O ensino de Álgebra Linear nos cursos de graduação de uma universidade brasileira: perspetivas e contributos da prática colaborativa
Abstract
O ensino de Álgebra Linear tende a seguir os pressupostos que valorizam a pedagogia tradicional, privilegiando o raciocínio axiomático, despertando nos estudantes o sentimento de aprender um tema que parece não ser significativo. Um dos grandes desafios passa por inovar a prática tradicional do professor que muitas vezes trabalha isoladamente tendo como principal fonte de inspiração o livro didático, que geralmente apresenta uma abordagem formal e descontextualizada. De modo a alterar este status, o trabalho colaborativo entre os professores que lecionam essa disciplina propicia oportunidades para um trabalho entre pares – identificação de situações problemáticas do ensino e da aprendizagem, elaboração de propostas de ensino e reflexão sobre essas propostas. Assim, este estudo teve como objetivos caracterizar o ensino de Álgebra Linear de professores numa universidade brasileira e averiguar o contributo do trabalho colaborativo entre professores desta instituição no ensino de Álgebra Linear. Para concretizar tais objetivos delinearam-se as seguintes questões de investigação: Como os docentes ensinam Álgebra Linear? Que dificuldades sentem os docentes no ensino de Álgebra Linear? Que perspetivas têm os docentes sobre o trabalho colaborativo? Que problemáticas identificam os professores de um grupo de trabalho colaborativo na sua prática de ensino de Álgebra Linear? Como essas problemáticas são tratadas? Quais as potencialidades e os constrangimentos do trabalho colaborativo no ensino de Álgebra Linear? Adotando uma abordagem qualitativa e interpretativa, o estudo desdobrou-se em duas fases. Na primeira, participaram 15 professores que ensinam/ensinaram Álgebra Linear. Desse grupo de professores, constituiu-se um grupo de trabalho com características colaborativas, com seis professores, com o propósito de identificar situações problema do seu ensino de Álgebra Linear e de planificar e discutir momentos da sua prática de ensino. O trabalho realizado neste grupo constituiu a segunda fase desta investigação, que teve por objetivo averiguar o contributo do trabalho colaborativo no ensino desta disciplina. Para este fim adotou-se um design de estudo de caso sobre dois desses professores. De modo a atender aos propósitos da investigação, os dados foram recolhidos através de entrevistas, da observação e da análise documental. Este estudo conclui que o ensino de Álgebra Linear é apoiado por estratégias de ensino direto, que se repercute na transmissão do conteúdo de forma sistematizada e expositiva, alternada com a resolução de exercícios realizada pelo professor, competindo aos alunos um papel de reprodutores da informação veiculada na sala de aula. As dificuldades no ensino incidem sobre como ensinar os tópicos de Álgebra Linear de modo que os alunos os consigam compreender, em particular, os espaços vetoriais; como explorar as aplicações contextualizadas dos tópicos de Álgebra Linear e os materiais tecnológicos com a finalidade de envolver e motivar os alunos no processo de aprendizagem. O trabalho em colaboração entre pares, na preparação e reflexão sobre as práticas de ensino não parece fazer parte da prática dos professores, sendo que a maioria trabalha isoladamente e eventualmente troca ideias sobre a prática em conversas informais. A perspetiva dos professores é que o trabalho colaborativo se concretiza quando um grupo de pessoas trabalha em conjunto. Ao integrar um grupo de trabalho com características colaborativas essa noção paulatinamente se altera. Os professores sentem-se apoiados para enfrentar as problemáticas que os desafiam no ensino da Álgebra Linear, concretizando estratégias de ensino que procuram envolver os alunos nas suas aulas através de tarefas de contextualização, do uso do GeoGebra e de uma avaliação diversificada das atividades dos alunos. Os constrangimentos que surgem no desenvolvimento do trabalho colaborativo incidem sobre o tempo disponível dos professores para se dedicarem nas ações do grupo, o uso de tecnologia, o gerenciamento do cronograma da disciplina e a dinâmica do trabalho no grupo. Conclui-se que o espaço de discussão e reflexão promovido num grupo de trabalho colaborativo sobre a sua prática potencializa a tomada de consciência do professor sobre as suas dificuldades e as dos seus alunos.
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novembro de 2021 UMinho|2021 Graciela Moro O ensino de Álgebra Linear nos cursos de graduação de uma universidade brasileira: perspetivas e contributos da prática colaborativa Graciela Moro O ensino de Álgebra Linear nos cursos de graduação de uma universidade brasileira: perspetivas e contributos da prática colaborativa Universidade do Minho Instituto de Educação
Trabalho efetuado sob a orientação do Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu e da Doutora Ivanete Zuchi Siple Tese de Doutoramento Doutoramento em Ciências de Educação Especialidade em Educação Matemática novembro de 2021 Graciela Moro O ensino de Álgebra Linear nos cursos de graduação de uma universidade brasileira: perspetivas e contributos da prática colaborativa Universidade do Minho Instituto de Educação
ii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual CC BY-NC-SA https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
iii AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por me conceber saúde, sabedoria e persistência na condução deste trabalho. Agradeço imensamente aos meus orientadores por acreditarem neste trabalho e na minha capacidade de o desenvolver. Em especial ao meu orientador, o Professor Floriano Viseu, que se tornou um amigo. Desde o primeiro contacto, na definição do projeto, procurou incentivar-me e teve todo o zelo para que tudo ocorresse da melhor forma possível. Aprendi muito com você professor, tanto no trato humano, quanto no profissionalismo com que concebeu a orientação. Quero ser como você quando eu tiver os meus mestrandos e doutorandos. À minha orientadora, amiga e colega Ivanete Zuchi Siple, a minha gratidão por todo o apoio. Que a nossa parceria na pesquisa renda muitos frutos. Um especial agradecimento aos professores participantes do estudo, em especial os do grupo de trabalho colaborativo, por todas as reflexões e aprendizagens que me proporcionaram. Aos meus colegas de doutoramento, em particular à Eliane, ao Marnei, à Fabíola e à Lidiane, muito obrigada pela amizade, pelo apoio e pelas aprendizagens partilhadas. Ao meu companheiro de vida, meu amor Marcello, e à minha filha Gabriella, obrigada por todo o amor, pelo apoio e por embarcarem incondicionalmente comigo nesta aventura. Ter vocês ao meu lado, tornou tudo mais leve.
iv DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho.
v O ENSINO DE ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO DE UMA UNIVERSIDADE BRASILEIRA: PERSPETIVAS E CONTRIBUTOS DA PRÁTICA COLABORATIVA RESUMO O ensino de Álgebra Linear tende a seguir os pressupostos que valorizam a pedagogia tradicional, privilegiando o raciocínio axiomático, despertando nos estudantes o sentimento de aprender um tema que parece não ser significativo. Um dos grandes desafios passa por inovar a prática tradicional do professor que muitas vezes trabalha isoladamente tendo como principal fonte de inspiração o livro didático, que geralmente apresenta uma abordagem formal e descontextualizada. De modo a alterar este status, o trabalho colaborativo entre os professores que lecionam essa disciplina propicia oportunidades para um trabalho entre pares – identificação de situações problemáticas do ensino e da aprendizagem, elaboração de propostas de ensino e reflexão sobre essas propostas. Assim, este estudo teve como objetivos caracterizar o ensino de Álgebra Linear de professores numa universidade brasileira e averiguar o contributo do trabalho colaborativo entre professores desta instituição no ensino de Álgebra Linear. Para concretizar tais objetivos delinearam-se as seguintes questões de investigação: Como os docentes ensinam Álgebra Linear? Que dificuldades sentem os docentes no ensino de Álgebra Linear? Que perspetivas têm os docentes sobre o trabalho colaborativo? Que problemáticas identificam os professores de um grupo de trabalho colaborativo na sua prática de ensino de Álgebra Linear? Como essas problemáticas são tratadas? Quais as potencialidades e os constrangimentos do trabalho colaborativo no ensino de Álgebra Linear? Adotando uma abordagem qualitativa e interpretativa, o estudo desdobrou-se em duas fases. Na primeira, participaram 15 professores que ensinam/ensinaram Álgebra Linear. Desse grupo de professores, constituiu-se um grupo de trabalho com características colaborativas, com seis professores, com o propósito de identificar situações problema do seu ensino de Álgebra Linear e de planificar e discutir momentos da sua prática de ensino. O trabalho realizado neste grupo constituiu a segunda fase desta investigação, que teve por objetivo averiguar o contributo do trabalho colaborativo no ensino desta disciplina. Para este fim adotou-se um design de estudo de caso sobre dois desses professores. De modo a atender aos propósitos da investigação, os dados foram recolhidos através de entrevistas, da observação e da análise documental. Este estudo conclui que o ensino de Álgebra Linear é apoiado por estratégias de ensino direto, que se repercute na transmissão do conteúdo de forma sistematizada e expositiva, alternada com a resolução de exercícios realizada pelo professor, competindo aos alunos um papel de reprodutores da informação veiculada na sala de aula. As dificuldades no ensino incidem sobre como ensinar os tópicos de Álgebra Linear de modo que os alunos os consigam compreender, em particular, os espaços vetoriais; como explorar as aplicações contextualizadas dos tópicos de Álgebra Linear e os materiais tecnológicos com a finalidade de envolver e motivar os alunos no processo de aprendizagem. O trabalho em colaboração entre pares, na preparação e reflexão sobre as práticas de ensino não parece fazer parte da prática dos professores, sendo que a maioria trabalha isoladamente e eventualmente troca ideias sobre a prática em conversas informais. A perspetiva dos professores é que o trabalho colaborativo se concretiza quando um grupo de pessoas trabalha em conjunto. Ao integrar um grupo de trabalho com características colaborativas essa noção paulatinamente se altera. Os professores sentem-se apoiados para enfrentar as problemáticas que os desafiam no ensino da Álgebra Linear, concretizando estratégias de ensino que procuram envolver os alunos nas suas aulas através de tarefas de contextualização, do uso do GeoGebra e de uma avaliação diversificada das atividades dos alunos. Os constrangimentos que surgem no desenvolvimento do trabalho colaborativo incidem sobre o tempo disponível dos professores para se dedicarem nas ações do grupo, o uso de tecnologia, o gerenciamento do cronograma da disciplina e a dinâmica do trabalho no grupo. Conclui-se que o espaço de discussão e reflexão promovido num grupo de trabalho colaborativo sobre a sua prática potencializa a tomada de consciência do professor sobre as suas dificuldades e as dos seus alunos. Palavras-chave: Álgebra Linear; Aprendizagem; Ensino; Prática profissional; Trabalho Colaborativo.
vi TEACHING LINEAR ALGEBRA IN UNDERGRADUATE COURSES AT A BRAZILIAN UNIVERSITY: PERSPECTIVES AND CONTRIBUTIONS OF COLLABORATIVE WORK ABSTRACT The teaching of linear algebra tends to follow the assumptions that value traditional pedagogy, favoring axiomatic reasoning, and bringing out in students the feeling of learning a topic that does not seem to be significant. One of the greatest challenges is to improve the traditional practice of professors who often work in isolation, having a textbook as their main source of inspiration, which usually has a formal and decontextualized approach. In order to change this status, collaborative work among professors who teach this subject provides opportunities to work among peers – identifying problematic situations in teaching and learning, preparing teaching proposals and reflecting on these proposals. Thus, this study characterizes the teaching of linear algebra by professors at a Brazilian university and investigates the contribution of collaborative work among professors from this institution in the teaching of linear algebra. To achieve these goals, the following research questions were outlined: How do professors teach linear algebra? What difficulties do professors have in teaching linear algebra? What points of view do professors have on collaborative work? What issues do professors in the collaborative work group identify in their teaching practice in linear algebra? How are these issues handled? What are the possibilities and constraints of collaborative work in teaching linear algebra? Adopting a qualitative and interpretive approach, the study was divided into two phases. In the first phase, fifteen professors who teach/taught linear algebra participated. From this group of professors, a working group of six professors with collaborative characteristics was formed, in order to identify problem situations in their teaching of linear algebra and to plan and discuss their teaching practice. The work carried out in this group constituted the second phase of this investigation, which investigated the contribution of collaborative work in teaching this course. For this purpose, a case study design on two of these professors was adopted. In order to meet the purposes of the investigation, data were collected through interviews, observation and document analysis. This study concludes that the teaching of linear algebra is supported by direct teaching strategies, which affect the transmission of content in a systematic and expository way, in conjunction with the resolution of exercises performed by the professor, with students playing the role of reproducers of the information conveyed in the classroom. Difficulties in teaching focus on how to teach linear algebra topics so that students can understand them, in particular, vector spaces; how to explore contextualized applications of linear algebra topics and technological materials in order to engage and motivate students in the learning process. Collaborative work among peers, in preparing and reflecting on teaching practices, does not seem to be part of the professors’ practice, with most of them working in isolation and eventually exchanging ideas about the practice in informal conversations. The point of view of the professors is that collaborative work is realized when a group of people work together. When joining a work group with collaborative characteristics, this notion gradually changes. Professors feel supported to face the problems that challenge them in teaching linear algebra, implementing teaching strategies that seek to involve students in their classes through contextualization tasks, the use of GeoGebra and a diversified assessment of student activities. The constraints that arise in the development of collaborative work affect the time available for professors to dedicate themselves to group actions, the use of technology, the management of the course’s schedule and the dynamics of group work. In conclusion, the space for discussion and reflection promoted in a collaborative work group about their practice enhances the professors’ awareness of their difficulties and those of their students. Keywords: Linear algebra; Learning; Teaching; Professional practice; Collaborative work.
vii ÍNDICE DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS ......................... ii AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................ iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE ............................................................................................................ iv RESUMO ................................................................................................................................................. v ABSTRACT ............................................................................................................................................. vi ÍNDICE .................................................................................................................................................. vii Índice de Figuras..................................................................................................................................... x Índice de Tabelas ................................................................................................................................... xi Índice de Quadros ................................................................................................................................. xii CAPÍTULO 1 ........................................................................................................................................... 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 1 1.1. Motivações pessoais ............................................................................................................... 1 1.2. O contexto do estudo .............................................................................................................. 3 1.3. A relevância do estudo ........................................................................................................... 3 1.4. Objetivos e questões de investigação ..................................................................................... 6 1.5. Organização da tese ............................................................................................................... 7 CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................................... 8 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA LINEAR ................................................................................. 8 2.1. Um olhar sobre as dificuldades no ensino e na aprendizagem de Álgebra Linear ................... 8 2.2. Perspetivas atuais do ensino de Álgebra Linear .................................................................... 20 2.3. Análise de alguns estudos sobre o ensino de Álgebra Linear ................................................ 27 2.4. Conhecimento para ensinar ................................................................................................. 42 CAPÍTULO 3 ......................................................................................................................................... 51 TRABALHO COLABORATIVO ................................................................................................................ 51 3.1. O que se entende por trabalho colaborativo? ........................................................................ 51 3.2. Formas de promover o trabalho colaborativo........................................................................ 56 3.3. Potencialidades e constrangimentos do trabalho colaborativo .............................................. 62 3.4. Análise de estudos sobre trabalho colaborativo entre professores ........................................ 71 CAPÍTULO 4 ......................................................................................................................................... 82 METODOLOGIA .................................................................................................................................... 82 4.1. Opções metodológicas ......................................................................................................... 82
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Este estudo debruça-se sobre o ensino de Álgebra Linear em cursos de uma universidade brasileira. Como se trata de uma área da Matemática organizada por conteúdos abstratos, nem sempre se torna fácil ao professor de os tornar compreensíveis aos seus alunos. Por sua vez, ao ser uma disciplina transversal a vários cursos, como, por exemplo, de formação de professores ou de engenharia, o professor vê-se impelido a recorrer às mesmas estratégias de ensino sem atender à especificidade do curso que leciona. Acontece que as estratégias de ensino que valorizem o conteúdo e a reprodução de técnicas, independentemente do curso em que se leciona, repercutem-se no fraco desempenho dos alunos. As recomendações atuais para o ensino de Álgebra Linear contrariam este tipo de estratégias, valorizando as que poem em relevo a atividade do aluno, a integração de tarefas contextualizadas e a utilização de artefactos tecnológicos que ajudem o aluno a visualizar o significado de conceitos que estuda. Tais recomendações não se tornam fáceis de concretizar quando o professor pauta a sua ação profissional por atividades individualistas, para além da sua formação relativa à Álgebra Linear. Mesmo quando procura minimizar o insucesso dos seus alunos, a diversidade das demandas profissionais impossibilita o professor de inovar a sua prática de modo a elevar a compreensão dos discentes dos conteúdos com que se deparam. Tais inquietações levaram-me a desenvolver este estudo, acreditando que existem formas de envolver os professores a trabalhar com os seus pares, como, por exemplo, o trabalho colaborativo, em torno de problemáticas que emergem da sua prática pedagógica. Partindo desta crença, este capítulo apresenta as motivações pessoais que me levaram a incidir sobre o ensino de Álgebra Linear, com foco no trabalho colaborativo entre professores sobre situações desse ensino, o contexto em que o estudo se insere, a sua relevância, os objetivos e as questões de investigação, e, finalmente, descreve a organização da presente tese. 1.1. Motivações pessoais Este trabalho de investigação debruça-se sobre a prática de ensino de professores que ministram a disciplina de Álgebra Linear numa universidade brasileira, tendo como foco o contributo do trabalho colaborativo entre um grupo de professores. Trata-se de uma temática relevante face às mudanças curriculares, culturais e tecnológicas que colocam em xeque as práticas tradicionais e o desenvolvimento profissional dos professores. A mudança da prática tradicional do professor que ensina Álgebra Linear é
2 um dos grandes desafios no ensino dessa disciplina, já permeada por muitas dificuldades tanto do ponto de vista de ensino quanto da aprendizagem dos alunos. O trabalho colaborativo entre os professores pode-se revelar uma atividade profissional propícia para tal mudança, representando um ambiente favorável à aprendizagem e ao desenvolvimento profissional do professor que ensina Álgebra Linear (Boavida & Ponte, 2002; Robutti et al., 2016). A escolha do tema deste estudo resulta da minha paixão pelo ensino da Álgebra Linear, bem como da consciencialização da necessidade de mudança na minha prática docente, após ministrar essa disciplina por mais de uma década, resultante das dificuldades de ensinar essa disciplina e da procura de perceber as dificuldades de aprendizagem reveladas pelos alunos. Minhas inquietações com o ensino de Álgebra Linear não são recentes muito menos exclusivas. Ao longo da minha prática docente já experienciei, durante três anos, a coordenação de um projeto de ensino de Álgebra Linear cujo objetivo foi criar ações que possibilitassem manter a qualidade de ensino e aprendizagem, inseridas num grupo de trabalho entre os docentes que atuavam nessa disciplina. O trabalho neste grupo consistia no planeamento do plano de ensino (tipo, quantidade e datas das avaliações, bibliografia a ser utilizada), a elaboração de avaliações comuns a todos os professores e a partilha de materiais didáticos (livros, apostilas e listas de tarefas) utilizados na disciplina. Entretanto, não havia uma preocupação do grupo em discutir e refletir sobre as estratégias de ensino da disciplina. Um ponto menos conseguido na execução do projeto foi o facto da metodologia adotada não ter obtido sucesso para minimizar os altos índices de evasão da disciplina. No entanto, mesmo não obtendo uma resposta de sucesso, os índices divulgados nesta instituição em que exerço a minha atividade profissional corroboraram com a necessidade de pesquisas sobre as causas dos altos índices de evasão dos seus cursos na área de Ciências Exatas (Figueiredo et al., 2014) e me inspiraram a continuar as pesquisas nessa área. Depois da experiência que vivenciei, apercebi-me dos desafios de que se revestem os processos de ensino e de aprendizagem da Álgebra Linear, levando-me a colocar algumas questões latentes à minha prática docente: Que metodologias podem favorecer o ensino e a aprendizagem dessa disciplina? De que maneira os professores podem contribuir para o desenvolvimento de estratégias para o ensino e aprendizagem de Álgebra Linear? Com o intuito de obter respostas para tais inquietações ‘mergulhei’ neste estudo investigativo que aborda o ensino de Álgebra Linear numa universidade brasileira, com uma perspetiva de promover o trabalho colaborativo entre pares.
3 1.2. O contexto do estudo Com o objetivo de encontrar estratégias de ensino que pudessem favorecer a aprendizagem na Álgebra Linear e contribuir para minimizar os índices de evasão nesta disciplina, me propus a realizar um estudo com um grupo de professores de uma universidade brasileira. Para concretizar tal objetivo, comecei por efetuar um levantamento em todos os Centros de Ensino desta instituição, buscando professores que estavam a lecionar Álgebra Linear naquela altura ou já tivessem lecionado anteriormente e que estivessem disponíveis para cooperar com a investigação. Deste levantamento, encontrei 15 professores que se disponibilizaram a participar numa entrevista, em que procurei identificar: as estratégias que usavam no ensino de Álgebra Linear; as suas principais dificuldades neste ensino; e as suas experiências de trabalho com pares. A motivação para este levantamento foi identificar os professores que utilizassem alguma estratégia de ensino ‘não tradicional’ ou que tivessem interesse em constituir um grupo com características colaborativas para discutir o ensino da Álgebra Linear. A partir deste levantamento identifiquei um grupo de seis professores do Centro de Ensino em que atuo, que se disponibilizaram a participar e discutir as suas práticas de ensino. A partir da conceção do grupo, passamos a reunir-nos periodicamente. Inicialmente, todos os elementos do grupo partilharam as suas experiências de ensino da Álgebra Linear. Com base nas dificuldades relatadas por cada um dos docentes, procurámos definir objetivos comuns de trabalho para o grupo. A dinâmica de trabalho consistiu na planificação de aulas e de tarefas avaliativas, na concretização dessas atividades e na reflexão no grupo com o objetivo de identificar as dificuldades e possíveis melhorias. O trabalho neste grupo teve a duração de dois semestres letivos, proporcionando uma importante fonte de informações para o desenvolvimento desse estudo. 1.3. A relevância do estudo A importância da disciplina de Álgebra Linear ocupa um lugar central no cenário de ensino e aprendizagem de Matemática, devido às conexões com outras áreas de conhecimento. A importância da Álgebra Linear tem crescido nas últimas décadas, os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse em Álgebra Linear. Sua importância vai desde as ciências sociais às ciências exatas, permitindo seu uso diário em áreas como economia, aviação, exploração petrolífera e circuitos eletrônicos. (Nieto & Lopes, 2006, p. 611).
4 Nos cursos de formação de professores de Matemática, a Álgebra Linear é uma poderosa ferramenta tanto para o desenvolvimento do pensamento matemático, como para o reconhecimento de aplicações em problemas de diversas áreas, tais como, por exemplo, na Biologia, na Economia e na Computação. A Álgebra Linear é também uma disciplina propícia para explorar o potencial didático das ferramentas tecnológicas e, nesse caso, os aspetos numéricos se tornam relevantes além da estrutura algébrica. O conhecimento de Álgebra Linear irá ajudar o professor na sala de aula, ao ensinar conteúdos da própria Matemática sabendo das aplicações em outras áreas, o que abre oportunidades para interação didática interdisciplinar, fundamentada em linguagem matemática. (SBEM, 2013, p. 31) Apesar da sua grande aplicabilidade, “o ensino da Álgebra Linear a nível universitário é quase universalmente considerado uma experiência frustrante para professores e alunos” (Hillel, 2000, p. 191), devido às dificuldades de aprendizagem dos alunos nesta disciplina. Esta constatação é corroborada por Dorier (2002), que considera que o ensino da Álgebra Linear é universalmente reconhecido como difícil. Os estudantes geralmente sentem-se pousando em outro planeta, eles são surpreendidos com o número de novas definições e a falta de conexão com o conhecimento anterior. Por outro lado, os professores muitas vezes sentem-se frustrados e desarmados, quando confrontados com a incapacidade de seus alunos para lidar com as ideias que eles consideram ser tão simples. (Dorier, 2002, pp. 875-876) Os desafios que os alunos podem enfrentar ao aprender conceitos fundamentais em Álgebra Linear são bem documentados. A Álgebra Linear é uma disciplina complexa para os alunos por uma variedade de razões, incluindo: a generalização do raciocínio das formas geométricas (Harel, 1990; Hillel, 2000); a compreensão das diferentes notações simbólicas da Álgebra Linear (Harel & Kaput, 1991; Larson & Zandieh, 2013); a utilização de definições formais da Álgebra Linear (Dorier et al., 2000a); e a coordenação entre as diferentes linguagens, pensamentos e representações envolvidos em Álgebra Linear (Dogan-Dunlap, 2010; Hillel, 2000; Sierpinska, 2000). A dificuldade nessa disciplina não é inerente apenas à aprendizagem do aluno, também se manifesta na prática docente. Nieto e Lopes (2006) salientam que ministrar Álgebra Linear não é uma tarefa fácil e constitui-se um desafio para os professores. As inquietações por parte de quem ensina essa disciplina, que não são recentes, envolvem questões relacionadas com o currículo e com o uso de metodologias de ensino diferenciadas, que incorporem, em particular, materiais tecnológicos nas
5 estratégias de ensino, dentre outras. Vários pesquisadores, ao redor do mundo, têm compartilhado experiências e sugestões para o ensino de Álgebra Linear, com o intuito de minimizar as dificuldades e torná-la mais acessível aos alunos. Tais sugestões envolvem: trabalhar com o conhecimento prévio dos alunos; adiar a formalização; enfatizar o papel das diferentes representações dos conceitos de Álgebra Linear (Artigue et al., 2000); a utilização de uma abordagem progressiva da abstração de acordo com os três princípios pedagógicos (da concretização, da necessidade e da generalização) (Harel, 2000); e enfatizar a importância da visualização e do raciocínio visual para o ensino e a aprendizagem da Álgebra Linear (Gonçalves, 2018; Harel, 1989, 2000; Konyalioglu et al., 2011). Um dos grandes desafios do ensino de Álgebra Linear é inovar a prática tradicional do professor. Segundo Dubinsky (1997), as práticas tradicionais contribuem muito pouco para a compreensão dos alunos, pois em geral a abordagem padrão é a exposição das ideias ou a resolução de problemas passo a passo, realizadas pelo professor, esperando-se que os alunos consigam extrair princípios gerais, ‘copiando’ o que os seus professores fazem. Mas como alterar essa prática tão culturalmente presente em nosso ofício docente? Para Boavida e Ponte (2002), a colaboração é uma estratégia fundamental para enfrentar problemas de natureza complexa, como, por exemplo, a prática pedagógica, pois possibilita um contexto altamente favorável à aprendizagem e ao desenvolvimento profissional do professor. No trabalho colaborativo existe a vantagem de múltiplos olhares sobre a situação educacional o que, como consequência, permite que se produzam quadros interpretativos consistentes sobre a questão estudada e investigada. Vygotsky (1985) argumenta que as atividades realizadas em grupo, de forma conjunta, oferecem enormes vantagens, que não estão disponíveis em ambientes de aprendizagem individualizada. Assim, a formação de um grupo de trabalho colaborativo entre os professores que ministram a disciplina de Álgebra Linear pode-se revelar um ambiente propício à reflexão e à busca de soluções das problemáticas evidenciadas nos processos de ensino e aprendizagem de Álgebra Linear. Um grupo colaborativo é aqui entendido como um grupo em que a participação é voluntária, em que todos os indivíduos envolvidos buscam o crescimento profissional, compartilham confiança e respeito, apoiam o trabalho em grupo, se engajam em um propósito comum, criando e compartilhando significados sobre o que estão fazendo, sobre suas vidas e práticas profissionais. Nesse contexto, os participantes sentem-se à vontade para expressar suas ideias livremente, ouvir críticas e mudar pontos de vista, e as atividades não seguem apenas uma orientação determinada. Os participantes podem ter diferentes níveis de envolvimento, diferentes interesses e pontos de vista, contribuindo assim para uma grande variedade de ideias. (Ferreira & Miorim, 2011, p. 138)
6 Com base no entendimento que Ferreira e Miorim (2011) têm sobre o trabalho colaborativo, percebe-se que não é suficiente formar um grupo de pares sem que haja uma identificação e um envolvimento conjuntos com as problemáticas tratadas no seio deste grupo. 1.4. Objetivos e questões de investigação A Álgebra Linear apresenta um imenso potencial de aplicações em muitos campos científicos, ocupando um papel fundamental na formação acadêmica dos alunos de Matemática e áreas afins. Entretanto, o alto nível de formalismo dessa disciplina, muitas vezes, não permite aos alunos estabelecer conexões com o que eles já sabem de Matemática (Dorier, 2002; Harel, 1989). Além disso, a abordagem axiomática desta disciplina desperta, nos estudantes, o sentimento de aprender um tema que lhes parece não ser significativo. Assim, a Álgebra Linear acaba por se tornar uma disciplina-problema em muitas instituições de Ensino Superior derivado ao fraco desempenho de muitos alunos que acabam por reprovar (Celestino, 2000; Figueiredo et al., 2014). Um dos grandes desafios passa por inovar esta prática tradicional do professor, denominado de ensino direto (Ponte, 2005b), que muitas vezes trabalha isoladamente tendo como fonte apenas o livro didático, o qual geralmente apresenta uma abordagem formalista e descontextualizada, não permitindo a discussão e a reflexão de outras abordagens e/ou metodologias que poderiam favorecer os processos de ensino e aprendizagem dessa disciplina. Diante deste contexto, este estudo tem como objetivos caracterizar o ensino de Álgebra Linear de professores de uma universidade brasileira e averiguar o contributo do trabalho colaborativo entre professores dessa instituição no ensino de Álgebra Linear. Tendo em vista o objetivo proposto, formularam-se as seguintes questões de investigação: – Como os docentes ensinam Álgebra Linear? – Que dificuldades sentem os docentes no ensino de Álgebra Linear? – Que perspetivas têm os professores sobre o trabalho colaborativo? – Que problemáticas identificam os professores de um grupo de trabalho colaborativo na sua prática de ensino de Álgebra Linear? Como essas problemáticas são tratadas? – Quais as potencialidades e os constrangimentos do trabalho colaborativo no ensino de Álgebra Linear?
7 1.5. Organização da tese Esse estudo está organizado em nove capítulos, sendo o primeiro a Introdução, que contempla a problemática, as justificativas, os objetivos, as questões de investigação e a organização da tese. O Capítulo 2 debruça-se sobre a sustentação teórica de processos de ensino e aprendizagem de Álgebra Linear que embasaram a compreensão das perspetivas das práticas dos professores que ensinam esta disciplina, sobre as dificuldades de aprendizagem enfrentadas pelos alunos, e sobre o debate de dimensões do conhecimento profissional do professor que ensina Álgebra Linear. O Capítulo 3 descreve um percurso para superar a solitude e o individualismo que permeiam a prática docente – o Trabalho Colaborativo – conferindo apoio e recursos para lidar com os desafios que impõem as mudanças da sociedade atual. Assim, são caracterizados os aspetos que constituem o trabalho colaborativo, a promoção de formas de trabalho coletivo, os constrangimentos enfrentados e as potencialidades deste modo de trabalho na prática docente. O Capítulo 4 apresenta os procedimentos metodológicos assumidos no desenvolvimento da investigação. Inicialmente, debruça-se sobre a definição do problema de estudo, a descrição das fases da investigação e das opções metodológicas que a sustentam. Na sequência, apresentam-se os participantes e os procedimentos para a sua escolha. Por fim, apresentam-se os métodos de recolha dos dados e como se procedeu a análise dos dados. O Capítulo 5 descreve a trajetória de um grupo de trabalho colaborativo, incluindo a caracterização deste grupo e as diferentes fases do trabalho do grupo até ao culminar do que denomino de grupo de trabalho colaborativo. O Capítulo 6 trata da análise das perceções de professores de uma universidade brasileira que ensinam ou ensinaram Álgebra Linear, apresentando uma caracterização desses professores, seguindose um seu olhar sobre a sua prática profissional e, por fim, sobre a sua prática de ensino em Álgebra Linear. Nos dois capítulos consequentes, Capítulo 7 e Capítulo 8, desenvolvem-se dois estudos de caso, respetivamente, sobre os professores Téo e Nina. Estes capítulos têm por finalidade evidenciar as formas como Téo e Nina se integram nas atividades realizadas no seio do grupo de trabalho colaborativo em prol da sua prática docente de tópicos de Álgebra Linear. O Capítulo 9 debruça-se sobre as discussões e as conclusões do estudo, as suas limitações e recomendações para futuras investigações. Na sequência são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas na presente pesquisa, bem como os anexos que fazem parte da mesma.
8 CAPÍTULO 2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA LINEAR Este capítulo, constituído por três secções, debruça-se sobre os processos de ensino e aprendizagem da Álgebra Linear. Com o intuito de entender a natureza das dificuldades dos estudantes na aprendizagem de Álgebra Linear, inicialmente é apresentado um olhar sobre a teoria de Espaços Vetoriais com suas características de generalização e unificação do pensamento matemático. Em seguida, evidenciam-se alguns estudos que discutem as dificuldades de aprendizagem nessa disciplina. Face às dificuldades, são apresentadas algumas perspetivas que a literatura aponta para o ensino de Álgebra Linear e são analisados alguns estudos relacionados com a prática pedagógica do professor que ensina esta disciplina. Por fim, enquadra-se o conhecimento profissional do professor que ensina Álgebra Linear em torno de modelos que a investigação procura sustentar a sua ação didática. 2.1. Um olhar sobre as dificuldades no ensino e na aprendizagem de Álgebra Linear A Álgebra Linear é um ramo da Matemática que envolve a teoria de espaços vetoriais e as transformações lineares entre esses espaços. O conceito de espaço vetorial é resultado de um longo processo de generalização e unificação que envolve várias partes da Matemática como a Geometria, a Análise e a Álgebra. As raízes do desenvolvimento da teoria de espaços vetoriais podem ser encontradas no final do século XIX, onde os métodos de resolução de problemas lineares eram operacionais, mas não eram explicitamente teorizados ou unificados (Dorier, 2002). A questão de usar ou não usar uma abordagem axiomática estava mais vinculada à organização do conhecimento do que à eficiência na resolução de problemas. Entretanto, segundo Dorier (2002), a última fase da conceção da teoria de espaços vetoriais, que corresponde à reconstrução teórica dos métodos de resolução de problemas lineares, utilizando os conceitos e ferramentas de uma nova teoria central axiomática, só começou após 1930. É importante salientar que a axiomatização não foi desenvolvida para resolver novos problemas, mas para simplificar a solução de problemas oriundos de diversos contextos utilizando uma abordagem e linguagem única e generalista (Dorier, 2002; Harel & Trgalová, 1996). Muitos desses problemas poderiam ser resolvidos sem o uso da Álgebra Linear, mas a sua resolução poderia ser mais complexa. Assim, a Álgebra Linear tornou-se uma teoria universal, generalista e unificada, e simplificada para prover potencialmente a solução destes problemas. Por outro lado, essa simplificação só é visível para o especialista que
9 reconhece a vantagem da generalização e aplicação em diversas áreas. Do ponto de vista didático, algumas pesquisas têm evidenciado que tal simplificação não é evidente, sendo fonte de muitas dificuldades na aprendizagem dos alunos, visto que a Álgebra Linear, geralmente, é o primeiro contacto dos alunos com a formalismo, sem qualquer preparação para o mesmo (Dorier, 2002; Harel, 1989). A dicotomia entre o sucesso e a dificuldade da axiomatização da Álgebra Linear tem impactado o currículo do ensino da Matemática em vários países, nos diferentes níveis de ensino. De acordo com Dorier (2000), a teoria axiomática de espaços vetoriais de dimensão finita foi introduzida nos currículos de Matemática do Ensino Básico de muitos países, nos anos 60 com o Movimento da Matemática Moderna (MMM), a partir da influência do grupo Bourbaki 1 . O objetivo do movimento era tornar o ensino da Matemática mais acessível a um maior número de alunos. Houve uma transformação completa no ensino da Geometria — “os axiomas de Euclides foram relocados por aqueles de espaços afins com uma forte ênfase no estudo das transformações lineares e afins” (Dorier, 2000, p. 12). A teoria formal de espaços vetoriais surgiu como um modelo para simplificar a solução de problemas lineares a partir de uma abordagem unificada e generalizada. Entretanto, não demorou muito para a comunidade de Educação Matemática perceber que aquela teoria com um poder simplificador, era na verdade uma fonte de graves dificuldades cognitivas. Aos poucos, o movimento foi fracassando e no início da década de 1980 a teoria dos espaços vetoriais desapareceu do Ensino Básico. A partir daí até aos dias de hoje, a Álgebra Linear dos espaços vetoriais está presente apenas no Ensino Superior, sendo uma disciplina básica do currículo da maioria dos cursos de graduação da área das Ciências Exatas. Em geral, é uma disciplina presente no primeiro ou segundo ano desses cursos e no Brasil é o primeiro contacto que os alunos de Ciências Exatas têm com uma teoria mais formal da Matemática. Com o fim do MMM, no Brasil e em outros países, como a França, não se estuda mais no Ensino Básico as estruturas algébricas. Estudam-se os conteúdos de matrizes, determinantes e sistemas lineares em duas e três dimensões, que servem de ferramenta para o estudo dos conteúdos da Álgebra Linear. Mas é no Ensino Superior, especificamente na disciplina de Álgebra Linear, que os alunos da área das Ciências Exatas têm o primeiro contacto com as estruturas algébricas e com um raciocínio pautado por axiomas, teoremas e demonstrações. Nas universidades, dependendo do curso, há diferentes enfoques para a disciplina, desde uma abordagem mais formal, ou limitada ao ℝ𝑛 e ao cálculo matricial, ou apenas introduzido dentro de uma abordagem mais geométrica. O que é consenso para a maioria dos 1 “[...] grupo de matemáticos, quase todos franceses, que se reuniu para escrever um tratado de Análise e acabou por reorganizar boa parte da Matemática desenvolvida até então, tomando como princípios a unidade da Matemática, as estruturas-mães (algébricas, topológicas e de ordem) e o método axiomático” (Esquincalha, 2012).
10 professores é que é uma disciplina difícil de ensinar por conta das dificuldades que os alunos têm de lidar com ideias que para eles parecem ser simples (Dorier, 2002). Estudos realizados nas décadas de 1980 e 1990 por um grupo de pesquisadores franceses em Didática da Matemática, como Dorier, Robert, Robinet e Rogalski, apontam que a maior crítica dos alunos em relação à Álgebra Linear diz respeito ao uso do formalismo, à grande quantidade de novas definições e à falta de conexão com o que os alunos já sabem de Matemática, despertando o sentimento de estudar um tema que lhes parece não ser importante para a sua formação. Por outro lado, as críticas dos professores estão relacionadas com o uso equivocado pelos alunos de ferramentas básicas de lógica ou teoria de conjuntos e à falta de habilidade em geometria cartesiana elementar, o que não permite o recurso à intuição para construir representações geométricas dos conceitos básicos de espaços vetoriais (Dorier et al., 2000a). Estes autores chamam a atenção de que essas queixas correspondem a uma determinada realidade e que algumas tentativas para remediar essa situação até foram tomadas (na França), como oferecer um curso de Álgebra Linear com uma parte introdutória com ênfase na Geometria e/ou lógica e teoria de conjuntos, mas que não parecem ter melhorado significativamente o desempenho dos alunos. Em relação às dificuldades manifestadas pelos estudantes quanto ao aspeto formal da teoria de espaços vetoriais, Dorier et al. (2000a) evidenciam que não se devem apenas ao formalismo em si, mas sobretudo à dificuldade em entender “o uso específico do formalismo dentro da teoria dos espaços vetoriais e a interpretação dos conceitos formais em relação a contextos mais intuitivos como geometria ou sistemas de equações lineares, nas quais eles historicamente emergiram” (p. 86). Entre os anos de 1987 e 1994, vários estudos de diagnóstico sobre as dificuldades dos estudantes foram conduzidos por Dorier, Robert, Robinet e Rogalski. Esses estudos não só envolviam a elaboração e validação de experiências de ensino, mas também uma reflexão epistemológica construída sobre a análise histórica da gênese dos conceitos de Álgebra Linear e sobre uma análise didática do ensino e das dificuldades dos alunos. Dorier et al. (2000a) constataram uma série de obstáculos em diferentes níveis que apareceram para todas as gerações sucessivas de estudantes envolvidos em seus estudos — o obstáculo ao formalismo . Segundo Dorier (2000), o obstáculo do formalismo é um obstáculo epistemológico, pois os estudantes têm as mesmas dificuldades que sucessivas gerações de estudiosos tiveram no desenvolvimento da estrutura axiomática. Exemplos do obstáculo do formalismo encontrados nos estudos de Dorier et al. (2000a) incluem: 1) o uso inadequado das noções de lógica e da linguagem da teoria de conjuntos – confusão entre inclusão e igualdade, entre implicação e equivalência ou entre hipótese e conclusão;
17 estudo foi realizado com aproximadamente 500 estudantes de cursos de engenharia e de algumas ciências, enquanto frequentavam um segundo curso de Álgebra Linear. Segundo os autores, no primeiro curso, que envolve retas e planos, matrizes, determinantes, sistemas lineares, autovalores e autovetores, em geral os alunos não têm dificuldades. Os autores examinaram as resoluções dos alunos em duas questões: na primeira tinham que mostrar que o conjunto 𝑉={𝑡(1,2,3),𝑡∈ℝ} é um subespaço do ℝ3 e na segunda tinham que mostrar que o conjunto 𝑋 de todas as funções 𝑓:ℝ→ℝ cujo gráfico passa pelo ponto (0,0) é um subespaço de Ϝ, onde Ϝ é o espaço das funções reais de domínio ℝ. Parece ser uma tarefa simples provar que estes conjuntos são fechados para a adição e multiplicação por escalar, entretanto envolve a compreensão de uma definição abstrata (subespaço vetorial), alguma compreensão da teoria de conjuntos e a capacidade de escrever matematicamente com uma lógica correta. Relacionando com as linguagens descritas por Hillel (2000), é necessário que os alunos se movam da linguagem abstrata (a definição de subespaço em si) para a linguagem algébrica no qual a questão é enquadrada. Além disso, enquanto que a primeira questão tem uma interpretação geométrica (é uma reta), a segunda questão é mais abstrata. Para avançar nesta questão é necessário que os alunos entendam uma função como um objeto matemático, como um elemento de um espaço vetorial, e desvincular da ideia de função como uma fórmula/gráfico -- parte tão importante do estudo das funções no Ensino Básico. Os autores observaram que alguns alunos verificaram a definição de subespaço vetorial para casos particulares ao invés de generalizar (o que não é um erro específico da Álgebra Linear, é um erro comum em provas matemáticas), mas não foi um erro dominante. Como referem os autores, “reconhecer a necessidade de estabelecer um argumento geral é apenas o primeiro passo” (Britton & Henderson, 2009, p. 971). Entretanto, os principais erros estavam relacionados com o entendimento e interpretação da linguagem simbólica (por exemplo, muitos alunos ao invés de verificarem que para um conjunto ser fechado para a adição, a soma de quaisquer dois de seus vetores também deve ser um elemento seu, verificavam que a soma de dois vetores é um vetor) e à inclusão de extratos de problemas semelhantes memorizados a partir das aulas. Além disso, os autores observaram que foi um desafio para os estudantes ver as funções como vetores ao verificarem o fechamento. Stewart e Thomas (2003) também realizaram um estudo para examinar o entendimento conceitual da Álgebra Linear, a partir de um questionário composto por questões conceituais relacionadas com as representações geométrica, matricial e algébrica da Álgebra Linear. O estudo foi conduzido com 70 alunos já familiarizados com a Álgebra Linear básica e que cursavam uma disciplina com tópicos mais avançados da disciplina. No estudo, os alunos apresentaram dificuldades em entender
18 o significado das definições e de as aplicar mesmo em situações simples. Eles revelam uma tendência para uma abordagem mais processual do que conceitual, como evidencia a resposta de um aluno para sua explicação sobre o que é uma ‘matriz inversível’: “Trata-se de encontrar a inversa de uma matriz, tendo a matriz identidade ao lado dela” (p. 211). Um outro exemplo desse tipo de resposta para a definição de ‘autovetor’: “um vetor que, quando multiplicado por uma matriz particular, será igual a um múltiplo de si mesmo” (p. 211). Os alunos também apresentaram dificuldades em traduzir os conceitos em diferentes representações, o que é uma consequência, na opinião dos autores, dessa compreensão frágil sobre os conceitos de Álgebra Linear. Alguns estudos procuram examinar o raciocínio dos estudantes na resolução de tarefas de acordo com os três modos de pensamento de Sierpinska. É o caso de Çelik (2015), que explorou os modos de pensamento de estudantes de graduação enquanto resolviam uma tarefa focada na linguagem abstrata que questionava se a (in)dependência de um conjunto de três vetores não especificados implica a (in)dependência do novo conjunto obtido por exclusão de um vetor ou adição de outro (os vetores não tinham representação geométrica e numérica). O estudo foi conduzido com 186 estudantes candidatos a professores de matemática e os dados foram recolhidos por meio dos registros das resoluções dos alunos e de uma entrevista a oito destes alunos. Nas entrevistas, a pesquisadora se concentrou no tipo de pensamento utilizado pelos alunos ao descreverem as suas ideias e não na correção das respostas. A pesquisadora categorizou as diferentes abordagens dos estudantes dentro dos três modos de pensamento de Sierpinska e verificou que houve uma predominância do pensamento aritmético dos alunos, mesmo sendo a tarefa abstrata. A pesquisadora chama a atenção de que os pensamentos aritmético e geométrico poderiam e/ou deveriam ser usados na tarefa no sentido de servir de ‘caminho’ para a abstração. No modo de pensamento aritmético os alunos evidenciaram processos operacionais e procedimentos algébricos ligados às definições de independência linear e combinação linear. As dificuldades encontradas estavam relacionadas com o uso e manipulação inapropriados da linguagem simbólica (Çelik, 2015). As respostas no modo de “pensamento geométrico (10%) indicavam obstáculos relacionados à generalização matemática” (Çelik, 2015, p.1), pois eram baseadas num raciocínio correto, porém com vetores específicos do ℝ2,ℝ3 e ℝ4, o que reflete um ‘pensamento prático’ baseado em ‘exemplos prototípicos’ (Sierpinska, 2000). Apenas 5% das respostas refletiram o pensamento analítico estrutural. Dogban-Dunlap (2010) também categorizou diferentes abordagens dos estudantes para determinar se determinados conjuntos de vetores eram linearmente independentes utilizando os três modos de pensamento de Sierpinska. Trabalhou com duas tarefas num contexto geométrico com suporte
19 computacional. Mais precisamente, na primeira tarefa os alunos deveriam verificar se determinados subconjuntos de vetores do ℝ3 são linearmente independentes e para a responder poderiam usar ferramentas computacionais para aplicar o método de redução por linhas. Enquanto que a segunda tarefa tinha um objetivo similar à primeira, os alunos deveriam abordar as questões usando um ambiente de geometria dinâmica disponibilizado na web , que fornecia as representações geométricas dos vetores. Na primeira tarefa houve predominância de respostas envolvendo o modo de pensamento aritmético (ou algébrico) e poucas respostas envolvendo o raciocínio geométrico, sendo que poucos alunos incluíam múltiplos modos (7 de um total de 45 alunos) em suas respostas. Enquanto que na segunda tarefa os modos de pensamento geométrico e aritmético apareceram de várias formas, com um número significativo de alunos integrando vários modos em suas respostas (29 de um total de 45 alunos), um número maior de respostas salientou mais o modo aritmético do que o modo geométrico. No modo de pensamento geométrico os alunos incorporaram alguns aspetos dos vetores, como a magnitude e a direção dos vetores, e algumas características dos espaços vetoriais, como a dimensão e as posições relativas dos vetores dentro dos espaços vetoriais. Quanto ao modo de pensamento aritmético, eles incluíram principalmente procedimentos e processos, tais como a redução de linhas de matrizes e as ideias de combinação linear, bem como referências a teoremas. Os resultados da análise inferem que “as ferramentas gráficas fornecidas em apoio da segunda tarefa podem não ter substituído o modo de pensamento aritmético ou algébrico, mas incentivam os estudantes a utilizar múltiplos modos em seus raciocínios” (p. 2158). Em ambos os estudos de Dogban-Dunlap (2010) e Çelik (2015), embora as tarefas tenham sido elaboradas em contextos diferentes, no primeiro caso em contexto abstrato e no segundo em contexto geométrico, os resultados mostram a predominância do pensamento aritmético dos estudantes. Nos estudos de Britton e Henderson (2009) e Çelik (2015) observa-se um fator comum em relação às dificuldades dos alunos com a manipulação e interpretação da linguagem simbólica, além de um foco no processo ao invés do uso dos conceitos, característica essa também presente no estudo de Stewart e Thomas (2003). Os estudos de Britton e Henderson (2009), Dogban-Dunlap (2010), Çelik (2015) e Stewart e Thomas (2003), dentre outros, dão indícios para a importância de focar em estratégias de ensino que explorem a manipulação simbólica, que façam a conexão entre as diferentes representações dos objetos matemáticos, além de explorarem os tipos de pensamento necessários para fazer essas conexões, que são ações tão necessárias para compreender a lógica das demonstrações e, de forma geral, trabalhar com a teoria abstrata da Álgebra Linear.
20 2.2. Perspetivas atuais do ensino de Álgebra Linear Face às dificuldades manifestadas pelos alunos em Álgebra Linear, há uma preocupação por parte de quem ensina essa disciplina, que não é recente, sobre como a tornar mais acessível. Essa preocupação contempla questões relacionadas com o currículo, o uso de metodologias de ensino diferenciadas, em particular incorporando ferramentas tecnológicas nas estratégias de ensino, dentre outras. Com a preocupação de tornar o mais acessível possível os conceitos de Álgebra Linear aos alunos, o grupo de investigadores franceses do IREM ( Institute for Researchs in Teaching Mathematics ), conforme referem Artigue et al. (2000), apresenta as seguintes sugestões para o ensino da Álgebra Linear: 1. Limitar o conteúdo e adiar a formalização de certas noções que só podem inicialmente ser estudadas com a ajuda de exemplos; 2. Limitar o vocabulário e os símbolos ao que é estritamente necessário e adequado; 3. Usar exemplos que os alunos já conheçam da escola básica (geometria e equações). Objetos como funções e polinómios são muito complexos para principiantes; 4. Escolher instrumentos de avaliação que testem a verdadeira compreensão e não apenas a manipulação mecânica dos conceitos; 5. Ensinar aos alunos como se estrutura uma demonstração; 6. Enfatizar o papel das diferentes representações dos conceitos em estudo; 7. Recorrer a esta metodologia de ensino em futuras disciplinas conectadas com a Álgebra Linear; 8. Integrar nas aulas resultados decorrentes da investigação em Educação Matemática. (p. 258) Nos EUA, no início dos anos 90, um grupo de educadores universitários, denominado de Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG), preocupados com a qualidade dos cursos de Álgebra Linear em ter um currículo adequado às necessidades dos estudantes de diferentes saídas profissionais e em tornar a disciplina mais acessível a todos, produziu um conjunto de recomendações para um primeiro curso de Álgebra Linear (Carlson et al., 1993): (1) O programa de Álgebra Linear deve responder à necessidade do público alvo da disciplina; (2) Considerar as matrizes como eixo principal; (3) Os professores devem considerar as necessidades e interesses dos estudantes; (4) Os professores devem ser encorajados a utilizar a tecnologia; (5) Ao menos um ‘segundo curso’ em teoria matricial/Álgebra Linear deve ser altamente prioritário para todo o currículo de Matemática. A partir destas recomendações, muitos livros didáticos foram escritos adequando-se a elas (Harel, 2000). A análise realizada por Grande (2006) mostra que alguns livros que servem de referência para os cursos de Álgebra Linear em algumas universidades brasileiras procuram atender à maioria de tais recomendações.
21 Harel (2000) apresenta a sua interpretação sobre as recomendações do LACSG e sugere uma abordagem para o ensino de Álgebra Linear de acordo com três princípios pedagógicos: da concretização ; da necessidade; e o da generalização . O princípio da concretização postula que: “Para os estudantes abstraírem uma estrutura matemática de um dado modelo daquela estrutura, os elementos daquele modelo precisam ser entidades conceituais aos olhos dos estudantes” (Harel, 2000, p. 180). Um dos exemplos que Harel usa para o princípio da concretização é o facto de que os alunos não têm dificuldade de verificar se um conjunto de vetores do ℝ𝑛 é linearmente independente, mas tem dificuldade em verificar se um conjunto de polinômios, por exemplo 𝐴={𝑥,𝑥2,𝑥3,𝑥4}, é linearmente independente. Harel sugere que os alunos têm essa dificuldade porque não é concreto para eles o conceito de função como um vetor num espaço vetorial, como é apontado no estudo de Britton e Henderson (2009). Assim, quando eles têm que resolver a equação 𝑎𝑥+𝑏𝑥2+𝑐𝑥3+𝑑𝑥4=0 para determinar se o conjunto 𝐴 é linearmente independente, eles não conseguem visualizar o zero da igualdade como o polinômio nulo 0𝑥+0𝑥2+0𝑥3+0𝑥4 mas sim como um escalar, ou seja, não conseguem interpretar a equação como uma identidade entre duas funções, mesmo que a vejam como uma equação em 𝑥. Harel (2000) explica que o princípio da concretização parte do pressuposto de que os alunos criam a compreensão de um conceito num contexto que é concreto para eles. Assim, conclui que a Geometria do ℝ2 e ℝ3 é o contexto concreto para introduzir noções de Álgebra Linear como dependência e independência linear, geradores, base, dimensão, produto interno e transformações lineares, pois estes conceitos têm origem em problemas geométricos. O autor chama a atenção para a forma como a representação geométrica é introduzida e utilizada para conduzir à abstração, pois os professores conseguem ver o isomorfismo que há entre uma situação geométrica e uma algébrica, mas muitos alunos ficam restritos ao caso geométrico e não conseguem abstrair os conceitos para espaços vetoriais mais gerais. O princípio da necessidade postula que “para os estudantes aprenderem, eles devem ver a necessidade para aquilo que está sendo ensinado” (Harel, 2000, p. 185). Este princípio baseia-se na suposição piagetiana (que também foi adotada pela Teoria das Situações Didáticas elaborada por Brousseau (1997)) de que o conhecimento se desenvolve como solução para um problema (Harel, 2000). O autor considera que se o professor resolve os problemas para os alunos e só lhes pede para reproduzir as soluções, eles vão aprender a reproduzir as soluções do professor, mas não como resolver problemas. Assim, a ideia por detrás deste princípio é que “as atividades de ensino devem oferecer situações problemáticas em que os alunos possam refletir de forma abstrata os conceitos matemáticos e, ao mesmo tempo, manter a situação realista” (Harel, 2000, p. 186). No decorrer da solução de tais
22 problemas, os alunos devem perceber o benefício intelectual do conhecimento que lhes foi direcionado e se uma ideia for iniciada pelo seu professor não devem sentir que foi evocada arbitrariamente. Assim, é ineficaz procurar motivar os alunos para aprender um conceito específico, dizendo-lhes apenas o quão importante é o conceito ou que consequência terá se entenderem certos assuntos, como fazem normalmente os livros didáticos (Harel, 2000). Os princípios da concretização e da necessidade são complementados pelo princípio da generalização . Neste princípio, as atividades de ensino correspondentes a um modelo concreto “devem permitir e encorajar a generalização dos conceitos” (Harel, 2000, p. 187). Este princípio tem por objetivo garantir que os alunos internalizem, organizem, abstraem e mantenham o conhecimento sobre os conceitos que aprendem num determinado modelo. O princípio seria violado se, por exemplo, uma base para o ℝ3 fosse definida a partir de três vetores não colineares ou não coplanares, pois essa noção não pode ser estendida para qualquer espaço vetorial. Harel sugere, neste caso, que uma opção para sair do concreto e fazer a generalização passa por explorar o conceito de base a partir do conceito de conjunto gerador mínimo, por ser possível a generalização desse conceito para espaços vetoriais quaisquer. Inicialmente, tal conjunto de vetores geradores pode não ser o mais apropriado por nem sempre gerar um determinado vetor a partir deste conjunto de maneira única, por isso a necessidade de que o conjunto de geradores seja mínimo. Assim, como a pesquisa de Harel, outros estudos recentes sugerem que uma abordagem visual e geométrica pode contribuir significativamente para a aprendizagem dos conceitos abstratos da Álgebra Linear. As ferramentas para a visualização do conceito abstrato em Matemática podem ser os gráficos, os diagramas, as imagens ou os modelos geométricos. Ao usar a abordagem da visualização, os alunos podem perceber as relações entre conceitos abstratos e estruturas concretas em diferentes perspetivas e, assim, muitos conceitos abstratos podemse tornar claros e passar a fazer sentido para eles (Konyalioglu et al., 2011). Entretanto, é preciso alguns cuidados com essa abordagem, como aponta Harel (2000) quando discute o princípio da concretização . As intuições geométricas podem gerar dificuldades para os estudantes no entendimento das generalizações dos conceitos da Álgebra Linear (Gueudter-Chartier, 2004; Harel, 2000; Sierpinska, 2000). Por exemplo, dois vetores (não-nulos) linearmente independentes no ℝ2 são não-colineares (não estão na mesma reta); três vetores (não-nulos) linearmente independentes no ℝ3 não estão no mesmo plano, entretanto não podemos usar este mesmo raciocínio no ℝ4 ou em outro espaço vetorial qualquer. É preciso mostrar aos alunos que tanto no ℝ2 como no ℝ3 os vetores são linearmente independentes se um vetor não for combinação linear dos demais. Essa é a ideia que é válida para qualquer espaço vetorial. Gueudter-Chartier (2004) sugere que a Álgebra Linear não seja construída como uma simples
23 generalização da Geometria, mas que seja associada a vários domínios da Matemática, como matrizes, polinômios, funções, etc. Nesses casos, para orientar a intuição dos alunos na aprendizagem de alguns conceitos, o isomorfismo pode ser usado para conduzir à generalização, embora não seja tarefa simples para os alunos compreenderem essa ideia. A ideia do isomorfismo é que um sistema 𝐵 representa um modelo do sistema 𝐴 se uma descrição ou solução produzida em termos de 𝐴 pode ser refletida de forma consistente em termos de 𝐵 e vice-versa (Fischbein, 1987). Por exemplo, ℝ, ℝ2 e ℝ3 são isomorfos ao ℝ𝑛. Assim, um problema dado no ℝ𝑛 pode ser generalizado neste espaço após ser resolvido no ℝ,ℝ2 e ℝ3 e se tornar claro (Gueudet-Chartier, 2003). Um isomorfismo pode ser estabelecido entre ℝ3 e 𝑃2 (conjunto dos polinômios de grau ≤2), por exemplo. Konyalioglu et al. (2011) em sua pesquisa sugerem o uso da abordagem da visualização da Geometria de vetores, pois é um contexto familiar para os estudantes. Na mesma perspetiva de Harel (1990, 2000), os autores sugerem que os conceitos sejam ensinados de forma progressiva: em primeiro, a visualização geométrica dos conceitos em ℝ,ℝ2 e ℝ3, depois a apresentação no ℝ𝑛 e por último a apresentação da abstração. Como sugestão de tal abordagem que promova um elo entre o concreto, o algébrico e o abstrato, os autores apresentam o seguinte exemplo sobre o conceito de subespaço vetorial: O subconjunto W formado por vetores da forma (𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) com 𝑥1=0 e 𝑥𝑖∈ℝ é um subespaço do espaço vetorial V=ℝn? (Konyalioglu et al., 2011). Na perspetiva de trabalhar o que é concreto, os autores sugerem que se inicie com a exploração geométrica do problema no ℝ2 ou ℝ3, aproveitando para fazer uma ligação com a representação algébrica do subconjunto nestes espaços. Por exemplo, no ℝ2 os vetores de W são vetores localizados no eixo das ordenadas e tem a forma (0,𝑦). Além disso, W pode ser representado algebricamente por 𝑊={(0,𝑦),𝑦∈ℝ}. Após o reconhecimento pelo aluno de que tipo de objeto geométrico é W, pode-se explorar o conceito de subespaço geometricamente, observando que a soma de quaisquer dois vetores de W sempre resulta num vetor de W (fechamento para a adição), e que o mesmo acontece ao multiplicar um vetor por um escalar (fechamento para a multiplicação por escalar), conforme a Figura 1. Figura 1. Ilustração do fechamento da soma e da multiplicação por um escalar (Konyalioglu et al., 2011, p. 4043)
24 Na sequência, verifica-se algebricamente se 𝑊={(0,𝑥2,…,𝑥𝑛),𝑥𝑖∈ℝ} é subespaço do ℝ𝑛 verificando se este conjunto é fechado para a soma e multiplicação por escalar. Para isso, tomando 𝑢= (0,𝑥2,…,𝑥𝑛) e 𝑣=(0,𝑦2,…,𝑦𝑛), vetores quaisquer de W, verifica-se que 𝑢+𝑣=(0,𝑥2+ 𝑦2,…,𝑥𝑛+𝑦𝑛) é um vetor de W, pois 𝑥1+𝑦1=0, e que 𝑘𝑢=(0,𝑘𝑥2,…,𝑘𝑥𝑛) é um vetor de W, pois 𝑘𝑥1=0, para todo 𝑘∈ℝ. Portanto 𝑊 é subespaço do ℝ𝑛. No sentido de fazer uma ligação entre os conceitos de subespaço e dependência linear para um problema abstrato, Konyalioglu et al. (2011) apresentam o problema: “Seja 𝑊 um subespaço de um espaço vetorial 𝑉, e 𝑊 um subconjunto de 𝑊′. Neste caso 𝑊′ é linearmente dependente?” (p. 4044). Para resolver o problema, o aluno tem que levar em consideração que uma condição necessária para 𝑊 ser subespaço é que o elemento nulo deve pertencer a este conjunto e que como 𝑊⊂𝑊′, o elemento nulo está em 𝑊′. Assim, 𝑊′ é linearmente dependente, pois um dos seus elementos é nulo. Nessa última questão, a linguagem envolvida é a abstrata, pois 𝑉 e 𝑊 são desconhecidos, mas satisfazem as condições de espaço e subespaço vetorial, respetivamente. Portanto, o nível de pensamento exigido aos alunos, dentro do quadro teórico de Sierpinska, é o analítico-abstrato, pois é necessário levar em consideração um conjunto de informações teóricas para solucionar o problema. Ainda em relação às recomendações para o ensino de Álgebra Linear, Day e Kalman (1999), após participarem de um grupo de estudos envolvendo pesquisadores/educadores no Park City Mathematics Institute (PCMI) em Princeton, cuja questão de estudo foi “Como ensinar Álgebra Linear?”, ponderam que não existe um caminho certo para ensinar esta disciplina, que é preciso entender melhor como os alunos aprendem, que existem problemas em relação à aprendizagem da disciplina que talvez nunca sejam resolvidos e que é necessário reconhecer que dependendo do contexto existem conteúdos e métodos mais adequados. Na mesma perspetiva do LACSG, estes autores afirmam que é importante conhecer quem é o público alvo da disciplina e quais as disciplinas que vão cursar e que necessitam de Álgebra Linear, para então dialogar com os professores destas disciplinas e discutir que tópicos de Álgebra Linear esperam que os seus alunos aprendam. Destacam a importância do uso de softwares para criar ambientes interativos em que os estudantes possam usar e experimentar vetores, matrizes, transformações, representações gráficas, simbólicas e numéricas e assim facilitar o entendimento dos conceitos a partir da visualização dos mesmos em duas e três dimensões. Recentemente no Brasil, também foi lançado um documento (SBEM, 2013) produzido por uma comissão paritária de representantes da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) que traz recomendações em relação ao foco que deve ser dado ao ensino de Álgebra Linear nos cursos de Licenciatura em Matemática, ressaltando a importância
25 deste domínio da Matemática na formação do futuro professor de Matemática. O documento chama a atenção de que vários dos tópicos de Álgebra Linear estão presentes no currículo do ensino médio, como funções, matrizes, determinantes e sistemas lineares, porém nem sempre são explorados de forma adequada. Muitos professores desconhecem o significado das operações com matrizes, das operações com as linhas de uma matriz no algoritmo do escalonamento ou do cálculo de um determinante, se limitam apenas ao cálculo mecanizado, ou raramente exploram o conceito de linearidade que pode estar presente em fenômenos ou experimentos (SBEM, 2013). O documento destaca que o futuro professor não irá ensinar, por exemplo, a teoria de transformações lineares no Ensino Básico, mas o conhecimento de suas propriedades geométricas e da relação com matrizes permite que o professor ao ensinar Geometria no Ensino Básico promova atividades lúdicas com a devida interpretação para que os seus alunos consigam perceber os conceitos e propriedades envolvidos. Também chama a atenção para o potencial didático que têm as ferramentas tecnológicas nessa disciplina, permitindo ao futuro professor explorar tanto os aspetos numéricos quanto geométricos dos conceitos de forma dinâmica e interativa. Assim, é de fundamental importância para a formação dos futuros professores de Matemática um estudo cuidadoso da interpretação e visualização dos conceitos envolvidos nos tópicos estudados em Álgebra Linear. Uma outra forma de lidar com as dificuldades dos alunos passa pela mudança da prática de ensino, partindo do pressuposto de que atualmente ainda incide em processos tradicionais, marcada pela apresentação expositiva de definições e teoremas, seguidos de exemplos e de exercícios (Barros, 2018; Moro et al., 2016; Treffert-Thomas & Jawroski, 2015). Essa abordagem tem-se mostrado que não é suficiente para promover de forma eficaz a aprendizagem, pois “ignora completamente o nível cognitivo e o grau de desenvolvimento de cada aluno” (Dikóvic, 2007, p. 109). O papel do professor, segundo Dikóvic (2007), é o “de ajudar os alunos no processo de construção do conhecimento” (p. 109), mas para ele é bastante claro que, por mais qualitativo que seja o processo de ensino, é difícil que a aprendizagem ocorra num cenário onde o professor apenas fala e mostra, enquanto que o aluno é observador passivo. Mesmo nas aulas com uso da tecnologia é possível que o aluno seja passivo se quem a utilizar for apenas o professor ou a tarefa proposta não provocar o aluno a ter uma atitude reflexiva em relação ao que está sendo explorado. Enquanto professores, apercebemo-nos de que a compreensão pelos alunos das ideias matemáticas se desenvolve através da exploração ativa dos tópicos (por meio de erros, falsas generalizações, conceções incompletas e inconsistentes, dentre outras), da descoberta das interconexões até se tornarem completamente familiares e comuns. Porém, muitas vezes os professores parecem
26 esquecerem-se disso e acabam apresentando os tópicos de forma fragmentada aos alunos, como se esperassem que cada novo assunto se encaixasse naturalmente sem esforço algum (por parte do professor) para fazer as conexões (Day & Kalmann, 1999). Assim, como mudar essa prática tradicional tão presente na sala de aula? Que metodologias poderiam favorecer os processos de ensino e aprendizagem de Álgebra Linear? Na literatura, há vários exemplos que descrevem alternativas ao ensino tradicional. Strang (2014), matemático no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, nos Estados Unidos, e autor do livro Álgebra Linear com Aplicações , afirma que o seu modo de ensinar mudou paulatinamente e que em suas aulas não fica apenas discursando. Ele procura dar oportunidade aos alunos para fazerem parte da aula através de questionamentos, ter tempo para pensar e expressar a sua opinião e por último promove discussões sobre as respostas dos alunos. Nessa mesma perspetiva, Diković (2007) defende que o papel principal de um professor é “tentar mover os alunos para que participem ativamente durante a aula, seja através da forma de opinião individual ou através de discussões em grupo” (p. 110). Um recurso para promover a exploração ativa das propriedades das estruturas e dos objetos matemáticos é o uso das tecnologias. A utilização dos recursos tecnológicos permite aos alunos, através das múltiplas representações dos objetos matemáticos, conjeturar, simular e visualizar diferentes características dos objetos matemáticos sem as limitações do uso do lápis e papel. A integração das tecnologias nas práticas de ensino de Álgebra Linear pode tanto promover a aprendizagem de factos teóricos quanto desenvolver procedimentos. Com o uso dos softwares, “os alunos ficam livres para se concentrar no que os cálculos significam, e quando e por que executá-los” (Diković, 2007, p. 112). Os alunos podem, por exemplo, ao invés de se concentrar em obter a solução aritmética dos sistemas lineares, interpretar as soluções dos sistemas lineares e relacionar a inversa da matriz dos coeficientes com a solução. Tal não significa que o procedimento para encontrar a solução não seja importante, mas os problemas reais em geral envolvem sistemas com muitas equações, sendo inviável fazer os cálculos à mão. Com o uso de softwares pode-se estimular a intuição geométrica dos alunos por meio de visualizações em 2D ou 3D, por exemplo dos sistemas lineares ou de alguns operadores lineares, como o cisalhamento, a rotação, a reflexão, dentre outros. Existem outras perspetivas para o uso da tecnologia no ensino de Álgebra Linear, como a de Uicab e Oktaç (2006), que utilizaram o software Cabri-Géomètre para explorar com os alunos o problema de determinar uma transformação linear a partir das imagens dos vetores de uma base conhecida para o domínio. O uso deste programa foi proposto no sentido de ser um facilitador para a compreensão geométrica dos conceitos e para a dedução de propriedades e não propriamente como ferramenta para
33 Exploração da geração de exemplos: Aydin (2014) realizou uma experiência de ensino na qual propôs atividades que exploravam a criação de exemplos por parte dos alunos sobre os conceitos de dependência e independência linear. Com a ajuda destes exemplos, o autor analisou o nível de entendimento dos alunos sobre (in)dependência linear e qual o efeito do processo de geração de exemplos na aprendizagem de Álgebra Linear. O estudo foi realizado com 124 estudantes dos cursos de Matemática, Física e Engenharias numa universidade na Turquia. Foram coletados dados a partir dos registros escritos desses estudantes e a partir de entrevistas a 12 estudantes sobre as suas noções sobre (in)dependência linear. A Figura 2 ilustra o tipo de questão proposta aos alunos. Figura 2. Exemplo de questões propostas no estudo de Aydin (2014, p. 818). Segundo o autor, na entrevista foram incluídas questões a partir das resoluções dos alunos como, por exemplo, “Por que você selecionou essa matriz? Existe conexão direta entre linearidade e dimensão? Qual foi o seu critério para produzir um grupo gerador independente linear?” (Aydin, 2014, p. 818). O objetivo das entrevistas, segundo o autor, era identificar possíveis dificuldades dos alunos e observar a adequação das relações que os alunos poderiam formar entre diferentes elementos da decomposição genética dos conceitos de (in)dependência linear. Entende-se por decomposição genética de um conceito “um conjunto estruturado de construções mentais que podem descrever como o conceito se pode desenvolver na mente de um indivíduo” (Asiala et al., 2004, p. 7). No referido estudo, a teoria APOS 2 (Ação — Processo — Objeto — Esquema) foi utilizada para explicar as respostas dos estudantes. Segundo o autor, a abordagem pedagógica envolvida durante a 2 A teoria APOS, desenvolvida por Asiala et al. (2004) e baseada em Piaget, postula que um indivíduo deve possuir as estruturas mentais apropriadas para dar sentido a um determinado conceito matemático. Essas estruturas mentais se referem às ações, processos, objetos e esquemas necessários para aprender o conceito. Tomando por referência Asiala et al. (2004) e Aydin (2014), caracterizamos ação, processo, esquema e objeto: Ação: Uma ação é uma transformação que um indivíduo faz sobre um objeto matemático, apenas reagindo a pistas externas que fornecem detalhes precisos sobre os passos a seguir. Por exemplo, para fornecer um exemplo de uma matriz com linhas linearmente dependentes, o aluno muda as entradas e faz a redução por linhas, caso não encontre uma linha nula, muda as entradas e repete o processo.
34 experiência consistia no ciclo ACE: Atividade — Discussão em classe (o professor guiava os estudantes para refletir sobre a atividade e os conceitos envolvidos) — Exercícios (problemas padrões para reforçar o conhecimento adquirido na atividade e na discussão em classe). Também integravam este ciclo atividades no computador e em grupo. Aydin (2014) evidenciou que o método de geração de exemplos envolvido na atividade proposta permitiu revelar as relações existentes entre o conceito de dependência linear e outros conceitos como o de variável livre, linha nula, infinitas soluções para um sistema linear homogêneo e o de independência linear com a não existência de variável livre, a não existência de linha nula e única solução para o sistema linear associado à matriz gerada em cada exemplo. Além disso, forneceu as informações necessárias para analisar os níveis de estruturas mentais dos alunos, de acordo com a teoria APOS. O estudo confirmou que os alunos têm dificuldade no entendimento dos conceitos de (in)dependência linear e sugere que esta dificuldade advém do facto de os alunos não possuírem estruturas mentais adequadas nos níveis de objeto e esquema. Um indicador para o entendimento ao nível de objeto seria responder às questões utilizando os conceitos de vetores linearmente dependentes/independentes (por exemplo, para construir uma matriz com linhas linearmente dependentes, basta que um vetor linha seja combinação linear dos demais), demonstrando assim haver uma compreensão conceitual da estrutura das relações de (in)dependência linear como vetores. A compreensão ao nível de esquema deveria ser um conjunto de ações, processos e objetos ligados uns aos outros para organizar uma estrutura nas mentes dos alunos (Aydin, 2014). Assim, deveriam conseguir relacionar a (in)dependência linear com os conceitos de posto, dimensão e interpretação geométrica de um espaço vetorial (por exemplo, se a matriz 3×3 tem posto 2, isso significa que a dimensão do espaço linha associado é 2 e geometricamente este espaço é um plano). Segundo o estudo, foram poucos os alunos que conseguiram chegar a esse nível, a maioria tratou a (in)dependência linear como um processo – construíram, por exemplo, a matriz linearmente dependente utilizando duas linhas iguais, ou todas iguais, ou duas linhas múltiplas, ou fizeram a eliminação gaussiana para ver se na matriz resultante deste processo havia uma linha nula. Processo: O processo se caracteriza como uma construção interna e sob o controle do próprio indivíduo, sem ser uma ação de resposta a pistas externas. O estudante tem condição de refletir, descrever e se necessário, reverter as etapas da transformação de um objeto. Por exemplo, para fornecer um exemplo de uma matriz linearmente dependente, o estudante foca na relação entre as linhas ou colunas dessa matriz. Objeto: O estudante tem uma conceção no nível de objeto sobre uma ação quando consegue refletir sobre o processo, internalizá-lo e construir as transformações sobre o objeto matemático. Por exemplo, para internalizar a (in)dependência linear como um objeto, o aluno deve estabelecer a relação entre o processo de redução de linhas de uma matriz e o entendimento conceitual de vetores linearmente dependentes/independentes. Esquema: “Um tópico matemático muitas vezes envolve muitas ações, processos e objetos que precisam ser organizados e vinculados em um quadro coerente, chamado de esquema ” (Aydin, 2004, p. 817). Por exemplo, o estudante deve ser capaz de estabelecer a relação entre o conceito de vetores linearmente dependentes/independentes com outros conceitos como posto, subespaço gerado.
35 Segundo o autor, o estudo também revelou que a estratégia de ensino utilizada pautada pelo ciclo ACE conjuntamente com atividades computacionais, teve efeitos positivos no entendimento dos conceitos de (in)dependência linear, pois alguns alunos conseguiram lidar corretamente com a conceção do objeto de (in)dependência linear, conseguiram visualizar uma matriz como um conjunto de vetores linha, não como entradas de certos valores após a realização de manipulações algébricas, e ainda conseguiram interpretar geometricamente o espaço gerado pelos vetores linha da matriz. Compartilho com a opinião de Aydin, que dentro da proposta de ensino apresentada é essencial, para promover a aprendizagem, que os alunos validem os seus exemplos (mostrem como e porque são válidos), e uma forma de os incentivar é por meio do trabalho em grupo, da socialização em sala de aula. O estudo de Aydin, além de revelar a potencialidade da geração de exemplos como estratégia de ensino para promover a aprendizagem dos alunos, revelou achados importantes em relação ao nível de entendimento dos alunos e das suas dificuldades (por exemplo, a confusão entre o espaço linha da matriz gerada e o espaço solução do sistema homogêneo associado a essa matriz) em relação aos conceitos envolvidos, podendo servir de referência para a construção de novas estratégias de ensino. É importante também levar em consideração uma observação do autor, de que a estratégia que um aluno utiliza para resolver uma questão não é suficiente para definir o nível de entendimento desse aluno. Um aluno, por exemplo, pode entender um conceito ao nível de esquema e utilizar uma estratégia simples para resolver um problema. Por isso a importância de se proporem nas estratégias de ensino questões que explorem diferentes aspetos e relações entre os conceitos e, no momento de validar a estratégia, coletar dados de diferentes fontes, como, por exemplo, dos registros dos alunos, do debate em sala de aula e de entrevistas a alunos. Exploração de diferentes linguagens com auxílio de ambiente de geometria dinâmica: Como o que foi discutido na secção 2 deste capítulo, uma das dificuldades de aprendizagem na Álgebra Linear é lidar com as diferentes representações dos objetos matemáticos. Os alunos têm a tendência de manipular as representações desses objetos mecanicamente, sem entender o seu significado e a relação entre eles (Dorier et al., 2000a; Sierpinska, 2000). Com essa finalidade, Aranda e Callejo (2010) realizaram uma experiência de ensino utilizando um contexto de geometria dinâmica (aplicativo Descartes 3 ) para construir o conceito de dependência linear no ℝ2 e ℝ3, dando ênfase às linguagens geométrica e analítica (Hillel, 2000), as quais correspondem aos modos de pensamento sintéticogeométrico e analítico-aritmético (Sierpinska, 2000). A linguagem geométrica correspondia à linguagem 3 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
36 dos pontos, vetores, sistemas de referência, colinearidade, paralelismo e coplanaridade de vetores, enquanto que a linguagem analítica correspondia à representação de vetores como uma combinação linear de um conjunto de vetores geradores ou seus componentes em relação a um sistema de referência. Com a experiência de ensino, as autoras queriam saber até que ponto os alunos aproveitavam ou não o potencial de usar simultaneamente as linguagens geométrica e aritmética acerca do conceito de dependência linear. Os dados do estudo foram recolhidos através das produções escritas de dois pares de estudantes, dos diálogos entre eles e de arquivos com a captura da tela do computador, na resolução de três tarefas. As tarefas foram apresentadas no ambiente de geometria dinâmica e envolviam as duas linguagens simultaneamente, sendo que os alunos podiam manipular ‘controles’ gráficos e numéricos para tirar suas conclusões. Quando os alunos participaram da experiência já haviam trabalhado o conceito de dependência linear com lápis e papel, mas a maneira como eles enfrentaram a primeira tarefa da experiência de ensino (composto por três tarefas) indicou que não tinham construído o conceito. As autoras concluíram que a interação dinâmica e simultânea com as diferentes representações, visual e analítica, num contexto tecnológico, pode “favorecer as generalizações necessárias para desenvolver os processos de abstração reflexiva que afetam a elaboração do conceito de dependência linear” (Aranda & Callejo, 2010, p. 129). Entretanto, chamam a atenção de que o uso da tecnologia não é fator determinante para a aprendizagem, mas sim a atividade cognitiva dos estudantes na medida em que se consciencializam e refletem sobre a atividade matemática que estão realizando. Um outro estudo ao nível das representações dos objetos matemáticos foi realizado por França (2007), que investigou em que medida um tratamento geométrico e a articulação entre os registros de representação, no sentido de Duval (2003) – algébrico, gráfico e geométrico –, auxiliados por um ambiente de geometria dinâmica, influenciam as conceções de estudantes que já cursaram Álgebra Linear. Com essa finalidade, a autora realizou uma experiência de ensino com dezoito alunos de um curso de Licenciatura em Matemática que já haviam cursado a disciplina, onde explorou os conceitos de coordenadas, dependência linear, base e transformação linear no plano, com recurso ao software CabriGéomètre. Foram propostas três tarefas realizadas ao longo de seis encontros com esses alunos numa disciplina subsequente à Álgebra Linear (Geometria das Transformações), e os dados foram recolhidos a partir dos registros escritos dos alunos, registros em áudio e vídeo dos encontros e dos arquivos do Cabri. A pesquisadora relata que os alunos tinham deficiências em relação aos aspetos algébricos dos conceitos, sendo necessária a intervenção do professor da disciplina na retomada desses conceitos. Em
37 relação ao papel do software na experimentação, a pesquisadora afirma que “proporcionou a elaboração de conjeturas, a validação experimental de hipóteses e estratégias de resolução das atividades, com o uso de diferentes ferramentas do programa e de seu aspeto dinâmico” (p. 117). A autora observou a evolução dos alunos da pesquisa em relação à compreensão dos conceitos, bem como um domínio mais amplo em relação às diferentes representações dos conceitos e a transição entre elas em ambos os sentidos. Conceitualização a partir de modelos concretos: Diferentes pesquisadores desenvolveram projetos para mostrar que é possível ensinar diferentes conceitos matemáticos usando problemas contextualizados e técnicas de modelagem. É o caso dos autores Possani et al. (2010), que analisaram uma experiência realizada em sala de aula que envolveu a modelagem matemática de um problema de controle de fluxo de tráfego de uma cidade, o qual induz o uso de sistemas lineares. Os autores justificam a opção em trabalhar com a modelagem matemática pelo facto de que essa abordagem dá ao professor a oportunidade de observar e analisar aspetos subtis do desenvolvimento matemático dos alunos e uma visão mais clara sobre o processo de raciocínio, permitindo a observação de como os estudantes verificam e justificam seu modelo matemático, ao contrário de apenas registrar o fracasso ou sucesso na produção de uma resposta esperada. (Possani et al., 2010, p. 2126) Dessa forma, os pesquisadores tinham como objetivo verificar a viabilidade de introduzir conceitos importantes da Álgebra Linear usando a modelagem matemática, além de analisar os resultados de tal abordagem em termos do trabalho produzido pelos alunos e a sua relação com a aprendizagem. As tarefas propostas aos alunos foram planeadas seguindo um design da teoria de modelos e modelagem matemática 4 de Lesh e Doerr (2003) e da teoria APOS. Participaram do estudo alunos de quatro cursos distintos de graduação, ensinados por quatro professores distintos. O primeiro problema proposto aos alunos trazia o contexto representado na Figura 3, que apresenta algumas ruas e cruzamentos com os sentidos representados pelas setas, bem como o número 4 De acordo com Lesh e Doerr (2003), uma situação-problema deve atender seis princípios para satisfazer os critérios de modelos e modelagem matemática: (1) Princípio da realidade: o problema deve envolver um contexto real e ter elementos matemáticos suficientes para que não seja um problema trivial; (2) Princípio de construção do modelo: o problema deve ser rico o suficiente para precisar de conceitos matemáticos no desenvolvimento de um modelo; (3) Princípio de autoavaliação: o problema deve proporcionar que o aluno consiga testar se o modelo proposto é adequado às hipóteses ou não; (4) Princípio da documentação de construção: o problema (seus questionamentos) deve proporcionar que o aluno registre seu processo de pensamento, escrevendo os pressupostos e o modelo em termos algébricos; (5) Princípio da generalização de construção: o modelo desenvolvido e as ferramentas conceituais envolvidas podem ser generalizados para outros problemas ou situações; (6) Princípio da simplicidade: a situação apresentada deve ser simples e ter informações suficientes para que os alunos consigam analisa-la.
38 de veículos que passam por hora em cada cruzamento. Em cada ponto de cruzamento existem rotundas que direcionam o tráfego e permitem um fluxo contínuo em todo o sistema. Foram propostas questões aos alunos onde tinham que analisar possíveis desvios de tráfego em função de alguma obra, acidente ou outro evento. Figura 3. Plano de fluxo de tráfego (Possani et al., 2010, p. 2130). As demais tarefas propostas eram direcionadas para introduzir, a partir de dois casos particulares, a matriz aumentada de um sistema e as ações necessárias para o procedimento de eliminação gaussiana, bem como a interpretação das soluções. Por fim, retornaram ao problema do tráfego e aplicaram os conceitos que acabaram de ser explorados nas atividades anteriores. Como o problema não tinha uma única solução, os alunos foram convidados a escrever a solução em termos de parâmetros, e foi realizada uma análise geométrica e analítica do espaço solução para os alunos perceberem que dependendo do parâmetro escolhido a representação geométrica não é a mesma e que as restrições em relação aos parâmetros mudam. Segundo os autores, essa análise ajudou os alunos a internalizar a noção de conjunto solução como um objeto. Os alunos trabalharam em pequenos grupos e as principais dificuldades foram encontrar o modelo apropriado ao problema, definir as variáveis (tinham deficiência com esse conceito). Tentavam resolver o problema apenas pela observação do diagrama do tráfego sem montar um esquema matemático. Na resolução do sistema de equações associado ao problema, alguns alunos encontraram fluxo negativo, sendo necessário observar as condições de existência do problema, outros tentavam substituir valores numéricos nas equações num processo de tentativa e erro, outros tinham dificuldades na manipulação algébrica das equações tendo em vista o número de variáveis envolvidas. Os alunos não tiveram dificuldades em representar o problema matricialmente. De acordo com os autores, o papel do professor durante a experiência era acompanhar os grupos e verificar o que estavam a fazer, responder a questões específicas dos estudantes para os auxiliar no entendimento do problema, ou fazer perguntas para os ajudar a refletir sobre o problema, mas sem dar dicas sobre a possível solução. Destacam que foi fundamental após cada etapa das atividades propostas
39 uma discussão na turma com a comparação dos resultados entre os diferentes grupos, seguido da formalização dos novos conceitos para conscientizar os alunos sobre o conhecimento adquirido através de seus próprios trabalhos. Além disso, destacam a importância de o conjunto de atividades ser projetado com cuidado para que de facto os alunos consigam fazer as construções necessárias para o aprendizado dos conceitos envolvidos. Os autores ponderam que as atividades projetadas atendem aos critérios da teoria de Modelos e Modelagem Matemática, conforme Lesh e Doerr (2003), e que a estratégia seguida em todo o processo de modelagem deu oportunidades para os alunos mostrarem o que sabiam e o que estavam aprendendo. Dessa forma, concluem que a modelagem matemática é uma ferramenta poderosa para ensinar novos conceitos de Álgebra Linear aos alunos. Ensino tradicional versus ensino inovador: Como alternativa ao ensino tradicional, alguns modelos de ensino inovadores, facilitados pelo uso da tecnologia, vêm ganhando espaço no ensino de matemática. Love et al. (2014) investigaram a aprendizagem dos alunos numa sala de aula de Álgebra Linear ‘invertida’ ( flipped classroom ) que incorporou meios tecnológicos, tais como filmes pré-gravados que os alunos assistiram antes de cada aula. O objetivo era liberar tempo nas aulas para aprender mais ativamente e resolver problemas. O estudo foi conduzido com duas turmas, uma com ensino tradicional e a outra com o modelo de sala de aula invertida, do mesmo professor, e foi feita uma comparação entre as aprendizagens destes alunos baseada nos resultados de três avaliações realizadas durante o semestre. Nas aulas tradicionais, o professor dedicava metade da aula para esclarecer dúvidas dos alunos e resolver alguns problemas na lousa relacionados com as tarefas extra classe e na outra metade introduzia novos tópicos e trabalhava alguns problemas propostos como exemplos (discutia estratégias de ensino para os problemas, mas os alunos não trabalhavam por si próprios). Nas aulas invertidas, era esperado que os alunos já tivessem estudado o conteúdo, seja através dos vídeos enviados pelo professor, livro de texto ou outro material. No início da aula o professor fazia uma discussão rápida do conteúdo, esclarecia dúvidas e discutia questões-teste que eram enviadas aos alunos para fazer extra classe e em seguida propunha as mesmas questões que resolvia como exemplos na sala tradicional, só que neste caso os alunos é que as resolviam (aos pares). Os autores realizaram uma análise estatística dos resultados das avaliações e observaram uma melhor evolução da turma invertida do que a turma tradicional da primeira para a segunda avaliação e da primeira para a terceira, mas as duas turmas tiveram resultados semelhantes em relação à avaliação final (da segunda para a terceira). Estes resultados indicam que a abordagem da sala de aula invertida pode apoiar a aprendizagem de forma bem-sucedida em disciplinas consideradas desafiadoras pelos alunos (Love et al., 2014). Além disso, os alunos responderam a um questionário no final do semestre
40 sobre ambas as metodologias e os alunos da sala de aula invertida consideraram muito positivamente a sua experiência no curso. Mais de 74% dos alunos concordaram que a resolução de problemas em sala de aula os ajudou a clarificar os conteúdos pré-estudados antecipadamente às aulas, além de se sentirem mais motivados para o estudo do que numa aula tradicional, como elucida um aluno: “O ambiente mais interativo do curso manteve a minha atenção e me ajudou a me concentrar” (p. 322). Mais de 70% concordaram que a discussão promovida pelo trabalho em pares nas aulas os ajudou a desenvolver o seu entendimento. Estatisticamente, os alunos da sala de aula invertida concordaram que os vídeos instrucionais os ajudaram a entender o conteúdo da disciplina de forma muito mais significativa do que os da sala tradicional, visto que os vídeos também foram disponibilizados a estes alunos. Além disso, os alunos da sala invertida completaram a disciplina com uma maior perceção da importância da Álgebra Linear para suas carreiras do que os alunos da sala tradicional. Embora Love et al. (2014) aplicaram o modelo da sala de aula invertida em toda a disciplina de Álgebra Linear, Talbert (2014) considera que esse modelo também pode ser aplicado para a aprendizagem de algum tópico específico da disciplina ou para uma série de workshops, como, por exemplo, uma série de atividades em laboratório, um conjunto de tópicos como determinantes, autovalores/autovetores e produto interno. O pesquisador enfatiza que trabalhar com a sala de aula invertida exige um grande esforço do professor, pois tem que preparar materiais antecipadamente de forma que coloque os alunos em condições favoráveis de aprender independentemente. Além disso, tem que lidar com o desconforto dos alunos, pois estes têm que ser mais ativos em relação à sua aprendizagem. Entretanto, dar a chance ao aluno de reconhecer antecipadamente as suas dificuldades, permite ao professor trabalhar em sala de aula com os tópicos que os alunos mais precisam de ajuda, além de promover discussões mais significativas sobre o conteúdo, visto que têm a noção prévia do assunto (Talbert, 2014). Um outro trabalho com uma estratégia de ensino inovadora foi realizado por Domínguez-García et al. (2016). Com o intuito de motivar os alunos para a aprendizagem dos tópicos de Álgebra Linear, os autores utilizaram projetos associados à atividade em grupo e à ferramenta tecnológica no ensino de Álgebra Linear. Os projetos foram desenvolvidos ao longo do período letivo e consistiam em problemas reais que os alunos tinham que modelar e resolver. Os projetos eram compostos por várias etapas e conforme o conteúdo de Álgebra Linear se desenvolvia na aula, os alunos adquiriam condições para avançar nas etapas. Como os alunos tinham que apresentar uma solução numérica para o problema dado, era necessário aprender a realizar cálculos numéricos utilizando um software matemático (que no caso foi o MATLAB). Os alunos deveriam ir divulgando as etapas vencidas, bem como as referências
41 (incluindo os comentários de outros grupos) utilizadas em cada etapa através de um portfólio que deveria ser visível para o professor e colegas. O portfólio com o produto final, incluindo um resumo do projeto e todas as referências utilizadas, deveria ser entregue na última semana de aula. Conforme as etapas eram cumpridas, um feedback era dado pelo professor. A avaliação final era feita sobre a resolução do problema e sobre a apresentação do portfólio e a nota final era composta pela avaliação dos professores envolvidos, pela autoavaliação dos alunos do grupo e pela avaliação dos demais grupos da classe. Segundo os autores, foram abordadas quatro temáticas diferentes nos projetos e houve a preocupação de todas envolverem os mesmos conteúdos. Os autores observaram que com essa metodologia de ensino os alunos adquiriram mais autonomia na resolução de tarefas, desenvolveram a capacidade de trabalhar em equipe, realizaram perguntas e visualizaram que a Álgebra Linear tem aplicação prática. Essa metodologia de ensino fez com que os alunos se sentissem mais motivados para o estudo, além de melhorarem as suas qualificações e desenvolverem as suas habilidades específicas e gerais da disciplina. Um ponto a destacar no ensino dos autores supracitados é a relação com o ‘princípio da necessidade’ de Harel (2000), uma vez que o envolvimento de situações práticas nos temas dos projetos dos diferentes grupos ajuda os alunos a criar a necessidade de aprender tópicos de Álgebra Linear. Conceitualização e exploração de diferentes representações a partir da escrita matemática: Outra estratégia de ensino que induz a uma aprendizagem ativa e explora também as múltiplas representações de um objeto matemático é apresentada por Hamdan (2007). O autor recorreu à escrita de diários de bordo como meio de enfatizar a linguagem simbólica e envolver os alunos com conceitos e definições relacionados com a Álgebra Linear. Mais precisamente, os alunos foram convidados a escrever sobre os diferentes modos de representação das matrizes inversíveis, que aparecem em diferentes contextos na disciplina, sendo guiados a não confundirem o objeto matriz inversível com suas múltiplas representações. O projeto foi desenvolvido ao longo de todo um semestre letivo e os alunos iam desenvolvendo o projeto em etapas, com o acompanhamento do professor, sendo que em muitos casos o resultado final foi um “capítulo sofisticado” (Hamdan, 2007, p. 615) sobre a inversibilidade de matrizes. O autor salienta que nas aulas desenvolveu o conteúdo, promoveu discussões, resolveu problemas, mas intencionalmente sem enfatizar as conexões entre as diferentes representações associadas ao conceito de matriz inversível, deixando para os alunos fazerem a conexão. O autor conclui que “ao compilar o material em seu próprio estilo, os alunos conseguiram se relacionar melhor com ele e atingir níveis mais altos de sofisticação, movendo-se melhor do concreto para o abstrato” (p. 615). Síntese
42 Muitos dos trabalhos analisados surgiram da reflexão de professores que ensinam Álgebra Linear sobre sua própria prática, na procura de novos métodos de ensino para essa disciplina. Nesses métodos de ensino há a preocupação com o formalismo, com a aquisição da conceitualização, com a conexão entre os diferentes conceitos e representações desses conceitos, com a motivação do aluno para o estudo da Álgebra Linear. De um modo geral, há uma preocupação sobre o melhor caminho para conduzir à abstração. É consenso entre os autores que o formalismo faz parte da natureza da Álgebra Linear e não pode ser evitado. Entretanto, ele pode ser introduzido aos poucos, como sugerem Dorier (2000) e Harel (2000), e utilizando diversas abordagens e materiais didáticos. Vários dos trabalhos analisados têm essa preocupação, de primeiro apresentar o conteúdo num contexto mais concreto e a partir de aí fazer um ‘movimento’ para conduzir à abstração, como por exemplo em Thomas (2011), Possani et al. (2010) e Aydin (2014). Uma aliada que surge é o recurso da tecnologia dos softwares de geometria dinâmica, que permitem vários olhares sobre o mesmo objeto, possibilitando fazer conjeturas e tirar conclusões. Outra perspetiva é o uso da tecnologia como ferramenta de comunicação entre professor e alunos, como em Love et al. (2014), ou para o desenvolvimento de projetos com a criação de portfólios como em Domínguez-García et al. (2016). Entretanto, por mais inovadora que seja a estratégia de ensino, com todos os cuidados para que os objetivos em relação à aprendizagem sejam atingidos, é consenso que os alunos têm dificuldade em lidar com os conceitos da Álgebra Linear. A forma como o professor que ensina Álgebra Linear, em particular, considera as dificuldades dos alunos na aprendizagem desta temática põe em relevância um conhecimento específico do professor para ensinar. Como o foco deste estudo incide sobre a prática de professores do Ensino Superior que ensinam ou ensinaram Álgebra Linear, importa enquadrar teoricamente as dimensões que estruturam o seu conhecimento. 2.4. Conhecimento para ensinar Diversos são os modelos teóricos a respeito dos conhecimentos necessários ao professor no exercício da sua prática docente. A maior parte desses modelos tem como referência os estudos de Shulman (1986, 1987) e seus colegas. O principal contributo de Shulman liga-se à temática da aprendizagem para a docência e consiste na categoria teórica do conhecimento docente designada por ‘Conhecimento Pedagógico do Conteúdo’ ( Pedagogical Content Knowledge – PCK ). O desenvolvimento dessa teoria surgiu a partir da posição crítica de Shulman (1986) e seus colegas face à tendência da investigação na época se preocupar mais com o conhecimento sobre aspetos pedagógicos (por exemplo, gestão da sala de aula) do que com o conteúdo efetivamente ensinado nas salas de aula, com o modo
49 conhecimento sobre os alunos, sobre as dinâmicas de aula, sobre o contexto de ensino (Ponte, 2012). Para o autor, a base fundamental do conhecimento profissional é a experiência do professor e a reflexão sobre essa experiência, e a sua qualidade é aferida pela capacidade do professor em resolver problemas e pela adequação das soluções dos problemas aos recursos que dispõe. Dentre os diferentes aspetos do conhecimento profissional do professor de Matemática, o autor dá destaque ao conhecimento didático , porque é aquele orientado à atividade de ensinar e que integra as especificidades de cada disciplina da área de Matemática. O autor distingue quatro vertentes do conhecimento didático: (i) o conhecimento da Matemática; (ii) o conhecimento do aluno e dos seus processos de aprendizagem; (iii) o conhecimento do currículo; e (iv) o conhecimento da prática letiva (Figura 6). Figura 6. Vertentes do conhecimento didático (Ponte, 2012, p. 87). A primeira vertente diz respeito ao conhecimento do conteúdo matemático da disciplina a ensinar. Não se trata apenas do conhecimento que o professor tem da ‘matemática pura’ da disciplina que ensina, mas das relações entre os conceitos dentro da própria disciplina e com outras disciplinas afins, das diferentes representações dos conceitos, das aplicações contextualizadas dos conceitos e da importância da disciplina na formação dos seus alunos. O conhecimento do conteúdo é importante para o professor saber quais aspetos deve priorizar no ensino da disciplina, como introduzir os tópicos e em que sequência os desenvolver, como estabelecer a conexão entre os tópicos da própria disciplina e com outras disciplinas, quais tarefas selecionar, como conduzir as atividades dos alunos e validar/refutar as respostas e argumentos que eles apresentam. O conhecimento sobre os alunos e sobre os seus processos de aprendizagem corresponde ao conhecimento que o professor tem sobre as formas como os seus alunos aprendem, sobre as suas dificuldades, bem como ao conhecimento que tem dos alunos como pessoas, quais os seus interesses e motivações e como reagem a determinadas situações.
50 O conhecimento do currículo corresponde ao conhecimento do programa da disciplina, que inclui os objetivos da disciplina, o conteúdo programático, as formas de avaliação, os materiais didáticos. Este conhecimento é importante para o professor fazer a gestão curricular, por exemplo, saber o tempo que deve dedicar a cada conteúdo, definir o número de avaliações e em que momento devem ocorrer. Por fim, o conhecimento da prática letiva, que corresponde à planificação das aulas (seleção dos tópicos, organização de situações didáticas e elaboração de tarefas que promovam o processo de aprendizagem), à concretização das aulas, à avaliação das aprendizagens dos alunos e à reflexão sobre o próprio ensino. Ponte (2012) considera que o conhecimento da prática letiva é o núcleo central do conhecimento didático. É neste núcleo central, apoiado pelas outras vertentes, “que se fazem as opções fundamentais que orientam a prática e se regula todo o processo de ensino” (p. 88). Para o autor, as quatro vertentes estão interligadas e estão sempre presentes, de uma forma ou de outra, na prática letiva de um professor de Matemática. Viseu (2009), tomando por referência diferentes autores (como por exemplo, Brown & Borko, 1992; Elbaz, 1983; Schön, 2000), aponta que o conhecimento didático do professor de Matemática é multifacetado, começando a ser adquirido durante a formação inicial, sob a influência das diferentes disciplinas que compõem a grade curricular do curso que está inserido, e é desenvolvido no desenrolar da sua atividade docente. Combinando o conhecimento teórico com a sua experiência de ensino e a análise que dela faz, o conhecimento didático do professor assume uma natureza prática. Trata-se de um conhecimento dinâmico, que o professor desenvolve com a experiência que acumula da sua prática docente ao interligar os diferentes conhecimentos – do conteúdo, aluno, currículo e processo de ensino-aprendizagem – na transformação do conteúdo matemático de forma a torna-lo compreensível aos alunos e na compreensão dos fenômenos ligados à sala de aula. Tal conhecimento ganha consistência e legitimidade quanto mais for interligado à teoria. (Viseu, 2009, p. 48) A complexidade da prática de ensino faz com que o professor, com a cumulação da experiência, analise a sua própria prática, estabeleça e teste conjeturas, crie argumentos, teste e/ou crie novas estratégias ou abordagens de ensino, de modo a transformar os conteúdos para que os alunos os compreenda.
51 CAPÍTULO 3 TRABALHO COLABORATIVO As constantes mudanças da sociedade contemporânea e, em consequência, o surgimento de novas problemáticas na educação, exigem esforços para que os professores modifiquem a sua prática de ensino de acordo com as novas demandas. Por outro lado, o isolamento profissional dos professores limita o seu acesso a novas ideias e às mudanças necessárias nas suas estratégias de ensino, o que faz com que se instale o conservadorismo e a resistência à inovação, o que se traduz em prejuízo nos processos de ensino e aprendizagem (Fullan & Hargreaves, 2001). O trabalho colaborativo entre professores apresenta-se como um ‘caminho’ para ultrapassar o isolamento e o individualismo que permeia a prática docente, conferindo apoio e recursos para lidar com os desafios que impõem as mudanças da sociedade atual (Fullan & Hargreaves, 2001). Tais mudanças, segundo Fiorentini (2004), “colocam em xeque as formas tradicionais de educação e desenvolvimento profissional e de produção de conhecimentos” (p. 72). O conceito de colaboração tem diferentes interpretações dependendo do contexto que se insere. O simples facto de um grupo de pessoas estar atuando em conjunto não significa que estejam perante uma situação de colaboração (Boavida & Ponte, 2002). Para além disso, nem todas as formas de colaboração criam oportunidades de aprendizagem e promovem as mudanças educacionais necessárias, configurando-se como formas confortáveis de trabalho e/ou servindo para consolidar práticas já existentes (Fullan & Hargreaves, 2001; Hargreaves, 1998). Importa, assim, caracterizar os aspetos que constituem o trabalho colaborativo, dentre outras formas de trabalho coletivo; abordar possíveis modos de promover o trabalho colaborativo; apontar as potencialidades deste modo de trabalho na prática docente; referir os constrangimentos enfrentados no desenvolvimento de um trabalho colaborativo e os cuidados necessários a fim de o instituir e manter. Por fim, para além das considerações conceptuais em torno do trabalho colaborativo, este capítulo reporta a análise de alguns estudos envolvendo o trabalho colaborativo entre professores que ensinam Matemática, procurando evidenciar como se constitui esse trabalho, as suas potencialidades e os desafios enfrentados na sua concretização. 3.1. O que se entende por trabalho colaborativo? De modo a iniciar a discussão sobre o que é o trabalho colaborativo, considere-se o significado do adjetivo ‘colaborativo’. Este adjetivo assume diferentes significados em diferentes contextos e muitas
52 vezes é entendido como um sinônimo de ‘cooperativo’. De acordo com o Oxford Advanced Learner’s Dictionary, colaborativo significa ‘envolvendo, ou feito por várias pessoas ou grupos de pessoas trabalhando juntas’, e cooperativo significa ‘envolvendo fazer algo em conjunto ou trabalhar em conjunto com outros para um objetivo comum’. De forma geral, ambos os adjetivos estão associados à ideia de trabalhar em conjunto com outras pessoas. Entretanto, a essência da organização do trabalho conjunto quando as relações entre os participantes são de colaboração, assume características distintas quando comparada com as relações de cooperação (Alarcão & Canha, 2013; Boavida & Ponte, 2002; Ferreira, 2003; Fiorentini, 2004; Lima, 2002; Robutti et al., 2016). Como referem Robutti et al. (2016), a cooperação está associada ao desenvolvimento de tarefas por um grupo de indivíduos, com um plano bem definido e concreto, enquanto a colaboração está associada à experiência de um grupo de pessoas que trabalha em conjunto, num processo emergente marcado pela imprevisibilidade, que implica em negociações e tomada de decisões. Nessa mesma linha de ideias, Bednarz et al. (2012) consideram que a colaboração envolve as ideias de trabalhar junto profissionalmente e não apenas na resolução de um problema ou na realização de uma tarefa precisa, de “compartilhar os mesmos objetivos, contribuir para a prática investigada com diferentes perspetivas, experiências e conhecimentos profissionais e de abrir espaço para novas possibilidades” (p. 239). Ao discutirem a diferença entre estas duas formas de trabalho coletivo, Fiorentini (2004) e Lima (2002) apontam, em síntese, que na cooperação os participantes trabalham juntos, porém as relações podem ser desiguais e até hierárquicas e há pouca autonomia para tomar decisões. Os objetivos nem sempre resultam de uma negociação conjunta no grupo e inclusive os participantes podem ter objetivos e planos de ação independentes. Em contraste, na colaboração a responsabilidade pelo trabalho é partilhada e todos colaboram numa base de relação não hierárquica, mas sim de ajuda mútua, procurando atingir objetivos negociados pelo grupo. Para Alarcão e Canha (2013), a corresponsabilidade pelo trabalho proporciona soluções ricas e eficazes sobre o processo de realização dos propósitos do grupo, além de desenvolver nos intervenientes um sentimento de pertença ao grupo, o que implica um maior envolvimento e comprometimento de cada um. Ferreira (2003) complementa que na colaboração, cada indivíduo participa da maioria das decisões: escolher a meta, definir as estratégias, avaliar o resultado; e o faz consciente de que é algo realmente importante para ele, algo que tanto beneficia o grupo como um todo, quanto a ele diretamente. (p. 82) Pode-se dizer “que a colaboração representa mais do que uma mera cooperação” (Lima, 2002, p. 46), pois a quantidade de esforço, o gasto de recursos e o grau de compromisso exigidos dos
53 participantes são maiores, uma vez que a cooperação envolve a ideia de trabalhar junto, porém com menor compromisso em relação aos objetivos comuns (Ferreira, 2003). Boavida e Ponte (2002) acrescentam que a colaboração exige maior dose de partilha e interação entre os participantes do que na cooperação, que se limita mais à realização conjunta de tarefas num plano de ação sobre o qual se tem pouco poder de decisão. Roldão (2007), ao discutir a questão ‘Que é o trabalho colaborativo?’, defende que apenas a realização conjunta de tarefas por um grupo de pessoas não é o suficiente para caracterizar um trabalho colaborativo. Para a autora, o trabalho colaborativo “estrutura-se essencialmente como um processo de trabalho articulado e pensado em conjunto, que permite alcançar melhor os resultados visados, com base no enriquecimento trazido pela interação dinâmica de vários saberes específicos e de vários processos cognitivos em colaboração” (p. 27). A autora enfatiza que, para que o trabalho colaborativo seja bem sucedido, os participantes têm que estabelecer estrategicamente a finalidade que orienta as suas tarefas e organizar adequadamente todos os elementos de trabalho dentro do grupo para que permitam: (i) alcançar com mais sucesso os seus objetivos; (ii) ativar as potencialidades de cada participante para que todos se envolvam ativamente; e (iii) promover o desenvolvimento profissional de cada participante a partir da interação com todo o grupo. Focando o trabalho colaborativo entre professores, contexto desta investigação, Robutti et al. (2016) referem que a colaboração implica o co-trabalho (trabalhando em conjunto) e também pode implicar co-aprendizagem (aprendizagem em conjunto). Envolve professores em atividades conjuntas, propósito comum, diálogo crítico e questionamento, e apoio mútuo na abordagem de questões que os desafiam profissionalmente. (...) envolve negociação cuidadosa, tomada de decisão conjunta, comunicação eficaz e aprendizagem mútua. (pp. 652-653) sugerindo, assim, que os professores aprendem uns com os outros trabalhando em conjunto e que a aprendizagem colaborativa requer a intenção de trabalhar em conjunto em torno de um objetivo comum. Porém, o êxito do trabalho colaborativo depende de muita negociação de modo a atender as diferentes necessidades dos participantes na definição desse objetivo comum, numa ação que visa promover o diálogo profissional. Hargreaves (1998), ao discutir o significado de colaboração, argumenta que nem todo trabalho coletivo representa uma situação de colaboração e nem todas as formas de colaboração representam uma oportunidade de aprendizagem, de reflexão crítica e crescimento mútuo e contínuo dos
54 participantes. Para este autor, algumas relações de colaboração entre os professores podem ser problemáticas e improdutivas tanto para si como para os seus pares. Uma dessas conceções de colaboração, discutida pelo autor, é aquela que é ‘confortável e complacente’. A colaboração muitas vezes assume formas mais confortáveis, e não se estende a um espaço mais individual do professor como a sala de aula, podendo deixar intactas as suas conceções sobre o seu ensino e não acarretar mudanças na sua prática (Hargreaves, 1998). Nessa mesma linha de pensamento, Day (2001) e Fullan e Hargreaves (2001) sublinham que nesta forma de colaboração, as atividades realizadas são mais confortáveis, como as conversas sobre o ensino, a exploração de ideias e recursos, a partilha de ideias e materiais, a troca de dicas e conselhos, porém o questionamento, o debate crítico e a reflexão sobre problemas enfrentados na prática de ensino, bem como as formas de a inovar, são mantidos fora da agenda. Day (2001) defende que “as culturas de colaboração confortável preocupam-se primariamente com as questões imediatas, a curto prazo e práticas, excluindo uma reflexão sistemática e crítica” (p. 130). Trata-se de uma forma de colaboração cômoda e complacente, em que o professor se sente apoiado e compreendido, porém pouco desafiado profissionalmente. As culturas confortáveis ou complacentes correm o risco de reforçar as práticas existentes ao invés de as desafiar, indo na contramão das ‘verdadeiras colaborações’ (Hargreaves, 1998). Fullan e Hargreaves (2001) advogam que instituir uma verdadeira colaboração nem sempre é fácil, e que muitas vezes envolve até certo desconforto. Reforçam a importância de formar uma base relacional sólida de diálogo, conforto, apoio mútuo e confiança para que os professores se sintam seguros para juntos enfrentarem tanto os problemas com a prática de ensino, como os desacordos e momentos de vulnerabilidade que possam surgir no grupo de trabalho. Na perspetiva destes autores, uma colaboração é eficaz quando “opera no mundo das ideias, analisando criticamente as práticas existentes, procurando melhores alternativas e trabalhando arduamente em conjunto, para introduzir aperfeiçoamentos e refletir sobre o seu valor” (p. 101). Uma outra conceção de colaboração, que pode ser nociva, perdulária e improdutiva, é apresentada por Hargreaves (1998) – a colaboração conformista. O autor argumenta que com a colaboração pode haver a tendência para um pensamento dominante no grupo de trabalho, suprimindo algumas vozes e individualidades, bem como a criatividade que delas poderiam surgir. Na perspetiva do autor, a negociação e o diálogo são fatores que têm de estar a funcionar para impedir uma atitude conformista e improdutiva no seio do grupo.
55 Hargreaves (1998) alerta para outra perspetiva de colaboração que se pode tornar nociva aos professores, quando a colaboração se transforma em cooptação. Em tal perspetiva a colaboração é utilizada como estratégia administrativa ou política para mobilizar os professores na implementação de propósitos concebidos por outros (como, por exemplo, as reformas educativas), ao invés de se empenharem na concretização de propósitos de seu interesse. Tal forma de colaboração se torna questionável e até nociva aos professores, no caso de os propósitos caírem em falência ética ou envolverem circunstâncias ou atitudes suspeitas. Muitas vezes, as formas mais evolutivas e espontâneas de colaboração são substituídas por formas mais controladas administrativamente, que Hargreaves (1998) chama de colegialidade artificial. Este autor procura fazer uma distinção entre as culturas docentes colaborativas ou colegiais e a colegialidade artificial. Para o autor, as relações de trabalho nas culturas colaborativas tendem a ser espontâneas, voluntárias, imprevisíveis, difundidas no tempo e no espaço e orientadas para o desenvolvimento. Isso quer dizer que as relações de trabalho num grupo autenticamente colaborativo resultam da iniciativa própria dos professores, da sua perceção de que trabalhar em conjunto é agradável e produtivo. Essas relações até podem ser facilitadas administrativamente, no caso, por exemplo, de liberação de carga horária para o trabalho, alocação de espaço físico para reuniões de trabalho em conjunto, mas não são coagidas nem reguladas administrativamente, elas evoluem a partir do próprio grupo de docentes envolvidos no processo de colaboração e são sustentadas por eles. O trabalho em conjunto tende a desenvolver-se em encontros informais e breves, porém frequentes, e não é definido no tempo e espaço de uma maneira regulada, mas desenrola-se de acordo com a vida profissional dos envolvidos. O trabalho no grupo é orientado para responder aos seus próprios propósitos e não os de agentes externos e os resultados tendem a ser imprevisíveis, visto que as ideias no grupo vão sendo construídas e amadurecidas a partir da contribuição de cada membro e da reflexão em conjunto. Contrapondo, em situações de colegialidade artificial, Hargreaves (1998) refere que as relações de colaboração não são espontâneas, mas impostas administrativamente, exigindo que os professores trabalhem em conjunto para implementar as ideias de outros, como, por exemplo, de reitores, próreitores, diretores ou chefes de departamento. O trabalho conjunto se torna uma obrigação, pois ocorre, direta ou indiretamente, em função de promessas que os beneficiem ou ameaças, oferecendo pouca liberdade à individualidade dos professores. Há um controle sobre as finalidades e a regulação do tempo e lugar da concretização do trabalho conjunto, aumentando o grau de previsibilidade dos resultados. Como sublinha o autor, a colegialidade artificial substitui as formas espontâneas, imprevisíveis e difíceis de controlar por formas de colaboração previsíveis e controladas administrativamente. Como implicação
56 da inflexibilidade da colegialidade artificial, pode ocorrer uma desmotivação dos professores para trabalharem com seus pares em torno dos seus interesses e em desenvolverem-se em interação entre si, em virtude dos esforços necessários e da sensação de improdutividade quando a colaboração é controlada. Exemplos de tal situação ocorrem quando os professores têm encontros regulares e obrigatórios mesmo quando não há nada a discutir, quando as relações entre os professores só existem durante as reuniões de trabalho ou quando os professores estão envolvidos em treino com pares, que não compreendem bem a problemática envolvida ou não conseguem trabalhar bem em conjunto. Nestes casos, a colaboração se torna ineficiente e dá a sensação de que é mais produtivo trabalhar sozinho. Olhando por uma perspetiva positiva, a colegialidade artificial é uma forma de pôr os professores em contacto, podendo “ser útil como fase preliminar na preparação de relações colaborativas mais duradouras entre os professores” (Fullan & Hargreaves, 2001, p. 104). Estes autores advogam que as culturas colaborativas nas instituições de ensino “não emergem espontaneamente ou por si próprias” (p. 105), sendo necessário alguma intervenção ou orientação pelos gestores, de modo a apoiar, facilitar e criar oportunidades para o trabalho conjunto dos professores. Esta dinâmica precisa de tempo, paciência e competência para evoluir e se desenvolver. Segundo Fiorentini (2004), no início do trabalho conjunto é comum os grupos terem uma prática mais cooperativa do que colaborativa e, à medida que os integrantes se vão conhecendo, estabelecendo relações, aprendendo uns com os outros, produzindo resultados, vão adquirindo autonomia e “passam a autorregular-se e a fazer valer seus próprios interesses, tornando-se, assim, grupos efetivamente colaborativos” (p. 55). Entretanto, como mencionam Fullan e Hargreaves (2001), este é um caminho longo e difícil, inferindo que a construção de uma verdadeira colaboração pressupõe um efetivo desenvolvimento pessoal dos participantes. 3.2. Formas de promover o trabalho colaborativo Na educação, a colaboração pode desenvolver-se em grupos constituídos de diversas formas, como, por exemplo, entre professores que lecionam uma mesma disciplina ou disciplinas afins, entre professores e/ou pesquisadores que participam de um mesmo projeto, entre professores e alunos, entre gestores e professores, dentre outras formas (Boavida & Ponte, 2002; Robutti et al., 2016). Os participantes de um grupo colaborativo podem ser, inclusive, oriundos de diferentes instituições. Boavida e Ponte (2002) argumentam que quanto mais diversificada for a equipe de trabalho, mais difícil é instituir e manter em funcionamento o trabalho com êxito, dadas as diferentes formações, convicções e estilos de trabalho de cada um. Uma vez ultrapassadas essas dificuldades, essa diversificação oferece a
57 vantagem de múltiplos olhares sobre uma mesma situação educacional, permitindo, assim, esboçar quadros interpretativos mais abrangentes sobre a situação investigada (Boavida & Ponte, 2002). Dentre os motivos que podem mobilizar os professores a fazer parte de um grupo colaborativo está a possibilidade de obter apoio dos seus pares para lidar com problemáticas da prática profissional, para inovar a prática de ensino, para trabalhar com diferentes abordagens pedagógicas, para enfrentar os desafios da inovação curricular, para integrar o uso de recursos tecnológicos em seu ensino, para o desenvolvimento de projetos de ensino ou projetos de pesquisa sobre a própria prática, para se desenvolver profissionalmente (Fiorentini, 2004; Robutti et al., 2016). Especificando a natureza da colaboração entre professores que se concretiza em Portugal, Ponte (2014) refere que muitas vezes ela decorre de um desafio lançado por um investigador, que propõe a formação de um grupo colaborativo, envolvendo elementos com diferentes competências e atividades profissionais, para estudar a solução de algum problema complexo. Noutros casos, surge como uma prática espontânea dos professores que começam a trabalhar em conjunto diante de alguma situação nova, como, por exemplo, a implementação de um novo currículo. De acordo com o autor, a colaboração também aparece como elemento importante nos processos de formação contínua de professores e de formação inicial (entre professores e alunos e entre os próprios alunos). No caso da formação inicial, o autor adverte que nem sempre a colaboração é duradoura e aprofundada, pois como o ensino é organizado em unidades curriculares, há muita rotatividade de intervenientes, o que dificulta que o trabalho tenha uma continuidade no tempo. Referindo-se à colaboração entre professores, Fullan e Hargreaves (2001) destacam a sua importância para os ajudar a reduzir o sentimento de incerteza e impotência relativamente ao seu trabalho, aumentando o sentimento de eficácia. Assim, o desejo de trabalhar em conjunto com outros professores resulta da perceção de que sozinho é mais difícil de dar conta dos desafios profissionais (Fiorentini, 2004). Dessa forma, os professores se identificam para trabalhar uns com os outros pela possibilidade de compartilhar problemas, vivências e interesses comuns. Nessa identificação, não significa que não haja pontos de vista e compreensões diferentes entre os elementos do grupo sobre determinada situação, mas prevalece o desejo de compartilhar espontaneamente algo que seja de interesse comum (Fiorentini, 2004). A colaboração pressupõe, como já foi referido, a participação voluntária e uma relação próxima entre os participantes (Boavida & Ponte, 2002; Fiorentini, 2004; Hargreaves, 1998). Dessa forma, um grupo colaborativo é constituído por pessoas que participam por vontade própria, sem serem coagidas ou cooptadas por alguém a participar, em busca do crescimento profissional, compartilhando confiança, respeito e apoio mútuo, criando e compartilhando significados sobre as atividades que realizam, tais
58 como a partilha de materiais, a planificação de aulas, a definição de critérios e instrumentos de avaliação, bem como a troca de ideias sobre a concretização sobre as suas práticas na sala de aula e sobre as diferentes problemáticas que enfrentam. Para Ponte et al. (2003), o sucesso do trabalho colaborativo depende muito de objetivos comuns em resposta às necessidades de todos os participantes. Para estes autores, um trabalho em colaboração pode ser desenvolvido em função das competências específicas de cada participante, mas também deve dar atenção à definição de objetivos comuns, partilhados por todos, e à definição de formas de trabalho que propiciem que todos se envolvam fortemente no desenvolvimento das tarefas delineadas. Como referem Boavida e Ponte (2002), os objetivos individuais (pessoais e profissionais) de cada participante sempre existem, podendo ou não ser partilhados por seus pares, e resultam das vivências de cada um. Importa a forma como são reconhecidos no seio do grupo. Pois é a existência dos objetivos comuns que define o campo e a forma de trabalho do grupo, enquanto são os objetivos individuais, explícitos ou implícitos, que definem como cada integrante se envolve no grupo (Martinho, 2011). Goulet et al. (2003) alertam que de tempos em tempos é necessário rever o objetivo inicial da colaboração e se necessário renegociá-lo, de modo a manter os integrantes motivados e empenhados. Como referem as autoras, com a evolução do trabalho vão-se criando resultados que têm o potencial de alterar os entendimentos e as ações individuais e grupais. Com a revisão dos objetivos, o trabalho no grupo pode assumir um foco e uma direção mais claramente definidos. Como implicação, os relacionamentos podem crescer e se desenvolver; os participantes tendem a se comprometer mais com o trabalho dos outros; e novos resultados podem ser alcançados. Para além dos objetivos comuns, um trabalho colaborativo depende muito das formas de trabalho e de relacionamento entre os participantes de modo a propiciar o trabalho conjunto (Boavida & Ponte, 2002). Para estes autores, a construção de relações de colaboração pressupõe pilares como o diálogo , a confiança , a negociação e a mutualidade . O diálogo é um importante elemento para uma efetiva colaboração. O diálogo não só auxilia no processo reflexivo em grupo, como também individual (Goulet et al., 2003). Como explicam estas autoras, quando um indivíduo verbaliza as suas ideias e experiências aos outros, conversa com si mesmo também, o seu discurso o auxilia a encontrar pontos salientes das suas experiências e a organizar o seu pensamento reflexivo. Em colaboração, o trabalho de falar inclui, para cada interveniente, uma reflexão ponderada sobre as suas experiências e sobre as dos outros, e então a partir do confronto de ideias, conduz à reflexão conjunta e à construção de novos conhecimentos (Boavida & Ponte, 2002; Goulet et al., 2003).
65 os professores aprendem a ouvir e a valorizar as opiniões dos outros; manifestam evolução nas formas como colaboram com o grupo, prestando ajuda e assistência ao trabalho conjunto; (ii) Aprendizagem por meio da reflexão sobre as suas próprias práticas e sobre as práticas dos outros com quem colaboram; (iii) Aprendizagem sobre tópicos de Matemática ou aprofundamento do conhecimento matemático e aprendizagem sobre como ensinar os tópicos; (iv) Aumento da confiança para experimentar novas abordagens e metodologias de ensino, que derivam tanto da segurança por ter o apoio do grupo como da segurança adquirida em relação ao conhecimento matemático; (v) Aprendizagem acerca da importância de compreender o pensamento matemático dos seus alunos e de desenvolver uma consciência sobre as suas necessidades. Para além das aprendizagens dos professores, os autores referem o impacto positivo do trabalho colaborativo ao nível da prática de ensino, indiciando que ao planificar as aulas em conjunto melhora a sua qualidade, pela riqueza das tarefas que são elaboradas e pela mudança da interação com os alunos (professor sendo mais questionador e fazendo menos o trabalho pelos alunos). Importa ressaltar que as aprendizagens num trabalho colaborativo não são iguais para todos os professores envolvidos, que derivam das vivências, dos propósitos, das necessidades e interesses de cada um, sendo estes os aspetos que vão determinar o quê e o quanto cada um aprende, tanto sobre o problema em questão, como sobre si mesmo, sobre os outros e sobre as relações humanas (Boavida & Ponte, 2002; Martinho, 2011). A reflexão é sublinhada na literatura como um processo pelo qual os professores se desenvolvem profissionalmente. Robutti et al. (2016), a partir dos estudos que analisaram, referem que os professores aprendem refletindo sobre o seu próprio ensino, sobre a aprendizagem dos alunos e sobre o ensino dos seus pares. Para Martinho (2011), quando o professor consegue descrever a sua prática, justificar porque a faz daquele jeito e confrontá-la abertamente e criticamente com a informação que adquire e com a prática de seus pares, consegue mais facilmente encaminhar as mudanças que julga necessárias. A autora faz ressalvas de que num grupo verdadeiramente colaborativo, tais mudanças não são impostas pelos demais integrantes, porém as discussões e os desafios colocados no grupo por seus pares podem levar o professor a identificar outras necessidades e perspetivas para a sua prática. Ainda se referindo à forma como os professores aprendem, os estudos analisados por Robutti et al. (2016) apontam que eles aprendem por meio de discussões e conversas sobre as suas ideias e experiências, pelo confronto de opiniões e pela análise sobre as conceções, estratégias e erros dos alunos, criando as suas novas ideias e perspetivas, e também assistindo às aulas de seus pares.
66 A colaboração e o aperfeiçoamento contínuo são apontados na literatura como fundamentais para reduzir as incertezas dos professores e como estratégia para promover o seu desenvolvimento profissional. Os aspetos focados neste texto como a aprendizagem, a partilha e a reflexão são fatores promotores do desenvolvimento profissional docente. Como já foi referido, muitos professores, devido à demanda de trabalho ou à falta de uma cultura de colaboração, não têm oportunidade para momentos de reflexão sobre a sua prática de ensino. Tal situação pode gerar ações dissociadas da tomada de consciência (Ciríaco et al., 2017). Neste contexto, ao integrar um grupo colaborativo, os professores têm a oportunidade de sair do isolamento e serem “protagonistas do seu desenvolvimento profissional e dos colegas, na medida que suas experiências de vida e de formação contribuem com a prática dos demais participantes” (Ciríaco et al., 2017, p. 4). Têm também a possibilidade de resgatar valores “como o compartilhamento e a solidariedade – que se foram perdendo ao longo do caminho trilhado por nossa sociedade, extremamente competitiva e individualista” (Damiani, 2008, p. 225). O desenvolvimento profissional é um processo que decorre ao longo da atividade profissional, não-linear, variável do tempo, que deriva das experiências de ensino e da aprendizagem matemática dos indivíduos, enquanto estudantes e enquanto professores, tanto na formação inicial como na formação contínua (Ferreira & Miorim, 2011). Porém, não se relaciona apenas ao que se passa na sala de aula. É um processo que considera o professor como um todo, nos seus aspetos cognitivos, afetivos e relacionais (Ponte, 2014). Reflete as relações que estabelece com o seu exterior, a partilha de ideias e experiências com seus pares, a sua personalidade, a sua motivação para mudar, a pressão que enfrenta da sociedade, as suas crenças, valores e objetivos (Ferreira & Miorim, 2011). Para Forte e Flores (2012), o desenvolvimento profissional inclui as aprendizagens pessoais, que têm origem na própria experiência, as oportunidades informais vividas no contexto profissional e as oportunidades de aprendizagem formais, como as disponíveis em atividades de formação contínua. Para Ponte (2005a), o desenvolvimento profissional do professor é a articulação entre os níveis pessoal e coletivo. Por um lado, o professor é o principal agente do seu processo de crescimento, cabendo a si fazer investimentos na sua profissão, fazer balanços sobre a sua carreira, refletir sobre a sua prática, enfrentar e procurar soluções para as situações que o incomodam. Por outro lado, os contextos colaborativos (formais ou informais) têm um papel promissor para aqueles que os integram, pela oportunidade de interagir e aprender com os outros, de se sentir apoiado para correr riscos e vivenciar novas experiências de ensino, compartilhando acertos e discutindo sobre o que não deu certo e precisa ser melhorado, e assim desenvolver em conjunto novas competências.
67 Em suma, o desenvolvimento profissional docente tem grande relevância no que concerne às questões relativas à melhoria do ensino e consequentemente da aprendizagem dos alunos. Nesse viés, os contextos colaborativos têm um papel promissor, uma vez que proporcionam o rompimento do isolamento dos professores e a criação de oportunidades de aprendizagem profissional, potenciando relações, conhecimentos e competências (Ciríaco et al., 2017; Silva et al., 2017). Conjuntamente com as potencialidades especificadas, encontram-se uma série de dificuldades para desenvolver um trabalho colaborativo. Alonso-Sáez et al. (2019) apontam que toda a mudança necessita de recursos e reconhecimento por parte das instituições envolvidas, e sempre provoca resistência e incertezas na identidade docente na hora de dar novos passos. A dificuldade mais evidente é que, a forma como os professores trabalham e compreendem a profissão docente há décadas, não podemos mudá-la de um dia para o outro: a inércia é inevitável e a comparação – por vezes questionadora – com o que se perde com esta nova forma de fazer, pode surgir como um obstáculo. (Alonso-Sáez et al., 2019, p. 7) Este é um exemplo dos professores que conversam sobre a prática docente, mas não partilham experiências de modo a atravessar as fronteiras da sala de aula, o que sugere que o trabalho isolado muitas vezes acontece sob o pretexto de não interferir na autonomia docente (Pereira et al., 2021). Há uma série de outras dificuldades tanto para instituir como para manter o trabalho colaborativo, que se relacionam com o esforço que essa nova maneira de trabalhar exige e as tensões que surgem acerca da constituição dos grupos. Tais dificuldades incidem sobre a negociação na definição de objetivos, a definição de caminhos a seguir, a construção e a manutenção das relações de confiança entre os participantes, a competitividade entre os participantes, os conflitos de ideias, diferenças de personalidade, a identificação de novas necessidades tanto dos participantes como de novos rumos para o trabalho, dentre outras. Como referem Fullan e Hargreaves (2001), desenvolver um trabalho colaborativo eficaz é um caminho longo e difícil, que exige tempo, paciência, cuidado, sensibilidade e competência para evoluir. Boavida e Ponte (2002) relacionam quatro aspetos que são importantes cuidar no desenvolvimento de um trabalho colaborativo afim de não o tornar vulnerável: (i) Lidar com a imprevisibilidade; (ii) Gerir a diferença; (iii) Gerir custos e benefícios; e (iv) Estar atento à autossatisfação confortável. Lidar com a imprevisibilidade. Não se consegue prever tudo o que pode acontecer do início ao fim do desenvolvimento de um trabalho colaborativo, sendo muitas vezes necessário, para a continuidade
68 do trabalho, redefinir objetivos, redefinir papéis dos intervenientes, definir novos rumos, dentre outras coisas. Gerir a diferença. Na concretização de um trabalho colaborativo nem todos os intervenientes têm o mesmo entendimento e opinião sobre as coisas, o mesmo ritmo de trabalho, as mesmas habilidades e as mesma necessidades. Para além dos objetivos comuns também existem os seus objetivos individuais, existem as suas prioridades pessoais, muitas vezes existem dificuldades em se conseguir uma agenda comum ou em se cumprir tarefas acordadas por conta das atividades profissionais ou pessoais de cada um, dentre outras dificuldades. Para que o grupo funcione bem é importante que os participantes aprendam a lidar com essas diferenças, a partir do diálogo, da tolerância e da confiança. Gerir custos e benefícios . Todo trabalho em grupo exige dedicação, esforço para cumprir tarefas acordadas, lidar muitas vezes com a incompreensão dos colegas, estar aberto à negociação e ao diálogo, ou seja, envolve uma série de custos para cada participante. Se a relação entre os custos e os benefícios para cada participante for muito desequilibrada, é importante reavaliá-la, renegociar o papel que cada um ocupa no grupo, para que cada um sinta que a sua participação vale a pena tanto pelos benefícios que retira, como pelo quanto contribui com o grupo. Estar atento à autossatisfação confortável e complacente e ao conformismo . É preciso tomar cuidado para que o trabalho no grupo não sirva apenas para reforçar práticas já existentes ou reforçar as ideias dominantes de alguns participantes, conduzindo a um cenário de complacência e conformismo e inibindo a individualidade e a criatividade. Como inferem os autores, “a colaboração não é um fim em si mesma, mas sim um meio para atingir certos objetivos” (Boavida & Ponte, 2002, p.3), o que significa que os participantes numa situação de colaboração se devem sentir desafiados, se sentir saindo da sua zona de conforto. Em adição a estes aspetos que importa ter em conta no desenvolvimento de um trabalho colaborativo, Martinho (2011) acrescenta outros, que se destacam no que se diferenciam em relação ao que já foi mencionado: Instituir e manter . O estabelecimento de relações de trabalho pode já trazer no início alguns obstáculos, como a problematização dos papéis e responsabilidades, das opções a tomar; os professores têm diferentes conceções sobre o ensino e sobre o currículo, têm diferentes métodos de trabalho, diferentes prioridades; os professores podem se sentir inibidos a falar. É importante a manutenção das relações a longo prazo. Para tal, é importante o grupo criar momentos para que todos participem e para que todas as vozes sejam ouvidas; todo o trabalho deve ser recheado de negociações, desde a forma de trabalho, a periodicidade, horário e coordenação das reuniões, o tipo de tarefas a realizar, quais
69 conteúdos serão priorizados nas planificações. É importante manter uma boa relação de trabalho, mas a fazer com exigência, procurando um equilíbrio entre o que é agradável e simultaneamente eficiente. Gerir emoções . No trabalho em grupo e particularmente quando o foco é a reflexão sobre a prática, há a exposição do professor diante dos seus pares. São abertas as suas aulas, o seu modo de trabalho, as suas dificuldades, as suas limitações, as suas dúvidas; a sua prática pode ser colocada em ‘xeque’. Nem sempre é fácil fazer essa abertura, muito menos ouvir opiniões desfavoráveis. Inclusive, ao comparar a sua prática com a do colega, pode gerar ao professor conflitos, mesmo que não sejam externados ao grupo. Para além disso, pode haver o receio sobre o que os outros esperam sobre a sua prática de ensino e sobre a sua atuação no grupo. O receio da opinião dos outros e o sentimento de que a sua identidade acadêmica é questionada pode reduzir a participação do professor no grupo. A autora coloca que “a própria ideia da mudança é ameaçadora” (p. 99), uma vez que o professor precisa se distanciar daquelas aulas para as quais já tem material didático preparado e experimentar algo novo. A mudança da prática de ensino pode-se traduzir num processo que exige um tempo, uma dedicação e um gasto de energia que o professor pode não estar disposto ou preparado emocionalmente para despender. Por isso, é importante que o grupo consiga gerir as emoções e criar um ambiente em que todos se sintam seguros de modo a não ver o grupo como uma ameaça à sua prática, mas como uma oportunidade de aprendizagem e evolução. A autora adverte que é necessário o grupo ter a consciência que todos podem cometer erros, como, por exemplo, erro no entendimento de um conceito ou na interpretação de um problema matemático. A reflexão sobre o erro pode contribuir com o processo de aprendizagem tanto dos próprios professores como no entendimento sobre os erros que os alunos cometem. Para além do erro, a autora coloca que é necessário gerir no grupo os momentos de dúvidas e incertezas que permeiam as atividades realizadas no grupo. Ao escolher um caminho, por exemplo, na abordagem de um tópico matemático, este deve ser seguido e assumido pelo grupo. O caminho pode não ter sido a melhor escolha, importa a reflexão sobre a atividade realizada, sobre as suas potencialidades, sobre o que foi alcançado e sobre o que pode ser melhorado. Corroborando com o que vem sendo discutido, Alonso-Sáez et al. (2019) consideram que a gestão das relações humanas é um aspeto central na gestão dos grupos colaborativos: As equipes são baseadas em relações humanas e emoções recíprocas, o que enriquece o aprendizado, mas também acarreta estresse, ansiedade e, às vezes, afastamento do professor. Esse contexto relacional, ao invés de alcançar maior abertura e participação, pode gerar desconfiança e distanciamento do projeto formativo. (p. 7)
70 Portanto, a agenda de ação dos grupos precisa incluir mecanismos que apoiem o cuidado às pessoas e ao processo, de modo a evitar o desgaste das relações. Como já mencionado, há uma série de dificuldades associadas ao esforço que exige o trabalho colaborativo. Há muitas reuniões, é necessário estudar, pesquisar, cumprir com as tarefas que são acordadas para resolver fora das reuniões do grupo, podendo implicar em mudanças inclusive na própria rotina pessoal, como abandono de atividades confortáveis para si. Tudo isso pode gerar um sentimento de desconforto e sobrecarga de trabalho e tempo dedicado (Alonso-Sáez et al., 2019; Silva, 2011). Por isso é importante que os benefícios do trabalho que cada professor realiza num ambiente de trabalho colaborativo sejam bem reconhecidos, para não inibir a sua disponibilidade em colaborar com os seus pares. A partir da análise de uma série de estudos, Robutti et al. (2016) destacam outros três fatores que podem inibir as colaborações eficazes, que se relacionam: (i) à falta de propriedade dos professores sobre a colaboração. Os professores podem ter dificuldade de integrar uma cultura colaborativa se sentirem que suas necessidades e interesses não são levados em consideração pelo grupo de trabalho e se não houver uma consciência de que cada um é responsável pelo processo de colaboração. A falta de confiança para expressar seus pontos de vista e a tensão entre suas formas isoladas de trabalho e as formas de trabalho colaborativo, também são fatores que contribuem para a falta de propriedade dos professores; (ii) ao tempo que os professores têm disponível para trabalhar juntos. Existem dois aspetos em relação ao tempo; o primeiro é encontrar tempo na sua atividade profissional para se envolver num grupo de trabalho colaborativo, pois a colaboração pressupõe que os professores se reúnam para discutir, planificar e refletir. Para além das reuniões de trabalho conjunto é necessário tempo para se dedicar às tarefas acordadas no grupo. O segundo aspeto é o tempo de vigência do projeto colaborativo, pois muitos professores não estão familiarizados com as relações de colegialidade e precisam de um tempo para se adaptarem a essa forma de trabalho. É preciso um tempo para que os professores sintam confiança uns nos outros, desenvolvam a sua capacidade de comunicação, aprendam a trabalhar colaborativamente, desenvolvam a sua capacidade de reflexão, e consigam desenvolver um trabalho que realmente seja produtivo; (iii) às restrições institucionais além do tempo, como currículo e estruturas de avaliação. As restrições do sistema educacional por vezes podem entrar em tensão com a forma de trabalho e os objetivos estabelecidos no projeto colaborativo. Há outro aspeto em relação ao tempo que é a sua gestão. Os professores podem dispor de tempo para trabalharem em conjunto, mas utilizá-lo com questões fora do propósito do trabalho que estão a realizar. Para que o trabalho seja produtivo, o grupo precisa de gerir o tempo estipulado para não se dispersar constantemente do assunto em discussão. No entanto, as fugas ao assunto podem ser necessárias quando algum professor, por exemplo, precisa discutir alguma problemática com o grupo.
71 Como ressalta Martinho (2011), a gestão do tempo e o processo de dar voz e ouvir os participantes são aspetos essenciais para estabelecer boas relações de trabalho. 3.4. Análise de estudos sobre trabalho colaborativo entre professores Esta secção debruça-se sobre a revisão de alguns estudos envolvendo o trabalho colaborativo entre professores que ensinam Matemática. Para cada estudo, procura-se descrever os objetivos, os participantes e o seu papel no trabalho em colaboração, os métodos de pesquisa, os principais resultados e conclusões. Um desses estudos foi realizado por Traldi Júnior (2006) num grupo de professores que ensinam Matemática no Ensino Superior. O autor investigou as possibilidades de se construir um grupo de trabalho colaborativo a partir de um grupo de trabalho coletivo formado por sete professores de um curso de Licenciatura de Matemática, com o objetivo de discutir a área de conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral de tal curso. O tipo de pesquisa, quanto aos procedimentos metodológicos, foi classificado como um estudo de caso e os dados foram recolhidos a partir da observação participante dos encontros realizados pelo grupo, gravações em vídeo dos encontros, entrevistas e análise de documentos (regimento da instituição, plano político pedagógico do curso, planos de ensino e currículo dos professores). O autor evidencia alguns momentos que marcaram o processo de transição do grupo coletivo para o grupo colaborativo: (i) os primeiros encontros que eram mais marcados por um clima de competição entre os professores com formação em Matemática e os com formação em Educação Matemática, foram dando lugar ao reconhecimento mútuo de habilidades didáticas e conhecimentos específicos do conteúdo. As divergências foram resolvidas por meio de negociações entre os participantes, o que fez emergir o poder de argumentação e fundamentação de pontos de vista e o poder de compreensão do ponto de vista do outro; (ii) um ambiente de confiança começou a se estabelecer no grupo quando um dos participantes (no terceiro encontro) se sentiu à vontade para expor ao grupo uma dúvida sobre o conceito de limite, abrindo o caminho para um ambiente de cooperação na procura de compreender e esclarecer as dúvidas que surgiam, e começou a ser estabelecido um ambiente de crescimento conjunto tanto em relação a conhecimentos específicos do conteúdo que lhes faltavam como em relação aos aspetos didáticos; (iii) a partir de um certo momento houve um ‘esvaziamento’ das discussões e foi necessário uma mudança de rumo, como um aprofundamento teórico. O autor destaca como dificuldades que podem ter limitado um melhor funcionamento do grupo, a falta de prática do grupo na organização das pautas das reuniões de trabalho, o excesso de discussões pautadas mais em opiniões pessoais do que em investigações já realizadas ou em teorias, o excesso de
72 expectativa para encontrar soluções mágicas para os problemas da prática de ensino, o pouco conhecimento de que a reflexão sobre a prática pode ser um caminho para o desenvolvimento profissional e a falta de hábito de pesquisar a própria prática. Como fatores que contribuíram para a transição do trabalho coletivo para o colaborativo, o autor evidencia: a existência de objetivos comuns entre os membros do grupo; a necessidade da troca de experiências e discussão sobre os conhecimentos didáticos e os específicos da área; desenvolvimento de um clima de confiança no grupo e estabelecimento de um contexto de apoio para fazer algumas mudanças curriculares. Considerando a formação de professores iniciantes na docência, o trabalho colaborativo apresenta-se como uma possibilidade de os ajudar a partir das suas vivências na carreira, a amenizarem as suas dificuldades no processo de aprender a ensinar. Com esse propósito, Ciríaco et al. (2017) analisaram as contribuições da constituição de um grupo colaborativo com cinco professoras em início de carreira e com formações distintas (quatro pedagogas e uma professora de Matemática), na superação das dificuldades encontradas no ensino de Matemática. Dentre as cinco professoras, uma atuava na educação infantil e as demais no ensino fundamental, e todas estavam alocadas em escolas distintas entre si, sendo que a mais experiente tinha três anos de docência. Nesse contexto, os autores buscaram compreender as possíveis contribuições que as interações entre professoras com formações distintas, poderiam oferecer para o processo de aprendizagem na docência durante os primeiros anos de profissão, a partir da prática de colaboração. O trabalho no grupo desenvolveu-se durante dois anos, sendo realizados encontros quinzenais nos primeiros seis meses e mensais no período restante. Nos encontros, o pesquisador (um dos autores do artigo) e as professoras discutiam/refletiam sobre problemas vivenciados no ensino de Matemática tendo como base os conteúdos abordados em cada turma de atuação das professoras. A dinâmica de trabalho no grupo envolvia ciclos com as seguintes fases: identificação de problemas da prática docente no ensino dos conteúdos matemáticos; reflexão e busca de medidas coletivas para solução dos problemas; implementação e validação de algumas das ações coletivas nas turmas em que as professoras atuavam e a reflexão sobre a ação (Ciríaco et al., 2017). A análise realizada pelos autores mostra que inicialmente as professoras pensavam que o grupo seria um espaço de formação em Matemática e que elas ficariam na ‘plateia’. Os autores evidenciam que o grupo se tornou um espaço colaborativo a partir do momento que as professoras, com formações distintas, perceberam que seriam agentes do seu próprio processo formativo, tornando-se mais autônomas e reflexivas na sua atuação e sentindo-se confiantes para “expressarem de forma espontânea seus sentimentos e as formas de pensamento em relação às críticas e possibilidades de transformação
73 da prática pedagógica” (p. 105). Atendendo às características da colaboração, os autores destacam alguns aspetos presentes no grupo: (1) a organização das atividades visando objetivos comuns, inicialmente focando nas necessidades formativas das integrantes e posteriormente, atendendo o planeamento das temáticas que estavam a abordar em suas aulas; (2) a confiança e o respeito mútuo, evidenciados pela mudança de conceção de três participantes do grupo ao afirmarem que “aprenderam coisas nunca antes compreendidas com a troca de ideias, o ato de “ouvir” o outro se tornou mais significativo para a prática individual e que as dificuldades tornaram-se um problema para grupo e não mais um obstáculo pessoal” (p. 106); (3) a reciprocidade na aprendizagem, uma vez que a interação entre a professora de Matemática e as pedagogas desencadeou um processo de contribuição em relação ao conhecimento matemático e ao conhecimento pedagógico do grupo. Dentre as implicações do trabalho colaborativo na prática das professoras, os autores evidenciam o caso da professora de Matemática que incorporou na sua prática uma visão mais exploratória e investigativa do ensino, uma vez que passou a compreender mais o lado dos seus alunos e apoiá-los na superação das suas dificuldades, procurando novas formas de abordagem dos conteúdos (como exemplo, passou a contextualizar a introdução dos conteúdos com os alunos, o que permitiu um espaço para o diálogo nas aulas de Matemática), o que não acontecia antes da interação no grupo. Por outro lado, no caso das pedagogas, tal interação contribuiu para os processos de aquisição do conhecimento matemático e de aprender a ensinar Matemática. Por fim, os autores concluem que os processos de interação, socialização e reflexão proporcionados pelo espaço coletivo contribuiu para a superação de dificuldades e para o processo de aprender a ensinar Matemática das professoras iniciantes na carreira. Em contexto semelhante ao do estudo anteriormente apresentado, Gama (2007) realizou uma pesquisa com o objetivo de analisar, compreender e descrever o processo de iniciação à docência e de desenvolvimento profissional, quando o recém-formado em Matemática participa em grupos colaborativos. A investigadora organizou três grupos de estudos com professores iniciantes e para aprofundar a análise selecionou três professores, um de casa grupo. A pesquisa segue uma natureza qualitativa e interpretativa dos dados oriundos de entrevistas, das observações de aulas e das reuniões dos grupos, e da análise documental. A análise mostra que, inicialmente, os professores investigados passaram por uma fase de desafios e dificuldades, iniciando a carreira docente como professores temporários nas escolas, numa posição desvalorizada pelos alunos e pela gestão escolar, sem qualquer estímulo ao desenvolvimento profissional, alguns atuando inclusive fora da sua área de formação. Ao conseguirem a efetivação no cargo de professor, foram-lhes atribuídas escolas de difícil acesso ou marcadas pela violência escolar,
74 turmas problemáticas e horários de aula desfavoráveis. Ao integrarem os grupos de estudos, os professores iniciantes passaram a ter um suporte no seu processo de inserção profissional. Este suporte se concretizou na forma de apoio em relação ao conhecimento do conteúdo matemático; apoio pedagógico; apoio emocional para lidar com problemas vivenciados no início da carreira, tais como o isolamento profissional, as incertezas relativas à sobrevivência na profissão; e apoio no desenvolvimento de uma postura investigativa sobre a prática. A investigadora relata que no início do trabalho nos grupos, os professores iniciantes “tenderam a participações periféricas” (Gama, 2007, p. 188), mas foram instigados a refletir sobre situações problemáticas da prática docente, e aos poucos “foram adquirindo confiança e passaram a compartilhar com o grupo suas próprias experiências, suas angústias, suas dificuldades, e seus aprendizados obtidos com a prática” (Idem, p. 188). Nessa partilha, construíram “amigos críticos de confiança” (Gama, 2007, p. 188) que os ajudaram a “desenvolver estranhamentos e aprendizagens” (Idem, p. 188) sobre a Matemática e sobre a prática docente. De acordo com a investigadora, o trabalho no grupo se fortaleceu a partir do momento que os professores passaram a investigar a própria prática utilizando como dinâmica de trabalho a escrita de narrativas. A partilha das narrativas sobre a prática pelos professores com o grupo, para além de permitir a reflexão sobre a prática, constituiu-se “fonte de socialização da profissão (...), pois permitiu validar, reforçar e (...) legitimar os sucessos e os fracassos da prática docente” (Gama, 2007, p. 189) sua e dos parceiros críticos. A investigadora conclui que a cultura colaborativa favorece o desenvolvimento profissional do professor iniciante em relação à sua prática pedagógica, pois conduz o professor a centrar as suas aulas nos alunos, valorizando a interação com eles e entre eles, promovendo o trabalho em grupo, considerando suas respostas, promovendo intervenções problematizadoras e questionadoras, visando a produção e negociação de significados sobre os conteúdos. Também conclui que, no grupo colaborativo, quebra-se a diferença relacional entre professores iniciantes e mais experientes, uma vez que os iniciantes aprendem e desenvolvem-se na profissão, mas também ensinam com novos olhares sobre as situações. Em suma, os resultados da pesquisa de Gama (2007) dão indícios de que o grupo colaborativo, ao apoiar os professores em início de carreira, além de facilitar e estimular o desenvolvimento profissional e a busca da satisfação pessoal, contribui na construção de uma identidade profissional comprometida com a melhoria da qualidade do ensino de Matemática nas escolas.
81 dedicação de projetos devido à sobrecarga na atividade profissional; a falta de motivação dos professores; e a falta de apoio por parte das instituições em que se insere o contexto do trabalho. Em consonância com a literatura, foi possível identificar que o desenvolvimento do trabalho colaborativo não ocorre de um dia para o outro e que o processo de mudança da prática e de aprendizagem ocorre sob determinadas condições, tais como: a disposição positiva dos professores para trabalhar conjuntamente e para aprender; a abertura e a escuta do outro; a criação de um clima de trabalho aberto, seguro e de respeito à heterogeneidade e às diferentes formas de fazer; e o apoio institucional. Por último, são identificados alguns aspetos e modos de trabalho que podem promover o trabalho colaborativo, tais como: negociação de ideias fundamentadas em estudos e experiências concretas, ao invés de opiniões pessoais; reflexão sobre a prática por meio da escrita de narrativas sobre as aulas; a elaboração conjunta de aulas e tarefas; a dinamização do ciclo: identificação de problemas comuns de ensino — busca por soluções — concretização de ações — reflexão sobre a ação; narrações de histórias de vida; realização conjunta de estudos teóricos; produção de textos científicos em conjunto de modo a refletir e sistematizar os saberes adquiridos sobre a própria prática, dentre outros.
82 CAPÍTULO 4 METODOLOGIA Neste capítulo são apresentados e justificados os procedimentos metodológicos adotados no desenvolvimento desta investigação. Inicialmente, debruça-se sobre a definição do problema de estudo, a descrição das fases da investigação e das opções metodológicas que a sustentam. De seguida, apresentam-se os participantes e os procedimentos para a sua escolha. Por fim, apresentam-se os métodos de recolha dos dados e os de análise dos dados. 4.1. Opções metodológicas O problema considerado nesta investigação emerge da dificuldade enfrentada por professores e alunos nos processos de ensino e aprendizagem de tópicos de Álgebra Linear. Tais dificuldades não podem ser descuradas devido à relevância que esta disciplina tem na formação acadêmica dos alunos que a frequentam. Importa que o professor se consciencialize de que o elevado nível de formalismo dessa disciplina não permite, muitas vezes, aos alunos estabelecer conexões com o que aprenderam em Matemática. Estratégias de ensino que enfatizem abordagens axiomáticas tendem a despertar nos estudantes o sentimento de que estão a aprender tópicos que não conseguem dotar significado e nem perceber as suas aplicações. Consequentemente, a Álgebra Linear torna-se uma disciplina-problema em muitas instituições de Ensino Superior derivado ao fraco desempenho de muitos alunos que acabam por reprovar (Celestino, 2000; Figueiredo et al., 2014). De modo a atenuar tal situação, as recomendações atuais para o ensino de Álgebra Linear advogam que o professor que ensina esta disciplina deve inovar a sua prática. Mas, como o fazer quando muitas vezes trabalha isoladamente tendo como fonte apenas o livro didático, que, geralmente, apresenta uma abordagem formalista e descontextualizada? Por forma a alterar este status , o trabalho colaborativo entre os professores que lecionam essa disciplina na mesma instituição propicia oportunidades para um trabalho em conjunto na elaboração de propostas de ensino, discussão e reflexão sobre outras estratégias de ensino, que podem favorecer o processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina. Com o propósito de contribuir para que uma nova cultura seja incorporada na prática de docentes de Álgebra Linear de uma universidade pública situada num estado na região sul do Brasil, baseada no diálogo e no coletivismo a fim de promover o ensino e a aprendizagem de maneira significativa, esta investigação desdobrou-se em duas fases. Na primeira fase participaram 15 professores que
83 ensinam/ensinaram Álgebra Linear, com a finalidade de caracterizar as suas estratégias de ensino desta disciplina. Nesta caracterização procura-se identificar as perceções dos professores sobre o ensino da Álgebra Linear, colocando-os a ‘falar’ sobre aspetos da sua prática profissional e da sua prática de ensino nesta disciplina. Desse grupo de professores, em função de estarem a lecionar Álgebra Linear naquela altura, constituiu-se um grupo de trabalho com características colaborativas, tal como descrito no Capítulo 5, com seis professores, com o propósito de identificar situações problemáticas do ensino e da aprendizagem, planificar e discutir momentos da sua prática de ensino de Álgebra Linear. O trabalho realizado neste grupo constitui a segunda fase desta investigação, que tem por objetivo averiguar o contributo do trabalho colaborativo no ensino desta disciplina. Para este fim, adotou-se um design de estudo de caso sobre dois destes professores. Com a informação recolhida de professores que ensinam ou ensinaram Álgebra Linear que participaram em ambas as fases do estudo, procura-se responder às questões de investigação: Como os docentes ensinam Álgebra Linear? Que dificuldades sentem os docentes no ensino de Álgebra Linear? Que perspetivas têm os docentes sobre o trabalho colaborativo? Que problemáticas identificam os docentes do grupo de trabalho colaborativo na sua prática de ensino de Álgebra Linear? Como essas problemáticas são tratadas? Quais as potencialidades e os constrangimentos do trabalho colaborativo no ensino de Álgebra Linear? Face ao problema delineado, à natureza do objetivo e às questões de investigação formuladas, esta investigação segue uma abordagem qualitativa e interpretativa. A abordagem qualitativa justifica-se pela investigação ocorrer em contextos da prática docente, a universidade, que é o ambiente onde os professores participantes vivenciam o problema em estudo, numa relação de proximidade com a investigadora — sobretudo na segunda fase do estudo, que é o principal instrumento de coleta de dados, que observa os fenômenos e o ambiente onde ocorrem, mantendo o foco na captação, descrição e interpretação das ações vivenciadas pelos professores, de acordo com os significados por eles atribuídos (Bogdan & Biklen, 1994; Creswell, 2014; Erickson, 1986). Procura-se, assim, compreender o fenômeno em estudo por meio da análise das perceções e interpretações do ponto de vista dos intervenientes, de modo a captar com ressalva de detalhes as relações entre as suas ações individuais e as suas interações sociais, as suas motivações, crenças, ideias, valores e intenções (Coutinho, 2011; Minayo, 2002). Uma das características da investigação qualitativa com natureza interpretativa é a consideração dos significados das ações dos seus intervenientes (Bogdan & Biklen, 1994; Creswell, 2014; Erickson, 1986). O interesse da investigação nesta abordagem está no “significado humano na vida social e na
84 sua elucidação e exposição por parte do investigador” (Erickson, 1986, p. 119). Para Erickson (2012), um estudo qualitativo não relata simplesmente uma determinada realidade com precisão. Pelo contrário, descreve o que os sujeitos fazem uns com os outros à luz dos significados que atribuem às ações uns dos outros. A descrição qualitativa é, segundo o autor, necessariamente interpretativa, e tem por objetivo produzir descrições e análises dos conceitos e raciocínios utilizados pelos próprios sujeitos, traduzindo a realidade, o mais fielmente possível, na forma como eles a compreendem e percebem. A natureza interpretativa desta investigação está presente nos significados que os intervenientes conferem ao fenômeno em estudo e na sua respetiva interpretação e exposição por parte da investigadora. Com esta perspetiva, os dados recolhidos nesta investigação são essencialmente descritivos sem a finalidade de comprovar ou infirmar hipóteses por meio deles, mas compreender as perceções que os professores têm sobre o ensino da Álgebra Linear e os processos pelos quais alguns destes professores desenvolvem a sua prática a partir do trabalho colaborativo com seus pares, valorizando-se assim mais os processos do que os resultados (Bogdan & Biklen, 1994). Dessa forma, os dados são analisados “indutivamente do particular para as perspetivas mais gerais” (Creswell, 2014, p. 55), procurando estabelecer padrões ou temas, e “dedutivamente para reunir evidências que apoiem os temas e as interpretações” (idem). Os resultados são apresentados na forma de narrativa, com descrições contextuais e com as vozes dos participantes apresentadas na forma de citações (Bogdan & Biklen, 1994; Creswell, 2014), sem retirar o significado proferido pelos professores nos devidos contextos em que se inserem. Relativamente ao estudo de caso, Yin (2015) refere que a opção por esta metodologia é particularmente oportuna quando a investigadora procura explicar, descrever ou analisar um acontecimento contemporâneo inserido em algum contexto da vida real, de tal forma que não tem controle total sobre as variáveis envolvidas e sobre os participantes. O autor acrescenta que o estudo de caso é adequado para responder a questões do tipo ‘como?’ e ‘porquê?’; para compreender de forma, o mais possível, completa e profunda o fenômeno a que se acede diretamente, acompanhada de uma descrição holística da situação, baseando-se para isso em múltiplas fontes de informação. Ponte (2006) considera que o estudo de caso é adequado quando a investigadora busca compreender as particularidades de uma situação específica, procurando o que há nela de mais essencial e característico, com vista à sua melhoria ou para lançar hipóteses de trabalho ou estudo sobre o grupo ou fenômeno em análise. Por sua vez, Lüdke e André (2013) advogam que a pesquisadora deve optar pelo estudo de caso quando a situação investigada é algo singular, sendo que o caso deve estar bem delimitado e com contornos bem definidos durante o desenvolvimento do estudo. Estas autoras
85 reforçam que os estudos de caso buscam retratar a realidade de forma aprofundada. Para tal, é importante que enquanto investigadora procure revelar as múltiplas dimensões presentes na situação em análise, bem como as relações entre elas, para além de estar atenta a novos elementos que possam emergir no decorrer do estudo, mesmo que siga alguns pressupostos teóricos iniciais. Outra questão a considerar, segundo as autoras, é o contexto em que se situa o objeto de investigação, de modo a obter uma melhor compreensão do problema ou encontrar fatores que possam explicar as ações, os comportamentos, as perceções e as interações dos seus participantes. Há vários tipos de casos. Um caso pode ser, por exemplo, um indivíduo, um pequeno grupo, uma atividade ou evento, ou pode ser um processo (McMillan & Schumacher, 2014). Pode ser escolhido um único caso ou múltiplos casos (dois ou mais casos em um único estudo) para que possam ser comparados (Creswell, 2014; McMillan & Schumacher, 2014). Stake (2005) distingue dois tipos de estudo de caso, intrínseco e instrumental, conforme a intenção de o conduzir. Um caso é intrínseco quando é focado em si mesmo e só precisa ser descrito e detalhado. Um caso é instrumental quando o foco é a compreensão aprofundada de um problema específico, de uma questão ou um tema, e é selecionado um ou mais casos para elucidar esse problema, questão ou tema. Considerando os professores que participaram de um grupo de trabalho com seus pares para planificar e discutir momentos de sua prática no ensino de Álgebra Linear como unidade de análise, realizaram-se dois estudos de caso, participando em cada um deles um professor deste grupo, para se procurar compreender com mais detalhe possível um fenômeno específico e complexo — o modo como trabalham num grupo com características colaborativas, como desenvolvem a sua estratégia de ensino e quais significados conferem à sua prática no ensino de Álgebra Linear após a sua participação nesse grupo. Como a finalidade é compreender de modo aprofundando um fenômeno específico, cada estudo de caso é fundamentalmente instrumental, sendo que os dois estudos de caso se conjugam de modo a melhor compreender este fenômeno, constituindo-se um estudo de caso múltiplo. Os participantes do grupo de trabalho escolhidos para cada um dos casos, são os professores Nina e Téo. No Capítulo 7 é apresentado o estudo de caso de Téo, que foi selecionado por ser um dos professores do grupo de trabalho com menor experiência docente e pela forma como se integrou no grupo, participando de todos os momentos de trabalho conjunto a par da investigadora. No Capítulo 8 é apresentado o estudo de caso de Nina, que foi escolhida por ser do grupo de professores mais experientes na profissão, porém apresentava algumas dificuldades para ensinar alguns tópicos de Álgebra Linear. O relato dos estudos de caso segue a forma de narrativa, para, a partir da descrição das
86 perceções dos professores, dar a conhecer as suas experiências, opiniões, dificuldades e ideias, ao longo do desenvolvimento das atividades no seio do grupo de trabalho e na dinamização da sua prática letiva. Os tópicos de Álgebra Linear que foram fruto de discussão e da planificação de tarefas e aulas no grupo de trabalho conjunto foram os mesmos para todos os seis professores. Este facto implica que nos dois estudos de caso é dado a conhecer a forma como cada professor se envolveu nas atividades dinamizadas no grupo de trabalho em torno das mesmas temáticas. Assim, os casos se diferenciam pela forma como cada professor se envolveu no grupo de trabalho, na forma como dinamizou a sua prática letiva a partir da participação no grupo e pelas suas dificuldades e aprendizagens ao longo do processo, e pelas suas perceções em relação ao trabalho realizado em prol da sua prática letiva. A elaboração dos estudos de caso é organizada em torno da informação recolhida nas ações dinamizadas pelos professores que os formam, seguindo uma perspetiva interpretativa da investigadora, uma vez que se pretende interpretar e compreender as perspetivas dos professores sobre o trabalho colaborativo, os constrangimentos sentidos por eles ao trabalharem colaborativamente com seus pares, as problemáticas identificadas em sua prática letiva e as potencialidades e desafios do trabalho colaborativo no ensino de Álgebra Linear. Com esta perspetiva pretende-se dar a “conhecer uma realidade tal como ela é vista pelos atores que nela intervém diretamente” (Ponte, 2006, p. 14). Por outro lado, este autor advoga que num estudo de caso interpretativo, a investigadora também deve analisar os dados segundo o seu ponto de vista. Assim, a investigadora, enquanto principal meio de recolha e análise de dados (Bogdan & Biklen, 1994), envolve-se na atividade de investigação como outsider e insider , de modo a poder refletir sobre ela em diferentes perspetivas. Apresenta as experiências dos participantes na sua forma natural, explicando-as e interpretando-as como uma outsider . Por outro lado, se integra na realidade investigada participando das suas atividades como uma insider , de modo a compreender e interpretar os seus pormenores. Nesta segunda fase do estudo, envolvi-me pessoalmente na realidade investigada, desempenhando o duplo papel de investigadora e professora — participante do grupo de trabalho. Dessa forma, a investigadora não era um elemento estranho no grupo de trabalho (Bogdan & Biklen, 1994), uma vez que partilhava os mesmos desafios e problemáticas vivenciados pelos demais integrantes do grupo nos processos de ensino e aprendizagem da Álgebra Linear. Porém, torna-se difícil delimitar onde começa e onde termina cada um dos papéis vivenciados no grupo. Enquanto professora de Álgebra Linear, participei na planificação e concretização de todas as atividades desenvolvidas. Mesmo no papel de investigadora/observadora das aulas dos professores do grupo, procurava, como professora, refletir sobre a concretização nestas aulas das atividades planificadas em conjunto e retornar ao grupo algumas
87 ideias emergentes dessa reflexão. Enquanto investigadora, nos encontros de trabalho conjunto, para além da coleta de dados por meio da observação, da gravação em áudio e vídeo e das notas de campo, se fez necessário assumir o papel de coordenadora/líder do grupo, de modo a manter o grupo em atividade. Assim, procurei cuidar da organização dos encontros do grupo, da troca de informações entre os membros do grupo no intervalo entre os encontros, cuidar para que sempre tivéssemos uma agenda para debater, muitas vezes lançando ideias e/ou questões, ou incentivando que os meus pares apresentassem ideias ou se responsabilizassem pela concretização de alguma ideia lançada no grupo. Considerando a ‘validação’ em pesquisa qualitativa como uma tentativa de avaliar a credibilidade das interpretações realizadas pela investigadora nesta investigação foram utilizadas as seguintes estratégias referidas por Creswell (2014): (i) envolvimento prolongado e observação persistente no campo, que se reflete na observação-participante no grupo de trabalho; (ii) triangulação, através do confronto de evidências provenientes de diferentes fontes de dados, tais como entrevistas, observações, gravações em áudio e vídeo das sessões do grupo de trabalho e notas de campo; (iii) esclarecimento do viés da investigadora, de modo a deixar explícito desde o início as suas motivações e conceções, as quais possam impactar a abordagem e interpretação do estudo; (iv) descrição detalhada e densa dos participantes e contexto do estudo; e (v) verificação, pelos participantes do estudo, dos relatos e análises realizados de forma que eles julguem a sua precisão e credibilidade. 4.2. Participantes Na descrição dos participantes intervenientes neste estudo, importa salientar as características dos que participaram na primeira fase, num olhar mais abrangente, e os que participaram na segunda fase, num olhar mais focalizado. Primeira fase do estudo Através da consulta pela Internet, procurei identificar outros cursos de graduação, fora do meu Centro de atuação, que continham em seu currículo a disciplina de Álgebra Linear. Contactei os coordenadores dos respetivos cursos para identificar os professores que lecionavam Álgebra Linear, bem como para obter o seu contacto. Ao todo identifiquei 12 professores que ensinavam ou já haviam ensinado a disciplina, sendo que sete professores responderam ao meu contacto por e-mail sobre a participação numa entrevista. Destes, um professor se negou a participar da entrevista, um professor respondeu ao contacto aceitando participar após um ano do envio do e-mail, quando eu já havia
88 encerrado esta fase da pesquisa, e os demais cinco professores prontamente aceitaram participar. No meu Centro, identifiquei 10 professores que aceitaram ser entrevistados. Em suma, a primeira fase do estudo envolveu 15 professores que ensinavam Álgebra Linear no semestre 2016/01 ou que já haviam lecionado anteriormente, os quais participaram individualmente numa entrevista. A caracterização destes professores, incluindo a sua descrição e os aspetos relacionados à sua formação inicial e continuada e à sua experiência profissional é apresentada no Capítulo 6, pois os dados que a permitem realizar resultam da entrevista. Segunda fase do estudo Ao realizar a entrevista com o grupo de professores que constituiu a primeira fase do estudo, procurei identificar professores que poderiam integrar um grupo de trabalho em Álgebra Linear. Para esta identificação, tinha a preocupação de encontrar professores que integrassem elementos em sua prática de ensino que se destacassem em relação ao ensino tradicional e/ou aqueles que tivessem disponibilidade para discutir momentos da sua prática de ensino em Álgebra Linear. Inicialmente, identifiquei um grupo de professores no Centro de Ensino em que atuo profissionalmente, que concentra o maior número de professores de Álgebra Linear da instituição, e uma professora de um outro Centro de Ensino, localizado noutra cidade. Como poderia contar com um grupo maior do Centro em que atuo, avaliei que ter um professor de outro Centro neste grupo dificultaria a minha logística para a observação das aulas dos professores, uma vez que teria que conciliar os horários de observação em duas cidades distintas com a minha carga horária de ensino. Considerei também que, como o trabalho colaborativo proposto exigia dos professores um maior esforço nas suas atividades profissionais, em que era necessário estreitar relações e ter flexibilidade para realizar reuniões de trabalho, o facto de os professores lecionarem no mesmo Centro de Ensino seria um fator facilitador neste processo. Deste modo, os participantes do grupo de trabalho, objeto de análise da 2.ª fase deste estudo, foram seis professores do Departamento de Matemática: Bruna 6 , Lisa, Nina, Téo, Tito e a investigadora. No grupo havia professores mais experientes (Tito, Bruna, Nina e a investigadora), com vários anos de prática letiva, e aqueles com pouco tempo de prática letiva (Lisa e Téo), por estarem no início da carreira docente. Dentre os cinco professores do grupo de trabalho, à exceção da investigadora, selecionei dois para integrarem cada um dos estudos de caso. A definição dos professores que constituíram os casos aconteceu após a transcrição da entrevista final, realizada depois da conclusão do 2.º semestre letivo de 6 Este, como os outros nomes de professores ou alunos que são referidos neste estudo, correspondem a pseudônimos. Os próprios professores do grupo de trabalho é que escolheram os seus pseudônimos.
89 trabalho conjunto. Nesta seleção, optei por escolher um professor iniciante na carreira e um com mais tempo de prática letiva. Dentre os dois professores iniciantes, optei por Téo, primeiramente, por ele ter sido o único assíduo aos encontros do grupo, para além da investigadora, e pelas características já descritas, como a sua dedicação para buscar respostas para algumas questões e desafios que eram colocados no grupo. Outro fator que contribuiu para esta escolha, foi o facto de este professor ter uma formação bem abrangente em Matemática, ter afinidade com a tecnologia e manifestar abertura para se desenvolver profissionalmente em relação a aspetos didáticos do ensino de Álgebra Linear, particularmente em estratégias envolvendo o uso da tecnologia. Dentre os três professores mais experientes, optei por Nina, pelas suas dificuldades em relação ao conteúdo de Álgebra Linear, manifestadas antes e durante o trabalho conjunto e pelo facto de não ter experiência com o uso de recursos tecnológicos, para além do PowerPoint, no ensino das disciplinas que lecionava e, com a participação no grupo, passar a integrar um software de geometria dinâmica em seu ensino de Álgebra Linear. Importa destacar que ao realizar o convite aos professores, lhes apresentei os objetivos da investigação, os informei sobre como seria o processo de recolha de dados, incluindo o registo em áudio e vídeo das sessões de trabalho, a observação de algumas das suas aulas e a participação em entrevistas. No primeiro encontro de trabalho, apresentei-lhes mais detalhadamente os objetivos, discutimos as possíveis vantagens sobre o trabalho a ser realizado, dando ênfase ao possível contributo ao seu desenvolvimento profissional, bem como reforcei os métodos de recolha dos dados. Para além disso, informei que alguns dos professores, ou talvez todos (naquele momento não tinha noção de quantos), seriam selecionados para constituírem estudos de caso. Diante do que lhes fora apresentando, todos se mostraram disponíveis em participar no grupo de trabalho, para além de me concederem o direito de usar os dados e materiais produzidos no grupo. Papel da investigadora No grupo de trabalho, a minha função foi de observadora-participante, interagindo com os demais colegas, trazendo ao grupo as minhas experiências e problemáticas vivenciadas na minha prática, bem como participando na elaboração e concretização de todas as ações conjuntas. Importa destacar que cada um dos participantes, desde a sua inserção no grupo, tinha conhecimento do envolvimento da investigadora de forma interativa. O trabalho conjunto para o qual desafiei os professores assumia inicialmente os pressupostos de um trabalho com características colaborativas. Dessa forma, todas as ideias tinham que partir de um
90 consentimento de todos os professores. Assim, no papel de membro do grupo, colocava todas as minhas ideias à aprovação do grupo. Por outro lado, mesmo comungando de muitos problemas relacionados aos processos de ensino e aprendizagem com os colegas do grupo, precisava estar atenta ao grupo e ao processo de recolha de dados. Atenção ao grupo no sentido de que os professores se sentissem à vontade para trabalhar com seus pares, num clima de confiança, que não me vissem como investigadora, mas sim como um elemento do grupo, que construíssem um sentimento de pertença do grupo ao contrário de estarem presentes simplesmente por parceria com a investigadora. Ao mesmo tempo que esperava que todos estes sentimentos fossem despertados nos professores, preocupava-me com a recolha dos dados, tanto no sentido de minimizar os ‘efeitos do observador’ (Bogdan & Biklen, 1994), quanto no sentido de que os pressupostos de um trabalho verdadeiramente colaborativo (Fullan & Hargreaves, 2001) fossem assumidos pelo grupo. Neste sentido, procurava dar mais voz aos colegas, deixando que as minhas intervenções nas sessões de trabalho ocorressem mais nos momentos que não houvesse uma discussão, de modo a alimentar as ideias, deixando aos restantes elementos do grupo a tomada de decisões. 4.3. Métodos de recolha dos dados A investigação qualitativa e interpretativa pressupõe que o investigador se insira no “mundo das pessoas que pretende estudar” (Bogdan & Biklen, 1994, p. 16), procurando aprender algo com elas e sobre elas, e compreender o seu modo de pensar, mas, ao mesmo tempo, tomando o cuidado para se manter do lado de fora ‘deste mundo’, no sentido de se manter crítico e reflexivo. Importa estabelecer uma relação de confiança com os sujeitos da investigação, para que estes se sintam à vontade para falar e participar nas atividades em que se envolvem, e cuidadosamente registrar o que se passa no contexto de forma não intrusiva, confrontando diferentes fontes de dados (Bogdan & Biklen, 1994). O uso de diferentes fontes de dados, como entrevistas, observações e documentos, permite uma compreensão em profundidade do fenômeno em estudo e dos significados que perpassam numa investigação (Bogdan & Biklen, 1994; Flick, 2009). Em particular, Yin (2015) refere que nos estudos de caso o uso de múltiplas fontes de evidência permite obter diferentes perspetivas dos participantes e uma ampla diversidade de tópicos de análise. De modo a atender aos propósitos da investigação e obter uma variedade de fontes de informação, os dados foram recolhidos por meio de três métodos: a entrevista; a observação; e a análise documental (Quadro 1).
97 foi alvo de transcrição. Também foi feito o registo por meio de notas de campo, principalmente das atividades delineadas no contexto do grupo de trabalho, mas cuja construção/concretização ocorria em momentos em que os professores se reuniam informalmente, sem um agendamento prévio. Tais anotações eram realizadas no sentido de não se perder a informação sobre os passos deste processo de construção, não perder a informação sobre o envolvimento dos professores neste processo e para posteriormente poder perceber os acontecimentos numa linha temporal. Entretanto, na escrita dos casos recorri pouco às notas de campo, pois optei por usar as informações provenientes das transcrições das sessões de trabalho do grupo, das entrevistas e das observações de aula, dada a sua maior fiabilidade. Para além das sessões do grupo de trabalho, foram observadas seis aulas de cada professor do grupo, que corresponde a 12 horas-aula (1 hora-aula=50 min) para cada um deles. Nas aulas dos professores, optei por uma observação não-participante, de modo a interferir o menos possível no ambiente. A observação das aulas foi distribuída em três observações sequenciais em cada um dos semestres. Para cada semestre foi escolhido um tópico de Álgebra Linear diferente para realizar a observação, levando em consideração que foi uma escolha do grupo a planificação conjunta de tais tópicos. As três primeiras observações ocorreram em setembro de 2016, quando o grupo estava em atividade há pouco mais de dois meses, e as três seguintes ocorreram no final de março e início de abril de 2017. O número de aulas observadas foi condicionado pelo número de planificações ocorridas que contemplava a tríade: (i) discussão/construção de uma proposta de ensino no grupo; (ii) concretização dessa proposta em sala e aula; e (iii) reflexão sobre a concretização no grupo. Importa destacar que no grupo foram realizadas outras atividades, como a elaboração de tarefas e a reflexão sobre a sua concretização, quer em sala de aula quer extra sala de aula. O registo das observações das aulas realizou-se por meio de gravações em áudio e vídeo e por meio de notas de campo, com o consentimento dos alunos, que foram informados sobre os objetivos das observações e da pesquisa, bem como da confidencialidade dos dados, por meio de um ‘Termo de Consentimento Livre e Esclarecido’ (Anexo F). Em cada um dos semestres, antes de iniciar as observações, me apresentei em cada uma das turmas e sugeri os possíveis benefícios para o processo de ensino e aprendizagem que poderia surgir em função da pesquisa que realizava e pelo trabalho conjunto realizado pelo grupo de professores no ensino da Álgebra Linear. Apesar de estarem cientes da observação, a presença da câmara em sala de aula pareceu ser um fator perturbador para os alunos apenas na primeira aula observada em cada um dos semestres, mesmo ficando ao fundo da sala de aula. Alguns alunos ao se levantarem das suas carteiras tinham o cuidado para não passar à frente da câmara, ou falavam num tom de voz mais baixo quando faziam algum questionamento ao professor, ou
98 chamavam a atenção uns dos outros para tomar cuidado com a presença da câmara, diante dos seus comentários. A presença da câmara e particularmente a minha presença também foi fator perturbador para os professores nas primeiras aulas observadas do semestre 2016/02, que revelaram alguma tensão. Após a observação de cada aula havia uma discussão individual e abrangente da investigadora com cada professor sobre os pontos fortes e o que poderia ser melhorado em relação à estratégia usada na sala de aula. Salientando que esta estratégia era definida no grupo, mas para além disso havia a estratégia individual do professor. Assim, procurávamos também discutir o que aquele professor acrescentou à estratégia previamente combinada no grupo e que poderia ser partilhada com os demais professores, para a evolução da estratégia de ensino definida pelo grupo. Nas sessões do grupo cada professor fazia um relato sobre a concretização das aulas. Eu procurava complementar com a minha observação e juntos procurávamos fazer uma reflexão sobre esta concretização, muitas vezes reformulando alguns pontos da proposta de ensino delineada no seio do grupo. Relativamente à transcrição das gravações em áudio e vídeo das sessões de trabalho, este processo foi moroso e complicado pelo volume de gravações e pelo cruzamento de vozes e falas simultâneas, sendo necessário, na maioria das vezes, confrontar as gravações em áudio e vídeo. O processo de transcrição das gravações das aulas foi facilitado pelas notas de campo minuciosas que foram realizadas, permitindo-me ser mais seletiva na transcrição. 4.3.3. Análise documental O uso da informação proveniente da análise documental para a construção dos estudos de caso pode-se constituir uma técnica valiosa, tanto para complementar como para corroborar as evidências oriundas de outras fontes, como a entrevista e a observação (Flick, 2009; Yin, 2015). Os documentos como fontes de dados oferecem como vantagens a possibilidade de serem acedidos a qualquer momento pela investigadora, quantas vezes forem necessárias, e de oferecerem uma informação contextualizada e exata dos eventos, com nomes, datas e detalhes, podendo trazer clareza à investigação (Yin, 2015). Como pontos fracos, este autor refere a possibilidade de haver uma visão tendenciosa da investigadora tanto para selecionar os documentos — fazendo escolhas arbitrárias sobre os aspetos a serem enfatizados e temáticas a serem focalizadas —, como para fazer relatos baseados em ideias préconcebidas. Também é um ponto fraco da análise documental a possibilidade de se ter acesso negado aos documentos pelos participantes.
99 Os documentos recolhidos nesta investigação integram os materiais produzidos pelos professores durantes as sessões de trabalho com os seus pares, como os roteiros das aulas planificadas em conjunto, as tarefas planificadas para introduzir alguns tópicos de Álgebra Linear, as tarefas avaliativas das aprendizagens dos alunos, algumas questões de provas (testes avaliativos) elaboradas em conjunto, os aplicativos do GeoGebra construídos pelos professores, os diários de classe dos professores e as notas de campo da investigadora sobre as observações das aulas e sobre a dinâmica de trabalho nas sessões formais e informais do grupo. 4.4. Análise dos dados A análise qualitativa de dados é um processo contínuo de busca e organização sistemática de toda a informação recolhida no campo da investigação, com o propósito de aumentar a compreensão pelo investigador do material recolhido e de lhe permitir fornecer explicações de forma clara e organizada sobre o fenômeno em estudo (Bogdan & Biklen, 1994; McMillan & Schumacher, 2014). O processo de análise dos dados envolve, segundo Creswell (2014), “a organização dos dados, a realização de uma leitura preliminar da base de dados, a codificação e organização dos temas, a representação dos dados e a formulação de uma interpretação deles” (p. 146). Como referem Creswell (2014) e Lüdke e André (2013), o processo de análise dos dados não é um passo isolado durante a investigação. Ele acontece desde o início da coleta de dados, e pode-se estender até à redação da tese da pesquisa. Desde a primeira entrevista ou observação, podem resultar elementos que impliquem novas decisões sobre a investigação podendo levar até à reformulação de objetivos ou questões de investigação. Neste estudo, a análise dos dados foi feita ao longo de toda a investigação, porém foi mais sistêmica e formal após o encerramento da recolha de dados. A organização dos dados iniciou-se ainda na primeira fase da investigação, em que foi realizada uma entrevista (EG) a 15 professores que ensinavam ou já haviam ensinado Álgebra Linear. Nesta etapa, foi realizada uma primeira leitura dos dados dessa entrevista (transcrições) com o intuito de apresentar uma comunicação científica no ‘II COLBEDUCAColóquio Luso-Brasileiro de Educação’, que decorreu em Joinville, Brasil, em 05 e 06 de setembro de 2016. A elaboração dessa comunicação científica foi importante para posteriormente definir duas subcategorias (Estratégias utilizadas no ensino de Álgebra Linear e Dificuldades no ensino e na aprendizagem de Álgebra Linear) que estruturam uma das categorias de análise (Ensino de Álgebra Linear) dos dados desta primeira fase da investigação. Porém, a análise sistêmica dos dados desta primeira fase da pesquisa ocorreu apenas após o fim da recolha de dados da segunda fase da pesquisa, pelo envolvimento da investigadora que foi necessário nesta fase. Os dados da segunda fase, oriundos
100 das observações (gravações e transcrições), entrevistas (gravações e transcrições) e notas de campo, foram sendo organizados, por ordem cronológica, à medida que foram sendo recolhidos. Para a análise dos dados de ambas as fases, após a fase inicial de organização dos dados em arquivos de computador, para que fossem facilmente localizados, foram realizadas várias leituras dos dados recolhidos, sem a intenção de os sistematizar, mas com o intuito de perceber as principais ideias e os significados conferidos nas ações dos participantes do estudo. Essa leitura permitiu a identificação de temas e a definição de unidades de análise, que numa etapa posterior foram classificadas num sistema de categorias que pudessem fornecer “por condensação, uma representação simplificada dos dados brutos” (Bardin, 2009, p. 147). Após a identificação dos temas prosseguiu-se com a fragmentação dos dados (Miles & Hubermam, 1994) em torno destes temas. Da releitura destes fragmentos, os dados foram reduzidos em categorias. Entende-se por redução dos dados, o processo de selecionar, condensar e organizar os dados obtidos na investigação (Miles & Hubermam, 1994). Para o processo de categorização seguiu-se um procedimento aberto, em que as categorias emergiram dos dados, por meio de um método essencialmente indutivo, em que o caminho percorrido pela investigadora partiu dos dados empíricos até a obtenção de uma classificação considerada adequada. A apresentação dos dados da primeira fase do estudo, oriundos da entrevista inicial, foi organizada em torno de duas categorias: (i) Prática profissional dos professores; e (ii) Ensino de Álgebra Linear. Para além destas categorias, inicia-se a apresentação dos dados com uma ‘caracterização dos professores’, em que se procura fazer uma descrição dos 15 professores participantes desta fase, destacando-se a sua formação inicial e continuada e a sua experiência profissional. Na categoria referente à ‘Prática profissional dos professores’, identificam-se as disciplinas que já lecionaram, os aspetos que mais destacam na planificação das suas aulas e as suas perceções e/ou práticas sobre o trabalho colaborativo entre pares. Por fim, procura-se fazer uma caracterização do ‘Ensino de Álgebra Linear’ dos professores enquadrando-se as suas perceções quanto à sua formação para ensinar esta disciplina, a importância da Álgebra Linear na formação dos alunos, as estratégias de ensino (método de ensino, tipologia de tarefas, envolvimento dos alunos), a exploração de aplicações contextualizadas, os materiais didáticos, a avaliação das aprendizagens dos alunos, as diferenças entre o ensino de Álgebra Linear e noutras disciplinas que lecionam, as dificuldades no ensino e na aprendizagem desta disciplina e a prática de reflexão sobre a sua ação letiva. Iniciei a análise dos dados da segunda fase desta investigação pelo desenvolvimento do estudo de caso sobre Téo e, posteriormente, desenvolvi o estudo de caso sobre Nina. Ambos os estudos de caso são organizados pelas mesmas categorias que resultam do refinamento dos dados em conjunção com
101 as questões da investigação. Da análise exaustiva e sistemática das transcrições das entrevistas (incluindo a entrevista inicial com todos os professores, na primeira fase), das sessões do grupo de trabalho, e quando necessário, da audição/visualização dos respetivos áudios e imagens, identifiquei momentos significativos em relação às questões que orientam o estudo. A partir do discurso dos professores identifiquei momentos significativos em que os professores manifestavam a sua perceção sobre aspetos do desenvolvimento do seu conhecimento didático, como os relacionados ao ensino de Álgebra Linear, às tarefas, aos materiais didáticos, às dificuldades nos processos de ensino e aprendizagem, ao papel do aluno nas suas aulas e à avaliação das aprendizagens dos alunos. Temas estes que foram foco das atividades dinamizadas no grupo de trabalho. Das sessões no grupo de trabalho e principalmente das duas entrevistas semiestruturadas foi possível identificar a perceção sobre o trabalho colaborativo de cada professor, bem como as suas perspetivas acerca do contributo do trabalho colaborativo para a sua prática de ensino em Álgebra Linear, e como se transcreve a evolução destas perceções ao longo do trabalho realizado em grupo. Analisei os momentos de trabalho em que os professores planificaram aulas e tarefas, as suas relações de colaboração para o desenvolvimento deste processo e os momentos de reflexão sobre a concretização destas aulas e tarefas. Diante do quadro de informações que se obteve sobre os professores Téo e Nina, e mediante a análise sobre como eles se envolveram nas atividades desenvolvidas no grupo de trabalho emergiram as seguintes categorias de análise para o desenvolvimento dos casos: − Perspetivas e prática sobre o trabalho colaborativo; − Perspetivas sobre o ensino de Álgebra Linear; − A prática de Téo/Nina no ensino de Álgebra Linear; − Contributo do trabalho colaborativo na prática de Téo/Nina no ensino de Álgebra Linear. Inicia-se cada um dos casos com a caracterização de cada professor. Nessa caracterização é feita uma descrição do seu percurso formativo, das razões que o levaram a escolher a sua formação e a adequação dessa formação para o ensino de Álgebra Linear. Dá-se atenção às dinâmicas de formação continuada em que participam e à sua experiência profissional. Procura-se traçar um perfil tanto pessoal como da forma de ser destes professores, destacando o modo como se relacionam com os seus pares e com os alunos e, em traços gerais, como foi a vivência no grupo de trabalho. Nas ‘Perspetivas e prática sobre o trabalho colaborativo’ procura-se percorrer uma linha temporal em relação às perspetivas de cada professor sobre o trabalho colaborativo entre pares e como desenvolve
102 as suas relações de colaboração no período que precede o grupo de trabalho, ao fim de um semestre e ao fim de um ano de trabalho com seus pares. Nas ‘Perspetivas sobre o ensino de Álgebra Linear’, enquadra-se a forma como cada professor vê o ensino de Álgebra Linear, a forma como se posiciona diante das dificuldades nos processos de ensino e de aprendizagem da disciplina, como vê o papel do aluno nestes processos, as tarefas propostas aos alunos, os materiais utilizados no ensino da disciplina e o processo de avaliação das aprendizagens dos alunos. Na categoria ‘A prática do professor (Téo/Nina) no ensino de Álgebra Linear’, enquadra-se a prática dos professores no ensino de Álgebra Linear durante o período de tempo em que integraram o grupo de trabalho, ilustrando essa prática em duas vertentes, uma que se relaciona ao ensino de tópicos de Álgebra Linear e outra às tarefas de avaliação das aprendizagens dos alunos. Apresenta-se a informação proveniente dos momentos de preparação das aulas, da concretização em sala de aula e da respetiva reflexão no grupo e de algumas tarefas avaliativas. Na categoria ‘Contributo do trabalho colaborativo na prática do professor (Téo/Nina) no ensino de Álgebra Linear’, apresenta-se a perceção de cada professor sobre a influência do trabalho realizado sobre a sua prática. Esta perceção é apresentada numa linha evolutiva, ao fim do primeiro semestre de trabalho conjunto e ao fim de um ano. Enquadra-se a perceção dos professores sobre a forma como abordam o conteúdo, como trabalham as tarefas, sobre o papel dos alunos em suas aulas, sobre a ênfase da abordagem geométrica que passaram a ter em suas aulas, sobre o contributo desta ênfase para a aprendizagem dos alunos e a forma como integraram materiais tecnológicos em suas aulas de Álgebra Linear. Depois de escrito, enviei cada caso ao respetivo professor participante para que realizasse a sua apreciação sobre a adequação das descrições e interpretações realizadas. De modo geral, os professores sentiram-se retratados na descrição dos seus casos: Ao ler o texto foi passando um filme pela minha cabeça. Relembrei os momentos em grupo para discussão, a prática colocada em sala de aula, minha postura em relação aos alunos e os resultados vindo deles, até então, nunca alcançados. Houve, realmente, mudanças significativas em relação às aulas ministradas em Álgebra Linear por minha parte. Achei que a autora conseguiu descrever meu percurso durante o tempo de atuação do grupo, meus questionamentos, minhas dúvidas e meu amadurecimento em relação à docência na disciplina. (...) Achei o texto muito bem escrito. Adorei ler! Parabéns! (Nina) Gostei bastante de ler. No geral, concordo com o que está escrito, mas listei alguns probleminhas ortográficos e detalhes sobre os tópicos onde talvez deva esclarecer o que foi dito. (...) Quando estiver terminado, também vou querer uma cópia da tese. (Téo)
103 Para além de manifestarem a sua concordância com o texto escrito, ambos os professores sugeriram algumas correções. Com Nina, durante a análise dos dados e a redação do caso, conversei algumas vezes para esclarecer algumas dúvidas quanto à interpretação dos seus dados, como ela mesma refere: “Conversamos algumas vezes, durante a escrita do capítulo, sobre o que eu havia exposto nas entrevistas, gravações de aulas e reuniões. Se a autora estava interpretando de maneira adequada a minha fala e, assim, tentei ajudá-la a esclarecer suas dúvidas” (Nina). Deste modo, realizou poucas correções no texto, que foram de ordem ortográfica e de substituição de alguns termos nas transcrições de suas falas. Por exemplo, alterou o trecho de sua fala “Mesmo sabendo que têm autores que não são a favor, no meu ponto de vista abre a mente” para “Mesmo sabendo que têm autores que não são a favor, no meu ponto de vista facilita a compreensão do conteúdo”. Tais alterações não influenciaram as interpretações por mim realizadas. Da leitura do seu respetivo caso, Téo sugeriu, para além das correções ortográficas e da notação algébrica, algumas correções na sua descrição, como, por exemplo, nas áreas em que obteve a sua titulação de mestre e doutor e a devida justificativa para a escolha delas, nas disciplinas que havia lecionado antes de participar do grupo de trabalho. Também sugeriu uma alteração numa interpretação que realizei, relacionada ao seu ponto de vista sobre a falta de padronização nos livros didáticos de Álgebra Linear em relação à expressão ‘matriz Mudança de Base, de 𝛼 para 𝛽. Assim, na Subsecção 7.4.1.1, o trecho do texto apresentado no Quadro 2, Quadro 2. Versão inicial de um recorte do texto do caso de Téo. Reconhece que a notação simbólica utilizada para denotar a matriz mudança de base, que é diferente em diferentes livros, e que por vezes confunde a si mesmo, pode também gerar dificuldades nos alunos, pois não há uma notação padrão na literatura. Uma coisa que me confunde até hoje, eu nunca lembro, tenho que dar uma revisada sempre, é que há livros que denotam a matriz de mudança de 𝛼 para 𝛽 assim [𝐼]𝛽 𝛼, e outros assim [𝐼]𝛼 𝛽, aí eu nunca lembro qual é qual e qual é a mais usada. (...) Pode ser que os alunos também se deparem com esse material que está invertida a notação e cause alguma estranheza. (EGC6, 16/09/2016) foi substituído pelo trecho do Quadro 3: Quadro 3. Versão revisada do recorte do texto do caso de Téo. Reconhece que a forma como os livros se referem à expressão ‘matriz mudança de base, de 𝛼 para 𝛽′, é diferente em diferentes livros, e que por vezes confunde a si mesmo, pode também gerar dificuldades nos alunos, pois não há uma padronização na literatura. Há livros que ao usar a expressão ‘matriz mudança de base, de 𝛼 para 𝛽′, escrevem os vetores da base 𝛼 como combinação linear do vestores da base 𝛽, enquanto outros fazem o contrário, como explica Téo:
104 No livro do Paulo Boulos (2.ª edição), quando ele diz que certa matriz é a ‘matriz de mudança de base, de 𝛼 para 𝛽’, ele se refere à matriz que é construída escrevendo cada vetor de 𝛽 como combinação linear dos vetores de 𝛼, e usando os coeficientes para formar as colunas da matriz. Já em Álgebra Linear, usamos a mesma frase para falar da matriz que obtemos ao escrever os vetores de 𝛼 como combinação dos de 𝛽 (como no livro da coleção PROFMAT, p.151, por exemplo). Assim, se um aluno desatento usa o Boulos, e continua interpretando a frase como fazia antes, em vez de adotar o novo significado, sempre irá usar a matriz errada ao fazer tais mudanças de base (eu mesmo sempre me confundo com a notação e acabo deduzindo as relações novamente sempre que preciso relembrar como devo usar tal matriz). No contexto apresentado no Boulos, faz sentido ele dizer que está indo de 𝛼 para 𝛽 (quando nós diríamos que estamos indo de 𝛽 para 𝛼). (E-mail, 25/08/2019) Houve outros trechos, particularmente nas transcrições de sua fala, que Téo procurou clarificar. Por exemplo, na Subsecção 7.4.1.2, Téo refere que no trecho: “Por exemplo, nos naturais não vai ter neutro independente de como definir, não vai ter oposto”, ele quis dizer, na verdade, que “nos naturais não vai ter neutro (caso sejam definidos como {0, 1, 2, 3,...} em vez de {1, 2, 3, ...}), e também não vai ter oposto”. Tais modificações não implicaram em alterações das interpretações realizadas. Essa devolução das análises, interpretações e conclusões permitiu aos participantes dos estudos de caso julgar a precisão e a credibilidade dos relatos realizados, sustentando, assim, a validação do estudo (Creswell, 2014). Outro ponto que permite sustentar a validação é o facto de serem apresentadas na análise dos dados, de ambas as fases do estudo, as citações nas palavras dos participantes, permitindo ao leitor perceber os acontecimentos e os contextos em que se inserem (Gall et al., 2003). Por fim, uma referência aos princípios éticos, que transcreveram este estudo do início ao fim. Tomando por referência as orientações de McMillan e Schumacher (2014), após o convite aos participantes, a sua participação no estudo foi voluntária, respeitando-se a sua vontade e liberdade. Procurei preservar a sua identidade, atribuindo-lhes pseudônimos, bem como ser honesta com todos, informando-os dos objetivos da pesquisa e das minhas intenções. Na recolha de dados foi solicitado aos intervenientes em cada uma das fases do estudo o consentimento e assegurado a confidencialidade dos dados, como já referido anteriormente. Procurei conduzir o estudo com honestidade e transparência, apresentando os factos tais como eles ocorreram. Conduzi a análise dos dados com rigor e seriedade, sendo fiel aos dados recolhidos, procurando interpretar os significados a partir da visão dos investigados, sem fazer julgamentos de valor sobre as suas perceções (Bogdan & Biklen, 1994). Para facilitar a compreensão da origem dos registros utilizados na análise dos dados, as diferentes fontes de informação foram codificadas bem como foram atribuídos pseudônimos aos participantes. Na primeira fase do estudo, de modo a garantir o anonimato dos professores participantes, cada um deles foi identificado pelo pseudônimo P𝑖, em que 𝑖∈{1,2,⋯,15}. Desta forma, a informação recolhida nesta fase do estudo, que tem origem na entrevista realizada a cada um dos 15 professores
105 de Álgebra Linear, é identificada pelo código EG_P𝑖, 𝑖∈{1,2,⋯,15}. Assim, por exemplo o código EG_P5 refere-se à entrevista geral ao professor P5. Como já referido, deste grupo foram convidados cinco professores, a par da investigadora, para participar na segunda fase do estudo. Para a identificação destes cinco professores, como constituíam um grupo menor, em vez de utilizar o pseudônimo P𝑖, atribuí os nomes: Bruna, Nina, Lisa, Téo e Tito. Para a construção dos estudos de caso, ao recorrer às informações referentes à entrevista inicial, em vez de utilizar o código EG_P𝑖, utilizei simplesmente o código EG, pois em cada caso já é explicito quem é o professor. As demais fontes de informação utilizadas na análise dos dados foram codificadas conforme o Quadro 4. Quadro 4. Codificação dos registros utilizados na análise dos dados. Registros Codificação Entrevistas Entrevista aos professores do grupo no final do 1.º semestre de trabalho EGR1 Entrevista aos professores do grupo no final do 2.º semestre de trabalho EGR2 Registos Encontro do grupo colaborativo EGC𝑖, data; 𝑖∈{1,2,⋯,33} Observação da aula 𝑗 do professor Téo OAT𝑗, 𝑗∈{1,2,⋯,6} Observação da aula 𝑗 da professora Nina OAN𝑗, 𝑗∈{1,2,⋯,6} Notas de campo da investigadora NC, mês e ano da anotação Nas evidências sobre as aulas dos professores Nina e Tito apresentadas nos respetivos casos, aparecem as vozes dos alunos. Para o leitor perceber que são diferentes alunos que se manifestam nas aulas, identifiquei-os pelo código Aluno 𝑥, em que 𝑥∈{1,2,3,⋯}. Importa observar que, por exemplo, a voz do Aluno 1 que aparece na observação de aula de Téo designada por OAT1, não significa que é o mesmo Aluno 1 da aula OAT2. Numerei os alunos em cada aula, na sequência em que apareciam as suas vozes, tomando o cuidado para que em cada aula, após numerados, se uma voz se repetisse, ela fosse sempre designada pela mesma numeração.
106 CAPÍTULO 5 O GRUPO DE TRABALHO COLABORATIVO Na realização desse estudo adquiriu expressividade a dinâmica das atividades realizadas por um grupo de professores que, na sua concretização, lecionavam Álgebra Linear na universidade do contexto do estudo. Na explicitação desta dinâmica, neste capítulo faz-se uma descrição da trajetória desse grupo, que inclui o repto lançado aos professores para integrarem um grupo de trabalho entre pares, a caracterização do grupo e as diferentes fases do trabalho do grupo até ao culminar do que se denomina de grupo de trabalho colaborativo. 5.1. A constituição do grupo No início desta investigação, que coincidiu com o primeiro semestre de 2016, procurei identificar os professores de uma universidade do Brasil que realizassem alguma prática diferenciada no ensino de Álgebra Linear ou no ensino de outra disciplina de Matemática ou que poderiam ter interesse em participar num grupo de trabalho. Entende-se por prática diferenciada a que envolve o aluno na construção do seu conhecimento matemático em detrimento de uma prática que enfatize a atividade do professor na sequência definição–teorema–exemplo–exercícios. Nessa procura, identifiquei um grupo de professores do Centro de Ensino com o maior número de professores atuando em Álgebra Linear e onde seria realizada a pesquisa, que a partir de agora chamarei Campus A –, e uma professora de um outro Centro. Porém, verifiquei que seria inviável ter um participante de fora do Campus A, pela dificuldade logística dela em participar nas reuniões presenciais que se realizassem fora da sua cidade em que leciona e pela minha dificuldade de ter que conciliar uma carga horária de 12 horas de ensino e as observações das aulas dos participantes do grupo do Campus A e do participante externo. Assim, de modo a viabilizar a pesquisa optei por formar o grupo com professores apenas do Campus A. Dessa forma, no primeiro semestre de 2016 contactei os professores do Campus A que constituíram o grupo denominado de trabalho colaborativo. No ato deste contacto enfatizei os objetivos da investigação e os possíveis ganhos que os professores poderiam ter em relação ao seu desenvolvimento profissional e, consequentemente, para o seu ensino e para a aprendizagem dos alunos. Ao todo, foram convidados os sete professores que lecionavam Álgebra Linear, para além de mim, dos quais seis prontamente aceitaram o desafio. Inicialmente, o grupo ficou constituído por mim e pelos professores Tito, Téo, Nina,
113 ensino como nas de aprendizagem. Nos casos de Téo e Lisa, tal exploração era restrita ao processo de ensino. Tito e Nina não usavam softwares nas disciplinas que lecionavam, sendo que Tito preferia lecionar Álgebra Linear do que a outras disciplinas, pela sua formação mais teórica. Devido à minha formação, identifico-me com a posição de Tito, pois sempre preferi lecionar Álgebra Linear do que outras disciplinas. Tal posição justifica-se pela minha formação específica na disciplina (durante a graduação realizei um curso de formação em Álgebra Linear noutra instituição e no mestrado cursei uma disciplina específica dessa área) e porque, devido às dificuldades que os alunos manifestam ao frequentar a disciplina devido à sua natureza abstrata, sempre me senti desafiada para procurar diferentes estratégias para explicar o conteúdo de forma que os alunos o compreendessem. Uma forma de elevar essa compreensão emerge da literatura o uso de softwares ou outros recursos tecnológicos (Diković, 2007), o que não parecia fazer parte da prática da maioria dos professores em Álgebra Linear. Embora eu e a Lisa não tivéssemos o hábito de usar softwares nas aulas desta disciplina, já tínhamos proposto aos alunos uma tarefa extra classe para ser resolvida com o recurso a software. Tito já havia orientado um trabalho de conclusão de curso em que se desenvolveu um artefato para o ensino de Operadores Lineares, porém nunca recorreu a tal recurso, nem a softwares no ensino de Álgebra Linear. A experimentação desse artefato decorreu nas minhas aulas, em que a orientanda de Tito desempenhou o papel de observadora. Devido às suas potencialidades para o ensino de Operadores Lineares, acabei por o incorporar na minha prática. Já Téo costumava indicar aos alunos softwares para cálculos matriciais e alguns vídeos com conteúdos relacionados à disciplina para explorarem fora da sala de aula, mas para lecionar recorria apenas ao quadro e giz, assim como acontecia com os demais professores. A dificuldade manifestada por Bruna em integrar na sua prática letiva de Álgebra Linear a exploração de aplicações contextualizadas também era compartilhada pelos demais professores. Apesar de reconhecermos a Álgebra Linear como uma ferramenta básica para outras disciplinas, com aplicações em várias áreas do conhecimento, nós apenas indicávamos aos alunos algumas das aplicações, mas não as explorávamos concretamente, como evidencia o diálogo entre Nina, Téo e Lisa no primeiro encontro do grupo: Nina: Eu sei que alguma coisa de Álgebra Linear se utiliza em Cálculo Numérico, mas tem muita coisa da disciplina que vai ser tão específico no curso deles que eu não consigo fazer esse link com outras disciplinas como eu faço com Cálculo I, com Geometria Analítica. Eu tento falar, por exemplo, na Mecânica vai precisar de Álgebra Linear para a força de um motor, na Computação a parte de Computação Gráfica. Mas eu não sei o que de Computação Gráfica levar para a sala de aula
114 para eles perceberem a importância da Álgebra Linear. Eu como professora tenho essa dificuldade de levar para a sala de aula porque não sei qual é a disciplina que vai usar a Álgebra Linear. Téo: A gente acaba falando que serve para alguma coisa e quando chegar lá na frente do curso vão saber para que serve. Nina: Eu sinto essa dificuldade nos alunos, eu como aluna pensava, mas o que é essa transformação linear? Tinha dificuldade de enxergar aquilo como função. É uma coisa difícil para o aluno abstrair. É importante, claro que é. Precisa estudar, sim, precisa. Eles estudam porque precisam passar na disciplina, mas não conseguem enxergar lá na frente a importância. Lisa: Esse semestre consegui falar para meus alunos (...) como meu mestrado foi em Mecânica, quando chegou na parte de diagonalização, ‘olha como facilita trabalhar com a matriz diagonal do que com outras bases’. Falei que no meu mestrado trabalhava com matrizes de ordem 300×300, tudo computacional, e imagina quanto tempo o computador ia levar se a matriz não estivesse na forma diagonal. (EGC1, 01/07/2016) Apesar de termos consciência de que apenas falar aos alunos das aplicações sem os envolver na resolução de problemas que os levassem a refletir sobre o uso da teoria nessa resolução, é um tanto ineficaz para eles perceberem a importância da disciplina e a relação teoria e prática, não tínhamos iniciativas para minimizar essa lacuna nas nossas práticas. Além da dificuldade em trabalhar com os alunos as aplicações contextualizadas dos tópicos de Álgebra Linear, tínhamos outras dificuldades no ensino desta disciplina. Como se constatou no primeiro estudo da pesquisa, a maior dificuldade era explicar os conceitos abstratos da Álgebra Linear de forma que os alunos pudessem entendê-los e ‘convencer’ os alunos para a importância de aprenderem os conceitos abstratos, como refere Téo: A principal [dificuldade] é de convencer quem está vendo essas coisas pela primeira vez de que abstrair algumas ideias e trabalhar no contexto abstrato e teórico é importante em algum sentido. Eles não veem à primeira vista porque tem que ver toda essa teoria. Eles pensam: ‘Essa aula está muito chata. Porque essas coisas são teóricas, para que serve?’. Quando está numa disciplina mais abstrata é difícil convencer. Não tem uma coisa diretamente que você já pode contar para que vai servir. Cria uma espécie de indisposição dos alunos para estudar este assunto. Então você vai falar de espaço vetorial, subespaço vetorial, base, geradores.... Esses conceitos a princípio não têm um contexto. (Téo, EG) Nina, particularmente, tinha dificuldades no ensino de alguns Operadores Lineares específicos do ℝ𝟐 e ℝ𝟑, pela falta da sua própria compreensão do conteúdo, ficando a sua prática limitada a uma transferência da teoria envolvida. Também Bruna não se sentia à vontade para ensinar Espaços Vetoriais pela sua dificuldade de visualizar aplicações para tal tópico. Eu sentia-me frustrada por perceber que a
115 minha estratégia de ensino era ineficiente para os alunos com dificuldades e por não me permitir envolver os alunos o suficiente para se sentirem motivados a superarem as suas dificuldades. Muitos alunos ao terem um fraco desempenho nas duas primeiras avaliações acabavam por desistir da disciplina. Um outro aspeto importante da prática dos professores é a forma como lidam com os erros e as dificuldades dos alunos. Reconhecer os erros e as dificuldades é importante para o professor definir a sua estratégia de ensino. Entretanto, o tratamento didático que o professor dá ao erro e às dificuldades dos alunos pode conduzi-los à sua superação (Barros et al., 2016). Segundo os professores, o reconhecimento dos erros e das dificuldades dos alunos acontecia principalmente quando manifestavam as suas dúvidas em sala de aula através de questionamentos ou nos momentos de atendimento ao aluno que disponibilizavam extra classe. Bruna e Lisa, como costumavam propor exercícios para serem resolvidos em sala de aula, tinham a oportunidade de identificarem as dificuldades também nesses momentos, além do momento de atendimento extra classe. Enquanto os alunos não manifestassem pessoalmente estas dúvidas, o reconhecimento acontecia apenas no momento da correção da avaliação escrita. Diante das dificuldades os professores recorriam a diferentes estratégias para tentar minimizálas. Nina, procurava explorar diferentes formas para explicar o conteúdo e muitas vezes invertia a sequência de conteúdos de forma que ficasse mais claro aos alunos, tendo em vista as dificuldades manifestadas em semestres anteriores ou no próprio semestre letivo, no caso de lecionar duas turmas diferentes. Já em relação à avaliação das aprendizagens dos alunos, Nina procurava inserir questões semelhantes às que propunha em listas de ‘exercícios’, valorizando mais à memorização dos alunos do que o raciocínio e o entendimento do conteúdo. Entretanto, a professora proporcionava aos alunos o acesso à correção das avaliações e procurava esclarecer o porquê dos erros, caso os alunos questionassem, pois nem sempre os alunos procuram, de forma geral, os professores para verificar os erros cometidos. Bruna procurava explicar o conteúdo de diferentes formas quando os alunos manifestavam as suas dúvidas e resolver as questões das avaliações no quadro fazendo uma discussão com os alunos sobre os seus erros. Além disso, procurava resgatar com frequência os tópicos já estudados e que eram pré-requisitos para o tópico que estava sendo explorado. Téo, diferentemente de Bruna, não discutia a resolução da avaliação com a turma toda, apenas individualmente conforme o interesse dos alunos, mas, a partir da segunda avaliação (eram quatro no total), procurava propor uma questão extra que envolvesse o conteúdo da avaliação anterior como
116 estratégia para incentivar os alunos a estudarem e superarem as dificuldades relacionadas com os conteúdos já explorados. Lisa e Tito, diante das dificuldades dos alunos costumavam resolver mais exercícios em sala de aula e dar um feedback das avaliações individualmente aos alunos que os procuravam nos horários de atendimento extra classe. Por fim, o meu reconhecimento das dificuldades dos alunos acontecia quando manifestavam as suas dúvidas na sala de aula, no atendimento extra classe e nas avaliações. Diante das suas dificuldades mantinha uma postura semelhante à descrita por Bruna. 5.4. A dinâmica de trabalho no grupo Nesta secção, procuro evidenciar o que constituiu o trabalho no grupo por meio de quatro subsecções principais. A primeira, trata de aspetos gerais sobre os encontros do grupo. A segunda, incide sobre os antecedentes do grupo em relação ao trabalho colaborativo, bem como as expectativas dos participantes em relação ao projeto colaborativo, elementos que foram fundamentais para a definição dos objetivos comuns para o trabalho em grupo. A terceira, aborda as fases em torno das quais se concebeu o projeto e as negociações que ocorreram no seu processo de desenvolvimento. Por fim, a quarta subsecção recai sobre as problemáticas que constituíram objeto de reflexão e análise no seio do grupo. 5.4.1. Aspetos gerais sobre os encontros do grupo Como já mencionado, o período de coleta de dados da pesquisa no grupo ocorreu no período de 01/07/2016 a 30/06/2017. Os encontros formais do grupo ocorreram às sextas-feiras no Campus A, durante o horário de trabalho dos professores. No período de julho a dezembro de 2016 houve 15 encontros, sendo, em média, quinzenais, com duração de 1h40min e ocorreram em diferentes salas do Campus A. Nesse período, em alguns momentos de discussão e planificação de propostas de ensino, houve a necessidade de encontros mais frequentes, alguns dos quais acontecerem além da sexta-feira, visto que a planificação deveria ficar concluída para essas propostas serem concretizadas em conformidade com o cronograma da disciplina. Já no período de fevereiro a junho de 2017 houve 18 encontros, sendo em média semanais e com duração de 2h10min. Tais encontros ocorreram numa sala fixa, equipada com mesa de reuniões, com quadro branco e com um ecrã grande em que se projetava o que se fazia no computador possibilitando uma melhor visualização das atividades e uma melhor
117 interação entre os elementos do grupo. Com os encontros mais frequentes, o grupo ampliou as suas discussões abrangendo um número maior de tópicos que no semestre anterior. Destaca-se que, para além dos momentos de trabalho no grupo nos encontros agendados, por vezes, os professores encontravam-se noutros momentos para dar continuidade aos assuntos tratados nos encontros, com especial ênfase para a discussão de práticas de ensino ou para a execução de tarefas. Quanto à organização dos encontros, procurava-se deixar agendado o tema da reunião seguinte, mas nem sempre se conseguia cumprir o que era planeado. Por vezes, surgiam demandas individuais de alguns professores que necessitavam de atenção do grupo, ou havia a necessidade de uma maior discussão sobre alguma tarefa proposta aos alunos nas semanas anteriores. Também pela necessidade de retomada de discussões, de encontros anteriores, seja para aprimorar uma tarefa ou sanar dúvidas sobre ela a algum membro do grupo que faltou ao encontro em que a mesma foi discutida, sendo assim necessário readequar a pauta dos encontros. De forma geral, procurava-se que no início de cada encontro todos os participantes fizessem uma avaliação geral de como ocorreram as suas aulas na última quinzena/semana e na sequência trabalhava-se em torno de temas previamente selecionados e considerados pertinentes ao grupo. Como forma de organizar a informação do grupo, foi criada uma pasta na nuvem de armazenamento Dropbox 7 em que todos os participantes tinham livre acesso para consultar, incluir ou modificar arquivos. Assim, todos podiam aceder todo o material produzido ou adaptado pelo grupo, alguns dos trabalhos realizados pelos alunos, algumas referências bibliográficas e as provas elaboradas por cada professor. A coordenação mais técnica dos encontros foi realizada na maioria das vezes pela investigadora. Essa coordenação dizia respeito à viabilização dos encontros (reserva de sala para a realização dos encontros, envio de e-mails aos participantes com informações sobre os encontros) e à condução do trabalho no grupo no que diz respeito à abertura e ao fechamento dos encontros, bem como ao cuidado com a rentabilização do tempo, procurando que o grupo retornasse ao foco do trabalho quando havia momentos de dispersão. No restante do trabalho no grupo todas as decisões eram tomadas conjuntamente e em comum acordo. Em síntese, o trabalho realizado no grupo ao longo dos 33 encontros (julho de 2016 a junho de 2017) envolveu: 7 O dropbox é um serviço para armazenamento e partilha de arquivos entre dois ou mais computadores de forma síncrona.
118 ▪ Partilha das práticas dos professores; ▪ Desenvolvimento de novas práticas de ensino; ▪ A elaboração de tarefas avaliativas aos alunos; ▪ A avaliação/reflexão das práticas planificadas em conjunto; ▪ Desenvolvimento/adaptação de materiais didáticos para o ensino e a aprendizagem de Álgebra Linear; ▪ Análise da resolução dos alunos de algumas tarefas planificadas em conjunto; ▪ Integração da tecnologia nas práticas de ensino de Álgebra Linear; ▪ Divulgação científica de alguns dados produzidos pelo grupo. Estes pontos serão apresentados e discutidos com mais detalhe na subsecção 5.4.4. Na subsecção seguinte (5.4.2.) apresento os antecedentes do grupo em relação ao trabalho colaborativo e como essa experiência influenciou, juntamente com as expectativas individuais de cada um, a definição dos objetivos comuns para o trabalho no grupo. 5.4.2. Experiência do grupo com o trabalho colaborativo No seu percurso profissional, quatro dentre os seis professores do grupo já vivenciaram uma experiência de trabalho entre pares por meio de um Projeto de Ensino que envolvia as disciplinas de Cálculo (Cálculo Diferencial e Integral I e Cálculo Diferencial e Integral II), Geometria Analítica e Álgebra Linear no Campus A, cujo objetivo era melhorar os processos de ensino e aprendizagem das disciplinas envolvidas (Figueiredo et al., 2014). Cada disciplina tinha um coordenador, sendo que diversos professores se alternaram nesse papel durante oito anos de duração do projeto (2002 a 2010). Como já explicitado na secção 5.2. deste capítulo, o coordenador conjuntamente com os demais professores que lecionavam a mesma disciplina planificavam o plano de ensino das disciplinas (sequência do conteúdo, material didático e cronograma) e elaboravam as avaliações que eram iguais para todas as turmas. Porém, não havia discussão sobre diferentes abordagens que poderiam ser dadas no ensino das disciplinas, nem reflexão sobre a prática de ensino dos professores. À exceção de Geometria Analítica, em que se utilizava um livro como material didático, nas demais disciplinas envolvidas no projeto utilizavam-se apostilas. Quando o projeto se iniciou, cada coordenador escreveu uma apostila que ao longo do tempo foi sendo aprimorada com a contribuição dos professores participantes no projeto. Durante o tempo vigente do projeto, Tito atuou na disciplina de Álgebra Linear, inclusive no papel de coordenador por alguns anos; Bruna atuou nas disciplinas de Álgebra Linear e de Cálculo Diferencial
119 e Integral II, sendo coordenadora dessa última disciplina por alguns anos; Nina atuou em Geometria Analítica, Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral I; e eu atuei nas quatro disciplinas envolvidas no projeto, sendo também coordenadora de Álgebra Linear por três anos. No primeiro encontro do nosso grupo, Bruna, Tito, Nina e eu procuramos apontar potencialidades e fragilidades do projeto que vivenciamos. Um ponto frágil apontado foi o ‘engessamento’ da prática de ensino dos professores em razão da unificação de avaliações e conteúdos, o que implicava que cada disciplina fosse lecionada da mesma forma, sem levar em consideração as necessidades e particularidades de cada turma, como explicam Bruna e Tito: Um ponto muito frágil é que o projeto tinha como meta que todo mundo usasse a mesma bibliografia e a mesma prova. Então, até se tinha liberdade de adotar um livro, mas como tinha uma apostila, o grupo ficava muito preso ao material. O grupo discutiu muito mais avaliação e não o que fazer quando a metodologia adotada não estava dando certo. Perdíamos também a identidade das turmas, porque se quiséssemos focar num experimento específico nos atrasaríamos em relação ao cronograma, não iríamos conseguir fazer a prova na data marcada. (Bruna, EGC1) Os professores ficavam um pouco incomodados com a questão da unificação, pois cada turma corre numa velocidade diferente da outra. Às vezes o professor tem uma turma um pouco mais fraca, com dificuldades, aí não consegue cumprir o conteúdo pois tem que ir mais devagar, ele quer fazer a prova de acordo com o conteúdo que ele deu e da forma como conseguiu trabalhar, já tem outros professores que vão mais rápido. (Tito, EGC1) Por outro lado, reconhecíamos que o projeto tinha como ponto positivo o suporte aos professores iniciantes nas disciplinas, no sentido de contarem com o apoio dos colegas para esclarecerem as suas dúvidas e terem um material didático organizado que contemplasse todo o conteúdo que seria abordado. Além disso, em razão das provas unificadas, havia um esforço geral para que o conteúdo fosse abordado na íntegra. Bruna aponta algumas potencialidades do projeto: Quando entrei aqui na universidade uma das primeiras disciplinas que tive que dar aula foi Álgebra Linear. Foi a disciplina que mais temia em dar aula porque como aluna sentia dificuldades nessa disciplina. E uma coisa boa na época foi o projeto de ensino de Álgebra Linear, não pelo facto de as provas serem unificadas, mas por ter apoio dos colegas do projeto para sanar minhas dúvidas. (...) Outra coisa boa do projeto é que o conteúdo de facto era trabalhado na íntegra. (Bruna, EGC1) No grupo, constatamos que a experiência anterior de trabalho entre pares vivenciada no projeto de ensino incidiu sobre a padronização do método de ensino, das avaliações e do material didático e não
120 havia preocupação em discutir e propor melhorias nas práticas de ensino. Constatamos também que nem todos os professores que participaram no projeto de ensino tinham clareza suficiente sobre o que é a colaboração e como trabalhar colaborativamente, como aponta, por exemplo, o diálogo entre Tito e Nina sobre vantagens e desvantagens do trabalho colaborativo: A vantagem é a troca de informações. Se tiver pessoas diferentes, têm ideias diferentes, ideias novas. Quando você leciona por muito tempo uma mesma disciplina, você começa a ficar sem ideias, não consegue ver coisas novas. Então, tendo um grupo, mesmo que você já esteja lecionando a disciplina há um tempo, sempre vai ter coisas novas, sempre vai ter gente pesquisando em outras fontes. Acredito que essa seria a vantagem, a troca de informações, a questão de trazer coisas novas. (...) No projeto de ensino que tivemos, uma questão negativa era que, eu como coordenador, pedia sugestão de questões para os professores, eles não davam, a gente se reunia, mas ninguém colaborava, era para ser um grupo colaborativo, mas o pessoal não colaborava muito. Acabava que eu elaborava as questões e as repassava aos professores, eles as avaliavam e davam um feedback . Não vinham com questões para a gente discutir. Discutiam o que eu tinha elaborado. Também vejo, não que seja um ponto negativo, mas alguns professores se sentem amarrados. Ah, estou num grupo então vou ter que fazer aquilo que um ou outro estão querendo fazer, gosto de fazer da minha maneira. Mas isso é uma questão individual. (Tito, EGC1) Mas sabe porquê Tito? Porque quando tu participas de um grupo como esse tu tens que sair da zona de conforto e tu não quer sair. Aí, então o que acontece? Ah eu quero fazer do meu jeito, não quero fazer daquele jeito. Porquê? Porque daquele jeito tu vais ter que sair da zona de conforto e do teu jeito tu continuas fazendo do jeito que sempre fez. Então acho que não é um ponto negativo, é um ponto positivo. Quem não gosta de sair da zona de conforto não deveria participar de grupo colaborativo. (Nina, EGC1) Para Tito, uma vantagem de se trabalhar colaborativamente é a troca de informações e ideias entre os pares, o que pode ter implicações na inovação da prática docente. Por outro lado, ao tomar como referência a sua experiência no projeto de ensino em que participou, apresenta alguma resistência em relação ao trabalho entre pares, pois o modelo de trabalho utilizado em tal projeto contraria o que é apontado na literatura sobre o que é o trabalho colaborativo. Tito destacou que o grupo discutia o que ele (coordenador) elaborava e que os pares não traziam ideias e sugestões para a atividade a ser construída (a avaliação). Hargreaves (1998) considera que para que um trabalho em colaboração tenha êxito, algum tipo de liderança/coordenação deve haver para que o grupo não se perca pelo caminho. Essa liderança pode ser assumida por uma única pessoa, pode ser compartilhada ou pode haver rotatividade entre os participantes para assumirem esse papel. No entanto, o líder/coordenador deve exercer o seu papel no sentido de viabilizar o trabalho e não o de executar uma tarefa e os pares apenas a avaliarem, como foi o papel assumido por Tito. Como apontam Boavida e Ponte (2002) e Fiorentini
121 (2004), num trabalho colaborativo todos colaboram, não numa relação hierárquica, mas sim numa relação de igualdade, em torno de um objetivo comum negociado pelo grupo, e todos colaboram sabendo que é o melhor para si e para o grupo. Em relação ao que refere Tito sobre ‘professores se sentem amarrados’, numa verdadeira colaboração uma ideia não sobrepõe a outra e uma voz não apaga outra (Hargreaves, 1998). Trabalhar em colaboração significa sair da zona de conforto, como salientou Nina, e estar aberto à novidade, estar aberto para apresentar as suas ideias e ouvir críticas, estar aberto para ouvir o que o outro tem a dizer e analisar as suas ideias criticamente (Goulet et al., 2003), e em cima das ideias apresentadas construírem as que serão do grupo como um todo. A partir da reflexão sobre as experiências anteriores do grupo em relação ao trabalho entre pares e sobre a colaboração – este último tema recorrente em alguns encontros como pode ser visto na subsecção 5.4.3 –, foi consenso que o novo projeto deveria ter características diferentes do projeto anterior, com foco na discussão dos processos de ensino e aprendizagem e no aperfeiçoamento das práticas dos professores. Segundo Boavida e Ponte (2002), uma pessoa pode envolver-se num projeto colaborativo por diversas razões. Todos nós tínhamos as nossas expectativas pessoais em relação ao novo projeto, mas, ao mesmo tempo, estávamos motivados por um interesse comum, inovar a nossa prática de ensino em Álgebra Linear e, consequentemente, melhorar os processos de ensino e de aprendizagem da disciplina, tal como ilustram as expectativas de alguns dos professores: Minha maior expectativa está em conhecer metodologias novas para trabalhar essa disciplina. Também em relação à motivação, em fazer algo que motive a gente a ir para a sala de aula e que motive o aluno a estudar Álgebra Linear. (Nina, EGC1) A minha expectativa é aprender mais. Eu preparei a disciplina no primeiro semestre onde eu era dependente de minhas notas de aula, teve algumas coisas que não gostei, altereias para a segunda vez e já ficou melhor, e assim vai indo. Se a gente não compartilha, não conversa com os colegas vai ficando naquela mesma aula sempre. Quando a gente vê que alguém faz algo diferente, surgem ideias legais. Por exemplo, em Cálculo I, eu e Sara sempre trabalhamos juntas, e toda a parte de funções fizemos as aulas em PowerPoint e exploramos o GeoGebra. Como as turmas eram pequenas, juntamos as turmas na mesma sala e nós duas ministramos a aula de funções, foi muito bom. Uma ia complementando o que a outra dizia. (Lisa, EGC1) Em termos de tecnologia, é um campo que me sinto bem confortável. Do grupo eu gostaria exatamente de partilhar outras metodologias que eu não domino. Por exemplo, a experiência de Lisa com a Engenharia Mecânica, de Nina com a Logística e Transporte, são coisas com as quais eu gostaria de incrementar minha prática. (Bruna, EGC1) Não sei se tenho expectativas, mas dificuldade sim, em usar tecnologia. Como usar a tecnologia para ensinar Álgebra Linear? Eu sei que existe, eu sei onde procurar. Como eu fazer isso na sala de aula? É isso que eu gostaria. (Tito, EGC1)
122 Minha expectativa é a troca de ideias sobre aspetos didáticos do ensino dessa disciplina, aprender novas abordagens para o ensino. (Téo, EGC1) Levando em consideração as expectativas dos professores e o interesse comum em aperfeiçoar as suas práticas, o grupo decidiu priorizar a integração da tecnologia no ensino de Álgebra Linear, a exploração de aplicações práticas dos conteúdos, a motivação dos alunos para aprender os conteúdos e a utilização de diferentes formas de avaliação. Tais expectativas foram revisitadas ao longo do trabalho no grupo e os interesses não mudaram, apenas se ampliaram sobre as novas possibilidades que surgiram e sobre os aspetos que poderiam ser melhorados nas ações realizadas e na dinâmica do trabalho em conjunto. Por exemplo, a expectativa de Bruna para o segundo semestre de trabalho era que o grupo, quando fizesse as planificações, se preocupasse mais com o envolvimento dos alunos nas atividades dinamizadas na sala de aula. Téo gostaria que o grupo pensasse com antecipação nas estratégias para contemplar todo o cronograma da disciplina, visto que no semestre anterior nenhum dos professores conseguiu abordar o capítulo de Produto Interno. Na secção seguinte procuro explicitar as fases em que se desenvolveu o trabalho no grupo e as negociações que ocorreram. Para um melhor entendimento dos conteúdos abordados em tais fases, importa destacar que: (i) o currículo de Álgebra Linear dos cursos do Campus A envolve os conteúdos matrizes, determinantes, sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, operadores lineares, autovalores e autovetores e produto interno; (ii) a carga horária total da disciplina é de 72 aulas (aulas de 50 minutos), decorrendo 4 aulas por semana; e (iii) as turmas não são exclusivas de um dado curso, podendo ter tanto alunos de cursos de Licenciatura (Física e Matemática) como de Ciência da Computação ou de Engenharia. 5.4.3. Fases do desenvolvimento do trabalho colaborativo O desenvolvimento das atividades realizadas no grupo ocorreu em nove fases, conforme ilustra a Figura 7. Figura 7.Fases de desenvolvimento do trabalho no grupo.
129 ▪ Discussão sobre uma proposta apresentada por Téo sobre aplicações de Espaços Vetoriais utilizando a escala logarítmica. ▪ Discussão de uma proposta de artigo apresentada por Bruna sobre a tarefa de Multiplicação de Matrizes e divisão de tarefas para a sua concretização. 07/04/2017 1h30min ▪ Discussão/avaliação sobre a concretização da prática de ensino sobre aplicações de espaços vetoriais utilizando a escala logarítmica. ▪ Discussão sobre pontos a serem melhorados na lista de tarefas sobre Espaços vetoriais. ▪ Revisita ao material sobre a prática de ensino de Mudança de Base elaborada no semestre anterior e definição em conjunto de como abordar o assunto em função da experiência do grupo com tal atividade. Investigadora, Bruna, Tito, Nina, Lisa, Téo. 28/04/2017 2h ▪ Correção do artigo escrito pelo grupo após as sugestões dos revisores. ▪ Discussão/avaliação sobre a concretização da avaliação escrita sobre espaços vetoriais e especificamente sobre uma questão envolvendo a definição de Espaço Vetorial que foi elaborada em conjunto. ▪ Discussão e adaptação do aplicativo desenvolvido no GeoGebra no semestre anterior para o ensino de Mudança de Base. Investigadora, Bruna, Tito, Nina, Lisa, Téo. 05/05/2017 2h33min ▪ Feedback sobre a concretização da prática de Mudança de Base por cada professor. ▪ Adaptação de uma questão comum sobre Mudança de Base que foi cobrada na avaliação do semestre anterior. ▪ Discussão inicial sobre como abordar a definição de Transformações lineares. ▪ Aprimoramento da proposta de trabalho sobre Produto Interno discutida no encontro de 17/03/2017. Investigadora, Bruna, Nina, Lisa, Téo. 12/05/2017 2h37min ▪ Análise das questões e da concretização de uma tarefa introdutória do conceito de Transformações Lineares elaborada por Bruna, Téo e Tito fora das reuniões do grupo e compartilhada com o grupo. ▪ Estudo das potencialidades do GeoGebra 3D para o ensino de Operadores Lineares. Investigadora, Bruna, Tito, Nina, Téo. 19/05/2017 2h ▪ Revisita às questões e diretrizes da proposta do trabalho de Operadores Lineares, elaborada/concretizada no semestre anterior e análise de alterações sugeridas por Téo. ▪ Discussão e aprimoramento sobre a proposta de como abordar Produto Interno discutida em 05/05/2017. Investigadora, Bruna, Lisa, Téo. 26/05/2017 1h49min ▪ Continuação da elaboração da proposta para abordar Produto Interno. ▪ Discussão sobre como introduzir o conceito de Autovalores e Autovetores (Tito apresenta uma proposta por escrito e o grupo discute como ensinar o tal conceito utilizando um aplicativo desenvolvido no GeoGebra por Téo a partir de ideias que nasceram no grupo). Investigadora, Bruna, Tito, Téo. A oitava fase (Quadro 12) foi marcada por um balanço do trabalho realizado, avaliação das metas alcançadas e definição de novas metas. Como faltava pouco mais de um mês para o término do semestre letivo, o grupo decidiu discutir a abordagem a ser dada ao tópico Autovalores e Autovetores, a
130 concretização de uma tarefa sobre Produto Interno e debruçar-se-ia numa análise ‘mais fina’ sobre as práticas e tarefas concretizadas para posterior divulgação científica dos dados do grupo. Também foi realizada uma reflexão sobre a forma como cada um colabora no grupo e sobre o que pode ser melhorado para a rentabilização do trabalho. Quadro 12. Síntese das atividades realizadas na oitava fase do trabalho em grupo. Data do encontro Duração Síntese Participantes 02/06/2017 02h34min ▪ Validação pelo grupo da versão final da abordagem a ser dada ao tópico de Produto Interno. ▪ Discussão sobre como introduzir o conceito de Autovalores e Autovetores. ▪ Balanço do trabalho realizado envolvendo: revisita aos objetivos do trabalho em grupo, reflexão sobre a forma como cada um colabora no grupo e sobre pontos que podem ser melhorados para atingir os objetivos do grupo. Investigadora, Bruna, Tito, Téo, Nina. Tendo em vista as metas definidas, na última fase do trabalho (nona fase, Quadro 13) em grupo (durante a coleta de dados da pesquisa) foram realizadas discussões sobre como abordar o tópico Autovalores e Autovetores. Também foi finalizada a planificação de uma tarefa sobre Produto Interno e realizada a análise da sua concretização. Foram analisados e avaliados em conjunto os trabalhos dos alunos realizados no GeoGebra e discutido como seria o feedback desses trabalhos aos alunos. Por fim, foram analisadas as resoluções dos alunos de uma tarefa sobre Espaços Vetoriais, com o objetivo de avaliar tal tarefa e a prática de Espaços Vetoriais desenvolvida no grupo. Quadro 13. Síntese das atividades realizadas na nona fase do trabalho em grupo. Data do encontro Duração Síntese Participantes 09/06/2017 1h53min ▪ Análise dos trabalhos dos alunos (dos professores presentes no encontro) sobre Operadores Lineares realizados no GeoGebra. ▪ Breve discussão de uma questão comum sobre Produto Interno a ser colocada na última avaliação. Investigadora, Tito, Téo, Nina. 23/06/2017 2h10min ▪ Elaboração da questão comum de Produto Interno para última avaliação. ▪ Análise e reflexão sobre a prática de ensino para introduzir Espaços Vetoriais. Investigadora, Bruna, Tito, Téo, Nina. 30/06/2017 1h53min ▪ Análise da resolução dos alunos de uma questão da avaliação sobre Espaços Vetoriais, relativa à prática construída para introduzir Espaços Vetoriais. Investigadora, Bruna, Tito, Téo, Nina. A descrição das fases traz um panorama do caminho percorrido pelo grupo durante o período de coleta de dados para a pesquisa. Após esse período, no segundo semestre letivo de 2017 (agosto a dezembro), o grupo continuou a encontrar-se quinzenalmente, porém sem a presença da Professora
131 Lisa, que por ter iniciado um curso de Pós-Graduação não conseguiu mais participar das reuniões do grupo desde o final do mês de maio de 2017. O grupo continuou se reunindo em 2018, com um novo elemento, um professor de Álgebra Linear com vínculo institucional de colaborador recém-contratado, e sem a presença da investigadora por se encontrar em Portugal para concluir as atividades da sua pesquisa. Na próxima subsecção procuro apresentar cada um dos principais problemáticas identificadas e tratadas nos encontros do grupo. 5.4.4. Reflexões/discussões no grupo Vários foram os elementos que constituíram foco de discussão e reflexão no seio do grupo e, em função deles, várias foram as atividades realizadas. Alguns desses elementos surgiram do contexto das planificações ou reflexões sobre as aulas. Procuro percorrer nesta secção aqueles elementos que estiveram presentes, de forma transversal, nos vários encontros. Partilha de experiências . Na maioria dos encontros do grupo, o primeiro momento era reservado para a partilha das experiências vivenciadas nas aulas dos professores entre um encontro e outro. Esses momentos tinham como objetivo incentivar os professores, ao verbalizarem aos colegas a sua experiência, a refletir sobre ela. Assim, procurava-se que cada participante partilhasse com os colegas aspetos relacionados com o andamento das suas aulas, por exemplo: como foi a abordagem dos tópicos e se aconteceu conforme o planificado; quais foram os objetivos alcançados; quais as dificuldades enfrentadas no ensino e na aprendizagem; o que poderia ser melhorado, dentre outras coisas. Nos momentos de planificação conjunta de tópicos de Álgebra Linear ou tarefas para os alunos, também se procurava que todos os participantes partilhassem as suas experiências em relação à temática em questão (como ensinava determinado tópico, quais as dificuldades enfrentadas, que materiais utilizava, como envolvia os alunos, como fazia a avaliação dos alunos) para que a partir delas se construísse a nova prática ou a nova tarefa. Para exemplificar, uma tarefa avaliativa proposta aos alunos sobre Operadores Lineares foi construída tomando por referência uma experiência com outra tarefa compartilhada pela investigadora e por Lisa e por um trabalho de conclusão de curso de graduação que foi realizado alguns anos antes sob a orientação de Tito, como evidencia Bruna: Não é o trabalho da Lisa, da Bruna, do Téo, do Tito. Foi uma composição que ficou um trabalho bacana. Realmente foi um trabalho construído a várias mãos de uma ideia que já nasceu de coisas que já tinham sido feitas e que a gente adaptou, inclusive trabalhos
132 de pesquisa. Fomos adaptando, dizendo ‘Essa questão aqui não explora isso’. Acho que foi um trabalho muito bacana. (Bruna, EGC12) A avaliação de Bruna quanto à construção da tarefa de Operadores Lineares no grupo, infere que a tarefa foi construída a partir de uma análise crítica sobre as experiências partilhadas pelos colegas. Desenvolvimento de propostas de ensino . As propostas de ensino planificadas pelo grupo (Quadro 14) foram desenvolvidas para tópicos que o grupo considerava essenciais para a compreensão da disciplina e, sobretudo, para tópicos que os professores consideravam que os alunos tinham mais dificuldades. Quadro 14. Temas das propostas de ensino planificadas no grupo. Tema Descrição da prática Objetivo Número de aulas envolvidas/semestre Introdução ao estudo de matrizes ▪ Realização de uma tarefa pelos alunos em sala de aula sobre matrizes e operações com matrizes; ▪ Discussão na turma sobre a correção da tarefa. ▪ Identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre tipos de matrizes e operações com matrizes. Duas horas/aula (2017/01). Introdução a Espaços Vetoriais ▪ Realização da 1.ª etapa de uma tarefa pelos alunos em pequenos grupos; ▪ Discussão em grande grupo sobre a resolução da 1.ª etapa; ▪ Definição de espaço vetorial; ▪ Realização da 2.ª etapa de uma tarefa pelos alunos em pequenos grupos; ▪ Discussão em grande grupo sobre a resolução da 2.ª etapa; ▪ Realização de uma tarefa em pequenos grupos com interpretação geométrica e física das operações de soma e multiplicação por escalar utilizadas na 2.ª etapa da tarefa; ▪ Correção da tarefa com auxílio do GeoGebra. ▪ Explorar o conceito de ‘fechamento’ de um conjunto para as operações de soma e multiplicação por escalar; ▪ Explorar a transição entre as representações gráfica e simbólica de conjuntos no plano; ▪ Introduzir o conceito de Espaço vetorial; ▪ Interpretar geometricamente e fisicamente algumas operações não usuais de soma e multiplicação por escalar. Seis horas/aula (2017/01). Coordenadas e Mudança de Base ▪ Introdução pelo professor do conceito de coordenadas; ▪ Exploração dialogada de um problema contextualizado envolvendo coordenadas e mudança de referencial; ▪ Resolução de uma tarefa pelos alunos em pequenos grupos com questões introdutórias ao conteúdo de Mudança de Base; ▪ Discussão em grande grupo sobre a correção da tarefa (com alunos resolvendo no quadro e com o auxílio do GeoGebra); ▪ Construção de forma dialogada da generalização da Mudança de Base. ▪ Explorar o conceito de coordenadas e mudança de base; ▪ Explorar a interpretação geométrica dos conceitos de coordenadas e de mudança de base; ▪ Explorar a transição entre as diferentes representações de tais conceitos com recurso ao lápis e papel e ao GeoGebra. Seis horas/aula no semestre 2016/02 e quatro horas aula no semestre 2017/01.
133 Introdução a Transformações Lineares ▪ Resolução de tarefa pelos alunos em pequenos grupos; ▪ Discussão em grande grupo sobre a correção e conclusões da tarefa; ▪ Introdução de forma dialogada do conceito de transformações lineares. ▪ Explorar no ℝ2 geometricamente e algebricamente o conceito de transformação linear; ▪ Introduzir tal conceito para espaços vetoriais quaisquer. Duas horas/aula (2017/01) Autovalores e Autovetores ▪ Exploração dialogada sobre o conceito de Autovalores e Autovetores com o auxílio do quadro e giz e do software GeoGebra ▪ Introduzir e interpretar geometricamente o conceito de o conceito de Autovalores e Autovetores e algumas propriedades. Quatro horas/aula (2017/01) Produto Interno ▪ Desenvolvimento de um estudo dirigido sobre o conteúdo de Produto Interno. ▪ Desenvolvimento de uma questão avaliativa sobre o tópico. ▪ Propiciar aos alunos o estudo de forma independente do tópico, visto que não haveria tempo suficiente no cronograma da disciplina para o professor abordar em sala de aula. Uma hora aula (resolução da questão avaliativa) 2017/01 Dessa forma, na planificação de propostas de ensino o grupo preocupou-se em como introduzir os tópicos, como explorar aplicações contextualizadas referentes à temática estudada, como explorar a visualização geométrica dos conceitos, como envolver o aluno, como avaliar e como trabalhar o erro e as dificuldades dos alunos. Na introdução dos tópicos, a preocupação era motivar o aluno para a sua aprendizagem e proporcionar-lhe, dentro do possível, o significado daquela teoria estudada no contexto da formação inicial de um aluno de graduação. Nos momentos de trabalho para introduzir tópicos de Álgebra Linear, Tito exerceu um papel importante, pois a partir da sua participação no grupo começou voluntariamente a planificar as aulas de forma que antes da apresentação de um teorema, por exemplo, surgisse um exercício introdutório para que no final se pudesse questionar ‘será que essa ideia funciona para outros casos?’. A ideia era despertar no aluno o espírito investigativo que justificaria a veracidade das conjeturas propostas, trabalhando assim com a generalização. Tito compartilhou essa abordagem com os colegas, tomando por referência o princípio da concretização de Harel (2000), que pressupõe que os alunos abstraem os conceitos a partir da compreensão dos mesmos num contexto que é concreto para eles. Em termos gerais, pretendia-se desenvolver as propostas de ensino de forma que as noções fossem abordadas primeiramente no ℝ2 e ℝ3 para então se construir a generalização. Ao explorar os conceitos nos espaços vetoriais do ℝ2 e ℝ3, procurou-se abordar as representações algébrica e geométrica dos conceitos e a transição entre essas representações. Essa exploração tomou lugar principalmente nas tarefas propostas para introduzir alguns conceitos e em tarefas avaliativas. A visualização geométrica dos conceitos foi explorada a partir de esboços gráficos e com o uso do GeoGebra (pelo professor e pelo aluno).
134 Com o intuito de os alunos se tornassem mais ativos em relação à sua aprendizagem, importava envolvê-los na execução das tais tarefas introdutórias das noções estudadas (seja em pequenos grupos ou individualmente), nas discussões em grande grupo sobre essas tarefas (apresentando suas conclusões oralmente ou no quadro). Também se procurou envolvê-los na resolução de tarefas fora da sala de aula (com recurso a papel e lápis e/ou ao GeoGebra). Alguns dos professores solicitaram aos alunos a socialização no grande grupo sobre estas tarefas. Na discussão e elaboração das propostas de ensino, a preocupação com a contextualização do conteúdo abordado sempre esteve presente, principalmente para motivar o aluno para compreender a importância de se aprender aquele conteúdo. Esse não foi um caminho fácil ao grupo, pois como já exposto, os professores não tinham muito conhecimento de situações concretas (do dia a dia) que poderiam ser exploradas em sala de aula. Assim foram necessárias muitas pesquisas (na Web, em materiais didáticos, em artigos) e discussões no grupo para a integração de algumas aplicações na prática de ensino, que na sua maior parte foram geométricas. Para exemplificar, foram introduzidos alguns problemas de modelagem matemática no estudo de Sistemas Lineares, tanto na abordagem em sala de aula, como na lista de tarefas e na avaliação. Mas para isso foi necessário que cada professor pesquisasse esses problemas no contexto do curso que estava lecionando e apresentasse aos colegas de grupo para discussão e para um entendimento geral dos problemas em si. Na planificação de propostas de ensino, o grupo incidiu as suas preocupações sobre formas de avaliar as aprendizagens dos alunos de acordo com a abordagem dada ao conteúdo. Isso não aconteceu de imediato, mas foi acontecendo aos poucos, como refere Nina: “No começo me angustiava o fato de mudar a metodologia de abordar o conteúdo e não mudar minha forma de avaliar. Com o passar do tempo o grupo adaptou as provas às aulas dadas. Achei isso muito bom” (Nina, EGR1). Cabe salientar que as provas não eram unificadas para todos os membros do grupo, mas com o passar do tempo passou-se a elaborar alguma questão comum referente a tópicos planificados em conjunto. O espírito que se criou no grupo impulsionou os professores a partilhar as provas que elaboravam na pasta comum da nuvem Dropbox, para que todos tivessem acesso. Em algumas situações, alguns professores juntarem-se para elaborar em conjunto algumas provas tendo em consideração as particularidades da abordagem dada por cada professor, como destaca Bruna: Nessa última prova, eu e a Nina elaboramos uma parte juntas. Porém Nina colocou uma questão [de autovalores e autovetores] envolvendo polinômios e eu não trabalhei nenhuma [desse tipo] com minha turma em sala de aula. Então preferi colocar uma questão envolvendo matrizes, pois trabalhei bastante autovalores e autovetores envolvendo matrizes. (Bruna, EGC12)
135 Nos momentos de planificação de aulas também se discutia como trabalhar o erro e as dificuldades dos alunos. Discutia-se a importância de não se dar respostas prontas aos alunos, mas sim fazer questionamentos que levassem o aluno a identificar o seu erro ou encontrar a resposta para sua dúvida. Discutia-se também a importância de se dar um feedback aos alunos diante das tarefas propostas e também sobre o como e quando fazer isso. Importa destacar que a preocupação com todos estes dois últimos itens destacados ocorreu de forma progressiva conforme a evolução do trabalho em grupo. Avaliação dos alunos . Como já referido, uma das preocupações do grupo foi a diversificação de formas de avaliação das aprendizagens dos alunos. Para além das provas escritas, os ‘trabalhos’ passaram a compor a média semestral. Tais trabalhos foram pensados no sentido de envolver os alunos na disciplina, propiciar momentos de discussão em grupo, incentivar o estudo progressivo do conteúdo e não apenas em véspera de provas e despertar nos alunos a perceção da importância da disciplina. Procurou-se por meio das tarefas que compunham tais trabalhos fazer a conexão entre a teoria e a prática, com ênfase na exploração de aplicações contextualizadas, nas discussões em grupo, na visualização geométrica e no uso do GeoGebra. O Quadro 15 apresenta os temas envolvidos em cada um dos trabalhos avaliativos planificados e concretizados pelo grupo. Quadro 15. Trabalhos avaliativos planificados e concretizados pelo grupo. Tema Objetivo(s) Concretizado por: Semestre Aplicações de Sistemas Lineares ▪ Relacionar a teoria de sistemas lineares com a formação acadêmica. Investigadora, Lisa e Nina 2016/02 Aplicações da Álgebra Linear ▪ Relacionar a teoria da Álgebra Linear com a formação acadêmica. Bruna e Tito 2016/02 Transformações Lineares e Operadores Lineares especiais ▪ Explorar no ℝ2 e no ℝ3 o conceito de Transformação Linear e a transição entre as representações algébrica e geométrica desse conceito. ▪ Construir um aplicativo no GeoGebra para explorar diferentes representações de alguns operadores lineares especiais. Grupo 2016/02 e 2017/01 Interpretação geométrica do produto de matrizes ▪ Explorar a interpretação geométrica do produto de matrizes, na computação gráfica, mediada pelo GeoGebra. Grupo 2017/01 Criptografia ▪ Codificar/decodificar uma mensagem utilizando o produto de matrizes e a inversa de uma matriz. Grupo 2017/01 Convém destacar que os dois primeiros trabalhos que constam no Quadro 15, surgiram de iniciativas anteriores de alguns professores e foram discutidos no segundo encontro do grupo. Nem todos os professores concretizaram o trabalho avaliativo. Dentre os que concretizaram, escolheram a temática que consideravam adequada para ser trabalhada ainda naquele semestre. Conforme o trabalho foi sendo concretizado, foi realizada a apresentação e discussão do mesmo no grupo. Como implicação da reflexão,
136 para o semestre seguinte, decidiu-se pela não concretização do mesmo e por abordar algumas aplicações da Álgebra Linear por outros caminhos, como, por exemplo, pelos trabalhos sobre ‘Interpretação geométrica do produto de matrizes’ e ‘Criptografia’. Importa observar que Téo, apesar de participar na planificação do primeiro trabalho, não o concretizou. Foi o único professor que não considerou no primeiro semestre os trabalhos que concretizou como componente obrigatória da avaliação. O professor considerou como pontuação extra às provas correspondentes ao conteúdo envolvido nos trabalhos. Ao chegar ao final do primeiro semestre de trabalho no grupo, considerou positiva a experiência com essa forma de avaliação e a adotou como componente obrigatória no semestre seguinte, como revelou: Outra estratégia em que fiquei interessado depois de ver os relatos do grupo, mas que ainda não explorei, é o uso de trabalhos como parte obrigatória da avaliação, em mais de um momento do semestre e/ou com apresentação dos [trabalhos pelos] alunos em aula. (Téo, EGR1) Envolvimento dos alunos . A discussão de estratégias de como envolver mais os alunos no seu processo de aprendizagem tomou lugar em vários encontros do grupo, sendo mais intensa no segundo semestre letivo de trabalho. Para exemplificar, uma dessas discussões foi realizada no primeiro encontro de 2017 (EGC12), quando se avaliou que no semestre anterior se realizaram algumas mudanças positivas nas práticas de ensino, porém as estratégias utilizadas ainda exigiam pouco envolvimento do aluno. O seguinte recorte ilustra tal discussão no grupo: Bruna: A gente construiu bastante coisa, a gente mudou muitas coisas na maneira de ensinar. Mas na maneira de envolver os alunos, eu acho que ainda a gente ficou bastante no tradicional. (...) Na aula de Mudança de Base, quando utilizei o aplicativo no GeoGebra eu ia lá e digitava a base. Era eu fazendo, não era o aluno fazendo. E em muitas outras situações, eu levei e disse: 'ah meu Deus, eu trouxe isso aqui'. Mas era eu pensando, não era o aluno pensando (...). Nós continuamos ainda centralizadores de: 'Ah, isso eu tenho que passar, isso eu tenho que dar'. [Temos que nos preocupar] em como jogar mais a responsabilidade para o aluno e ter uma aula mais produtiva neste sentido. Nina: [Uma possibilidade] é trabalhar mais com exercício em sala de aula. (...) Eu adoro trabalhar com exercícios em sala de aula, eles fazem duplas. Eu gosto porque é o único momento que eu consigo ver se o aluno está aprendendo, se ele está entendendo o que eu falei ou não. (...) Porque quando é que ele vai fazer uma pergunta? Quando tu dás uma atividade para eles fazerem em sala de aula. Quando eu estou lá na frente resolvendo o exercício, todo mundo entende, é fácil. Eu falo para eles: ‘eu estou pensando, eu estou respondendo, vocês estão entendendo meu raciocínio. Mas agora eu quero ver vocês pegarem
137 e fazerem o raciocínio de vocês no papel’. Senão, quando é que eles vão perguntar para ti? Somente quando eles estão fazendo. Quando é que eles estão fazendo? Na hora da prova. Eles vão refletir quando? Depois que eles saírem da prova, na prova é muito pouco tempo para eles pensarem, entendeu? Tito: Mas acho também que o que a Bruna quis dizer é para gente elaborar atividades que envolvam os alunos. Nina: Que envolvam os alunos, exatamente. Ah, vamos fazer a atividade com ele para ele pensar, para ele retornar para a gente alguma coisa. (...) Então, primeiro a gente tem que definir né, vamos trabalhar com os alunos? A gente vai ter que começar a focar de que forma a gente vai ter que trabalhar com esses alunos. Agora todo mundo está disposto? Eu estou. Eu gosto de trabalhar com o aluno, eu gosto de fazer o aluno trabalhar. Téo: Nós teremos um semestre interativo pelo jeito... interativo mais com os alunos eu quis dizer... Eu estou afim. Essa foi uma das discussões propulsoras para conduzir o grupo a definir estratégias de como envolver mais os alunos tanto na realimentação e concretização do que já havia sido desenvolvido no semestre anterior, como na criação de novas propostas de ensino e tarefas. Uma dessas tarefas foi sobre ‘uma interpretação geométrica da multiplicação de matrizes’ (Quadro 15), onde se procurou envolver os alunos por meio da resolução de uma primeira etapa extra classe com recurso ao papel e lápis. Na sequência, foi realizada uma discussão na turma sobre as respostas, depois foi resolvida extra classe uma segunda etapa com recurso ao GeoGebra e, por fim, a apresentação da tarefa pelos alunos em sala de aula. Outros exemplos sobre como se procurou envolver os alunos da disciplina aparecem ao longo deste capítulo e serão descritos com mais detalhe no Capítulo 7 e no Capítulo 8. De forma geral, nas planificações realizadas procurou-se criar momentos passíveis de envolver os alunos por meio de questionamentos sobre os seus conhecimentos prévios, a resolução de tarefas dentro e fora de sala de aula, o trabalho em grupo, a discussão em grande grupo, a apresentação de trabalhos aos colegas, a resolução de questões no quadro e o uso da tecnologia. Reflexão sobre propostas de ensino e tarefas . Após a concretização de cada proposta de ensino ou tarefa elaborada em conjunto, fazia-se uma reflexão no grupo sobre o que foi alcançado, sobre as dificuldades encontradas e sobre o que se poderia melhorar. Em alguns casos, essa reflexão aconteceu em vários momentos para uma mesma proposta de ensino. Por exemplo, a reflexão sobre o ensino de ‘Coordenadas e Mudança de Base’ ocorreu em quatro momentos: durante a primeira concretização (2016), após a concretização (2016), na análise de uma das resoluções dos alunos diante de uma questão avaliativa sobre a temática e após uma nova concretização em 2017. Tal proposta de ensino foi
138 planificada em setembro de 2016 e a sua concretização não ocorreu na mesma data para todos os professores, pois havia professores mais avançados no conteúdo do que outros. Assim, como fiz a observação dessas aulas, pude observar as contribuições dos primeiros professores que a concretizaram e discutir em encontros informais essas contribuições em tempo hábil de modo a alterar alguns pontos da prática para os professores que ainda a iriam concretizar. Os momentos de reflexão em grupo permitiam não apenas uma avaliação de forma coletiva sobre as propostas de ensino/tarefas planificadas em conjunto, mas permitia também que os professores avaliassem as potencialidades e fragilidades da sua própria prática. A esse respeito destaco um comentário de Bruna, que compara a sua estratégia com a de Téo ao abordar com os alunos uma tarefa de Operadores Lineares: A maneira como Téo fez achei muito mais interessante que a maneira como fiz. Fazer em sala de aula é interessante para ir tirando as dúvidas conforme forem surgindo. Eu consegui dar um feedback para eles, mas depois... já tinha inclusive passado a avaliação. Esse feedback teria sido muito mais interessante para identificarem os erros antes do que agora, não que não seja importante o feedback , mas acho que o tempo meu não foi muito adequado. (Bruna, EGC12) Desenvolvimento/adaptação de materiais didáticos para o ensino e a aprendizagem . No âmbito do grupo foram discutidas e adaptadas algumas listas de ‘exercícios’ que já eram utilizadas pelos professores antes de participarem do grupo (Quadro 16). Quadro 16. Atividades de criação/adaptação de materiais didáticos pelos professores. Atividades Conteúdos Adaptação de listas de exercícios ▪ Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. ▪ Espaços Vetoriais. ▪ Transformações Lineares. ▪ Autovalores e Autovetores. Desenvolvimento de aplicativos para o ensino ▪ Interpretação geométrica de operações de soma e multiplicação por escalar não usuais. ▪ Coordenadas e Mudança de base. ▪ Autovalores e Autovetores. Nessas listas foram inseridas novas questões elaboradas pelo grupo e definido um layout padrão para todas as listas de ‘exercícios’, com a classificação das questões quanto ao tipo (teóricas, geométricas e de procedimentos). As questões inseridas estavam relacionadas com a nova abordagem dada pelo grupo nas suas práticas de ensino. Por exemplo, no tópico Autovalores e Autovetores o que
241 cima das respostas deles, procurou lançar outras questões que não se apresentavam diretamente na tarefa, como a relacionada com a unicidade da matriz mudança de base. Conforme Téo foi questionando, aos poucos os alunos foram se soltando, participando mais, discutindo entre si e tirando as suas próprias conclusões, como aconteceu no debate do segundo Questionamento: Téo: Então se você pega qualquer vetor 𝒗, a forma de encontrar ele em relação a essas duas bases vai estar relacionada por essa matriz. Fixadas essas duas bases tem uma matriz que relaciona de um lado para outro, certo? Mas e para voltar? Se eu soubesse quem é [𝒗]β, como eu encontraria [𝒗]α? Aluno3: Tem que fazer esse como combinação linear do 𝒘𝟏 e 𝒘𝟐, na base β. Aluno5: Acho que é na base α. Aluno3: Não, né? Téo: α ou β? Aluno3: É o caminho de volta, né? Vou pegar o vetor definido aí. Vou fazer uma combinação linear da base β, dos vetores 𝒘𝟏 e 𝒘𝟐 . Daí vai dar a matriz de mudança de base, no caso da base β para α. Aluno5: Não. Pega os vetores 𝒘𝟏 e 𝒘𝟐 e faz combinação dos de α. Téo: Exato. O que fizemos antes para encontrar a matriz que muda de α para β? Escrevemos os vetores de α como combinação dos de β. Agora queremos o contrário, como E falou. Aluno3: Ah, então para achar [𝒗]α, monto a matriz, fazendo 𝒘𝟏 e 𝒘𝟐, como combinação de 𝒖𝟏 e 𝒖𝟐, e depois multiplico por [𝒗]β. É isso né? Téo: Exato. (OAT2) Para além dos questionamentos apresentados na tarefa, Téo lança outras questões com o intuito de envolver os alunos a refletir sobre a finalidade de se encontrar a matriz mudança de base: “E qual seria a vantagem de ter a matriz? Como isso facilitaria o processo? Porque para achar ela deu um pouco de trabalho, tivemos que resolver dois sistemas lineares. Que vantagem tem encontrar essa matriz?” (OAT2). Perante a ausência de respostas dos alunos, Téo utiliza no GeoGebra duas bases fixas e simula a mudança de coordenadas para diferentes vetores, para os alunos perceberem que “uma vez encontrada a matriz, pode-se fazer inúmeras mudanças entre as coordenadas de um referencial para outro, bastando conhecer as coordenadas em relação a um referencial [base] e fazendo um produto matricial” (OAT2). Téo também procura comparar o papel da matriz mudança de base, com a Geometria Analítica, quando se muda de um sistema de coordenadas para outro de modo a simplificar uma equação: Compare esta situação com o contexto de Geometria Analítica quando vocês têm coordenadas cilíndricas, esféricas e cartesianas. Daí para mudar de um sistema para outro, não é um produto matricial, são um conjunto de equações envolvendo seno,
242 cosseno... Uma vez que você tem duas bases escolhidas, é como se tivesse um sistema de coordenadas cartesianas e um sistema de coordenadas esféricas, por exemplo, e agora você tem que transitar de um sistema de coordenadas para outro. Só que aqui a transição vai ser feita por essas matrizes. (OAT2) Com o propósito de serem os alunos a identificar que as matrizes [𝐼]𝛽 𝛼 e [𝐼]𝛼 𝛽 são inversas uma da outra, Téo questiona: E qual a relação entre essas duas matrizes? A primeira que faz a transição de 𝛼 para 𝛽, e a segunda de 𝛽 para 𝛼? O que tem a ver uma com a outra? (...) Vocês encontraram a primeira matriz, certo? E a segunda, fizeram no braço? (OAT2) Ao perceber que os alunos olham para casos particulares e apresentam respostas, como “uma é a transposta da outra”; “tem as colunas trocadas”; “a diagonal principal invertia os valores”; “a matriz de baixo [[𝐼]𝛼 𝛽 ] é duas vezes a de cima [[𝐼]𝛽 𝛼]” (OAT2), o professor altera as bases no aplicativo do GeoGebra para ver que tais padrões observados não se mantêm para todas as matrizes. Ao insistir com a questão, a resposta de um aluno vai ao encontro do esperado: Téo: Se você conhece a matriz que faz a transição num sentido, o que você faz com essa matriz para encontrar a que faz a transição no sentido contrário? Aluno5: Seria a inversa? Téo: A inversa é que vai fazer a transição no sentido contrário. Porque sempre vai ser inversível? Aluno5: Porque as colunas são LI’s. (OAT2) Téo aproveita um exemplo anterior de um aluno que citou equivocadamente um conjunto LD como uma base, para mostrar que a matriz [𝐼]𝛽 𝛼 não era inversível e que o software falhava ao tentar encontrar a matriz [𝐼]𝛼 𝛽. Para sumarizar a discussão sobre as questões da tarefa, Téo anota no quadro algumas conclusões: a definição das matrizes [𝐼]𝛽 𝛼 e [𝐼]𝛼 𝛽 e como elas são construídas; a propriedade que tais matrizes são a inversa uma da outra; e as relações de transição entre uma base e outra, [𝐼]𝛽 𝛼[𝒗]𝛼= [𝒗]𝛽 e [𝐼]𝛼 𝛽[𝒗]𝛽=[𝒗]𝛼. Procurou esclarecer que a notação que utilizou para a matriz mudança de base não é única e que nos livros aparecem outras notações, e que “o importante é saber de que base para que base se está fazendo a transição” (OAT2). Téo finaliza esclarecendo que foram tiradas conclusões de forma intuitiva para o ℝ2 e que na aula seguinte mostraria que as conclusões seriam válidas para qualquer espaço vetorial. Para encerrar a aula, retoma o exemplo da elipse, em particular
243 as equações de conversão de um referencial para outro, e as escreve matricialmente identificando a relação existente: [𝐼]𝛼 𝛽[𝒗]𝛽=[𝒗]𝛼. Por fim propõe um exemplo semelhante para os alunos resolverem em casa. Generalização da Mudança de Base Nesta aula, que aconteceu no dia 28/09/2016, observei apenas 1 hora/aula, que correspondia ao conteúdo planificado no grupo, e que faltou tempo para Téo o abordar na aula anterior. Estavam presentes 12 alunos de um total de 19 matriculados. Téo inicia a aula resgatando e sumarizando, de forma oral e com algumas anotações no quadro, o que fora desenvolvido na aula anterior, e em seguida apresenta o objetivo da aula: generalizar o processo de mudança das coordenadas de um vetor 𝒗 de um espaço vetorial 𝑉 em relação a duas bases distintas 𝛼 e 𝛽 desse mesmo espaço vetorial. Hoje nós vamos fechar a discussão que estávamos fazendo sobre a Mudança de Base. Estávamos explorando alguns exemplos no ℝ2, onde pegávamos um par de bases, dois conjuntos LI’s que geram qualquer elemento do ℝ2, e comparávamos as coordenadas de um vetor qualquer do plano em relação a essas duas bases. Vimos que fixadas duas bases quaisquer conseguíamos associar as coordenadas em relação a uma das bases com as coordenadas da outra base por meio de uma matriz. Fazíamos uma multiplicação matricial, a qual permitia transitar de uma base para outra. Se eu ia de uma base 𝛼 para uma base 𝛽, usava a matriz que denotamos por [𝐼]𝛽 𝛼, e usava a sua inversa, [𝐼]𝛼 𝛽, para fazer a conversão de coordenadas no sentido contrário. Vou fazer o cálculo que está por trás daquele padrão que conhecemos no experimento que fizemos, para vermos que sempre vai aparecer uma multiplicação matricial para fazer a conversão de uma base para outra. (OAT3) Na sequência, deduz de forma genérica para um espaço vetorial bidimensional qualquer a matriz mudança de base, bem como a relação [𝐼]𝛽 𝛼[𝒗]𝛼=[𝒗]𝛽 e propõe, como tarefa extra classe, para os alunos encontrarem a relação [𝐼]𝛼 𝛽[𝒗]𝛽=[𝒗]𝛼. A demonstração é feita totalmente de forma expositiva, sem participação dos alunos. Na sequência da aula resolve exemplos referentes a este conteúdo, bem como outros de revisão do capítulo de Espaços Vetoriais, pois esta era a última aula referente a tal tópico.
244 Reflexão sobre as aulas Ao analisar a sua ação sobre o tópico ‘Coordenadas’, Téo manifestou o sentimento de que os alunos não se sentiram à vontade com a filmagem da aula, pois participaram menos do que em outras aulas: Eu tenho a impressão que, pelo contrário [dos alunos da Lisa que foram mais participativos], os meus ficaram acanhados com a filmagem. Eles falaram um pouco, comentaram algumas coisas, mas acho que foi um pouco menos do que nas situações não gravadas. Em parte, talvez porque a metade chegou depois que a aula havia iniciado, já estava tudo lá e não viram a conversa inicial. Além disso, quando comentamos, na véspera, sobre a observação e filmagem nem todos estavam presentes. (EGC7, 23/09/2016) Como a planificação das aulas de ‘Coordenadas e Mudança de Base’, bem como a decisão pela observação, aconteceram na semana precedente, e as aulas de Álgebra Linear desta turma aconteciam em dois dias seguidos (terça e quarta), só foi possível conversar com eles sobre a observação na véspera (terça), quando nem todos os alunos estavam presentes. A participação dos alunos foi tímida, o que indicia dever-se à sua desmotivação pela disciplina. Eles estavam inibidos, mas ele [Téo] tem poucos alunos, e além de que vários faltaram, outros chegaram atrasados. Já haviam passados 40 minutos do início da aula e ainda havia aluno chegando. (...) Observei que alguns alunos ficavam mexendo no telemóvel ou estudando para outra disciplina, nem sequer olhavam para o quadro, e já são poucos alunos, então, o Téo tem um grande desafio pela frente para estimular esses alunos. (Investigadora, EGC7, 23/09/2016) Téo reconhece esse desafio de os envolver na aula, tanto para os ajudar a ultrapassar as suas dificuldades como para os motivar na aprendizagem da disciplina: Pois é, teve alguns que fizeram [a disciplina] várias vezes, então esses estavam participando bem porque eles já têm uma noção. Tem um aluno, o C, ele fez Álgebra Linear comigo semestre passado, e acho que tinha feito mais vezes também. Ele está se esforçando, mas tem dificuldade em algumas coisas, na primeira prova ele não foi muito bem não. (...) Ainda não é natural para mim, chamar a atenção deles para participarem. Acho que ainda eu vou meio que no automático. (EGC7, 23/09/2016) Relativamente ao conteúdo abordado, Téo manifestou um sentimento de insatisfação com o segundo exemplo que selecionou, algo que não foi debatido no grupo de trabalho, para resolver
245 envolvendo polinômios logo após a definição de Coordenadas, por considerar que não lhe permitiu fazer muitas considerações sobre o conteúdo. Em termos do conteúdo, eu acho que um dos exemplos que peguei, não ficou muito interessante. Eram dadas as coordenadas de um vetor numa base, você acha quem é o vetor, e você acha as coordenadas desse vetor numa outra base. Acho que o exemplo que eu escolhi para fazer isso poderia ter sido um pouco mais elaborado. (...) Depois que eu vi lá, não gostei muito do exemplo, não deu para explorar muita coisa naquela questão específica. (EGC7, 23/09/2016) Este foi o único exemplo que, na referida aula, Téo deixou um tempo para os alunos pensarem sozinhos e que, diante da dificuldade em apresentarem uma solução, resolveu um dos itens no quadro e solicitou que uma aluna apresentasse à turma a solução do outro item. Relativamente à ação de solicitar a aluna para ir ao quadro, Téo não se sentiu muito confortável, visto que não era um hábito seu atender a tal procedimento nas suas aulas. No entanto, ao observar a falta de etapas na resolução dada pela aluna, problematiza a sua prática ao aperceber-se que ao invés de explorar tal resolução apontou à turma como resolver, perdendo a oportunidade de identificar se os alunos compreenderam ou se estavam apenas seguindo um processo. Ainda não tenho hábito de solicitar a eles para fazer coisas no quadro, de pedir para o aluno ir ao quadro e explorar o que o aluno faz, não ficou muito natural. (...) E ela [a aluna] estava querendo resolver direto com a matriz do sistema que surgiria depois, após comparar as coordenadas que aparecem como coeficiente do 1, do 𝑥, do 𝑥². Ela estava dando um salto, pulando uma etapa, e eu logo fui apontando o caminho por onde ela devia começar. Eu poderia ter explorado mais em cima da resolução dela, por exemplo, ter questionado de onde surgiu a matriz do sistema, até para os outros alunos perceberem. Porque esse tipo de coisa os alunos fazem, pulam etapas, e na correção de uma prova você nunca sabe se eles sabiam o que estavam fazendo ou fizeram mecanicamente. (EGC7, 23/09/2016) Ao refletir sobre a abordagem da situação-problema que envolvia a mudança de referencial para encontrar a equação padrão de uma elipse rotacionada, com a qual se objetivava despertar nos alunos o interesse para o estudo do tópico Mudança de Base, Téo revelou que centrou a explicação mais em si: “Eu acho que quando eu comecei a fazer esse exemplo, eu meio que desliguei um pouco do feedback deles” (EGC7, 23/09/2016). Como já explicitado, foi Téo quem apresentou ao grupo de trabalho tal situação–problema, a qual tinha explorado no semestre anterior nas três turmas que lecionara. Infere que em tal ocasião, em pelo menos uma das turmas, procurou envolver mais os alunos na discussão do problema do que nesta vez: “Eu tenho a impressão que na primeira vez que comentei este tipo de
246 exemplo, fiz melhor e consegui interagir mais com uma das turmas pelo menos” (EGC7, 23/09/2016). Téo concordou com Lisa, Nina e Bruna de que tal postura mais centrada na sua atividade na exploração de tal questão pode dever-se ao desconforto que sentiu com a observação e filmagem da aula. Como Téo não apontou as alterações que fez em relação ao roteiro da aula planificado no grupo de trabalho, procurei destacar ao grupo de trabalho um ponto que, na minha perspetiva, contribuiu para auxiliar a compreensão do teorema da unicidade: Como alguns de nós ainda não deram essa aula, eu gostaria de destacar uma ideia interessante que o Téo fez, para abordar o teorema da unicidade. Por que o que diz o teorema? Quando escreve vetores como combinação linear de vetores de uma base, essa combinação é única. (...) O que ele fez foi enunciar o teorema e, antes de demonstrá-lo, propôs um exercício: pegou um conjunto 𝐶 que não vai ser uma base para ℝ2 e questionou ‘De quantas formas eu posso escrever esse vetor como combinação desses três vetores?’ E perguntou aos alunos e eles exemplificaram umas duas formas. Daí comentou: ‘Então olha só, você está escrevendo um vetor com uma combinação de vetores que não são de uma base, tem infinitas formas. Então, quando você vai escrever como combinação de uma base, o que preciso provar no teorema? Que essa forma é única’. Achei que essa ligação ficou interessante para os alunos entenderem que se não for base a solução não é única. E eles podem entender que o teorema é a generalização dessa ideia. (Investigadora, EGC7, 23/09/2016) O grupo considerou pertinente a forma como Téo trabalhou e sugeriu ainda que, no exemplo proposto por Téo, se trabalhasse com um conjunto LD e com um LI. Téo verificou com os alunos que um dado vetor do ℝ2 pode ser escrito como combinação linear de três vetores LD’s de infinitas formas e afirmou que para ser de uma única forma os vetores deveriam formar uma base para o ℝ2, e logo partiu para a demonstração dessa afirmação. A ideia que surgiu no grupo de trabalho induziu os alunos a tirarem intuitivamente tal conclusão. Dessa forma, foram feitas alterações no roteiro da aula com as contribuições de Téo e com o que surgiu do grupo de trabalho na discussão. Posteriormente, quando outros professores concretizaram esta aula, houve novas contribuições para aprimorar o roteiro da aula. Relativamente à tarefa introdutória sobre Mudança de Base, realizada na segunda aula, Téo não notou problemas quanto à elaboração das questões durante a sua concretização, apenas referiu que os alunos demoraram mais tempo para realizar a tarefa do que o imaginado. Um colega do grupo de trabalho sugeriu que numa próxima vez deveriam solicitar aos alunos a resolução da tarefa em casa e só fazer a discussão em sala de aula, como uma solução para otimizar o tempo. Téo considera que resolver a tarefa na aula pode motivar os alunos menos comprometidos a trabalhar, enquanto se deixasse para casa haveria o risco de não fazerem ou apenas copiarem dos colegas.
247 Em relação à tarefa não tenho sugestões, acho que as questões eram bem objetivas. Mais é a questão do tempo, eles gastaram muito tempo na atividade durante a aula. (...) Quando é na sala de aula, os desinteressados fazem também. Percebi que tinha aluno meu que nunca abre o caderno estava tentando fazer. O aluno interessado vai fazer de qualquer jeito, seja na sala, seja em casa. Agora os desinteressados em casa não vão fazer, com certeza, o máximo que eles vão fazer é pegar de alguém e copiar. (EGC8, 07/10/2016) Téo complementa ainda que a realização da tarefa em sala de aula lhe oportunizou identificar as dificuldades dos alunos: “Foi produtivo para eu poder ter um pouco dessas dúvidas básicas, conceituais, que aparecem ali. Do jeito que eles perguntam você percebe que não tem segurança nenhuma em alguns conceitos bem elementares” (EGC8, 07/10/2016). Apercebendo-se das dificuldades, além de procurar esclarecê-las individualmente, procurou retomá-las na discussão da tarefa mediada pelo aplicativo do GeoGebra. Reconhece que na exploração do GeoGebra evidenciou a sua atividade em detrimento da dos alunos, com o foco nas dificuldades que emergiram e na sintetização do conteúdo envolvido. Já no segundo momento em que trabalhou as questões 1 e 2 (Quadro 21) que levariam a tirar as conclusões a que objetivava a tarefa, refere que conseguiu envolvê-los mais na discussão: No início com o GeoGebra [os alunos] não interagiram tanto. Acabei focando mais na explicação e interpretação geométrica, pelas dúvidas que já tinham surgido quando eu circulava pela sala. Já na discussão das duas perguntinhas consegui explorar melhor essa parte da participação deles, acho que eles participaram bem. (EGC8, 07/10/2016) Quanto à possibilidade levantada no grupo de trabalho de numa próxima vez, ao propor a tarefa, também disponibilizar o aplicativo para os alunos utilizarem simultaneamente, Téo sugeriu que tal aula poderia ser realizada num laboratório de informática. Na sua perspetiva, o uso do aplicativo pelos alunos durante a resolução da tarefa pode contribuir para enriquecer as discussões, tendo em vista que os alunos podem testar diferentes bases e se concentrar na interpretação dos cálculos. Ter os comentários enquanto você está interagindo com o software, dá para pegar alguma coisa deles, é interessante fazer isso. Eu acho que funcionaria talvez o uso do laboratório, como sugeriu a Nina. Até porque certamente alguém vai pôr um número lá que vai dar um negócio inesperado e aí vai gerar mais discussão. Acho que pode levantar mais discussões porque é diferente um aluno testar do que ele ver o professor fazendo. (EGC8, 07/10/2016) Ao analisar a contribuição da tarefa introdutória para a compreensão da demonstração da generalização da Mudança de Base para espaços vetoriais quaisquer (3.ª aula), a ilação que Téo retira é
248 que a demonstração ocorreu de forma mais natural, pois os alunos já estavam familiarizados com o conceito, comparado com o semestre anterior em que introduziu o conceito diretamente de forma genérica. E na hora da generalização eu senti que eles acompanharam melhor do que no outro semestre. É que eu acho que eles já sabiam onde ia chegar. Então foi meio que natural para eles. Mas não vi eles empolgados no sentido de: ‘Ah então isso funciona para todo caso’. Foi só mais uma demonstração, mas de algo que já tinham a noção do que era. (...) Eu fiz dois exercícios, um com polinômios e um no ℝ3. Eles iam me dizendo o que era para fazer, então deu para perceber que eles sabiam. (EGC8, 07/10/2016) Síntese No encontro de discussão e planificação sobre o ensino de ‘Coordenadas’ e ‘Mudança de Base’, Téo partilha a sua experiência sobre o ensino de tais tópicos, realçando a resolução de um problema contextualizado que explorou com o intuito de motivar os alunos para a aprendizagem de Mudança de Base. Téo explica o problema ao grupo de trabalho, auxilia a resolução conjunta, apresenta sugestões de questionamentos que poderiam ser feitos aos alunos para sua exploração e de como o problema poderia ser resgatado posteriormente no ensino de Diagonalização de Operadores Lineares. Apesar de procurar motivar os alunos com um problema contextualizado, a sua abordagem do conceito de Mudança de Base era similar ao que a maioria dos livros faz e como os professores do grupo faziam: partia da dedução da generalização da mudança de base para espaços vetoriais quaisquer e depois resolvia exercícios que exploravam o procedimento de encontrar a matriz. O grupo de trabalho desafiou-se a elaborar uma estratégia de ensino em que se trabalhasse a contextualização, se explorasse as representações algébrica e geométrica dos conceitos envolvidos, se construísse a generalização da Mudança de Base para um espaço vetorial qualquer e que os alunos se envolvessem nas atividades da aula, de modo a entenderem o processo e fugirem à mecanização, o que na perspetiva do grupo de trabalho poderia minimizar alguns erros causados por essa falta de uma maior compreensão do conteúdo. A postura que Téo assumiu na discussão da estratégia de ensino reflete uma conceção de ensino que valoriza sobretudo a atividade do professor em detrimento da do aluno, embora quando no grupo de trabalho se discute o envolvimento dos alunos aponte caminhos para a exploração do problema contextualizado, que foi a sua contribuição direta para a construção da estratégia. Também revelou bastante preocupação com o conteúdo e procurou problematizar algumas questões levantadas por colegas, como, por exemplo, a possibilidade de trabalhar a Mudança de Base em conjunto com
249 Transformações Lineares. De forma geral, na reunião de planificação manteve uma característica que é comum em si, de primeiro ouvir para depois falar, sendo que as suas intervenções ocorreram mais em cima do discurso dos colegas do que sobre a tomada de decisões sobre a construção do roteiro das aulas. As aulas de Téo foram organizadas em três fases bem claras: (i) Início – inicia a aula resgatando os temas principais da aula anterior e que são pré-requisitos para a aula que se inicia, e expondo os objetivos para a aula; (ii) Desenvolvimento – desenvolve os conteúdos, propõe exemplos e tarefas de forma que haja um link entre eles; e (iii) Conclusão – faz um fechamento da aula com uma síntese do que foi trabalhado ou do último tópico trabalhado e indica o que vai ser assunto na aula seguinte. Na aula de Coordenadas, a sua postura valoriza, sobretudo, o conteúdo e a sua atividade. Em alguns momentos, na resolução e discussão de exemplos coloca algumas respostas diretas o que leva os alunos a questionarem. Nesses momentos aproveita os questionamentos para uma maior exploração do conteúdo. A abordagem do problema contextualizado foi totalmente centrada em si, diferentemente do que havia sugerido durante a planificação, que poderia envolver os alunos na resolução por meio de questionamentos e na resolução de pequenos cálculos. Já na aula de Mudança de Base, Téo assume outra postura, mais centrada na atividade dos alunos do que em si. Auxilia os alunos individualmente ou aos pares na resolução da tarefa, que depois a explora no GeoGebra. Nesse momento a atividade volta a ser centrada em si, pois procura sumarizar o que os alunos fizeram com recurso ao papel e lápis e focar nas dúvidas que surgiram. Na retirada de ilações sobre a tarefa, retoma a participação dos alunos, insiste que participem refazendo as perguntas de outra forma ou dando direções para encontrarem as respostas. Por fim, sintetiza no quadro as conclusões retiradas e resgata o problema contextualizado da aula anterior. No processo de formalização da generalização da mudança de base (3.ª aula), assume uma postura de fechamento da parte teórica do conteúdo, centrando a aula na sua atividade. De forma geral, nas aulas observadas, Téo valoriza o formalismo e não fica restrito apenas ao roteiro que fora planificado em conjunto com os seus colegas. Os exemplos propostos, a estratégia utilizada para abordar o teorema da unicidade e os seus questionamentos aos alunos são no viés de fazer com que o aluno avance para a generalização dos conceitos envolvidos. Em relação à postura dos alunos, observa-se certa passividade com a sua aprendizagem, que se revela, por exemplo, pelo ato de não se inteirar sobre o que o conteúdo trabalhado quando faltam à aula e/ou não estudar o conteúdo de uma aula para outra, o que lhes dificulta o acompanhamento da aula seguinte, e a própria falta de frequência às aulas. Apesar de haver 19 alunos matriculados na turma, nem todos foram assíduos às
250 aulas, sendo que havia respetivamente nas aulas observadas, 9, 14 e 12 alunos. Além disso, dentre os presentes, sempre havia os que chegavam após o início da aula. Na reflexão sobre a sua ação, manifesta o sentimento de insegurança sentido pela observação principalmente da primeira aula, de Coordenadas, fator que pode ter interferido tanto na participação mais tímida dos alunos na aula quanto no seu ensino, que foi predominantemente centrado em si. Problematiza a sua ação ao reconhecer que, ao longo da primeira aula, nem sempre conseguiu fomentar a interação com a turma. Em particular, reconhece que ao solicitar para uma aluna resolver uma questão no quadro poderia ter explorado mais a sua resolução ao invés de apontar o caminho correto para a resolução. Reconhece que a exploração do problema contextualizado foi totalmente centrada em si e infere que tal postura pode ser decorrente da observação da aula. Na análise da sua aula sobre Mudança de Base demonstra um sentimento de satisfação em relação à sua ação na aula bem maior do que com a aula de Coordenadas e em momento algum refere desconforto com a observação. Refere a importância da resolução pelos alunos da tarefa introdutória à Mudança de Base em sala de aula para se aperceber das dificuldades dos alunos e para lhes oportunizar um momento de aprendizagem em sala de aula. Para Téo, a participação conjunta da discussão que promoveu sobre a tarefa evoluiu com o decorrer da aula. Ao refletir sobre o que poderia ser melhorado na estratégia de ensino utilizada nessa aula, concorda com outros colegas que poderia tirar melhor proveito para a aprendizagem dos alunos se estes também fizessem uso do aplicativo do GeoGebra durante a aula, ao invés de ser o professor a utilizar. Por fim, refere a impressão de que a tarefa contribuiu para o entendimento do processo de generalização da Matriz Mudança de Base. 7.4.1.2. Introdução a espaços vetoriais Preparação de aulas Na preparação das aulas sobre o tópico de espaços vetoriais, inicialmente, procuramos identificar como os professores do grupo ensinavam esse conteúdo e quais as dificuldades sentidas em sua prática, para então discutir qual seria a estratégia de ensino utilizada pelo grupo. Ao fazer uma retrospetiva sobre como introduziu a definição de espaço vetorial no semestre anterior (2016/02), Téo refere que procurou analisar com os alunos o comportamento de alguns conjuntos numéricos em relação às propriedades algébricas envolvidas na definição de espaço vetorial. Segundo o professor, em sala de aula, constatou que os conjuntos dos números racionais e dos números reais tinham comportamento
257 Ao ouvir a perspetiva de Téo, o grupo procurou entender o que era a escala logarítmica e como era construída, além de nos inteirar de problemas cuja compreensão é facilitada se tal escala for usada. Também descobrimos que os alunos de Engenharia e Licenciaturas em Matemática e Física usam tal escala na disciplina de Física Experimental. Considerou-se então propor uma tarefa aos alunos com o propósito deles fazerem uma análise comparativa do comportamento de tais operações não usuais em relação às escalas linear e logarítmica, como sugeriu Téo: Eu acho que podemos dar a eles uma folhinha, com uma logarítmica e uma não logarítmica, para somar e multiplicar. Acho que eles têm que fazer na mão para eles verem a diferença. (...) Dá para a gente escolher um vetor fixo e pedir para representar quatro múltiplos, que a gente escolher, e a soma de dois vetores, que a gente escolher, também, para desenharem nas duas escalas. Acho que isso funcionaria bem e não demoraria muito tempo. (EGC21, 31/03/2017) A ideia do grupo com a tarefa era também que os alunos entendessem como fazer a transição da representação algébrica para a representação geométrica dos vetores no espaço vetorial em questão, visto que o vetor nulo agora é o (1,1). Sendo assim, ficou combinado que os alunos resolveriam a tarefa em sala de aula na sequência da discussão da resolução da 2.ª tarefa. Téo se prontificou para elaborar as questões da tarefa e posteriormente partilhar com o grupo para uma análise crítica (NC, abril de 2017). Relativamente ao ensino de subespaço vetorial, que seria o tópico subsequente a ser abordado em sala de aula, não se elaborou um roteiro de aula no grupo, mas discutiu-se que se poderia retomar nos exemplos os conjuntos explorados na 1.ª tarefa, que envolvia o fechamento de conjuntos. Prática na sala de aula A concretização em sala de aula do que fora planificado para a introdução de Espaços Vetoriais ocorreu em 6 horas/aula (1 hora/aula=50 minutos), conforme o Quadro 22. A turma observada continha 18 alunos, sendo a sua maioria do curso de Engenharia de Produção e Sistemas. Na turma havia alunos que cursavam a disciplina pela primeira vez e outros que já haviam cursado pelo menos uma vez.
258 Quadro 22. Síntese do conteúdo trabalhado em cada aula relacionada à introdução do conceito de espaço vetorial. Aulas Conteúdo 2 horas/aula 100 minutos − Resolução de uma tarefa pelos alunos para introduzir o conceito de fechamento de um conjunto para as operações de soma (+) e multiplicação por escalar (∙). − Definição de espaço vetorial. 2 horas/aula 100 minutos − Definição dos espaços vetoriais do ℝ2, ℝ𝑛,𝒫𝑛, 𝑀𝑚×𝑛 e das funções 𝑓:ℝ→ℝ, com as respectivas operações usuais de (+) e (∙). − Resolução de uma tarefa pelos alunos com o objetivo de explorar a definição de espaço vetorial para subconjuntos do ℝ2, com operações não usuais de (+) e (∙). 2 horas/aula 100 minutos − Correção da tarefa da aula anterior. − Resolução de uma tarefa pelos alunos envolvendo a interpretação geométrica de um dos espaços vetoriais com operações não usuais da tarefa anterior. − Definição de subespaço vetorial. Introdução a espaços vetoriais A primeira aula observada sobre a introdução de Espaços Vetoriais ocorreu no dia 27/03/2017, numa segunda-feira, no período das 16h 10min às 17h 50min e estavam presentes 13 alunos. A aula foi assim organizada: (i) Introdução da aula com a apresentação do capítulo de Espaços Vetoriais; (ii) Distribuição e orientações sobre a tarefa introdutória de Espaços Vetoriais; (iii) Discussão na turma sobre a resolução da tarefa pelos alunos; (iv) Definição formal de espaço vetorial; (v) Distribuição da tarefa para explorar a definição de espaço vetorial para o ℝ2, com operações não usuais de (+) e (∙). Ao introduzir o tema da aula, Téo apresenta o capítulo de Espaços Vetoriais, procurando explicar o objetivo de se estudar tal tópico para o estudo de Transformações Lineares, capítulo seguinte. Em seguida, com o objetivo de dar um direcionamento para a tarefa introdutória que pretende abordar na sequência da aula, recorre a um exemplo que envolve encontrar a solução do sistema linear homogêneo {𝑥−𝑧=0 𝑦+𝑧=0. Explora a notação algébrica do conjunto solução do sistema, a saber, 𝑆= {(𝑧,−𝑧,𝑧);𝑧∈ℝ}, e toma algumas soluções particulares para verificar intuitivamente que a soma de quaisquer duas delas também é uma solução e que o mesmo vale para a multiplicação de qualquer solução por uma constante. Por fim, associa tais características aos termos ‘fechamento para a soma’ e ‘fechamento para a multiplicação por escalar’ e introduz o tema da aula. Quanto um conjunto satisfaz essa característica da soma e da multiplicação por escalar para todos os seus vetores, dizemos que é fechado para a soma e fechado para a
259 multiplicação por escalar. Vamos ver que qualquer sistema linear homogêneo tem essas características, ou seja, que é fechado tanto em relação à multiplicação por constantes, quanto para soma de vetores. Vamos discutir hoje outros conjuntos que tem essa característica, que quando soma vetores pertencentes ao conjunto o resultado está no conjunto e quando multiplica por escalar pertence ao conjunto. (OAT4) Depois desta introdução, Téo distribui a tarefa exploratória que envolve o fechamento para as operações de (+) e (∙) no ℝ2 (Quadro 23). Quadro 23. Tarefa utilizada para introduzir o tópico de Espaços Vetoriais. Introdução a Espaços Vetoriais - 1ª Etapa Nas atividades 1 e 2, considere as operações de adição e multiplicação por escalar de vetores do ℝ2 definidas por (𝑥1,𝑦1)+(𝑥2,𝑦2)=(𝑥1+𝑥2,𝑦1+𝑦2) e 𝑘∙(𝑥,𝑦)=(𝑘𝑥,𝑘𝑦),𝑘∈ℝ. 1. Cada uma das figuras apresenta um subconjunto 𝐻 do ℝ2. a) A soma de quaisquer dois vetores de 𝐻 está em 𝐻? Por quê? b) Os múltiplos dos vetores de 𝐻 estão em 𝐻? Por quê? c) Represente cada subconjunto 𝐻 algebricamente. Figura 1: 1.º quadrante Figura 2: 2.º e 4.º quadrantes Figura 3: Reta definida por 𝑦=2𝑥 Figura 4: Reta definida por 𝑦=2𝑥+1 2. Seja 𝐻={(𝑥,𝑦)𝑥2 ⁄+𝑦2≤1}. a) Represente geometricamente H. b) A soma de quaisquer dois vetores de 𝐻 está em 𝐻? Por quê? c) Os múltiplos dos vetores de 𝐻 estão em 𝐻? Por quê? 3. Em qual(is) subconjunto(s), das questões 1 e 2, os vetores resultantes da soma e da multiplicação por escalar estão em 𝐻? 4. Pesquise exemplos de outros conjuntos nos quais ao somar os seus elementos ou multiplicá-los por números reais, os resultados ainda pertencem a tais conjuntos, isto é, conjuntos que são fechados em relação à adição e a multiplicação por escalar . Téo propõe aos alunos que trabalhem em grupo ou individualmente, sendo que apenas quatro alunos se reuniram em pares. Como na primeira questão, os conjuntos a serem analisados eram dados graficamente, procurou orientá-los por meio do esboço de outra figura geométrica no quadro, sobre como tomar um vetor pertencente a um conjunto e como explorar intuitivamente se este conjunto seria ou não
260 fechado para as operações de (+) e (∙). Enquanto os alunos resolviam as questões, Téo circulava pela sala e procurava esclarecer as dúvidas que surgiam. Diante dos questionamentos dos alunos, Téo procurava não dar respostas prontas, procurando dar orientações e incentivá-los a tirarem as suas conclusões. Téo: Dúvidas? Aluno1: Então, nesse primeiro vai satisfazer sempre. Téo: Porquê? Aluno1: Porque as componentes são positivas, então a soma vai dar componentes positivas. Téo: Então está. Registra isso. Aluno1: Está certo? Téo: Não sei. Vão discutindo e comparando as respostas para ver a que conclusão chegam. Aluno3: Na (c), como eu representaria? Não estou entendendo. Téo: Qual o conjunto de pontos que pertence ao H? Aluno3: Todos os pontos que pertencem? Téo: Sim. Essencialmente tens que saber que propriedade caracteriza os elementos aqui de dentro [do conjunto]. Aqui no meu exemplo é todo vetor que tem a mesma coordenada, exceto pelo sinal na coordenada do meio [referindo-se ao exemplo do sistema linear]. Ali deve ter uma versão equivalente para descrever o 𝐻. Aluno3: Eu estava fazendo tudo errado. Estava pensando que para o primeiro eu poderia pegar, por exemplo, o (1,2), porque é tudo positivo. Téo: Ele pertence, mas tens que pegar um vetor que represente todos os que estão ali dentro. Aluno3: Sim, entendi agora. (OAT4) Depois de observar que a maioria dos alunos já tinha concluído ao menos as duas primeiras questões, procura fazer uma discussão com a turma. Nessa discussão incita os alunos a verbalizarem as suas repostas e as anota no quadro. Téo: Pessoal, em relação à soma de vetores, para quais das quatro figuras quando a gente pega um par de vetores e faz a soma, vai estar sempre caindo dentro da região e para quais figuras nunca está caindo lá dentro ou às vezes não cai dentro? Aluno2: Nas Figuras 1 e 3 cai dentro para a soma. Téo: Todo mundo concorda com isso ou teve alguém que encontrou uma resposta diferente? (Todos concordam) Téo: Então teve uma região ali que é o 1.º quadrante. A soma de vetores do 1.º quadrante está caindo sempre no 1.º quadrante. As coordenadas desses pontos aí são o quê? Aluno2: Positivas. Téo: Isso, todas positivas na primeira figura e no caso da Figura 3 está sempre dando sobre a reta. E para múltiplos o que vocês encontraram? Aluno6: [As figuras] 2 e 3. Téo: E nas que não preserva dentro da região, para quais constantes não preservou o vetor resultante dentro da região? Aluno4: Na primeira figura não funciona para valores negativos.
261 Téo: Certo. O que acontece quando multiplica por valor negativo? Aluno4: Inverte o sentido. Téo: Exato. Preserva a direção, mas inverte o sentido. Foi esse o problema que apareceu na Figura 1. E no caso da Figura 4 qual é o problema? (Não obtém respostas) Téo: Porque para a reta 𝑦=2𝑥+1 os múltiplos de um vetor pertencente à reta não vão estar sobre a reta? Ou seja, não vai dar um ponto sobre a reta? (Não obtém respostas) Téo: Sempre falha? Às vezes falha? Quando falha? (Não obtém respostas) Téo: O que a multiplicação por números reais faz com os vetores? Aluno2: Pode aumentar, diminuir, inverter se a constante é negativa. Téo: Isso, aumenta se a constante for mais que 1, encolhe se for entre 0 e 1, encolhe e inverte o sentido se estiver entre 1 e 0, e aumenta e inverte se for menor que −1. Então aqui se pegarmos um ponto sobre a reta e tomarmos o vetor associado a ele, tem algum múltiplo dele que vai cair sobre a reta? Aluno1: Só se multiplicar por 1. Téo: Isso, somente o 1.𝒗 vai estar sobre essa reta. Se multiplicarmos por 2, por exemplo, vai dar um vetor cujo ponto que está na extremidade não pertence à reta. (OAT4) No diálogo precedente, são apresentadas as respostas para as questões 1(a) e 1(b) relativamente à análise do fechamento para as operações de (+) e (∙) para as Figuras 1, 2, 3 e 4. Para as três primeiras figuras os alunos apresentaram respostas de forma imediata, já para a Figura 4 foi necessário que Téo refizesse os seus questionamentos de diferentes formas até que algum aluno apresentasse a resposta. Na observação da aula percebi que os alunos apresentaram dificuldade em como tomar vetores pertencentes a uma reta que não passa pela origem, sendo que Téo procurou esclarecer tal dúvida. Após a conclusão efetuada sobre o fechamento para as operações de (+) e (∙) para os quatro subconjuntos do ℝ2 apresentados nas quatro figuras propostas na Questão 1 da primeira tarefa (Quadro 23, surgiu a discussão sobre como representar algebricamente cada um dos subconjuntos: Téo: E representações algébricas para estes conjuntos? Como descreveram caso a caso? Aluno2: 𝑥 e 𝑦 têm que ser positivos. Téo: Como escrevo algebricamente isso? Como tu representaste isso, Aluno2? Aluno2: Eu coloquei 𝐻={(𝑥>0,𝑦>0)} Téo: É por aí, só temos que arrumar um pouco essa notação. Vamos dar uma olhadinha como apresentei o conjunto S lá no sistema do início da aula. Vamos pegar todos os vetores do plano, ou seja, todos os pares ordenados (𝑥,𝑦) do ℝ2, em que as coordenadas 𝑥 e 𝑦 são positivas. Então fica assim: 𝐻={(𝑥,𝑦)/ 𝑥>0 𝑒 𝑦>0}. Téo: E para a Figura 2, como descreveram 𝐻? Aluno6: Eu escrevi como a união de dois conjuntos: 𝐻={(𝑥,−𝑦)/ 𝑥,𝑦∈ℝ+}∪𝐻= {(−𝑥,𝑦)/ 𝑥,𝑦∈ℝ+}. Téo: Tem jeito de fazer isso de forma mais simplificada. Alguém achou alguma outra forma?
262 Aluno4: 𝑥=−𝑦? Téo: Mas, por exemplo, o (2,−3) está no 4.º quadrante e não satisfaz 𝑥=−𝑦. A ideia é que os sinais têm que estar trocados, certo? Mas em módulo as coordenadas não precisam ser iguais, ok? Uma outra possibilidade seria 𝐻={(𝑥,𝑦)∈ℝ2 / 𝑥𝑦<0}. (OAT4) À medida que os alunos foram respondendo, Téo foi discutindo as suas respostas procurando validá-las ou refutá-las, além de apresentar outras formas de representar os conjuntos para além do que os alunos iam apresentando, bem como dando ênfase à notação algébrica correta. Na sequência explora a resolução da Questão 2, em que o conjunto H era apresentado na forma algébrica e os alunos tinham que fazer inicialmente a transição dessa representação para a geométrica e analisar o fechamento de tal conjunto. Téo: E na questão 2, o que concluíram? O que seria geometricamente a região do conjunto 𝐻? Aluno3: Uma circunferência. Téo: Circunferência é um conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro, no caso a uma distância igual a 1 do centro. Mas ali não é 1, está dizendo que é menor que 1. Então o que muda? Aluno6: É a área total da circunferência. Téo: Exato, e como tem a igualdade, a circunferência, o contorno também. Então é o círculo de raio 1. O que podemos concluir para a soma de dois vetores dessa região? A soma cai sempre dentro? Aluno6: Pega (1,0) e (0,1), dá (1,1) que não pertence ao círculo. Téo: E os múltiplos de qualquer vetor caem ali dentro? Aluno2: Depende do vetor e da constante que multiplicar. Mas claro, nem tudo cai ali dentro, o (1,0), multiplica por um valor maior que 1, já está fora. Téo: Este é um caso que não é fechado nem para a soma nem para a multiplicação por escalar. (OAT4) Quando um aluno responde que o conjunto de pontos do plano que satisfazem a condição 𝑥2+ 𝑦2≤1 é uma circunferência, Téo procura utilizar a definição de circunferência para que os alunos visualizem que existem outros pontos que satisfazem a condição que define o conjunto 𝐻. Procura questioná-los de modo a tirar conclusões sobre a resolução da tarefa, mas Téo em seu discurso dá respostas mais diretas aos alunos, ao invés de esperar que os alunos apresentassem as conclusões. Após a discussão sobre as respostas das Questões 1 e 2 da tarefa, Téo propõe um momento de síntese/discussão sobre quais conjuntos analisados são fechados para as operações de (+) e (∙) e questiona-os quanto a outros subconjuntos do ℝ2 que conhecem e que preservam tais características para todos os seus elementos. Téo começa a listar no quadro os subconjuntos indicados.
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