Ko e, Be nha d; Obe ho e , Wal e
A icle
Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en
K edi und Kapi al
P o ided in Coope a ion wi h:
Duncke & Humblo , Be lin
Sugges ed Ci a ion: Ko e, Be nha d; Obe ho e , Wal e (1970) : Ve eilungs o men de
Einlagenbes ände au Spa kon en, K edi und Kapi al, ISSN 0023-4591, Duncke & Humblo , Be lin,
Vol. 3, Iss. 2, pp. 172-201,
h ps://doi.o g/10.3790/ccm.3.2.172
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en
Von Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e , Bonn
1. Vo beme kungen
Die o liegende A bei s ell einen Bei ag zu quan i a i en Analyse
des mik oökonomischen Spa p ozesses da . Hie soll e such we den,
mi ökonome ischen und s a is ischen Me hoden zusä zliche und bishe
zum Teil unbekann e Aussagen übe die En wicklung, Bes immungs-
g ünde und die soziale S uk u des Spa p ozesses im Hinblick au den
einzelnen Spa e zu gewinnen. Die nach olgenden Aussagen e heben da-
he nich den Ansp uch, p imä neue E kenn nisse zu Theo ie des Spa-
ens zu lie e n. Ande e sei s wa es auch nich unse e Au gabe, ein oll-
s ändiges und a p io i gegebenes heo e isches Spa modell zu e i izie en.
De Ausgangspunk unse e Un e suchungen bes and ielmeh da in,
daß wi ela i um ang eiches und in diese Fo m bishe noch nich o -
handenes empi isches Ma e ial zu Ve ügung ha en, aus dem dann
en sp echende Resul a e deduzie wu den. Diese E kenn nisse können
dann un e Ums änden als wei e e Baus eine in ein en sp echendes heo-
e isches Gebäude eingese z we den.
Wi wollen e ne be ei s hie e wähnen, daß sich unse e Un e su-
chungen ausschließlich au das Kon enspa en beziehen, da ü die ande-
en Spa o men das no wendige empi ische Ma e ial unse es Wissens bis-
he noch nich o handen is . Diese Spezialisie ung bedeu e abe inso-
e n keine allzu s a ke Einsch änkung, als zum Beispiel nach Be echnun-
gen on R. Exo und 50 % de p i a en E spa nisbildung sowohl de
Unselbs ändigen als auch de Selbs ändigen au Spa kon en e olg 1.
Diese P ozen zahl ha auch dann Gül igkei , wenn man als Bezugsg öße
den p i a en Haushal nimm . Sie wu de on R. Exo nich nu ü eine
ku ze Zei pe iode, sonde n insgesam ü 11 Jah e on 1950 bis 1960
1 Vgl. R. Exo, Die En wicklung de sozialen und ökonomischen S uk u
de E spa nisbildung in de Bundes epublik Deu schland, Be lin, 1967. Tabel-
len 53, 54 u. 55, Sei e 326 .
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 173
be echne . De obengenann e We on 50 % s ell einen Mi elwe
übe die genann en Jah e da . Inso e n beziehen sich unse e Un e suchun-
gen au die dominie ende Komponen e des p i a en Spa p ozesses.
Die bishe igen Analysen des Spa p ozesses un e such en im wesen -
lichen die Du chschni swe e de Einlagenbes ände ode de Umsä ze
im Ve lau de Zei bzw. ü e schiedene soziale G uppen. Aus de
Ve ände ung und den Un e schieden de Du chschni swe e wu den
dann en sp echende Schlüsse gezogen. Allen alls wu den noch g obe
G ößenklassengliede ungen ü die Einlagenbes ände zu Analyse hin-
zugezogen. De a ige Du chschni sbe ach ungen sagen abe nich s übe
den Typ und die spezielle Fo m de Ve eilungs unk ion de einzelnen
Va iablen aus. Die F agen nach de indi iduellen Ve eilung de Einla-
genbes ände und ih e Pa ame e (Mi elwe , Va ianz) au Spa kon en
konn en dahe bishe nich bean wo e we den. Fü eine di e enzie e
Analyse des Spa p ozesses in e essie en abe nich nu die Ve ände un-
gen des Mi elwe es, sonde n ielmeh Aussagen übe mögliche Ve än-
de ungen de gesam en Ve eilungs unk ion ode de Ve eilungsdich e.
Ebenso können e gleichende Be ach ungen zwischen e schiedenen so-
zialen G uppen, die sich lediglich au Mi elwe e besch änken, keine
signi ikan en Un e schiede zeigen, wäh end en sp echende Analysen de
Ve eilungs unk ion und de Ve eilungsdich e zusä zliche E kenn nisse
e mi eln können. Abe neben diesen heo e ischen Aussagen ha eine
de a ige Analyse de Ve eilungs o men auch eine nich ge inge p ak i-
sche Bedeu ung. Insbesonde e bei de Fes legung on G ößenklassen ü
lau ende S a is iken des Spa p ozesses is eine genaue Kenn nis de Ve -
eilungs unk ion wesen lich. Hie du ch kann man e meiden, daß du ch
alsche (z.B. zu g obe ode zu eine) G ößenklassenbildungen en sp e-
chende Teile de gesam en Ve eilung agg egie , e ze ode alsch
wiede gegeben we den.
Es sei in diesem Zusammenhang noch eine heu is ische Me hode zu
Beu eilung on Ve eilungs o men genann , bei de eine genaue Kenn -
nis de Ve eilungs unk ion bzw. de Dich e unk ion nich no wendig
is . Hie bei handel es sich um die on Lo enz zum e s en Mal benu z e
Ku e zu Messung des Konzen a ionsg ads2. In Abbildung 1 sind zwei
de a ige Lo enz-Ku en ü die Ve eilung de Spa einlagen au Spa -
kon en wiede gegeben. De G aph de Lo enz-Ku e en s eh dadu ch,
daß man jeweils den kumulie en ela i en An eil de Spa kon en an
2 Lo enz, Me hods o Measu ing he Concen a ion o Weal h. Publica ions
o he Ame ican S a is ical Associa ion 9 (New Se ies), (1905), S. 205—219.
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174 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
Abbildung 1
Lo enz-Ku e: Konzen a ionsmaß ü die Ve eilung
de Spa einlagen au Spa kon en
% de Spa einlagen
de Gesam hei alle Spa kon en dem kumulie en ela i en An eil de
Spa einlagen au diesen Spa kon en eben alls gemessen an de Gesam -
hei alle Spa einlagen gegenübe ges ell . Hie zu benu z man meis ens
eine Spa einlagen-G ößenklassengliede ung ü die Spa kon en und die
Spa einlagen. Nu dann, wenn au allen Spa kon en jeweils de selbe
Spa einlagenbes and o handen wä e, wü de die en sp echende Lo enz-
Ku e de in Abbildung 1 eingezeichne en Winkelhalbie enden en sp e-
chen. Denn in diesem Fall wü den z. B. au 10 % alle Spa kon en auch
10 % de Spa einlagen, au 20 % de Spa kon en auch 20 % de Spa -
einlagen usw. o handen sein. Eine de a ige iden ische Ve eilung wi d
abe in de Regel bei keine wi scha lichen Va iablen anzu e en sein.
Dahe is de G aph de Lo enz-Ku e, die insbesonde e auch zu Ana-
lyse de pe sonellen Einkommens e eilung benu z wi d, konka und
un e halb de Winkelhalbie enden e lau end. So zeig z. B. die Abbil-
dung 1, daß im Jah 1950 au 50% alle Spa kon en nu und 6%
de Spa einlagen e einig wa en, wäh end z. B. 50 % de Spa einlagen
au nu insgesam 4 % de Spa e kon en e eil wa en. Die en sp e-
chende Lo enz-Ku e ü das Jah 1968 zeig mi Ausnahme des un-
e en Be eichs einen gewissen Dekonzen a ionse ek . Diese E ek is
op isch dadu ch es zus ellen, daß die en sp echende Lo enz-Ku e im
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 175
übe wiegenden Teil obe halb de Ku e ü das Jah 1950 e läu . Das
bedeu e also, daß im Ve lau de Zei die Ve eilung de indi iduellen
Spa einlagen au den Spa kon en e was gleichmäßige gewo den is .
Diese Aussage s ell abe das Maximum an In o ma ion da , das man
mi dem heu is ischen Ins umen eine Lo enz-Ku e e mi eln kann.
Eine e ie e Analyse is nu bei Kenn nis de Ve eilungs unk ion
möglich.
Die nächs e F age, de wi uns nun zuwenden wollen, lau e : Welche
Ve eilungs unk ion kann man heo e isch ü den Einlagenbes and au
einem einzelnen Spa kon o ablei en? Wi wollen im olgenden mi Bi
den Einlagenbes and au einem einzelnen Spa kon o am Ende des ¿- en
Jah es bezeichnen.
Un e s ell man nun ü den Einlagenbes and Biy daß e om We
de Vo pe iode abhäng , wobei eine wei e e Zu alls a iable als
S ö e m hinzugenommen wi d, so kann man olgenden Ansa z o mu-
lie en:
(1.1) B^Bj.id +Zi) .
Diese Fo mel besag , daß de Einlagenbes and am Ende eine Pe iode
p opo ional zum Einlagenbes and de Vo pe iode is , wobei de P o-
po ionali ä s ak o du ch die zu ällige G öße z{ angegeben wi d. Die
ela i e s ochas ische Abhängigkei des Einlagenbes ands on demjenigen
de Vo pe iode e schein seh sinn oll. Aus Fo mel (1.1) olg dann ü
den Einlagenbes and de w- en Pe iode:
(1.2) Bn = B0( 1 + Zl)
(1
+ z2) ... (1 + zn) ,
wobei B0 de Einlagenbes and zu Beginn eines Beobach ungszei aums
is . Du ch Loga i hmie en on (1.2) e häl man:
(1.3) log Bn = log B0 + log
(1
+ zx) + log
(1
- z2) + ... + log
(1
+ zn) .
Nun olg aus dem zen alen G enzwe sa z de Wah scheinlichkei s-
echnung, daß die au de linken Sei e on Fo mel (1.3) s ehende G öße
log Bn asymp o isch no mal e eil is , wobei ü die zu älligen G ößen
Zi nu seh schwache Vo ausse zungen ge o de we den. So gil die Aus-
sage des zen alen G enzwe sa zes, wenn alle z{ s a is isch unabhängig
sind und eine beliebigen abe gleichen Ve eilungs unk ion mi endli-
chem Mi elwe und endliche S euung genügen. Es lassen sich abe
noch wesen lich allgemeine e Vo ausse zungen ü die Gül igkei des zen-
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176 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
alen G enzwe sa zes und dami die Gül igkei de Aussage, daß die
G öße log Bn no mal e eil is , angeben. Mi Hil e de obigen, im all-
gemeinen seh sinn ollen Annahme kann man dahe heo e isch ablei en,
daß de Spa einlagenbes and loga i hmisch no mal e eil is , d. h. die
Ve eilungsdich e de G öße Bn ha die Fo m
Hie bei sind p und o die Pa ame e (Mi elwe und S euung) de
en sp echenden No mal e eilung on log Bn.
Mi einem ähnlichen Ansa z ha R. Gib a zum e s en Mal abgelei e ,
daß das indi iduelle Einkommen eben alls loga i hmisch no mal e eil
is 3. Dieses heo e ische Resul a is ü alle bekann en Einkommens e -
eilungen s a is isch seh gu zu e i izie en. Unse e nach olgenden Aus-
üh ungen we den zeigen, daß eine en sp echende Ve i ika ion ü die
Ve eilung de Spa einlagenbes ände eben alls möglich is .
Als s a is isches Ausgangsma e ial ü unse e Un e suchungen haben
wi die Da en eine S ichp obene hebung benu z , die mi einem Um-
ang on 12 413 Spa kon en im Au ag des Deu schen Spa kassen- und
Gi o e bands im Jah e 1964 bei allen ö en lichen Spa kassen du chge-
üh wu de. Fü jedes diese Spa kon en wu den die Bes ände ü einen
Zei aum on 5 Jah en sowie zusä zliche Me kmale übe die Pe son des
Kon oinhabe s e mi el . Eine genaue Besch eibung de A und des Um-
angs de S ichp obe sowie de einzelnen E hebungsme kmale inde de
Lese in eine ühe publizie en A bei 4.
Wi wollen nun aus den empi ischen Da en Aussagen übe die Ve -
eilungs unk ion de Einlagenbes ände au Spa kon en ablei en. Zu die-
sem Zweck be ach en wi die Einlagenbes ände au den einzelnen Spa -
kon en jeweils am Jah esende in de Zei on 1959 bis 1963, die wi
mi $1959 + i (i = oy 1, 4) bezeichnen wollen. Diese G ößen we den
im olgenden als sogenann e zu ällige G ößen angesehen, de en Ve ei-
lungs unk ion bzw. Ve eilungsdich e zu bes immen is . Inso e n is also
zum Beispiel de Einlagenbes and am Jah esende 1959 au einem ein-
3 R. Gib a y Les inégali és économiques. Pa is 1931.
4 Vgl. B. Ko ey S ichp oben e ah en und Auswe ungs echnik, in: Spa -
kasse, 83. Jah gang, He 2/3, Feb ua 1966, S. 46 .
(1.4)
2. Ve eilungs unk ion
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 177
zelnen Spa kon o eine Realisie ung de zu älligen G öße #1959- Au
G und de obengenann en S ichp obe haben wi dann 12 413 Realisie-
ungen diese zu älligen G ößen.
Abbildung 2
Empi ische Ve eilungs unk ion des Spa -
einlagenbes ands am Jah esende 1959: B1959
(Abszisse a i hme isch skalie )
Wi we den zunächs die Ve eilungs unk ion des Einlagenbes ands am
Jah esende 1959 un e suchen. In Abbildung 2 is die empi ische Ve ei-
lungs unk ion on Z?i959 ü den Be eich zwischen 0 DM und 2 000 DM
da ges ell , d. h. es is die kumulie e ela i e Häu igkei de Spa kon-
en den Einlagenbes änden am Jah esende 1969 gegenübe ges ell . In
Analogie zu de en sp echenden Lo enzku e ( gl. Abbildung 1) zeig
diese Da s ellung, daß au den Be eich zwischen 0 und 100 DM Ein-
lagenbes and und 50 % alle Spa kon en en allen. Inso e n kann eine
a i hme ische Skalie ung de Abszisse den Ve lau de Ve eilungs unk-
ion nich oll e assen. Wi haben dahe in Abildung 3 dieselbe Ve ei-
lungs unk ion noch einmal da ges ell , alle dings mi eine loga i h-
misch skalie en Abszisse. Wenn unse e im o angegangenen Abschni
au ges ell e heo e ische Aussage übe die Ve eilungs unk ion de Spa -
einlagenbes ände zu e en soll e, so müß e die Da s ellung on Abbil-
dung 3 den ypischen Ve lau de Ve eilungs unk ion eine No mal e -
12 K edi und Kapi al 2/1970
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178 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
eilung au weisen. Das is alle dings nich de Fall, weswegen wi zu-
nächs e mu en, daß die Ve eilung de Spa einlagenbes ände eine
Misch e eilung is , d. h. du ch Ube lage ung on meh e en e schiede-
Abbild ing 3
Empi ische Ve eilungs unk ion des Spa -
einlagenbes ands am Jah esende 1959: B1959
(Abszisse loga i hmisch skalie )
ela i e
Häu igkei
(%)
nen Ve eilungen en s eh . Um diese Hypo hese nachzup ü en, wollen
wi im olgenden die Ve eilungsdich e on £1959 wei e analysie en, da
diese insbesonde e bei Misch e eilungen ein op isch und auch e ah-
ens echnisch besse zu handhaben is als die Ve eilungs unk ion selbs .
Die Ve eilungsdich e en s eh bekann lich aus de Ve eilungs unk ion
du ch Di e en ia ion, d. h. du ch eine in ini esimale Be ach ungsweise.
Da wi in unse em Fall eine S ichp obe, d. h. eine Realisie ung eine zu-
älligen G öße o liegen haben, müssen wi en sp echende G ößenklas-
sen bilden und du ch die Ve eilung de Häu igkei en ü diese G ößen-
klassen die Ve eilungsdich e app oximie en. Die G ößenklassen we den
du ch eine un e e G enze und du ch eine obe e G enze o* besch ieben,
wobei in die en sp echende G ößenklasse diejenigen Spa kon en allen,
de en Einlagenbes and g öße als und kleine ode gleich dem We
Oi is . Die gesam e G ößenklasse wi d du ch das Symbol (uiy bezeich-
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 179
ne . Wenn das Spek um des Einlagenbes ands insgesam in
n
G ößen-
klassen au ge eil wi d, so is
i =
1,.
.., n.
Es is e ne Oj_i =
ui
Die le z e G ößenklasse ha eben alls eine obe e G enze
on,
da die
Anzahl de G ößenklassen so gewähl wu de, daß bei de zu un e su-
chenden empi ischen Ve eilung kein Elemen obe halb on
on
lieg . Die
Anzahl und die A de G ößenklassen ich e sich nach de G öße des
S ichp obenum angs und nach de Fo m de zu un e suchenden Ve ei-
lung. Bei kleinem S ichp obenum ang da die G ößenklassenanzahl
nich zu g oß gewähl we den, da sons die S ichp oben ehle besonde s
s a k ins Gewich allen. Ande e sei s müssen wi zu Analyse on
komplexen Ve eilungen (z. B. Misch e eilungen) eine möglichs g oße
Anzahl on G ößenklassen haben, da sons die Ve eilungs o m nich
genau zu e assen is .
Die loga i hmische Skalie ung de Abszisse e eichen wi dadu ch,
indem wi die G ößenklasseng enzen so bes immen, daß de Quo ien
on obe e G enze und un e e G enze ü alle G ößenklassen kons an
is , d. h.
:;— = 9 (i = 1,2, ..., n) .
ui
In unse em speziellen Fall e gab sich du ch empi ische P ü ung, daß
ein Fak o
q =
1,5 besonde s sinn oll is . Mi diesem Fak o haben
wi insgesam 28 G ößenklassen gebilde , wo on die e s e Klasse Spa -
kon en mi Einlagenbes änden übe 2 DM bis einschließlich 3 DM be-
inhal e , die zwei e G ößenklasse zwischen 3 DM und 4,50 DM an-
gie usw. De Be eich un e 2 DM wu de nich e aß , da e nu die-
jenigen Spa kon en en häl , die de ac o e loschen sind, abe mi eine
Minimaleinlage wei e ge üh we den. Die le z e G ößenklasse lieg
zwischen und 110 000 DM und 170 000 DM.
In Abbildung 4 haben
wi die empi ische Ve eilungsdich e on $1959
en sp echend de oben de inie en G ößenklassengliede ung au ge agen.
Aus diese Da s ellung kann man in g oben Zügen eine Misch e eilung,
die aus zwei loga i hmischen No mal e eilungen bes eh , he auslesen.
Die ela i s a ken Un egelmäßigkei en de empi ischen Ve eilungs-
dich e lassen sich du ch die S ichp obe e klä en.
Wi s ellen demnach je z die Hypo hese au , daß die Ve eilung de
Spa einlagenbes ände am Jah esende 1959, d. h. die Ve eilung de
G öße Z?i959 aus de Summe on zwei Logno mal e eilungen bes eh .
12*
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186 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 187
e hal en. Im einzelnen we den die Gewich ungs ak o en ü das k- e
Jah wie olg be echne .
<x
= 5- 1959 + - k
|
( = 0,..., 4; k = 1959,..., 1963) .
Die nach Fo mel (3.4) endgül ig be einig en Bese zungsanzahlen e -
geben dann die be einig e empi ische Ve eilungsdich e, die on uns an-
schließend wei e un e such wi d. Das Mus e de gla en Be äge kann
man nach diese Be einigung unmi elba aus dem Quo ien yuJyik ab-
lesen. Fü die G öße #1959 is dieses Mus e in Abbildung 6 wiede gege-
ben. Wenn de Quo ien einen We kleine als 1 ha , dann wa die
unbe einig e empi ische Ve eilung an diesen S ellen u sp ünglich übe -
bese z . Bei einem We g öße als 1 lag eine en sp echende Un e bese -
zung o . Die g a ie enden Ube bese zungen bei den gla en Be ägen
DM 10, DM 100 und DM 1 000 lassen sich in Abbildung 6 seh deu lich
e kennen. Die Mus e de gla en Be äge ü die Einlagenbes ände in
den Jah en 1960 bis 1963 sind demjenigen de Abbildung 6 so seh ähn-
lich, daß sie im Rahmen de Zeichengenauigkei nich un e schieden we -
den könn en. Wi haben dahe au eine g aphische Da s ellung diese
Mus e e zich e . Diese s a ke zei liche Kons anz des Mus e s ech -
e ig nochmals unse e Annahme, daß de einzelne Spa e besonde s
an gla en Be ägen es häl .
In Abbildung 7 haben wi die gemäß Fo mel (3.4) geglä e e empi-
ische Ve eilungsdich e on #1959, die nach de Minimum-Fehle -Qua-
d a -Me hode e mi el e heo e ische Misch e eilung und de en Kom-
ponen en bei loga i hmisch skalie e Abszisse da ges ell . Im Ve gleich
zu Abbildung 5 äll au , daß nun die empi ische Ve eilungsdich e einen
wesen lich gla e en Ve lau ha und dahe auch du ch die heo e ische
Dich e unk ion noch besse app oximie we den kann. Ein nochmalige
Tes de Hypo hese, daß die be einig e empi ische Ve eilung eine Misch-
e eilung is , die aus zwei Logno mal e eilungen bes eh , e gib , daß
sowohl beim %2-Tes als auch beim Kolmogo o -Tes mi ela i g oßen
I umswah scheinlichkei en diese Hypo hese nich e wo en we den
kann. Die Aussage is dami als s a is isch gesiche zu be ach en.
Wi haben bishe die abgelei e en E gebnisse g aphisch und auch ana-
ly isch ausschließlich ü die G öße 5i959 da ges ell . Fü die Spa einla-
genbes ände in den ande en Jah en komm man abe zu seh ähnlichen
E gebnissen, au de en g aphische Wiede gabe hie e zich e we den
soll. Eine de aillie e Analyse diese Zahlen wi d im nach olgenden Ab-
schni o genommen.
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 189
Tabelle 1
X2' und Kolmogo o -Tes we e ü die Spa einlagenbes ände au Spa kon en
*2-Tes Kolmogo o -Tes
G öße ¿2-Tabellenwe e bei
1 %> I umswah -
scheinlichkei
be echne e
£2-We
k-Tabellenwe bei
1 %> I ums Wah -
scheinlichkei
be echne e
k-We
B1959 44,3 12,1 0,018 0,0035
B1960 47,0 28,8 0,018 0,0026
B1961 44,3 24,2 0,017 0,0037
B1962 45,6 17,5 0,017 0,0031
B1963 47,0 18,2 0,017 0,0033
In Tabelle 1 haben wi ü alle on uns un e such en G ößen den
gemäß Fo mel (3.1) e mi el en %2-We und den en sp echenden Tabel-
lenwe eine ^-Tabelle bei 1 °/o I umswah scheinlichkei gegenübe -
ges ell . Ebenso sind in diese Tabelle ü den Kolmogo o -Tes die ge-
mäß Fo mel (3.2) be echne e Kenng öße und de zugehö ige Tabellen-
we ü 1 % I umswah scheinlichkei wiede gegeben. Beide Zahlen-
kolonnen zeigen, daß die e mi el en Kenng ößen deu lich un e den
en sp echenden Tabellenwe en liegen, womi die Hypo hese, daß die
Einlagenbes ände au Spa kon en eine Misch e eilung aus zwei Log-
no mal e eilungen genügen, nich alsi izie we den kann.
4. Zei liche Ve ände ung de Ve eilungspa ame e
Nachdem im o angegangenen Abschni lediglich die Me hode zu
Bes immung de Misch e eilung und de en Komponen e beispielha ü
die G öße B1959 da ges ell wu de und auße dem die Hypo hesen es s
ü alle zu un e suchenden G ößen nich zu Falsi ika ion de en sp e-
chenden Annahmen üh en, wollen wi nun die e mi el en Ve eilungs-
pa ame e da s ellen und in e p e ie en. Wi wollen im olgenden mi
MV die en sp echende Misch e eilung de zu un e suchenden G ößen
und mi Vi bzw. V2 de en beide Komponen en bezeichnen. Die Dich e-
unk ion on MV wollen wi mi / (x) bezeichnen, wäh end die Dich en
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190 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
on Vi bzw. V2 mi /i (x) bzw. 2 (*) benann we den sollen. Die An-
eilspa ame e ü Vi und V2 seien a und
a:2,
wobei
(4.1) öi + a2 = 1, a a2 ^ 0 und (x) = x (x) - a2 2 (x)
gel en. In Tabelle 2 sind diese An eilspa ame e ü die G ößen #1959
mi i = o,l, ..., 4 wiede gegeben. Die Zahlenwe e de Tabelle zeigen
eine deu liche Zunahme des An eilspa ame e s a in den Jah en 1959
bis 1962. Das bedeu e eine kon inuie liche Zunahme de Komponen e
Vi ela i zu Komponen e V2 und dami eine Zunahme de G uppe de -
jenigen Spa e mi kleine en Einlagebes änden. Lediglich im Jah 1963
äll de An eilspa ame e a wiede zu ück.
Tabelle 2
An eilspa ame e de Misdi e eilungen ü die
Spa einlagenbes ände in den Jah en 1959 bis 1963
G öße
An eilspa ame e
G öße
a2
B1959 0,57 0,43
B1960 0,58 0,42
B1961 0,60 0,40
B1962 0,61 0,39
B1963 0,56 0,44
Nun wollen wi noch die eigen lichen Ve eilungspa ame e in e p e-
ie en. Wie be ei s oben e wähn , sind die Ve eilungen de G ößen
log #1959+i, (¿ = o,l, ..., 4) Misch e eilungen, die aus zwei No mal-
e eilungen bes ehen. Die Mi elwe e und S euungen diese beiden
No mal e eilungen wollen wi mi und bzw. ju2 und o2 bezeich-
nen. Dann be echnen sich die Mi elwe e de loga i hmischen No mal-
e eilungen Vi bzw. V2, die wi mi m bzw. m2 bezeichnen wollen, wie
olg :
H
+
-j
H 2
(4.2) ™>i = e (i = l,2).
Die Zen alwe e bzw. z2 on Vi bzw. V2 geben denjenigen k i i-
schen Spa einlagenbes and an, de on genau 50% alle Spa kon en,
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 191
die zu Vi bzw. V2 gehö en un e sch i en bzw. übe sch i en wi d. Fü
diese G ößen gil
(4.3)
Zi
= eH (i = 1,2) .
Schließlich in e essie en noch die We e de g öß en Dich e gi und gg,
die die jeweiligen lokalen Ex ema de Ve eilungsdich en /1 bzw. 2 an-
geben. Sie lassen sich eben alls aus den Pa ame e n de en sp echenden
No mal Ve eilungen be edinen:
2
(4.4) 9i = eli~ai (i = 1,2) .
Au die Be echnungen de höhe en Momen e on Vi bzw. V2 wollen
wi hie e zich en6.
Die obengenann en Ve eilungspa ame e haben wi wiede um ü
die Spa einlagenbes ände de Jah e 1959 bis 1963 in Tabelle 3 wiede -
gegeben. Ein e s e Blick au diese Zahlen zeig , daß die Dich e unk io-
nen de beiden Komponen en Vi und V2 seh s a k schie sind. Das e -
sieh man z. B. da aus, daß die We e de g öß en Dich e jeweils am lin-
ken Ende de beiden Ve eilungen liegen. Fü Vi lieg de We gi zwi-
schen DM 1 und DM 2, wäh end die G öße g2 zwischen DM 223 und
DM 467 im Lau e de Zei schwank . Die eigen lichen Mi elwe e
de loga i hmischen No mal e eilungen Vi und V2 liegen ela i
wei im ech en Teil de Ve eilung. Sie s eigen ü beide Kom-
ponen en im Lau e de Zei an (Ausnahme: 1963). De Mi elwe
on Vi nimm on DM 95 au DM 182 zu, wäh end i2 on DM 2 246
bis DM 3 163 ans eig . Die Zen alwe e Zi und z2 nehmen eben alls im
Lau e de Zei zu. Dennoch haben die Zen alwe e einen wesen lichen
Abs and on den en sp echenden Mi elwe en, was eben alls ein Indiz
ü die Linksschie e de Ve eilungen is . So is bei Vi de en sp echende
Mi elwe on m um meh als das D ei ache g öße als de Zen al-
we Zi. Bei V2 un e scheiden sich die beiden We e in e wa um den Fak-
o 2. Fe ne haben wi in Tabelle 3 noch den Mi elwe de gesam en
Misch e eilung, d. h. die G öße a m + wiede gegeben. Diese
Zahlen eihe s imm ela i gu mi den aus ande en S a is iken e mi el-
en du chschni lichen Einlagenbes änden je Spa kon o übe ein.
6 Vgl. hie zu /. Ai chison and /. A. C. B own: The Logno mal Dis ibu ion
wi h Special Re e ence o i s Uses in Economics. London 1956, S. 8 .
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192 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 193
5. Zuo dnung on Spa e g uppen
zu den Komponen en de Misch e eilung
Wi wollen nun e suchen, die Bes immungsg ünde zu analysie en, die
bedingen, daß ein Spa e ode eine Spa e g uppe zu Komponen e Vi
bzw. V2 de Misch e eilung gehö en. Bei diese Analyse können wi
alle dings nu au diejenigen Me kmale zu ückg ei en, die im Rahmen
de oben e wähn en S ichp obene hebung e mi el wu den. Sowei an-
de e Bes immungsg ünde ü die Zugehö igkei zu Vi bzw. V2 maßge-
bend sind, kann hie zu im Rahmen de nach olgenden Un e suchung
keine Aussage gemach we den. Bezeichnen wi diejenigen Spa e , die zu
Komponen e Vi gehö en, als Kleinspa e , so s ell sich die F age: Welche
Me kmale ode Me kmalsausp ägungen bzw. Kombina ionen de selben,
die im Rahmen de S ichp obene hebung e mi el wu den, cha ak e isie-
en die Kleinspa e ? Es is e iden , daß die Komponen e V2 (G oßspa-
e ) du ch die Komplemen menge diese Me kmale bes imm wi d.
Zunächs wollen wi das s a is ische Ins umen a ium ü diese Ana-
lyse ku z en wickeln und da s ellen; die Dich e unk ionen on MV, Vi
und V2 seien wiede um mi y /1 und /2 bezeichne . Zwischen diesen G ö-
ßen muß die Rela ion (4.1) gel en. Wenn eine zu ällige G öße X z.B.
zu Misch e eilungskomponen e Vi gehö , d. h. gemäß de Dich e unk-
ion /1 e eil is , dann wollen wi im olgenden ü diesen Sach e hal
die Abkü zungen L (X) = /1 sch eiben. Analoge Abkü zungen we den
ü / bzw. 2 e wand . Uns in e essie nun die beding e Wah schein-
lichkei , daß eine zu ällige G öße X gemäß /1 e eil is , wenn sie den
We annimm , d. h.
W( ) = P{L(X) = /1|X = > .
Nach De ini ion gil :
(5.1)
P{L(X)= 1 ££X<£
+ d£}
= P{L(X) =/i, + d }/P{£^X< + d?} .
Ebenso gil abe die Iden i ä
(5.2) /1 (£) d£ = P { ^ X < + d | L(X) = h)
= P {L (X) = l9 ? £ X < + d } / P {L (X) = ) .
Wegen P {L (X) = c} = a
olg aus Fo mel (5.2):
(5.3) ax x (£) d £ = P {L (X) = £ ^ X < + d } .
13 K edi und Kapi al 2/1970
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194 Be nha d Kö e und Wal e Obe ho e
Aus (5.1) und (5.3) e hal en wi dann
Mi
(5.4)
P
{L
(X)
+ =
Schließlich is nach De ini ion de Wah scheinlichkei und wegen (4.1):
(5.5) P{i + == d + og/g öd .
Aus Fo mel (5.4) und (5.5) olg dann ü d ->0:
<h
h (Ö
(5.6) P{L(X)=/1|X = } =
- <h
/i (Ö + agMÖ
Hie mi is die obengenann e Wah scheinlichkei be echne . Gemäß (5.6)
e hal en wi dann eine wei e e zu ällige G öße
cli U (X)
(5.7) w = y(X) = axix
(X)
+ 02 2(X)
wobei X eine zu ällige G öße aus de Misch e eilung MV is , wäh end
ü die zu ällige G öße W
(5.8)
0
^
W
^ 1
gil . Nun nehmen wi aus de Gesam hei alle Spa e eine Un e g uppe
he aus; diese Un e g uppe habe die Misch e eilung MV* mi de Dich e
(5.9) /*(Ö = «i/i(£> + «* eil)
>
<*i> «2
0 und +
«2
=
1
,
wobei «i und oc2 die en sp echenden An eilspa ame e sind. Wählen wi
eine zu ällige G öße X* aus MV'% so e hal en wi gemäß (5.7) o -
mal die zu ällige G öße W*. De en E wa ungswe be echne sich wie
olg :
ai i ( )
(5.10)
E
(W) - / [«1
c
(I) + /, )]
d £
•
Se zen wi o mal zu Abkü zung
(512) "-Juml u®1'®**'
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Ve eilungs o men de Einlagenbes ände au Spa kon en 195
so sch eib sich Fo mel (5.10):
(5.13) E(W*) = *xVl +
«2 V2 •
Wegen (5.11) und (5.12) is abe o ensich lich
(5.14) ax =
a y1
+
a? y2
.
Se zen wi nun noch wegen (5.9) a2 = 1 — so e hal en wi aus (5.14)
und (5.13)
(5.15) E (W*) =
<%! y
+ (1 - «i)
(1
- — .
a2
Diese Fo mel lösen wi nun noch nach
<%i
au und e hal en
JB(W*)
—
-J- (1
—
l/i)
(5.16) oc =
•
2
ai
Vi - — (i - Vi)
2
Mi Hil e diese Fo mel können wi demnach den An eil
<xu
den eine
Spa e un e g uppe an de e s en Komponen e Vi de Misch e eilung
ha , bes immen. Die Pa ame e au und sind bekann e G ößen. Sie
sind bei de Schä zung de Misch e eilung MV analy isch e mi el wo -
den ( gl. Abschni 3). Lediglich de E wa ungswe E (W*) muß mi
en sp echenden Kon idenzin e allen geschä z we den. Hie du ch e -
hal en wi dann wegen (5.16) en sp echende Schä zungen mi Kon idenz-
in e allen ü den An eilspa ame e <xu
Aus den Fo meln (5.10), (5,11) und (5.12) können wi einige spezielle
We e ü E (W*) e mi eln. Es is :
E (W*)
ax ü MV* = MV
yx ü MV* = Vi
y2 ü MV* = V2
Wi nehmen nun an, daß wi N S ichp oben Xiy
i
=
1, ...,
N aus de
Misch Ve eilung MV* en nommen haben; dann is wegen (5.7)
(5.17) W = (X,)
IV i = 1
13*
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