La inversión respecto de una circunferencia

LA INVERSIÓN RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA Francisco Jesús Morilla Ortega LA INVERSIÓN RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA Francisco Jesús Morilla Ortega Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Miguel Ángel Olalla Acosta Índice general Resumen 1 Abstract 3 Introducción 5 1. Rectas y circunferencias 7 1.1. Ciclos ................................... 7 1.2. Posiciones relativas recta-circunferencia. Recta tangente ........ 9 2. Potencia 13 2.1. Potencia .................................. 13 2.2. Eje y centro radical ............................ 16 3. Ángulos entre ciclos 23 3.1. Ángulo entre recta y circunferencia ................... 23 3.2. Ángulo entre dos circunferencias ..................... 24 4. Haces de ciclos 27 4.1. Definiciones y propiedades ........................ 27 ii la inversión respecto de una circunferencia 4.2. Clasificación de haces de ciclos ...................... 29 5. Inversión 35 5.1. Definición de inversión .......................... 35 5.2. Inversión en el plano inversivo ...................... 37 5.3. Propiedades ................................ 38 6. Aplicaciones de la inversión 45 6.1. Teorema de Ptolomeo ........................... 45 6.2. Problemas de Apolonio .......................... 47 6.2.1. Problema de tipo (0,0,3) ..................... 47 6.2.2. Problema de tipo (0,3,0) ..................... 47 6.2.3. Problema de tipo (0,1,2) ..................... 47 6.2.4. Problema de tipo (1,0,2) ..................... 48 6.2.5. Problema de tipo (0,2,1) ..................... 49 6.2.6. Problema de tipo (1,1,1) ..................... 49 6.2.7. Problema de tipo (2,0,1) ..................... 50 6.2.8. Problema de tipo (3,0,0) ..................... 50 6.3. Ejemplos de problemas de Apolonio ................... 51 Resumen La inversión es una transformación en el plano euclídeo extendido, que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias. Sus aplicaciones van desde la resolución alternativa de problemas de geometría clásica, hasta el análisis complejo (gracias a sus relaciones con las transformaciones biholomorfas de la esfera de Riemann, las transformaciones de Möbius). En este trabajo se introducen algunos conceptos fundamentales sobre rectas y circunferencias, se tratan los conceptos básicos de geometría inversiva, y se aplican para la resolución de problemas clásicos, particularmente problemas de Apolonio. Abstract Inversion is a transformation defined in the extended Euclidean plane, mapping lines and circles to lines and circles. Applications range from alternative resolutions of classic geometry problems, to complex analysis (thanks to its connections with biholomorphic mappings of the Riemann sphere, the Möbius transformations). In this work, fundamentals about lines and circles are introduced; basic concepts about inversive geometry are worked with and used to solve classic problems, particularly problems of Apollonius. 10 la inversión respecto de una circunferencia sistema como soluciones de esta ecuación, por lo que la intersección de Cytes vacía (0soluciones), un único punto (1solución), o dos puntos distintos (2soluciones). Si tenemos A= 0 por ser A, B no ambos 0, debemos tener B= 0 y hay un razonamiento análogo del que vemos que la intersección es o vacía, o un único punto, o dos distintos. ■ De esta proposición se ve motivada la siguiente definición: Definición 1.4 (Recta tangente). Sea Cuna circunferencia real de radio r > 0, y sea P∈Cun punto suyo. Sea tuna recta que pase por P. Decimos que tes la recta tangente a Cen Psi C∩t={P}. Proposición 1.2. Sea Cuna circunferencia real de radio r > 0y centro O, y P un punto suyo. Entonces cualquier recta que pase por Pcorta a Cen dos puntos distintos, salvo la perpendicular al radio −→ OP que es la (única) recta tangente a Cen P. Demostración. Vamos a ver los puntos de corte de una recta que pasa por Pcon C. Consideramos u=−−−−→ (u1, u2)∈R2un vector no nulo cualquiera. La recta que pasa por Py tiene dirección ues el subespacio afín t=P+⟨u⟩: un punto arbitrario de tes de la forma P+λu, para λ∈R. Usamos esto para ver los puntos de tque están en la circunferencia C: pues los puntos de corte de tcon Cserán aquellos que verifiquen d(O, P +λu)2=r2. Si O= (x0, y0), P = (a, b), entonces los puntos de corte C∩tcorresponderán con los λque sean solución de d((x0, y0),(a, b) + λ−−−−→ (u1, u2))2=r2; es decir, las soluciones de (x0−a−λu1)2+ (y0−b−λu2)2−r2= 0. Desarrollando cuadrados tenemos (x0−a)2−2λ(x0−a)u1+λ2u2 1+ (y0−b)2−2λ(y0−b)u2+λ2u2 2−r2= λ2(u2 1+u2 2)−2λ((x0−a)u1+ (y0−b)u2)+(x0−a)2+ (y0−b)2−r2= 0, la ecuación que satisfacen los λtales que d(O, P +λu) = r. Notemos que λ= 0 debe ser solución, ya que d(O, P) = ral estar Pen la circunferencia C. Por lo que sustituyendo λ= 0 debemos tener (x0−a)2+ (y0−b)2−r2= 0 (que no es más que 1. rectas y circunferencias 11 d(O, P) = r). Así que los puntos de corte de Cytson los correspondientes a las soluciones de λ2(u2 1+u2 2)−2λ((O1−P1)u1+ (O2−P2)u2)=0. Una solución es λ= 0 que corresponde al punto P, y la otra es λ= 2(x0−a)u1+ (y0−b)u2 u2 1+u2 2 =−2−→ OP ·u ∥u∥2, teniendo en cuenta que −→ OP = (a−x0, b −y0). Obtenemos que la recta t=P+⟨u⟩ corta a Cen los puntos {P, P −2−−→ OP ·u ∥u∥2u}. Son dos puntos distintos si y solo si −→ OP ·u= 0, y son el mismo punto (el propio P) si y solo si −→ OP ⊥u. Por tanto, cualquier recta que pasa por Pcorta a Cen dos puntos distintos, salvo la que tiene dirección perpendicular a −→ OP, que la corta en un único punto y es la única recta tangente a Cen P.■ C OP −→ OP u t=P+⟨u⟩ Figura 1.1. Recta tangente aCen el punto P,−→ OP ⊥u Por último vamos a ver que este concepto de vector tangente a una circunferencia coincide con el de geometría diferencial. Como es habitual (ver [HP10], definición 1.1.1), se define el vector tangente a una curva parametrizada regular como su derivada respecto del parámetro. Proposición 1.3. Sea Cuna circunferencia real de radio r > 0, y de centro O. Entonces el vector tangente de Cen un punto suyo P, en el sentido de la geometría 12 la inversión respecto de una circunferencia diferencial, es perpendicular al radio en ese punto. Dicho de otra forma, la recta tangente en Pcomo en la definición 1.4 es la misma que la recta tangente en Pa la curva diferenciable de imagen C. Demostración. Basta tomar una parametrización de Ccualquiera. Podemos considerar γ: [−π, π)→C,γ(t)=(x0+rcost, y0+rsent), donde el centro es O= (x0, y0). Entonces el radio en el punto P=γ(t0)es −−−−−−−−−−−→ (rcost0, r sent0), y el vector tangente en ese punto es γ′(t0) = −−−−−−−−−−−−−→ (−rsent0, r cost0). Es fácil ver que el radio en Pyγ′(t0)son perpendiculares, luego por la proposición 1.2 el vector γ′(t0)es tangente, en el sentido de la definición 1.4.■ 2 Potencia En este capítulo estudiaremos un concepto muy importante sobre las circunferencias: el de potencia. Si bien tiene interés por él mismo, sobre todo nos va a ser de gran utilidad en otros ámbitos que estudiaremos en capítulos posteriores. 2.1 Potencia Definición 2.1 (Potencia). Sea Cuna circunferencia real, de centro Oy radio r > 0. Sea P∈A2(R)un punto afín cualquiera. Sea tuna recta cualquiera que pase por Py corte a Cen dos puntos QyR, no necesariamente distintos. Se define la potencia del punto Prespecto de la circunferencia C, denotada ΠC(P)(o simplemente Π(P)si no hay ambigüedad), como el valor del producto −→ PQ ·−→ PR. Proposición 2.1. En las condiciones de la definición anterior, la potencia solo depende del punto Py la circunferencia C, pero no de la recta t. Es más: tenemos que Π(P) = ∥−→ OP∥2−r2 Demostración. Basta ver que para cualquier recta tque corte a Cen dos puntos QyR, tenemos que −→ PQ ·−→ PR =∥−→ OP∥2−r2(que es independiente de t). Distinguimos cuatro casos, dependiendo de la posición del punto P. Si el punto Pestá en el exterior de la circunferencia (d(O, P)> r), entonces trazamos la recta sque pasa por Py por O(como son puntos distintos por ser P exterior la recta es única). Además esta recta, al pasar por el centro de la circunferencia, la corta en dos puntos distintos SyT,Sel más cercano a P. Vamos a ver −→ PQ ·−→ PR =−→ PS ·−→ PT. En efecto, las diagonales SR yQT se cortan en un punto M. Por el teorema del ángulo inscrito (o arco capaz, ver [Cox61] III.21, o [Moi63] 16.4.2) los ángulos [ QRS y[ QTS son iguales. Por estar P, Q, R alineados (en la recta 14 la inversión respecto de una circunferencia t), y P, S, T alineados (en la recta s), podemos escribir la igualdad de los ángulos de arriba como [ PRS =[ QTP. Por otro lado, el ángulo [ RPS es el mismo que [ QPT (es el ángulo que forman syt). Así que los triángulos △PRS y△PTQson congruentes, y obtenemos PS PR =PQ PT , o lo que es lo mismo ∥−→ PQ∥·∥−→ PR∥=∥−→ PS∥·∥−→ PT∥.(2.1) Como Pes exterior a C,−→ PQ y−→ PR tienen el mismo sentido (es decir, el ángulo que forman entre ellos es 0). Así que el producto de sus módulos es simplemente el producto escalar. Por otro lado, como la recta spasa por el centro Otenemos que PS =PO −OS =OP −r, porque S∈C; igualmente PT =PO +OT =OP +r porque T∈C. En (2.1) tenemos por tanto −→ PQ ·−→ PR = (OP −r)(OP +r) = ∥−→ OP∥2−r2, que es lo que queríamos ver. Si Pestá en el interior de la circunferencia pero no es el centro O, trazamos la recta sque pasa por PyO, y corta a Cen dos puntos SyT(la corta en algún punto porque al pasar por Ohay un punto en sa distancia 0del centro, y la recta no es acotada por lo que debe haber algún punto en sa distancia rde O; además no puede ser tangente porque si digamos fuera tangente en el punto S, por la proposición 1.2 el vector director de s,−→ OP, es perpendicular a −→ OS. Pero como O, P, S ∈s se tiene −→ OP ∥−→ OS, lo que no es posible). Además sea Sel punto más cercano a P, yTel más alejado: sabemos que no son equidistantes a Pporque el único punto de la recta sque equidista de SyTes O(y P=O). Igual que en el apartado anterior por el teorema del ángulo inscrito [ QRS =[ QTS; por ser P∈s∩tla igualdad de ángulos se puede escribir [ PRS =[ QTP. Además las rectas sytson secantes en P así que los ángulos opuestos son iguales: por eso [ SPR =[ QPT. Por lo que dos pares de ángulos son iguales, y los triángulos △PRS y△PTQ son congruentes. Luego PS PR =PQ PT , y ∥−→ PQ∥·∥−→ PR∥=∥−→ PS∥·∥−→ PT∥.(2.2) 2. potencia 15 Ahora, como Pes interior, y está alineado con QyR,∥−→ PQ∥·∥−→ PR∥=−−→ PQ·−→ PR (el ángulo que forman los dos vectores es π). Por otro lado PS =OS −OP =r−∥−→ OP∥, yPT =PO +OT =∥−→ OP∥+r: ya que Ses el punto más cercano a Py por tanto está en el mismo radio que P, y Tes el más alejado. De (2.2) tenemos que −−→ PQ ·−→ PR = (r−∥−→ OP∥)(∥−→ OP∥+r); es decir, −→ PQ ·−→ PR =∥−→ OP∥2−r2. Si Pestá en C, entonces una recta que pasa por Py que corta a Cen dos puntos, la corta en Py en otro distinto Q. Por definición de potencia −→ PP ·−→ PQ = 0; que además coincide con ∥−→ OP∥2−r2ya que OP =r: luego Π(P) = ∥−→ OP∥2−r2= 0. Si Pes el centro Oentonces cualquier recta que pasa por Pcorta a la circunferencia en dos puntos diametralmente opuestos QyR. En ese caso la potencia es −→ OQ ·−→ OR =−r2, porque −→ OQ y−→ OR son radios, que apuntan en sentidos opuestos. Por otro lado, ∥−→ OP∥2−r2=−r2= Π(P), porque O=P.■ O O R Q S TP T Q S P R Figura 2.1. Potencia de un punto exterior y de un punto interior, −→ PQ ·−→ PR =−→ PS ·−→ PT =∥−→ OP∥2−r2 Observación 2.1. En base a la proposición anterior, tenemos que si Ces una circunferencia real de centro Oy radio r > 0: 1. Dado un punto Pcualquiera, Π(P)>0si y solo si Pes exterior a C(es decir, d(O, P)> r); Π(P) = 0 si y solo si P∈C;Π(P)<0si y solo si d(O, P)< r. Es más, Π(P) = −r2si y solo si P=O. 2. La potencia de un punto exterior tiene una interpretación geométrica obvia por el teorema de Pitágoras: como Π(P) = ∥−→ OP∥2−r2>0, tenemos que +qΠ(P)es la longitud de Pal punto de tangencia de una recta tangente a C 16 la inversión respecto de una circunferencia que pasa por P, pues qΠ(P)es el cateto del triángulo rectángulo que tiene a −→ OP como hipotenusa y un cateto r. Si el segmento es perpendicular al radio, por la proposición 1.2 es tangente. 3. De la expresión Π(P) = ∥−→ OP∥2−r2, extendemos la definición de potencia a circunferencias imaginarias o colapsadas a un punto. 4. Si Ctiene ecuación (x−x0)2+ (y−y0)2−r2= 0, entonces dado un punto P= (a, b)arbitrario, ∥−→ OP∥2es (a−x0)2+ (b−y0)2. Por tanto la potencia de Pes Π(P) = (a−x0)2+ (b−y0)2−r2: es decir, si la ecuación normal de Ces f= 0, entonces la potencia de Pes f(P). Esto es cierto también en circunferencias no reales. 5. Tenemos una aplicación Π : A2(R)→R, definida por Π(P) = ∥−→ OP∥2−r2, que solo depende de la distancia de Pal centro Ode la circunferencia. Por tanto si C′es una circunferencia real concéntrica con C, todo punto de C′tiene potencia respecto de Cconstante. Esto es cierto también en circunferencias no reales. O P∥−→ OP∥ r qΠ(P) Figura 2.2. Interpretación geométrica de potencia por un punto exterior 2.2 Eje y centro radical Vamos a ver cómo podemos usar las potencias de un punto respecto de dos circunferencias para deducir propiedades sobre ellas. Proposición 2.2. Sean C1,C2dos circunferencias no concéntricas (reales, imaginarias o colapsadas a un punto), centradas en O1y en O2, y de radios r1, r2, respectivamente. Entonces el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de C1y de C2es una recta, perpendicular al vector −−−→ O1O2. 2. potencia 17 Demostración. El lugar geométrico que se busca es nP∈A2(R) : ΠC1(P)=ΠC2(P)o. Sean O1= (x1, y1), y O2= (x2, y2)las coordenadas de los centros. Entonces la ecuación normal de C1es f1= (x−x1)2+ (y−y1)2−r2 1= 0, y la de C2es f2= (x−x2)2+ (y−y2)2−r2 2= 0. Por la observación 2.1 la potencia de P respecto de C1es f1(P); igualmente ΠC2(P) = f2(P)para cualquier punto P. Así que el lugar geométrico buscado es el conjunto nP∈A2(R) : f1(P) = f2(P)o. Es decir, P= (x, y)tiene igual potencia respecto de ambas circunferencias si y solo si (x−x1)2+ (y−y1)2−r2 1= (x−x2)2+ (y−y2)2−r2 2. Desarrollando cuadrados y reorganizando vemos que el lugar geométrico que buscamos es precisamente el de los puntos (x, y)que satisfacen 2(x1−x2)x+ 2(y1−y2)y+r2 1−r2 2−(x2 1+y2 1−x2 2−y2 2)=0.(2.3) Estos puntos forman una recta ya que como las circunferencias no son concéntricas (x1, y1)= (x2, y2): así que los coeficientes de xey,2(x1−x2)y2(y1−y2), no son ambos nulos y la ecuación (2.3) es la ecuación de una recta. Además el vector normal de la recta, que tiene por coordenadas los coeficientes de la xy la yen (2.3), es n= 2−−−−−−−−−−−−→ (x1−x2, y1−y2). Pero como las coordenadas de los centros son (x1, y1)y (x2, y2)el vector normal no es más que n=−2−−−→ O1O2: es decir, la recta de ecuación (2.3) (el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias) es perpendicular a la recta que une a los centros O1yO2.■ Observación 2.2. Si C1yC2son circunferencias cualesquiera, notemos que aunque sean concéntricas el conjunto {P: ΠC1(P)=ΠC2(P)}también está definido por la ecuación (2.3), donde (x1, y1) = (x2, y2)son los centros y r1, r2son los radios (pues la hipótesis de que no sean concéntricas se utiliza para ver que (2.3) define una recta). Ahora bien, la ecuación queda r2 1−r2 2= 0: define al conjunto vacío si r1=r2 (es decir, son concéntricas pero distintas), y a todo el plano afín si son la misma circunferencia. De acuerdo con esta proposición podemos definir ya el eje radical: 18 la inversión respecto de una circunferencia Definición 2.2 (Eje radical). Sean C1,C2dos circunferencias cualesquiera que no son concéntricas. Se define el eje radical de C1yC2como la recta de puntos que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Se denota e(C1,C2), o simplemente e. Además en casos generales existe un único punto que tiene igual potencia respecto de 3circunferencias reales: el centro radical. Definición 2.3 (Centro radical). Sean C1,C2,C3tres circunferencias cualesquiera, cuyos centros están en posición general (es decir, son 3 puntos distintos que no están alineados). Se define el centro radical de C1,C2yC3como el único punto que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias. Se denota por R(C1,C2,C3) (o simplemente R). Proposición 2.3. El centro radical está bien definido: esto es, en las condiciones de la definición anterior existe un único punto que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias. Demostración. Como los centros están en posición general se comprueba fácilmente que los ejes radicales de los 3pares de circunferencias se cortan en un único punto. Por definición de eje radical es el único punto que puede tener igual potencia respecto de las tres circunferencias. ■ e(C1,C2) e(C2,C3) e(C1,C3) O1 O2 O3 R C1 C2 C3 Figura 2.3. Centro radical 2. potencia 19 Observación 2.3. Tenemos las siguientes propiedades sobre el eje radical ede dos circunferencias reales no concéntricas C1yC2: 1. Si las circunferencias se cortan en algún punto P, entonces P∈e: pues en virtud de la observación 2.1 por ser Pun punto de C1tenemos ΠC1(P) = 0; igualmente como P∈C2,ΠC2(P) = 0. Luego las potencias en Pcoinciden y Pestá en el eje radical. 2. En particular si las circunferencias se cortan en dos puntos distintos debemos tener que el eje radical es la única recta que pasa por ellos. 3. Recíprocamente si el eje radical corta a una de las circunferencias (digamos C1) en un punto P, debemos tener también que P∈C2: ya que como Pestá en C1y en el eje radical e,0=ΠC1(P)=ΠC2(P), lo que por la observación 2.1 equivale a que P∈C2. 4. De nuevo por el mismo razonamiento si las circunferencias son disjuntas también su eje radical es disjunto con cada una de ellas (si no lo fuera el punto de corte de econ alguna circunferencia es común con la otra). 5. Si C1yC2se cortan exactamente en un punto P, entonces ees la recta tangente a ambas por P(las rectas tangentes en el punto Pcoinciden y son el eje radical). Esto se debe a que epasa por P(por la primera observación), y si e cortase a C1en algún otro punto Qtendríamos que por la tercera observación también Q∈C2(lo que no es posible porque las circunferencias se cortan solo en P). Es decir, esolo corta a C1en un punto y es tangente (con C2es análogo). Por el mismo razonamiento que antes el recíproco es cierto: si el eje radical ees tangente a una circunferencia entonces es tangente a la otra, y ambas se cortan en un único punto (que es el punto de tangencia con e). 6. Si f1= 0 yf2= 0 son ecuaciones normales respectivamente de C1yC2, entonces por la observación 2.1 la potencia es evaluar el punto en la expresión de la ecuación normal. Por tanto el eje radical es e={P:f1(P) = f2(P)}; esto es, la recta que tiene ecuación f1−f2= 0. Esto es cierto también en circunferencias imaginarias o colapsadas a un punto. Es decir: al introducir el eje radical de dos circunferencias podemos hablar de la relación entre ellas estudiando posiciones relativas de una recta y una circunferencia, que ya las conocemos. Concretamente tenemos el siguiente teorema: Teorema 2.1. Sean C1,C2dos circunferencias reales, de radios r1≥r2>0y centros O1yO2, respectivamente. Sea d=d(O1, O2)la distancia entre los centros. Entonces las posibles posiciones relativas de C1yC2son: 26 la inversión respecto de una circunferencia P(por el Teorema de Pitágoras, ya lo sabíamos de la observación 3.4). Es decir, d2−r2 1=r2 2, lo que en potencia significa que ΠC1(O2) = r2 2(lógicamente por simetría tenemos también ΠC2(O1) = r2 1). Esto es otra caracterización: dos circunferencias son ortogonales si y solo si el centro de cualquiera de las dos tiene potencia el cuadrado de su radio respecto de la otra. 3. También podemos ver que dos circunferencias forman ángulo 0si o bien r2 1+ r2 2−d2= 2r1r2o bien d2−r2 1−r2 2= 2r1r2: esto es, o bien (r1−r2)2=d2o bien (r1+r2)2=d2. Por el teorema 2.1 esto equivale a que sean tangentes (como vimos en la observación 3.3). 4. Podemos extender la definición de ortogonalidad de circunferencias a casos más generales: en efecto, sean C1,C2circunferencias cualesquiera de centros O1yO2, y radios r1yr2(radio positivo en el caso real, igual a cero en el caso de circunferencia colapsada a un punto, y radio imaginario en el caso imaginario). Se dice que son ortogonales si r2 1+r2 2=d2, donde d=d(O1, O2). 4 Haces de ciclos 4.1 Definiciones y propiedades Definición 4.1 (Haz de ciclos). Sean C1,C2ciclos distintos, definidos por ecuaciones f1= 0,f2= 0 respectivamente. Se llama haz de ciclos generado por C1y C2, notado H(C1,C2), al conjunto de ciclos que tienen una ecuación de la forma λ1f1+λ2f2= 0, para λ1yλ2números reales no ambos nulos. Si no hay ambigüedad acerca de los ciclos que generan al haz, se suele notar a este simplemente por H. Al ciclo del haz Hdefinido por los escalares λ1yλ2se le denotará por Cλ1,λ2, de nuevo siempre que esté claro qué haz estamos teniendo en cuenta. Observación 4.1. Deducimos las siguientes propiedades de los haces de ciclos: 1. Dado un haz Hgenerado como en la definición anterior, si (λ1:λ2)=(µ1:µ2) (vistos como puntos proyectivos de P1(R)), entonces Cλ1,λ2=Cµ1,µ2, entendiéndose la igualdad de ciclos no solo como conjuntos sino que en el caso de circunferencias imaginarias coincidan los centros y los radios (imaginarios). En efecto por definición de espacio proyectivo existe un β∈R∗tal que (λ1, λ2) = β(µ1, µ2). Por tanto las ecuaciones λ1f1+λ2f2= 0 yµ1f1+µ2f2= 0 son proporcionales y definen el mismo ciclo. 2. Por cada punto del plano pasa al menos un ciclo: en efecto, sea H(C1,C2), con C1yC2de ecuaciones respectivas f1= 0 yf2= 0. Si Pestá en C1oC2ya hay un elemento del haz que pasa por P; si no, el ciclo C−f2(P),f1(P)contiene a P ya que [−f2(P)]f1(P)+[f1(P)]f2(P)=0. 3. Obviamente un haz solo depende de los ciclos que lo generen y no de las ecuaciones que escojamos, pues las ecuaciones de un ciclo son la misma salvo múltiplo por un escalar. Por ello podemos suponer sin pérdida de generalidad 28 la inversión respecto de una circunferencia que las ecuaciones de las circunferencias que generan un haz (si es que hay alguna) son normales. 4. Sea el haz H(C1,C2), donde las circunferencias tienen ecuaciones normales f1= 0 yf2= 0 respectivamente. Entonces, si no son concéntricas, su eje radical e, según se vio en la observación 2.3, tiene ecuación f1−f2= 0, y por tanto está en el haz H. Proposición 4.1. Sean C1,C2ciclos distintos definidos por f1= 0 yf2= 0. Sean C,Dciclos del haz H(C1,C2)distintos. Entonces H(C1,C2) = H(C,D). Demostración. Sean CyDdefinidos por λ1f1+λ2f2= 0,µ1f1+µ2f2= 0, respectivamente. Entonces C=D(como ciclos) si y solo si  λ1λ2 µ1µ2= 0 (es decir, si las ecuaciones no son proporcionales). Esto es, se tiene que λ1µ2−λ2µ1= 0. Veamos la igualdad por doble inclusión. ⊇Las ecuaciones de CyDson combinaciones lineales no nulas de las de C1y C2, luego toda combinación lineal no nula de las ecuaciones de CyDes también combinación de f1= 0 yf2= 0. Así que todo ciclo de H(C,D)es ciclo de H(C1,C2). ⊆Notemos que una combinación lineal de las ecuaciones de CyDes µ2(λ1f1+λ2f2)−λ2(µ1f1+µ2f2) = 0; es combinación lineal no nula porque si λ2=µ2= 0, entonces C=D=C1, lo que contradice la hipótesis de que fueran distintas. Pero la ecuación queda (λ1µ2−λ2µ1)f1= 0, que es múltiplo no nulo de la ecuación de C1(no nulo por la hipótesis sobre el determinante). Luego C1∈ H(C,D). De igual forma se ve que C2∈ H(C,D). Usando un razonamiento como el de arriba, vemos que tomar haz generado por dos ciclos respeta las inclusiones, así que como C1,C2∈ H(C,D), tenemos H(C1,C2)⊆ H(C,D).■ Corolario 4.1. Si un punto pertenece a dos ciclos distintos de un haz H, pertenece a todos los ciclos del haz. Demostración. Supongamos P∈C1∩C2, con C1,C2ciclos de H. Entonces por la proposición anterior H=H(C1,C2). Si Pes afín, f1= 0,f2= 0 son ecuaciones de los ciclos respectivamente, entonces un ciclo Ccualquiera del haz tiene una ecuación de la forma λ1f1+λ2f2= 0, no ambos coeficientes nulos. En ese caso λ1f1(P) + 4. haces de ciclos 29 λ2f2(P) = 0, luego P∈C. Si P=∞, los dos ciclos son rectas, el haz generado es de rectas (porque la combinación lineal de ecuaciones lineales es lineal), y todo ciclo del haz es una recta así que pasa por P.■ Se ve motivada por tanto la siguiente definición: Definición 4.2 (Puntos base). Sea H=H(C1,C2)un haz de ciclos. Entonces se definen los puntos base del haz como B(H) = C1∩C2=\ C∈H C. Notemos que, como vimos, por cada punto del plano pasa al menos un ciclo del haz. Además si por un punto pasan dos ciclos, pasan todos los del haz. Luego por todo punto afín que no sea base pasa exactamente un ciclo del haz. 4.2 Clasificación de haces de ciclos •Haces generados por dos rectas Si un haz Hcontiene a dos rectas rys(y por tanto está generado por ellas), todo ciclo del haz es una recta (obviamente, pues la combinación lineal de ecuaciones lineales es lineal). Hay dos opciones: 1. rysson paralelas. En ese caso, el único punto base es el infinito. Además, por ser las rectas paralelas podemos tomar las ecuaciones de ambas como r: Ax+By+C= 0, s :Ax+By+D= 0,A, B no ambos nulos y C=D. Entonces cualquier recta de Htiene una ecuación de la forma Ax +By +(λ1C+λ2D) λ1+λ2= 0, con λ1+λ2= 0. Dado β∈R, vemos que tomando λ1=β−D, λ2=C−β, el ciclo Cλ1,λ2del haz tiene una ecuación de la forma Ax +By +β= 0. Esto es, Hcontiene a todas las rectas paralelas a rys. 2. rysno son paralelas. En ese caso los puntos base son el infinito y un punto afín P= (x0, y0). Las ecuaciones de ambas son r:A(x−x0) + B(y−y0) = 0, s :A′(x−x0) + B′(y−y0)=0, donde además para que sean distintas debemos tener  A A′ B B′= 0. 30 la inversión respecto de una circunferencia Dados α, β ∈Rno ambos nulos, el sistema A A′ B B′! λ1 λ2!= α β! tiene solución: esto es, existen λ1yλ2, no ambos nulos, tales que λ1A+λ2A′= α, λ1B+λ2B′=β. En ese caso el ciclo Cλ1,λ2del haz tiene ecuación (λ1A+ λ2A′)(x−x0)+(λ1B+λ2B′)(y−y0)=0: es decir, α(x−x0) + β(y−y0) = 0. Por tanto el haz Hestá formado por todas las rectas que pasan por P. Figura 4.1. Haces generados por rectas •Haces que no contienen rectas Si H(C1,C2)no contiene rectas es porque C1yC2no tienen eje radical: pues de tenerlo este pertenece a H(visto en la observación 4.1). Si no tienen eje radical es porque son concéntricas, de centro O= (x0, y0). Suponiendo que las ecuaciones son C1: (x−x0)2+ (y−y0)2−r2 1= 0,C2: (x−x0)2+ (y−y0)2−r2 2= 0, con los radios posiblemente iguales a 0o imaginarios, y r1=r2, el haz contiene a todas las circunferencias con ecuaciones de la forma (x−x0)2+ (y−y0)2−λ1r2 1+λ2r2 2 λ1+λ2 = 0, donde λ1+λ2= 0. Por tanto toda circunferencia del haz está centrada en O. Sea β∈Rcualquiera. Tomando λ1=β−r2 2, λ2=r2 1−βtenemos que el ciclo Cλ1,λ2 tiene ecuación (x−x0)2+ (y−y0)2−β= 0: esto es, la circunferencia de centro Oy radio √βestá en el haz para todo β. Así que el haz Hcontiene exactamente a todas las circunferencias reales, imaginarias y colapsadas a un punto centradas en O. 4. haces de ciclos 31 Figura 4.2. Haz de circunferencias concéntricas Por tanto, si un haz contiene al menos dos rectas es o bien un haz de rectas paralelas o bien un haz de rectas incidentes en un punto. Si no contiene rectas es un haz de circunferencias concéntricas. Así que el resto de haces tiene una única recta. Definición 4.3 (Haz excepcional). Un haz de ciclos Hque sea de rectas paralelas, de rectas incidentes en un punto, o de circunferencias concéntricas se denomina haz excepcional o haz singular. •Haces que contienen una sola recta Si un haz Hcontiene una única recta e, debe contener también una circunferencia C1, de centro O1y radio r1(posiblemente 0o imaginario). Entonces notemos que si una circunferencia C2está en Hy no es concéntrica con C1debemos tener que el eje radical de ambas también sea un ciclo del haz (por la observación 4.1). Pero como la única recta del haz es e, se tiene que e=e(C1,C2). Esto es, todo par de circunferencias no concéntricas del haz tiene a ecomo eje radical. Recíprocamente, si g= 0 es una ecuación de e, y f1= 0 es la ecuación normal de C1, sea C2tal que ees el eje radical de C1yC2. En ese caso sabemos que, si f2= 0 es la ecuación normal de C2,f1−f2= 0 es una ecuación de e, por lo que es proporcional a g= 0, digamos que λ= 0 es tal que f1−f2=λg. Entonces f2=f1−λg = 0 es una combinación lineal no nula de ecuaciones de ciclos del haz, de donde concluimos que C2∈ H. Además Hno contiene a dos circunferencias concéntricas, pues entonces lo generarían, y sería un haz sin rectas según hemos visto. Por tanto, dada C1∈ H, una circunferencia C2está en el haz si y solo si e=e(C1,C2). Esto es, podemos describir los haces no excepcionales diciendo que son el conjunto de pares de circunferencias cuyo eje radical es una recta común. A veces, a la única recta del haz por abuso de lenguaje se le llamará "eje radical del haz", aunque en este caso debe quedar claro 32 la inversión respecto de una circunferencia que nos referimos al eje radical de cualquier par de circunferencias del haz. Ahora, como se vio en la proposición 2.2, el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une sus centros. Sea C1circunferencia fija de H, de centro O1. Entonces para cada C2∈ H, de centro O2, se tiene que −−−→ O1O2⊥e: esto es, todo centro de una circunferencia del haz está en la recta perpendicular a eque pasa por O1. Definición 4.4 (Recta de centros). Dado un haz no excepcional Hque contiene a la recta e, se denomina recta (o línea) de centros del haz a la recta que contiene a todos los centros de todas las circunferencias de H, que es perpendicular a e. Además, no solo es que todo centro esté dentro de la recta de centros del haz, sino que todo punto de la recta de centros es centro de alguna circunferencia de H. Proposición 4.2. Sea Hun haz no excepcional, que contiene a la recta e. Si Oes un punto de la línea de centros, existe una única circunferencia del haz Cde centro O. Demostración. La unicidad está clara, pues si existen dos circunferencias de centro Oque son distintas, generan al haz y por tanto es un haz de circunferencias concéntricas, que no contiene rectas. Para ver la existencia, sea C1∈ H, de centro O1y radio r1, positivo, 0o imaginario. Basta ver que existe una circunferencia C, de centro O=O1, tal que e=e(C,C1): pues por lo que hemos comentado antes esto implica que Cestá en el haz. Sea Qla intersección de econ la línea de centros (existe porque son perpendiculares). Sea r2=∥−−→ OO1∥2+2−−→ OO1·−−→ O1Q+r2 1. Entonces, para cualquier Pde e, se tiene que −→ QP es vector director de e(o el vector nulo), y por tanto es ortogonal a −−→ OO1al ser este vector director de la línea de centros. Sea C la circunferencia de centro Oy radio r. Entonces la potencia de Prespecto de Ces: ΠC(P) = ∥−→ OP∥2−r2=∥−−→ OO1+−−→ O1P∥2−∥−−→ OO1∥2−2−−→ OO1·−−→ O1Q−r2 1 | {z } −r2 = =∥−−→ OO1∥2+ 2−−→ OO1·−−→ O1P+∥−−→ O1P∥2−∥−−→ OO1∥2−2−−→ OO1·−−→ O1Q−r2 1. Ahora, como dijimos −→ QP es perpendicular a −−→ OO1. Por tanto se tiene: −−→ OO1·−−→ O1P= −−→ OO1·(−−→ O1Q+−→ QP) = −−→ OO1·−−→ O1Q. Sustituyendo arriba tenemos que ΠC(P) = 2−−→ OO1·−−→ O1P |{z } 2−−→ OO1·−−→ O1Q +∥−−→ O1P∥2−2−−→ OO1·−−→ O1Q−r2 1=∥−−→ O1P∥2−r2 1= ΠC1(P), por definición de potencia. Es decir, que para todo P∈e, la potencia de Prespecto de Ces igual a la potencia respecto de C1. Luego e=e(C,C1)y tenemos C∈ H.■ 4. haces de ciclos 33 Así que de los haces no excepcionales sabemos que contienen solo una recta e, que es eje radical común de todas las circunferencias del haz, y que además todos los centros están en una recta perpendicular a e. Hay tres posibilidades para los puntos base: que no haya puntos base, que haya uno o que haya dos (pues son los posibles cortes de una recta con una circunferencia). 1. Si hay dos puntos base, B(H) = {P1, P2}, el eje radical ees la recta que pasa por ellos. Si una circunferencia pasa por ellos dos, su centro está en la mediatriz MP1,P2+⟨−−→ P1P2⟩⊥, que es perpendicular a ey por tanto paralela a la línea de centros. Es decir, que el centro está en la línea de centros y en una recta paralela a ella, luego la mediatriz de P1yP2es la recta de centros. Si una circunferencia está en el haz pasa por P1y por P2, por definición de puntos base; recíprocamente si C1está en el haz y Cpasa por P1yP2, entonces su eje radical pasa por P1yP2, luego es e. Como e=e(C1,C),C∈ H. Por tanto el haz es el conjunto de ciclos que pasan por P1yP2, todas las circunferencias son reales porque pasan por dos puntos. A este tipo de haz se le denomina haz elíptico o haz de tipo intersecante. 2. Si hay un solo punto base, B(H) = {P}, no hay circunferencias imaginarias (todas las circunferencias pasan al menos por P). Sea O1un punto de la línea de centros que no está en e, y sea C1la circunferencia del haz de centro O1. Como O1no es P(pues P∈e), la circunferencia C1debe ser real, digamos de radio r1>0. Ahora, la circunferencia colapsada a Pestá en el haz, porque el eje radical de {P}(visto como circunferencia colapsada a un punto) y C1es e, por la observación 2.1. Además, se tiene que toda circunferencia tangente a C1en Ppertenece al haz por tener eje radical e; recíprocamente si Cestá en el haz debe cortar a C1solo en Py por tanto son tangentes. Esto es, el haz es el conjunto de circunferencias tangentes entre sí (y tangentes con e) en P, además del eje e. A este tipo de haz se le denomina haz parabólico o haz de tipo tangencial. 3. Si no hay puntos base, sea Pel corte de la línea de centros con e. Sea C1una circunferencia del haz cualquiera (real o no), de radio r1y centro O1, y sea O un punto de la línea de centros que no es P. Sea Cla circunferencia del haz de centro O, de radio r. Como Pestá en el eje radical etenemos que ΠC(P) = ∥−→ OP∥2−r2=∥−−→ O1P∥2−r2 1= ΠC1(P), luego r2=∥−→ OP∥2−∥−−→ O1P∥2+r2 1. Si C1es real, como no hay puntos base el eje eno corta a la circunferencia, así que ∥−−→ O1P∥2−r2 1>0. Si C1es imaginaria o colapsada a un punto, la desigualdad está clara porque r2 1≤0. Entonces, si O 34 la inversión respecto de una circunferencia es uno de los puntos de la línea de centros tal que d(O, P) = q∥−−→ O1P∥2−r2 1, por la igualdad anterior r2=∥−−→ O1P∥2−r2 1−∥−−→ O1P∥2+r2 1= 0; así que la circunferencia Ces colapsada al punto O. Notemos que hay dos puntos distintos O′, O′′ ∈e(equidistantes de P) tales que d(O′, P) = d(O′′, P) = q∥−−→ O1P∥2−r2 1, luego hay en Hdos circunferencias colapsadas a un punto. Si Oestá en el interior del segmento O′O′′, entonces el radio de la circunferencia correspondiente es r2=∥−→ OP∥2−∥−−→ O1P∥2+r2 1<∥−−→ O′P∥2−∥−−→ O1P∥2+r2 1= 0, porque al estar Oen el interior del segmento, está a menor distancia del punto medio Pque los extremos. Por tanto, las circunferencias de centro en el interior de O′O′′ son imaginarias: igualmente un cálculo similar muestra que las circunferencias del haz de centro en el exterior de O′O′′ son reales. A O′, O′′ se les denomina puntos límite del haz. A este tipo de haz se le llama haz hiperbólico o de tipo no intersecante. Figura 4.3. Haces no excepcionales: elíptico, parabólico e hiperbólico 5 Inversión 5.1 Definición de inversión Vamos a estudiar la transformación fundamental en la que se basa este trabajo: la inversión. Definición 5.1 (Inversión). Sea O∈A2(R)un punto afín cualquiera, y α∈R∗ un real no nulo. Se define la inversión de polo Oy potencia αcomo la aplicación φ:A2(R)\{O} → A2(R)\{O}dada por φ(P) = P′, donde el punto P′es el único que verifica −−→ OP′=α ∥−→ OP∥2−→ OP. Es decir, que φ(P) = O+α ∥−→ OP∥2−→ OP. A la circunferencia Cde centro Oy radio √α(quizá imaginario) la llamamos circunferencia de inversión. A menudo nos referiremos a φcomo la inversión respecto de la circunferencia C. Observación 5.1. Sea φla inversión de polo O∈A2(R)y potencia α∈R∗. Tenemos: 1. φes involutiva en A2(R)\{O}(esto es, φ=φ−1). En efecto por la definición anterior, llamando P′=φ(P), se tiene ∥−−→ OP′∥=|α| ∥−−→ OP ∥, por lo que −→ OP =∥−→ OP∥2 α−−→ OP′=α ∥−−→ OP′∥2 −−→ OP′; es decir, P=φ(P′)y por tanto φ=φ−1. 42 la inversión respecto de una circunferencia el resultante de multiplicar el radio de Dpor el valor absoluto de la razón de homotecia. Como Des la circunferencia de centro Ay radio r, se tiene que k=OA2−r2 por definición de potencia, así que la razón de homotecia es α OA2−r2, de donde se sigue la expresión de Cyρ.■ Por tanto, en base a las proposiciones anteriores tenemos el siguiente resultado: Teorema 5.1. La inversión, considerada como aplicación en el plano inversivo ˆ A2(R), manda ciclos en ciclos. En concreto manda ciclos que pasan por el polo en rectas, y ciclos que no pasan por el polo en circunferencias. Además de este importante resultado, tenemos otro sobre la conformidad de la inversión. Definición 5.3 (Aplicación conforme). Sean U, V abiertos no vacíos de A2(R). Sea f:U→Vdiferenciable; decimos que fes conforme en P∈Usi conserva los ángulos en P. Esto es, si αyβson curvas diferenciables con α(t0) = β(t1) = P, entonces el ángulo entre α′(t0)yβ′(t1)coincide con el ángulo entre (f◦α)′(t0)y (f◦β)′(t1). Para ver que una aplicación es conforme, se puede usar la definición 3.9.1de [HP10]: en las condiciones anteriores, si Jf(P)es la matriz jacobiana de fen cada Pde U, entonces fes conforme si y solo si existe λ:U→Rdiferenciable, que no se anula en ningún punto, tal que para todos u,v∈R2y para todo P∈Use tiene (Jf(P)·u)·(Jf(P)·v) = λ(P)(u·v). Podemos demostrar ahora uno de los principales resultados sobre la inversión: que es conforme. Teorema 5.2. Sea φ:A2(R)\ {O} → A2(R)\ {O}la inversión de polo Oy potencia α. Entonces φes conforme en todo A2(R)\{O}. Demostración. Para ver que φes conforme podemos tomar un sistema de referencia, usar las ecuaciones cartesianas de φcomo en la observación 5.1, y usar la caracterización mencionada anteriormente. Es decir, basta ver que para cada par de vectores u,v∈R2y para cada Pse tiene (Jφ(P)·u)·(Jφ(P)·v) = λ(P)(u·v), 5. inversión 43 para una cierta λdiferenciable que no se anula. Pero por definición de producto escalar esto es equivalente a ver que ut(Jφ(P))t(Jφ(P))v=λ(P)utv; luego si vemos que existe λdiferenciable, que no se anula tal que en cada Pse tiene (Jφ(P))t(Jφ(P)) = λ(P)·I, donde Ies la matriz identidad, hemos terminado: pues en ese caso ut(Jφ(P))t(Jφ(P))v=λ(P)utIv=λ(P)utv, luego φsería conforme. Por tanto, es suficiente ver que (Jφ(P))t(Jφ(P)) es un múltiplo de la matriz identidad por una función diferenciable que no se anula. Veámoslo. Consideramos un sistema de referencia, tal que el polo es O= (x0, y0). Entonces, según vimos en la observación 5.1, las ecuaciones de φson φ(x, y)=(x′, y′), donde x′=x0+α (x−x0)2+ (y−y0)2(x−x0), y′=y0+α (x−x0)2+ (y−y0)2(y−y0), para todo (x, y)= (x0, y0). Llamando X=x−x0, Y =y−y0, podemos abreviar un poco la expresión de φ: φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y)) = x0+α X2+Y2X, y0+α X2+Y2Y, notemos que como (x, y)= (x0, y0)se tiene X2+Y2= 0. Derivando obtenemos la matriz jacobiana de φ,Jφ(P) = ∂φ1 ∂x ∂φ1 ∂y ∂φ2 ∂x ∂φ2 ∂y !P : Jφ(P) =   αY2−X2 (X2+Y2)2−2αXY (X2+Y2)2 −2αXY (X2+Y2)2αX2−Y2 (X2+Y2)2 =α (X2+Y2)2 Y2−X2−2XY −2XY X2−Y2!. Ahora, tenemos que (Jφ(P))t(Jφ(P)) = α2 (X2+Y2)4 Y2−X2−2XY −2XY X2−Y2! Y2−X2−2XY −2XY X2−Y2!= =α2 (X2+Y2)4 X4−2X2Y2+Y4+ 4X2Y20 0X4−2X2Y2+Y4+ 4X2Y2!= =α2 (X2+Y2)4(X2+Y2)2 1 0 0 1!=α2 (X2+Y2)2 1 0 0 1!. 44 la inversión respecto de una circunferencia Si definimos λ:A2(R)\{O} → R, λ(x, y) = α2 (X4+Y2)2=α2 ((x−x0)2+ (y−y0)2)2, se tiene que λes diferenciable y no se anula al ser α= 0 por definición de inversión. Según hemos visto antes, como (Jφ(P))t(Jφ(P)) = λ(P)I,φes conforme, que es lo que queríamos ver. ■ Observación 5.4. Notemos que el convenio que tomamos al definir los ángulos de rectas en el infinito al principio del capítulo 3, ahora que sabemos que la inversión es conforme, tienen sentido y con dicho convenio se siguen conservando los ángulos en el infinito. En efecto, si dos rectas rysson secantes, definimos el ángulo en el infinito como el mismo ángulo que forman en su intersección afín P: pues por la inversión φ de polo Py potencia 1, el infinito y Pse intercambian, y rysse quedan fijas, así que el ángulo que forman en Pes el ángulo que forman en φ(∞). Para que φsea conforme en infinito también debemos tomar el convenio como lo hemos tomado. Igualmente, si dos rectas rysson paralelas tomando una inversión φde centro O /∈r∪sy de potencia 1, rysse transforman en dos circunferencias que se cortan únicamente en φ(∞) = O(pues ryssolo se cortan en ∞), así que son tangentes en O. Para que la inversión siga siendo conforme en el infinito debemos definir rys como tangentes en ∞. Así que podemos decir que la inversión es conforme en todo el plano inversivo. Observación 5.5. Se podía haber demostrado la conformidad de la inversión para ciclos sin usar geometría diferencial: para una forma de hacerlo ver [Pam19]. Sin embargo lo que hemos demostrado es más general, pues la inversión no solo conserva los ángulos entre ciclos sino entre todo par de curvas regulares. 6 Aplicaciones de la inversión En este trabajo nos centraremos principalmente en dos aplicaciones de la geometría inversiva, aunque como se mencionó en la introducción hay muchísimas más. Para ver algunas de ellas ver por ejemplo [Sch79]o[Pam19]. 6.1 Teorema de Ptolomeo El teorema de Ptolomeo es un importante resultado en geometría clásica, que caracteriza a los cuadriláteros cíclicos (los que se pueden inscribir en una circunferencia). Si bien originalmente se probó usando métodos elementales, podemos usar geometría inversiva para obtener una demostración alternativa. Proposición 6.1 (Relaciones métricas). Sea Cuna circunferencia real de centro Oy radio r > 0. Entonces, si φes la inversión respecto de C, y P, Q son puntos distintos de O, se tiene ∥−−→ P′Q′∥=r2∥−→ PQ∥ ∥−→ OP∥∥−→ OQ∥, donde P′=φ(P), Q′=φ(Q). Demostración. Lo vamos a ver usando propiedades de la inversión. La recta que pasa por O, P, P′invierte sobre ella misma, e igual con la que pasa por O, Q, Q′. Por definición de inversión, −→ OP ·−−→ OP′=−→ OQ ·−−→ OQ′=r2, y como O, P, P′yO, Q, Q′ están alineados se tiene que ∥−→ OP∥ ∥−→ OQ∥=∥−−→ OQ′∥ ∥−−→ OP′∥. 46 la inversión respecto de una circunferencia Así que los triángulos △OPQ y△OQ′P′son semejantes (comparten el ángulo [ OPQ =\ OQ′P′porque las rectas que forman el ángulo son fijas para la inversión, y un par de lados son proporcionales). Por tanto ∥−−→ P′Q′∥ ∥−→ PQ∥=∥−−→ OP′∥ ∥−→ OQ∥=∥−→ OP∥∥−−→ OP′∥ ∥−→ OP∥∥−→ OQ∥=r2 ∥−→ OP∥∥−→ OQ∥, de donde se deduce lo que queríamos ver. ■ Observación 6.1. Lo anterior es cierto también en la inversión respecto de una circunferencia imaginaria, salvo que hay que poner valor absoluto en el r2. Se obtiene directamente teniendo en cuenta que la inversión respecto de una circunferencia imaginaria Cde radio r < 0es la inversión respecto de una circunferencia real de radio |r|seguida de una simetría central en O. Teorema 6.1 (Ptolomeo). Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Entonces se verifica la desigualdad entre lados y diagonales AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD, con igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico (es decir, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices). Demostración. Sea Cuna circunferencia real centrada en B, y de radio r > 0 arbitrario. Consideramos la inversión φrespecto de C. Dicha φenvía la circunferencia Dque pasa por A, B, C en la recta sque pasa por A′yC′. Por la desigualdad triangular se tiene A′C′≤A′D′+D′C′; es decir, por la proposición anterior r2AC AB ·BC ≤r2AD AB ·BD +r2CD BC ·BD. Multiplicando por AB ·BC ·BD y dividiendo por r2se tiene que AC ·BD ≤AD ·BC +AB ·CD. Además por la desigualdad triangular, la igualdad se da si y solo si A′, C′yD′están alineados: es decir, si y solo si D′está en la recta s. Como s=φ(D), la igualdad se da si y solo si D∈D: es decir, si y solo si el cuadrilátero es cíclico. ■ 6. aplicaciones de la inversión 47 6.2 Problemas de Apolonio Los problemas de Apolonio tratan de averiguar las circunferencias simultáneamente tangentes a tres dadas. Es conveniente, como originalmente lo hizo Apolonio de Perga en su tratado sobre las tangencias, extender un poco el problema y estudiar las circunferencias tangentes a tres objetos, donde los objetos pueden ser circunferencias, rectas o puntos. Así, diremos que un problema de Apolonio es de tipo (a, b, c), donde a+b+c= 3, si tenemos acircunferencias, brectas y cpuntos. Por ejemplo, el problema original es de tipo (3,0,0) (circunferencias tangentes a 3 circunferencias dadas). Usaremos la inversión (y ocasionalmente los haces de ciclos) para buscar las soluciones de algunos tipos de problemas. No es un objetivo de este trabajo clasificar los problemas de Apolonio en su totalidad, ya que es tedioso (de hecho, hay 49 posibles posiciones relativas de tres circunferencias de radios distintos, y si incluimos la posibilidad de que los radios coincidan hay muchas más). Sin embargo, se busca enseñar de qué forma podemos resolver cualquier tipo de problema de Apolonio. Para una clasificación completa ver, por ejemplo, [Mui95]. 6.2.1 Problema de tipo (0,0,3) En este caso, buscamos las circunferencias que pasan por 3puntos distintos. Como vimos en el capítulo 1no hay solución si están alineados, y hay una única solución si están en posición general. 6.2.2 Problema de tipo (0,3,0) En este caso buscamos las circunferencias que son tangentes a 3rectas r, s, t a la vez. Si las tres son paralelas no hay solución. Si rysson paralelas, y tes secante con ambas, hay dos soluciones. Si son secantes en un mismo punto no hay solución, y si se cortan dos a dos hay 4soluciones distintas (ver por ejemplo [Pam21c]). 6.2.3 Problema de tipo (0,1,2) En este caso buscamos las circunferencias que pasan por dos puntos AyB, y son tangentes a una recta dada r. Si AyBestán en un mismo semiplano (considerando 48 la inversión respecto de una circunferencia la división en dos semiplanos de A2(R)que hace la recta r), no están en la recta r, y AB no es paralelo a r, hay dos soluciones distintas, que se pueden hallar, por ejemplo, teniendo en cuenta que si Pes la intersección de la recta AB con r,PT2=PA·PB, donde Tson los puntos de tangencia de las circunferencias solución con la recta r (por potencia). Si AyBestán en un mismo semiplano, no están en la recta ryAB es paralelo a rhay una única solución, que es tangente a ren la intersección con la mediatriz de AB. Si AyBestán en un mismo semiplano y uno de ellos, por ejemplo A, está en la recta r, hay una solución, tangente a ren Ay que pasa por B(única porque la solución debe pertenecer al haz parabólico de tangentes a ren A, y por tanto hay una única circunferencia que pasa por B). Si AyBestán ambos en ro en distintos semiplanos no hay solución. 6.2.4 Problema de tipo (1,0,2) Buscamos circunferencias tangentes a otra circunferencia Cy que pasen por dos puntos dados AyB. Podemos reducir este caso al anterior mediante una inversión respecto de una circunferencia centrada en algún punto de C, que transforma a C en una recta r, y AyBen dos puntos A′yB′, teniendo por tanto el caso (0,1,2) anterior que sí sabemos cuando tiene solución. Resolviendo el problema asociado a {r, A′, B′}e invirtiendo de nuevo tenemos las soluciones del problema original. Otra forma de resolver el problema es la siguiente: suponemos que AyBestán en el exterior de C(es decir, tienen potencia positiva), y que su mediatriz no pasa por Oel centro de C. Sea Hel haz elíptico de puntos base AyB. Entonces existe un único punto Cque es el "centro radical" de CyH, en el siguiente sentido: ΠC(C)=ΠC′(C)para todo C′de H. En efecto, tomando dos circunferencias C1,C2cualesquiera de H, el centro radical Cde C,C1yC2es un cierto punto C, ya que la recta de centros del haz es la mediatriz de AB, que no pasa por Oy por tanto los centros están en posición general. Ahora, dada C′cualquiera del haz, ΠC(C)=ΠC1(C)=ΠC2(C)=ΠC′(C)porque al estar Cen el eje radical del haz la potencia respecto de cualquier par de circunferencias es constante. Entonces, las rectas tangentes a Cque pasan por Ccortan a Cen los dos puntos de tangencia de las dos soluciones del problema, TyT′, ya que ΠC(C) = ΠD(C) = CT2, donde D es la circunferencia del haz que pasa por T. Por tanto Des tangente a la recta CT en Ty es tangente por tanto a Cen T(el razonamiento con T′es análogo). Otros casos se pueden convertir a este mediante una inversión apropiada: por ejemplo, si AyBson interiores, tomando la inversión respecto de Clos hacemos exteriores (si 6. aplicaciones de la inversión 49 el caso no admite dos soluciones siempre se puede resolver pasando al tipo (0,1,2)). 6.2.5 Problema de tipo (0,2,1) Buscamos circunferencias tangentes a dos rectas r, s y que pasen por un punto dado A. Si Ano es r∩spodemos reducir al caso (0,1,2) tomando Bel simétrico de A respecto de la bisectriz del ángulo entre las rectas rys, y hallando las circunferencias que pasen por A, B y sean tangentes a r(hay dos bisectrices, perpendiculares entre sí, pero una de ellas no da solución porque AyBno están en el mismo semiplano, salvo que Aesté en una de las rectas). Si Aes la intersección de rysno hay solución. 6.2.6 Problema de tipo (1,1,1) Buscamos las circunferencias tangentes a otra dada C, a una recta sy que pasen por un punto A. Supongamos primero que Ano está ni en Cni en s. Sea Duna circunferencia cualquiera centrada en A. Entonces, la inversión respecto de Dlleva Aal infinito, Ca otra circunferencia C′ysa una circunferencia D. Por tanto, las circunferencias tangentes a C, s y que pasan por Ainvierten en rectas tangentes aC′yD. Convertimos por tanto el problema en hallar las rectas tangentes a dos circunferencias, que puede tener 0,1,2o4soluciones, dependiendo de si las circunferencias son interiores (0), tangentes interiores (1), tangentes exteriores o secantes (2) o exteriores (4); las inversas de estas rectas serán las soluciones del problema original. Si el punto Aestá en C, sea tla recta tangente a Cen A. Entonces las soluciones al problema original son las tangentes a s, t que pasan por A, que es de tipo (0,2,1). Si el punto Aestá en s, y res el radio de C, las circunferencias tangentes a Cque son tangentes a sen Atienen centro en la perpendicular a sen A. Hallamos los dos puntos de dicha perpendicular que están a distancia rde A, y averiguamos los centros de las circunferencias que pasan por O, por dichos puntos de la perpendicular en A, y que tienen centro en dicha perpendicular. Entonces, como son centros de circunferencias que pasan por el centro de C, y están a distancia rde A en la perpendicular a spor A, las circunferencias de esos mismos centros y radios dilatados o contraídos por r(según corresponda) son las soluciones. Dependiendo de las configuraciones pueden haber 0,1,2,3o4soluciones (e incluso infinitas en el caso trivial en el que ryCson tangentes en A). 50 la inversión respecto de una circunferencia 6.2.7 Problema de tipo (2,0,1) Buscamos las circunferencias tangentes a dos dadas C1yC2, que pasen por un punto A. Este caso se puede reducir al anterior mediante una inversión respecto de una circunferencia centrada en algún punto de C1, que la transforma en una recta; C2se transforma en otra circunferencia y tenemos un problema de tipo (1,1,1). Otra opción es directamente invertir respecto de una circunferencia centrada en A, que transforma el problema en uno de tangencias de rectas: en general, las circunferencias invertirán en otras dos circunferencias C′ 1,C′ 2, y las soluciones del problema (2,0,1) se corresponderán con rectas tangentes a C′ 1yC′ 2. Existen, igual que antes, casos excepcionales: por ejemplo, si las dos circunferencias son tangentes en A, hay infinitas soluciones que conforman el haz parabólico H(C1,C2); otro caso sería que las circunferencias sean interiores y Asea interior a ambas (no hay solución). 6.2.8 Problema de tipo (3,0,0) Estos problemas son los problemas de Apolonio originales: buscar las circunferencias tangentes a tres dadas C1,C2,C3. Sean O1, O2, O3los centros y r1≥r2≥r3>0 los radios, respectivamente. A cada solución le asociamos la notación (∗∗∗), donde los ∗son +o−. Cada posición indica si la solución es interior (−) o exterior (+) con la circunferencia correspondiente (en casos excepcionales puede ocurrir que haya varias soluciones que tengan la misma notación). Por ejemplo, (+−−) indica que dicha solución es la exterior con C1e interior con C2,C3. La forma de resolverlos en general es la siguiente: 1. Se reemplaza la circunferencia más pequeña (C3) con su centro. 2. Se reemplazan C1yC2con circunferencias de igual centro, pero de radios r1±r3 yr2±r3respectivamente (es decir, se dilatan o se contraen las circunferencias r3unidades). Llamamos a estas circunferencias ˜ C1y˜ C2. 3. Para cada caso, se hallan los centros de las circunferencias que pasen por O3 y sean tangentes a ˜ C1y˜ C2(problema (2,0,1)). De todos ellos hay dos centros de las soluciones que buscamos. Concretamente, si por ejemplo elegimos ˜ C1de radio r1+r3y˜ C2de radio r2−r3, los centros de las circunferencias que son soluciones del problema (3,0,0) son los centros de las circunferencias (+−−)y(−+ +). Dependiendo de las posiciones relativas de las circunferencias, de los centros y de los radios, pueden haber como mucho 8 6. aplicaciones de la inversión 51 soluciones (salvo algún caso muy excepcional en el que haya infinitas, por ejemplo tres circunferencias de un haz parabólico). 6.3 Ejemplos de problemas de Apolonio C1 C2 C3 Supongamos que tenemos un problema de Apolonio como el de arriba. Entonces, podemos colapsar C3a un punto, y considerar las circunferencias ˜ C1y˜ C2dilatadas y contraídas por el radio r3. Por ejemplo, aumentamos el radio en C1y en C2. Tenemos entonces el problema auxiliar siguiente: C1 C2 O3 ˜ C1 ˜ C2 Ahora, buscamos las circunferencias tangentes a ˜ C1y˜ C2que pasen por O3. Para calcularlas podemos invertir respecto de un punto de alguna de ellas y resolver un 58 la inversión respecto de una circunferencia También podemos resolver otros problemas de Apolonio "generalizados", como por ejemplo problemas (2,1,0): a través de una inversión respecto de una circunferencia que no esté centrada en ningún punto de los ciclos dados en el problema, los tres ciclos invierten sobre 3 circunferencias. Se resuelve el problema (3,0,0) asociado y volviendo a invertir tenemos las soluciones del problema (2,1,0) original. Algunos ejemplos: 6. aplicaciones de la inversión 59 Bibliografía [Ber09] Marcel Berger. Geometry I. Springer Science & Business Media, 2009. [Cox61] Harold Scott Macdonald Coxeter. Introduction to geometry. John Wiley & Sons, Inc., 1961. [Cox68] HSM Coxeter. The problem of apollonius. The American Mathematical Monthly, 75(1):5–15, 1968. [GR04] David Gisch and Jason M Ribando. Apollonius’ problem: A study of solutions and their connections. 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