Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand

Vol. XVI, No1, Junio (2008) Matemáticas: 11–22 Matemáticas: Enseñanza Universitaria c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand Antonio González Herrera Universidad de Sevilla Juan Núñez Valdés Universidad de Sevilla Recibido Abr. 18, 2007 Aceptado Dic. 14, 2007 Abstract This paper deals with Bertrand curves. Some proofs of its main properties simplifying the habitual ones are shown. Some concepts of previous papers by several authors, relating Bertrand curves with other different types of curves and with some surfaces, are also improved. Keywords: Bertrand curves, Ruled surfaces, Minimal Surfaces. MSC(2000): 53A04, 53A05, 53A10. Resumen El estudio de las curvas de Bertrand constituye el objetivo principal del presente trabajo. En el mismo, se dan demostraciones de algunas de sus propiedades, que simplifican a las ya existentes, y se continúan trabajos previos de otros autores, que relacionan este tipo de curvas con otros tipos diferentes de curvas, particularmente las hélices, y con otras superficies, particularmente las regladas. Palabras y frases claves: Curvas de Bertrand, Superficies regladas, Superficies mínimas. Introducción El problema de encontrar una curva cuyas rectas normales principales fueran también las rectas normales principales de otra curva diferente fue, al menos, aparentemente, propuesto por el matemático francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (Seine-et-Marne, 1797 - Loir-et-Cher, 1886), aunque fue finalmente resuelto por el también matemático francés Joseph Louis François Bertrand (París 1822 - París 1900), en 1850, en su libro titulado Traité élémentaire d’algèbre, destinado curiosamente a alumnos de enseñanza secundaria. Por esta razón, a estas curvas se les denomina actualmente como curvas de Bertrand, precisamente en honor de este último. No obstante, estas curvas no suelen estar suficientemente tratadas en los textos usuales de Geometría Diferencial, a pesar de tener, como se verá en lo que sigue, una profunda relación tanto con otros tipos de curvas como con determinadas superficies. Por otra parte, no son tampoco muy abundantes las aportaciones que existen en la literatura que traten sobre ellas. El objetivo principal de este trabajo que se presenta es entonces intentar paliar, al menos parcialmente, esta situación. Para ello, en la primera sección del mismo se recuerdan y se demuestran las principales propiedades de estas curvas, presentándose en algunos casos demostraciones diferentes de las habituales, que simplifican el procedimiento. Es conveniente indicar al respecto, que no es usual encontrar las demostraciones de estas 12 A. González y J. Núñez propiedades en los textos más conocidos de Geometría Diferencial, en los que, en su mayoría, únicamente aparece la definición de estas curvas, mientras que sus propiedades únicamente aparecen como ejercicios a resolver por el lector, no resultando estas resoluciones, por lo general, triviales. En la segunda sección se comenta un método de construcción de este tipo de curvas a partir de las curvas esféricas, utilizándose para ello la base de Sabban tampoco excesivamente habitual en los textos de esa disciplina. Esta construcción está basada en un trabajo previo de Kasap (véanse [5, 6]) y en otros trabajos previos de varios autores, como pueden ser Izumiya y Takeuchi, y Osman, Handan y Mahmut. Los dos primeros relacionan este tipo de curvas con otros tipos diferentes, como las curvas esféricas, las hélices, las curvas paralelas, las evolutas y las evolventes (véase [4]) y con las superficies regladas (véase [3]). Los tres últimos citados trabajan sobre superficies regladas en el espacio tridimensional de Minkowski (véase [7]). Finalmente, se utilizan en la última sección algunas propiedades de estas curvas, en particular su relación con las hélices circulares, para probar que el helicoide recto es, además del plano, la única superficie mínima, que es además reglada. En el trabajo se hace uso de las definiciones y resultados propios de un conocimiento elemental de la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Para una visión completa de los mismos, el lector puede consultar [2] o [1], por ejemplo. 1 Curvas de Bertrand En esta sección se recuerda la definición de curvas de Bertrand y se prueban sus propiedades más importantes. Algunas de las demostraciones que se muestran simplifican bastante las que en escasas ocasiones, por lo general, aparecen en algunos textos de Geometría Diferencial. Definición 1.1. Una curva parametrizada regular (no necesariamente por la longitud de arco) α:I−→ R3,α=α(t), con k(t)6= 0 yτ(t)6= 0,t∈I, se dice curva de Bertrand si existe una curva regular β:I−→ R3,β=β(t), de forma que las normales de αyβen t∈Ison iguales. En este caso, se dice que βes una representación de Bertrand (o curva asociada) de α, y se puede escribir: β(t) = α(t) + unα(t). Las propiedades más conocidas de estas curvas de Bertrand son las siguientes: Proposición 1.2. La distancia entre puntos homólogos de dos curvas de Bertrand es constante. Demostración. Sea α:I→R3, α =α(s)una curva alabeada regular que supondremos parametrizada naturalmente. Si αes de Bertrand, existe para cada s∈I el homólogo del punto α(s), que designaremos por β(s). Como β(s)pertenece a la normal principal a αen α(s), tenemos que: β(s) = α(s) + u(s)nα(s)(1) Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand 13 donde u(s)denota, en valor absoluto, la distancia entre puntos homólogos. Tenemos así que βes una curva asociada a α. Para probar que la distancia entre puntos homólogos es constante veremos que la función u(s)es constante, para ello comprobaremos que u0(s) = 0 ∀s∈I. Derivando en (1) y teniendo en cuenta las Ecuaciones de Frenet, se tienen: β0(s) = tα(s) + u0(s)nα(s) + u(s)˙ nα(s) =tα(s) + u0(s)nα(s) + u(s)[−κα(s)tα(s) + τα(s)bα(s)] = [1 −u(s)κα(s)]tα(s) + u0(s)nα(s) + τα(s)u(s)bα(s)(2) Multiplicando ahora la expresión (2) por nα(s)y teniendo en cuenta que dicho vector es proporcional a nβ(s), y por tanto ortogonal a β0(s), obtenemos: 0 = u0(s) =⇒u(s)constante. Nótese que es necesario exigir la condición de ser αuna curva alabeada (es decir, τ(t)6= 0 con t∈I) en la Definición 1 para que se garantice la dependencia continua de puntos homólogos, ya que en caso de no contemplarse esta exigencia, la proposición anterior no sería válida. Como ejemplo de esto que decimos, bastaría tomar como curva αmedia circunferencia centrada en el origen y como curva β una curva conexa que fuese la unión de varios trozos de circunferencias centradas también en el origen, cada uno de esos trozos con diferente radio, y de otras curvas que conectasen entre sí esos trozos. Proposición 1.3. El ángulo que forman las tangentes en puntos homólogos de dos curvas de Bertrand es constante. Demostración. Sea α:I→R3,α=α(s)una curva alabeada regular parametrizada naturalmente (en adelante, CARPN). Si suponemos que αes de Bertrand, tenemos que existe otra curva β:I0→R3,β=β(σ)(que también supondremos parametrizada naturalmente) verificando que para cada s∈Iexiste σ∈I0 tal que nα(s) = ±nβ(σ). Sean α(s0)yβ(σ0)dos puntos homólogos. Se probará que el ángulo que forman los vectores tα(s0)ytβ(σ0)es constante viendo que el producto escalar de dichos vectores es constante, y ello se hará probando que la derivada de tal producto es nula: d ds(tα(s0)·tβ(σ0)) = dtα(s0) ds tβ(σ0) + tα(s0)dtβ(σ0) ds =κα(s0)nα(s0)tβ(σ0) + tα(so)dtβ(σ0) dσ dσ ds σ=σ0 =κα(s0)nα(s0)tβ(σ0) + dσ ds σ=σ0 κβ(σ0)tα(s0)nβ(σ0) 14 A. González y J. Núñez Ahora bien, por ser α(s0)yβ(σ0)puntos homólogos, los vectores nα(s0)ynβ(σ0) son proporcionales, y por ello tα(s0)⊥nα(s0)knβ(σ0)y lo mismo para tβ(σ0), de donde si sigue el resultado. Corolario 1.4. Dadas dos curvas de Bertrand (asociadas), el ángulo que forman los planos osculadores en puntos homólogos es constante. Demostración. Por la proposición anterior, sabemos que el ángulo que forman los vectores tangentes a las curvas en puntos homólogos es constante, pero además, por la definición de curva de Bertrand, sabemos que el ángulo que forman los vectores normales principales también es constante, pudiendo valer 0 o π(nα=±nβ). Como el vector binormal viene determinado unívocamente por los vectores tangente y normal principal, tenemos que los vectores binormales, en puntos homólogos, forman un ángulo constante, por lo que los planos osculadores (caracterizados por dicho vector) forman un ángulo constante. Teorema 1.5 (Teorema de Caracterización de curvas de Bertrand).Una curva con funciones de torsión y curvatura no nulas en cada punto es de Bertrand si y sólo si existe una relación lineal entre dichas funciones. Demostración de la condición necesaria. Sea α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN que, por hipótesis, suponemos de Bertrand. Como vimos en la demostración de la proposición 1, una curva asociada a αes de la forma β(s) = α(s) + unα(s). Si σes el parámetro natural de β, tenemos que: tβ(σ)tα(s) = dβ(σ) dσ tα(s) = dβ(s) ds ds dσtα(s) = ds dσ(1 −uκα(s)) = cos θ que es constante para ciertos syσ. Por otra parte |sen θ|=|tβ(σ)∧tα(s)| = ds dσ[(1 −uκα(s))tα(s)−uτα(s)bα(s)] ∧tα(s)]= ds dσuτα(s) Como suponemos τα6= 0, llamando A=1−uκα(s) uτα(s)≡cte, obtenemos de las dos relaciones anteriores que: 1−uκα(s) uτα(s)=A u=⇒uκα(s) + Aτα(s)=1. Obtenemos así, una relación lineal entre torsión y curvartura. Demostración de la condición suficiente. Dada la curva α:I−→ R3,α=α(s) CARPN, suponemos que existe una relación lineal entre sus funciones de curvatura y torsión: Aκα(s) + Bτα(s) = 1. Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand 15 Sea β:I−→ R3,β=β(s)dada por la expresión β(s) = α(s) + Anα(s). Veremos que esta curva es asociada a αy que por tanto αes de Bertrand. Para ello será suficiente ver que el vector nα(s)es proporcional a nβ(s). Se trata pues de comprobar que nα(s)es ortogonal a los vectores β0(s)yβ0(s)∧β00(s). Puesto que el vector β0(s)viene dado por: β0(s) = [1 −Aκα(s)]tα(s) + Aτα(s)bα(s) es obvio que éste es perpendicular a nα(s). Si además usamos la relación de la que partimos por hipótesis, obtenemos: β0(s) = τα(s)[Btα(s) + Abα(s)] y por derivación: β00(s) = τ0 α(s)[Btα(s) + Abα(s)] + τα(s)[Bκα(s)−Aτα(s)]nα(s). Para ver que nα(s)⊥(β0(s)∧β00(s)) observamos que: (nα(s)β0β00) =  0 1 0 τα(s)B0τα(s)A τ0 α(s)B τα(s)[Bκα(s)−Aτα(s)] Aτ0 α(s) = 0, lo que prueba el aserto.  Corolario 1.6. Sea αuna curva con torsión y curvatura no nulas. Son equivalentes: a) αes una hélice circular. b) αposee infinitas curvas asociadas. c) α posee dos curvas asociadas. Demostración. a=⇒bSuponemos que la curva α=α(s)es una hélice circular, por lo que κα(s) = κ0yτα(s) = τ0. Para cada uque tomemos existe un B6= 0 tal que uκ0+Bτ0= 1. Por tanto, el teorema de caracterización nos asegura la existencia de infinitas curvas asociadas a α. b=⇒cTrivial. c=⇒aSupongamos que existen dos curvas distintas asociadas a αdadas por: β(s) = α(s) + unα(s), γ(s) = α(s) + u0nα(s) Por tanto, por el teorema de caracterización, tenemos que existen ByB0, unívocamente determinados por uyu0respectivamente, que verifican: uκα(s) + Bτα(s) = 1, u0κα(s) + B0τα(s)=1. Derivando el sistema anterior se obtiene: uκ0 α(s) + Bτ0 α(s) = 1, u0κ0 α(s) + B0τ0 α(s)=1. 16 A. González y J. Núñez Entonces, como β(s)es distinta de γ(s),u6=u0y por tanto B6=B0, de donde se deduce que tanto κ0 α(s)como τ0 α(s)son nulos y por tanto κα(s)yτα(s)son constantes, hecho que caracteriza a las hélices circulares. Proposición 1.7. Toda curva plana es de Bertrand y posee infinitas curvas asociadas. Demostración. Procedemos del mismo modo que en la condición suficiente del teorema de caracterización. Dada α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN cuya función de torsión es nula en todo punto, definimos la curva β=β(s)como: β(s) = α(s) + unα(s) siendo uconstante. Comprobaremos ahora que para cualquiera que sea el valor de u, la curva β es asociada a α. Para ello veremos que el vector nα(s)es ortogonal a β0(s)y a β0(s)∧β00(s). Lo primero es obvio, pues β0(s) = [1−uκα(s)]tα(s)por ser τα(s)=0 ∀s∈I. Si ahora derivamos β0(s)tenemos: β00(s) = −uκ0 α(s)tα(s) + κα(s)[1 −uκα(s)]nα(s). Finalmente, es inmediato comprobar que β0(s)∧β00(s)es ortogonal a nα(s)viendo que el producto mixto (nα(s)β0(s)β00(s)) es nulo. Por tanto, para cada valor de uobtenemos una curva asociada a αy por tanto, ésta es de Bertrand. Teorema 1.8 (Teorema de Schell).El producto de las torsiones de dos curvas de Bertrand en puntos homólogos, es constante y no negativo. Demostración. Sea α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN. Como suponemos que αes de Bertrand, existe un escalar Atal que la curva β(s) = α(s) + Anα(s)es asociada a α. Para ver que τα(s)τβ(s)es constante, calculamos la expresión de τβ(s). Podemos suponer desde el principio que τα(s)6= 0, ya que en caso contrario el teorema se verifica trivialmente, puesto que τατβ= 0 es constante y no negativo. Si suponemos τα(s)6= 0, podemos aplicar la condición necesaria del teorema de caracterización, y entonces tenemos la relación Aκα(s) + Bτα(s)=1,para un cierto Bno nulo. Busquemos entonces la expresión de τβ: β0=τα[Btα+Abα], β00 =τ0 α[Btα+Abα] + τα[Bκα−Aτα]nα β000 = [τ00 αB−κατα(Bκα−Aτα)]tα + [2τ0 αBκα−3Aτατ0 α+Bκ0 ατα]nα + [Aτ00 α+τ2 α(Bκα−Aτα)]bα Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand 17 β0∧β00 =τ2 αB[Bκα−Aτα]bα−τ2 αA[Bκα−Aτα]tα kβ0∧β00k2=τ4 α[Bκα−Aτα]2[B2+A2] {β0, β00, β000}={β000, β0, β00}=β000(β0∧β00) =−Aτ2 α(Bκα−Aτα)[τ00 αB−κατα(Bκα−Aτα)] =Bτ2 α(Bκα−Aτα)[τ00 αA−τ2 α(Bκα−Aτα)] Por tanto: τβ={β0, β00, β000} kβ0∧β00k2=−A(τ00 αB−κατα(Bκα−Aτ) + B(Aτ00 α+τ2 α(Bκα−Aτα) τ2 α(Bκα−Aτα)(A2+B2) =τα 1 z }| { (Aκα+Bτα)(Bκα−Aτ) τ2 α(Bκα−Aτα)(A2+B2)=1 τα 1 (A2+B2) Por tanto τατβ=1 A2+B2, que es constante y no negativo. Corolario 1.9. El signo de las torsiones de dos curvas asociadas es el mismo. Demostración. Inmediata, en virtud del Teorema de Schell. 2 Método para construir curvas de Bertrand El objetivo de este apartado es mostrar un método, ideado por Kasap y Kuruoglu [6], que permite construir curvas de Bertrand a partir de curvas esféricas, así como demostrar que toda curva de Bertrand puede obtenerse por este método. Comenzamos recordando algunas definiciones ya conocidas e introduciendo otras más novedosas: Definición 2.1. Se denomina curva esférica a toda curva alabeada contenida enteramente en una superficie esférica (que coincide con la esfera osculatriz a la curva en todo punto). Normalmente, al tratarse las curvas esféricas de curvas alabeadas, podría usarse la base de Frenet {t,n,b}, Sin embargo, en el caso particular de estas curvas, puede suponerse sin pérdida de generalidad que el radio de la superficie esférica es la unidad, por lo que el vector de posición de cada punto será módulo 1 y ortogonal al vector tangente. Esta propiedad nos sirve para definir una nueva base según: Definición 2.2. Sea γ:I−→ S2una curva esférica paramerizada por la longitud de arco σ. Sea t(σ) = ˙γ(σ)y definamos el vector s(σ)como s(σ) = γ(σ)∧t(σ). Se define la base o triedro de Sabban en cada punto de γcomo {γ(σ),t(σ),s(σ)}, que es claramente ortonormal (véase [8]). 18 A. González y J. Núñez Una vez obtenida la base de Sabban podemos derivar sus componentes, obteniéndose así unas ecuaciones similares a las de Frenet-Serret para curvas esféricas. Teorema 2.3. En las condiciones de la definición anterior, se tienen:    ˙γ=t, ˙ t=−γ+κgs, ˙ s=−κgt, donde κgdenota la curvatura geodésica de γen S2. Demostración. Por una parte, se tienen: kγk= 1 =⇒γ˙γ= 0 Derivando =⇒γ¨γ=−1.k˙γk= 1 =⇒˙γ¨γ= 0.κg= {˙γ, ¨γ, γ}={¨γ, γ, ˙γ}= ¨γ(γ∧˙γ) = ¨γs. 1) Por definición, ˙γ=t. 2) Como queremos expresar el vector ˙ ten función de la base de Sabban, imponemos que ˙ t=λγ +µt+νsy multiplicamos la expresión por γ,tysrespectivamente, obteniéndose: λ=˙ tγ= ¨γγ =−1, µ =˙ tt = ¨γ˙γ= 0, ν =˙ ts = ¨γs=κg. Por tanto, ˙ t=−γ+κgs. 3) Por definición, s=γ∧t, por lo que: ˙ s=˙ (γ∧t) = ˙γ∧t+γ∧˙ t=t∧t+γ∧(−γ+κgs) = κgγ∧s=−κgs∧γ=−κgt Centrándonos ya en nuestro objetivo, vamos a encontrar, dada una curva esférica, una curva que sea de Bertrand, y después probaremos que toda curva de Bertrand puede hallarse a partir de este procedimiento. Proposición 2.4. Sea γ:I−→ S2una CARPN esférica con parámetro natural σ. Se define la curva ˜γsegún: ˜γ(σ) = aZσ σ0 γ(τ)dτ +acot θZσ σ0 s(τ)dτ +c donde ayθson constantes reales y ces una constante vectorial. Entonces, en estas condiciones, la curva ˜γes de Bertrand. Demostración. Probaremos el resultado calculando las funciones de curvatura y torsión de la curva ˜γy comprobando que existe una relación de dependencia lineal entre ambas. ˜γ0=a(γ+ cot θs)−→ k˜γ0k=pa2+a2cot2θ=ra2 sen2θ ˜γ00 =a˙γ+acot θ˙ s=a(1 −cot θκg)t ˜γ000 =−acot θ˙κgt+a(1 −cot θκg)(−γ+κgs) Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand 19 ˜γ0∧˜γ00 =a2(1 −cot θκg)s+a2cot2θ(cot θ−1)γ k˜γ0∧˜γ00k2=a4(1 −cot θκg)2(1 + cot2θ) = a4(1 −cot θκg)2 sen2θ k˜γ0k3=εa3 sen3θdonde ε=±1 {˜γ0,˜γ00,˜γ000}= a0acot θ 0a(1 −cot θκg) 0 −a(1 −cot θκg)−acot θ˙κga(1 −cot θκg)κg =a3(1 −cot θκg)2κg+a3(1 −cot θκg)2cot θ =a3(1 −cot θκg)2(κg+ cot θ) Aplicando ahora las fórmulas para la curvatura y la torsión en función de cualquier parámetro, se tienen: ˜κ=k˜γ0∧˜γ00k k˜γ0k3=εsen2θ(1 −κgcot θ) a˜τ={˜γ0,˜γ00,˜γ000} k˜γ0∧˜γ00k2=sen2θ(κg+ cot θ) a. De las expresiones anteriores se sigue que a(ε˜κ+cot θ˜τ)=1y por tanto, ˜γes una curva de Bertrand. Teorema 2.5. Toda curva de Bertrand puede construirse a partir de una curva esférica siguiendo el método descrito en la proposición anterior. Demostración. Si ˜γ:I−→ R3,˜γ= ˜γ(s)una CARPN es de Bertrand, el teorema de caracterización nos asegura la existencia de dos números reales no nulos A y B tales que A˜κ(s) + B˜τ(s) = 1. Tomamos a=Aycot θ=B/a. Sabemos, por la demostración del teorema de caracterización, que A≥0, por lo que suponemos a > 0y escogemos ε=±1tal que εsen θ a>0. En base a lo anterior, definimos entonces la curva esférica: γ(s) = ε(sen θ˜ t(s)−cosθ˜ b(s)). Demostraremos que ˜γ(s)es una curva de Bertrand correspondiente a γ(s)mediante el método descrito antes: γ0(s) = ε(sen θ˜κ(s) + cosθ˜τ(s))˜ n(s) = εsen θ a˜ n(s); kγ0(s)k=εsen θ a Si denotamos por σal parámetro natural de γ, obtenemos dσ ds =εsen θ a. Por otra parte: aγ(s)dσ ds =aε(sen θ˜ t(s)−cosθ˜ b(s))εsen θ a= sen θ(sen θ˜ t(s)−cosθ˜ b(s))