Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle

Wahrenburg, Mark; Niethen, Susanne Article Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Wahrenburg, Mark; Niethen, Susanne (2000) : Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 33, Iss. 2, pp. 235-257, https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293417 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Einleitung Die derzeit diskutierten Kreditrisikomodelle wie CreditMetrics1, CreditRisk2, Credit Portfolio View3 und das KMV-Modell4 sind komplexe Werkzeuge, die sich in vieler Hinsicht unterscheiden. Die Unterschiede können sinnvoll in drei Teilbereiche eingeteilt werden: Risikodefinition, technische Konzeption und empirische Datenbasis. • Die Risikodefinition bestimmt, welche Risiken modelliert werden. Während alle Modelle den Verlust durch Kreditausfälle abbilden, berücksichtigen einige Modelle zusätzlich das Risiko von Veränderungen des Portfoliowertes aufgrund von Ratingverbesserungen und -Verschlechterungen sowie zusätzliches Risiko aufgrund stochastischer statt konstanter Wiedergewinnungsraten (Recovery Rates) im Insolvenzfall. • Die technische Konzeption umfaßt die Verteilungsannahmen des Modells, die Berechnungs verfahren (Simulation oder analytische Ableitung) und eventuelle Approximationsverfahren. • Die empirische Datenbasis bestimmt die Inputdaten, die für die Schätzung der im Modell benötigten Parameter Verwendung finden. Erste Vergleichsrechnungen mit Anleiheportfolios haben deutliche Unterschiede zwischen den Modellen aufgezeigt.5 Dabei wurde aber kein Versuch unternommen, den Ursachen für die Risikounterschiede auf den Grund zu gehen. Das Anliegen dieses Artikels besteht in einer detaillier1 Credit Metrics Technical Document, J. R Morgan (1997). 2 CreditRisk* Technical Document, Credit Suisse Financial Products (1997). 3 Credit Portfolio View, Approach Document und User's Manual, McKinsey (1998), und Wilson (1997a/b). 4 Kealhofer (1995a/b) und Crouhy und Mark (1998a). 5 Crouhy und Mark (1998b). Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 236 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen ten Analyse der einzelnen Abweichungsursachen. In der aktuellen Diskussion um die Zulassung von internen Modellen für die regulatorische Eigenkapitalunterlegung gewinnen die Ursachen für systematische Abweichungen des Value-at-Risk große Bedeutung. Eine Zulassung interner Modelle ist erst dann zu erwarten, wenn die verschiedenen Modelle vergleichbare Ergebnisse liefern und Transparenz über Ausmaß und Ursache der verbleibenden Abweichungen besteht. Im folgenden soll ein Vergleich am Beispiel zweier Kreditrisikomodelle, CreditMetrics und CreditRisk+, erfolgen. Dazu wird zunächst eine einheitliche Risikodefinition unterstellt, indem lediglich das Ausfallrisiko in die Betrachtung einfließt. Denn im Gegensatz zu den anderen Modellen berücksichtigt CreditRisk+ lediglich Verluste, die von Ausfällen verursacht werden. Außerdem wird eine konstante Wiedergewinnungsrate unterstellt, da in CreditRisk+ stochastische Wiedergewinnungsraten nicht modelliert werden können. Die zentrale, im folgenden zu klärende Frage ist, inwieweit unter dieser identischen Risikodefinition die Abweichungen des Value-at-Risk auf die technische Konzeption oder die empirische Datenbasis zurückzuführen sind. Dazu wird in Abschnitt II. zunächst gezeigt, daß die existierenden Kreditrisikomodelle hinsichtlich ihrer Konzeption in zwei Klassen eingeteilt werden können. Als Vertreter für die Klassen werden im dritten Abschnitt CreditMetrics und CreditRisk* vorgestellt. Abschnitt IV. zeigt für ein Musterportfolio von Krediten an deutsche Bauunternehmen, daß bei der Standardkalibrierung der Modelle mit empirischen Zeitreihen, d.h. Aktienrenditen im Fall von CreditMetrics und Ausfallzeitreihen im Fall von CreditRisk+, die Ergebnisse der Modelle sehr stark voneinander abweichen. Im fünften Abschnitt wird gezeigt, daß diese Abweichung fast ausschließlich auf die empirische Datenbasis zurückzuführen ist. Dazu wird die Value-at-Risk-Berechnung mit Parameterwerten wiederholt, die jeweils konsistente Werte für die (implizite) Korrelation von Kreditausfällen in den beiden Modellen gewährleisten. Für diese Parameter verschwinden die Value-at-Risk-Unterschiede weitgehend. Daraus kann geschlossen werden, daß weder Verteilungsannahmen noch Approximationsfehler einen wesentlichen Beitrag zur Erklärung der divergierenden Modellergebnisse liefern. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 237 II. Eine Klassifizierung von Kreditrisikomodellen Die in der Literatur vorgeschlagenen Kreditrisikomodelle unterscheiden sich konzeptionell vor allem hinsichtlich der Verteilungsannahmen für Ausfälle und Wiedergewinnungsraten sowie der Konzepte zur Berücksichtigung der Korrelation von Kreditausfällen. Im folgenden wird gezeigt, daß die Modelle in zwei grundlegende Klassen eingeteilt werden können: • Asset-Value-Modelle • Ausfallraten-Modelle Die folgende Vergleichsanalyse des Artikels beschränkt sich deshalb auf je einen Vertreter der Klassen CreditMetrics und CreditRisk+. Die Asset-Value-Modelle gehen auf Merton (1974) zurück, in dessen Ansatz der Kreditnehmer mit Aufnahme des Kredits gleichzeitig eine Putoption auf sein Unternehmen erhält, so daß der risikobehaftete Kredit mit dem Black/Scholes-Kalkül bewertet werden kann. In diesen Ansätzen ist das Underlying der Wert der Aktiva des kreditnehmenden Unternehmens, für deren Wertentwicklung eine geometrische Brownsche Bewegung angenommen wird. Der Ausfall tritt ein, wenn der Wert der Aktiva am Laufzeitende geringer als der fällige Kreditrückzahlungsbetrag ist. In diesem Fall „übergibt der Kreditnehmer das Unternehmen", anstatt den Kredit zurückzuzahlen; er „übt seine Putoption aus". Der Merton-Ansatz beruht auf restriktiven Annahmen über die Zinsentwicklung, die Fremdkapitalstruktur und den Insolvenzzeitpunkt. Der risikofreie Zins wird als konstant unterstellt, und es besteht nur eine Klasse Fremdkapital. Ein Konkurs vor Laufzeitende des Kredits ist ausgeschlossen. Der Basisansatz von Merton wurde durch verschiedene Autoren weiterentwickelt, um Konkurse vor Laufzeitende, z.B. aufgrund von Liquiditätsproblemen, zu modellieren, komplexe Kapitalstrukturen zu berücksichtigen und die stochastische Entwicklung des risikofreien Zinses zu integrieren.6 Allen diesen Ansätzen ist gemeinsam, daß das Ausfallrisiko eines Kredits in erster Linie von der stochastischen Entwicklung des Wertes der Aktiva des Kreditnehmers abhängt. Dieses Konzept liegt den Asset-Value-Modellen zugrunde. Hauptvertreter dieser Modellkategorie sind das KMV-Modell und CreditMetrics. Das KMV-Modell nutzt den Merton-Ansatz in leicht abgewandelter Form, um das Risiko eines Kreditportfolios zu bestimmen.7 Dazu wird 6 So z.B. Black, Cox (1976), Longstaff, Schwarz (1995), Briys, de Varenne (1997). Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 238 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen die vom Merton-Modell implizierte Ausfallwahrscheinlichkeit durch Annahme eines „Default Point" unterhalb der Totalverbindlichkeiten modifiziert, da das Merton-Modell z.T. unrealistische Ausfallwahrscheinlichkeiten produziert. Eine umfangreiche Datenbasis dient dazu, das Modell so zu kalibrieren, daß die berechneten Ausfallwahrscheinlichkeiten mit den empirisch beobachteten weitgehend übereinstimmen. Zur Bestimmung des Value-at-Risk werden mögliche zukünftige Renditen der Aktiva simuliert bzw. berechnet, die Ausfälle und auch die Erhöhung oder Verringerung des Ausfallrisikos einzelner Positionen bedeuten. Die Portfolioeffekte werden hierbei über die Korrelationsstruktur der Aktienrenditen berücksichtigt. Anschließend wird das Portfolio neu bewertet. Die hierzu notwendigen Spreads berechnen sich aus den kreditnehmerspezifischen Ausfallwahrscheinlichkeiten, die aus den simulierten Renditen der Aktiva bestimmt werden. CreditMetrics unterscheidet sich vom KMV-Ansatz hauptsächlich durch die Klassifizierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten nach Ratingklassen. Während KMV kreditnehmerspezifische Ausfallwahrscheinlichkeiten berechnet, werden in CreditMetrics einheitliche Ausfallund Migrationswahrscheinlichkeiten innerhalb von Ratingklassen angenommen. Durch Simulation von korrelierten, normalverteilten Renditen der Aktiva werden in CreditMetrics gemeinsame Wertveränderungen von Krediten generiert. Die Neubewertung des Portfolios erfolgt mit einheitlichen Spreads innerhalb der Ratingklassen. In den Ausfallraten-Modellen wird der Prozeß der Kreditausfälle direkt modelliert, anstatt einen stochastischen Prozeß für Unternehmenswerte zu definieren, der indirekt die Ausfälle verursacht. In diesen Modellen können in jedem diskreten Zeitintervall Ausfälle bzw. Ratingveränderungen auftreten; es wird lediglich spezifiziert, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines solchen Kreditereignisses ist. Typischerweise wird angenommen, daß die Wahrscheinlichkeiten nicht konstant sind, sondern in Abhängigkeit von Hintergrundfaktoren schwanken. Die Ausfallraten werden somit anders als in CreditMetrics oder im KVM-Modell nicht als Konstante, sondern als stochastische Variable angenommen. Die Ansätze fußen auf einer neuen Literatur zur Bewertung kreditrisikobehafteter Finanzierungstitel (Intensity-based Models), in denen der 7 „CreditMonitor" berechnet kreditnehmerspezifische Ausfallwahrscheinlichkeiten, die Grundlage für das Portfoliomodell sind. Daneben liefert KMV auch Module zur Bewertung von Krediten. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 239 Ausfall als Jump-Diffusion-Prozeß modelliert wird.8 Vertreter dieser Klasse von Kreditrisikomodellen sind CreditRisk+ und Credit Portfolio View. Korrelation zwischen Kreditereignissen wird in diesen Modellen dadurch erzeugt, daß die Ausfallraten verschiedener Kredite von gemeinsamen Hintergrundfaktoren abhängen. Obwohl die Kreditausfälle bei einer vorgegebenen Ausfall Wahrscheinlichkeit als jeweils unabhängige Ereignisse modelliert werden, führt der gemeinsame Hintergrundfaktor zu gleichgerichteten Schwankungen der Ausfallwahrscheinlichkeiten einzelner Kreditnehmer. Daher sind Kreditausfälle im Ergebnis nicht unabhängig, sondern weisen eine von Null verschiedene Korrelation auf. CreditRisk* modelliert den Hintergrundfaktor implizit, indem Kreditnehmer einzelnen oder mehreren Sektoren zugeordnet werden. Es wird angenommen, daß die Ausfallwahrscheinlichkeiten in einem Sektor von genau einem Hintergrundfaktor, z.B. einem makroökonomischen Faktor, verursacht werden. Um dies abzubilden, werden die Ausfallwahrscheinlichkeiten für alle Kreditnehmer eines Sektors aus derselben Verteilung gezogen. Dies entspricht der anschaulichen Vorstellung von gleichartigen Schwankungen der Ausfallwahrscheinlichkeiten der Unternehmen eines Sektors über Zeit. Die Verteilungsannahmen von CreditRisk+ erlauben eine analytische Berechnung der Verlust Verteilung. Credit Portfolio View modelliert die Hintergrundfaktoren dagegen explizit, indem zufällige makroökonomische Szenarien generiert werden, die die Verteilung der Ausfallund MigrationsWahrscheinlichkeiten bestimmen.9 Im Gegensatz zu CreditRisk+ kann das Kreditrisiko nach Credit Portfolio View nur mit einem Simulationsverfahren berechnet werden. III. CreditMetrics und CreditRisk+ Als Vertreter der beiden Modellkategorien wurden für die Vergleichsanalyse CreditMetrics sowie CreditRisk"1" ausgewählt. Die Vergleichsanalyse soll anhand eines einfachen Musterportfolios von N homogenen Krediten an Unternehmen eines Sektors (der deutschen Bauindustrie) durchgeführt werden. 8 Z.B. Jarrow, Turnbull (1995), Jarrow, Lando, Turnbull (1997), Das, Tufano (1995), Duffie, Singleton (1995). 9 Der Zusammenhang zwischen den makroökonomischen Variabein und den sektorspezifischen Ausfallwahrscheinlichkeiten ergibt sich dabei aus einer Regressionsanalyse der historischen Sektorausfallraten. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 240 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen 1. CreditRisk+ CreditRisk+ erzeugt in einem analytischen Berechnungsverfahren eine diskrete Verteilung von Verlusten, die ausschließlich durch Ausfälle der Kreditnehmer verursacht werden. Die Verlusthöhe eines Portfolios ist in diesem Modell durch zwei Elemente bestimmt: • Anzahl der ausgefallenen Kreditnehmer • Höhe des Verlustes der einzelnen Ausfälle Um die Anzahl der Ausfälle zu bestimmen, wird in CreditRisk"1" eine zweifache Stochastik unterstellt: Im ersten Schritt wird eine (zufällige) sektorspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit bestimmt, im zweiten Schritt wird die (zufällige) Anzahl der Ausfälle innerhalb des Sektors für die vorgegebene Ausfallwahrscheinlichkeit ermittelt, wobei nun Unabhängigkeit der einzelnen Ausfallereignisse unterstellt wird. Bei vorgegebener einheitlicher Ausfallwahrscheinlichkeit pi der Kreditnehmer in einem Portfolio verteilen sich die Ausfälle unter Annahme der Unabhängigkeit binomial. Bei der Berechnung in CreditRisk+ wird für die Ausfälle jedoch eine Poissonverteilung unterstellt. Diese Verteilung liefert für kleine Ausfallwahrscheinlichkeiten eine sehr gute Approximation der Binomial Verteilung. Für ein Portfolio von N Krediten ergibt sich N zunächst ein Erwartungswert der Ausfälle in Höhe von /x = ^pj. Die i= 1 Wahrscheinlichkeit für n Ausfälle berechnet sich dann approximativ als: un P(n Ausfälle) = p Die zweite Stochastik ergibt sich nun aus der Unsicherheit über die Ausfallwahrscheinlichkeiten p{ bzw. den Sektor-Erwartungswert die oben als konstant angenommen wurden. Dieser Erwartungswert wird in CreditRisk+ wiederum als stochastische Variable aufgefaßt, dessen Verteilung um den Mittelwert ß von Hintergrundfaktoren, z.B. Länderrisiken und makroökonomische Faktoren, beeinflußt wird. Es wird angenommen, daß die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb eines Sektors von genau einem Hintergrundfaktor getrieben ist und daher die Ausfälle in unterschiedlichen Sektoren voneinander unabhängig sind. Den Erwartungswert Hk für die Anzahl der Ausfälle im Sektor k faßt man nun in der zweiten Stochastik als gammaverteilte Zufallsgröße auf, d.h., die Anzahl der Sektorausfälle schwankt zufällig um einen Mittelwert ßk mit der Standardabweichung ok. Die Gammaverteilung ist eine Zweiparameterverteilung, die durch Angabe des Mittelwertes und der Standardabweichung vollständig bestimmt ist. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 241 Jeder Kreditnehmer wird schließlich einem oder anteilig mehreren Sektoren zugeordnet, so daß sich die Summe der anteiligen Wahrscheinlichkeiten wieder zu p* addiert. Für die Kalibrierung des Modells können der Erwartungswert /x^ und die Standardabweichung ak aus historischen Ausfallzeitreihen eines Sektors bestimmt werden. Um die Verteilung der Ausfälle innerhalb eines Sektors zu berechnen, muß nun die Sektor-Gammaverteilung mit der PoissonVerteilung kombiniert werden. Nach einigen Umformungen kann gezeigt werden, daß die resultierende Verteilung der Ausfälle als negative Binomialverteilung für den k-ten Sektor beschrieben ist:10 mit ak = \x\ja\ und pk = \ + fik). Die Ausfallverteilung für das gesamte Portfolio ergibt sich nun direkt aus den Sektorverteilungen unter Annahme der Unabhängigkeit. Im Fall eines Portfolios homogener, also gleich großer Kredite kann die Ausfallverteilung unmittelbar in die für die Kreditrisikoschätzung relevante Verlustverteilung überführt werden, indem einem einzelnen Ausfallereignis eine (deterministische) Verlusthöhe zugewiesen wird. (CreditRisk+ rechnet mit deterministischen Wiedergewinnungsfaktoren.) Wenn das Kreditportfolio dagegen Kredite verschiedener Größe aufweist, muß im zweiten Schritt die Höhe der Verluste, die aus diesen Ausfällen resultieren, berechnet werden. Hierzu werden die Kredite in Größenklassen eingeteilt. Alle Exposures Li müssen als ganzzahliges Vielfaches einer Einheit L, ggf. nach Rundung, ausgedrückt werden: L* = ViL. Dann kann die Verlustverteilung eines Sektors mit Hilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion beschrieben werden. Diese hat die Gestalt Diese Funktion hat die Eigenschaft, daß der n-te Koeffizient die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust von n Exposureeinheiten L darstellt. Auf Basis der negativen Binomialverteilung der Ausfälle und unter Berücksichtigung der Größenklassenverteilungen können diese Koeffizienten 10 Siehe Technisches Dokument, Seite 45. P(n Ausfälle in Sektor k) PC Gfc(z) = P(Verluste = nL)zn. 71 = 0 Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 242 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen rekursiv berechnet werden, so daß die Verlustverteilung analytisch bestimmbar ist.11 2. CreditMetrics Im Gegensatz zu CreditRisk+ berücksichtigt CreditMetrics nicht nur das Ausfallrisiko, sondern bestimmt die Verteilung möglicher ForwardPortfoliowerte am Risikohorizont. Hierbei werden neben dem Ausfallrisiko auch Ratingveränderungen und stochastische Wiedergewinnungsraten simuliert. CreditMetrics ist ein Asset-Value-Modell, da korrelierte Renditen der Aktiva für alle Kreditnehmer simuliert werden, die zu einer Neubewertung der Kredite am Risikohorizont führen. Die Aktivarenditen werden dann intervallweise in Ratingklassen übersetzt. Dabei sind die Intervalle so gewählt, daß die Ausfallbzw. Ratingmigrationswahrscheinlichkeiten an eine vorgegebene Migrationsmatrix angepaßt werden. Dem Modell liegt entsprechend die Annahme zugrunde, daß alle Kreditnehmer einer Ratingklasse homogen in bezug auf ihre Ratingmigrationsund Ausfallwahrscheinlichkeit sind. Nach Zuordnung der Kreditnehmer zu einer Ratingklasse und Spezifizierung der Migrationswahrscheinlichkeiten sowie des Erwartungswertes und der Volatilität produktspezifischer Wiedergewinnungsraten erfolgt die Simulation der Portfoliowertverteilung in drei Schritten: a) Simulation von Renditen Je Simulationslauf werden für alle Kreditnehmer korrelierte Renditen der Aktiva aus einer Normalverteilung gezogen. Die Korrelationsstruktur ergibt sich aus der Zuordnung der einzelnen Kreditnehmer zu Aktienindizes. Das heißt die Unternehmenswertrendite R eines Kreditnehmers wird ausgedrückt als: R = UiRi + V2R2 + • • • + UnRunsyst., ^ > 0, wobei Ri Renditen von Aktienindizes und Runsyst. den unsystematischen Anteil des Renditerisikos bezeichnen. Die Gewichte UJI können so normalisiert werden, daß ohne Einschränkung der Allgemeinheit eine Standardnormalverteilung für R angenommen werden kann. Die Renditen n Für eine detaillierte Herleitung siehe Technisches Dokument, Seiten 46-49. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 249 Es kann nun gezeigt werden, daß bei geeigneter Wahl der Inputparameter beide Modelle identische Ausfallkorrelationen erzeugen. Mittelwert und Varianz von A bzw. B berechnen sich als E(A) = E(B) = p VAR(A) = VAR(B) = p(l - p) Einsetzen in die Formel der Ausfallkorrelation ergibt P{AAB) -P P = T-y r~ bzw. pl-p P{AAB) = p + pp(l — p)- Dabei bezeichnet P{aab} die Wahrscheinlichkeit für den gemeinsamen Ausfall. Unter der Annahme einer identischen Ausfallwahrscheinlichkeit zweier Kreditnehmer p zeigt diese Formel, daß die Ausfallkorrelationen in beiden Modellen genau dann identisch sind, wenn die Wahrscheinlichkeit für den gemeinsamen Ausfall zweier Kreditnehmer übereinstimmt. Diese Wahrscheinlichkeiten sind nun für die beiden Modelle analytisch abzuleiten. Die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit wird in CreditMetrics durch die Renditekorrelation bestimmt, die die Form der bivariaten Normalverteilung festlegt. Je höher die Renditekorrelation pR gewählt wird, desto mehr Wahrscheinlichkeitsmasse findet sich über der Fläche von den negativen Renditen, die den Ausfall beider Kreditnehmer bedeuten. Die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit kann über die bivariate Normalverteilungsfunktion berechnet werden: R R -oc -oc Dies bedeutet, daß zu jeder beliebigen vorgegebenen Ausfallkorrelation p*, insbesondere also der impliziten CreditRisk+-Ausfallkorrelation, eine Renditekorrelation pR gefunden werden kann, so daß die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit mit dem entsprechenden Wert aus CreditRisk+ übereinstimmt: P{A A B} =p2+/p(l-p) Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 250 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen Abb. 4: Bivariate Normalverteilung zu einer Renditekorrelation von 50% Für das CreditRisk+-Modell kann die implizite Ausfallkorrelation innerhalb eines Sektors näherungsweise berechnet werden als:16 Bei vorgegebener Ausfallwahrscheinlichkeit p kann die Ausfallkorrelation in CreditRisk+ somit durch die Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeiten variiert werden. Für eine Zielkorrelation p* muß a = y/p* p gewählt werden. Damit können bei gleicher mittlerer Ausfallwahrscheinlichkeit p jeweils Kombinationen aus der CreditMetrics-Renditekorrelation pR und der CreditRisk+-Volatilität o bestimmt werden, die identische Ausfallkorrelationen in beiden Modellen erzeugen. Abbildung 5 zeigt für die angenommene Ausfallwahrscheinlichkeit der Kreditnehmer des Musterportfolios von 1,22% diejenigen Kombinationen 16 Die Formel ergibt sich als Spezialfall der allgemeinen Darstellung der Ausfallkorrelation im Technischen Dokument, Seite 57, Formel (138). Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 251 Abb. 5: Kombinationen von Renditekorrelationen und Volatilitäten mit identischer Ausfallkorrelation (mittlere Ausfallwahrscheinlichkeit 1,22%) von Renditekorrelationen und Volatilitäten, die eine identische Ausfallkorrelation erzeugen. 2. Ergebnisse der Vergleichsanalyse mit konsistenter Korrelation In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die abweichenden Meßergebnisse aus Abschnitt IV. 2. in erster Linie auf die empirische Kalibrierung und nicht auf die Unterschiede in der technischen Konzeption der Modelle zurückzuführen sind. Wie im vorangegangenen Abschnitt dargestellt, müssen dafür zunächst die Ausfallkorrelationen der Modelle auf einen einheitlichen Wert gesetzt werden. Für das Musterportfolio von N homogenen Bauunternehmen wurde in Abschnitt IV.2. eine Renditekorrelation von 0,50 für CreditMetrics und eine Volatilität der Ausfallrate in Höhe von 0,26% für CreditRisk+ bei einer gemeinsamen mittleren Ausfallwahrscheinlichkeit von 1,22% angenommen. Mit diesen Parametern ergibt sich die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von je zwei Bauunternehmen in CreditMetrics als: Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit = Biv. Normalverteilungsfkt. (-2,25, -2,25, 50%) « 0,17% Daraus berechnet sich folgende Ausfallkorrelation: 0,17% - 1,22 %2 Ausfallkorrelation = 22 o/o (1 _ 22 o/o) = 0.1287 Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 252 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen Die Ausfallkorrelation nach CreditRisk+ ergibt sich als: /0,26 % \2 Ausfallkorrelation = 1,22 % ( ) = 0,0006 \ 1, ZZ /o ) Die Ausfallkorrelation von CreditMetrics übertrifft demnach die implizite CreditRisk+-Korrelation um das 200-fache, wenn die Inputparameter aus empirischen Aktienkurszeitreihen (CreditMetrics) bzw. der historischen Ausfallzeitreihe (CreditRisk+) des Statistischen Bundesamtes für das Baugewerbe abgeleitet werden. Um zu überprüfen, ob die unterschiedlichen Korrelationsannahmen verantwortlich für die hohen Value-at-Risk-Unterschiede sind, wurde eine zweite Vergleichsanalyse mit identischen Ausfallkorrelationen durchgeführt. Hierbei wurde zunächst die Renditekorrelation in CreditMetrics so gewählt, daß die Ausfallkorrelation mit der in CreditRisk* (0,0006) übereinstimmt. Dazu muß der Korrelationskoeffizient der Renditen auf 0,016% gesetzt werden. In einer zweiten Berechnung wurde die Standardabweichung so festgelegt, daß in CreditRisk* eine Ausfallkorrelation von 0,1287 impliziert wurde, die der Renditekorrelation von 0,50 in CreditMetrics entspricht. Hierzu muß eine Standardabweichung etwa 0,04 gewählt werden. Die Abbildung 6 zeigt die Ergebnisse der Simulationen bzw. Berechnungen zum 95%- und 99%-Konfidenzniveau in Abhängigkeit von der Anzahl der Bauunternehmen. Empirische CR*-Ausfallkorrelation (0,0006) Empirische CM-Ausfallkorrelation (0,1287) 95 % Konfidenz 99% Konfidenz 95 % Konfidenz 99% Konfidenz Anzahl CM CR+ CM CR+ CM CR+ CM CR+ 10 1 1 3 2 1 1 3 2 50 2 2 3 3 3 3 10 10 100 3 3 4 4 6 7 22 20 200 5 5 7 7 13 14 40 40 500 11 11 14 13 31 35 105 100 1000 20 20 25 23 63 71 209 200 Abb. 6: Value-at-Risk nach CreditMetrics (CM) und CreditRisk+ (CR+) bei konsistenter Schätzung der Korrelationen (Baugewerbe) in Abhängigkeit von der Anzahl der Unternehmen im Portfolio Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 253 Das Value-at-Risk der beiden Modelle, welches jeweils in Krediteinheiten gemessen wurde, zeigt nur geringe Unterschiede ab 100 Kreditnehmern. Die Abweichungen betragen 1 bis 9 Krediteinheiten, was einer Differenz von bis zu 2% des Kreditvolumens entspricht. Diese Abweichung ist auf die unterschiedliche technische Konzeption der Modelle oder aber den zufälligen Simulationsfehler der Monte-Carlo-Simulation von CreditMetrics zurückzuführen. Die Vergleichsanalyse zeigt, daß Value-at-Risk-Unterschiede fast ausschließlich durch die empirische Kalibrierung verursacht werden. Wenn die Parameter für die Kreditrisikomodelle so gewählt werden, daß identische Ausfallkorrelationen vorliegen, stimmen die Value-at-Risk-Ergebnisse weitgehend überein. Allerdings muß für CreditMetrics eine extrem geringe Renditekorrelation (0,016) gewählt werden, um die CreditRisk+- Ausfallkorrelation abzubilden. Empirische Aktienkurszeitreihen würden tendenziell wesentlich höhere Renditekorrelationen und damit Ausfallkorrelationen nahelegen. Die Frage, ob Asset-Value-Modelle oder auf Ausfallraten basierende Modelle das Kreditrisiko besser abbilden, hängt somit eng mit der Frage zusammen, wie hoch Ausfallkorrelationen in Realität tatsächlich einzuschätzen sind. Um die Robustheit der Ergebnisse in bezug auf die verwendete Datenbasis zu untersuchen, wurde die Analyse für eine andere Ausfallzeitreihe mit erheblich größerer Volatilität wiederholt: die „Speculative Grade "-Ausfallzeitreihe von Moody's im Zeitraum 1970-1996. Als Speculative Grade zählen Unternehmen mit einem Rating von BB und darunter. Diese Unternehmen zeigen eine mittlere Ausfallrate von 3,31%, die Volatilität der Ausfallraten beträgt 2,66%. Die Ausfallkorrelation, die aus dieser Stichprobe mit dem CreditRisk+-Konzept geschätzt wird, beträgt etwa 0,02, was einer Renditekorrelation für CreditMetrics von ca. 0,10 entspricht. Auch mit diesen Parametern ergeben sich nur minimale Abweichungen des Value-at-Risk von maximal 2 Krediteinheiten: Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 254 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen 95% Konfidenz 99% Konfidenz Anzahl CM CR+ CM CR+ 10 1 1 2 2 50 5 5 7 8 100 8 9 12 10 200 17 18 25 26 500 41 43 62 63 1000 84 86 125 125 Abb. 7: Value-at-Risk nach CreditMetrics (CM) und CreditRisk+ (CR+) bei konsistenter Schätzung der Korrelationen (Moody's Speculative Grade) VI. Zusammenfassung Dieser Artikel zeigt, daß das Value-at-Risk nach CreditMetrics und CreditRisk"1" trotz „fairer" Testbedingungen sehr stark voneinander abweichen kann, wenn die notwendigen Inputparameter nach dem in der Praxis üblichen Verfahren aus empirischen Zeitreihen geschätzt werden. Die Ursache für die Abweichung liegt nahezu ausschließlich in den divergierenden impliziten Ausfallkorrelationen, die durch diese Parameterwahl bestimmt werden. Tendenziell liefert CreditMetrics für dasselbe Portfolio ein deutlich höheres Value-at-Risk, da die hohen Korrelationen von Aktien eine sehr viel größere gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von je zwei Kreditnehmern bedingen. Es ist jedoch möglich, die Modelle konsistent zu parametrisieren und auf diesem Weg mit beiden Verfahren nahezu identische Value-at-RiskWerte zu erzielen. Es wurde gezeigt, wie Renditekorrelationen bzw. Volatilitäten von Ausfallzeitreihen gewählt werden müssen, um eine identische Ziel-Ausfallkorrelation für beide Kreditrisikomodelle zu generieren. Eine wichtige offene Frage für die Implementierung von Kreditrisikomodellen ist demnach die Auswahl der Datenbasis für die Abschätzung von Ausfallkorrelationen. Die Kalibrierung der Modelle mit historischen Ausfallzeitreihen bzw. Aktienkursdaten führt zu stark divergierenden, einander widersprechenden Schätzern der impliziten Ausfallkorrelationen. Die empirische Schätzung von Ausfallkorrelationen stellt daher ein wichtiges Thema für zukünftige Forschungsarbeiten dar. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 255 Literatur Black, F./J. C. Cox, (1976): Valuing Coporate Securities: Some Effects of Bond Indenture Provisions, Journal of Finance 31, 351-367. - Briys, E./F. de Varenne, (1997): Valuing Risky Fixed Rate Debt: An Extension, Journal of Financial and Quantitative Analysis 32, 239-248. - Crouhy, M./Robert Mark, (1998a): A Comparative Analysis of Current Credit Risk Models, Präsentation anläßlich der Konferenz: Credit Modelling and the Regulatory Implications, London, September 1998. - Crouhy, M./Robert Mark, (1998b): Aggregating and Integrating Market and Credit Risk within a Consistent Framework, Vortag Global Derivatives, Paris, 1998. - CreditMetrics, (1997): Technical Document, J. P. Morgan. - CreditRisk", (1997): Technical Document, Credit Suisse Financial Products. - Credit Portfolio View, (1998): Approach Document and User's Manual, McKinsey & Company. - Das, S. R./P. 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In diesem Beitrag soll deshalb geklärt werden, ob die Modelle systematisch abweichende Value-at-Risk-Werte berechnen und worin die Ursachen für auftretende Abweichungen liegen. Zunächst wird gezeigt, daß die bestehenden Kreditrisikomodelle in zwei grundlegende Klassen eingeteilt werden Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 256 Mark Wahrenburg und Susanne Niethen können: Assetwert-basierte Modelle und auf Ausfallraten basierende Modelle. Am Beispiel eines Musterportfolios von Krediten an deutsche Baufirmen werden zwei Vertreter der Modellklassen (CreditMetrics und CreditRisk+) verglichen und der Effekt der unterschiedlichen empirischen Inputparameter auf die Risikoergebnisse abgeschätzt. Die Analyse zeigt erhebliche Unterschiede zwischen den Modellen. Eine Analyse der Abweichungsursachen ergibt allerdings, daß der Grund für die großen Value-at-Risk-Unterschiede in erster Linie in den unterschiedlichen empirischen Inputdaten liegt, welche zu unterschiedlichen impliziten Korrelationsannahmen führen. Es wird gezeigt, wie die Modellparameter gewählt werden müssen, um identische Korrelationen zu erzeugen. Bei konsistenten Korrelationsannahmen stimmen die Ergebnisse beider Modelle weitgehend überein. (JEL G 11, G 21, C 19) Summary Comparative Analysis of Alternative Credit Risk Models Various models have been developed in recent years for quantifying banks' default risks with the portfolio effects of such risks being taken into account. So far, no approach has been able to establish itself as the generally accepted standard. Since the models show fundamental conceptual differences for using different empirical input data, the credit-risk model choice may have a considerable impact on banks' credit portfolio management. The purpose of this contribution therefore is to clarify whether models permit to calculate systematically deviating value-at-risk figures and, if so, what the origins of such deviations are. This contribution initially shows that the existing credit risk models may be divided into two categories: asset value-based models and default rate-based models. On the basis of a model portfolio of loans to German construction firms, the protagonists of the two model classes (CreditMetrics and CreditRisk"") are compared estimating the effects of the differing empirical input parameters on risk results. The analysis shows substantial differences between the models. However, an examination of the reasons explaining the deviations show that the wide value-at-risk variations primarily stem from the differences in the empirical input data leading to different assumptions for implied correlations. This contribution demonstrated how to choose model parameters to generate identical correlations. The results of both models are largely congruent where the correlation assumptions are consistent. Résumé Analyse comparative de modèles alternatifs de risques de crédit Au cours des dernières années, différents modèles ont été développés pour quantifier le risque de pertes des banques en tenant compte des effets de portefeuille. Aucun modèle n'a pu jusqu'à présent s'imposer comme standard généralement accepté. Comme les modèles présentent des différences de conception fondamentales et utilisent différentes données empiriques, le choix d'un modèle de risques de Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle 257 crédit a éventuellement une influence considérable sur la gestion du portefeuille de crédit de la banque. Cet article examine si les modèles calculent systématiquement des écarts de valeurs ,,value-at-risk" et quelles sont les causes des écarts survenus. Il y est tout d'abord montré que les modèles existants de risque de crédit peuvent être divisés en deux classes: les modèles basés sur la valeur des actifs et ceux basés sur les taux de perte. En prenant comme exemple un portefeuille modèle de crédits à des entreprises de construction allemandes, deux représentants des classes de modèles (CreditMetrics et CreditRisk+) sont comparés et l'effet des différents paramètres empiriques sur les résultats des risques est estimé. L'analyse indique des différences considérables entre les modèles. Une analyse des causes des écarts montre cependant que les grandes différences de value-at-risk sont dues en premier lieu aux différentes données d'input empiriques qui entraînent différentes hypothèses de corrélation implicites. On montre comment il faut choisir les paramètres de modèles pour engendrer des corrélations identiques. Lorsque les hypothèses de corrélation sont consistantes, les résultats des deux modèles coïncident en grande partie. Kredit und Kapital 2/2000 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.33.2.235 | Generated on 2023-01-16 13:16:07