Risikoquantifizierung: Charakteristische Funktion und numerische Methoden als Alternative zur Monte-Carlo-Simulation: Fallbeispiele zu kombinierten Verteilungen

Knobloch, Ralf Research Report Risikoquantifizierung: Charakteristische Funktion und numerische Methoden als Alternative zur Monte-Carlo-Simulation: Fallbeispiele zu kombinierten Verteilungen Forschung am ivwKöln, No. 1/2025 Provided in Cooperation with: Technische Hochschule Köln – University of Applied Sciences, Institute for Insurance Studies Suggested Citation: Knobloch, Ralf (2025) : Risikoquantifizierung: Charakteristische Funktion und numerische Methoden als Alternative zur Monte-Carlo-Simulation: Fallbeispiele zu kombinierten Verteilungen, Forschung am ivwKöln, No. 1/2025, Technische Hochschule Köln, Institut für Versicherungswesen (ivwKöln), Köln, https://doi.org/10.57684/COS-1303 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/330328 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. 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Häufig führen Unternehmen daher Monte-Carlo-Simulationen zur Ermittlung von Risiko -Kennzahlen durch. In der vorliegenden Arbeit wird eine numerische Alternative, basierend auf dem stochastischen Begriff der charakteristischen Funktion, vorgestellt und in drei komplexeren Fall beispielen angewendet. Es zeigt sich, dass bei den hier gewählten Fallbeispielen die Abweichungen zwischen den Ergebnissen der beiden Methoden nicht sign ifikant sind. Abstract For companies, the requirements for accuracy in risk assessment are becoming increasingly stringent due to internal and external factors. This necessitates more complex models and calculation methods, both at the level of individual risks and at the level of risk portfolios. Companies therefore often use Monte Carlo simulations to determine risk indicators. This paper presents a numerical alternative based on the stochastic concept of the characteristic function and applies it to three complex case studies. It shows that, in the case studies selected here, the differences between the results of the two methods are not significant. Schlagwörter: Risikoquantifizierung, charakteristische Funktion, numerische s Ableiten, numerische Integration, kombinierte Verteilungen, operationelle Risiken Keywords : Risk quantification, characteristic function, numerical differentiation, numerical integration , combined distributions , operational risks 1 Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG .................................................................................................................................. 2 2. CHARAKTERISTISCHE FUNKTION – DEFINITION UND WICHTIGE ERGEBNISSE ........................ 3 3. DAS MODELL ................................................................................................................................. 6 4. BERECHNUNG VON KENNZAHLEN FÜR DEN GESAMTPERIODENVERLUST .............................. 16 5. FALLBEISPIEL 1 .......................................................................................................................... 18 6. FALLBEISPIEL 2 .......................................................................................................................... 25 7. FALLBEISPIEL 3 .......................................................................................................................... 30 8. FAZIT UND AUSBLICK ................................................................................................................. 34 LITERATURVERZEICHNIS .................................................................................................................. 35 2 1. Einleitung In der Betriebswirtschaftslehre gewinnt das quantitative Risikomanagement zunehmend an Bedeutung. Verstärkt durch zusätzliche Anforderungen – allgemein, regulatorisch und branchenbezogen – beschäftigen sich Unternehmen mit der Frage, wie sie ihre Risiken noch genauer bewerten können. Dabei spielen sowohl die verwendeten Kennzahlen zur Risikoquantifizierung (Risikomaße, z.B. Value at Risk und Expected Shortfall) als auch die Modellierung der Risiken eine Rolle. Je komplexer jedoch die verwendeten wahrscheinlichkeitstheoretischen Modelle sind, desto komplizierter werden die benötigten stochastischen Methoden zur Berechnung der Kennzahlen. Zum einen beobachtet man dies bei der Risikoaggregation, d.h. der Zusammenfassung verschiedener Risikopositionen zu einem einzigen Wert (vgl. [3], [5], [7], [8]). Zum anderen kann es aber auch anspruchsvoll sein, ein Einzelrisiko zu bewerten, z.B. wenn man zur Modellierung eine kombinierte Verteilung verwendet. Bei einer kombinierten Verteilung werden die Häufigkeit, mit der das Risiko (pro Periode) eintritt, und der Verlust, der mit dem Eintritt des Risikos verbunden ist, separat modelliert. Anschließend werden beide Komponenten zu einer Verteilung (zu einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Modell) zusammengesetzt (vgl. [7] S.44). Diese Vorgehensweise kennt man bereits aus der Versicherungsmathematik (vgl. [10]). I.d.R. steht Unternehmen zur Bearbeitung komplexer Risikoquantifizierungen (z.B. Risikoaggregation und Bewertung komplexer Einzelrisiken) als Technik die Monte-CarloSimulation zur Verfügung. Daneben gibt es aber auch die Möglichkeit, den Wert der Kennzahlen mit analytischen bzw. numerischen Methoden auf Basis der charakteristischen Funktion zu ermitteln. In dem vorliegenden Artikel werden anhand von drei Fallbeispielen die Verfahren zur Quantifizierung bei komplexen Einzelrisiken gegenübergestellt: Monte-Carlo-Simulation und analytische bzw. numerische Methoden. Im Focus stehen bei den Fallbeispielen die bereits oben erwähnten kombinierten Verteilungen zur Modellierung eines Einzelrisikos. Angewendet wird diese Modellierung z.B. bei operationellen Risiken bzw. Betriebsrisken. Also bei Risiken, die nicht den unternehmerischen Risiken zugeordnet werden. Man versteht darunter Gefahren, die durch das Versagen von Prozessen, Menschen und Systemen oder durch externe Einflüsse bedingt sind (vgl. [6]). Im Industriebereich sind dies z.B. Ausfallrisiken von Maschinen, im Allgemeinen z.B. Rechtsrisken und bestimmte ITund Cyberrisiken. Von zentraler Bedeutung für die analytischen und numerischen Methoden zur Berechnung der Kennzahlen ist die charakteristische Funktion einer Verteilung. Deshalb werden im zweiten Abschnitt zunächst wichtige Ergebnisse zu diesem stochastischen Begriff zusammengestellt. Anschließend wird im dritten Abschnitt das diesem Artikel zugrunde liegende Modell vorgestellt und im vierten Abschnitt die Methoden im Grundsatz erläutert. Danach folgen die drei Fallbeispiele, in denen die Methoden angewendet und anhand der Ergebnisse gegenübergestellt werden. 3 2. Charakteristische Funktion – Definition und wichtige Ergebnisse Aus Sicht der Stochastik ist für die vorliegende Ausarbeitung wie bereits erwähnt der Begriff der charakteristischen Funktion von zentraler Bedeutung. Deshalb werden in diesem Abschnitt die Definition und die für den Fortgang des Artikels wichtigen Eigenschaften von charakteristischen Funktionen zusammengestellt. Gegeben sei eine reell-wertige Zufallsvariable 𝑈𝑈 mit der Verteilungsfunktion 𝐹𝐹𝑈𝑈 und der charakteristischen Funktion 𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑈𝑈�,𝑡𝑡∈ℝ, wobei 𝑖𝑖=√−1. Als erste wichtige Eigenschaft ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen den Ableitungen der charakteristischen Funktion und den Momenten: Ist 𝐸𝐸(|𝑈𝑈|𝑛𝑛)<∞ für 𝑛𝑛∈ℕ, dann ist 𝜓𝜓𝑈𝑈 𝑛𝑛-mal differenzierbar und es gilt 𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑘𝑘)(𝑡𝑡)=𝑖𝑖𝑘𝑘∙𝐸𝐸�𝑈𝑈𝑘𝑘∙𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑈𝑈� bzw. insbesondere 𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑘𝑘)(0)=𝑖𝑖𝑘𝑘∙𝐸𝐸(𝑈𝑈𝑘𝑘) für 𝑘𝑘= 0,1,2, … , 𝑛𝑛. (vgl. [9] S.385) Als Umkehrformel wird im Kontext von charakteristischen Funktionen das folgende Ergebnis bezeichnet: Es sei 𝑔𝑔(𝑡𝑡,𝑎𝑎,𝑏𝑏)≔�𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑎𝑎∙𝑡𝑡−𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑏𝑏∙𝑡𝑡 𝑖𝑖∙𝑡𝑡 ,𝑡𝑡≠0 𝑏𝑏−𝑎𝑎 ,𝑡𝑡= 0 , 𝑎𝑎<𝑏𝑏 und 𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑎𝑎)=𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)= 0. Dann gilt 𝑃𝑃(𝑎𝑎<𝑈𝑈≤𝑏𝑏)=1 2∙𝜋𝜋∙lim 𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡,𝑎𝑎,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 . (vgl. [9] S.386) Aufgrund des Beweises der Umkehrformel kann dieses Ergebnis ohne die Voraussetzung 𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑎𝑎)=𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)= 0 wie folgt modifiziert werden: 1 2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑎𝑎)+𝑃𝑃(𝑎𝑎<𝑈𝑈<𝑏𝑏)+1 2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)=1 2∙𝜋𝜋∙lim 𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡,𝑎𝑎,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 (vgl. [11] S.209f) Ist 𝑈𝑈 eine nichtnegative reell-wertigen Zufallsvariable mit 𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)= 0 für 𝑏𝑏> 0 und 𝑃𝑃(𝑈𝑈= 0)> 0, so ergibt sich daraus: 4 𝐹𝐹𝑈𝑈(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0≤𝑈𝑈≤𝑏𝑏)=1 2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈= 0)+1 2∙𝜋𝜋∙lim 𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 Mit dieser Formel lassen sich dann im Spezialfall einer nichtnegativen Zufallsvariablen mithilfe der charakteristischen Funktion die Quantile der Verteilung berechnen. Der Integrand lässt sich dabei im Fall 𝑡𝑡≠0 wie folgt umformen: 𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)=1−𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑏𝑏∙𝑡𝑡 𝑖𝑖∙𝑡𝑡 ∙𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑈𝑈� =1−cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)−𝑖𝑖∙sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡) 𝑖𝑖∙𝑡𝑡 ∙𝐸𝐸(cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)+𝑖𝑖∙sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)) =𝐸𝐸�−𝑖𝑖∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡+sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡+𝑖𝑖∙cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡−cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡 −sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡−𝑖𝑖∙sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡� =𝐸𝐸�−𝑖𝑖∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡+sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡+𝑖𝑖∙cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡� Die letzte Umformung ergibt sich aus den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen. Als Realteil des Integranden erhält man dann 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�=𝐸𝐸�sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡� als Imaginärteil 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�=𝐸𝐸�−cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡+cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡�. Wegen 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(−𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(−𝑡𝑡)�= 𝐸𝐸�sin(−𝑡𝑡∙𝑈𝑈) −𝑡𝑡 −sin(𝑏𝑏∙𝑡𝑡−𝑡𝑡∙𝑈𝑈) −𝑡𝑡 �= =𝐸𝐸�sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡�=𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� ist der Realteil des Integranden achsensymmetrisch zur vertikalen Achse des Koordinatensystems durch den Ursprung und wegen 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(−𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(−𝑡𝑡)�=𝐸𝐸�−cos(−𝑡𝑡∙𝑈𝑈) −𝑡𝑡 +cos(𝑏𝑏∙𝑡𝑡−𝑡𝑡∙𝑈𝑈) −𝑡𝑡 � =− 𝐸𝐸�−cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡+cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈) 𝑡𝑡�=−𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� ist der Imaginärteil punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Ferner gilt 5 lim 𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 =lim 𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 =lim 𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 +𝑖𝑖∙lim 𝑧𝑧→∞�𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 Wegen der Punktsymmetrie des Imaginärteils gilt ∫𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 = 0, und wegen der Achsensymmetrie des Realteils �𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 −𝑧𝑧 = 2 ∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 0, jeweils für alle 𝑧𝑧> 0. Damit ergibt sich für die obige Formel die Darstellung 𝐹𝐹𝑈𝑈(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0≤𝑈𝑈≤𝑏𝑏)=1 2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈= 0)+1 𝜋𝜋∙lim 𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑧𝑧 0. Zu erwähnen ist dabei noch, dass der Integrand wegen der Stetigkeit der charakteristischen Funktion (vgl. [9] S.385) und wegen lim 𝑡𝑡→0𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)=𝑏𝑏=𝑔𝑔(0,0, 𝑏𝑏) ebenfalls stetig ist in 𝑡𝑡= 0. Somit beziehen sich alle Integrale auf eine stetige Funktion. Ein weiteres grundlegendes Ergebnis liefert der Eindeutigkeitssatz: Sei 𝑉𝑉 eine zweite reell-wertige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion 𝐹𝐹𝑉𝑉 und der charakteristischen Funktion 𝜓𝜓𝑉𝑉(𝑡𝑡)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑉𝑉�,𝑡𝑡∈ℝ, so ist 𝜓𝜓𝑈𝑈=𝜓𝜓𝑉𝑉 äquivalent zu 𝐹𝐹𝑈𝑈=𝐹𝐹𝑉𝑉. D.h. die Verteilung einer Zufallsvariablen ist durch die charakteristische Funktion eindeutig festgelegt. (vgl. [9] S.388) 6 3. Das Modell Die Häufigkeit des Eintritts des Risikos pro Periode ist gegeben durch die ℕ0-wertige Zufallsvariable 𝑁𝑁. Des Weiteren sind die Verluste, die mit dem Eintritt des Risikos verbunden sind, gegeben durch die nichtnegativen Zufallsvariablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,𝑋𝑋3, … . Hierbei handelt es sich gegeben 𝑁𝑁 um stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die ebenfalls stochastisch unabhängig sind von der Häufigkeit des Eintritts, d.h. von der Zufallsvariablen 𝑁𝑁. Im Folgenden wird für einen repräsentativen Verlust die Zufallsvariable 𝑋𝑋 verwendet, d.h. 𝑋𝑋 ist nichtnegativ und genügt der gleichen Verteilung wie 𝑋𝑋𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2,3, … . Es seien 𝑝𝑝𝑘𝑘≔𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘),𝑘𝑘= 0,1,2,3, …, die Einzelwahrscheinlichkeiten, 𝐹𝐹𝑁𝑁(𝑥𝑥)≔𝑃𝑃(𝑁𝑁≤𝑥𝑥),𝑥𝑥∈ℝ, die Verteilungsfunktion, 𝜇𝜇𝑁𝑁≔𝐸𝐸(𝑁𝑁) der Erwartungswert, 𝜎𝜎𝑁𝑁≔�𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑁𝑁)<∞ die Standardabweichung und ℎ(𝑠𝑠)≔𝐸𝐸(𝑠𝑠𝑁𝑁),𝑠𝑠∈[0,1] die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Zufallsvariablen 𝑁𝑁. Dabei gilt der Zusammenhang ℎ′(1)=𝐸𝐸(𝑁𝑁) und ℎ′′(1)=𝐸𝐸(𝑁𝑁∙(𝑁𝑁−1)). Für die Verteilung der Verluste seien 𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥),𝑥𝑥∈ℝ, die Verteilungsfunktion, 𝜇𝜇𝑋𝑋 der Erwartungswert, 𝜎𝜎𝑋𝑋<∞ die Standardabweichung und 𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑋𝑋�,𝑢𝑢∈ℝ, die charakteristische Funktion. Handelt es sich hierbei um eine stetige Verteilung, so sei 𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥),𝑥𝑥∈ℝ, die Dichtefunktion. Der Gesamtperiodenverlust ist dann gegeben durch 𝑍𝑍≔𝑋𝑋1+𝑋𝑋2+⋯+𝑋𝑋𝑁𝑁. 𝜇𝜇 sei der Erwartungswert, 𝜎𝜎 die Standardabweichung und 𝛷𝛷(𝑢𝑢)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑍𝑍�,𝑢𝑢∈ℝ, die charakteristische Funktion der Zufallsvariablen 𝑍𝑍. Mit der charakteristischen Funktion ist die Verteilung von 𝑍𝑍 eindeutig festgelegt (vgl. Abschnitt 2). Es gilt nun 𝐸𝐸(|𝑍𝑍|2)<∞. Dies kann mithilfe der Jensenschen Ungleichung (vgl. [9] S.280) wie folgt gezeigt werden: 13 wobei die Gamma-Funktion definiert ist durch 𝛤𝛤(𝛾𝛾)=∫𝑒𝑒−𝑧𝑧∙𝑧𝑧𝛾𝛾−1 𝑑𝑑𝑧𝑧 ∞ 0 , so gilt 𝜇𝜇𝑋𝑋=𝛾𝛾𝛼𝛼, 𝜎𝜎𝑋𝑋=√𝛾𝛾 𝛼𝛼 und 𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)=�𝛼𝛼 𝛼𝛼−𝑖𝑖∙𝑢𝑢�𝛾𝛾,𝑢𝑢∈ℝ. Insbesondere ist eine Exponential-Verteilung mit dem Parameter 𝜆𝜆> 0 eine GammaVerteilung mit den Parametern 𝛼𝛼=𝜆𝜆 und 𝛾𝛾= 1. (vgl. [9] S.186, 257, 278, 287, 383) g) Wir betrachten zunächst eine Beta-Verteilung auf dem Intervall [0,1]. Sei also 𝑌𝑌 eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 𝑔𝑔(𝑦𝑦)=⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 , 𝑦𝑦≤0 1 𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)∙𝑦𝑦𝛼𝛼−1∙(1−𝑦𝑦)𝛽𝛽−1 , 0 < 𝑦𝑦< 1 0 , 𝑦𝑦≥1 , wobei 𝛼𝛼,𝛽𝛽 >0 sei und die Beta-Funktion definiert ist durch 𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)=𝛤𝛤(𝛼𝛼)∙Γ(𝛽𝛽) 𝛤𝛤(𝛼𝛼+𝛽𝛽) , so gilt 𝜇𝜇𝑌𝑌=𝛼𝛼 𝛼𝛼+𝛽𝛽 und 𝜎𝜎𝑦𝑦=�𝛼𝛼∙𝛽𝛽 �𝛼𝛼+𝛽𝛽+1∙(𝛼𝛼+𝛽𝛽). (vgl. Wolfsdorf S.340, Schmidt S.186, 256, 278, 287, Setzt man nun den Verlust mit 𝑋𝑋≔𝑀𝑀∙𝑌𝑌 an, so genügt der Verlust einer BetaVerteilung auf dem Intervall [0, 𝑀𝑀] mit den Parametern 𝛼𝛼,𝛽𝛽,𝑀𝑀> 0, d.h. die Zufallsvariable hat die Dichtefunktion 𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥)=⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 , 𝑥𝑥≤0 1 𝑀𝑀𝛼𝛼+𝛽𝛽−1∙𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−1∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−1 , 0 < 𝑥𝑥<𝑀𝑀 0 , 𝑥𝑥≥𝑀𝑀 , (vgl. [2] S.44) Ferner gilt 𝜇𝜇𝑋𝑋=𝑀𝑀∙𝜇𝜇𝑌𝑌=𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼 𝛼𝛼+𝛽𝛽 und 𝜎𝜎𝑋𝑋=𝑀𝑀∙𝜎𝜎𝑌𝑌=𝑀𝑀∙ �𝛼𝛼∙𝛽𝛽 �𝛼𝛼+𝛽𝛽+ 1 ∙(𝛼𝛼+𝛽𝛽). 14 Angemerkt werden kann noch, dass der Fall 𝛼𝛼=𝛽𝛽= 1 der Gleichverteilung auf dem Intervall [0, 𝑀𝑀] entspricht. Dies ist anhand der Dichte der Beta-Verteilung wegen 𝐵𝐵(1,1)=𝛤𝛤(1)∙𝛤𝛤(1) 𝛤𝛤(2)=𝛤𝛤(1)∙𝛤𝛤(1) 1∙𝛤𝛤(1)=𝛤𝛤(1)= 1 leicht nachvollziehbar. Den Modus (d.h. die Maximalstelle der Dichte) im Fall 𝛼𝛼,𝛽𝛽> 1 erhält man mithilfe der Differentialrechnung wie folgt. Zunächst lautet die erste Ableitung der Dichtefunktion für 0 < 𝑥𝑥<𝑀𝑀: 1 𝑀𝑀𝛼𝛼+𝛽𝛽−1∙𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)∙�(𝛼𝛼−1)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−2∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−1+ (𝛽𝛽−1) ∙𝑥𝑥𝛼𝛼−1∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−2� Setzt man die erste Ableitung gleich null, so ergibt sich (𝛼𝛼−1)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−2∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−1−(𝛽𝛽−1)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−1∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−2= 0 ⟺𝑥𝑥𝛼𝛼−2∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−2∙�(𝛼𝛼−1)∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)−(𝛽𝛽−1)∙𝑥𝑥�= 0 Diese Gleichung ist für 𝑥𝑥∉{0, 𝑀𝑀} genau dann erfüllt, wenn (𝛼𝛼−1)∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)−(𝛽𝛽−1)∙𝑥𝑥= 0 Dies ist äquivalent zu (𝛼𝛼−1)∙𝑀𝑀= (𝛼𝛼+𝛽𝛽−2) ∙𝑥𝑥 bzw. 𝑥𝑥=(𝛼𝛼−1)∙𝑀𝑀 𝛼𝛼+𝛽𝛽−2. Wegen 𝛼𝛼,𝛽𝛽> 1 erhält man für die beiden Grenzwerte lim 𝑥𝑥↓0𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥)= 0 und lim 𝑥𝑥↑𝑀𝑀𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥)= 0. Somit handelt es sich bei der Lösung um das Maximum bzw. den Modus. h) Eine in der Praxis verwendete Verteilung ist die Pert-Verteilung. Dabei handelt es sich um eine spezielle Beta-Verteilung. Sie wird auch als Alternative zur DreiecksVerteilung mit differenzierbarer Dichtefunktion angesehen. Die Parameter seien analog zur Dreiecks-Verteilung 𝑎𝑎 (best case), 𝑏𝑏 (normal case) und 𝑐𝑐 (worst case) mit 𝑎𝑎<𝑏𝑏<𝑐𝑐. Nimmt nun man wieder an, dass die Verluste im Intervall [0, 𝑀𝑀] liegen, so sind 𝑎𝑎= 0 und 𝑐𝑐=𝑀𝑀. Die beiden Parameter der Beta-Verteilung wählt man mit 𝛼𝛼=−5∙𝑎𝑎+ 4 ∙𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑐𝑐=4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 𝑀𝑀> 1 und 𝛽𝛽=−𝑎𝑎−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑐𝑐 𝑐𝑐=−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑀𝑀 𝑀𝑀> 1. Damit erhält man für den Erwartungswert 15 𝜇𝜇𝑋𝑋=𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼 𝛼𝛼+𝛽𝛽=𝑀𝑀∙ 4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 𝑀𝑀 4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 𝑀𝑀+−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑀𝑀 𝑀𝑀=𝑀𝑀∙4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 6∙𝑀𝑀 =4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 6 Die Standardabweichung kann ebenfalls mit der bei der Beta-Verteilung gültigen Formel berechnet werden. Da 𝛼𝛼,𝛽𝛽> 1 berechnet sich der Modus durch (𝛼𝛼−1)∙𝑀𝑀 𝛼𝛼+𝛽𝛽−2=�4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 𝑀𝑀−1�∙𝑀𝑀 4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀 𝑀𝑀+−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑀𝑀 𝑀𝑀−2 =4∙𝑏𝑏 4=𝑏𝑏. Somit handelt es sich bei der hier gewählten Pert-Verteilung um eine spezielle BetaVerteilung auf dem Intervall [0, 𝑀𝑀]. Der best case und worst case sind durch die Intervallgrenzen gegeben und der normal case analog zur obigen Dreiecks-Verteilung durch den Modus. 16 4. Berechnung von Kennzahlen für den Gesamtperiodenverlust Zur Berechnung von Kennzahlen für den Gesamtperiodenverlust gibt es mehrere methodische Ansätze. Zunächst lassen sich im vorliegenden Modell Kennzahlen direkt analytisch aus den Verteilungsannahmen für die Häufigkeit des Eintritts des Risikos pro Periode und den Verlust, der mit dem Eintritt eines Risikos verbunden ist, berechnen. Für den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung lassen sich entsprechende Formeln herleiten (vgl. Satz aus Abschnitt 3). Will man hingegen Quantile der Verteilung des Gesamtperiodenverlustes aus den im Modell für die beiden Komponenten Häufigkeit und Verlusthöhe vorgegebenen Verteilungsannahmen ermitteln, so stößt man mit dieser Vorgehensweise wegen der Komplexität des hier verwendeten Modells bis auf Ausnahmen an rechentechnische Grenzen. Aufgrund möglicher analytischer Probleme bei der Berechnung von Kennzahlen einer Zufallsvariablen hat sich als übliche Methodik bei der Risikoquantifizierung die MonteCarlo-Simulation etabliert. Dabei wird das Schicksal des Risikos mithilfe einer Softwarelösung hinreichend oft ausgewürfelt. Die entstehenden fiktiven Ergebnisse für den Verlust werden dann mit den Methoden der deskriptiven und der induktiven Statistik ausgewertet. Der Erwartungswert wird hierbei mit dem arithmetischen Mittel und die (theoretische) Standardabweichung mit der empirischen Standardabweichung gleichgesetzt bzw. geschätzt. Auch Quantile, z.B. der Value at Risk, sowie der Expected Shortfall des Verlustes können aus den simulierten Ergebnissen näherungsweise ermittelt werden. Grundlegend für diese Methodik sind die Grenzwertsätze der Stochastik, z.B. das Gesetz der großen Zahlen. Eine andere eher analytische Methode ergibt sich aus dem Eindeutigkeitssatz und der Umkehrformel für charakteristische Funktionen. Der Eindeutigkeitssatz besagt, dass durch die charakteristische Funktion die Verteilung einer Zufallsvariablen eindeutig festgelegt ist, die Umkehrformel, dass man durch Integration des Produkt aus charakteristischer Funktion und einer speziellen komplex-wertigen Funktion u.a. Quantile der zugehörigen Verteilung berechnen kann (vgl. Abschnitt 2). Darüber hinaus lassen sich mithilfe der Ableitungen der charakteristischen Funktion die Momente einer Zufallsvariablen bestimmen. Dieser Ansatz wurde bereits in Abschnitt 2 erläutert und im Beweis zum Satz aus Abschnitt 3 verwendet. Wegen der Komplexität des Funktionsterms der charakteristischen Funktion des Gesamtperiodenverlustes in den hier verwendeten Modellierungen ist eine Integration mithilfe einer Stammfunktion i.d.R. nicht möglich. Daher wird im Folgenden die hier beschriebene Vorgehensweise mit numerischen Methoden umgesetzt. D.h. in den Fallbeispielen erfolgt u.a. die Integration des Produkts aus charakteristischer Funktion des Gesamtperiodenverlustes und der speziellen komplex-wertigen Funktion mithilfe numerischer Methoden. Damit stehen für die vorliegende Ausarbeitung drei methodische Ansätze für die Ermittlung der Kennzahlen des Gesamtperiodenverlustes zur Verfügung: 17 • Analytische Methoden, d.h. direkte Berechnung aus den Verteilungsannahmen • Monte-Carlo-Simulation • Numerische Methoden, insbesondere numerisches Integrieren Diese drei Methoden werden in den folgenden drei Fallbeispielen bei unterschiedlichen Modellannahmen bezüglich der Häufigkeit des Eintritts eines Risikos und der Höhe des Verlustes bei Eintritt des Risikos gegenübergestellt. 18 5. Fallbeispiel 1 Wir betrachten zunächst folgendes Fallbeispiel. Die Verteilung der Häufigkeit für den Eintritt des Risikos pro Periode, d.h. für die Zufallsvariable 𝑁𝑁, sei gegeben durch die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten: 𝑃𝑃(𝑁𝑁= 0)=5 15=13,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 1)=4 15,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 2)=3 15=15,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 3)=2 15,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 4)=1 15 Damit ergibt sich jeweils gerundet auf vier Stellen hinter dem Komma 𝜇𝜇𝑁𝑁≈1,3333 und 𝜎𝜎𝑁𝑁≈1,2473. Für den Verlust, der mit dem Eintritt des Risikos verbunden ist, wird eine GammaVerteilung mit den Parametern 𝛾𝛾= 2 und 𝛼𝛼= 0,1 angesetzt. Hier der Graph der zugehörigen Dichtefunktion: Man erkennt, dass in der gewählten Modellierung die Dichte bis zum Modus 𝑥𝑥=10 steil ansteigt und danach bis ins Unendliche flach ausläuft. D.h. kleinere Werte für den mit dem Eintritt eines Risikos verbundenen Verlust haben eine höhere Wahrscheinlichkeit als größere Werte. Für den Erwartungswert der gewählten Gamma-Verteilung gilt gemäß Beispiel 2f) 𝜇𝜇𝑋𝑋=2 0,1=20 und für die Standardabweichung 𝜎𝜎𝑋𝑋=√2 0,1≈14,1421. Analytische Methoden Mithilfe des Satzes aus Abschnitt 3 lassen sich nun der Erwartungswert 𝜇𝜇 und die Standardabweichung 𝜎𝜎 des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍 wie folgt berechnen: 𝜇𝜇=𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜇𝜇𝑋𝑋≈1,3333 ∙20 =26,6660 𝜎𝜎=�𝜎𝜎𝑁𝑁2∙𝜇𝜇𝑋𝑋2+𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜎𝜎𝑋𝑋2≈�1,2473²∙20² + 1,3333 ∙14,1421²≈29,8155 19 Monte-Carlo-Simulation Zur Anwendung einer Monte-Carlo-Simulation für den Gesamtperiodenverlust benötigt man bei dem hier verwendeten Modell zum einen Zufallszahlen für die Festlegung der Häufigkeit des Eintritts des Risikos und zum anderen Zufallszahlen für den mit dem Eintritt des Risikos verbundenen Verlust. Die Zufallszahlen werden dabei jeweils im Intervall [0,1] generiert. Zur Festlegung der Häufigkeit aus einer gegebenen Zufallszahl wird, wie bei der Simulation von diskreten Zufallsvariablen üblich, das Intervall [0,1] entsprechend der gegebenen Einzelwahrscheinlichkeiten in fünf Teilintervalle aufgeteilt und daraus der Wert abgeleitet. Der Verlust bei Eintritt des Risikos hingegen wird durch Einsetzen der zugehörigen Zufallszahl in die Inverse der Verteilungsfunktion der gewählten GammaVerteilung generiert. Addiert man dann je nach Häufigkeit des Risikos die jeweiligen Verluste auf, so erhält den fiktiven Gesamtperiodenverlust pro Simulationslauf. Eine entsprechende Monte-Carlo-Simulation wird für 10.000 Simulationsläufe mit Excel durchgeführt. Es ergeben sich die folgenden Ergebnisse: Kennzahl Ergebnis der MonteCarlo-Simulation Relative Abweichung zum theoretischen Wert Erwartungswert/Mittelwert 26,3375 −1,2319% Standardabweichung 29,5443 −0,9096% 80%-Quantil 50,0982 90%-Quantil 69,1202 95%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 5% 85,3542 99%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 1% 118,0841 Expected Shortfall zum Niveau 5% 105,3408 Expected Shortfall zum Niveau 1% 134,9285 Numerische Methoden Bei der Ermittlung der beiden Kennzahlen Erwartungswert und Standardabweichung für den Gesamtperiodenverlust 𝑍𝑍 geht man von der komplex-wertigen charakteristischen Funktion 20 𝛷𝛷(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑍𝑍� zur reell-wertigen momenterzeugenden Funktion 𝐼𝐼(𝑢𝑢)≔𝛷𝛷(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)=𝐸𝐸(𝑒𝑒𝑢𝑢∙𝑍𝑍) über. Für die erste Ableitung der momenterzeugenden Funktion gilt dann 𝐼𝐼′(𝑢𝑢)=−𝑖𝑖∙𝛷𝛷′(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢) bzw. 𝐼𝐼′(0)=−𝑖𝑖∙𝛷𝛷′(0)=−𝑖𝑖2∙𝐸𝐸(𝑍𝑍)=𝐸𝐸(𝑍𝑍) und für die zweite Ableitung 𝐼𝐼′′(𝑢𝑢)=𝑖𝑖2∙𝛷𝛷′′(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢) bzw. 𝐼𝐼′′(0)=𝑖𝑖2∙𝛷𝛷′′(0)=𝑖𝑖4∙𝐸𝐸(𝑍𝑍2)=𝐸𝐸(𝑍𝑍2). Die momenterzeugende Funktion für den Gesamtperiodenverlust 𝑍𝑍 berechnet sich wie folgt: 𝐼𝐼(𝑢𝑢)=𝛷𝛷(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)�=ℎ�� 0,1 0,1 −𝑢𝑢�2�=�𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)∙�� 0,1 0,1 −𝑢𝑢�2�𝑘𝑘 4 𝑘𝑘=0 =1 3+4 15 ∙� 0,1 0,1 −𝑢𝑢�2 +1 5∙� 0,1 0,1 −𝑢𝑢�4 +2 15 ∙� 0,1 0,1 −𝑢𝑢�6 +1 15 ∙� 0,1 0,1 −𝑢𝑢�8 Leitet man diese Funktion numerisch an der Stelle 𝑢𝑢= 0 ab, so erhält für Δ𝑢𝑢 hinreichend klein die Näherungen 𝜇𝜇=𝐸𝐸(𝑍𝑍)=𝐼𝐼′(0) ≈𝐼𝐼(Δ𝑢𝑢)−𝐼𝐼(−Δ𝑢𝑢) 2∙Δ𝑢𝑢 und 𝜎𝜎2+𝜇𝜇2=𝐸𝐸(𝑍𝑍2)=𝐼𝐼′′(0)≈𝐼𝐼(Δ𝑢𝑢)+𝐼𝐼(−Δ𝑢𝑢)−2∙𝐼𝐼(0) (Δ𝑢𝑢)2=𝐼𝐼(Δ𝑢𝑢)+𝐼𝐼(−Δ𝑢𝑢)−2 (Δ𝑢𝑢)2 . (vgl. [1] S.125ff, [4]) Wählt man Δ𝑢𝑢=10−4, so ergibt sich 𝜇𝜇≈26,6669 und 𝜎𝜎≈29,8142. Die relativen Abweichungen zu den exakten Werten betragen 0,0034% bzw. −0,0044% und sind im Wesentlichen auf Rundungseffekte zurückzuführen. Die Ermittlung der Quantile erfolgt mithilfe der Umkehrformel bzw. mit numerischer Integration. Im ersten Schritt muss dazu die charakteristische Funktion des Verlustes, der mit dem Eintritt des Risikos verbunden ist, in ihren Realund Imaginärteil zerlegt werden. Die dafür verwendete Gamma-Verteilung mit den Parametern 𝛾𝛾= 2 und 𝛼𝛼= 0,1 hat die charakteristische Funktion 21 𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)=�0,1 0,1 −𝑖𝑖∙𝑢𝑢�2,𝑢𝑢∈ℝ, diese lässt sich wie folgt umformen: �0,1 0,1 −𝑖𝑖∙𝑢𝑢�2=�0,1 0,1 −𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙0,1 + 𝑖𝑖∙𝑢𝑢 0,1 + 𝑖𝑖∙𝑢𝑢�2=�0,01 +𝑖𝑖∙0,1 ∙𝑢𝑢 0,01 +𝑢𝑢2�2 =�0,01 0,01 +𝑢𝑢2+𝑖𝑖∙ 0,1 ∙𝑢𝑢 0,01 +𝑢𝑢2�2 =�0,01 0,01 +𝑢𝑢2�2+ 2 ∙𝑖𝑖∙ 0,01 0,01 +𝑢𝑢2∙0,1 ∙𝑢𝑢 0,01 +𝑢𝑢2−� 0,1 ∙𝑢𝑢 0,01 +𝑢𝑢2�2 =0,0001 −0,01 ∙𝑢𝑢2 (0,01 +𝑢𝑢2)2+𝑖𝑖∙ 0,002 ∙𝑢𝑢 (0,01 +𝑢𝑢2)2 D.h. man erhält 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=0,0001 −0,01 ∙𝑢𝑢2 (0,01 +𝑢𝑢2)2 und 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=0,002 ∙𝑢𝑢 (0,01 +𝑢𝑢2)2 Für die charakteristische Funktion des Gesamtperiodenverlustes gilt dann 𝛷𝛷(𝑢𝑢)=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=��𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)��𝑘𝑘∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘) 4 𝑘𝑘=0 =���𝑘𝑘𝑗𝑗� 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 4 𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘) =� � �𝑘𝑘𝑗𝑗� 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=0 4 𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘) +𝑖𝑖∙� � �𝑘𝑘𝑗𝑗� 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=1 4 𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘) −� � �𝑘𝑘𝑗𝑗� 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=2 4 𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘) −𝑖𝑖∙� � �𝑘𝑘𝑗𝑗� 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=3 4 𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘) Der Realteil von 𝛷𝛷(𝑢𝑢) ergibt sich dann aus dem ersten und dem dritten Term, der Imaginärteil aus dem zweiten und vierten Term. Zur Berechnung eines Quantils mithilfe der Umkehrformel benötigt man den Realteil des Produkts 𝑔𝑔(𝑢𝑢, 0, 𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢) für 𝑏𝑏> 0. Dieser ergibt sich aus 22 𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢)=�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑢𝑢, 0, 𝑏𝑏)��∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�� =𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�−𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑢𝑢, 0, 𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(𝑢𝑢)� +𝑖𝑖∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�+𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(𝑢𝑢)��, wobei für 𝑢𝑢≠0 gilt 𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)=1−𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑏𝑏∙𝑢𝑢 𝑖𝑖∙𝑢𝑢 =1−cos(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−𝑖𝑖∙sin(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢) 𝑖𝑖∙𝑢𝑢 =−sin(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢) 𝑢𝑢+𝑖𝑖∙cos(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−1 𝑢𝑢=sin(𝑏𝑏∙𝑢𝑢) 𝑢𝑢+𝑖𝑖∙cos(𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−1 𝑢𝑢. Ferner gilt 𝑔𝑔(0,0, 𝑏𝑏)=𝑏𝑏. Mit der Umkehrformel und mithilfe der Rechteckregel bzw. der Mittelsumme der numerischen Integration (vgl. [1] S.145ff) ergibt sich die folgende Näherung für die Verteilungsfunktion 𝐹𝐹 des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍 an der Stelle 𝑏𝑏> 0: 𝐹𝐹(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0 ≤𝑍𝑍≤𝑏𝑏) = 1 2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0) + 1 𝜋𝜋∙lim 𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢)� 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑧𝑧 0 ≈1 2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0) + 1 𝜋𝜋∙� 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢)� 𝑑𝑑𝑢𝑢 200 0 ≈1 2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0)+1 𝜋𝜋∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(0,01 +𝑘𝑘∙0,02,0, 𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(0,01 +𝑘𝑘∙0,02)�∙0,02 9.999 𝑘𝑘=0 =1 2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0)+1 𝜋𝜋∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(0,01 +𝑘𝑘∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(0,01 +𝑘𝑘∙0,02)�∙0,02 9.999 𝑘𝑘=0 −1 𝜋𝜋∙�𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(0,01 +𝑘𝑘∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(0,01 +𝑘𝑘∙0,02)� 9.999 𝑘𝑘=0 ∙0,02 Die Umsetzung dieser Formel in Excel liefert für die Quantile bzw. den Value at Risk die folgenden Ergebnisse: Kennzahl Ergebnis 80%-Quantil 50,5519 90%-Quantil 69,5681 95%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 5% 85,9592 99%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 1% 118,3818 29 Setzt man diese Formel in Excel um, so ergeben sich für die Quantile bzw. den Value at Risk folgende Ergebnisse: Kennzahl Ergebnis 90%-Quantil 31,4980 95%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 5% 45,4987 99%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 1% 65,5043 Die Abweichungen zu den direkt berechneten Werten sind bei allen drei Werten unterhalb von 1%. Analog zu Fallbeispiel 1 lassen sich auch hier der Expected Shortfall zum Niveau 5% und zum Niveau 1% mithilfe numerischer Integration berechnen. Für den Expected Shortfall zum Niveau 5% erhält man den Wert 57,7445 und für den Expected Shortfall zum Niveau 1% den Wert 72,9976 Als Fazit kann auch in diesem Fallbeispiel festgehalten werden, dass die es bei Anwendung der Monte-Carlo-Simulation einerseits und bei der Anwendung der numerischen Methoden andererseits nur geringfügige Abweichungen gibt. Kennzahl Monte-CarloSimulation Numerische Methoden Abweichung zur Monte-CarloSimulation (in%) Erwartungswert 6,6598 6,6661 0,0946%. Standardabweichung 15,5153 15,5323 0,1096%. Value at Risk zum Niveau 5% 45,7070 45,4987 −0,4557%. Value at Risk zum Niveau 1% 66,0723 65,5043 −0,8597%. Expected Shortfall zum Niveau 5% 57,4979 57,7445 0,4289%. Expected Shortfall zum Niveau 1% 73,3108 72,9976 −0,4272%. 30 7. Fallbeispiel 3 Im dritten und letzten Fallbeispiel betrachten wir den Fall, dass sich ähnlich wie im ersten Fallbeispiel der Gesamtperiodenverlust Z nicht auf einem möglichen Ereignis beruht, sondern sich aus den Verlusten mehrerer gleichartiger Ereignisse zusammensetzt. Die Häufigkeit 𝑁𝑁 des Eintritts des Risikos wird dabei durch eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter 𝜆𝜆= 4 modelliert. Der Verlust, der mit dem Eintritt des Risikos verbunden ist, genüge wiederum einer Pert-Verteilung, allerdings jetzt mit dem worst case 𝑐𝑐= 5, dem normal case 𝑏𝑏= 1,25 und dem best case 𝑎𝑎= 0. Damit handelt es sich ebenfalls um eine Beta-Verteilung mit den gleichen Parametern wie in Fallbeispiel 2: 𝛼𝛼=4∙1,25 + 5 5= 2, 𝛽𝛽=−4∙1,25 + 5 ∙5 5= 4 Diesmal aber auf dem Intervall [0, 𝑀𝑀]=[0,5]. Die Konstellation ist so gewählt, dass der Erwartungswert des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍 im Vergleich zu Fallbeispiel 2 unverändert bleibt, d.h. der durchschnittliche Verlust pro Periode gleich ist: 𝜇𝜇=𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜇𝜇𝑋𝑋=𝜆𝜆∙𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼 𝛼𝛼+𝛽𝛽= 4 ∙5∙2 2 + 4 =20 3≈6,6667 Allerdings verändert sich der Wert der Standardabweichung: 𝜎𝜎=�𝜎𝜎𝑁𝑁2∙𝜇𝜇𝑋𝑋2+𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜎𝜎𝑋𝑋2=�𝜆𝜆∙�𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼 𝛼𝛼+𝛽𝛽�2+𝜆𝜆∙�𝑀𝑀∙ √𝛼𝛼∙𝛽𝛽 √𝛼𝛼+𝛽𝛽+ 1 ∙(𝛼𝛼+𝛽𝛽)�2 =�4∙�5∙2 2 + 4�2+ 4 ∙�5∙√2∙4 √2+4+1∙(2 + 4)�2≈3,7796 Im Folgenden werden wieder die Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation und die Ergebnisse der numerischen Methoden gegenübergestellt, insbesondere bezogen auf die Quantile bzw. den Value at Risk und bezogen auf den Expected Shortfall. Im Unterschied zu Fallbeispiel 2 können aufgrund der höheren Komplexität des Modells die Quantile nicht direkt bestimmt werden. Bei der Poisson-Verteilung handelt es sich um eine diskrete Verteilung auf der Menge ℕ0. Sowohl bei der Monte-Carlo-Simulation als auch bei den numerischen Methoden findet eine Näherung dahingehend statt, dass die Ausgänge mit mehr als 16 Ereignissen pro Periode keine Berücksichtigung finden. Damit werden Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit in Summe ca. 0,00000113 = 1,13 ∙10−6 beträgt, außer Acht gelassen. Verwendet man statt Excel eine höhere Programmiersprache, so kann hier sicherlich eine noch höhere Genauigkeit umgesetzt werden. 31 Monte-Carlo-Simulation Analog zu den vorherigen Fallbeispielen wird eine Monte-Carlo-Simulation für 10.000 Simulationsläufe mit Excel durchgeführt. Dabei ist zu beachten, dass sowohl für Häufigkeit des Eintritts des Risiko, als für die möglichen 16 unterschiedlichen Verlusthöhen Zufallszahlen zur Verfügung stehen müssen. Es ergeben sich die folgenden Ergebnisse: Kennzahl Ergebnis der MonteCarlo-Simulation Relative Abweichung zum theoretischen Wert Erwartungswert/Mittelwert 6,6708 0,0615% Standardabweichung 3,7724 −0,1905% 90%-Quantil 11,7886 95%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 5% 13,5365 99%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 1% 17,2988 Expected Shortfall zum Niveau 5% 15,8084 Expected Shortfall zum Niveau 1% 19,0562 Numerische Methoden Die numerischen Methoden basieren wiederum auf der charakteristischen Funktion des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍. Diese berechnet sich wie folgt bzw. kann wie folgt angenähert werden. Es sei 𝑢𝑢∈ℝ. 𝛷𝛷(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑍𝑍�=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=𝑒𝑒𝜆𝜆∙(𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)−1)=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙𝑒𝑒𝜆𝜆∙𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ≈𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)𝑘𝑘 16 𝑘𝑘=0 =𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)��𝑘𝑘 16 𝑘𝑘=0 =𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙��𝑘𝑘𝑗𝑗�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗∙ 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 16 𝑘𝑘=0 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)� und 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)� werden dabei mit dem Verfahren aus Fallbeispiel 2 ermittelt (nur mit anderen Parametern) und der Faktor 𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗 entscheidet jeweils darüber, ob der 32 Summand zum Realteil oder zum Imaginärteil der charakteristischen Funktion des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍 hinzuzurechnen ist bzw. welches Vorzeichen bei einem Summanden anzusetzen ist. Die momenterzeugende Funktion des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍 kann analog angenähert werden, allerdings muss dabei wegen 𝐼𝐼(𝑢𝑢)=𝛷𝛷(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢) nicht zwischen Realund Imaginärteil unterschieden werden. Daher kann auch mit einer höheren Genauigkeit bezogen auf die nichtberücksichtige Wahrscheinlichkeit gerechnet werden. Es sei 𝑢𝑢∈ℝ. 𝐼𝐼(𝑢𝑢)=𝐸𝐸(𝑒𝑒𝑢𝑢∙𝑍𝑍)=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)�=𝑒𝑒𝜆𝜆∙(𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)−1)=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙𝑒𝑒𝜆𝜆∙𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢) =𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ≈𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)𝑘𝑘 100 𝑘𝑘=0 =𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑘𝑘!∙�� 𝑒𝑒𝑢𝑢∙𝑥𝑥∙𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ �𝑘𝑘 100 𝑘𝑘=0 Die Integrale werden wiederum numerisch bestimmt. Wählt für das numerische Ableiten analog zu den Fallbeispielen 1 und 2 Δ𝑢𝑢=10−4, so ergibt für den Erwartungswert 𝜇𝜇≈ 6,6661 und für die Standardabweichung 𝜎𝜎≈3,7795. Die relativen Abweichungen zu den exakten Werten betragen damit −0,0090% bzw. −0,0026% und sind wieder im Wesentlichen auf Rundungseffekte zurückzuführen. Die Verteilungsfunktion 𝐹𝐹 des Gesamtperiodenverlustes 𝑍𝑍 berechnet sich für 𝑏𝑏> 0 wieder näherungsweise mit 𝐹𝐹(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0 ≤𝑍𝑍≤𝑏𝑏) ≈1 2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0)+1 𝜋𝜋∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(0,01 +𝑗𝑗∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(0,01 +𝑗𝑗∙0,02)� 9.999 𝑗𝑗=0 ∙0,02 −1 𝜋𝜋∙�𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(0,01 +𝑗𝑗∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(0,01 +𝑗𝑗∙0,02)�∙0,02 9.999 𝑗𝑗=0 , wobei wiederum 𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)=sin(𝑏𝑏∙𝑢𝑢) 𝑢𝑢+𝑖𝑖∙cos(𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−1 𝑢𝑢 für 𝑢𝑢> 0. Setzt man diese Formel in Excel um, so ergeben sich für die Quantile bzw. den Value at Risk folgende Ergebnisse: 33 Kennzahl Ergebnis 90%-Quantil 11,7467 95%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 5% 13,5352 99%-Quantil bzw. Value at Risk zum Niveau 1% 17,1469 Analog zu den Fallbeispielen 1 und 2 lassen sich auch hier der Expected Shortfall zum Niveau 5% und zum Niveau 1% mithilfe numerischer Integration berechnen. Für den Expected Shortfall zum Niveau 5% erhält man den Wert 15,7886 und für den Expected Shortfall zum Niveau 1% den Wert 19,1350 Als Fazit kann auch in diesem Beispiel festgehalten werden, dass die es bei Anwendung der Monte-Carlo-Simulation einerseits und bei der Anwendung der numerischen Methoden andererseits nur geringfügige Abweichungen gibt, wie aus der folgenden Tabelle ersichtlich ist. Kennzahl Monte-CarloSimulation Numerische Methoden Abweichung zur Monte-CarloSimulation (in%) Erwartungswert 6,6708 6,6661 −0,0705%. Standardabweichung 3,7724 3,7795 0,1882%. Value at Risk zum Niveau 5% 13,5365 13,5352 −0,0096%. Value at Risk zum Niveau 1% 17,2988 17,1469 −0,8781%. Expected Shortfall zum Niveau 5% 15,8084 15,7886 −0,1252%. Expected Shortfall zum Niveau 1% 19,0562 19,1350 0,4135%. 34 8. Fazit und Ausblick Die drei Fallbeispiele zeigen, dass die numerischen Methoden, d.h. das numerische Ableiten und das numerische Integrieren der charakteristischen Funktion, eine sinnvolle Alternative zur Monte-Carlo-Simulation seien können. Die mit den numerischen Methoden verbundenen Ungenauigkeit, z.B. durch die gewählte Breite der Flächenstücke, spielen in den drei Fallbeispielen keine entscheidende Rolle. Die relativen Abweichungen bei den Kennzahlen zu den Ergebnissen der Monte-Carlo-Simulation liegen bis auf eine Ausnahme im Promillebereich, d.h. unterhalb von 1%. Teilweise liegen die Ergebnisse der numerischen Methoden näher an den exakten Werten als die Ergebnisse der Monte-CarloSimulation. Es erscheint lohnenswert die hier vorgestellten numerischen Methoden auch bei komplexeren Modellierungen anzuwenden und ggf. mit den Ergebnissen einer MonteCarlo-Simulation zu vergleichen. Dabei können sowohl Einzelrisiken als auch ein Risikoportfolio im Fokus stehen. Eine Voraussetzung für die Anwendung der numerischen Methoden ist allerdings, dass die charakteristische Funktion bekannt ist bzw. mit Softwareunterstützung berechnet werden kann. Dies ist z.B. bei dem Barwert einer bewerteten (inhomogenen) Markov-Kette (vgl. [4]) oder einem Risikoportfolio aus unabhängigen Einzelrisiken (mit jeweils bekannter charakteristischer Funktion) der Fall. 35 Literaturverzeichnis [1] Bärwolff, G. und Tischendorf, C. S., Numerik in der Physik, Ingenieurwissenschaft und Informatik, 5. Aufl., Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2025. [2] Cottin C. und Döhler S., Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen, 2. überarb. u. erw. 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Forschung am ivw Köln, 1/2025 ISSN (online) 2192 -8479 Ralf Knobloch : Risikoquantifizierung: Charakteristische Funktion und numerische Methoden als Alternative zur Monte -Carlo-Simulation. Fallbeispiele zu kombinierten Verteilungen Köln, Oktober 2025 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Benedikt Funke Prof. Dr. Ralf Knobloch Prof. Dr. Michaele Völler Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Web www.th-koeln.de Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Die Veröffentlichungen der Online-Publikationsreihe "Forschung am ivwKöln" (ISSN: 2192-8479) werden üblicherweise über Cologne Open Science (Publikationsserver der TH Köln) veröffentlicht. Die Publikationen werden hierdurch über nationale und internationale Bibliothekskataloge, Suchmaschinen sowie andere Nachweisinstrumente erschlossen. Alle Publikationen sind auch kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. 2025 1/2025 Knobloch: Risikoquantifizierung: Charakteristische Funktion und numerische Methoden als Alternative zur Monte-Carlo-Simulation - Fallbeispiele zu kombinierten Verteilungen 2024 6/2024 Haarhoff, Wolf: Alternative Ausgestaltungsmöglichkeiten der Steuerund Fördersystematik privater Altersvorsorge im Hinblick auf Transparenz und Gerechtigkeit 5/2024 Heep-Altiner, Land, Sebold-Bender, Schüte: Flächendeckende Absicherung von Elementarrisiken 4/2024 Arentz, Wolf: Analyse des Rentenpakets II: Trotz Kapitaldeckung einseitige Belastung jüngerer Generationen 3/2024 Günther: Der Versicherungssenat des Reichsgerichtes, Heinrich Himmler und die Führerscheinklausel 2/2024 Knobloch: Aggregation in einem Risikoportfolio mit Abhängigkeitsstruktur 1/2024 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2023 2023 2/2023 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2023 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 1/2023 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2022 2022 4/2022 Goecke: Collective Defined Contribution Plans – Backtesting Based on German Capital Market Data 1950 - 2022 3/2022 Knobloch, Miebs: Aktuelle Herausforderungen an das aktuarielle und finanzielle Risikomanagement durch COVID-19 und die anhaltende Niedrigzinsphase. Proceedings zum 16. FaRis & DAVSymposium am 10. Dezember 2021 2/2022 Knobloch: Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur 1/2022 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2021 2021 4/2021 Institut für Versicherungswesen: Risiko im Wandel als Herausforderung für die Versicherungswirtschaft 3/2021 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2021 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2021 Knobloch: Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes 1/2021 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2020 2020 7/2020 Müller-Peters, Schmidt, Völler: Revolutionieren Big Data und KI die Versicherungswirtschaft? 24. Kölner Versicherungssymposium am 14. November 2019 6/2020 Schmidt: Künstliche Intelligenz im Risikomanagement. Proceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2019 in Köln 5/2020 Müller-Peters: Die Wahrnehmung von Risiken im Rahmen der Corona-Krise 4/2020 Knobloch: Modellierung einer Cantelli-Zusage mithilfe einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette 3/2020 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit 2/2020 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2020 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 1/2020 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2019 2019 5/2019 Muders: Risiko und Resilienz kollektiver Sparprozesse – Backtesting auf Basis deutscher und USamerikanischer Kapitalmarktdaten 1957-2017 4/2019 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen. 3/2019 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2019 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2019 Rohlfs, Pütz, Morawetz: Risiken des automatisierten Fahrens. Herausforderungen und Lösungsansätze für die Kfz-Versicherung. Proceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am 7.12.2018 in Köln. 1/2019 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2018