Consistencia y relevancia en el razonamiento abductivo

17 Consistencia y relevancia en el razonamiento abductivo Fernando Soler Toscano 17.1. Introducci´on Existen numerosas formas de definir un problema abductivo y una soluci´on abductiva. Seguiremos las definiciones de [5], que coinciden con lo que Aliseda [1] llama problema abductivo novedoso ysoluci´on consistente y explicativa. Decimos que (Θ, ϕ) es un problema abductivo sii: Θ6|=ϕ(17.1) Θ6|=¬ϕ(17.2) De esta manera representamos que ϕes un hecho sorprendente para la teor´ıa Θ, dado que no ϕni su negaci´on son consecuencia de Θ. Dado un problema abductivo (Θ, ϕ), decimos que αes una soluci´on abductiva si se verifican: Θ, α |=ϕ(17.3) Θ, α 6|=⊥(17.4) α6|=ϕ(17.5) La condici´on (17.3) asegura que αextiende Θ de forma que resulta posible derivar ϕ. La consistencia de la explicaci´on αcon la teor´ıa queda asegurada por (17.4). Finalmente, (17.5) garantiza que αes una explicaci´on v´alida para ϕdentro de la teor´ıa Θ, dado que αno explica ϕpor s´ı sola. 17.2. Trivialidad, consistencia y relevancia 17.2.1. Soluciones triviales Es frecuente tomar el razonamiento abductivo como ejemplo de razonamiento cient´ıfico, especialmente en el marco de la generaci´on de nuevas teor´ıas [2]. Pero entonces, si 133 134 Fernando Soler Toscano queremos tratarlo formalmente, necesitamos evitar cierto tipo de trivialidad que f´acilmente puede aparecer en las soluciones. La definici´on anterior de soluci´on abductiva no evita soluciones triviales. De hecho, dado el problema abductivo (Θ, ϕ), la f´ormula α≡ ^ γ∈Θ γ!→ϕ(17.6) Cumple el requisito (17.3), dado que Θ es el antecedente de la implicaci´on αyϕsu consecuente. Tambi´en verifica (17.4), dado que en otro caso, si Θ, α |=⊥entonces Θ |=¬αy por evaluaci´on del implicador de αtenemos que Θ |=¬ϕ. Pero sabemos que esto no es posible por (17.2). Finalmente, para problemas abductivos Θ no triviales, donde ninguna de sus f´ormulas son v´alidas, se verificar´a (17.5), pues basta encontrar una f´ormula γ∈Θ tal que ¬γ6|=ϕ(es razonable suponer que hay alguna f´ormula de Θ tal que ella y su negaci´on son independientes de ϕ) para tener un modelo Mque hace verdaderas a ¬γ y¬ϕ; por tanto Mhace falso el antecedente de α(ya que γes uno de los t´erminos de su conjunci´on) y falsa ϕ. De modo que se verifica (17.5), porque Msatisface α (al hacer falso su antecedente) pero no ϕ. Por tanto para cualquier problema abductivo podemos encontrar una f´ormula trivial (17.6) que lo soluciona. Para tomarnos en serio la abducci´on no debemos permitir este tipo de soluciones. 17.2.2. El problema de la consistencia La condici´on (17.4) se conoce como el requisito de consistencia, al requerir que la soluci´on abductiva αsea consistente con la teor´ıa Θ. Pero puede ocurrir que no exista ninguna soluci´on que cumpla este requisito. Incluso podemos encontrarnos teor´ıas Θ tales que: Θ|=¬ϕ, o incluso Θ|=⊥ La l´ogica paraconsistente nos ense˜na que no es necesario deshacernos de Θ en estos casos, ni tampoco renunciar a explicar ϕdentro de Θ. Por ello, debemos relajar el requisito de consistencia (17.4). 17.2.3. El problema de la relevancia Tal vez el mayor problema de la f´ormula (17.6) es que no tiene por qu´e haber ninguna relaci´on entre Θ y ϕpara que αpueda ser una soluci´on. Esto es, puede ser Θ = {p}, ϕ=qyαser´a entonces p→q. Pero en este caso ni siquiera nos gustar´ıa que el problema abductivo ({p}, q) tuviera una soluci´on, porque la teor´ıa {p}no tiene ning´un ´atomo en com´un con el hecho que se quiere explicar, q. Problemas de este tipo pueden aparecer no s´olo en l´ogica proposicional, sino en cualquier sistema formal. Debemos exigir que la explicaci´on sea relevante en dos sentidos: Cap´ıtulo 17. Consistencia y relevancia en el razonamiento abductivo 135 Relevancia de αdentro de la teor´ıa Θ. Relevancia de {Θ, α}para inferir ϕ. 17.3. Una soluci´on cl´asica Existen propuestas para evitar la trivialidad dentro del razonamiento abductivo. En [6], por ejemplo, imponemos a las soluciones abductivas la forma sint´actica de un conjunto de literales, y usamos un criterio cl´asico de minimalidad para preferir las soluciones con conjuntos m´as peque˜nos de literales. Sin embargo restringir la forma sint´actica de las soluciones, si bien resulta de gran utilidad en muchas aplicaciones, y tiene una ventaja computacional obvia, deja fuera muchas buenas soluciones abductivas. En esta secci´on realizamos una propuesta de abordar los problemas de consistencia y relevancia dentro de la l´ogica cl´asica. Veremos un criterio preferencial relacionado, no con el n´umero de f´ormulas de la soluci´on abductiva, sino con el n´umero de f´ormulas de la teor´ıa que la soluci´on emplea. Por ello, f´acilmente convertiremos este criterio preferencial en un criterio de relevancia. Indicamos c´omo podr´ıamos hacer un c´alculo siguiendo esta propuesta a partir del c´alculo de δ-resoluci´on [4]. 17.3.1. Redefiniendo la soluci´on abductiva Consideramos que dado el problema abductivo (Θ, ϕ), una soluci´on abductiva al mismo es un par (α, A) tal que: A⊆Θ (17.7) A, α |=ϕ(17.8) A, α 6|=⊥(17.9) α6|=ϕ(17.10) A′, α 6|=ϕ∀A′⊂A(17.11) Obs´ervese que las condiciones (17.8)–(17.10), son, respectivamente, reformulaciones de (17.3)–(17.5). Pero ahora s´olo requerimos consistencia de αcon Ano con toda la teor´ıa. La condici´on (17.11) introduce un criterio de minimalidad de forma que el conjunto Ano contenga f´ormulas innecesarias para derivar ϕjunto con α. Podemos incorporar un criterio preferencial para escoger soluciones con conjuntos de f´ormulas de Θ de mayor cardinalidad. Si (17.11) es un criterio de minimalidad que prefiere menores conjuntos Apara una misma α, ahora para comparar soluciones con distintas f´ormulas elegimos aquellos con conjuntos mayores. Por tanto, si |A|>|B|, entonces la soluci´on (α, A) es preferible a (β, B). Obs´ervese que este criterio prefiere las soluciones m´as relevantes para la teor´ıa porque requieren un mayor n´umero de f´ormulas de la misma. 17.3.2. Consistencia y relevancia mediante δ-resoluci´on El c´alculo de δ-resoluci´on [4] es dual al c´alculo de resoluci´on [3]. Esto es, en la variante proposicional, se parte de la forma normal disyuntiva (en vez de conjuntiva) equivalente a cierta f´ormula α. Cada resolvente obtenido δverifica δ|=α. De ah´ı su utilidad para realizar razonamiento abductivo. 136 Fernando Soler Toscano Presentamos a continuaci´on una propuesta para resolver los problemas de consistencia y relevancia en l´ogica proposicional usando δ-resoluci´on. Para obtener m´as detalles sobre los aspectos formales del c´alculo se puede acudir a [4, 5]. Lo primero que hacemos es redefinir la noci´on de δ-cl´ausula. Si bien en [4] la definimos como un conjunto de literales que se interpretaba como su conjunci´on, ahora ser´a un par (Σ, A) donde Σ sigue siendo un conjunto de literales interpretados conjuntivamente y A es un conjunto de f´ormulas. Dada una f´ormula α, el proceso para obtener su forma δ-clausal es, primero, obtener la forma normal disyuntiva de αy luego, por cada conjunci´on de literales λi∧ · · · ∧ λn, se crea la δ-cl´ausula ({λ1,···, λn},{α}). Dado el problema abductivo (Θ, ϕ), comenzamos por construir la forma δ-clausal de cada una de las f´ormulas de {ϕ} ∪ {¬γ:γ∈Θ}(17.12) y unir todas las δ-cl´ausulas resultantes en un mismo conjunto. El resultado al que llegamos es la misma forma δ-clausal de [4] pero a˜nadiendo a cada δ-cl´ausula una etiqueta que indica la f´ormula de la que se ha obtenido. N´otese que la etiqueta de las δ-cl´ausulas obtenidas por cada f´ormula ¬γde (17.12) deber´a ser {γ}, ya que es la f´ormula de Θ de la que proviene, aunque haya sido obtenida a partir de su negaci´on. Este etiqueta nos servir´a para identificar cu´ales son las f´ormulas de Θ y ϕque intervienen en la derivaci´on Θ, α |=ϕpara cada αque obtengamos como δ-resolvente. Para ello debemos modificar la regla de δ-resoluci´on de forma que ahora: (Σ1∪ {λ}, A) (Σ2∪ {¬λ}, B) (Σ1∪Σ2, A ∪B)(17.13) 17.3.3. Un proceso abductivo consistente y relevante Con los elementos anteriores podemos modificar el proceso abductivo de [5] de la siguiente manera: 1. Se obtiene la forma δ-clausal de (17.12) tal como se explic´o m´as arriba. 2. A la forma δ-clausal obtenida en el paso 1 se le aplica δ-resoluci´on seg´un la regla (17.13). Durante el proceso eliminamos toda δ-cl´ausula (Σ, A) que cumpla alguna de las siguientes condiciones: En alg´un momento se ha obtenido (Σ′, A) y Σ′⊂Σ. Con esto estamos aplicando el criterio cl´asico de minimalidad por susbunci´on. En alg´un momento se ha obtenido (Σ, A′) y A′⊂A. En este caso se elimina (Σ, A) porque no verificar´a el requisito (17.11). Si se obtiene (Σ′, A′) con Σ′⊂Σ y A′⊂Ase elimina igualmente (Σ, A) por los dos motivos anteriores. Cuando no es posible generar nuevas δ-cl´ausulas mediante (17.13) en el conjunto resultante, entonces cada (Σ, A) obtenida con Σ 6=∅verifica las condiciones (17.7)– (17.11). Cap´ıtulo 17. Consistencia y relevancia en el razonamiento abductivo 137 3. De todas las δ-cl´ausulas obtenidas en el paso 2 seleccionamos aquellas (Σ, A) con conjuntos Ade mayor cardinalidad y construimos las soluciones: ^ λ∈Σ λ, A!(17.14) As´ı aplicamos el criterio preferencial de relevancia explicado, exigiendo que el conjunto Ade f´ormulas de Θ consistentes con la soluci´on y relevantes para derivar ϕ sea de la mayor cardinalidad posible. Las soluciones (17.14) que genera este proceso abductivo son conjunciones de literales. Sin embargo, como cualquier f´ormula proposicional equivale a un conjunto de δ-cl´ausulas, podemos generar soluciones de forma sint´actica arbitraria seleccionando un conjunto de δ-cl´ausulas (por ejemplo aquellas con conjuntos de f´ormulas de Θ de mayor cardinalidad), {(Σ1, A1),···,(Σn, An)}(17.15) y crear la soluci´on abductiva n _ i=1 ^ λ∈Σi λ, n [ j=1 Aj!(17.16) Las f´ormulas de (17.16) se pueden convertir a cualquier forma sint´actica. Debemos cuidarnos de no tomar en (17.15) todas las δ-cl´ausulas resultantes, pues volver´ıamos f´acilmente a la trivialidad de (17.6), con una soluci´on donde A= Θ ∪ {ϕ}. 17.4. Comentarios finales El criterio preferencial que hemos usado, por el que elegimos las soluciones que usan una mayor parte de Θ para derivar ϕ, se puede modificar de diversas maneras. Por ejemplo, parece razonable que algunos axiomas de la teor´ıa sean m´as relevantes que otros, bien por formar parte del n´ucleo de Θ, o por estar m´as relacionados con ϕ. Entonces, si tenemos una funci´on θ: Θ →Rque asigna a cada f´ormula de la teor´ıa su grado de relevancia para ϕ, podemos definir la relevancia de una soluci´on abductiva que verifica (17.7)– (17.11) como X λ∈A θ(λ) (17.17) y seleccionar las soluciones donde el valor de (17.17) es m´as alto. No hemos incluido en estas notas demostraciones formales que garanticen la correcci´on del proceso abductivo presentado en la secci´on 17.3.3. Quedan pendientes para un trabajo posterior, aunque en lo fundamental se pueden adaptar las pruebas de [4] ya que el efecto del etiquetado que aqu´ı introducimos es similar a seguir distintos procesos abductivos en paralelo, con diferentes subconjuntos de Θ. Al igual que hicimos en [5], donde implementamos el proceso abductivo de [4] mediante un demostrador escrito en Prolog, ser´ıa interesante implementar el de 17.3.3. Computacionalmente, en este caso es mucho m´as complejo, precisamente porque como hemos comentado el etiquetado supone realizar en simult´aneo un n´umero de procesos abductivos que en el caso peor puede llegar a ser 2|Θ|+1. Se trata del coste de resolver los problemas de 138 Fernando Soler Toscano consistencia y relevancia en l´ogica cl´asica, lo que justifica el paso a l´ogicas no cl´asicas para el razonamiento abductivo. La realizaci´on de este trabajo me ha supuesto volver a los problemas que trabaj´e durante mi doctorado, que no s´olo fue dirigido, sino tambi´en animado, por ´ Angel. Me ha parecido adecuado tratar los problemas de consistencia y relevancia en el razonamiento abductivo porque como al final concluyo justifican y obligan al giro hacia la pluralidad de l´ogicas no cl´asicas. Y este es el paso que hemos dado en el Grupo de L´ogica, Lenguaje e Informaci´on, tambi´en de la mano de ´ Angel que lo impulsa de un modo que con justicia se puede calificar de consistente y relevante. Bibliograf´ıa [1] Atocha Aliseda. Abductive Reasoning: Logical Investigations into Discovery and Explanation, volumen 330 de Synthese Library. Springer, 2006. [2] ´ Angel Nepomuceno-Fern´andez, Fernando Soler-Toscano, y Atocha Aliseda-Llera. Searching the unity of science: From classical logic to abductive logical systems. En Symons et al. Otto Neurath and the Unity of Science. Springer, 2010. [3] John Alan Robinson. A machine-oriented logic based on the resolution principle. Journal of the ACM, 12:23–41, 1965. [4] Fernando Soler Toscano. Modelos formales de explicaci´on en L´ogica e Inteligencia Artificial. Tesis doctoral, Universidad de Sevilla, 2005. [5] Fernando Soler-Toscano, ´ Angel Nepomuceno-Fern´andez, y Atocha Aliseda-Llera. Model-based abduction via dual resolution. Logic Journal of the IGPL, 14(2), 2006. [6] Fernando Soler-Toscano, ´ Angel Nepomuceno-Fern´andez, y Atocha Aliseda-Llera. Abduction via c-tableaux y δ-resolution. Journal of Applied Non-Classical Logics, 19(2):211–225, 2009.