87
Jan ŠRŮTEK
1
MOŽNOSTI UPLATNĚNÍ VIRIÁLNÍ STAVOVÉ ROVNICE PRO STANOVENÍ
FYZIKÁLNÍCH VLASTNOSTÍ PLYNŮ PŘI MATEMATICKÉM MODELOVÁNÍ
POŽÁRŮ
POSSIBILITIES OF APPLYING THE VIRIAL STATE EQUATION FOR OBTAINING
PHYSICAL PROPERTIES OF REAL GASES IN MATHEMATICAL FIRE MODELS
Ano ace
Příspě ek obsahuje podklady p o upla nění i iální s a o é o nice při získá ání
yzikálních las nos í eálných plynů ma ema ických modelech požá u.
Abs ac
The con ibu ion p esen s ounda ions o applying he i ial s a e equa ion
o ob aining physical p ope ies o eal gases in ma hema ical i e models.
Keywo ds:
ma hema ical i e model, i ial s a e equa ion, physical p ope ies o gases
Ú od
S ůs em ý obních kapaci , z yšo áním ene ge ického po enciálu a za áděním
no ých echnologií, yznačujících se mnohdy ex émními p aco ními podmínkami, z ě šují
se izika zniku ha á ií dop o ázených požá y. Mimořádné událos i čas o oh ožují zd a í lidí
a působí ysoké škody ekonomické s éře.
S p a děpodobnos í zniku a ozšíření požá u se počí á již p ojek o é dokumen aci
s a eb. Požá ní bezpečnos je zajišťo ána plněním řady dílčích no em zaměřených
na konk é ní p oblémy. Ty o no my se up a ují nejen ná aznos i na no é ědecko echnické
pozna ky, ale i sou islos i s oz ojem ýpoče ní echniky a s ím sou isející in o mace, dnes
již běžně získá ané ma ema ickým modelo áním požá u.
Ve ý oji ýpoče ních p og amů p o modelo ání požá u jsou pa né d a smě y:
a)
Vy áření řady dílčích p og amů popisujících jedno li é je y požá u.
Sjednoco áním ako ých o modelů se y áří komplexnější modely.
b)
Použi í uni e zálních ýpoče ních p og amů, u čených nejen p o bezpečnos ní
inžený s í, ale i např. p o s ojí ens í, chemický p ůmysl a ene ge iku.
Za ímco dílčí p og amy p o ma ema ické modelo ání požá u se s ále íce ozšiřují
oblas i požá ně bezpečnos ního inžený s í, uni e zální p og amy jsou p o s ou ná očnos
yuží ány dosud jen oblas i ýzkumu a ý oje.
V sou islos i se zajiš ěním požá ní bezpečnos i s a eb je p o olbu konk é ních
modelů ozhodující, aby byla o ěřena sp á nos ýpoč u. Přesnos ýsledků modelo áním
se řeší již p ůběhu ý oje modelů.
S ěžejními p oblémy při ý oji ma ema ických modelů požá ů jsou znalos
yzikálních las nos í lá ek a jejich k ali iko ané za edení do p og amu.
1
Ing., Masa yko a uni e zi a, Že o íno o nám. 9, 601 77 B no, e-mail: s u ek@ ec .muni.cz
88
Nej íce se upla ňují las nos i e modynamické a anspo ní, cha ak e izující přenos hmo y,
hybnos i a epelné ene gie.
Vý oj me odik p o s ano ení yzikálních las nos í plynů, hodných z hlediska
ma ema ického modelo ání požá u, sou isí jednak s oz ojem ýpoče ní echniky a jednak
s o bou no ých ma ema ických modelů e s ojí ens í, chemickém p ůmyslu
a ene ge ice.
Op á něnos uži í yzikálních las nos í lá ek, s upujících do ma ema ického
modelo ání požá u, kon oluje se již při o bě modelů, a o hla ně s ohledem na podmínky,
za k e ých byly naměřeny nebo získány [6].
Vzhledem ke speci ičnos i yzikálních p ocesů při hoření by so wa e p o s ano ení
las nos í plynů z ýchozích měření měl umožňo a jejich ýpoče při elmi nízkých lacích
a ši okém ozsahu eplo , a zá o eň espek o a , že p oudění plynů ýznamně o li ňují
i nepa né změny eplo a laků.
Ješ ě dnes je značná čás po řebných yzikálních pa ame ů lá ek u áděna pouze
e o mě abulek nebo g a ů, j. e o mách ne hodných p o ma ema ické modelo ání.
Expe imen álně a p axí o ěřené abulko é hodno y yzikálních las nos í se šak s á ají
hodným zd ojem p o eg esní analýzu [5].
P o ses a ení jedno né me odiky ýpoč u a ýpoče yzikálních las nos í plynů
ma ema ických modelech požá u se může ýhodně upla ni i iální s a o á o nice.
S a o á o nice sku ečných ( eálných) plynů
S a o ou o nicí p o eálný plyn se ozumí z ah, yjadřující sou islos eličin p, , T
o no ážné e modynamické sous a ě a umožňující, řešením příslušných di e enciálních
o nic e modynamiky, ypočí a s dos a ečnou přesnos í epelné cha ak e is iky plynů
( epelné kapaci y, ni řní ene gii, en alpii, en opii).
Sku ečné plyny se s a o ou o nicí ideálních plynů přesně neřídí. Rozdíly cho ání
eálných a ideálních plynů čás ečně ys ě luje Van de Waalso a s a o á o nice,
k e á espek uje konečný objem molekul a exis enci při ažli ých sil mezi nimi. Ta o o nice
má a
(1)
T b
a
p⋅=













+
2
,
kde a, b jsou kons an y zá islé na d uhu plynu, je mě ná plyno á kons an a. Ve a u (1)
pla í o nice p o 1 kg plynu.
89
Izo e ma diag amu p– má k i ickém bodě in lexní bod. P o o pla í
0=






∂
∂
k
T
p
0
2
2
=








∂
∂
k
T
p
(2)
0
3
3
≠








∂
∂
k
T
p
Kons an y a, b s ano ené z p ních d ou z ahů (2) lze ypočí a z ý azů (3)
k
k
p
TR
a
22
64
27 ⋅
⋅=
(3)
3
k
b= ,
kde p
k
,
k
, T
k
jsou e modynamické eličiny popisující s a plynu k i ickém bodě.
Kons an y a, b lze s ano i i z expe imen álně zjiš ěných hodno p, , T plynu.
Van de Waalso a o nice sice ys ihuje cho ání eálných plynů přesněji a e ě ším
ozsahu eplo a laků než s a o á o nice ideálních plynů, ale ýsledky z ní získané s ále
ješ ě ykazují značné odchylky od naměřených hodno , a o zejména za nízkých eplo
a za ysokých laků.
S a o ých o nic, eo e icky podložených a modi iko aných p o elké množs í
echnicky důleži ých plynů, byla minulos i ses a ena celá řada, přičemž y o o nice jsou
ím složi ější, čím je požado ána yšší přesnos a čím ši ší jsou oblas i eplo a laků [1].
P o o echnických ýpoč ech y o o nice mají jen omezené použi í.
Přibližně polo ině minulého s ole í byla pomocí s a is iky y ořena obecná s a o á o nice
p o eálný plyn, z . i iální s a o á o nice, k e á má podle [2] a :
(4)





⋅
+
−⋅=⋅
∑
∞
=1
1
1
k
k
k
k
k
T p
β
,
kde β
k
jsou koe icien y zá islé pouze na eplo ě ( z . i iální koe icien y),
∑
∞
=
⋅
+
1
1
k
k
k
k
k
β
}
}
90
je mocninná řada mocninách p oměnné
-1
.
Vi iální koe icien y β
k
se p o u či ý poče členů mocninné řady u čují z empi icky
získaných da nebo z abulko ých hodno eg esní analýzou.
Roz oj (4) lze s u ážením z ahu
-1
= ρ přepsa podle [3] e a u
(5)
∑
=
⋅=⋅++⋅+=
n
i
i
i
n
n
AAAA
p
0
10
...
ρρρ
ρ
,
kde A
0
, A
1
, … A
n
jsou koe icien y zá islé pouze na eplo ě.
Vý az na p a é s aně o nice (5) je mocninnou řadou p oměnné ρ .
Z po o nání o nic (4) a (5) je pa né, že p ní i iální koe icien A
0
je o en .T.
Při →∞ šechny členy mocninné řady o nici (4) se blíží k 0 a a o o nice
dos á á a
(6)
T p
⋅
=
⋅
,
což je s a o á o nice p o 1 kg ideálního plynu.
Význam d uhého i iálního koe icien u lze objasni ze z ahu
(7)
1
0
A
p
T
=












∂








∂
=
ρ
ρ
ρ
.
Jedná se o sklon izo e my diag amu
( )
ρ
ρ
p= bodě osy ρ = 0.
Jes liže
(8)
0=












∂








∂
T
p
ρ
ρ
,
je ečna izo e my, ycházející z osy ρ = 0, odo o ná přímka. Jedná se o bod izo e my
ideálního plynu.
V něk e ých případech je ýhodné použí a s a o ou o nici s bez ozmě nými,
eduko anými p oměnnými.
Vi iální s a o á o nice s eduko anými p oměnnými má dle [4] a
91
(9)
(
)
∑ ∑
= =
+






+






+=
n
i
n
i
i
i
i
i
CB
0 0
2
...
11
1
,
τ
ω
τ
ω
τ
τωσ
,
kde
k
ρ
ρ
ω
= – eduko aná eličina hus o y
k
T
T
=
τ
– eduko aná eličina eplo y
(
)
τωσ
,
– eduko aný pa ame ,
( )
ωρ
τωσ
⋅⋅⋅
=
kk
T
p
,
B
i
, C
i
, … – kons an y ap oximačních polynomů
T
k
(ρ
k
) – k i ická eplo a (k i ická hus o a)
V o nici (9) jsou i iální koe icien y u nezá isle p oměnné ω yjádřeny polynomy
p oměnné τ
-1
.
Podle [4] obecná s a o á o nice p o plyn má a
(10)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
τϕωγτψωβτωωτωσ
⋅+⋅+⋅+=
10
,aa ,
kde
( )
∑
=
⋅=
n
i
i
i
aa
1
0
ωω
( ) ( )
∑
=
⋅+=+=
n
i
i
i
baa
1
111
11
ωωω
( )
∑
=
⋅=
n
i
i
i
c
1
ωωβ
( )
∑
=
⋅=
n
i
i
i
d
1
ωωγ
( )
∑
=
=
n
i
i
i
l
1
τ
τψ

92
( )
∑
=
=
n
i
i
i
1
τ
τϕ
( )
ωρ
τωσ
⋅⋅⋅
=
kk T
p
,
k
ρ
ρ
ω
=
k
T
T
=
τ
a
i
, b
i
, c
i
, d
i
, l
i
,
i
jsou ap oximační koe icien y.
P o u o s a o ou o nici jsou [4] u edeny z ahy p o u čení mě ných epelných
kapaci , ni řní ene gii, en alpii a en opii, získané z di e enciálních o nic e modynamiky
a aké koe icien y ap oximačních polynomů é o o nice p o zduch a jeho něk e é
komponen y.
S a o á o nice (10) není obecně i iální, neboť se ní ysky ují d a členy,
ses á ající ze součinu dílčích polynomů
(
)
(
)
τψωβ
⋅
a
(
)
(
)
τϕωγ
⋅
Jes liže e s a o é o nici (10) z olíme
(
)
1−
=
ττψ
(11)
(
)
2−
=
ττϕ
,
bude a o o nice mí a
(12)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
21
10
,
−−
⋅+⋅+⋅+=
τωγτωβτωωτωσ
aa
a bude i iální.
P o o nici (12) lze s ano i ap oximační koe icien y dílčích polynomů,
a o na základě abulko ých nebo naměřených a zp aco aných hodno , použi ím me ody
nejmenších č e ců, apliko ané na unkci d ou a íce p oměnných a p o ýpoče epelných
las nos í yuží me odiku u edenou [4].
P o ýpoče dynamické iskozi y a epelné odi os i eálných plynů lze použí dle [4]
z ahů, ses a ených jako souč y d ou polynomů, a o s p oměnnými T a ρ.
}
93
P o dynamickou iskozi u pla í
(13)
( ) ( ) ( )
∑ ∑
= =
⋅+






⋅=+= n
i
n
i
i
i
i
iC
T
BTTp
0 0
100
,
ρρηηη
a p o epelnou odi os pla í z ah
(14)
( ) ( ) ( )
∑ ∑
= =
⋅+






⋅=+= n
i
n
i
i
i
i
iE
T
DTTp
0 0
100
,
ρρλλλ
Ze z ahů (13) a (14) je pa né, že p o ρ→0 jsou dynamická iskozi a i epelná
odi os eálných plynů zá islé pouze na eplo ě.
Koe icien y polynomů B
i
, C
i
, D
i
, E
i
, lze s ano i aké z abulko ých
nebo expe imen álních hodno me odou nejmenších č e ců apliko anou na unkci d ou
p oměnných.
Zá ě
Roz oj ýpoče ní echniky umožňuje, oblas i ma ema ického modelo ání požá u,
in enzi něji yuží a eo e ické pozna ky yzikálních a chemických p ocesů při hoření,
pohybu zplodin a do ýpoč u zah no a eakce objek u, činnos osob a požá ně
bezpečnos ního zařízení. V ma ema ických modelech požá u jsou upla ňo ány nejno ější
ědecké pozna ky, a o nejen z ědního obo u požá ní bezpečnos s a eb a echnologií,
ale i z e momechaniky, hyd omechaniky, ma ema iky a dalších ědních obo ů.
Úspěch modelo ání yzikálních a chemických p ocesů při požá ech zá isí, do značné
mí y, na možnos ech řeši ele získa k ali ní yzikální las nos i zúčas něných medií.
Základním z ahem p o jejich získání je s a o á o nice eálných plynů.
Jako hodná se ukazuje i iální s a o á o nice, a o nejen p o popis zá islos i mezi
eličinami p, , T, ale i p o ýpoče , pomocí di e enciálních o nic e modynamiky, epelných
i anspo ních las nos í plynů.
Přednos i použi í é o o nice lze sh nou následo ně:
-
zajiš ění ši okém ozsahu pa ame ů dos a ečné přesnos i zá islos i
mezi eličinami p, , T olbou hodných s upňů polynomů;
-
yuži í jedno né me odiky ýpoč u epelných a anspo ních las nos í
p o jedno li é složky směsí plynů;
-
možnos ýpoč u koe icien ů o nic p o čis é plyny i jejich směsi eg esní
analýzou na základě abulko ých nebo expe imen álních hodno .
Li e a u a
[1] Sazima, M. aj.: Teplo. P aha, SNTL, 1989
[2] Ki illin, V., A. aj.: Techničeskaja ě modinamika. Mosk a, 1983
[3] Reid, R., C., aj.: The P ope ies o Gases and Liquids Fou h Edi ion. McG aw-Hill,
1987
[4] Vasse man, A. A. aj.: Těplo izičeskie s ojs a ozducha i je o komponěn o . Mosk a,
1966
[5] Š ů ek, J.: Fyzikální las nos i eku in a jejich yjádření p o ma ema ické modelo ání
požá u. B no, 2008, 34 s.
94
[6] Kuče a,P., Mikloš, J.: Zásady při o ěřo ání ma ema ických modelů požá u. Sbo ník
ědeckých p ací VŠB-TU Os a a, Řada bezpečnos ní inžený s í. Os a a: SPBI,
2008, s. 47-56