Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur

Uhrig, Marliese; Walter, Ulrich Article Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Uhrig, Marliese; Walter, Ulrich (1997) : Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 30, Iss. 1, pp. 116-139, https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293345 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Einführung und Überblick Zur Beantwortung einer Vielzahl ökonomischer Fragestellungen ist die Kenntnis der Fristigkeitsstruktur der Zinssätze (kurz Zinsstruktur) von zentraler Bedeutung. Die Zinsstruktur bildet die Grundlage für die Erfassung und Steuerung von Zinsänderungsrisiken. Sie dient insbesondere dem Pricing von (zu emittierenden) Anleihen und wird in neueren Bewertungsansätzen für zinsderivative Titel, wie z.B. Zinsoptionen oder Zinsfutures, als modellexogene Größe benötigt. Die Zinsstruktur ist die idealisierte Darstellung aller verfügbaren Kursund Zinsquotierungen eines homogenen Marktsegmentes zu einem bestimmten Zeitpunkt. Zur Quantifizierung werden häufig Zinsstrukturkurven herangezogen. Diese beschreiben die internen Zinsfüße von Zerobonds als Funktion ihrer Restlaufzeit. Äquivalente Information enthalten Diskontstruktur kurven, die die Preise von Zerobonds mit einem auf eins normierten Rückzahlungsbetrag in Abhängigkeit der Restlaufzeit darstellen. Weitere äquivalente Darstellungen sind über die impliziten Terminzinssätze oder die Kupons von aktuell zu pari notierenden Anleihen (Par-Yield-Curve) möglich. Würden Nullkuponanleihen aller Restlaufzeiten am Markt gehandelt, so könnte die Zinsstrukturkurve mit Hilfe deren Kurse unmittelbar beobachtet werden. Tatsächlich werden am deutschen Rentenmarkt nur einige wenige Zerobonds gehandelt.1 Somit stellt sich das Problem, die * Wir danken Sven Bartels für seine wertvolle Unterstützung und einem anonymen Referee für seine Anregungen zur Überarbeitung des Manuskripts. 1 Zerobonds spielen am deutschen Rentenmarkt eine untergeordnete Rolle. Neben ausländischen Emittenten bedienen sich vorwiegend Spezialkreditinstitute (z.B. Kreditanstalt für Wiederaufbau, Staatsbank Berlin) dieser Finanzierungsform. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 117 Zinsstrukturkurve aus den verfügbaren Preisen von Kuponanleihen zu ermitteln. In der Literatur findet man eine Vielzahl von Methoden zur Schätzung von Zinsstrukturkurven. Erste Arbeiten beinhalten den Versuch, die Zinsstrukturkurve mit Hilfe von Renditen von Kuponanleihen zu approximieren.2 Der auch als Renditestrukturkurve bezeichnete (nicht eindeutige) Zusammenhang zwischen den internen Zinssätzen von Kuponanleihen und ihrer Restlaufzeit gibt in gewisser Weise die Zinssituation am Markt wieder.3 Jedoch kann ein interner Zinssatz einer Kuponanleihe mit einer bestimmten Fristigkeit, der tatsächlich ein gewichtetes Mittel aus verschiedenen Zinssätzen der Zinsstrukturkurve ist, allenfalls eine grobe Näherung für den gesuchten Zinssatz der Fristigkeit liefern. Eines der ersten Verfahren zur Schätzung einer Zinsstrukturkurve wurde von McCulloch (1971) vorgeschlagen. Die Idee dieses Ansatzes besteht darin, den Zusammenhang zwischen den Diskontfaktoren und ihrer Fristigkeit in einfacher funktionaler Form zu spezifizieren. Während McCulloch hierzu zunächst quadratische Splines heranzieht, werden in späteren Arbeiten kubische und exponentielle Splines verwendet.4 Chambers/ Carleton/Waldman (1984) spezifizieren direkt den Zusammenhang zwischen den Zinssätzen der Zins strukturkurve und ihrer Fristigkeit. Hierzu bedienen sie sich eines Polynoms festen Grades. In der Arbeit von Diament (1993) wird die funktionale Form der Par-YieldCurve vorgegeben, wohingegen Zaretsky (1995) quadratische Splines für die Terminzinskurve verwendet. Eine weitere Methode zur Schätzung der Zinsstrukturkurve besteht in der Verwendung eines theoretisch begründeten Zusammenhangs zwischen Diskontfaktoren und ihrer Fristigkeit, der sich aus Zinsmodellen, wie z.B. den Ansätzen von Brennan/Schwartz, Vasicek oder Cox/Ingersoll/Ross, ergibt.5 Erwartungsgemäß führt diese Vorgehensweise zu vergleichsweise hohen Abweichungen zwischen den zu erklärenden Marktpreisen und den Modellpreisen von Anleihen.6 2 Vgl. beispielsweise Cohen/Kramer/Waugh (1966) und Fisher (1966). 3 Für den Spezialfall von Nullkuponanleihen fallen Renditeund Zinsstrukturkurve zusammen. 4 Vgl. beispielsweise McCulloch (1975), Vasicek/Fong (1982) und Shea (1984, 1985). Lin/Paxson (1993) verwenden kubische B-Splines. 5 Vgl. Brennan/Schwartz, (1982), Vasicek (1977) und Cox/Inger soll/Ross (1985). 6 Vgl. Brennan/Schwartz (1982) sowie die Untersuchung von Bußmann (1988), S. 339, hinsichtlich des Modells von Brennan/Schwartz (1982). Für den Zeitraum von 1976 bis 1986 erhält Bußmann für das Marktsegment Bund, Bahn und Post durchschnittliche absolute Bewertungsfehler, die häufig deutlich über 1 DM pro OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 118 Marliese Uhrig und Ulrich Walter Das Ziel der obengenannten Verfahren besteht in der Ermittlung einer stetigen Zinsbzw. Diskontstrukturkurve. Methoden zur Schätzung von diskreten Diskontfaktoren wurden von CarletonI Cooler (1976) und Caks (1977) diskutiert. Carleton/Cooper schlagen einen einfachen linearen Regressionsansatz vor. Die Idee von Caks besteht im wesentlichen darin, aus zwei Anleihen, die sich nur in ihrer Kuponhöhe unterscheiden, ein Portefeuille zu konstruieren, aus dem keine zwischenzeitlichen Zahlungen resultieren. Mit Hilfe des so generierten Zahlungsstroms eines Diskontpapiers läßt sich der Zinssatz für die der Restlaufzeit der beiden Anleihen entsprechende Fristigkeit leicht ermitteln. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstrukturkurve entwickelt und empirisch überprüft. In Abschnitt II. stellen wir das Verfahren vor und grenzen es gegenüber bestehenden Ansätzen ab. Die empirische Überprüfung des Verfahrens für den deutschen Rentenmarkt erfolgt in Abschnitt III. Abschnitt IV. faßt die wesentlichen Ergebnisse zusammen. n. Zweistufiges Verfahren zur Bestimmung der Zinsstruktur Zinsstrukturkurven müssen im wesentlichen zwei Anforderungen gerecht werden. Zum einen gilt es, die am Markt beobachteten Anleihekurse möglichst gut zu erklären. Zum anderen erfordern einige Anwendungen, die in Abschnitt II.2. näher beschrieben werden, Zinsstrukturkurven mit einem möglichst glatten Verlauf. Diesen beiden Anforderungen soll im Rahmen eines zweistufigen Verfahrens Rechnung getragen werden. Das Verfahren bestimmt in einer ersten Stufe eine diskrete Diskontfunktion durch Lösen eines quadratischen Optimierungsproblems. Die resultierende Diskontfunktion erklärt die Marktpreise von Kuponanleihen mit maximaler Genauigkeit. Die zugehörige Zinsstrukturkurve weist jedoch in vielen Fällen einen gezackten Verlauf auf, der für einige Anwendungen zu Problemen führen kann. Sofern höhere Ansprüche an die Glattheit der Zinsstrukturkurve gestellt werden, kann dieser Forderung in einem weiteren Schritt Genüge geleistet werden. In der (optionalen) zweiten Stufe wird dabei die zugehörige Zinsstrukturkurve mit Hilfe von polynomialen Splines approximiert. 100 DM Nominalwert liegen und im Mittel 0,90 DM betragen. Vgl. auch BrownI Dybvig (1986) und Christofi/Conforti (1993). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 119 1. Schätzung mit maximaler Genauigkeit Betrachtet man die Abweichungen zwischen den theoretischen Werten und den Marktwerten der Anleihen als zentrales Gütemaß für ein Schätzverfahren, so bietet sich die Verwendung eines Verfahrens an, welches zumindest unter idealen Bedingungen alle Anleihen exakt erklären kann. Dieser Weg soll im folgenden beschritten werden. Unter der Annahme der Arbitragefreiheit ergibt sich der theoretische Wert bi einer gesamtfälligen Kuponanleihe ohne Sonderrechte als Summe aller diskontierten zukünftigen Zahlungen:7 (1) bi = y^aitdt t Hierbei bezeichnet ait die sichere Zahlung zum Zeitpunkt t und dt den Diskontfaktor für die Fristigkeit t. Sollen umgekehrt die diskreten Diskontfaktoren dt mit Hilfe von n verfügbaren Kuponanleihen bestimmt werden, so erfordert dies im Prinzip die Lösung des linearen Gleichungssystems (2) Ad = b, wobei die rechte Seite gerade den n-dimensionalen Vektor der Anleihewerte und A = (ait) die Zahlungsmatrix bezeichnet, d = (dt) ist der Vektor der gesuchten Diskontfaktoren. Finden Zahlungen zu m verschiedenen Zeitpunkten statt, so besteht A aus n Zeilenvektoren der Dimension m, wobei jeder Zeilenvektor den Zahlungsstrom einer Anleihe repräsentiert. Besitzt das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so erhält man als Lösungsvektor d die Diskontfaktoren für die m verschiedenen Fristigkeiten. Aufgrund der Datensituation am deutschen Rentenmarkt ist das Gleichungssystem jedoch im allgemeinen nicht eindeutig lösbar. Vielmehr besitzt das Gleichungssystem bei Vorliegen vermeintlicher Arbitragemöglichkeiten8 keine Lösung, ansonsten besitzt es unendlich viele Lösungen, da die Anzahl der zur Verfügung stehenden Anleihen geringer ist als die Anzahl der zu bestimmenden Diskontfaktoren. Im ersten Fall stellt sich die Frage, wie die Arbitragemöglichkeiten zu behandeln sind, im letzten Fall stellt sich die Frage, welche der unendlich vielen Lösungen ausgewählt werden soll. 7 Hierbei wird zunächst die Existenz einer Zinsstruktur vorausgesetzt. 8 Asynchrone Quotierungen von Kassakursen der Anleihen, Liquiditätsunterschiede und Teilbarkeitsbeschränkungen sind einige der Gründe, die bei Vernachlässigung dieser Aspekte Arbitragemöglichkeiten erscheinen lassen. Vgl. hierzu auch die Diskussion bei Zaretsky (1995). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 120 Marliese Uhrig und Ulrich Walter Dem Problem der Unlösbarkeit von (2) kann man beispielsweise mit einem Regressionsansatz begegnen. Anstatt des linearen Gleichungssystems (2) formuliert man dabei ein neues Problem, wobei man nicht erklärbare Bewertungsfehler akzeptiert und versucht, diese möglichst gering zu halten. Die Schätzung des Modells (3) b = ^2atdt + e mit dem n-dimensionalen Vektor von Störgrößen e mit Hilfe der KleinstQuadrate-Methode (OLS-Schätzung) bestimmt gerade den Diskontvektor, der die Differenz zwischen den theoretischen und den beobachteten Werten im Sinne der euklidischen Norm minimiert.9 Wir stellen die Existenz einer Lösung sicher, indem wir im Falle mehrerer Anleihen mit demselben Fälligkeitstermin nur eine davon bei der Schätzung berücksichtigen. Alternativ könnte man aus den am selben Termin fälligen Anleihen eine synthetische Anleihe bilden und diese bei der Schätzung berücksichtigen. Ist die Existenz einer Lösung sichergestellt, so verbleibt das Problem, unter den unendlich vielen Lösungen des linearen Gleichungssystems eine geeignete auswählen zu müssen. Prinzipiell sind drei Vorgehens weisen zur Behebung dieses Problems denkbar: Eine Möglichkeit ist, die bei der Schätzung zu berücksichtigenden Anleihen sorgfältig auszuwählen und/oder die Zahlungsreihen der betrachteten Anleihen geeignet zu verschieben, so daß die Anzahl der relevanten Zeitpunkte und damit die Anzahl der Variablen kleiner oder gleich der Anzahl der durch die Summe der betrachteten Anleihen gegebenen Gleichungen ist. Die gesuchten Diskontfaktoren ergeben sich dann entweder als (eindeutige) Lösung des modifizierten Gleichungssystems oder können mit Hilfe einer linearen Regression bestimmt werden. Diesen Weg beschreiten die in der Literatur diskutierten Verfahren zur Schätzung einer diskreten Zinsbeziehungsweise Diskontstrukturkurve. Die von McCulloch stammende Idee, den Zusammenhang zwischen den Diskontfaktoren und ihrer Fristigkeit in einfacher funktionaler Form f(t) zu spezifizieren, also die Einführung einer zusätzlichen Bedingung, kann ebenfalls als Auswahl einer speziellen Lösung aus den unendlich 9 Vgl. hierzu Carleton/Cooper (1976). Zur Spezifikation der statistischen Eigenschaften der Fehlerterme vgl. auch Chambers/Carleton/Waldman (1984), S. 240244. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 121 vielen verstanden werden.10 Da das neue Problem jedoch im allgemeinen keine Lösung besitzt, bestimmt man hier wiederum diejenige Funktion /(t), die die Differenz zwischen theoretischen und beobachteten Werten im Sinne einer geeigneten Norm minimiert. Weitere Repräsentanten dieser Richtung sind Vasicek/Fong und Chambers / Carleton /Waldman.11 Der dritte Weg, der in dieser Arbeit beschritten werden soll, versucht, aus den unendlich vielen Lösungen diejenige auszuwählen, die aus ökonomischer Sicht am sinnvollsten erscheint. Obgleich sich aus theoretischen Überlegungen nur die Forderung einer streng monoton fallenden Diskontfunktion ableiten läßt,12 sind nach unserer Einschätzung Diskontfunktionen mit abrupten Veränderungen oder gar größeren Sprüngen unter ökonomischen Gesichtspunkten nicht zufriedenstellend. Derartige Singularitäten könnten nur durch die besondere Bedeutung bestimmter Termine, welche sich in den Zeitpräferenzen der Marktteilnehmer widerspiegeln, begründet werden. Sofern nicht wirklich besondere Ereignisse vorliegen, sind somit Diskontfunktionen mit einem glatten Verlauf ohne übermäßige Schwankungen wünschenswert. Das Ziel des Verfahrens ist daher, aus den möglichen Diskontfunktionen diejenige auszuwählen, die dieser qualitativen Forderung am besten entspricht. Als Maß für die Glattheit der Diskontfunktion13 wählen wir die Summe der quadrierten Differenzen aufeinanderfolgender Diskontfaktoren.14 Somit ergibt sich das folgende quadratische Optimierungsproblem: m1 niin ^ (di - l)2 + ]T(dt+1 - dtf dl,-,dm I t=1 (4) u. d. N. ^^aitdt = bi Vi = 1,..., n In der üblicherweise verwendeten Matrixschreibweise besitzt das Problem die Form min cTd + dTCd (5) u. d. N. Ad = b 10 Vgl. McCulloch (1971), S. 28 - 30. 11 Vgl. Vasicek/Fong (1982) und Chambers/Carleton/Waldman (1984). 12 Hierbei wird die Möglichkeit der Kassenhaltung vorausgesetzt. 13 Aus Gründen der mathematischen Handhabung beziehen wir das Glattheitsmaß auf die Diskontfunktion. 14 Dieses Maß ist eng verwandt mit der Variation einer Funktion f bezüglich einer Zerlegung Z, welche die Schwankung einer Funktion quantifiziert. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 122 Marliese Uhrig und Ulrich Walter mit der symmetrischen (rrt x m)-Matrix 0 \ (~2\ 0 V o/ / 2 -1 0 1 2 • C = 0 \ \\ 0 und c : \ 2 -1 \ 0 ...0-11/ Der Vektor c besitzt die Dimension m. Da die quadratische Form xTCx für alle x ± 0 stets positiv ist, ist die Matrix C positiv definit und die quadratische Zielfunktion streng konvex. Da der durch die linearen Nebenbedingungen definierte zulässige Bereich nichtleer ist, folgt hieraus die Existenz eines eindeutigen Minimums.15 Aus Gründen der numerischen Stabilität führen wir zunächst eine Faktorisierung der Matrix C in C = LLT durch. Die Variablentransformation x = LTd führt schließlich auf das Problem (6) min pTx + xTx u. d. N. Mx = b mit M = A(LT)~l und p = L_1c. Über die Lagrange-Funktion (7) F(x, u) = pTx + xTx - Ut(MX - b) mit dem n-dimensionalen Vektor u der Lagrange-Multiplikatoren ergibt sich das folgende Gleichungssystem als notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung: ^ (o MMr) (w) = (mp + 2ö) Das gesuchte eindeutige Optimum ergibt sich somit als Lösung des linearen Gleichungssystems (8). Die spezielle Blockstruktur ermöglicht die Berechnung der Lösung in zwei Teilschritten: 1. Lösung des linearen Gleichungssystems MMTu = Mp + 2b. Die Dimension von MMT entspricht gerade der Anzahl n der verwendeten Anleihen. 2. Berechnen von x = —(MTu - p). 15 Vgl. Neumann/Morlock (1993), S. 553 f. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 123 Somit reduziert sich der Aufwand im wesentlichen auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems der Dimension n. Mit d = L~Tx erhält man schließlich den Vektor der gesuchten Diskontfaktoren. Das vorgestellte Verfahren enthält keine explizite Monotonieforderung für die Diskontfaktoren. Obgleich diese in Form von weiteren linearen Nebenbedingungen im Rahmen des quadratischen Optimierungsproblems berücksichtigt werden könnten, ist es fraglich, ob die Lösung des deutlich komplexeren Problems tatsächlich befriedigend ist.16 Unsere empirischen Untersuchungen zeigen, daß die geschätzten Diskontfaktoren in den meisten Fällen monoton sind und nur in Einzelfällen nicht monotone Diskontfaktoren durch eindeutig zu identifizierende Anleihekurse verursacht werden. Eine explizite Berücksichtigung der Monotonieforderung führt in diesen Fällen entweder zu einem unlösbaren Problem oder aber zu einer fast flachen Diskontfunktion an der entsprechenden Stelle, womit sich im letzten Fall zwar keine negativen Terminzinssätze mehr ergeben, aber doch Terminzinssätze, die nahe Null sind. Unseres Erachtens ist dieser Einbruch der Terminzinssätze aufgrund einer offensichtlichen Fehlbewertung einer einzelnen Anleihe nicht zu rechtfertigen. Falls die geschätzten Diskontfaktoren tatsächlich nicht monoton sind, erscheint es daher sinnvoller, dieses Problem durch die Ausklammerung der dafür verantwortlichen Anleihe zu lösen. 2. Glättung der zugehörigen Zinsstruktur Die empirischen Untersuchungsergebnisse für das vorgestellte Verfahren zeigen eine sehr gute Anpassungsgüte an die Marktdaten.17 Allerdings weisen die geschätzten Zinsstrukturkurven in vielen Fällen einen gezackten Verlauf auf, der für einige Anwendungen zu Problemen führen kann. Verwendet man die geschätzten Zinsstrukturkurven im Rahmen von Ansätzen zur Bewertung von Zinsoptionen als exogene Größe, so kann sich dies abhängig vom gewählten Modell und dem zu bewertenden Vertrag in instabilen Optionswerten niederschlagen. Auch bei der Schätzung von Zinsvolatilitäten auf der Basis von Zinssätzen aus der geschätzten Zinsstrukturkurve ergeben sich unrealistisch hohe historische Volatilitäten. Neben einer möglichst guten Anpassung an die Marktdaten zeichnet sich eine „gute" Schätzung der Zinsstruktur offensichtlich auch durch 16 Vgl. hierzu auch Shea (1984), S. 261. 17 Vgl. hierzu Abschnitt III. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 130 Marliese Uhrig und Ulrich Walter Tabelle 2 Zinsstrukturschätzungen von 1980 bis 1993: Stetige Zinsstrukturkurven 1980-1986 1987-1993 1980-1993 Zeitpunkte 365 361 726 Anleihekurse 28005 33783 61788 0 Anleihenzahl 76,73 93,58 85,11 0 MAD 0,3367 0,1462 0,2420 Maximum MAD 0,6333 0,2791 0,6333 Minimum MAD 0,1265 0,0765 0,0765 Termine mit 0< MAD <0,1 0% 8,03% 3,99% 0,1< MAD <0,2 8,49% 81,72% 44,90% 0,2< MAD <0,3 33,42% 10,25% 21,90% 0,3< MAD <0,4 31,23% 0% 15,70% 0,4< MAD <0,5 18,36% 0% 9,29% 0,5< MAD 8,49% 0% 4,27% Anleihen mit 0< AD <0,2 45,99% 76,93% 62,91% 0,2< AD <0,4 24,77% 16,58% 20,29% 0,4< AD <0,6 13,52% 4,00% 8,31% 0,6< AD <0,8 7,15% 1,34% 3,98% 0,8< AD <1 3,45% 0,67% 1,93% 1< AD 5,12% 0,48% 2,58% AD: Absolut Deviation (Betragsmäßige Abweichung) MAD: Mean Absolut Deviation (Durchschnittliche betragsmäßige Abweichung) Die Abweichungen sind in DM pro 100 DM Nominalwert angegeben. Annahme heteroskedastischer Preisresiduen. In 441 bzw. 494 der 726 Regressionen ist der entsprechende Koeffizient größer Null und hierbei in 213 bzw. 231 Fällen signifikant (Signifikanzniveau 5%) von Null verschieden. Im Einklang mit der Erwartung werden also die Preise von aus heutiger Sicht kurzlaufenden Anleihen durch die aktuelle Zinsstrukturkurve tendenziell besser erklärt als diejenigen längerlaufender Titel. Dabei wird die oben gegebene intuitive Erklärung über die Renditen zusätzlich durch die Tatsache gestützt, daß die Duration, die im Prinzip OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 131 Tabelle 3 Analyse der Residuen Regression 0Ä2 b >0 Signif. (5%) b <0 Signif. (5%) |e| = a + 6*T 0,0476 441 213 285 55 |c| = a+ 6* D 0,0513 494 231 232 47 H = a + b * K 0,0428 118 6 608 263 e = a + 6*T 0,0036 263 0 463 0 e = a + b * D 0,0038 320 0 406 0 € = a + b* K 0,1237 49 2 677 435 c. Residuum (= Marktwert — Wert gemäß Zinsstrukturkurve) K: Kupon, T: Restlaufzeit, D: Duration die Sensitivität des Anleihewertes gegenüber Renditeänderungen mißt, besser in der Lage ist, die Systematik der Abweichungen zu beschreiben als die Restlaufzeit selbst. Die Ergebnisse der vierten und fünften Regression zeigen, daß es aber zu keiner systematischen Überoder Unterbewertung von Anleihen in Abhängigkeit von der Restlaufzeit bzw. der Duration kommt. Die Regression des Residuums auf die Höhe des Kupons dokumentiert nachdrücklich einen (steuerlichen) Kuponeffekt, der unter anderem mit der steuerlichen Ungleichbehandlung von Kursgewinnen und Zinszahlungen bei Privatpersonen begründet wird.25 Während Kuponzahlungen als Einkünfte aus Kapitalvermögen der Einkommensteuer unterliegen, sind i. d. R. Kursgewinne steuerfrei, sofern zwischen Anschaffung und Veräußerung ein Zeitraum von mehr als sechs Monaten liegt. Dies führt dazu, daß unter Vernachlässigung steuerlicher Aspekte sog. Niedrigkuponanleihen, relativ zur Zinsstrukturkurve, die ohne Berücksichtigung von Steuern ermittelt wurde, tendenziell überund Anleihen mit höheren Kupons unterbewertet sind. Insofern ist es nicht überraschend, daß der entsprechende Regressionskoeffizient in 93% der Fälle kleiner Null ist. Darüber hinaus sind 64 % dieser Werte signifikant von Null verschieden. Weitaus überraschender ist die dokumentierte Systematik der Absolutwerte der Residuen in Abhängigkeit vom Kupon. In 84 % der Schätzun25 Eine weitere Ursache könnte eine erhöhte Nachfrage nach unter pari notierenden Anleihen seitens institutioneller Anleger (Kreditinstitute, Investmentfonds, Versicherungen etc.) sein zur Vermeidung von durch Kursverluste bedingten Abschreibungen. 9" OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 132 Marliese Uhrig und Ulrich Walter gen nimmt die Anpassungsgüte mit wachsendem Kupon zu. Signifikant ist dieser Effekt immerhin bei 36% der durchgeführten Regressionen. Eine genauere Analyse zeigt, daß hierfür die in einer Niedrigzinsphase begebenen Emissionen der Treuhand und des ERP-Sondervermögens sowie Neuemissionen des Bundes verantwortlich sind. Somit liegt die Ursache der dokumentierten Verzerrung in Emittentenund Liquiditätsaspekten. Abschließend kann festgehalten werden, daß die aufgetretenen systematischen Effekte keine durch das Schätzverfahren bedingte Verzerrungen, sondern am Markt tatsächlich vorhandene „Anomalien" widerspiegeln. c) Visuelle Überprüfung der geschätzten Zinsstrukturkurven Für eine visuelle Überprüfung der geschätzten Zinsstrukturkurven werden die Schätzungen für den 07.01.1983 und den 17.02.1989 näher betrachtet. Hierbei handelt es sich um die beiden Termine mit der geringsten bzw. der höchsten Anpassungsqualität. Neben der diskreten und der geglätteten Zinsstrukturkurve werden zusätzlich die in der stetigen Zinsstrukturkurve implizit enthaltenen Terminzinssätze abgebildet.26 Die Abbildung 2 stellt die diskrete und stetige Zins struktur kurve bzw. die Funktion der impliziten Terminzinssätze für den 07.01.1983 dar. Obwohl an diesem Termin die Anpassungsgüte ihren schlechtesten Wert annimmt, verläuft selbst die diskrete Zinsstrukturkurve relativ glatt. Die bei der Schätzung aufgetretenen Probleme werden hauptsächlich durch den gezackten Verlauf der Werte bei einer Fristigkeit von 1,5 bis 2,5 Jahren augenfällig. Die ' bei der diskreten Zinsstrukturkurve beobachteten Zacken sind durch die Glättung vollständig verschwunden. Lediglich der leicht wellige Verlauf der stetigen Zinsstrukturkurve ist Ausdruck der ursprünglich vorhandenen lokalen Schwankungen. Die Kurve der Momentanterminzinssätze deckt die in der Zinsstrukturkurve noch enthaltenen Schwächen auf. In der Terminzinssatzkurve potenzieren sich bildlich gesprochen die Wellen der Zinsstrukturkurve. Insofern stellt die Kurve der Momentanterminzinssätze einen sehr empfindlichen Indikator für in der Zinsstrukturkurve enthaltene Schwankungen dar. Es ist allerdings zu beachten, daß es sich hierbei um Moments Im zeitstetigen Kontext werden die impliziten Terminzinssätze üblicherweise in Form der Momentanterminzinssätze angegeben. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 133 Fristigkeit (Jahre) Abbildung 2: Zinsstrukturkurve: 07.01.1983 tanterminzinssätze handelt. Die Berechnung der Terminzinssätze für endliche Zeiträume, bspw. ein Jahr, erfolgt mit Hilfe der Auswertung des Integrals für den entsprechenden Zeitraum. Dies hat zur Folge, daß wegen der glättenden Wirkung der Integralbildung die eigentlich relevanten Terminzinssätze einen deutlich gleichmäßigeren Verlauf als die Momentanterminzinssätze besitzen. Die Abbildung 3 stellt die geschätzten Zinskurven für den besten Anpassungstermin, den 17.02.1989, dar. Abgesehen von leichten Zacken am kurzen Ende verläuft in diesem Fall bereits die diskrete Zinsstrukturkurve sehr gleichmäßig. Die stetige Zinsstrukturkurve weist keinerlei auffallende Unregelmäßigkeiten auf und selbst die Kurve der Momentanterminzinssätze zeigt einen relativ stabilen Verlauf. d) Out-of-the-Sample-Test Den Abschluß der Überprüfung des Verfahrens stellt ein Out-of-theSample-Test für das Jahr 1993 dar. Zu diesem Zweck werden 10 Anleihen des Marktsegmentes von der Schätzung ausgeschlossen. Im Anschluß wird untersucht, wie gut die Werte dieser Titel durch die geschätzte Zinsstrukturkurve beschrieben werden. Auf diese Weise wird direkt die Einsatzfähigkeit des Verfahrens zum Pricing von Anleihen getestet. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 134 Marliese Uhrig und Ulrich Walter Znssatz (%) 10 - Diskret —Stetig —Forwards 4 5 6 7 Fristigkeit (Jahre) 10 Abbildung 3: Zinsstrukturkurve: 17.02.1989 Bei den bei der Schätzung unberücksichtigten Titeln handelt es sich um 4 Bundesobligationen und 6 Bundesanleihen mit einer Restlaufzeit Mitte 1993 von 1 bis 9 Jahren. Die Anleihen der Out-of-the-SampleStichprobe sind somit gleichmäßig über das gesamte Laufzeitspektrum verteilt. Die gewählten Bundesobligationen decken hierbei die Restlaufzeitklassen 1 bis 4 Jahre, die Bundesanleihen die Fristigkeiten 4 bis 9 Jahre ab. Innerhalb der Gruppe der Bundesobligationen bzw. Bundesanleihen mit Fälligkeit in demselben Kalenderjahr wurde jeweils der Titel in die Out-of-the-Sample-Stichprobe aufgenommen, dessen Rückzahlungstermin den geringsten Abstand zum 1. Juli des entsprechenden Jahres besitzt. Die Ausstattungsmerkmale der 10 Out-of-the-SampleTitel können der Tabelle 4 entnommen werden. Abbildung 4 stellt die durchschnittliche betragsmäßige Abweichung der Out-of-the-Sample-Titel im Betrachtungszeitraum graphisch dar. Für den Zeitraum von Januar 1993 bis November 1993 ergibt sich sowohl bei den diskreten als auch bei den stetigen Zinsstrukturschätzungen eine durchschnittliche absolute Abweichung von 0,12 DM. Das schlechteste Testergebnis liegt jeweils Anfang Januar mit einem Wert von 0,22 DM (diskrete Schätzung) bzw. 0,24 DM (stetige Schätzung). Allerdings weist die Mehrzahl der Schätzungen, sowohl im diskreten als auch im stetigen Fall, ein Fehlermaß von unter 0,15 DM auf. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 135 Tabelle 4 Out-of-the-Sample-Anleihen Wertpapierkennummer Typ Fälligkeit Kupon [%] 114085 Bundesobligation 20.07.1994 6,750 114092 dto. 20.07.1995 8,750 114096 dto. 22.04.1996 8,500 114100 dto. 21.07.1997 8,250 113456 Bundesanleihe 21.07.1997 6,125 113464 dto. 20.07.1998 6,750 113472 dto. 21.06.1999 6,750 113479 dto. 22.05.2000 8,750 113484 dto. 21.05.2001 8,375 113486 dto. 22.07.2002 8,000 Abbildung 4: Abweichungen Out-of-the-Sample-Titel OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 136 Marliese Uhrig und Ulrich Walter IV. Zusammenfassung der wesentlichen Ergebnisse In der vorliegenden Arbeit wird ein neues Verfahren zur Bestimmung der Zinsstruktur vorgestellt und im Rahmen einer empirischen Untersuchung am deutschen Rentenmarkt angewendet. Im Vergleich zu den wichtigsten in der Literatur diskutierten Verfahren lassen sich einige Vorteile der hier vorgestellten Methode herausstellen: - Im Gegensatz zu den diskreten Verfahren von Carleton/ Cooper (1976) und Caks (1977) ist bei dem dargestellten Verfahren weder eine willkürliche Manipulation der Zahlungsreihen noch eine Interpolation von Zinssätzen erforderlich, da die Zinssätze beziehungsweise Diskontfaktoren für alle Fristigkeiten simultan ermittelt werden. - Gegenüber den Verfahren zur Schätzung einer kontinuierlichen Diskontund Zinsstrukturkurve, welche einen funktionalen Zusammenhang zur Fristigkeit unterstellen, erlaubt diese Methode, ökonomische Fragestellungen zu untersuchen - z.B. die Existenz und die Höhe von Risikoprämien am Anleihemarkt oder den Zusammenhang zwischen Zinssätzen unterschiedlicher Fristigkeiten -, ohne dabei den nur schwer abzuschätzenden Einfluß des vorausgesetzten speziellen funktionalen Zusammenhanges berücksichtigen zu müssen. - Ist eine hinreichend glatte Zinsstrukturkurve erforderlich, so kann dies mit Hilfe der Approximation der diskreten Zinsstrukturkurve durch eine aus Polynomen bestehende Splinefunktion geschehen. Dies impliziert zum einen die ökonomisch zu rechtfertigende Annahme, daß die Anleihepreisresiduen nicht homoskedastisch sind, sondern eine laufzeitabhängige Heteroskedastizität vorliegt. Zum anderen erscheint eine polynomiale Approximation der Zinsstrukturkurve, wie auch bei Chambers/Carleton/Waldman (1984), im Gegensatz zu einer Approximation der Diskontstrukturkurve durch Polynome durchaus vernünftig. Im Vergleich zu den beiden sehr aufwendigen, den exponentiellen Charakter der Diskontstrukturkurve berücksichtigenden Verfahren von Vasicek/Fong (1982) und Chambers/Carleton/Waldman (1984) ist sowohl die Implementierung als auch die Durchführung der Schätzung selbst mit der hier vorgestellten Methode deutlich einfacher. Die empirischen Ergebnisse zeigen, daß das Verfahren eine sehr gute Anpassungsgüte an die Marktpreise besitzt. Bei der Analyse der Preisresiduen treten keine verfahrensbedingten Verzerrungen auf; es spiegeln sich jedoch am deutschen Kapitalmarkt offensichtlich vorhandene Unvollkommenheiten wider. Insbesondere die Ergebnisse des Out-of-the-Sample-Tests unterstreichen nachdrücklich die Qualität des vorgestellten Verfahrens. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 137 Literatur Adams, K.J./Van Deventer, D.R. (1994): Fitting Yield Curves and Forward Rate Curves with Maximum Smoothness; in: Journal of Fixed Income, June 94, S. 52 - 62. - Bliss, R.R. (1994): Testing Term Structure Estimation Methods; unveröffentlichtes Arbeitspapier. - Brennan, M.J./Schwartz, E.S. 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Werden höhere Ansprüche an die Glattheit der Zinsstrukturkurven gestellt, z.B. die Forderung nach mehrmaliger stetiger Differenzierbarkeit, so erfolgt in einem zweiten Schritt eine Approximation der Zinsstrukturkurve mit Hilfe polynomialer Splines. Im Anschluß an die Diskussion des Verfahrens findet die vorgestellte Methode im Rahmen einer empirischen Untersuchung am deutschen Anleihemarkt für den Zeitraum 1980 - 1993 Anwendung. Die empirischen Ergebnisse zeigen, daß das Verfahren eine sehr gute Anpassungsgüte an die Marktpreise besitzt. Insbesondere die Ergebnisse des Out-of-the-Sample-Tests unterstreichen nachdrücklich die Qualität des vorgestellten Verfahrens. Summary A New Approach for Determining the Term Structure of Interest Rates Theory and Empirical Results for the German Bond Market In this paper we introduce a two-step procedure for the estimation of the term structure of interest rates. In the first step we use a quadratic-linear programming approach in order to determine a discrete discount function. If higher standards are demanded, e. g. a term structure which is several times continuously differentiable, we approximate the corresponding discrete term structure in a second step with splines. Subsequent to a discussion of the procedure, the proposed method is applied within an empirical study for the German market for the sample period 1980 through 1993. The empirical results emphasize the explanatory power of the proposed method. In particular, an out-of-the-sample test proofs the high quality of the method for pricing new issues. Résumé Nouvelle méthode pour la détermination de la structure des taux d'intérêt Théorie et résultats empiriques pour le marché des capitaux allemands Dans cet article, nous introduisons une procédure à deux étapes pour l'estimation de la courbe des taux d'intérêt. Dans la première étape nous utilisons une approche de programmation linéaire-quadratique pour pouvoir déterminer une fonction discrète de la valeur actuelle. Si des ordres supérieurs sont demandés, par exemple une structure de taux différentiable plusieurs fois, nous faisons une approximation de la structure des taux discrète dans une deuxième étape avec une méthode des splines. Après une discussion de la procédure, la méthode proposée OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54 Ein neuer Ansatz zur Bestimmung der Zinsstruktur 139 est appliquée avec une étude empirique sur le marché allemand pour une période de 1980 à 1993. Spécialement les résultats empiriques du test «Out-of-theSample» montrent la qualité de la procédure. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.30.1.116 | Generated on 2023-01-16 13:08:54