Soluciones metaestables para un modelo de campos de fase con más de dos fases

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–??) Soluciones metaestables para un modelo de campos de fase con m´as de dos fases A. Jim´ enez-Casas1, M. Castro 2 1,2Dpto. Grupo Din´amica No Lineal, Universidad Pontificia Comillas de Madrid, Alberto Aguilera 23-28015 Madrid. E-mails: [email protected],[email protected]. Palabras clave: campo de fase, metaestabilidad, espesor de interfase Resumen Consideramos una generalizaci´on del modelo de campos de fase semilineal [11], usando una funci´on de densidad m´as general. Esa funci´on de densidad describe la separaci´on de mezclas con tres o m´as componentes, en lugar de las mezclas binarias de los modelos anteriores. Probamos la existencia de soluciones metaestables, es decir que evolucionan muy lentamente en el tiempo. 1. Introducci´on En el caso unidimensional el modelo de campos de fase es el sistema parab´olico semilineal dado por                τϕt=ξ2ϕxx −1 2(ϕ3−ϕ)+2u, x ∈(a, b) ut+l 2ϕt=kuxx, x ∈(a, b) ϕ0(a) = ϕ0(b) = 0 u0(a) = u0(b) = 0 ϕ(0, x) = ϕ0(x)∈H1(a, b) u(0, x) = u0(x)∈L2(a, b) (1) Aqu´ı u(t, x) representa t´ıpicamente la temperatura de un punto xen el instante de tiempo tde una sustancia que puede aparecer en dos fases diferentes, (por ejemplo s´olidol´ıquido) y ϕ(t, x) es la funci´on campo de fase, que representa una media local de la fase. Las constantes positivas lykestan asociadas al calor latente y a la difusividad, mientras que τyξ(espesor de la interfase) son par´ametros positivos asociados al tiempo y a la longitud de escala [2],[3], [4]. 1 A. Jim´enez-Casas, M. Castro Los modelos de campos de fase pueden describir tambi´en la densidad de una colonia de bacterias o la masa de crecimiento de un tumor asi como la difusi´on de la densidad de nutriente. Finalmente u(t, x) es tambi´en la concentraci´on, del punto xen el instante de tiempo t, de una de las componentes de la mezcla. En este trabajo consideramos las din´amicas de la separaci´on y colapso de mezclas de tres o m´as componentes, para lo cual consideramos una funci´on de densidad G0(ϕ) en lugar de la funci´o 1 2(ϕ3−ϕ),verificando: 1.- G≥0 con G∈ C3 2.-Gtiene solamente un n´umero finito de ceros, G−1(0) = {z1, .., zm}(los cuales se corresponden con los estados de las fases del sistema). 3.- G”(zi)>0, i = 1, .., m (estos puntos est´an asociados a m´ınimos de G.) De esta forma, si consideramos la funci´on de entalp´ıa v=u+l 2ϕ, el objetivo es el estudio del comportamiento de las soluciones (ϕξ, vξ) del sistema:                  τϕt=ξ2ϕxx −G0(ϕ)−lϕ + 2v , x ∈(a, b) vt=kvxx −kl 2ϕxx , x ∈(a, b) ϕ0(a) = ϕ0(b) = 0 v0(a) = v0(b) = 0 ϕξ(0, x) = ϕξ 0(x)∈H1(a, b) vξ(0, x) = vξ 0(x)∈L2(a, b) (2) cuando ξ∼0. 2. Resultados Previos En esta secci´on consideramos un funcional de Lyapunov del sistema (2) y escribimos dicho funcional de forma que una parte del mismo es una expresi´on que depende solamente de ϕ, similar al funcional de energ´ıa usado en [9]. De esta forma podemos aplicar algunos lemas t´ecnicos que han sido probados en [9]. Lema 1 El funcional de energ´ıa definido por Fξ(ϕ, v) = Zb a [ξ2 2ϕ2 x+G(ϕ)]dx +l 2Zb a (2 lv−ϕ)2dx (3) es un funcional de Lyapunov para el sistema (2) en H1(a, b)×L2(a, b).En particular tenemos que d dtFξ(ϕξ, vξ)+(τkϕξ tk2+dk[(−∆)−1vξ t]k2) = 0 (4) con d=4 kl >0. Demostraci´on: Es suficiente con multiplicar en L2(a, b) la primera encuaci´on en (2) por ∂ϕ ∂t y la segunda por 4 kl (−∂ ∂x2)−1vt, e integrar por partes. Manipulando adecuadamente las expresiones de forma similar a la expuesta en [11] obtenemos (4). Observamos que el funcional de Lyapunov satisface: 1.-Fξ(ϕ, v)≥0. 2 Modelos con m´as de dos fases 2.- El m´ınimo de Fξse alcanza en los puntos donde Fξis cero, i.e. (zi,l 2zi), i = 1, .., m con ξ≥0.(puntos de equilibrio estable). 3.- Fξtoma valores muy peque˜nos de energ´ıa con ξ << 1,para un conjunto ”grande”de funciones. Este conjunto contiene funciones no constantes, en particular contiene a las funciones (ϕ, v) donde ϕ∼zicon valores grandes de gradiente en intervalos peque˜nos, y v∼l 2ϕ. De esta forma, podemos buscar soluciones metaestables no constantes para valores peque˜nos de ξ. Para ello basta con considerar datos iniciales en la regi´on donde el funcional Fξ(ϕ, v) toma valores peque˜nos h(ξ),para ξ << 1.Teniendo en cuenta ahora que, 0≤Fξ(ϕξ(t, x), vξ(t, x)) ≤Fξ(ϕξ(0, x), vξ(0, x)) ≤h(ξ) para t≥0.Si consideramos datos iniciales en esa regi´on, como tenemos poca energ´ıa para disipar las soluciones correspondientes tienen una evoluci´on lenta en el tiempo. Definici´on de funci´on N, m-transici´on Una N, m −step funci´on con puntos de transici´on, yj, j ∈ {1,2, ., N},denotada por ϕ0: [a, b]→ {zi, i = 1, .., m},es una funci´on que toma diferentes valores zi, i.e ϕ0=PN+1 i=1 ziXIidonde Xdenota la funci´on caracter´ıstica del conjunto, con Ii∩Ij=∅ si i6=jy¯ I1∪¯ I2.. ∪¯ IN+1 = [a, b] y (∂(I1)∪∂(I2)∪..∂(IN+1)∩(a, b) = {yj, i = 1, ..., N}. Donde en el caso de N > m −1 consideramos zm+r=zrpara r= 1,2, N + 1 −m. Una funci´on N, m −transici´on es una funci´on en H1(a, b), pr´oxima a una N, m −step funci´on en L1(a, b). El objetivo, es buscar soluciones que partiendo de una estructura pr´oxima a una funci´on de este tipo conserve esa misma estructura durante un intervalo de tiempo que tiende a infinito cuando el espesor de la interfase,ξ, tiende a cero. Para ello vamos a utilizar la estructura del funcional de Lyapunov asociado al sistema. No es dif´ıcil ver que si intentamos encontrar una familia de datos iniciales (ϕξ 0, vξ 0) tales que l´ım infξ→0Fξ(ϕξ 0, vξ 0) es muy peque˜no, de orden O(ξ2),entonces cualquier soluci´on cuando ξtiende a cero se acercan necesariamente a un punto de equilibrio, es decir ϕξ se acerca a un valor constante ziyvξse acerca a l 2zi.Sin embargo el siguiente lema, probado en [1, 9] para dos fases diferentes, nos permite concluir que si consideramos valores del orden de O(ξ), podemos incluir un conjunto de funciones (ϕξ 0, vξ 0),que sin ser puntos de equilibrio (funciones denominadas de transici´on) mantienen su estructura inicial durante un intervalo de tiempo que tiende a infinito (soluciones metaestables). Por esta raz´on usamos el funcional de energ´ıa reescalado Vξ=1 ξFξ, que podemos reescribir como Vξ(ϕ, v) = Eξ(ϕ) + l 2ξRb a(2 lv−ϕ)2dx, con Eξ(ϕ) = Zb a [ξ 2ϕ2 x+1 ξG(ϕ)]dx. (5) Lema 2 Si {ϕξ} ⊂ H1(a, b),tal que ϕξ−→ ϕ0en L1(a, b),cuando ξ→0,con ϕ0 una funci´on N, m-escalera. Entonces, l´ım infξ−→0+Eξ[ϕξ]≥1 2PN i=1 H(zi+ 1) −H(zi) = C(N, m)con H(s) = Rs 0G(r)dr. Demostraci´on: El lema de Egorov, nos dice que dado δ > 0 existe A⊂(a, b) con |(a, b)\A| ≤ δtal que ϕξ−→ ϕ0uniformemente eb A. De esta forma, podemos considerar 3 A. Jim´enez-Casas, M. Castro N-intervalos (ai, bi), i ∈ {1,2, .., N}conteniendo a los puntos de transici´on tales que ϕξ(ai)−→ ϕ0(ai) = zi,yϕξ(bi)−→ ϕ0(bi) = zi+1. Por lo tanto, tenemos que: Eξ(ϕξ) = Zb a [ξ 2|(ϕξ)x|2+G(ϕξ)]dx ≥ N X i=1 [ξ 2Zbi ai |(ϕξ)x|2+G(ϕξ)]. Ahora, por la desigualdad de Young, obtenemos que Zbi ai ξ|(ϕξ)x|2+1 ξZbi ai |G(ϕξ)|2≥1 2Zbi ai (ϕξ)xG(ϕξ) = 1 2Zbi ai (H(ϕξ))x. Finalmente, teniendo en cuenta que Rbi ai(H(ϕξ))x=H(ϕξ(bi)) −H(ϕξ(ai)) = H(zi+1)− H(zi) concluimos. 3. Evoluci´on de dos o m´as fases En adelante consideraremos ϕ0una N, m−escalera funci´on i.e. yj, j = 1, .., N son puntos de transici´on y res tal que (yj−r, yj+r)⊂(a, b) son disjuntos, con C≤runa constante positiva. 3.1. Evoluci´on lenta cuando τes independiente del espesor de la interfase ξ En esta secci´on veremos que si consideramos una escala de tiempo de longitud T con T≥MeC ξ, para toda constante positiva M, entonces la estructura inicial de N, mtransici´on, se mantiene para el sistema general (2), cuando τes independiente de ξ. Teorema 1 Supongamos una familia de datos iniciales (ϕξ 0(x), vξ 0(x)) satisfaciendo: i) l´ımξ−→0ϕξ 0(x) = ϕ0(x)en L1(Ω). ii) Eξ[ϕξ 0]≤C(N, m) + 1 2h(ξ),con ξh(ξ)→0cuando ξ→0. iii) lRb a|2 lvξ 0−ϕξ 0|2dx ≤ξh(ξ). Entonces, para todo M > 0tenemos que i) l´ımξ−→0sup{0≤t≤M g(ξ)+e −C ξ }kϕξ(t)−ϕ0kL1= 0. ii) l´ımξ−→0sup{0≤t≤M g(ξ)+e −C ξ }k2 lvξ(t)−ϕξ(t)kL2= 0. iii) l´ımξ−→0sup{0≤t≤M g(ξ)+e −C ξ }k2 lvξ(t)−ϕ0kL1= 0. En particular, si h(ξ) = ke−C ξpara alg´un k, entonces iv) l´ımξ−→0sup0≤t≤Me C ξkϕξ(t)−ϕ0kL1= 0. v) l´ımξ−→0sup0≤t≤Me C ξk2 lvξ(t)−ϕξ(t)kL2= 0. vi) l´ımξ−→0sup0≤t≤Me C ξk2 lvξ(t)−ϕ0kL1= 0. 4 Modelos con m´as de dos fases Demostraci´on: Hemos de recorrer varias etapas siguiendo el procedimiento en [11, 13]: 1aEtapa. Probaremos que existen C1, C2constantes positivas independientes de ξ, tales que la soluci´on (ϕξ, vξ) satisface ZT 0Zb a [(ϕξ t)2+|(−∆)−1(vξ t)|2]dxdt ≤C1(ξh(ξ) + ξe−C ξ) para ξsuficientemente peque˜no, y elegimos Ttal que T≥C2 C1(ξh(ξ)+ξe−C ξ) . En particular si h(ξ) = C3e−C ξ,entonces T≥C4eC ξ, Ci>0, i = 3,4. En efecto, si consideramos δpeque˜no, usando el lema 2 junto con la continuidad del semigrupo asociado a las soluciones del sistema (2), para ξ≤ξ0fijado, existe T=T(ξ)>0, dependiendo del dato inicial, y existe C∗ 1>0 constante tal que 1.-Rb a|ϕξ(t)−ϕ0| ≤ δpara todo 0 ≤t≤T(ξ) con 2.-Eξ[ϕξ](t)≥C(N, m)−C∗ 1e−C ξpara todo 0 ≤t≤T(ξ). Teniendo en cuenta que Gis positiva, tenemos que para todo 0 ≤t≤T(ξ) C(N, m)−C∗ 1e−C ξ≤Eξ[ϕξ](t)≤Vξ[ϕξ, vξ](t)≤Vξ[ϕξ 0, vξ 0].(6) Usando, ahora que Vξ[ϕξ 0, vξ 0] = Eξ[ϕξ 0] + l 2ξRb a(2 lvξ 0−ϕξ 0)2≤C(N, m) + h(ξ),obtenemos que para todo 0 ≤t≤T(ξ) Vξ[ϕξ 0, vξ 0]−Vξ[ϕξ, vξ](t)≤h(ξ) + C∗ 1e−C ξ.(7) Observamos que (7) nos dice que la variaci´on de energ´ıa en 0 ≤t≤T(ξ) es muy peque˜no. Adem´as, de (4), obtenemos que dVξ(ϕξ,vξ) dt =−ξ−1(τkϕξ tk2+dk[(−∆)−1vξ t]k2) con d=4 kl >0,de esta forma integrando de 0 a t≤T(ξ), se tiene que Vξ[ϕξ 0, vξ 0]−Vξ[ϕξ, vξ](t) = ξ−1Zt 0Zb a³τ(ϕξ t)2+d[(−∆)−1vξ t]2´. Usando esto junto con (7) obtenemos ξ−1Rt 0Rb a³τ(ϕξ t)2+d[(−∆)−1vξ t]2´≤g(ξ) + C∗ 1e−C ξ i.e. Zt 0Zb a³(ϕξ t)2+ [(−∆)−1vξ t]2´≤C1(ξg(ξ) + ξe−C ξ),(8) con C1=max{C∗ 1,1} min{τ,d}. Observamos que (7) y (8) siguen siendo ciertos mientras Rb a|ϕξ(s)−ϕ0| ≤ δfor 0 ≤ s≤t. Finalmente, basta con trabajar como en [], para probar que es posible tomar T=T(ξ)≥C2 C1(ξh(ξ)+ξe−C ξ) con C2>0 independiente del dato inicial. En efecto, si R∞ 0Rb a|ϕξ t| ≤ 1 2δentonces la demostraci´on ha terminado, ya que para todo t≥0 tenemos que Zb a |ϕξ(t)−ϕ0| ≤ Zt 0Zb a |ϕξ t|+Zb a |ϕξ 0−ϕ0| ≤ 1 2δ+1 2δ=δ(9) 5 A. Jim´enez-Casas, M. Castro y (7), (8) son ciertos para todo t. Por otra parte, si R∞ 0Rb a|ϕξ t|>1 2δ, entonces existe T(ξ)>0,todav´ıa dependiendo del dato inicial, tal que 1 2δ=ZT(ξ) 0Zb a |ϕξ t| y como en (9), tenemos que Rb a|ϕξ(t)−ϕ0| ≤ δpara todo t∈[0, T(ξ)].De esta forma (8) es cierto para todo t∈[0, T(ξ)].Aplicando ahora la desigualdad de Holder, se tiene que 1 2δ≤ÃZT(ξ) 0Zb a |ϕξ t|2!1 2 (T(ξ))1 2(b−a)1 2≤ξ1 2[C1(h(ξ) + e−C ξ)]1 2T(ξ)1 2(b−a)1 2 y por tanto T(ξ)≥C2 C1(ξh(ξ)+ξe−C ξ) with C2=δ2 4(b−a)con lo que el segundo miembro es independiente del dato inicial. El resto es inmediato. 2aEtapa.-De las etapas anteriores tenemos que Zb a |ϕξ(t)−ϕξ 0|dx ≤Zb aZt 0 |ϕξ t|dxds ≤(b−a)1 2t1 2[C1ξ(h(ξ) + e−C ξ)]1 2. De esta forma para t≤T(ξ) se tiene que kϕξ(t)−ϕξ 0kL1≤C2[T(ξ)ξ(h(ξ) + e−C ξ)]1 2con C2= (C1(b−a))1 2.Por lo tanto tomando T(ξ) como en la 1aetapa y tal que T(ξ)ξ(h(ξ) + e−C ξ)→0 si ξ→0, por ejemplo, T(ξ) = M h(ξ)+e−C ξ ,obtenemos que l´ım ξ−→0sup 0≤t≤T(ξ) kϕξ(t)−ϕξ 0kL1= 0. Usando ahora que l´ımξ−→0kϕξ 0−ϕ0kL1= 0 concluimos. ii) Con T(ξ) como en i) y usando ahora (5) y la hip´otesis sobre (ϕξ 0, vξ 0),obtenemos Vξ(ϕξ, vξ)(t) = Eξ(ϕξ)(t) + l 2ξZb a (2 lvξ−ϕξ)2(t)≤Vξ(ϕξ 0, vξ 0)≤C(N, m) + h(ξ), de esta forma, usando el Lema 2 junto con las etapas anteriores, obtenemos 1 2ξZb a |2 lvξ−ϕξ|2≤C(N, m) + h(ξ)−Eξ(ϕξ)(t)≤h(ξ) + C∗ 1e−C ξ con C∗ 1constante positiva que no depende de ξni de t. Por lo tanto, se tiene que sup t∈[0,T(ξ)] k2 lvξ(t)−ϕξ(t)kL2≤C3ξ(h(ξ) + e−C ξ) (10) para una constante positiva C3independiente de ξyt, lo que concluye la demostraci´on . iii) Observamos que k2 lvξ(t)−ϕξ 0kL1≤ k(2 lvξ−ϕξ)(t)kL1+kϕξ(t)−ϕξ 0kL1y aplicando la desigualdad de Holder junto con ii) obtenemos el resultado. 6 Modelos con m´as de dos fases 3.2. Evoluci´on lenta cuando τ=τ(ξ) En esta secci´on estudiamos el caso en el que τ=ξ2con ξ,espesor de la interfase, tendiendo a cero. En este caso, consideramos datos iniciales ϕ0muy cerca de la estructura de N, m −transici´on. Es decir, suponemos que Eξ[ϕξ 0]≤C(N, m) + 1 2h(ξ),con h(ξ) tal que ξ−1h(ξ)→0 as ξ→0.Probamos que la estructura inicial de N, m −transici´on se conserva para la soluci´on durante una escala de tiempo de longitud Tcon T≥Mξ1+δeC/ξ, para cualesquiera constantes positivas M, δ, (en lugar de T≥MeC ξ). De esta forma, en este caso probamos que la soluci´on conserva su estructura durante un intervalo de tiempo m´as peque˜no que en el caso anterior (ver [12]). Teorema 2 Suponemos que el dato inicial (ϕξ 0(x), vξ 0(x)) satisface: i) l´ımξ−→0ϕξ 0(x) = ϕ0(x)en L1(Ω). ii) Eξ[ϕξ 0]≤NC0+1 2g(ξ),con ξ−1g(ξ)→0cuando ξ→0. iii) 2c lRb a|vξ 0−l 2h(ϕξ 0)|2dx ≤ξg(ξ). Entonces, para M > 0, δ > 0tenemos que i) l´ımξ−→0sup{0≤t≤Mξ1+δ g(ξ)+e −C ξ }kϕξ(t)−ϕ0kL1= 0. ii) l´ımξ−→0sup{0≤t≤Mξ1+δ g(ξ)+e −C ξ }kvξ(t)−l 2h(ϕξ(t))kL2= 0. En particular, si g(ξ) = ke−C ξpara alg´un k, entonces iv) l´ımξ−→0sup0≤t≤Mξ1+δe C ξkϕξ(t)−ϕ0kL1= 0. v) l´ımξ−→0sup0≤t≤Mξ1+δe C ξkvξ(t)−l 2h(ϕξ(t))kL2= 0. Demostraci´on: Basta con usar de nuevo el lema anterior para esta funci´on general de densidad y trabajar como en el caso anterior (ver [11, 12, 13]). Agradecimientos Financiado parcialmente por los Proyectos MTM2006-08262 y MEC FIS2006-12253C06-06, Spain. Referencias [1] L.Bronsard, R.V. Kohn, “On the slowness of Phase boundary motion in one space dimension”, Com. on Pure and Appl. Math. 43, 987-997, (1990). [2] G.Caginalp, “The dynamics of a conserved Phase Field system:Stefan-like, Hele-Shaw, and CahnHilliard models as asymptotic limits”, IMA J. of Appl. Math. 44, 77-94, (1990). [3] G.Caginalp, “Phase Field models and sharp interface limits: some differences in subtle situations”, Rocky Mountain J. Math., 21, 2, 603-616, (1991). [4] G.Caginalp, P.C.Fife, “Dynamics of layered interfaces arising from Phase boundaries”, SIAM.J. Appl. Math. 48, 3, 506-518, (1988). [5] J.Carr, R.L.Pego, “Metastable patterns in solutions of ut=²2uxx −f(u)”, Comm.Pure Appl. Math. 42, 523-579, (1989). [6] J.Carr, R.Pego, “Invariant manifolds for metastable patterns in ut=²2uxx −f(u)”, Proceeding of the Royal Society of Edimburgh, 116A, 133-160, (1990). 7 A. Jim´enez-Casas, M. Castro [7] M. Castro, “Phase-field approach to heterogeneous nucleation”, Phys. Rev. B 67, 035412 (2003). [8] G. Fusco, J.K. Hale, “Slow-motion manifolds, dormant instability, and singular perturbations”. J. Dynamics Differential Equations., 1, 1, 75-94 (1989). [9] C.P. Grant, “Slow motion in one-dimensional Cahn-Morral systems”, SIAM J. Math. Anal, 26, 1, 21-34, (1995). [10] A. Jim´enez-Casas, “Din´amica en dimensi´on finita: Modelos de campos de fase y un termosif´on cerrado,”Ph. D. Thesis, U.C.M., (1996). [11] A. Jim´enez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, “Linear stabilility analysis and metastable solutions for a phase-field model,”Proceeding of the Royal Society of Edimburgh, 129A, 571-600, (1999). [12] A. Jim´enez-Casas, “Metastable soltuions for the thin-interface limit of a phase-field model”, Nonlinear analysis 63, e963-e970,(2005). [13] A. Jim´enez-Casas, M.Castro, “Slow motion for a phase-field model”, aceptado para publicaci´on. [14] L. Modica, “The gradient theory of phase transitions and the minimal interface criterion”, Arch. Rat. Mech. Anal., 98, 123-142, (1987). 8