da
die
mone ä e
Nach age schnelle zunimm ,
s eig
das
P eisni eau.
Dadu ch
wi d
die
ü
die
Realisie ung
de
gegebenen
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
e o de liche
Wachs ums a e
de
In es i ionsausgaben
g öße ,
und
das
e höh
die
Wachs ums a e
des
Volkseinkommens. Die
P eiss eige ung
wi d
beschleunig .
Nun
s eig
abe
in olge
de
E höhung
de
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
auch
die
des Kapi als ocks.
Dami
wächs auch
de
Ou pu
schnelle .
Die Beschleunigung
im
Wachs um des Volkseinkommens
kann
dadu ch
jedoch nich kompensie , die
P eiss eige ung
nich
e hinde
we den.
Da
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks ges iegen is ,
lieg
sie
nun-
meh
übe
de
na ü lichen
Ra e
( o>
n);
de
Kapi als ock
und
dami
die Nach age nach
A bei
wachsen schnelle , als
bei
de
gegebenen
Ra e
des echnischen
Fo sch i s
und
des
Be ölke ungswachs ums
mi
de
Kons anz
des Kapi alkoe izien en
e einba
is . Die Lohns eige-
ung
üh
zu
e s ä k en
Subs i u ion
on
A bei
du ch
Kapi al;
de
Kapi alkoe izien
sink
(a<.l').
Die
Wachs ums a e
des
Ou pu s
s eig
nich
p opo ional
zu
de
des Kapi als ocks.
Wenn
zwa
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
kons an
wä e
( * = o
),
abe
aus
i gendeinem
G unde
(e wa
wegen
eine
Abnahme
de
Ra e
des echnischen
Fo sch i s
ode
des Wachs ums des
A bei s-
a.ngebo s)
übe
de
na ü lichen
läge
( o
> n
),
wü de
de
Kapi alkoe i-
zien
kleine
we den
(a<.l')
und
die
Wachs ums a e
des
Ou pu s
un e
die
des Kapi als ocks
und
dahe
auch
un e
die
des Volkseinkommens
sinken.
Da
das Volkseinkommen zunächs noch
mi
de
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
zunehmen
wü de,
müß e
das
P eisni eau
s eigen.
Bei
un e ände e
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
wü de
die
de
1n-
es i ionsausgaben
g öße
we den
und
dami
das Wachs um des Volks-
einkommens
beschleunigen
und
die
Ra e
de
P eiss eige ung
e höhen.
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Mul iplika o und gleichgewich ige Wachs ums a e
55
Wenn
in
einem
gegebenen Augenblick Gleichgewich
he schen
soll,
müssen
die
Bedingungen
*
= o
und
0 = X
e üll
sein.
In
einem
ge-
gebenen
Augenblick
bleib
de
Kapi alkoe izien
kons an ,
wenn
o
= n
is .
Eine
Aussage
übe
das
lang is ige dynamische Gleichgewich
kann
nu
gemach
we den,
wenn
die
na ü liche
Wachs ums a e
als
kons an
be ach e
wi d.
Wie die
Bedingung
(28)
zeig ,
sind
dann
die
no wendi-
gen
und
hin eichenden
Bedingungen
ü
das
lang is ige
dynamische
Gleichgewich die,
daß
(1)
de
Kapi als ock
mi
de
na ü lichen
Ra e
wachsen muß, so
daß
de
Kapi alkoe izien
kons an
bleib ,
und
daß
(2)
die
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
gleich
de
des
Kapi al-
s ocks sein muß, so
daß
die
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
kons an
bleib . Die gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
In es i ionen
wi d
dann
also
on
de
na ü lichen
Ra e
bes imm
und
nich
on
de
Höhe des
Kapi alkoe izien en
ode
de
agg egie en
ma ginalen
Spa quo e.
Die
le z e en
G ößen
sind
lediglich en scheidend
ü
die
Einkommens e -
eilung,
die
also
bei
gegebene
Höhe des Kapi alkoe izien en
und
de
Spa quo en
lang is ig
eben alls
on
de
na ü lichen
Wachs ums a e
de
Wi scha
bes imm
wi d.
5.
Zum
Schluß soll noch eine
Be ach ung
übe
die Gleichgewich s-
bedingung
ange üg
we den,
die
de
Theo ie
des gleichgewich igen
Wachs ums zug undelieg .
Bei
Ha od
und
Doma
is
es
die
Bedingung,
daß
das
du ch
die
lau ende
In es i ion
gescha ene
ode
e möglich e
zusä zliche Angebo
du ch
eine en sp echende zusä zliche Nach age
zu
kons an en
P eisen
abgenommen
we den
muß;
daß
de
jeweils
o han-
dene
Kapi als ock zu
kons an en
P eisen
ollbeschä ig
bleiben
muß.
Nu
dann, so
wi d
a gumen ie ,
we den
sich die
Un e nehme
in
ih e
In es i ionspoli ik
bes ä ig
sehen
und
die
bishe ige
Ra e
de
Expansion
de
P oduk ionskapazi ä
au ech e hal en.
Diese
A gumen a ion
e -
schein
du chaus
plausibel.
Im
Zuge
de
E wei e ung
de
Theo ie
des gleichgewich igen Wachs-
ums
du ch
die obigen
übe legungen
ha
sich
de
Inhal
de
Gleich-
gewich sbedingung
dahin
gewandel ,
daß
p ak isch
nu
noch
die
Fo de-
ung
üb ig
bleib ,
daß
das
P eisni eau
kons an
bleiben
muß.
Wenn
de
Kapi alkoe izien
a iabel
wi d,
e lie en
de
Beg i
de
P oduk-
ionskapazi ä
und
dahe
auch die
Vo s ellung
des
du ch
die
lau enden
In es i ionen
gescha enen zusä zlichen Angebo s
seh
an
Schä e. Die
Disagg ega ion des
Einkommens
is
e o de lich,
um
zu e meiden,
daß
die
Kons anz
de
Einkommens e eilung
o ausgese z
we den
muß,
dami
die
ma ginale
Spa quo e
als
kons an
be ach e
we den
kann.
Die
Ein üh ung
de
Fak o en,
die die
Höhe des Kapi alkoe izien en
bes immen,
is
no wendig,
dami
die un ealis ischen
Vo ausse zungen
des öllig elas ischen
A bei sangebo s
und
des
Fehlens
on
nich neu-
alem
echnischen
Fo sch i
allengelassen
we den
können.
Die
Re-
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62
E win
Scheele
Konsum unk ion
au zu assen. Du ch
die
In es i ionen
10
wü de
das
mone ä e
Angebo
wiede
au
E1 s eigen.
Da
nich be ücksich ig wi d,
daß
die
lau en-
den
In es i ionen
selbs
be ei s
Einkommen
und
dami
Konsum-Nach age
scha en,
könn e
die
ü
die Vollbeschä igung des Kapi als ocks K1
e o de -
liche
Zunahme
de
mone ä en
Nach age
nu
du ch
zusä zliche
In es i ions-
ausgaben
in
Höhe
on
DoQ
gescha en
we den.
Die
au onome
Zunahme
de
Konsumausgaben
um
k·
L K
in olge des Um e eilungs-E ek es
de
lau en-
den
In es i ionen
e se z
also
einen
Teil
de
e o de lichen
In es i ions-
Zunahme.
Wie gesag ,
ände
diese
Ums and
die Gleichgewich s-Wachs ums-
a e
de
In es i ionen
nich ,
da
im
dynamischen Gleichgewich
k·
L K
selbs
mi
eine
kons an en
Ra e
wächs .
B. E läu e ung de Ablei ungen
I.
Zu
den
Ab
s c h n i e n
I-III
a) Das Beziehungssys em
(1) dE =
cL
dL
+
Cz
dZ +
CG
dG
+
dI
(2)
dG
=
dE
-
dL
-
dZ
(3)
dL
=
1·
dA
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
dK=~
P
dZ =
iI
dA
=).dK
dR=a·dA+k·dK
dI
= (dK* -dK) P + I
dP
P
dP=dE-P.
dR
R
Pa ame e
Zinsni eau
E Ne o-Volkseinkommen
G
Gewinne
L
Lohneinkommen
K Kapi als ock
Z Zinseinkommen
A Beschä igung
R
Realeinkommen
(Ou pu )
I
In es i ionsausgaben
P
P eisni eau
1 (Nominal-)
Lohnni eau
(dK* -dK)
Ände ung
de
Realin es i ionen
a gesam wi scha liche
G enzp oduk i i ä
de
A bei
k gesam wi scha liche
G enzp oduk i i ä
des
Kapi als
b
S eigung
de
A bei s-Angebo sku e
).
ma ginales
A bei /Kapi al-Ve häl nis
ß
S uk u ak o
cL,
cz,
CG
Konsumneigungen
Abkü zungen
F
=L+Z
Fak o einkommen
dR
0
=-=a).+k
dK
ma ginale
Kapi alkoe izien
2 R
K du chschni liche Kapi alkoe izien
*
dK* -
dK
=-----
dK
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
dK
o K
Wachs ums a e
des Kapi als ocks
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Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
63
b)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(14)
Aus
d
(~)
~
=
d;
_
d:
e gib
sich
nach
Subs i u ion
d
~
~
=
~
[(A.~
+ i) E _
(cL
-
CG);'~
+ (cz -
cG)
i _
dI
. 1 1
(E) F E F
(1
-
cG)
I
(1
-
cG)
Wenn
de
Zähle
des
zwei en
Gliedes
in
de
eckigen
Klamme
du ch
A.
~
+ i -
A.
b -i
e gänz
wi d,
olg
un e
Beach ung
on
E = L
+Z
+ G
die
Beziehung
(14).
C)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(15b)
Un e
Beach ung
de
Gleichungen
(17)
und
(18)
wi d
(15a)
zu
dI =
(J
(1
_
cG)
_
(cL
-
cG)
L + (cz -
cG)
Z
I
KP
Nun
gil
(1
-
cG)
E - I =
(cL
-
cG)
L + (cz -
cG)
Z,
wie
sich
zeigen
läß ,
wenn
ü
E = cLL + czZ + cGG + I
und
ü
cGE
= cGL +
cGZ
+ cGG
dI
=
(J
(1
_ ca) _
(1
-ca) E +
dK
I
KP
K
eingese z
wi d.
Dahe ,
mi
(4)
:
Da
R = 2
Kund
E = R .
P,
läß
sich
diese
Gleichung
sch eiben
dI
dK
- =
(J
(1
-
cG)
-2
(1
-ca) + - .
I K
Da
o ausse zungsgemäß
(J
= 2 is , olg
da aus
(15b).
d)
Wachs ums a en
de
Realin es i ionen
und
des
Kapi als ocks
Wenn
de
Kapi als ock
mi
eine
kons an en
Ra e
o wächs ,
is
dK
= oK.
Fe ne
gil
dann
dK* = o (K + dK) =
oK
+
odK
=
oK
+ o2K
und
dK* -
dK
oK
+ o2K - oK
--ciK--
=
oK
= o .
Dahe
gil
dann
auch
dK* -
dK dK
-----,----,---- -
ode
* = o .
dK
-K
e)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(20)
Bei
de
Ablei ung
sind
zu
beach en
L
(17)
A.!=-
K
(18)
iP
=
~
K
dR
(19)
R = o
sowie
(CL
-
cG)
L + (cz -
cG)
Z =
(1
-
cG)
E
-I
.
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
64
E win
Scheele
d)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(13b)
(
S)E
dS
..
dE
Aus
d E
S=S-E
und
dE
I
11
(20a) E = o +
(1
_
cG)
E _ I ( * -2 o
),
die
sich
on
(20)
dadu ch
un e scheide ,
daß
in
de
zu
Ablei ung
e -
wende en
Gleichung
(19)
dR
11
. .
R = "2 o noch
nich
on
de
Vo ausse zung
11
=.2
Geb auch
gemach
wu de,
olg
d
(
~)
~
-
(1
_ )
~
_ * _
~
_
(cL
-
cG)
L + (cz -
cG)
Z
E S -
cG
I o o + 2 o
PK
Nun
is
I
dK·P
dK
o
E=
R·P
=
2'K=
2'
Un e
Beach ung
diese
Ta sache
und
mi
(1
-
cG)
E - I =
(cL
-
cG)
L + (cz -
cG)
Z
olg
(13b).
e)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(14b)
Aus
d (
!)
~
=
dF
_
dE
=
dL
+
dZ
_
dE
E F F E F E
und
(20a)
olg
mi
(17)
dL
L
-=.i!.l=·-
dK
K
sowie
F = L + Z
dZ
. Z
(18)
-=lP
=-
dK
K
die
Gleichung
(14b)
unmi elba .
)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(24)
Es
wi d
C =
~
und
C = cLL + czZ +
cGG
sowie
E = L + Z + G
gese z
und
on
(17),
(18)
sowie
E
==
R .
P,
R =
.2
Kund
(J =
.2
Geb auch
gemach .
H.
Zum
A b s C h n i
IV
a)
Das Gleichungssys em
(1)
(2)
(3a)
(4)
(5)
dE
=
cL
dL
+
Cz
dZ
+
CG
dG
+
dI
dG
=
dE
-
dL
-
dZ
dL=l·dA+A·dl
dK=~
.
P
dZ
=
iI
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(6a)
(7a)
(8)
(9)
(10)
Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
dA=IdK-IK
dl
I
dR
=
a·dA
+
k·dK
+
A·da
+
K·dk
dI
= (dK* -dK) P + I
dP
P
dP=
dE-P·dR
R
dl
= b .
dA
+ A .
db
Wei e e
Abkü zungen
I = A =
ß~
K I
'Xl
l =
l+bA
db
b=l)
du chschni l.
A bei /Kapi
al-
Ve häl nis
ma ginales
A bei /Kapi al-Ve häl nis
bei
kons an e
Be ölke ung
Wachs ums a e
de
Be ölke ung
b)
Das du chschni liche
A bei /Kapi al-Ve häl nis
65
Die
Bedeu ung
de
Annahme
A = ß
~
K
kann
ü
den
Fall
zweie
Indus ien
mi
den
P oduk ions unk ionen
und
nähe
e läu e
we den,
wenn
da on
ausgegangen
wi d,
daß
diese
Indu-
s ien
(bei
ollkommene
Konku enz
au
den
Fak o mä k en)
gemäß
den
Kos en es ik ionen
die
op imale
Fak o kombina ion
ealisie en:
und
Dann
läß
sich die Gleichung
(
dAy
Cy)
_=
dK
y
un e
Be ücksich igung
on
(a)
bis
(c)
um o men
zu
5
Sch i en
d.
Ve eins
.
Socialpoli ik
42
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66
E win
Scheele
Diese
Ausd uck
läß
sich
wei e
um o men
zu
A
i[
1 1 1
(d2) K = T
{),
w
(1
-my) Uy + w
,/,
(1
-mx) Ux
-+
-+
'Y
(1
-mx) Ux l X
(1
-my) Uy
wobei
m
de
Monopolg ad
nach
de
Le ne schen
De ini ion
und
U
de
Umsa z
is . [Die
Ablei ung
on
(d2)
kann
hie
aus
Raumg ünden
nich
wiede gegeben
we den.
Vgl. E. Scheele,
Wi scha swachs um
und
Ein-
kommens e eilung,
Tübingen
1965.]
Fü
den
Ausd uck
in
eckigen
Klamme n
is
ß
gese z
wo den.
Diese
Pa ame e
häng
also
on
de
Fo m
de
P oduk ions unk ionen,
den
Monopolg aden
und
de
Ve eilung
de
Ausgaben
in
de
Volkswi -
scha
ab.
c)
Ma ginales
A bei /Kapi al-Ve häl nis
und
ma ginale
Kapi alkoe izien
Aus
A = ß
+K
e gib
sich,
da
ß
und
i
als
kons an
be ach e
we den,
- -
dl
dA=,1,dK-,1,K-
1
. - i
mI ,1,=ß-
1 .
Wenn
ü
dl
aus
(10)
eingese z
wi d,
olg
mi
A =
IK
dA
=
11
IbA
K
db
1 +
bA
dK
- 1 +
bA
b
dK
db
und
mi
K
=
o
und
b= b
dA
Il
1bA
b
dK
1 +
bA
- 1 +
bA
.
~
.
Aus
(6a), (7a)
und
(10)
mi
A =
IK
e gib
sich
[
Il
1
1bA
db
dR
= a 1 +
bA
+ k
dK
- a 1 +
bA
K b +
A·
da
+
K·
dK
[
11
IbA
K
db
- K 1
dR
= a
1+
bA
+ k - a 1 +
bA
.
dK
. b +
(,1,
da
+ dk)
dK
dK
11=
dR
=(a~+k)-a
IbA
.~+Ida+dk
dK
1 +
bA
1 +
bA
o o
Bei
Fehlen
on
echnischem
Fo sch i
is
das
d i e
Glied,
bei
kons an e
Be ölke ung
das
zwei e
Glied gleich Null.
d)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(28)
Bei
de
Ablei ung
de
Gleichung
(28)
aus
dem
Sys em
(1), (2),
(3a),
(4),
(5),
(6a), (7a),
(8)-(10)
is
Folgendes
zu
beach en:
Gleichungen
(17)
und
(18);
auße dem
~
= ; o'
wobei
a
wie
in
Anhang
B,
II
c)
de inie
is ;
(CL -cG) L +
(cz
-cG) Z =
(1
-cG) E - I
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Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
67
e)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(27a)
Aus
de
Bedingung
~
= 0
e gib
sich
nach
Einse zen
ü
dE
und
dR
E R
die
Gleichung
(27).
Wenn
diese
Gleichung
mi
[(1
--
cG)
E -
I]
mul iplizie
wi d,
olg
a *
(1
-
cG)
E - I -
2:
(1
-
cG)
E + I = 0 .
o
Nach
Mul iplika ion
mi
o
e gib
sich
un e
Beach ung
on
o =
2!
I E
l'
[(1 -
cG)
E -
I]
---E---
-
a(l-cG)
+ * =
O.
Un e
Beach ung
on
(1
-
cG)
E - I =
(cL
-
cG)
L + (cz -
cG)
Z
und
E -
gänzung
de
eckigen
Klamme n
im
Zähle
des
e s en
Gliedes
du ch
cGG
-cGG + E - E olg ,
da
das
*
die
gleichgewich ige
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
( ~)
is ,
die
Gleichung
(27a).
)
Zu
Ablei ung
de
Gleichung
(27b)
(1
-
cG)
E - I
Aus
de
Gleichung
(27)
olg
nach
Mul iplika ion
mi
I
und
un e
Beach ung
on
2.
=
~
die
Gleichung
(27b),
da
das
*
die
gleichgewich ige
E
"'-
Wachs ums a e
de
Realin es i ionen
( ~)
is .
C.
Die
Abhängigkei
de
Fak o kombina ion
om
Reallohn-Ni eau
1.
De
In es i ionsgü e p eis
als
Kos enp eis
ü
den
Kapi
aleinsa
z
Die
Ve wendung
des
Kapi algü e p eises
als
Kos enp eis
ü
den
Kapi al-
einsa z
lieg
nahe,
wenn
die
P oduk ionskos en
de inie
we den
als
Summe
aus
Lohnkos en
und
Kapi alkos en,
wobei
die
le z e en
sich
zusammense zen
aus
dem
We
des
Kapi al e zeh s
und
den
Zinskos en
ü
das
in es ie e
Kapi al.
Die
Lohnkos en
p o
Jah
sind
das
P oduk
aus
de
Zahl
de
A bei ss unden
p o
Jah
(A)
und
dem
Lohnsa z
(1);
de
We
des
Kapi al e zeh s
p o
Jah
kann
gemessen
we den
als
P oduk
aus
de
Zahl
de
Maschinens unden
p o
Jah
(M)
und
dem
Absch eibungs-
sa z
(d);
die
Zinskos en
e geben
sich
als
P oduk
aus
dem
We
des
in es ie en
Kapi als
(W)
und
dem
Zinssa z
(i).
Dahe
sind
die
P oduk-
ionskos en
p o
Jah :
(a) Q = A . 1 + M . d + W . i
De
Absch eibungssa z
e gib
sich
als
Quo ien
aus
dem
P eis
(P)
des
Kapi algu es
52
und
seine
Lebensdaue (y):
(b) d
=~.
l'
5*
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68
E win
Scheele
De
We
des
in es ie en
Kapi als
is
das
P oduk
aus
de
Zahl
(N)
de
Einhei en
des
Kapi algu es
52
und
seinem
P eis:
(c)
W =
NP.
Die
Kos ende ini ion
kann
dahe
auch
gesch ieben
we den
(al)
Q = A . I + M
~
+
NPi
')'
Die
Zahl
de
benö ig en
Kapi algü e
e gib
sich
aus
de
Zahl
de
ein-
gese z en
Maschinens unden
p o
Jah
und
de
Zahl
de
Einsa zs unden
p o
Jah
des
Kapi algu es
(m),
die
du ch
die
im
Wesen lichen
ins i u ionell
es geleg en
Zahlen
de
A bei ss unden
p o
A bei s ag
und
de
A bei s-
age
p o
Jah
gegeben
wi d.
(d) N =
~
m
Die
Kos ende ini ion
kann
dahe
wei e
um o mulie
we den
zu
(a2) Q = A . I +
Nm
~
+
NPi
ode
')'
(a3) Q = A . I + N
(~
+ i) P
Y
Die
P obleme
de
op imalen
Lebensdaue ,
de
In ensi ä
(Zahl
de
Maschi-
nens unden
p o
Mengeneinhei ),
de
Un e schiede
in
de
G öße
on
m
ü
die
einzelnen
Kapi algü e
müssen
hie
ebenso
e nachlässig
we den
wie
die
index heo e ischen
P obleme
de
Messung
on
N
und
P.
Fü
den
Zweck
de
o liegenden
Un e suchung
kann
N
mi
K gleich
gese z
we -
den;
de
Ausd uck
[(
~
+
i)
p]
is
dann
de
P eis
des
Kapi aleinsa zes.
Da
m, y
und
i
als
kons an
be ach e
we den,
is
im
o liegenden
Zusammen-
hang
nu
P
ele an .
De
Fak o
(
~
+ i)
kann
in
de
olgenden
Beziehung
')'
(29)
als
in
ß
en hal en
be ach e
we den.
H. U m 0
muli
e
un
g
de
E g
e b n
iss
e
a)
Bei
Kons anz des
Lohnni eaus
und
des echnischen Wissens
1.
In
den
Abschni en
I
bis
HI
wu den
-
analog
zu
den
Annahmen
de
üblichen
Theo ie
des
gleichgewich igen
Wachs ums
-
das
Lohnni eau
als
kons an
und
das
echnische
Wissen
als
gegeben
angenommen.
Wenn
die
Op imalkombina ion
de
P oduk ions ak o en
om
Fak o p eis e häl nis
bes imm
wi d,
olg
aus
diesen
Annahmen
(un e
de
wei e en
Vo aus-
se zung
de
Kons anz
des
Zinsni eaus
und
de
P oduk ionss uk u )
die
Kons anz
des
ma ginalen
A bei /Kapi al-Ve häl nisses
und
des
ma ginalen
Kapi alkoe izien en.
Wenn
die
Fak o kombina ion
jedoch
om
Reallohnni eau
abhäng :
P
(29)
A = ß
yK,
52
Wenn
die
Un e nehmung
meh e e
Kapi algü e
einse z ,
sind
d
und
P
als
gewogene
Du chschni e
au zu assen.
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Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
69
is
das
ma ginale
A bei /Kapi al-Ve häl nis
auch
un e
den
obigen
An-
nahmen
nu
dann
kons an ,
wenn
das
P eisni eau
kons an
is :
(6b)
dA=A
~
+IdK
- P
(mi
).
= ß
1)'
Es
wi d
also
angenommen,
daß
ma ginales
und
du chschni liches
A bei /
Kapi al-Ve häl nis
dann
gleich sind,
wenn
das
P eisni eau
kons an
is .
Da
das
ma ginale
A bei iKapi al-Ve häl nis
je z
om
P eisni eau
ab-
häng ,
is
selbs
bei
Gül igkei
de
üb igen
oben
e wähn en
Vo ausse zun-
gen
de
ma ginale
Kapi alkoe izien nich
meh
kons an ,
sonde n
übe
(9)
on
de
Wachs ums a e
des
Einkommens
abhängig.
Aus
(6b), (7)
und
(9) olg
mi
R -
(30)
2 = K =
(a),
+ k)
und
E = R . P
ü
den
ma ginalen
Kapi alkoe izien en
E+aAP
~
dR
- o. dE
dK
(31)
(J
=
dK
=
(a),
+ k) E +
aAP
mi
e = E
und
o =
K'
Nu
wenn
das
Volkseinkommen
mi
de selben
Ra e
wächs
wie
de
Kapi als ock,
is
also
de
ma ginale
Kapi alkoe izien
kons an
(und gleich
dem
du chschni lichen).
Fü
die
Wachs ums a e
des
Ou pu s
olg
E+aAP
~
(32)
dR
= o o'
R
E+aAP
Wächs also
das
Volkseinkommen
mi
de selben
Ra e
wie
de
Kapi als ock,
so
wächs
auch
de
Ou pu
mi
diese
Ra e. Das
P eisni eau
is
dann
kons an ,
und
dami
auch
das
ma ginale
A bei /Kapi al-Ve häl nis.
Dahe
is
dann
auch
de
ma ginale
Kapi alkoe izien
kons an
(und gleich
dem
du chschni lichen) .
Die
Au gabe
de
Abschni e
I-III
wa
es u. a.,
in
einem
disagg egie en
Modell die
Aussagen
de
Ha odlDoma -Theo ie
des gleichgewich igen
Wachs ums
zu
übe p ü en.
Dahe
wa
in
den
Abschni en
1-111
de
augenblickliche
ma ginale
Kapi alkoe izien
als
exogen
gegeben,
in
Abschni
111
4-7
als
gegeben
und
gleich
dem
du chschni lichen
Kapi al-
koe izien en
angenommen
wo den.
Wie
gezeig ,
is
selbs
un e
den
Vo -
ausse zungen,
aus
denen
übliche weise die
Kons anz
des
ma ginalen
Kapi-
alkoe izien en olg ,
diese
keine
exogen
gegebene
G öße
meh
(sonde n
abhängig
on
de
Wachs ums a e
des Volkseinkommens),
wenn
angenom-
men
wi d,
daß
das
A bei /Kapi al-Ve häl nis
om
Reallohnni eau
be-
s imm
wi d.
Diese
Annahme
is
dahe
un e einba
mi
de
Ha od/
Doma -Theo ie
und
dahe
s enggenommen
i ele an
ü
die Diskussion
in
den
Abschni en
I-III.
Dennoch soll gezeig
we den,
daß
die
do
en -
wickel en
g undlegenden
Zusammenhänge
auch
dann
gel en,
wenn
die
Fak o kombina ion
nich
om
Fak o p eis e häl nis,
sonde n
om
Real-
lohnsa z
abhäng .
Die
Konsequenz
diese
Annahme
ü
das
o liegende
Modell
is
olgende.
Bishe
wa
die
Zunahme
beide
Fak o einkommen
on
eine
Ve g öße-
ung
des Kapi als ocks -
und
nu
on
diese
-abhängig. Die
En wicklung
des
Lohn-
und
des
Zinseinkommens
wu de
on
den
lau enden
In es i-
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70
E win
Scheele
ionen
bes imm .
Die
aus
zusä zlichen
In es i ionsausgaben
esul ie ende
E höhung
des
Volkseinkommens
wu de
dahe
oll
zu
Gewinn.
Im
o -
liegenden
Fall
dagegen
is
auch
die
En wicklung
des
Lohneinkommens
on
de
En wicklung
de
mone ä en
Nach age
und
dahe
on
de
Ände ung
de
In es i ionsausgaben
abhängig:
Aus
(3)
und
(6b)
olg :
dL
= L
~
+ L
d:
.
Dahe
häng
dL
übe
(9)
on
de
Wachs ums a e
des
Volkseinkommens
ab:
dL
= L
~
- L
~
+ L
d:
,wobei
~
eben alls
on
de
Wachs ums a e
des
Volkseinkommens
bes imm
wi d,
so
daß
dL
= L
dE
_ L
aAP
dE
LE
dK
dK
E E +
aAP
E E +
aAP
K + L K
ode
E
dE
aAP
dK
(33)
dL
= L E +
aAP
. E + L E +
aAP
.
K·
Die
Ände ung
des
Lohneinkommens
häng
also
zum
Teil
-
ebenso
wie
die
Ände ung
de
Gewinne
-
on
de
Wachs ums a e
des
Volkseinkom-
mens
ab,
zum
Teil
jedoch
nach
wie
o
on
de
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks.
Die
Bindung
de
En wicklung
des
Fak o einkommens
an
die
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks
-
eine
wesen liche
Eigenscha
des
dis-
agg egie en
Modells -
bes eh
also
ü
das
Zinseinkommen
und
ü
einen
Teil
des
Lohneinkommens
nach
wie
o .
2.
Dahe
gil
auch
je z ,
daß
die
Zunahme
de
E spa nis
nich
wie
im
üblichen
Mul iplika o -
und
Wachs umsmodell
allein
on
de
Zunahme
des
Volkseinkommens,
sonde n
auch
on
de
Zunahme
des
Kapi als ocks
(d. h.
den
lau enden
In es i ionen)
abhäng .
Aus
dem
Beziehungssys em
mi
Ausnahme
on
(8)
olg
(1
1')
dS
=
[(1
-cG) (E + aAP) -
(cL
-cG)
L]
E+aAP
-
dE
a1
(CL
-
CG)
L + i
(Cz
-
CG)
(E
+ aAP)
-I
E+aAP
Die
"ma ginale
Spa neigung
im
üblichen
Sinne"
(=~)
is
je z
nich
meh
(1
-cG)
(E
+ aAP) -
(cL
-cG) L
(1
-cG),
sonde n
E +
aAP
.
Das
lieg
da an,
daß
je z
auch
die
Ände ung
des
Lohneinkommens
on
de
Ände ung
des
Volkseinkommens
mi bes imm
wi d.
Aus
(1)
und
(2)
e gib
sich
dS
=
(1
-cG)
dE
-
(cL
-cG)
dL
-
(cz
-cG)
dZ
und,
mi
(33)
und
(5),
(cL
-cG) L
aAP
dK
dS
= (1 -cG)
dE
-E +
aAl?
dE
-
(cL
-cG) L E +
aAP
K
- i
(cz
-cG) I
Da aus
olg
die
Beziehung
(11'). Auch
je z
häng
also
die
Lage
de
Spa unk ion
im
EIS-Koo dina ensys em
on
de
G öße
des
Kapi al-
s ocks ab.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Mul iplika o
und
gleichgewich ige
Wachs ums a e
3.
Fü
die
Ände ung
des
Volkseinkommens
e gib
sich
aus
(1)
bis
(6a)
a (cL
-
cG)
L + i (cz -
cG)
(E
+ aAP)
(12')
dE
= -
--
--
I
(1
-
cG)
(E + aAP) -
(cL
-
cG)
L
E+aAP
71
+
dl-----
-;--_.
(1
-
cG)
(E + aAP) -
(cL
-
cG)
L
Auch
hie
gil
also,
daß
das
Volkseinkommen
auch
dann
s eigen
kann,
wenn
die
In es i ionen
kons an
sind
53
• Die
Zunahme
des
Volkseinkom-
mens
häng
om
Zuwachs
de
In es i ionen
und
on
den
lau enden
In es i ionen
ab.
Die
E klä ung
lieg
auch
hie
im
Um e eilungse ek
de
In es i ionen.
Die
lau enden
In es i ionen
e höhen
das
Fak o einkommen:
Das
Zinsein-
kommen
s eig ,
wenn
die
In es i ionen
posi i
sind,
und
das
Lohneinkom-
men
wächs
gemäß
(33)
eben alls
mi
dem
Kapi als ock.
Bei
gegebenem
Volkseinkommen
geh
diese
Zunahme
de
Fak o einkommen
zu
Las en
de
Gewinne.
So e n
die
Konsumneigung
aus
Lohn-
und
Zinseinkommen
g öße
is
als
die
aus
Gewinn,
olg
aus
diese
Um e eilung
eine
Zunahme
de
Konsumausgaben.
Dahe
s eig
das
Volkseinkommen
auch
bei
Kon-
s anz
de
In es i ionen.
Wegen
de
Bindung
de
Zunahme
des
Zinseinkommens
und
eines
Teils
de
Zunahme
des
Lohneinkommens
an
die
Ve g öße ung
des
Kapi als ocks
exis ie
also
auch
je z
de
Um e eilungse ek
de
lau enden
In es i-
ionen,
de
neben
dem
Einkommense ek
de
zusä zlichen
In es i ionen
die
En wicklung
des
Volkseinkommens
übe
die
Ände ung
de
agg egie -
en
Spa quo e
beein iuß
54
:
, (S) E
dI
( I ) I [
alL.
]
(13) d - - = - 1 - - - -
(cL
-
cG)
+ 1
(Cz
-
CG)
E S I slE SlE E +
aAP
Wenn
die
In es i ionen
kons an
sind,
sink
die
agg egie e
Spa quo e,
da
das
Volkseinkommen
zuguns en
de
Einkommensbeziehe
mi
höhe e
Konsumquo e
um e eil
wi d.
Sind
die
augenblicklichen
lau enden
In e-
s i ionen
gleich Null,
abe
dI
> 0,
s eig
die
agg egie e
Spa quo e,
wenn
I
1 -
-E
> 0
is ;
und
das
is
de
Fall,
wenn
das
Sys em
s abil
und
die
Kon-
sl
sumneigungen
aus
Fak o einkommen
g öße
sind
als
die
aus
Gewinnen.
Das
Volkseinkommen
wi d
zuguns en
de
Gewinne,
d. h.
de
Einkommens-
beziehe
mi
übe du chschni liche
Spa quo e,
um e eil .
De
Um e eilungse ek
de
lau enden
In es i ionen
e minde
dahe
die
agg egie e
Spa quo e;
de
Einkommense ek
de
zusä zlichen
In e-
s i ionen
e höh
sie. Zusä zliche
In es i ionsausgaben
e höhen
nich
nu
die
Gewinne,
sonde n
auch
das
Lohneinkommen,
da
die
S eige ung
des
Volkseinkommens
das
Sinken
des
P eisni eaus
e hinde
ode
das
P eis-
ni eau
e höh
und
dami
bei
gegebenem
Zuwachs
des
Kapi als ocks
die
A bei snach age
e g öße .
Bei
gegebenen
zusä zlichen
In es i ionen
is
die
Zunahme
de
Gewinne
jedoch
g öße
als
die
des
Lohneinkommens.
De
Um e eilungse ek
de
lau enden
und
de
Einkommense ek
de
53
De
Nenne
de
beiden
Quo ien en
muß
posi i
sein,
da
das
Sys em
sons
uns abil
wä e.
(1
-
cG)
(E + aAP) -
(CL
-
cG)
L
54
Dabei
is
sl
= E +
aAP
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Zu
mak oökonomischen
Theo ie
des
In es i ionsop imums*
Von
Hans-Jü gen
Vosge au
(Heidelbe g)
I. Ein üh ung
Die
libe ale
Vo s ellung,
daß
die
olkswi scha liche
E spa nis
du ch
die
indi iduellen
eiwilligen
Spa en scheide
eindeu ig
de e minie
sei
und
daß
die sich
ih
anpassende
olkswi scha liche
In es i ion
eine
op imale
G öße e eiche,
so e n
nu
die
indi iduellen
Spa en -
scheide
op imal
im
Sinne
eine
indi iduellen
Nu zenmaximie ung
e -
olg en, diese
Vo s ellung
ha
de
Reali ä
noch
nie
en sp ochen.
Sie
wa
un ich ig
ü
das
19.
Jah hunde ,
weil
auch
damals
schon die
gesam wi scha liche
Ne oin es i ion
nich
nu
aus
eiwilligen
in-
di iduellen
E spa nissen,
sonde n
g oßen eils
aus
Un e nehmungs-
e spa nissen
inanzie
wu de.
Sie
is
wei e
deswegen unbe iedigend,
weil
in
lang is ige
Be ach ung
wegen
des Vo liegens
ex e ne
E ek e
das
gesellscha liche
Wel a emaximum
nich
ohne
wei e es
aus
den
indi iduellen
Nu zenmaxima
ablei ba
is .
Und
sie
is
heu e
a
o io i
unhal ba ,
weil
ein
zunehmende
An eil
de
olkswi scha lichen
E -
spa nis
und
In es i ion
on
de
ö en lichen
Hand
kon ollie
wi d
und
dami
de
Ma k s eue ung
en zogen is .
Die Suche nach
eine
op imalen
olkswi scha lichen
In es i ions-
quo e
is
also
nich
nu
on
heo e ischem,
sonde n
auch
on
e heb-
lichem wi scha spoli ischen In e esse.
Wenn
man
auch noch nich
be-
haup en
kann,
daß
die
in
den
le z en
Jah en
s a k
anschwellende Dis-
kussion
übe
dieses
P oblem
schon
zu
p ak isch
anwendba en
Resul a-
en
ge üh
habe, so
is
doch nich
zu
leugnen,
daß
gewisse
Fo sch i e
zumindes
in
de
heo e ischen
Du chd ingung
des
P oblems
e ziel
wo den
sind.
Im
olgenden
Bei ag
we den
die
beiden
haup sächlichen
Ansä ze
zu
Lösung des
P oblems
de
op imalen
In es i ionsquo e
o -
ge üh
und
eine
neua ige
Ve knüp ung
zwischen
beiden
he ges ell .
* De o liegende Bei ag, de als Re e a wäh end de Si zung des
Theo e ischen Ausschusses am
2.
Mai
1964
in Haus Ahlenbe g bei Do mund
o ge agen wu de, is eine au die Haup gedanken komp imie e Zusam-
men assung eine A bei des Ve asse s, die un e dem Ti el
"übe
op imales
wi scha liches Wachs um. Ein Bei ag zu mak oökonomischen Theo ie des
In es i ionsop imums" o ku zem in de Reihe de Lis -Gesellscha e schie-
nen is . Den Teilnehme n an de Si zung des Theo e ischen Ausschusses is
de Ve asse ü eine Reihe on An egungen zu Dank e p lich e .
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80
Hans-Jü gen Vosge au
Zunächs
sind
zwei
Vo agen
zu
klä en.
Die
eine
bezieh
sich
au
die
Wahl
des
Op imie ungsk i e iums,
die
ande e
au
die
Abg enzung
zwischen
denjenigen
das Wachs um
bes immenden
Fak o en,
welche
de
Op imie ung
un e wo en
und
denjenigen, welche
als
exogen
be-
handel
we den
sollen.
1. Die zu
op imie enden
(endogenen)
Fak o en
Die
le z e e
F age,
welche
zue s
geklä
we den
soll,
s ell
sich des-
wegen,
weil
die In es i ion,
und
dami
das Wachs um des
P oduk ions-
ak o s
Realkapi al,
nu
eine
on
meh e en
De e minan en
des Sozial-
p oduk wachs ums
is . Die
d ei
ande en,
die
ebenso
wie
das
Kapi al
als
homogen gedach e
Agg ega e
behandel
we den
sollen, seien als
A bei ,
Boden
sowie echnisches (und o ganisa o isches)
Ni eau
bezeich-
ne .
Du ch
die
G öße diese
Fak o en
wi d
ia
olkswi scha liche
P oduk ions unk ion
in
jedem
Zei punk
die Höhe des
Sozialp oduk s
bes imm ,
so e n
man
die
-Vollbeschä igung
alle
Fak o en
ga an-
ie ende
-neo klassische
Bedingung
ein üh ,
daß
sich die Nach age
dem
Angebo
anpasse,
man
also die
Gül igkei
des Sayschen Gese zes
un e s ell .
Das
Wachs um des
Sozialp oduk s
e gib
sich
dann
bei
ge-
gebene
P oduk ions unk ion
aus
dem
Wachs um
jedes
de
ie
Fak o-
en. Will
man
ein
op imales Wachs um ablei en, so
muß
geklä
we -
den, welche
de
Fak o en
hinsich lich
ih e
Zuwachs a e
de
Op imie-
ung
un e wo en
we den
sollen.
Das
is
eine
F age
de
G enzziehung
zwischen
exogenen
und
endogenen Va iablen, die ganz nach
analy ische
Zweckmäßigkei
o zunehmen
is .
Dabei
is
zu be ücksich igen,
daß
die
Behandlung
de
Zawachs a e
eines
Fak o s
als
endogene
Va iable
o ausse z ,
daß
sie
aus
ande en
Va iablen
des
Sys ems
e klä
we den
kann,
d. h.
mi
diesen
unk ional
e knüp
we den
muß.
In
einem
ökonomischen Modell
heiß
das,
daß
die
en sp echende
Zuwachs a e
ökonomisch
e klä
we den
muß.
Von
den
ie
e wähn en
Fak o en
is
es
o
allem
das
Kapi al
und
seine Zuwachs a e,
au
die sich die ökonomische, d. h. endogene
E klä-
ung
in
de
Wachs ums heo ie besch änk . Die
Klassike
haben
da übe
hinaus
das
Be ölke ungs-
bzw.
A bei sk ä ewachs um
ökonomisch
e -
klä ,
und
neue dings
bemüh
man
sich auch
um
eine
ökonomischE
Theo ie
des echnischen Fo sch i s.
De
Fak o
Boden
wi d
dagegen
du chgehend
als exogen gegeben
und
soga
kons an
angenommen,
was
ealis isch is ,
so e n
man
seine
Ve besse ungen
(E schließung
on
Bodenschä zen, usw.)
dem
echnischen
Fo sch i
zuo dne .
Im
olgen-
den
Modell
we den
alle
Fak o en
und
ih e
Zuwachs a en
auße
dem
Kapi al
als
exogen
bes imm
angenommen. Die exogene
Behandlung
on
Boden
und
A bei
dü e
e e ba
sein.
Daß
auch
de
echnische
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Zu
mak oökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
81
Fo sch i
als
exogen
bes imm
angenommen
wi d,
is
dagegen
eine
Schwäche
des
Modells.
Die
F age
nach
dem
op imalen
Sozialp oduk -
wachs um
eduzie
sich
dami
au
die
nach
dem
op imalen
Kapi al-
wachs um
ode
de
op imalen
In es i ion.
2.
Die
Op imiemngsk i e ien
Bis
o
wenigen
Jah en
wu de
on
allen
Ökonomen,
die
sich
mi
de
F age
de
op imalen
In es i ion
bzw.
de
op imalen
E spa nis
beschä -
ig
haben,
die
Maximie ung
eine
Nu zen-
ode
Wel a e-Funk ion
als
Pos ula
zug undegeleg l.
Un e
de
Vo ausse zung,
daß
nu
de
gleich-
zei ige
olkswi scha liche
Konsum
den
gesellscha lichen
Wel a e
eine
Pe iode
bes imm ,
läß
sich
das
P oblem
dann
wie
olg
o mu-
lie en:
Die
In es i ion
bzw.
E spa nis
als
de
dem
Konsum
en zogene
Teil
des
Sozialp oduk s
is
in
jede
Pe iode
so
zu
bes immen,
daß
die
Summe
bzw.
das
In eg al
alle
Pe iodenkonsumnu zen
übe
einen
bes imm en
(endlichen
ode
unendlichen)
Zei aum
ein
Maximum
wi d.
Das
is
de
Ansa z
on
Ramsey2,
de
spä e
on
Meade
3, S one4,
Tinbe gen',
Good-
win
6,
Black
7
und
Chak a a
y8
wei e ge üh
wu de.
E
se z
nich
nu
eine
ka dinale
gesellscha liche
Wel a e unk ion
o aus,
sonde n
übe -
dies
bes imm e
Eigenscha en
diese
und
'ode
de
P oduk ions unk ion
ode
abe
die
exogene
Ein üh ung
bes imm e
Endbedingungen.
Das
P oblem
diese
Endbedingungen
wa
bishe
nich
be iedigend
geklä .
Da übe
wi d
noch
meh
zu
sagen
sein.
1 Mi
de
Ausnahme on B.
Ho a ,
The Op imum Ra e o In es men ,
Ec.
J1.,
68
(1958),
pp. 747-767.
2 F. P. Ramsey, A Ma hema ical Theo y o Sa ing, Ec.
J1.,
38
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pp.
543
o
559.
3
J.
E.
Meade, The Theo y o In e na ional Economic Policy
Vo1.
II:
T ade
and Wel a e,
und
Ma hema ical Supplemen hie zu, beide London-New Yo k-
To on o
1955.
4 R. S one,
Mise y
and
Bliss:
A Compa ison o
he
E iec s o Ce ain Fo ms
o Sa ing Beha iou on
he
S anda d
o Li ing o a G owing Communi y,
Economia In e nazionale, 8
(1955),
pp.
3-24
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Economic G ow h, in: Logic, Me hodology and Philosophy o Science:
P oceedings o
he
1960
In e na ional Cong ess, S an o d Uni . P ess
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H sg. on Nagel, Suppes
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Ta ski, pp. 494-506.
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U ili y Maximiza ion o e Time, Econo-
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-de selbe
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24
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6
R.
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Goodwin,
The Op imal G ow h
Pa h
o
an
Unde de eloped Eco-
nomy, Ec.
J1.
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7 J.
Black,
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Ramsey wi hou Tea s,
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Op imal Sa ings wi h Fini e Planning Ho izon,
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Op imum
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6
Sch i en
d.
Ve eins
.
Soclalpoll lk
42
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
82
Hans-Jü gen Vosge au
Vo
e wa
d ei
Jah en
is
nun
ein
ande es
Op imie ungsk i e ium
einge üh
wo den,
und
zwa
unabhängig
on
Phel
ps
9,
Meade
10
und
.
Weizsäcke
11•
Es
un e scheide
sich
in
zwei ache
Hinsich
om
Wel-
a emaximie ungspos ula .
Einmal
nämlich
soll
nun
ans elle
des
Kon-
sumnu zens
de
Konsum
selbs
maximie
we den.
Zum
zwei en
abe ,
und
das
is
noch
wesen lich
wich ige ,
wi d
nun
nich
meh
die
Summe
bzw.
das
In eg al
übe
den
Konsum
ode
Nu zen
meh e e
Pe ioden,
sonde n
ielmeh
de
Konsum
in
jedem
Zei punk
maximie ,
alle -
dings
un e
de
Einsch änkung,
daß
die
Wachs ums a e
on
Kapi al
und
Einkommen
kons an
sei,
eine
Einsch änkung,
die
die
Fo de ung
nach
lang is ige
Konsummaximie ung
beinhal e .
De
Vo eil
dieses
Ansa zes
bes eh
da in,
daß
1.
keine
Wel a e-Funk ion
meh
nö ig
is
und
2.
ein
P oblem
de
Endbedingung
bzw.
des
Zei ho izon es
nich
meh
au auch .
Alle dings
ha
e
auch
Nach eile,
wie
noch
zu
zeigen
sein
wi d.
Ziel
und
Zweck
de
olgenden
Beme kungen
is
de
Nachweis,
daß
enge
Beziehungen
zwischen
beiden
Ansä zen
bes ehen,
ja,
daß
sie
sich
so glücklich
gegensei ig
e gänzen,
daß
die
Mängel
des
einen
du ch
die
Vo eile
des
jeweils
ande en
behoben
we den.
De
op imale
Wachs umsp ad,
de
sich
aus
dem
zwei en
Ansa z
e -
gib ,
is
nämlich
ein
Sonde all
des
e s en,
äl e en
Ansa zes
de
Wel a e-
maximie ung.
Seine
Besonde hei
üh
dahe ,
daß
seine
Wachs ums-
a e
kons an
is ,
weswegen
e
hie
als
op imale
Gleichgewich sp ad
bezeichne
wi d.
E
is
in
manche
Hinsich
ein ache
zu
handhaben
als
de
allgemeine e
op imale
Wachs umsp ad
mi
a iable
Wachs ums-
a e,
de
sich
aus
de
Bedingung
de
Wel a emaximie ung
e gib .
Das
bes ä ig
die
bekann e
Ta sache,
daß
die
Analyse
on
Gleichgewich s-
si ua ionen
ein ache
is
als
die
on
Anpassungs o gängen
-
sie
is
hie
nu
deswegen
nich
so o ensich lich,
weil
das
Gleichgewich
ein
dynamisches
is , d. h.
nich
in
de
Kons anz
de
Va iablen
(Volksein-
kommen,
Kapi al,
Konsum,
In es i ion)
bes eh ,
sonde n
in
de
Kon-
s anz
ih e
Wachs ums a en.
Daß
dem
Gleichgewich ,
auch
dem
dynamischen,
als
solchem
keine
no ma i e
Bedeu ung
zukomm ,
sei
besonde s
be on .
Wenn
es
in
i gendeinem
Sinne
op imal
sein
soll, so
is
das
unabhängig
on
seine
G
leichgewich seigenscha
nachzuweisen.
Be o
die
Ab eilung
des
op imalen
Gleichgewich sp ades
in
Ang i
genommen
wi d,
seien
die
Vo ausse zungen
des
zu
en wickelnden
Mo-
9
E.
Phelps, The Golden Rule o Capi al Accumula ion: A Fable o
G ow hmen, Am. Ec. Re iew
51
(1961), pp.
638-643.
10
J.
E.
Meade: A Neo-Classical Theo y o Economic G ow h,
2.
Au l.,
London 1962.
11
C.
C.
.
Weizsäcke , Wachs um, Zins und op imale In es i ionsquo e,
Basel-Tübingen 1962.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Zu mak oökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
83
delIs
zusammenges ell ;
sie
behal en
ih e
Gül igkei
auch
ü
das
spä e
zu
behandelnde
Modell
de
Wel a emaximie ung.
3.
Die Modell o ausse zungen
Es
wi d
eine
geschlossene
Wi scha
zug undegeleg .
De
S aa
mi
Einnahmen
und
Ausgaben
e schein
nich
explizi , doch
mag
man
sich
s aa lichen
Konsum
und
s aa liche
In es i ion
in
den
gesam wi scha -
lichen
G ößen
C
und
I
en hal en
denken.
Die
Analyse
is
hochagg egie
(es
gib
nu
ein
P oduk
und
d ei
P oduk ions ak o en)
und
au
Real-
g ößen
besch änk ;
P eis ela ionen
und
P eisni eau
we den
als
kon-
s an
o ausgese z .
Die
P oduk ions ak o en
seien
jede zei
ollbeschä -
ig ,
das
Gleichgewich zwischen
In es i ion
und
E spa nis
sei
jede zei
ealisie .
Es
wi d
eine
gesam wi scha liche
P oduk ions unk ion
om
e wei e en
Cobb-Douglas-Typ
angenommen,
d.
h.
die
Fak o en
seien
(mi
de
Subs i u ionselas izi ä
1)
kon inuie lich
subs i uie ba .
11.
De op imale Gleichgewich sp ad
1. Die mak oökonomische
P oduk ionsjunk ion
Die
P oduk ions unk ion
lau e
(2.1.1)
alle
Va iablen
seien
kon inuie liche
Funk ionen
de
Zei
( ).
Im
einzel-
nen
bedeu en
Y = Ne osozialp oduk
T = Technisches Ni eau
R = Raumauss a ung, insbesonde e G und
und
Boden
A = A bei seinsa z (in S unden)
K = Realkapi albes and
Die
P oduk ionselas izi ä en
,
a
und
ß
seien
jede
ü
sich
kons an ,
was
neu alen
echnischen
Fo sch i
im
Sinne
on
Hicks
implizie ,
und
in
ih e
Summe
gleich eins, d. h. es
we den
kons an e
Skalene äge
("cons an
e u ns
o
scale")
angenommen
(a + ß + = 1).
Un e s ell
man
wei e
Kons anz
de
du chschni lichen
A bei szei
h
(A =
h·
E; E =
E we bsbe ölke ung),
so
läß
sich
die
P oduk ions unk-
ion
in
Je-Kop -G ößen
sch eiben:
(2.1.2) Y
R
K,8
Y = E =
T·
ha
(E)
.
(E")
6·
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84 Hans-Jü gen Vosge au
Bezüglich
des
Wachs ums
de
exogenen
(zei abhängigen)
P oduk ions-
ak o en
we den
olgende
Annahmen
gemach :
(2.1.3) a) R = Ro
b)
E = Eo e wE
(wE
= cons .)
c)
T = To e
wT
(wT
= cons .)
Die
P oduk ion
je
E we bs ä igen
(P oduk i i ä )
is
dann
(2.1.4)
wo in
bedeu en
(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
WF
=wT
-YWE
k=K
E
An angswe des echnischen Ni eaus un e Be-
ücksich igung de A bei szei und de an äng-
lichen Raumauss a ung je Kop .
Ra e des echnischen Ne o-Fo sch i s
Kapi al je E we bs ä igen (Kapi alin ensi ä )
In
allgemeine
Sch eibweise
is
also
die
P oduk i i ä
eine
Funk ion
de
Kapi alin ensi ä
und
de
Zei :
(2.1.8) y =
y(k,
)
2.
Die
gleichgewich ige (kons an e) Wachs ums a e
Du ch
Di e en ia ion
on
(2.1.8)
nach
de
Zei
e häl
man
die
P o-
duk ions unk ion,
ausged ück
in
Wachs ums a en
(2.2.1) i =
ay
~
k +
ay
-.!.
y ak y k
a
y
ode
(2.2.2)
wo in
bedeu en
y
wy= y
k
Wk="k
Wachs ums a e de P oduk i i ä
Wachs ums a e de Kapi alin ensi ä
~~
~
=
J
= cons . P oduk ionselas izi ä des Kapi als
ay
a
Iy
=
wF
= cons . Ra e des Ne o-Fo sch i s
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Zu mak oökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
85
Dami
wy
kons an
is ,
muß
bei Kons anz
on
ß
und
WF
auch
Wk
=
kons an
sein.
Nun
is
abe
(2.2.3)
I
E
E
K E
E E
D. h. die
Zunahme
de
Kapi alin ensi ä
(k)
is
gleich
de
Je-Kop -
In es i ion
(i
=
~),
e minde
um
die
In es i ionen,
die
bei
wachsen-
de
E we bsbe ölke ung
zu
Au ech e hal ung
de
Kapi alin ensi ä
nö ig
sind.
Aus
(2.2.3) olg
(2.2.4) k
k
Füh
man
eine
kons an e
Spa -
bzw.
In es i ionsquo e
0 ein:
(2.2.5) i =
Ö"Y
so
e häl
man
(2.2.6)
Bei
Kons anz
on
0
und
WE
is
Wk
kons an ,
wenn
y
und
k
mi
gleiche
Ra e
wachsen:
(2.2.7)
Se z
man
diese
Bedingung
ü
eine
kons an e
Wachs ums a e
de
P oduk i i ä
in
(2.2.2) ein, so
e gib
sich
ü
die
Gleichgewich swachs-
ums a e
(2.2.8)
Sie
wi d
du ch
den
echnischen
Ne o-Fo sch i
und
die
P oduk ions-
elas izi ä
des
Kapi als
bes imm ,
is
abe
unabhängig
on
de
Spa -
quo e.
3.
De op imale Gleichgewich sp ad
Um
un e
den
gleichgewich igen (du ch
kons an e
Wachs ums a e
cha ak e isie en)
Wachs umsp aden
einen
op imalen
auszuwählen,
wi d
als
Op imumk i e ium
die
Maximie ung
des
Je-Kop -Konsums
in
je-
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86
Hans-Jü gen Vosge au
dem
Zei punk
einge üh .
De
Konsum
is ,
un e
Be ücksich igung
on
(2.2.3)
(2.3.1) e = y - i = y(k,
)
-(l{ +
WE
k)
Wegen
de
Besch änkung
au
kons an e
Wachs ums a en
is
(2.3.2) k =
Wk
k mi
wk
= eons .
Dahe
wi d
aus (2.3.1)
(2.3.3) e = y(k,
)
-
(Wk
+
wE)
k
Die
Bedingungen
ü
Cmax
sind
(Je
(Jy
(2.3.4)
(Jk
=
3k
-
(wk
+
WE)
= 0
und
(2.3.5)
Die
le z e e
Bedingung
(abnehmende
G enzp oduk i i ä
de
Kapi al-
in ensi ä )
is
bei
Zug undelegung
de
Cobb-Douglas-Funk ion (2.1.4)
e üll .
Aus
(2.3.4) olg
(2.3.6)
Du ch
Mul iplika ion
mi
dem
Kapi alkoe izien en
e häl
man
(2.3.7)
3y
k k k k +
wEk
3k
Y = (k + W
E)
y = y y
ode
(2.3.8) ß =
a*
Die
kons an e
In es i ionsquo e
0,
die zu
einem
op imalen
(Konsum
maximie enden)
Wachs um
mi
kons an e
Ra e
üh ,
is
also
de
P o-
duk ionselas izi ä
des
Kapi als
(ß) gleich ( . Weizsäeke s
op imale
In-
es i ionsquo e).
Sie
wi d
kün ig
mi
einem
S e n
(*)
bezeichne .
4.
An angsbedingungen
und
S abili ä
des op imalen Gleiehgewich sp ades
Un e
Ve wendung
de
kons an en
op imalen
In es i ionsquo e
0*
is
die
P oduk i i ä
(2.4.1)
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Zu
mak oökonomischen
Theo ie
des
In es i ionsop imums
87
Se z
man
diesen Ausd uck
in
die
P oduk ions unk ion
(2.1.4) ein, so
e häl
man
eine Di e en ialgleichung
e s e
O dnung
ü
den
op ima-
len
Wachs umsp ad
de
Kapi alin ensi ä :
(2.4.2) .
w
k +
WE
k - ß F 0 e F
kß
= 0
De en
Lösung
lau e ,
wenn
man
die An angsbedingung
aus
de
An-
angskapi alin ensi ä
ko
ü
= 0
bes imm :
(2.4.3)
k=
° e
-e
+k
o e
I F
ß(1-ß)
]
wF
-W
E
(1-
ß
) ]
1-ß-WE(1-ß) l1~ß
wE
(1-
ß)
+
wF
Hie aus
e häl
man
den
olgenden Ausd uck
ü
die Wachs ums a e
de
Kapi alin ensi ä
(2.4.4)
. -
[wE(1
-
ß)
+ wF]
k 1
wF
-
wE(1
-
ß)
. e . N
Wk
= k = 1 - ß . -
wE(1
-ß)
1 + e
·N
ko1-ß
[wE(1
-
ß)
+
wF]
mi
N = F °
ß(l
_
ß)
-1
De
Ausd uck
N,
de
im
Zähle
und
im
Nenne
o komm , e schwin-
de ,
wenn
(2.4.5)
Nu
in
diesem
Fall
is
(2.4.6) •
WF
W k = 1 _ ß = cons .
Das
is
die schon oben (2.2.8) abgelei e e
kons an e
Wachs ums a e,
on
de
hie mi
nachgewiesen is , daß sie
bei
Du chse zung
de
kon-
s an en
op imalen
In es i ionsquo e
a*
= ß
ealisie
wi d, so daß
das
Wachs um
op imal
(den
Je-Kop -Konsum
maximie end)
is
-jedoch
nu
un e
de
Vo ausse zung, daß die Bedingung (2.4.5)
e üll
is .
Hie -
du ch
wi d
eine op imale
An angskapi alin ensi ä
(2.4.7)
k'
= [ F ° ß
(1
-
ß)
11
~
ß
o wE(l -
ß)
+
WF
pos ulie , die du ch die
Pa ame e
de
P oduk ions unk ion
(Fo,
ß)
und
du ch
die exogen gegebenen
Wachs ums a en
(WE,
WF)
eindeu ig
be-
s imm
is .
Dami
is
de
op imale
Gleichgewich sp ad du ch seinen
An-
angspunk
und
seine Wachs ums a e es geleg .
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94
Hans-Jü gen Vosge au
De
Ausd uck (3.1.7)
is
ein
Funk ional:
de
We
on
W
häng
on
de
Ges al
de
zei abhängigen
Funk ion
k( ) ab, die
auße dem
in
ih e
e s en
Ablei ung e schein . No wendige Bedingung
ü
ein
Maximum
on
W
is
die Eule sche Gleichung
(3.1.10)
Sie
üh
im
allgemeinen
Fall
zu
eine
Di e en ialgleichung
zwei e
O dnung
(die
hie
wegen
de
nich linea en
P oduk ions unk ion
nich -
linea
is ), so daß
in
de
Lösung
zwei
In eg a ionskons an e
e scheinen.
Wäh end
die
Bes immung
de
einen
In eg a ionskons an en
aus
de
his o isch gegebenen
An angskapi alin ensi ä
unp oblema isch is ,
e -
geben sich
bei
de
Bes immung
de
zwei en e hebliche Schwie igkei en.
Sie
muß
au
i gendeine
Weise
aus
den
Endbedingungen
(Zei ho izon ,
Endkapi alin ensi ä )
e olgen.
2.
De op imale Gleichgewich sp ad
als
wel a emaximie ende
P ad
De
op imale
Gleichgewich sp ad
wu de
aus
de
Bedingung abge-
lei e , daß
in
jedem
Zei punk
das
Maximum
des
Je-Kop -Konsums
ealisie
sein solle.
Dami
is
auch
de
gleichzei ige
Je-Kop -Nu zen
maximal,
so e n
die
Nu zen unk ion
kein
Maximum
ha .
Maximale
gleichzei ige
Je-Kop -Nu zen
jedoch
üh
zu
einem
Maximum
des
gesellscha lichen Wel a e als
dem
In eg al
alle
Nu zen,
so e n
die
Diskon unk ion
nich e schwinde ,
was
lau
Annahme
(3.1.3)
bei
end-
lichem
de
Fall
is .
Un e
diesen Vo ausse zungen is
de
op imale
Gleichgewich sp ad also
ein
den
Wel a e
maximie ende
P ad.
Ma hema isch
sind
die Gleichgewich sp ade
du ch
(3.2.1) mi
wk
= cons .
gekennzeichne .
Dami
wi d
aus
(3.1.7)
(3.2.2) W = J
Q'
(k, )
d
o
mi
(3.2.3)
Die
Eule -Gleichullg
eduzie
sich
zu
(3.2.4)
aQ'
äk=O
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Zu mak oökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
95
und
e gib
(3.2.5)
Sie
is
e üll ,
wenn
de
Klamme ausd uck
e schwinde ,
da
die
ande-
en
Komponen en
lau
Vo ausse zung posi i sind.
Man
e häl
also
als
Bedingung
ü
das
Maximum
des Wel
a e
bei Besch änkung au
kons an e Wachs ums a en
den
schon oben
aus
dem
Konsummaximie-
ungspos ula
abgelei e en Ausd uck
(2.3.6)
ay
ak
=
Wk
+
WE
aus
dem
de
op imale Gleichgewich sp ad abgelei e
wu de.
Du ch
Besch änkung
au
kons an e
Wachs ums a en
eduzie
sich die
Eule -
Gleichung
au
eine
Di e en ialgleichung
e s e
O dnung
mi
de
Konsequenz,
daß
nu
eine
In eg a ionskons an e
zu
bes immen
is
-
und
das
is
unp oblema isch.
Da
abe
eine
kons an e
Wachs ums a e
nu
bei
E üllung
de
An-
angsbedingung (2.4.7)
zu
op imalem
Wachs um
üh ,
is
die
Be-
sch änkung
au
gleichgewich iges Wachs um
nu
in
diesem
Falle
ge-
ech e ig .
Im
allgemeinen
Fall
müssen
a iable
Wachs ums a en
zugelassen
we den.
Dami
s ell
sich das
P oblem
de
Bes immung
de
zwei en
In eg a ionskons an en
aus
den
Endbedingungen.
3.
Die Bedingungen ü die Exis enz eines Maximums
des Wel a e-In eg als
Das
Wel a e-In eg al
(3.1.5) W =
<I>
(c,
)
d
o
kann
mi
endlichem Zei ho izon ( < (0)
ode
mi
unendlichem
Zei -
ho izon
( =
co)
au ges ell
we den.
a)
Unendliche Zei ho izon ( = (0)
In
diesem
Fall
is
Wein
uneigen liches
In eg al,
das
ein
Maximum
nu
dann
haben
kann,
wenn
de
In eg and
gegen Null kon e gie .
Hie zu
is
en wede
e o de lich, daß
de
diskon ie e
gesellscha liche
Nu zen
<I>
nach
Du chlau en
eines
Maximums
absolu absink
ode abe ,
daß
de Je-Kop -Konsum
c
ein
Maximum
au weis
und
danach abnimm .
Di.e
e s e
Bedingung
is
nu
e üll ,
wenn
die
Funk ion
des gleich-
zei igen Nu zens jensei s eines
Maximums
("bliss")
nega i e
G enz-
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96
Hans-Jü gen
Vosge au
nu zen
au weis .
Eine
solche Nu zen unk ion, die
on
Ramsey
und
ande en
e wende
wu de,
dü e
abe
nich
seh
ealis isch sein.
Auch die
häu ig
e e ene
Ansich , eine posi i e
Nu zendiskon a e
bewi ke
nach
genügend
lange
Zei
ein
Absinken des gesellscha lichen
Wel a e, i ,
wie
Chak a a
y
14
nachgewiesen ha ,
nu
bei
Diskon -
a en
zu, die
eine
bes imm e
Höhe übe sch ei en, so daß auch diese
Weg
ü
eine
gene elle
Lösung ausscheide .
Wenn
de
G enznu zen
posi i bleib ,
kann
de
In eg and
<I>
in
(3.1.5)
absinken, alls
de
Je-Kop -Konsum
c nach
Du chlau en
eines
Maximums
ge inge
wi d.
Das
is
möglich,
wenn
die
P oduk ions-
unk ion
ein
Maximum
au weis ,
ein
Fall,
de
schon
on
Ramsey
e wähn
und
on
Meade als Kapi alübe iuß ("capi al glu ") bezeichne
wu de,
de
jedoch
heu e
meis
ausgeschlossen wi d.
Ein
Maximum
des
Je-Kop -Konsums
is
abe
auch möglich,
wenn
die
P oduk ions
unk-
ion
kein
Maximum
ha ,
so e n
nu
die
G enzp oduk i i ä
des
Kapi-
als
abnimm ,
und
zwa
un e
den
Bedingungen
des oben
disku ie en
op imalen
Gleichgewich sp ades.
Falls
diese Bedingungen, insbesonde e
die Realisie ung
de
op imalen
An angskapi alin ensi ä , nich
e üll
sind,
e sag
auch diese Weg, ein
Maximum
on
W
zu
bes immen.
b) Endliche Zei ho izon
( <
(0)
Wenn
die Vo ausse zungen
un e
(a)
nich o liegen,
kann
Wein
Maximum
nu
bei endlichem Zei ho izon haben.
Zu
Bes immung
de
zwei en
In eg a ionskons an en
in
de
Lösung
de
Eule -Gleichung
sind
dann
abe
exogene
Annahmen
übe
den
Zei ho izon
und
die
Endkapi alin ensi ä
no wendig. Diesen Weg
haben
Goodwin15
und
Chak a a
y16 besch i en.
Um
die
hie mi
e bundene
Willkü
zu
e meiden,
we den
wi
die
Endkapi alin ensi ä
und
den
Zei ho izon
aus
dem
op imalen
Gleich-
gewich sp ad bes immen. Aus
dem
Va ia ionsp oblem
mi
es en
Rän-
de n
wi d
dami
ein
solches zwischen einem
An angspunk
und
eine
Zielku e.
4.
De
op imale
Anpassungspjad
Wenn
es zu i , daß
das
Wel
a e-In eg al
(3.1.5)
bei
Zug unde-
legung
plausible
Annahmen
übe
die
P oduk ions unk ion
(posi i e,
abe
abnehmende
Kapi alg enzp oduk i i ä )
und
die Nu zen unk io ..
(posi i e
und
abnehmende
G enznu zen)
ein
Maximum
nu
bei
end-
14
S.Chak a a y,
Op imal
Sa ings
wi h
Fini e
Planning
Ho izon,
In e na .
Econ. Re iew, 3
(1962),
pp.
338-355.
15 R.
M.
Goodwin, op. ci .
16 S.
Chak a a y,
Op imal
Sa ings
wi h
Fini e
Planning
Ho izon, a.a.O.
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Zu mak o ökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
97
lichem
Zei ho izon
haben
kann,
wenn
wei e
die
Bedingungen
des
op imalen
Gleichgewich sp ades
wegen
Vo liegens
eine
nich
op imalen
An angskapi alin ensi ä
nich
e üll
sind, so
läß
sich
ein
op imale ,
den
gesellscha lichen
Wel a e
maximie ende
Wachs umsp ad,
de
on
einem
beliebigen
An angspunk
seinen
Ausgang
nimm ,
nu
ablei en,
wenn
de
Endpunk
o gegeben
is .
Diese
Endpunk
wi d
bes imm
du ch
den
Zei ho izon
( =
)
und
die
Endkapi alin ensi ä
k
in
diesem
Zei punk .
Will
man
diese
Endbedingungen
nich
exogen,
und
dami
willkü lich
o geben, so
kann
man
sie
in
de
Weise bes immen,
daß
man
den
Endpunk
( ,
k )
au
dem
op imalen
Gleichgewich sp ad such ,
denn
diese
is
ja
du ch
die
Pa ame e
des
Sys ems
eindeu ig
bes imm .
Die
zug undeliegende
Übe legung
bes eh
da in,
daß
es
ü
eine
Wi scha
o eilha
sei,
i gendwann
den
op imalen
Gleichgewich sp ad
zu
e -
eichen,
weil
es
keinen
lang is ig
besse en
Wachs umsp ad gib .
De
op imale
Anpassungsp ad
on
eine
beliebigen (nich op imalen)
An angskapi alin ensi ä
zu
einem
( o läu ig noch nich ixie en)
Punk
au
dem
op imalen
Gleichgewich sp ad muß,
wenn
e
den
gesellscha lichen
Wel a e
maximie en
soll,
de
Eule -Gleichung
(3.1.10)
genügen. Diese
üh ,
un e
Be ücksich igung
on
(3.1.9) zu olgende
nich linea e
Di e en ialgleichung
zwei e
O dnung:
(3.4.1)
i{
+
(VWE
+
(J)
k -
(1
+
)
ß F kP-1 k +
(JwEk
-
( wF
+
ßWE
+
(J)
Fk
P -eß
Fk
P-1 + ß F2 k
2P
-1 +
(Je
= 0
mi
(3
.
4.2)
Die Gleichung (3.4.1)
is
in
geschlossene
Fo m
nich
in eg ie ba .
Sie
wu de
dahe
nume isch gelös (nach
dem
Ve ah en
on
Runge
und
Ku a,
au
de
elek onischen Rechenmaschine "Siemens 2002" des
As onomischen
Rechenins i u s
de
Uni e si ä
Heidelbe g).
Von
den
beiden
In eg a ionskons an en
wu de
die eine aus
de
An angskapi alin ensi ä
ko
ü
= 0
bes imm .
Die zwei e, nämlich
ko =
::0
,
läß
sich
im
o liegenden
Fall,
da
keine
geschlossene Lösung
möglich is ,
nich
aus
den
Endbedingungen
bes immen.
Dahe
wu de
die
An angss eigung
ko so
lange
a iie ,
bis
de
Lösungsp ad
den
gegebenen
Zielp ad
(op imalen Gleichgewich sp ad)
an
i gend
eine
S elle
ge ade
angie e.
Aus
de
so
ge undenen
An angss eigung
wu de
die
zwei e
In eg a ionskons an e
bes imm :
de
op imale
An-
passungsp ad
on
eine
beliebigen
An angskapi alin ensi ä
bis
zu
de
7
Sch i en
d.
Ve eins
.
Soclalpol1 1k
42
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98
Hans-Jü gen Vosge au
au
dem
op imalen
Gleichgewich sp ad
im
Zei ho izon
=
liegenden
Endkapi alin ensi ä
is
dami
bes imm .
Die olgende
Da s ellung
(Fig.4) möge
zu
Ve anschaulichung des
Ve ah ens
dienen.
k
400
200
o
k - k·
___
I'::._l_.
_________ .
____
••
-/----.-.
- .
/'
gesuch e op imale
Anpassungsp ad
10
20
Figu 4
3
-
•
k·-
k~
e
Wk
op imale
" Gleichgewich s-
p ad
In
de
Fo de ung,
de
Anpassungsp ad
solle
den
op imalen
Gleich-
gewich sp ad
ge ade
angie en
(und nich
e wa
schneiden),
die
zu
Bes immung
de
zwei en
In eg a ionskons an en
no wendig
is ,
s ecken zwei Vo ausse zungen:
Einmal
wi d
ge o de ,
daß
im
Zei -
ho izon
die
Kapi alin ensi ä
des Anpassungsp ades gleich
de
des
op imalen
Gleichgewich sp ades sei (k =
k;);
das
is
einleuch end
und
nich
wei e
p oblema isch.
Die
zwei e
Vo ausse zung
beinhal e
die
Fo de ung,
daß
im
Zei ho izon
die
S eigungen,
und
dami
auch die
Wachs ums a en,
de
beiden
P ade
gleich
sein
sollen (wk, =
w~).
Sie
is
nich
ganz
so
unp oblema isch
wie
die
e s e, doch
läß
sie sich
plau-
sibel machen,
wenn
man
bedenk ,
wie iel
o eilha e
allmähliche
Ände ungen
de
Wachs ums a en
sind
als
ab up e,
wie
sie
bei
einem
Schneiden
de
beiden
P ade
no wendig
wä en.
Denn
bei
allmähliche
Ände ung
de
Wachs ums a e
we den
die
e o de lichen
Ums ellungen
de
Wi scha ss uk u
(Ve ände ung
des An eils
de
In es i ions-
gü e indus ie)
wesen lich
e leich e
und
die
hie mi
einhe gehenden
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Zu mak oökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
99
F ik ionen
abgeschwäch ,
weil
sie sich
au
länge e
Zei äume
e eilen
können.
In
Tabelle
1
sind
die
Zei p ade
einige
wich ige
G ößen
ü
den
op imalen
Gleichgewich sp ad
und
den
op imalen
Anpassungsp ad
zusammenges ell ,
und
zwa
ü
bes imm e
We e
de
in
(3.4.1) bzw.
(3.4.2) e scheinenden
Pa ame e .
J
= 0,2
i' =
0,1
0
5
10
15
20
25
30
Tabelle
1
Op imale
Gleichgewich sp ade
und
op imale
Anpassungsp ade
Fo = 10
ko = 100
WE
= 0,01
wT
= 0,01
k*
I k Y
293,13 100,00 25,13
310,09 171,39 29,27
328,04 236,50 32,66
347,02 293,93 35,67
367,10 342,74 38,47
388,34 382,06 41,12
410,85 410,85 43,64
= 0,5
e
=0
I c
9,39
13,86
18,00
22,08
26,20
30,43
3-1,91
c=o
a(%)
62,62
52,71
44,87
38,10
31,90
25,96
20,00
y:=
31,15
c:
= 24,92
wF
= 0,009
wk(%)
14,73
8,00
5,20
3,62
2,58
1,79
1,125 =
w~
Un e
Zug undelegung
de
angenommenen
Pa ame e we e
benö ig
also
eine
Volkswi scha ,
de en
An angskapi alin ensi ä
und
ein
D i el
de
op imalen
be äg ,
30
Jah e,
bis sie
den
op imalen
Gleich-
gewich sp ad
e eich
ha .
De
P eis
ü
diese
ela i
schnelle
Anpas-
sung
is
eine
zu
Beginn
mi
übe
60
%
ex em
hohe
Spa -
und
In es i-
ionsquo e, die
nu
allmählich
ab
sink
und
im
Zei ho izon
die
op imale
kons an e
Spa quo e
on
20 % e eich .
Die un ealis isch
hohe
An angsspa quo e
is
ein
Cha ak e is ikum
alle
bishe
au ges ell en
Wel a emaximie ungsmodelle
des
op imalen
Wachs ums.
Sie
olg
aus
den
Annahmen
übe
die
P oduk ions-
und
übe
die
Nu zen unk ion:
Wegen
de
hohen
P oduk i i ä
gegenwä i-
ge
In es i ionen
is
es "op imal",
wenn
die
heu e
lebenden
A men
einen
hohen
An eil
ih es
ge ingen
Einkommens
spa en,
dami
die
kün -
igen
Reichen
meh
konsumie en
können.
Dieses
E gebnis
wi d
quali a i
kaum
beein luß ,
wenn
man
ande e
Pa ame e we e
ein üh 11• Von
nennenswe e
Wi kung
sind
lediglich
11
Die E gebnisse e schiedene Pa ame e a ia ionen sind in de e wähn-
en A bei des Ve asse s
"übe
op imales wi scha liches Wachs um" zusam-
menges ell .
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10U
Hans-Jü gen
Vosge au
Va ia ionen
de
s a egischen
Pa ame e
de
beiden
g undlegenden
Funk ionen,
nämlich
de
G enznu zenelas izi ä
und
de
P oduk ions-
elas izi ä
p.
Die
Wi kungen
e schiedene
G enznu zenelas izi ä en
au
den
op i-
malen
Anpassungs o gang
sind
in
Tabelle
2 zusammenges ell .
Tabelle
2
Die op imale Anpassung bei e schiedenen Elas izi ä en des G enznu zens
0,5
1,0
1,5
ß=0,2
Fo=
10
Yo= 25,13
(1=0
=
0,1
ko = 100
k:
= 452,34 c = °
WE
= 0,01
wT = 0,005
Co
00
7,34
0,71
11,34
0,55
14,06
0,44
WF
= 0,004
wk. 0 I
0,17
0,13
0,10
40
54
72
Wk.
=
w~
= 0,005
o
=
0*
= 0,2
I k =
k;
Y
=
Y;
552,45
41,49
592,53
44,50
648,36
48,70
c = c;
33,19
35,87
38,94
Ein
g öße es
absolu es
bedeu e ,
da
es
nega i
is ,
s ä ke es
Ab-
sinken
des
G enznu zens
bei
wachsendem Konsum.
Da
c
im
Zei ablau
s eig ,
we den
die
spä e en,
d. h.
höhe en
Konsum olumina
ge inge ,
bzw.
die
heu igen
nied ige en
c
höhe
bewe e .
Die
op imale
(das
Nu zenin eg al
maximie ende)
E spa nis
is
also des o
ge inge ,
je
höhe
die
G enznu zenelas izi ä
V18•
De
Anpassungsp ozeß
is
wegen
de
kleine en
An angsspa quo e
(00)
sowie
de
kleine en
spä e en
Spa -
quo en
also
wenige
schme zha ,
da ü
abe
wesen lich
langwie ige :
de
Zei ho izon
lieg
wei e
in
de
Zukun .
Da
sich
de
op imale
Gleichgewich sp ad
du ch
Va ia ion
on
nich
ände ,
wi d
e
bei
höhe em
spä e
und
en sp echend
au
höhe em
Ni eau
e eich .
Dieses
E gebnis
bie e
einen
in e essan en
Ansa zpunk ,
einen
weni-
ge
un ealis ischen
op imalen
Anpassungsp ad
abzulei en.
Wü de
man
nämlich die
G enznu zenelas izi ä
nich
kons an
annehmen,
sonde n
mi
wachsendem
c
sinken
lassen, so
e hiel e
man
an änglich
nied ige
op imale
Spa quo en,
die
bei
wachsendem c
(und
dami
sinkendem
)
allmählich
ans eigen
-
was
seh
iel
" e nün ige "
aussieh . Die
An-
nahme
sinkende
G enznu zenelas izi ä en
bei
zunehmendem
Einkom-
men
wi d
ges ü z
du ch
Angaben
on
Ragna
F isch,
de
We e
on
=
-10
bei
seh
a me
bis =
-0,1
bei
seh
eiche
Be ölke ung
geschä z
ha
l9
•
Da
de
Einbau
eine
mi
c
a iie enden
G enznu zen-
18
Es
wi d
imme
on
den
absolu en
We en
des
nega i en
gesp ochen.
19 R. F isch, A Comple e Scheme
o
Compu ing
all
Di ec
and
C oss
Demand
Elas ici ies
in
a Model
wi h
Many
Sec o s,
Econome ica
27
(1959),
pp.
188-189.
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Zu mak oökonomischen Theo ie des In es i ionsop imums
101
elas izi ä
in
die
Nu zen unk ion
die
ohnehin
schon nich ein achen
Gleichungen e heblich komplizie en
wü de,
wu de
hie au
e zich e .
Wie
eine
solche Modi izie ung
quali a i
wi ken
wü de,
wi d
jedoch
auch
aus
einem
Ve gleich
de
in
Tabelle
2
angegebenen
Cha ak e is ika
e schiedene
Anpassungsp ade,
die
sich
du ch
die
Höhe
ih e
(jeweils
kons an en)
G enznu zenelas izi ä en
un e scheiden, deu lich.
De
Bedeu ung
on
ü
die
Nu zen unk ion
en sp ich
diejenige
de
P oduk ionselas izi ä
ß
ü
die
P oduk ions unk ion.
Die
Wi kun-
gen
eine
Va ia ion
on
ß,
welche sich
im
Un e schied
zu
denen
on
nich
nu
au
den
op imalen
Anpassungsp ad,
sonde n
auch
au
den
op imalen
Gleichgewich sp ad e s ecken,
sind
in
Tabelle
3
zusammen-
ges ell .
ß
0,2
0,3
Tabelle
3
De
op imale
Gleichgewich sp ad
und
die
op imale
Anpassung
bei
e schiedenen
We en
de
P oduk ionselas izi ä
des
Kapi als
y =
0,1
Fo =
10
ko = 100
WT
= 0,01
wE
= 0,01 e=O
wF
= 0,009 = 0,5
c=O
I
k'
0 l Yo I
Co
(}o
wko
lk =k;
Y =
Y;
C =
c;
(} =
o'
Wk =W~
293,13:25,13 9,39 0,63 0,15 30 410,85 43,64 34,91 0,2 0,01125
1 059,301
39,83 5,18 0,87 0,34 39 1749,00 133,45 93,97 0,3 0,01285
Eine
E höhung
de
P oduk ionselas izi ä
des
Kapi als
(ß),
die
bei
Kons anz
de
Skalene äge
eine
Ve inge ung
de
P oduk ionselas i-
zi ä en
de
A bei
(a)
und/ode
des Bodens
(y)
implizie ,
wi d
du ch
kapi albeansp uchenden
echnischen
Fo sch i
bewi k .
Eine
E höhung
on
ß
on
0,2
au
0,3
s eige
die
op imale
An angskapi alin ensi ä
k~
au
meh
als das D ei ache: die
g öße e
Bedeu ung
des
Kapi als
mach
einen
höhe en
Kapi albes and
zu
E eichung
des
Maximalkonsums
in
= ° e o de lich.
De
op imale
Gleichgewich sp ad
beginn
also
au
W
höhe em
Ni eau. Gleichzei ig
s eig
e
asche ,
da
sich
ja
w:
= 1
_F
ß
mi
ß e höh . Die
Anpassung
wi d
also schwie ige
(00
is
g öße )
und
daue
länge
(
lieg
wei e
in
de
Zukun ).
Da ü
wi d
de
op imale
Gleichgewich sp ad
au
höhe em
Ni eau e eich .
Wü de
man
ein
an änglich
ge inges
ß,
das
im
Lau e
des Wachs ums-
p ozesses in olge
kapi albeansp uchenden
echnischen
Fo sch i s
all-
mählich ans eig ,
in
die
P oduk ions unk ion
einbauen, so
e gäben
sich
an änglich nied ige e,
spä e
bei
höhe em
Einkommen
g öße e
op imale
Spa quo en
als
in
den
Modellen
mi
jeweils
kons an em
ß.
Du ch
diese
Modi izie ung, die
wiede um
nich
o melmäßig
du chge üh
wu de,
e hiel
man
wesen lich ealis ische e
op imale
Anpassungsp ade.
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102
Hans-Jü gen
Vosge au
Anhang
Ve zeichnis de wich igs en e wende en Symbole
A = A bei seinsa z,
in
S unden
a =
P oduk ionselas izi ä
de
A bei
ß =
P oduk ionselas izi ä
des
Kapi als
C =
Gesam wi scha liche
Konsum
c =
Konsum
je
E we bs ä igen
c = du chschni liche
Mindes konsum
E =
E we bsbe ölke ung
F = Technische
Ne o-Fo sch i
=
Zei ho izon
<p
=
Diskon ie e
Gesam nu zen
G ( ) = Gesellscha liche
Nu zendiskon unk ion
y =
P oduk ionselas izi ä
de
Raumauss a ung
h = du chschni liche
A bei szei
in
S unden
I =
Gesam wi scha liche
In es i ion
=
In es i ion
je
E we bs ä igen
K = Volkswi scha liche
Kapi albes and
k =
Kapi albes and
je
Kop
de
E we bsbe ölke ung,
Kapi alin ensi ä
R
Raumauss a ung
S
Gesam e spa nis
s
Du chschni se spa nis
(}
du chschni liche
Spa quo e
T Technische
Fo sch i
Zei
U gleichzei ige
Gesam nu zen
u = gleichzei ige
Du chschni snu zen
(je
E we bs ä igen)
=
Elas izi ä
des
G enznu zens
W =
Wel a e:
In eg al
übe
die
Pe iodennu zen
w =
Wachs ums a en
Y = Ne osozialp oduk ,
Gesam einkommen
y =
Einkommen
je
E we bs ä igen,
P oduk i i ä
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Diskussionshei ag
zu
H ..
J.
Vosge au
Zu
mak oökonomischen
Theo ie
des
In es i ionsop imums
Von
Win 1'ied
Vog
(Kiel)
1.
Das P oblem
1.
Als
E gänzung
zu
Theo ie
on
Vosge au
soll
im
olgenden
gezeig
we den,
daß
man
du ch
geeigne e
Wahl
de
Spa quo e
auch
bei
a iab-
le
Wachs ums a e
des
Kapi als ocks
-
wenn
man
sich also
nich
in
einem
"golden
age"
be inde
-
di ek
den
Konsum
maximie en
kann,
ohne
daß
man
eine
gesellscha liche
Wel a e unk ion
ein üh en
muß.
De
Ein achhei
halbe
wi d
eine
s a ionä e
E we bsbe ölke ung
an-
genommen,
d. h.
das
Wachs um
diese
G öße
sei
NuIP.
Man
kann
dann
ans elle
des
Je-Kop -Konsums
die
absolu e
Höhe
des
Konsums
be-
ach en.
Es
sei
C
de
Konsum,
de
insgesam
in
de
Planungspe iode
bis
+ h
e s ell
wi d.
s
sei
die
in
de
Planungspe iode
kons an e
Spa -
quo e.
Das
Ne osozialp oduk
im
Zei punk
we de
du ch
Y( )
be-
zeichne .
Dann
is
+h
(1.1) C =
(1
-
s)·
j"Y('G)d,,; ,
Die
Höhe
des
Sozialp oduk s
wi d
bes imm
du ch
die
P oduk ions-
unk ion
(1.2)
in
de
K( )
die
Höhe
des
Kapi als ocks
im
Zei punk
,
,l
einen
kon-
s an en
Fak o
des
echnischen
Fo sch i s
und
ß
die
kons an e
P o-
duk ionselas izi ä
des
Kapi als
bezeichne
(0<
ß <
1)2,
Fe ne
gil
(1.3)
K(,,;)
= sY(,,;) ,
1 Die
E gebnisse
gel en
abe
mi
unwesen lichen
Modi ika ionen auch
ü
den
Fall
eine
wachsenden
Be ölke ung.
2 Die
Funk ion
(1.2)
en sp ich
de
P oduk ions unk ion
(2.1.4)
bei
Vosge au:
Y/E
= Fo' e wF .
(KIEl,
Es
is
nu
WF
=
,l
und,
de
Ein achhei
halbe ,
F 0 • E1-P = 1 gese z .
Le z e es
is
bei
kons an e
E we bsbe ölke ungzulässig.
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Einige
Eigenscha en
op imale
S ando e
in
Ve keh sne zen
Von He be Güliche (Müns e )
1. Allgemeine Au gabens ellung
In
de
olgenden Un e suchung sollen einige
ech
ein ache
heo e i-
sche Aussagen
übe
op imale
S ando e
in
Ve keh sne zen
abgelei e
we den.
Dabei
wi d
ein
Op imum
als
T anspo kos enminimum
de i-
nie .
Es
wi d
on
de
olgenden allgemeinen Au gabens ellung ausgegan-
gen.
Inne halb
eines gegebenen Ve keh sne zes seien k
Konsumo e
A ,
A2
...
Ai
...
Ak,
on
denen, bezogen
au
eine gegebene Zei pe iode, die
Konsummengen
m ,
m2
...
mi
...
mk
e b auch
we den,
und
I Roh-
s o o e Rl,
R2
...
Rj
...
RJ,
in
denen
die
zu
He s ellung
des
Konsum-
gu es
no wendigen
Vo p oduk mengen
(Rohs o mengen) l,
2
...
j
.,.
j
he ges ell
we den, gegeben. Aus
G ünden
de
Ve ein achung
wi d
dabei
nu
de
Fall
eines homogenen Konsumgu es
und
eines homogenen
Vo p oduk es un e such .
Eine
Ve allgemeine ung
au
meh e e
Kon-
sumgü e
und
Vo p oduk e
is
abe
ohne
Schwie igkei en möglich. Ge-
such
wi d
an
den
gegebenen
Ve keh s e bindungen
eine
o gegebene
Zahl
op imale
S ando e
zu
P oduk ion
des Gu es,
on
denen
aus
die
Konsumo e
zu
insgesam
minimalen
T anspo kos en
belie e
we den.
Als mögliche
S ando e
we den
somi
nu
alle
Punk e
des gegebenen
Ve keh sne zes
be ach e .
Übe
die
Lage
diese
S ando e
sollen einige
Eigenscha en abgelei e we den, die
ih e
p ak ische
Bes immung
e -
leich e n.
In
de
olgenden Analyse
wi d
zunächs
on
seh
speziellen
Annah-
men
im
Hinblick
au
die
Zahl
de
S ando e,
Rohs o o e,
T anspo -
kos en unk ionen
e c. ausgegangen. Es
wi d
sich zeigen, daß
in
speziel-
len
Fällen
die
S ando bes immung
au
die
Bes immung
des
in
de
S a is ik
häu ig
e wand en
Zen alwe s
zu ückge üh
we den
kann.
Im
Ve lau
de
Un e suchung
we den
dann
zu
spezielle
Annahmen
au gegeben
und
allgemeine e
Au gabens ellungen
behandel .
Dabei
wi d
sich zeigen, daß einige
de
aus
den
Eigenscha en des
Zen alwe s
ü
spezielle
Fälle
abgelei e en Aussagen auch
au
wesen lich allgemei-
ne e
P oblems ellungen
übe agen
we den
können.
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112
He be Güliche
Konsumo e, Rohs o o e
und
Ve zweigungspunk e
sollen
allgemein
als cha ak e is ische
Punk e
on
Ve keh sne zen
bezeichne
we den.
Wei e hin
we den
sich
die
olgenden Klassi ika ionen
on
Ve keh s-
ne zen
als
zweckmäßig e weisen.
Ein
Ve keh sne z, welches
nu
die
jeweils
(en e nungsmäßig)
kü zes en
Ve keh s e bindungen
zwischen
allen
cha ak e is ischen
Punk en
en häl ,
wi d
als eduzie es
Ve keh s-
ne z
bezeichne .
a)
Nich eduzie es Ne z mi zwei
b)
Zugehö iges eduzie es Ne z
cha ak e is ischen Punk en und
zwei Ve keh s e bindungen de
Länge d1 und d2
(d
1 > d2)
Abbildung 1
In
Abbildung
la)
is
ein
ein aches
nich eduzie es
Ne z da ges ell ,
in
dem
zwischen zwei cha ak e is ischen
Punk en
Kl
und
K2
zwei
Ve -
keh s e bindungen
bes ehen,
und
zwa
Kl
S
K2
mi
de
Länge
dl
und
Kl
S'
K2
mi
de
Länge
d2.
Is
dl >
d2,
wi d
das zugehö ige
eduzie e
Ne z
in
Abbildung
Ib) wiede gegeben.
Dabei
können
sich
au
de
Ve -
bindung
Kl
S'
K2
wei e e
Konsumo e
be inden.
Angenommen, es sei
ein
beliebige
S ando
S
au
de
(länge en)
Ve keh s e bindung
Kl
S
K2
in
de
En e nung
LId
on
Kl
gegeben.
Dann
läß
sich
au
de
(kü ze en)
Ve keh s e bindung
Kl
S'
K2
ein
S ando
S'
in
de
gleichen
En e nung
LId
on
Kl
angeben,
de
ge in-
ge e
gesam e
T anspo kos en
ha
als S,
denn
die
En e nungen
zu
den
on
S
in
Rich ung
Kl
zu
belie e nden
Konsumo e
sind
ü
S'
gleich
ode
ge inge
(wenn
au
Kl
S'
K2
Konsumo e
liegen)
und
ü
die
übe
K2
zu
belie e nden
Konsumo e
ge inge .
Es
läß
sich
somi
ü
jeden
S ando
au
de
länge en
Ve keh s e bindung
ein
S ando
au
de
kü ze en
Ve keh s e bindung
inden,
de
ge inge e
gesam e
T anspo -
kos en
besi z .
Da aus
olg :
1.
Ein
op imale
S ando
eines gegebenen
Ve keh sne zes
lieg
im
zugehö igen
eduzie en
Ne z
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Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
113
In
de
olgenden
Un e suchung
we den
dahe
allgemein
nu
edu-
zie e
Ve keh sne ze
o ausgese z .
Exis ie
in
einem
eduzie en
Ne z eine (kü zes e)
Ve keh s e bin-
dung
zwischen
einem
Paa
cha ak e is ische
Punk e,
die zugleich
die
(kü zes e)
Ve keh s e bindung
zwischen
allen
ande en
Paa en
cha ak-
e is ische
Punk e
da s ell ,
dann
wi d
das Ne z
als
singulä bezeich-
ne .
Is
diese
Bedingung
nich
e üll ,
wi d
das Ne z als nich singuIä
bezeichne .
In
einem
singulä en
Ne z liegen
somi
die (kü zes en)
Ve -
keh s e bindungen
au
einem
o enen
Ku enzug
ohne
Ve zweigungs-
punk e.
Ein
nich singulä es
Ne z
en häl
dagegen
geschlossene
Ku en-
züge
und
(ode )
Ve zweigungspunk e.
En häl
ein
nich singulä es Ne z
nu
geschlossene
Ku enzüge,
wi d
es als geschlossenes Ne z,
en häl
es
nu
o ene
Ku enzüge
als o enes Ne z,
en häl
es sowohl geschlos-
sene
als auch o ene
Ku enzüge
als
gemisch es Ne z bezeichne .
In
Ab-
bildung
2
sind
einige Beispiele
dazu
angegeben.
~
~
~
Nich singulä e Ve keh sne ze:
a)
geschlossen,
b)
o en,
c)
gemisch
Abbildung 2
Alle
Mengenangaben
e olgen
in
Viel achen
eine
sogenann en
Basis-
mengeneinhei .
Sind
alle
Mengenangaben
in
u sp ünglichen
Einhei en
ganzzahlig
und
is
Y
ih
g öß e
gemeinsame
Teile ,
dann
en sp ich
eine
Basismengeneinhei
Y
u sp ünglichen
Mengeneinhei en.
Handel
es sich
bei
den
(au
einen
bes imm en
Zei aum
ode
Zei punk
bezo-
genen)
Mengenangaben
in
u sp ünglichen
Einhei en
um
geb ochene
We e
und
is
H
ih
kleins e
Haup nenne ,
dann
en sp ich
eine Basis-
mengeneinhei
~
u sp ünglichen
Mengeneinhei en.
In
le z e em
Fall
wi d
du ch
die
T ans o ma ion
in
Basismengen gleichzei ig die Ganz-
zahligkei
alle
Mengenangaben
e eich .
In
den
olgenden
Aus üh un-
gen
we den
allgemein
Basismengen
un e s ell .
Im
e s en
Teil
de
ol-
genden
Un e suchung
we den
einige Eigenscha en des
Zen alwe s
e wand .
De
Zen alwe
gehö
zu
den
Mi elwe en,
die
bei
de
Analyse
s a is ische
Reihen
häu ig
angewand
we den.
Die
Bes im-
mung
des
op imalen
S ando s
läß
sich
un e
speziellen
Vo ausse zun-
gen
au
die
Bes immung
des
Zen alwe s
eine
s a is ischen
Reihe
zu-
8
Sch i en
d.
Ve eins
.
Socialpoli ik
42
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114 He be Güliche
ück üh en,
ü
de en
Me kmalswe e
eine me ische
Skala
gegeben is .
We den
die Reihengliede
eine
Reihe nach
de
G öße
ih es
Me kmals-
we es
o lau end
mi
O dnungszahlen
on
1 bis n
nume ie ,
dann
is
inne halb
diese
O dnung
de
Zen alwe
bei
unge ade
Zahl
on
Reihengliede n
de
Reihenwe
mi
de
O dnungszahl n
~
1, bei
ge ade
Zahl
on
Reihenwe en
das a i hme ische Mi el
de
Reihenwe e
mi
den
O dnungszahlen
~
und
n
~
2.
Die
Zahl
de
Reihenwe e, die
g öße
als
de
Zen alwe
sind,
is
somi gleich
de
Zahl
de
Reihenwe e,
die
kleine
als
de
Zen alwe
sind. Die
in
obigem
Sinne
geo dne en
Reihenwe e
seien
o lau end
mi
Xl,
X2
...
Xi
...
X
n bezeichne .
(1)
Es
gil
ü
den
Zen alwe
Z:
n
i~lxi-ZI=Min.
1
In
Wo en: Die
Summe
de
absolu en
Abweichungen om
Zen alwe
is
ein
Minimum
1•
Die o liegende
Un e suchung
ze äll
in
die
beiden
Haup eile
A
und
B.
Im
Teil A
we den
en e nungslinea e
T anspo kos en,
im
Teil B
en e nungsnich linea e
T anspo kos en
un e s ell .
A. Ve keh sne ze
mi
en je nungslinea en T anspo kos en
2.
Ein
op imale
S ando
ohne
Be ücksich igung
on
Rohs o anspo kos en
in
singulä en
Ve keh sne zen
a)
Mengenlinea e T anspo kos en
Im
olgenden Abschni
wi d
eine
en e nungs-
und
mengenlinea e
T anspo kos en unk ion
T = c X m
un e s ell .
Die
Au gabens ellung
soll zunächs
anhand
eines ein achen nume ischen Beispiels 1
e ö e
we den.
An
de
S aße
on
Al nach
A7
liegen die
O e
Al,
A2
...
A7.
Eine
Mine alölgesellscha besi z
in
jedem
O
an
de
S aße
eine
Tank-
s elle. Von
einem
zen alen
Ve so gungslage
aus
sollen die
Tank-
s ellen
mi
Benzin
e so g
we den.
Die
p o
Pe iode
an
die einzelnen
Tanks ellen
zu
lie e nden
Mengen ml,
m2...
m7
we den
in
Tank-
wageneinhei en
angegeben.
Xl,
X2...
X7
seien die
En e nungen
de
einzelnen
O e
on
Al, C seien die
T anspo kos en
p o
Mengen-
und
En -
1 De Beweis diese Aussage is in ielen s a is ischen Leh büche n ange-
geben.
Vgl.
dazu e wa: O. Ande son, P obleme de S a is ischen Me hoden-
leh e,
4.
Au lage, Wü zbu g
1962,
S.237.
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Einige Eigenscha en
op imale
S ando e
in
Ve keh sne zen
115
e nungseinhei . Die angenommenen
En e nungen
und
Konsummengen
sind
in
Tabelle 1
en hal en.
O
Tabelle
1
En e nungen und Konsummengen zu Beispiel 1
En e nung
xi
on
Al
o
20
25
30
35
100
120
Konsummenge
mi
p o
Zei pe iode
2
3
4
2
3
4
7
~mi
=25
Wi d
die
En e nung
desVe so gungslage s
VOnAl
mi
Xz bezeichne ,
dann
be agen
die
T anspo kos en
p o
Zei pe iode:
(2) T =
~
c I xi -Xz I mi =
c~
I xi -Xz I mi
Gesuch
is
de
op imale
S ando ,
ü
den
T
minimal
wi d. Somi is
Xz so
zu
bes immen, daß:
(3)
c~
I xi -Xz I mi = Min.
Diese
Bedingung
is
e üll ,
wenn
Xz
de
Zen alwe
Z
de
obigen
F equenz eihe
is .
In
obigem Beispiel
is
~ mi = n = 25.
De
Zen alwe
is somi
de
d eizehn e
We
de
Reihe, Z = 35. Seine
Ein allsg uppe
is
die
ün e
G uppe.
Somi
is
A5
de
op imale
S ando .
In
obigem Beispiel
e gab
~
mi
einen
unge aden
We . Es sei
nun
in
olgendem Beispiel 2
ein
Fall
be ach e ,
in
dem
~ mi
einen
ge aden
We
e gib . Die angenommenen
En e nungen
und
Konsummengen
sind
in
Tabelle
2
au ge üh .
O
Tabelle
2
En e nungen und Konsummengen zu Beispiel 2
En e nung
xi
on
Al
o
10
20
30
50
Konsummenge
mi
p o
Zei pe iode
6
4
2
1
13
~mi
=
26
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116
He be
Güliche
In
diesem
Fall
ha
de
Zen alwe
die O dnungszahl:
(4a) 1 =
26
+ 1 =
135
2 '
De
Zen alwe
is
somi gleich
dem
a i hme ischen
Mi el
aus
dem
d eizehn en
und
ie zehn en
We :
(4b) Z = 30 + 50 = 40
2
De
Zen alwe
lieg
hie
zwischen
~
und
As.
Es
läß
sich zeigen,
daß
alle
We e
zwischen
X4
und
X5
zu
den
glei-
chen Kos en üh en, d. h. die Eigenscha
minimale
T anspo kos en
besi zen.
Angenommen,
de
Zen alwe
Z alle zwischen die
A e
A
und
B.
d
--
1----1
11-----1
A Z
Z'
B
Es
we de
nun
die
Kos enände ung
bei
Ve lage ung
des
S ando s
on
Z
um
d nach Z' bes imm .
Fü
alle
links
on
Z liegenden
Konsumpunk e
i
eine
Kos ene höhung
p o
Mengeneinhei
um
C'
dein.
~m.
Da
links
on
Z
-2-'
Mengeneinhei en liegen,
be äg
die
gesam e
~m.
Kos enände ung
ü
alle
links
on
Z liegenden
O e
somi cd T .
Fü
alle ech s
on
Z liegenden
O e
i
en sp echend
p o
Einhei
eine
Kos ensenkung
um
c . d ein. Die
gesam e
Kos enände ung
ü
alle
~mi
ech s on Z liegenden
O e
is
somi -cd
-2-'
Die
gesam e
Kos enände ung
K:
(5) [
~m.
~m.]
K=c
dT-d
T
=0
Alle
O e
zwischen A
und
B
(A
und
B eingeschlossen)
üh en
dahe
zu
gleichen Gesam kos en,
sind
also eben alls
op imale
S ando e.
In
obigem Beispiel
sind
somi
A4
und
A5
sowie alle
Punk e
au
de
Ve -
keh s e bindung
A4 A5
op imale S ando e.
De
Fall, daß zwei
Kon-
sumpunk e,
sowie alle
Punk e
au
ih e
Ve bindung
op imale
S and-
o e
da s ellen,
kann
nu
ein e en,
wenn
Z
mi
einen
ge aden
We
e gib
und
mindes ens
ein
mi
unge ade
is .
Es
können
somi bei
Un e s ellung
en e nungs-
und
mengenlinea e
T anspo kos en
und
Nich be ücksich igung
on
Rohs o bezugskos en
olgende Aussagen gemach
we den:
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Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
117
n.
Ein
op imale
S ando
lieg
in
einem
Konsumo .
nI.
Is
die
Summe
de
Basismengen
mi
unge ade,
dann
exis ie
nu
ein
op imale
S ando .
De
op imale
S ando
is
de
O ,
in
~m-+l
den
de
Reihenwe
mi
de
O dnungszahl
~
äll .
IV.
Is
die
Summe
de
Basismengen
mi
ge ade
und
allen
die Rei-
2mi+2
~m-
henwe e
mi
den
O dnungszahlen
2
und
T
in
den
gleichen
O ,
dann
is
diese
O
de
einzige
op imale
S ando .
Fallen
diese
Reihenwe e
in
e schiedene
O e
A
und
B,
dann
sind
A
und
B, sowie alle
O e
au
de
Ve keh s e bindung
on
A nach B
op imale
S ando e.
Von
Al
ausgehend
wu den
alle
O e
in
o lau ende
Reihen olge
mi
O dnungszahlen
j =
1,2
...
k beleg . Angenommen,
de
op imale
S ando
habe
in
diese Reihen olge die
O dnungszahl
1.
Die
O d-
nungszahl
I
we de
als
o dinale
Lage
des
op imalen
S ando s
bezeich-
ne .
De
zugehö ige
We
Xl,
de
die
En e nung
on
Al angib ,
we de
als me ische Lage des
op imalen
S ando s
bezeichne .
Dann
kann
aus
den
Eigenscha en des
Zen alwe s
olgende Aussage
gemach
we den:
V.
Bei
gegebene
Reihen olge
de
O e
und
gegebenen
Konsum-
mengen
is
die
o dinale
Lage
des
op imalen
S ando s
unab-
hängig
on
den
En e nungen
zwischen
den
Konsumo en.
Seine
me ische
Lage
is
du ch
die
En e nung
Al
Al
gegeben
und
eben alls
unabhängig
on
allen
üb igen
En e nungen
zwischen
den
Konsumo en.
Zu
Fes legung
de
o dinalen
Lage
des
op imalen
S ando s
hä e
es
in
obigem Beispiel genüg ,
die
Reihen olge
und
Konsummengen
de
O scha en
anzugeben.
Au
die
Angabe
de
En e nungen
hä e
e -
zich e
we den
können.
Die
Lage
des
Zen alwe s
is
gekennzeichne
du ch
Gleichhei
de
Zahl
de
Reihenwe e
obe halb
und
un e halb
des
Zen alwe s.
Inne halb
diese
G uppen
beein luß die Reihen olge
de
We e
den
Zen alwe
nich .
Wi d
bei
eine
F equenz eihe
mi
Klassenin e allen
on
0
die
Bese zung
de
Ein allsg uppe
des
Zen alwe s
mi
m , die
Summe
de
Reihengliede
un e halb
diese
Ein allsg uppe
mi
1-1
Mu =
~
mi
und
die
Summe
de
Reihengliede
obe halb
de
Ein alls-
1 k
g uppe
mi
Mo
=
~
mi
bezeichne ,
dann
bleib
bei
Ände ungen
on
1+1
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
118
He be
Güliche
Mn
um
L1
Mn
und
on
Mo
um
L1
Mo
die
Lage
des
Zen alwe s
un e -
ände ,
solange die Bedingung
(6):
(6) I (Mo + LIMo -
(Mn
+ LlMn)
I::;;;
ml
e üll
bleib .
In
E gänzung
zu
V.
können
dahe
olgende Aussagen gemach
we den:
VI. Bei gegebenen
Konsummengen
wi d
die Lage des
op imalen
S ando s
du ch
eine
beliebige Ve auschung
de
Konsumo e
inne halb
de
G uppen
de
Konsumo e
un e halb
und
obe halb
des op imalen
S ando es
nich beein luß .
VII.
Die
Lage
des
op imalen
S ando es
bleib
bei
Ände ungen
de
Konsummengen
un e ände ,
solange die absolu e Di e enz
de
Summe
de
Konsummengen
de
Konsumo e
obe halb
und
un e halb
des
op imalen
S ando es
kleine
ode
gleich
de
Konsummenge des
op imalen
S ando es
is .
b) Mengennich linea e T anspo kos en
Un e
2a
is
ü
die
T anspo kos en
En e nungs-
und
Mengen-
linea i ä
un e s ell
wo den. Die
le z e e
diese
beiden
Annahmen
wi d
nun
au gegeben. Es
wi d
somi
eine
Mengens a elung,
d.
h.
mengennich linea e T anspo kos en, zugelassen. Die
T anspo kos en-
unk ion
habe
die allgemeine
Fo m:
(7) T =
cx (m)
Zu
Bes immung
de
Lage
des
op imalen
S ando s
is
somi
de
ol-
gende Ausd uck
zu
minimie en:
(8) k
T =
c:2
I xi -Xl I (mi) = Min.
1
Wenn
in
diesem Ausd uck
ü
alle (mj)
Ta i äqui alenzmengen
mi = (mi)
e echne
und
einge üh
we den,
e gib
sich:
(9)
k
T = c:21 xi -
XII
mj
= Min.
1
Dami
is
die
Au gabens ellung
wiede
au
die
in
(3)
gegebene
Fo m
zu ückge üh .
Es
is
somi
ü
die Reihe
de
Äqui alenzmengen
de
Zen alwe
zu
bes immen.
Das
Ve ah en
sei
an
dem
olgenden ein achen nume ischen Bei-
spiel 3
e läu e ,
bei
dem
eine
T anspo kos en unk ion:
(10)
1
T=cxm
2
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
119
un e s ell
wi d.
Die
un e s ell en
En e nungen
und
Konsummengen
sind
in
Tabelle
3
en hal en.
Tabelle
3
En e nungen,
Konsummengen
und
Ta i äqui alenzmengen
zu
Beispiel
3
O Konsummenge
mj
Lie e menge
p o Zei pe iode
4
4
9
Ta i äqui alenzmenge
m;
= mj
-}
p o Zei pe iode
2
2
3
2'mi
= 7
De
Zen alwe
ha
in
de
Reihe
de
Mengenäqui alen e
die
O d-
nungszahl
7
~
1 =
4.
E
äll
in
den
O
A2.
Somi
is
A2
de
op imale
S ando .
Bei
linea e
Mengenabhängigkei
wä e
A3
de
op imale
S ando
gewesen.
Da
du ch
Ve wendung
de
Mengenäqui alen e
die
Au gabens ellung
au
den
in
2a
behandel en
Fall
ück üh ba
is ,
lassen
sich
die
do
e hal enen
Aussagen
übe agen.
VIII.
Bei
de
Annahme
eine
en e nungslinea en
und
mengennich -
linea en
T anspo kos en unk ion
T =
cx
(m)
lieg
de
op i-
male
S ando
in
einem
Konsumo .
IX.
Bei
E se zung
de
Konsummengen e eilung
du ch
die
Ve -
eilung
de
Ta i äqui alenzmengen
sind
die
in
III
bis
VII
en hal enen
Aussagen
au
den
Fall
en e nungslinea e
und
mengennich linea e
T anspo kos en
übe agba .
3.
Ein
op imale
S ando
mi
Be ücksich igung
on
Rohs o anspo kos en
in
singulä en
Ve keh sne zen
In
E wei e ung
de
bishe
behandel en
P oblems ellung
sollen
nun
auch die
Kos en
ü
den
T anspo
eines
Vo p oduk es
zum
op imalen
S ando
be ücksich ig
we den.
Bei
de
Un e suchung
e olg
abe
eine
Besch änkung
au
ein
Vo p oduk ,
welches
on
einem
Rohs o o
R
zum
Ve a bei ungso
anspo ie
wi d.
Eine
Ve allgemeine ung
ü
den
Fall
meh e e
Vo p oduk e
und
Rohs o o e
is
on
diese
Au gabens ellung
ohne
g oße
Schwie igkei en
möglich.
a) Mengenlinea e T anspo kos en
Fü
das
Konsumgu
we de
eine
T anspo kos en unk ion:
(11)
Tl
=
cx
m
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126
He be Güliche
müssen.
Das
läu
in
de
Gesam eihe
au
die
Bes immung
des e s en,
d i en
und
ün en
Sex ils
hinaus.
Diese
A gumen a ion
läß
sich
e allgemeine n.
Bezeichne
man
all-
gemein
die
Reihenwe e,
du ch
die
eine
Ze legung
de
Reihe
in
n
gleiche Teile e olg ,
als
n-Quan ile,
dann
läß
sich olgende Aussage
machen:
XVIII. Sollen
bei
Vo liegen
eine
en e nungs-
und
mengenlinea en
T anspo kos en unk ion
T = c x m
ü
k
Konsumo e
op i-
male
P oduk ionss ando e
gleiche
Kapazi ä
bes imm
we -
den,
dann
sind
die
Konsumo e
op imale
S ando e,
in
die
die
unge aden
2
-Quan ile
de
Konsummengen e eilung
allen.
In
XVIII
wi d
eine
en e nungs-
und
mengenlinea eT anspo kos en-
unk ion
un e s ell .
Le z e e
Bedingung
is
no wendig,
weil
bei
Be-
echnung
de
Äqui alenzmengen
ü
die
Teilmengen
ih
Um ang
in
Äqui alenzmengeneinhei en
un e schiedlich g oß
aus allen
kann.
Is
das
de
Fall,
dann
is
ü
jede
in
Äqui alenzmengen
umge echne e
Teilmenge
de
Zen alwe
zu bes immen. Obige Aussage
gil
nu
dann,
wenn
en e nungs-
und
mengenlinea e
T anspo kos en
o liegen.
5.
M
eh
e e
op imale
S ando e
mi
Be ücksich igung on
Rohs o anspo kos en
in
singulä en
Ve keh sne zen
Auch
hie
soll
eine
Besch änkung
au
den
Fall
eines Rohs o o es
e olgen.
Fü
jede
Teilmenge
de
Konsumo e
is
dann
eine
en sp e-
chende Rohs o äqui alenzmenge zu be echnen,
die
als
Konsummenge
des Rohs o o es R
in e p e ie
we den
kann.
Die
Bes immung
de
op imalen
S ando e
kann
dann
analog
zu
den
un e
4.
da ges ell en
Ve ah en
e olgen.
Es
läß
sich olgende Aussage machen:
XIX. Sollen
bei
Vo liegen
en e nungslinea e
Konsumgu -
und
Rohs o anspo kos en
ü
k
Konsumo e
op imale
S and-
o e
bes imm
we den,
dann
liegen die
op imalen
S ando e
en wede
im
Rohs o o
ode
in
einem
Konsumo .
Eine
wei e e
Spezi izie ung
diese
Aussage
is
möglich,
wenn
übe
die
Lage
des Rohs o o es sowie
übe
die Mengens a elung
nähe e
An-
gaben
gemach
we den.
Da au
sei
abe
an
diese
S elle
e zich e .
6.
Ein
op imale
S ando
in
nich singulä en
Ve keh sne zen
Als Beispiel
ü
ein nich singulä es Ne z
is
in
Abbildung
5
ein
ge-
schlossenes Ne z da ges ell . Dieses Ne z
en häl
18
allgemein
mi
Ai
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34

Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
127
bezeichne e cha ak e is ische
Punk e
(Konsumo e, Rohs o o e
und/
ode
Ve zweigungspunk e).
Die
Zahlenwe e
geben die
in
dem
spä e en
nume ischen Beispiel 5
un e s ell en
En e nungen
zwischen benach-
ba en
cha ak e is ischen
Punk en
an.
30
Abbildung
5.
Nich singulä es Ne z mi
18
cha ak e is ischen Punk en
Es
s ell
sich
die
F age,
ob
ü
singulä e
Ne ze abgelei e e Aussagen
auch
au
nich singulä e Ne ze
übe agen
we den
können. Die
ü
sin-
gulä e
Ne ze
gewonnenen
Aussagen
basie en
au
den
Eigenscha en
des
Zen alwe s.
Wegen des
Au e ens
on
geschlossenen
Ku en-
zügen
und
Ve zweigungen
läß
sich
ü
nich singulä e Ne ze
abe
keine
eindeu ig geome isch ge ich e e O dnungs olge
de
Ai
und
dami
kein
Zen alwe
in
de
üblichen Weise
meh
de inie en.
T o zdem
wi d
sich zeigen, daß einige
ü
singulä e
Ne ze
gewonnene
Aussagen auch
au
nich singulä e Ne ze
übe agen
we den
können.
Es
soll zunächs
bei
den
Ablei ungen
wied~ um
eine
en e nungs-
und
mengenlinea e
T anspo kos en unk ion
T = c x m
und
ü
die
Rohs o o e
Um echnung
in
Rohs o äqui alenzmengen
un e s ell
we -
den. Es
wi d
nun
un e such , welche
Kos enände ung
bei
eine
Ve -
lage ung
des
S ando es
S
on
einem cha ak e is ischen
Punk
Ai
zu
einem
unmi elba
benachba en
cha ak e is ischen
O
Aj
inne halb
eines nich singulä en Ne zes
ein i .
Ai
und
Aj
können
somi
en wede
als Konsumo e, Rohs o o e
und/ode
Ve zweigungspunk e des Ne zes
in e p e ie
we den.
~
~
~-------x------~.-----------------------------x
mi
Abbildung
6.
Ne z eil eines nich singulä en Ve keh sne zes mi
zwei cha ak e is ischen Punk en.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
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128
He be Güliche
Angenommen, die
dem
Punk
Ai
zugeo dne e
Konsummenge
(bzw.
Rohs o äqui alenzmenge) sei mi.
De
S ando
S be inde sich zunächs
in
Ai
und
die
in
diesem
Fall
om
S ando
in
Rich ung
Aj
gelie e en
Konsummengen
seien
mi
m2
und
die
übe
alle
ande en
Ve keh s e -
bindungen
on
Ai
gelie e en
Mengen
mi
mi
bezeichne ( gl. Abb.
6).
Bei
eine
Ve lage ung
on
S
um
die
En e nung
d x
in
Rich ung
Aj
i
olgende
Ände ung
dT
de
T anspo kos en
ein:
(25)
dT = c
(mi
+
mi)
dx -
cm2dx
.
Die
G enzkos en
de
En e nung
(Ve häl nis
on
T anspo kos en-
ände ung
zu
En e nungsände ung)
be agen:
(26)
T i
bei
eine
Ve lage ung
on
S
in
Rich ung
Aj
au
de
gesam en
S ecke
Ai
Aj
keine
Ände ung
on
mi
und
m2
ein,
sind
die
G enzkos en
de
En e nung
en lang
de
Ve bindung
Ai Aj
kons an .
Es
kann
abe
auch
bei
E eichen
eines
Punk es
Si eine
Ände ung
de
Mengen
mi
und
m2
und
dami
de
G enzkos en
de
En e nung
ein e en,
weil
es
in
Si
kos engüns ige
wi d,
einen
Teil
L1
mi
de
bishe
übe
Ai
gelie e en
Mengen
übe
Aj
zu
lie e n. Die
G enzkos en
de
En e nung
au
de
S ecke
Ai
Si sollen
mi
~~
1 bezeichne
we den.
Nach
Übe sch ei ung
on
Si
um
dx
wi d
übe
Ai
die Menge (mi + mi -
L1
m )
und
übe
Aj
die Menge
(m2
+
L1
m ) gelie e .
In
diesem
Fall
be agen
die
neuen
G enzkos en
de
En e nung:
dT
(27)
dx = c
(mi
+
mi
-
Llmi)
- c
(m2
+
Llmi)
.
Diese
G enzkos en
bleiben
solange
kons an ,
bis
en wede
Aj
ode
ein
Punk
S2
e eich
wi d,
on
dem
aus
es
kos engüns ige
wi d,
die
übe
Ai
gelie e e
Konsummenge
wei e
zu
e inge n
und
die
übe
Aj
gelie e e
Menge
zu
e höhen.
Aus
(26)
und
(27)
olg :
dT dT
(28)
dx 2 = c (mi +
mi
-
m2)
-
2cLlmi
= dx 1 -
2cL1mi
.
Die
G enzkos en
au
de
S ecke Sj
S2
(bzw. Si Aj)
sind
somi
nied i-
ge
als
die
G enzkos en
des
da o
liegenden
S eckenabschni s
Ai
Sj.
In
analoge
Weise
kann
gezeig
we den,
daß
bei
Übe sch ei ung
on
S2
eine
wei e e
Senkung
de
G enzkos en
de
En e nung
ein i .
Diese
A gumen a ion
läß
sich
bis
zu
E eichung
on
Aj
o se zen.
Man
e häl
somi
die olgende Aussage:
XX.
Bei
Vo liegen
en e nungs-
und
mengenlinea e
T anspo kos en
in
einem
Ve keh sne z
bleiben
bei
Ve lage ung
des
S ando s
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DOI h ps://doi.o g/10.3790/978-3-428-41074-3 | Gene a ed on 2023-01-16 13:02:34
Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
129
on
einem
cha ak e is ischen
Punk
Ai
zu
einem
unmi elba
benachba en
cha ak e is ischen
Punk
Aj
die
G enzkos en
de
En e nung
en wede
kons an
ode
nehmen
mi
zunehmende
En e nung
on
Ai
ab.
Kons an e
G enzkos en
bedeu en
linea en,
abnehmende
G enzkos en
konka en
Ve lau
de
gesam en
T anspo kos en.
Da aus
olg
abe ,
daß
die
gesam en
T anspo kos en
zwischen
Ai
und
Aj
keinen
We
an-
nehmen
können,
de
kleine
als
de
kleine e
de
Kos enwe e
on
Ai
und
Aj
is .
Das
bedeu e
abe ,
daß
zwischen
Ai
und
Aj
ein
op imale
S ando ,
ü
den
de ini ionsgemäß
die
Kos en
minimal
sind,
nich
lie-
gen
kann,
es sei
denn,
daß
alle
Punk e
zwischen
Ai
und
Aj
einschließ-
lich
Ai
und
Aj
op imale
S ando e
sind.
Du ch
Be echnung
on
Äqui-
alenzmengen
kann
diese
A gumen a ion
auch
ü
nich linea en
Ve -
lau
de
Mengenabhängigkei
in
analoge
Weise
ge üh
we den.
XXI.
Bei
Vo liegen
en e nungslinea e
T anspo kos en
T =
cx (m)
lieg
in
einem
nich singulä en
Ve keh sne z
ein
op imale
S and-
o
en wede
in
einem
Konsumo ,
Rohs o o
ode
Ve zwei-
gungspunk .
Als Beispiel
diene
das
in
Abbildung
5
angegebene
T anspo ne z,
in
dem
die
angegebenen
Zahlen
die
En e nungen
zwischen
den
jeweils
benachba en
cha ak e is ischen
Punk en
da s ellen.
Es
wi d
olgende
Konsummengen e eilung
un e s ell :
ml
=20
m7
=
30
m13
= 8
m2
=
20
ms
=
10
m14
=
32
m3
=
30
m9
=
10
m15
= 6
m4=
0
mlO
= 4
m16
=
10
m5
=20
mll =
10
m17
= 5
m6
=
20
m12
=
20
mlS
= 8 .
Minimalpunk e
sind
nu
~
und
Ag.
Die
Be echnung
de
T anspo -
kos en
e gib
T4 = 7
919
Kos eneinhei en
T
14
= 8014 Kos eneinhei en
A4,
ein
Ve zweigungspunk ,
de
nich
Konsumo
is ,
is
dami
de
op imale
S ando .
7.
Me
h e e
op imale
S ando e
mi
Be ücksich igung
on
Rohs o anspo kos en
in
Ve keh sne zen
In
diesem
Fall
is
das
T anspo ne z
in
Teilne ze
zu
ze legen.
Fü
alle
singulä en
bzw.
nich singulä en
Teilne ze
gil
dann
abe
X bzw.
XXI.
Es
läß
sich
somi
olgende
Aussage
machen:
9
Sch i en
d.
Ve eins
.
Socialpoli lk
42
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130
He be
Güliche
XXII.
Is
in
einem
Ve keh sne z
bei
Vo liegen
en e nungslinea e
T anspo kos en
Tl =
cx
(m)
ü
das
Endp oduk
und
T2
=
s x ( )
ü
die Rohs o e
zu
Minimie ung
de
T anspo kos en
eine gegebene
Zahl
on
op imalen
S ando en
zu bes immen,
dann
liegen diese
S ando e
bei
beliebige
Ve eilung
de
Konsummengen
und
Rohs o kapazi ä en
en wede
in
Konsum-
o en,
Ve zweigungspunk en
ode
Rohs o o en.
De
Fall
de
Bes immung
eines
op imalen
S ando s
is
als Spezial-
all
in
diese
Aussage
en hal en.
In
diesem Spezial all
en äll
die
Ze -
legung
in
Teilne ze.
8.
Ein
op imale
S ando
in
Spezial ällen
nich singulä e
Ve keh sne ze
a)
O ene Ne ze -
Bes immung
des op imalen S ando s
Fü
o ene Ne ze lassen sich
un e
Ausnu zung
ih e
besonde en
S uk u
einige spezielle Aussagen ablei en.
Ein
singulä es
Ve keh s-
ne z
kann
als Spezial all eines o enen Ne zes
angesehen
we den.
Dahe
lassen sich einige
de
ü
singulä e
Ne ze
abgelei e en
Aussagen auch
ü
allgemein o ene Ne ze
e allgemeine n.
Da on
soll
an
diese
S elle
abe
abgesehen
we den.
Es sollen hie ,
bei
eine
Besch änkung
au
den
Fall
de
Bes immung
eines
op imalen
S ando s,
nu
zwei Aussagen
abgelei e
we den,
die
zu
p ak ischen
Bes immung
de
Lage
des op i-
malen
S ando s
e wende
we den
können.
Angenommen,
in
einem
cha ak e is ischen
Punk
Ai
mi
de
Konsum-
menge
mi eines o enen Ne zes be inde sich
ein
Minimum.
Wei e hin
wi d
angenommen,
daß
on
Ai
aus
d ei
Ve keh s e bindungen
zu
den
üb igen
Konsumo en
des Ne zes ausgehen,
übe
die die Mengen ml,
m2
und
ms
anspo ie
we den
( gl. Abb.
7).
In
Anwendung
de
un e
6.
geschilde en
Bedingungen
gil
dann:
(29)
m <
m2
+
ms
+
mi
m2
< m +
ms
+
mi
ms
< ml +
m2
+
mi
.
Gil
in
eine
de
Bedingungen
(29)
das
Gleichhei szeichen,
dann
e-
en
bei
Ve lage ung
des
S ando es
in
de
en sp echenden
Rich ung bis
zu
E eichung
des
nächs en
cha ak e is ischen
Punk es
keine
Kos en-
ände ungen
ein, d. h.
alle
Punk e
de
Ve bindungss ecke
sind
op imale
S ando e.
Sind
abe
die
Bedingungen
(29)
in
obige
Fo m
e üll ,
i
bei
Ve -
lage ung
des
S ando es
in
jede
Rich ung eine
Kos ene höhung
ein.
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Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
131
Angenommen, die
Ve lage ung
e olge
in
Rich ung ml,
dann
be äg
die
Kos enände ung
L1
Tl:
(30)
Diese
Mengenkons ella ion
bleib
bis
zu
E eichung
eines
benach-
ba en
cha ak e is ischen
Punk es
Aj
un e ände .
Die
G enzkos en
des
Weges zwischen
Ai
und
Aj
~~l
sind
dahe
kons an .
Auße dem
sind
sie,
wie
aus
(29) olg , posi i :
(31)
.1Tl
L X = C
(m2
+
m3
+
mi
-m )
Angenommen,
Aj
sei ein
Ve zweigungspunk
mi
de
Konsummenge
mj,
on
dem
aus
zwei
Ve keh s e bindungen
mi
den
Konsummengen
m1
und
m'l ausgehen.
Abbildung
7.
Ne z eil eines o enen Ve keh sne zes
Bei
eine
Ve lage ung
des
S ando es
on
Aj
in
Rich ung m
um
L1
x
e häl
man
als
zusä zliche
Kos enände ung
L1
T2.
(32)
Diese
Mengenkons ella ion
bleib
bis
zu
E eichung
des
nächs en
cha ak e is ischen
Punk es
un e ände .
Die
G enzkos en
des Weges
~:2
au
diese S ecke
sind
somi
kons an
und
posi i .
(33)
(34)
Nun
is
abe :
(35)
Da aus
olg :
(36)
(37)
9·
C (m +
mj
+ m
i'
-m1
)
> 0
dT2
> dTl
dx
dx
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132
He be Güliche
Es
is
somi eine
E höhung
de
G enzkos en einge e en. Eine
ähn-
liche
übe legung
kann
im
Hinblick
au
eine
Ve lage ung
des
S and-
o es
in
Rich ung m'I
du chge üh
we den.
In
beiden
Fällen
i
eine
E höhung
de
G enzkos en ein.
Diese
an
einem speziellen Beispiel abgelei e en Eigenscha en lassen
sich beliebig e allgemeine n. Es olg da aus, daß
bei
eine
Ve lage-
ung
des
S ando es
aus
einem
Minimum
in
jede
Rich ung die Kos en
en wede
gleich bleiben -
in
diesem
Fall
sind
de
Punk
und
de
en -
sp echend
benachba e
cha ak e is ische
Punk
einschließlich
alle
Punk e
au
ih e
Ve keh s e bindung
op imale
Minimalpunk e
mi
gleichen
T anspo kos en
-
ode
mi
zunehmende
En e nung
s ändig
s eigen, wobei die G enzkos en nach
übe sch ei ung
jedes
cha ak e i-
s ischen
Punk es
ans eigen.
Un e
Ve wendung
de
Bezeichnung Mini-
mal egion
als Obe beg i
ü
die
beiden
Möglichkei en eines Minimal-
punk es
und
eine
Minimals ecke lassen sich olgende Aussagen machen.
XXIII.
In
o enen
Ve keh sne zen
exis ie
nu
eine
(op imale) Mini-
mal egion.
XXIV.
Bei
eine
Ve lage ung
des
S ando es
aus
de
Minimal egion
sind die G enzkos en des Weges zwischen zwei
cha ak e is i-
schen
Punk en
posi i
kons an
und
s eigen
bei
übe sch ei-
ung
eines
wei e
on
de
Minimal egion
en e n en
cha ak-
e is ischen
Punk es
s e s
an.
Aus
XXIII
olg ,
daß
die Kos en
on
einem beliebigen
Punk
des
Ne zes
nu
in
Rich ung
au
die Minimal egion
allen
können.
Da aus
läß
sich
ein
ein aches
Ve ah en
zu
Bes immung
des
op ima-
len
S ando es
ablei en. Man
beginn
mi
einem beliebigen
Punk
des
Ne zes
und
s ell
es ,
in
welche Rich ung
bei
Ve lage ung
des
S and-
o es
eine
Senkung
de
Kos en
ein i .
Fü
diese Rich ung
is
die
Summe
de
übe
sie gelie e en Konsummengen
g öße
als die
übe
alle
ande en
Rich ungen gelie e en Konsummengen,
e meh
um
die
Konsummenge
des
Punk es.
Dann
e olg
ein
übe gang
zum
nächs en
Konsum-
ode
Ve zweigungspunk
in
de
güns igen Rich ung,
und
das
Ve ah en
wi d
wiede hol , bis
ein
Punk
e eich is , bei
dem
in
keine
Rich ung eine Kos ensenkung
meh
möglich is .
Dami
is
de
op imale
S ando
e eich .
Is
ü
diesen
S ando
die
Kos enände ung
bei
Ve -
lage ung
des
S ando s
in
eine
Rich ung
0,
dann
sind
diese
Punk
und
de
in
diese Rich ung liegende,
benachba e
cha ak e is ische
Punk
einschließlich
alle
Punk e
au
ih e
Ve keh s e bindung
op imale
S ando e.
b) Gemisch e Ne ze
Ein
gemisch es
Ve keh sne z
bes eh
aus
einem geschlossenen Teil
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Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
133
und
meh e en,
da an
angeschlossenen, o enen Teilen.
Ein
Beispiel
is
in
de
nebens ehenden
Abbildung
8 gegeben.
A16 --
__
~
Abbildung
8.
Beispiel eines gemisch en Ve keh sne zes mi
zwei Anschlußpunk en Al und
Ag
In
diesem Beispiel
is
übe
die
O e
Ai
und
A9
an
den
geschlossenen
Teil des Ne zes
je
ein
o ene Teil angeschlossen. Diese
Punk e
seien
als
Anschlußpunk e
bezeichne .
Angenommen,
die
Konsummengensumme
des
übe
einen
Anschluß-
punk
Ai
angeschlossenen o enen Ne z eils sei
mo
und
die
Konsum-
mengensumme
des Res ne zes m •
Dabei
wi d
die
Konsummenge
des
Anschlußpunk es
(und
dami
de
Anschlußpunk ) de ini ionsgemäß
dem
Res ne z
zugeo dne .
Is
ü
einen
Anschlußpunk
die
Bedingung
(38)
e üll ,
lieg
de
op imale
S ando
im
zugehö igen o enen Ne z eil,
denn
on
jedem
Punk
des Res ne zes
kann
du ch
eine
Ve lage ung
des
S ando es
übe
die
kü zes e
Ve keh s e bindung
in
Rich ung
au
den
o enen Ne z eil
eine
Kos ene spa nis
ealisie
we den.
Is
um-
gekeh
die
Bedingung
(39)
e üll ,
lieg
ein
op imale
S ando
im
Res ne z.
Da aus
olg :
XXV.
Is
in
einem
gemisch en Ne z
ü
einen
Anschlußpunk
die
Konsumsumme
des angeschlossenen o enen Ne z eils
g öße
als
die
Konsumsumme
des Res ne zes,
dann
lieg
de
op imale
S ando
in
diesem o enen Ne z eil.
Is
ü
alle
Anschluß-
punk e
die
Konsumsumme
des Res ne zes
g öße
als
die
Kon-
sumsumme
des angeschlossenen o enen Ne z eils,
dann
lieg
ein
op imale
S ando
im
geschlossenen Ne z eil.
Du ch
eine
en sp echende
übe p ü ung
alle
Anschlußpunk e
is
da-
he
die
Bes immung
eines
op imalen
S ando es
in
einem
gemisch en
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134 He be Güliche
Ne z
au
die
Bes immung
des op imalen
S ando s
eines o enen
ode
geschlossenen Ne z eils
ück üh ba .
B. Ve keh sne ze
mi
en je nungsnich linea en T anspo kos en
Die
un e
A abgelei e en Aussagen
übe
op imale
S ando e
basie en
au
de
Annahme
eine
en e nungslinea en
T anspo kos en unk ion.
Un e
diese Vo ausse zung liegen
op imale
S ando e
allgemein
in
Konsumo en, Rohs o o en
ode
Ve zweigungspunk en. Diese Aussage
gil
ü
beliebige
en e nungsnich linea e
T anspo kos en unk ionen
allgemein nich meh ,
wie
das olgende ein ache Gegenbeispiel zeig :
Gegeben sei
in
einem
singulä en
Ve keh sne z
die
T anspo kos en-
unk ion:
(40) T =
cx
2m .
We den
on
k
Konsumpunk en
A ,
A2
...
Ai
...
Ak
in
de
En e nung
X ,
X2
...
Xi
...
Xk
on
einem
Bezugspunk
die
Konsummengen
m ,
m2
...
mi
...
mk
bezogen,
dann
be agen
die
T anspo kos en
ü
einen
S ando
mi
de
En e nungskoo dina e
x:
(41)
k
T = c
:2
I
(xi
-
x)
1 2
mi
.
1=1
Wi d
die
En e nungskoo dina e
des
op imalen
S ando s
mi
Xl
be-
zeichne gil :
(42)
k
T = c
:2
(xi
-
xl)2
mi
=
Min
.
1=1
Da
die
Summe
de
Abweichungsquad a e
om a i hme ischen Mi el
ein
Minimum
is ,
e gib
sich:
2x·m-
(43)
xl
=
--'-'
2mi
Xl
is
somi
das
a i hme ische Mi el
de
Reihenwe e. Das
a i hme i-
sche Mi el
b auch
abe
nich
mi
einem
Reihenwe
zusammenzu al-
len.
Dahe
kann
auch
de
op imale
S ando
in
obigem Beispiel zwi-
schen zwei
Konsumo e
allen.
9.
Ve keh sne ze mi en e nungsdeg essi en T anspo kos en
Es
wi d
nun
ein
p ak isch
häu ige Spezial all
eine
nich linea en
T anspo kos en unk ion
un e such ,
und
zwa
wi d
un e s ell ,
daß
die
T anspo kos en
mi
zunehmende
En e nung
mi
p o
En e nungs-
einhei
sinkenden
Be ägen
mono on s eigen, d. h. die G enzkos en
de
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Einige Eigenscha en op imale S ando e in Ve keh sne zen
135
En e nung
s ändig
sinken. Eine
de a ige
T anspo kos en unk ion
soll als deg essi bezeichne
we den.
We den
die
au
die Mengeneinhei
bezogenen
T anspo kos en
mi
und
die
En e nung
mi
x bezeichne ,
dann
gil
ü
eine
deg essi e
T anspo kos en unk ion
= (x):
d d
(44) > - wenn
x2
>
xl
.
dxx=x, dxx=x,
L-----------------------~x
Abbildung
9.
En e nungsdeg essi e T anspo kos en unk ion
Bilde
man
on
einem
Punk
x = Xo
in
Rich ung
zunehmende
x
We e
den
Quo ien en
~~,
dann
nimm
diese
Quo ien
mi
s eigendem
L1
x
s ändig
ab.
Beweg
man
sich
VOn
Xo
in
Rich ung
abnehmende
x We e,
dann
nimm
~~
mi
s eigendem
L1
x
s ändig
zu. Von diese Eigenscha
eine
deg essi en
Kos en unk ion
wi d
bei
den
olgenden
Aus üh un-
gen
Geb auch gemach . Es soll
nun
nachgewiesen we den, daß
ein
op i-
male
S ando
in
einem
nich singulä en
Ve keh sne z
mi
en e -
nungsdeg essi en
T anspo kos en
in
einem
Konsumpunk ,
Rohs o -
punk
ode
Ve zweigungspunk
lieg . Dazu
is
nachzuweisen, daß
kein
Punk
au
de
Ve keh s e bindung
zwischen zwei
di ek
benachba en
cha ak e is ischen
Punk en
Ai
und
Aj
als
S ando
ge inge e
gesam e
T anspo kos en
haben
kann
als
de
kleine e
de
T anspo kos enwe e
on
Ai
und
Aj.
De
Beweis is e b ach ,
wenn
nachgewiesen
we den
kann, daß bei
eine
Ve lage ung
des
S ando es
on
Ai
um
L1
x
in
Rich-
ung
Aj
die
au
die
En e nungsände ung
bezogene
Ve ände ung
L1
T
de
gesam en
T anspo kos en
T
bei
Ve g öße ung
VOn
L1
x
s ändig
ab-
nimm .
Wü de
zwischen
Ai
und
Aj
ein
T anspo kos enminimum
liegen,
dann
müß e
nach
übe sch ei en
des
Minimalpunk es
~~
zunehmen.
De
Beweis soll zunächs
ü
den
speziellen
Fall
on
ün
Konsum-
punk en
ge üh
we den. Eine
Ve allgemeine ung
au
beliebig iele
Konsumpunk e
is
ohne
g oße Schwie igkei en möglich.
Auße dem
soll
zunächs
on
Rohs o anspo kos en abgesehen
we den.
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