Ensinar frações nos primeiros anos de escolaridade

247 Ensinar Frações nos Primeiros Anos de Escolaridade Paula Cardoso & Ema Mamede Resumo O conceito de fração é considerado complexo e simultaneamente um conceito fundamental na aprendizagem matemática das crianças. Em Portugal, a investigação sobre as práticas de ensino dos professores do 1.º ciclo do Ensino Básico, relativas ao conceito de fração, tem sido muito parca ou quase inexistente. A presente investigação procurou responder às seguintes questões: 1) Como é que os professores do 1.º ciclo exploram e articulam os significados quociente, partetodo, medida e operador para ensinar frações? 2) Que dificuldades manifestam estes professores no desenvolvimento das suas aulas sobre frações? Realizou-se um programa de trabalho colaborativo com quatro professores e observaram-se aulas. Os resultados sugerem dificuldades no ensino de frações, nomeadamente na seleção e exploração de tarefas, mas também na abordagem às diferentes interpretações de fração. Introdução O conceito de fração é considerado fundamental na educação matemática das crianças. Apesar de o tema das frações constar tradicionalmente no currículo do ensino básico, os alunos continuam a apresentar dificuldades em compreender o conceito (ver Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984; Cardoso, 2009; Hart, 1981; Kerslake, 1986; Mamede, 2008). Por outro lado, a investigação revela que os professores, para além de manifestarem dificuldades com as frações, admitem que é difícil ensinar este tema matemático (Ball, Lubienski & Mewborn, 2001; Cardoso & Mamede, 2015; Post, Harel & Lesh, 1991). As atuais orientações curriculares preconizam uma abordagem aprofundada a este conceito ainda durante o 1.º ciclo (DGE, 2012a, 2012b, 2013). Contudo, pouco se sabe sobre as práticas de ensino dos professores deste ciclo à luz dos atuais programas para a disciplina de Matemática. O trabalho aqui apresentado procura conhecer melhor tais práticas, identificando eventuais contextos de intervenção com vista à melhoria das mesmas. CONTRIBUTOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DE NÚMERO RACIONAL 248 Ensinar frações no 1.º ciclo do Ensino Básico Interpretações de fração A aquisição do conceito de número racional está completa apenas quando os alunos dominam os diferentes significados de fração traduzidos nos diferentes modelos de representação (ver Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Nunes et al., 2004). A literatura apresenta várias classificações de interpretações, significados de frações ou situações em que as frações são utilizadas. Kieren (1976) distingue, inicialmente, sete tipos de situações em que as frações são utilizadas passando mais tarde (Kieren, 1993) a considerar apenas quatro: quociente, medida, razão e operador. Posteriormente, Behr et al. (1983), baseados na classificação inicial de Kieren, distinguiram as mesmas situações embora considerando medida e parte-todo como dois modelos distintos. Marshall (1993), baseada no conceito de ‘schema’, apresenta uma classificação muito idêntica à de Behr e colegas, distinguindo situações com a mesma designação. Mais recentemente, Nunes et al. (2004) apresentaram uma classificação baseada no significado dos valores envolvidos na fração, distinguindo as situações quociente, parte-todo, operador e quantidades intensivas. Por estarem incluídos nas orientações curriculares portuguesas mais recentes (ver DGE, 2012a, 2012b, 2013) e por serem transversais às classificações apresentadas, foram selecionados para o estudo aqui apresentado os significados quociente, parte-todo, medida e operador. Tendo por base a classificação proposta por Nunes e colegas (2004), no significado quociente o denominador da fração representa o número de recipientes e o numerador representa o número de itens inteiros contínuos a dividir pelos recipientes. Neste tipo de situações, a fração representa ainda a parte de item que cabe a cada recipiente. No significado parte-todo o denominador da fração representa o número de partes em que o todo é dividido e o numerador indica o número dessas partes que são retiradas. No significado medida, a fração   (b≠0) é utilizada repetidamente para determinar uma distância; frequentemente é acompanhada por uma reta numérica ou uma imagem de um instrumento de medida, sendo esperado que os alunos meçam a distância de um ponto a outro em termos de   unidades. Por último, no significado operador, estão envolvidas quantidades discretas, o denominador representa o número de grupos iguais em que o conjunto de elementos foi dividido e o numerador representa o número desses grupos que lhe foram retirados. As frações nas orientações curriculares Na prática de sala de aula, é frequente abordar-se o conceito de fração reduzindo-o às interpretações parte-todo e operador (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992; Kerslake, 1986). Nesta abordagem, tradicionalmente, o professor apresenta aos alunos uma figura (um retângulo ou um círculo) dividida num certo número de partes iguais, estando assinalada uma parte delas — consequentemente, a fração surge como uma relação entre a parte selecionada e o todo da figura. ENSINAR FRAÇÕES NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE 249 Em Portugal, as orientações curriculares mais recentes (ver DGE, 2012a, 2012b, 2013) antecipam uma abordagem mais aprofundada ao conceito de fração para o 1.º ciclo do Ensino Básico (6-10 anos de idade). Estas orientações preconizam a introdução do conceito de fração no 2.º ano de escolaridade com recurso ao significado ou interpretação de medida. Adicionalmente, propõem a abordagem às operações com números racionais não negativos nos 3.º e 4.º anos de escolaridade. Para além da interpretação de medida, as orientações curriculares sugerem atividades envolvendo as interpretações quociente, parte-todo e operador. Também o programa de 2007 (ver DGE, 2007) incluía já uma abordagem a diferentes interpretações de fração (quociente, parte-todo e operador), embora sem o grau de profundidade sugerido no programa atualmente em vigor (ver DGE, 2013). Estas diretrizes mais recentes (DGE 2013; DGIDC, 2007) implicam alterações significativas se tivermos em conta que, no programa anterior para este ciclo de ensino, de 1990 (ver DGEBS, 2004), o conceito de fração havia sido incluído somente no significado operador, abordando-se apenas algumas frações unitárias, tais como um meio, um terço, um quarto e um quinto, bem como as frações unitárias de denominador 10, 100 e 1000. Assim sendo, as práticas de ensino da Matemática em Portugal, e pelo menos no caso das frações, encontram-se atualmente em plena adaptação às orientações curriculares mais recentes, quando não substancialmente apegadas ainda às orientações anteriores, da década de noventa, que vigoraram durante mais de quinze anos. Desejavelmente, e à luz das atuais orientações, o professor do 1.º ciclo deve dominar aspetos essenciais tais como a representação, a ordenação e a equivalência de frações, bem como as diferentes interpretações de fração. Face ao que foi exposto, torna-se fundamental começar por caracterizar, na realidade Portuguesa, as práticas correntes em sala de aula dos professores do 1.º ciclo do Ensino Básico, com vista a identificar aspetos que poderão ser melhorados. O conhecimento para ensinar A ideia de que existe um conjunto de conhecimentos que são específicos para o ensino é amplamente aceite (ver Ball, Thames & Phelps, 2008; Shulman, 1986). Os professores precisam de possuir conhecimentos que estão para além dos conteúdos que pretendem ensinar, possuindo também conhecimentos didáticos específicos da sua área de ensino que tornem os conteúdos acessíveis aos alunos. Shulman (1986) sugere a classificação do conhecimento necessário para ensinar em três categorias: conhecimento de conteúdo; conhecimento pedagógico de conteúdo e conhecimento curricular. O conhecimento de conteúdo é, para além do conhecimento de factos e conceitos, o conhecimento das regras e normas que sustentam esse conteúdo. O conhecimento pedagógico de conteúdo vai para além do conhecimento do conteúdo na medida em que se trata do conhecimento necessário para ensinar. Este conhecimento inclui o conhecimento de estratégias que tornem o conteúdo compreensível para os alunos. O conhecimento curricular refere-se ao conhecimento dos programas e documentos curriculares, assim como dos materiais adequados para ensinar determinado tópico. Do conhecimento curricular faz parte a capacidade de relacionar conteúdos que os alunos estão a aprender simultaneamente noutras disciplinas – CONTRIBUTOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DE NÚMERO RACIONAL 250 articulação horizontal –, bem como o conhecimento daquilo que os alunos aprenderam em anos anteriores e o que aprenderão em anos posteriores na disciplina – articulação vertical. Mais recentemente, Ball, Thames e Phelps (2008) sugerem que o conhecimento de conteúdo proposto por Shulman (1986) pode ser subdividido em conhecimento de conteúdo comum e conhecimento de conteúdo especializado. Neste domínio incluem ainda o conhecimento do horizonte matemático. Já o conhecimento pedagógico de conteúdo foi subdividido em conhecimento de conteúdo e alunos e conhecimento de conteúdo e ensino. Também neste domínio incluem ainda o conhecimento curricular. O conhecimento de conteúdo comum é o conhecimento matemático utilizado em outros contextos para além do ensino; pode incluir a capacidade para reconhecer erros, fazer cálculos corretos e pronunciar termos corretamente. Trata-se de conhecimento exigido para ensinar, mas que não é específico ou exclusivo deste contexto. Por sua vez o conhecimento de conteúdo especializado é o conhecimento matemático que é utilizado para o ensino sendo exclusivo deste contexto. Este conhecimento inclui a capacidade de interpretar os erros dos alunos e de reconhecer a natureza desses mesmos erros. O conhecimento de conteúdo e alunos combina o conhecimento matemático com o conhecimento dos alunos, nele incluindo-se a capacidade de antecipar as ideias e conceções erradas dos alunos, isto é, a familiaridade com o pensamento matemático dos alunos. O conhecimento de conteúdo e ensino combina o conhecimento de conteúdos matemáticos com conhecimentos sobre o ensino desses mesmos conteúdos. Esta categoria inclui o conhecimento sobre metodologias para ensinar determinado conteúdo, capacidade de avaliar potencialidades de diferentes representações de conceitos, e a capacidade de selecionar exemplos essenciais para promover entre os alunos uma compreensão mais aprofundada. Já o conhecimento do horizonte matemático é a consciência de como é que os tópicos matemáticos a ensinar estão relacionados com a variedade de tópicos incluídos no currículo (Ball, Thames & Phelps, 2008). O conhecimento dos professores sobre os números racionais Relativamente ao ensino dos números racionais, estudos centrados no conhecimento dos professores sugerem que estes são consideravelmente menos confiantes e menos bemsucedidos no domíno dos números racionais do que no domínio dos números inteiros (Ball, Hill & Bass, 2005). No âmbito do Rational Number Project (RNP), Post, Harel, Behr e Lesh (1991) conduziram um estudo em que participavam 218 professores (níveis 4-6), pretendendose traçar o perfil dos mesmos relativamente ao seu conhecimento sobre os números racionais. Os autores identificaram dificuldades diversas, nas quais se incluem dificuldades com as interpretações de fração e com a ordenação e a equivalência de frações. Poste et al. (1991) sublinharam o facto de os professores manifestarem dificuldades em apresentar explicações pedagógicas adequadas para cálculos efetuados por eles próprios no âmbito dos números racionais. Tirosh, Fischbein, Graeber e Wilson (1998), enquanto investigadores do projeto Conceptual Adjustments in Progressing from Whole to Non-negative Rational Numbers (CAPWN), procuraram avaliar o conhecimento de alunos da formação inicial de professores relativamente aos números racionais. Na primeira parte do estudo participaram 147 professores ENSINAR FRAÇÕES NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE 251 do ensino elementar. Estes autores sublinham que o conhecimento dos alunos da formação inicial é segmentado e rígido, nomeadamente na redução da Matemática a uma coleção de técnicas de cálculo desprovidas de justificação formal, e muitas vezes até utilizadas de forma intuitiva. Mais ainda, concluíram que os futuros professores tendem a alargar o seu conhecimento sobre os números inteiros aos números racionais, aplicando inapropriadamente propriedades daqueles a estes. Em Portugal, os resultados obtidos por Pinto e Ribeiro (2013) através da aplicação de um questionário a 27 alunos da formação inicial de professores sugerem que estes possuem um conhecimento limitado de número racional. Designadamente, identificam-se dificuldades com os significados de frações (quociente, parte-todo e operador), com a compreensão do papel da unidade de referência e com a equivalência, ordenação e densidade dos números racionais. Mamede e Pinto (2017) aplicaram um questionário a 86 alunos — futuros professores do 1.º ciclo do Ensino Básico — que frequentavam cursos de Mestrado em Ensino de diferentes instituições de Ensino Superior do norte de Portugal, com o objetivo de analisar o conhecimento destes sobre frações. Os resultados sugerem: dificuldades com a compreensão do papel da unidade de referência; fraco domínio dos significados de fração, mormente no âmbito de problemas envolvendo a interpretação quociente e no âmbito da representação de números na reta numérica, quando números diferentes de 1 são usados como referência na reta e quando é necessária uma redefinição da escala; fraco domínio da propriedade de densidade do conjunto dos números racionais; e dificuldades com a ordenação e equivalência de frações. Apesar das recentes alterações às orientações curriculares (ver DGE, 2012a, 2012b, 2013), e apesar das manifestas dificuldades por parte de alunos e professores com o conceito de fração (ver Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984; Ball, Lubienski & Mewborn, 2001; Kerslake, 1986; Mamede & Pinto, no prelo; Pinto & Ribeiro, 2013; Post et al., 1991), escassos são os trabalhos de investigação neste âmbito. O cenário será de ausência de estudos se atendermos à investigação centrada nas conceções e práticas de professores em exercício no âmbito das mais recentes orientações curriculares. Assim, ganha sentido expressivo a investigação que conduz ao conhecimento e à caraterização de práticas de sala de aula sobre o ensino de frações. Sobre o estudo Procurou-se conhecer as práticas de ensino de professores do 1.º ciclo do Ensino Básico relativamente ao conceito de fração e às suas diferentes interpretações (quociente, parte-todo, medida e operador). Tentou-se perceber como é que os professores do 1.º ciclo exploram e articulam os significados quociente, parte-todo, medida e operador para ensinar frações? Que dificuldades manifestam os professores no desenvolvimento das suas aulas sobre frações? O estudo adotou uma metodologia qualitativa, por se pretender uma descrição e interpretação de fenómenos educativos no seu ambiente natural (Bogdan & Biklen, 1999; Merriam, 1998), numa abordagem de estudos de caso múltiplos (ver Yin, 2010), procurando responder a questões do tipo “como?” e “porquê?”, pretendendo-se uma profunda compreensão dos acontecimentos. Segundo Yin (2010), um estudo de casos múltiplos promove, de modo CONTRIBUTOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DE NÚMERO RACIONAL 252 especial, esta melhor compreensão do fenómeno em causa, por fornecer maior variedade de situações. Participantes Participaram nesta investigação quatro professores de uma escola pública do distrito de Braga, em Portugal. Os nomes utilizados neste estudo para designar-se os professores participantes são fictícios. Maria, com dezanove anos de experiência de ensino, treze deles no 1.º ciclo do Ensino Básico e lecionava uma turma do 3.º ano de escolaridade (8-9 anos de idade). De acordo com a professora, o único contacto formal com frações, por parte destes alunos, foi realizado no ano letivo anterior, quando frequentavam o 2.º ano de escolaridade, e que esse contacto consistiu apenas na dobragem de uma folha em duas partes iguais, identificando-se cada uma das partes como “metade”. Maria acrescentou que os alunos responderam a “tarefas do género pintar metade de algo dividido em dois”. De acordo com a professora, a abordagem às frações foi realizada de forma muito incipiente. No ano em que se desenvolveu este estudo, os alunos não haviam tido qualquer contacto formal com as frações antes das reuniões de trabalho com a investigadora. Ana tinha à data dezoito anos de serviço como professora no 1.º ciclo do Ensino Básico e lecionava uma turma do 3.º ano de escolaridade (8-9 anos de idade). A professora declarou que o único contacto formal dos alunos com frações foi realizado no ano letivo anterior, quando frequentavam o 2.º ano de escolaridade, tendo aquele consistido na dobragem de uma folha em duas partes iguais, identificando-se posteriormente cada uma das partes com “metade”. Ana acrescentou que os alunos responderam a tarefas do género “pintar metade de algo dividido em dois”. De acordo com Ana, a abordagem às frações foi realizada de forma muito incipiente. No ano em que se desenvolveu este estudo, os alunos não haviam tido qualquer contacto formal com as frações antes das reuniões de trabalho com a investigadora. João tinha à data nove anos de serviço a lecionar no 1.º ciclo do Ensino Básico e lecionava uma turma do 3.º ano de escolaridade. De acordo com João, os seus alunos apenas tinham abordado as frações respondendo a questões do género “Um quarto de hora quantos minutos são?”. Neste tipo de questões está envolvida a fração com interpretação operador. Não foram explorados outros tipos de interpretação de fração Inês tinha treze anos de experiência de ensino, dez deles no 1.º ciclo do Ensino Básico e lecionava uma turma do 2.º ano de escolaridade com 25 alunos (7-8 anos de idade). De acordo com a professora, os alunos não haviam sido até então introduzidos formalmente ao conceito de fração. Organização do Estudo Estes professores foram envolvidos num programa de trabalho colaborativo com uma das autoras deste artigo. Este programa organizou-se em ciclos de atividades, consistindo cada ciclo na seguinte sequência: reuniões de grupo, com todos os professores participantes, para reflexão das aulas observadas e preparação das aulas a observar; observação de aulas de cada ENSINAR FRAÇÕES NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE 253 um dos professores participantes; e entrevista individual para reflexão sobre as aulas observadas — esta entrevista teve lugar imediatamente após cada aula observada (Figura 1). Figura 1. Ciclo padrão de atividades do programa de trabalho colaborativo. Foram realizados cinco ciclos de atividades, tendo o programa sido precedido por uma reunião preliminar. Cada ciclo incluiu a observação de uma ou duas aulas de cada professor, totalizando-se, no final do programa, a observação de seis a sete aulas de cada um, e um igual número de entrevistas semiestruturadas, realizadas no final de cada aula observada. As reuniões de grupo para preparar as aulas observadas incluíram discussão dos diferentes significados de fração referidos nas orientações curriculares, bem como das propostas dos professores e da investigadora para introdução do conceito de fração em sala de aula. A seleção e implementação das tarefas em sala de aula foi sempre da total responsabilidade dos professores. As tarefas apresentadas nas reuniões de trabalho conjunto incidiam sobre diferentes significados de fração (quociente, parte-todo, medida e operador) e debruçavam-se sobre a representação, a equivalência e a ordenação de frações nestes significados. As aulas e sessões de trabalho foram áudio gravadas, tendo sido também realizados, no caso das aulas, registos fotográficos. A investigadora (uma das autoras deste artigo) realizou ainda notas de campo. Durante as aulas, a investigadora desempenhou sempre o papel de observadora não participante, não fazendo, portanto, qualquer intervenção no desenvolvimento das mesmas. Uma nota sobre trabalho colaborativo A importância do trabalho colaborativo entre professores como meio de desenvolvimento profissional é sublinhada por diversos autores (ver Saraiva & Ponte, 2003). Para além deste tipo de trabalho colaborativo, a literatura aponta ainda vantagens do trabalho colaborativo entre professores e investigadores (ver Lieberman, 1992). A colaboração entre professores e investigadores proporciona uma aproximação entre a prática profissional do professor e a Observação de aulas Reunião de grupo para reflexão sobre aulas observadas e preparação de aulas a observar Reflexão individual (após cada aula) CONTRIBUTOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DE NÚMERO RACIONAL 254 investigação educacional, entre as escolas e as universidades. Por um lado, antevê-se que o desenvolvimento das aulas reflita o ponto de vista do investigador e, por outro, o investigador vê facilitado o acesso à prática do professor e à reflexão do professor sobre essa prática (ver Lieberman, 1992; Saraiva & Ponte, 2003). Saraiva e /Ponte (2003) conduziram um estudo “cujo objetivo era identificar fatores que influenciam o desenvolvimento profissional dos professores de Matemática, no quadro da realização de trabalhos colaborativos, em ligação direta com a prática letiva” (p. 1). Neste estudo são distinguidos três fatores com potencial para promover o desenvolvimento profissional: “o enquadramento favorável à experimentação e ao desenvolvimento profissional; o trabalho colaborativo desenvolvido de uma forma reflexiva, de acordo com o ritmo, as necessidades e os interesses, no contexto natural do trabalho da escola; e o desejo de inovar e fazer melhor” (p. 25). Resultados do estudo Durante o programa de trabalho colaborativo, a análise de dados recolhidos teve como base o modelo sobre o conhecimento do professor apresentado por Ball et al. (2008). Assim sendo, a interpretação da informação recolhida passou pela categorização dos diversos aspetos analisados segundo os diferentes parâmetros daquele modelo: aspetos do conhecimento de conteúdo e aspetos do conhecimento pedagógico de conteúdo (ou conhecimento didático) dos professores relativamente ao ensino do conceito de fração. Relativamente às aulas observadas, sobre as quais se debruça exclusivamente este artigo, os resultados obtidos evidenciam dificuldades dos professores na introdução do conceito de fração, das quais se resumem de seguida algumas. Nas transcrições dos diálogos apresentados nesta secção de resultados, a letra “A” representa a intervenção de um aluno, sendo o número que se lhe segue estipulado consoante a ordem pela qual diferentes alunos surgem em cada diálogo; “Prof.” representa a intervenção do professor; e “Vv” representa a intervenção simultânea de vários alunos. As interpretações quociente e parte-todo Aquando da introdução do significado quociente aos alunos, observou-se inicialmente, por parte das professoras Maria e Ana, uma redução desta interpretação a uma interpretação com a qual se sentiam mais familiarizadas — a interpretação parte-todo. Numa primeira fase, os alunos respondiam com sucesso a tarefas sobre a representação de frações na interpretação quociente recorrendo aos significados do numerador e do denominador nessa mesma interpretação. Contudo, muito frequentemente, depois da fração correta ter sido apresentada, as professoras induziam os alunos a levar a cabo a divisão dos itens em partes iguais, questionando, por exemplo, “Como é que podemos dividir as tabletes de chocolate?”. As professoras terminavam a sua exposição apresentando a fração como uma relação entre o número de partes destacadas e o número total de partes em que os itens haviam sido divididos (as Figuras 2 e 3 são exemplos de situações de aula nas quais se observou uma redução da interpretação quociente à interpretação parte-todo). ENSINAR FRAÇÕES NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE 255 Figura 2. Divisão dos itens feita por um aluno Figura 3. Divisão dos itens feita pela professora Estes últimos procedimentos comprometem a possibilidade de os alunos desenvolverem e aplicarem o raciocínio proporcional, que pode ser promovido quando a interpretação quociente de fração é explorada. Estas opções didáticas sugerem então fragilidades do foro do conhecimento de conteúdo e ensino por parte do professor, uma vez que são observadas dificuldades em abordar plenamente e em todas as suas potencialidades a interpretação quociente. A interpretação quociente e a equivalência de frações Ambas as professoras Maria e Ana manifestaram alguma resistência a abordar a equivalência na interpretação quociente. Com efeito, estas professoras tendiam a induzir os alunos a apresentar, exclusivamente, uma fração cujos valores do numerador e do denominador fossem iguais, respetivamente, ao número de itens a partilhar e ao número de recipientes envolvidos na partilha. Apresenta-se de seguida, como exemplo, uma situação da aula da professora Maria, sobre a partilha de 2 pizas por 6 crianças, que ilustra o tipo de dificuldade descrito (Transcrição 1). CONTRIBUTOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DE NÚMERO RACIONAL 262 Figura 10. Realização de um problema sobre a marcação de 0,25, 1 3, 1 2, 0,5, 5 10 e 3 4 na reta numérica Dada uma fração a b (b≠0), o professor deveria ter antes utilizado a fração 1 b (b≠0), repetidamente, para determinar uma distância à origem igual a a× 1 b . A estratégia didática do professor sugere fragilidades do foro do conhecimento de conteúdo e ensino, uma vez que não promove entre os alunos a compreensão do significado dos valores do numerador e do denominador na interpretação medida. A interpretação operador e a utilização de procedimentos algébricos No âmbito da interpretação operador, verificou-se que por vezes os professores recorriam a procedimentos algébricos destituídos de explicações pedagógicas que os sustentassem. Por exemplo, para introduzir os seus alunos ao conceito de fração na interpretação operador, a professora Inês escreveu no quadro “ 1 2 × 6 = 6 ÷ 2 = 3” e declarou “Como é que de 1 2 vezes 6 chegamos a 6 a dividir por 2? Nas frações, quando temos 1 2 vezes 6, fazemos 1 vezes 6, que dá 6 e 6 a dividir por 2. Depois vou à tabuada do 2 ver que número dá seis: 2 vezes 1, 2, 2 vezes 2, 4, 2 vezes 3, 6”. Os alunos pareciam não acompanhar as explicações apresentadas. A professora poderia antes ter começado por apresentar o significado dos valores do numerador e do denominador na interpretação operador, seguindo-se a representação pictórica de frações na mesma interpretação. E depois então, poderia sim ter abordado expressões como “ 1 2 × 6 = 6 ÷ 2 = 3”. Posteriormente, a professora Inês propôs aos alunos o seguinte problema: “O João tinha 8 rebuçados e comeu 1 4 desses rebuçados. Rodeia os rebuçados que o João comeu”. Solicitavase ainda que os alunos completassem: “ 1 4 × 8 = ___ ou 8 ÷ 4 = ____”; Um quarto de oito é ______ ”. A professora sugeriu aos alunos: “primeiro fazem as contas e depois rodeiam só o resultado dessas contas”. A sugestão da professora remete de imediato para a aplicação de procedimentos algébricos. Note-se que alguns dos alunos que realizaram os cálculos corretamente manifestaram dificuldades em rodear os rebuçados, tal como solicitado no enunciado. Este facto indicia a possibilidade de os alunos não dominarem o significado dos valores do numerador e do denominador na interpretação operador. Em suma, no âmbito da interpretação operador, e ainda antes de os alunos compreenderem o significado dos valores do numerador e do denominador nesta interpretação, ENSINAR FRAÇÕES NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE 263 observou-se a aplicação da regra “multiplicar pelo numerador e dividir pelo denominador” para determinar-se o número de itens que corresponde à fração de um conjunto de elementos. Esta forma de proceder sugere fragilidades do foro do conhecimento de conteúdo e ensino, por parte do professor. Notas finais No âmbito da interpretação quociente, os resultados sugerem que facilmente se recorre a uma redução da interpretação quociente à interpretação parte-todo. Esta redução pode explicar-se pela especial familiaridade que, tradicionalmente, o professor possui com a interpretação partetodo, familiaridade essa que condiciona fortemente a qualidade das práticas a desenvolver. Com efeito, nas aulas observadas, os alunos eram frequentemente induzidos a dividir todos os itens a partilhar em partes iguais, mesmo quando tal não era necessário. Desta forma, os alunos procediam à divisão do todo em vez de estabelecerem uma correspondência entre os itens a serem partilhados e os destinatários. O esquema da correspondência emerge facilmente no contexto da interpretação quociente (ver Mamede, Nunes & Bryant, 2005; Nunes et al., 2004), uma vez que, neste contexto, a fração traduz uma relação entre variáveis de natureza diferente. De acordo com Nunes e Bryant (2007), os alunos facilmente estabelecem correspondências com vista a distribuir partes equitativas (raciocínio inerente à interpretação quociente), ao passo que manifestam mais dificuldades em dividir quantidades contínuas (raciocínio inerente à interpretação parte-todo). Quando o raciocínio das crianças é baseado no esquema de correspondência, as mesmas podem entender a equivalência de frações compreendendo que, se se tem o dobro dos itens a dividir e o dobro dos destinatários, então a porção a atribuir a cada um mantém-se. Este raciocínio baseia-se numa relação direta entre as quantidades. No esquema de divisão em partes iguais, o raciocínio envolvido será o seguinte: se um todo é dividido em duas vezes do número de partes, o tamanho de cada parte será reduzido para metade. Este tipo de raciocínio baseia-se na relação inversa entre as quantidades envolvidas no problema. No entanto, os alunos compreendem as relações diretas melhor do que as relações inversas (Mamede, Nunes & Bryant, 2005; Nunes & Bryant, 2007; Streefland, 1991). O desconhecimento de todas estas questões, por parte do professor, ao explorar-se a interpretação quociente de frações em sala de aula, sugere fragilidades nos subdomínios de conhecimento de conteúdo e ensino. Relativamente à abordagem à equivalência de frações na interpretação quociente, a mesma parece também suscitar algum desconforto entre os professores. Ao explorar frações equivalentes na interpretação quociente, um dos professores sugeriu a realização de sequências dos valores do numerador e do denominador para gerar-se aquelas. Tendo em conta que o professor havia já abordado frações no significado quociente, poderia então ter baseado o seu raciocínio na variação proporcional do número de itens, aplicando o raciocínio proporcional que naturalmente emerge numa situação quociente (Nunes et al., 2004; Streefland, 1991). No caso de outros dois professores, observou-se que as respostas dos alunos eram induzidas, impedindo-os de apresentar frações equivalentes num contexto de interpretação quociente. Ao fazer-se isso, o desenvolvimento do conceito de fração dos alunos foi condicionado pelas dificuldades do professor com este conceito matemático. Esta dificuldade foi também CONTRIBUTOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DE NÚMERO RACIONAL 264 identificada por Post et al. (1985) ao analisar-se dificuldades dos professores, de alunos do 4.º ao 6.º ano, com o conceito de fração, e muito particularmente na apresentação de frações equivalentes. A postura dos dois professores aqui em causa face à tentativa de os alunos apresentarem frações equivalentes sugere que os mesmos não foram capazes de antever eventuais respostas dos alunos, ou de interpretar o raciocínio destes. Esta postura sublinha possíveis limitações no subdomínio do conhecimento de conteúdo e alunos. Os resultados obtidos sugerem também fragilidades nos subdomínios do conhecimento de conteúdo e ensino e do conhecimento de conteúdo e alunos, aquando da abordagem à interpretação parte-todo: o papel da unidade de referência, aspeto essencial na compreensão das interpretações de fração, tende a ser muito pouco discutido em sala de aula. Por exemplo, para abordar-se a representação pictórica de frações, verificou-se constantemente que a unidade de referência não era mais do que subentendida como o total da figura geométrica apresentada (um retângulo, um círculo, um quadrado), quando deveria haver uma clara e devida explicitação da referida unidade. Na verdade, a compreensão da unidade de referência levanta frequentemente dúvidas entre os alunos, tal como constatado por diversos autores (ver Hart, 1981; Post et al., 1991; Tirosh et al., 1998). Os resultados obtidos permitem ainda identificar fragilidades na abordagem ao significado medida, ao observar-se que um dos professores tende a considerar que, para marcarse frações na reta numérica, é necessário escrever-se a representação fracionária na forma de dízima. Isto sugere dificuldades no subdomínio do conhecimento e ensino. Com efeito, desta forma, acabam por não ser abordados os significados dos valores do numerador e do denominador na interpretação medida, como seria expectável no sentido de uma compreensão devida do conceito de fração. No que respeita à interpretação operador, os resultados sugerem uma tendência para a realização de procedimentos algébricos, onde é enfatizada a regra “multiplicar pelo numerador e dividir pelo denominador” para calcular-se 𝑎 ×  , sendo a, b e c números inteiros (𝑐 ≠ 0). No entanto, estes procedimentos não eram acompanhados por explicações que os justificassem, carecendo de uma abordagem aos significados do numerador e do denominador que justificasse a aplicação desses procedimentos. Isto sugere lacunas do professor no domínio do conhecimento de conteúdo e ensino. Resultados obtidos por Pinto e Ribeiro (2013) revelam que, no contexto da interpretação operador, alunos da formação inicial de professores aplicam procedimentos algébricos sem conseguirem relacioná-los com representações pictóricas realizadas pelos próprios. Em suma, os resultados obtidos indiciam dificuldades dos professores no desenvolvimento das suas práticas de ensino sobre frações, dificuldades estas do domínio do conhecimento pedagógico de conteúdo (ou conhecimento didático), e mais especificamente dos subdomínios de conhecimento de conteúdo e ensino e conhecimento de conteúdo e alunos. Designadamente, sugerem fragilidades no domínio das diferentes interpretações de fração e no conhecimento de estratégias didáticas que tornem essas mesmas interpretações compreensíveis para os alunos. Apesar de não serem passíveis de generalização, os resultados obtidos apontam para algumas fragilidades que facilmente podem ser transversais a outros professores do 1.º ciclo do Ensino Básico. Este facto sugere que modificações no currículo nem sempre são acompanhadas pelas correspondentes alterações nas práticas de ensino dos professores. ENSINAR FRAÇÕES NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE 265 Relativamente ao trabalho colaborativo desenvolvido no âmbito deste estudo, os professores expressaram uma notória necessidade de um período maior de trabalho, de modo a que se sentissem mais confortáveis com o ensino de frações. Assim, parece premente facultar-se regularmente aos professores formação contínua, no domínio das frações, seja com base num programa de trabalho colaborativo, tal como aquele desenvolvido no âmbito do estudo aqui apresentado, seja com base noutros modelos de formação, preferencialmente sempre envolvendo a observação de aulas. Mais ainda, deverá refletir-se sobre o tipo de formação facultado aos alunos da formação inicial de professores. Talvez os futuros professores devessem ser sensibilizados para estes temas através da discussão e reflexão de resultados de investigação recentes. Por outro lado, é necessária mais investigação relacionada com estes temas, envolvendo mais professores, seja na realidade Portuguesa, seja em outros países, com vista a promover-se maior consistência no ensino dos números racionais, particularmente no ensino de frações e, consequentemente, na aprendizagem de frações. Referências Bibliográficas Ball, D., Hill, H., & Bass, H. (2005). Knowing Mathematics for Teaching. Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 29(3), 14-46. Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. C. (2008). Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? Journal of Teacher Education 59(5), 389-407. Behr, M., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational Number, Ratio, and Proportion. In Douglas A. 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