Hasenkamp, Geo g
A icle
Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en
Ve hal ensgleichungen
Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de
Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik
P o ided in Coope a ion wi h:
Duncke & Humblo , Be lin
Sugges ed Ci a ion: Hasenkamp, Geo g (1984) : Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en
Ve hal ensgleichungen, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) -
Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü
Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 104, Iss. 1, pp. 21-28,
h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21
This Ve sion is a ailable a :
h ps://hdl.handle.ne /10419/291569
S anda d-Nu zungsbedingungen:
Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen
Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den.
Sie dü en die Dokumen e nich ü ö en liche ode komme zielle
Zwecke e iel äl igen, ö en lich auss ellen, ö en lich zugänglich
machen, e eiben ode ande wei ig nu zen.
So e n die Ve asse die Dokumen e un e Open-Con en -Lizenzen
(insbesonde e CC-Lizenzen) zu Ve ügung ges ell haben soll en,
gel en abweichend on diesen Nu zungsbedingungen die in de do
genann en Lizenz gewäh en Nu zungs ech e.
Te ms o use:
Documen s in EconS o may be sa ed and copied o you pe sonal
and schola ly pu poses.
You a e no o copy documen s o public o comme cial pu poses, o
exhibi he documen s publicly, o make hem publicly a ailable on he
in e ne , o o dis ibu e o o he wise use he documen s in public.
I he documen s ha e been made a ailable unde an Open Con en
Licence (especially C ea i e Commons Licences), you may exe cise
u he usage igh s as speci ied in he indica ed licence.
h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by/4.0/
Fehlende Beobach ungen
in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen
Von Geo g Hasenkamp*
Diese A bei behandel den Fall on ehlenden Beobach ungen in den
abhängigen Va iablen on au o eg essi en Gleichungen. Du ch Subs i u io-
nen e häl man eine Mischung on linea en und nich -linea en Gleichungen.
Illus ie wi d diese Me hode mi einem Beispiel zu indus iellen Elek izi-
ä snach age.
I. Ein üh ung
In diese A bei un e s ellen wi eine Ve hal ensgleichung on de
Fo m
(D V ^ßV -l + H -
Die Symbole haben olgende Bedeu ung: y is die endogene Va iable
und x is ein (n X 1) Vek o on exogenen Va iablen mi Zei index ,
ol
is ein (7i X 1) Vek o on Pa ame e n und ß is ein Pa ame e diese
Ve hal ensgleichung. De s ochas ische S ö e m e soll mi E wa ungs-
we E (e ) = 0, Va ianz o2 und Ko a ianz E (e e ') = 0 ü
=4=
' e -
eil sein. Diese Fo m de Ve hal ensgleichung beda wohl hie wei e
keine Beg ündung, denn sie wi d in de empi ischen Wi scha s o -
schung häu ig un e s ell . (Im Teil III diese A bei bie en wi ein Bei-
spiel.)
De Regel all ypische Schä z e ah en un e s ell eine aus eichende
Anzahl on Beobach ungswe en ü die endogenen und exogenen
Va iablen y und x . Dabei is es wich ig, daß die Beobach ungswe e
ü y und x de ini o isch mi den Modellaussagen de heo e isch be-
g ünde en Ve hal ensgleichung übe eins immen. Das is z. B. nich
meh de Fall, wenn ehlende Beobach ungen du ch In e pola ion aus-
ge üll we den.
Rela i klein is die Li e a u zu dem Fall, bei dem eben nich alle
Beobach ungswe e de gesam en Da enpe iode als O iginale hebung
* Diese A bei en s and inne halb eines g öße en Fo schungs o habens
übe den P eisein luß au die indus ielle Ene gienach age. Dieses Fo -
schungs o haben wu de on de Deu schen Fo schungsgemeinscha inan-
ziell un e s ü z . Da ü is auch an diese S elle ein Dank angemessen.
He n P o . J. Kmen a möch e ich ü An egungen zum Thema danken.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33
22 Geo g Hasenkamp
zu Ve ügung s ehen. Hie wollen wi den Fall be ach en, bei dem
einige We e ü die endogene Va iable y in un egelmäßigen Abs än-
den ehlen. Alle Beobach ungswe e ü die exogenen Va iablen x
sollen jedoch o liegen. Das is ein spezielle Fall de bes ehenden
Li e a u zum Thema „missing obse a ions".
Unse Fall paß jedoch nich in das Schema de bishe behandel en
Fälle on missing obse a ions; dazu sei ein ganz ku ze , und somi
auch un olls ändige Übe blick zu einschlägigen Li e a u e laub :
a) Es ehlen Beobach ungswe e ü u. U. nu einen Teil de exogenen
Va iablen X , es sei ß = 0, abe alle Beobach ungswe e ü die exo-
gene Va iable y s ehen zu Ve ügung.1 In den einschlägigen A bei-
en wi d de olgende Ansa z gewähl : Fehlende We e in den Da en
ü einzelne x we den übe eine Zusa zgleichung zwischen den
^-Va iablen und ande en exogenen z -Va iablen „au ge üll ". (Fü
die z Va iablen sollen alle Da en olls ändig zu Ve ügung s ehen.)
b) Es ehlen einige We e on y , es sei ß = 0, abe die We e on x
s ehen olls ändig zu Ve ügung.2
Das „Au üllen" de ehlenden We e on y , wie im o he igen
Fall a) du ch eine ex e ne Gleichung, üh zu We en, die de ini o-
isch und sinngemäß in keinem Zusammenhang zu de gewünsch-
en O iginale hebung ü y nach Gleichung (1) s ehen. Diese Me-
hode des „In e polie ens" de ehlenden y We e is g undsä zlich
abzulehnen, da die Pa ame e schä zwe e un e Ve wendung solche
Da en une wünsch e Eigenscha en haben.3
c) Es ehlen ü die gleichen Zei pe ioden We e on y und alle
We e in x , es sei ß = 0, abe de S ö e m is au o eg essi
e =
Q£ ~ i
+ u mi q
= =
0 und E wa ungswe 0 und Va ianz o*2.4
Das Haup p oblem bes eh nun da in, den We ü
Q,
bzw. die Ko-
a ianzma ix de S ö e me zu schä zen, um somi die Eigen-
scha en des Pa ame e schä ze s zu e besse n.
d) Die Gleichung (1) sei un e s ell , de S ö e m sei u. U. au o eg es-
si , abe ü y s ehen nu We e in egelmäßigen In e allen zu
Ve ügung, wie z. B. nu jede zwei e ode jede ie e We on
y soll o liegen. Alle ande en We e ü y ehlen, jedoch sollen
alle We e on X o liegen.5
1 Diese Fall is in Degenais (1973), Gou ie oux and Mon on (1981) und
Kmen a (1981) behandel .
2 Siehe Kmen a (1981).
3 Siehe auch Palm and Nijman (1982).
4 Siehe Wansbeek and Kap eyn (1981) und Kmen a (1981).
5 Diese Fall is in Zellne (1966) und Palm and Nijman (1982) behandel .
Palm and Nijman (1982) konzen ie en ih e Diskussion dabei au Iden i ika-
ionsp obleme de Pa ame e .
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33
Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen 23
II. De behandel e Fall
Die Gleichung (1) mi den ge o enen Annahmen soll gel en. Hin-
sich lich de ehlenden Beobach ungen un e s ellen wi olgendes:
1. Alle We e ü x sollen o liegen. 2. Einige We e ü y ehlen in
un egelmäßigen In e allabschni en.6
Zum Beispiel, in de olgenden Reihe sollen ehlende We e du ch
y* symbolisie sein:
i, 2>y$> >y^ •••> -2> *-i> u
-
->VT •
Inne halb de Reihe ü y , = 1, ..., T, bes ehen hie d ei Lücken:
i) Eine mi den ehlenden We en i/J, y , y , ii) eine mi y* _x und iii)
eine mi den We en yj, y*+1. Die Gleichung (1), wie sie ü ele-
an is , sch eib sich somi wie
(2-a) y _ 2 = ßy -z + a'x _2 + £ -2
(2-b) 2/*_i = ßV -2 + «'x -i + s -l
(2-c) y = ßyUi+<x'x +£ -
De ehlende We ü y -1, du ch angedeu e , geh in zwei
Gleichungen ein: Einmal s eh y* _x als endogene Va iable in Glei-
chung (2-b). Zwei ens s eh y* _x als p äde e minie e Va iable in Glei-
chung (2-c).
Mi den S anda dme hoden de Ökonome ie könn en diese beiden
Gleichungen, o z de o handenen In o ma ion in den o liegenden
We en ü x -i und x , nich genu z we den. Diesen In o ma ions e -
lus gil es zu e meiden. Auße dem is de Da enzus and leich kon-
s uie ba , bei dem die Anzahl de noch o handenen Beobach ungs-
we e zwischen den Lücken zu klein ü übliche Schä zme hoden wi d.
Indem wi die ech e Sei e on (2-b) in (2-c) ü y* _± einse zen, e -
hal en wi die beiden Ausd ücke
(2-a) y _2 = ßV -z + «x'x -2 + e -2
(3) y = ß2y -2 + *'(*« + ßx -i) + H + ße -i •
ß De oben genann e Fall c), abe mi allen x We en olls ändig o han-
den, kann in den on uns behandel en Fall umgewandel we den: Fü
y = + ,
mi ^ = + ^ sch eiben wi in äqui alen e Fo m
=
Q
y -1 + (**-- + u •
Nun beda es nu eine Umde ini ion on Va iablen und Pa ame e n um
Gleichung (1) zu e hal en.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33
24 Geo g Hasenkamp
Dabei äll olgendes au :
a) Aus den u sp ünglichen zwei (in den Pa ame e n) linea en Gleichun-
gen (2-b) und (2-c) mi ehlendem We e hal en wi eine nich -
linea e Gleichung (3).
b) Fü den Schä z o gang de Pa ame e bes eh nun eine Mischung
aus linea en und nich -linea en Gleichungen.
c) In diese Mischung wi d jede o handene Da enwe und die da in
en hal ene In o ma ion genu z .
d) Die S ö e me in diese Mischung sind on he e oskedas ische Na-
u . De S ö e m e -2 de linea en Gleichung (2-a) ha einen E -
wa ungswe Null mi Va ianz a2. De S ö e m s + ße -1 in de
nich -linea en Gleichung (3) ha zwa einen E wa ungswe Null
abe eine Va ianz (1 + ß2) o2.
e) Bei Da enlücken on meh als einem Beobach ungswe wi d du ch
wei e es „Einse zen" analog e ah en. Soll e z. B. auch de We
ü
y* _ 2
in (2-a) und (3) ehlen, dann e hal en wi
(4) y = ß3y -z + <*' (x + ßx _i+ ß2x _2) +
wobei de S ö e m einen E wa ungswe Null mi Va ianz
(1 + ß2 + ß*) a2 ha .
Fü die mode nen Rechenp og amme de nich -linea en Kleins -
Quad a e-Me hode s ell die en s andene Mischung aus linea en und
nich -linea en Gleichungen kein g öße es P oblem da , denn in jede
Gleichung gehen die gleichen Pa ame e ein.
Wegen de He e oskedas izi ä in den S ö e men e schein abe ein
zweis u iges Schä z e ah en als angemessen:
In de e s en S u e inde die (nich -linea e) Kleins -Quad a e-Me-
hode Anwendung, um die Schä ze gebnisse
&
und ß zu e echnen. Die-
se Schä ze de e s en S u e soll e konsis en sein.7 Mi dem (konsi-
s en en) Schä zwe ß we den nun die nich -linea en Gleichungen ü
die zwei e Schä zs u e „gewich e ". Falls nu ein ehlende We o -
lieg wie in de Gleichung (3), dann we den beide Sei en in (3) du ch
(1 + ß2)m ge eil . Falls abe zwei Beobach ungswe e ehlen wie in
Gleichung (4), dann wi d du ch (1 + ß2 + ßA)m ge eil . (Bei d ei ode
meh ehlenden We en wi d analog e ah en.) Somi is , zumindes
asymp o isch gesehen, Homoskedas izi ä de S ö e me gegeben. Die
so „gewich e en" nich -linea en Gleichungen gehen in die zwei e S u e
7 Siehe Whi e and Domowi z (1981).
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33

Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen 25
de Kleins -Quad a e-Me hode ein, um die Schä ze gebnisse
oc
und ß zu
e hal en. Auch diese Schä ze de zwei en S u e sind un e ganz allge-
meinen Bedingungen konsis en ; zusä zlich sind au diese zwei en
S u e die (geschä z en) S anda d ehle ü
oc
und ß konsis en .8'9
III. Ein empi isches Beispiel
Wi nehmen unse empi isches Beispiel aus eine S udie zu P eis-
abhängigkei de indus iellen Elek izi ä snach age. Es wu de ol-
gende Nach age unk ion de einzelnen Indus iesek o en nach Elek-
izi ä un e s ell :
(5) log (z ) = a0 + a log (P«"/P*,) + ^ log (w /Pe )
+ .a3 log
(• /Pe )
+ ß log (z _ ) + e .
Die Symbole sind hie wie olg zu in e p e ie en:
z = Elek izi ä s e b auch je Ausb ingungseinhei eines Sek o s im
Zei aum ; in kons an en P eisen gemessen,
Pe = P eisindex ü Elek izi ä ,
P = P eisindex ü al e na i e Ene giea en,
w = Lohnkos enindex,
= P eisindex ü In es i ionsgü e ,
e = s ochas ische S ö e m mi eine Ve eilung (0, o2).
Diese Nach age unk ion is in de Fo m de Ve hal ensgleichung (1),
indem wi y = log [z ), x = {1, log (P / Pe ), log (w / Pe ), log ( / Pe )},
und
oc
= {«o, ai,
oc9,
<*3} se zen.
Die o handene Schä zpe iode wa on 1961 bis 1974; alle dings
lagen ü die Jah e 1965 - 67, 1969 - 70 und 1972 keine O iginale he-
bungen ü y = log
(z/)
o .10
In unse e Da en eihe bes ehen also d ei Lücken ü y , jeweils on
Länge d ei, zwei und einem We .
8 Siehe wiede Whi e and Domowi z (1981). - 2
® Keine Aussage kann hinsich lich de E izienzeigenscha ü
oc
und ß ge-
mach we den. Un e eine zusä zlichen Annahme de No mal e eilung wä e
ein ML-Schä ze zwa im P inzip denkba , e schei e jedoch an de bishe
nich ge undenen p ak ischen Anwendba kei .
Unse e Da en sind de A bei „Ene giekos enbelas ung de Wi scha s-
sek o en de BRD 1961 - 1964, 1968, 1971, 1972 - 1974", IFO-Ins i u ü Wi -
scha s o schung, München 1976, on G. B i schka en nommen. Diese Da en
bie en den Vo eil eine einen Klassi izie ung sowohl de Wi scha ssek o-
en und de Ene giea en mi den en sp echenden P eisen.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33
26 Geo g Hasenkamp
In de olgenden Tabelle b ingen wi die Schä ze gebnisse ü d ei
Sek o en.11
In diese Tabelle üh en wi die We e ü die geschä z en Pa ame e
in den beiden S u en au . Die S anda d ehle sch eiben wi in Klam-
me n un e den Pa ame e we en.
Gese z e We e ü die Pa ame e sch eiben wi als 0.0 ohne S an-
da d ehle . Die ge inge Anzahl on Beobach ungswe en mach en a
p io i Res ik ionen übe Pa ame e e o de lich. (Falls ein Pa ame e
in o läu igen Schä zungen einen öllig unplausiblen We ha e, ode
einen ela i seh g oßen S anda d ehle ha e, wu de e au den We
0.0 gese z .)
Bei den We en diese Tabelle äll olgendes au :
(i) Die Schä zwe e e ände n sich nu e was on de e s en (unge-
wich e en) zu zwei en (gewich e en) S u e. Die „ alschen" Vo -
zeichen zu
<%2
e ände n sich nich übe die beiden S u en; auch
deu e de geschä z e We ü ß im Sek o Eisenbahnen in beiden
S u en au eine „ins abile" Si ua ion hin.
(ii) Die „konsis en en" S anda d ehle de zwei en S u e un e schei-
den sich nu wenig on den „inkonsis en en" S anda d ehle n
de e s en S u e.
(iii) Das „ alsche" Vo zeichen ü o® deu e u. U. au ein simul anes
Gleichungsp oblem hin, denn die Nach age unk ion ü Elek izi-
ä wu de als Einzelgleichung ohne Be ücksich igung de A bei s-
nach age unk ion geschä z .
T o z de z. T. unbe iedigenden Schä ze gebnisse (im Sinne de heo-
e ischen In e p e a ion einzelne We e und Vo zeichen) be ich en wi
on dem empi ischen E gebnis diese A bei . Das eigen liche Ziel und
Anliegen wa es ja auch, au die P oblema ik und au eine Lösungs-
möglichkei de ehlenden Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal-
ensgleichungen hinzuweisen.
n D eizehn Sek o en, nämlich die Haup e b auche on Elek izi ä mi
einem Gesam e b auch on ca.
90 %
wu den indi iduell analysie . Bei de
Meh zahl de Sek o en wa alle dings de Pa ame e ß nich signi ikan ,
ode e ha e ein alsches Vo zeichen. Fü ß
—
0 in de Ve hal ensgleichung
(1) e üb ig sich die Diskussion zum P oblem de ehlenden Beobach ungen.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33
Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen
«
o
s
co
u
co
<L>
4-1
2
CO
*
0)
CO
OS 1 CD H
1
1 m Oí
o T—1 £> CO 1 co o
C j es H CS i CS c j
CO CS
i
^ > 00
CS CD CO 00 00 00
H H CD CD od 03
Od 05 p OÌ p p
d d d d d d
CS H CS :
; OO > in co £> 00
CO CO in CS 00 c^ o 00 O -
CO 00 cq OÍ > -o co CD CD eo
^ '"l H CD H CO CS ¡ H O 1—1 p
d d d d d 3 d O 1 H d 1—1 d
oT H CS 00 p 1 Oì in CD co
T- LO CD in es CD
CO CM
CO [> in CO CO O co es >
CD > CD > CD CO in ^ es in co
CS O CS d d o o d d d d
o, 1
1
1
i
1 1
CS CO Oi o? o co - in
1-H I> CO in 1 CS co es m
O - o 00 00 Oì co
^ '"l i—i p p i ^
p co
d d d d o o o d d d
1 W 1 1 1 1
o CS CO ^
¡ 05
H o OS
CS CS o es
o o CS CO co co p p
d d d d d o d d
1
/—
¡
oT CS > CD co co - co ^ CD
H CT5 H Oi CS 00 eo 00 es
CO CD CD CTJ CD in m in CD H m
^ p p p p in es p co
H O
—1 .
d d d d o d d d d
1 W 1 1 î
i-H CS
1
1
i—i
i
1
es ' T-
i
es
1
<D 1 í
1
<D
u
Q) 2
M CO
—
1 «
1 "S
í
•s
£
Q
w
ùû S •§
ö Sí
O ÖJ
s co
com ! £ 1 ®
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33
28 Geo g Hasenkamp
Zusammen assung
Diese A bei illus ie einen Ansa z zum Schä zen au o eg essi e Ve -
hal ensgleichungen, wenn einige Beobach ungen zu abhängigen Va iablen
ehlen. Du ch Subs i u ion de ehlenden Beobach ungen e häl man eine
Kombina ion on linea en und nich -linea en Gleichungen in gemeinsamen
Pa ame e n, die mi einem zweis u igen Ve ah en geschä z we den. Zu
diesem Ansa z wi d ein Beispiel mi Da en zu indus iellen Ene gienach-
age geb ach .
Summa y
This pape illus a es a me hod o es ima e au o eg essi e equa ions when-
e e some obse a ions a e missing. By subs i u ing o he missing obse -
a ion one ob ains a combina ion o linea and non-linea equa ions. The
common pa ame e s in hese equa ions a e es ima ed by a wo-s ep-me hod.
An empi ical illus a ion o his me hod is p o ided by using da a on in-
dus ial demand o elec ici y.
Li e a u
Degenais, M. G. (1973), The use o incomple e obse a ions in mul iple eg es-
sion analysis, a gene alized leas squa es app oach. Jou nal o Econo-
me ics 1, 317 - 328.
Gou ie oux, Ch. and A. Mon on (1981), On he p oblem o missing Da a in
linea models. Re iew o Economic S udies 48, 579 - 586.
Kmen a, J. (1981), On he p oblem o missing measu emen s in he es ima ion
o economic ela ionship, in: E. G. Cha a sis (ed.), P oceedings o he Eco-
nome ic Socie y Mee ing 1979, No h-Holland, Ams e dam.
Palm, F. C. and Th. E. Nijman (1982), Missing obse a ions in he dynamic
eg ession model, Pape p esen ed a he Econome ic Socie y Eu opean
Mee ing in Dublin. Sep . 1982.
Wansbeek, T. and A. Kap eyn (1981), Maximum likelihood es ima ion in a
linea model wi h se ially co ela ed e o s when obse a ions a e
missing, Cen al Bu eau o S a is ics, The Ne he lands, manusc ip .
Whi e, H. and I. Domowi z (1981), Nonlinea eg ession wi h dependen ob-
se a ions, Dep . o Economics, Uni e si y o Cali o nia - San Diego, Dis-
cussion Pape 81 - 32.
Zellne , A. (1966), On he analysis o i s o de au o eg essi e models wi h
incomple e da a. In e na ional Economic Re iew 7, 72 - 76.
OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/
DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33