Behnke, E ns -Augus
A icle
De Ein luß on Op ionsmä k en au die S abili ä de
De isenmä k e
K edi und Kapi al
P o ided in Coope a ion wi h:
Duncke & Humblo , Be lin
Sugges ed Ci a ion: Behnke, E ns -Augus (1991) : De Ein luß on Op ionsmä k en au die S abili ä
de De isenmä k e, K edi und Kapi al, ISSN 0023-4591, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 24, Iss. 1,
pp. 1-14,
h ps://doi.o g/10.3790/ccm.24.1.1
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De Ein luß on Op ionsmä k en
au die S abili ä de De isenmä k e
Von E ns -Augus Behnke, Kassel
Einige bedeu ende Wäh ungen we den au Kassa-, Te min- und mi
zunehmende Tendenz auch au Op ionsmä k en gehandel . Zwischen den
Kassa- und Te minmä k en eine Wäh ung, abe auch zwischen egional
ge enn en Kassamä k en und hinsich lich ih e Fälligkei un e schiedli-
chen Te minmä k en bes ehen enge Ve bindungen in Fo m on A bi age-
geschä en. Diese Zusammenhänge sind z.B. un e den S ichwo en „D ei-
ecksa bi age" und „Zinsa bi age" ausgiebig un e such wo den. Mi de
He ausbildung eines p inzipiell neuen Ma k yps, des Op ionsma k es,
s ell sich die F age, ob und in welche Fo m A bi agebeziehungen auch
zwischen den neu ins allie en Op ionsmä k en und den bishe igen Teil-
mä k en ü De isen en s ehen. Daß solche Beziehungen exis ie en, wu de
du ch die ich ungsweisende Da s ellung on Black und Scholes (1973) mi
de He lei ung eine ge ade au A bi agegesich spunk en basie enden
Op ionsp eis heo ie nachgewiesen. Un e welchen Ums änden solche A bi-
agegeschä e ü das simul ane Gleichgewich on Kassa- und Te min-
de isenmä k en on Bedeu ung sind, soll in de o liegenden Un e suchung
au gezeig we den. P inzipiell lassen sich die dabei anges ell en Übe legun-
gen und Schluß olge ungen auch au ande e Mä k e übe agen, o ausge-
se z , es wi d die Möglichkei zum gleichzei igen Abschluß on Kassa-, Te -
min- und Op ionskon ak en einge äum . Die besonde e Be onung de
De isenmä k e be uh da au , daß hie die A bi age zwischen den genann-
en Teilmä k en nahezu ollkommen unk ionie , und daß da übe hinaus
die F age de S abili ä de De isenmä k e adi ionell und mi gu em
G und eine he aus agende Rolle in de Li e a u spiel .
An den Op ionsmä k en gehandel we den Kau - und Ve kau sop ionen.
Dem Inhabe eine Kau op ion wi d gegenübe dem Ve käu e diese
Op ion das Rech zum Kau eine bes imm en Menge zu einem es geleg en
Te min (Fälligkei ) und zu e einba em P eis (Basisp eis) einge äum . Die
Ve kau sop ion be ech ig en sp echend zum Ve kau zu eben alls im o n-
he ein es geleg en Kondi ionen. Ein Op ionsgeschä un e scheide sich
also p inzipiell on einem Te mingeschä (nu ) dadu ch, daß einem de
1 K edi und Kapi al 1/1991
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2 E ns -Augus Behnke
Kon ak pa ne , dem Inhabe de Op ion, ein einsei iges Rück i s ech
einge äum wi d. Da ü en ich e de Käu e dem Ve käu e eine Op ion
eine P ämie, den Op ionsp eis. De Ve käu e eine Op ion kann zu Vo -
so ge ü den Fall de Ausübung de on ihm e kau en Op ion einen Teil
seines Risikos du ch en sp echende Te minkon ak e kompensie en.
Op ionsp eis und Rück e siche ungsquo e (Zahl de zu Rück e siche ung
o genommenen Te minkon ak e im Ve häl nis zu de Zahl de e kau en
Op ionen) sind die en scheidenden Pa ame e ü den Zusammenhang on
Op ions- und Te minma k . Aus diesem G und we den wi in Anlehnung an
die Aus üh ungen on Black und Scholes (1973) und das au diese Basis
e ein ach e Modell on Cox, Ross und Rubins ein (1979) Op ionsp eis und
Rück e siche ungsquo e ü unse en Zweck noch einmal he lei en.
Die en scheidenden Annahmen dieses e ein ach en „Ein-Pe ioden-
Modells" sind:
1. Die E wa ungen am De isenma k übe die zukün ige En wicklung
des Wechselku ses seien gekennzeichne du ch eine disk e e Binomial e -
eilung. Die Ma k eilnehme e wa en zum gegenwä igen Zei punk als
zukün igen Kassaku s en wede einen „obe en" Wechselku s E+ mi eine
Ein i swah scheinlichkei P+ ode einen „un e en" Wechselku s E~ mi
P~. Diese Annahme e schein au den e s en Blick seh es ik i , is jedoch
ü eine auch du ch poli ische E eignisse gep äg e Wechselku sen wicklung
du chaus nich un ypisch. So können z.B. bei eine ans ehenden poli ischen
Wahl in einem Land die E wa ungen de Ma k eilnehme mi den ü
möglich gehal enen al e na i en Wahlausgängen e knüp sein. Fü eine
solche „Pola isie ung" de E wa ungen ließe sich siche eine Vielzahl eali-
s ische Beispiele an üh en.
2. Gehandel we den nu sogenann e „eu opäische Op ionen",die im
Un e schied zu den „ame ikanischen Op ionen" e s zum Zei punk de Fäl-
ligkei ausgeüb we den können1.
3. De e einba e P eis ü den Fall eine Ausübung de Op ion, also de
Basisp eis, soll s e s mi dem zum Zei punk des Op ionshandels gül igen
Te minp eis e übe eins immen2.
1 Da eine o zei ige Ausübung eine Op ion nu ü den Fall on den Op ions we
minde nden E eignissen wäh end de Lau zei sinn oll is (Di idenden ode Bezugs-
ech e), bedeu e diese Annahme ü den De isenma k keine Einsch änkung. Ande s
wä e de Fall gelage , wenn eine zwischenzei liche Ausübung am jeweiligen Kassa-
ma k und nich am Te minma k einge äum wü de. In diesem Fall könn e eine o -
zei ige Ausübung de Op ion un e Ums änden on Vo eil sein (Welche , Schindle ,
1989, S. 443).
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De Ein luß on Op ionsmä k en au die S abili ä de De isenmä k e 3
Die zu Beu eilung eine Op ion wesen lichen Me kmale lassen sich
un e diesen Annahmen wie olg da s ellen:
e
Abb. 1: Me kmale ü ein Op ionsgeschä
Die on den Ma k eilnehme n al e na i e wa e e Au we ung ode
Abwe ung de ausländischen Wäh ung um die Be äge h+ ode h~ s ell ,
au g und de zum Zei punk de Ein üh ung eine Op ion in den Handel
angenommenen Übe eins immung on Te minp eis und Basisp eis, den
We eine Op ion ü den Inhabe (bzw. die Kos en eine Op ion ü den
Anbie e ) im Falle eine Ausübung da :
(1) h+ = E+ - e
(2) h~ = e - E~
De Anbie e on Op ionen wi d das Risiko eine Ausübung du ch den Inha-
be dadu ch zu minde n suchen, daß e ü einen Teil seine o enen Posi io-
nen eine Deckung am Te minma k o nimm . Will e jegliches Risiko aus-
2 Da in de o liegenden Un e suchung die Rück e siche ung am Te minma k
du ch den E s e käu e eine Op ion die ausschlaggebende Rolle spiel , bedeu e de
Ausschluß on Basisp eisen un e und übe dem jeweiligen Te minku s keine Ein-
sch änkung ü die quali a i en Aussagen des Modells. De Vo zug des Te minp eises
gegenübe dem jeweiligen Kassap eis is empi isch und heo e isch beg ünde : Ein
A bi agegleichgewich zwischen Kassa- und Te minmä k en o ausgese z , is eine
Rück e siche ung am Te minma k heo e isch mi eine solchen am Kassama k ,
unabhängig on den jeweiligen Zinsen im In- und Ausland, gleichzuse zen. Eine
Rück e siche ung am Te minma k is zudem kalkula o isch ein ache und mi
ge inge en T ansak ionskos en du chzu üh en.
l
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4 E ns -Augus Behnke
schließen, und da on wollen wi ausgehen3, dann wi d e seine Rück e si-
che ungsquo e so es legen, daß es ü ihn keinen Un e schied mach , ob bei
Fälligkei de obe e ode un e e Wechselku s ein i .
Bezeichnen wi die Zahl de e kau en Op ionen mi n, die Zahl de zu
Rück e siche ung o genommenen Te minkon ak e mi m, dann belau en
sich die Gesam kos en des Ve käu e s on Kau/op ionen im Falle eine Aus-
übung de Op ionen au (n
—
m)
h
+ und im Falle de Nich ausübung und de
dami no wendigen Gla s ellung am Kassama k zum Wechselku s E~ au
mh~. Will de Op ionsanbie e on den zukün igen Realisa ionen am De i-
senma k unabhängig sein, dann muß e die Rück e siche ungsquo e m/n so
wählen, daß die Kos en in beiden Fällen übe eins immen:
(3) (n
—
m) h+ = mh~
Dami sind die Me kmale eines A bi agehandels e üll , o ausgese z , de
Op ionsp eis K deck die Kos en de Op ionsanbie e . Mögliche Gewinne
we den wegkonku ie und die Einnahmen de Op ions e käu e nK s im-
men mi den Kos en nach Gleichung 3 übe ein:
(4) nK = mh~
In Konku enzgleichgewich we den danach Op ionsp eis und Rück e si-
che ungsquo e du ch das Gleichungssys em 3 und 4 wie olg es geleg :
(5) K = (h+ h~) / (h+ + h~)
(6) m/n = h+ / (h+ + h~)
Bei olls ändige Konku enz de Op ionsanbie e wü de zum Op ionsp eis
K nach Gleichung 5 Op ionsnach age in jede Höhe bedien we den,
solange am Te minma k eine Rück e siche ung nach Gleichung 6 zu den
du ch h+
und h~ implizie en Wechselku sen möglich is .
Als Nach age am Op ionsma k we den sich p inzipiell die gleichen
Teilnehme wie am Te minma k engagie en: Die Spekulan en und die
G uppe de Wechselku ssiche e . Die Spekula ion wi d De isenop ionen
e we ben, wenn de e wa e e Gewinn P+ h+ den Op ionsp eis K übe s eig .
De Wechselku ssiche e , z.B. ein Wa enimpo eu wi d seine sei s Kau -
3 Diese Annahme komm eine unk ionalen T ennung on Spekula ion eine sei s
und p o essionellem Op ionshandel ande e sei s gleich. Will de Op ionshändle seine
indi iduellen E wa ungen spekula i nu zen, dann kann e dies du ch en sp echende
Te min ansak ionen unabhängig om Op ionshandel un.
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De Ein luß on Op ionsmä k en au die S abili ä de De isenmä k e 5
op ionen e we ben, wenn de E wa ungswe eines Schaden alles bei
Nich absiche ung P+ h+ die Ve siche ungsp ämie K übe s eig . Beide
G uppen kalkulie en also quali a i au gleiche Basis und wi können ü
beide eine gemeinsame „Gewinn"-Funk ion GK o mulie en:
(7) GK = P+ h+ - K
Nach Gleichung 7 e echne sich un e Be ücksich igung on Gleichung 5
ein Gewinn on Null, wenn de heu ige Te minwechselku s mi dem E wa -
ungswe E des zukün igen Kassawechselku ses (E = P+ E+ + (1 - P+)
E~) übe eins imm , und ein maximale Gewinn, alls e bei Abschluß au dem
Ni eau E~ no ie . Im le z e en Fall wä e de Op ionsp eis null und die Au -
we ungse wa ung en sp äche de maximalen Wechselku sspanne. Zwi-
schen E und E~ wü de mi sinkendem Wechselku s die E agse wa ung
P+ h+ zunehmen, de Op ionsp eis gleichzei ig abnehmen und olglich de
e wa e e Gewinn nach Gleichung 7 s eigen.
Ve gleichen wi diese Übe legungen ü den Op ionsma k mi de en -
sp echenden Kalkula ion am Te minma k , dann e geben sich au ällige
Pa allelen. Dem Nach age nach Kau op ionen en sp ich die Nach age
nach Te minde isen, sei es aus spekula i en G ünden ode mi dem Ziel de
Wechselku ssiche ung. De e wa e e Gewinn eines Käu e s on Te min-
de isen e echne sich wie olg :
(8) GT = P+ h+ - (1 -P+) h~
Auch ü die Te minspekula ion gil also, daß bei einem Te minwechselku s
au dem Ni eau on E de e wa e e Gewinn Null is , mi sinkendem Wech-
selku s s eig und bei e = E~ den maximalen We e eich . Im Un e schied
zum Op ionskäu e i ü den Te minhändle an die S elle de es en
Kos en de Op ionsp ämie K de mi seine Ein i swah scheinlichkei
gewogene Ve lus P~ h~ bei ungüns igem Ausgang.
Zusammen assend e geben sich al e na i olgende Nach age- bzw.
Angebo skons ella ionen au dem Te min- ode Op ionsma k .
Die Te minde isennach age hä e bei E~ ih en maximalen We e eich .
Sie wü de mi s eigendem Wechselku s zu ückgehen und bei E schließlich
Null sein. Obe halb on E en s ünde mi s eigendem Wechselku s zuneh-
mendes Te minde isenangebo . Mi de E ö nung on Op ionsmä k en
wü de zwei ellos ein Teil, im G enz all auch die gesam e spekula i e Ne o-
de isennach age des Te minma k es au den Op ionsma k übe gehen.
Te minde isenangebo könn e du ch Nach age nach Ve kau sop ionen,
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6 E ns -Augus Behnke
e e
E
Nach age /
nach /
Ve kau sop ionen /
/ / / y /./ /:
N(e) /
nach
Kau op ionen
E E
Te minde isen De isenop ionen
Abb. 2: Ne onach age am Te minma k und Nach age am Op ionsma k
Te minde isennach age du ch Nach age nach Kau op ionen e se z we -
den.
Wi wollen als Re e enzmodell den G enz all un e suchen und eine Si ua-
ion, bei de es ausschließlich Te minde isenhandel gib , mi de jenigen e -
gleichen, bei de de gesam e Te minhandel in de zu o besch iebenen
Weise au den Op ionsma k übe gegangen is . Die sich hie aus e gebenden
Hedginggeschä e de Op ionsanbie e am Te minma k wollen wi dann
mi de u sp ünglichen Ne ode isennach age e gleichen.
Die u sp üngliche Ne ode isennach age am Te minma k sei gegeben
du ch N(e) und habe annahmegemäß „no male" Eigenscha en:
(9) N = N(e); N(E) = 0; dN/de < 0, E+ > e > E~.
Un e de Annahme eines olls ändigen Übe gangs alle u sp ünglichen
Ma k eilnehme om Te minma k au den Op ionsma k wi d aus Te -
minnach age Nach age nach Kau op ionen und aus Te minangebo Nach-
age nach Ve kau sop ionen. Das Op ionsangebo wi d diese Nach age bei
en sp echende Möglichkei zu Rück e siche ung am Te minma k oll-
s ändig bedienen. Mi dem Ve kau eine Kau op ion en s eh somi Te min-
de isennach age im Ve häl nis m/n nach Gleichung 6. Bezeichnen wi die
du ch Op ions e käu e zum Zweck de Rück e siche ung induzie e Ne o-
de isennach age mi iV*, dann e gib sich un e Be ücksich igung on Glei-
chung 6 olgende Zusammenhang zwischen N* und de u sp ünglichen
Te minde isennach age N:
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De Ein luß on Op ionsmä k en au die S abili ä de De isenmä k e 7
h+
(10) IV* = N
h+ + h~
Übe agen wi die induzie e Te minde isennach age N* in ein Diag amm
zusammen mi de u sp ünglichen Ne ode isennach age N(e) als Re e enz,
dann e hal en wi olgendes Bild:
Abb. 3: Abgelei e e Te minde isennach age
In E und E~ s immen beide Funk ionen übe ein. Bei einem Te minku s
on E gib es keine u sp üngliche Te minnach age und auch keine Nach-
age nach Op ionen. Bei einem Te minku s on E~ is die Rück e siche-
ungsquo e eins und olglich s immen N und N* hie übe ein. In allen ande-
en Fällen {E > e > E~) is die Rück e siche ungsquo e kleine als eins und
dami N* kleine als N.
Die Neigung de induzie en Ne ode isennach age N* e hal en wi
du ch Ablei ung on Gleichung 10 un e de Be ücksich igung, daß h+, h~
und N Funk ionen des Te minku ses e zum Zei punk des Op ionshandels
sind (dh+/de = - 1, dh'/de = 1, d(h+ + h~) / de = 0):
dN* h+ dN h+
(11) = N
de h+ + h de h+ + h~
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8 E ns -Augus Behnke
De e s e Ausd uck au de ech en Sei e on Gleichung 11 bemiß den e -
inge en Rück e siche ungsbeda bei e inge e Zahl e kau e Op io-
nen (dN/de) un e Be ücksich igung de „al en" Rück e siche ungsquo e
(m/n). De zwei e Ausd uck äg dem Ums and Rechnung, daß die Hedging-
a e ü Kau op ionen mi s eigendem Wechselku s zu ückgeh . In de
Umgebung on E mi N = 0 ha die Rück e siche ungsquo e ih en klein-
s en We . Zwischen E und E~ s eig de Rück e siche ungsbeda mi al-
lendem Wechselku s, so daß un e halb on E die Ku e N* zunächs s eile
und on einem bes imm en Punk an lache als N
e läu .
Fo mulie en wi
den Zusammenhang un e Ve wendung on Elas izi ä en ( = dN/de x e/N,
en sp echendes gil ü *), dann e hal en wi :
(12) * = - e/h+
Neigung und Elas izi ä de induzie en Te minde isennach age haben
danach ge ade in de ü die S abili ä seigenscha en des Ma k es k i ischen
Umgebung um E ih en minimalen We . Mi g öße em Abs and on E, und
das heiß , ü den Be eich de Kau op ionen mi kleine en Wechselku sen
und ü den Be eich on Ve kau sop ionen mi höhe en Wechselku sen,
nimm de Rück e siche ungsbeda mi zunehmendem Kos en isiko de
Op ionsanbie e zu. Die abgelei e e Ne ode isennach age am Te min-
ma k wi d ab einem gewissen Abs and um E he um somi elas ische als die
als Re e enz angenommene Ne ode isennach age N.
Als ökonomische U sache ü die mi Ein üh ung on Op ionsmä k en
e inge en Umsä ze am Te minma k (dies gil zumindes ü den Fall,
daß keine neuen Ma k eilnehme ü den Op ionsma k gewonnen we den)
kann ange üh we den, daß es sich bei den Op ionsgeschä en um eine ech e
Zusa zleis ung handel : Ve siche ung ode We e, je nach Sich weise. Ve -
glichen mi einem einen Te mingeschä müssen die Op ionsp eise als Ve -
siche ungsp ämie zusä zlich on den Op ionsnach age n au geb ach we -
den. Aus de Sich de Op ionsanbie e wiede um dien das P ämienau -
kommen zu Risikoabsiche ung und de Te minma k wi d inso e n nu zu
Absiche ung des Res isikos in Ansp uch genommen. Diese Sich weise
e äh Un e s ü zung du ch den Ums and, daß zwischen dem gegenübe
dem Re e enzmodell e minde en Te minhandel (N — N*) und dem P ä-
mienau kommen (N K) in de Ta ein p opo ionale Zusammenhang
bes eh :
(13) (N - N*) h+ = N K
Gleichung 13 e hal en wi aus den Gleichungen 10 und 5. In Abb. 4 kön-
nen wi e sehen, daß das P ämienau kommen ge ade das Res isiko de
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