Knobloch, Ral
Resea ch Repo
Risikoquan i izie ung: Cha ak e is ische Funk ion und nume ische
Me hoden als Al e na i e zu Mon e-Ca lo-Simula ion: Fallbeispiele zu
kombinie en Ve eilungen
Fo schung am i wKöln, No. 1/2025
P o ided in Coope a ion wi h:
Technische Hochschule Köln – Uni e si y o Applied Sciences, Ins i u e o Insu ance S udies
Sugges ed Ci a ion: Knobloch, Ral (2025) : Risikoquan i izie ung: Cha ak e is ische Funk ion und
nume ische Me hoden als Al e na i e zu Mon e-Ca lo-Simula ion: Fallbeispiele zu kombinie en
Ve eilungen, Fo schung am i wKöln, No. 1/2025, Technische Hochschule Köln, Ins i u ü
Ve siche ungswesen (i wKöln), Köln,
h ps://doi.o g/10.57684/COS-1303
This Ve sion is a ailable a :
h ps://hdl.handle.ne /10419/330328
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Fo schung am i wKöln
Band 1/2025
Risikoquan i izie ung: Cha ak e is ische
Funk ion und nume ische Me hoden als
Al e na i e zu Mon e-Ca lo-Simula ion
-
Fallbeispiele zu kombinie en Ve eilungen
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 1/2025
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Risikoquan i izie ung: Cha ak e is ische Funk ion und
nume ische Me hoden als Al e na i e zu Mon e
-Ca lo-
Simula ion - Fallbeispiele zu kombinie en Ve eilungen
Zusammen assung
Fü Un e nehmen we den die An o de ungen an die Genauigkei bei de Bewe ung on Risiken
au g und in e ne und ex e ne
Fak o en zunehmend höhe . Dies e o de komplexe e Modelle und
Be echnungsme hoden
,
sowohl au de Ebene on Einzel isken als auch au de Ebene on
Risikopo olios.
Häu ig üh en Un e nehmen dahe Mon e-Ca lo-Simula ionen zu E mi lung on
Risiko
-Kennzahlen du ch. In de o liegenden A bei wi d eine nume ische Al e na i e, basie end au
dem s ochas ischen Beg i de cha ak e is ischen Funk ion, o ges ell
und in d ei komplexe en
Fall
beispielen angewende .
Es zeig sich, dass bei den hie gewähl en Fallbeispielen die
Abweichungen zwischen den E gebnissen de beiden Me hoden nich sign
i ikan sind.
Abs ac
Fo companies, he equi emen s o accu acy in isk assessmen a e becoming inc easingly s ingen
due o in e nal and ex e nal ac o s. This necessi a es mo e complex models and calcula ion
me hods, bo h a he le el o
indi idual isks and a he le el o isk po olios. Companies he e o e
o en use Mon e Ca lo simula ions o de e mine isk indica o s. This pape p esen s a nume ical
al e na i e based on he s ochas ic concep o he cha ac e is ic unc ion and applies
i o h ee
complex case s udies. I shows ha , in he case s udies selec ed he e, he di e ences be ween he
esul s o he wo me hods a e no signi ican .
Schlagwö e :
Risikoquan i izie ung, cha ak e is ische Funk ion, nume ische
s Ablei en, nume ische In eg a ion,
kombinie e Ve eilungen, ope a ionelle Risiken
Keywo ds
:
Risk quan i ica ion, cha ac e is ic unc ion, nume ical di e en ia ion, nume ical in eg a ion
, combined
dis ibu ions
, ope a ional isks
1
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG .................................................................................................................................. 2
2. CHARAKTERISTISCHE FUNKTION – DEFINITION UND WICHTIGE ERGEBNISSE ........................ 3
3. DAS MODELL ................................................................................................................................. 6
4. BERECHNUNG VON KENNZAHLEN FÜR DEN GESAMTPERIODENVERLUST .............................. 16
5. FALLBEISPIEL 1 .......................................................................................................................... 18
6. FALLBEISPIEL 2 .......................................................................................................................... 25
7. FALLBEISPIEL 3 .......................................................................................................................... 30
8. FAZIT UND AUSBLICK ................................................................................................................. 34
LITERATURVERZEICHNIS .................................................................................................................. 35
2
1. Einlei ung
In de Be iebswi scha sleh e gewinn das quan i a i e Risikomanagemen zunehmend
an Bedeu ung. Ve s ä k du ch zusä zliche An o de ungen – allgemein, egula o isch und
b anchenbezogen – beschä igen sich Un e nehmen mi de F age, wie sie ih e Risiken
noch genaue bewe en können. Dabei spielen sowohl die e wende en Kennzahlen zu
Risikoquan i izie ung (Risikomaße, z.B. Value a Risk und Expec ed Sho all) als auch die
Modellie ung de Risiken eine Rolle. Je komplexe jedoch die e wende en
wah scheinlichkei s heo e ischen Modelle sind, des o komplizie e we den die
benö ig en s ochas ischen Me hoden zu Be echnung de Kennzahlen.
Zum einen beobach e man dies bei de Risikoagg ega ion, d.h. de Zusammen assung
e schiedene Risikoposi ionen zu einem einzigen We ( gl. [3], [5], [7], [8]). Zum
ande en kann es abe auch ansp uchs oll sein, ein Einzel isiko zu bewe en, z.B. wenn
man zu Modellie ung eine kombinie e Ve eilung e wende . Bei eine kombinie en
Ve eilung we den die Häu igkei , mi de das Risiko (p o Pe iode) ein i , und de
Ve lus , de mi dem Ein i des Risikos e bunden is , sepa a modellie . Anschließend
we den beide Komponen en zu eine Ve eilung (zu einem
wah scheinlichkei s heo e ischen Modell) zusammengese z ( gl. [7] S.44). Diese
Vo gehensweise kenn man be ei s aus de Ve siche ungsma hema ik ( gl. [10]).
I.d.R. s eh Un e nehmen zu Bea bei ung komplexe Risikoquan i izie ungen (z.B.
Risikoagg ega ion und Bewe ung komplexe Einzel isiken) als Technik die Mon e-Ca lo-
Simula ion zu Ve ügung. Daneben gib es abe auch die Möglichkei , den We de
Kennzahlen mi analy ischen bzw. nume ischen Me hoden au Basis de
cha ak e is ischen Funk ion zu e mi eln. In dem o liegenden A ikel we den anhand
on d ei Fallbeispielen die Ve ah en zu Quan i izie ung bei komplexen Einzel isiken
gegenübe ges ell : Mon e-Ca lo-Simula ion und analy ische bzw. nume ische Me hoden.
Im Focus s ehen bei den Fallbeispielen die be ei s oben e wähn en kombinie en
Ve eilungen zu Modellie ung eines Einzel isikos. Angewende wi d diese Modellie ung
z.B. bei ope a ionellen Risiken bzw. Be iebs isken. Also bei Risiken, die nich den
un e nehme ischen Risiken zugeo dne we den. Man e s eh da un e Ge ah en, die
du ch das Ve sagen on P ozessen, Menschen und Sys emen ode du ch ex e ne Ein lüsse
beding sind ( gl. [6]). Im Indus iebe eich sind dies z.B. Aus all isiken on Maschinen, im
Allgemeinen z.B. Rech s isken und bes imm e IT- und Cybe isiken.
Von zen ale Bedeu ung ü die analy ischen und nume ischen Me hoden zu
Be echnung de Kennzahlen is die cha ak e is ische Funk ion eine Ve eilung. Deshalb
we den im zwei en Abschni zunächs wich ige E gebnisse zu diesem s ochas ischen
Beg i zusammenges ell . Anschließend wi d im d i en Abschni das diesem A ikel
zug unde liegende Modell o ges ell und im ie en Abschni die Me hoden im
G undsa z e läu e . Danach olgen die d ei Fallbeispiele, in denen die Me hoden
angewende und anhand de E gebnisse gegenübe ges ell we den.
3
2. Cha ak e is ische Funk ion – De ini ion und wich ige E gebnisse
Aus Sich de S ochas ik is ü die o liegende Ausa bei ung wie be ei s e wähn de
Beg i de cha ak e is ischen Funk ion on zen ale Bedeu ung. Deshalb we den in
diesem Abschni die De ini ion und die ü den Fo gang des A ikels wich igen
Eigenscha en on cha ak e is ischen Funk ionen zusammenges ell .
Gegeben sei eine eell-we ige Zu alls a iable 𝑈𝑈 mi de Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹𝑈𝑈 und de
cha ak e is ischen Funk ion 𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑈𝑈�,𝑡𝑡∈ℝ,
wobei 𝑖𝑖=√−1.
Als e s e wich ige Eigenscha e gib sich de olgende Zusammenhang zwischen den
Ablei ungen de cha ak e is ischen Funk ion und den Momen en:
Is 𝐸𝐸(|𝑈𝑈|𝑛𝑛)<∞ ü 𝑛𝑛∈ℕ, dann is 𝜓𝜓𝑈𝑈 𝑛𝑛-mal di e enzie ba und es gil
𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑘𝑘)(𝑡𝑡)=𝑖𝑖𝑘𝑘∙𝐸𝐸�𝑈𝑈𝑘𝑘∙𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑈𝑈�
bzw. insbesonde e 𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑘𝑘)(0)=𝑖𝑖𝑘𝑘∙𝐸𝐸(𝑈𝑈𝑘𝑘)
ü 𝑘𝑘= 0,1,2, … , 𝑛𝑛. ( gl. [9] S.385)
Als Umkeh o mel wi d im Kon ex on cha ak e is ischen Funk ionen das olgende
E gebnis bezeichne :
Es sei
𝑔𝑔(𝑡𝑡,𝑎𝑎,𝑏𝑏)≔�𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑎𝑎∙𝑡𝑡−𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑏𝑏∙𝑡𝑡
𝑖𝑖∙𝑡𝑡 ,𝑡𝑡≠0
𝑏𝑏−𝑎𝑎 ,𝑡𝑡= 0
,
𝑎𝑎<𝑏𝑏 und 𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑎𝑎)=𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)= 0. Dann gil
𝑃𝑃(𝑎𝑎<𝑈𝑈≤𝑏𝑏)=1
2∙𝜋𝜋∙lim
𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡,𝑎𝑎,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧 .
( gl. [9] S.386)
Au g und des Beweises de Umkeh o mel kann dieses E gebnis ohne die Vo ausse zung
𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑎𝑎)=𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)= 0 wie olg modi izie we den:
1
2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑎𝑎)+𝑃𝑃(𝑎𝑎<𝑈𝑈<𝑏𝑏)+1
2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)=1
2∙𝜋𝜋∙lim
𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡,𝑎𝑎,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧
( gl. [11] S.209 )
Is 𝑈𝑈 eine nich nega i e eell-we igen Zu alls a iable mi 𝑃𝑃(𝑈𝑈=𝑏𝑏)= 0 ü 𝑏𝑏> 0 und
𝑃𝑃(𝑈𝑈= 0)> 0, so e gib sich da aus:
4
𝐹𝐹𝑈𝑈(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0≤𝑈𝑈≤𝑏𝑏)=1
2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈= 0)+1
2∙𝜋𝜋∙lim
𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧
Mi diese Fo mel lassen sich dann im Spezial all eine nich nega i en Zu alls a iablen
mi hil e de cha ak e is ischen Funk ion die Quan ile de Ve eilung be echnen.
De In eg and läss sich dabei im Fall 𝑡𝑡≠0 wie olg um o men:
𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)=1−𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑏𝑏∙𝑡𝑡
𝑖𝑖∙𝑡𝑡 ∙𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑈𝑈�
=1−cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)−𝑖𝑖∙sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)
𝑖𝑖∙𝑡𝑡 ∙𝐸𝐸(cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)+𝑖𝑖∙sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈))
=𝐸𝐸�−𝑖𝑖∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡+sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡+𝑖𝑖∙cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡−cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡
−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡−𝑖𝑖∙sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡)∙sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡�
=𝐸𝐸�−𝑖𝑖∙cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡+sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡+𝑖𝑖∙cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡�
Die le z e Um o mung e gib sich aus den Addi ions heo emen ü igonome ische
Funk ionen. Als Real eil des In eg anden e häl man dann
𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�=𝐸𝐸�sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡�
als Imaginä eil
𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�=𝐸𝐸�−cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡+cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡�.
Wegen 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(−𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(−𝑡𝑡)�= 𝐸𝐸�sin(−𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
−𝑡𝑡 −sin(𝑏𝑏∙𝑡𝑡−𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
−𝑡𝑡 �=
=𝐸𝐸�sin(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡−sin(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡�=𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�
is de Real eil des In eg anden achsensymme isch zu e ikalen Achse des
Koo dina ensys ems du ch den U sp ung und wegen
𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(−𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(−𝑡𝑡)�=𝐸𝐸�−cos(−𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
−𝑡𝑡 +cos(𝑏𝑏∙𝑡𝑡−𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
−𝑡𝑡 �
=− 𝐸𝐸�−cos(𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡+cos(−𝑏𝑏∙𝑡𝑡+𝑡𝑡∙𝑈𝑈)
𝑡𝑡�=−𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�
is de Imaginä eil punk symme isch zum U sp ung des Koo dina ensys ems.
Fe ne gil
5
lim
𝑧𝑧→∞�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧
=lim
𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧
=lim
𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧 +𝑖𝑖∙lim
𝑧𝑧→∞�𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧
Wegen de Punk symme ie des Imaginä eils gil
∫𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧 = 0,
und wegen de Achsensymme ie des Real eils
�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
−𝑧𝑧 = 2 ∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
0,
jeweils ü alle 𝑧𝑧> 0.
Dami e gib sich ü die obige Fo mel die Da s ellung
𝐹𝐹𝑈𝑈(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0≤𝑈𝑈≤𝑏𝑏)=1
2∙𝑃𝑃(𝑈𝑈= 0)+1
𝜋𝜋∙lim
𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑡𝑡,0,𝑏𝑏)∙𝜓𝜓𝑈𝑈(𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑧𝑧
0.
Zu e wähnen is dabei noch, dass de In eg and wegen de S e igkei de
cha ak e is ischen Funk ion ( gl. [9] S.385) und wegen
lim
𝑡𝑡→0𝑔𝑔(𝑡𝑡, 0, 𝑏𝑏)=𝑏𝑏=𝑔𝑔(0,0, 𝑏𝑏)
eben alls s e ig is in 𝑡𝑡= 0. Somi beziehen sich alle In eg ale au eine s e ige Funk ion.
Ein wei e es g undlegendes E gebnis lie e de Eindeu igkei ssa z: Sei 𝑉𝑉 eine zwei e
eell-we ige Zu alls a iable mi de Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹𝑉𝑉 und de cha ak e is ischen
Funk ion 𝜓𝜓𝑉𝑉(𝑡𝑡)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑡𝑡∙𝑉𝑉�,𝑡𝑡∈ℝ,
so is 𝜓𝜓𝑈𝑈=𝜓𝜓𝑉𝑉 äqui alen zu 𝐹𝐹𝑈𝑈=𝐹𝐹𝑉𝑉.
D.h. die Ve eilung eine Zu alls a iablen is du ch die cha ak e is ische Funk ion
eindeu ig es geleg . ( gl. [9] S.388)
6
3. Das Modell
Die Häu igkei des Ein i s des Risikos p o Pe iode is gegeben du ch die ℕ0-we ige
Zu alls a iable 𝑁𝑁. Des Wei e en sind die Ve lus e, die mi dem Ein i des Risikos
e bunden sind, gegeben du ch die nich nega i en Zu alls a iablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,𝑋𝑋3, … . Hie bei
handel es sich gegeben 𝑁𝑁 um s ochas isch unabhängige und iden isch e eil e
Zu alls a iablen, die eben alls s ochas isch unabhängig sind on de Häu igkei des
Ein i s, d.h. on de Zu alls a iablen 𝑁𝑁. Im Folgenden wi d ü einen ep äsen a i en
Ve lus die Zu alls a iable 𝑋𝑋 e wende , d.h. 𝑋𝑋 is nich nega i und genüg de gleichen
Ve eilung wie 𝑋𝑋𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2,3, … .
Es seien 𝑝𝑝𝑘𝑘≔𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘),𝑘𝑘= 0,1,2,3, …,
die Einzelwah scheinlichkei en,
𝐹𝐹𝑁𝑁(𝑥𝑥)≔𝑃𝑃(𝑁𝑁≤𝑥𝑥),𝑥𝑥∈ℝ,
die Ve eilungs unk ion, 𝜇𝜇𝑁𝑁≔𝐸𝐸(𝑁𝑁)
de E wa ungswe , 𝜎𝜎𝑁𝑁≔�𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑁𝑁)<∞
die S anda dabweichung und ℎ(𝑠𝑠)≔𝐸𝐸(𝑠𝑠𝑁𝑁),𝑠𝑠∈[0,1]
die wah scheinlichkei se zeugende Funk ion de Zu alls a iablen 𝑁𝑁. Dabei gil de
Zusammenhang ℎ′(1)=𝐸𝐸(𝑁𝑁) und ℎ′′(1)=𝐸𝐸(𝑁𝑁∙(𝑁𝑁−1)).
Fü die Ve eilung de Ve lus e seien 𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥),𝑥𝑥∈ℝ, die Ve eilungs unk ion, 𝜇𝜇𝑋𝑋 de
E wa ungswe , 𝜎𝜎𝑋𝑋<∞ die S anda dabweichung und
𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑋𝑋�,𝑢𝑢∈ℝ,
die cha ak e is ische Funk ion. Handel es sich hie bei um eine s e ige Ve eilung, so sei
𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥),𝑥𝑥∈ℝ, die Dich e unk ion.
De Gesam pe ioden e lus is dann gegeben du ch
𝑍𝑍≔𝑋𝑋1+𝑋𝑋2+⋯+𝑋𝑋𝑁𝑁.
𝜇𝜇 sei de E wa ungswe , 𝜎𝜎 die S anda dabweichung und
𝛷𝛷(𝑢𝑢)≔𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑍𝑍�,𝑢𝑢∈ℝ,
die cha ak e is ische Funk ion de Zu alls a iablen 𝑍𝑍. Mi de cha ak e is ischen
Funk ion is die Ve eilung on 𝑍𝑍 eindeu ig es geleg ( gl. Abschni 2).
Es gil nun 𝐸𝐸(|𝑍𝑍|2)<∞. Dies kann mi hil e de Jensenschen Ungleichung ( gl. [9] S.280)
wie olg gezeig we den:
13
wobei die Gamma-Funk ion de inie is du ch
𝛤𝛤(𝛾𝛾)=∫𝑒𝑒−𝑧𝑧∙𝑧𝑧𝛾𝛾−1 𝑑𝑑𝑧𝑧
∞
0 ,
so gil 𝜇𝜇𝑋𝑋=𝛾𝛾𝛼𝛼, 𝜎𝜎𝑋𝑋=√𝛾𝛾
𝛼𝛼 und 𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)=�𝛼𝛼
𝛼𝛼−𝑖𝑖∙𝑢𝑢�𝛾𝛾,𝑢𝑢∈ℝ.
Insbesonde e is eine Exponen ial-Ve eilung mi dem Pa ame e 𝜆𝜆> 0 eine Gamma-
Ve eilung mi den Pa ame e n 𝛼𝛼=𝜆𝜆 und 𝛾𝛾= 1.
( gl. [9] S.186, 257, 278, 287, 383)
g) Wi be ach en zunächs eine Be a-Ve eilung au dem In e all [0,1]. Sei also 𝑌𝑌 eine
Zu alls a iable mi de Dich e unk ion
𝑔𝑔(𝑦𝑦)=⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0 , 𝑦𝑦≤0
1
𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)∙𝑦𝑦𝛼𝛼−1∙(1−𝑦𝑦)𝛽𝛽−1 , 0 < 𝑦𝑦< 1
0 , 𝑦𝑦≥1
,
wobei 𝛼𝛼,𝛽𝛽 >0 sei und die Be a-Funk ion de inie is du ch
𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)=𝛤𝛤(𝛼𝛼)∙Γ(𝛽𝛽)
𝛤𝛤(𝛼𝛼+𝛽𝛽) ,
so gil 𝜇𝜇𝑌𝑌=𝛼𝛼
𝛼𝛼+𝛽𝛽 und 𝜎𝜎𝑦𝑦=�𝛼𝛼∙𝛽𝛽
�𝛼𝛼+𝛽𝛽+1∙(𝛼𝛼+𝛽𝛽).
( gl. Wol sdo S.340, Schmid S.186, 256, 278, 287,
Se z man nun den Ve lus mi 𝑋𝑋≔𝑀𝑀∙𝑌𝑌 an, so genüg de Ve lus eine Be a-
Ve eilung au dem In e all [0, 𝑀𝑀] mi den Pa ame e n 𝛼𝛼,𝛽𝛽,𝑀𝑀> 0, d.h. die
Zu alls a iable ha die Dich e unk ion
𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥)=⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0 , 𝑥𝑥≤0
1
𝑀𝑀𝛼𝛼+𝛽𝛽−1∙𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−1∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−1 , 0 < 𝑥𝑥<𝑀𝑀
0 , 𝑥𝑥≥𝑀𝑀 ,
( gl. [2] S.44)
Fe ne gil 𝜇𝜇𝑋𝑋=𝑀𝑀∙𝜇𝜇𝑌𝑌=𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼
𝛼𝛼+𝛽𝛽
und
𝜎𝜎𝑋𝑋=𝑀𝑀∙𝜎𝜎𝑌𝑌=𝑀𝑀∙ �𝛼𝛼∙𝛽𝛽
�𝛼𝛼+𝛽𝛽+ 1 ∙(𝛼𝛼+𝛽𝛽).
14
Angeme k we den kann noch, dass de Fall 𝛼𝛼=𝛽𝛽= 1 de Gleich e eilung au dem
In e all [0, 𝑀𝑀] en sp ich . Dies is anhand de Dich e de Be a-Ve eilung wegen
𝐵𝐵(1,1)=𝛤𝛤(1)∙𝛤𝛤(1)
𝛤𝛤(2)=𝛤𝛤(1)∙𝛤𝛤(1)
1∙𝛤𝛤(1)=𝛤𝛤(1)= 1 leich nach ollziehba .
Den Modus (d.h. die Maximals elle de Dich e) im Fall 𝛼𝛼,𝛽𝛽> 1 e häl man mi hil e de
Di e en ial echnung wie olg . Zunächs lau e die e s e Ablei ung de Dich e unk ion
ü 0 < 𝑥𝑥<𝑀𝑀:
1
𝑀𝑀𝛼𝛼+𝛽𝛽−1∙𝐵𝐵(𝛼𝛼,𝛽𝛽)∙�(𝛼𝛼−1)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−2∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−1+ (𝛽𝛽−1) ∙𝑥𝑥𝛼𝛼−1∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−2�
Se z man die e s e Ablei ung gleich null, so e gib sich
(𝛼𝛼−1)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−2∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−1−(𝛽𝛽−1)∙𝑥𝑥𝛼𝛼−1∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−2= 0
⟺𝑥𝑥𝛼𝛼−2∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)𝛽𝛽−2∙�(𝛼𝛼−1)∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)−(𝛽𝛽−1)∙𝑥𝑥�= 0
Diese Gleichung is ü 𝑥𝑥∉{0, 𝑀𝑀} genau dann e üll , wenn
(𝛼𝛼−1)∙(𝑀𝑀−𝑥𝑥)−(𝛽𝛽−1)∙𝑥𝑥= 0
Dies is äqui alen zu
(𝛼𝛼−1)∙𝑀𝑀= (𝛼𝛼+𝛽𝛽−2) ∙𝑥𝑥
bzw. 𝑥𝑥=(𝛼𝛼−1)∙𝑀𝑀
𝛼𝛼+𝛽𝛽−2.
Wegen 𝛼𝛼,𝛽𝛽> 1 e häl man ü die beiden G enzwe e lim
𝑥𝑥↓0𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥)= 0 und lim
𝑥𝑥↑𝑀𝑀𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥)=
0. Somi handel es sich bei de Lösung um das Maximum bzw. den Modus.
h) Eine in de P axis e wende e Ve eilung is die Pe -Ve eilung. Dabei handel es sich
um eine spezielle Be a-Ve eilung. Sie wi d auch als Al e na i e zu D eiecks-
Ve eilung mi di e enzie ba e Dich e unk ion angesehen. Die Pa ame e seien
analog zu D eiecks-Ve eilung 𝑎𝑎 (bes case), 𝑏𝑏 (no mal case) und 𝑐𝑐 (wo s case) mi
𝑎𝑎<𝑏𝑏<𝑐𝑐. Nimm nun man wiede an, dass die Ve lus e im In e all [0, 𝑀𝑀] liegen, so
sind 𝑎𝑎= 0 und 𝑐𝑐=𝑀𝑀.
Die beiden Pa ame e de Be a-Ve eilung wähl man mi
𝛼𝛼=−5∙𝑎𝑎+ 4 ∙𝑏𝑏+𝑐𝑐
𝑐𝑐=4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
𝑀𝑀> 1
und 𝛽𝛽=−𝑎𝑎−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑐𝑐
𝑐𝑐=−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑀𝑀
𝑀𝑀> 1.
Dami e häl man ü den E wa ungswe
15
𝜇𝜇𝑋𝑋=𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼
𝛼𝛼+𝛽𝛽=𝑀𝑀∙ 4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
𝑀𝑀
4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
𝑀𝑀+−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑀𝑀
𝑀𝑀=𝑀𝑀∙4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
6∙𝑀𝑀 =4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
6
Die S anda dabweichung kann eben alls mi de bei de Be a-Ve eilung gül igen
Fo mel be echne we den. Da 𝛼𝛼,𝛽𝛽> 1 be echne sich de Modus du ch
(𝛼𝛼−1)∙𝑀𝑀
𝛼𝛼+𝛽𝛽−2=�4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
𝑀𝑀−1�∙𝑀𝑀
4∙𝑏𝑏+𝑀𝑀
𝑀𝑀+−4∙𝑏𝑏+ 5 ∙𝑀𝑀
𝑀𝑀−2
=4∙𝑏𝑏
4=𝑏𝑏.
Somi handel es sich bei de hie gewähl en Pe -Ve eilung um eine spezielle Be a-
Ve eilung au dem In e all [0, 𝑀𝑀]. De bes case und wo s case sind du ch die
In e allg enzen gegeben und de no mal case analog zu obigen D eiecks-Ve eilung
du ch den Modus.
16
4. Be echnung on Kennzahlen ü den Gesam pe ioden e lus
Zu Be echnung on Kennzahlen ü den Gesam pe ioden e lus gib es meh e e
me hodische Ansä ze. Zunächs lassen sich im o liegenden Modell Kennzahlen di ek
analy isch aus den Ve eilungsannahmen ü die Häu igkei des Ein i s des Risikos p o
Pe iode und den Ve lus , de mi dem Ein i eines Risikos e bunden is , be echnen. Fü
den E wa ungswe , die Va ianz und die S anda dabweichung lassen sich en sp echende
Fo meln he lei en ( gl. Sa z aus Abschni 3). Will man hingegen Quan ile de Ve eilung
des Gesam pe ioden e lus es aus den im Modell ü die beiden Komponen en Häu igkei
und Ve lus höhe o gegebenen Ve eilungsannahmen e mi eln, so s öß man mi diese
Vo gehensweise wegen de Komplexi ä des hie e wende en Modells bis au
Ausnahmen an echen echnische G enzen.
Au g und mögliche analy ische P obleme bei de Be echnung on Kennzahlen eine
Zu alls a iablen ha sich als übliche Me hodik bei de Risikoquan i izie ung die Mon e-
Ca lo-Simula ion e ablie . Dabei wi d das Schicksal des Risikos mi hil e eine
So wa elösung hin eichend o ausgewü el . Die en s ehenden ik i en E gebnisse ü
den Ve lus we den dann mi den Me hoden de desk ip i en und de induk i en S a is ik
ausgewe e . De E wa ungswe wi d hie bei mi dem a i hme ischen Mi el und die
( heo e ische) S anda dabweichung mi de empi ischen S anda dabweichung
gleichgese z bzw. geschä z . Auch Quan ile, z.B. de Value a Risk, sowie de Expec ed
Sho all des Ve lus es können aus den simulie en E gebnissen nähe ungsweise
e mi el we den. G undlegend ü diese Me hodik sind die G enzwe sä ze de
S ochas ik, z.B. das Gese z de g oßen Zahlen.
Eine ande e ehe analy ische Me hode e gib sich aus dem Eindeu igkei ssa z und de
Umkeh o mel ü cha ak e is ische Funk ionen. De Eindeu igkei ssa z besag , dass
du ch die cha ak e is ische Funk ion die Ve eilung eine Zu alls a iablen eindeu ig
es geleg is , die Umkeh o mel, dass man du ch In eg a ion des P oduk aus
cha ak e is ische Funk ion und eine speziellen komplex-we igen Funk ion u.a.
Quan ile de zugehö igen Ve eilung be echnen kann ( gl. Abschni 2). Da übe hinaus
lassen sich mi hil e de Ablei ungen de cha ak e is ischen Funk ion die Momen e eine
Zu alls a iablen bes immen. Diese Ansa z wu de be ei s in Abschni 2 e läu e und im
Beweis zum Sa z aus Abschni 3 e wende .
Wegen de Komplexi ä des Funk ions e ms de cha ak e is ischen Funk ion des
Gesam pe ioden e lus es in den hie e wende en Modellie ungen is eine In eg a ion
mi hil e eine S amm unk ion i.d.R. nich möglich. Dahe wi d im Folgenden die hie
besch iebene Vo gehensweise mi nume ischen Me hoden umgese z . D.h. in den
Fallbeispielen e olg u.a. die In eg a ion des P oduk s aus cha ak e is ische Funk ion
des Gesam pe ioden e lus es und de speziellen komplex-we igen Funk ion mi hil e
nume ische Me hoden.
Dami s ehen ü die o liegende Ausa bei ung d ei me hodische Ansä ze ü die
E mi lung de Kennzahlen des Gesam pe ioden e lus es zu Ve ügung:
17
• Analy ische Me hoden, d.h. di ek e Be echnung aus den Ve eilungsannahmen
• Mon e-Ca lo-Simula ion
• Nume ische Me hoden, insbesonde e nume isches In eg ie en
Diese d ei Me hoden we den in den olgenden d ei Fallbeispielen bei un e schiedlichen
Modellannahmen bezüglich de Häu igkei des Ein i s eines Risikos und de Höhe des
Ve lus es bei Ein i des Risikos gegenübe ges ell .
18
5. Fallbeispiel 1
Wi be ach en zunächs olgendes Fallbeispiel. Die Ve eilung de Häu igkei ü den
Ein i des Risikos p o Pe iode, d.h. ü die Zu alls a iable 𝑁𝑁, sei gegeben du ch die
olgenden Einzelwah scheinlichkei en:
𝑃𝑃(𝑁𝑁= 0)=5
15=13,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 1)=4
15,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 2)=3
15=15,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 3)=2
15,𝑃𝑃(𝑁𝑁= 4)=1
15
Dami e gib sich jeweils ge unde au ie S ellen hin e dem Komma 𝜇𝜇𝑁𝑁≈1,3333 und
𝜎𝜎𝑁𝑁≈1,2473.
Fü den Ve lus , de mi dem Ein i des Risikos e bunden is , wi d eine Gamma-
Ve eilung mi den Pa ame e n 𝛾𝛾= 2 und 𝛼𝛼= 0,1 angese z . Hie de G aph de
zugehö igen Dich e unk ion:
Man e kenn , dass in de gewähl en Modellie ung die Dich e bis zum Modus 𝑥𝑥=10 s eil
ans eig und danach bis ins Unendliche lach ausläu . D.h. kleine e We e ü den mi dem
Ein i eines Risikos e bundenen Ve lus haben eine höhe e Wah scheinlichkei als
g öße e We e. Fü den E wa ungswe de gewähl en Gamma-Ve eilung gil gemäß
Beispiel 2 ) 𝜇𝜇𝑋𝑋=2
0,1=20 und ü die S anda dabweichung 𝜎𝜎𝑋𝑋=√2
0,1≈14,1421.
Analy ische Me hoden
Mi hil e des Sa zes aus Abschni 3 lassen sich nun de E wa ungswe 𝜇𝜇 und die
S anda dabweichung 𝜎𝜎 des Gesam pe ioden e lus es 𝑍𝑍 wie olg be echnen:
𝜇𝜇=𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜇𝜇𝑋𝑋≈1,3333 ∙20 =26,6660
𝜎𝜎=�𝜎𝜎𝑁𝑁2∙𝜇𝜇𝑋𝑋2+𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜎𝜎𝑋𝑋2≈�1,2473²∙20² + 1,3333 ∙14,1421²≈29,8155
19
Mon e-Ca lo-Simula ion
Zu Anwendung eine Mon e-Ca lo-Simula ion ü den Gesam pe ioden e lus benö ig
man bei dem hie e wende en Modell zum einen Zu allszahlen ü die Fes legung de
Häu igkei des Ein i s des Risikos und zum ande en Zu allszahlen ü den mi dem
Ein i des Risikos e bundenen Ve lus . Die Zu allszahlen we den dabei jeweils im
In e all [0,1] gene ie .
Zu Fes legung de Häu igkei aus eine gegebenen Zu allszahl wi d, wie bei de
Simula ion on disk e en Zu alls a iablen üblich, das In e all [0,1] en sp echend de
gegebenen Einzelwah scheinlichkei en in ün Teilin e alle au ge eil und da aus de
We abgelei e . De Ve lus bei Ein i des Risikos hingegen wi d du ch Einse zen de
zugehö igen Zu allszahl in die In e se de Ve eilungs unk ion de gewähl en Gamma-
Ve eilung gene ie . Addie man dann je nach Häu igkei des Risikos die jeweiligen
Ve lus e au , so e häl den ik i en Gesam pe ioden e lus p o Simula ionslau .
Eine en sp echende Mon e-Ca lo-Simula ion wi d ü 10.000 Simula ionsläu e mi Excel
du chge üh . Es e geben sich die olgenden E gebnisse:
Kennzahl
E gebnis de Mon e-
Ca lo-Simula ion
Rela i e
Abweichung zum
heo e ischen
We
E wa ungswe /Mi elwe
26,3375
−1,2319%
S anda dabweichung
29,5443
−0,9096%
80%-Quan il
50,0982
90%-Quan il
69,1202
95%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 5%
85,3542
99%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 1%
118,0841
Expec ed Sho all zum Ni eau 5%
105,3408
Expec ed Sho all zum Ni eau 1%
134,9285
Nume ische Me hoden
Bei de E mi lung de beiden Kennzahlen E wa ungswe und S anda dabweichung ü
den Gesam pe ioden e lus 𝑍𝑍 geh man on de komplex-we igen cha ak e is ischen
Funk ion
20
𝛷𝛷(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑍𝑍�
zu eell-we igen momen e zeugenden Funk ion
𝐼𝐼(𝑢𝑢)≔𝛷𝛷(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)=𝐸𝐸(𝑒𝑒𝑢𝑢∙𝑍𝑍)
übe . Fü die e s e Ablei ung de momen e zeugenden Funk ion gil dann
𝐼𝐼′(𝑢𝑢)=−𝑖𝑖∙𝛷𝛷′(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)
bzw. 𝐼𝐼′(0)=−𝑖𝑖∙𝛷𝛷′(0)=−𝑖𝑖2∙𝐸𝐸(𝑍𝑍)=𝐸𝐸(𝑍𝑍)
und ü die zwei e Ablei ung 𝐼𝐼′′(𝑢𝑢)=𝑖𝑖2∙𝛷𝛷′′(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)
bzw. 𝐼𝐼′′(0)=𝑖𝑖2∙𝛷𝛷′′(0)=𝑖𝑖4∙𝐸𝐸(𝑍𝑍2)=𝐸𝐸(𝑍𝑍2).
Die momen e zeugende Funk ion ü den Gesam pe ioden e lus 𝑍𝑍 be echne sich wie
olg :
𝐼𝐼(𝑢𝑢)=𝛷𝛷(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)�=ℎ�� 0,1
0,1 −𝑢𝑢�2�=�𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)∙�� 0,1
0,1 −𝑢𝑢�2�𝑘𝑘
4
𝑘𝑘=0
=1
3+4
15 ∙� 0,1
0,1 −𝑢𝑢�2
+1
5∙� 0,1
0,1 −𝑢𝑢�4
+2
15 ∙� 0,1
0,1 −𝑢𝑢�6
+1
15 ∙� 0,1
0,1 −𝑢𝑢�8
Lei e man diese Funk ion nume isch an de S elle 𝑢𝑢= 0 ab, so e häl ü Δ𝑢𝑢 hin eichend
klein die Nähe ungen 𝜇𝜇=𝐸𝐸(𝑍𝑍)=𝐼𝐼′(0) ≈𝐼𝐼(Δ𝑢𝑢)−𝐼𝐼(−Δ𝑢𝑢)
2∙Δ𝑢𝑢
und
𝜎𝜎2+𝜇𝜇2=𝐸𝐸(𝑍𝑍2)=𝐼𝐼′′(0)≈𝐼𝐼(Δ𝑢𝑢)+𝐼𝐼(−Δ𝑢𝑢)−2∙𝐼𝐼(0)
(Δ𝑢𝑢)2=𝐼𝐼(Δ𝑢𝑢)+𝐼𝐼(−Δ𝑢𝑢)−2
(Δ𝑢𝑢)2 .
( gl. [1] S.125 , [4])
Wähl man Δ𝑢𝑢=10−4, so e gib sich 𝜇𝜇≈26,6669 und 𝜎𝜎≈29,8142. Die ela i en
Abweichungen zu den exak en We en be agen 0,0034% bzw. −0,0044% und sind im
Wesen lichen au Rundungse ek e zu ückzu üh en.
Die E mi lung de Quan ile e olg mi hil e de Umkeh o mel bzw. mi nume ische
In eg a ion. Im e s en Sch i muss dazu die cha ak e is ische Funk ion des Ve lus es, de
mi dem Ein i des Risikos e bunden is , in ih en Real- und Imaginä eil ze leg we den.
Die da ü e wende e Gamma-Ve eilung mi den Pa ame e n 𝛾𝛾= 2 und 𝛼𝛼= 0,1 ha die
cha ak e is ische Funk ion
21
𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)=�0,1
0,1 −𝑖𝑖∙𝑢𝑢�2,𝑢𝑢∈ℝ,
diese läss sich wie olg um o men:
�0,1
0,1 −𝑖𝑖∙𝑢𝑢�2=�0,1
0,1 −𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙0,1 + 𝑖𝑖∙𝑢𝑢
0,1 + 𝑖𝑖∙𝑢𝑢�2=�0,01 +𝑖𝑖∙0,1 ∙𝑢𝑢
0,01 +𝑢𝑢2�2
=�0,01
0,01 +𝑢𝑢2+𝑖𝑖∙ 0,1 ∙𝑢𝑢
0,01 +𝑢𝑢2�2
=�0,01
0,01 +𝑢𝑢2�2+ 2 ∙𝑖𝑖∙ 0,01
0,01 +𝑢𝑢2∙0,1 ∙𝑢𝑢
0,01 +𝑢𝑢2−� 0,1 ∙𝑢𝑢
0,01 +𝑢𝑢2�2
=0,0001 −0,01 ∙𝑢𝑢2
(0,01 +𝑢𝑢2)2+𝑖𝑖∙ 0,002 ∙𝑢𝑢
(0,01 +𝑢𝑢2)2
D.h. man e häl 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=0,0001 −0,01 ∙𝑢𝑢2
(0,01 +𝑢𝑢2)2 und 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=0,002 ∙𝑢𝑢
(0,01 +𝑢𝑢2)2
Fü die cha ak e is ische Funk ion des Gesam pe ioden e lus es gil dann
𝛷𝛷(𝑢𝑢)=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=��𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)��𝑘𝑘∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)
4
𝑘𝑘=0
=���𝑘𝑘𝑗𝑗�
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
4
𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)
=� � �𝑘𝑘𝑗𝑗�
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=0
4
𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)
+𝑖𝑖∙� � �𝑘𝑘𝑗𝑗�
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=1
4
𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)
−� � �𝑘𝑘𝑗𝑗�
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=2
4
𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)
−𝑖𝑖∙� � �𝑘𝑘𝑗𝑗�
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4=3
4
𝑘𝑘=0 ∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗∙𝑃𝑃(𝑁𝑁=𝑘𝑘)
De Real eil on 𝛷𝛷(𝑢𝑢) e gib sich dann aus dem e s en und dem d i en Te m, de
Imaginä eil aus dem zwei en und ie en Te m.
Zu Be echnung eines Quan ils mi hil e de Umkeh o mel benö ig man den Real eil des
P oduk s 𝑔𝑔(𝑢𝑢, 0, 𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢) ü 𝑏𝑏> 0. Diese e gib sich aus
22
𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢)=�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑢𝑢, 0, 𝑏𝑏)��∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(𝑢𝑢)��
=𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�−𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑢𝑢, 0, 𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�
+𝑖𝑖∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(𝑢𝑢)�+𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(𝑢𝑢)��,
wobei ü 𝑢𝑢≠0 gil
𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)=1−𝑒𝑒−𝑖𝑖∙𝑏𝑏∙𝑢𝑢
𝑖𝑖∙𝑢𝑢 =1−cos(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−𝑖𝑖∙sin(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢)
𝑖𝑖∙𝑢𝑢
=−sin(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢)
𝑢𝑢+𝑖𝑖∙cos(−𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−1
𝑢𝑢=sin(𝑏𝑏∙𝑢𝑢)
𝑢𝑢+𝑖𝑖∙cos(𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−1
𝑢𝑢.
Fe ne gil 𝑔𝑔(0,0, 𝑏𝑏)=𝑏𝑏.
Mi de Umkeh o mel und mi hil e de Rech eck egel bzw. de Mi elsumme de
nume ischen In eg a ion ( gl. [1] S.145 ) e gib sich die olgende Nähe ung ü die
Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹 des Gesam pe ioden e lus es 𝑍𝑍 an de S elle 𝑏𝑏> 0:
𝐹𝐹(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0 ≤𝑍𝑍≤𝑏𝑏) = 1
2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0) + 1
𝜋𝜋∙lim
𝑧𝑧→∞�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢)� 𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑧𝑧
0
≈1
2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0) + 1
𝜋𝜋∙� 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(𝑢𝑢)� 𝑑𝑑𝑢𝑢
200
0
≈1
2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0)+1
𝜋𝜋∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(0,01 +𝑘𝑘∙0,02,0, 𝑏𝑏)∙𝛷𝛷(0,01 +𝑘𝑘∙0,02)�∙0,02
9.999
𝑘𝑘=0
=1
2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0)+1
𝜋𝜋∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(0,01 +𝑘𝑘∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(0,01 +𝑘𝑘∙0,02)�∙0,02
9.999
𝑘𝑘=0
−1
𝜋𝜋∙�𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(0,01 +𝑘𝑘∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(0,01 +𝑘𝑘∙0,02)�
9.999
𝑘𝑘=0 ∙0,02
Die Umse zung diese Fo mel in Excel lie e ü die Quan ile bzw. den Value a Risk die
olgenden E gebnisse:
Kennzahl
E gebnis
80%-Quan il
50,5519
90%-Quan il
69,5681
95%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 5%
85,9592
99%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 1%
118,3818
29
Se z man diese Fo mel in Excel um, so e geben sich ü die Quan ile bzw. den Value a
Risk olgende E gebnisse:
Kennzahl
E gebnis
90%-Quan il
31,4980
95%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 5%
45,4987
99%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 1%
65,5043
Die Abweichungen zu den di ek be echne en We en sind bei allen d ei We en
un e halb on 1%.
Analog zu Fallbeispiel 1 lassen sich auch hie de Expec ed Sho all zum Ni eau 5% und
zum Ni eau 1% mi hil e nume ische In eg a ion be echnen. Fü den Expec ed Sho all
zum Ni eau 5% e häl man den We 57,7445 und ü den Expec ed Sho all zum Ni eau
1% den We 72,9976
Als Fazi kann auch in diesem Fallbeispiel es gehal en we den, dass die es bei
Anwendung de Mon e-Ca lo-Simula ion eine sei s und bei de Anwendung de
nume ischen Me hoden ande e sei s nu ge ing ügige Abweichungen gib .
Kennzahl
Mon e-Ca lo-
Simula ion
Nume ische
Me hoden
Abweichung zu
Mon e-Ca lo-
Simula ion (in%)
E wa ungswe
6,6598
6,6661
0,0946%.
S anda d-
abweichung
15,5153
15,5323
0,1096%.
Value a Risk
zum Ni eau 5%
45,7070
45,4987
−0,4557%.
Value a Risk
zum Ni eau 1%
66,0723
65,5043
−0,8597%.
Expec ed Sho all
zum Ni eau 5%
57,4979
57,7445
0,4289%.
Expec ed Sho all
zum Ni eau 1%
73,3108
72,9976
−0,4272%.
30
7. Fallbeispiel 3
Im d i en und le z en Fallbeispiel be ach en wi den Fall, dass sich ähnlich wie im e s en
Fallbeispiel de Gesam pe ioden e lus Z nich au einem möglichen E eignis be uh ,
sonde n sich aus den Ve lus en meh e e gleicha ige E eignisse zusammense z .
Die Häu igkei 𝑁𝑁 des Ein i s des Risikos wi d dabei du ch eine Poisson-Ve eilung mi
dem Pa ame e 𝜆𝜆= 4 modellie . De Ve lus , de mi dem Ein i des Risikos e bunden
is , genüge wiede um eine Pe -Ve eilung, alle dings je z mi dem wo s case 𝑐𝑐= 5,
dem no mal case 𝑏𝑏= 1,25 und dem bes case 𝑎𝑎= 0. Dami handel es sich eben alls um
eine Be a-Ve eilung mi den gleichen Pa ame e n wie in Fallbeispiel 2:
𝛼𝛼=4∙1,25 + 5
5= 2, 𝛽𝛽=−4∙1,25 + 5 ∙5
5= 4
Diesmal abe au dem In e all [0, 𝑀𝑀]=[0,5].
Die Kons ella ion is so gewähl , dass de E wa ungswe des Gesam pe ioden e lus es
𝑍𝑍 im Ve gleich zu Fallbeispiel 2 un e ände bleib , d.h. de du chschni liche Ve lus p o
Pe iode gleich is :
𝜇𝜇=𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜇𝜇𝑋𝑋=𝜆𝜆∙𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼
𝛼𝛼+𝛽𝛽= 4 ∙5∙2
2 + 4 =20
3≈6,6667
Alle dings e ände sich de We de S anda dabweichung:
𝜎𝜎=�𝜎𝜎𝑁𝑁2∙𝜇𝜇𝑋𝑋2+𝜇𝜇𝑁𝑁∙𝜎𝜎𝑋𝑋2=�𝜆𝜆∙�𝑀𝑀∙ 𝛼𝛼
𝛼𝛼+𝛽𝛽�2+𝜆𝜆∙�𝑀𝑀∙ √𝛼𝛼∙𝛽𝛽
√𝛼𝛼+𝛽𝛽+ 1 ∙(𝛼𝛼+𝛽𝛽)�2
=�4∙�5∙2
2 + 4�2+ 4 ∙�5∙√2∙4
√2+4+1∙(2 + 4)�2≈3,7796
Im Folgenden we den wiede die E gebnisse de Mon e-Ca lo-Simula ion und die
E gebnisse de nume ischen Me hoden gegenübe ges ell , insbesonde e bezogen au die
Quan ile bzw. den Value a Risk und bezogen au den Expec ed Sho all. Im Un e schied
zu Fallbeispiel 2 können au g und de höhe en Komplexi ä des Modells die Quan ile nich
di ek bes imm we den.
Bei de Poisson-Ve eilung handel es sich um eine disk e e Ve eilung au de Menge ℕ0.
Sowohl bei de Mon e-Ca lo-Simula ion als auch bei den nume ischen Me hoden inde
eine Nähe ung dahingehend s a , dass die Ausgänge mi meh als 16 E eignissen p o
Pe iode keine Be ücksich igung inden. Dami we den E eignisse, de en
Wah scheinlichkei in Summe ca. 0,00000113 = 1,13 ∙10−6 be äg , auße Ach gelassen.
Ve wende man s a Excel eine höhe e P og ammie sp ache, so kann hie siche lich eine
noch höhe e Genauigkei umgese z we den.
31
Mon e-Ca lo-Simula ion
Analog zu den o he igen Fallbeispielen wi d eine Mon e-Ca lo-Simula ion ü 10.000
Simula ionsläu e mi Excel du chge üh . Dabei is zu beach en, dass sowohl ü
Häu igkei des Ein i s des Risiko, als ü die möglichen 16 un e schiedlichen
Ve lus höhen Zu allszahlen zu Ve ügung s ehen müssen. Es e geben sich die olgenden
E gebnisse:
Kennzahl
E gebnis de Mon e-
Ca lo-Simula ion
Rela i e
Abweichung zum
heo e ischen
We
E wa ungswe /Mi elwe
6,6708
0,0615%
S anda dabweichung
3,7724
−0,1905%
90%-Quan il
11,7886
95%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 5%
13,5365
99%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 1%
17,2988
Expec ed Sho all zum Ni eau 5%
15,8084
Expec ed Sho all zum Ni eau 1%
19,0562
Nume ische Me hoden
Die nume ischen Me hoden basie en wiede um au de cha ak e is ischen Funk ion des
Gesam pe ioden e lus es 𝑍𝑍. Diese be echne sich wie olg bzw. kann wie olg
angenähe we den. Es sei 𝑢𝑢∈ℝ.
𝛷𝛷(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢∙𝑍𝑍�=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�=𝑒𝑒𝜆𝜆∙(𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)−1)=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙𝑒𝑒𝜆𝜆∙𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=0
≈𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)𝑘𝑘
16
𝑘𝑘=0 =𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�+𝑖𝑖∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)��𝑘𝑘
16
𝑘𝑘=0
=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙��𝑘𝑘𝑗𝑗�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑗𝑗∙𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗∙
𝑘𝑘
𝑗𝑗=0
16
𝑘𝑘=0 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑗𝑗
𝑅𝑅𝑒𝑒�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)� und 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝜑𝜑𝑋𝑋(𝑢𝑢)� we den dabei mi dem Ve ah en aus Fallbeispiel 2 e mi el
(nu mi ande en Pa ame e n) und de Fak o 𝑖𝑖𝑘𝑘−𝑗𝑗 en scheide jeweils da übe , ob de
32
Summand zum Real eil ode zum Imaginä eil de cha ak e is ischen Funk ion des
Gesam pe ioden e lus es 𝑍𝑍 hinzuzu echnen is bzw. welches Vo zeichen bei einem
Summanden anzuse zen is .
Die momen e zeugende Funk ion des Gesam pe ioden e lus es 𝑍𝑍 kann analog
angenähe we den, alle dings muss dabei wegen 𝐼𝐼(𝑢𝑢)=𝛷𝛷(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢) nich zwischen Real-
und Imaginä eil un e schieden we den. Dahe kann auch mi eine höhe en Genauigkei
bezogen au die nich be ücksich ige Wah scheinlichkei ge echne we den. Es sei 𝑢𝑢∈ℝ.
𝐼𝐼(𝑢𝑢)=𝐸𝐸(𝑒𝑒𝑢𝑢∙𝑍𝑍)=ℎ�𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)�=𝑒𝑒𝜆𝜆∙(𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)−1)=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙𝑒𝑒𝜆𝜆∙𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)
=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)𝑘𝑘
∞
𝑘𝑘=0 ≈𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙𝜑𝜑𝑋𝑋(−𝑖𝑖∙𝑢𝑢)𝑘𝑘
100
𝑘𝑘=0
=𝑒𝑒−𝜆𝜆∙�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑘𝑘!∙�� 𝑒𝑒𝑢𝑢∙𝑥𝑥∙𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
∞
−∞ �𝑘𝑘
100
𝑘𝑘=0
Die In eg ale we den wiede um nume isch bes imm . Wähl ü das nume ische Ablei en
analog zu den Fallbeispielen 1 und 2 Δ𝑢𝑢=10−4, so e gib ü den E wa ungswe 𝜇𝜇≈
6,6661 und ü die S anda dabweichung 𝜎𝜎≈3,7795. Die ela i en Abweichungen zu den
exak en We en be agen dami −0,0090% bzw. −0,0026% und sind wiede im
Wesen lichen au Rundungse ek e zu ückzu üh en.
Die Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹 des Gesam pe ioden e lus es 𝑍𝑍 be echne sich ü 𝑏𝑏> 0
wiede nähe ungsweise mi
𝐹𝐹(𝑏𝑏)=𝑃𝑃(0 ≤𝑍𝑍≤𝑏𝑏)
≈1
2∙𝑃𝑃(𝑍𝑍= 0)+1
𝜋𝜋∙�𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑔𝑔(0,01 +𝑗𝑗∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝑅𝑅𝑒𝑒�𝛷𝛷(0,01 +𝑗𝑗∙0,02)�
9.999
𝑗𝑗=0 ∙0,02
−1
𝜋𝜋∙�𝐼𝐼𝐼𝐼�𝑔𝑔(0,01 +𝑗𝑗∙0,02,0, 𝑏𝑏)�∙𝐼𝐼𝐼𝐼�𝛷𝛷(0,01 +𝑗𝑗∙0,02)�∙0,02
9.999
𝑗𝑗=0 ,
wobei wiede um 𝑔𝑔(𝑢𝑢,0,𝑏𝑏)=sin(𝑏𝑏∙𝑢𝑢)
𝑢𝑢+𝑖𝑖∙cos(𝑏𝑏∙𝑢𝑢)−1
𝑢𝑢 ü 𝑢𝑢> 0.
Se z man diese Fo mel in Excel um, so e geben sich ü die Quan ile bzw. den Value a
Risk olgende E gebnisse:
33
Kennzahl
E gebnis
90%-Quan il
11,7467
95%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 5%
13,5352
99%-Quan il bzw. Value a Risk
zum Ni eau 1%
17,1469
Analog zu den Fallbeispielen 1 und 2 lassen sich auch hie de Expec ed Sho all zum
Ni eau 5% und zum Ni eau 1% mi hil e nume ische In eg a ion be echnen. Fü den
Expec ed Sho all zum Ni eau 5% e häl man den We 15,7886 und ü den Expec ed
Sho all zum Ni eau 1% den We 19,1350
Als Fazi kann auch in diesem Beispiel es gehal en we den, dass die es bei Anwendung
de Mon e-Ca lo-Simula ion eine sei s und bei de Anwendung de nume ischen
Me hoden ande e sei s nu ge ing ügige Abweichungen gib , wie aus de olgenden
Tabelle e sich lich is .
Kennzahl
Mon e-Ca lo-
Simula ion
Nume ische
Me hoden
Abweichung zu
Mon e-Ca lo-
Simula ion (in%)
E wa ungswe
6,6708
6,6661
−0,0705%.
S anda d-
abweichung
3,7724
3,7795
0,1882%.
Value a Risk
zum Ni eau 5%
13,5365
13,5352
−0,0096%.
Value a Risk
zum Ni eau 1%
17,2988
17,1469
−0,8781%.
Expec ed Sho all
zum Ni eau 5%
15,8084
15,7886
−0,1252%.
Expec ed Sho all
zum Ni eau 1%
19,0562
19,1350
0,4135%.
34
8. Fazi und Ausblick
Die d ei Fallbeispiele zeigen, dass die nume ischen Me hoden, d.h. das nume ische
Ablei en und das nume ische In eg ie en de cha ak e is ischen Funk ion, eine sinn olle
Al e na i e zu Mon e-Ca lo-Simula ion seien können. Die mi den nume ischen
Me hoden e bundenen Ungenauigkei , z.B. du ch die gewähl e B ei e de Flächens ücke,
spielen in den d ei Fallbeispielen keine en scheidende Rolle. Die ela i en Abweichungen
bei den Kennzahlen zu den E gebnissen de Mon e-Ca lo-Simula ion liegen bis au eine
Ausnahme im P omillebe eich, d.h. un e halb on 1%. Teilweise liegen die E gebnisse de
nume ischen Me hoden nähe an den exak en We en als die E gebnisse de Mon e-Ca lo-
Simula ion.
Es e schein lohnenswe die hie o ges ell en nume ischen Me hoden auch bei
komplexe en Modellie ungen anzuwenden und gg . mi den E gebnissen eine Mon e-
Ca lo-Simula ion zu e gleichen. Dabei können sowohl Einzel isiken als auch ein
Risikopo olio im Fokus s ehen. Eine Vo ausse zung ü die Anwendung de
nume ischen Me hoden is alle dings, dass die cha ak e is ische Funk ion bekann is
bzw. mi So wa eun e s ü zung be echne we den kann. Dies is z.B. bei dem Ba we
eine bewe e en (inhomogenen) Ma ko -Ke e ( gl. [4]) ode einem Risikopo olio aus
unabhängigen Einzel isiken (mi jeweils bekann e cha ak e is ische Funk ion) de Fall.
35
Li e a u e zeichnis
[1] Bä wol , G. und Tischendo , C. S., Nume ik in de Physik, Ingenieu wissenscha und
In o ma ik, 5. Au l., Sp inge Spek um, Be lin Heidelbe g 2025.
[2] Co in C. und Döhle S., Risikoanalyse: Modellie ung, Beu eilung und Managemen on
Risiken mi P axisbeispielen, 2. übe a b. u. e w. Au l., Sp inge Spek um, Wiesbaden
2013.
[3] Gleißne W. und Wol um M., Risikoagg ega ion und Mon e-Ca lo-Simula ion:
Schlüssel echnologie ü Risikomanagemen und Con olling, Sp inge Fachmedien
Wiesbaden, 2019.
[4] Knobloch, R., Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en
inhomogenen Ma ko -Ke e-Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In:
Fo schung am i wKöln, Band 5/2015, Köln 2015, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816 (S and 08. Augus 2025).
[5] Knobloch, R., Agg ega ion in einem Risikopo olio mi Abhängigkei ss uk u , In:
Fo schung am i wKöln, Band 2/2024, Köln 2024, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-12343 (S and 08. Augus 2025).
[6] RiskNe , Ope a ionelles Risiko, h ps://www. iskne .de/wissen/glossa -
ein ag/ope a ionelles- isiko/ (S and 08. Augus 2025).
[7] RMA Risk Managemen & Ra ing Associa ion e. V. (H sg.), Risikoquan i izie ung,
E ich Schmid Ve lag, Be lin 2021.
[8] RMA Risk Managemen & Ra ing Associa ion e. V. (H sg.), Risiko ag ähigkei , E ich
Schmid Ve lag, Be lin 2025.
[9] Schmid K. D., Maß und Wah scheinlichkei . Be lin, Heidelbe g: Sp inge Be lin
Heidelbe g, 2009 [Online]. Ve ügba un e : h ps://doi.o g/10.1007/978-3-540-
89730-9.
[10] Wol sdo , K., Ve siche ungsma hema ik Teil2 Theo e ische G undlagen,
Risiko heo ie, Sach e siche ung, B. G. Teubne S u ga 1988.
[11] Kabluchko, Z., Anschauliche Wah scheinlichkei s heo ie (Sk ip ), WWU Müns e
Ins i u ü ma hema ische S ochas ik, h ps://www.uni-
muens e .de/impe ia/md/con en /S ochas ik/sk ip _ein _w heo ie.pd (S and 08.
Augus 2025).
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion und kann
hie abge u en we den.
Fo schung am i w
Köln, 1/2025
ISSN (online) 2192
-8479
Ral Knobloch
: Risikoquan i izie ung: Cha ak e is ische Funk ion und nume ische
Me hoden als
Al e na i e zu Mon e
-Ca lo-Simula ion. Fallbeispiele zu kombinie en Ve eilungen
Köln, Ok obe 2025
Sch i lei ung /
edi o ’s o ice:
P o . D . Ral Knobloch
S
chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en /
Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
Mail al .knobloch@ h
-koeln.de
He ausgebe de Sch i en eihe /
Se ies Edi o ship:
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chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en /
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Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“
Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479)
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Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge,
Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen.
Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de.
2025
1/2025
Knobloch: Risikoquan i izie ung: Cha ak e is ische Funk ion und nume ische Me hoden als
Al e na i e zu Mon e-Ca lo-Simula ion - Fallbeispiele zu kombinie en Ve eilungen
2024
6/2024
Haa ho , Wol : Al e na i e Ausges al ungsmöglichkei en de
S eue - und Fö de sys ema ik p i a e Al e s o so ge im Hinblick au T anspa enz und Ge ech igkei
5/2024
Heep-Al ine , Land, Sebold-Bende , Schü e: Flächendeckende Absiche ung on Elemen a isiken
4/2024
A en z, Wol : Analyse des Ren enpake s II: T o z Kapi aldeckung einsei ige Belas ung jünge e
Gene a ionen
3/2024
Gün he : De Ve siche ungssena des Reichsge ich es, Hein ich Himmle und die Füh e scheinklausel
2/2024
Knobloch: Agg ega ion in einem Risikopo olio mi Abhängigkei ss uk u
1/2024
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2023
2023
2/2023
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2023 - Bei äge zu Insu Techs
und Inno a ion am i wKöln
1/2023
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2022
2022
4/2022
Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans – Back es ing Based on Ge man Capi al Ma ke Da a
1950 - 2022
3/2022
Knobloch, Miebs: Ak uelle He aus o de ungen an das ak ua ielle und inanzielle Risikomanagemen
du ch COVID-19 und die anhal ende Nied igzinsphase. P oceedings zum 16. FaRis & DAV-
Symposium am 10. Dezembe 2021
2/2022
Knobloch: Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi Abhängigkei ss uk u
1/2022
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2021
2021
4/2021
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Risiko im Wandel als He aus o de ung ü die
Ve siche ungswi scha
3/2021
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2021 - Bei äge zu Insu Techs
und Inno a ion am i wKöln
2/2021
Knobloch: Die quan i a i e Risikobewe ung bei einem Po olio on dicho omen Risiken mi hil e des
zen alen G enzwe sa zes
1/2021
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2020
2020
7/2020
Mülle -Pe e s, Schmid , Völle : Re olu ionie en Big Da a und KI die Ve siche ungswi scha ? 24.
Kölne Ve siche ungssymposium am 14. No embe 2019
6/2020
Schmid : Küns liche In elligenz im Risikomanagemen . P oceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium
am 6. Dezembe 2019 in Köln
5/2020
Mülle -Pe e s: Die Wah nehmung on Risiken im Rahmen de Co ona-K ise
4/2020
Knobloch: Modellie ung eine Can elli-Zusage mi hil e eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e
3/2020
Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung on All ags isiken in de
Ö en lichkei
2/2020
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2020 - Bei äge zu Insu Techs
und Inno a ion am i wKöln
1/2020
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2019
2019
5/2019
Mude s: Risiko und Resilienz kollek i e Spa p ozesse – Back es ing au Basis deu sche und US-
ame ikanische Kapi alma k da en 1957-2017
4/2019
Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen. Teil 2:
Rendi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen.
3/2019
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2019 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2019
Rohl s, Pü z, Mo awe z: Risiken des au oma isie en Fah ens. He aus o de ungen und
Lösungsansä ze ü die K z-Ve siche ung. P oceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am
7.12.2018 in Köln.
1/2019
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2018
