Introducción a los Modelos de Ecuaciones Estructurales
Abstract
Los modelos de ecuaciones estructurales (en adelante SEM1) son una técnica estadística cuantitativa multivariante que tiene como objetivo principal describir la relación existente entre una serie de variables observables y otras no observables denominadas variables latentes. Esta técnica es muy utilizada en diversos campos, principalmente en ciencias sociales como la psicología. En este trabajo, se tratarán de exponer los fundamentos que caracterizan a los SEM y se mostrarán algunas aplicaciones mediante el uso del software estadístico R. Para ello, el trabajo se ha dividido en cuatro bloques o capítulos. En el primer capítulo se describirá de manera breve en qué consisten este tipo de modelos, además de explicar el contexto en el que surgen e introducir algunos conceptos importantes para su formulación. También se describen de forma breve los tipos de SEM que existen. En el segundo capítulo, se detallarán los pasos necesarios para la construcción de un modelo SEM, partiendo de la comprobación de las hipótesis previas que deben darse para ello, y finalizando con la evaluación del modelo y la obtención de conclusiones. El tercer capítulo está dedicado a la aplicación práctica de los SEM mediante el uso del software R sobre dos conjuntos de datos. El primero de ellos trata sobre la expansión de la democracia y la industrialización en países en vías de desarrollo. En el segundo caso práctico se muestra la aplicación de los modelos SEM sobre un conjunto de datos cuyas observaciones están divididas en grupos o clusters. Finalmente, el cuarto capítulo contiene las conclusiones, donde se hace balance de los principales resultados, tanto teóricos como prácticos, que se han obtenido a raíz de la realización de este trabajo.
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Grado en Estadística TRABAJO FIN DE GRADO Introducción a los Modelos de Ecuaciones Estructurales Enrique Pérez Jiménez Sevilla, Junio de 2023
Índice general Prólogo ....................................... iii Resumen....................................... v Abstract....................................... vi ÍndicedeFiguras.................................. vii ÍndicedeTablas................................... ix 1. Introducción 1 1.1. Motivación y origen de los SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. OrigendelosSEM .......................... 2 1.1.2. Causalidad y relación causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. TiposdeSEM............................. 4 1.2. FundamentosdelosSEM........................... 5 1.2.1. Tipos de variables en los SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Representación gráfica de los SEM: Diagramas de caminos . . . . 6 1.2.3. Otras relaciones entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Construcción y evaluación de los SEM 9 2.1. Hipótesisprevias ............................... 9 2.1.1. Normalidad .............................. 9 2.1.2. Tamaño de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Construcción de los SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1. Especificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2. Identificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Estimación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4. Evaluación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.5. Reespecificación del modelo y obtención de conclusiones . . . . . 30 i
3. Casos prácticos 33 3.1. Conjunto de datos PoliticalDemocracy ................... 33 3.1.1. Análisis Descriptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2. Comprobación de hipótesis previas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3. Análisis de correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.4. Construcción y evaluación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Conjunto de datos Demo.twolevel ...................... 42 3.2.1. Análisis descriptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2. Comprobación de hipótesis previas . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3. Análisis de correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.4. Construcción y evaluación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Conclusiones 53 A. Apéndice: Hipótesis previas 55 A.1. Conjunto de datos politicalDemocracy .................... 55 A.1.1. Normalidad univariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.1.2. Matriz de correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 A.2. Conjunto de datos Demo.twolevel ...................... 59 A.2.1. Normalidad univariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.2.2. Matriz de correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 B. Apéndice: Código empleado 63 B.1. Conjunto de datos PoliticalDemocracy ................... 63 B.2. Conjunto de datos Demo.twolevel ...................... 68 Bibliografía 76 ii
Prólogo Cuando empecé a plantearme posibles temas sobre los que realizar mi TFG, tenía claro que debía ser alguno que permitiera una gran aplicación práctica con la que analizar y buscar solución a problemas reales. Por este motivo, cuando uno de mis tutores me sugirió como posible tema la modelización mediante ecuaciones estructurales y comencé a investigar un poco sobre ello, supe que podría ser un tema adecuado e interesante, además de tener una amplia utilización en diversos campos y, en particular, en ciencias sociales como la psicología, un área que siempre me ha resultado interesante. Para finalizar este escrito me gustaría agradecer y dedicar este trabajo a mi familia por su paciencia y confianza, así como a todos los compañeros que de igual forma me han brindado su apoyo y ayuda en estos meses de trabajo. Por supuesto agradecer a mis tutores, D. José Luis Pino Mejías y D. Joaquín Antonio García de las Heras, por su predisposición, ayuda y orientación en la realización de este trabajo. Finalmente, agradecer también al profesor D. Pedro Luis Luque Calvo, por la realización de la plantilla basada en R Markdown con la que se ha construido este documento, y que ha sido de gran utilidad al permitir ahorrar tiempo y esfuerzo en infinidad de aspectos técnicos y estéticos. iii
Resumen Los modelos de ecuaciones estructurales (en adelante SEM1) son una técnica estadística cuantitativa multivariante que tiene como objetivo principal describir la relación existente entre una serie de variables observables y otras no observables denominadas variables latentes. Esta técnica es muy utilizada en diversos campos, principalmente en ciencias sociales como la psicología. En este trabajo, se tratarán de exponer los fundamentos que caracterizan a los SEM y se mostrarán algunas aplicaciones mediante el uso del software estadístico R. Para ello, el trabajo se ha dividido en cuatro bloques o capítulos. En el primer capítulo se describirá de manera breve en qué consisten este tipo de modelos, además de explicar el contexto en el que surgen e introducir algunos conceptos importantes para su formulación. También se describen de forma breve los tipos de SEM que existen. En el segundo capítulo, se detallarán los pasos necesarios para la construcción de un modelo SEM, partiendo de la comprobación de las hipótesis previas que deben darse para ello, y finalizando con la evaluación del modelo y la obtención de conclusiones. El tercer capítulo está dedicado a la aplicación práctica de los SEM mediante el uso del software R sobre dos conjuntos de datos. El primero de ellos trata sobre la expansión de la democracia y la industrialización en países en vías de desarrollo. En el segundo caso práctico se muestra la aplicación de los modelos SEM sobre un conjunto de datos cuyas observaciones están divididas en grupos o clusters. Finalmente, el cuarto capítulo contiene las conclusiones, donde se hace balance de los principales resultados, tanto teóricos como prácticos, que se han obtenido a raíz de la realización de este trabajo. 1De sus siglas en inglés: Structural Equation Models v
Abstract Structural Equation Modeling (SEM) is a multivariate quantitative statistical technique whose main objective is to describe causal relationships between observable and unobservable variables, which are called latent variables. This technique is widely used in many areas, mainly in social sciences such as psychology. In this work, we will try to explain the fundamentals that characterize the SEM and some applications will be shown by using the R statistical software. For this purpose, the work has been divided into four blocks or chapters. The first chapter will briefly describe what this type of modeling consists of, as well as explaining the context in which they arise and introducing some important concepts for their formulation. The types of SEM that we can found will also be briefly described. In the second chapter, the necessary steps for the construction of a SEM model will be detailed, starting with the verification of the previous hypotheses that must be given for this purpose, and ending with the evaluation of the model and the drawing of conclusions. The third chapter is focused on the practical application of SEM using R software on two datasets. The first one is about the expansion of democracy and industrialization in developing countries. The second practical case shows the application of SEM models on a dataset whose observations are divided into clusters. Finally, the fourth chapter is devoted to conclusions, which take stock of the main results, both theoretical and practical, that have been obtained as a result of this work. vi
Índice de figuras 1.1. Ejemplo de Path Diagram. Fuente: Structural Equations with Latent Variables.BollenKA,1989 ........................... 3 1.2. Notación básica: diagramas de caminos. Fuente: Elaboración propia . . . 7 3.1. Distibución por medias muestrales de las variables bajo estudio. PoliticalDemocracy .................................. 35 3.2. Path Diagram del modelo estudiado. PoliticalDemocracy . . . . . . . . . 40 3.3. Distibución por medias muestrales de las variables bajo estudio. Demo.twolevel .................................. 44 3.4. Path Diagram del modelo SEM multinivel . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.1. Gráficos Cuantil-Cuantil de las variables bajo estudio. PoliticalDemocracy 56 A.2. Histogramas de las variables bajo estudio. PoliticalDemocracy . . . . . . 57 A.3. Matriz de correlaciones. PoliticalDemocracy . . . . . . . . . . . . . . . . 58 A.4. Gráficos Cuantil-Cuantil de las variables bajo estudio. Demo.twolevel . . 60 A.5. Histogramas de las variables bajo estudio. Demo.twolevel . . . . . . . . . 61 A.6. Matriz de correlaciones. Demo.twolevel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 vii
1.1. MOTIVACIÓN Y ORIGEN DE LOS SEM Para concluir este breve repaso histórico podemos decir que durante la década de los noventa hasta principios de siglo, son muchos los investigadores que han seguido estudiando el campo de los SEM, logrando avances significativos, tanto desde el punto de vista estadístico como computacional. 1.1.2. Causalidad y relación causal Como se ha mencionado anteriormente, los SEM estudian relaciones causales entre variables observadas y variables latentes. Sin embargo, no resulta fácil dar una definición clara del concepto causalidad. Aún así, sí que podemos definir con cierta precisión el concepto de relación causal entre variables. Debemos tener en cuenta que este concepto y el de correlación no tienen una relación bicondicional, es decir, la correlación entre dos variables no implica necesariamente la existencia de una relación causal entre ambas. Partiendo de esta base, podemos dar la siguiente definición: Definición 1.1: Se dirá que existe una relación causal entre dos o más variables cuando además de la existencia de correlación, todo cambio en una variable suponga un efecto en la otra. Si tomamos como partida dos variables aleatorias x1ex2, podemos representar el efecto causal de x1sobre x2mediante la siguiente expresión: x2=ϕ12x1+ζ, (1.5) siendo ϕ125la influencia esperada de x1sobre x2yζuna perturbación de origen desconocido y de la que se supone E(ζ)=0 1.1.3. Tipos de SEM Llegados a este punto, y para cerrar este capítulo de introducción, vamos a resumir a continuación los tipos de SEM que podemos encontrar y que, fundamentalmente, se diferencian en la tipología de las variables que intervienen en ellos, las cuales se definirán en capítulos posteriores. Path analysis, o modelos de variables observadas. Como su propio nombre indica, son aquellos formados únicamente por variables observadas, es decir, no cuentan con variables latentes. Estos modelos suponen una generalización de los modelos de regresión múltiple y por tanto consideran que existe un único flujo de causalidad unidireccional. Además, suponen máxima fiabilidad en la medición de las variables y por tanto asumen la no existencia de errores de medición. Cuentan con una representación gráfica llamada path diagrams, mencionada anteriormente y ejemplificada en la Figura 1.1 Análisis factorial. Busca explicar la estructura de covarianzas entre distintas variables en términos del menor número de variables posibles. Podemos distinguir dos tipos de modelos de análisis factorial: análisis factorial exploratorio, cuyo objetivo 5Correspondiendo el primer subíndice a la variable causa y el segundo a la variable efecto. 4CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
1.2. FUNDAMENTOS DE LOS SEM es hallar precisamente esa estructura de covarianzas entre variables, y análisis factorial confirmatorio, que como su nombre indica, busca confirmar una estructura de covarianzas hallada previamente. Modelo estructural general. Constituye una generalización de los dos tipos anteriores, estudiando relaciones causales entre variables observadas y latentes, además de las relaciones entre las propias variables latentes. 1.2. Fundamentos de los SEM Antes de detallar los procedimientos propios de la construcción y análisis de datos mediante SEM, es conveniente definir algunos conceptos clave a la hora de estudiar estos modelos, así como fijar y describir de antemano cuál será la notación utilizada para referirse a los distintos componentes del modelo, a fin de evitar confusiones posteriormente. En este caso, la notación que se empleará tanto en este capítulo como en los posteriores, será la introducida por Jöreskog, Wiley y Keesling en los años setenta, y que posteriormente se popularizó a raíz de su uso en el programa LISREL, mencionado en el capítulo anterior. Por este motivo, esta notación es conocida también como notación LISREL. 1.2.1. Tipos de variables en los SEM Las variables presentes en los modelos de ecuaciones estructurales, pueden clasificarse en distintos tipos según su propia naturaleza, o según sus “interrelaciones” con otras variables, esto es, según si afectan y/o reciben efecto de otras variables. De este modo, podemos definir los siguientes tipos: Definición 1.2 Variable observada: Variables medidas en los individuos sobre un determinado fenómeno. Definición 1.3 Variable latente: Características o conceptos unidimensionales que serían interesantes de medir, pero que no son observables, y que por tanto no están sujetas a error de medición. También son llamadas factores o constructos. Definición 1.4 Variable error: Errores asociados a la medición de las variables, así como a la ausencia de otras en el modelo que pudieran suponer una perturbación en la medición de variables observadas. Al no ser medidas directamente, se consideran a su vez variables latentes. Por otro lado, si atendemos a las relaciones entre variables, podemos distinguir los siguientes tipos: Definición 1.5 Variable endógena: Variable que recibe efecto de otra variable del modelo. Un ejemplo sería la variable dependiente de un modelo de regresión. Van acompañadas del correspondiente error. Definición 1.6 Variable exógena: Variable que afecta a otras pero que no recibe efecto de ninguna otra variable del modelo. Un ejemplo son las variables explicativas de un modelo de regresión Lógicamente estas dos clasificaciones no son excluyentes, sino que las variables se identifican dentro de ambas. Es decir, una variable latente, por ejemplo, será a su vez endógena CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 5
1.2. FUNDAMENTOS DE LOS SEM o exógena, del mismo modo que cualquier variable endógena o exógena, estará al mismo tiempo dentro de alguno de los tipos descritos en la primera distinción. Estos distintos tipos de variables se denotarán de distinta forma, tanto al construir los modelos de forma analítica, como al representarlos gráficamente. Por este motivo, a continuación, vamos a hacer una síntesis de la notación6que se empleará en adelante en cada caso: Las variables observables endógenas se denotarán por y, mientras que las exógenas se denotarán por x. Las variables latentes endógenas se representarán como η, mientras que las exógenas se representarán como ξ. Los coeficientes γrepresentan el efecto directo de las variables latentes exógenas (ξ) sobre las variables latentes endógenas (η). Estos coeficientes están agrupados en una matriz denotada por Γ. Los coeficientes βrepresentan el efecto de las variables latentes endógenas (η) sobre las propias variables latentes endógenas. Estos coeficientes se agrupan en una matriz denotada por B. Los coeficientes ϕrepresentan las correlaciones entre variables latentes exógenas (ξ). Estos coeficientes se agrupan en una matriz denotada por Φ. Los coeficientes λrepresentan la relación de cada variable latente con sus indicadores (observables). Estos coeficientes se agrupan en dos matrices, ΛXoΛY, según el tipo de variable observable que corresponda. En el caso de los errores, para las variables observables, se utilizarán los coeficientes εyδpara referirse a los errores de medida asociados a variables endógenas y exógenas, respectivamente. Estos coeficientes se agrupan en las matrices ΘεyΘδ, respectivamente. Para las variables latentes, se emplearán los coeficientes ζpara denotar los errores asociados a variables endógenas. Estos coeficientes se agrupan en la matriz Ψ. Como se comentó anteriormente, las variables latentes exógenas no están sujetas a error de medición. Observación 1.1: Los distintos coeficientes aparecerán generalmente acompañados de ciertos subíndices que determinarán las variables que relacionan. Por ejemplo, γij, representará el efecto directo de la variable ξjsobre ηi, del mismo modo que ϕij representará la correlación entre las variables ξiyξj, etc. 1.2.2. Representación gráfica de los SEM: Diagramas de caminos Los diagramas de caminos o path diagrams, son una forma de representar los SEM, tanto sus variables, como las relaciones existentes entre ellas. Estos diagramas, también 6Siguiendo la conocida como notación LISREL, como se mencionó anteriormente 6CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
1.2. FUNDAMENTOS DE LOS SEM llamados diagramas de flujo, diagramas causales, gráficos de rutas, etc., pueden ser de gran ayuda, ya que a partir de ellos se pueden inferir las ecuaciones que forman el modelo. Para ello, se deben seguir una serie de convenciones fijas a la hora de representarlos: Las variables observables se representan dentro de rectángulos. Las variables latentes se representan dentro de óvalos o círculos. Los errores, ya sean de medición o de estimación, no se representan dentro de rectángulos ni de círculos, si bien es cierto que según el programa que se utilice pueden aparecer como variables latentes. Las relaciones bidireccionales, tanto correlaciones como covarianzas, se representan como vectores curvos con una flecha en cada extremo. Los efectos causales se representan como una flecha recta, con origen en la variable predictora (causa) y final en la variable dependiente (efecto). Los distintos parámetros del modelo se ubicarán encima de la flecha correspondiente. Figura 1.2: Notación básica: diagramas de caminos. Fuente: Elaboración propia En la Figura 1.2, se puede ver un resumen de la nomenclatura empleada en los path diagrams Una vez tratadas estas cuestiones de notación, es conveniente aclarar que, según las relaciones entre variables que estén presentes en el modelo estudiado, se pueden diferenciar dos subtipos: modelos no recursivos, que son aquellos en los que las relaciones causales son siempre directas, y los errores no están relacionados entre sí, y los recursivos, en los que pueden aparecer relaciones circulares y las perturbaciones pueden estar correlacionadas. 1.2.3. Otras relaciones entre variables Hasta ahora, hemos definido las relaciones causales directas entre variables y las relaciones bidireccionales, pero existen otros tipos de relación que no se han mencionado y que son importantes a la hora de representar un SEM, y obtener posteriormente su desarrollo de forma analítica: CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 7
1.2. FUNDAMENTOS DE LOS SEM Relación espuria: Involucra a tres variables. Se produce cuando, la covariación entre dos variables AyB, es debida en su totalidad o de forma parcial a la relación de ambas variables con una tercera C. Para ilustrar este concepto se propone el siguiente ejemplo: si medimos dos variables como inteligencia y estatura en preescolares, es probable que obtengamos una alta correlación. Sin embargo, hay una tercera variable (edad, desarrollo del niño) que es causa de las dos primeras y que produce esa relación. En este caso, la relación entre inteligencia y estatura sería una relación espuria. Relación causal indirecta: Se dice que existe una relación causal indirecta entre dos variables AyBcuando existe una tercera variable Cque modula o mediatiza el efecto entre ambas, de forma que el efecto entre la primera y la segunda pasa a través de la tercera. Podemos representarlo de la forma: A→C→B. Un ejemplo podría ser la relación entre aptitud y rendimiento en el ámbito del deporte, con una tercera variable que fuera motivación. Se diría que existe una relación causal indirecta entre aptitud y rendimiento y se representaría: Aptitud →Motivación →Rendimiento Efectos totales o conjuntos: Se produce con la combinación de las dos relaciones anteriores, siendo AyCvariables exógenas. Al no especificar el tipo de relación existente entre estas variables, no podemos saber si Cinfluye sobre la relación de AyBde forma espuria o de forma indirecta. 8CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2 Construcción y evaluación de los SEM 2.1. Hipótesis previas 2.1.1. Normalidad Como se verá en apartados posteriores, para poder llevar a cabo la estimación de los parámetros del modelo se emplean distintos métodos, siendo uno de los más frecuentes el método de la máxima verosimilitud. Por ello, para poder utilizar este método, es necesario que se satisfagan algunas condiciones o hipótesis que se deberán comprobar en los datos que se traten. Una de ellas es la distribución normal multivariante de las variables observadas del modelo: Definición 2.1: Se dice que una variable aleatoria k-dimensional X= (X1, . . . , Xk)t, sigue una distribución normal multivariante si su función de densidad conjunta viene dada por la expresión: fX(x1, . . . , xk) = 1 q(2π)k|Σ|exp−1 2(x−µ)tΣ−1(x−µ),conxi∈R∀i= 1, . . . , k (2.1) y donde µ= (µ1, . . . , µk)tcon µi∈R∀i= 1, . . . , k yΣes una matriz k×ksimétrica y definida positiva. Observación 2.1: Se puede demostrar que si una variable aleatoria k-dimensional X= (X1, . . . , Xk)t, sigue una distribución normal multivariante, cada uno de los Xi, i = 1, . . . , k sigue una distribución normal univariante. El recíproco no es cierto. En la práctica, para comprobar la normalidad de las variables observadas, disponemos de distintos tests como el de Kolmogorov-Smirnov o el de Shapiro-Wilk. Adicionalmente, resultará de utilidad realizar contrastes de asimetría y curtosis, como los propuestos por Mardia y que permitirán comprobar la normalidad multivariante de los datos. 9
2.1. HIPÓTESIS PREVIAS 2.1.2. Tamaño de la muestra La cuestión de cuál es el tamaño que debe tener la muestra con la que se trabaje para que las estimaciones obtenidas por el modelo y por tanto las conclusiones a las que se llegue sean lo suficientemente fiables es a menudo fuente de conflicto, no sólo en el campo de los SEM, sino en toda la estadística aplicada en general. Con frecuencia no se dispone de un único criterio acerca del número de casos idóneo a considerar y, según la fuente consultada, se pueden ver distintas sugerencias al respecto. En el caso de los SEM ocurre lo mismo, aunque no hay un único criterio referente al tamaño de la muestra con la que se trabaje, sí vamos hacer un breve resumen de las propuestas que se pueden encontrar en la literatura, dividiéndolas en tres grupos o apartados: Cantidad total de datos: En la mayoría de publicaciones se sugiere un tamaño mínimo de N= 200 casos (Catena et al., 2003; Hair et al., 2014; Stevens, 2009). Sin embargo, otros autores consideran que incluso ese tamaño puede resultar insuficiente si el modelo es muy complejo, no existe normalidad multivariante, o se utilizan ciertos tipos de estimación (Kline, 2011). Por otra parte, en algunos casos se añade que considerar tamaños muestrales muy superiores a 200, podría tener el inconveniente de generar modelos excesivamente sensibles. (Hair et al., 2014). Casos por parámetro: En este caso, la recomendación más extendida es trabajar con muestras con al menos 100 casos para modelos con cinco constructos o menos, cada uno de ellos con al menos tres indicadores, y comunalidades superiores a 0.60 (Hair et al., 2014). Kline (2011) establece una forma de clasificar la “bondad” de la muestra en función del número de casos por parámetro (ver Tabla 2.1). Finalmente, otros autores aseguran que un tamaño de muestra de cinco casos por parámetro sería suficiente en un Análisis factorial confirmatorio (Worthington y Whittaker, 2006). Tabla 2.1: Tamaño de la muestra necesario según el número de casos por parámetro propuesto por Kline (2011) Casos por parámetro Bondad de la muestra 20 Muestra ideal 10 Muestra menos ideal <10 Muestra inapropiada Casos por variable observada: Catena et al. (2003), propusieron sumar el número de variables observadas y el número de variables latentes, de forma que un tamaño adecuado sería de ocho casos por el total de esta suma. Otra propuesta (Hair et al., 2014) es considerar un tamaño de 15 casos por indicador, lo que permitiría minimizar problemas relacionados con la ausencia de normalidad multivariante. Para finalizar este apartado, es interesante destacar el estudio realizado por Marsh et al. (1988, 1996, 1998) mediante 35000 simulaciones realizadas mediante el método de Monte Carlo haciendo uso del programa LISREL, en el que pudieron establecer una regla para calcular el tamaño adecuado de una muestra, mediante la siguiente expresión: 10 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM N≥50r2−450r+ 1100 siendo rel número de indicadores por variable latente. 2.2. Construcción de los SEM En este apartado vamos a llevar a cabo el desarrollo teórico de los distintos pasos que se han de seguir para trabajar con los SEM y que permitirán no sólo su construcción sino también realizar estimaciones de los distintos parámetros para posteriormente evaluar dichas estimaciones y obtener conclusiones en la práctica. El número de pasos a seguir varía en función de la fuente consultada, pero en este caso se van a considerar los propuestos por Kaplan (2000) y Kline (2005), esto es: 1. Especificación del modelo 2. Identificación del modelo 3. Estimación de parámetros 4. Evaluación del ajuste 5. Reespecificación del modelo 6. Obtención de resultados e interpretación de los mismos. Antes de comenzar el desarrollo teórico de cada uno de los apartados mencionados, es conveniente aclarar que éste se hará sobre el modelo más general de los descritos al final de primer capítulo. Este modelo general supone una síntesis de los otros dos tipos de modelos estructurales mencionados: el de variables observadas o path analysis, y el surgido a partir del análisis factorial. 2.2.1. Especificación del modelo En primer lugar, vamos a partir de lo que se conoce como modelo de variables latentes o modelo estructural, y que servirá para identificar las relaciones entre variables latentes exógenas y endógenas. Se define de la siguiente manera: Definición 2.2: Un modelo estructual sigue la siguiente expresión en forma matricial: η=Bη+ Γξ+ζ(2.2) donde ηes un vector m×1de variables latentes endógenas, ξes un vector n×1de variables latentes exógenas, Bes una matriz m×mque contiene los coeficientes que determinan la influencia de las variables latentes endógenas entre sí, y Γes una matriz m×nque contiene los coeficientes correspondientes a los efectos de ξsobre η.ζes un vector m×1que contiene los errores o perturbaciones. Además, en los modelos estructurales dados por (2.2) se satisface que la matriz (I−B) es no singular y los componentes del modelo cumplen las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 11
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM 1. E(η) = 0m×1 2. E(ξ) = 0n×1 3. E(ζ) = 0m×1 4. ξyζestán incorrelados. Por este motivo para simplificar, a menudo los coeficientes ηiyξjse escriben como desviaciones de su media. Esto supone que si consideramos η∗ iyξ∗ jcomo las variables originales, se satisface que ηi=η∗ i−E(η∗ i)yξj=ξ∗ j−E(ξ∗ j)∀i= 1, . . . , m ;j= 1, . . . , n. Este modelo se puede expresar también de la siguiente forma que recibe el nombre de forma reducida: η= (I−B)−1+ (Γξ+ζ),(2.3) siempre que se cumpla |I−B| = 0. Finalmente, se asume que las perturbaciones ζipara una misma ecuación son homocedásticas (V ar(ζi) = V ar(ζj)) y no autocorrelacionadas (Cov(ζi, ζj)=0)∀i, j = 1, . . . , n. Una vez construido el modelo estructural, para continuar con la especificación de un modelo SEM generalizado, se debe definir lo que se conoce como measurement model, o modelo de medida, y que servirá para determinar las relaciones entre variables observadas y latentes. Estos modelos tendrán tantas ecuaciones como variables observadas haya: Definición 2.3: Se define el modelo de medida como aquel que viene dado por la expresión matricial: y= Λyη+ε x= Λxξ+δ(2.4) donde xeyson vectores de variables observadas q×1yp×1respectivamente, Λyy Λxson dos matrices p×myq×n, cuyos coeficientes determinan la relación de ycon ηy de xcon ξ, respectivamente, y εyδson vectores p×1yq×1que representan los errores de medida asociados a yy a x, respectivamente. Se asume además que los errores de medida están incorrelados con η, con ξ, y entre ellos mismos. Además, se verifica: E(ε) = 0p×1 E(δ) = 0q×1 Antes de finalizar con la especificación del modelo, es necesario definir algunos conceptos más que serán de gran importancia, ya que sobre ellos se construye la hipótesis principal sobre la que descansa toda la construcción de los SEM. En primer lugar, se definen las matrices de covarianzas entre variables observadas exógenas y endógenas: Definición 2.4: Se define la matriz de covarianzas entre variables observadas exógenas como: 12 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM Θδ= (θij)q×q=E(δδt),(2.5) para todo modelo de medida (2.4). Definición 2.5: Se define la matriz de covarianzas entre variables observadas endógenas como: Θε= (θij)p×p=E(εεt),(2.6) para todo modelo de medida (2.4) Estas definiciones suponen que si los errores de medida δyεno están correlacionados, las matrices ΘδyΘεson matrices diagonales. Finalmente, y para concluir con la especificación del modelo SEM generalizado, se define la matriz de covarianzas implicada. En el primer capítulo se vio que la hipótesis fundamental sobre la que se basa la construcción de los SEM era que la matriz de varianzas y covarianzas poblacional (Σ), era igual a la matriz de varianzas y covarianzas del modelo teórico (Σ(θ)) (1.1). A partir de aquí definimos la matriz de covarianzas implicada de la siguiente forma: Teorema 2.1: La matriz de covarianzas implicada de un modelo SEM generalizado satisfaciendo: Σ = Σ(θ) = Σyy(θ) Σyx(θ) Σxy(θ) Σxx(θ)!,(2.7) donde Σyy(θ),Σyx(θ),Σxy(θ)yΣxx(θ), representan las matrices de covarianzas de las variables observadas determinadas por los respectivos subíndices, expresadas como función de parámetros desconocidos del modelo contenidos en el vector θ, viene dada por la expresión: Σ(θ) = Λy(I−B)−1(ΓΦΓt+ Ψ)[(I−B)−1]tΛt y+ ΘεΛy(I−B)−1ΓΦΛt x ΛxΦΓt[(I−B)−1]tΛt yΛxΦΛt x+ Θδ!(2.8) Demostración: Se puede expresar Σyy(θ)como: Σyy(θ) = E(yyt) =E[(Λyη+ε)(ηtΛy t+εt)] = ΛyE(ηηt)Λt y+ Θε Desarrollando ahora E(ηηt)haciendo uso de (2.3) y simplificando se obtiene: Σyy(θ) = Λy(I−B)−1(ΓΦΓt+ Ψ)[(I−B)−1]tΛt y+ Θε,(2.9) Haciendo ahora lo propio con Σyx(θ): CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 13
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM Se podrán distinguir hasta tres tipos de identificación posibles, en función del número de parámetros del modelo, y del número de elementos “no redundantes” en la matriz de varianzas y covarianzas: Definición 2.9 modelo infraidentificado: Se dice que un modelo está infraidentificado cuando la información contenida en Σno es suficiente para estimar los parámetros t > p+q(p+q+1) 2. Definición 2.10 modelo saturado: Se dice que un modelo está saturado si la información contenida en Σes suficiente para estimar los parámetros, y la ecuación Σ = Σ(θ) tiene solución única t=p+q(p+q+1) 2. Definición 2.11 modelo sobreidentificado: Se dice que un modelo está sobreidentificado si Σcontiene más información de la necesaria para estimar los parámetros del modelo, y la ecuación Σ = Σ(θ)tiene infinidas soluciones t < p+q(p+q+1) 2. El objetivo de todos los SEM sería trabajar con un modelo sobreidentificado. Siendo en los tres casos tel número de parámetros del modelo y p+qel número total de variables observadas. Ahora bien, ¿cuáles son los parámetros del modelo?. El vector θde parámetros del modelo está formado por: Varianzas y covarianzas de variables exógenas Coeficientes que relacionan las variables latentes con sus correspondientes indicadores Coeficientes de regresión (entre variables observadas o latentes). Asimismo, estos parámetros pueden clasificarse en tres tipos: Parámetro libre: Son aquellos parámetros desconocidos que no tienen ninguna restricción para ser estimados. Parámetro fijo: Son aquellos a los que se les asigna previamente un cierto valor. Parámetro restringido: Son aquellos que al estimarse adquieren el valor de otro parámetro no fijo, o que pueden escribirse como función de parámetros libres. Finalmente, para concluir este apartado de identificación de los SEM, se van a hacer algunas consideraciones referentes al primer caso de identificación del modelo: el de los modelos infraidentificados. Como se dijo anteriormente, esto se produce cuando la matriz Σno tiene información suficiente para estimar los parámetros. Esto supondrá que dichas estimaciones, los correspondientes errores de estimación, o las conclusiones derivadas por ejemplo de realizar un test χ2no serán fiables. Con el objetivo de detectar en qué situación de identificación se encuentra un determinado modelo, en (Bollen, 1989) se proponen algunas técnicas que son útiles para saber si un modelo está infraidentificado, o si por el contrario su identificación es adecuada. t-Rule Teorema 2.2: Una condición necesaria para la identificación de los parámetros del modelo viene dada por: 20 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM t < 1 2(p+q)(p+q+ 1),(2.21) siendo tel número de parámetros libres y no restringidos en θ,pel número de variables observadas en yyqel número de variables observadas en x. Los elementos “no redundantes” de Σ = Σ(θ)implican que habrá 1 2(p+q)(p+q+ 1) ecuaciones. Así, si el número de parámetros desconocidos en θexcede el número de ecuaciones, la identificación del modelo no será posible. La demostración de este teorema puede consultarse en (Bollen, 1989). Para conseguir la suficiencia de la que carece la t-Rule, se presenta el segundo de los procedimientos, la regla de los dos pasos: Regla de los dos pasos Como su propio nombre indica, esta técnica consta de dos pasos o fases para su aplicación. En el primer paso, se debe considerar el modelo como en el caso de un análisis factorial confirmatorio. Esto supone que las únicas relaciones entre las variables latentes que se considerarán son sus varianzas y covarianzas Φ. De esta forma, los términos B, Γy Ψson ignorados. Una vez reformulado el modelo como un análisis factorial confirmatorio, se determina si está identificado. Para ello, se dispone de varias técnicas que se detallan a continuación: Regla de los tres indicadores: Se dirá que un modelo de medida está correctamente identificado si, además de verificarse las condiciones del Teorema 2.2, se dan las siguientes condiciones: 1. Hay al menos tres indicadores por cada variable latente 2. Cada fila de Λxcontiene un y sólo un elemento distinto de 0 3. Θδes diagonal Regla de los dos indicadores: Se dirá que un modelo de medida está correctamente identificado si, además de verificarse las condiciones del Teorema 2.2, se dan las siguientes condiciones: 1. Hay más de una variable latente, y a cada una de ellas le corresponden dos indicadores. 2. Cada indicador es causado por una única variable latente (cada fila de Λxtiene un único elemento = 0) y cada variable latente está correlada con al menos otra variable latente (ningún elemento de Φes nulo). 3. Θδes diagonal. El segundo paso consiste en examinar la ecuación de variables latentes del modelo estructural (dado por (2.2)), y considerarla como si se tratara de una ecuación estructural de variables observadas. Esto implica asumir que cada variable latente corresponde con una variable observada perfectamente medida. A continuación se determina si los términos B, ΓyΨestán correctamente medidos. Para ello se proponen distintas técnicas que se explican a continuación: CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 21
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM Teorema 2.3 (Regla de la B nula): En un modelo donde no hay relaciones entre variables endógenas (ninguna variable endógena afecta a otra del mismo tipo), la matriz Bes nula. Esta condición es suficiente para identificar el modelo. Demostración: Para establecer la identificación de un modelo donde B= 0, se va a tratar de demostrar que los parámetros en Γ,ΦyΨse pueden expresar como función de los parámetros identificados de Σ. Así, sustituyendo B= 0 en (2.8) se tiene: Σyy Σyx Σxy Σxx!= (ΓΦΓt+ Ψ) ΓΦ ΦΓtΦ!,(2.22) de donde se deduce Σxx = Φ, lo que implica que Φestá bien identificado. Centrándose ahora en el cuadrante inferior izquierdo se tiene: ΦΓt= Σxy ⇔ΣxxΓt= Σxy ⇔Γt= Σ−1 xxΣxy (2.23) De esta forma, se ha podido expresar Γcomo función de matrices de covarianzas identificadas, por lo que también está debidamente identificada. Finalmente, se realiza un proceso similar para Ψ: Ψ=Σyy −ΓΦΓt = Σyy −ΣyxΣ−1 xxΣxxΣ−1 xxΣxy = Σyy −ΣyxΣ−1 xxΣxy Luego hemos expresado Ψcomo función de matrices de covarianzas identificadas y por tanto también está identificado. Se ha demostrado así que cuando B= 0, los parámetros desconocidos Φ,ΓyΨestán identificados. □ Para terminar este apartado, se va a exponer una última regla que, al igual que la anterior, supone una condición suficiente para la identificación de modelos. Teorema 2.4 Regla recursiva: Si Bes una matriz triangular inferior y Ψes una matriz diagonal, entonces el modelo está correctamente identificado. La demostración de este teorema se puede consultar en (Bollen, 1989). Por tanto, aplicando la regla de los dos pasos se puede ver si el modelo de medida (1erpaso)y el modelo estructural (2opaso)están correctamente identificados, comprobando así la identificación del modelo al completo. Existen otras reglas adicionales tales como la regla de condición de rango o la regla de condición de orden, que no se detallarán por exceder los objetivos de este trabajo. Aún así, si se deseara consultar esta información, se encuentra disponible en (Bollen, 1989). 22 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM 2.2.3. Estimación del modelo En esta etapa se estudirá la relación entre la matriz de covarianzas de las variables observadas y los parámetros del modelo. En la práctica, al ser desconocida la matriz de varianzas y covarianzas poblacional, ésta se estimará utilizando la correspondiente matriz de varianzas y covarianzas muestral, b Σ, buscando que b ΣyΣsean lo más similares posible. Para ello, se buscará minimizar una función de la matriz de residuos (b Σ−Σ), denotada por F(b Σ,Σ(θ)) y llamada también función de ajuste. Las funciones de ajuste que se presentan a continuación verifican las siguientes propiedades: 1. F(b Σ,Σ(θ)) es un escalar. 2. F(b Σ,Σ(θ)) ≥0 3. F(b Σ,Σ(θ)) = 0 ⇔Σ(θ) = b Σ 4. F(b Σ,Σ(θ)) es continua en b Σy en Σ(θ). Según Brown (1984, 1966), los estimadores resultantes de minimizar funciones de ajuste que satisfacen las propiedades anteriores son estimadores consistentes de θ. A continuación, se detallarán los tres métodos que se suelen emplear con mayor frecuencia para realizar estimaciones en los SEM: máxima verosimilitud (ML), mínimos cuadrados generalizados (GLS) y mínimos cuadrados ponderados (WLS). Estimación por Máxima Verosimilitud En primer lugar, se debe tener en cuenta que para poder aplicar este método de estimación han de verificarse las siguientes restricciones: 1. Σ(θ)yb Σson definidas positivas, y por tanto son no singulares. 2. xeysiguen una distribución normal multivariante, y b Σsigue una distribución Wishart Definición 2.17: Se define la función de ajuste a minimizar para el método de máxima verosimilitud FML como aquella que viene dada por la expresión: FML =log|Σ(θ)|+tr(b ΣΣ−1(θ)) −log|b Σ| − (p+q)(2.24) La estimación por máxima verosimilitud parte considerando una muestra aleatoria de tamaño Nde variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de una variable Z. La función de densidad para cada Zi, i = 1, . . . , N es f(Zi;θ), siendo θun parámetro fijo. Como las Zison independientes entre sí, la función de densidad conjunta viene dada por: f(Z1, . . . , Zn;θ) = f(Z1;θ)f(Z2;θ). . . f(ZN;θ),(2.25) es decir, se puede expresar la función de densidad conjunta como producto de las correspondientes densidades marginales. Una vez que observamos un conjunto específico de valores para Z1, . . . , ZNen una muestra, podemos escribir la función: CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 23
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM L(θ;Z1,...ZN) = L(θ;Z1)L(θ;Z2). . . L(θ;ZN),(2.26) donde L(θ;Zi)es el valor de f(Zi;θ)cuando Ziestá en su valor muestral. La ecuación (2.26) es la función de verosimilitud, abreviada comunmente por L(θ)o simplemente L. Aunque puedan parecer similares, las ecuaciones (2.25) y (2.26) tienen importantes diferencias. En (2.25), θes un parámetro fijo y las Z1, . . . , ZNson variables aleatorias. Sin embargo en (2.26), las Zison valores fijos para una muestra determinada, y la magnitud de L(θ)es función de θ. Sea b θun estimador de θ. En la estimación por máxima verosimilitud se pretende hallar el estimador b θque maximice la probabilidad (o verosimilitud) de generar los valores muestrales dados de Zi, esto es, se busca el b θtal que maximice (2.26) para los valores muestrales Z1, . . . , ZN. Para hallar el máximo de L(θ), a menudo se busca maximizar en su lugar log(L(θ)), lo cual simplifica la búsqueda del máximo, y no afecta al valor resultante de θ(ya que el logaritmo de un número es una función monótona de dicho número). A continuación se deriva logL(θ)respecto a θ, igualando posteriormente el resultado a 0y despejando el valor de θ. Basta calcular la segunda derivada respecto a θy comprobar que es estrictamente menor que 0para asegurar que dicho valor de θes aquel que maximiza logL(θ)y que por tanto se trata del estimador de máxima verosimilitud. Como xeyson dos vectores que siguen una distribución normal multivariante, se pueden expresar como un único vector z(p+q×1), siendo zsu desviación. Su función de densidad viene dada por la siguiente expresión: f(z;Σ) = (2π)−(p+q)/2|Σ|−1/2exp−1 2ztΣ−1z(2.27) Para una muestra aleatoria de Nobservaciones independientes de zla función de densidad conjunta será: f(z1, z2, . . . , zN;Σ) = f(z1;Σ)f(z2;Σ). . . f(zN; Σ) (2.28) A partir de la observación de dicha muestra y haciendo uso de la hipótesis fundamental (1.1), la función de verosimilitud viene dada por: L(θ) = (2π)−N(p+q)/2|Σ(θ)|−N/2exp "−1 2 N X i=1 zt iΣ−1(θ)zi#(2.29) Tomando ahora logaritmos: logL(θ) = −N(p+q) 2log(2π)−N 2log|Σ(θ)| − 1 2N X i=1 zt iΣ−1(θ)zi(2.30) Se puede reescribir el último término como sigue: 24 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM −1 2N X i=1 zt iΣ−1(θ)zi=−1 2N X i=1 tr[zt iΣ−1(θ)zi] =−N 2N X i=1 tr[N−1zizt iΣ−1(θ)] =−N 2tr[b Σ∗Σ−1(θ)],(2.31) siendo b Σ∗el estimador de máxima verosimilitud muestral de la matriz de covarianzas. Asimismo, (2.30) se puede reescribir de la siguiente forma: logL(θ) = C−N 2log|Σ(θ)| − N 2tr[b Σ∗Σ−1(θ)] =C−N 2nlog|Σ(θ)|+tr[b Σ∗Σ−1(θ)]o,(2.32) siendo Cuna constante. Si comparamos las expresiones de (2.24) y (2.32) observamos que difieren en algunos aspectos, sin embargo, ninguno de estos tiene influencia en la elección del estimador b θ. Así, ni la ausencia del término constante Cen (2.24), ni la presencia de (−log|b Σ| − (p+q)) en (2.32) tiene impacto en la elección de b θya que, dada una muestra cualquiera, b Σy(p+q)son constantes. El único efecto que tendrá la presencia del término (−N/2) en (2.32) pero no en (2.24) es que hará que se minimice en lugar de maximizar. La última diferencia entre las dos expresiones es que en (2.24) se trabaja con b Σ, mientras que en (2.32) aparece la matriz b Σ∗, si bien estas dos matrices serán iguales para tamaños muestrales suficientemente grandes, al verificarse b Σ∗=(N−1) Nb Σ. Proposición 2.3: Todo estimador de máxima verosimilitud satisfaciendo las correspondientes restricciones expuestas anteriormente, tiene las siguientes propiedades: 1. Es consistente, y por tanto, se cumple b θ≡θcuando N→ ∞ (el estimador converge al verdadero valor del parámetro al aumentar el tamaño muestral). 2. Es asintóticamente eficiente, por lo que su varianza es mínima. 3. Es asintóticamente insesgado. Por tanto se cumple E(b θ) = θ. Para finalizar la estimación por máxima verosimilutud, es interesante mencionar que la función de ajuste FML permite realizar un contraste de hipótesis para comprobar el ajuste del modelo: (H0: Σ = Σ(θ) H1: Σ = Σ(θ), de modo que, bajo H0, el estadístico (N−1)FML se distribuye asintóticamente según una distribución χ2con 1 2(p+q)(p+q+ 1) −tgrados de libertad: (N−1)FML H0 ∼χ2 1 2(p+q)(p+q+1)−t(2.33) CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 25
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM Estimación por mínimos cuadrados ponderados Este método de estimación, a diferencia del anterior permite trabajar con datos que no sigan una distribución normal multivariante, además de con variables ordinales o dicotómicas. Se partirá de nuevo definiendo la función de ajuste: Definición 2.18: Se define la función de ajuste para el método de mínimos cuadrados ponderados, FW LS como aquella que viene dada por la expresión: FWLS = [s−σ(θ)]tW−1[s−σ(θ)],(2.34) donde ses un vector 1 2(p+q)(p+q+1)×1formado por los elementos no redundantes de b Σ,σ(θ)es un vector del mismo orden formado por los elementos de Σ(θ)yθes un vector t×1de parámetros del modelo. W−1es una matriz de pesos (o ponderaciones) 1 2(p+q)(p+q+ 1) ×1 2(p+q)(p+q+ 1) definida positiva. La elección de θse hace buscando el objetivo de minimizar la suma ponderada del cuadrado de las desviaciones de srespecto a σ(θ). De este modo, el procedimiento es análogo al llevado a cabo al realizar la estimación por mínimos cuadrados ponderados en regresión, donde se busca minimizar el cuadrado de la diferencia entre la variable observada y la variable respuesta, mediante la selección de los coeficientes de regresión. La diferencia es que en este caso, los valores observados y “predichos” son covarianzas en lugar de valores individuales. Al igual que ocurría con la estimación proporcionada por el método de máxima verosimilitud, el estimador b θobtenido a través de FW LS es un estimador consistente de θ. Además, un resultado relevante es el demostrado por Brown (1982, 1984), según el cual, si Wes un estimador consistente de la matriz de covarianzas asintótica de s, entonces el estimador b θproporcionado por FW LS es asintóticamente eficiente. Para evitar la sobreestimación del estadístico χ2, es preciso trabajar con muestras de tamaño considerable, generalmente superiores a 5000 registros, lo cual supone una de las mayores desventajas de este método. Además, un número de variables observadas superior a20, hace que la matriz de pesos Waumente de forma considerable, lo que hace más difícil su estimación. Para tratar de solucionar este problema, Muthén propuso en 1993 un método alternativo consistente en considerar únicamente la diagonal de la matriz W. Esta técnica se conoce como método de mínimos cuadrados ponderados diagonalizados, y su función de ajuste viene dada por la expresión: FDWLS = [s−σ(θ)]tdiag(W−1)[s−σ(θ)] (2.35) Estimación por mínimos cuadrados no ponderados En primer lugar, como en los métodos anteriores se define la función de ajuste: Definición 2.19: Se define la función de ajuste para el método de mínimos cuadrados no ponderados como aquella dada por la expresión: FULS =1 2tr[(S−Σ(θ))2](2.36) Esta función minimiza la suma de cruadrados de cada elemento de la matriz de residuos (S−Σ(θ)), al igual que ocurre en la regresión de mínimos cuadrados ordinarios (OLS). Sin 26 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM embargo, la diferencia entre estas dos técnicas es que con FULS se calculan las diferencias entre las varianzas y covarianzas muestrales “predichas” por el modelo, mientras que el método OLS calcula las diferencias entre los valores muestrales observados de la variable dependiente y los “predichos” por el modelo. Entre las ventajas que presenta este método está el hecho de que, al igual que en los casos anteriores, el estimador de θque calcula es consistente, y esto sin necesidad de asumir que las variables observadas sigan ninguna distribución concreta (por lo que no se impone la normalidad multivariante como en el caso del método ML). Respecto a las desventajas, el método ULS no proporciona el estimador asintóticamente más eficiente, ya que el calculado mediante máxima verosimilitud tiene una eficiencia mayor. Además, estos estimadores no son invariantes ante cambios de escala. Por ejemplo, los valores de FULS varían si se trabaja con la matriz de correlaciones en lugar de con la matriz de covarianzas. Finalmente, este método no posee a día de hoy ningún procedimiento que compruebe una posible sobreidentificación, mientras que el método ML dispone del propuesto por Brown (1984, 1982) para este fin. Estimación por mínimos cuadrados generalizados En este método se busca minimizar las diferencias cuadráticas entre los elementos observados de Sy los correspondientes elementos “predichos” de Σ(θ), en un proceso análogo al realizado en el método OLS. La diferencia principal radica en que el método OLS considera los valores de la variable respuesta observados y “predichos” por el modelo para observaciones individuales, mientras que FGLS pone el foco en las covarianzas observadas y “predichas.” Definición 2.20: Se define la función de ajuste para el método de mínimos cuadrados generalizados como aquella que viene dada por la expresión: FGLS =1 2tr[{(S−Σ(θ))W−1}2],(2.37) donde W−1es una matriz de pesos o ponderaciones para la matriz de residuos. W−1es una matriz aleatoria que converge en probabilidad a una matriz definida positiva cuando N→ ∞, o es una matriz de constantes definida positiva. Además, FULS, vista en el apartado anterior y dada por (2.36) es un caso particular de FGLS cuando W−1=I. El estimador b θobtenido a partir de FGLS, con alguna matriz W−1 satisfaciendo las condiciones anteriores es un estimador consistente de θ. Sin embargo, no todas las elecciones posibles de la matriz W−1, conducen a estimadores eficientes. 2.2.4. Evaluación del modelo Esta es la etapa final en la construcción de modelos de ecuaciones estructurales, y posiblemente una de las más importantes ya que, en ella se determinará si el modelo que hemos construido en las etapas anteriores es realmente útil, y por tanto es capaz de identificar las relaciones entre todas las variables. Para ello, se estudian las diferencias entre la matriz de covarianzas predicha por el modelo Σ(b θ)y la matriz de covarianzas muestral S. No existe un consenso total sobre qué estadísticos son los más apropiados para llevar a cabo esta tarea, por lo que a continuación CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 27
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM se van a exponer algunos de los más utilizados, si bien se debe tener en cuenta que existen otros no mencionados en este trabajo y que de igual forma sirven para la evaluación de modelos. Estadístico χ2 Al igual que la mayoría de métodos de evaluación de modelos que se verán posteriormente, la prueba χ2de bondad de ajuste está dentro de las llamadas medidas de ajuste global. En (2.33) se propuso un estadístico que permitía evaluar la bondad del ajuste proporcionado por el modelo mediante un test χ2. De este modo, valores significativamente elevados del estadístico suponen que las matrices SyΣ(b θ)son significativamente distintas, lo que conduciría a rechazar la hipótesis nula, y por tanto el modelo. Esto hace que se busquen valores “bajos” de χ2, con el fin de no encontrar evidencias en contra de la hipótesis nula H0:Σ=Σ(θ). Generalmente, se suele fijar el umbral para validar o rechazar el modelo en un p-valor = 0.05, de modo que el ajuste ofrecido por el modelo sería adecuado si 0.05 <p-valor ≤1, si bien esto puede variar según el criterio del investigador. Sin embargo, utilizar el p-valor como criterio conlleva algunas desventajas. La mayor radica en su alta dependencia del tamaño de la muestra ya que, debido a la definición del propio estadístico, valores muestrales elevados pueden hacer que el estadístico aumente su valor, lo cual llevará a rechazar H0y por ende el modelo. Esto hará que se incremente a su vez el error de tipo I. Para evitar este problema, se suele tomar como medida el cociente entre el valor del estadístico y sus grados de libertad, en lugar de únicamente los segundos. Se muestra una clasificación de valores comunes del estadístico χ2/gl usados para evaluar el ajuste del modelo en la siguiente tabla: Tabla 2.4: Bondad del ajuste del modelo según el valor del estadísitico χ2 Valor de χ2/gl Bondad del ajuste del modelo Menor que 1 Sobreidentificación Entre 1 y 2 Ajuste muy bueno Entre 2 y 3 Ajuste bueno/aceptable Entre 3 y 5 Ajuste poco aceptable Mayor que 5 Ajuste inaceptable Índices de ajuste Los índices de ajuste o fit index, forman parte de las llamadas medidas incrementales, y su objetivo es estudiar el ajuste logrado por un modelo, en comparación con su modelo base, esto es, el modelo más simple posible donde no existe asociación entre variables. En primer lugar, se muestra el índice de ajuste propuesto por Bentler y Bonett (1980): △1=Fb−Fm Fb =χ2 b−χ2 m χ2 b ,(2.38) donde Fbes la función de ajuste del modelo base y Fmes la función de ajuste del modelo que se quiere evaluar. △1toma valores entre 0 y 1, de modo que cuanto más cercano a 28 CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM
2.2. CONSTRUCCIÓN DE LOS SEM 1 sea el valor, mejor será el ajuste, y cuanto más cercano a 0 el ajuste será peor. Como suele ocurrir en estos casos, no hay un valor límite para considerar un ajuste como bueno o aceptable, pero rara vez se aceptan modelos cuyo índice de ajuste sea inferior a 0.9. Una limitación de este índice es que no tiene en cuenta los grados de libertad de los estadísticos χ2. Además, al no considerar tampoco el tamaño de la muestra con la que se trabaja, si se comparan los índices de ajuste de dos modelos con tamaños muestrales distintos, puede dar dar la impresión de que el mayor de ellos proporciona un mejor ajuste, incluso aunque ambos sean en realidad igual de “buenos” para reproducir el modelo teórico. Para tratar de solucionar esto, Bollen (1989) propone una segunda versión del índice de ajuste, dado por la siguiente expresión: △2=Fb−Fm Fb−[glm/(N−1)] =χ2 b−χ2 m χ2 b−glm ,(2.39) Entre las propiedades de este segundo índice destacan las siguientes: 1) No se ve afectado por tamaños diferentes de muestra, 2) no está acotado al rango (0,1), 3) valores de △2muy superiores a 1 podrían ser indicativos de un posible sobreajuste del modelo y 4) se verifica que △1<△2, cuando el denominador de △2es positivo. Bollen propuso en 1986 un tercer índidce de ajuste, dado por la expresión: ρ1=(Fb/glb)−(Fm/glm) Fb/glb =(χ2 b/glb)−(χ2 m/glm) (χ2 b/glb),(2.40) El conjunto de valores que puede tomar ρ1es el mismo que en caso de △1, es decir, 0≤ρ1≤1, de modo que cuanto más cercano a 1 sea su valor, mejor será el ajuste. Sin embargo, ρ1presenta el mismo problema que △1respecto a su dependencia del tamaño de la muestra. Por este motivo, para finalizar este apartado sobre índices de ajuste, se presenta un último índice, anterior en fecha al último expuesto, que fue propuesto por Tucker y Lewis en 1973, y que disminuye la dependencia que sufría ρ1respecto al tamaño muestral. ρ2=(Fb/glb)−(Fm/glm) Fb/glb−[1/(N−1)] =(χ2 b/glb)−(χ2 m/glm) (χ2 b/glb)−1,(2.41) Al igual que en caso anterior, ρ2toma valores entre 0 y 1. CAPÍTULO 2. CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS SEM 29
3.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY Analizando la gráfica se observa que, en media, las variables que obtienen mejor y peor valoración en las mediciones realizadas en los años 1960 y 1965 son las que miden la “limpieza” de las elecciones y la libertad de la oposición, respectivamente. Si continuamos con la comparativa entre estos dos años, vemos que, en general, no se aprecian grandes cambios en las variables, salvo para la variable que mide la libertad de la oposición, en la que se observa una disminución de casi dos puntos desde la primera fecha a la segunda. Finalmente, respecto a las variables asociadas al constructo IND60, se observa que el menor valor medio se obtiene para la variable porc_ind60. Sin embargo, esto no tiene por qué ser algo significativo en la comparación con el resto de variables, ya que tanto la variable energia60 como la variable GNP60, son indicadores expresados en valor medio por habitante, mientras que la referida variable porc_ind60 está expresada en forma de porcentaje. 3.1.2. Comprobación de hipótesis previas En primer lugar, si atendemos al tamaño de la muestra con la que se está trabajando, vemos que este es de 75 registros. Teniendo en cuenta la regla propuesta por Catena et al. en 2003, un tamaño muestral adecuado sería de ocho registros por la suma del número de variables observadas (en este caso 11) y el número de variables latentes (en este caso 3), lo que equivaldría a un tamaño de 112 registros. Por otro lado, según la regla establecida por Marsh et al. a raíz del estudio publicado en 1998 basado en simulaciones realizadas a través del método de Montecarlo, resulta un tamaño muestral adecuado de unos 100 registros. Para nuestro conjunto de datos, en ninguno de los casos se alcanza el número sugerido, si bien se sabe que estos son valores orientativos, por lo que se continuará con el estudio de todos modos. La segunda hipótesis a comprobar es la normalidad multivariante. Para ello, se realizan los tests de asimetría y curtosis propuestos por Mardia, arrojando los resultados disponibles en la tabla (3.4). Tabla 3.4: Tests de Mardia sobre normalidad multivariante. PoliticalDemocracy Prueba Estadístico p-valor Normalidad Mardia Skewness 344.4944 0.0101 NO Mardia Kurtosis -1.2217 0.2218 YES Por tanto, de los dos tests propuestos por Mardia, únicamente acepta la normalidad multivariante el referente a los valores de curtosis. Además, si se realizan los test de Shapiro-Wilk (A.1) a cada una de las variables, se ve que únicamente se acepta la normalidad univariante para las variables GNP60,energia60 yporc_ind60. Adicionalmente, se han representado los gráficos cuantil-cuantil (A.1) e histogramas (A.2) de todas las variables objeto de estudio, pudiéndose consultar estos resultados en el Apéndice A. En consecuencia, es dudosa la presencia de normalidad multivariante en nuestros datos. La no satisfacción de esta hipótesis, condicionaría las estimaciones que se realicen posteriormente al no poder emplear el método de máxima verosimilitud, ya que como se vio en el capítulo 2, la normalidad multivariante es una condición necesaria para aplicar 36 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS
3.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY esta técnica. No obstante, sería posible usar estimadores de máxima verosimilitud, si se hace uso de las cotas propuestas en (J. Curran, 1996), y cuyas condiciones se satisfacen si analizamos los datos descriptivos de las variables de la base de datos presentes en la tabla (3.5). Por tanto, consideramos satisfecha esta segunda hipótesis. Tabla 3.5: Estadísticos descriptivos de las variables bajo estudio y niveles de asimetría y curtosis. PoliticalDemocracy n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew Kurtosis libpren60 75 5.4647 2.6227 5.4000 1.2500 10.0000 2.9000 7.5000 -0.0914 -1.1545 libopos60 75 4.2564 3.9471 3.3333 0.0000 10.0000 0.0000 8.2833 0.3187 -1.4673 elecc60 75 6.5631 3.2809 6.6667 0.0000 10.0000 3.7667 10.0000 -0.5940 -0.7191 efect60 75 4.4525 3.3495 3.3333 0.0000 10.0000 1.5815 6.6667 0.1177 -1.2127 libpren65 75 5.1363 2.6126 5.0000 0.0000 10.0000 3.6917 7.5000 -0.2280 -0.7782 libopos65 75 2.9781 3.3727 2.2333 0.0000 10.0000 0.0000 4.2069 0.8930 -0.4688 elecc65 75 6.1963 3.2862 6.6667 0.0000 10.0000 3.4777 10.0000 -0.5533 -0.7337 efect65 75 4.0434 3.2456 3.3333 0.0000 10.0000 1.3009 6.6667 0.4456 -0.9615 GNP60 75 5.0544 0.7329 5.0752 3.7842 6.7370 4.4773 5.5154 0.2539 -0.7539 energia60 75 4.7922 1.5107 4.9628 1.3863 7.8721 3.6632 5.8304 -0.3458 -0.5709 porc_ind60 75 3.5577 1.4057 3.5681 1.0017 6.4246 2.3002 4.5230 0.0838 -0.9361 Finalmente, para evaluar la consistencia interna de los datos, se ha calculado el índice Alpha de Cronbach, obteniendo un valor de 0.91, lo que supone una consistencia interna muy buena, por lo que se puede considerar que los datos son lo suficientemente fiables como para continuar con la construcción del modelo con las suficientes garantías. 3.1.3. Análisis de correlaciones Como último paso previo a la construcción del modelo SEM, se van a estudiar las correlaciones entre las distintas variables observadas, para tratar de determinar si, a priori, tiene sentido la distribución de variables latentes que se ha expuesto anteriormente. Para ello, se ha construido la matriz de correlaciones muestral haciendo uso del coeficiente de correlación de Spearman. Al analizar dicha matriz (A.3), los resultados muestran que existe una correlación considerable entre los indicadores que definen las tres variables latentes presentes en el modelo (DEM60,DEM65 eIND60). Dichas correlaciones son en todos los casos superiores a 0.45 para las variables observadas asociadas al primer constructo, 0.6 para las variables indicadoras del segundo constructo, y 0.78 para las variables que forman el tercer factor. Esto supone un buen punto de partida para construir el modelo. Sin embargo, correlaciones tan altas (sobre todo en el caso del último factor) podrían ser un indicio de multicolinealidad, si bien una de las ventajas de los SEM, es que generalmente son más “tolerantes” ante este problema que otros tipos de modelos como los de regresión. A nivel general, se observa que no hay variables que no estén correlacionadas con el resto de variables, obteniendo para cada una de ellas coeficientes de correlación de al menos 0.2. Además, el determinante de la matriz de correlaciones muestral ha resultado ser de 6.42·10−5, prácticamente nulo, lo cual significa que hay columnas y filas de dicha matriz entre las que existe una fuerte relación lineal. Esto indica que hay variables que están fuertemente relacionadas entre sí, lo que es otra buena señal para construir el modelo. CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS 37
3.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY Finalmente, se ha realizado la prueba de esfericidad de Bartlett, obteniendo un pvalor <2.2·10−16. Por tanto, se puede concluir que existe un subconjunto de variables interrelacionadas entre sí, por lo que tiene sentido aplicar técnicas multivariantes y, en particular, una modelización mediante ecuaciones estructurales. 3.1.4. Construcción y evaluación del modelo Para llevar a cabo la construcción del modelo SEM, el primer paso es realizar su especificación. Para ello, se han especificado los correspondientes modelos de medida y estructural, describiendo las relaciones entre variables latentes y sus indicadores, y las relaciones entre las propias variables latentes, respectivamente. Asimismo, se han especificado las correspondientes covarianzas entre algunas de las variables, como por ejemplo la existente entre las variables que miden la libertad de prensa en los dos años estudiados, o entre las variables que miden la efectividad del gobierno elegido en dichos años. Cabe mencionar que un paso previo que podría realizarse, es validar la estructura de variables latentes que se ha construido mediante la aplicación de un análisis factorial confirmatorio. Esto se hace para garantizar que el modelo de medida que se está considerando es correcto. Sin embargo, dadas las limitaciones de este trabajo, se va a proceder a construir el modelo SEM directamente. A continuación se muestra el código correspondiente a la especificación y ajuste del modelo, el cual se ha llevado a cabo mediante la función sem del paquete lavaan. modelo <- ' # especificamos el modelo de medida IND60 =~ GNP60 + energia60 + porc_ind60 DEM60 =~ libpren60 + libopos60 + elecc60 + efect60 DEM65 =~ libpren65 + libopos65 + elecc65 + efect65 # especificamos el modelo estructural DEM60 ~ IND60 DEM65 ~ IND60 + DEM60 # especificamos las correlaciones residuales libpren60 ~~ libpren65 libopos60 ~~ efect60 + libopos65 elecc60 ~~ elecc65 efect60 ~~ efect65 libopos65 ~~ efect65 ' ajuste <- sem(modelo, data = datos) Una vez ajustado el modelo, se obtienen los siguientes resultados. En primer lugar, si evaluamos el ajuste proporcionado por el modelo, vemos que este es muy bueno para todos los índices de ajuste considerados. Estos índices has sido obtenidos mediante la función fitMeasures del paquete lavaan y pueden consultarse en la Tabla (3.6). 38 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS
3.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY fitMeasures(ajuste, c("chisq","df","cfi","tli","rmsea","srmr")) Tabla 3.6: Bondad de ajuste del modelo SEM. PoliticalDemocracy chisq df CFI TLI RMSEA RMSR 38.1252 35 0.9954 0.9927 0.0345 0.0444 Así, se observa que el ratio χ2/df es de 1.0893, lo que supone un muy buen ajuste. De igual forma, tanto el índice de ajuste comparativo (CFI) como el índice de ajuste de Tucker y Lewis (TLI), toman valores muy cercanos a uno, lo que también es indicativo de la bondad de ajuste logrado por el modelo. Finalmente, los índices RMSEA y RMSR toman valores “bajos” y en ambos casos inferiores a 0.05, que es el valor máximo propuesto por Brown y Cudeck para considerar aceptable un modelo. Teniendo estos resultados en cuenta podemos concluir que el modelo ofrece un ajuste muy bueno. Una vez ajustado el modelo, se puede obtener la matriz de covarianzas implicada asociada al mismo mediante la función fitted, como se mestra a continuación: sigma_gorro <- fitted(ajuste) Tabla 3.7: Matriz de covarianzas implicada del modelo. PoliticalDemocracy GNP60 energia60 porc_ind60 libpren60 libopos60 elecc60 efect60 libpren65 libopos65 elecc65 efect65 GNP60 0.5300 0.9778 0.8155 0.6650 0.8358 0.7034 0.8411 0.8135 0.9646 1.0409 1.0299 energia60 0.9778 2.2517 1.7781 1.4500 1.8223 1.5337 1.8340 1.7738 2.1032 2.2696 2.2455 porc_ind60 0.8155 1.7781 1.9497 1.2094 1.5199 1.2792 1.5296 1.4794 1.7541 1.8929 1.8728 libpren60 0.6650 1.4500 1.2094 6.8337 6.2112 5.2275 6.2509 5.1427 5.3582 5.7821 5.7208 libopos60 0.8358 1.8223 1.5199 6.2112 15.1788 6.5697 9.1689 5.6793 8.8867 7.2667 7.1896 elecc60 0.7034 1.5337 1.2792 5.2275 6.5697 10.5967 6.6117 4.7798 5.6674 6.9108 6.0510 efect60 0.8411 1.8340 1.5296 6.2509 9.1689 6.6117 11.0540 5.7156 6.7769 7.3132 7.5839 libpren65 0.8135 1.7738 1.4794 5.1427 5.6793 4.7798 5.7156 6.7730 5.2432 5.6581 5.5981 libopos65 0.9646 2.1032 1.7541 5.3582 8.8867 5.6674 6.7769 5.2432 11.1708 6.7088 7.9938 elecc65 1.0409 2.2696 1.8929 5.7821 7.2667 6.9108 7.3132 5.6581 6.7088 10.6710 7.1628 efect65 1.0299 2.2455 1.8728 5.7208 7.1896 6.0510 7.5839 5.5981 7.9938 7.1628 10.3410 Se dispone también de la función lavInspect, del paquete lavaan, que permite acceder, entre otra información, a las matrices que se han utilizado para la construcción del modelo, tales como las matrices Ψ,Θ,Λ, etc. Esta información se puede obtener con el siguiente código: lavInspect(ajuste) A continuación se va a proceder a representar gráficamente el path diagram del modelo, en el que se pueden observar las relaciones entre las distintas variables. Dicha representación se ha llevado a cabo mediante la función semPaths del paquete semPlot, en la que se han especificado además algunas cuestiones de estilo como se aprecia en el siguiente código: CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS 39
3.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY library(semPlot) semPaths(ajuste, whatLabels = "std",style="lisrel", layout="tree2", reorder=FALSE, optimizeLatRes=TRUE, edge.label.position=.5, edge.label.cex = 0.8,edge.color = "darkblue" ) 0.92 0.97 0.87 0.85 0.72 0.72 0.85 0.81 0.75 0.82 0.83 0.45 0.18 0.89 0.30 0.27 0.36 0.19 0.11 0.34 0.15 0.05 0.24 0.28 0.49 0.48 0.28 0.35 0.44 0.32 0.31 0.80 0.04 GNP en60 p_6 lbpr60 lbps60 el60 ef60 lbpr65 lbps65 el65 ef65 IND DEM60 DEM65 Figura 3.2: Path Diagram del modelo estudiado. PoliticalDemocracy Así, analizando la Figura (3.2) a simple vista se aprecia que, a partir de las estimaciones estandarizadas presentes en el gráfico, la mayoría de las relaciones entre variables propuestas han resultado ser significativas, con la excepción de los parámetros correspondientes a la covarinanza entre las variables elecc60 yelecc65, y la covarianza entre las variables efect60 yefect65, cuyos coeficientes estimados estandarizados han resultado ser de 0.19 y 0.11, respectivamente. Para confirmar esto, en la Tabla (3.8) se pueden consultar las estimaciones1y estimaciones estándarizadas para todas las relaciones entre variables propuestas, así como los errores estándar y los correspondientes p-valores. Esta tabla ha sido obtenida mediante la función parameterEstimates del paquete lavaan, como se muestra en el siguiente código: parameterEstimates(ajuste, standardized = T) 1Todas las estimaciones se han obtenido empleando el Estimador de Máxima Verosimilitud 40 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS
3.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY Tabla 3.8: Relaciones estimadas y estandarizadas. PoliticalDemocracy Relación Estimación Estim. Estandarizada Error Estándar p-valor IND60=~GNP60 1.0000 0.9199 0.0000 NA IND60=~energia60 2.1804 0.9730 0.1385 0.0000 IND60=~porc_ind60 1.8185 0.8721 0.1520 0.0000 DEM60=~libpren60 1.0000 0.8504 0.0000 NA DEM60=~libopos60 1.2567 0.7171 0.1824 0.0000 DEM60=~elecc60 1.0577 0.7223 0.1514 0.0000 DEM60=~efect60 1.2648 0.8457 0.1450 0.0000 DEM65=~libpren65 1.0000 0.8080 0.0000 NA DEM65=~libopos65 1.1857 0.7460 0.1688 0.0000 DEM65=~elecc65 1.2795 0.8237 0.1599 0.0000 DEM65=~efect65 1.2659 0.8278 0.1581 0.0000 DEM60~IND60 1.4830 0.4467 0.3991 0.0002 DEM65~IND60 0.5723 0.1823 0.2213 0.0097 DEM65~DEM60 0.8373 0.8852 0.0984 0.0000 libpren60~~libpren65 0.6237 0.2958 0.3583 0.0818 libopos60~~efect60 1.3131 0.2726 0.7020 0.0614 libopos60~~libopos65 2.1529 0.3562 0.7338 0.0033 elecc60~~elecc65 0.7950 0.1906 0.6077 0.1908 efect60~~efect65 0.3482 0.1088 0.4422 0.4310 libopos65~~efect65 1.3562 0.3378 0.5683 0.0170 GNP60~~GNP60 0.0815 0.1539 0.0195 0.0000 energia60~~energia60 0.1198 0.0532 0.0697 0.0857 porc_ind60~~porc_ind60 0.4667 0.2394 0.0902 0.0000 libpren60~~libpren60 1.8914 0.2768 0.4444 0.0000 libopos60~~libopos60 7.3729 0.4857 1.3739 0.0000 elecc60~~elecc60 5.0675 0.4782 0.9517 0.0000 efect60~~efect60 3.1479 0.2848 0.7388 0.0000 libpren65~~libpren65 2.3510 0.3471 0.4802 0.0000 libopos65~~libopos65 4.9540 0.4435 0.9142 0.0000 elecc65~~elecc65 3.4314 0.3216 0.7128 0.0000 efect65~~efect65 3.2541 0.3147 0.6946 0.0000 IND60~~IND60 0.4484 1.0000 0.0867 0.0000 DEM60~~DEM60 3.9560 0.8004 0.9212 0.0000 DEM65~~DEM65 0.1725 0.0390 0.2148 0.4220 De esta forma, se confirma lo que se intuía a partir de las estimaciones estandarizadas observadas en la Figura (3.2), donde la mayoría de las relaciones propuestas aparentaban ser estadísticamente significativas. En la Tabla (3.8) aparecen asimismo resaltadas en rojo, aquellas relaciones en las que el correspondiente p-valor, indica que las mismas deben ser rechazadas como significativas, con un nivel de significación del 5%. En todos los casos, estas relaciones corresponden a varianzas y covarianzas entre variables observadas. CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS 41
3.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL Al analizar tabla anterior, se observa también que hay algunos valores de la columna correspondiente a los p-valores que aparecen ausentes, tomando el valor “NA” (valor establecido por R para referirse a valores perdidos o desconocidos). Esto es debido a las expresiones que utiliza la función parameterEstimates para calcular dichos p-valores. Así, estos son calculados mediante la expresión p-valor = 2 ·(1 −P(Z≤ |z|)), siendo Z∼N(0,1) yzel estadístico dado por la expresión z=est/se, donde est es la estimación del parámetro correspondiente y se el respectivo error estándar. Por tanto, en los casos en los que dicho error toma el valor 0, no es posible calcular el estadístico z, por lo que tampoco se puede calcular el correspondiente p-valor. Si nos centramos en las relaciones entre variables latentes, vemos que todas ellas han resultado ser estadísticamente significativas. Esto permite sacar algunas conclusiones interesantes en términos del problema que se está tratando. En primer lugar, podemos decir que existe una relación causal significativa entre la “fuerza” de la democracia en el año 1965 en los países estudiados y la “fuerza” de la democracia que había en esos mismos países en el año 1960. De igual forma, existe una relación causal significativa entre la “fuerza” de democracia en el año 1965 y el nivel de industrialización que existía cinco años antes en los países bajo estudio. Estas relaciones aparecen detalladas en la Tabla (3.9): Tabla 3.9: Relaciones estimadas y estandarizadas entre las variables latentes del modelo. PoliticalDemocracy Relación Estimación Estim. Estandarizada Error Estándar p-valor DEM60~IND60 1.4830 0.4467 0.3991 0.0002 DEM65~IND60 0.5723 0.1823 0.2213 0.0097 DEM65~DEM60 0.8373 0.8852 0.0984 0.0000 Por tanto, se puede afirmar que no existen evidencias en contra de la hipótesis de que el “nivel” de democracia que existe en un país, está fuertemente condicionado por el “nivel” de democracia que existía en dicho país en el pasado, así como por la industrialización que atravesaba el país en los años previos. Finalmente, se puede concluir que existe una relación causal significativa entre la “fuerza” de la democracia en un país y el nivel de industrialización que atraviesa dicho país en ese mismo momento. Esta conclusión podría ser de utilidad para los dirigentes de un país en el que se considere que se debe reforzar la “fuerza” o el nivel de la democracia, de manera que invertir en industria podría ser una buena forma de conseguir dicho objetivo. 3.2. Conjunto de datos Demo.twolevel Este segundo caso práctico nace con el objetivo de mostrar cómo se puede construir un modelo de ecuaciones estructurales cuando los datos con los que se está trabajando están agrupados en clusters, es decir, si tenemos un conjunto de datos con Nobservaciones, dichas observaciones estarán diferenciadas en kgrupos, de modo que cada grupo contendrá un número nide observaciones. En estos casos, la librería lavaan, permite la construcción de modelos SEM multinivel, si bien la implementación de este tipo de modelos es 42 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS
3.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL relativamente reciente y solo están recogidos los modelos con dos niveles. De esta forma, a la hora de especificar el modelo, se deben definir ambos niveles del siguiente modo: un primer nivel en el que se especificarán las relaciones entre variables intraclase, esto es, dentro del mismo cluster, y un segundo nivel con las relaciones interclase, es decir, entre los distintos grupos. Las especificaciones de cada uno de los niveles se llevan a cabo de forma totalmente análoga al caso de un solo nivel. Para ilustrar el uso de este caso particular de SEM, se ha escogido el conjunto de datos Demo.twolevel, perteneciente a la librería lavaan. Este conjunto de datos está construido únicamente con el fin de mostrar el uso práctico de los modelos SEM multinivel por lo que, al contrario que en el primer caso práctico, los datos no corresponden a un problema real. Aún así, a continuación se describirán las variables que forman parte del conjunto de datos. Los datos están formados por 2500 observaciones de 12 variables, una de las cuales corresponde al grupo o cluster al que pertenece cada observación. El resto de variables son 6 items (y1 - y6), tres covariables x1 - x3 intraclase, es decir, medidas dentro de un mismo grupo, y dos covariables w1, w2 interclase, es decir, medidas entre los distintos grupos. Estas dos últimas toman el mismo valor para todas las observaciones dentro de un mismo grupo. 3.2.1. Análisis descriptivo En primer lugar, analizando los valores de la base de datos, vemos que todas las variables toman valores tanto positivos como negativos, a excepción lógicamente de la variable cluster que define los distintos grupos en los que están divididos los datos. Se ve cómo los ítems y1 - y6, toman valores aproximadamente entre -6 y 6, mientras que el resto de variables toman valores aproximados dentro del intervalo (-3, 3). La variable cluster, como se ha mencionado antes, define los 200 grupos en los que se dividen las observaciones, los cuales toman un tamaño de 5, 10, 15 o 20 observaciones. Podemos encontrar un primer resumen descriptivo de las variables bajo estudio en la Tabla (3.10) Tabla 3.10: Resumen descriptivo de las variables del dataset Demo.twolevel Variable N Media Desviación Est. Mín Máx y1 2,500 0.025 1.729 −7.950 5.991 y2 2,500 −0.024 1.505 −5.170 6.152 y3 2,500 −0.024 1.421 −6.002 5.915 y4 2,500 0.064 1.544 −5.426 5.385 y5 2,500 0.078 1.403 −5.499 5.137 y6 2,500 0.012 1.356 −6.613 5.482 x1 2,500 −0.007 0.991 −3.588 3.134 x2 2,500 −0.003 1.006 −3.959 3.676 x3 2,500 0.020 1.022 −3.586 3.861 w1 2,500 0.020 0.959 −2.410 2.474 w2 2,500 −0.091 0.967 −3.017 2.196 cluster 2,500 101.000 57.744 1 200 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS 43
3.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL A continuación, para obtener una mejor visión de la distribución de los valores medios de las variables, se muestra una representación gráfica de los mismos, separados en distintos gráficos según la tipología de dichas variables. 0.02 −0.02 −0.02 0.06 0.08 0.01 Ítems y1−y6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 −0.01 00.02 Covariables Intraclase x1−x3 x1 x2 x3 −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 0.02 −0.09 Covariables Interclase w1−w2 w1 w2 −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 Figura 3.3: Distibución por medias muestrales de las variables bajo estudio. Demo.twolevel Observando los gráficos anteriores se ve como las variables y2, y3, x1 yw1 toman valores medios negativos, mientras que el resto de variables tienen medias positivas. Llama también la atención que las tres variables “intraclase” (x1, x2, x3) tienen valores medios bastante cercanos a cero. Finalmente, comentar cómo las dos variables medidas entre los distintos grupos (w1, w2), toman valores medios de distinto signo, y se observa una cierta diferencia entre ambos valores medios. No obstante, al no saber con exactitud la naturaleza de las variables, es difícil determinar cuál puede ser el origen de esta diferencia. 3.2.2. Comprobación de hipótesis previas En primer lugar, respecto al tamaño de la muestra, vemos que esta es de 2500 observaciones. Según la regla propuesta por Catena et al. en 2003, un tamaño muestral adecuado sería de ocho registros por la suma del número de variables observadas (en este caso 12) y el número de variables latentes (en este caso 2), lo que equivaldría a un tamaño de 44 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS
3.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL 112 registros. Por otro lado, si atendemos a la regla establecida por Marsh et al. a raíz del estudio publicado en 1998, basado en simulaciones realizadas a través del método de Montecarlo, resulta un tamaño muestral adecuado de unos 200 registros. En el caso de nuestro conjunto de datos, se ve que para ambos criterios se supera el tamaño muestral sugerido, por lo que podemos dar esta primera hipótesis por satisfecha. La segunda hipótesis a comprobar es la normalidad multivariante. Para ello, se han realizado los tests de asimetría y curtosis propuestos por Mardia, cuyos resultados se pueden consultar en la Tabla (3.11) Tabla 3.11: Tests de Mardia sobre normalidad multivariante. Demo.twolevel Prueba Estadístico p-valor Normalidad Mardia Skewness 679.6170 0.0000 NO Mardia Kurtosis 0.1603 0.8726 YES Es decir, de los dos tests propuestos por Mardia, únicamente se acepta la normalidad multivariante en el correspondiente a los valores de curtosis. Se han realizado también los respectivos tests de Shapiro-Wilk (A.2) a cada variable por separado, aceptándose la normalidad univariante únicamente para los variables y1, y2, y5, x1, x2 yx3. Finalmente, se han representado los histogramas (A.5) y gráficos cuantil-cuantil (A.4) para todas las variables de la base de datos. Todos estos resultados se pueden consultar en el apéndice A. Por tanto, ante la dudosa presencia de normalidad multivariante en el conjunto de nuestros datos, y con el objetivo de poder emplear estimadores de máxima verosimilitud en pasos posteriores, se puede hacer uso de las cotas propuestas en (J. Curran, 1996), y cuya satisfacción se cumple según los resultados que se muestran en la Tabla (3.12). En consecuencia, damos por verificada esta segunda hipótesis. Tabla 3.12: Estadísticos descriptivos de las variables bajo estudio y niveles de asimetría y curtosis Demo.twolevel n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew Kurtosis y1 2500 0.0247 1.7289 0.0269 -7.9504 5.9906 -1.1717 1.2090 -0.0046 -0.0031 y2 2500 -0.0242 1.5051 -0.0382 -5.1695 6.1518 -1.0275 0.9748 0.0275 -0.0156 y3 2500 -0.0236 1.4208 -0.0165 -6.0025 5.9146 -0.9464 0.8743 0.0302 0.4409 y4 2500 0.0641 1.5442 0.1088 -5.4263 5.3852 -0.9278 1.1214 -0.2000 0.1507 y5 2500 0.0779 1.4026 0.1004 -5.4988 5.1368 -0.8312 1.0038 -0.0492 0.0853 y6 2500 0.0123 1.3557 0.0177 -6.6129 5.4824 -0.8500 0.9161 -0.0764 0.3776 x1 2500 -0.0074 0.9913 0.0009 -3.5882 3.1337 -0.6513 0.6359 -0.0139 0.0892 x2 2500 -0.0029 1.0059 0.0264 -3.9594 3.6757 -0.6917 0.6479 0.0045 0.0881 x3 2500 0.0200 1.0225 0.0245 -3.5863 3.8609 -0.6883 0.6937 0.0176 -0.0740 w1 2500 0.0198 0.9588 0.0044 -2.4099 2.4741 -0.6142 0.7747 -0.1859 -0.4466 w2 2500 -0.0913 0.9665 -0.0817 -3.0175 2.1958 -0.8497 0.5624 0.0088 -0.2895 cluster 2500 101.0000 57.7437 100.5000 1.0000 200.0000 51.0000 151.0000 0.0000 -1.2017 CAPÍTULO 3. CASOS PRÁCTICOS 45
Capítulo 4 Conclusiones Este trabajo tenía como objetivo principal el estudio de los fundamentos de los SEM, así como mostrar ejemplos de aplicaciones prácticas de los mismos mediante librerías de R. Para ello, se partió definiendo la hipótesis fundamental sobre la que se basan los SEM, esto es, minimizar la diferencia entre la matriz de varianzas y covarianzas poblacional, y la matriz de varianzas y covarianzas reproducida por los parámetros del modelo. También se ha presentado el marco histórico en el que surgen los SEM, así como el punto en el que se encuentra la investigación actual en torno a los mismos. Esto permite hacerse una idea de las líneas futuras de trabajo que se pueden tomar alrededor de este campo. Además, se ha hecho hincapié en el concepto de causalidad y sus diferencias con el de correlación, viéndose que el primero tiene una interpretación mucho más compleja que una “simple” correlación entre variables. Ha resultado importante también la presentación de los distintos tipo de SEM que existen, desde el más sencillo formado únicamente por variables observadas (path analysis), hasta el modelo general capaz de estudiar relaciones causales entre variables observadas y latentes, además de entre las propias variables latentes. Ha quedado claro también que los SEM pueden ser una herramienta muy potente para validar teorías en campos como la sociología, si bien tienen algunas limitaciones, como su sensibilidad al tamaño de la muestra, o a la distribución seguida por los datos. En la construcción de los modelos propiamente dichos, ha resultado especialmente decisivo el realizar una buena especificación de los modelos estructural y de medida, pues de esta especificación depende en gran parte la validez de las estimaciones que se obtengan y, por tanto, de nuestro modelo. En lo referente a las aplicaciones prácticas, en la primera de ellas se ha tratado un problema como la “fuerza” o expansión de la democracia y la industrialización en países en vías de desarrollo, llegándose a la conclusión de que el “nivel” de democracia en un país está fuertemente influenciado por el “nivel” de democracia que había en dicho país en el pasado, así como por el grado de industrialización que atraviesa dicho país. Como se comentó en el capítulo correspondiente a esta práctica, estas conclusiones pueden resultar de utilidad para dirigentes de países en los que se considere necesario reforzar la fuerza democrática, ya que invertir en industria podría ser un buen modo de alcanzar este objetivo. Finalmente, en la segunda práctica se ha visto cómo el software R permite construir también modelos SEM en los casos en los que los datos tienen sus observaciones divididas 53
en grupos o clusters, empleando para este fin dos niveles: un nivel intraclase, es decir, dentro de cada grupo, y un nivel interclase, es decir, entre los distintos grupos. Para finalizar, comentar que los modelos de ecuaciones estructurales, son mucho más extensos que lo abarcado en este trabajo, donde por limitación de extensión y objetivos, se han presentado únicamente los resultados más relevantes y, en el caso de las aplicaciones prácticas, los modelos que proporcionaban mejores estimaciones. Señalar por último que para la realización de este trabajo, se han empleado los conocimientos adquiridos a lo largo de todo el Grado en Estadística, de modo que su ejecución ha permitido ampliar los conocimientos alcanzados en algunas asignaturas como Análisis Multivariante, donde ya se introdujo un caso particular de los SEM, como es el análisis factorial. 54 CAPÍTULO 4. CONCLUSIONES
Apéndice A Apéndice: Hipótesis previas A.1. Conjunto de datos politicalDemocracy A.1.1. Normalidad univariante Tabla A.1: Tests de Shapiro-Wilk a las variables del estudio. PoliticalDemocracy Variable Estadístico p-valor Normalidad libpren60 0.9316 6e-04 No libopos60 0.8311 <0.001 No elecc60 0.8547 <0.001 No efect60 0.8994 <0.001 No libpren65 0.9598 0.0179 No libopos65 0.8107 <0.001 No elecc65 0.8715 <0.001 No efect65 0.9006 <0.001 No GNP60 0.9751 0.1454 Sí energia60 0.9763 0.1715 Sí porc_ind60 0.9734 0.1145 Sí 55
A.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY Gráficos Q-Q Figura A.1: Gráficos Cuantil-Cuantil de las variables bajo estudio. PoliticalDemocracy 56 APÉNDICE A. APÉNDICE: HIPÓTESIS PREVIAS
A.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY Histogramas Figura A.2: Histogramas de las variables bajo estudio. PoliticalDemocracy APÉNDICE A. APÉNDICE: HIPÓTESIS PREVIAS 57
A.1. CONJUNTO DE DATOS POLITICALDEMOCRACY A.1.2. Matriz de correlaciones Figura A.3: Matriz de correlaciones. PoliticalDemocracy 58 APÉNDICE A. APÉNDICE: HIPÓTESIS PREVIAS
A.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL A.2. Conjunto de datos Demo.twolevel A.2.1. Normalidad univariante Tabla A.2: Tests de Shapiro-Wilk a las variables del estudio. Demo.twolevel Variable Estadístico p-valor Normalidad y1 0.9992 0.3667 Sí y2 0.9997 0.9696 Sí y3 0.9981 0.0051 No y4 0.9972 2e-04 No y5 0.9994 0.6226 Sí y6 0.9984 0.0134 No x1 0.9992 0.334 Sí x2 0.9994 0.619 Sí x3 0.9994 0.7138 Sí w1 0.9892 <0.001 No w2 0.9930 <0.001 No cluster 0.9547 <0.001 No APÉNDICE A. APÉNDICE: HIPÓTESIS PREVIAS 59
A.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL Gráficos Q-Q Figura A.4: Gráficos Cuantil-Cuantil de las variables bajo estudio. Demo.twolevel 60 APÉNDICE A. APÉNDICE: HIPÓTESIS PREVIAS
A.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL Histogramas Figura A.5: Histogramas de las variables bajo estudio. Demo.twolevel APÉNDICE A. APÉNDICE: HIPÓTESIS PREVIAS 61
B.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL lavInspect(ajuste) #Representación gráfica del path diagram semPaths(ajuste, whatLabels = "std",style="lisrel", layout="tree2", reorder=FALSE, optimizeLatRes=TRUE, edge.label.position=.5, edge.label.cex = 0.8,edge.color = "darkblue" ) ## Estimación de los parámetros del modelo y presentación en tabla: Estim <- parameterEstimates(ajuste, standardized=TRUE) Relaciones <- paste0(Estim$lhs, Estim$op, Estim$rhs) tabla35 <- data.frame(Relaciones, Estim$est, Estim$std.all, Estim$se, Estim$pvalue) kable(tabla35, col.names = c("Relación","Estimación", "Estim. Estandarizada","Error Estándar", "p-valor"),booktabs = T, caption = "\\label{tabla35}Relaciones estimadas y estandarizadas",align = "c",digits = 4, longtable = T) %> % kable_styling(latex_options = c("scale_down","condensed","H", "repeat_header"), repeat_header_text = "(continuación)") %> % row_spec(row = c(15,16,18,19,22,34), color = "red") ## Resumen del modelo summary(ajuste2, standardized = T, fit.measures = T) B.2. Conjunto de datos Demo.twolevel ###################################################### ####CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL################### ###################################################### ####LECTURA DE LOS DATOS#### Demo.twolevel ####GRÁFICOS DE COLUMNAS#### 68 APÉNDICE B. APÉNDICE: CÓDIGO EMPLEADO
B.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL medias1_2 <- apply(Demo.twolevel[,1:6], 2, mean) medias2_2 <- apply(Demo.twolevel[,7:9], 2, mean) grafico1_2 <- data.frame(variable = names(medias1_2), medias = round(medias1_2, 2), row.names = NULL) %> % ggplot(aes(x = variable, y=medias,fill=variable)) + geom_bar(width = 0.9,stat="identity", position = position_dodge(), fill = c("blue4","aquamarine3","purple","brown4", "cadetblue","deeppink3"), colour = "black" )+ ylim(c(-.1,.1)) + labs(x="",y= "") + labs(fill = "")+ geom_text(aes(label=medias), vjust=-.5, position = position_dodge(0.9), size=4.0 ) + facet_wrap(~"Ítems y1-y6") + theme_bw(base_size = 15) + theme(axis.text.x = element_text(vjust = 1,size = 15)) grafico2_2 <- data.frame(variable = names(medias2_2), medias = round(medias2_2, 2), row.names = NULL) %> % ggplot(aes(x = variable, y=medias,fill=variable)) + geom_bar(width = 0.9,stat="identity", position = position_dodge(), fill = c("aquamarine3","blue4", "deeppink3"), colour = "black" )+ ylim(c(-.1, .1)) + labs(x="",y= "") + labs(fill = "")+ geom_text(aes(label=medias), vjust=-.5, position = position_dodge(0.9), size=4.0 ) + facet_wrap(~"Covariables Intraclase x1-x3") + theme_bw(base_size = 15) + theme(axis.text.x = element_text(vjust = 1,size = 15)) grafico1_2 + grafico2_2 APÉNDICE B. APÉNDICE: CÓDIGO EMPLEADO 69
B.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL medias3_2 <- apply(Demo.twolevel[,10:11], 2, mean) grafico3_2 <- data.frame(variable = names(medias3_2), medias = round(medias3_2, 2), row.names = NULL) %> % ggplot(aes(x = variable, y=medias,fill=variable)) + geom_bar(width = 0.7,stat="identity", position = position_dodge(), fill = c("blue4","deeppink3"), colour = "black" )+ ylim(c(-.1, .1)) + labs(x="",y= "") + labs(fill = "")+ geom_text(aes(label=medias), vjust=-.5, position = position_dodge(0.9), size=4.0 ) + facet_wrap(~"Covariables Interclase w1-w2") + theme_bw(base_size = 15) + theme(axis.text.x = element_text(vjust = 1,size = 15)) grafico3_2 ####ESTUDIO DESCRIPTIVO#### ##Resumen descriptivo stargazer(Demo.twolevel,header = FALSE,table.placement = "H") #summary(datos) ####HIPÓTESIS PREVIAS#### ##NORMALIDAD MULTIVARIANTE## #Tests de Mardia normalidad2 <- mvn(data = Demo.twolevel, mvnTest = "mardia") norm_multi2 <- normalidad2$multivariateNormality[-3,] norm_multi2[,2]<- as.numeric(as.vector(norm_multi2[,2])) norm_multi2[,3]<- as.numeric(as.vector(norm_multi2[,3])) kable(norm_multi2, caption = "\\label{tabla38}Tests de Mardia sobre normalidad multivariante. Demo.twolevel", col.names = c("Prueba","Estadístico","p-valor","Normalidad"), align = "c",booktabs = T, digits = 4) %> % kable_styling(latex_options = "H") ## Tabla de descriptivos acompañados de valores de asimetría y curtosis 70 APÉNDICE B. APÉNDICE: CÓDIGO EMPLEADO
B.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL normalidad2$Descriptives kable(normalidad2$Descriptives, align = "c",format = "latex",booktabs=T, caption = "\\label{tabla39}Descriptivos de las variables bajo estudio y niveles de asimetría y curtosis Demo.twolevel", digits = 4) %> % kableExtra::kable_styling(latex_options = c("scale_down","condensed", "H"), position = "center") ##Normalidad Univariante # Tests de Shapiro-Wilk norm_univ2 <- mvn(data = Demo.twolevel, mvnTest = "mardia", univariateTest = "SW")$univariateNormality[,-1] norm_univ2$Normality[norm_univ2$Normality == " YES "]<- "Sí" norm_univ2$Normality[norm_univ2$Normality == " NO "]<- "No" kable(norm_univ2, col.names = c("Variable","Estadístico","p-valor", "Normalidad"), align = "c", caption = "\\label{tablashapiro2}Tests de Shapiro-Wilk a las variables del estudio. Demo.twolevel",booktabs = T) %> % kable_styling(latex_options = "H") #Gráficos Q-Q mvn(data = Demo.twolevel, mvnTest = "mardia",univariatePlot = "qqplot") # Histogramas mvn(data = Demo.twolevel, mvnTest = "mardia", univariatePlot = "histogram") ##ANÁLISIS DE CORRELACIONES## #Matriz de correlaciones mat_cor2 <- cor(Demo.twolevel, method = "spearman") cor.plot(mat_cor2, cex = 0.75) #Determinante de la matriz de correlación det(mat_cor2) #Prueba de esfericidad de Bartlett bartlett.test(Demo.twolevel) APÉNDICE B. APÉNDICE: CÓDIGO EMPLEADO 71
B.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL ####CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN DEL MODELO ##Especificación del modelo modelo2 <- ' level: 1 FW =~ y1 + y2 + y3 FW ~ x1 + x2 + x3 level: 2 FB =~ y1 + y2 + y3 FB ~ w1 + w2 ' #Ajuste del modelo ajuste2 <- sem(model = modelo2, data = Demo.twolevel, cluster = "cluster") #Índices de ajuste Indices_ajuste2 <- round(as.vector(fitMeasures(ajuste2, c("chisq","df","cfi", "tli","rmsea","srmr"))), 4) kable(cbind("chisq" =as.character(Indices_ajuste2[1]), "df" =Indices_ajuste2[2], "CFI" =Indices_ajuste2[3], "TLI" =Indices_ajuste2[4], "RMSEA" =Indices_ajuste2[5], "RMSR" =Indices_ajuste2[6]), align = "c",digits = 4, booktabs = T, caption = "\\label{tabla310}Bondad de ajuste del modelo SEM multinivel",format = "latex") %> % kable_styling(latex_options = "H") %> % row_spec(row = 1, background = "yellow") ## EXTRACCIÓN DE INFORMACIÓN DEL MODELO # Medias y covarianzas fitted(ajuste2) #lavInspect(ajuste2, "h1") # Matrices empleadas en la construcción del modelo lavInspect(ajuste2) #Representación gráfica del path diagram lavaanPlot(model = ajuste2, 72 APÉNDICE B. APÉNDICE: CÓDIGO EMPLEADO
B.2. CONJUNTO DE DATOS DEMO.TWOLEVEL node_options = list(shape = "box", fontname = "Helvetica"), edge_options = list(color = "blue"), coefs = T, stand = T, covs = T) ## Estimación de los parámetros del modelo y presentación en tabla: Estim2 <- parameterEstimates(ajuste2, standardized=TRUE) Relaciones2 <- paste0(Estim2$lhs, Estim2$op, Estim2$rhs) tabla311 <- data.frame(Relaciones2, Estim2$est, Estim2$std.all, Estim2$se, Estim2$pvalue) kable(tabla311, col.names = c("Relación","Estimación", "Estim. Estandarizada", "Error Estándar","p-valor"), booktabs = T, caption = "\\label{tabla311}Relaciones estimadas y estandarizadas. Demo.twolevel",align = "c",digits = 4, longtable = T) %> % kable_styling(latex_options = c("scale_down","condensed","H", "repeat_header"), repeat_header_text = "(continuación)") %> % row_spec(row = c(28,29,36,37,38), color = "red") ##Resumen del modelo summary(ajuste2, standardized = T, fit.measures = T) APÉNDICE B. APÉNDICE: CÓDIGO EMPLEADO 73
Bibliografía Allaire, J., Xie, Y., Dervieux, C., McPherson, J., Luraschi, J., Ushey, K., Atkins, A., Wickham, H., Cheng, J., Chang, W., and Iannone, R. (2023). rmarkdown: Dynamic Documents for R. R package version 2.22. Bollen, K. A. (1989). Structural Equations with Latent Variables. John Wiley and Sons, Incorporated, first edition. Cronbach, L. J. (1951). Coefficient alpha and the internal structure of tests. Psychometrika, 16(3):297–334. Cupani, M. (2012). Análisis de ecuaciones estructurales: conceptos, etapas de desarrollo y un ejemplo de aplicación. Revista Tesis, 2(1):186–199. Gutiérrez-Doña, B. (2008). Modelos lineales estructurales: Conceptos básicos, aplicaciones y programación con LISREL. Instituto de Investigaciones Psicológicas de la Universidad de Costa Rica, first edition. J. Curran, P. e. a. (1996). The robustness of tests statistics to nonormality and specification error in confirmatory factor analisys. Psychological Methods, 1(1):16–29. Labraca, J. M. I. (2021). "modelos de ecuaciones estructurales". Disponible en http: //repositorio.ual.es/handle/10835/13177. Luque-Calvo, P. L. (2017). Escribir un Trabajo Fin de Estudios con R Markdown. Luque-Calvo, P. L. (2019). Cómo crear Tablas de información en R Markdown. Manzano Patiño, A. (2018). Introducción a los modelos de ecuaciones estructurales. Investigación en Educación Médica, 7(25):67–72. Maruyama, G. M. (1997). Basics of Structural Equation Modeling. SAGE Publications, Incorporated, first edition. R Core Team (2016). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Roseel, Y., Jorgensen, T. D., Roockwood, N., Oberski, D., Byrnes, J., Vanbrabant, L., Savalei, V., Merkle, E., Hallquist, M., Rhemtulla, M., Katsikatsou, M., Barendse, M., Scharf, F., and Du, H. (2023). lavaan: Latent Variable Analysis. R package version 0.6-15. Rosseel, Y. (2012). Lavaan: An r package for structural equation modeling. Journal of Statistical Software, 48(2):1–36. 75
Bibliografía Rosseel, Y. (2022). The lavaan tutorial. RStudio Team (2015). RStudio: Integrated Development Environment for R. RStudio, Inc., Boston, MA. Ruiz, M. A. e. a. (2010). Modelos de ecuaciones estructurales. Papeles del Psicólogo, 31(1):34–45. Techopedia (2017). "definition - what does business intelligence (bi) mean?". Disponible en https://www.techopedia.com/definition/345/business-intelligence-bi. Tomás Vargas Halabí, R. M.-E. (2017). Tamaño de la muestra en modelos de ecuaciones estructurales con constructos latentes: Un método práctico. Actualidades Investigativas en Educación, 17(1):1–34. Wickham, H., Chang, W., Henry, L., Pedersen, T. L., Takahashi, K., Wilke, C., Woo, K., Yutani, H., and Dunnington, D. (2023a). ggplot2: Create Elegant Data Visualisations Using the Grammar of Graphics. R package version 3.4.2. Wickham, H., François, R., Henry, L., Müller, K., and Vaughan, D. (2023b). dplyr: A Grammar of Data Manipulation. R package version 1.1.2. Xie, Y. (2023). knitr: A General-Purpose Package for Dynamic Report Generation in R. R package version 1.43. 76