Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen: Eine empirische Analyse des Euro-DM-Geldmarktes

Ahrens, Ralf Article Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-SwitchingModellen: Eine empirische Analyse des Euro-DMGeldmarktes Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Ahrens, Ralf (1998) : Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-SwitchingModellen: Eine empirische Analyse des Euro-DM-Geldmarktes, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 31, Iss. 3, pp. 370-399, https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293379 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Einleitung Ungeachtet ihrer oftmals im nachhinein festgestellten geringen Treffsicherheit werden Prognosen über die künftige Zinsentwicklung insbesondere im Kapitalanlagebereich als eine unverzichtbare Entscheidungsgrundlage angesehen. Der Prognose des künftigen Zinsniveaus bzw. der korrespondierenden Zinsänderung kommt dabei eine traditionell große Bedeutung zu. Hingegen war die Volatilität von Zinssätzen lange Zeit von eher untergeordnetem Interesse für Finanzund Zeitreihenanalysten. Sie wurde zumeist als historische Volatilität in Form der Standardabweichung der jeweils betrachteten Zeitreihe berechnet. Neben einem allgemein konstatierten Anstieg des Ausmaßes von Preisund Renditeschwankungen auf spekulativen Märkten hat in den zurückliegenden fünfzehn Jahren vor allem die zunehmende Verwendung von Derivaten dazu beigetragen, daß der empirischen Analyse und Prognose von Finanzmarktvolatilitäten eine inzwischen erhöhte Aufmerksamkeit zuteil wird. Begünstigt wurde diese Entwicklung durch die Bereitstellung und Popularisierung von Verfahren, welche eine elegante zeitreihenanalytische Modellierung stochastischer Volatilitäten ermöglichen und darüber hinaus mit einem relativ geringen Aufwand implementiert werden können. In diesem Kontext sind vor allem die der ARCH-Familie (Engle (1982), Bollerslev (1986)) zurechenbaren Modelle zu nennen, die sich gemäß einer mittlerweile kaum noch überschaubaren Anzahl empirischer Studien sehr gut eignen, die Eigenschaften von Volatilitäten insbesondere auf Aktienund Devisenmärkten zu erfassen.1 * Für wertvolle Hinweise zu einer früheren Version dieses Beitrags danke ich Martin T. Bohl und Wolfgang Gohout sowie einem anonymen Gutachter. i Eine umfassende Darstellung theoretischer Aspekte der ARCH-(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity-) Modellierung sowie empirischer VolatilitätsKredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 371 Im Gegensatz zur Volatilitätsanalyse von Aktienund Wechselkursrenditen sind bei der Modellierung von Zinsvolatilitäten zumindest zwei wesentliche Besonderheiten zu berücksichtigen, welche die Adäquanz herkömmlicher ARCH-Modelle in Frage stellen und dabei gleichzeitig auf alternative Spezifikationsmöglichkeiten der stochastischen Volatilität hinweisen. Zum einen läßt sich häufig feststellen, daß die bedingten Varianzen von Zinsänderungen eine außerordentlich hohe Persistenz aufweisen (Engle, Lilien und Robbins (1987), Engle, Ng und Rothschild (1990)). Als Ursache hierfür konnten Lamoureux und Lastrapes (1990) Strukturbrüche in der unbedingten Varianz identifizieren, deren Vernachlässigung in ARCH-Modellen zu einer Überschätzung des „Volatility-Clustering" und damit der ARCH-Parameter führt. Vor diesem Hintergrund wurden die gegen Ende der achtziger Jahre formulierten Markov-Switching-Modelle (Hamilton (1988, 1989, 1990)), die eine endogene Spezifikation stochastischer Regimewechsel ermöglichen, zunehmend als Alternative oder zumindest als Ergänzung zur Modellierung autoregressiv bedingter Volatilitäten herangezogen. So zeigt etwa Cai (1994), daß die in Markov-Switching-Modellen festgestellten ARCHEffekte vergleichsweise wenig persistent sind und sich Zinsvolatilitäten hauptsächlich durch stochastische Regimewechsel erklären lassen. Hamilton und Susmel (1994) stellen darüber hinaus fest, daß eine Überschätzung der autoregressiv bedingten Varianz in ARCH-Modellen für oftmals unbefriedigende Volatilitätsprognosen verantwortlich sein kann. Ein weiteres speziell für die Dynamik kurzfristiger Zinssätze beobachtbares und von ARCH-Modellen nicht erfaßtes Phänomen ist der theoretisch durch zeitstetige Modelle motivierte „Volatility-Level-Link", demzufolge die bedingte Varianz der Zinsänderung von der aktuellen Höhe des Zinsniveaus abhängig ist (Chan, Karolyi, Longstaff und Sanders (1992)). Um jedem einzelnen der drei genannten Ansätze (ARCH, Markov Switching, Volatility-Level-Link) Rechnung zu tragen, ohne dabei die übrigen Spezifikationsmöglichkeiten auszuschließen, werden in der Literatur neuerdings umfassende Modellierungsstrategien vorgeschlagen, die viele der bisher bekannten Modelle als Spezialfälle enthalten. Neben den Arbeiten von Dahlquist und Gray (1995) sowie Dewachter (1996), in welchen die Konzepte Markov Switching und VolatilityLevel-Link miteinander kombiniert werden, ist hier vor allem das flexianalysen wird in den Beiträgen von Bollerslev, Chou und Kroner (1992), Bera und Higgins (1993), Bollerslev, Engle und Nelson (1994) und Palm (1996) vorgenommen. Zur Einführung in diese Thematik ist auf die Arbeit von Lütkepohl (1997) zu verweisen. Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 372 Ralf Ahrens ble und leicht implementierbare Generalized-Regime-Switching-(GRS-) Modell von Gray (1996a, 1996b) zu nennen, das im Zentrum der nachfolgenden Analyse steht. In dem vorliegenden Beitrag soll der Frage nachgegangen werden, ob das von Gray erfolgreich zur Modellierung und Prognose amerikanischer und australischer Zinsvolatilitäten eingesetzte GRS-Modell auch die Dynamik von Zinssätzen am Euro-Markt für DM-Ausleihungen besser erklären kann als die oben skizzierten herkömmlichen Ansätze. Dazu wird eine Analyse von Volatilitäten der Zinssätze für Monatsgeld und Dreimonatsgeld vorgenommen. Die Beurteilung unterschiedlicher Modellvarianten erfolgt dabei aufgrund der oben angesprochenen Praxisrelevanz gesondert anhand von Out-of-sample-Prognosen. Ein solches Vorgehen vermag auch deshalb von Interesse zu sein, weil ein umfassender Out-of-sample-Vergleich stochastischer Volatilitätsmodelle für deutsche Zinssätze m. W. bislang nicht vorgenommen wurde. Im anschließenden Kapitel II wird das GRS-Modell als integrativer Ansatz zur Analyse von Volatilitäten vorgestellt. Es wird dabei gezeigt, daß bekannte Modelle wie GARCH und Markov Switching als restringierte Varianten des GRS-Modells betrachtet werden können. Kapitel III dokumentiert die Schätzergebnisse alternativer Volatilitätsmodelle sowie deren ökonomische Interpretation. In Kapitel IV werden die Modelle hinsichtlich ihrer Prognoseleistung verglichen. In Kapitel V erfolgt eine Zusammenfassung der wesentlichen Resultate. II. Alternative Ansätze zur Modellierung von Zinsvolatilitäten 1. Diskrete Diffusionsmodelle In zeitstetigen Modellen wird die Dynamik des kurzfristigen Zinssatzes r allgemein durch die stochastische Differentialgleichung (1) dr = [a + ßr) dt + ar7 dW beschrieben. Durch entsprechende Restriktionen der Parameter in (1) erhält man populäre Spezifikationen wie etwa das Modell von Brennan und Schwartz (1980) oder das Modell von Cox, Ingersoll und Ross (1985). Die zu (1) analoge diskrete Formulierung lautet: Art = rt - rt_x = a + ßrt-i + eu (2) mit ä[£t|*t_i] = 0 und = a2r2 tlu Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zins Volatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 373 wobei et die Zeitreihe der Residuen und $ die Informationsmenge bezeichnet. Im Falle von ß < 0 ist der bedingte Erwartungswert der Zinssatzänderung negativ vom Zinsniveau abhängig. Diskrete Diffusionsmodelle können somit dem generell als Mean Reversion bezeichneten Phänomen Rechnung tragen, daß Zinssätze tendenziell zu einem langfristigen Mittelwert zurückkehren. Auch die bedingte Varianz kann mit 7 > 0 in Abhängigkeit vom Zinsniveau formuliert werden. Diese Zeitreiheneigenschaft wird in Anlehnung an Dewachter (1996) nachfolgend als Volatility-Level-Link bezeichnet. Ein empirischer Vergleich von acht alternativen diskreten Diffusionsmodellen wurde von Chan, Karolyi, Long staff und Sanders (1992) sowie von Dewachter (1996) vorgenommen. Dewachter (1996) sowie Dahlquist und Gray (1995) kombinieren (2) zudem mit einem Markov-Switching-Modell, wodurch eine erhebliche Flexibilisierung erreicht wird, ohne damit jedoch einer potentiellen autoregressiv bedingten Heteroskedastizität Rechnung tragen zu können. 2. GARCH-Modelle In ARCHund GARCH-Modellen wird die bedingte Varianz ht autoregressiv modelliert. Das in vielen praktischen Anwendungen aufgrund seiner sparsamen Parametrisierung bewährte GARCH(l,l)-Modell formuliert ht in Abhängigkeit von dem quadrierten Residuum und der bedingten Varianz der Vorperiode, wobei die Residuen et aus der simultanen Maximum-Likelihood-Schätzung der Gleichung für die Zinssatzänderung gewonnen werden: Art = Xt-iß + et (3) et\*t-i ~ N(0,ht) ht = b o + b i£(_j + b2ht_1. Durch eine Berücksichtigung von rt_i im Vektor der erklärenden Variablen X läßt sich Mean Reversion auch in (3) modellieren. Ein Problem bei der Schätzung von GARCH-Modellen stellt - wie oben bereits angesprochen - die mögliche Persistenz in der bedingten Varianz (bi + b2 > 1) dar, die häufig auf eine Fehlspezifikation infolge vernachlässigter Strukturbrüche zurückzuführen ist. Weiterhin kann eine Berücksichtigung des theoretisch motivierten und empirisch oftmals festgestellten Volatility-Level-Link in GARCH-Modellen nicht erfolgen. Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 374 Ralf Ahrens 3. Verallgemeinertes Regime-Switching-(GRS-)Modell Markov-Switching-Modelle wurden ursprünglich mit konstanten Varianzen innerhalb der Regime konzipiert (Hamilton (1988), Engel und Hamilton (1990)). Um die Volatilität hochfrequenter Zeitreihen zu modellieren, sind schließlich Kombinationen mit ARCH-Prozessen niedriger Ordnung vorgenommen worden (Cai (1994), Hamilton und Susmel (1994)). Das von Gray (1996a, 1996b) eingeführte GRS-Modell weist drei Vorzüge gegenüber diesen herkömmlichen Ansätzen auf. Zunächst ist es flexibel genug, um ARCH-Modelle, diskrete Diffusionsmodelle sowie alle bislang bekannten Regime-Switching-Modelle zu integrieren und sämtliche Parameter zeitvariabel zu formulieren. Des weiteren konnte das Problem der Pfadabhängigkeit gelöst werden, welches für bisherige Ansätze zur Kombination von ARCHund Markov-Switching-Modellen charakteristisch ist. Schließlich ermöglicht die rekursive Schätzung von GRSModellen eine vergleichsweise einfache Implementierung, die sich konzeptionell sehr eng an die vertraute Spezifikation von GARCH-Modellen anlehnt. Sowohl das diskrete Diffusionsmodell (2) als auch das GARCH-Modell (3) lassen sich allgemein wie folgt darstellen: A rt = i) + y/h(dh,$t-i)zt rr = ßt + yhtzt. Dabei ist zt unabhängig und identisch verteilt und 0ß 0h sind die Vektoren der zu schätzenden Parameter. Während der bedingte Erwartungswert in beiden Modellen identisch spezifiziert ist, /¿(0M, $t_i) = \it = ol + ßrt-i mit 6ß = {a,ß}, wird die bedingte Varianz im diskreten Diffusionsmodell durch h(9hi*t. 0 = a2^!, mit 9h = {<J2 n) und im GARCH(l,l)-Modell durch h(0h,$t-i) = ht = b0 + ble2 t_l + b2ht-i mit 9h = {bQ,bub2} beschrieben. Erlaubt man zusätzlich die für Markov-Switching-Modelle charakteristische Regimeabhängigkeit von Parametervektoren, erweitert sich (4) zum GRS-Modell, Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 375 Ar£ = MMSt)^-!] + y/h[0h(St)^t-i]zt = Pu + y/hitZt mit St = i, wobei St ein unbeobachtbares, zum Zeitpunkt t vorherrschendes Regime repräsentiert und für den einfachen Fall zweier möglicher Regime ausschließlich die Werte i = 1,2 annehmen kann. Ein wesentliches Charakteristikum des GRS-Modells (5) besteht darin, daß sämtliche Parameter regimeabhängig formuliert werden können. Unter der (nicht zwingenden) Annahme einer bedingten Normalverteilung von Art in jedem Regime erhält man somit mit pu = Pr(St = l|$t_i) als bedingter Regimewahrscheinlichkeit. Während die Formulierung des bedingten Erwartungswertes von A rt in Gestalt einer regimeabhängigen Mean Reversion, technisch unproblematisch ist, traten bei der Spezifikation der bedingten Varianz in Markov-Switching-Modellen mit ARCH-Koeffizienten aufgrund von Pfadabhängigkeit bislang erhebliche Schätzprobleme auf. Insbesondere Markov-Switching-GARCH-Modelle galten als nicht spezifizierund schätzbar, da die bedingte Varianz in GARCH-Modellen von der gesamten Vergangenheit der betrachteten Zeitreihe determiniert wird. Dies bedeutet aber, daß die bedingte Verteilung zum Zeitpunkt t nicht - wie in (6) unterstellt - ausschließlich vom aktuellen Regime St, sondern darüber hinaus indirekt auch von sämtlichen Regimen der Vergangenheit {St_i, St-2, •••} abhängig sein würde, da die bedingte Varianz in t von der bedingten Varianz in t - 1 bestimmt wird, welche wiederum in direkter Abhängigkeit von dem in t - 1 vorherrschenden Regime und der bedingten Varianz in t — 2 steht usw. Für die Beobachtung t müßten bei einer rekursiven Likelihood-Schätzung daher 2t Terme berücksichtigt werden, um die bedingte Varianz aus allen möglichen Regimepfaden zu berechnen, was selbst im Falle kleiner Stützbereiche nur schwer zu bewältigen ist. Cai (1994) sowie Hamilton und Susmel (1994) haben dieses Problem umgangen, indem sie die bedingte Varianz jeweils als ARCH-Prozeß niedriger Ordnung formulierten. Ein solches Vorgehen hat allerdings den gravierenden Nachteil einer möglicherweise unzureichenden Berücksichtigung der Volatilitätspersistenz (6) Art N(fiu,hlt) mit der Wahrscheinlichkeit plt N (fj,2t,h>2t) mit der Wahrscheinlichkeit (1 — pu) fJLit = + ßiTt-1, Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 376 Ralf Ahrens innerhalb der Regime, welche sich gewöhnlich im GARCH-Koeffizienten niederschlägt. Gray (1996a, 1996b) löst dieses Problem der Pfadabhängigkeit für das GRS-Modell, indem er sich die Tatsache zunutze macht, daß (6) eine gemischte Verteilung mit zeitvariablen Mischungsparametern beschreibt. Unter der Annahme einer bedingten Normalverteilung von Art in jedem der zwei Regime ist die Varianz der Zinsänderung zum Zeitpunkt t damit durch ht = E [Ar2 |$t_i] - E [Art|$t_i]2 (fil = Puißlt + hu) + (1 - P\t)(ßlt + h2t) ~ [pitßu + (1 - Pu)ß2t}2 gegeben. Erfolgt eine Aggregation der bedingten Varianzen beider Regime gemäß (8) in jedem Schritt der rekursiven Schätzung, so kann die nun nicht mehr pfadabhängige Varianz ht als verzögerte Einflußgröße zur Schätzung der jeweils einem GARCH-Prozeß folgenden bedingten Varianzen hit + i sowie h2t + i herangezogen werden. Unter Berücksichtigung des Volatility-Level-Link ergibt sich daher folgende Spezifikation: (9) hit = b0i + blie2 t_1 + b2iht_l + a2 ir2 tl1 ht-i = pu-i [ßlt-i + >iit-i] + (1 - P\t-i)[ß\t-i + h2t-\\ (10) r ^ n ^ l2 - [pit-l Mit1 + (1 - Plt-l)ß2t-l\ et-i = Art_i - ^[Art.il^i.z] = Art_i - [pu-ifMit-i + (1 - P\t-\)ß2t-\]- Analog zum bedingten Erwartungswert fiit ist damit auch die bedingte Varianz hit ausschließlich von unbekannten Parametern, der aktuellen Informationsmenge und dem aktuellen Regime abhängig, nicht jedoch von den Regimen der Vergangenheit, deren Information aggregiert wurde. Die unbeobachtbare Regimevariable St kann schließlich in Anlehnung an Hamilton (1988, 1989, 1990) als Markov-Prozeß erster Ordnung mit konstanten Übergangswahrscheinlichkeiten P und Q beschrieben werden: l|St_! = 1 }=P 2|St_i = 1] = (1 - P) 21 Sti = 2} = Q l|St-i = 2] = (1 - Q). (12) Pr[St Pr [St Pr[St Pr[St Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zins Volatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 377 Allerdings lassen sich auch die Übergangswahrscheinlichkeiten zeitvariabel formulieren, etwa in Abhängigkeit vom Zinsniveau (Dahlquist und Gray (1995), Bewachter (1996)), (13) Pt = $(ci + dirt_i), Qt = $(c2 + d2rt_i), wobei $ (•) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist, die 0 < Pt,Qt < 1 sicherstellt. In diesem Zusammenhang läßt sich zeigen, daß sowohl Mean Reversion als auch Leptokurtosis durch mit dem Zinsniveau korrelierte Übergangswahrscheinlichkeiten verursacht werden können (Gray (1996a), S. 37). Nachdem der bedingte Erwartungswert in (7), die bedingte Varianz in (8) und die Übergangswahrscheinlichkeiten in (12) und gegebenenfalls (13) spezifiziert wurden, läßt sich die Log-Likelihood-Funktion wie folgt konstruieren: L = X>g (14) Pit + (1 -Pit) y/2l7h[ y/2TTh2 - exp f-(Art - filt)2] \ 2hlt J -(Art - fi2t)2 2h2t Die bedingte Regimewahrscheinlichkeit plt kann dabei als Ex-anteWahrscheinlichkeit interpretiert werden, daß sich der Prozeß in der folgenden Periode in Regime 1 befinden wird. Sie wird - analog zur bedingten Varianz in GARCH-Modellen - rekursiv geschätzt und steht schließlich als Zeitreihe zur Verfügung: f 2t - 1 (1 ~ Plt-l) " ,/lt-lPlt-l + /2t-1 (1 - Plt-l). mit den bedingten Verteilungen fu = f (Art\St = 1) und f2t = f(Art\St = 2).2 Wie aus den obigen Ausführungen hervorgegangen ist, können diskrete Diffusionsmodelle, GARCH-Modelle, Markov-Switching-Modelle sowie sämtliche Kombinationen dieser Modelle als restringierte Varianten des GRS-Modells angesehen werden. Um die relative Leistungsfähigkeit alternativer Ansätze zur Analyse und Prognose von Zinsvolatilitäten beurteilen zu können, soll das vollständige GRS-Modell im folgenden einer Auswahl dieser restringierten Modelle gegenübergestellt werden. In Pu = P /lt-lPlt-l ,/u-lPli-l +/2t-l(l - Plt-l) + (1 - Q) 2 Vgl. hierzu Gray (1996a), S. 58 - 61. Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 384 Ralf Ahrens wie die Standardabweichung b02 in Regime 2. In dem volatilen Regime 1 kann für beide Zinssätze eine statistisch signifikante Mean Reversion festgestellt werden. Der aus den geschätzten Koeffizienten berechenbare (-a0i/an) langfristige Mittelwert für das Zinsniveau beträgt 5,83 Prozent bzw. 5,38 Prozent. In Regime 2 folgen die Zinssätze dagegen einem Random Walk. Die Parameter ai2 weisen jeweils einen geringen Wert auf und sind insignifikant von Null verschieden. Vor dem Hintergrund aktueller Zweifel an der Instationarität von Zinssätzen (hin und Tsay (1996), Wu und Zhang (1996)) deutet dieses Ergebnis auf eine mögliche Inadäquanz solcher Stationaritätsanalysen hin, die endogene Regimewechsel nicht berücksichtigen. Formal kann die statistische Signifikanz eines zweiten Regimes nicht durch die Anwendung eines Likelihood-Ratio-Tests festgestellt werden, da die Parameter des zweiten Regimes unter der Nullhypothese eines einzigen Regimes nicht identifiziert sind und die Teststatistik in diesem Fall nicht x2-verteilt ist.7 Berechnete „Quasi-LRT-Statistiken" (Gray (1996a)), welche jeweils über den Erklärungsgehalt des MarkovSwitching-Modells gegenüber dem eines einfachen (hier nicht dokumentierten) Modells mit konstanter Varianz informieren sollen, sind mit 397,83 im Falle des Monatszinssatzes und 229,85 im Falle des Dreimonatszinssatzes allerdings derartig hoch, daß die Existenz eines zweiten Regimes höchst plausibel ist. Wenngleich die durch Regimewechsel verursachte Heteroskedastizität beachtlich ist, geht aus den teilweise signifikanten Ljung-Box-Statistiken hervor, daß traditionelle Markov-Switching-Modelle nicht die gesamte Volatilität der betrachteten Zeitreihen erfassen können. Im folgenden soll daher untersucht werden, welcher Erklärungsgehalt dem GRS-Modell zukommt, in dem alle drei Arten bedingter Heteroskedastizität simultan auftreten können. 4. Ergebnisse der GRS-Modellschätzungen Das in Kapitel II entwickelte und in Tabelle 3 a dargestellte pfadunabhängige GRS-Modell wurde für beide Zinssätze sowohl mit konstanten als auch mit zeitvariablen Übergangswahrscheinlichkeiten geschätzt. Aus den in Tabelle 3 b dokumentierten Schätzergebnissen geht zunächst hervor, daß sämtliche den bedingten Erwartungswert beschreibenden 7 Hansen (1992, 1996) hat ein Verfahren entwickelt, welches dem Identifikationsproblem Rechnung trägt, jedoch für komplexe Modelle wie das GRS sehr aufwendig ist. Der LRT-Test wird dort auf der Basis einer modifizierten x2-Verteilung durchgeführt: Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 385 Tabelle 2 Spezifikation und Schätzungen von Regime-Switching-Modellen mit konstanten Varianzen innerhalb der Regime Art|Ot_ Pit=P FU = F 0 _ |N(a01 +a11rt_1,b01) 1 (N(a02+a12rt_1,b02) 1 fit-iPit-i mit der WJ nit der WJ + (1-Q) r,|St=2) ahrscheinlichkeit p lt ahrscheinlichkeit (l - plt) f2t-i(! - Plt-l) Art|Ot_ Pit=P FU = F 0 _flt-lPlt-l +f2t-l(1"Plt-l)_ \RT |ST = l) und f2, =f(A mit der WJ nit der WJ + (1-Q) r,|St=2) _fit-iPit-i + ^t-II1" Pit-i )_ Euro-Monatszinssatz Euro-Dreimonatszinssatz A01 »02 AN *12 B01 B02 P Q 0,1377** (2,07) - 0,0153* (1,74) - 0,0236** (2,16) 0,0020 (1,39) 0,2914*** (12,76) 0,0801*** (19,62) 0,8935*** (24,60) 0,9444*** (62,94) 0,0786 (1,46) - 0,0145 (1,50) - 0,0146* (1,88) 0,0021 (1,37) 0,2183*** (12,48) 0,0774*** (7,14) 0,9182*** (34,06) 0,9476*** (34,94) Log-Likelihood 408,5578 482,5117 LB? LB5 LB?S 5,81 (0,02) 10,93 (0,05) 13,32 (0,58) 6,11 (0,01) 18,23 (0,00) 20,74 (0,15) Siehe die Erläuterungen zu Tabelle 1. Koeffizienten insignifikant von Null verschieden sind. Unter Beachtung der in Tabelle 2 dokumentierten Schätzwerte der Parameter an und ai2 lassen sich allerdings auch hier jeweils Evidenzen für ein „Mean Reverting Regime" mit hoher Volatilität sowie für ein „Random Walk Regime" mit geringer Volatilität finden. Was die Volatilitätsdynamik anbelangt, finden sich einige interessante Ergebnisse, wenngleich weniger als die Hälfte der geschätzten Koeffizienten statistisch signifikant sind.8 Speziell im Falle des Zinssatzes für Einmonatsgeld zeigt sich, daß die bedingte Varianz im volatilen Regime 1 zwar empfindlicher auf aktuelle Schocks reagiert als die bedingte Varianz in Regime 2 (bn > 6I2), die Persistenz von Schocks in der bedingten Varianz jedoch in dem wenig volatilen Regime 2 erheblich größer ist als in Regime 1 (b21 < 622)- 8 Vgl. hierzu auch die ähnlichen Ergebnisse von Gray (1996a), S. 50, sowie Gray (1996b), S. 80. Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 386 Ralf Ahrens Tabelle 3 a Spezifikation von GRS-Modellen Ar.llV, |N(a 01 + a j! rt_j,v lt) mit der Wahrscheinlichkeit p lt N(a02 + a 12 rt-1,v2t) mit der Wahrscheinlichkeit (l - plt) vit =K +<*irt-i Et-i = Art_! - [plt_, + (l - pll_1)n2t-i] Mit—1 =a0i +alirt-2 Vt-1 = Plt-l (rft-1 + Vlt-l) + 0 - Plt-l)(^2t-l + V2t_,) - [pit_i M-lt-1 + (1 - Plt-l)^2t-lf Pit =Pt flt-lPlt-1 +0-Qt) f2t-lQ ~ Plt-l) flt-lPlt-l +f2t-l(1_ Plt-l )_ flt=f(Art|St=l) und f2t = f(Art |St =2) Pt =<D(c,+d1rt_1), Qt =0(c2 + d2rt_1) _flt-l Plt-l +f2t-l0Plt-l). bzw. mit konstanten Übergangswahrscheinlichkeiten Pt = P und Qt = Q Dieses auch von Gray (1996a) festgestellte Phänomen kann weder durch die in Abschnitt III.2 geschätzten Modelle GARCH(1,1) und SGRS noch durch Markov-Switching-Modelle mit konstanten Varianzen innerhalb der Regime erfaßt werden. Es läßt sich möglicherweise durch geldund währungspolitische Maßnahmen begründen, die als „Signale" interpretiert werden und einerseits starke einmalige Zinsschwankungen induzieren, andererseits aber die Unsicherheit in folgenden Perioden minimieren (Friedman und Laibson (1989)). Die Summe der geschätzten GARCH-Koeffizienten ist in jedem Regime deutlich geringer als in den oben geschätzten GARCH-Modellen und stets deutlich kleiner als Eins, was auf die Stationarität der Varianzprozesse schließen läßt. Dieses bedeutende Ergebnis resultiert aus dem Umstand, daß das GRS-Modell in der Lage ist, zwischen zwei Ursachen der Persistenz in Zinsvolatilitäten zu diskriminieren. Zeichnet sich eines der Regime durch eine hohe durchschnittliche Varianz aus, während das zweite Regime durch eine vergleichsweise niedrige durchschnittliche Varianz gekennzeichnet ist, und sind beide Regime darüber hinaus persistent, so wird auch die Volatilität der betrachteten Zeitreihe persistent sein: „A long period of low average variance may be followed by a long period of high average variance if the regime switches and then persists" (Gray (1996a), S. 48). Dagegen ist die Persistenz innerhalb eines Regimes Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 387 Tabelle 3 b Schätzungen von GRS-Modellen Euro-Monatszinssatz Euro-Dreimonatszinssatz konstante Übergangswahrscheinlichkeiten zeitvariable Übergangswahrscheinlichkeiten konstante Übergangswahrscheinlichkeiten zeitvariable Übergangswahrscheinlichkeiten »01 »02 »11 »12 bn b2i <*i bi2 b22 P/Cl di Q/c2 d2 0,2746 0,11) - 0,0092 (0,92) - 0,0304 (1,21) 0,0002 (0,09) 0,2347 (0,90) 0,3764 (0,73) 0,1205*** (6,66) 0,0696 (0,31) 0,5403* (1,74) 0,0000 (0,00) 0,6418*** (3,20) 0,9574*** (19,95) 0,1180 (1,57) - 0,0072 (0,72) - 0,0146 (1,12) 0,0002 (0,16) 0,2087 (1,16) 0,2968 (0,75) 0,1230*** (7,08) 0,0458 (0,65) 0,5294*** (4,97) 0,0000 (0,00) - 0,5551 (0,88) 0,1573* (1,77) 1,2124*** (4,26) 0,0753*** (2,92) 0,1556 (0,82) - 0,0156 (1,53) - 0,0257 (1,00) 0,0017 (1,11) 0,0616 (0,65) 0,4109 (1,29) 0,0817*** (4,60) 0,0954** (2,11) 0,3041** (2,12) 0,0249*** (4,17) 0,8539*** (10,73) 0,9559*** (17,63) 0,1269 (1,06) - 0,0149 (1,39) - 0,0221 (1,34) 0,0019 (0,99) 0,0525 (0,46) 0,0817 (0,23) 0,0911*** (4,71) 0,1031 (1,51) 0,3264*** (3,12) 0,0230*** (4,04) -0,6937 (0,46) 0,3035 (1,19) 1,1286 (1,39) 0,0983 0,11) LogLikelihood 427,3233 431,9443 488,7825 490,2558 LBi 0,15(0,70) 0,14(0,71) 0,02 (0,88) 0,16(0,68) LB5 0,37 (0,99) 0,46 (0,99) 0,52 (0,99) 4,69 (0,45) LB?5 1,92 (0,99) 1,79 (0,99) 2,09 (0,99) 7,22 (0,95) Zur Notation siehe die in Tabelle 3 a dargestellte Modellspezifikation sowie die Erläuterungen zu Tabelle 1. Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 388 Ralf Ahrens dadurch gekennzeichnet, daß es infolge eines Schocks lange dauert, bis die Varianz zu ihrem langfristigen Durchschnittswert zurückkehrt. Da die geschätzten Übergangswahrscheinlichkeiten insbesondere für das Regime 2 auf eine hohe Persistenz schließen lassen (Q > 0,95) und die Persistenz innerhalb der Regime gleichzeitig geringer ist als im GARCH(l,l)-Modell, stellt letzteres eine Fehlspezifikation der stochastischen Volatilität der hier untersuchten Zeitreihen dar: „Since the singleregime GARCH model cannot capture the persistence of regimes, all of the persistence in volatility is thrown into the persistence of an individual shock. Individual shocks then appear to take too long to die down to the average variance" (Gray (1996a), S. 48). Die Vernachlässigung von Regimewechseln in GARCH-Modellen resultiert damit auch im Falle der hier untersuchten Zeitreihen in der hinlänglich bekannten Überzeichnung autoregressiv bedingter Heteroskedastizität (Lamoureux und Lastrapes (1990), Cai (1994)). Ein Vergleich der unterschiedlich skalierten Abbildungen 3 und 4 verdeutlicht diese Überzeichnung insbesondere zum Zeitpunkt der EWS-Krise im Herbst 1992. Wie in Kapitel II dargestellt, liegt als Resultat der rekursiven Schätzung von GRS-Modellen eine Zeitreihe bedingter Ex-ante-Regimewahrscheinlichkeiten pu = Pr[St = l|$t_i] vor, die ausschließlich auf der Grundlage der jeweils vorhandenen Informationsmenge berechnet wurden. Während solche Ex-ante-Wahrscheinlichkeiten zur Prognose herangezogen werden, geben geglättete Regimewahrscheinlichkeiten Pr[St = l|$r] darüber Auskunft, ob und wann in der Vergangenheit Regime Wechsel aufgetreten sind. Sie lassen sich auf der Grundlage der gesamten Informationsmenge kalkulieren und können dank der rekursiven Eigenschaften von pu mit Hilfe eines Filters errechnet werden (Gray (1995c)). Abbildung 5 zeigt die aus der GRS-Schätzung mit zeitvariablen Übergangswahrscheinlichkeiten gewonnenen Ex-ante-Regimewahrscheinlichkeiten pu für den Dreimonatszinssatz. Während des fünfzehnjährigen Untersuchungszeitraums sind immer wieder starke Regimeunsicherheiten aufgetreten, was sich an der hohen Variabilität der Regimewahrscheinlichkeit pu erkennen läßt. Besonders auffällig ist eine zu Beginn und gegen Ende der achtziger Jahre anhaltend hohe sowie eine in der Zwischenzeit und insbesondere seit 1994 anhaltend geringe Wahrscheinlichkeit für das volatile Regime 1. Beachtlich ist auch der sprunghafte Anstieg der Regimewahrscheinlichkeit im Herbst 1992 auf nahezu 100 Prozent nach einer längeren Zeit äußerst niedriger Volatilität. Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 389 Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 390 Ralf Ahrens Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 391 Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 392 Ralf Ahrens Ein weiteres wichtiges Resultat der GRS-Schätzungen stellt die Signifikanz und quantitative Bedeutsamkeit des Volatility-Level-Link insbesondere im volatilen Regime 1 dar. Der Wert des Koeffizienten u\ (Tabelle 3 b) ist für beide Zinssätze in allen Modellvarianten ungefähr dreimal so hoch wie der Wert des Koeffizienten a im SGRS-Modell (Tabelle 1). Da die bedingte Varianz in Regime 1 funktional von der Höhe des Zinssatzes abhängig ist, ist bei einem anhaltend hohen Zinsniveau auch die Zinsvolatilität persistent. Für den Einmonatszinssatz kann angesichts der insignifikanten GARCH-Koeffizienten in Regime 1 und der völligen Abwesenheit des Volatility-Level-Link in Regime 2 sogar von einem „Volatility-Level-Link-Regime" und einem „GARCH-Regime" gesprochen werden. Im Falle des dreimonatigen Zinssatzes ist der Volatility-Level-Link-Koeffizient auch im zweiten Regime signifikant, weist aber einen vergleichsweise geringen Wert auf. Alle bislang diskutierten Ergebnisse gelten - von geringfügigen Unterschieden abgesehen - gleichermaßen für das GRS-Modell mit konstanten Übergangswahrscheinlichkeiten P und Q wie für das GRS-Modell mit zeitvariablen, von der Höhe des Zinsniveaus abhängigen Übergangswahrscheinlichkeiten. Das volatile Regime 1 ist vor allem im Falle des Einmonatszinssatzes weitaus weniger persistent (P =0, 64) als Regime 2 (Q = 0,96) und möglicherweise im Sinne von Dahlquist und Gray (1995) als „Realignment Regime" interpretierbar. Abbildung 5 veranschaulicht das gleiche Phänomen (P = 0,85, Q = 0,96) für den Dreimonatszinssatz. Die Signifikanz sämtlicher GARCHund Volatility-Level-Link-Parameter wird durch die Anwendung eines Likelihood-Ratio-Tests überprüft, der das GRS-Modell dem einfachen Markov-Switching-Modell aus Abschnitt III.3 gegenüberstellt. Die Teststatistik, welche unter der Nullhypothese mit sechs Freiheitsgraden x2-verteilt ist, nimmt im Falle des Einmonatszinssatzes den Wert 37,53 und im Falle des Dreimonatszinssatzes den Wert 12,54 an. Das GRS-Modell ist damit signifikant auf dem 1-prozentigen bzw. 10-prozentigen Niveau. Eine zeitvariable Modellierung der Übergangswahrscheinlichkeiten erhöht allerdings nur im Falle des Einmonatszinssatzes die Leistungsfähigkeit des GRS-Modells: Die unter der Nullhypothese mit zwei Freiheitsgraden x2-verteilte Statistik des Likelihood-Ratio-Tests nimmt den Wert 9,24 an, so daß das Modell mit konstanten Übergangs Wahrscheinlichkeiten P und Q auf einem 1-prozentigen Niveau abgelehnt wird. Die positiven Werte der geschätzten Parameter di und d2 erscheinen allerdings ökonomisch nicht plausibel. Sie besagen, daß die Wahrscheinlichkeit von Regime wechseln mit einem Anstieg des Zinsniveaus abnimmt, unabhängig davon, in welchem Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55 Prognose von Zinsvolatilitäten mit Regime-Switching-Modellen 393 Regime sich die Volkswirtschaft momentan befindet. Im Falle des dreimonatigen Zinssatzes ist die Teststatistik gleich 2,95. Die Restriktion konstanter Übergangswahrscheinlichkeiten ist somit adäquat. IV. Volatilitätsprognosen Mit zunehmender Tendenz werden alternative Volatilitätsmodelle auch hinsichtlich ihrer Prognoseleistung verglichen (West und Cho (1995)).9 Grundsätzlich weisen ARCH-Modelle insbesondere über kurze Prognosehorizonte eine recht gute Performance auf, wenngleich eine signifikante Überlegenheit gegenüber einfachen Ansätzen wie etwa der Extrapolation historischer Volatilitätsdurchschnitte oder linearen Regressionen häufig nicht feststellbar ist (Brailsford und Faff (1996)). Eine möglichst exakte Prognose von Zinsvolatilitäten ist vor allem für die Bewertung zinssensitiver Aktiva sowie für das Zinsrisikomanagement von Interesse. Darüber hinaus gelangt man durch die Berechnung bedingter Varianzen zu realistischeren Prognoseintervallen, was die Vorhersage von Zinssatzänderungen anbelangt. Zur Beurteilung der Prognosegüte aller fünf oben geschätzten Modelle wurden jeweils Zeitreihen der bedingten Varianz über unterschiedliche Zeiträume berechnet. Die bedingte Varianz fvt = Et-i[e*] stellt eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgenden Periode avt = e\ (mit et = Art - Et_i[Art]) dar, so daß sich auf der Grundlage der Zeitreihe des Prognosefehlers (avt - fvt) die bekannten Fehlermaße Root Mean Square Error (RMSE) und Mean Absolute Error (MAE) errechnen lassen (Gray (1996a), S. 54). Im Rahmen von „In-sample-Prognosen", deren Ergebnisse in Tabelle 4 dokumentiert sind, wurden die jeweils über den gesamten Untersuchungszeitraum geschätzten Modelle (vgl. dazu die Tabellen 1 bis 3) zur Volatilitätsprognose herangezogen. Als Prognosezeiträume wurden dabei (1) der gesamte Stützbereich (1982 bis 1996), (2) der die EWS-Krise einschließende Zeitraum von 1992 bis 1993 sowie (3) der vergleichsweise wenig turbulente Zeitraum von 1994 bis 1996 ausgewählt. Dabei zeigt sich sowohl für den Einmonatszinssatz als auch für den Dreimonatszinssatz gemessen am RMSE eine klare Überlegenheit des GRS-Modells in nahezu sämtlichen Prognoseexperimenten. Der auf der Grundlage von 9 Als das zur Zeit sicherlich bedeutendste Einsatzgebiet von Volatilitätsprognosen in der Praxis läßt sich die Bewertung von Optionen auf Aktien und Devisen identifizieren (Noh, Engle und Kane (1995)). Kredit und Kapital 3/1998 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.31.3.370 | Generated on 2023-01-16 13:11:55