Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung

Hirth, Hans Article Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Hirth, Hans (1997) : Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 30, Iss. 2, pp. 250-275, https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293351 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. Sofern die Verfasser die Dokumente unter Open-Content-Lizenzen (insbesondere CC-Lizenzen) zur Verfügung gestellt haben sollten, gelten abweichend von diesen Nutzungsbedingungen die in der dort genannten Lizenz gewährten Nutzungsrechte. 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Zu untersuchen sind Wirkungen der Marktorganisation auf die Informationseffizienz, Risikoallokation und Liquidität des Marktes. Dieses Untersuchungsgebiet wird üblicherweise als Marktmikrostruktur bezeichnet. Der vorliegende Beitrag beschäftigt sich mit der Handelsfrequenz als einem bestimmten Merkmal der Marktorganisation. Die Handelsfrequenz drückt aus, wie häufig die Anleger innerhalb eines gegebenen Zeitintervalls miteinander handeln können und wie häufig sich auf diese Weise Marktkurse bilden. Im folgenden wird untersucht, welche Bedeutung die Handelsfrequenz in bezug auf die Risikoallokation besitzt, wenn ein Anleger seine eigenen Kurswirkungen auch in intertemporaler Hinsicht einkalkuliert. Informationseffekte sollen dabei keine Rolle spielen. Alle Anleger handeln ausschließlich aus Gründen der Risikoteilung zwischen einem sicheren und einem unsicheren Titel. Ihre Kalküle werden modellendogen nachvollzogen. Analysiert wird dann die Wirkung der Handelsfrequenz auf die Risikoallokation bei gegebener Nichtmengenanpassung eines Anlegers. Die Relevanz der Häufigkeit des Handels hat unterschiedliche Ursachen. Zum einen könnte man davon ausgehen, daß Transaktionswünsche zufällig asynchron im Zeitablauf entstehen.1 In diesem Fall führt eine abnehmende Handelsfrequenz dazu, daß der Kurs zwar seltener festgestellt wird, ihm aber mehr Transaktionswünsche zugrunde liegen. Dies ist z.B. vorteilhaft, um individuelle Schätzfehler auszugleichen oder um ι So wie schon bei Garman (1976) oder Garbade und Silber (1979). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 251 zufällige temporäre Nachfrageoder Angebotsüberhänge zu vermeiden. Demgegenüber besteht ein Nachteil darin, daß die Anleger im Durchschnitt länger auf die Kursfeststellung und Erfüllung ihres Transaktionswunsches warten müssen und dabei einem Risiko ausgesetzt sind. Aus diesem Trade-off läßt sich eine optimale Handelsfrequenz bestimmen. Andere Beiträge befassen sich mit intertemporalen Handelsstrategien von Insidern.2 Untersucht wird, welcher Nachfragestrategie ein Insider folgt, wenn die Höhe seiner Nachfrage ein unsicheres Informationssignal für Uninformierte aussendet und auf diese Weise den Kurs beeinflußt. Bei wiederholtem Handel muß der Insider antizipieren, daß die Uniformierten aus den jeweils vorangegangenen Handelsrunden lernen. Die Zahl der Handelsrunden, also die Handelsfrequenz, beeinflußt dann das Verhalten des Insiders. Diese Fragestellung kann auch auf die Existenz mehrerer Insider ausgeweitet werden und wird behandelt von Kyle (1985), Mirman / Samuels on (1989), Allen /Gale (1992), Easley /ΟΉατα (1992) oder Holden/Subrahmanyam (1992), um nur einige zu nennen. In jüngerer Zeit finden Marktorganisationen mit Orderbüchern verstärkte Aufmerksamkeit. Die (teilweise) Öffentlichkeit solcher Bücher scheint ein interessanter Ausgangspunkt für intertemporale Strategien zu sein. Die Literatur bietet dazu noch relativ wenig.3 Zumindest Gerke/Bienert/ S ehr oeder-Wildberg (1995) gehen unter Hinweis auf Stoll (1992) und Schwartz (1991) unter anderem auf den Optionscharakter limitierter Aufträge ein.4 Im Zusammenhang mit deren Beobachtbarkeit ergeben sich intertemporale Kalküle verschiedenster Art. Letztlich geht es dabei um Informationsaspekte, die hier gänzlich ausgeklammert werden. Die Risikoallokation bei Nichtmengenanpassung ist bereits vor etlichen Jahren untersucht worden, allerdings unter statischen Bedingungen. So weist Lindenberg (1979) nach, daß die Unabhängigkeit der Entscheidung über riskante Anlagen von der individuellen Risikopräferenz (Tobin-Separation) nicht mehr gilt, wenn keine Mengenanpassung vorliegt. Hessel (1981) analysiert eine Situation, in der mehrere Nichtmengenanpasser existieren. Rudolph (1982) diskutiert verschiedene Varianten eines vereinfachten Modells mit nur einem Mengenanpasser und einem Nichtmengenanpasser. 2 Es werden auch sogenannte „Bluffer" betrachtet, die lediglich vortäuschen, Informationen zu besitzen; siehe Heyl (1995), S. 177 - 180. 3 Siehe etwa Madhavan (1992), Baye/ Gillette/de Vries (1994) oder Glosten (1994). Letzterer bietet zumindest einige Randbemerkungen zu dynamischen Erweiterungen, vgl. ebd. S. 1149 - 1151. 4 Gerke/Bienert/Schroeder-Wildberg (1995), insbes. S. 234 - 238. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 252 Hans Hirth Mit Ausnahme Rudolphs betrachten alle Autoren ausschließlich zwei Zeitpunkte: Im ersten Zeitpunkt wird der Kurs durch den Handel endogen bestimmt, während sich im zweiten Zeitpunkt der Kurs exogen ergibt. Rudolph leitet darüber hinaus ab, daß sich die individuellen Bestände langfristig denen annähern, die sich bei Mengenanpassung ergeben würden.5 Bei der Herleitung dieses Ergebnisses wird jedoch eine Inkonsistenz in Kauf genommen: Sowohl Mengenanpasser als auch Nichtmengenanpasser gehen in jedem Zeitpunkt immer wieder erneut davon aus, daß sich der Kurs im nächstfolgenden Zeitpunkt ausschließlich exogen bestimmt. Dies ist insofern kurzsichtig, als der Nichtmengenanpasser in jedem Zeitpunkt seine Nachfrage in Abhängigkeit seines Anfangsbestands kalkuliert. Demzufolge müßte er gleichfalls berücksichtigen, daß seine Nachfrage seinen Anfangsbestand für den nächstfolgenden Zeitpunkt bestimmt und sie somit seine Nachfrage und den Kurs im nächstfolgenden Zeitpunkt beeinflußt. Der vorliegende Beitrag erweitert deshalb das Modell Rudolphs. An die Stelle der Hypothese, daß sich der Kurs im jeweils nächstfolgenden Zeitpunkt exogen bildet, wird die Hypothese gesetzt, daß die Marktteilnehmer versuchen, diesen Kurs als endogenen Gleichgewichtskurs zu antizipieren. Dies wirkt zurück auf die vorangehende Handelsentscheidung. Die antizipierte Häufigkeit, mit der gehandelt werden kann, hat bereits Auswirkungen auf Kurse und Mengen im Ausgangszeitpunkt. Eine Erhöhung der Handelsfrequenz führt dann dazu, daß der Kurs des Finanztitels bereits im Ausgangszeitpunkt näher an dem Kurs liegt, der sich bei optimaler Risikoallokation ergäbe. Dieser Kurs ist darüber hinaus Schwankungen der Transaktionsmengen gegenüber stabiler; die Marktliquidität steigt. Eine ähnliche Fragestellung untersucht Basak (1995) mit einer anderen Modellvariante. Anders als hier betrachtet er ausschließlich einen zeitkontinuierlichen Handel. Die Unsicherheit drückt sich im Risiko der Dividendenströme aus. Verglichen wird das Marktgleichgewicht bei einem Nichtmengenanpasser und vielen Mengenanpassern mit dem bei allseitiger Mengenanpassung. In beiden Fällen wird zeitkontinuierlich gehandelt, die Handelsfrequenz also nicht variiert. Die Ergebnisse bestätigen die bekannte „Bremswirkung" der Anfangsbestände von Nichtmengenanpassern: Mit der Abkehr eines Anlegers von der Mengenanpassung liegt sein optimaler Konsumstrom näher an demjenigen Dividendenstrom, den seine Anfangsausstattung in Finanztiteln erbringt. Ferner s Siehe Rudolph (1982), S. 480 und 490. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 253 leitet Basak Marktpreise für den sicheren Finanztitel und die marktgleichgewichtige Risikoprämie ab. Für den Fall, daß - ähnlich wie hier - nur ein Nichtmengenanpasser und ein Mengenanpasser mit identischen absolut konstanten Risikoaversionen existieren, zeigt sich folgendes: Die Risikoprämie liegt über (unter) der bei allseitiger Mengenanpassung, wenn der Nichtmengenanpasser eine höhere (niedrigere) Anfangsausstattung im riskanten Titel hat als der Mengenanpasser.6 Auch dieses Ergebnis entspricht dem aus dem statischen Modell. Ein Vergleich zweier Situationen, in denen jeweils ein Nichtmengenanpasser handelt, einmal für den Fall des einmaligen Handels und zum anderen für den Fall des stetigen Handels, wird nicht geliefert. Außerdem weist der mit der zeitkontinuierlichen Modellierung verbundene analytische Lösungsansatz eine Besonderheit auf:7 „A drawback is that we can only model agents who are non-price-taking in the market as a whole (represented by the state prices), and not agents who are non-price-taking in individual assets." Der Nichtmengenanpasser unterstellt also einen individuellen Kurseinfluß bei allen (unsicheren und sicheren) Finanztiteln. Im folgenden Modell kann dagegen die Nichtmengenanpassung auf einen zu betrachtenden Finanztitel beschränkt werden. II. Zwei-Zeitpunkte-Fall In diesem Abschnitt wird das Ausgangsmodell dargestellt, so wie es sich in der Literatur findet. Das Modell entspricht der Darstellung Rudolphs.8 Es wird ein Markt betrachtet, auf dem ein Finanztitel gehandelt wird, dessen Wertentwicklung unsicher ist. Auf diesem Markt gibt es zwei Typen von Marktteilnehmern: Mengenanpasser und Nichtmengenanpasser. Zur Vereinfachung sollen nur ein Mengenanpasser (M) und ein Nichtmengenanpasser (N) existieren.9 Als Alternative zur Anlage im 6 Die allgemeine Lösung bietet Basak (1993), S. 80, als Proposition 6. Die Gleichgewichtspreise für den Fall zweier Anleger, identischer absolut konstanter Risikoaversionen und eines einzigen riskanten Finanztitels finden sich ebd., S. 87, Proposition 9. 7 Basak (1993), S. 93. s Abweichend vom Modell Rudolphs ist hier - das Symbol für die Varianz nicht V, sondern σ\. - der Index für den Mengenanpasser nicht i, sondern M. - der Index für den Nichtmengenanpasser nicht m, sondern N. 9 Damit handelt der Mengenanpasser zwangsläufig immer genauso viel wie der Kursbeeinflusser. Eine Rechtfertigung der Mengenanpassung mit dem Argument, daß der Kurseinfluß im Gegensatz zu dem des Nichtmengenanpassers vernachläs17 Kredit und Kapital 2/1997 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 254 Hans Hirth Finanztitel können liquide Mittel gehalten werden, deren Verzinsung null beträgt. Zunächst werden lediglich zwei Zeitpunkte t — 1, 2 betrachtet (später tritt der Zeitpunkt 0 hinzu). In t = 2 wird der Finanztitel fällig und führt zu einer exogenen, zuvor normalverteilten Zahlung K2. Κ2 entspricht dem exogenen Kurs des Finanztitels in t = 2.10 In t = 1 entscheiden beide Marktteilnehmer über ihre Nachfrage bei gegebener Anfangsausstattung. Für Κ2 legen sie den Erwartungswert Ei(K2) und die Varianz Vari(K2) ξ σ\ zugrunde. Die Anfangsausstattung eines jeden Marktteilnehmers k (mit k = M,N) setzt sich zusammen aus dem Wert seiner liquiden Mittel in Höhe von Xk0 und der Anzahl seiner Finanztitel yk0. Jeder der Marktteilnehmer legt seiner Entscheidung die folgende Zielfunktion zugrunde: Φ*1 = £i(Wfc2) - (l/(2afc))Var1(Wfc2) mit ak > 0 Wk2 bezeichnet das Endvermögen des Marktteilnehmers k in t = 2. Der Term 1 jak bezeichnet seine konstante absolute Risikoaversion; ak mißt also die individuelle Risikotoleranz. Der sich nach dem Handel in t = 1 ergebende Endbestand an Finanztiteln eines Marktteilnehmers wird mit yki bezeichnet. Das heißt, die Menge in t = 1 hinzugekaufter Finanztitel beträgt ykl - yk0. Wenn der Kurs des Finanztitels in t = 1 mit Κ ι bezeichnet wird, müssen z.B. für einen Zukauf von Finanztiteln liquide Mittel in Höhe von (yki - yk0) Κ ι auf gewendet werden. Bei einem Verkauf von Finanztiteln wäre yki < yk0, und die Erhöhung der liquiden Mittel würde (yk0 — yk\) Κ ι betragen. Nach dem Handel in t = 1 ist der Erwartungswert des Endvermögens: Ei(W k2) = ykiE1(K 2) + [Xfc0 - (ykl - yko)Ki] Der Term in eckigen Klammern bezeichnet die Höhe der liquiden Mittel, für die der sichere Zinssatz in Höhe von null gilt. Für die Varianz des Endvermögens ergibt sich: sigbar sei, wäre ohne weiteres nicht aufrechtzuerhalten. Diesem Einwand soll hier mit dem Hinweis entgegnet werden, daß der Mengenanpasser eine Gruppe von Mengenanpassern repräsentiert. Grundsätzlich betrachtet geht es auch nicht um die Vernachlässigbarkeit des Kurseffekts, sondern darum, ob es für die Wohlfahrt eines Anlegers vernachlässigbar ist, wenn er seinen eigenen Kurseinfluß nicht berücksichtigt; siehe auch Roberts I Postlew aite (1976). Entscheidend ist hier nicht, daß der Finanztitel in t = 2 fällig wird, sondern daß sein Wert in t = 2 exogen, insbesondere unabhängig vom Handel ist. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 255 Vari (W k2) = ykl σ\ Wenn Ei(W k2) und Vari(Wfc2) in die Zielfunktion eingesetzt werden, erhält man: Φ*1 = ykiE!(K 2) + Xko - {yki - yko)K 1 - (1/(2ak))y 2klo\ Im Marktgleichgewicht müssen die notwendigen Optimalitätsbedingungen d$ki/dyki = 0 für jeden Marktteilnehmer erfüllt sein. Sie lauten - für den Nichtmengenanpasser k = N: (1) Ei(K 2) - Kl - {y N 1 - yNo)K[{y N1) - {l/a N)y Nla\ = 0 - für den Mengenanpasser k = M (der mit K[(y M 1) = 0 kalkuliert): E1(K 2) - Ki - (l/a M)y M1a21 = 0 ^ K1 = £i(2C 2) - ( σ\! ûm) y mi Der Mengenanpasser wird bei gegebenem Kurs gerade soviel nachfragen, bis der Erwartungswert des Kurses abzüglich einer Risikoprämie dem Kurs gleicht. Die Anpassung erfolgt über die Risikoprämie; letztere ergibt sich aus dem auf die Risikotoleranz aM des Mengenanpassers bezogenen Risiko σ\ des Kurses, gewichtet mit der Anzahl yM 1 der vom Mengenanpasser gehaltenen Titel. Neben den Optimalitätsbedingungen der Marktteilnehmer muß in jedem Zeitpunkt die Markträumungsbedingung erfüllt sein: Die Summe der Einzelbestände der Finanztitel muß dem unveränderlichen Gesamtbestand y gleichen. Für t = 1 lautet die Markträumungsbedingung: y = y mi + y ni Einsetzen von yM1 = y - yN1 in (Γ) ergibt (2) KI = Ei(K2) - {σ\/αΜ) {y ~ ym) und der Kurseinfluß des Nichtmengenanpassers beträgt: (3) K[{y N 1) = {σ\/αΜ) Einsetzen von (2) und (3) in die Optimierungsbedingung des Nichtmengenanpassers führt zu dessen optimalem Endbestand im Marktgleichgewicht:11 1 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 256 Hans Hirth (4) y ni = c{y + yN 0) aN mit c = 2ÜN + cîm y* N1 hängt vom Anfangsbestand yN0 ab, aber nicht von den Parametern der Kursverteilung - was letztlich an der Annahme homogener Erwartungen liegt. Gleichung (4) läßt sich besser interpretieren, wenn man sie in Anteilsgrößen formuliert: 1 α (4') vi = J-—- a + lo 1 + OL 1 + OL mit den Anteilen yN ο - aN a>N + Am a ist der Anteil der Risikotoleranz des Nichtmengenanpassers an der gesamten Risikotoleranz des Marktes. η0 steht für den Anteil seines Anfangsbestands am Gesamtbestand im betrachteten Finanztitel, η ι entspricht dem Anteil seines Endbestands am Gesamtbestand. Gleichung (4;) zeigt, daß η\ ein gewogenes Mittel aus a und η0 ist. Der Nichtmengenanpasser nähert seinen Bestandsanteil also seinem Risikotoleranzanteil an. Je höher a ist, desto stärker wird η ο im Vergleich zu α gewichtet. Das heißt, wenn der Nichtmengenanpasser sehr risikotolerant im Vergleich zum Markt ist, nähert er seinen Bestand weniger stark an a an. (4) eingesetzt in (2) führt zu: (5) K\ = Ει {K 2) - {σ\/αΜ) [y - c{y +yN0)} oder in Anteilsgrößen umformuliert: (so 9 Die Verteilungsparameter des künftigen Kurses beeinflussen zwar nicht die Nachfragemengen, aber den Kurs KJ. Darüber hinaus hängt h Siehe auch Rudolph (1982), S. 479, Gleichung (10). Dabei muß gelten: σ\ φ 0. Für σ\ = 0 ist K\ = Ei (K 2) und die Preiselastizität der Nachfrage unendlich. Alle Anleger sind indifferent zwischen der Anlage in sicheren liquiden Mitteln und in sicheren Finanztiteln. Der optimale Bestand y* N1 bleibt unbestimmt. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 257 dieser Kurs ebenfalls vom Anfangsbestand yN0 (bzw. dem Anteil 770) des Nichtmengenanpassers ab. Es kann gezeigt werden, daß für r/0 > (<) a der Kurs höher (niedriger) ist als bei allseitiger Mengenanpassung. Das heißt zum Beispiel, wenn der Nichtmengenanpasser einen „zu hohen" Bestand (770 > a) halten möchte, muß ein „zu hoher" Kurs die Mengenanpasser dazu bringen, weniger zu halten. III. Drei-Zeitpunkte-Fall mit zwischenzeitlichem Handel 1. Die zeitliche Struktur des Informationsflusses und Handels Die wichtigsten Symbole im Überblick: Et(K T) Erwartungswert des Kurses KT aus Sicht des Zeitpunkts t mit t < τ KT Kurs im Zeitpunkt r K* 0 Gleichgewichtskurs im Zeitpunkt 0 mit zwischenzeitlichem Handel im Zeitpunkt 1 K J* Gleichgewichtskurs im Zeitpunkt 0 ohne zwischenzeitlichen Handel im Zeitpunkt 1 Vart(KT) Varianz des Kurses KT aus Sicht des Zeitpunkts t mit t < r Yar 0(Ei(K 2)) Varianz des Erwartungswerts Ei(K2) aus Sicht des Zeitpunkts 0 COV 0(K 2,EI(K 2)) Kovarianz zwischen K 2 und EI(K2) aus Sicht des Zeitpunkts 0 £1 Zufalls variable, die im Zeitpunkt 1 realisiert wird. ε2 Zufallsvariable, die im Zeitpunkt 2 realisiert wird. σ\ Varianz der Zufallsvariable ει σ\ Varianz der Zufallsvariable e2 Die Betrachtung wird nun um den Zeitpunkt t = 0 erweitert (vgl. Abb. 1). Mit dieser Erweiterung sind zwei zusätzliche Überlegungen verbunden. Die erste Überlegung betrifft den intertemporalen Kalkül der Marktteilnehmer. Die bisher exogenen Anfangsbestände yk0 der Marktteilnehmer können nun als Ergebnisse ihres Kalküls aus der Vergangenheit hergeleitet werden. Entscheidend ist, daß der Nichtmengenanpasser in t = 0 nicht nur seinen unmittelbaren Einfluß auf den Kurs in t = 0 berücksichtigt, sondern auch seinen mittelbaren Einfluß auf den zukünftigen Kurs in t = 1. Anders ausgedrückt: Bei der Ermittlung seines optimalen OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 264 Hans Hirth sen Bestandsveränderungen. Der Frage, warum er die späteren Bestandsänderungen nicht gleich im Ausgangszeitpunkt vornimmt, sondern verzögert, widmet sich der folgende Punkt. 1 OL (4) Aus σ* = 0 folgt η*0 = η und η\ = — α + — η. 1 + A 1 + ÖL Wenn zwischenzeitlich keine zusätzlichen Informationen zu erwarten sind, nimmt der Nichtmengenanpasser überhaupt keine Transaktion in t = 0 vor, sondern handelt ausschließlich in t = 1 und verzögert damit den Handel. Da sich dieser Verzögerungseffekt mit wachsendem σ\ abschwächt, wie unter (5) noch gezeigt wird, kann er offensichtlich nicht damit begründet werden, daß es in t = 1 möglich ist, bei verbessertem Informationsstand zu handeln. Schließlich erhalten alle Marktteilnehmer gleichzeitig die neue Information, so daß niemand anderen Marktteilnehmern gegenüber einen Informationsvorteil besitzt, wenn er mit seinen Transaktionen bis t = 1 wartet. Die Begründung des Verzögerungseffekts liegt vielmehr in der intertemporalen Bedeutung der Bestandshaltung: Zunächst kann festgestellt werden, daß für σ\ = 0 der Kurs in beiden Zeitpunkten identisch ist - unabhängig davon, welches yN0 gewählt wird. Dies zeigt ein Vergleich der Gleichgewichtskurse in t = 0 und t = l:20 K0(σ0 = 0) = K1 = Εχ(Κ2) - (?\la M)[y ~ c{y Die vorstehende Gleichung zeigt außerdem, daß das Kursniveau steigen (sinken) würde, wenn der Nichtmengenanpasser in t = 0 kaufen (verkaufen) würde. Obwohl in t = 1 derselbe Informationszustand herrscht wie in t = 0, wäre ein Kauf (Verkauf) in t = 0 deshalb nachteilig für den Nichtmengenanpasser, solange er in t = 1 wiederum seinen Erwartungsnutzen maximiert und seine Nachfrage dann nach der Optimierungsregel (4) festlegt. Dies führt dazu, daß der Nichtmengenanpasser ausschließlich in t = 1 nachfragt. Tatsächlich weiß er in t = 0 bereits mit Sicherheit, zu welchem Kurs Κ ι er seine (ohnehin bekannte) Transaktion in t = 1 vornehmen wird. 20 Bei dieser Argumentation wird Κ ι über Formel (5) mit K0 über Formel (9) unter Berücksichtigung von (4) verglichen. Vorausgesetzt wird demnach optimierendes Nachfrageverhalten beider Anleger in t = 1 und des Mengenanpassers in t = 0. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 265 Der Vorteil einer Handelsverzögerung beruht letztlich auf dem unterstellten Optimierungskalkül: Der Nichtmengenanpasser maximiert in t = 0 seinen Erwartungsnutzen für den Endzeitpunkt, wohl wissend, daß (1) er dieses Ziel auch in t = 1 verfolgen wird und (daraus abzuleiten) (2) er in t = 0 eine Rahmenbedingung für die künftige Entscheidung setzt, nämlich seinen Anfangsbestand in t = 1. Mit der Verzögerung setzt er also eine vorteilhafte Rahmenbedingung für seine künftige Handelsentscheidung. Die Handelsmenge in t = 0 erhöht sich mit wachsendem sowohl bei einem Kauf als auch bei einem Verkauf. Da der Kurs Κ ι mit steigendem σ2 in t = 0 immer unsicherer wird, ist eine Verzögerung des Handels mit steigendem Risiko verbunden und wird deshalb abgeschwächt (Risikoeffekt der Verzögerung). Die Handelsmenge in t = 0 verringert sich mit wachsendem σ\ sowohl bei einem Kauf als auch bei einem Verkauf. Das liegt daran, daß der Kurseffekt, den eine Nachfragevariation in t = 0 und t — 1 hervorruft, mit σ\ steigt.21 Der Nichtmengenanpasser verringert deshalb seine Transaktionen (einfacher Risikoeffekt). (7) Falls σΐ = 0 ist, folgt d = a. Wenn ab t = 1 kein Restrisiko mehr besteht, ist der Anleger in t = 1 indifferent zwischen der Anlage in liquiden Mitteln und im Finanztitel. η*Ν1 bleibt unbestimmt. In t = 0 ergibt sich eine Nachfrage wie im Zwei-Zeitpunkte-Fall. Wenn ε0 und ει gleiche Varianzen aufweisen, reduziert sich das Risiko in t = 1 im selben Umfang wie in t = 2. In diesem Sinn kann man von einem gleichmäßigen Informationsfluß sprechen. Dann ist d und damit der optimale Bestandsanteil η*0 von der absoluten Höhe des Risikos bzw. seiner beiden identischen Komponenten σ\ und σ\ unabhängig. 21 Siehe die Formeln (5) sowie (9) in Verbindung mit (4). (8) Falls σ20 =σ\ ist, folgt d = 1 + α. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 266 Hans Hirth IV. Drei-Zeitpunkte-Fall ohne zwischenzeitlichen Handel Zum Zweck eines späteren Vergleichs mit den Ergebnissen aus Abschnitt III wird in diesem Abschnitt der Fall analysiert, daß es in t — 1 nicht möglich ist zu handeln. Wenn in t = 1 kein zwischenzeitlicher Handel möglich ist, messen alle Marktteilnehmer dem Titel in t = 0 das Risiko Var0(K2) bei und kalkulieren wie im Zwei-Zeitpunkte-Fall - allerdings mit den beiden Zeitpunkten t = 0 und t = 2. Dieser Fall wird mit dem Index** gekennzeichnet. Zur Berechnung der optimalen Nachfrage des Nichtmengenanpassers ist lediglich die Formel (4) so zu modifizieren, daß an die Stelle des Zeitindexes 1 der Index 0 tritt. Das heißt, y* N1 wird durch y*^ 0 und yN0 durch yN0 ersetzt. Dies ist deshalb möglich, weil die Nachfragemengen nicht von den Kursverteilungsparametern abhängen. Dann beträgt die Nachfrage des Nichtmengenanpassers: y*so = c(y + y no ) und der Kurs ist nach (2): Kl* = E0(K 2) - (Var0(K 2)/a M)(y - y** Q) (12) = E0(K 2) - [{σ20 + σ\) / a m] (1 - c)y + [(σ20 + a\)/a M]cy m Auch in diesem Fall kauft (verkauft) der Nichtmengenanpasser, wenn der Anteil seines Anfangsbestands am Gesamtbestand unter (über) seinem Risikotoleranzanteil liegt.22 Gleichfalls kauft (verkauft) er weniger, als nötig wäre, damit sich sein Bestandsanteil und Risikotoleranzanteil vollständig angleichen. V. Mengenund Kurseffekt durch Erhöhung der Handelsfrequenz 1. Grundsätzliche Überlegungen Es läßt sich leicht zeigen, daß auf einem Markt nur mit Mengenanpassern die Möglichkeit des zwischenzeitlichen Handels im vorliegenden Modellrahmen weder einen Mengennoch einen Kurseffekt besitzt. In jedem Zeitpunkt hält ein beliebiger Mengenanpasser M einen konstanten Bestand in Höhe von yM = (aM/A) y, wobei A die Summe aller (konstanten absoluten) Risikotoleranzen bezeichnet. Bei homogenen Erwartungen findet ein Handel deshalb nur einmal statt. Dann hat die Möglichkeit, 22 Siehe Rudolph (1982), S. 479. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 267 zwischenzeitlich zu handeln, keine Auswirkung. Im Gegensatz dazu wird bei einer Nichtmengenanpassung im vorliegenden Modell selbst angesichts homogener Erwartungen nicht nur einmal gehandelt.23 Deshalb hat die Möglichkeit, zwischenzeitlich zu handeln, auch Auswirkungen, die im weiteren aufgezeigt werden. Der Mengeneffekt durch die Erhöhung der Handelsfrequenz beträgt Wie bereits abgeleitet wurde, paßt der Nichtmengenanpasser seinen Bestand durch Käufe (Verkäufe) tendenziell, aber nicht vollständig, an denjenigen an, der sich bei optimaler Risikoallokation ergeben würde. Die Antizipation des zwischenzeitlichen Handels führt nun dazu, daß der Nichtmengenanpasser seinen Bestand im Ausgangszeitpunkt 0 weniger stark anpaßt und weniger kauft (verkauft). Die Möglichkeit, zwischenzeitlich zu handeln, verringert somit zunächst die Markttransaktionen im Ausgangszeitpunkt. Allerdings werden zusätzliche Transaktionen im Zeitpunkt 1 vorgenommen. Deshalb sollen die über beide Handelszeitpunkte aggregierten Handelsmengen betrachtet werden. Da in t = 1 genau dann gekauft (verkauft) wird, wenn bereits in t = 0 gekauft (verkauft) wird, entsprechen die aggregierten Handelsmengen mit zwischenzeitlichem Handel der Differenz | y* N1 — yN01. Die aggregierten Handelsmengen ohne zwischenzeitlichen Handel gleichen der Differenz I y*x 0 - y no I. Die Erhöhung der gesamten Transaktionsmenge durch den zwischenzeitlichen Handel ist:24 23 Natürlich wird auch dann nicht gehandelt, wenn der Anfangsbestand eines jeden Marktteilnehmers bereits die von ihm gewünschte Portefeuillestruktur aufweist. 24 Siehe Anhang 4. 2. Mengeneffekt Daraus folgt: Wenn η < = } a gilt, ist y* N0 - < = > 0. \y*NI - VNO \ - I y NO - YM \ = c\y*NO-yNO\ > 0 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 268 Hans Hirth Sofern überhaupt gehandelt wird, wächst also die über den gesamten Handelszeitraum aggregierte Handelsmenge durch die zusätzliche Handelsmöglichkeit. Es läßt sich zeigen, daß der Anstieg der Handelsmenge positiv von al abhängt.25 Das heißt, je stärker der Informationsfluß bis zur zusätzlichen Handelsmöglichkeit ist, desto stärker wächst die aggregierte Handelsmenge. Daß dieser Effekt letztlich daran liegt, daß sich im Vergleich zu σ\ erhöht, erkennt man in (II') daran, daß die optimale Nachfrage sich nicht ändert, wenn sich beide Varianzen im selben Verhältnis ändern. 3. Kurseffekt K* 0 bezeichne den Kurs, der sich mit der Möglichkeit zwischenzeitlichen Handels bildet. Setzt man (4) in (9) ein, resultiert: σ\ + σ? σ« ca? κ; = Eo(κ2) - -a-—L y + -s-vìn + —L(y + y' N„) "AI 0>M aM σΐ + σ? σΙ + οσ? οσ? κι = Ε0(Κ2) —1-y + — y no + y üm Q>M UM Den Kurs ohne zwischenzeitlichen Handel (K*0*) beschreibt Gleichung (12). Die zusätzliche Handelsmöglichkeit verändert den Kurs also um ir* KT« c<7° « CK + σι) Λ , σ1 + C( JÌ κο = - —— y - — y fi ο + — yNoΟ-Μ αΜ CLM Nach Einsetzen von y* NQ gemäß (11) läßt sich folgende Aussage treffen: Unter der Voraussetzung, daß der Nichtmengenanpasser kauft (verkauft), erhöht (senkt) die Möglichkeit des zwischenzeitlichen Handels den Kurs des Finanztitels in t = 0. Dieses Ergebnis überrascht auf den ersten Blick insofern, als einerseits der Nichtmengenanpasser seine Transaktion in t = 0 verringert, andererseits der Kurs für ihn ungünstiger wird. Tatsächlich ist der Kurs bei zwischenzeitlichem Handel aber nicht nur von der Nachfrage in t = 0, sondern auch von der antizipierten Nachfrage in t = 1 abhängig, und die im Zeitablauf aggregierte Transaktionsmenge steigt durch den zwischenzeitlichen Handel. 25 Daß er negativ von σ\ abhängt, ist ohne weiteres plausibel. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 269 Darüber hinaus ließe sich zeigen, daß die Kurswirkung einer höheren Handelsfrequenz, also \K* Q - K* Q* |, um so größer ist, je größer σ^ ist. D.h., je größer das Risiko bis zum zusätzlichen Handelszeitpunkt ist, um so weniger vermeidet der Nichtmengenanpasser einen für ihn nachteiligen Kurseffekt. Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, daß K* 0 - K* 0* = 0 gilt, wenn σ20 = 0 oder σ\ = 0 ist. Daß die beiden Fälle σΐ = 0 oder σ\ — 0 jeweils als Zwei-Zeitpunkte-Fall interpretiert werden können, wurde oben bereits ausgeführt. Folgerichtig bliebe die zwischenzeitliche Handelsmöglichkeit ohne Kurseffekt. Ein weiteres Ergebnis ist, daß der Gleichgewichtskurs K0 durch die Erhöhung der Handelsfrequenz weniger stark von Variationen der Nachfrage in t = 0 abhängt. Denn eine marginale Nachfragevariation in t = 0 ohne zwischenzeitliche Handelsmöglichkeit verändert den Kurs um dg;* _ Var0(K2) _σ20 + σΙ DÏJN 0 ÖM CLM Hingegen ändert eine marginale Nachfragevariation in t = 0 mit zwischenzeitlicher Handelsmöglichkeit den Kurs nur um dK* 0 _ σ2 + cal dKo dyNo clm dy N0 Die Erhöhung der Handelsfrequenz vergrößert somit die Marktliquidität. Dies äußert sich darin, daß der Kurs in t = 0 Schwankungen der Transaktionsmenge gegenüber stabiler wird. Daß sich gleichzeitig auch die zweite Dimension der Marktliquidität, nämlich die Wartezeit bis zur nächsten Kursfeststellung, „verbessert", ist natürlich kein Ergebnis, sondern eine Annahme. VI. Schlußbemerkungen Betrachtet wird ein fester Zeitraum, innerhalb dessen die Handelsfrequenz von einmaligem auf zweimaligen Handel erhöht wird. Speziell geht es darum, daß die erhöhte Handelsfrequenz antizipiert wird, wobei die Anfangsbestände unverändert bleiben. Man könnte einwenden, daß eine höhere Handelsfrequenz auch mit anderen Anfangsbeständen verbunden sein würde. Doch geht die bisherige Argumentation ohnehin stillschweigend von einem exogenen Schock aus, der dafür verantwortlich ist, daß die Anfangsbestände nicht den optimalen Beständen entsprechen. Analysiert wird demzufolge der Anpassungsprozeß nach einem 18 Kredit und Kapital 2/1997 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 270 Hans Hirth solchen Schock und die Wirkung der Handelsfrequenz auf diesen Anpassungspfad. Die Erhöhung der Handelsfrequenz macht es möglich, daß Transaktionen auf mehr Handelszeitpunkte aufgeteilt werden können. Diese Möglichkeit wäre bei allseitiger Mengenanpassung, konstanter absoluter Risikoaversion und homogenen Erwartungen irrelevant, da ohnehin nur ein einziges Mal (nämlich im Anfangszeitpunkt) gehandelt werden würde. Die Abkehr von einer Mengenanpassung führt in diesem Modellrahmen überhaupt erst dazu, daß öfter als einmal gehandelt wird, sofern dies möglich ist. Daraus ergibt sich, daß ein Nichtmengenanpasser bei rationalen Erwartungen einkalkulieren muß, daß er mit seiner aktuellen Nachfrage nicht nur den aktuellen Kurs, sondern auch zukünftige Kurse beeinflußt. Dies verstärkt seine Neigung, im Ausgangszeitpunkt weniger zu handeln. Kritisiert werden könnte an dieser Stelle, daß auch die Mengenanpasser angesichts ihres Nachfrageverhaltens rationale Erwartungen bilden. Dazu sei nochmals darauf hingewiesen, daß der unterstellte Mengenanpasser eine Gruppe vieler kleiner Mengenanpasser repräsentiert, die den Zusammenhang zwischen Nachfrage und Kurs sehr wohl erkennen und nur den Einfluß ihrer individuellen Nachfrage vernachlässigen. Offensichtlich geht damit eine Inkonsistenz bezüglich der Erwartungen marginaler Einflüsse einher, je nachdem, ob der marginale Einfluß der aggregierten Nachfrage der Gruppe oder der eines einzelnen Mengenanpassers betrachtet wird. Bei einer höheren Handelsfrequenz verlagert der Nichtmengenanpasser einen Teil seiner Transaktionen auf den neu hinzukommenden Handelszeitpunkt. Diese Verzögerung wird um so stärker, je geringer das damit verbundene Risiko ist. Dies widerspricht auf den ersten Blick der Intuition, daß die Verbesserung des Informationsstands im Zeitablauf gerade dafür spricht, mit einer Transaktion zu warten. Tatsächlich aber trifft das Argument hier nicht zu, weil alle Marktteilnehmer homogene Erwartungen haben und sich die absehbare Informationsverbesserung schon im aktuellen Kurs niederschlägt. Die Verzögerung ist vielmehr darauf zurückzuführen, daß der Nichtmengenanpasser erkennt und einkalkuliert, daß sich seine aktuelle Nachfrage auch auf den zukünftigen Kurs (für ihn nachteilig) auswirkt. Doch gleichzeitig verschlechtert sich die Möglichkeit des Nichtmengenanpassers, eigene Kurseffekte zu vermeiden. Denn auch die Mengenanpasser antizipieren die Abhängigkeit künftiger Kurse von den aggregierten (nicht ihren individuellen) aktuellen Transaktionen. Deshalb liegt der Kurs des Finanztitels bereits im Ausgangszeitpunkt näher an dem Kurs, der sich bei optimaler RisikoOPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung 271 allokation ergäbe. Darüber hinaus ist der Kurs Schwankungen der Transaktionsmenge gegenüber stabiler. Unter dem Aspekt der Risikoallokation erweist sich die Erhöhung der Handelsfrequenz als ein Mittel, um die Marktliquidität zu fördern. Rationale Erwartungen aller Marktteilnehmer über die intertemporalen Kurswirkungen von Transaktionen beeinträchtigen die Möglichkeit des einzelnen Investors, die absolute Kurshöhe in seinem Sinne zu beeinflussen. Die Befürchtung, daß ein Markt mit zunehmender Handelsfrequenz „austrocknet" und in den einzelnen Zeitpunkten an Liquidität verliert, erscheint in diesem Rahmen unbegründet. Anhang Anhang 1 Aus K2 = £ι + ε2 folgt: Covo (K2, (K2)) = Covo (ει + ε2, ε ι + μ) = Εο [(ει + ε2) · (ει + μ)} - Ε0 [(εχ + ε2)] · Ε0 [(ε! + μ)} = Ε0 [ε\ + ει μ + ε2 ει + ε2 μ] - μ2 = Ε0[εΙ] + Ε0[ε2ει] + Ε[ε2μ] - μ2 = Ε0[ε{] + Ε0[ε2ει] Da Ε ο [ε 2 ε ι] = 0 ist, weil ε ι und ε2 stochastisch unabhängig sind, und aufgrund von Ε0[ε\] = σ\ folgt: Covo (K2, E\ (K 2)) = σ\. Anhang 2 Var0(W,v2) = 2/jvi Var0 (K2) + (y N1 - yN0)2 σ20 - 2yN1(y N1 - yN0) Cov0 (K 2, EY (K 2)) = y2N1Yar 0(K 2) + (y Nl - yNof ~ 2yN1(y m - yN 0) σ20 = y2N1Varo(K 2) + (y 2m - y2N1)a2 = ^![Var0(K2) - σ20] + y2N0a20 = Vi 1*1 + ylo°l 18: OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 272 Hans Hirth Anhang 3 Einsetzen von (7), (9) und (10) in (6) ergibt: dyNi 0 = {1/αΜ)[(ν(σ20 + σ;) - νΝοσ20 - yN ισ\] - (y No - yNQ) (l/a M) [σ\ + dy N ο (y - yN\){^/cL M)a\ + [y - 2yNÌ + yN0] (l/a M) σ\ ayN ο (1 /a N) dyu1 2 , 2 y ν 1&1 + y ν ο^ο .dy N0 = {l/a M)[y(a 20 + σ\) - yN0a20 - yN λσ\ - (y No - yNo)v20 ~ (ïl ~ νΝΐ)σ\] - (l/a N) yN0 σ20 + '^^'σϊ{(1/αΛ')[-(ΐ/ΛΓ0 - Y NO ) + s - 2ywl + 2/NO] - (l/aN)2/wi} = (1 /a M)a2(y + ϊ/λγο - 2yNo) ~ (1/ajv)2/jvo + σ\ {(l/a M) [y + 2/wo - 2t/jvi] - (l/a N)î /λτι }, cm/no wobei aus Formel (4): τ/^νι = c(y + î/no), folgt: dy N ι mit c = dy No aN 2aN + aM Zwar ist yN1 für σ\ = 0 unbestimmt, aber bleibt eindeutig. Nach einigen Umformungen erhält man: 0 = (1 /a M)a20(y + yNQ - 2yNo) - (l/a N) yN0 σ\ + ca2 {(l/a M) [y +yNo - 2c(y + 2/jvo)] - (l/a N)c{y + yNo)} ** y*N0 = ~~2— Ισοy + (σο + ca\)yN0] 0 9 Γ + mit a\jc + ca\ φ 0. Für = σ^ = 0 ist also auch unbestimmt. In diesem Fall besteht wiederum Indifferenz zwischen der Anlage in sicheren liquiden Mitteln und im Finanztitel. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.2.250 | Generated on 2023-01-16 13:09:10 Handelsfrequenz und Nichtmengenanpassung Anhang 4 273 Die Möglichkeit, zwischenzeitlich zu handeln, erhöht das über die Zeitpunkte 0 und 1 aggregierte Handelsvolumen um: \y*m - vno \ - \y*No - y no I Die Vorzeichen von | y* N1 - yN0 | und | y*^ 0 - yN01 sind immer identisch. Bei positiven Vorzeichen, also im Falle des Kaufs, gilt: I y*Ni - yNo \ - \y*N 0 - ym \ = y* N1 - y no = °(y + y no) - c(y + y no) = c(y*No - y no) > ο Bei negativen Vorzeichen, also im Falle des Verkaufs, gilt: \y*M -ym\- I y NO - y NO\ = y NO - y M = ο - y* N0) > ο Damit beträgt die Erhöhung des gesamten Handelsvolumens durch die Möglichkeit, zwischenzeitlich zu handeln, immer I y*N\ -SNO\- \y*NO -9N ol = c\y*NO - UNO I Falls die exogenen Anfangsbestände den Beständen bei optimaler Risikoallokation entsprechen, wird überhaupt nicht gehandelt. Eine Erhöhung der Handelsfrequenz bleibt dann ohne Auswirkung. Literatur Allen, F./Gale, D. (1992), Stock-price manipulation, in: Review of Financial Studies, S. 503 - 529. - Basak, S. (1995), General equilibrium continuous-time asset pricing in the presence of: (1) Portfolio insurers and (2) non-price-taking investors, Ann Arbor (zugl. Dissertation, Carnegie Mellon University 1993). - Baye, M., Gillette, Α., de Vries, C. 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