Pracovní listy pro předmět Matematika I

PRACOVNÍ LISTY PRO PŘEDMĚT MATEMATIKA I Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Dagmar Dlouhá, Marcela Jarošová, Jakub Stryja, Jana Volná, Petr Volný Úvod Tento studijní materiál je pˇredevším urˇcen pro studenty Vysoké školy báˇnské - Technické univerzity Ostrava prezenˇcní i kombinované formy studia. Studijní text postupnˇe pˇredstavuje jednotlivé oblasti pˇredmˇetu Matematika I, který je realizován na vybraných fakultách univerzity. Každá dílˇcí oblast obsahuje teoretickou ˇcást, na ni poté navazují ˇrešené úlohy urˇcené primárnˇe pro výklad v rámci pˇrednášky a pro samostudium, a celá sekce je ukonˇcena sadou neˇrešených úloh urˇcených pro cviˇcení. Studijní materiál vychází ze skripta DLOUHÁ, D., HAMˇ RÍKOVÁ, R., MORÁVKOVÁ, Z. A M. TUŽILOVÁ.: Matematika I: Pracovní listy. Ostrava: VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2014. ISBN 978-80-248-3323-1. V ˇcásti „Obsah“ zelenˇe zbarvené odkazy vedou na listy obsahující teorii, fialovˇe zbarvené odkazy vedou na ˇrešené úlohy a modˇre zbarvené odkazy vedou na pˇríklady na cviˇcení. Obsah Funkce jedné promˇenné 6 Množiny a zobrazení ........................... 7 Reálné funkce jedné reálné promˇenné ................. 8 Operace s funkcemi ............................ 9 Ohraniˇcenost funkce ........................... 10 Monotónnost funkce ........................... 11 Parita funkce - sudost a lichost funkce ................. 12 Periodická funkce ............................. 13 Prostá funkce ............................... 14 Složená funkce ............................... 15 Inverzní funkce .............................. 16 Pˇrehled elementárních funkcí ...................... 17 Konstantní funkce ............................. 18 Lineární funkce .............................. 19 Kvadratické funkce ............................ 20 Mocninné funkce s pˇrirozeným mocnitelem .............. 21 Mocninné funkce s celým záporným mocnitelem ........... 22 Lineární lomené funkce .......................... 23 Iracionální funkce ............................. 24 Exponenciální funkce ........................... 25 Logaritmické funkce ........................... 26 Goniometrické funkce: sinus ....................... 27 Goniometrické funkce: kosinus ..................... 28 Goniometrické funkce: tangens ..................... 29 Goniometrické funkce: kotangens .................... 30 Cyklometrické funkce: arkussinus ................... 31 Cyklometrické funkce: arkuskosinus .................. 32 Cyklometrické funkce: arkustangens .................. 33 Cyklometrické funkce: arkuskotangens ................ 34 Definiˇcní obory zlomk˚u ......................... 35 Definiˇcní obory sudých odmocnin ................... 36 Definiˇcní obory logaritm˚u ........................ 37 Definiˇcní obory funkcí tangens a kotangens .............. 38 Definiˇcní obory funkcí arkussinus a arkuskosinus .......... 39 Definiˇcní obory .............................. 41 Grafy lineárních funkcí .......................... 46 Grafy kvadratických funkcí ....................... 49 Grafy lineárních lomených funkcí .................... 51 Grafy exponenciálních funkcí ...................... 53 Grafy logaritmických funkcí ....................... 55 Grafy goniometrických funkcí sinus .................. 57 Grafy goniometrických funkcí kosinus ................. 59 Grafy goniometrických funkcí tangens a kotangens ......... 61 Grafy cyklometrických funkcí arkussinus a arkuskosinus ...... 63 Grafy cyklometrických funkcí arkustangens a arkuskotangens . . . 65 Parita funkce - sudost, lichost ...................... 67 Parita funkce - sudost, lichost ...................... 69 Složená funkce ............................... 70 Složená funkce ............................... 71 Inverzní funkce .............................. 72 Inverzní funkce .............................. 75 Limita funkce, motivace ......................... 78 Rozšíˇrená množina reálných ˇcísel .................... 79 Okolí bodu, jednostranné okolí bodu .................. 80 Limita funkce, jednostranná limita funkce ............... 81 Existence limity, operace s limitami ................... 82 Vybrané limity ............................... 83 Spojitost funkce .............................. 84 Vˇety o spojitých funkcích ......................... 85 Limity v bodech spojitosti ........................ 86 Limity v bodech spojitosti ........................ 87 Limity typu nula lomeno nulou - polynom, odmocnina ....... 88 Limity racionálních funkcí ........................ 89 Limity typu nula lomeno nulou - sinus, tangens ........... 90 Limity goniometrických funkcí - sinus, tangens ............ 92 Limity typu nula lomeno nulou - sinus, odmocnina ......... 93 Limity typu nula lomeno nulou - polynom, sinus, odmocnina . . . 94 Limity typu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem ............. 95 Limity typu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem ............. 96 Limity typu jedna na nekoneˇcno .................... 97 Limity typu jedna na nekoneˇcno .................... 98 Limity typu konstanta lomeno nulou .................. 99 Limity typu konstanta lomeno nulou .................. 100 Diferenciální poˇcet funkcí jedné promˇenné 101 Derivace funkce .............................. 102 Vlastnosti derivace ............................ 103 Derivace elementárních funkcí ..................... 104 Derivace souˇctu a rozdílu funkcí .................... 105 Derivace souˇcinu funkcí ......................... 106 Derivace podílu funkcí .......................... 107 Derivace elementárních funkcí ..................... 108 Derivace složené funkce ......................... 110 Derivace složené funkce ......................... 111 Derivace složené funkce ......................... 113 Logaritmická derivace .......................... 115 Logaritmická derivace .......................... 116 Logaritmická derivace .......................... 117 Derivace vyšších ˇrád˚u .......................... 118 Derivace vyšších ˇrád˚u .......................... 118 Derivace vyšších ˇrád˚u .......................... 120 l’Hospitalovo pravidlo .......................... 121 l’Hospitalovo pravidlo .......................... 121 l’Hospitalovo pravidlo - limity typu nula lomeno nulou ....... 123 l’Hospitalovo pravidlo - limity typu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem124 l’Hospitalovo pravidlo - limity typu nula krát nekoneˇcno ...... 125 l’Hospitalovo pravidlo - limity typu nekoneˇcno mínus nekoneˇcno . 126 l’Hospitalovo pravidlo - další typy neurˇcitosti limit ......... 127 Derivace parametrické funkce ...................... 129 Derivace parametrické funkce ...................... 130 Derivace parametrické funkce ...................... 131 Diferenciál funkce ............................. 133 Diferenciál funkce ............................. 134 Diferenciál funkce - pˇribližný výpoˇcet funkˇcní hodnoty ....... 135 Diferenciál funkce ............................. 136 Teˇcna a normála .............................. 140 Teˇcna a normála .............................. 141 Teˇcna a normála .............................. 143 Taylor˚uv polynom ............................. 146 Taylor˚uv polynom ............................. 147 Taylor˚uv polynom ............................. 149 Vˇety o derivaci ............................... 150 Monotónnost, lokální extrémy ...................... 151 Monotónnost, lokální extrémy ...................... 153 Globální extrémy ............................. 155 Monotónnost, lokální extrémy ...................... 156 Konvexnost, konkávnost, inflexní body ................ 158 Konvexnost, konkávnost, inflexní body ................ 159 Konvexnost, konkávnost, inflexní body ................ 162 Asymptoty ................................. 163 Asymptoty ................................. 164 Asymptoty ................................. 166 Sestavení grafu funkce .......................... 168 Sestavení grafu funkce .......................... 169 Sestavení grafu funkce .......................... 176 Lineární algebra 179 Matice .................................... 180 Základní typy matic ............................ 181 Algebraické operace s maticemi ..................... 182 Algebraické operace s maticemi ..................... 183 Algebraické operace s maticemi ..................... 184 Transponovaná matice .......................... 185 Násobení matice .............................. 186 Násobení matic .............................. 187 Násobení matice .............................. 189 ˇ Rádkovˇe ekvivalentní úpravy ...................... 192 Hodnost matice .............................. 193 Hodnost matice .............................. 194 Hodnost matice .............................. 198 Determinanty ............................... 202 Vlastnosti determinant˚u ......................... 203 Výpoˇcet determinant˚u matic 1. až 3. ˇrádu ............... 204 Výpoˇcet determinant˚u matic 2. a 3. ˇrádu ................ 205 Výpoˇcet determinant˚u matic 2. a 3. ˇrádu ................ 207 Výpoˇcet determinant˚u matic 4. a vyšších ˇrád˚u ............ 210 Výpoˇcet determinant˚u pomocí Laplaceova rozvoje .......... 211 Výpoˇcet determinant˚u pomocí Laplaceova rozvoje .......... 212 Výpoˇcet determinant˚u pˇrevodem na schodovitý tvar ........ 215 Výpoˇcet determinant˚u matic 4. ˇrádu .................. 216 Inverzní matice .............................. 219 Výpoˇcet inverzní matice eliminaˇcní metodou ............. 220 Výpoˇcet inverzní matice pomocí adjungované matice ........ 221 Inverzní matice .............................. 224 Soustavy lineárních rovnic ........................ 228 Gaussova eliminaˇcní metoda ...................... 230 Soustavy lineárních rovnic ........................ 231 Soustavy lineárních rovnic ........................ 237 Cramerovo pravidlo ........................... 244 Cramerovo pravidlo ........................... 245 Cramerovo pravidlo ........................... 246 Maticové rovnice ............................. 247 Maticové rovnice ............................. 248 Maticové rovnice ............................. 249 Maticové rovnice ............................. 250 ˇ Rešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice . . . . . 251 ˇ Rešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice . . . . . 252 ˇ Rešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice . . . . . 254 Analytická geometrie 256 Vektory ................................... 257 Eukleidovský prostor ........................... 260 Skalární souˇcin vektor˚u .......................... 262 Skalární souˇcin vektor˚u .......................... 263 Skalární souˇcin vektor˚u .......................... 264 Vektorový souˇcin vektor˚u ........................ 265 Vektorový souˇcin vektor˚u ........................ 267 Vektorový souˇcin vektor˚u ........................ 268 Smíšený souˇcin vektor˚u ......................... 269 Smíšený souˇcin vektor˚u ......................... 270 Smíšený souˇcin vektor˚u ......................... 271 Pˇrímka v R3................................ 272 Pˇrímka v R3................................ 273 Pˇrímka v R3................................ 274 Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3.................. 275 Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3.................. 276 Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3.................. 279 Rovina v R3................................ 281 Rovina v R3urˇcená tˇremi body ..................... 282 Rovina urˇcená bodem a normálovým vektorem v R3......... 283 Rovina v R3urˇcená tˇremi body ..................... 284 Rovina v R3zadaná obecnou rovnicí .................. 285 Rovina v R3................................ 286 Rovina v R3................................ 288 Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3................ 290 Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3................ 291 Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3................ 293 Vzájemná poloha dvou rovin v R3................... 295 Vzájemná poloha dvou rovin v R3................... 296 Vzájemná poloha dvou rovin v R3................... 298 Metrické úlohy ............................... 299 Vzdálenost bodu od pˇrímky v R3.................... 300 Vzdálenost lineárních útvar˚u v R3................... 301 Vzdálenost lineárních útvar˚u v R3................... 302 Metrické úlohy ............................... 304 Kolmost dvou pˇrímek v R3....................... 305 Odchylka dvou rovin v R3........................ 306 Odchylka lineárních útvar˚u v R3.................... 307 Pˇríˇcka a osa mimobˇežek ......................... 309 Osa mimobˇežek .............................. 310 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I Funkce jedné promˇenné Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 7 – Množiny a zobrazení ˇ Ry Definice Množinou rozumíme soubor prvk˚u se spoleˇcnou, tzv. urˇcující vlastností. Pomocí urˇcující vlastnosti umíme rozhodnout, zdali daný prvek do dané možiny patˇrí anebo nepatˇrí. Množinu lze zadat bud’ výˇctem prvk˚u (explicitnˇe ˇrekneme, které prvky do dané množiny patˇrí), nebo stanovením urˇcující vlastnosti. Bývá zvykem množiny znaˇcit velkými písmeny. Napˇr. A={x∈R|x≥0}je množina nezáporných reálných ˇcísel, je zjevné, že 3 ∈Aa−36∈ A. Poznámka Oznaˇcujeme pˇrirozená ˇcísla symbolem N, celá ˇcísla Z, racionální ˇcísla Q, iracionální ˇcísla I, reálná ˇcísla R. Definice Kartézským souˇcinem množin AaBrozumíme množinu A×B={[x,y]|x∈A,y∈B}, prvky [x,y]se nazývají uspoˇrádané dvojice. Definice Relací (vztahem) ρmezi množinami AaBrozumíme libovolnou podmnožinu kartézského souˇcinu A×B,ρ⊂A×B. Definice Zobrazení (speciální vztah) mezi množinami AaBje taková relace ρ mezi AaB, ve které ke každému prvku x∈Aexistuje práve jedno y∈Btakové, že [x,y]∈ρ. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 8 – Reálné funkce jedné reálné promˇenné ˇ Ry Definice Funkcí fna množinˇe D⊆Rrozumíme každé zobrazení f:R⊇D→R,x7→ y=f(x), každému reálnému ˇcíslu x∈Dse pˇriˇradí právˇe jedno reálné ˇcíslo y∈R. Poznámka Promˇenná xje nezávislá promˇenná,yje závislá promˇenná a pˇredpis y=f(x)vyjadˇrující závislost yna xse nazývá funkˇcní pˇredpis. Hodnotu funkce fv bodˇe x0oznaˇcíme f(x0) = y0a budeme ji nazývat funkˇcní hodnotou funkce fv bodˇe x0. Definice Množina Dse nazývá definiˇcní obor funkce fa znaˇcí se Dfnebo D(f). Množina všech funkˇcních hodnot f(x)se nazývá obor hodnot funkce f, znaˇcí se Hfnebo H(f), Hf={f(x)|x∈Df}. Grafem funkce fje množina Gf, Gf={[x,f(x)]|x∈Df}. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 9 – Operace s funkcemi ˇ Ry Definice Jsou dány funkce fags definiˇcními obory Df,Dg, •rovnost funkcí:f=g Df=Dgaf(x) = g(x)pro každé x∈Df, •souˇcet funkcí:f+g (f+g)(x) = f(x) + g(x)pro každé x∈Df∩Dg, •rozdíl funkcí:f−g (f−g)(x) = f(x)−g(x)pro každé x∈Df∩Dg, •souˇcin funkcí:f·g (f·g)(x) = f(x)·g(x)pro každé x∈Df∩Dg, •podíl funkcí:f g f g(x) = f(x) g(x)pro každé x∈Df∩Dg,g(x)6=0. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 16 – Inverzní funkce ˇ Ry Definice Bud’ fprostá funkce na Df. Funkci f−1definovanou na Hfpˇredpisem f−1(f(x)) = x∀x∈Df nazveme inverzní funkcí k funkci f. Poznámka • Pokud existuje inverzní funkce, pak je urˇcena jednoznaˇcnˇe. • Pokud funkce fnení prostá na svém definiˇcním oboru, ale je prostá na nˇejaké podmnožinˇe svého definiˇcního oboru, lze ji na tuto množinu omezit a pak na této množinˇe existuje inverzní funkce. • Pro definiˇcní obor a obor hodnot platí: Df−1=Hf,Hf−1=Df. • Platí: f−1(f(x))=x∀x∈Df,ff−1(x)=x∀x∈Hf. • Grafy funkce fa funkce inverzní f−1jsou symetrické podle osy prvního a tˇretího kvadrantu, tj. podle pˇrímky y=x. • Inverzní funkce f−1zachovává monotónnost funkce f. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 17 – Pˇrehled elementárních funkcí ˇ Ry Základní elementární funkce jsou: y=c,y=x,y=sin x,y=ex;c∈R. Definice Elementární funkcí nazveme každou funkci, která vznikne ze základních elementárních funkcí pomocí operací s funkcemi (souˇcet, rozdíl, souˇcin, podíl, skládání a invertování). Mezi elementární funkce patˇrí: • polynomy a obecnˇe mocninné funkce, • exponenciální a logaritmické funkce, • goniometrické a cyklometrické funkce, • hyperbolické a hyperbolometrické funkce, tˇemito funkcemi se zabývat nebudeme. Polynomy y=anxn+an−1xn−1+···+a1x+a0,an,an−1, . . . , a1,a0∈R,n∈N ˇ Císlo nse nazývá stupeˇn polynomu. Podrobnˇe se budeme zabývat polynomy vybraných typ˚u: • konstantní funkce y=a0,n=0 • lineární funkce y=a1x+a0,n=1, a16=0 • kvadratické funkce y=a2x2+a1x+a0,n=2, a26=0 • mocninné funkce y=xn,a0=a1=··· =an−1=0, an=1 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 18 – Konstantní funkce ˇ Ry Vlastnosti Konstantní funkce y=a,a∈RVlastnosti Konstantní funkce y=a,a∈R definiˇcní obor Df=Rparita sudá funkce pro a6=0, sudá a souˇcasnˇe lichá pro a=0 obor hodnot Hf={a}periodicita ANO, neexistuje základní perioda ohraniˇcenost ohraniˇcená shora i zdola a≤f(x)≤aprostost NE monotónnost souˇcasnˇe neklesající a nerostoucí na svém definiˇcním oboru pr˚useˇcík s osou xpro a6=0 neexistuje, grafem je pˇrímka rovnobˇežná s osou x, pro a=0 jsou pr˚useˇcíky všechny body pˇrímky zakˇrivení souˇcasnˇe konvexní a konkávní v každém bodˇe pr˚useˇcík s osou y[0, a] lokální extrémy každý bod z definiˇcního oboru je souˇcasnˇe maximem i minimem inverze neexistuje 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2y=2 y=0 y=−1 Konstantní funkce Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 19 – Lineární funkce ˇ Ry Vlastnosti Lineární funkce y=ax +b,a∈R\{0}Vlastnosti Lineární funkce y=ax +b,a∈R\{0} definiˇcní obor Df=Rparita lichá funkce pro b=0 obor hodnot Hf=Rperiodicita NE ohraniˇcenost neohraniˇcená prostost ANO monotónnost pro a>0 rostoucí, pro a<0 klesající pr˚useˇcík s osou x[−b/a,0] zakˇrivení souˇcasnˇe konvexní a konkávní v každém bodˇe pr˚useˇcík s osou y[0, b] lokální extrémy NE inverze y=1 ax−b a 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=2x+3 [0,3] [−3/2,0] Rostoucí lineární funkce 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=−1 2x+1 [0,1] [2,0] Klesající lineární funkce 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=3x−1 y=1 3x+1 3 Vzájemnˇe inverzní funkce Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 20 – Kvadratické funkce ˇ Ry Vlastnosti Kvadratické funkce y=ax2+bx +c,a∈R\{0}Vlastnosti Kvadratické funkce y=ax2+bx +c,a∈R\{0} definiˇcní obor Df=Rparita sudá funkce pro b=0 obor hodnot a>0: Hf=Dc−b2 4a,∞,a<0: Hf=−∞,c−b2 4aEperiodicita NE ohraniˇcenost a>0: ohraniˇcená zdola, a<0 : ohraniˇcená shora prostost NE monotónnost a>0: klesající na −∞,−b 2a, rostoucí na −b 2a,∞, a<0: rostoucí na −∞,−b 2a, klesající na −b 2a,∞ pr˚useˇcík s osou xˇrešení rovnice ax2+bx +c=0, D=b2−4ac,D<0: @, D=0: h−b 2a,0i,D>0: h−b+√D 2a,0i,h−b−√D 2a,0i zakˇrivení a>0: konvexní, a<0: konkávní pr˚useˇcík s osou y[0, c] lokální extrémy vrchol h−b 2a,c−b2 4aije pro a>0 MIN, pro a<0 MAX inverze invertovat lze pouze prostou ˇcást kvadratické funkce 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x2 Kvadratická funkce a>0 Grafem je parabola 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=−x2+2x+2 =−(x−1)2+3 [1+√3,0][1−√3, 0] Kvadratická funkce a<0 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x2 y=√x y=x2 y=−√x Vzájemnˇe inverzní funkce Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 21 – Mocninné funkce s pˇrirozeným mocnitelem ˇ Ry Vlastnosti Mocninné funkce y=xn,n∈NVlastnosti Mocninné funkce y=xn,n∈N definiˇcní obor Df=Rparita sudá funkce pro nsudé, lichá funkce pro nliché obor hodnot Hf=h0, ∞)pro nsudé, Hf=Rpro nliché periodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená zdola pro nsudé, neohraniˇcená pro nliché prostost NE pro nsudé, ANO pro nliché monotónnost (−∞,0)klesající, (0, ∞)rostoucí pro nsudé, Rrostoucí pro nliché pr˚useˇcík s osou x[0,0] zakˇrivení konvexní pro nsudé, (−∞,0)konkávní, (0, ∞)konvexní pro nliché pr˚useˇcík s osou y[0,0] lokální extrémy vrchol [0,0]MIN pro nsudé, pro nliché extrém @inverze pro nsudé na (−∞,0ije y=−n √x, na h0, ∞)je y=n √x, pro nliché na Rje y=n √x 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x2 y=x4 y=x6 Mocninná funkce pro n=2,4,6 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x3 y=x5 y=x7 Mocninná funkce pro n=3,5,7 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x3 y=3 √x Vzájemnˇe inverzní funkce y=x3ay=3 √x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 22 – Mocninné funkce s celým záporným mocnitelem ˇ Ry Vlastnosti Mocninné funkce y=1 xn=x−n,n∈NVlastnosti Mocninné funkce y=1 xn=x−n,n∈N definiˇcní obor Df=R\{0}parita sudá funkce pro nsudé, lichá funkce pro nliché obor hodnot Hf= (0, ∞)pro nsudé, Hf=R\{0}pro nliché periodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená zdola pro nsudé, neohraniˇcená pro nliché prostost NE pro nsudé, ANO pro nliché monotónnost (−∞,0)rostoucí, (0, ∞)klesající pro nsudé, (−∞,0)∪(0, ∞)klesající pro nliché pr˚useˇcík s osou xNE zakˇrivení konvexní pro nsudé, (−∞,0)konkávní, (0, ∞)konvexní pro nliché pr˚useˇcík s osou yNE lokální extrémy NE inverze pro nsudé na (−∞,0)je y=−1 n √x, na (0, ∞)je y=1 n √x, pro nliché na R\{0}je y=1 n √x 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x−2 y=x−4 y=x−6 Mocninná funkce pro n=−2, −4, −6 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x−3 y=x−5 y=x−7 Mocninná funkce pro n=−3, −5, −7 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=x−3 y=x−1 3 Vzájemnˇe inverzní funkce y=x−3ay=x−1 3 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 23 – Lineární lomené funkce ˇ Ry Vlastnosti Lineární lomené funkce y=k x,k∈R\{0}Vlastnosti Lineární lomené funkce y=k x,k∈R\{0} definiˇcní obor Df=R\{0}parita lichá funkce obor hodnot Hf=R\{0}periodicita NE ohraniˇcenost neohraniˇcená prostost ANO monotónnost (−∞,0)klesající, (0, ∞)klesající pro k>0, (−∞,0)rostoucí, (0, ∞)rostoucí pro k<0 pr˚useˇcík s osou xNE zakˇrivení (−∞,0)konkávní, (0, ∞)konvexní pro k>0, (−∞,0)konvexní, (0, ∞)konkávní pro k<0 pr˚useˇcík s osou yNE lokální extrémy NE inverze každá lineární lomená funkce je sama sobˇe inverzí 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 Grafem je hyperbola, osy jsou asymptoty y=1 x y=2 x y=3 x Lineární lomená funkce pro k=1,2,3 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=−1 x y=−2 x y=−3 x Lineární lomená funkce pro k=−1, −2, −3 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=1 x y=1 x Vzájemnˇe inverzní funkce y=1 xay=1 x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 24 – Iracionální funkce ˇ Ry Vlastnosti Iracionální funkce y=n √x=x1 n,n∈NVlastnosti Iracionální funkce y=n √x=x1 n,n∈N definiˇcní obor Df=h0, ∞)pro nsudé, Df=Rpro nliché parita lichá funkce pro nliché obor hodnot Hf=h0, ∞)pro nsudé, Hf=Rpro nliché periodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená zdola pro nsudé prostost ANO monotónnost rostoucí pr˚useˇcík s osou x[0,0] zakˇrivení (0, ∞)konkávní pro nsudé, (−∞,0)konvexní, (0, ∞)konkávní pro nliché pr˚useˇcík s osou y[0,0] lokální extrémy [0,0]MIN pro nsudé inverze y=xn 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=√x y=4 √x y=6 √x Iracionální funkce pro n=2,4,6 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=3 √x y=5 √x y=7 √x Iracionální funkce pro n=3,5,7 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=√x y=x2 Vzájemnˇe inverzní funkce y=√xay=x2 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 25 – Exponenciální funkce ˇ Ry Vlastnosti Exponenciální funkce y=ax,a∈(0, 1)∪(1, ∞)Vlastnosti Exponenciální funkce y=ax,a∈(0,1)∪(1, ∞) definiˇcní obor Df=Rparita ani sudá ani lichá obor hodnot Hf= (0, ∞)periodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená zdola prostost ANO monotónnost rostoucí pro a>1, klesající pro a∈(0,1)pr˚useˇcík s osou xNE zakˇrivení konvexní pr˚useˇcík s osou y[0,1] lokální extrémy NE inverze y=logax 0 −4−3−2−1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 5 y=2x y=3x y=4x Exponenciální funkce pro a=2, 3,4 0 −4−3−2−1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 5 y=1 2x =2−x y=1 3x =3−x y=1 4x =4−x Exponenciální funkce pro a=1 2,1 3,1 4 0 −4−3−2−1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 y=ex y=ln x Vzájemnˇe inverzní funkce y=exay=ln x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 32 – Cyklometrické funkce: arkuskosinus ˇ Ry Vlastnosti Cyklometrické funkce: arkuskosinus y=arccos xVlastnosti Cyklometrické funkce: arkuskosinus y=arccos x definiˇcní obor Df=h−1,1iparita ani sudá ani lichá obor hodnot Hf=h0, πiperiodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená shora i zdola prostost ANO monotónnost klesající pr˚useˇcík s osou x[1,0] zakˇrivení (−1,0)konvexní, (0,1)konkávní pr˚useˇcík s osou y[0, π/2] lokální extrémy [−1, π]MAX, [1,0]MIN inverze y=cos x 0 −3−2−1 1 2 −π/2 π/2 π −π y=arccos x Cyklometrická funkce: arkuskosinus 0 −3−2−1 1 2 −π/2 π/2 π −π y=arccos x y=cos x Vzájemnˇe inverzní funkce y=arccos xay=cos x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 33 – Cyklometrické funkce: arkustangens ˇ Ry Vlastnosti Cyklometrické funkce: arkustangens y=arctan xVlastnosti Cyklometrické funkce: arkustangens y=arctan x definiˇcní obor Df=Rparita lichá funkce obor hodnot Hf= (−π/2, π/2)periodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená shora i zdola prostost ANO monotónnost rostoucí pr˚useˇcík s osou x[0,0] zakˇrivení (−∞,0)konvexní, (0, ∞)konkávní pr˚useˇcík s osou y[0,0] lokální extrémy NE inverze y=tan x 0 −6−5−4−3−2−1 1 2 3 45 −π/2 π/2 π −π y=arctan x Cyklometrická funkce: arkustangens 0 −6−5−4−3−2−1 1 2 3 45 −π/2 π/2 π −π y=arctan x y=tan x Vzájemnˇe inverzní funkce y=arctan xay=tan x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 34 – Cyklometrické funkce: arkuskotangens ˇ Ry Vlastnosti Cyklometrické funkce: arkuskotangens y=arccot xVlastnosti Cyklometrické funkce: arkuskotangens y=arccot x definiˇcní obor Df=Rparita ani sudá ani lichá obor hodnot Hf= (0, π)periodicita NE ohraniˇcenost ohraniˇcená shora i zdola prostost ANO monotónnost klesající pr˚useˇcík s osou xNE zakˇrivení (−∞,0)konkávní, (0, ∞)konvexní pr˚useˇcík s osou y[0, π/2] lokální extrémy NE inverze y=cot x 0 −6−5−4−3−2−1 1 2 3 45 −π/2 π/2 π −π y=arccot x Cyklometrická funkce: arkuskotangens 0 −6−5−4−3−2−1 1 2 3 45 −π/2 π/2 π −π y=arccot x y=cot x Vzájemnˇe inverzní funkce y=arccot xay=cot x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 35 – Definiˇcní obory zlomk˚u ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = 5x 2x+4−1 3−x2. Ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Vyˇrešíme dvˇe nerovnosti. 2x+46=0 3 −x26=0 2x6=−4 3 6=x2 x6=−2x6=±√3 Definiˇcní obor je tvoˇren množinou všech reálných ˇcísel, ze kterých musíme vylouˇcit tˇri reálná ˇcísla −2, √3 a −√3. Pro tato ˇcísla je jmenovatel roven nule a zlomek není definovaný. Definiˇcní obor Dffunkce fje množina Df=R\{−2, ±√3}. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = 6 1−2x. Budeme ˇrešit exponenciální nerovnost. 1−2x6=0 16=2x 206=2x x6=0 Definiˇcní obor Dffunkce fje množina Df=R\{0}. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = 8 1−2sin x. Budeme ˇrešit goniometrickou nerovnost. 1−2sin x6=0 16=2sin x sin x6=1 2 Funkce sinus nabývá hodnoty 1 2v prvním a druhém kvadrantu. Nerovnost má nekoneˇcnˇe mnoho ˇrešení popsaných dvˇema vztahy x6=π 6+2kπ, x6=5π 6+2kπ,k∈Z. Definiˇcní obor funkce je Df=R\π 6+2kπ,5π 6+2kπ;k∈Z. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 36 – Definiˇcní obory sudých odmocnin ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = √ln x. Argument odmocniny musí být vˇetší nebo roven nule a argument logaritmu musí být kladný. Dostáváme dvˇe nerovnice. ln x≥0x>0 ln x≥ln1 x∈(0, ∞) x≥1 x∈ h1, ∞) Obˇe omezující podmínky musí platit souˇcasnˇe. Definiˇcní obor funkce je Df=h1, ∞)∩(0, ∞) = h1, ∞). Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = 4 r2−x x2+x. V tomto pˇrípadˇe máme kombinaci sudé odmocniny a zlomku, musíme stanovit omezující podmínky jak pro odmocninu, tak pro zlomek. Pro zlomek dostáváme: x2+x6=0⇒x(x+1)6=0⇒x6=0∧x6=−1. Nulové body −1 a 0 do definiˇcního oboru nepatˇrí, protože po jejich dosazení dostáváme nulu ve jmenovateli. Pro odmocninu dostáváme: 2−x x2+x≥0⇒2−x x(x+1)≥0. Nerovnici ˇrešíme metodou nulových bod˚u. Nulové body jsou −1,0,2. −10 2 2−x x x+1 +++− − − + + −+ + + +−+− Výraz pod odmocninou má být vˇetší nebo roven nule. Do definiˇcního oboru budou patˇrit intervaly, u kterých jsme dostali výsledné znaménko plus. Nerovnost je neostrá a tedy nulový bod 2 do definiˇcního oboru patˇrí. Definiˇcní obor je Df= (−∞,−1)∪(0,2i. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 37 – Definiˇcní obory logaritm˚u ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = ln(5x+7). Pˇrirozený logaritmus ln(x)je definovaný pouze pro x>0. Budeme tedy ˇrešit nerovnici. 5x+7>0 5x>−7 x>−7 5 Definiˇcní obor funkce je Df=−7 5,∞. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = log x2−4x+4. Argument logaritmu musí být kladný. ˇ Rešíme nerovnici. x2−4x+4>0 (x−2)2>0 Výraz (x−2)2je kladný pro všechna reálná ˇcísla kromˇe ˇcísla 2, a proto ˇcíslo 2 musíme z definiˇcního oboru vylouˇcit. Definiˇcní obor je Df=R\{2}. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = ln 6−x−x2. ˇ Rešíme nerovnici. 6−x−x2>0 x2+x−6<0 (x−2)(x+3)<0 Kvadratickou nerovnici ˇrešíme metodou nulových bod˚u. −3 2 x−2 x+3 − − + −+ + +−+ Definiˇcní obor je Df=(−3,2). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 38 – Definiˇcní obory funkcí tangens a kotangens ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = tan 4x+π 6. Pro funkci tangens platí, že argument musí být r˚uzný od π 2+kπ,k∈Z. Budeme ˇrešit nerovnost. 4x+π 66=π 2+kπ 4x6=π 2+kπ−π 6 4x6=π 3+kπ x6=π 12 +kπ 4 Definiˇcní obor funkce je Df=R\nπ 12 +kπ 4;k∈Zo. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = cot −2x+π 3. Pro funkci kotangens platí, že argument musí být r˚uzný od kπ,k∈Z. Budeme ˇrešit nerovnost. −2x+π 36=kπ −2x6=kπ−π 3 x6=π 6−kπ 2 Definiˇcní obor funkce je Df=R\nπ 6−kπ 2;k∈Zo. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 39 – Definiˇcní obory funkcí arkussinus a arkuskosinus ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = arcsin 4x−5 3. Pro funkci arkussinus platí podmínka, že argument musí být z intervalu h−1,1i. Budeme ˇrešit dvˇe lineární nerovnice −1≤4x−5 3∧4x−5 3≤1. Ve jmenovateli není promˇenná a nerovnice m˚užeme ˇrešit najednou. −1≤4x−5 3≤1 −3≤4x−5≤3 2≤4x≤8 1 2≤x≤2 Definiˇcní obor funkce je Df=1 2,2. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = arccos 2x−3 x. Pro funkci arkuskosinus platí podmínka, že argument musí být z intervalu h−1,1i. Budeme ˇrešit dvˇe nerovnice −1≤2x−3 x∧2x−3 x≤1. Ve jmenovateli je promˇenná xa nerovnice nem˚užeme ˇrešit najednou. V nerovnicích nedoporuˇcujeme násobit promˇennou. Upravíme je na tvar, kdy na jedné stranˇe bude nula, na druhé stranˇe zlomek a provedeme diskusi. −1≤2x−3 x 2x−3 x≤1 0≤2x−3 x+12x−3 x−1≤0 0≤2x−3+x x 2x−3−x x≤0 0≤3x−3 x x−3 x≤0 Nulové body jsou u levé nerovnosti 0 a 1 a u pravé nerovnosti 0 a 3. Sestavíme tabulky a urˇcíme znaménka. V obou pˇrípadech je ve jmenovateli zlomku xa tedy x6=0. 01 +−+ 30 +−+ ˇ Rešení levé nerovnice je sjednocení interval˚u (∞, 0)∪h1, ∞)a ˇrešení pravé nerovnice je interval (0, 3i. Definiˇcní obor funkce dostaneme jako pr˚unik ˇrešení jednotlivých nerovnic Df=h1,3i. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 40 – Definiˇcní obory funkcí arkussinus a arkuskosinus ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = arccos (x+3)2 9. Pro funkci arkuskosinus platí podmínka, že argument musí být z intervalu h−1,1i. Budeme ˇrešit dvˇe nerovnice. −1≤(x+3)2 9≤1 −9≤(x+3)2≤9 −9≤x2+6x+9≤9 Vyˇrešme nejprve nerovnici −9≤x2+6x+9 0≤x2+6x+18 Vypoˇcítáme diskriminant D=−36. Polynom druhého stupnˇe na pravé stranˇe nerovnice nemá žádný reálný koˇren. Geometricky to znamená, že graf této kvadratické funkce (parabola) neprotne osu xa celý leží v kladné polorovinˇe. Tento kvadratický výraz je proto kladný pro každé reálné ˇcíslo. Nyní vyˇrešme druhou nerovnici. x2+6x+9≤9 x2+6x≤0 x(x+6)≤0 Nulové body jsou -6 a 0. Sestavíme tabulku a urˇcíme znaménka. −6 0 +−+ Definiˇcní obor funkce je Df=h−6,0i. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce f(x) = arcsin3x. Pro funkci arkussinus platí podmínka, že argument musí být z intervalu h−1,1i. Budeme ˇrešit dvˇe nerovnice. −1≤3x≤1 Výraz 3xje vždy kladný a nerovnice −1≤3xje splnˇena pro všechna reálná ˇcísla. Vyˇrešíme druhou nerovnici 3x≤1 3x≤30 x≤0 Definiˇcní obor funkce je Df= (−∞,0i. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 41 – Definiˇcní obory ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce. a) y=√x+2 b) y=√3−xc) y=√9−x2d) y=√x2−4 Tipy Zlomek jmenovatel je r˚uzný od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je r˚uzný od π 2+k·π, k∈Z Kotangens argument je r˚uzný od k·π, k∈Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1,1i Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 48 – Grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=|x−2|+|2x−1|b) y=|x+1|−|x|+|2−x|−3 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 49 – Grafy kvadratických funkcí ˇ Ry Cviˇcení Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis a doplˇnte vlastnosti jednotlivých funkcí: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=x2+1 b) y=3−x2c) y=2x2−2d) y=(x−2)2−1e) y=x2+2x−3 f) y=4−x−x2 1. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 2. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 3. 0 −5−4−3−2−11234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 4. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 50 – Grafy kvadratických funkcí ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy kvadratických funkcí a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=x2+4x+4 b) y=x2−2x+2 c) y=−x2−2x+2 d) y=x2−2xe) y=3−3x2f) y=x2−4x+3 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 51 – Grafy lineárních lomených funkcí ˇ Ry Cviˇcení Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis a doplˇnte vlastnosti jednotlivých funkcí: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=1 xb) y=1 x+1c) y=2 xd) y=−3 x−1e) y=2x+1 xf) y=1−2x x−2 1. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 2. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 3. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 4. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6. 0 −5−4−3−2−11234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 52 – Grafy lineárních lomených funkcí ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy lineárních lomených funkcí a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=−1 xb) y=2 x−1c) y=x x−1d) y=2x−1 xe) y=1−1 xf) y=1−x 2−x 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 53 – Grafy exponenciálních funkcí ˇ Ry Cviˇcení Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis a doplˇnte vlastnosti jednotlivých funkcí: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=2xb) y=−2xc) y=2x+1 d) y=2(x+1)e) y=1 2xf) y=1 2x−1−3 1. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 2. 0 −5−4−3−2−112 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 3. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 4. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 54 – Grafy exponenciálních funkcí ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy exponenciálních funkcí a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=exb) y=1+3xc) y=2x−1d) y=1−exe) y=3−xf) y=3−2−x 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 55 – Grafy logaritmických funkcí ˇ Ry Cviˇcení Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis a doplˇnte vlastnosti jednotlivých funkcí: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=log3xb) y=log1/3 xc) y=log3(x−2)d) y=2log1/3 xe) y=2+log3xf) y=log3(x+2) 1. 0 −1 1 2345678 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 2. 0 −1 1 2345678 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 3. 0 −1 1 2345678 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 4. 0 −1 1 2345678 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5. 0 −1 1 2345678 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6. 0 −3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 56 – Grafy logaritmických funkcí ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy logaritmických funkcí a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=ln xb) y=log3x+1c) y=log2(x+2)d) y=2−ln xe) y=2log3xf) y=log2(3x) 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 −7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 57 – Grafy goniometrických funkcí sinus ˇ Ry Cviˇcení Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis a doplˇnte vlastnosti jednotlivých funkcí: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=sin xb) y=sin2xc) y=sin x+π 2d) y=2sin xe) y=sin x+2f) y=sin x−π 4 1. −3 −2 −1 1 2 3 0 −3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π 5π/2 2π 3π/2 π π/2 2. −3 −2 −1 1 2 3 0 −3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π 5π/2 2π 3π/2 π π/2 3. −3 −2 −1 1 2 3 0 −3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π 5π/2 2π 3π/2 π π/2 4. −3 −2 −1 1 2 3 0 −3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π 5π/2 2π 3π/2 π π/2 5. −3 −2 −1 1 2 3 0 −3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π 5π/2 2π 3π/2 π π/2 6. −3 −2 −1 1 2 3 0 −3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π 5π/2 2π 3π/2 π π/2 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 64 – Grafy cyklometrických funkcí arkussinus a arkuskosinus ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy cyklometrických funkcí arkussinus a arkuskosinus a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=arccos xb) y=3arcsin xc) y=arcsin x+πd) y=arccos(x+2)e) y=−arccos x 2f) y=arcsin x 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 65 – Grafy cyklometrických funkcí arkustangens a arkuskotangens ˇ Ry Cviˇcení Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis a doplˇnte vlastnosti jednotlivých funkcí: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=arccot xb) y=−arccot x+πc) y=arctan(x+2)d) y=arctan xe) y=2arctan(−x)f) y=arccot(2x) 1. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 2. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 3. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 4. 0 −5−4−3−2−11234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 5. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 6. 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 66 – Grafy cyklometrických funkcí arkustangens a arkuskotangens ˇ Ry Cviˇcení Nakreslete grafy cyklometrických funkcí arkustangens a arkuskotangens a doplˇnte vlastnosti: definiˇcní obor, obor hodnot, ohraniˇcenost, monotónnost, parita, periodicita, prostost. a) y=arctan xb) y=−2arccot x+πc) y=arctan(x−1)d) y=arccot xe) y=arccot(−x)f) y=−arctan x−π 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 0 −5−4−3−2−1 1 234 −3π/2 −π −π/2 3π/2 π π/2 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 67 – Parita funkce - sudost, lichost ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce a zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá, f(x) = −5x5+7x3+12x. Definiˇcní obor funkce je Df=R. Do funkce dosadíme (−x). f(−x) = −5(−x)5+7(−x)3+12(−x) = 5x5−7x3−12x=−f(x) Ukázali jsme, že platí f(−x) = −f(x)pro každé x∈Df. Funkce je lichá. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce a zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá, f(x) = xsin x+√4−x2. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Vyˇrešíme nerovnici. 4−x2≥0 (2−x) (2+x)≥0 Definiˇcní obor funkce je Df=h−2,2i. Interval je soumˇerný podle poˇcátku. Do funkce f(x) = xsin x+p4−x2 dosadíme (−x), využijeme toho, že funkce sinus je lichá funkce, sin(−x) = −sin x, a dostaneme f(−x) = (−x)sin (−x)+q4−(−x)2=xsin x+p4−x2=f(x). Ukázali jsme, že platí f(−x)=f(x)pro každé x∈Df. Funkce je sudá. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce a zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá, f(x) = xcos x6−1+ln 1−x 1+x. Argument logaritmu musí být kladný. Vyˇrešíme nerovnici 1−x 1+x>0. Definiˇcní obor funkce je Df=(−1,1). Interval je soumˇerný podle poˇcátku. Do funkce f(x) = xcos x6−1+ln 1−x 1+x dosadíme (−x)a dostaneme f(−x) = (−x)cos (−x)6−1+ln 1−(−x) 1+(−x) =−xcos x6−1+ln 1+x 1−x =−xcos x6−1+ln 1−x 1+x−1 =−xcos x6−1−ln 1−x 1+x =−f(x). Ukázali jsme, že platí f(−x) = −f(x)pro každé x∈Df. Funkce je lichá. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 68 – Parita funkce - sudost, lichost ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce a zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá, f(x) = rx−4 x+4. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný a jmenovatel zlomku r˚uzný od nuly. Budeme ˇrešit dvˇe omezující podmínky. x−4 x+4≥0x+46=0 Definiˇcní obor je Df=(−∞,−4)∪h4, ∞)a není soumˇerný podle poˇcátku. Platí 4 ∈D(f)∧−4 /∈D(f), a proto funkce není ani sudá ani lichá. Pˇríklad Urˇcete definiˇcní obor funkce a zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá, f(x) = x4 100 −sin x x+x−1. Jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule a tedy x6=0. Definiˇcní obor jsou všechna reálná ˇcísla kromˇe nuly, Df=R\{0}. Definiˇcní obor je soumˇerný podle poˇcátku. Využijeme lichosti funkce sinus, sin(−x) = −sin x. f(−x) = (−x)4 100 −sin(−x) (−x)+ (−x)−1=x4 100 −sin x x−x−1 Platí f(−x)6=f(x)resp. f(−x)6=−f(x) a funkce není ani sudá ani lichá. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 69 – Parita funkce - sudost, lichost ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) y=3x2−p1−x2 b) y=2x−x3 c) y=ln 2−x 2+x d) y=3x 2+x4 e) y=1 x2cos x f) y=x2−x+1 x2+x+1 Tipy Urˇcíme definiˇcní obor funkce a ovˇeˇríme, zdali je soumˇerný podle poˇcátku reálné osy, tj. jestli platí: ∀x∈Df je také −x∈Df. Sudá funkce: f(−x)=f(x) Lichá funkce: f(−x)=−f(x) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 70 – Složená funkce ˇ Ry Pˇríklad Složte funkce f(x) = √xag(x) = ln xv poˇradí g◦faf◦g. Definiˇcní obor funkce fje Df=h0, ∞). Definiˇcní obor funkce gje Dg= (0, ∞). Ohlednˇe definiˇcního oboru složené funkce g◦fje nutné zmínit, že funkce gp˚usobí až jako druhá v poˇradí na výsledek p˚usobení funkce f. Jinými slovy, funkce goperuje na bodech z oboru hodnot funkce f, což je interval Hf=h0, ∞). Funkce gsi poradí témˇeˇr s každým bodem z oboru hodnot funkce faž na jednu výjimku, a to je bod 0, kterou musíme z oboru hodnot funkce fvylouˇcit. Definiˇcní obor složené funkce g◦fje tedy otevˇrený interval Dg◦f= (0, ∞). Pˇri skládání funkcí v poˇradí g◦fje nutné vždy ovˇeˇrit platnost podmínky Hf⊆Dg, která zaruˇcí to, že se dané funkce dají složit. Této podmínce ˇríkáme skládatelnost funkcí, nebo také kompatibilita funkcí. Jelikož v našem pˇrípadˇe Hf6⊆ Dg,h0, ∞)6⊆ (0, ∞), musíme omezit obor hodnot Hffunkce ftak, aby podmínka kompatibility funkcí g afbyla splnˇena, tedy z oboru hodnot Hffunkce fmusíme vylouˇcit ˇcíslo 0. Budeme skládat funkce v poˇradí g◦f. Podle definice složené funkce platí (g◦f)(x)def. =g(f(x)) = g(√x) = ln √x. V opaˇcném poˇradí se nejdˇríve podíváme na to, jestli je sehraný definiˇcní obor Dffunkce fs oborem hodnot Hgfunkce g. Abychom mohli zadané funkce složit v poˇradí f◦g, musí být splnˇena podmínka Hg⊆Df. Ovšem Hg=R, ale funkce fje definovaná pouze na intervalu nezáporných reálných ˇcíslech. V našem pˇrípadˇe podmínka kompatibility splnˇena není, Hg6⊆ Df,R6⊆ h0, ∞). Musíme tedy vhodnˇe omezit definiˇcní obor Dffunkce ftak, aby pak obor hodnot Hgomezené funkce gse stal podmnožinou definiˇcního oboru Df funkce f. Položme si otázku: pro která kladná reálná ˇcísla funkce logaritmus dostaneme ˇcísla nezáporná, na kterých je definována druhá odmocnina? 0 −1 1 2 3 45 6 −4 −3 −2 −1 1 2 y=ln x Jedná se o ˇcísla vˇetší nebo rovna 1, což odpovídá definiˇcnímu oboru Df◦g složené funkce f◦g,Df◦g=h1, ∞). Skládejme funkce v poˇradí f◦g, (f◦g)(x)def. =f(g(x)) = f(ln x) = √ln x. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 71 – Složená funkce ˇ Ry Cviˇcení Složte funkce v poˇradí g◦faf◦g: a) f:y=x2,g:y=log xb) f:y=x+2, g:y=cos xc) f:y=1 x,g:y=2x3+x+2 d) f:y=sin x+1, g:y=√x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 72 – Inverzní funkce ˇ Ry Pˇríklad Pro funkci f(x) = x2,x≥2 urˇcete funkci inverzní, definiˇcní obor a obor hodnot inverzní funkce. Definiˇcní obor funkce Df=h2, ∞). Na obrázku vidíme, že funkce je na svém definiˇcním oboru rostoucí a tedy prostá a dále, že její obor hodnot je Hf=h4, ∞). Dostáváme Df=h2, ∞) = Hf−1,Hf=h4, ∞) = Df−1. Nyní urˇcíme pˇredpis inverzní funkce. V pˇredpisu funkce zamˇeníme xay a vyjádˇríme y. x=y2 √x=y Inverzní funkce je f−1(x) = √x,x∈ h4, ∞). Funkce −√xnení inverzní k zadané funkci, její obor hodnot není interval h2, ∞). 0 −1 1 2345678910 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) = x2 f−1(x) = √x Pˇríklad Pro funkci f(x) = x2,x≤0 urˇcete funkci inverzní, definiˇcní obor a obor hodnot inverzní funkce. Definiˇcní obor funkce Df= (−∞,0i. Na obrázku vidíme, že funkce je na svém definiˇcním oboru klesající a tedy prostá a dále, že její obor hodnot je Hf=h0, ∞). Dostáváme Df= (−∞,0i=Hf−1,Hf=h0, ∞) = Df−1. Nyní urˇcíme pˇredpis inverzní funkce. V pˇredpisu funkce zamˇeníme xay a vyjádˇríme y. x=y2 −√x=y Inverzní funkce je f−1(x) = −√x,x∈ h0, ∞). Funkce √xnení inverzní k zadané funkci, její obor hodnot není interval (−∞, 0i. 0 −3−2−1 1 234567 8 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) = x2 f−1(x) = −√x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 73 – Inverzní funkce ˇ Ry Pˇríklad Pro funkci f(x) = 1−ln(x−2)urˇcete funkci inverzní, definiˇcní obor a obor hodnot inverzní funkce. Argument logaritmu musí být kladný. Vyˇrešíme nerovnici x−2>0⇒x>2. Definiˇcní obor funkce fje oborem hodnot funkce inverzní f−1. Df= (2, ∞) = Hf−1 Pokud graf funkce ln xposuneme o 2 doprava, otoˇcíme kolem osy xa posuneme o 1 nahoru, dostaneme graf funkce 1 −ln(x−2)viz obrázek. 0 −1 1 2345678910 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 f1(x) = ln x f2(x) = ln(x−2) f3(x) = −ln(x−2) f(x) = 1−ln(x−2) Funkce fje na svém definiˇcním oboru klesající a tedy prostá. Obor hodnot funkce fje definiˇcním oborem funkce inverzní f−1. Dostáváme Hf=R= Df−1. Nyní urˇcíme pˇredpis inverzní funkce. V pˇredpisu funkce zamˇeníme xay a vyjádˇríme y. x=1−ln (y−2) x−1=−ln (y−2) 1−x=ln (y−2) e1−x=y−2 y=2+e1−x Inverzní funkce je f−1(x) = 2+e1−x,x∈R. 0 −2−1 1 23456789 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) = 1−ln(x−2) f−1(x) = 2+e1−x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 80 – Okolí bodu, jednostranné okolí bodu ˇ Ry Definice okolí bodu Okolím bodu x0∈Rnazveme množinu bod˚u, které mají od bodu x0 vzdálenost menší než δ, tedy: O(x0) = (x0−δ,x0+δ) Prstencovým okolím bodu nazveme množinu O(x0)\{x0}, znaˇcíme P(x0). P(x0) = (x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ) Okolím bodu ∞rozumíme libovolný interval tvaru (A,∞), kde Aje reálné ˇcíslo: O(∞) = (A,∞) Okolím bodu −∞rozumíme libovolný interval tvaru (−∞,A), kde A je reálné ˇcíslo: O(−∞) = (−∞,A) Poznámka Prstencová okolí bodu ±∞jsou stejná jako okolí tˇechto bod˚u. Definice jednostranného okolí bodu Pravým okolím bodu x0∈Rnazveme interval: O+(x0) = hx0,x0+δ) Levým okolím bodu x0∈Rnazveme interval: O−(x0) = (x0−δ,x0i Pravým (levým) prstencovým okolím bodu nazveme interval: P+(x0) = (x0,x0+δ)P−(x0) = (x0−δ,x0) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 81 – Limita funkce, jednostranná limita funkce ˇ Ry Definice limity funkce Necht’ je dána funkce fa body x0∈R∗,L∈R∗. Necht’ je funkce fdefinovaná na nˇejakém prstencovém okolí bodu x0.ˇ Rekneme, že funkce fmá v bodˇe x0limitu rovnu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu Lexistuje prstencové okolí P(x0)bodu x0takové, že pro libovolné x∈P(x0)leží hodnota f(x)vO(L). Znaˇcíme: lim x→x0f(x) = L Poznámka Pokud x0∈R,L∈Rˇrekneme že má funkce vlastní (koneˇcnou) limitu. Pokud x0∈R,L=±∞ˇrekneme že má funkce nevlastní (nekoneˇcnou) limitu. Pokud x0=±∞,L∈Rˇrekneme že má funkce vlastní (koneˇcnou) limitu v nevlastním bodˇe. Pokud x0±∞,L=±∞ˇrekneme že má funkce nevlastní (nekoneˇcnou) limitu v nevlastním bodˇe. Definice jednostranné limity funkce Necht’ je dána funkce fa body x0∈R∗,L∈R∗. Necht’ je funkce fdefinovaná na nˇejakém pravém (resp. levém) prstencovém okolí bodu x0. ˇ Rekneme, že funkce fmá v bodˇe alimitu zprava (resp. zleva) rovnu L, jestliže ke každému okolí O(L)bodu Lexistuje pravé (resp. levé) prstencové okolí P+(x0)(resp. P−(x0)) bodu x0takové, že pro libovolné x∈P+(x0)(resp. P−(x0)) leží hodnota f(x)vO(L). Znaˇcíme: lim x→x+ 0 f(x) = L(resp. lim x→x− 0 f(x) = L) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 82 – Existence limity, operace s limitami ˇ Ry Vˇeta Funkce fmá v bodˇe x0nejvýše jednu limitu. Poznámka Má i nejvýše jednu limitu zleva a nejvýše jednu limitu zprava. Vˇeta Funkce fmá v bodˇe x0limitu právˇe tehdy, má-li v tomto bodˇe limitu zprava i zleva a tyto limity se rovnají. Vˇeta Necht’ mají funkce f(x)ag(x)limitu v bodˇe x0, pak platí: lim x→x0(f(x) + g(x))=lim x→x0f(x) + lim x→x0g(x) lim x→x0(f(x)−g(x))=lim x→x0f(x)−lim x→x0g(x) lim x→x0(f(x)·g(x))=lim x→x0f(x)·lim x→x0g(x) lim x→x0(c·f(x))=c·lim x→x0f(x) lim x→x0f(x) g(x)=limx→x0f(x) limx→x0g(x), lim x→x0g(x)6=0 Vˇeta o limitˇe složené funkce Necht’ je dána složená funkce y=g(f(x))a necht’ dále lim x→x0f(x) = aa lim x→ag(x) = ca existuje prstencové okolí P(x0)takové, že f(x)6=apro každé x∈P(x0). Pak lim x→x0g(f(x))=c. Vˇeta o dvou limitách Jestliže existuje prstencové okolí P(x0)bodu x0, na kterém platí f(x) = g(x)pro všechna x∈P(x0), a jestliže existuje limita Lfunkce fv bodˇe x0, pak i funkce gmá v bodˇe x0stejnou limitu L, lim x→x0f(x) = lim x→x0g(x) = L. Vˇeta o tˇrech limitách Jestliže funkce fagmají v bodˇe x=x0limitu La pro funkci hplatí f(x)≤h(x)≤g(x), pak lim x→x0h(x) = L. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 83 – Vybrané limity ˇ Ry Typ limity a 0,a∈R\{0} lim x→x0 f(x) g(x)=a 0= ∞(a>0, g(x)>0)∨(a<0, g(x)<0) −∞(a<0, g(x)>0)∨(a>0, g(x)<0) Limity nˇekterých elementárních funkcí lim x→0− 1 x=−∞lim x→0+ 1 x=∞ lim x→−∞ 1 x=0 lim x→∞ 1 x=0 lim x→−∞ex=0 lim x→∞ex=∞ lim x→0+ln x=−∞lim x→∞ln x=∞ Nˇekteré další d˚uležité limity lim x→0 sin x x=1⇒lim x→0 tan x x=1, lim x→0 sin(kx) kx =1⇒lim x→0 tan(kx) kx =1, lim x→±∞1+1 xx =e⇒lim x→±∞1+k xx =ek, kde k∈R 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −2 −1 1 y=sin x x 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y=1+1 xx y=e Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 84 – Spojitost funkce ˇ Ry Definice Necht’ funkce fje definována na nˇejakém okolí bodu x0a platí lim x→x0f(x) = f(x0), pak ˇrekneme, že funkce fje spojitá v bodˇe x0. Bod, ve kterém funkce není spojitá, nazýváme bod nespojitosti. Poznámka Obdobnˇe definujme spojitost zprava nebo zleva. Definice Necht’ I⊆Df, ˇrekneme, že funkce je spojitá na intervalu I, je-li spojitá v každém bodˇe intervalu I. Patˇrí-li do intervalu dolní mez intervalu, je v nˇem spojitá zprava, a patˇrí-li do nˇej horní mez intervalu, je v nˇem spojitá zleva. Vˇeta Všechny elementární funkce jsou spojité na svém definiˇcním oboru. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 85 – Vˇety o spojitých funkcích ˇ Ry Vˇeta Weierstrassova Necht’ funkce fje spojitá na uzavˇreném intervalu ha,bi. Pak fje na tomto intervalu ohraniˇcená. Poznámka Spojitá funkce nabývá na uzavˇreném intevralu svého minima a maxima. f a f(a) b f(b) MIN MAX Vˇeta Bolzanova-Cauchyho Necht’ funkce fje spojitá na uzavˇreném intervalu ha,bia platí f(a)6= f(b).ˇ Císlo cleží mezi hodnotami f(a)af(b). Pak existuje aspoˇn jedno x0∈(a,b), pro které platí f(x0) = c. Poznámka Zvolme c=0. Je-li funkce fspojitá na uzavˇreném intervalu ha,bia mají-li hodnoty f(a)af(b)opaˇcná znaménka, pak existuje aspoˇn jedno x0∈(a,b), pro které platí f(x0) = 0. f a f(a) b f(b) x0 f(x0) = c x0x0 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 86 – Limity v bodech spojitosti ˇ Ry Pˇríklad Vypoˇcítejte limity a) lim x→23x3−2x2−6x+8 b) lim x→1 5x+3 3x2−2x+6 c) lim x→π 4 4xtan x d) lim x→0 e5x 8cos x Dosadíme limitní body do funkcí. a) lim x→23x3−2x2−6x+8=3·23−2·22−6·2+8=12 b) lim x→1 5x+3 3x2−2x+6=5·1+3 3·12−2·1+6=5+3 3−2+6=8 7 c) lim x→π 4 4xtan x=4·π 4·1=π d) lim x→0 e5x 8cos x=e5·0 8cos0 =1 8·1=1 8 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 87 – Limity v bodech spojitosti ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇcítejte limitu a) lim x→2x2−3x+2b) lim x→−1 x+1 3x−2c) lim x→3x2·2xd) lim x→0 x+2 cos x Tipy Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o neurˇcitou limitu? Pokud ano, urˇcíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim x→x0f(x) = f(x0). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 88 – Limity typu nula lomeno nulou - polynom, odmocnina ˇ Ry Pˇríklad Vypoˇcítejte limitu lim x→−2 x3+4x2+x−6 x2−4. Dosazením −2 za xzjistíme, o jaký typ limity se jedná. lim x→−2 x3+4x2+x−6 x2−4=(−2)3+4(−2)2−2−6 (−2)2−4= ” 0 0 “ Jedná se o limitu typu ” 0 0 “.ˇ Císlo −2 je koˇrenem v ˇcitateli i ve jmenovateli. ˇ Citatel i jmenovatel rozložíme na souˇcin kde jeden z ˇcinitel˚u bude x+2. Tento ˇclen potom vykrátíme a dosazením −2 za xdostaneme výsledek. Jmenovatel m˚užeme rozložit podle vzorce x2−4=(x+2) (x−2). ˇ Citatele vydˇelíme koˇrenovým ˇcinitelem x+2. x3+4x2+x−6:(x+2)=x2+2x−3 Dosadíme do limity a spoˇcítáme výsledek. lim x→−2 x3+4x2+x−6 x2−4=lim x→−2 (x+2)x2+2x−3 (x+2) (x−2)= =lim x→−2x2+2x−3 (x−2)=(−2)2+2(−2)−3 (−2−2)=3 4 Pˇríklad Vypoˇcítejte limitu lim x→3 1−√x2−8 x−3. Dosazením 3 za xzjistíme, o jaký typ limity se jedná. lim x→3 1−√x2−8 x−3=1−√32−8 3−3= ” 0 0 “ Limita je typu ” 0 0 “.ˇ Císlo 3 je koˇrenem v ˇcitateli i ve jmenovateli. ˇ Citatel rozložíme na souˇcin kde jeden z ˇcinitel˚u bude x−3. Tento ˇclen potom vykrátíme a dosazením 3 za xdostaneme výsledek. Využijeme vzorce (a−b)(a+b) = a2−b2a rozšíˇríme vhodným zlomkem. lim x→3 1−√x2−8 x−3·1+√x2−8 1+√x2−8=lim x→3 1−x2−8 (x−3)1+√x2−8= =lim x→3 9−x2 (x−3)1+√x2−8=lim x→3 (3−x) (3+x) (x−3)1+√x2−8= =lim x→3−(x−3) (3+x) (x−3)1+√x2−8=lim x→3−(3+x) 1+√x2−8= =−(3+3) 1+√32−8=−6 2=−3 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 89 – Limity racionálních funkcí ˇ Ry Cviˇcení a) lim x→1 x2−1 x−1 b) lim x→1 x2−1 x3−1 c) lim x→3 x3−3x2 x2−x−6 d) lim x→1 x2−6x+5 x2−3x+4 e) lim x→−1 x3−x 1+3x−2x3 f) lim x→1 1 (x−1)2 Tipy Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o neurˇcitou limitu? Pokud ano, urˇcíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim x→x0f(x) = f(x0). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 96 – Limity typu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem ˇ Ry Cviˇcení a) lim x→∞−3x2+2x−7 x2+4x−12 b) lim x→−∞ x3−2x2+2 5x4+7x−3c) lim x→∞−2x3+7x2+2x−1 x+2 Tipy Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o neurˇcitou limitu? Pokud ano, urˇcíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim x→x0f(x) = f(x0). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 97 – Limity typu jedna na nekoneˇcno ˇ Ry Pˇríklad Vypoˇcítejte limitu lim x→∞2x+3 2x1−2x . Nejprve zjistíme, o jaký typ limity se jedná. lim x→∞2x+3 2x1−2x =lim x→∞ 1+ 3 2 x!1−2x =”1−∞“ Použijeme vzorec lim x→∞1+k xx =ek a dostaneme lim x→∞ 1+ 3 2 x!1−2x =lim x→∞ 1+ 3 2 x!1 1+ 3 2 x!−2x = =lim x→∞ 1+ 3 2 x!" 1+ 3 2 x!x#−2 =1·he3 2i−2=e−3=1 e3. Pˇríklad Vypoˇcítejte limitu lim x→∞x+3 x+62x . Nejprve zjistíme, o jaký typ limity se jedná. lim x→∞x+3 x+62x =lim x→∞x+6−6+3 x+62x =lim x→∞1+−3 x+62x =”1∞“ Použijeme vzorec lim x→∞1+k xx =ek a dostaneme lim x→∞1+−3 x+62x =lim x→∞1+−3 x+6x2 = =lim x→∞"1+−3 x+6x+6−6#2 = =lim x→∞"1+−3 x+6x+61+−3 x+6−6#2 = =he−3·1−6i2=e−6=1 e6. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 98 – Limity typu jedna na nekoneˇcno ˇ Ry Cviˇcení a) lim x→∞x+2 x3x b) lim x→∞2x+3 2x−12x+2 Tipy Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o neurˇcitou limitu? Pokud ano, urˇcíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim x→x0f(x) = f(x0). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 99 – Limity typu konstanta lomeno nulou ˇ Ry Pˇríklad Vypoˇcítejte limitu lim x→2 x (x−2)2. Dosadíme limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o typ limity ” k 0 “. Výsledek této limity je bud’ ±∞nebo limita neexistuje. Výsledek závisí na jednostranných limitách. ˇ Citatel zlomku se blíží k dvojce a ve jmenovateli je výraz (x−2)2, který je nezáporný. Dostáváme lim x→2 x (x−2)2= ” + + “=∞. Pˇríklad Vypoˇcítejte limitu lim x→2−x x−2. Dosadíme limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o typ limity ” k 0 “. Spoˇcítáme jednotlivé jednostranné limity. U limity zprava nás zajímá znaménko výrazu x−2 na pravém prstencovém okolí bodu 2. Výraz je zde kladný a tedy lim x→2+−x x−2= ” − + “=−∞. U limity zleva nás zajímá znaménko výrazu x−2 na levém prstencovém okolí bodu 2. Výraz je zde záporný a tedy lim x→2−−x x−2= ” − − “=∞. Jenostranné limity se nerovnají a limita lim x→2−x x−2neexistuje. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 100 – Limity typu konstanta lomeno nulou ˇ Ry Cviˇcení a) lim x→2 x x−2b) lim x→0 x2−9 xc) lim x→±5 x+1 x2−25 d) lim x→−1 x+2 (x+1)2 Tipy Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o neurˇcitou limitu? Pokud ano, urˇcíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim x→x0f(x) = f(x0). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I Diferenciální poˇcet funkcí jedné promˇenné Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 102 – Derivace funkce ˇ Ry Definice Je dána funkce fa bod x0∈Df. Existuje-li vlastní limita lim x→x0 f(x)−f(x0) x−x0, pak ji nazveme derivací funkce fv bodˇe x0a znaˇcíme ji f0(x0). Poznámka Derivace funkce je urˇcena jednoznaˇcnˇe. Pˇríklad Urˇcete derivaci funkce f(x) = 8 4+x2v bodˇe 2. f0(2) = lim x→2 8 4+x2−8 4+22 x−2=lim x→2 8 4+x2−1 x−2=lim x→2 8−4−x2 4+x2 x−2= =lim x→2 4−x2 (x−2)(4+x2)=−lim x→2 (x−2)(x+2) (x−2)(4+x2)= =−lim x→2 x+2 4+x2=−2+2 4+4=−1 2 Vˇeta Existuje-li v bodˇe x0derivace funkce f, pak je v tomto bodˇe funkce f spojitá. Poznámka Má-li funkce fderivaci na intervalu I, pak ˇríkáme, že je na Idiferencovatelná. Definice Necht’ je funkce fdefinována v každém bodˇe intervalu (a,b)a má v každém bodˇe derivaci f0(x). Pak je na (a,b)definovaná funkce f0, která každému x∈(a,b)pˇriˇradí hodnotu f0(x). Tuto funkci nazveme derivace funkce f. Znaˇcíme ji f0(x),y0,df(x) dx,dy dx. f ts x−x0 f(x)−f(x0) x0 f(x0) x f(x) T X Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 103 – Vlastnosti derivace ˇ Ry Vˇeta Necht’ funkce fagmají na intervalu Iderivaci. Pak na Iplatí: • derivace násobku funkce reálným ˇcíslem [c·f(x)]0=c·f0(x),c∈R, • derivace souˇctu, rozdílu [f(x)±g(x)]0=f0(x)±g0(x), • derivace souˇcinu [f(x)·g(x)]0=f0(x)·g(x) + f(x)·g0(x), • derivace podílu f(x) g(x)0=f0(x)·g(x)−f(x)·g0(x) (g(x))2, pro g(x)6=0. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 104 – Derivace elementárních funkcí ˇ Ry Vˇeta 1. (c)0=0 2. (xn)0=nxn−1 3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1 4. (ex)0=ex 5. (logax)0=1 xln a,a>0, a6=1 6. (ln x)0=1 x 7. (sin x)0=cos x 8. (cos x)0=−sin x 9. (tan x)0=1 cos2x 10. (cot x)0=−1 sin2x 11. (arcsin x)0=1 √1−x2 12. (arccos x)0=−1 √1−x2 13. (arctan x)0=1 1+x2 14. (arccot x)0=−1 1+x2 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 105 – Derivace souˇctu a rozdílu funkcí ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete derivace funkcí. a) f(x) = 1 x3+2x2−4 √x+5 b) f(x) = 2x5+3x c) f(x) = 5log x d) f(x) = 2sin x+3cos x−4tan x a) Nejprve funkci upravíme na tvar vhodný k derivování. f(x) = 1 x3+2x2−4 √x+5=x−3+2x2−x1 4+5 Využijeme vlastností derivace a dostaneme f0(x) = x−30+2x20−x1 40+ (5)0= =−3x−4+2·2x1−1 4x−3 4+0=−3 x4+4x−1 44 √x3. b) f0(x) = 10x4+3xln3 c) f0(x) = 5·1 xln10 =5 xln10 d) f0(x) = 2cos x−3sin x−4 cos2x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 112 – Derivace složené funkce ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete derivace funkcí. a) f(x) = sin43x2+x+5b) f(x) = ln sin pe2x+1 Složenou funkci derivujeme podle vzorce [g(f(x0))]0=g0(f(x0))·f0(x0). a) Funkce je složením tˇrí funkcí. Mocninné funkce, sinu a polynomu. Funkce budeme postupnˇe derivovat podle vzorce. f0(x) = 4sin33x2+x+5sin 3x2+x+50=4sin33x2+x+5cos 3x2+x+53x2+x+50= =4sin33x2+x+5cos 3x2+x+5(6x+1) b) Funkce vznikla jako složení logaritmu, sinu, odmocniny a exponenciální funkce. f0(x) = 1 sin √e2x+1·sin pe2x+10=1 sin √e2x+1·cos pe2x+1·pe2x+10= =1 sin √e2x+1·cos pe2x+1·1 2e2x+1−1 2·e2x+10=1 sin √e2x+1·cos pe2x+1·1 2e2x+1−1 2·e2x·(2x)0= =1 sin √e2x+1·cos pe2x+1·1 2e2x+1−1 2·e2x·2=cos √e2x+1 sin √e2x+1·e2x √e2x+1=e2xcot √e2x+1 √e2x+1 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 113 – Derivace složené funkce ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete první derivaci funkce: a) y=cos5x b) y=sin(x5+2x2+3) c) y= (2+x3)70 d) y=ln(x2+8) e) y=e3x2+x f) y=arctan 4 x Tipy 1. (c)0=0 2. (xn)0=nxn−1 3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1 4. (ex)0=ex 5. (logax)0=1 xln a,a>0, a6=1 6. (ln x)0=1 x 7. (sin x)0=cos x 8. (cos x)0=−sin x 9. (tan x)0=1 cos2x 10. (cot x)0=−1 sin2x 11. (arcsin x)0=1 √1−x2 12. (arccos x)0=−1 √1−x2 13. (arctan x)0=1 1+x2 14. (arccot x)0=−1 1+x2 u=u(x)v=v(x) 15. [c·u]0=c·u0 16. [u±v]0=u0±v0 17. [u·v]0=u0·v+u·v0 18. hu vi0=u0·v−u·v0 v2 19. [u(v)]0=u0(v)·v0 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 114 – Derivace složené funkce ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete první derivaci funkce: a) y=p1+x2 b) y=rx+1 x−1 c) y=1 4tan4x d) y=ln(xsin x) e) y=lnsin 3 √arctane3x f) y=q1+tan(x+1 x) Tipy 1. (c)0=0 2. (xn)0=nxn−1 3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1 4. (ex)0=ex 5. (logax)0=1 xln a,a>0, a6=1 6. (ln x)0=1 x 7. (sin x)0=cos x 8. (cos x)0=−sin x 9. (tan x)0=1 cos2x 10. (cot x)0=−1 sin2x 11. (arcsin x)0=1 √1−x2 12. (arccos x)0=−1 √1−x2 13. (arctan x)0=1 1+x2 14. (arccot x)0=−1 1+x2 u=u(x)v=v(x) 15. [c·u]0=c·u0 16. [u±v]0=u0±v0 17. [u·v]0=u0·v+u·v0 18. hu vi0=u0·v−u·v0 v2 19. [u(v)]0=u0(v)·v0 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 115 – Logaritmická derivace ˇ Ry Poznámka Logaritmickou derivaci využíváme pro derivaci funkcí, které jsou typu y=f(x)g(x). Takovou funkci upravíme následujícím zp˚usobem y=f(x)g(x)=eln(f(x)g(x))=eg(x)·ln f(x) a derivujeme jako funkci složenou. y0=heg(x)·ln f(x)i0= =eg(x)·ln f(x)g0(x)·ln f(x) + g(x)·1 f(x)·f0(x)= =f(x)g(x)g0(x)·ln f(x) + g(x)·f0(x) f(x) Další zp˚usob, jak funkci y=f(x)g(x)derivovat, je logaritmovat levou a souˇcasnˇe pravou stranu funkˇcního pˇredpisu, a poté derivovat obˇe strany rovnice. ln y=ln f(x)g(x) ln y=g(x)·ln f(x) [ln y]0=[g(x)·ln f(x)]0 1 y·y0=g0(x)·ln f(x) + g(x)·1 f(x)·f0(x) y0=yg0(x)·ln f(x) + g(x)·f0(x) f(x) y0=f(x)g(x)g0(x)·ln f(x) + g(x)·f0(x) f(x) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 116 – Logaritmická derivace ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete derivaci funkce f(x) = (1−x)x. Funkce má promˇennou xv základu i exponentu a nelze ji v tomto tvaru derivovat. Pomocí funkcí exa ln xa s využitím vzorce ln xa=aln x ji upravíme na tvar vhodný k derivování. f(x) = eln(1−x)x=exln(1−x) Nyní ji m˚užeme derivovat jakou složenou funkci. f0(x) = exln(1−x)(xln(1−x))0= =exln(1−x)1·ln(1−x) + x·1 1−x·(−1)= = (1−x)xln(1−x) + x x−1 Pˇríklad Urˇcete derivaci funkce f(x) = xcos x. Funkce má promˇennou xv základu i exponentu a nelze ji v tomto tvaru derivovat. Nejprve rovnici logaritmujeme. y=xcos x ln y=ln xcos x ln y=cos xln x Nyní rovnici zderivujeme a vyjádˇríme y0. 1 y·y0=−sin xln x+cos x·1 x y0=y−sin xln x+cos x·1 x y0=xcos x−sin xln x+cos x x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 117 – Logaritmická derivace ˇ Ry Cviˇcení Logaritmickým derivováním vypoˇcítejte derivaci funkce: a) y=xx2b) y=xln xc) y= (sin x)cos x Tipy Logaritmické derivování y=f(x)g(x) ln y=ln f(x)g(x) ln y=g(x)·ln f(x) 1 y·y0=g0(x)·ln f(x)+g(x)·1 f(x)·f0(x) y0=y·g0(x)·ln f(x)+g(x)·1 f(x)·f0(x) y0=f(x)g(x)·g0(x)·ln f(x)+g(x)·1 f(x)·f0(x) Druhý zp˚usob, který lze použít, je následující identita: f(x)g(x)=eln f(x)g(x)=eg(x)ln f(x) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 118 – Derivace vyšších ˇrád˚u ˇ Ry Definice Necht’ má funkce f0(x)derivaci na intervalu I. Pak funkci [f0(x)]0nazveme druhou derivací funkce fa znaˇcíme f00(x). Poznámka Obdobnˇe definujeme derivaci n-tého ˇrádu f(n)(x) = hf(n−1)(x)i0. Pˇríklad Urˇcete pátou derivaci funkce f(x) = 3x4+8x2+2x−6. Funkci postupnˇe derivujeme. f0(x) = 12x3+16x+2 f00(x) = 36x2+16 f000(x) = 72x f(4)(x) = 72 f(5)(x) = 0 Pˇríklad Urˇcete druhou derivaci funkce f(x) = xe−x2. f0(x) = 1·e−x2+x·e−x2·(−2x) = =e−x21−2x2 f00(x) = e−x2·(−2x)·1−2x2+e−x2·(−4x) = =e−x2−2x+4x3+e−x2(−4x) = =e−x2−2x+4x3−4x= =e−x24x3−6x Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 119 – Derivace vyšších ˇrád˚u ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete druhou derivaci funkce f(x) = 1−ln x2−9. f0(x) = −1 x2−9·2x= =−2x x2−9 f00(x) = −2·x2−9−(−2x)·2x (x2−9)2= =−2x2+18 +4x2 (x2−9)2= =2x2+18 (x2−9)2 Pˇríklad Urˇcete tˇretí derivaci funkce f(x) = x−2arctan x. f0(x) = 1−2 1+x2= =1+x2−2 1+x2= =x2−1 1+x2 f00(x) = 2x·1+x2−x2−1·2x (1+x2)2= =2x3+2x−2x3+2x (1+x2)2= =4x (1+x2)2 f000(x) = 4·1+x22−4x·21+x2·2x (1+x2)4= =1+x2·4·1+x2−16x2 (1+x2)4= =4+4x2−16x2 (1+x2)3= =4−12x2 (1+x2)3 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 120 – Derivace vyšších ˇrád˚u ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇcítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y=1+x 1−xb) y=x(sin (ln x)+cos (ln x)) Tipy 1. (c)0=0 2. (xn)0=nxn−1 3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1 4. (ex)0=ex 5. (logax)0=1 xln a,a>0, a6=1 6. (ln x)0=1 x 7. (sin x)0=cos x 8. (cos x)0=−sin x 9. (tan x)0=1 cos2x 10. (cot x)0=−1 sin2x 11. (arcsin x)0=1 √1−x2 12. (arccos x)0=−1 √1−x2 13. (arctan x)0=1 1+x2 14. (arccot x)0=−1 1+x2 u=u(x)v=v(x) 15. [c·u]0=c·u0 16. [u±v]0=u0±v0 17. [u·v]0=u0·v+u·v0 18. hu vi0=u0·v−u·v0 v2 19. [u(v)]0=u0(v)·v0 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 121 – l’Hospitalovo pravidlo ˇ Ry l´Hospitalovo pravidlo se používá pro výpoˇcet neurˇcitých limit typu ” 0 0 “nebo ” ±∞ ±∞ “. Vˇeta Necht’ x0∈R∗,L∈R∗, a lim x→x0f(x) = 0, lim x→x0g(x) = 0 nebo lim x→x0f(x) = ±∞, lim x→x0g(x) = ±∞, a necht’ existuje lim x→x0 f0(x) g0(x)=L, pak existuje limita lim x→x0 f(x) g(x)=L. Tedy platí lim x→x0 f(x) g(x)=lim x→x0 f0(x) g0(x)=L. Poznámka Limity vedoucí na neurˇcité výrazy typu ”0·∞“,”∞−∞“,”00“,”∞0“,”0∞“,”1∞“, lze pˇrevést na neurˇcitý typ ” 0 0 “nebo ” ±∞ ±∞ “, a poté ˇrešit l’Hospitalovým pravidlem. Pˇríklad Vypoˇcítejte limity a) lim x→2 x3−3x2+4x−4 6x2−2x−20 , b) lim x→∞ x3−3x2+4x−4 −x2+6x−8. a) Dosazením 2 za xzjistíme o jaký typ limity se jedná. lim x→2 x3−3x2+4x−4 6x2−2x−20 =8−12 +8−4 24 −4−20 = ” 0 0 “ Zderivujeme zvlášt’ ˇcitatel a zvlášt’ jmenovatel a vypoˇcítáme limitu l’Hospitalovým pravidlem. lim x→2 x3−3x2+4x−4 6x2−2x−20 LP =lim x→2 3x2−6x+4 12x−2=12 −12 +4 24 −2=2 11 b) Limita je typu ” ∞ −∞ “. Vypoˇcítáme ji opakovaným použitím l’Hospitalova pravidla. lim x→∞ x3−3x2+4x−4 −x2+6x−8 LP =lim x→∞ 3x2−6x+4 −2x+6 LP =lim x→∞ 6x−6 −2=−∞ Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 128 – l’Hospitalovo pravidlo - další typy neurˇcitosti limit ˇ Ry Cviˇcení Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: a) lim x→∞1+1 xx b) lim x→0+xxc) lim x→0(1+2x)1 x Tipy Limita typu ”00“,”∞0“,”0∞“,”1∞“ l´Hospitalovo pravidlo lim x→x0 f(x) g(x)=lim x→x0 f0(x) g0(x) nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na typ „0 0“nebo „±∞ ±∞“, použitím následující identity: f(x)g(x)=eg(x)ln f(x). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 129 – Derivace parametrické funkce ˇ Ry Definice Jsou dány funkce x=ϕ(t),y=ψ(t), kde t∈Ije parametr. Necht’ existuje ϕ−1. Pak funkci y=f(x) = ψϕ−1(x) nazveme parametricky zadanou funkcí. Vˇeta Funkce fje dána parametricky rovnicemi x=ϕ(t),y=ψ(t), kde t∈I. Necht’ ϕ(t)aψ(t)mají derivaci v každém bodˇe intervalu I,˙ ϕ(t)6=0. Pak derivace parametricky zadané funkce fje dána vztahem y0=˙ ψ(t) ˙ ϕ(t). Poznámka Derivaci podle tznaˇcíme teˇckou, abychom ji odlišili od derivace podle x, kterou znaˇcíme ˇcárkou. Vˇeta Funkce fje dána parametricky rovnicemi x=ϕ(t),y=ψ(t), kde t∈I. Necht’ ϕ(t)aψ(t)mají první a druhou derivaci v každém bodˇe intervalu I,˙ ϕ(t)6=0. Pak druhá derivace parametricky zadané funkce fje dána vztahem y00 =¨ ψ(t)·˙ ϕ(t)−˙ ψ(t)·¨ ϕ(t) (˙ ϕ(t))3. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 130 – Derivace parametrické funkce ˇ Ry Pˇríklad Vypoˇcítejte první a druhou derivaci parametricky zadané funkce x=3 cos t y=3 sin t,t∈h0, πi v bodˇe t=π 4. Parametrické rovnice ϕ(t) = 3 cos t,ψ(t) = 3 sin t dvakrát zderivujeme podle promˇenné t ˙ ϕ(t) = −3 sin t,¨ ϕ(t) = −3 cos t, ˙ ψ(t) = 3 cos t,¨ ψ(t) = −3 sin t a dosadíme do vzorc˚u pro derivace y0=˙ ψ(t) ˙ ϕ(t),y00 =¨ ψ(t)·˙ ϕ(t)−˙ ψ(t)·¨ ϕ(t) (˙ ϕ(t))3. Dostaneme y0=3 cos t −3 sin t=−cot t, y00 =−3 sin t·(−3sin t)−3 cos t·(−3 cos t) (−3 sin t)3= =9sin2t+9cos2t −27sin3t= =−9sin2t+cos2t 27sin3t= =−1 3sin3t. Dosadíme t=π 4a dostaneme y0π 4=−cot π 4=−1, y00 π 4=−1 3sin3π 4 =−1 3√2 23=−2 3√2. Poznámka Grafem funkce je horní polovina kružnice o stˇredu [0,0]a polomˇeru 3. Funkce se dá zapsat také pˇredpisem y=p9−x2. Derivace této funkce jsou y0=−x √9−x2,y00 =−9 q(9−x2)3. Bodu t=π 4odpovídá bod x=3 cos π 4=3 2√2 a dostáváme y03 2√2=−1, y00 3 2√2=−2 3√2. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 131 – Derivace parametrické funkce ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇcítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x=tan t,y=sin2t 2,t∈0, π 2b) x=5(t−cos t),y=5(1+sin t),t∈ h0, πi Tipy x=ϕ(t) y=ψ(t) y0=˙ ψ(t) ˙ ϕ(t)˙ ϕ(t)6=0 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 132 – Derivace parametrické funkce ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇcítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x=1−t 1+ty=2t 1+tt∈ h0,1ib) x=acos t,y=bsin t,a,b∈R,t∈(0, π) Tipy x=ϕ(t) y=ψ(t) y0=˙ ψ(t) ˙ ϕ(t)˙ ϕ(t)6=0 y00 =¨ ψ(t)·˙ ϕ(t)−˙ ψ(t)·¨ ϕ(t) (˙ ϕ(t))3 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 133 – Diferenciál funkce ˇ Ry Definice ˇ Rekneme, že funkce y=f(x)je v bodˇe x0diferencovatelná, nebo má v tomto bodˇe diferenciál, jestliže je možné její pˇrír˚ustek ∆yna okolí bodu x0vyjádˇrit jako ∆y=f(x0+h)−f(x0) = Ah+hτ(h), kde Aje konstanta a limh→0τ(h) = 0. Funkce fse nazývá diferencovatelná, je-li diferencovatelná v každém bodˇe x∈Df. Vˇeta Je-li funkce fdiferencovatelná v bodˇe x0, pak v bodˇe x0existuje derivace prvního ˇrádu a platí A=f0(x0). Poznámka ˇ Císlo hpˇredstavuje pˇrír˚ustek na ose x, je zvykem tento pˇrír˚ustek znaˇcit h=dx. Pro pˇrír˚ustek na ose yv bodˇe x0pˇri známé hodnotnˇe dxpak dostáváme ∆y=f0(x0)dx+dxτ(dx). Vˇeta Je-li funkce fdiferencovatelná v bodˇe x0, pak je v tomto bodˇe spojitá. Vˇeta Je-li derivace prvního ˇrádu funkce fspojitá v x0, pak je funkce fv bodˇe x0diferencovatelná (a tedy i spojitá). Definice diferenciálu funkce Je-li funkce y=f(x)diferencovatelná, nazýváme následující výraz diferenciálem funkce f, dy=df(x) = f0(x)dx. Geometrický význam diferenciálu Diferenciál funkce y=f(x)v bodˇe x0pˇri známém pˇrír˚ustku dxje pˇrír˚ustek na teˇcnˇe sestrojené ke grafu funkce fv bodˇe [x0,f(x0)]. α α f t dx x0 f(x0) x f(x) T X ∆y=f(x)−f(x0) ∆x=x−x0 dy tan α=kt=f0(x0) = dy dx⇒dy=f0(x0)dx Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 134 – Diferenciál funkce ˇ Ry Poznámka • Diferenciál funkce y=f(x) dy=f0(x)dx. • Diferenciál funkce y=f(x)v bodˇe x0 dy(x0) = f0(x0)(x−x0). • Diferenciál funkce y=f(x)v bodˇe x0pˇri známém pˇrír˚ustku dx, dy(x0)(dx) = f0(x0)dx∈R. • Diferenciál druhého ˇrádu funkce y=f(x) d2y=f00(x)dx2. • Diferenciál n-tého ˇrádu funkce y=f(x) dny=f(n)(x)dxn. • Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f(x)≈f(x0) + df(x0)(dx). Pˇríklad Vypoˇcítejte diferenciál funkce f(x) = 2x2+1e3x2 a) v obecném bodˇe x, b) v bodˇe x0=1. a) Vypoˇcítáme derivaci f0a dosadíme do vzorce pro diferenciál, dy=f0(x)dx. f0(x) = 4xe3x2+2x2+1e3x26x= =4xe3x2+12x3+6xe3x2= =12x3+10xe3x2 Diferenciál v obecném bodˇe xvzhledem k obecnému pˇrír˚ustku dxje dy=12x3+10xe3x2dx. b) Dosadíme bod x0=1 a dostaneme dy(1) = 22e3(x−1). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 135 – Diferenciál funkce - pˇribližný výpoˇcet funkˇcní hodnoty ˇ Ry Pˇríklad Vypoˇcítejte pˇribližnˇe s využitím diferenciálu √7. K výpoˇctu použijeme funkci f(x) = √x, za bod x0zvolíme blízký bod se známou hodnotou x0=9 a spoˇcítáme funkˇcní hodnotu, derivaci a diferenciál v tomto bodˇe. f(9) = √9=3 f0(x) = 1 2x−1 2=1 2√x f0(9) = 1 2√9=1 6 dy(9) = 1 6(x−9) Použijeme vzorec pro výpoˇcet pˇribližné hodnoty funkce f(x)≈f(x0) + df(x0)(dx), kde dx=x−x0=7−9=−2. Dostaneme √7=f(7)≈3+1 6·(−2) = 3−1 3=8 3=2,6. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 136 – Diferenciál funkce ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇcítejte diferenciál funkce y=f(x)v obecném bodˇe xvzhledem k obecnému pˇrír˚ustku dx: a) y=1 2√xb) y=x3+1 x3−1c) y=tan2xd) y=arctane2x Tipy Diferenciál funkce y =f(x) dy=f0(x)dx Diferenciál funkce f v bodˇe x0 dy(x0) = f0(x0)·(x−x0) Diferenciál funkce f v bodˇe x0 pˇri známém pˇrír˚ustku dx dy(x0)(dx) = f0(x0)·dx∈R Diferenciál druhého ˇrádu funkce y=f(x) d2y=f00(x)dx2 Diferenciál n-tého ˇrádu funkce y=f(x) dny=f(n)(x)dxn Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f(x)≈f(x0) + df(x0)(dx) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 137 – Diferenciál funkce ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇcítejte diferenciál funkce y=f(x)v bodˇe x0: a) y=cos2x,x0=π 4b) y=ln x+√x,x0=1 Tipy Diferenciál funkce y =f(x) dy=f0(x)dx Diferenciál funkce f v bodˇe x0 dy(x0) = f0(x0)·(x−x0) Diferenciál funkce f v bodˇe x0 pˇri známém pˇrír˚ustku dx dy(x0)(dx) = f0(x0)·dx∈R Diferenciál druhého ˇrádu funkce y=f(x) d2y=f00(x)dx2 Diferenciál n-tého ˇrádu funkce y=f(x) dny=f(n)(x)dxn Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f(x)≈f(x0) + df(x0)(dx) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 144 – Teˇcna ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete rovnice teˇcen ke grafu funkce f, které jsou rovnobˇežné s pˇrímkou p: a) y=x2+4x−5, p: 4x−y=0 b) y=x3−12x,p:y=2 Tipy smˇernicový tvar rovnice teˇcny t:y−y0=kt(x−x0) bod dotyku T=[x0,y0] smˇernice teˇcny kt=f0(x0) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 145 – Teˇcna ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete rovnice teˇcen ke grafu funkce f, které jsou rovnobˇežné s osou x: a) y=x2+4x−5b) y=2x2−2x+1 Tipy smˇernicový tvar rovnice teˇcny t:y−y0=kt(x−x0) bod dotyku T=[x0,y0] smˇernice teˇcny kt=f0(x0) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 146 – Taylor˚uv polynom ˇ Ry Pro aproximaci funkce fna okolí bodu x0se používá tzv. Taylor˚uv polynom, což je polynom, který má vhledem k funkci fv bodˇe x0stejné hodnoty derivací až do ˇrádu n. Definice Necht’ je dána funkce f, která má v bodˇe x0∈Dfderivace až do ˇrádu n∈N. Pak polynom Tn(x) = f(x0) + 1 1!df(x0) + 1 2!d2f(x0) + ···+1 n!dnf(x0) nazveme Taylor˚uv polynom funkce fstupnˇe nna okolí bodu x0. Poznámka • Taylor˚uv polynom je kombinací diferenciál˚u až do stupnˇe n. • Rozepíšeme-li diferenciály, dostáváme alternativní tvar Taylorova polynomu, Tn(x) = f(x0) + f0(x0) 1! (x−x0) + f00(x0) 2! (x−x0)2+···+f(n)(x0) n!(x−x0)n. • Taylor˚uv polynom prvního stupnˇe je teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe x0. • V pˇrípadˇe x0=0 se Taylor˚uv polynom nazývá Maclaurin˚uv polynom. f T1 T2 T3 x0 f(x0)T Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 147 – Taylor˚uv polynom ˇ Ry Pˇríklad Sestavte Taylor˚uv polynom stupnˇe 5 funkce f(x) = xln xna okolí bodu x0=1. Vypoˇcítáme funkˇcní hodnotu a derivace až do ˇrádu 5 v bodˇe x0=1. f(x) = xln x f (1) = 0 f0(x) = ln x+1f0(1) = 1 f00(x) = 1 xf00(1) = 1 f000(x) = −1 x2f000(1) = −1 f(4)(x) = 2 x3f(4)(1) = 2 f(5)(x) = −6 x4f(5)(1) = −6 Dosadíme do vzorce pro Taylor˚uv polynom Tn(x) = f(x0) + f0(x0) 1! (x−x0) + f00(x0) 2! (x−x0)2+···+f(n)(x0) n!(x−x0)n a dostaneme T5(x) = 0+1 1!(x−1) + 1 2!(x−1)2−1 3!(x−1)3+2 4!(x−1)4−6 5!(x−1)5= =x−1+1 2(x−1)2−1 6(x−1)3+1 12(x−1)4−1 20(x−1)5. 0 −5−4−3−2−1 1 2 3 45 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 T5 f T Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 148 – Taylor˚uv polynom ˇ Ry Pˇríklad Pomocí Maclaurinova polynomu stupnˇe 7 funkce sin xvypoˇctˇete pˇribližnou hodnotu sin1. Vypoˇcítáme funkˇcní hodnotu a derivace až do ˇrádu 7 v bodˇe x0=0. f(x) = sin x f (0) = 0 f0(x) = cos x f 0(0) = 1 f00(x) = −sin x f 00(0) = 0 f000(x) = −cos x f 000(0) = −1 f(4)(x) = sin x f (4)(0) = 0 f(5)(x) = cos x f (5)(0) = 1 f(6)(x) = −sin x f (6)(0) = 0 f(7)(x) = −cos x f (7)(0) = −1 Maclaurin˚uv polynom dostaneme jako Taylor˚uv polynom pro x0=0. Mn(x) = f(x0) + f0(x0) 1! x+f00(x0) 2! x2+···+f(n)(x0) n!xn Po dosazení dostaneme Maclaurin˚uv polynom stupnˇe 7. M7(x) = 0+1 1!x+0 2!x2−1 3!x3+0 4!x4+1 5!x5+0 6!x6−1 7!x7= =x−x3 3! +x5 5! −x7 7! Vypoˇcítáme hodnotu polynomu v bodˇe x=1. M7(1) = 1−1 3! +1 5! −1 7! =1−1 6+1 120 −1 5040 =4241 5040 . =0,841468 Funkci sin xaproximujeme Maclaurinovým polynomem a tedy sin1 ≈M7(1). =0,841468. 0 −6−5−4−3−2−1 1 2 3 45 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 M7 f T [1, M7(1)] ≈[1,sin(1)] Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 149 – Taylor˚uv polynom ˇ Ry Cviˇcení Napište Taylor˚uv polynom n-tého stupnˇe Tn(x)na okolí bodu x0pro funkci: a) f:y=1 √x,x0=1, n=3 b) f:y=ln x,x0=1, n=3 Tipy Taylor˚uv polynom n-tého stupnˇe funkce y=f(x)v bodˇe x0 Tn(x0) = f(x0) + df(x0) 1! +···+dnf(x0) n! Taylor˚uv polynom tˇretího stupnˇe funkce y=f(x)v bodˇe x0 T3(x0) = f(x0) + df(x0) 1! +d2f(x0) 2! +d3f(x0) 3! resp. T3(x0) = f(x0) + 1 1! f0(x0)(x−x0) +1 2! f00(x0)(x−x0)2+1 3! f000(x0)(x−x0)3 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 150 – Vˇety o derivaci ˇ Ry Vˇeta Rolleova Necht’ f(x)je spojitá na intervalu ha,bia má v intervalu (a,b)derivaci. Necht’ dále platí f(a) = f(b). Pak existuje aspoˇn jedno c∈(a,b)takové, že: f0(c) = 0. Poznámka V bodˇe cje teˇcna rovnobˇežná s osou x. 0x y ab f(a) = f(b) c f(c)f0(c) = 0 Vˇeta Lagrangeova o stˇrední hodnotˇe Necht’ f(x)je spojitá na intervalu ha,bia má v intervalu (a,b)derivaci. Pak existuje aspoˇn jedno c∈(a,b)takové, že: f0(c) = f(b)−f(a) b−a. Poznámka 1. V bodˇe cje teˇcna rovnobˇežná se spojnicí bod˚u [a,f(a)] a[b,f(b)]. 2. Platí-li f(a) = f(b)dostaneme Rolleovu vˇetu. 0x y a c b f(a) f(b) f(c) Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 151 – Monotónnost, lokální extrémy ˇ Ry Vˇeta o monotónnosti funkce Platí-li f0(x0)>0, pak je funkce fv bodˇe x0rostoucí. Platí-li f0(x0)<0, pak je funkce fv bodˇe x0klesající. Vˇeta Necht’ je funkce fdefinována na intervalu I. Platí-li na I f 0(x)>0, pak je funkce fna Irostoucí. Platí-li f0(x)<0 na I, pak je funkce fna I klesající. Poznámka Intervaly, na kterých je funkce rostoucí nebo klesající se nazývají intervaly monotónnosti. Definice lokálního maxima funkce ˇ Rekneme, že funkce fmá v bodˇe x0lokální maximum, jestliže existuje takové okolí bodu x0, že pro všechna x6=x0z tohoto okolí platí f(x)≤ f(x0). Platí-li f(x)<f(x0), pak ˇrekneme, že funkce fmá v bodˇe x0 ostré lokální maximum. Definice lokálního minima funkce ˇ Rekneme, že funkce fmá v bodˇe x0lokální minimum, jestliže existuje takové okolí bodu x0, že pro všechna x6=x0z tohoto okolí platí f(x)≥ f(x0). Platí-li f(x)>f(x0), pak ˇrekneme, že funkce fmá v bodˇe x0 ostré lokální minimum. Definice globálního maxima a minima funkce Bod z definiˇcního oboru funkce f, ve kterém funkce fnabude maximální resp. minimální funkˇcní hodnoty se nazývá globální maximum resp. globální minimum funkce f. Poznámka • Má-li funkce v bodˇe lokální maximum nebo lokální minimum, ˇríkáme, že má v bodˇe lokální extrém. • Má-li funkce v bodˇe ostré lokální maximum nebo ostré lokální minimum, ˇríkáme, že má v bodˇe ostrý lokální extrém. • Má-li funkce v bodˇe globální maximum, nebo globální minimum, ˇríkáme, že má v bodˇe globální extrém. Globální extrémy hledáme v lokálních extrémech, nebo v krajích bodech definiˇcního oboru. f LOK MAX LOK MIN klesající funkce rostoucí funkce Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 152 – Monotónnost, lokální extrémy ˇ Ry Vˇeta o nutné podmínce existence lokálního extrému Má-li funkce fv bodˇe x0lokální extrém a existuje-li v tomto bodˇe derivace, pak platí f0(x0) = 0. Poznámka Funkce m˚uže mít lokální extrém pouze v bodech, ve kterých bud’ derivace neexistuje, nebo je derivace rovna nule. Definice stacionárního bodu Bod x0∈Df, ve kterém platí f0(x0) = 0, nazveme stacionárním bodem. Vˇeta o postaˇcující podmínce existence lokálního extrému Necht’ platí f0(x0) = 0 a existuje druhá derivace f00(x0). Je-li f00(x0)>0, pak má funkce fv bodˇe x0lokální minimum. Je-li f00(x0)<0, pak má funkce fv bodˇe x0 lokální maximum. Poznámka V bodech, ve kterých je f00(x0) = 0, nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout podle této vˇety, je nutné vyšetˇrit lokální chování funkce fna okolí bodu x0. Postup pˇri urˇcování lokálních extrém˚u - první derivace 1. Urˇcíme derivaci funkce a její definiˇcní obor. 2. Najdeme stacionární body. 3. Stacionární body a body nespojitosti první derivace rozdˇelí definiˇcní obor na intervaly. Na tˇechto intervalech rozhodneme o kladnosti resp. zápornosti derivace. Kladná derivace indikuje rostoucí funkci, záporná klesající. 4. Lokální maximum je v bodech, ve kterých funkce pˇrechází z rostoucí na klesající. Lokální minimum je v bodech, ve kterých funkce pˇrechází z klesající na rostoucí. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 153 – Monotónnost, lokální extrémy ˇ Ry Pˇríklad Najdˇete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce f(x) = −x4 4+x3 3+x2−8. 1. Definiˇcní obor funkce Df=R. Spoˇcítáme derivaci f0(x) = −x3+x2+2x Definiˇcní obor derivace Df0=Ra derivace tedy nemá body nespojitosti. 2. Položíme derivaci rovnu nule a urˇcíme stacionární body. −x3+x2+2x=0 x−x2+x+2=0 Souˇcin je roven nule, když jeden z ˇcinitel˚u je roven nule. Jedno ˇrešení je x1=0. Vyˇrešíme kvadratickou rovnici a dostaneme další dvˇe ˇrešení x2=−1 a x3=2. Funkce má tˇri stacionární body. 3. Stacionární body rozdˇelí definiˇcní obor na intervaly, na kterých urˇcíme znaménka derivace. Na intervalech, kde je derivace kladná resp. záporná, je funkce rostoucí resp. klesající. −10 2 + %− & + %− & MAX MAX MIN f0 f Na intervalech (−∞,−1)∪(0,2)funkce roste, (−1,0)∪(2, ∞)funkce klesá. 4. V bodech x=−1 a x=2 pˇrechází funkce z rostoucí na klesající a v bodˇe x=0 z klesající na rostoucí. Funkce má v x=−1 a x=2 ostrá lokální maxima, x=0 ostré lokální minimum. −5−4−3−2−1 1 2 3 4 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 f MAX1 MAX2 MIN Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I Analytická geometrie Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 257 – Vektory ˇ Ry Definice Vektorový prostor Vnad množinou reálných ˇcísel Rje množina s operací sˇcítání +prvk˚u z V(vektor˚u) a vnˇejší násobení ·vektoru reálným ˇcíslem, pˇriˇcemž ∀u,v,w∈V,p,q∈Rplatí: 1. u+v=v+u5. 1 ·u=u 2. u+ (v+w) = (u+v) + w6. p·(q·u) = (p·q)·u 3. ∃o∈V:u+o=u7. (p+q)·u= (p·u) + (q·u) 4. ∃−u∈V:u+ (−u) = o8. p·(u+v) = (p·u) + (p·v) Poznámka V množinˇe Vexistuje neutrální prvek v˚uˇci sˇcítání, tzv. nulový vektor, tj. platí o+u=u+o=u. Poznámka Pˇríkladem vektorových prostor˚u nad množinou Rje samotná množina R, dále kartézský souˇcin množin reálných ˇcísel se sebou, Rn(tzv. aritmetický vektorový prostor). My se pro naše úˇcely omezíme na vektorový prostor R3nad R. Jeho prvky (uspoˇrádáné trojice) budeme nazývat aritmetické vektory, znaˇcíme u= (u1,u2,u3). Definice Lineární kombinací vektor˚u u1,u2, . . . , un∈Vrozumíme vektor v=λ1u1+λ2u2+···+λnun∈V, kde λ1,λ2, . . . λn∈R. Definice ˇ Rekneme, že vektory u1,u2, . . . , un∈Vgenerují V, jestliže lze každý vektor z Vvyjádˇrit jako jejich lineární kombinaci. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 258 – Vektory ˇ Ry Definice ˇ Rekneme, že vektory u1,u2, . . . , un∈Vjsou lineárnˇe nezávislé, jestliže λ1u1+λ2u2+···+λnu=o⇒λ1=λ2=··· =λn=0. Neplatí-li tato podmínka, pak jsou vektory lineárnˇe závislé. Definice ˇ Rekneme, že vektory u1,u2, . . . , un∈Vtvoˇrí bázi vektorového prostoru V, jestliže generují Va jsou lineárnˇe nezávislé. Poˇcet vektor˚u báze se pak nazývá dimenze vektorového prostoru V, znaˇcíme Vnnebo dimV=n. Definice Necht’ vektory u1,u2, . . . , un∈Vtvoˇrí bázi V. Pak koeficienty λ1,λ2, . . . , λn∈Rlineární kombinace v=λ1u1+λ2u2+··· +λnun se nazývají souˇradnice vektoru vv bázi u1,u2, . . . , un; zapisujeme v= (λ1,λ2, . . . , λn). Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 259 – Vektory ˇ Ry Definice Bud’ Vvektorový prostor nad R. Zobrazení ·:V×V→Rse nazývá skalární souˇcin na V, jestliže pro každé u,v,w∈Va libovolné c∈R 1. (u+v)·w=u·w+v·w3. u·v=v·u 2. (cu)·v=c(u·v)4. u6=o⇒u·u>0 Definice ˇ Rekneme, že vektory u,v∈Vjsou na sebe kolmé, jestliže u·v=0. Velikostí vektoru urozumíme ˇcíslo |u|=√u·u. Definice ˇ Rekneme, že báze u1,u2, . . . , unvektorového prostoru Vje ortonormální, jestliže vektory báze jsou jednotkové (jejich velikost je rovna jedné) a navzájem na sebe kolmé. Odpovídající souˇradnice v ortonormální bázi pak nazýváme kartézské souˇradnice. Definice Bud’ Vvektorový prostor. Afinním prostorem nad Vrozumíme množinu A, spoleˇcnˇe s operací sˇcítání +, která libovolnému prvku z Aa libovolnému vektoru z Vpˇriˇradí prvek z A, tj. A+u=B, pro každé A,B∈ A,u∈V. Prvk˚um z Aˇríkáme body. Definice Bud’ Aafinní prostor nad V. Je-li na Vzaveden skalární souˇcin, pak se afinní prostor nazývá Eukleidovský prostor,E. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 260 – Eukleidovský prostor ˇ Ry Omezíme se na trojrozmˇerný Eukleidovský prostor, který budeme oznaˇcovat E3a ztotožˇnovat s R3, body E3znaˇcíme A= [a1,a2,a3]. Poznámka V trojrozmˇerném prostoru E3je kartézský souˇradnicový systém reprezentován tˇremi vzájemnˇe kolmými osami x,y,z, které se protínají v jednom spoleˇcném bodˇe, poˇcátku soustavy souˇradnic O. Poznámka VE3zvolíme ortonormální bázi tvoˇrenou vektory i= (1,0,0),j= (0,1,0)ak= (0,0,1). Každý vektor u∈ E3lze zapsat jako lineární kombinaci vektor˚u báze u=u1i+u2j+u3k.ˇ Císla u1,u2,u3se nazývají kartézské souˇradnice vektoru u, znaˇcíme u= (u1,u2,u3). Definice VE3jsou souˇradnice bodu Av kartézské soustavˇe souˇradnic trojice reálných ˇcísel a1,a2,a3, které dostaneme jako vzdálenost poˇcátku soustavy souˇradnic a kolmého pr˚umˇetu bodu Ana odpovídající souˇradnicové osy x,y,z, znaˇcíme A=[a1,a2,a3]. Definice Necht’ A=[a1,a2,a3],B=[b1,b2,b3]jsou dva body v E3.Orientovanou úseˇckou AB nazveme úseˇcku s poˇcáteˇcním bodem Aa koncovým bodem B.Geometrickým vektorem rozumíme množinu všech souhlasnˇe orientovaných úseˇcek téže velikosti. Souˇradnice vektoru AB jsou urˇceny rozdílem souˇradnic koncového a poˇcáteˇcního bodu, AB =B−A. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 261 – Eukleidovský prostor ˇ Ry Definice Nulovým vektorem onazýváme vektor, jehož poˇcáteˇcní a koncový bod splývají, tedy jeho velikost je rovna nule. Definice Necht’ A= [a1,a2,a3]∈ E3.Polohovým vektorem nazveme orientovanou úseˇcku OA, kde O= [0,0,0]. Poznámka Polohový vektor lze chápat jako tˇelesovou úhlopˇríˇcku kvádru o hranách a1,a2,a3. Vˇeta Necht’ jsou dány vektory a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3). Pak platí •pro násobení vektoru reálným ˇcíslem c∈R c·a= (c·a1,c·a2,c·a3), •pro rovnost vektor˚u a=b⇔a1=b1,a2=b2,a3=b3, •pro souˇcet vektor˚u a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3), •pro rozdíl vektor˚u a−b= (a1−b1,a2−b2,a3−b3). xy z a1a2 a3 OA = (a1,a2,a3) ca a a ba+b a b −ba−b Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 262 – Skalární souˇcin vektor˚u ˇ Ry Definice Skalárním souˇcinem dvou vektor˚u a,b, je ˇcíslo a·b, pro které platí a·b=a1·b1+a2·b2+a3·b3. Definice Necht’ je dán vektor a= (a1,a2,a3).Velikostí vektoru arozumíme ˇcíslo |a|=√a·a=pa12+a22+a32. Definice Odchylka dvou nenulových vektor˚u a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3)je ˇcíslo, úhel ϕ∈ h0, πisplˇnující a·b=|a||b|cos ϕ. Poznámka o vlastnostech skalárního souˇcinu • komutativní zákon a·b=b·a, • distributivní zákon a·(b+c) = a·b+a·c, • kolmost vektor˚u a⊥b⇔a·b=0, • je-li jeden z vektor˚u a,bnulový, pak a·b=0. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 263 – Skalární souˇcin vektor˚u ˇ Ry Pˇríklad Zjistˇete, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý, jestliže A= [−2,3,1],B= [2, −1,3],C= [5, 0, −1]. Spoˇcítejte úhel αu vrcholu Atrojúhelníku ABC. Trojúhelník je pravoúhlý, jestliže dvˇe jeho strany jsou na sebe kolmé a úhel mezi nimi je roven 90◦. Spoˇcítáme souˇradnice vektor˚u, které urˇcují tˇri strany trojúhelníku, a=BC =C−B= [5, 0, −1]−[2, −1,3]=(3,1, −4), b=AC =C−A= [5, 0, −1]−[−2,3,1]=(7, −3, −2), c=AB =B−A= [2, −1,3]−[−2,3,1]=(4, −4,2). Pomocí skalárního souˇcinu zjistíme, jestli jsou mezi nimi dva na sebe kolmé vektory. Skalární souˇcin dvou kolmých vektor˚u musí být roven 0. a·b=3·7+1·(−3)−4·(−2) = 21 −3+8=26, b·c=7·4−3·(−4)−2·2=28 +12 −4=36, a·c=3·4+1·(−4)−4·2=12 −4−8=0. Vektor aje kolmý na vektor c, úhel u vrcholu Btrojúhelníku ABC je 90◦, trojúhelník ABC je pravoúhlý. Pro nalezení úhlu αu vrcholu Atrojúhelníku ABC ještˇe potˇrebujeme spoˇcítat velikosti vektor˚u b,c, |b|=√b·b=q72+ (−3)2+ (−2)2=√49 +9+4=√62, |c|=√c·c=q42+ (−4)2+22=√16 +16 +4=√36 =6. Pro úhel αplatí cos α=b·c |b|·|c|=36 √62 ·6=6 √62 =6√62 62 =3√62 31 . =0,7620. Odtud získáme α. =40◦220. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 264 – Skalární souˇcin vektor˚u ˇ Ry Cviˇcení Vypoˇctˇete skalární souˇcin a odchylku vektor˚u u,v. Jsou tyto vektory na sebe kolmé? a) u= (−1, −1,4),v= (−1, 2, −2), b) u= (2, 3, −1),v= (13, −6,8). Tipy Skalární souˇcin: u·v=u1·v1+u2·v2+u3·v3, Odchylka vektor˚u: cos ϕ=u·v |u||v| Velikost vektoru: |u|=qu2 1+u2 2+u2 3 POZOR: Co je výsledkem skalárního souˇcinu? Kolmost vektor˚u: u⊥v⇔u·v=0 Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 265 – Vektorový souˇcin vektor˚u ˇ Ry Definice Vektorovým souˇcinem dvou vektor˚u a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3) rozumíme vektor c=a×b, pro který platí c=a×b= i j k a1a2a3 b1b2b3 , kde i= (1,0,0),j= (0,1,0),k= (0,0,1). Poznámka c=a×b= a2a3 b2b3,− a1a3 b1b3, a1a2 b1b2 Vˇeta Mˇejme dva lineárnˇe nezávislé nenulové vektory a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3)a vektor c=a×b, pak platí • vektor cje kolmý na vektory aab, tedy c⊥a∧c⊥b, • pro velikost vektoru c |c|=|a×b|=|a|·|b|·sin ϕ, kde ϕje úhel, který svírají vektory a,b, • vektory a,b,cv tomto poˇradí tvoˇrí tzv. pravotoˇcivou trojici. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 272 – Pˇrímka v R3ˇ Ry Pˇrímku lze jednoznaˇcnˇe urˇcit dvˇema r˚uznými body nebo bodem a vektorem, tzv. urˇcujícím smˇerem pˇrímky, p={A,B},p={A,AB},p={A,u}. Definice Vektorovou (symbolickou) rovnicí pˇrímky p={A,u}nazýváme rovnici p:X=A+tu, bod X∈p,uje smˇerovým vektorem pˇrímky p,t∈Rje parametr pˇrímky p. Definice Necht’ je dán bod A= [a1,a2,a3]a smˇerový vektor u= (u1,u2,u3). Parametrickými rovnicemi pˇrímky p={A,u}nazveme rovnice x=a1+tu1, p:y=a2+tu2,t∈R, z=a3+tu3, bod X= [x,y,z]∈pje bod ležící na pˇrímce p. Poznámka Obecná rovnice pˇrímky v prostoru R3neexistuje! Pˇrímku lze však zadat jako pr˚useˇcnici dvou rovin. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 273 – Pˇrímka v R3ˇ Ry Pˇríklad Naleznˇete parametrické rovnice pˇrímky p, která prochází body A= [0, −2, 4],B= [1,3,0]. Pro získání parametrických rovnic pˇrímky potˇrebujeme znát jeden její bod a smˇerový vektor pˇrímky. Smˇerový vektor upˇrímky pspoˇcítáme ze zadaných bod˚u u=AB =B−A= (1, 5, −4). Parametrické rovnice pˇrímky získáme rozepsáním vektorové rovnice X=A+tupo souˇradnicích, p: x=t, y=−2+3t, z=4, t∈R. Pˇríklad Naleznˇete parametrické rovnice pˇrímky p, která prochází bodem A= [4, 7,6]a je rovnobˇežná s pˇrímkou q:x=−3+t,y=5−2t, z=9+5t,t∈R. Pro získání parametrických rovnic pˇrímky potˇrebujeme znát jeden její bod a smˇerový vektor pˇrímky. Bod Aje zadaný. Smˇerový vektor pˇrímky pm˚užeme vzít stejný jako smˇerový vektor zadané pˇrímky q, protože pˇrímky jsou rovnobˇežné, up=uq= (1, −2,5). Pˇrímka pmá parametrické rovnice p: x=4+s, y=7−2s, z=6+5s, s∈R. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 274 – Pˇrímka v R3ˇ Ry Cviˇcení a) Urˇcete rovnici pˇrímky purˇcené bodem A= [1, −1, −3]a smˇerem u= (5, −4,2). b) Zjistˇete zda body A= [1, −3,2],B= [2,0,2]leží na pˇrímce p: x=−1+3t y=2−2t z=1+t t∈R. c) Urˇcete rovnici pˇrímky qprocházející bodem K= [1, −1, −3]a rovnobˇežné s pˇrímkou p: x=−1+3t y=3−2t z=2+5t t∈R. Tipy Bod leží na pˇrímce, jestliže jeho složky vyhovují rovnici pˇrímky. Smˇerový vektor pˇrímky pje také smˇerovým vektorem rovnobˇežné pˇrímky q. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 275 – Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Necht’ jsou dány dvˇe pˇrímky p,qo rovnicích: p:X=A+tu,q:X=B+sv. Rozlišujeme ˇctyˇri typy vzájemných poloh, vždy záleží, co mají anebo nemají pˇrímky spoleˇcného, pˇrímky tedy mohou být: •rovnobˇežné r˚uzné pkq⇔mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod •totožné p≡q⇔mají spoleˇcný smˇer a bod, tzn. všechny body •r˚uznobˇežné p∩q={P} ⇔ nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod •mimobˇežné p6 | q⇔nemají spoleˇcný smˇer ani bod Poznámka Spoleˇcnému bodu r˚uznobˇežných pˇrímek se ˇríká pr˚useˇcík. Ke zjištˇení konkrétní vzájemné polohy se používá klasifikaˇcní matice. Matici poskládáme ze smˇerových vektor˚u a pˇridáme tzv. bodový smˇer, vektor spojující urˇcující body pˇrímek. ˇ Rádky, které se v matici pˇri ˇrádkovˇe ekvivalentních úpravách pˇri pˇrevodu matice na schodovitý tvar anulují, pak indikují odpovídající spoleˇcnou vlastnost. Klasifikaˇcní matice p={A,u},q={B,v},  u v AB  Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 276 – Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek paq, jestliže pˇrímka pje urˇcená bodem A= [4, 6,5]a smˇerovým vektorem u= (−2,4,2), a pˇrímka qje urˇcená bodem B= [−2,8,4]a smˇerovým vektorem v= (1, −2, −1). V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. Využijeme klasifikaˇcní matici tvoˇrenou smˇerovými vektory pˇrímek u,v, a jedním bodovým smˇerem AB, AB =B−A= [−2, 8,4]−[4,6,5]=(−6, 2, −1). V klasifikaˇcní matici se snažíme anulovat pomocí ˇrádkových úprav co nejvíce ˇrádk˚u tak, aby z˚ustala oddˇelená ˇcást se smˇerovými vektory od ˇcásti s bodovým vektorem AB.   u v AB  = −2 4 2 1−2−1 −6 2 −1 ←−2 ←−−− − 3 ∼ −2 4 2 0 0 0 0−10 −7 mají spoleˇcný smˇer (rovnobˇežné nebo totožné) ⇒nemají spoleˇcný bod Z klasifikaˇcní matice vyplývá, že pˇrímky paqjsou rovnobˇežné, pkq. Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek p,q. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. p: x=10 −2t, y=1+2t, z=4−t, t∈R,q: x=6−4s, y=5+4s, z=2−2s, s∈R. Využijeme klasifikaˇcní matici tvoˇrenou smˇerovými vektory pˇrímek u,v, a jedním bodovým smˇerem AB, u= (−2, 2, −1), v= (−4, 4, −2), AB =B−A= [6,5,2]−[10,1,4]=(−4, 4, −2). Upravíme klasifikaˇcní matici.   u v AB  = −2 2 −1 −4 4 −2 −4 4 −2 ←− − 2 ←−−−− − 2 ∼ −2 2 −1 0 0 0 0 0 0 mají spoleˇcný smˇer (rovnobˇežné nebo totožné) ⇒mají spoleˇcný bod Z klasifikaˇcní matice vyplývá, že pˇrímky paqjsou totožné, p≡q. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 277 – Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek p={P,u},q={Q,v}, jestliže P= [0, 0,3],u= (−3, 3,1),Q= [5, −5,3],v= (2, −2,1). V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. Využijeme klasifikaˇcní matici tvoˇrenou smˇerovými vektory pˇrímek u,v, a jedním bodovým smˇerem PQ PQ =Q−P= [5, −5,3]−[0,0,3]=(5, −5,0). V klasifikaˇcní matici se snažíme anulovat pomocí ˇrádkových úprav co nejvíce ˇrádk˚u tak, aby z˚ustala oddˇelená ˇcást se smˇerovými vektory od ˇcásti s bodovým vektorem.   u v PQ  = −3 3 1 2−2 1 5−5 0 ←− 2 3 ←−−− 5 3∼ −3 3 1 0 0 5 0 0 5 ←− − 1 ∼ −3 3 1 0 0 5 0 0 0 nemají spoleˇcný smˇer (r˚uznobˇežné nebo mimobˇežné) ⇒mají spoleˇcný bod Z klasifikaˇcní matice vyplývá, že pˇrímky paqjsou r˚uznobˇežné, p∩q=R. Nalezneme souˇradnice pr˚useˇcíku zadaných pˇrímek. Napíšeme si parametrické rovnice pˇrímek, p: x=−3t, y=3t, z=3+t, t∈R,q: x=5+2s, y=−5−2s, z=3+s, s∈R, porovnáním pravých stran parametrických rovnic získáme lineární soustavu tˇrech rovnic o dvou neznámých, kterou vyˇrešíme. −3t=5+2s, 3t=−5−2s, 3+t=3+s,⇒−3t−2s=5, 3t+2s=−5, t−s=0, Rozšíˇrenou matici soustavy upravíme na schodovitý tvar  −3−2 5 3 2 −5 1−1 0 ←− ←−− 3∼ −3−2 5 0 0 0 0−5 5 ←− ←− ∼ −3−2 5 0−5 5 0 0 0  −5s=5 s=−1−3t−2s=5 −3t+2=5 −3t=3 t=−1 soustava má jediné ˇrešení t=−1, s=−1. Souˇradnice pr˚useˇcíku Rzískáme dosazením parametru tdo parametrických rovnic pˇrímky pnebo dosazením parametru sdo parametrických rovnic pˇrímky q, R= [−3t,3t,3 +t]=[3, −3,2]. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 278 – Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek p={A,B},q={K,L}, jestliže A= [7, 3,0],B= [8,5,2],K= [3, −3,2],L= [−1,1,0]. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. Využijeme klasifikaˇcní matici tvoˇrenou smˇerovými vektory pˇrímek u,v, a jedním bodovým smˇerem AK, u=AB =B−A= [8,5,2]−[7,3,0]=(1,2,2), v=KL =L−K= [−1,1,0]−[3, −3,2]=(−4, 4, −2), AK =K−A= [3, −3,2]−[7,3,0]=(−4, −6,2). V klasifikaˇcní matici se snažíme anulovat pomocí ˇrádkových úprav co nejvíce ˇrádk˚u tak, aby z˚ustala oddˇelená ˇcást se smˇerovými vektory od ˇcásti s bodovým vektorem.   u v AK  =  1 2 2 −4 4 −2 −4−6 2 ←− 4 ←−−− 4 ∼  1 2 2 0 12 6 0 2 10 ←− − 6 ∼  1 2 2 0 12 6 0 0 −54 nemají spoleˇcný smˇer (r˚uznobˇežné nebo mimobˇežné) ⇒nemají spoleˇcný bod Z klasifikaˇcní matice vyplývá, že pˇrímky paqjsou mimobˇežné, p6 | q. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 279 – Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek, p={A,u},q={B,v}. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. a) A= [1, 2,3],u=(1, −3,2) B= [0, 5,1],v=(−2, 6, −4)b) A= [1, −3,4],u=(2, 2, −1) B= [3, 0, −1],v=(0,1,3) Tipy Sestavíme klasifikaˇcní matici p={A,u},q={B,v},   u v AB  Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) r˚uznobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pr˚useˇcík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) mimobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer ani bod, d) totožná - mají spoleˇcné všechny body. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 280 – Vzájemná poloha dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek, p={A,u},q={B,v}. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. a) A= [1, 3, −1],u=(2, −4,3) B= [0, −3, 1],v=(−1, 2, −3 2)b) A= [0, 1, −1],u=(1,0,1) B= [2, 3,2],v=(1,2,2) Tipy Sestavíme klasifikaˇcní matici p={A,u},q={B,v},   u v AB  Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) r˚uznobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pr˚useˇcík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) mimobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer ani bod, d) totožná - mají spoleˇcné všechny body. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 281 – Rovina v R3ˇ Ry Rovinu lze jednoznaˇcnˇe urˇcit tˇremi body neležícímí na téže pˇrímce; dvˇema body a smˇerem urˇcujícím pˇrímku, která tˇemito body neprochází; bodem a dvˇema nekolineárními smˇery, ρ={A,B,C},ρ={A,B,v},ρ={A,v,w}. Definice Vektorovou (symbolickou) rovnicí roviny ρ={A,v,w}nazýváme rovnici ρ:X=A+rv+sw, bod X∈ρar,s∈Rjsou parametry roviny ρ. Definice Necht’ je dán bod A= [a1,a2,a3]a smˇerové vektory v= (v1,v2,v3), w= (w1,w2,w3).Parametrickými rovnicemi roviny ρ={A,v,w}nazveme rovnice: x=a1+rv1+sw1, ρ:y=a2+rv2+sw2, z=a3+rv3+sw3, bod X= [x,y,z]∈ρje bod ležící na dané rovinˇe, r,s∈R. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 288 – Rovina v R3ˇ Ry Cviˇcení a) Sestavte vektorovou, parametrickou a obecnou rovnici roviny ρ={B= [2, 3,1],v= (1, 2, −1),w= (3, 1, −2)}. b) Zjistˇete, zda body A= [−1,2,5],B= [3, −1,0], leží v rovinˇe α: 2x−5y+6z−11 =0. Tipy a) Sestavíme jednotlivé typy rovnic. Jak se pˇrechází od parametrického vyjádˇrení roviny k obecnému? b) Dosad’te jednotlivé body do rovnice a zjistˇetˇe, zda ji splˇnují. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 289 – Rovina v R3ˇ Ry Cviˇcení a) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M= [1, −2,3]a kolmé na vektor a= (1, 1, −2). b) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M= [1, −2,3]a kolmé k ose x. c) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M= [1, −2,3]a rovnobˇežné s rovinou α: 2x−y+3z=0. Tipy Zjistˇete normálový vektor dané roviny a pak dosazením bodu Mdo obecné rovnice roviny, tj. ax +by +cz +d=0 dopoˇcítejte absolutní ˇclen d. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 290 – Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3ˇ Ry Necht’ je dána pˇrímka pa rovina ρo rovnicích: p:X=A+tu,ρ:X=B+rv+sw. Rozlišujeme tˇri typy vzájemných poloh, vždy záleží, co mají anebo nemají objekty spoleˇcného, pˇrímka a rovina mohou být: •rovnobˇežné r˚uzné pkρ⇔mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod •pˇrímka leží v rovinˇe p⊂ρ⇔mají spoleˇcný smˇer a bod, tzn. všechny body pˇrímky •r˚uznobˇežné p∩ρ={P} ⇔ nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod NEEXISTUJE MIMOBˇ EŽNÁ POLOHA P ˇ RÍMKY A ROVINY V TROJROZMˇ ERNÉM PROSTORU! Poznámka Spoleˇcnému bodu v pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy pˇrímky a roviny se ˇríká pr˚useˇcík. Ke zjištˇení konkrétní vzájemné polohy se používá klasifikaˇcní matice. Matici poskládáme ze smˇerových vektor˚u a pˇridáme tzv. bodový smˇer, vektor spojující urˇcující body pˇrímky a roviny. ˇ Rádky, které se v matici pˇri ˇrádkovˇe ekvivalentních úpravách pˇri pˇrevodu matice na schodovitý tvar anulují, pak indikují odpovídající spoleˇcnou vlastnost. Klasifikaˇcní matice p={A,u},ρ={B,v,w},    u v w AB     Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 291 – Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky pa roviny α, jestliže pˇrímka pje urˇcená bodem P= [−2,1,0]a smˇerovým vektorem u= (−2,1,2), a rovina αje urˇcená bodem A= [1,2,2]a dvˇema smˇerovými vektory a= (1,0,0),b= (1, 3, −2). V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné vzájemné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. Využijeme klasifikaˇcní matici tvoˇrenou smˇerovým vektorem pˇrímky u, smˇerovými vektory roviny a,ba jedním bodovým smˇerem PA =A−P= (3,1,2). V klasifikaˇcní matici se snažíme anulovat pomocí ˇrádkových úprav co nejvíce ˇrádk˚u tak, aby z˚ustala oddˇelená ˇcást se smˇerovými vektory od ˇcásti s bodovým vektorem.     u a b PA    =    −2 1 2 1 0 0 1 3 −2 3 1 2     ←− ←− ∼    1 0 0 −2 1 2 1 3 −2 3 1 2    ←− 2 ←−−− − 1 ∼    1 0 0 0 1 2 0 3 −2 0 1 2    ←− − 3∼    1 0 0 0 1 2 0 0 −8 0 0 0       nemají spoleˇcný smˇer (r˚uznobˇežné) ⇒mají spoleˇcný bod Z klasifikaˇcní matice vyplývá, že pˇrímka je s rovinou r˚uznobˇežná. Nalezneme souˇradnice jejich pr˚useˇcíku R=p∩α. Nejdˇríve nalezneme obecnou rovnici roviny α. Pomocí vektorového souˇcinu smˇerových vektor˚u roviny získáme normálový vektor nαroviny α, a×b= (0,2,3) = nα, Souˇradnice normálového vektoru roviny dosadíme do obecné rovnice roviny ax +by + cz +d=0, pomocí bodu A= [1,2,2]dopoˇcítáme konstantu d. Vypoˇcítanou konstantu d=−10 dosadíme do obecné rovnice roviny, α: 2y+3z−10 =0. Pr˚useˇcík pˇrímky s rovinou získáme tak, že nejdˇríve dosadíme parametrické rovnice pˇrímky pdo obecné rovnice roviny α, a vypoˇcítáme hodnotu parametru thledaného pr˚useˇcíku R, p: x=−2−2t, y=1+t, z=2t, t∈R 2(1+t) + 3(2t)−10 =0, 8t−8=0, t=1. Souˇradnice pr˚useˇcíku Rzískáme dosazením parametru t=1 do parametrických rovnic pˇrímky p. Pˇrímka pa rovina αjsou r˚uznobˇežné a protínají se v bodˇe R= [−4,2,2]. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 292 – Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky pa roviny α. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné vzájemné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. p: x=5+3t, y=4+t, z=−1−2t, t∈R,α: 3x+y+5z−14 =0 Do zadané obecné rovnice roviny αdosadíme parametrické rovnice pˇrímky pa zjistíme, kolik ˇrešení má rovnice o jedné neznámé t, 3(5+3t) + (4+t) + 5(−1−2t)−14 =0, 0·t+14 −14 =0, 0=0. Rovnice platí vždy, pro každé t∈R, pˇrímka s rovinou mají nekoneˇcnˇe mnoho spoleˇcných bod˚u, pˇrímka leží v rovinˇe, p⊂α Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky pa roviny α. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné vzájemné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. p={A,B},A= [2, 1,3],B=[0,3,5],α:x−y+2z−2=0 Nalezneme smˇerový vektor upˇrímky p, u=AB =B−A=[0,3,5]−[2,1,3] = (−2,2,2) Parametrické rovnice pˇrímky purˇcené bodem Aa smˇerovým vektorem u dosadíme do zadané obecné rovnice roviny αa zjistíme poˇcet ˇrešení, p: x=2−2t, y=1+2t, z=3+2t, t∈R, 2−2t−(1+2t) + 2(3+2t)−2=0, 0·t+7−2=0, 56=0. Rovnice nemá ˇrešení pro žádné t∈R, pˇrímka s rovinou nemají žádný spoleˇcný bod, pˇrímka je s rovinou rovnobˇežná r˚uzná, pkα Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 293 – Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky p={A,u}a roviny ρ={B,v,w}. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. a) A= [1, 4, −3],u=(−1, 3, −4) B= [3, 3,0],v=(1, 2, −1),w= (3,1,2)b) A= [1, 1, −2],u=(−1,3,0) B= [2, 3,1],v=(1, 2, −1),w= (3, 1, −2) Tipy Sestavíme klasifikaˇcní matici p={A,u},ρ={B,v,w},     u v w AB     Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) r˚uznobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pr˚useˇcík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe - mají spoleˇcný smˇer a bod. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 294 – Vzájemná poloha pˇrímky a roviny v R3ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky p={A,u}a roviny ρ={B,v,w}. V pˇrípadˇe r˚uznobˇežné polohy naleznˇete pr˚useˇcík. a) A= [0, −2, 4],u=(1, −1,2) B= [−1, −1, −3],v=(1,3,3),w= (−2, −2,0)b) A= [−2,1,0],u=(−2, 1, −2) B= [1, 2,2],v=(1,0,0),w= (1, 3, −2) Tipy Sestavíme klasifikaˇcní matici p={A,u},ρ={B,v,w},     u v w AB     Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) r˚uznobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pr˚useˇcík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe - mají spoleˇcný smˇer a bod. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 295 – Vzájemná poloha dvou rovin v R3ˇ Ry Necht’ jsou dány dvˇe roviny αaβo rovnicích: α:X=B+kv+lw,β:X=B0+pv0+rw0. Rozlišujeme tˇri typy vzájemných poloh, vždy záleží, co mají anebo nemají objekty spoleˇcného, dvˇe roviny mohou být: •rovnobˇežné r˚uzné αkβ⇔mají spoleˇcné všechny smˇery, nemají spoleˇcný bod •totožné α≡β⇔mají spoleˇcné všechny smˇery a bod, tzn. všechny body •r˚uznobˇežné α∩β=p⇔mají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod NEEXISTUJE MIMOBˇ EŽNÁ POLOHA DVOU ROVIN V TROJROZMˇ ERNÉM PROSTORU! Poznámka Spoleˇcné pˇrímce r˚uznobˇežných rovin se ˇríká pr˚useˇcnice. Ke zjištˇení konkrétní vzájemné polohy se používá klasifikaˇcní matice. Matici poskládáme ze smˇerových vektor˚u a pˇridáme tzv. bodový smˇer, vektor spojující urˇcující body rovin. ˇ Rádky, které se v matici pˇri ˇrádkovˇe ekvivalentních úpravách pˇri pˇrevodu matice na schodovitý tvar anulují, pak indikují odpovídající spoleˇcnou vlastnost. Klasifikaˇcní matice α={B,v,w},β={B0,v0,w0},      v w v0 w0 BB0       Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 296 – Vzájemná poloha dvou rovin v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu dvou rovin αaβ, jestliže rovina αje urˇcená bodem A= [0,0,1]a dvˇema smˇerovými vektory u= (1,2,0),v= (−1,1,3), a rovina βje urˇcená bodem B= [2,1,0]a dvˇema smˇerovými vektory k= (0, 3,3),l= (2, 1, −3). Využijeme klasifikaˇcní matici tvoˇrenou smˇerovými vektory rovin u,v,k,la jedním bodovým smˇerem AB =B−A= (2, 1, −1). V klasifikaˇcní matici se snažíme anulovat pomocí ˇrádkových úprav co nejvíce ˇrádk˚u tak, aby z˚ustala oddˇelená ˇcást se smˇerovými vektory od ˇcásti s bodovým vektorem.       u v k l AB       =      1 2 0 −1 1 3 0 3 3 2 1 −3 2 1 −1       ←− ←−− − 2 ∼      1 2 0 0 3 3 0 3 3 0−3−3 0−3−1      ←− − 1 ←−−−− ←−−−−− ∼      1 2 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2              mají spoleˇcné 2 lin. nezávislé smˇery (rovnobˇežné nebo totožné) ⇒nemají spoleˇcný bod Z klasifikaˇcní matice vyplývá, že roviny αaβjsou rovnobˇežné, αkβ. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 297 – Vzájemná poloha dvou rovin v R3ˇ Ry Pˇríklad Urˇcete vzájemnou polohu dvou rovin αaβ, jestliže rovina αje urˇcená obecnou rovnicí α:x−2y+z−3=0 a rovina βje urˇcená obecnou rovnicí β: 2x+y−z+1=0. Vzájemná poloha dvou rovin se dá urˇcit pomocí poˇctu ˇrešení soustavy dvou obecných lineárních rovnic o tˇrech neznámých. Žádné ˇrešení znamená rovnobˇežnost rovin, nekoneˇcnˇe mnoho ˇrešení závislých na jednom parametru znamená spoleˇcnou pˇrímku a r˚uznobˇežnost rovin, nekoneˇcnˇe mnoho ˇrešení závislých na dvou parametrech znamená, že jsou roviny totožné. Vyˇrešíme soustavu dvou rovnic pro zadané roviny. x−2y+z=3 2x+y−z=−1 1−2 1 3 2 1 −1−1←− − 2∼1−2 1 3 0 5 −3−7h(A|B) = h(A) = 2 n=3 Soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇrešení závislých na 1 parametru, roviny mají spoleˇcnou pˇrímku (pr˚useˇcnici), roviny jsou r˚uznobˇežné. Parametrické rovnice pr˚useˇcnice zadaných dvou rovin získáme doˇrešením soustavy lineárních rovnic. Zvolíme si parametr z=t, z druhého ˇrádku matice ve schodivitém tvaru dopoˇcítáme y, 5y−3t=−7⇒5y=−7+3t⇒y=−7 5+3 5t, z prvního ˇrádku matice ve schodovitém tvaru dopoˇcítáme x, x−2−7 5+3 5t+t=3⇒x+14 5−6 5t+t=3⇒x=1 5+1 5t Rovina αje s rovinou βr˚uznobˇežná, jejich pr˚useˇcnice p=α∩βmá parametrické rovnice p: x=1 5+1 5t y=−7 5+3 5t z=t t∈R. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 304 – Metrické úlohy ˇ Ry Odchylka dvou pˇrímek ϕ p u q v cos ϕ=|u·v| |u|·|v|,ϕ∈ h0, π/2i Odchylku dvou pˇrímek urˇcíme jako odchylku jejich smˇerových vektor˚u. Odchylka pˇrímky od roviny ρcos π 2−ϕ=sin ϕ=|u·n| |u|·|n| ϕ π 2−ϕn u Odchylku pˇrímky od roviny pˇrevádíme na odchylku pˇrímky od normálového smˇeru roviny. Odchylka dvou rovin α β nα nβ ϕOdchylka dvou rovin pˇrechází v odchylku jejich normálových smˇer˚u. cos ϕ=|nα·nβ| |nα|·|nβ| Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 305 – Kolmost dvou pˇrímek v R3ˇ Ry Pˇríklad Ovˇeˇrte, zda jsou pˇrímky p,qkolmé. Pˇrímka pje pr˚useˇcnicí rovin α,β, a pˇrímka qje dána bodem Qa smˇerovým vektorem sq. α: 2x−y+3z−4=0β: 4x+y−2z+1=0Q=[7, 6, −1]sq=(6,0,1) Dvˇe pˇrímky jsou kolmé, mají-li kolmé smˇerové vektory. Potˇrebujeme tedy souˇradnice smˇerových vektor˚u obou pˇrímek. Smˇerový vektor pˇrímky pvypoˇcítáme jako vektorový souˇcin normálových vektor˚u rovin α,β, nα=(2, −1,3),nβ=(4, 1, −2),sp=nα×nβ= i j k 2−1 3 4 1 −2 =(−1,16,6). Smˇerový vektor pˇrímky qje zadaný, sq=(6,0,1). Vektory jsou na sebe kolmé, je-li jejich skalární souˇcin roven 0. sp·sq=−1·6+16 ·0+6·1=0. Vektory jsou na sebe kolmé sp⊥sq, a tedy i zadané pˇrímky jsou kolmé p⊥q. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 306 – Odchylka dvou rovin v R3ˇ Ry Pˇríklad Jaký úhel mezi sebou svírají roviny α,β, jestliže α:y+z−1=0, β={B,u,v},B= [0, 0,0],u= (1,2,4),v= (−2,3,2). Úhel mezi rovinami vypoˇcítáme pomocí vztahu cos ϕ=|nα·nβ| |nα|·|nβ|. Vektor nαzjistíme z obecné rovnice, nα= (0,1,1). Vektor nβspoˇcítáme pomocí vektorového souˇcinu smˇerových vektor˚u, nβ=u×v= i j k 1 2 4 −2 3 2  =(−8, −10,7). Spoˇcítáme skalární souˇcin nα·nβ=0·(−8) + 1·(−10) + 1·7=−3. Spoˇcítáme velikosti vektor˚u, |nα|=p02+12+12=√2, |nβ|=q(−8)2+ (−10)2+72=√213. Dosadíme do vzorce, cos ϕ=|−3| √2·√213 =3 √426 . =0,14535 odkud získáme ϕ. =81,64◦. =81◦390. Roviny mezi sebou svírají úhel 81◦390. Poznámka a) Obecná rovnice roviny α:y+z−1=0 neobsahuje x, to znamená, že rovina αje rovnobˇežná s osou x. b) Rovina βprochází bodem [0,0,0], to znamená, že obecná rovnice roviny βneobsahuje ˇclen d. β: 8x+10y−7z=0. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 307 – Odchylka lineárních útvar˚u v R3ˇ Ry Cviˇcení a) Urˇcete odchylku pˇrímek a={A,B},b={C,D}, jestliže A= [2,4,3],B= [1, 1,1],C= [2,3,1], D= [−2,1,0]. b) Urˇcete odchylku pˇrímky p: x=3t−7 y=4t−4 z=−2t−3 od roviny ρ: 2x+y−2z+5=0. Tipy Odchylka dvou pˇrímek: cos ϕ=|u·v| |u|·|v|,ϕ∈ h0, π/2i kde u,vjsou smˇerové vektory pˇrímek. Odchylka pˇrímky od roviny: sin ϕ=|u·n| |u|·|n| kde uje smˇerový vektor pˇrímky a nje normálový vektor roviny. Odchylka dvou rovin: cos ϕ=|nα·nβ| |nα|·|nβ| kde nα,nβjsou normálové vektory rovin. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 308 – Odchylka lineárních útvar˚u v R3ˇ Ry Cviˇcení Urˇcete odchylku rovin α={K,L,M},β: 2x+y−2z+5=0, jestliže K= [1,4,2],L= [1,1,1],M= [2,3,0]. Tipy Odchylka dvou pˇrímek: cos ϕ=|u·v| |u|·|v|,ϕ∈ h0, π/2i kde u,vjsou smˇerové vektory pˇrímek. Odchylka pˇrímky od roviny: sin ϕ=|u·n| |u|·|n| kde uje smˇerový vektor pˇrímky a nje normálový vektor roviny. Odchylka dvou rovin: cos ϕ=|nα·nβ| |nα|·|nβ| kde nα,nβjsou normálové vektory rovin. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 309 – Pˇríˇcka a osa mimobˇežek ˇ Ry Definice Pˇríˇcka pmimobˇežek manje každá pˇrímka p, která obˇe mimobˇežky protíná. m n p Poznámka Pˇríˇcek existuje nekoneˇcnˇe mnoho. Obvykle se ˇreší úloha, kdy hledáme pˇríˇcku dvou mimobˇežek procházející daným bodem nebo rovnobˇežnou s daným smˇerem. Naleznˇete pˇríˇcku procházející daným bodem P 1. m={M,m},n={N,n} 2. α={P,M,m},β={P,N,n} 3. p=α∩β Naleznˇete pˇríˇcku rovnobˇežnou s daným smˇerem p 1. m={M,m},n={N,n} 2. α={M,m,p},β={N,n,p} 3. p=α∩β Definice Osa mimobˇežek je pˇríˇcka, která je na obˇe mimobˇežky kolmá. Poznámka Osu hledáme stejnˇe jako v pˇrípadˇe pˇríˇcky rovnobˇežné s daným smˇerem. Smˇer ovšem musí být kolmý na obˇe pˇríˇcky a získáme jej jako vektorový souˇcin urˇcujících smˇer˚u obou mimobˇežek, o=m×n. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 310 – Osa mimobˇežek 1/3 ˇ Ry Pˇríklad Naleznˇete osu mimobˇežek p={A,B},q={C,D}, jestliže A= [3,2,2], B= [4, 5,0],C= [0, − 2,2],D= [ − 2, − 3,3]. Spoˇcítejte nejkratší vzdálenost mezi mimobˇežkami. Osa mimobˇežek je pˇríˇcka, která je na obˇe mimobˇežky kolmá. Urˇcíme smˇerové vektory up,uqzadaných pˇrímek p,qa pomocí vektorového souˇcinu nalezneme kolmý smˇer wk obˇema mimobˇežkám. up=AB =B−A= (1,3, − 2), uq=CD =D−C= ( − 2, − 1,1), w=up×uq= (1,3,5). Budeme hledat pˇríˇcku mimobˇežek, která je rovnobˇežná se smˇerem w. Tato pˇríˇcka bude pr˚useˇcnicí rovin α={A,up,w},β={C,uq,w}. Nalezneme obecnou rovnici roviny α={A,up,w}. Nejdˇríve urˇcíme normálový vektor roviny nα=up×w= (21, − 7,0), dopoˇcítáme ddosazením nαaAdo obecné rovnice ax +by +cz +d=0, 21x−7y+0·z+d=0, 21 ·3−7·2+0·2+d=0, 63 −14 +d=0, d= − 49, a obecnou rovnici roviny α: 21x−7y−49 =0 ještˇe upravíme vydˇelením 7, α: 3x−y−7=0. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 311 – Osa mimobˇežek 2/3 ˇ Ry Stejným zp˚usobem nalezneme obecnou rovnici roviny β={C,uq,w}. Nejdˇríve urˇcíme normálový vektor roviny nβ=uq×w= ( − 8,11, − 5), dopoˇcítáme ddosazením nβaCdo obecné rovnice ax +by +cz +d=0, − 8x+11y−5z+d=0, − 8·0+11 ·( − 2)−5·2+d=0, − 22 −10 +d=0, d=32 a obecnou rovnici roviny β: − 8x+11y−5z+32 =0 ještˇe upravíme vynásobením −1, β: 8x−11y+5z−32 =0. Nalezneme pr˚useˇcnici rovin osa =α∩βpomocí ˇrešení soustavy dvou rovnic o tˇrech neznámých 3x−y=7 8x−11y+5z=32 3 − 1 0 7 8 − 11 5 32←− 8 −3∼3 − 1 0 7 0 25 − 15 − 40| · 1 5∼3 − 1 0 7 0 5 − 3 − 8 Zvolíme z=5t, z druhého ˇrádku vypoˇcítáme 5y−3z= − 8, 5y−15t= − 8 5y= − 8+15t, y= − 8 5+3t, z prvního ˇrádku vypoˇcítáme 3x−y=7, 3x− − 8 5+3t=7, 3x=7−8 5+3t, x=9 5+t. Pracovní listy pro pˇredmˇet Matematika I 312 – Osa mimobˇežek 3/3 ˇ Ry Osa mimobˇežek p,q(pˇríˇcka mimobˇežek rovnobˇežná se smˇerem w, pr˚useˇcnice rovin αaβ) má parametrické rovnice osa: x=9 5+t, y= − 8 5+3t, z=5t, t∈R. Osa mimobˇežek je r˚uznobˇežná s pˇrímkou p, mají spoleˇcný bod R. Obdobnˇe je osa mimobˇežek r˚uznobˇežná s pˇrímkou q, mají spoleˇcný bod S. Vzdálenost bod˚u R,Sje nejkratší ze vzdáleností mezi libovolným bodem z pˇrímky pa libovolným bodem z pˇrímky q. Souˇradnice pr˚useˇcíku R=p∩osa jsou stejné jako souˇradnice pr˚useˇcíku pˇrímky pa roviny β, protože osa ⊂β. Parametrické rovnice pˇrímky p:X=A+r·up, p: x=3+r, y=2+3r, z=2−2r, r∈R, dosadíme do obecné rovnice roviny β, 8x−11y+5z−32 =0, 8(3+r)−11 (2+3r)+5(2−2r)−32 =0, 24 +8r−22 −33r+10 −10r−32 =0, − 20 −35r=0, − 35r=20, r= − 4 7, vypoˇcítaný parametr rdosadíme do parametrických rovnic pˇrímky pa získáme souˇradnice pr˚useˇcíku R, R= [3+r, 2 +3r,2 −2r] = h3−4 7,2 −12 7,2 +8 7i=h17 7,2 7,22 7i. Souˇradnice pr˚useˇcíku S=q∩osa jsou stejné jako souˇradnice pr˚useˇcíku pˇrímky qa roviny α, protože osa ⊂α. Parametrické rovnice pˇrímky q:X= C+s·uq, q: x= − 2s, y= − 2−s, z=2+s, r∈R, dosadíme do obecné rovnice roviny α, 3x−y−7=0, 3( − 2s)−( − 2−s)−7=0, − 6s+2+s−7=0, − 5−5s=0, − 5s=5, s= − 1, vypoˇcítaný parametr sdosadíme do parametrických rovnic pˇrímky qa získáme souˇradnice pr˚useˇcíku S, S= [ − 2s, − 2−s,2 +s] = [2, − 1,1]. Vzdálenost bod˚u R,Szároveˇn urˇcuje nejkratší vzdálenost mezi zadanými mimobˇežkami, |RS|=r2−17 72+ − 1−2 72+1−22 72 =r − 3 72+ − 9 72+ − 15 72 =r9+81 +225 49 =r315 49 =√315 7≈2,54 Nejkratší vzdálenost mezi mimobˇežkami je pˇríbližnˇe 2,54 jednotek. Transformace formy a obsahu vysokoškolského vzdělávání na VŠB-TUO NPO_VŠB-TUO_MSMT-16605/2022 17. LISTOPADU 2172/15 708 00 OSTRAVA-PORUBA [email protected] www.vsb.cz