XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Esquemas 2D de al o o den basados en econs ucciones de
es ado, pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os.
Aplicaci´on a p oblemas de anspo e de sedimen os.
M.J. Cas o D´
ıaz1, E.D. Fe n´
andez Nie o2,
A.M. Fe ei o Fe ei o1
1Dp o. de An´alisis Ma em´a ico, Uni . de M´alaga. Campus de Tea inos. M´alaga E-mail:
[email p o ec ed].
2Dp o. de Ma em´a ica Aplicada I, Uni . de Se illa. Se illa. E-mail: [email p o ec ed].
3Dp o. de Ma em´a icas, E. U. A qui ec u a T´ecnica, Uni . de A Co u˜na. E-mail: [email p o ec ed].
Palab as cla e: Recons ucciones de es ado, bien-equilib ado, m´e odo de ol´umenes ini os, ans-
po e de sedimen os
Resumen
En es e abajo se abo da la ap oximaci´on num´e ica del p oblema de a as e de
sedimen os causada po la e oluci´on del agua. Pa a la componen e hid odin´amica se
conside an las ecuaciones de aguas poco p o undas. La componen e mo odin´amica
se de ine median e una ecuaci´on de con inuidad, dada en unci´on del caudal s´olido.
Ambas componen es cons i uyen un sis ema acoplado que puede eesc ibi se como un
sis ema hipe b´olico no conse a i o ( e [4]).
Se p opone un esquema 2D gene alizado de Roe con econs ucciones de es ado
pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os ( e [4]), median e esquemas de ol´umenes
ini os y el m´e odo de l´ıneas ( e [5]), ex endiendo los esquemas de al o o den pa a el
caso 1D p opues o en [2].
La econs ucci´on de es ado empleada es de ipo MUSCL ( e [1]), que p opo ciona
o den dos pa a mallas no es uc u adas de ol´umenes ini os de ipo a is a.
Finalmen e se p esen a un es num´e ico en el que se es udia la e oluci´on del ´angulo
de expansi´on de una mon a˜na de a ena ( e [4]).
1. In oducci´on
En es e abajo es udiamos m´e odos de al o o den de ol´umenes ini os basados en
econs ucciones de es ado. Dichos m´e odos se aplican a p oblemas de a as e de sedi-
men os. La componen e hid odin´amica se modela median e las ecuaciones de aguas poco
1
M.J. Cas o D´ıaz, E.D. Fe n´andez Nie o, A.M. Fe ei o Fe ei o
p o undas, y la componen e mo odin´amica median e una ecuaci´on de con inuidad. El
sis ema inal puede esc ibi se como un sis ema 2D no conse a i o
∂W
∂ +A1(W)∂W
∂x1
+A2(W)∂W
∂x2
= 0,(1)
donde W(x, ) : O×(0, T)→Ω⊂RN,Oes un dominio aco ado de R2, Ω es un conjun o
con exo de RN,Ai: Ω →MN×N unciones egula es y localmen e aco adas.
Dado un ec o uni a io η= (η1, η2)∈R2se de ine: A(W, η) = A1(W)η1+A2(W)η2.
Suponemos que el sis ema (1) es es ic amen e hipe b´olico, es deci , pa a odo W∈Ω⊂
RNand ∀η∈R2, la ma iz A(W, η) iene Nau o alo es eales y dis in os: λ1(W, η)<
. . . < λN(W, η),siendo Rj(W, η), j= 1, . . . , N los au o ec o es asociados. En consecuen-
cia A(W, η) es diagonalizable: A(W, η) = K(W, η)L(W, η)K−1(W, η),donde L(W, η) es la
ma iz diagonal cuyos coe icien es son los au o alo es de A(W, η) y K(W, η) es la ma iz
cuyas columnas son los ec o es Rj(W, η), j= 1, . . . , N.
2. Ecuaciones de aguas poco p o undas con a as e de se-
dimen os
Conside amos el sis ema,



























∂h
∂ +∂q1
∂x +∂q2
∂x = 0,
∂q1
∂ +∂
∂x1q2
1
h+1
2gh2+∂
∂x2q1q2
h=gh ∂S
∂x1−ghS ,x1,
∂q2
∂ +∂
∂x1q1q2
h+∂
∂x2q2
2
h+1
2gh2=gh ∂S
∂x2−ghS ,x2,
∂S
∂ −ξ∂qb,x1
∂x1−ξ∂qb,x2
∂x2
= 0,
(2)
donde las inc´ognicas del p oblema son la al u a de la columna del agua h(x, ), el caudal
q(x, )=(q1(x, ), q2(x, )) y S(x, ) = H(x)−zb(x, ), donde Hes la ba ime ´ıa y zbes el
espeso de la capa de sedimen o. Po qb,x1yqb,x2deno amos los caudales del anspo e
s´olido pa a las componen es x1yx2, espec i amen e. La de inici´on de qbdepende del
modelo conside ado. En es e abajo conside amos el modelo de G ass y el modelo de
Meye -Pe e &M¨ulle . S ,x1yS ,x2son las leyes de icci´on de Manning. Y ξ= 1/(1 −ρ0)
donde ρ0es la po osidad de la capa de sedimen o.
El sis ema de ecuaciones (2) puede esc ibi se como un sis ema hipe b´olico no conse -
a i o (1).
La de inici´on de qb,x1yqb,x2pa a los casos pa icula es de G ass y Meye -Pe e &M¨ulle
son:
1. Modelo de G ass:
qb,x1=Agu1(u2
1+u2
2),
qb,x2=Agu2(u2
1+u2
2); (3)
2
Esquemas 2D de al o o den pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os
donde u1=q1
hyu2=q2
h. Siendo Agla cons an e de in e acci´on en e el luido y el
sedimen o (0 ≤Ag≤1).
2. Modelo de Meye -Pe e &M¨ulle :
qb,x1= 8q(G−1)gd3
isgn(u1) (τ∗,x1−τ∗,c)3/2,
qb,x2= 8q(G−1)gd3
isgn(u2) (τ∗,x2−τ∗,c)3/2;
(4)
donde τ∗yτ∗cson la ensi´on angencial adimensional y la ensi´on angencial c ´ı ica
adimensional, espec i amen e. La de inici´on de τ∗es
τ∗,x1=γη2|u1|pu2
1+u2
2
(γs−γ)diR1/3
h
, τ∗,x2=γη2|u2|pu2
1+u2
2
(γs−γ)diR1/3
h
,
donde γdeno a el peso espec´ı ico del luido, γsdeno a el peso espec´ı ico del sedimen-
o, G=γs/γ,ηes el coe icien e de Manning co espondien e a la capa de sedimen o,
dies el di´ame o medio de g ano. τ∗cse suele oma igual a 0,047. Po Rhdeno amos
el adio hid ´aulico.
3. M´e odos de ol´umenes ini os de al o o den basados en
econs ucciones de es ado
Conside emos un sis ema hipe b´olico no conse a i o
∂W
∂ +A1(W)∂W
∂x1
+A2(W)∂W
∂x2
= 0.(5)
Nues o obje i o es usa un m´e odo de ol´umenes ini os de al o o den basado en
econs ucciones de es ado pa a (5).
Descomponemos el dominio compu acional en celdas o ol´umenes de con ol, Vi⊂R2,
que supond emos pol´ıgonos ce ados. Se usa la siguien e no aci´on: dado un ol´umen ini o
Vi,Nies el conjun o de ´ındices j ales que Vjes el ecino de Vi,Eij es la a is a com´un
de dos celdas ecinas ViyVj, y |Eij|su longi ud, ηij = (ηij,1, ηij,2) es el ec o uni a io
no mal a la a is a Eij y que apun a hacia la celda Vj( e Figu a 1).
La disc e izaci´on del sis ema (5) se lle a a cabo median e un esquema de ol´umenes
ini os ( e [5]). Wn
i ep esen a ´a la ap oximaci´on
Wn
i∼
=1
|Vi|ZVi
W(x, n)dx.
Dado un olumen Videno a emos po Piel ope ado de econs ucci´on sob e el o-
lumen. En conc e o, Pidepende ´a de una amilia de alo es {Wj}j∈Bi, donde Bies un
conjun o de ´ındices de ol´umenes de con ol ecinos o p ´oximos a Vi( e [4]). Cuando los
alo es de la sucesi´on dependan del iempo, deno a emos al ope ado de econs ucci´on
po P
i.
3
M.J. Cas o D´ıaz, E.D. Fe n´andez Nie o, A.M. Fe ei o Fe ei o
Figu a 1: Volumen ini o gene al.
Dado el ec o ηij que apun a al olumen Vj, deno a emos po W−
ij ( , s) y W+
ij ( , s)
∀s∈Eij, al l´ımi e de P
i(P
j espec i amen e) cuando x iende a sa a ´es de Vi(Vj
espec i amen e):
l´ım
x→s
x·ηij < kij
P
i(x) = W−
ij ( , s),l´ım
x→s
x·ηij > kij
P
j(x) = W+
ij ( , s),(6)
donde la a is a Eij =Vi∩Vjes ´a con enida en la ec a, x·ηij =x1ηij,1+x2ηij,2=kij.
P oponemos el siguien e esquema num´e ico ( e [4]):
W0
i( ) = −1
|Vi|
X
j∈Ni
|Eij|
n(¯ )
X
l=1
wlA−
ij,l(W+
ij,l, W −
ij,l, ηij)(W+
ij,l −W−
ij,l)
+ZViA1(Pi(x))∂Pi
∂x1
(x) + A2(Pi(x))∂Pi
∂x2
(x)dx,
(7)
donde wl,l= 1, . . . , n(¯ ), deno a los pesos de una ´o mula de cuad a u a 1D, la cual iene
asociada a una in eg al sob e la a is a Eij. Si median e xlse deno an los pun os sob e
la a is a Eij de la ´o mula de cuad a u a, en onces W±
ij,l =W±
ij (xl). En la p ´ac ica es a
´o mula se elige en unci´on del o den del ope ado de econs ucci´on de es ado: si po ¯
deno amos el o den de la ´o mula de cuad a u a, en onces ¯ > p, siendo pel o den de
ap oximaci´on del ope ado de econs ucci´on.
Median e Aij se deno a la ma iz de Roe asociada al p oblema 1D no conse a i o
p oyec ado sob e la a is a Eij. Los p oduc os no conse a i os A(W)Wxdel p oblema 1D
p oyec ado no ienen sen ido en el ma co de la eo ´ıa de dis ibuciones. En es e abajo
usamos la eo ´ıa desa ollada po Dal Maso, LeFloch y Mu a donde los p oduc os no
conse a i os se in e p e an como medidas de Bo el, siendo necesa io pa a su de inici´on
la elecci´on de una amilia de caminos en el espacio de ases. Tambi´en se ´a necesa io la
elecci´on de una amilia de caminos pa a de ini la ma iz de Roe ( e [7]).
4
Esquemas 2D de al o o den pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os
4. Recons ucciones de o den dos sob e mallas no es uc-
u adas bidimensionales
Po simplicidad supongamos que enemos ol´umenes ini os de ipo a is a ( e [5]). El
olumen de ipo a is a lo podemos esc ibi como Vi=Ti,1∪Ti,2∪Ti,3∪Ti,4, donde Ti,k,
k= 1,2,3,4, son i´angulos ( e Figu a 2) de inidos po Ci(pun o medio de la a is a
sob e la que se cons uye el olumen ini o de ipo a is a) y las cua o a is as del olumen
de con ol. Sean bi,k,k= 1,2,3,4, los ba icen os de es os i´angulos, espec i amen e.
Figu a 2: T i´angulos que o man el olumen ini o de ipo a is a Vi.
Se conside a el siguien e ope ado de econs ucci´on Pi(x) de o den dos ( e [4]),
de inido como
Pi(x) = Wi+p(x),con p(x) = ∇Wi(x−Ni).(8)
donde ∇Wies una ap oximaci´on al menos de p ime o den del g adien e de la soluci´on
W(x), y Nial pun o de inido po : Ni=
4
X
k=1
|Ti,k|
|Vi|bi,k.
Si po ∇W|Tjdeno amos la es imaci´on del g adien e sob e Tj, se conside a la siguien e
ap oximaci´on, de segundo o den, del g adien e de la soluci´on en Ni( e [4]),
∇Wi≈
4
X
j=1 |Tj|∇W|Tj
4
X
j=1 |Tj|
.(9)
Es ecuen e que en la ap oximaci´on num´e ica de sis emas hipe b´olicos como los consi-
de ados en es e abajo, la soluci´on p esen e discon inuidades. A in de ob ene un ope ado
de econs ucci´on que ap oxime con o den dos la soluci´on en zonas egula es y que al
mismo iempo cap u e las egiones donde W(x) sea discon inua sin in oduci oscilaciones,
es necesa io modi ica el ope ado de econs ucci´on (8), usando pa a ello una unci´on
limi ado a de pendien e ( e de alles en [4]).
5

M.J. Cas o D´ıaz, E.D. Fe n´andez Nie o, A.M. Fe ei o Fe ei o
5. Simulaci´on bidimensional de la e oluci´on de una duna de
a ena c´onica
El siguien e es ( e [6]) es udia el compo amien o de la e oluci´on de una duna de
a ena c´onica en un canal de dimensiones 1000 m×1000 m. Las condiciones iniciales son
( e Figu a 3),
h(x, y, 0) = 10,1−zb(x, y, 0), qx(x, y, 0) = 10, qy(x, y, 0) = 0;
y la capa inicial de sedimen o es una duna de a ena con o ma c´onica,
zb(x, y, 0) = 




0,1 + sin2π(x−300)
200 sin2π(y−400)
200 si 300 ≤x≤500,
400 ≤y≤600,
0,1 en o o caso.
En p ime luga , es udiamos la e oluci´on de la capa de sedimen os al modeliza el
a as e median e la ´o mula de G ass (3), pa a ello empleamos el esquema num´e ico (7)
con econs ucciones de es ado ipo MUSCL. Conside amos una in e acci´on d´ebil en e
el luido y la capa de sedimen os, en conc e o, imponemos Ag= 0,001. La po osidad del
sedimen o se ha omado igual a 0,4. La condici´on CFL es igual a 0,8. Empleamos una malla
de 7600 ol´umenes ini os de ipo a is a. Se imponen el caudal q= (10,0) y el espeso de
la capa de sedimen os zb= 0,1 en la on e a co espondien e a la ec a x= 0 y condici´on
de salida lib e en la con enida en la ec a x= 1000. En las pa edes la e ales se impone la
condici´on de deslizamien o q·η= 0 ( e Figu a 3). Con es os da os se deja e oluciona el
expe imen o has a 100 ho as.
(a) Vis a desde a iba. (b) Vis a la e al.
Figu a 3: Condici´on inicial.
En la Figu a 5 se mues an dis in os ins an es de la e oluci´on de la capa de sedimen os.
Se obse a como la capa de sedimen os se de o ma g adualmen e hacia un pa ´on con o ma
de es ella, expandi´endose a lo la go del iempo con un cie o ´angulo ( e [6]). De V iend
ob iene en [3] una ap oximaci´on anal´ı ica del ´angulo, asumiendo que la in e acci´on de la
6
Esquemas 2D de al o o den pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os
Figu a 4: Es imaci´on del ´angulo de expansi´on (empleando 20 cu as de ni el).
capa de sedimen os y el luido es len a, es o es, Ag<0,01. La ap oximaci´on anal´ı ica
de dicho ´angulo de expansi´on iene dada po , an α=3√3(mg−1)
9mg−1,po lo que, pa a
mg= 3 el alo de dicho ´angulo de expansi´on es: α= an−1 3√3
13 != 21,786789o.En la
Figu a 4 se p esen a el ´angulo de expansi´on es imado al compa a di e en es ins an es en
la e oluci´on de la duna de a ena. El ´angulo es imado es ap oximadamen e 23o.
Ag adecimien os
Es e abajo ha sido pa cialmen e inanciado po los p oyec os de in es igaci´on MTM2006-
08075 y MTM2006-01275, inanciados po el Gobie no Espa˜nol.
Re e encias
[1] B. Van Lee . MUSCL. A new app oach o nume ical gas dynamics. Compu ing in plasma physics
and as ophysics, Max-Planck-Ins i u u plama physik.. Ca chung, Ge many, Ap il 1976.
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[3] H.J. De V iend. 2DH Ma hema ical Modelling o Mo phological E olu ions in Shallow Wa e Coas al
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[4] A.M. Fe ei o Fe ei o. Desa ollo de ´ecnicas de pos -p oceso de lujos hid odin´amicos, modelizaci´on
de p oblemas de anspo e de sedimen os y simulaci´on num´e ica median e ´ecnicas de ol´umenes
ini os. Tesis Doc o al. Uni e sidad de Se illa. 2006.
[5] J.A. Ga c´ıa Rod ´ıguez. Pa alelizaci´on de esquemas de ol´umenes ini os: aplicaci´on a la esoluci´on
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[6] J. Hudson. Nume ical echnics o mo phodynamic modelling. Tesis doc o al. Uni e si y o Whi eknigh s,
2001.
[7] C. Pa ´es, M.J. Cas o. On he well-balanced p ope y o Roe’s me hod o nonconse a i e hype bolic
sys ems. Applica ions o shallow wa e sys ems. ESAIM: M2AN 38(5): 821-852, 2004.
7
M.J. Cas o D´ıaz, E.D. Fe n´andez Nie o, A.M. Fe ei o Fe ei o
(a) 0 seg. (b) 75000 seg.
(c) 95000 seg (d) 185000 seg
(e) 260000 seg ( ) 360000 seg
Figu a 5: E oluci´on de la capa de sedimen os en di e en es ins an es. Vis a de las cu as
de ni el (20 cu as de ni el).
8