Pracovní listy pro předmět Matematika I

PRACOVNÍ LISTY PRO PŘEDMĚT MATEMATIKA I
Vysoká škola báňská – Technická uni e zi a Os a a
Dagma Dlouhá, Ma cela Ja ošo á, Jakub S yja, Jana Volná, Pe Volný
Ú od
Ten o s udijní ma e iál je pˇ ede ším u ˇcen p o s uden y Vysoké školy báˇnské - Technické uni e zi y Os a a p ezenˇcní i kombino ané o my
s udia.
S udijní ex pos upnˇe pˇ eds a uje jedno li é oblas i pˇ edmˇe u Ma ema ika I, k e ý je ealizo án na yb aných akul ách uni e zi y. Každá dílˇcí
oblas obsahuje eo e ickou ˇcás , na ni po é na azují ˇ ešené úlohy u ˇcené p imá nˇe p o ýklad ámci pˇ ednášky a p o samos udium, a celá
sekce je ukonˇcena sadou neˇ ešených úloh u ˇcených p o c iˇcení.
S udijní ma e iál ychází ze sk ip a DLOUHÁ, D., HAMˇ
RÍKOVÁ, R., MORÁVKOVÁ, Z. A M. TUŽILOVÁ.: Ma ema ika I: P aco ní lis y. Os a a:
VŠB - Technická uni e zi a Os a a, 2014. ISBN 978-80-248-3323-1.
V ˇcás i „Obsah“ zelenˇe zba ené odkazy edou na lis y obsahující eo ii, ialo ˇe zba ené odkazy edou na ˇ ešené úlohy a modˇ e zba ené
odkazy edou na pˇ íklady na c iˇcení.
Obsah
Funkce jedné p omˇenné 6
Množiny a zob azení ........................... 7
Reálné unkce jedné eálné p omˇenné ................. 8
Ope ace s unkcemi ............................ 9
Oh aniˇcenos unkce ........................... 10
Mono ónnos unkce ........................... 11
Pa i a unkce - sudos a lichos unkce ................. 12
Pe iodická unkce ............................. 13
P os á unkce ............................... 14
Složená unkce ............................... 15
In e zní unkce .............................. 16
Pˇ ehled elemen á ních unkcí ...................... 17
Kons an ní unkce ............................. 18
Lineá ní unkce .............................. 19
K ad a ické unkce ............................ 20
Mocninné unkce s pˇ i ozeným mocni elem .............. 21
Mocninné unkce s celým zápo ným mocni elem ........... 22
Lineá ní lomené unkce .......................... 23
I acionální unkce ............................. 24
Exponenciální unkce ........................... 25
Loga i mické unkce ........................... 26
Goniome ické unkce: sinus ....................... 27
Goniome ické unkce: kosinus ..................... 28
Goniome ické unkce: angens ..................... 29
Goniome ické unkce: ko angens .................... 30
Cyklome ické unkce: a kussinus ................... 31
Cyklome ické unkce: a kuskosinus .................. 32
Cyklome ické unkce: a kus angens .................. 33
Cyklome ické unkce: a kusko angens ................ 34
De iniˇcní obo y zlomk˚u ......................... 35
De iniˇcní obo y sudých odmocnin ................... 36
De iniˇcní obo y loga i m˚u ........................ 37
De iniˇcní obo y unkcí angens a ko angens .............. 38
De iniˇcní obo y unkcí a kussinus a a kuskosinus .......... 39
De iniˇcní obo y .............................. 41
G a y lineá ních unkcí .......................... 46
G a y k ad a ických unkcí ....................... 49
G a y lineá ních lomených unkcí .................... 51
G a y exponenciálních unkcí ...................... 53
G a y loga i mických unkcí ....................... 55
G a y goniome ických unkcí sinus .................. 57
G a y goniome ických unkcí kosinus ................. 59
G a y goniome ických unkcí angens a ko angens ......... 61
G a y cyklome ických unkcí a kussinus a a kuskosinus ...... 63
G a y cyklome ických unkcí a kus angens a a kusko angens . . . 65
Pa i a unkce - sudos , lichos ...................... 67
Pa i a unkce - sudos , lichos ...................... 69
Složená unkce ............................... 70
Složená unkce ............................... 71
In e zní unkce .............................. 72
In e zní unkce .............................. 75
Limi a unkce, mo i ace ......................... 78
Rozšíˇ ená množina eálných ˇcísel .................... 79
Okolí bodu, jednos anné okolí bodu .................. 80
Limi a unkce, jednos anná limi a unkce ............... 81
Exis ence limi y, ope ace s limi ami ................... 82
Vyb ané limi y ............................... 83
Spoji os unkce .............................. 84
Vˇe y o spoji ých unkcích ......................... 85
Limi y bodech spoji os i ........................ 86
Limi y bodech spoji os i ........................ 87
Limi y ypu nula lomeno nulou - polynom, odmocnina ....... 88
Limi y acionálních unkcí ........................ 89
Limi y ypu nula lomeno nulou - sinus, angens ........... 90
Limi y goniome ických unkcí - sinus, angens ............ 92
Limi y ypu nula lomeno nulou - sinus, odmocnina ......... 93
Limi y ypu nula lomeno nulou - polynom, sinus, odmocnina . . . 94
Limi y ypu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem ............. 95
Limi y ypu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem ............. 96
Limi y ypu jedna na nekoneˇcno .................... 97
Limi y ypu jedna na nekoneˇcno .................... 98
Limi y ypu kons an a lomeno nulou .................. 99
Limi y ypu kons an a lomeno nulou .................. 100
Di e enciální poˇce unkcí jedné p omˇenné 101
De i ace unkce .............................. 102
Vlas nos i de i ace ............................ 103
De i ace elemen á ních unkcí ..................... 104
De i ace souˇc u a ozdílu unkcí .................... 105
De i ace souˇcinu unkcí ......................... 106
De i ace podílu unkcí .......................... 107
De i ace elemen á ních unkcí ..................... 108
De i ace složené unkce ......................... 110
De i ace složené unkce ......................... 111
De i ace složené unkce ......................... 113
Loga i mická de i ace .......................... 115
Loga i mická de i ace .......................... 116
Loga i mická de i ace .......................... 117
De i ace yšších ˇ ád˚u .......................... 118
De i ace yšších ˇ ád˚u .......................... 118
De i ace yšších ˇ ád˚u .......................... 120
l’Hospi alo o p a idlo .......................... 121
l’Hospi alo o p a idlo .......................... 121
l’Hospi alo o p a idlo - limi y ypu nula lomeno nulou ....... 123
l’Hospi alo o p a idlo - limi y ypu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem124
l’Hospi alo o p a idlo - limi y ypu nula k á nekoneˇcno ...... 125
l’Hospi alo o p a idlo - limi y ypu nekoneˇcno mínus nekoneˇcno . 126
l’Hospi alo o p a idlo - další ypy neu ˇci os i limi ......... 127
De i ace pa ame ické unkce ...................... 129
De i ace pa ame ické unkce ...................... 130
De i ace pa ame ické unkce ...................... 131
Di e enciál unkce ............................. 133
Di e enciál unkce ............................. 134
Di e enciál unkce - pˇ ibližný ýpoˇce unkˇcní hodno y ....... 135
Di e enciál unkce ............................. 136
Teˇcna a no mála .............................. 140
Teˇcna a no mála .............................. 141
Teˇcna a no mála .............................. 143
Taylo ˚u polynom ............................. 146
Taylo ˚u polynom ............................. 147
Taylo ˚u polynom ............................. 149
Vˇe y o de i aci ............................... 150
Mono ónnos , lokální ex émy ...................... 151
Mono ónnos , lokální ex émy ...................... 153
Globální ex émy ............................. 155
Mono ónnos , lokální ex émy ...................... 156
Kon exnos , konká nos , in lexní body ................ 158
Kon exnos , konká nos , in lexní body ................ 159
Kon exnos , konká nos , in lexní body ................ 162
Asymp o y ................................. 163
Asymp o y ................................. 164
Asymp o y ................................. 166
Ses a ení g a u unkce .......................... 168
Ses a ení g a u unkce .......................... 169
Ses a ení g a u unkce .......................... 176
Lineá ní algeb a 179
Ma ice .................................... 180
Základní ypy ma ic ............................ 181
Algeb aické ope ace s ma icemi ..................... 182
Algeb aické ope ace s ma icemi ..................... 183
Algeb aické ope ace s ma icemi ..................... 184
T anspono aná ma ice .......................... 185
Násobení ma ice .............................. 186
Násobení ma ic .............................. 187
Násobení ma ice .............................. 189
ˇ
Rádko ˇe ek i alen ní úp a y ...................... 192
Hodnos ma ice .............................. 193
Hodnos ma ice .............................. 194
Hodnos ma ice .............................. 198
De e minan y ............................... 202
Vlas nos i de e minan ˚u ......................... 203
Výpoˇce de e minan ˚u ma ic 1. až 3. ˇ ádu ............... 204
Výpoˇce de e minan ˚u ma ic 2. a 3. ˇ ádu ................ 205
Výpoˇce de e minan ˚u ma ic 2. a 3. ˇ ádu ................ 207
Výpoˇce de e minan ˚u ma ic 4. a yšších ˇ ád˚u ............ 210
Výpoˇce de e minan ˚u pomocí Laplaceo a oz oje .......... 211
Výpoˇce de e minan ˚u pomocí Laplaceo a oz oje .......... 212
Výpoˇce de e minan ˚u pˇ e odem na schodo i ý a ........ 215
Výpoˇce de e minan ˚u ma ic 4. ˇ ádu .................. 216
In e zní ma ice .............................. 219
Výpoˇce in e zní ma ice eliminaˇcní me odou ............. 220
Výpoˇce in e zní ma ice pomocí adjungo ané ma ice ........ 221
In e zní ma ice .............................. 224
Sous a y lineá ních o nic ........................ 228
Gausso a eliminaˇcní me oda ...................... 230
Sous a y lineá ních o nic ........................ 231
Sous a y lineá ních o nic ........................ 237
C ame o o p a idlo ........................... 244
C ame o o p a idlo ........................... 245
C ame o o p a idlo ........................... 246
Ma ico é o nice ............................. 247
Ma ico é o nice ............................. 248
Ma ico é o nice ............................. 249
Ma ico é o nice ............................. 250
ˇ
Rešení sous a y lineá ních o nic pomocí in e zní ma ice . . . . . 251
ˇ
Rešení sous a y lineá ních o nic pomocí in e zní ma ice . . . . . 252
ˇ
Rešení sous a y lineá ních o nic pomocí in e zní ma ice . . . . . 254
Analy ická geome ie 256
Vek o y ................................... 257
Eukleido ský p os o ........................... 260
Skalá ní souˇcin ek o ˚u .......................... 262
Skalá ní souˇcin ek o ˚u .......................... 263
Skalá ní souˇcin ek o ˚u .......................... 264
Vek o o ý souˇcin ek o ˚u ........................ 265
Vek o o ý souˇcin ek o ˚u ........................ 267
Vek o o ý souˇcin ek o ˚u ........................ 268
Smíšený souˇcin ek o ˚u ......................... 269
Smíšený souˇcin ek o ˚u ......................... 270
Smíšený souˇcin ek o ˚u ......................... 271
Pˇ ímka R3................................ 272
Pˇ ímka R3................................ 273
Pˇ ímka R3................................ 274
Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3.................. 275
Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3.................. 276
Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3.................. 279
Ro ina R3................................ 281
Ro ina R3u ˇcená ˇ emi body ..................... 282
Ro ina u ˇcená bodem a no málo ým ek o em R3......... 283
Ro ina R3u ˇcená ˇ emi body ..................... 284
Ro ina R3zadaná obecnou o nicí .................. 285
Ro ina R3................................ 286
Ro ina R3................................ 288
Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3................ 290
Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3................ 291
Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3................ 293
Vzájemná poloha d ou o in R3................... 295
Vzájemná poloha d ou o in R3................... 296
Vzájemná poloha d ou o in R3................... 298
Me ické úlohy ............................... 299
Vzdálenos bodu od pˇ ímky R3.................... 300
Vzdálenos lineá ních ú a ˚u R3................... 301
Vzdálenos lineá ních ú a ˚u R3................... 302
Me ické úlohy ............................... 304
Kolmos d ou pˇ ímek R3....................... 305
Odchylka d ou o in R3........................ 306
Odchylka lineá ních ú a ˚u R3.................... 307
Pˇ íˇcka a osa mimobˇežek ......................... 309
Osa mimobˇežek .............................. 310

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
Funkce jedné p omˇenné
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
7 – Množiny a zob azení ˇ
Ry
De inice
Množinou ozumíme soubo p k˚u se spoleˇcnou, z . u ˇcující las -
nos í.
Pomocí u ˇcující las nos i umíme ozhodnou , zdali daný p ek do dané
možiny pa ˇ í anebo nepa ˇ í. Množinu lze zada bud’ ýˇc em p k˚u (ex-
plici nˇe ˇ ekneme, k e é p ky do dané množiny pa ˇ í), nebo s ano ením
u ˇcující las nos i. Bý á z ykem množiny znaˇci elkými písmeny.
Napˇ . A={x∈R|x≥0}je množina nezápo ných eálných ˇcísel, je
zje né, že 3 ∈Aa−36∈ A.
Poznámka
Oznaˇcujeme pˇ i ozená ˇcísla symbolem N, celá ˇcísla Z, acionální
ˇcísla Q, i acionální ˇcísla I, eálná ˇcísla R.
De inice
Ka ézským souˇcinem množin AaB ozumíme množinu
A×B={[x,y]|x∈A,y∈B},
p ky [x,y]se nazý ají uspoˇ ádané d ojice.
De inice
Relací ( z ahem) ρmezi množinami AaB ozumíme libo olnou pod-
množinu ka ézského souˇcinu A×B,ρ⊂A×B.
De inice
Zob azení (speciální z ah) mezi množinami AaBje ako á elace ρ
mezi AaB, e k e é ke každému p ku x∈Aexis uje p á e jedno
y∈B ako é, že [x,y]∈ρ.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
8 – Reálné unkce jedné eálné p omˇenné ˇ
Ry
De inice
Funkcí na množinˇe D⊆R ozumíme každé zob azení
:R⊇D→R,x7→ y= (x),
každému eálnému ˇcíslu x∈Dse pˇ iˇ adí p á ˇe jedno eálné ˇcíslo
y∈R.
Poznámka
P omˇenná xje nezá islá p omˇenná,yje zá islá p omˇenná a pˇ edpis
y= (x) yjadˇ ující zá islos yna xse nazý á unkˇcní pˇ edpis. Hod-
no u unkce bodˇe x0oznaˇcíme (x0) = y0a budeme ji nazý a
unkˇcní hodno ou unkce bodˇe x0.
De inice
Množina Dse nazý á de iniˇcní obo unkce a znaˇcí se D nebo D( ).
Množina šech unkˇcních hodno (x)se nazý á obo hodno unkce
, znaˇcí se H nebo H( ),
H ={ (x)|x∈D }.
G a em unkce je množina G ,
G ={[x, (x)]|x∈D }.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
9 – Ope ace s unkcemi ˇ
Ry
De inice
Jsou dány unkce ags de iniˇcními obo y D ,Dg,
• o nos unkcí: =g
D =Dga (x) = g(x)p o každé x∈D ,
•souˇce unkcí: +g
( +g)(x) = (x) + g(x)p o každé x∈D ∩Dg,
• ozdíl unkcí: −g
( −g)(x) = (x)−g(x)p o každé x∈D ∩Dg,
•souˇcin unkcí: ·g
( ·g)(x) = (x)·g(x)p o každé x∈D ∩Dg,
•podíl unkcí:
g

g(x) = (x)
g(x)p o každé x∈D ∩Dg,g(x)6=0.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
16 – In e zní unkce ˇ
Ry
De inice
Bud’ p os á unkce na D . Funkci −1de ino anou na H pˇ edpisem
−1( (x)) = x∀x∈D
naz eme in e zní unkcí k unkci .
Poznámka
• Pokud exis uje in e zní unkce, pak je u ˇcena jednoznaˇcnˇe.
• Pokud unkce není p os á na s ém de iniˇcním obo u, ale je
p os á na nˇejaké podmnožinˇe s ého de iniˇcního obo u, lze ji na
u o množinu omezi a pak na é o množinˇe exis uje in e zní
unkce.
• P o de iniˇcní obo a obo hodno pla í:
D −1=H ,H −1=D .
• Pla í:
−1( (x))=x∀x∈D ,  −1(x)=x∀x∈H .
• G a y unkce a unkce in e zní −1jsou syme ické podle osy
p ního a ˇ e ího k ad an u, j. podle pˇ ímky y=x.
• In e zní unkce −1zacho á á mono ónnos unkce .

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
17 – Pˇ ehled elemen á ních unkcí ˇ
Ry
Základní elemen á ní unkce jsou:
y=c,y=x,y=sin x,y=ex;c∈R.
De inice
Elemen á ní unkcí naz eme každou unkci, k e á znikne ze základ-
ních elemen á ních unkcí pomocí ope ací s unkcemi (souˇce , ozdíl,
souˇcin, podíl, skládání a in e o ání).
Mezi elemen á ní unkce pa ˇ í:
• polynomy a obecnˇe mocninné unkce,
• exponenciální a loga i mické unkce,
• goniome ické a cyklome ické unkce,
• hype bolické a hype bolome ické unkce, ˇemi o unkcemi se zabý-
a nebudeme.
Polynomy
y=anxn+an−1xn−1+···+a1x+a0,an,an−1, . . . , a1,a0∈R,n∈N
ˇ
Císlo nse nazý á s upeˇn polynomu.
Pod obnˇe se budeme zabý a polynomy yb aných yp˚u:
• kons an ní unkce y=a0,n=0
• lineá ní unkce y=a1x+a0,n=1, a16=0
• k ad a ické unkce y=a2x2+a1x+a0,n=2, a26=0
• mocninné unkce y=xn,a0=a1=··· =an−1=0, an=1
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
18 – Kons an ní unkce ˇ
Ry
Vlas nos i Kons an ní unkce y=a,a∈RVlas nos i Kons an ní unkce y=a,a∈R
de iniˇcní obo D =Rpa i a sudá unkce p o a6=0, sudá a souˇcasnˇe lichá p o a=0
obo hodno H ={a}pe iodici a ANO, neexis uje základní pe ioda
oh aniˇcenos oh aniˇcená sho a i zdola a≤ (x)≤ap os os NE
mono ónnos souˇcasnˇe neklesající a ne os oucí na s ém de iniˇcním
obo u
p ˚useˇcík s osou xp o a6=0 neexis uje, g a em je pˇ ímka o nobˇežná
s osou x, p o a=0 jsou p ˚useˇcíky šechny body pˇ ímky
zakˇ i ení souˇcasnˇe kon exní a konká ní každém bodˇe p ˚useˇcík s osou y[0, a]
lokální ex émy každý bod z de iniˇcního obo u je souˇcasnˇe maximem i
minimem
in e ze neexis uje
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2y=2
y=0
y=−1
Kons an ní unkce
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
19 – Lineá ní unkce ˇ
Ry
Vlas nos i Lineá ní unkce y=ax +b,a∈R {0}Vlas nos i Lineá ní unkce y=ax +b,a∈R {0}
de iniˇcní obo D =Rpa i a lichá unkce p o b=0
obo hodno H =Rpe iodici a NE
oh aniˇcenos neoh aniˇcená p os os ANO
mono ónnos p o a>0 os oucí, p o a<0 klesající p ˚useˇcík s osou x[−b/a,0]
zakˇ i ení souˇcasnˇe kon exní a konká ní každém bodˇe p ˚useˇcík s osou y[0, b]
lokální ex émy NE in e ze y=1
ax−b
a
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=2x+3
[0,3]
[−3/2,0]
Ros oucí lineá ní unkce
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=−1
2x+1
[0,1]
[2,0]
Klesající lineá ní unkce
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=3x−1
y=1
3x+1
3
Vzájemnˇe in e zní unkce
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
20 – K ad a ické unkce ˇ
Ry
Vlas nos i K ad a ické unkce y=ax2+bx +c,a∈R {0}Vlas nos i K ad a ické unkce y=ax2+bx +c,a∈R {0}
de iniˇcní obo D =Rpa i a sudá unkce p o b=0
obo hodno a>0: H =Dc−b2
4a,∞,a<0: H =−∞,c−b2
4aEpe iodici a NE
oh aniˇcenos a>0: oh aniˇcená zdola, a<0 : oh aniˇcená sho a p os os NE
mono ónnos a>0: klesající na −∞,−b
2a, os oucí na −b
2a,∞,
a<0: os oucí na −∞,−b
2a, klesající na −b
2a,∞
p ˚useˇcík s osou xˇ ešení o nice ax2+bx +c=0, D=b2−4ac,D<0: @,
D=0: h−b
2a,0i,D>0: h−b+√D
2a,0i,h−b−√D
2a,0i
zakˇ i ení a>0: kon exní, a<0: konká ní p ˚useˇcík s osou y[0, c]
lokální ex émy chol h−b
2a,c−b2
4aije p o a>0 MIN, p o a<0 MAX in e ze in e o a lze pouze p os ou ˇcás k ad a ické unkce
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x2
K ad a ická unkce a>0
G a em je pa abola
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=−x2+2x+2
=−(x−1)2+3
[1+√3,0][1−√3, 0]
K ad a ická unkce a<0
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x2
y=√x
y=x2
y=−√x
Vzájemnˇe in e zní unkce
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
21 – Mocninné unkce s pˇ i ozeným mocni elem ˇ
Ry
Vlas nos i Mocninné unkce y=xn,n∈NVlas nos i Mocninné unkce y=xn,n∈N
de iniˇcní obo D =Rpa i a sudá unkce p o nsudé, lichá unkce p o nliché
obo hodno H =h0, ∞)p o nsudé, H =Rp o nliché pe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená zdola p o nsudé, neoh aniˇcená p o nliché p os os NE p o nsudé, ANO p o nliché
mono ónnos (−∞,0)klesající, (0, ∞) os oucí p o nsudé,
R os oucí p o nliché
p ˚useˇcík s osou x[0,0]
zakˇ i ení kon exní p o nsudé, (−∞,0)konká ní, (0, ∞)kon exní
p o nliché
p ˚useˇcík s osou y[0,0]
lokální ex émy chol [0,0]MIN p o nsudé, p o nliché ex ém @in e ze p o nsudé na (−∞,0ije y=−n
√x, na h0, ∞)je y=n
√x,
p o nliché na Rje y=n
√x
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x2
y=x4
y=x6
Mocninná unkce p o n=2,4,6
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x3
y=x5
y=x7
Mocninná unkce p o n=3,5,7
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x3
y=3
√x
Vzájemnˇe in e zní unkce y=x3ay=3
√x

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
22 – Mocninné unkce s celým zápo ným mocni elem ˇ
Ry
Vlas nos i Mocninné unkce y=1
xn=x−n,n∈NVlas nos i Mocninné unkce y=1
xn=x−n,n∈N
de iniˇcní obo D =R {0}pa i a sudá unkce p o nsudé, lichá unkce p o nliché
obo hodno H = (0, ∞)p o nsudé, H =R {0}p o nliché pe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená zdola p o nsudé, neoh aniˇcená p o nliché p os os NE p o nsudé, ANO p o nliché
mono ónnos (−∞,0) os oucí, (0, ∞)klesající p o nsudé,
(−∞,0)∪(0, ∞)klesající p o nliché
p ˚useˇcík s osou xNE
zakˇ i ení kon exní p o nsudé, (−∞,0)konká ní, (0, ∞)kon exní
p o nliché
p ˚useˇcík s osou yNE
lokální ex émy NE in e ze p o nsudé na (−∞,0)je y=−1
n
√x, na (0, ∞)je y=1
n
√x,
p o nliché na R {0}je y=1
n
√x
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x−2
y=x−4
y=x−6
Mocninná unkce p o n=−2, −4, −6
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x−3
y=x−5
y=x−7
Mocninná unkce p o n=−3, −5, −7
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=x−3
y=x−1
3
Vzájemnˇe in e zní unkce y=x−3ay=x−1
3
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
23 – Lineá ní lomené unkce ˇ
Ry
Vlas nos i Lineá ní lomené unkce y=k
x,k∈R {0}Vlas nos i Lineá ní lomené unkce y=k
x,k∈R {0}
de iniˇcní obo D =R {0}pa i a lichá unkce
obo hodno H =R {0}pe iodici a NE
oh aniˇcenos neoh aniˇcená p os os ANO
mono ónnos (−∞,0)klesající, (0, ∞)klesající p o k>0,
(−∞,0) os oucí, (0, ∞) os oucí p o k<0
p ˚useˇcík s osou xNE
zakˇ i ení (−∞,0)konká ní, (0, ∞)kon exní p o k>0,
(−∞,0)kon exní, (0, ∞)konká ní p o k<0
p ˚useˇcík s osou yNE
lokální ex émy NE in e ze každá lineá ní lomená unkce je sama sobˇe in e zí
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
G a em je
hype bola,
osy jsou
asymp o y
y=1
x
y=2
x
y=3
x
Lineá ní lomená unkce p o k=1,2,3
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=−1
x
y=−2
x
y=−3
x
Lineá ní lomená unkce p o k=−1, −2, −3
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=1
x
y=1
x
Vzájemnˇe in e zní unkce y=1
xay=1
x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
24 – I acionální unkce ˇ
Ry
Vlas nos i I acionální unkce y=n
√x=x1
n,n∈NVlas nos i I acionální unkce y=n
√x=x1
n,n∈N
de iniˇcní obo D =h0, ∞)p o nsudé, D =Rp o nliché pa i a lichá unkce p o nliché
obo hodno H =h0, ∞)p o nsudé, H =Rp o nliché pe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená zdola p o nsudé p os os ANO
mono ónnos os oucí p ˚useˇcík s osou x[0,0]
zakˇ i ení (0, ∞)konká ní p o nsudé,
(−∞,0)kon exní, (0, ∞)konká ní p o nliché
p ˚useˇcík s osou y[0,0]
lokální ex émy [0,0]MIN p o nsudé in e ze y=xn
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=√x
y=4
√x
y=6
√x
I acionální unkce p o n=2,4,6
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=3
√x
y=5
√x
y=7
√x
I acionální unkce p o n=3,5,7
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=√x
y=x2
Vzájemnˇe in e zní unkce y=√xay=x2
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
25 – Exponenciální unkce ˇ
Ry
Vlas nos i Exponenciální unkce y=ax,a∈(0, 1)∪(1, ∞)Vlas nos i Exponenciální unkce y=ax,a∈(0,1)∪(1, ∞)
de iniˇcní obo D =Rpa i a ani sudá ani lichá
obo hodno H = (0, ∞)pe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená zdola p os os ANO
mono ónnos os oucí p o a>1, klesající p o a∈(0,1)p ˚useˇcík s osou xNE
zakˇ i ení kon exní p ˚useˇcík s osou y[0,1]
lokální ex émy NE in e ze y=logax
0
−4−3−2−1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
5
y=2x
y=3x
y=4x
Exponenciální unkce p o a=2, 3,4
0
−4−3−2−1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
5
y=1
2x
=2−x
y=1
3x
=3−x
y=1
4x
=4−x
Exponenciální unkce p o a=1
2,1
3,1
4
0
−4−3−2−1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y=ex
y=ln x
Vzájemnˇe in e zní unkce y=exay=ln x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
32 – Cyklome ické unkce: a kuskosinus ˇ
Ry
Vlas nos i Cyklome ické unkce: a kuskosinus y=a ccos xVlas nos i Cyklome ické unkce: a kuskosinus y=a ccos x
de iniˇcní obo D =h−1,1ipa i a ani sudá ani lichá
obo hodno H =h0, πipe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená sho a i zdola p os os ANO
mono ónnos klesající p ˚useˇcík s osou x[1,0]
zakˇ i ení (−1,0)kon exní, (0,1)konká ní p ˚useˇcík s osou y[0, π/2]
lokální ex émy [−1, π]MAX, [1,0]MIN in e ze y=cos x
0
−3−2−1 1 2
−π/2
π/2
π
−π
y=a ccos x
Cyklome ická unkce: a kuskosinus
0
−3−2−1 1 2
−π/2
π/2
π
−π
y=a ccos x
y=cos x
Vzájemnˇe in e zní unkce y=a ccos xay=cos x

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
33 – Cyklome ické unkce: a kus angens ˇ
Ry
Vlas nos i Cyklome ické unkce: a kus angens y=a c an xVlas nos i Cyklome ické unkce: a kus angens y=a c an x
de iniˇcní obo D =Rpa i a lichá unkce
obo hodno H = (−π/2, π/2)pe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená sho a i zdola p os os ANO
mono ónnos os oucí p ˚useˇcík s osou x[0,0]
zakˇ i ení (−∞,0)kon exní, (0, ∞)konká ní p ˚useˇcík s osou y[0,0]
lokální ex émy NE in e ze y= an x
0
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 45
−π/2
π/2
π
−π
y=a c an x
Cyklome ická unkce: a kus angens
0
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 45
−π/2
π/2
π
−π
y=a c an x
y= an x
Vzájemnˇe in e zní unkce y=a c an xay= an x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
34 – Cyklome ické unkce: a kusko angens ˇ
Ry
Vlas nos i Cyklome ické unkce: a kusko angens y=a cco xVlas nos i Cyklome ické unkce: a kusko angens y=a cco x
de iniˇcní obo D =Rpa i a ani sudá ani lichá
obo hodno H = (0, π)pe iodici a NE
oh aniˇcenos oh aniˇcená sho a i zdola p os os ANO
mono ónnos klesající p ˚useˇcík s osou xNE
zakˇ i ení (−∞,0)konká ní, (0, ∞)kon exní p ˚useˇcík s osou y[0, π/2]
lokální ex émy NE in e ze y=co x
0
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 45
−π/2
π/2
π
−π
y=a cco x
Cyklome ická unkce: a kusko angens
0
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 45
−π/2
π/2
π
−π
y=a cco x
y=co x
Vzájemnˇe in e zní unkce y=a cco xay=co x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
35 – De iniˇcní obo y zlomk˚u ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = 5x
2x+4−1
3−x2.
Ve jmeno a eli zlomku nesmí bý nula. Vyˇ ešíme d ˇe ne o nos i.
2x+46=0 3 −x26=0
2x6=−4 3 6=x2
x6=−2x6=±√3
De iniˇcní obo je oˇ en množinou šech eálných ˇcísel, ze k e ých musíme
ylouˇci ˇ i eálná ˇcísla −2, √3 a −√3. P o a o ˇcísla je jmeno a el o en
nule a zlomek není de ino aný.
De iniˇcní obo D unkce je množina
D =R {−2, ±√3}.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = 6
1−2x.
Budeme ˇ eši exponenciální ne o nos .
1−2x6=0
16=2x
206=2x
x6=0
De iniˇcní obo D unkce je množina
D =R {0}.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = 8
1−2sin x.
Budeme ˇ eši goniome ickou ne o nos .
1−2sin x6=0
16=2sin x
sin x6=1
2
Funkce sinus nabý á hodno y 1
2 p ním a d uhém k ad an u. Ne o nos
má nekoneˇcnˇe mnoho ˇ ešení popsaných d ˇema z ahy
x6=π
6+2kπ,
x6=5π
6+2kπ,k∈Z.
De iniˇcní obo unkce je
D =R π
6+2kπ,5π
6+2kπ;k∈Z.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
36 – De iniˇcní obo y sudých odmocnin ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = √ln x.
A gumen odmocniny musí bý ˇe ší nebo o en nule a a gumen loga-
i mu musí bý kladný. Dos á áme d ˇe ne o nice.
ln x≥0x>0
ln x≥ln1 x∈(0, ∞)
x≥1
x∈ h1, ∞)
Obˇe omezující podmínky musí pla i souˇcasnˇe. De iniˇcní obo unkce je
D =h1, ∞)∩(0, ∞) = h1, ∞).
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = 4
2−x
x2+x.
V om o pˇ ípadˇe máme kombinaci sudé odmocniny a zlomku, musíme
s ano i omezující podmínky jak p o odmocninu, ak p o zlomek.
P o zlomek dos á áme:
x2+x6=0⇒x(x+1)6=0⇒x6=0∧x6=−1.
Nulo é body −1 a 0 do de iniˇcního obo u nepa ˇ í, p o ože po jejich dosa-
zení dos á áme nulu e jmeno a eli.
P o odmocninu dos á áme:
2−x
x2+x≥0⇒2−x
x(x+1)≥0.
Ne o nici ˇ ešíme me odou nulo ých bod˚u. Nulo é body jsou −1,0,2.
−10 2
2−x
x
x+1
+++−
− − + +
−+ + +
+−+−
Vý az pod odmocninou má bý ˇe ší nebo o en nule. Do de iniˇcního
obo u budou pa ˇ i in e aly, u k e ých jsme dos ali ýsledné znaménko
plus. Ne o nos je neos á a edy nulo ý bod 2 do de iniˇcního obo u pa ˇ í.
De iniˇcní obo je
D = (−∞,−1)∪(0,2i.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
37 – De iniˇcní obo y loga i m˚u ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = ln(5x+7).
Pˇ i ozený loga i mus ln(x)je de ino aný pouze p o x>0. Budeme edy
ˇ eši ne o nici.
5x+7>0
5x>−7
x>−7
5
De iniˇcní obo unkce je
D =−7
5,∞.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = log x2−4x+4.
A gumen loga i mu musí bý kladný. ˇ
Rešíme ne o nici.
x2−4x+4>0
(x−2)2>0
Vý az (x−2)2je kladný p o šechna eálná ˇcísla k omˇe ˇcísla 2, a p o o
ˇcíslo 2 musíme z de iniˇcního obo u ylouˇci . De iniˇcní obo je
D =R {2}.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = ln 6−x−x2.
ˇ
Rešíme ne o nici.
6−x−x2>0
x2+x−6<0
(x−2)(x+3)<0
K ad a ickou ne o nici ˇ ešíme me odou nulo ých bod˚u.
−3 2
x−2
x+3
− − +
−+ +
+−+
De iniˇcní obo je
D =(−3,2).

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
38 – De iniˇcní obo y unkcí angens a ko angens ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = an 4x+π
6.
P o unkci angens pla í, že a gumen musí bý ˚uzný od π
2+kπ,k∈Z.
Budeme ˇ eši ne o nos .
4x+π
66=π
2+kπ
4x6=π
2+kπ−π
6
4x6=π
3+kπ
x6=π
12 +kπ
4
De iniˇcní obo unkce je
D =R nπ
12 +kπ
4;k∈Zo.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = co −2x+π
3.
P o unkci ko angens pla í, že a gumen musí bý ˚uzný od kπ,k∈Z.
Budeme ˇ eši ne o nos .
−2x+π
36=kπ
−2x6=kπ−π
3
x6=π
6−kπ
2
De iniˇcní obo unkce je
D =R nπ
6−kπ
2;k∈Zo.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
39 – De iniˇcní obo y unkcí a kussinus a a kuskosinus ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = a csin 4x−5
3.
P o unkci a kussinus pla í podmínka, že a gumen musí bý z in e alu
h−1,1i. Budeme ˇ eši d ˇe lineá ní ne o nice
−1≤4x−5
3∧4x−5
3≤1.
Ve jmeno a eli není p omˇenná a ne o nice m˚užeme ˇ eši najednou.
−1≤4x−5
3≤1
−3≤4x−5≤3
2≤4x≤8
1
2≤x≤2
De iniˇcní obo unkce je
D =1
2,2.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = a ccos 2x−3
x.
P o unkci a kuskosinus pla í podmínka, že a gumen musí bý z in e alu
h−1,1i. Budeme ˇ eši d ˇe ne o nice
−1≤2x−3
x∧2x−3
x≤1.
Ve jmeno a eli je p omˇenná xa ne o nice nem˚užeme ˇ eši najednou. V ne-
o nicích nedopo uˇcujeme násobi p omˇennou. Up a íme je na a , kdy
na jedné s anˇe bude nula, na d uhé s anˇe zlomek a p o edeme diskusi.
−1≤2x−3
x
2x−3
x≤1
0≤2x−3
x+12x−3
x−1≤0
0≤2x−3+x
x
2x−3−x
x≤0
0≤3x−3
x
x−3
x≤0
Nulo é body jsou u le é ne o nos i 0 a 1 a u p a é ne o nos i 0 a 3. Se-
s a íme abulky a u ˇcíme znaménka. V obou pˇ ípadech je e jmeno a eli
zlomku xa edy x6=0.
01
+−+
30
+−+
ˇ
Rešení le é ne o nice je sjednocení in e al˚u (∞, 0)∪h1, ∞)a ˇ ešení p a é
ne o nice je in e al (0, 3i. De iniˇcní obo unkce dos aneme jako p ˚unik
ˇ ešení jedno li ých ne o nic
D =h1,3i.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
40 – De iniˇcní obo y unkcí a kussinus a a kuskosinus ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = a ccos (x+3)2
9.
P o unkci a kuskosinus pla í podmínka, že a gumen musí bý z in e alu
h−1,1i. Budeme ˇ eši d ˇe ne o nice.
−1≤(x+3)2
9≤1
−9≤(x+3)2≤9
−9≤x2+6x+9≤9
Vyˇ ešme nejp e ne o nici
−9≤x2+6x+9
0≤x2+6x+18
Vypoˇcí áme disk iminan D=−36. Polynom d uhého s upnˇe na p a é
s anˇe ne o nice nemá žádný eálný koˇ en. Geome icky o znamená, že
g a é o k ad a ické unkce (pa abola) nep o ne osu xa celý leží kladné
polo o inˇe. Ten o k ad a ický ý az je p o o kladný p o každé eálné
ˇcíslo.
Nyní yˇ ešme d uhou ne o nici.
x2+6x+9≤9
x2+6x≤0
x(x+6)≤0
Nulo é body jsou -6 a 0. Ses a íme abulku a u ˇcíme znaménka.
−6 0
+−+
De iniˇcní obo unkce je D =h−6,0i.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce (x) = a csin3x.
P o unkci a kussinus pla í podmínka, že a gumen musí bý z in e alu
h−1,1i. Budeme ˇ eši d ˇe ne o nice.
−1≤3x≤1
Vý az 3xje ždy kladný a ne o nice −1≤3xje splnˇena p o šechna eálná
ˇcísla. Vyˇ ešíme d uhou ne o nici
3x≤1
3x≤30
x≤0
De iniˇcní obo unkce je
D = (−∞,0i.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
41 – De iniˇcní obo y ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e podmínky a najdˇe e de iniˇcní obo unkce.
a) y=√x+2 b) y=√3−xc) y=√9−x2d) y=√x2−4
Tipy
Zlomek
jmeno a el je ˚uzný od 0
Sudá odmocnina
ý az pod odmocninou je
nezápo ný
Loga i mus
a gumen je kladný
Tangens
a gumen je ˚uzný od π
2+k·π,
k∈Z
Ko angens
a gumen je ˚uzný od k·π,
k∈Z
A kussinus, a kuskosinus
a gumen leží in e alu
h−1,1i
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
48 – G a y lineá ních unkcí s absolu ní hodno ou ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y lineá ních unkcí s absolu ní hodno ou a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a, pe iodici a,
p os os .
a) y=|x−2|+|2x−1|b) y=|x+1|−|x|+|2−x|−3
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
49 – G a y k ad a ických unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis a doplˇn e las nos i jedno li ých unkcí: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=x2+1 b) y=3−x2c) y=2x2−2d) y=(x−2)2−1e) y=x2+2x−3 ) y=4−x−x2
1.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
2.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
3.
0
−5−4−3−2−11234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
4.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
6.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
50 – G a y k ad a ických unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y k ad a ických unkcí a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a, pe iodici a, p os os .
a) y=x2+4x+4 b) y=x2−2x+2 c) y=−x2−2x+2 d) y=x2−2xe) y=3−3x2 ) y=x2−4x+3
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
51 – G a y lineá ních lomených unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis a doplˇn e las nos i jedno li ých unkcí: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=1
xb) y=1
x+1c) y=2
xd) y=−3
x−1e) y=2x+1
x ) y=1−2x
x−2
1.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
2.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
3.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
4.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
6.
0
−5−4−3−2−11234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
52 – G a y lineá ních lomených unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y lineá ních lomených unkcí a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a, pe iodici a, p os os .
a) y=−1
xb) y=2
x−1c) y=x
x−1d) y=2x−1
xe) y=1−1
x ) y=1−x
2−x
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
53 – G a y exponenciálních unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis a doplˇn e las nos i jedno li ých unkcí: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=2xb) y=−2xc) y=2x+1 d) y=2(x+1)e) y=1
2x ) y=1
2x−1−3
1.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
2.
0
−5−4−3−2−112 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
3.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
4.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
6.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
54 – G a y exponenciálních unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y exponenciálních unkcí a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a, pe iodici a, p os os .
a) y=exb) y=1+3xc) y=2x−1d) y=1−exe) y=3−x ) y=3−2−x
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
55 – G a y loga i mických unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis a doplˇn e las nos i jedno li ých unkcí: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=log3xb) y=log1/3 xc) y=log3(x−2)d) y=2log1/3 xe) y=2+log3x ) y=log3(x+2)
1.
0
−1 1 2345678
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
2.
0
−1 1 2345678
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
3.
0
−1 1 2345678
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
4.
0
−1 1 2345678
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5.
0
−1 1 2345678
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
6.
0
−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
56 – G a y loga i mických unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y loga i mických unkcí a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a, pe iodici a, p os os .
a) y=ln xb) y=log3x+1c) y=log2(x+2)d) y=2−ln xe) y=2log3x ) y=log2(3x)
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
−7−6−5−4−3−2−1 1 2345 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
57 – G a y goniome ických unkcí sinus ˇ
Ry
C iˇcení
Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis a doplˇn e las nos i jedno li ých unkcí: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=sin xb) y=sin2xc) y=sin x+π
2d) y=2sin xe) y=sin x+2 ) y=sin x−π
4
1.
−3
−2
−1
1
2
3
0
−3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π
5π/2
2π
3π/2
π
π/2
2.
−3
−2
−1
1
2
3
0
−3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π
5π/2
2π
3π/2
π
π/2
3.
−3
−2
−1
1
2
3
0
−3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π
5π/2
2π
3π/2
π
π/2
4.
−3
−2
−1
1
2
3
0
−3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π
5π/2
2π
3π/2
π
π/2
5.
−3
−2
−1
1
2
3
0
−3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π
5π/2
2π
3π/2
π
π/2
6.
−3
−2
−1
1
2
3
0
−3π−5π/2 −2π−3π/2 −π−π/2 3π
5π/2
2π
3π/2
π
π/2
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
64 – G a y cyklome ických unkcí a kussinus a a kuskosinus ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y cyklome ických unkcí a kussinus a a kuskosinus a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=a ccos xb) y=3a csin xc) y=a csin x+πd) y=a ccos(x+2)e) y=−a ccos x
2 ) y=a csin x
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
65 – G a y cyklome ických unkcí a kus angens a a kusko angens ˇ
Ry
C iˇcení
Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis a doplˇn e las nos i jedno li ých unkcí: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos , pa i a,
pe iodici a, p os os .
a) y=a cco xb) y=−a cco x+πc) y=a c an(x+2)d) y=a c an xe) y=2a c an(−x) ) y=a cco (2x)
1.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
2.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
3.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
4.
0
−5−4−3−2−11234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
5.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
6.
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
66 – G a y cyklome ických unkcí a kus angens a a kusko angens ˇ
Ry
C iˇcení
Nak esle e g a y cyklome ických unkcí a kus angens a a kusko angens a doplˇn e las nos i: de iniˇcní obo , obo hodno , oh aniˇcenos , mono ónnos ,
pa i a, pe iodici a, p os os .
a) y=a c an xb) y=−2a cco x+πc) y=a c an(x−1)d) y=a cco xe) y=a cco (−x) ) y=−a c an x−π
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
0
−5−4−3−2−1 1 234
−3π/2
−π
−π/2
3π/2
π
π/2
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
67 – Pa i a unkce - sudos , lichos ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce a zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá,
(x) = −5x5+7x3+12x.
De iniˇcní obo unkce je D =R. Do unkce dosadíme (−x).
(−x) = −5(−x)5+7(−x)3+12(−x) = 5x5−7x3−12x=− (x)
Ukázali jsme, že pla í (−x) = − (x)p o každé x∈D . Funkce je lichá.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce a zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá,
(x) = xsin x+√4−x2.
Vý az pod odmocninou musí bý nezápo ný. Vyˇ ešíme ne o nici.
4−x2≥0
(2−x) (2+x)≥0
De iniˇcní obo unkce je D =h−2,2i. In e al je soumˇe ný podle poˇcá ku.
Do unkce
(x) = xsin x+p4−x2
dosadíme (−x), yužijeme oho, že unkce sinus je lichá unkce,
sin(−x) = −sin x, a dos aneme
(−x) = (−x)sin (−x)+q4−(−x)2=xsin x+p4−x2= (x).
Ukázali jsme, že pla í (−x)= (x)p o každé x∈D . Funkce je sudá.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce a zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá,
(x) = xcos x6−1+ln 1−x
1+x.
A gumen loga i mu musí bý kladný. Vyˇ ešíme ne o nici
1−x
1+x>0.
De iniˇcní obo unkce je D =(−1,1). In e al je soumˇe ný podle poˇcá ku.
Do unkce
(x) = xcos x6−1+ln 1−x
1+x
dosadíme (−x)a dos aneme
(−x) = (−x)cos (−x)6−1+ln 1−(−x)
1+(−x)
=−xcos x6−1+ln 1+x
1−x
=−xcos x6−1+ln 1−x
1+x−1
=−xcos x6−1−ln 1−x
1+x
=− (x).
Ukázali jsme, že pla í (−x) = − (x)p o každé x∈D . Funkce je lichá.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
68 – Pa i a unkce - sudos , lichos ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce a zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá,
(x) = x−4
x+4.
Vý az pod odmocninou musí bý nezápo ný a jmeno a el zlomku ˚uzný
od nuly. Budeme ˇ eši d ˇe omezující podmínky.
x−4
x+4≥0x+46=0
De iniˇcní obo je D =(−∞,−4)∪h4, ∞)a není soumˇe ný podle poˇcá ku.
Pla í 4 ∈D( )∧−4 /∈D( ), a p o o unkce není ani sudá ani lichá.
Pˇ íklad
U ˇce e de iniˇcní obo unkce a zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá,
(x) = x4
100 −sin x
x+x−1.
Jmeno a el zlomku se nesmí o na nule a edy x6=0. De iniˇcní obo jsou
šechna eálná ˇcísla k omˇe nuly, D =R {0}. De iniˇcní obo je soumˇe ný
podle poˇcá ku. Využijeme lichos i unkce sinus, sin(−x) = −sin x.
(−x) = (−x)4
100 −sin(−x)
(−x)+ (−x)−1=x4
100 −sin x
x−x−1
Pla í
(−x)6= (x) esp. (−x)6=− (x)
a unkce není ani sudá ani lichá.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
69 – Pa i a unkce - sudos , lichos ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e, zda je unkce sudá nebo lichá.
a) y=3x2−p1−x2
b) y=2x−x3
c) y=ln 2−x
2+x
d) y=3x
2+x4
e) y=1
x2cos x
) y=x2−x+1
x2+x+1
Tipy
U ˇcíme de iniˇcní obo unkce a
o ˇeˇ íme, zdali je soumˇe ný podle
poˇcá ku eálné osy, j. jes li pla í:
∀x∈D
je aké
−x∈D .
Sudá unkce:
(−x)= (x)
Lichá unkce:
(−x)=− (x)

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
70 – Složená unkce ˇ
Ry
Pˇ íklad
Slož e unkce (x) = √xag(x) = ln x poˇ adí g◦ a ◦g.
De iniˇcní obo unkce je D =h0, ∞). De iniˇcní obo unkce gje
Dg= (0, ∞).
Ohlednˇe de iniˇcního obo u složené unkce g◦ je nu né zmíni , že unkce
gp˚usobí až jako d uhá poˇ adí na ýsledek p˚usobení unkce . Jinými
slo y, unkce gope uje na bodech z obo u hodno unkce , což je in e al
H =h0, ∞).
Funkce gsi po adí émˇeˇ s každým bodem z obo u hodno unkce až
na jednu ýjimku, a o je bod 0, k e ou musíme z obo u hodno unkce
ylouˇci . De iniˇcní obo složené unkce g◦ je edy o e ˇ ený in e al
Dg◦ = (0, ∞).
Pˇ i skládání unkcí poˇ adí g◦ je nu né ždy o ˇeˇ i pla nos podmínky
H ⊆Dg, k e á za uˇcí o, že se dané unkce dají složi . Té o podmínce
ˇ íkáme skláda elnos unkcí, nebo aké kompa ibili a unkcí.
Jelikož našem pˇ ípadˇe H 6⊆ Dg,h0, ∞)6⊆ (0, ∞), musíme ome-
zi obo hodno H unkce ak, aby podmínka kompa ibili y unkcí g
a byla splnˇena, edy z obo u hodno H unkce musíme ylouˇci ˇcíslo 0.
Budeme skláda unkce poˇ adí g◦ . Podle de inice složené unkce pla í
(g◦ )(x)de .
=g( (x)) = g(√x) = ln √x.
V opaˇcném poˇ adí se nejdˇ í e podí áme na o, jes li je seh aný de iniˇcní
obo D unkce s obo em hodno Hg unkce g. Abychom mohli zadané
unkce složi poˇ adí ◦g, musí bý splnˇena podmínka Hg⊆D .
O šem Hg=R, ale unkce je de ino aná pouze na in e alu nezápo -
ných eálných ˇcíslech. V našem pˇ ípadˇe podmínka kompa ibili y splnˇena
není, Hg6⊆ D ,R6⊆ h0, ∞).
Musíme edy hodnˇe omezi de iniˇcní obo D unkce ak, aby pak obo
hodno Hgomezené unkce gse s al podmnožinou de iniˇcního obo u D
unkce . Položme si o ázku: p o k e á kladná eálná ˇcísla unkce loga i -
mus dos aneme ˇcísla nezápo ná, na k e ých je de ino ána d uhá odmoc-
nina?
0
−1 1 2 3 45 6
−4
−3
−2
−1
1
2
y=ln x
Jedná se o ˇcísla ˇe ší nebo o na 1, což odpo ídá de iniˇcnímu obo u D ◦g
složené unkce ◦g,D ◦g=h1, ∞).
Skládejme unkce poˇ adí ◦g,
( ◦g)(x)de .
= (g(x)) = (ln x) = √ln x.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
71 – Složená unkce ˇ
Ry
C iˇcení
Slož e unkce poˇ adí g◦ a ◦g:
a) :y=x2,g:y=log xb) :y=x+2, g:y=cos xc) :y=1
x,g:y=2x3+x+2 d) :y=sin x+1, g:y=√x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
72 – In e zní unkce ˇ
Ry
Pˇ íklad
P o unkci (x) = x2,x≥2 u ˇce e unkci in e zní, de iniˇcní obo a obo
hodno in e zní unkce.
De iniˇcní obo unkce D =h2, ∞). Na ob ázku idíme, že unkce je na
s ém de iniˇcním obo u os oucí a edy p os á a dále, že její obo hodno je
H =h4, ∞). Dos á áme
D =h2, ∞) = H −1,H =h4, ∞) = D −1.
Nyní u ˇcíme pˇ edpis in e zní unkce. V pˇ edpisu unkce zamˇeníme xay
a yjádˇ íme y.
x=y2
√x=y
In e zní unkce je −1(x) = √x,x∈ h4, ∞). Funkce −√xnení in e zní
k zadané unkci, její obo hodno není in e al h2, ∞).
0
−1 1 2345678910
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (x) = x2
−1(x) = √x
Pˇ íklad
P o unkci (x) = x2,x≤0 u ˇce e unkci in e zní, de iniˇcní obo a obo
hodno in e zní unkce.
De iniˇcní obo unkce D = (−∞,0i. Na ob ázku idíme, že unkce je na
s ém de iniˇcním obo u klesající a edy p os á a dále, že její obo hodno je
H =h0, ∞). Dos á áme
D = (−∞,0i=H −1,H =h0, ∞) = D −1.
Nyní u ˇcíme pˇ edpis in e zní unkce. V pˇ edpisu unkce zamˇeníme xay
a yjádˇ íme y.
x=y2
−√x=y
In e zní unkce je −1(x) = −√x,x∈ h0, ∞). Funkce √xnení in e zní
k zadané unkci, její obo hodno není in e al (−∞, 0i.
0
−3−2−1 1 234567 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
(x) = x2
−1(x) = −√x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
73 – In e zní unkce ˇ
Ry
Pˇ íklad
P o unkci (x) = 1−ln(x−2)u ˇce e unkci in e zní, de iniˇcní obo
a obo hodno in e zní unkce.
A gumen loga i mu musí bý kladný. Vyˇ ešíme ne o nici
x−2>0⇒x>2.
De iniˇcní obo unkce je obo em hodno unkce in e zní −1.
D = (2, ∞) = H −1
Pokud g a unkce ln xposuneme o 2 dop a a, o oˇcíme kolem osy xa
posuneme o 1 naho u, dos aneme g a unkce 1 −ln(x−2) iz ob ázek.
0
−1 1 2345678910
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
1(x) = ln x
2(x) = ln(x−2)
3(x) = −ln(x−2)
(x) = 1−ln(x−2)
Funkce je na s ém de iniˇcním obo u klesající a edy p os á. Obo hodno
unkce je de iniˇcním obo em unkce in e zní −1. Dos á áme H =R=
D −1.
Nyní u ˇcíme pˇ edpis in e zní unkce. V pˇ edpisu unkce zamˇeníme xay
a yjádˇ íme y.
x=1−ln (y−2)
x−1=−ln (y−2)
1−x=ln (y−2)
e1−x=y−2
y=2+e1−x
In e zní unkce je −1(x) = 2+e1−x,x∈R.
0
−2−1 1 23456789
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 (x) = 1−ln(x−2)
−1(x) = 2+e1−x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
80 – Okolí bodu, jednos anné okolí bodu ˇ
Ry
De inice okolí bodu
Okolím bodu x0∈Rnaz eme množinu bod˚u, k e é mají od bodu x0
zdálenos menší než δ, edy:
O(x0) = (x0−δ,x0+δ)
P s enco ým okolím bodu naz eme množinu O(x0) {x0}, znaˇcíme
P(x0).
P(x0) = (x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)
Okolím bodu ∞ ozumíme libo olný in e al a u (A,∞), kde Aje
eálné ˇcíslo:
O(∞) = (A,∞)
Okolím bodu −∞ ozumíme libo olný in e al a u (−∞,A), kde A
je eálné ˇcíslo:
O(−∞) = (−∞,A)
Poznámka
P s enco á okolí bodu ±∞jsou s ejná jako okolí ˇech o bod˚u.
De inice jednos anného okolí bodu
P a ým okolím bodu x0∈Rnaz eme in e al:
O+(x0) = hx0,x0+δ)
Le ým okolím bodu x0∈Rnaz eme in e al:
O−(x0) = (x0−δ,x0i
P a ým (le ým) p s enco ým okolím bodu naz eme in e al:
P+(x0) = (x0,x0+δ)P−(x0) = (x0−δ,x0)

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
81 – Limi a unkce, jednos anná limi a unkce ˇ
Ry
De inice limi y unkce
Nech ’ je dána unkce a body x0∈R∗,L∈R∗. Nech ’ je unkce
de ino aná na nˇejakém p s enco ém okolí bodu x0.ˇ
Rekneme, že
unkce má bodˇe x0limi u o nu L, jes liže ke každému okolí O(L)
bodu Lexis uje p s enco é okolí P(x0)bodu x0 ako é, že p o libo olné
x∈P(x0)leží hodno a (x) O(L). Znaˇcíme:
lim
x→x0 (x) = L
Poznámka
Pokud x0∈R,L∈Rˇ ekneme že má unkce las ní (koneˇcnou) limi u.
Pokud x0∈R,L=±∞ˇ ekneme že má unkce ne las ní (nekoneˇcnou)
limi u.
Pokud x0=±∞,L∈Rˇ ekneme že má unkce las ní (koneˇcnou)
limi u ne las ním bodˇe.
Pokud x0±∞,L=±∞ˇ ekneme že má unkce ne las ní (nekoneˇcnou)
limi u ne las ním bodˇe.
De inice jednos anné limi y unkce
Nech ’ je dána unkce a body x0∈R∗,L∈R∗. Nech ’ je unkce de-
ino aná na nˇejakém p a ém ( esp. le ém) p s enco ém okolí bodu x0.
ˇ
Rekneme, že unkce má bodˇe alimi u zp a a ( esp. zle a) o nu
L, jes liže ke každému okolí O(L)bodu Lexis uje p a é ( esp. le é) p s-
enco é okolí P+(x0)( esp. P−(x0)) bodu x0 ako é, že p o libo olné
x∈P+(x0)( esp. P−(x0)) leží hodno a (x) O(L). Znaˇcíme:
lim
x→x+
0
(x) = L( esp. lim
x→x−
0
(x) = L)
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
82 – Exis ence limi y, ope ace s limi ami ˇ
Ry
Vˇe a
Funkce má bodˇe x0nej ýše jednu limi u.
Poznámka
Má i nej ýše jednu limi u zle a a nej ýše jednu limi u zp a a.
Vˇe a
Funkce má bodˇe x0limi u p á ˇe ehdy, má-li om o bodˇe limi u
zp a a i zle a a y o limi y se o nají.
Vˇe a
Nech ’ mají unkce (x)ag(x)limi u bodˇe x0, pak pla í:
lim
x→x0( (x) + g(x))=lim
x→x0 (x) + lim
x→x0g(x)
lim
x→x0( (x)−g(x))=lim
x→x0 (x)−lim
x→x0g(x)
lim
x→x0( (x)·g(x))=lim
x→x0 (x)·lim
x→x0g(x)
lim
x→x0(c· (x))=c·lim
x→x0 (x)
lim
x→x0 (x)
g(x)=limx→x0 (x)
limx→x0g(x), lim
x→x0g(x)6=0
Vˇe a o limi ˇe složené unkce
Nech ’ je dána složená unkce y=g( (x))a nech ’ dále lim
x→x0 (x) = aa
lim
x→ag(x) = ca exis uje p s enco é okolí P(x0) ako é, že (x)6=ap o
každé x∈P(x0). Pak lim
x→x0g( (x))=c.
Vˇe a o d ou limi ách
Jes liže exis uje p s enco é okolí P(x0)bodu x0, na k e ém pla í (x) =
g(x)p o šechna x∈P(x0), a jes liže exis uje limi a L unkce bodˇe
x0, pak i unkce gmá bodˇe x0s ejnou limi u L,
lim
x→x0 (x) = lim
x→x0g(x) = L.
Vˇe a o ˇ ech limi ách
Jes liže unkce agmají bodˇe x=x0limi u La p o unkci hpla í
(x)≤h(x)≤g(x), pak
lim
x→x0h(x) = L.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
83 – Vyb ané limi y ˇ
Ry
Typ limi y a
0,a∈R {0}
lim
x→x0
(x)
g(x)=a
0=
∞(a>0, g(x)>0)∨(a<0, g(x)<0)
−∞(a<0, g(x)>0)∨(a>0, g(x)<0)
Limi y nˇek e ých elemen á ních unkcí
lim
x→0−
1
x=−∞lim
x→0+
1
x=∞
lim
x→−∞
1
x=0 lim
x→∞
1
x=0
lim
x→−∞ex=0 lim
x→∞ex=∞
lim
x→0+ln x=−∞lim
x→∞ln x=∞
Nˇek e é další d˚uleži é limi y
lim
x→0
sin x
x=1⇒lim
x→0
an x
x=1,
lim
x→0
sin(kx)
kx =1⇒lim
x→0
an(kx)
kx =1,
lim
x→±∞1+1
xx
=e⇒lim
x→±∞1+k
xx
=ek, kde k∈R
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−2
−1
1
y=sin x
x
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y=1+1
xx
y=e
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
84 – Spoji os unkce ˇ
Ry
De inice
Nech ’ unkce je de ino ána na nˇejakém okolí bodu x0a pla í
lim
x→x0 (x) = (x0),
pak ˇ ekneme, že unkce je spoji á bodˇe x0. Bod, e k e ém unkce
není spoji á, nazý áme bod nespoji os i.
Poznámka
Obdobnˇe de inujme spoji os zp a a nebo zle a.
De inice
Nech ’ I⊆D , ˇ ekneme, že unkce je spoji á na in e alu I, je-li spoji á
každém bodˇe in e alu I. Pa ˇ í-li do in e alu dolní mez in e alu,
je nˇem spoji á zp a a, a pa ˇ í-li do nˇej ho ní mez in e alu, je nˇem
spoji á zle a.
Vˇe a
Všechny elemen á ní unkce jsou spoji é na s ém de iniˇcním obo u.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
85 – Vˇe y o spoji ých unkcích ˇ
Ry
Vˇe a Weie s asso a
Nech ’ unkce je spoji á na uza ˇ eném in e alu ha,bi. Pak je na
om o in e alu oh aniˇcená.
Poznámka
Spoji á unkce nabý á na uza ˇ eném in e alu s ého minima a maxima.
a
(a)
b
(b)
MIN
MAX
Vˇe a Bolzano a-Cauchyho
Nech ’ unkce je spoji á na uza ˇ eném in e alu ha,bia pla í (a)6=
(b).ˇ
Císlo cleží mezi hodno ami (a)a (b). Pak exis uje aspoˇn jedno
x0∈(a,b), p o k e é pla í (x0) = c.
Poznámka
Z olme c=0. Je-li unkce spoji á na uza ˇ eném in e alu ha,bia
mají-li hodno y (a)a (b)opaˇcná znaménka, pak exis uje aspoˇn jedno
x0∈(a,b), p o k e é pla í (x0) = 0.
a
(a)
b
(b)
x0
(x0) = c
x0x0

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
86 – Limi y bodech spoji os i ˇ
Ry
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi y
a) lim
x→23x3−2x2−6x+8
b) lim
x→1
5x+3
3x2−2x+6
c) lim
x→π
4
4x an x
d) lim
x→0
e5x
8cos x
Dosadíme limi ní body do unkcí.
a)
lim
x→23x3−2x2−6x+8=3·23−2·22−6·2+8=12
b)
lim
x→1
5x+3
3x2−2x+6=5·1+3
3·12−2·1+6=5+3
3−2+6=8
7
c)
lim
x→π
4
4x an x=4·π
4·1=π
d)
lim
x→0
e5x
8cos x=e5·0
8cos0 =1
8·1=1
8
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
87 – Limi y bodech spoji os i ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇcí ej e limi u
a) lim
x→2x2−3x+2b) lim
x→−1
x+1
3x−2c) lim
x→3x2·2xd) lim
x→0
x+2
cos x
Tipy
Nejdˇ í e dosad’ e limi ní bod do
unkˇcního pˇ edpisu.
Jedná se o neu ˇci ou limi u?
Pokud ano, u ˇcíme její limi ní
yp.
Funkce je limi ním bodˇe x0
spoji á, pokud
lim
x→x0 (x) = (x0).
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
88 – Limi y ypu nula lomeno nulou - polynom, odmocnina ˇ
Ry
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi u lim
x→−2
x3+4x2+x−6
x2−4.
Dosazením −2 za xzjis íme, o jaký yp limi y se jedná.
lim
x→−2
x3+4x2+x−6
x2−4=(−2)3+4(−2)2−2−6
(−2)2−4=
”
0
0
“
Jedná se o limi u ypu
”
0
0
“.ˇ
Císlo −2 je koˇ enem ˇci a eli i e jmeno a eli.
ˇ
Ci a el i jmeno a el ozložíme na souˇcin kde jeden z ˇcini el˚u bude x+2.
Ten o ˇclen po om yk á íme a dosazením −2 za xdos aneme ýsledek.
Jmeno a el m˚užeme ozloži podle zo ce
x2−4=(x+2) (x−2).
ˇ
Ci a ele ydˇelíme koˇ eno ým ˇcini elem x+2.
x3+4x2+x−6:(x+2)=x2+2x−3
Dosadíme do limi y a spoˇcí áme ýsledek.
lim
x→−2
x3+4x2+x−6
x2−4=lim
x→−2
(x+2)x2+2x−3
(x+2) (x−2)=
=lim
x→−2x2+2x−3
(x−2)=(−2)2+2(−2)−3
(−2−2)=3
4
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi u lim
x→3
1−√x2−8
x−3.
Dosazením 3 za xzjis íme, o jaký yp limi y se jedná.
lim
x→3
1−√x2−8
x−3=1−√32−8
3−3=
”
0
0
“
Limi a je ypu
”
0
0
“.ˇ
Císlo 3 je koˇ enem ˇci a eli i e jmeno a eli. ˇ
Ci a el
ozložíme na souˇcin kde jeden z ˇcini el˚u bude x−3. Ten o ˇclen po om
yk á íme a dosazením 3 za xdos aneme ýsledek.
Využijeme zo ce (a−b)(a+b) = a2−b2a ozšíˇ íme hodným zlomkem.
lim
x→3
1−√x2−8
x−3·1+√x2−8
1+√x2−8=lim
x→3
1−x2−8
(x−3)1+√x2−8=
=lim
x→3
9−x2
(x−3)1+√x2−8=lim
x→3
(3−x) (3+x)
(x−3)1+√x2−8=
=lim
x→3−(x−3) (3+x)
(x−3)1+√x2−8=lim
x→3−(3+x)
1+√x2−8=
=−(3+3)
1+√32−8=−6
2=−3
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
89 – Limi y acionálních unkcí ˇ
Ry
C iˇcení
a) lim
x→1
x2−1
x−1
b) lim
x→1
x2−1
x3−1
c) lim
x→3
x3−3x2
x2−x−6
d) lim
x→1
x2−6x+5
x2−3x+4
e) lim
x→−1
x3−x
1+3x−2x3
) lim
x→1
1
(x−1)2
Tipy
Nejdˇ í e dosad’ e limi ní bod do
unkˇcního pˇ edpisu.
Jedná se o neu ˇci ou limi u?
Pokud ano, u ˇcíme její limi ní
yp.
Funkce je limi ním bodˇe x0
spoji á, pokud
lim
x→x0 (x) = (x0).
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
96 – Limi y ypu nekoneˇcno lomeno nekoneˇcnem ˇ
Ry
C iˇcení
a) lim
x→∞−3x2+2x−7
x2+4x−12 b) lim
x→−∞
x3−2x2+2
5x4+7x−3c) lim
x→∞−2x3+7x2+2x−1
x+2
Tipy
Nejdˇ í e dosad’ e limi ní bod do
unkˇcního pˇ edpisu.
Jedná se o neu ˇci ou limi u?
Pokud ano, u ˇcíme její limi ní
yp.
Funkce je limi ním bodˇe x0
spoji á, pokud
lim
x→x0 (x) = (x0).

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
97 – Limi y ypu jedna na nekoneˇcno ˇ
Ry
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi u lim
x→∞2x+3
2x1−2x
.
Nejp e zjis íme, o jaký yp limi y se jedná.
lim
x→∞2x+3
2x1−2x
=lim
x→∞ 1+
3
2
x!1−2x
=”1−∞“
Použijeme zo ec
lim
x→∞1+k
xx
=ek
a dos aneme
lim
x→∞ 1+
3
2
x!1−2x
=lim
x→∞ 1+
3
2
x!1 1+
3
2
x!−2x
=
=lim
x→∞ 1+
3
2
x!" 1+
3
2
x!x#−2
=1·he3
2i−2=e−3=1
e3.
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi u lim
x→∞x+3
x+62x
.
Nejp e zjis íme, o jaký yp limi y se jedná.
lim
x→∞x+3
x+62x
=lim
x→∞x+6−6+3
x+62x
=lim
x→∞1+−3
x+62x
=”1∞“
Použijeme zo ec
lim
x→∞1+k
xx
=ek
a dos aneme
lim
x→∞1+−3
x+62x
=lim
x→∞1+−3
x+6x2
=
=lim
x→∞"1+−3
x+6x+6−6#2
=
=lim
x→∞"1+−3
x+6x+61+−3
x+6−6#2
=
=he−3·1−6i2=e−6=1
e6.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
98 – Limi y ypu jedna na nekoneˇcno ˇ
Ry
C iˇcení
a) lim
x→∞x+2
x3x
b) lim
x→∞2x+3
2x−12x+2
Tipy
Nejdˇ í e dosad’ e limi ní bod do
unkˇcního pˇ edpisu.
Jedná se o neu ˇci ou limi u?
Pokud ano, u ˇcíme její limi ní
yp.
Funkce je limi ním bodˇe x0
spoji á, pokud
lim
x→x0 (x) = (x0).
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
99 – Limi y ypu kons an a lomeno nulou ˇ
Ry
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi u lim
x→2
x
(x−2)2.
Dosadíme limi ní bod do unkˇcního pˇ edpisu. Jedná se o yp limi y
”
k
0
“.
Výsledek é o limi y je bud’ ±∞nebo limi a neexis uje. Výsledek zá isí na
jednos anných limi ách. ˇ
Ci a el zlomku se blíží k d ojce a e jmeno a eli
je ý az (x−2)2, k e ý je nezápo ný. Dos á áme
lim
x→2
x
(x−2)2=
”
+
+
“=∞.
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi u lim
x→2−x
x−2.
Dosadíme limi ní bod do unkˇcního pˇ edpisu. Jedná se o yp limi y
”
k
0
“.
Spoˇcí áme jedno li é jednos anné limi y. U limi y zp a a nás zajímá zna-
ménko ý azu x−2 na p a ém p s enco ém okolí bodu 2. Vý az je zde
kladný a edy
lim
x→2+−x
x−2=
”
−
+
“=−∞.
U limi y zle a nás zajímá znaménko ý azu x−2 na le ém p s enco ém
okolí bodu 2. Vý az je zde zápo ný a edy
lim
x→2−−x
x−2=
”
−
−
“=∞.
Jenos anné limi y se ne o nají a limi a lim
x→2−x
x−2neexis uje.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
100 – Limi y ypu kons an a lomeno nulou ˇ
Ry
C iˇcení
a) lim
x→2
x
x−2b) lim
x→0
x2−9
xc) lim
x→±5
x+1
x2−25 d) lim
x→−1
x+2
(x+1)2
Tipy
Nejdˇ í e dosad’ e limi ní bod do
unkˇcního pˇ edpisu.
Jedná se o neu ˇci ou limi u?
Pokud ano, u ˇcíme její limi ní
yp.
Funkce je limi ním bodˇe x0
spoji á, pokud
lim
x→x0 (x) = (x0).
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
Di e enciální poˇce unkcí jedné p omˇenné

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
102 – De i ace unkce ˇ
Ry
De inice
Je dána unkce a bod x0∈D . Exis uje-li las ní limi a
lim
x→x0
(x)− (x0)
x−x0,
pak ji naz eme de i ací unkce bodˇe x0a znaˇcíme ji 0(x0).
Poznámka
De i ace unkce je u ˇcena jednoznaˇcnˇe.
Pˇ íklad
U ˇce e de i aci unkce (x) = 8
4+x2 bodˇe 2.
0(2) = lim
x→2
8
4+x2−8
4+22
x−2=lim
x→2
8
4+x2−1
x−2=lim
x→2
8−4−x2
4+x2
x−2=
=lim
x→2
4−x2
(x−2)(4+x2)=−lim
x→2
(x−2)(x+2)
(x−2)(4+x2)=
=−lim
x→2
x+2
4+x2=−2+2
4+4=−1
2
Vˇe a
Exis uje-li bodˇe x0de i ace unkce , pak je om o bodˇe unkce
spoji á.
Poznámka
Má-li unkce de i aci na in e alu I, pak ˇ íkáme, že je na Idi e enco-
a elná.
De inice
Nech ’ je unkce de ino ána každém bodˇe in e alu (a,b)a má
každém bodˇe de i aci 0(x). Pak je na (a,b)de ino aná unkce 0,
k e á každému x∈(a,b)pˇ iˇ adí hodno u 0(x). Tu o unkci naz eme
de i ace unkce . Znaˇcíme ji
0(x),y0,d (x)
dx,dy
dx.
s
x−x0
(x)− (x0)
x0
(x0)
x
(x)
T
X
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
103 – Vlas nos i de i ace ˇ
Ry
Vˇe a
Nech ’ unkce agmají na in e alu Ide i aci. Pak na Ipla í:
• de i ace násobku unkce eálným ˇcíslem
[c· (x)]0=c· 0(x),c∈R,
• de i ace souˇc u, ozdílu
[ (x)±g(x)]0= 0(x)±g0(x),
• de i ace souˇcinu
[ (x)·g(x)]0= 0(x)·g(x) + (x)·g0(x),
• de i ace podílu
 (x)
g(x)0= 0(x)·g(x)− (x)·g0(x)
(g(x))2, p o g(x)6=0.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
104 – De i ace elemen á ních unkcí ˇ
Ry
Vˇe a
1. (c)0=0
2. (xn)0=nxn−1
3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1
4. (ex)0=ex
5. (logax)0=1
xln a,a>0, a6=1
6. (ln x)0=1
x
7. (sin x)0=cos x
8. (cos x)0=−sin x
9. ( an x)0=1
cos2x
10. (co x)0=−1
sin2x
11. (a csin x)0=1
√1−x2
12. (a ccos x)0=−1
√1−x2
13. (a c an x)0=1
1+x2
14. (a cco x)0=−1
1+x2
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
105 – De i ace souˇc u a ozdílu unkcí ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de i ace unkcí.
a) (x) = 1
x3+2x2−4
√x+5
b) (x) = 2x5+3x
c) (x) = 5log x
d) (x) = 2sin x+3cos x−4 an x
a) Nejp e unkci up a íme na a hodný k de i o ání.
(x) = 1
x3+2x2−4
√x+5=x−3+2x2−x1
4+5
Využijeme las nos í de i ace a dos aneme
0(x) = x−30+2x20−x1
40+ (5)0=
=−3x−4+2·2x1−1
4x−3
4+0=−3
x4+4x−1
44
√x3.
b) 0(x) = 10x4+3xln3
c) 0(x) = 5·1
xln10 =5
xln10
d) 0(x) = 2cos x−3sin x−4
cos2x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
112 – De i ace složené unkce ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de i ace unkcí.
a) (x) = sin43x2+x+5b) (x) = ln sin pe2x+1
Složenou unkci de i ujeme podle zo ce
[g( (x0))]0=g0( (x0))· 0(x0).
a) Funkce je složením ˇ í unkcí. Mocninné unkce, sinu a polynomu. Funkce budeme pos upnˇe de i o a podle zo ce.
0(x) = 4sin33x2+x+5sin 3x2+x+50=4sin33x2+x+5cos 3x2+x+53x2+x+50=
=4sin33x2+x+5cos 3x2+x+5(6x+1)
b) Funkce znikla jako složení loga i mu, sinu, odmocniny a exponenciální unkce.
0(x) = 1
sin √e2x+1·sin pe2x+10=1
sin √e2x+1·cos pe2x+1·pe2x+10=
=1
sin √e2x+1·cos pe2x+1·1
2e2x+1−1
2·e2x+10=1
sin √e2x+1·cos pe2x+1·1
2e2x+1−1
2·e2x·(2x)0=
=1
sin √e2x+1·cos pe2x+1·1
2e2x+1−1
2·e2x·2=cos √e2x+1
sin √e2x+1·e2x
√e2x+1=e2xco √e2x+1
√e2x+1

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
113 – De i ace složené unkce ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e p ní de i aci unkce:
a) y=cos5x
b) y=sin(x5+2x2+3)
c) y= (2+x3)70
d) y=ln(x2+8)
e) y=e3x2+x
) y=a c an 4
x
Tipy
1. (c)0=0
2. (xn)0=nxn−1
3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1
4. (ex)0=ex
5. (logax)0=1
xln a,a>0, a6=1
6. (ln x)0=1
x
7. (sin x)0=cos x
8. (cos x)0=−sin x
9. ( an x)0=1
cos2x
10. (co x)0=−1
sin2x
11. (a csin x)0=1
√1−x2
12. (a ccos x)0=−1
√1−x2
13. (a c an x)0=1
1+x2
14. (a cco x)0=−1
1+x2
u=u(x) = (x)
15. [c·u]0=c·u0
16. [u± ]0=u0± 0
17. [u· ]0=u0· +u· 0
18. hu
i0=u0· −u· 0
2
19. [u( )]0=u0( )· 0
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
114 – De i ace složené unkce ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e p ní de i aci unkce:
a) y=p1+x2
b) y= x+1
x−1
c) y=1
4 an4x
d) y=ln(xsin x)
e) y=lnsin 3
√a c ane3x
) y=q1+ an(x+1
x)
Tipy
1. (c)0=0
2. (xn)0=nxn−1
3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1
4. (ex)0=ex
5. (logax)0=1
xln a,a>0, a6=1
6. (ln x)0=1
x
7. (sin x)0=cos x
8. (cos x)0=−sin x
9. ( an x)0=1
cos2x
10. (co x)0=−1
sin2x
11. (a csin x)0=1
√1−x2
12. (a ccos x)0=−1
√1−x2
13. (a c an x)0=1
1+x2
14. (a cco x)0=−1
1+x2
u=u(x) = (x)
15. [c·u]0=c·u0
16. [u± ]0=u0± 0
17. [u· ]0=u0· +u· 0
18. hu
i0=u0· −u· 0
2
19. [u( )]0=u0( )· 0
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
115 – Loga i mická de i ace ˇ
Ry
Poznámka
Loga i mickou de i aci yuží áme p o de i aci unkcí, k e é jsou ypu
y= (x)g(x). Tako ou unkci up a íme následujícím zp˚usobem
y= (x)g(x)=eln( (x)g(x))=eg(x)·ln (x)
a de i ujeme jako unkci složenou.
y0=heg(x)·ln (x)i0=
=eg(x)·ln (x)g0(x)·ln (x) + g(x)·1
(x)· 0(x)=
= (x)g(x)g0(x)·ln (x) + g(x)· 0(x)
(x)
Další zp˚usob, jak unkci y= (x)g(x)de i o a , je loga i mo a le ou
a souˇcasnˇe p a ou s anu unkˇcního pˇ edpisu, a po é de i o a obˇe
s any o nice.
ln y=ln (x)g(x)
ln y=g(x)·ln (x)
[ln y]0=[g(x)·ln (x)]0
1
y·y0=g0(x)·ln (x) + g(x)·1
(x)· 0(x)
y0=yg0(x)·ln (x) + g(x)· 0(x)
(x)
y0= (x)g(x)g0(x)·ln (x) + g(x)· 0(x)
(x)
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
116 – Loga i mická de i ace ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e de i aci unkce
(x) = (1−x)x.
Funkce má p omˇennou x základu i exponen u a nelze ji om o a u
de i o a . Pomocí unkcí exa ln xa s yuži ím zo ce
ln xa=aln x
ji up a íme na a hodný k de i o ání.
(x) = eln(1−x)x=exln(1−x)
Nyní ji m˚užeme de i o a jakou složenou unkci.
0(x) = exln(1−x)(xln(1−x))0=
=exln(1−x)1·ln(1−x) + x·1
1−x·(−1)=
= (1−x)xln(1−x) + x
x−1
Pˇ íklad
U ˇce e de i aci unkce
(x) = xcos x.
Funkce má p omˇennou x základu i exponen u a nelze ji om o a u
de i o a . Nejp e o nici loga i mujeme.
y=xcos x
ln y=ln xcos x
ln y=cos xln x
Nyní o nici zde i ujeme a yjádˇ íme y0.
1
y·y0=−sin xln x+cos x·1
x
y0=y−sin xln x+cos x·1
x
y0=xcos x−sin xln x+cos x
x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
117 – Loga i mická de i ace ˇ
Ry
C iˇcení
Loga i mickým de i o áním ypoˇcí ej e de i aci unkce:
a) y=xx2b) y=xln xc) y= (sin x)cos x
Tipy
Loga i mické de i o ání
y= (x)g(x)
ln y=ln (x)g(x)
ln y=g(x)·ln (x)
1
y·y0=g0(x)·ln (x)+g(x)·1
(x)· 0(x)
y0=y·g0(x)·ln (x)+g(x)·1
(x)· 0(x)
y0= (x)g(x)·g0(x)·ln (x)+g(x)·1
(x)· 0(x)
D uhý zp˚usob, k e ý lze použí , je následující
iden i a:
(x)g(x)=eln (x)g(x)=eg(x)ln (x)

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
118 – De i ace yšších ˇ ád˚u ˇ
Ry
De inice
Nech ’ má unkce 0(x)de i aci na in e alu I. Pak unkci [ 0(x)]0na-
z eme d uhou de i ací unkce a znaˇcíme 00(x).
Poznámka
Obdobnˇe de inujeme de i aci n- ého ˇ ádu
(n)(x) = h (n−1)(x)i0.
Pˇ íklad
U ˇce e pá ou de i aci unkce
(x) = 3x4+8x2+2x−6.
Funkci pos upnˇe de i ujeme.
0(x) = 12x3+16x+2
00(x) = 36x2+16
000(x) = 72x
(4)(x) = 72
(5)(x) = 0
Pˇ íklad
U ˇce e d uhou de i aci unkce
(x) = xe−x2.
0(x) = 1·e−x2+x·e−x2·(−2x) =
=e−x21−2x2
00(x) = e−x2·(−2x)·1−2x2+e−x2·(−4x) =
=e−x2−2x+4x3+e−x2(−4x) =
=e−x2−2x+4x3−4x=
=e−x24x3−6x
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
119 – De i ace yšších ˇ ád˚u ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e d uhou de i aci unkce
(x) = 1−ln x2−9.
0(x) = −1
x2−9·2x=
=−2x
x2−9
00(x) = −2·x2−9−(−2x)·2x
(x2−9)2=
=−2x2+18 +4x2
(x2−9)2=
=2x2+18
(x2−9)2
Pˇ íklad
U ˇce e ˇ e í de i aci unkce
(x) = x−2a c an x.
0(x) = 1−2
1+x2=
=1+x2−2
1+x2=
=x2−1
1+x2
00(x) = 2x·1+x2−x2−1·2x
(1+x2)2=
=2x3+2x−2x3+2x
(1+x2)2=
=4x
(1+x2)2
000(x) = 4·1+x22−4x·21+x2·2x
(1+x2)4=
=1+x2·4·1+x2−16x2
(1+x2)4=
=4+4x2−16x2
(1+x2)3=
=4−12x2
(1+x2)3
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
120 – De i ace yšších ˇ ád˚u ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇcí ej e d uhou de i aci explici ní unkce a ýsledek up a e:
a) y=1+x
1−xb) y=x(sin (ln x)+cos (ln x))
Tipy
1. (c)0=0
2. (xn)0=nxn−1
3. (ax)0=axln a,a>0, a6=1
4. (ex)0=ex
5. (logax)0=1
xln a,a>0, a6=1
6. (ln x)0=1
x
7. (sin x)0=cos x
8. (cos x)0=−sin x
9. ( an x)0=1
cos2x
10. (co x)0=−1
sin2x
11. (a csin x)0=1
√1−x2
12. (a ccos x)0=−1
√1−x2
13. (a c an x)0=1
1+x2
14. (a cco x)0=−1
1+x2
u=u(x) = (x)
15. [c·u]0=c·u0
16. [u± ]0=u0± 0
17. [u· ]0=u0· +u· 0
18. hu
i0=u0· −u· 0
2
19. [u( )]0=u0( )· 0
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
121 – l’Hospi alo o p a idlo ˇ
Ry
l´Hospi alo o p a idlo se použí á p o ýpoˇce neu ˇci ých limi ypu
”
0
0
“nebo
”
±∞
±∞
“.
Vˇe a
Nech ’ x0∈R∗,L∈R∗, a lim
x→x0 (x) = 0, lim
x→x0g(x) = 0 nebo
lim
x→x0 (x) = ±∞, lim
x→x0g(x) = ±∞, a nech ’ exis uje lim
x→x0
0(x)
g0(x)=L,
pak exis uje limi a lim
x→x0
(x)
g(x)=L. Tedy pla í
lim
x→x0
(x)
g(x)=lim
x→x0
0(x)
g0(x)=L.
Poznámka
Limi y edoucí na neu ˇci é ý azy ypu
”0·∞“,”∞−∞“,”00“,”∞0“,”0∞“,”1∞“,
lze pˇ e és na neu ˇci ý yp
”
0
0
“nebo
”
±∞
±∞
“, a po é ˇ eši l’Hospi alo ým
p a idlem.
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e limi y
a) lim
x→2
x3−3x2+4x−4
6x2−2x−20 ,
b) lim
x→∞
x3−3x2+4x−4
−x2+6x−8.
a) Dosazením 2 za xzjis íme o jaký yp limi y se jedná.
lim
x→2
x3−3x2+4x−4
6x2−2x−20 =8−12 +8−4
24 −4−20 =
”
0
0
“
Zde i ujeme z láš ’ ˇci a el a z láš ’ jmeno a el a ypoˇcí áme limi u
l’Hospi alo ým p a idlem.
lim
x→2
x3−3x2+4x−4
6x2−2x−20
LP
=lim
x→2
3x2−6x+4
12x−2=12 −12 +4
24 −2=2
11
b) Limi a je ypu ”
∞
−∞
“. Vypoˇcí áme ji opako aným použi ím
l’Hospi alo a p a idla.
lim
x→∞
x3−3x2+4x−4
−x2+6x−8
LP
=lim
x→∞
3x2−6x+4
−2x+6
LP
=lim
x→∞
6x−6
−2=−∞
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
128 – l’Hospi alo o p a idlo - další ypy neu ˇci os i limi ˇ
Ry
C iˇcení
Spoˇcí ej e limi y l’Hospi alo ým p a idlem:
a) lim
x→∞1+1
xx
b) lim
x→0+xxc) lim
x→0(1+2x)1
x
Tipy
Limi a ypu ”00“,”∞0“,”0∞“,”1∞“
l´Hospi alo o p a idlo
lim
x→x0
(x)
g(x)=lim
x→x0
0(x)
g0(x)
nelze ealizo a pˇ ímo.
Limi u je ˇ eba up a i na yp
pˇ ízni ý p o l´Hospi alo o p a-
idlo, j. na yp „0
0“nebo „±∞
±∞“,
použi ím následující iden i y:
(x)g(x)=eg(x)ln (x).

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
129 – De i ace pa ame ické unkce ˇ
Ry
De inice
Jsou dány unkce x=ϕ( ),y=ψ( ), kde ∈Ije pa ame . Nech ’
exis uje ϕ−1. Pak unkci
y= (x) = ψϕ−1(x)
naz eme pa ame icky zadanou unkcí.
Vˇe a
Funkce je dána pa ame icky o nicemi x=ϕ( ),y=ψ( ), kde ∈I.
Nech ’ ϕ( )aψ( )mají de i aci každém bodˇe in e alu I,˙
ϕ( )6=0.
Pak de i ace pa ame icky zadané unkce je dána z ahem
y0=˙
ψ( )
˙
ϕ( ).
Poznámka
De i aci podle znaˇcíme eˇckou, abychom ji odlišili od de i ace podle
x, k e ou znaˇcíme ˇcá kou.
Vˇe a
Funkce je dána pa ame icky o nicemi x=ϕ( ),y=ψ( ), kde ∈I.
Nech ’ ϕ( )aψ( )mají p ní a d uhou de i aci každém bodˇe in e -
alu I,˙
ϕ( )6=0. Pak d uhá de i ace pa ame icky zadané unkce je
dána z ahem
y00 =¨
ψ( )·˙
ϕ( )−˙
ψ( )·¨
ϕ( )
(˙
ϕ( ))3.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
130 – De i ace pa ame ické unkce ˇ
Ry
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e p ní a d uhou de i aci pa ame icky zadané unkce
x=3 cos
y=3 sin , ∈h0, πi
bodˇe =π
4.
Pa ame ické o nice
ϕ( ) = 3 cos ,ψ( ) = 3 sin
d ak á zde i ujeme podle p omˇenné
˙
ϕ( ) = −3 sin ,¨
ϕ( ) = −3 cos ,
˙
ψ( ) = 3 cos ,¨
ψ( ) = −3 sin
a dosadíme do zo c˚u p o de i ace
y0=˙
ψ( )
˙
ϕ( ),y00 =¨
ψ( )·˙
ϕ( )−˙
ψ( )·¨
ϕ( )
(˙
ϕ( ))3.
Dos aneme
y0=3 cos
−3 sin =−co ,
y00 =−3 sin ·(−3sin )−3 cos ·(−3 cos )
(−3 sin )3=
=9sin2 +9cos2
−27sin3 =
=−9sin2 +cos2 
27sin3 =
=−1
3sin3 .
Dosadíme =π
4a dos aneme
y0π
4=−co π
4=−1,
y00 π
4=−1
3sin3π
4
=−1
3√2
23=−2
3√2.
Poznámka
G a em unkce je ho ní polo ina k užnice o s ˇ edu [0,0]a polomˇe u 3.
Funkce se dá zapsa aké pˇ edpisem
y=p9−x2.
De i ace é o unkce jsou
y0=−x
√9−x2,y00 =−9
q(9−x2)3.
Bodu =π
4odpo ídá bod x=3 cos π
4=3
2√2 a dos á áme
y03
2√2=−1,
y00 3
2√2=−2
3√2.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
131 – De i ace pa ame ické unkce ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇcí ej e p ní de i aci pa ame icky zadané unkce:
a) x= an ,y=sin2
2, ∈0, π
2b) x=5( −cos ),y=5(1+sin ), ∈ h0, πi
Tipy
x=ϕ( )
y=ψ( )
y0=˙
ψ( )
˙
ϕ( )˙
ϕ( )6=0
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
132 – De i ace pa ame ické unkce ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇcí ej e d uhou de i aci pa ame icky zadané unkce:
a) x=1−
1+ y=2
1+ ∈ h0,1ib) x=acos ,y=bsin ,a,b∈R, ∈(0, π)
Tipy
x=ϕ( )
y=ψ( )
y0=˙
ψ( )
˙
ϕ( )˙
ϕ( )6=0
y00 =¨
ψ( )·˙
ϕ( )−˙
ψ( )·¨
ϕ( )
(˙
ϕ( ))3
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
133 – Di e enciál unkce ˇ
Ry
De inice
ˇ
Rekneme, že unkce y= (x)je bodˇe x0di e enco a elná, nebo má
om o bodˇe di e enciál, jes liže je možné její pˇ í ˚us ek ∆yna okolí
bodu x0 yjádˇ i jako
∆y= (x0+h)− (x0) = Ah+hτ(h),
kde Aje kons an a a limh→0τ(h) = 0. Funkce se nazý á di e enco a-
elná, je-li di e enco a elná každém bodˇe x∈D .
Vˇe a
Je-li unkce di e enco a elná bodˇe x0, pak bodˇe x0exis uje de i-
ace p ního ˇ ádu a pla í
A= 0(x0).
Poznámka
ˇ
Císlo hpˇ eds a uje pˇ í ˚us ek na ose x, je z ykem en o pˇ í ˚us ek znaˇci
h=dx. P o pˇ í ˚us ek na ose y bodˇe x0pˇ i známé hodno nˇe dxpak
dos á áme
∆y= 0(x0)dx+dxτ(dx).
Vˇe a
Je-li unkce di e enco a elná bodˇe x0, pak je om o bodˇe spoji á.
Vˇe a
Je-li de i ace p ního ˇ ádu unkce spoji á x0, pak je unkce bodˇe
x0di e enco a elná (a edy i spoji á).
De inice di e enciálu unkce
Je-li unkce y= (x)di e enco a elná, nazý áme následující ý az di-
e enciálem unkce ,
dy=d (x) = 0(x)dx.
Geome ický ýznam di e enciálu
Di e enciál unkce y= (x) bodˇe x0pˇ i známém pˇ í ˚us ku dxje pˇ í ˚us-
ek na eˇcnˇe ses ojené ke g a u unkce bodˇe [x0, (x0)].
α
α
dx
x0
(x0)
x
(x)
T
X
∆y= (x)− (x0)
∆x=x−x0
dy
an α=k = 0(x0) = dy
dx⇒dy= 0(x0)dx

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
134 – Di e enciál unkce ˇ
Ry
Poznámka
• Di e enciál unkce y= (x)
dy= 0(x)dx.
• Di e enciál unkce y= (x) bodˇe x0
dy(x0) = 0(x0)(x−x0).
• Di e enciál unkce y= (x) bodˇe x0pˇ i známém pˇ í ˚us ku dx,
dy(x0)(dx) = 0(x0)dx∈R.
• Di e enciál d uhého ˇ ádu unkce y= (x)
d2y= 00(x)dx2.
• Di e enciál n- ého ˇ ádu unkce y= (x)
dny= (n)(x)dxn.
• Pˇ ibližný ýpoˇce unkˇcních hodno
(x)≈ (x0) + d (x0)(dx).
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e di e enciál unkce (x) = 2x2+1e3x2
a) obecném bodˇe x,
b) bodˇe x0=1.
a) Vypoˇcí áme de i aci 0a dosadíme do zo ce p o di e enciál,
dy= 0(x)dx.
0(x) = 4xe3x2+2x2+1e3x26x=
=4xe3x2+12x3+6xe3x2=
=12x3+10xe3x2
Di e enciál obecném bodˇe x zhledem k obecnému pˇ í ˚us ku dxje
dy=12x3+10xe3x2dx.
b) Dosadíme bod x0=1 a dos aneme
dy(1) = 22e3(x−1).
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
135 – Di e enciál unkce - pˇ ibližný ýpoˇce unkˇcní hodno y ˇ
Ry
Pˇ íklad
Vypoˇcí ej e pˇ ibližnˇe s yuži ím di e enciálu √7.
K ýpoˇc u použijeme unkci (x) = √x, za bod x0z olíme blízký bod se
známou hodno ou x0=9 a spoˇcí áme unkˇcní hodno u, de i aci a di e-
enciál om o bodˇe.
(9) = √9=3
0(x) = 1
2x−1
2=1
2√x
0(9) = 1
2√9=1
6
dy(9) = 1
6(x−9)
Použijeme zo ec p o ýpoˇce pˇ ibližné hodno y unkce
(x)≈ (x0) + d (x0)(dx),
kde dx=x−x0=7−9=−2. Dos aneme
√7= (7)≈3+1
6·(−2) = 3−1
3=8
3=2,6.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
136 – Di e enciál unkce ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇcí ej e di e enciál unkce y= (x) obecném bodˇe x zhledem k obecnému pˇ í ˚us ku dx:
a) y=1
2√xb) y=x3+1
x3−1c) y= an2xd) y=a c ane2x
Tipy
Di e enciál unkce y = (x)
dy= 0(x)dx
Di e enciál unkce bodˇe x0
dy(x0) = 0(x0)·(x−x0)
Di e enciál unkce bodˇe x0
pˇ i známém pˇ í ˚us ku dx
dy(x0)(dx) = 0(x0)·dx∈R
Di e enciál d uhého ˇ ádu unkce
y= (x)
d2y= 00(x)dx2
Di e enciál n- ého ˇ ádu unkce
y= (x)
dny= (n)(x)dxn
Pˇ ibližný ýpoˇce unkˇcních
hodno
(x)≈ (x0) + d (x0)(dx)
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
137 – Di e enciál unkce ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇcí ej e di e enciál unkce y= (x) bodˇe x0:
a) y=cos2x,x0=π
4b) y=ln x+√x,x0=1
Tipy
Di e enciál unkce y = (x)
dy= 0(x)dx
Di e enciál unkce bodˇe x0
dy(x0) = 0(x0)·(x−x0)
Di e enciál unkce bodˇe x0
pˇ i známém pˇ í ˚us ku dx
dy(x0)(dx) = 0(x0)·dx∈R
Di e enciál d uhého ˇ ádu unkce
y= (x)
d2y= 00(x)dx2
Di e enciál n- ého ˇ ádu unkce
y= (x)
dny= (n)(x)dxn
Pˇ ibližný ýpoˇce unkˇcních
hodno
(x)≈ (x0) + d (x0)(dx)
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
144 – Teˇcna ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e o nice eˇcen ke g a u unkce , k e é jsou o nobˇežné s pˇ ímkou p:
a) y=x2+4x−5, p: 4x−y=0 b) y=x3−12x,p:y=2
Tipy
smˇe nico ý a o nice eˇcny
:y−y0=k (x−x0)
bod do yku
T=[x0,y0]
smˇe nice eˇcny
k = 0(x0)

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
145 – Teˇcna ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e o nice eˇcen ke g a u unkce , k e é jsou o nobˇežné s osou x:
a) y=x2+4x−5b) y=2x2−2x+1
Tipy
smˇe nico ý a o nice eˇcny
:y−y0=k (x−x0)
bod do yku
T=[x0,y0]
smˇe nice eˇcny
k = 0(x0)
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
146 – Taylo ˚u polynom ˇ
Ry
P o ap oximaci unkce na okolí bodu x0se použí á z . Taylo ˚u poly-
nom, což je polynom, k e ý má hledem k unkci bodˇe x0s ejné hod-
no y de i ací až do ˇ ádu n.
De inice
Nech ’ je dána unkce , k e á má bodˇe x0∈D de i ace až do ˇ ádu
n∈N. Pak polynom
Tn(x) = (x0) + 1
1!d (x0) + 1
2!d2 (x0) + ···+1
n!dn (x0)
naz eme Taylo ˚u polynom unkce s upnˇe nna okolí bodu x0.
Poznámka
• Taylo ˚u polynom je kombinací di e enciál˚u až do s upnˇe n.
• Rozepíšeme-li di e enciály, dos á áme al e na i ní a Taylo o a
polynomu,
Tn(x) = (x0) + 0(x0)
1! (x−x0) + 00(x0)
2! (x−x0)2+···+ (n)(x0)
n!(x−x0)n.
• Taylo ˚u polynom p ního s upnˇe je eˇcna ke g a u unkce
bodˇe x0.
• V pˇ ípadˇe x0=0 se Taylo ˚u polynom nazý á Maclau in˚u po-
lynom.
T1
T2
T3
x0
(x0)T
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
147 – Taylo ˚u polynom ˇ
Ry
Pˇ íklad
Ses a e Taylo ˚u polynom s upnˇe 5 unkce (x) = xln xna okolí bodu
x0=1.
Vypoˇcí áme unkˇcní hodno u a de i ace až do ˇ ádu 5 bodˇe x0=1.
(x) = xln x (1) = 0
0(x) = ln x+1 0(1) = 1
00(x) = 1
x 00(1) = 1
000(x) = −1
x2 000(1) = −1
(4)(x) = 2
x3 (4)(1) = 2
(5)(x) = −6
x4 (5)(1) = −6
Dosadíme do zo ce p o Taylo ˚u polynom
Tn(x) = (x0) + 0(x0)
1! (x−x0) + 00(x0)
2! (x−x0)2+···+ (n)(x0)
n!(x−x0)n
a dos aneme
T5(x) = 0+1
1!(x−1) + 1
2!(x−1)2−1
3!(x−1)3+2
4!(x−1)4−6
5!(x−1)5=
=x−1+1
2(x−1)2−1
6(x−1)3+1
12(x−1)4−1
20(x−1)5.
0
−5−4−3−2−1 1 2 3 45 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
T5
T
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
148 – Taylo ˚u polynom ˇ
Ry
Pˇ íklad
Pomocí Maclau ino a polynomu s upnˇe 7 unkce sin x ypoˇc ˇe e pˇ i-
bližnou hodno u sin1.
Vypoˇcí áme unkˇcní hodno u a de i ace až do ˇ ádu 7 bodˇe x0=0.
(x) = sin x (0) = 0
0(x) = cos x 0(0) = 1
00(x) = −sin x 00(0) = 0
000(x) = −cos x 000(0) = −1
(4)(x) = sin x (4)(0) = 0
(5)(x) = cos x (5)(0) = 1
(6)(x) = −sin x (6)(0) = 0
(7)(x) = −cos x (7)(0) = −1
Maclau in˚u polynom dos aneme jako Taylo ˚u polynom p o x0=0.
Mn(x) = (x0) + 0(x0)
1! x+ 00(x0)
2! x2+···+ (n)(x0)
n!xn
Po dosazení dos aneme Maclau in˚u polynom s upnˇe 7.
M7(x) = 0+1
1!x+0
2!x2−1
3!x3+0
4!x4+1
5!x5+0
6!x6−1
7!x7=
=x−x3
3! +x5
5! −x7
7!
Vypoˇcí áme hodno u polynomu bodˇe x=1.
M7(1) = 1−1
3! +1
5! −1
7! =1−1
6+1
120 −1
5040 =4241
5040
.
=0,841468
Funkci sin xap oximujeme Maclau ino ým polynomem a edy
sin1 ≈M7(1).
=0,841468.
0
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 45
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
M7
T
[1, M7(1)] ≈[1,sin(1)]
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
149 – Taylo ˚u polynom ˇ
Ry
C iˇcení
Napiš e Taylo ˚u polynom n- ého s upnˇe Tn(x)na okolí bodu x0p o unkci:
a) :y=1
√x,x0=1, n=3 b) :y=ln x,x0=1, n=3
Tipy
Taylo ˚u polynom n- ého s upnˇe unkce
y= (x) bodˇe x0
Tn(x0) = (x0) + d (x0)
1! +···+dn (x0)
n!
Taylo ˚u polynom ˇ e ího s upnˇe unkce
y= (x) bodˇe x0
T3(x0) = (x0) + d (x0)
1! +d2 (x0)
2! +d3 (x0)
3!
esp.
T3(x0) = (x0) + 1
1! 0(x0)(x−x0)
+1
2! 00(x0)(x−x0)2+1
3! 000(x0)(x−x0)3

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
150 – Vˇe y o de i aci ˇ
Ry
Vˇe a Rolleo a
Nech ’ (x)je spoji á na in e alu ha,bia má in e alu (a,b)de i aci.
Nech ’ dále pla í (a) = (b). Pak exis uje aspoˇn jedno c∈(a,b) ako é,
že:
0(c) = 0.
Poznámka
V bodˇe cje eˇcna o nobˇežná s osou x.
0x
y
ab
(a) = (b)
c
(c) 0(c) = 0
Vˇe a Lag angeo a o s ˇ ední hodno ˇe
Nech ’ (x)je spoji á na in e alu ha,bia má in e alu (a,b)de i aci.
Pak exis uje aspoˇn jedno c∈(a,b) ako é, že:
0(c) = (b)− (a)
b−a.
Poznámka
1. V bodˇe cje eˇcna o nobˇežná se spojnicí bod˚u [a, (a)] a[b, (b)].
2. Pla í-li (a) = (b)dos aneme Rolleo u ˇe u.
0x
y
a c b
(a)
(b)
(c)
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
151 – Mono ónnos , lokální ex émy ˇ
Ry
Vˇe a o mono ónnos i unkce
Pla í-li 0(x0)>0, pak je unkce bodˇe x0 os oucí. Pla í-li 0(x0)<0,
pak je unkce bodˇe x0klesající.
Vˇe a
Nech ’ je unkce de ino ána na in e alu I. Pla í-li na I 0(x)>0, pak
je unkce na I os oucí. Pla í-li 0(x)<0 na I, pak je unkce na I
klesající.
Poznámka
In e aly, na k e ých je unkce os oucí nebo klesající se nazý ají in e -
aly mono ónnos i.
De inice lokálního maxima unkce
ˇ
Rekneme, že unkce má bodˇe x0lokální maximum, jes liže exis uje
ako é okolí bodu x0, že p o šechna x6=x0z oho o okolí pla í (x)≤
(x0). Pla í-li (x)< (x0), pak ˇ ekneme, že unkce má bodˇe x0
os é lokální maximum.
De inice lokálního minima unkce
ˇ
Rekneme, že unkce má bodˇe x0lokální minimum, jes liže exis uje
ako é okolí bodu x0, že p o šechna x6=x0z oho o okolí pla í (x)≥
(x0). Pla í-li (x)> (x0), pak ˇ ekneme, že unkce má bodˇe x0
os é lokální minimum.
De inice globálního maxima a minima unkce
Bod z de iniˇcního obo u unkce , e k e ém unkce nabude maxi-
mální esp. minimální unkˇcní hodno y se nazý á globální maximum
esp. globální minimum unkce .
Poznámka
• Má-li unkce bodˇe lokální maximum nebo lokální minimum, ˇ í-
káme, že má bodˇe lokální ex ém.
• Má-li unkce bodˇe os é lokální maximum nebo os é lokální mi-
nimum, ˇ íkáme, že má bodˇe os ý lokální ex ém.
• Má-li unkce bodˇe globální maximum, nebo globální mini-
mum, ˇ íkáme, že má bodˇe globální ex ém. Globální ex émy
hledáme lokálních ex émech, nebo k ajích bodech de iniˇcního
obo u.
LOK MAX
LOK MIN
klesající unkce
os oucí unkce
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
152 – Mono ónnos , lokální ex émy ˇ
Ry
Vˇe a o nu né podmínce exis ence lokálního ex ému
Má-li unkce bodˇe x0lokální ex ém a exis uje-li om o bodˇe de i ace, pak pla í
0(x0) = 0.
Poznámka
Funkce m˚uže mí lokální ex ém pouze bodech, e k e ých bud’ de i ace neexis uje,
nebo je de i ace o na nule.
De inice s acioná ního bodu
Bod x0∈D , e k e ém pla í 0(x0) = 0, naz eme s acioná ním bodem.
Vˇe a o pos aˇcující podmínce exis ence lokálního ex ému
Nech ’ pla í 0(x0) = 0 a exis uje d uhá de i ace 00(x0). Je-li 00(x0)>0, pak má
unkce bodˇe x0lokální minimum. Je-li 00(x0)<0, pak má unkce bodˇe x0
lokální maximum.
Poznámka
V bodech, e k e ých je 00(x0) = 0, nelze o exis enci lokálního ex ému ozhodnou
podle é o ˇe y, je nu né yše ˇ i lokální cho ání unkce na okolí bodu x0.
Pos up pˇ i u ˇco ání lokálních ex ém˚u - p ní de i ace
1. U ˇcíme de i aci unkce a její de iniˇcní obo .
2. Najdeme s acioná ní body.
3. S acioná ní body a body nespoji os i p ní de i ace ozdˇelí de iniˇcní obo na in-
e aly. Na ˇech o in e alech ozhodneme o kladnos i esp. zápo nos i de i ace.
Kladná de i ace indikuje os oucí unkci, zápo ná klesající.
4. Lokální maximum je bodech, e k e ých unkce pˇ echází z os oucí na klesající.
Lokální minimum je bodech, e k e ých unkce pˇ echází z klesající na os oucí.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
153 – Mono ónnos , lokální ex émy ˇ
Ry
Pˇ íklad
Najdˇe e in e aly mono ónnos i a lokální ex émy unkce
(x) = −x4
4+x3
3+x2−8.
1. De iniˇcní obo unkce D =R. Spoˇcí áme de i aci
0(x) = −x3+x2+2x
De iniˇcní obo de i ace D 0=Ra de i ace edy nemá body nespoji-
os i.
2. Položíme de i aci o nu nule a u ˇcíme s acioná ní body.
−x3+x2+2x=0
x−x2+x+2=0
Souˇcin je o en nule, když jeden z ˇcini el˚u je o en nule. Jedno ˇ e-
šení je x1=0. Vyˇ ešíme k ad a ickou o nici a dos aneme další d ˇe
ˇ ešení x2=−1 a x3=2. Funkce má ˇ i s acioná ní body.
3. S acioná ní body ozdˇelí de iniˇcní obo na in e aly, na k e ých u -
ˇcíme znaménka de i ace. Na in e alech, kde je de i ace kladná
esp. zápo ná, je unkce os oucí esp. klesající.
−10 2
+
%−
&
+
%−
&
MAX MAX
MIN
0
Na in e alech
(−∞,−1)∪(0,2) unkce os e,
(−1,0)∪(2, ∞) unkce klesá.
4. V bodech x=−1 a x=2 pˇ echází unkce z os oucí na klesající a
bodˇe x=0 z klesající na os oucí. Funkce má
x=−1 a x=2 os á lokální maxima,
x=0 os é lokální minimum.
−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
MAX1
MAX2
MIN
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
Analy ická geome ie

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
257 – Vek o y ˇ
Ry
De inice
Vek o o ý p os o Vnad množinou eálných ˇcísel Rje množina s ope-
ací sˇcí ání +p k˚u z V( ek o ˚u) a nˇejší násobení · ek o u eálným
ˇcíslem, pˇ iˇcemž ∀u, ,w∈V,p,q∈Rpla í:
1. u+ = +u5. 1 ·u=u
2. u+ ( +w) = (u+ ) + w6. p·(q·u) = (p·q)·u
3. ∃o∈V:u+o=u7. (p+q)·u= (p·u) + (q·u)
4. ∃−u∈V:u+ (−u) = o8. p·(u+ ) = (p·u) + (p· )
Poznámka
V množinˇe Vexis uje neu ální p ek ˚uˇci sˇcí ání, z . nulo ý ek o ,
j. pla í o+u=u+o=u.
Poznámka
Pˇ íkladem ek o o ých p os o ˚u nad množinou Rje samo ná množina
R, dále ka ézský souˇcin množin eálných ˇcísel se sebou, Rn( z . a i -
me ický ek o o ý p os o ). My se p o naše úˇcely omezíme na ek o-
o ý p os o R3nad R. Jeho p ky (uspoˇ ádáné ojice) budeme nazý-
a a i me ické ek o y, znaˇcíme u= (u1,u2,u3).
De inice
Lineá ní kombinací ek o ˚u u1,u2, . . . , un∈V ozumíme ek o
=λ1u1+λ2u2+···+λnun∈V, kde λ1,λ2, . . . λn∈R.
De inice
ˇ
Rekneme, že ek o y u1,u2, . . . , un∈Vgene ují V, jes liže lze každý
ek o z V yjádˇ i jako jejich lineá ní kombinaci.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
258 – Vek o y ˇ
Ry
De inice
ˇ
Rekneme, že ek o y u1,u2, . . . , un∈Vjsou lineá nˇe nezá islé, jes liže
λ1u1+λ2u2+···+λnu=o⇒λ1=λ2=··· =λn=0.
Nepla í-li a o podmínka, pak jsou ek o y lineá nˇe zá islé.
De inice
ˇ
Rekneme, že ek o y u1,u2, . . . , un∈V oˇ í bázi ek o o ého p o-
s o u V, jes liže gene ují Va jsou lineá nˇe nezá islé. Poˇce ek o ˚u
báze se pak nazý á dimenze ek o o ého p os o u V, znaˇcíme Vnnebo
dimV=n.
De inice
Nech ’ ek o y u1,u2, . . . , un∈V oˇ í bázi V. Pak koe icien y
λ1,λ2, . . . , λn∈Rlineá ní kombinace =λ1u1+λ2u2+··· +λnun
se nazý ají souˇ adnice ek o u bázi u1,u2, . . . , un; zapisujeme
= (λ1,λ2, . . . , λn).
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
259 – Vek o y ˇ
Ry
De inice
Bud’ V ek o o ý p os o nad R. Zob azení ·:V×V→Rse nazý á
skalá ní souˇcin na V, jes liže p o každé u, ,w∈Va libo olné c∈R
1. (u+ )·w=u·w+ ·w3. u· = ·u
2. (cu)· =c(u· )4. u6=o⇒u·u>0
De inice
ˇ
Rekneme, že ek o y u, ∈Vjsou na sebe kolmé, jes liže u· =0.
Velikos í ek o u u ozumíme ˇcíslo |u|=√u·u.
De inice
ˇ
Rekneme, že báze u1,u2, . . . , un ek o o ého p os o u Vje o ono -
mální, jes liže ek o y báze jsou jedno ko é (jejich elikos je o na
jedné) a na zájem na sebe kolmé. Odpo ídající souˇ adnice o ono -
mální bázi pak nazý áme ka ézské souˇ adnice.
De inice
Bud’ V ek o o ý p os o . A inním p os o em nad V ozumíme mno-
žinu A, spoleˇcnˇe s ope ací sˇcí ání +, k e á libo olnému p ku z Aa
libo olnému ek o u z Vpˇ iˇ adí p ek z A, j. A+u=B, p o každé
A,B∈ A,u∈V. P k˚um z Aˇ íkáme body.
De inice
Bud’ Aa inní p os o nad V. Je-li na Vza eden skalá ní souˇcin, pak se
a inní p os o nazý á Eukleido ský p os o ,E.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
260 – Eukleido ský p os o ˇ
Ry
Omezíme se na oj ozmˇe ný Eukleido ský p os o , k e ý budeme ozna-
ˇco a E3a z o ožˇno a s R3, body E3znaˇcíme A= [a1,a2,a3].
Poznámka
V oj ozmˇe ném p os o u E3je ka ézský souˇ adnico ý sys ém ep e-
zen o án ˇ emi zájemnˇe kolmými osami x,y,z, k e é se p o ínají jed-
nom spoleˇcném bodˇe, poˇcá ku sous a y souˇ adnic O.
Poznámka
VE3z olíme o ono mální bázi oˇ enou ek o y i= (1,0,0),j=
(0,1,0)ak= (0,0,1). Každý ek o u∈ E3lze zapsa jako lineá ní
kombinaci ek o ˚u báze u=u1i+u2j+u3k.ˇ
Císla u1,u2,u3se nazý ají
ka ézské souˇ adnice ek o u u, znaˇcíme u= (u1,u2,u3).
De inice
VE3jsou souˇ adnice bodu A ka ézské sous a ˇe souˇ adnic ojice
eálných ˇcísel a1,a2,a3, k e é dos aneme jako zdálenos poˇcá ku sou-
s a y souˇ adnic a kolmého p ˚umˇe u bodu Ana odpo ídající souˇ adni-
co é osy x,y,z, znaˇcíme A=[a1,a2,a3].
De inice
Nech ’ A=[a1,a2,a3],B=[b1,b2,b3]jsou d a body E3.O ien o anou
úseˇckou AB naz eme úseˇcku s poˇcá eˇcním bodem Aa konco ým bo-
dem B.Geome ickým ek o em ozumíme množinu šech souhlasnˇe
o ien o aných úseˇcek éže elikos i. Souˇ adnice ek o u AB jsou u -
ˇceny ozdílem souˇ adnic konco ého a poˇcá eˇcního bodu, AB =B−A.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
261 – Eukleido ský p os o ˇ
Ry
De inice
Nulo ým ek o em onazý áme ek o , jehož poˇcá eˇcní a konco ý bod
splý ají, edy jeho elikos je o na nule.
De inice
Nech ’ A= [a1,a2,a3]∈ E3.Poloho ým ek o em naz eme o ien o a-
nou úseˇcku OA, kde O= [0,0,0].
Poznámka
Poloho ý ek o lze chápa jako ˇeleso ou úhlopˇ íˇcku k ád u o h anách
a1,a2,a3.
Vˇe a
Nech ’ jsou dány ek o y a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3). Pak pla í
•p o násobení ek o u eálným ˇcíslem c∈R
c·a= (c·a1,c·a2,c·a3),
•p o o nos ek o ˚u
a=b⇔a1=b1,a2=b2,a3=b3,
•p o souˇce ek o ˚u
a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3),
•p o ozdíl ek o ˚u
a−b= (a1−b1,a2−b2,a3−b3).
xy
z
a1a2
a3
OA = (a1,a2,a3)
ca
a
a
ba+b
a
b
−ba−b

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
262 – Skalá ní souˇcin ek o ˚u ˇ
Ry
De inice
Skalá ním souˇcinem d ou ek o ˚u a,b, je ˇcíslo a·b, p o k e é pla í
a·b=a1·b1+a2·b2+a3·b3.
De inice
Nech ’ je dán ek o a= (a1,a2,a3).Velikos í ek o u a ozumíme ˇcíslo
|a|=√a·a=pa12+a22+a32.
De inice
Odchylka d ou nenulo ých ek o ˚u a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3)je
ˇcíslo, úhel ϕ∈ h0, πisplˇnující
a·b=|a||b|cos ϕ.
Poznámka o las nos ech skalá ního souˇcinu
• komu a i ní zákon
a·b=b·a,
• dis ibu i ní zákon
a·(b+c) = a·b+a·c,
• kolmos ek o ˚u
a⊥b⇔a·b=0,
• je-li jeden z ek o ˚u a,bnulo ý, pak
a·b=0.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
263 – Skalá ní souˇcin ek o ˚u ˇ
Ry
Pˇ íklad
Zjis ˇe e, zda je ojúhelník ABC p a oúhlý, jes liže A= [−2,3,1],B=
[2, −1,3],C= [5, 0, −1]. Spoˇcí ej e úhel αu cholu A ojúhelníku ABC.
T ojúhelník je p a oúhlý, jes liže d ˇe jeho s any jsou na sebe kolmé a úhel
mezi nimi je o en 90◦.
Spoˇcí áme souˇ adnice ek o ˚u, k e é u ˇcují ˇ i s any ojúhelníku,
a=BC =C−B= [5, 0, −1]−[2, −1,3]=(3,1, −4),
b=AC =C−A= [5, 0, −1]−[−2,3,1]=(7, −3, −2),
c=AB =B−A= [2, −1,3]−[−2,3,1]=(4, −4,2).
Pomocí skalá ního souˇcinu zjis íme, jes li jsou mezi nimi d a na sebe
kolmé ek o y. Skalá ní souˇcin d ou kolmých ek o ˚u musí bý o en 0.
a·b=3·7+1·(−3)−4·(−2) = 21 −3+8=26,
b·c=7·4−3·(−4)−2·2=28 +12 −4=36,
a·c=3·4+1·(−4)−4·2=12 −4−8=0.
Vek o aje kolmý na ek o c, úhel u cholu B ojúhelníku ABC je 90◦,
ojúhelník ABC je p a oúhlý.
P o nalezení úhlu αu cholu A ojúhelníku ABC ješ ˇe po ˇ ebujeme spo-
ˇcí a elikos i ek o ˚u b,c,
|b|=√b·b=q72+ (−3)2+ (−2)2=√49 +9+4=√62,
|c|=√c·c=q42+ (−4)2+22=√16 +16 +4=√36 =6.
P o úhel αpla í
cos α=b·c
|b|·|c|=36
√62 ·6=6
√62 =6√62
62 =3√62
31
.
=0,7620.
Od ud získáme
α.
=40◦220.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
264 – Skalá ní souˇcin ek o ˚u ˇ
Ry
C iˇcení
Vypoˇc ˇe e skalá ní souˇcin a odchylku ek o ˚u u, . Jsou y o ek o y na sebe kolmé?
a) u= (−1, −1,4), = (−1, 2, −2), b) u= (2, 3, −1), = (13, −6,8).
Tipy
Skalá ní souˇcin:
u· =u1· 1+u2· 2+u3· 3,
Odchylka ek o ˚u:
cos ϕ=u·
|u|| |
Velikos ek o u:
|u|=qu2
1+u2
2+u2
3
POZOR: Co je ýsledkem skalá -
ního souˇcinu?
Kolmos ek o ˚u:
u⊥ ⇔u· =0
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
265 – Vek o o ý souˇcin ek o ˚u ˇ
Ry
De inice
Vek o o ým souˇcinem d ou ek o ˚u a= (a1,a2,a3),b= (b1,b2,b3)
ozumíme ek o c=a×b, p o k e ý pla í
c=a×b=
i j k
a1a2a3
b1b2b3
,
kde i= (1,0,0),j= (0,1,0),k= (0,0,1).
Poznámka
c=a×b=
a2a3
b2b3,−
a1a3
b1b3,
a1a2
b1b2
Vˇe a
Mˇejme d a lineá nˇe nezá islé nenulo é ek o y a= (a1,a2,a3),b=
(b1,b2,b3)a ek o c=a×b, pak pla í
• ek o cje kolmý na ek o y aab, edy
c⊥a∧c⊥b,
• p o elikos ek o u c
|c|=|a×b|=|a|·|b|·sin ϕ,
kde ϕje úhel, k e ý s í ají ek o y a,b,
• ek o y a,b,c om o poˇ adí oˇ í z . p a o oˇci ou ojici.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
272 – Pˇ ímka R3ˇ
Ry
Pˇ ímku lze jednoznaˇcnˇe u ˇci d ˇema ˚uznými body nebo bodem a ek o-
em, z . u ˇcujícím smˇe em pˇ ímky,
p={A,B},p={A,AB},p={A,u}.
De inice
Vek o o ou (symbolickou) o nicí pˇ ímky p={A,u}nazý áme o -
nici
p:X=A+ u,
bod X∈p,uje smˇe o ým ek o em pˇ ímky p, ∈Rje pa ame
pˇ ímky p.
De inice
Nech ’ je dán bod A= [a1,a2,a3]a smˇe o ý ek o u= (u1,u2,u3).
Pa ame ickými o nicemi pˇ ímky p={A,u}naz eme o nice
x=a1+ u1,
p:y=a2+ u2, ∈R,
z=a3+ u3,
bod X= [x,y,z]∈pje bod ležící na pˇ ímce p.
Poznámka
Obecná o nice pˇ ímky p os o u R3neexis uje! Pˇ ímku lze šak zada
jako p ˚useˇcnici d ou o in.

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
273 – Pˇ ímka R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
Naleznˇe e pa ame ické o nice pˇ ímky p, k e á p ochází body
A= [0, −2, 4],B= [1,3,0].
P o získání pa ame ických o nic pˇ ímky po ˇ ebujeme zná jeden její bod
a smˇe o ý ek o pˇ ímky. Smˇe o ý ek o upˇ ímky pspoˇcí áme ze zada-
ných bod˚u
u=AB =B−A= (1, 5, −4).
Pa ame ické o nice pˇ ímky získáme ozepsáním ek o o é o nice
X=A+ upo souˇ adnicích,
p:
x= ,
y=−2+3 ,
z=4,
∈R.
Pˇ íklad
Naleznˇe e pa ame ické o nice pˇ ímky p, k e á p ochází bodem
A= [4, 7,6]a je o nobˇežná s pˇ ímkou q:x=−3+ ,y=5−2 ,
z=9+5 , ∈R.
P o získání pa ame ických o nic pˇ ímky po ˇ ebujeme zná jeden její bod
a smˇe o ý ek o pˇ ímky. Bod Aje zadaný. Smˇe o ý ek o pˇ ímky pm˚u-
žeme zí s ejný jako smˇe o ý ek o zadané pˇ ímky q, p o ože pˇ ímky
jsou o nobˇežné,
up=uq= (1, −2,5).
Pˇ ímka pmá pa ame ické o nice
p:
x=4+s,
y=7−2s,
z=6+5s,
s∈R.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
274 – Pˇ ímka R3ˇ
Ry
C iˇcení
a) U ˇce e o nici pˇ ímky pu ˇcené bodem A= [1, −1, −3]a smˇe em u= (5, −4,2).
b) Zjis ˇe e zda body A= [1, −3,2],B= [2,0,2]leží na pˇ ímce p:
x=−1+3
y=2−2
z=1+
∈R.
c) U ˇce e o nici pˇ ímky qp ocházející bodem K= [1, −1, −3]a o nobˇežné s pˇ ímkou
p:
x=−1+3
y=3−2
z=2+5
∈R.
Tipy
Bod leží na pˇ ímce, jes liže jeho
složky yho ují o nici pˇ ímky.
Smˇe o ý ek o pˇ ímky pje
aké smˇe o ým ek o em o no-
bˇežné pˇ ímky q.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
275 – Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
Nech ’ jsou dány d ˇe pˇ ímky p,qo o nicích:
p:X=A+ u,q:X=B+s .
Rozlišujeme ˇc yˇ i ypy zájemných poloh, ždy záleží, co mají anebo ne-
mají pˇ ímky spoleˇcného, pˇ ímky edy mohou bý :
• o nobˇežné ˚uzné
pkq⇔mají spoleˇcný smˇe , nemají spoleˇcný bod
• o ožné
p≡q⇔mají spoleˇcný smˇe a bod, zn. šechny body
• ˚uznobˇežné
p∩q={P} ⇔ nemají spoleˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
•mimobˇežné
p6 | q⇔nemají spoleˇcný smˇe ani bod
Poznámka
Spoleˇcnému bodu ˚uznobˇežných pˇ ímek se ˇ íká p ˚useˇcík.
Ke zjiš ˇení konk é ní zájemné polohy se použí á klasi ikaˇcní ma ice.
Ma ici poskládáme ze smˇe o ých ek o ˚u a pˇ idáme z . bodo ý smˇe ,
ek o spojující u ˇcující body pˇ ímek. ˇ
Rádky, k e é se ma ici pˇ i ˇ ádko ˇe
ek i alen ních úp a ách pˇ i pˇ e odu ma ice na schodo i ý a anulují,
pak indikují odpo ídající spoleˇcnou las nos .
Klasi ikaˇcní ma ice
p={A,u},q={B, },

u
AB

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
276 – Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu d ou pˇ ímek paq, jes liže pˇ ímka pje u ˇcená
bodem A= [4, 6,5]a smˇe o ým ek o em u= (−2,4,2), a pˇ ímka qje
u ˇcená bodem B= [−2,8,4]a smˇe o ým ek o em = (1, −2, −1).
V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
Využijeme klasi ikaˇcní ma ici oˇ enou smˇe o ými ek o y pˇ ímek u, , a
jedním bodo ým smˇe em AB,
AB =B−A= [−2, 8,4]−[4,6,5]=(−6, 2, −1).
V klasi ikaˇcní ma ici se snažíme anulo a pomocí ˇ ádko ých úp a co nej-
íce ˇ ádk˚u ak, aby z˚us ala oddˇelená ˇcás se smˇe o ými ek o y od ˇcás i s
bodo ým ek o em AB.


u
AB 
=
−2 4 2
1−2−1
−6 2 −1
←−2
←−−−
−
3
∼
−2 4 2
0 0 0
0−10 −7
mají spoleˇcný smˇe
( o nobˇežné nebo o ožné)
⇒nemají spoleˇcný bod
Z klasi ikaˇcní ma ice yplý á, že pˇ ímky paqjsou o nobˇežné,
pkq.
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu d ou pˇ ímek p,q. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné
polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
p:
x=10 −2 ,
y=1+2 ,
z=4− ,
∈R,q:
x=6−4s,
y=5+4s,
z=2−2s,
s∈R.
Využijeme klasi ikaˇcní ma ici oˇ enou smˇe o ými ek o y pˇ ímek u, , a
jedním bodo ým smˇe em AB,
u= (−2, 2, −1),
= (−4, 4, −2),
AB =B−A= [6,5,2]−[10,1,4]=(−4, 4, −2).
Up a íme klasi ikaˇcní ma ici.


u
AB 
=
−2 2 −1
−4 4 −2
−4 4 −2
←−
−
2
←−−−−
−
2
∼
−2 2 −1
0 0 0
0 0 0
mají spoleˇcný smˇe
( o nobˇežné nebo o ožné)
⇒mají spoleˇcný bod
Z klasi ikaˇcní ma ice yplý á, že pˇ ímky paqjsou o ožné,
p≡q.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
277 – Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu d ou pˇ ímek p={P,u},q={Q, }, jes liže
P= [0, 0,3],u= (−3, 3,1),Q= [5, −5,3], = (2, −2,1). V pˇ ípadˇe
˚uznobˇežné polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
Využijeme klasi ikaˇcní ma ici oˇ enou smˇe o ými ek o y pˇ ímek u, , a
jedním bodo ým smˇe em PQ
PQ =Q−P= [5, −5,3]−[0,0,3]=(5, −5,0).
V klasi ikaˇcní ma ici se snažíme anulo a pomocí ˇ ádko ých úp a co nej-
íce ˇ ádk˚u ak, aby z˚us ala oddˇelená ˇcás se smˇe o ými ek o y od ˇcás i s
bodo ým ek o em.


u
PQ 
=
−3 3 1
2−2 1
5−5 0
←−
2
3
←−−−
5
3∼
−3 3 1
0 0 5
0 0 5
←−
−
1
∼
−3 3 1
0 0 5
0 0 0
nemají spoleˇcný smˇe
( ˚uznobˇežné nebo mimobˇežné)
⇒mají spoleˇcný bod
Z klasi ikaˇcní ma ice yplý á, že pˇ ímky paqjsou ˚uznobˇežné,
p∩q=R.
Nalezneme souˇ adnice p ˚useˇcíku zadaných pˇ ímek. Napíšeme si pa ame-
ické o nice pˇ ímek,
p:
x=−3 ,
y=3 ,
z=3+ ,
∈R,q:
x=5+2s,
y=−5−2s,
z=3+s,
s∈R,
po o náním p a ých s an pa ame ických o nic získáme lineá ní sou-
s a u ˇ ech o nic o d ou neznámých, k e ou yˇ ešíme.
−3 =5+2s,
3 =−5−2s,
3+ =3+s,⇒−3 −2s=5,
3 +2s=−5,
−s=0,
Rozšíˇ enou ma ici sous a y up a íme na schodo i ý a

−3−2 5
3 2 −5
1−1 0
←−
←−− 3∼
−3−2 5
0 0 0
0−5 5
←−
←− ∼
−3−2 5
0−5 5
0 0 0

−5s=5
s=−1−3 −2s=5
−3 +2=5
−3 =3
=−1
sous a a má jediné ˇ ešení =−1, s=−1. Souˇ adnice p ˚useˇcíku Rzís-
káme dosazením pa ame u do pa ame ických o nic pˇ ímky pnebo
dosazením pa ame u sdo pa ame ických o nic pˇ ímky q,
R= [−3 ,3 ,3 + ]=[3, −3,2].

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
278 – Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu d ou pˇ ímek p={A,B},q={K,L}, jes liže
A= [7, 3,0],B= [8,5,2],K= [3, −3,2],L= [−1,1,0]. V pˇ ípadˇe ˚uzno-
bˇežné polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
Využijeme klasi ikaˇcní ma ici oˇ enou smˇe o ými ek o y pˇ ímek u, , a
jedním bodo ým smˇe em AK,
u=AB =B−A= [8,5,2]−[7,3,0]=(1,2,2),
=KL =L−K= [−1,1,0]−[3, −3,2]=(−4, 4, −2),
AK =K−A= [3, −3,2]−[7,3,0]=(−4, −6,2).
V klasi ikaˇcní ma ici se snažíme anulo a pomocí ˇ ádko ých úp a co nej-
íce ˇ ádk˚u ak, aby z˚us ala oddˇelená ˇcás se smˇe o ými ek o y od ˇcás i
s bodo ým ek o em.


u
AK 
=

1 2 2
−4 4 −2
−4−6 2
←−
4
←−−−
4
∼

1 2 2
0 12 6
0 2 10
←−
−
6
∼

1 2 2
0 12 6
0 0 −54
nemají spoleˇcný smˇe
( ˚uznobˇežné nebo mimobˇežné)
⇒nemají spoleˇcný bod
Z klasi ikaˇcní ma ice yplý á, že pˇ ímky paqjsou mimobˇežné,
p6 | q.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
279 – Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e zájemnou polohu d ou pˇ ímek, p={A,u},q={B, }. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné polohy
naleznˇe e p ˚useˇcík.
a) A= [1, 2,3],u=(1, −3,2)
B= [0, 5,1], =(−2, 6, −4)b) A= [1, −3,4],u=(2, 2, −1)
B= [3, 0, −1], =(0,1,3)
Tipy
Ses a íme klasi ikaˇcní ma ici
p={A,u},q={B, },


u
AB

Ma ici pˇ e edeme na schodo i ý
a .
Pak zájemná poloha je:
a) ˚uznobˇežná - nemají spo-
leˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
(p ˚useˇcík),
b) o nobˇežná - mají spoleˇcný
smˇe , nemají spoleˇcný bod,
c) mimobˇežná - nemají spo-
leˇcný smˇe ani bod,
d) o ožná - mají spoleˇcné šechny
body.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
280 – Vzájemná poloha d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e zájemnou polohu d ou pˇ ímek, p={A,u},q={B, }. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné polohy
naleznˇe e p ˚useˇcík.
a) A= [1, 3, −1],u=(2, −4,3)
B= [0, −3, 1], =(−1, 2, −3
2)b) A= [0, 1, −1],u=(1,0,1)
B= [2, 3,2], =(1,2,2)
Tipy
Ses a íme klasi ikaˇcní ma ici
p={A,u},q={B, },


u
AB

Ma ici pˇ e edeme na schodo i ý
a .
Pak zájemná poloha je:
a) ˚uznobˇežná - nemají spo-
leˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
(p ˚useˇcík),
b) o nobˇežná - mají spoleˇcný
smˇe , nemají spoleˇcný bod,
c) mimobˇežná - nemají spo-
leˇcný smˇe ani bod,
d) o ožná - mají spoleˇcné šechny
body.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
281 – Ro ina R3ˇ
Ry
Ro inu lze jednoznaˇcnˇe u ˇci ˇ emi body neležícímí na éže pˇ ímce; d ˇema
body a smˇe em u ˇcujícím pˇ ímku, k e á ˇemi o body nep ochází; bodem a
d ˇema nekolineá ními smˇe y,
ρ={A,B,C},ρ={A,B, },ρ={A, ,w}.
De inice
Vek o o ou (symbolickou) o nicí o iny ρ={A, ,w}nazý áme
o nici
ρ:X=A+ +sw,
bod X∈ρa ,s∈Rjsou pa ame y o iny ρ.
De inice
Nech ’ je dán bod A= [a1,a2,a3]a smˇe o é ek o y = ( 1, 2, 3),
w= (w1,w2,w3).Pa ame ickými o nicemi o iny ρ={A, ,w}na-
z eme o nice: x=a1+ 1+sw1,
ρ:y=a2+ 2+sw2,
z=a3+ 3+sw3,
bod X= [x,y,z]∈ρje bod ležící na dané o inˇe, ,s∈R.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
288 – Ro ina R3ˇ
Ry
C iˇcení
a) Ses a e ek o o ou, pa ame ickou a obecnou o nici o iny
ρ={B= [2, 3,1], = (1, 2, −1),w= (3, 1, −2)}.
b) Zjis ˇe e, zda body A= [−1,2,5],B= [3, −1,0], leží o inˇe α: 2x−5y+6z−11 =0.
Tipy
a) Ses a íme jedno li é ypy
o nic. Jak se pˇ echází od pa-
ame ického yjádˇ ení o iny
k obecnému?
b) Dosad’ e jedno li é body
do o nice a zjis ˇe ˇe, zda ji splˇnují.

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
289 – Ro ina R3ˇ
Ry
C iˇcení
a) U ˇce e o nici o iny p ocházející bodem M= [1, −2,3]a kolmé na ek o a= (1, 1, −2).
b) U ˇce e o nici o iny p ocházející bodem M= [1, −2,3]a kolmé k ose x.
c) U ˇce e o nici o iny p ocházející bodem M= [1, −2,3]a o nobˇežné s o inou α: 2x−y+3z=0.
Tipy
Zjis ˇe e no málo ý ek o dané o-
iny a pak dosazením bodu Mdo
obecné o nice o iny, j.
ax +by +cz +d=0
dopoˇcí ej e absolu ní ˇclen d.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
290 – Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3ˇ
Ry
Nech ’ je dána pˇ ímka pa o ina ρo o nicích:
p:X=A+ u,ρ:X=B+ +sw.
Rozlišujeme ˇ i ypy zájemných poloh, ždy záleží, co mají anebo nemají
objek y spoleˇcného, pˇ ímka a o ina mohou bý :
• o nobˇežné ˚uzné
pkρ⇔mají spoleˇcný smˇe , nemají spoleˇcný bod
•pˇ ímka leží o inˇe
p⊂ρ⇔mají spoleˇcný smˇe a bod, zn. šechny body pˇ ímky
• ˚uznobˇežné
p∩ρ={P} ⇔ nemají spoleˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
NEEXISTUJE MIMOBˇ
EŽNÁ POLOHA P ˇ
RÍMKY A ROVINY V TROJ-
ROZMˇ
ERNÉM PROSTORU!
Poznámka
Spoleˇcnému bodu pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné polohy pˇ ímky a o iny se ˇ íká
p ˚useˇcík.
Ke zjiš ˇení konk é ní zájemné polohy se použí á klasi ikaˇcní ma ice.
Ma ici poskládáme ze smˇe o ých ek o ˚u a pˇ idáme z . bodo ý smˇe ,
ek o spojující u ˇcující body pˇ ímky a o iny. ˇ
Rádky, k e é se ma ici pˇ i
ˇ ádko ˇe ek i alen ních úp a ách pˇ i pˇ e odu ma ice na schodo i ý a
anulují, pak indikují odpo ídající spoleˇcnou las nos .
Klasi ikaˇcní ma ice
p={A,u},ρ={B, ,w},



u
w
AB




P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
291 – Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu pˇ ímky pa o iny α, jes liže pˇ ímka pje u ˇcená bodem P= [−2,1,0]a smˇe o ým ek o em u= (−2,1,2), a o ina αje
u ˇcená bodem A= [1,2,2]a d ˇema smˇe o ými ek o y a= (1,0,0),b= (1, 3, −2). V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné zájemné polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
Využijeme klasi ikaˇcní ma ici oˇ enou smˇe o ým ek o em pˇ ímky u, smˇe o ými ek o y o iny a,ba jedním bodo ým smˇe em PA =A−P= (3,1,2).
V klasi ikaˇcní ma ici se snažíme anulo a pomocí ˇ ádko ých úp a co nej íce ˇ ádk˚u ak, aby z˚us ala oddˇelená ˇcás se smˇe o ými ek o y od ˇcás i s
bodo ým ek o em.




u
a
b
PA



=



−2 1 2
1 0 0
1 3 −2
3 1 2




←−
←− ∼



1 0 0
−2 1 2
1 3 −2
3 1 2



←−
2
←−−−
−
1
∼



1 0 0
0 1 2
0 3 −2
0 1 2



←−
−
3∼



1 0 0
0 1 2
0 0 −8
0 0 0






nemají spoleˇcný smˇe
( ˚uznobˇežné)
⇒mají spoleˇcný bod
Z klasi ikaˇcní ma ice yplý á, že pˇ ímka je s o inou ˚uznobˇežná. Nalezneme souˇ adnice jejich p ˚useˇcíku R=p∩α.
Nejdˇ í e nalezneme obecnou o nici o iny α. Pomocí ek o o ého souˇcinu smˇe o-
ých ek o ˚u o iny získáme no málo ý ek o nα o iny α,
a×b= (0,2,3) = nα,
Souˇ adnice no málo ého ek o u o iny dosadíme do obecné o nice o iny ax +by +
cz +d=0, pomocí bodu A= [1,2,2]dopoˇcí áme kons an u d. Vypoˇcí anou kons an u
d=−10 dosadíme do obecné o nice o iny,
α: 2y+3z−10 =0.
P ˚useˇcík pˇ ímky s o inou získáme ak, že nejdˇ í e dosadíme pa ame ické o nice
pˇ ímky pdo obecné o nice o iny α, a ypoˇcí áme hodno u pa ame u hledaného
p ˚useˇcíku R,
p:
x=−2−2 ,
y=1+ ,
z=2 ,
∈R
2(1+ ) + 3(2 )−10 =0,
8 −8=0,
=1.
Souˇ adnice p ˚useˇcíku Rzískáme dosazením pa ame u =1 do pa ame ických o nic pˇ ímky p. Pˇ ímka pa o ina αjsou ˚uznobˇežné a p o ínají se
bodˇe R= [−4,2,2].
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
292 – Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu pˇ ímky pa o iny α. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné
zájemné polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
p:
x=5+3 ,
y=4+ ,
z=−1−2 ,
∈R,α: 3x+y+5z−14 =0
Do zadané obecné o nice o iny αdosadíme pa ame ické o nice
pˇ ímky pa zjis íme, kolik ˇ ešení má o nice o jedné neznámé ,
3(5+3 ) + (4+ ) + 5(−1−2 )−14 =0,
0· +14 −14 =0,
0=0.
Ro nice pla í ždy, p o každé ∈R, pˇ ímka s o inou mají nekoneˇcnˇe
mnoho spoleˇcných bod˚u, pˇ ímka leží o inˇe,
p⊂α
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu pˇ ímky pa o iny α. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné
zájemné polohy naleznˇe e p ˚useˇcík.
p={A,B},A= [2, 1,3],B=[0,3,5],α:x−y+2z−2=0
Nalezneme smˇe o ý ek o upˇ ímky p,
u=AB =B−A=[0,3,5]−[2,1,3] = (−2,2,2)
Pa ame ické o nice pˇ ímky pu ˇcené bodem Aa smˇe o ým ek o em u
dosadíme do zadané obecné o nice o iny αa zjis íme poˇce ˇ ešení,
p:
x=2−2 ,
y=1+2 ,
z=3+2 ,
∈R,
2−2 −(1+2 ) + 2(3+2 )−2=0,
0· +7−2=0,
56=0.
Ro nice nemá ˇ ešení p o žádné ∈R, pˇ ímka s o inou nemají žádný
spoleˇcný bod, pˇ ímka je s o inou o nobˇežná ˚uzná,
pkα
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
293 – Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e zájemnou polohu pˇ ímky p={A,u}a o iny ρ={B, ,w}. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné polohy na-
leznˇe e p ˚useˇcík.
a) A= [1, 4, −3],u=(−1, 3, −4)
B= [3, 3,0], =(1, 2, −1),w= (3,1,2)b) A= [1, 1, −2],u=(−1,3,0)
B= [2, 3,1], =(1, 2, −1),w= (3, 1, −2)
Tipy
Ses a íme klasi ikaˇcní ma ici
p={A,u},ρ={B, ,w},




u
w
AB




Ma ici pˇ e edeme na schodo i ý
a .
Pak zájemná poloha je:
a) ˚uznobˇežná - nemají spo-
leˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
(p ˚useˇcík),
b) o nobˇežná - mají spoleˇcný
smˇe , nemají spoleˇcný bod,
c) pˇ ímka leží o inˇe - mají
spoleˇcný smˇe a bod.

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
294 – Vzájemná poloha pˇ ímky a o iny R3ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e zájemnou polohu pˇ ímky p={A,u}a o iny ρ={B, ,w}. V pˇ ípadˇe ˚uznobˇežné polohy na-
leznˇe e p ˚useˇcík.
a) A= [0, −2, 4],u=(1, −1,2)
B= [−1, −1, −3], =(1,3,3),w= (−2, −2,0)b) A= [−2,1,0],u=(−2, 1, −2)
B= [1, 2,2], =(1,0,0),w= (1, 3, −2)
Tipy
Ses a íme klasi ikaˇcní ma ici
p={A,u},ρ={B, ,w},




u
w
AB




Ma ici pˇ e edeme na schodo i ý
a .
Pak zájemná poloha je:
a) ˚uznobˇežná - nemají spo-
leˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
(p ˚useˇcík),
b) o nobˇežná - mají spoleˇcný
smˇe , nemají spoleˇcný bod,
c) pˇ ímka leží o inˇe - mají
spoleˇcný smˇe a bod.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
295 – Vzájemná poloha d ou o in R3ˇ
Ry
Nech ’ jsou dány d ˇe o iny αaβo o nicích:
α:X=B+k +lw,β:X=B0+p 0+ w0.
Rozlišujeme ˇ i ypy zájemných poloh, ždy záleží, co mají anebo nemají
objek y spoleˇcného, d ˇe o iny mohou bý :
• o nobˇežné ˚uzné
αkβ⇔mají spoleˇcné šechny smˇe y, nemají spoleˇcný bod
• o ožné
α≡β⇔mají spoleˇcné šechny smˇe y a bod, zn. šechny body
• ˚uznobˇežné
α∩β=p⇔mají spoleˇcný smˇe , mají spoleˇcný bod
NEEXISTUJE MIMOBˇ
EŽNÁ POLOHA DVOU ROVIN V TROJROZ-
Mˇ
ERNÉM PROSTORU!
Poznámka
Spoleˇcné pˇ ímce ˚uznobˇežných o in se ˇ íká p ˚useˇcnice.
Ke zjiš ˇení konk é ní zájemné polohy se použí á klasi ikaˇcní ma ice.
Ma ici poskládáme ze smˇe o ých ek o ˚u a pˇ idáme z . bodo ý smˇe ,
ek o spojující u ˇcující body o in. ˇ
Rádky, k e é se ma ici pˇ i ˇ ádko ˇe
ek i alen ních úp a ách pˇ i pˇ e odu ma ice na schodo i ý a anulují,
pak indikují odpo ídající spoleˇcnou las nos .
Klasi ikaˇcní ma ice
α={B, ,w},β={B0, 0,w0},





w
0
w0
BB0






P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
296 – Vzájemná poloha d ou o in R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu d ou o in αaβ, jes liže o ina αje u ˇcená bodem A= [0,0,1]a d ˇema smˇe o ými ek o y u= (1,2,0), = (−1,1,3), a
o ina βje u ˇcená bodem B= [2,1,0]a d ˇema smˇe o ými ek o y k= (0, 3,3),l= (2, 1, −3).
Využijeme klasi ikaˇcní ma ici oˇ enou smˇe o ými ek o y o in u, ,k,la jedním bodo ým smˇe em AB =B−A= (2, 1, −1). V klasi ikaˇcní ma ici se
snažíme anulo a pomocí ˇ ádko ých úp a co nej íce ˇ ádk˚u ak, aby z˚us ala oddˇelená ˇcás se smˇe o ými ek o y od ˇcás i s bodo ým ek o em.






u
k
l
AB






=





1 2 0
−1 1 3
0 3 3
2 1 −3
2 1 −1






←−
←−−
−
2
∼





1 2 0
0 3 3
0 3 3
0−3−3
0−3−1





←−
−
1
←−−−−
←−−−−−
∼





1 2 0
0 3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 2













mají spoleˇcné 2 lin. nezá islé smˇe y
( o nobˇežné nebo o ožné)
⇒nemají spoleˇcný bod
Z klasi ikaˇcní ma ice yplý á, že o iny αaβjsou o nobˇežné,
αkβ.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
297 – Vzájemná poloha d ou o in R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
U ˇce e zájemnou polohu d ou o in αaβ, jes liže o ina αje u ˇcená obecnou o nicí α:x−2y+z−3=0 a o ina βje u ˇcená obecnou o nicí
β: 2x+y−z+1=0.
Vzájemná poloha d ou o in se dá u ˇci pomocí poˇc u ˇ ešení sous a y d ou obecných li-
neá ních o nic o ˇ ech neznámých. Žádné ˇ ešení znamená o nobˇežnos o in, nekoneˇcnˇe
mnoho ˇ ešení zá islých na jednom pa ame u znamená spoleˇcnou pˇ ímku a ˚uznobˇežnos
o in, nekoneˇcnˇe mnoho ˇ ešení zá islých na d ou pa ame ech znamená, že jsou o iny
o ožné. Vyˇ ešíme sous a u d ou o nic p o zadané o iny.
x−2y+z=3
2x+y−z=−1
1−2 1 3
2 1 −1−1←−
−
2∼1−2 1 3
0 5 −3−7h(A|B) = h(A) = 2
n=3
Sous a a má nekoneˇcnˇe mnoho ˇ ešení zá islých na 1 pa ame u, o iny mají spoleˇcnou
pˇ ímku (p ˚useˇcnici), o iny jsou ˚uznobˇežné.
Pa ame ické o nice p ˚useˇcnice zadaných d ou o in získáme doˇ ešením sous a y line-
á ních o nic. Z olíme si pa ame z= , z d uhého ˇ ádku ma ice e schodi i ém a u
dopoˇcí áme y,
5y−3 =−7⇒5y=−7+3 ⇒y=−7
5+3
5 ,
z p ního ˇ ádku ma ice e schodo i ém a u dopoˇcí áme x,
x−2−7
5+3
5 + =3⇒x+14
5−6
5 + =3⇒x=1
5+1
5
Ro ina αje s o inou β ˚uznobˇežná, jejich p ˚useˇcnice p=α∩βmá pa ame ické o nice
p:
x=1
5+1
5
y=−7
5+3
5
z=
∈R.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
304 – Me ické úlohy ˇ
Ry
Odchylka d ou pˇ ímek
ϕ
p
u
q
cos ϕ=|u· |
|u|·| |,ϕ∈ h0, π/2i
Odchylku d ou pˇ ímek u ˇcíme jako odchylku jejich smˇe o ých ek o ˚u.
Odchylka pˇ ímky od o iny
ρcos π
2−ϕ=sin ϕ=|u·n|
|u|·|n|
ϕ
π
2−ϕn
u
Odchylku pˇ ímky od o iny pˇ e ádíme na odchylku pˇ ímky od no málo-
ého smˇe u o iny.
Odchylka d ou o in
α
β
nα
nβ
ϕOdchylka d ou o in pˇ echází
odchylku jejich no málo ých
smˇe ˚u.
cos ϕ=|nα·nβ|
|nα|·|nβ|

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
305 – Kolmos d ou pˇ ímek R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
O ˇeˇ e, zda jsou pˇ ímky p,qkolmé. Pˇ ímka pje p ˚useˇcnicí o in α,β, a pˇ ímka qje dána bodem Qa smˇe o ým ek o em sq.
α: 2x−y+3z−4=0β: 4x+y−2z+1=0Q=[7, 6, −1]sq=(6,0,1)
D ˇe pˇ ímky jsou kolmé, mají-li kolmé smˇe o é ek o y. Po ˇ ebujeme edy souˇ adnice smˇe o ých ek o ˚u obou pˇ ímek. Smˇe o ý ek o pˇ ímky p ypoˇcí-
áme jako ek o o ý souˇcin no málo ých ek o ˚u o in α,β,
nα=(2, −1,3),nβ=(4, 1, −2),sp=nα×nβ=
i j k
2−1 3
4 1 −2
=(−1,16,6).
Smˇe o ý ek o pˇ ímky qje zadaný, sq=(6,0,1). Vek o y jsou na sebe
kolmé, je-li jejich skalá ní souˇcin o en 0.
sp·sq=−1·6+16 ·0+6·1=0.
Vek o y jsou na sebe kolmé
sp⊥sq,
a edy i zadané pˇ ímky jsou kolmé
p⊥q.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
306 – Odchylka d ou o in R3ˇ
Ry
Pˇ íklad
Jaký úhel mezi sebou s í ají o iny α,β, jes liže α:y+z−1=0,
β={B,u, },B= [0, 0,0],u= (1,2,4), = (−2,3,2).
Úhel mezi o inami ypoˇcí áme pomocí z ahu
cos ϕ=|nα·nβ|
|nα|·|nβ|.
Vek o nαzjis íme z obecné o nice,
nα= (0,1,1).
Vek o nβspoˇcí áme pomocí ek o o ého souˇcinu smˇe o ých ek o ˚u,
nβ=u× =
i j k
1 2 4
−2 3 2 
=(−8, −10,7).
Spoˇcí áme skalá ní souˇcin
nα·nβ=0·(−8) + 1·(−10) + 1·7=−3.
Spoˇcí áme elikos i ek o ˚u,
|nα|=p02+12+12=√2,
|nβ|=q(−8)2+ (−10)2+72=√213.
Dosadíme do zo ce,
cos ϕ=|−3|
√2·√213 =3
√426
.
=0,14535
odkud získáme
ϕ.
=81,64◦.
=81◦390.
Ro iny mezi sebou s í ají úhel 81◦390.
Poznámka
a) Obecná o nice o iny
α:y+z−1=0
neobsahuje x, o znamená, že o-
ina αje o nobˇežná s osou x.
b) Ro ina βp ochází bodem [0,0,0],
o znamená, že obecná o nice o-
iny βneobsahuje ˇclen d.
β: 8x+10y−7z=0.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
307 – Odchylka lineá ních ú a ˚u R3ˇ
Ry
C iˇcení
a) U ˇce e odchylku pˇ ímek a={A,B},b={C,D}, jes liže A= [2,4,3],B= [1, 1,1],C= [2,3,1],
D= [−2,1,0].
b) U ˇce e odchylku pˇ ímky p:
x=3 −7
y=4 −4
z=−2 −3
od o iny ρ: 2x+y−2z+5=0.
Tipy
Odchylka d ou pˇ ímek:
cos ϕ=|u· |
|u|·| |,ϕ∈ h0, π/2i
kde u, jsou smˇe o é ek o y
pˇ ímek.
Odchylka pˇ ímky od o iny:
sin ϕ=|u·n|
|u|·|n|
kde uje smˇe o ý ek o pˇ ímky a
nje no málo ý ek o o iny.
Odchylka d ou o in:
cos ϕ=|nα·nβ|
|nα|·|nβ|
kde nα,nβjsou no málo é ek o y
o in.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
308 – Odchylka lineá ních ú a ˚u R3ˇ
Ry
C iˇcení
U ˇce e odchylku o in α={K,L,M},β: 2x+y−2z+5=0, jes liže K= [1,4,2],L= [1,1,1],M= [2,3,0].
Tipy
Odchylka d ou pˇ ímek:
cos ϕ=|u· |
|u|·| |,ϕ∈ h0, π/2i
kde u, jsou smˇe o é ek o y
pˇ ímek.
Odchylka pˇ ímky od o iny:
sin ϕ=|u·n|
|u|·|n|
kde uje smˇe o ý ek o pˇ ímky a
nje no málo ý ek o o iny.
Odchylka d ou o in:
cos ϕ=|nα·nβ|
|nα|·|nβ|
kde nα,nβjsou no málo é ek o y
o in.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
309 – Pˇ íˇcka a osa mimobˇežek ˇ
Ry
De inice
Pˇ íˇcka pmimobˇežek manje každá pˇ ímka p, k e á obˇe mimobˇežky
p o íná.
m n
p
Poznámka
Pˇ íˇcek exis uje nekoneˇcnˇe mnoho. Ob ykle se ˇ eší úloha, kdy hledáme
pˇ íˇcku d ou mimobˇežek p ocházející daným bodem nebo o nobˇežnou
s daným smˇe em.
Naleznˇe e pˇ íˇcku p ocházející daným bodem P
1. m={M,m},n={N,n}
2. α={P,M,m},β={P,N,n}
3. p=α∩β
Naleznˇe e pˇ íˇcku o nobˇežnou s daným smˇe em p
1. m={M,m},n={N,n}
2. α={M,m,p},β={N,n,p}
3. p=α∩β
De inice
Osa mimobˇežek je pˇ íˇcka, k e á je na obˇe mimobˇežky kolmá.
Poznámka
Osu hledáme s ejnˇe jako pˇ ípadˇe pˇ íˇcky o nobˇežné s daným smˇe em.
Smˇe o šem musí bý kolmý na obˇe pˇ íˇcky a získáme jej jako ek o o ý
souˇcin u ˇcujících smˇe ˚u obou mimobˇežek, o=m×n.

P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
310 – Osa mimobˇežek 1/3 ˇ
Ry
Pˇ íklad
Naleznˇe e osu mimobˇežek p={A,B},q={C,D}, jes liže A= [3,2,2],
B= [4, 5,0],C= [0,
−
2,2],D= [
−
2,
−
3,3]. Spoˇcí ej e nejk a ší zdálenos
mezi mimobˇežkami.
Osa mimobˇežek je pˇ íˇcka, k e á je na obˇe mimobˇežky kolmá. U ˇcíme
smˇe o é ek o y up,uqzadaných pˇ ímek p,qa pomocí ek o o ého
souˇcinu nalezneme kolmý smˇe wk obˇema mimobˇežkám.
up=AB =B−A= (1,3,
−
2),
uq=CD =D−C= (
−
2,
−
1,1),
w=up×uq= (1,3,5).
Budeme hleda pˇ íˇcku mimobˇežek, k e á je o nobˇežná se smˇe em w. Ta o
pˇ íˇcka bude p ˚useˇcnicí o in α={A,up,w},β={C,uq,w}.
Nalezneme obecnou o nici o iny α={A,up,w}. Nejdˇ í e u ˇcíme no -
málo ý ek o o iny
nα=up×w= (21,
−
7,0),
dopoˇcí áme ddosazením nαaAdo obecné o nice ax +by +cz +d=0,
21x−7y+0·z+d=0,
21 ·3−7·2+0·2+d=0,
63 −14 +d=0,
d=
−
49,
a obecnou o nici o iny
α: 21x−7y−49 =0
ješ ˇe up a íme ydˇelením 7,
α: 3x−y−7=0.
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
311 – Osa mimobˇežek 2/3 ˇ
Ry
S ejným zp˚usobem nalezneme obecnou o nici o iny β={C,uq,w}.
Nejdˇ í e u ˇcíme no málo ý ek o o iny
nβ=uq×w= (
−
8,11,
−
5),
dopoˇcí áme ddosazením nβaCdo obecné o nice ax +by +cz +d=0,
−
8x+11y−5z+d=0,
−
8·0+11 ·(
−
2)−5·2+d=0,
−
22 −10 +d=0,
d=32
a obecnou o nici o iny
β:
−
8x+11y−5z+32 =0
ješ ˇe up a íme ynásobením −1,
β: 8x−11y+5z−32 =0.
Nalezneme p ˚useˇcnici o in osa =α∩βpomocí ˇ ešení sous a y d ou
o nic o ˇ ech neznámých
3x−y=7
8x−11y+5z=32
3
−
1 0 7
8
−
11 5 32←−
8
−3∼3
−
1 0 7
0 25
−
15
−
40| · 1
5∼3
−
1 0 7
0 5
−
3
−
8
Z olíme z=5 ,
z d uhého ˇ ádku ypoˇcí áme
5y−3z=
−
8,
5y−15 =
−
8
5y=
−
8+15 ,
y=
−
8
5+3 ,
z p ního ˇ ádku ypoˇcí áme
3x−y=7,
3x−
−
8
5+3 =7,
3x=7−8
5+3 ,
x=9
5+ .
P aco ní lis y p o pˇ edmˇe Ma ema ika I
312 – Osa mimobˇežek 3/3 ˇ
Ry
Osa mimobˇežek p,q(pˇ íˇcka mimobˇežek o nobˇežná se smˇe em w, p ˚u-
seˇcnice o in αaβ) má pa ame ické o nice
osa:
x=9
5+ ,
y=
−
8
5+3 ,
z=5 ,
∈R.
Osa mimobˇežek je ˚uznobˇežná s pˇ ímkou p, mají spoleˇcný bod R. Ob-
dobnˇe je osa mimobˇežek ˚uznobˇežná s pˇ ímkou q, mají spoleˇcný bod S.
Vzdálenos bod˚u R,Sje nejk a ší ze zdálenos í mezi libo olným bodem
z pˇ ímky pa libo olným bodem z pˇ ímky q.
Souˇ adnice p ˚useˇcíku R=p∩osa jsou s ejné jako souˇ adnice p ˚use-
ˇcíku pˇ ímky pa o iny β, p o ože osa ⊂β. Pa ame ické o nice pˇ ímky
p:X=A+ ·up,
p:
x=3+ ,
y=2+3 ,
z=2−2 ,
∈R,
dosadíme do obecné o nice o iny β,
8x−11y+5z−32 =0,
8(3+ )−11 (2+3 )+5(2−2 )−32 =0,
24 +8 −22 −33 +10 −10 −32 =0,
−
20 −35 =0,
−
35 =20,
=
−
4
7,
ypoˇcí aný pa ame dosadíme do pa ame ických o nic pˇ ímky pa
získáme souˇ adnice p ˚useˇcíku R,
R= [3+ , 2 +3 ,2 −2 ] = h3−4
7,2 −12
7,2 +8
7i=h17
7,2
7,22
7i.
Souˇ adnice p ˚useˇcíku S=q∩osa jsou s ejné jako souˇ adnice p ˚useˇcíku
pˇ ímky qa o iny α, p o ože osa ⊂α. Pa ame ické o nice pˇ ímky q:X=
C+s·uq,
q:
x=
−
2s,
y=
−
2−s,
z=2+s,
∈R,
dosadíme do obecné o nice o iny α,
3x−y−7=0,
3(
−
2s)−(
−
2−s)−7=0,
−
6s+2+s−7=0,
−
5−5s=0,
−
5s=5,
s=
−
1,
ypoˇcí aný pa ame sdosadíme do pa ame ických o nic pˇ ímky qa
získáme souˇ adnice p ˚useˇcíku S,
S= [
−
2s,
−
2−s,2 +s] = [2,
−
1,1].
Vzdálenos bod˚u R,Szá o eˇn u ˇcuje nejk a ší zdálenos mezi zadanými
mimobˇežkami,
|RS|= 2−17
72+
−
1−2
72+1−22
72
= 
−
3
72+
−
9
72+
−
15
72
= 9+81 +225
49 = 315
49 =√315
7≈2,54
Nejk a ší zdálenos mezi mimobˇežkami je pˇ íbližnˇe 2,54 jedno ek.
T ans o mace o my a obsahu
ysokoškolského zdělá ání na VŠB-TUO
NPO_VŠB-TUO_MSMT-16605/2022
17. LISTOPADU 2172/15
708 00 OSTRAVA-PORUBA
uni e zi a@ sb.cz
www. sb.cz