P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
T abajo Fin de Más e
Más e de Diseño A anzado en Ingenie ía Mecánica
P oduccion masi a de mic obu bujas
monodispe sas pa a aplicaciones eales
e i ando la mic o luídica
Au o : En ique Jesús Sánchez Quin e o
Tu o : José Manuel Go dillo A ias de Saa ed a
Depa amen o Mecánica de Fluidos e Ingenie ía
Ae oespacial
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2017
T abajo Fin de Más e
Más e de Diseño A anzado en Ingenie ía Mecánica
P oduccion masi a de mic obu bujas
monodispe sas pa a aplicaciones eales
e i ando la mic o luídica
Au o :
En ique Jesús Sánchez Quin e o
Tu o :
José Manuel Go dillo A ias de Saa ed a
Ca ed á ico de Uni e sidad
Depa amen o Mecánica de Fluidos e Ingenie ía Ae oespacial
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2017
T abajo Fin de Más e :
P oduccion masi a de mic obu bujas
monodispe sas
pa a aplicaciones
eales e i ando la mic o luídica
Au o : En ique Jesús Sánchez Quin e o
Tu o : José Manuel Go dillo A ias de Saa ed a
El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es:
P esiden e:
Vocal/es:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

Ag adecimien os
Es
e abajo no hubie a sido posible sin la colabo ación de mi u o José Manuel Go dillo, a quien debo
la g a i ud de habe podido dis u a con la ealización de es e p oyec o. La mo i ación asmi ida
du an e odo el abajo expe imen al y su igu osidad en cada azonamien o me han hecho c ece an o
académica como pe sonalmen e. De la misma o ma puedo es a ag adecido a Ál a o E angelio, quien
comenzó es e peculia p oyec o y cuyo abajo ha sido capi al pa a log a los esul ados aquí mos ados.
También quie o ag adece la colabo ación de compañe os como Manuel González en la ab iación y diseño
de odos los disposi i os empleados en los expe imen os y a F ancisco del Campo po su ayuda con el mon aje
expe imen al. Como suele deci se, "y po úl imo aunque no po ello menos impo an e", a mi pa eja y mi
amilia, po odo su apoyo mos ado du an e es os meses de abajo.
!Muchas g acias a odos!
En ique Jesús Sánchez Quin e o
Se illa, 2017
I
Resumen
La
p oducción de mic obu bujas monodispe sas hoy en día ha alcanzado un impo an e desa ollo. Po su
pa e, las aplicaciones a ni el cien í ico, indus ial y médico que demandan cada ez más la gene ación
de bu bujas de amaños submilimé icos han con ibuido a mo i a un g an inc emen o en el conocimien o de
es e campo de la Mecánica de Fluidos. Tan o es así que se han desa ollado mul i ud de ecnologías basadas
en disposi i os mic o luídicos con el in de consegui p oduci bu bujas monodispe as con el meno diáme o
posible y a las mayo es ecuencias de bu bujeo posibles. Si bien cada ipo de disposi i o di ie e lige amen e
de los demás y p esen a sus en ajas e incon enien es en e a es os, bien es cie o que odos ienen en común
las mic omé icas dimensiones ca ac e ís icas de su geome ía. Es e hecho implica que desa olla y ope a un
disposi i o pa a la gene ación de mic obu bujas monodispe as no sea una labo sencilla; además, el empleo
de disposi i os de es a escala limi a mucho las ecuencias máximas de p oducción de bu bujas. Sin emba go,
el p oceso de o mación de una bu buja no a necesa iamen e ligado al empleo de es e ipo de disposi i os
mic o luídicos. El es ado del a e sob e el conocimien o en lo que al p oceso de o mación se e ie e iden i ica,
en e o as a iables, al g adien e a o able de p esión local en el pun o de o mación de la bu buja como uno
de los ac o es p incipales en el p oceso, de e minando el diáme o y ecuencia de p oducción. Así, dado
que exis en mul i ud de geome ías donde un líquido puede e se some ido a ue es g adien es a o ables
de p esión, se ha decidido explo a o as soluciones ecnológicas que, empleando los mismos p incipios
ísicos que gobie nan la o mación de bu bujas en los disposi i os mic o luídicos, pe mi an p oduci es as
en geome ías comple amen e di e en es, con el in de ex ende los campos de aplicación de la p oducción
monodispe sa de mic obu bujas y aumen a las ecuencias ac uales de p oducción.
III
XÍndice
Apéndice A In oducción a la Ae odinámica po encial 45
A.1 In oducción 45
A.2 Ecuaciones gene ales 46
A.3 Ecuaciones simpli icadas 47
A.4 Ecuación de la o icidad y lujos po enciales 51
A.5 Resolución de la ecuación de Laplace median e supe posición de soluciones elemen ales 52
A.5.1 Función po encial co espondien e a una co ien e uni o me, φ152
A.5.2 Función po encial co espondien e a un manan ial o un sumide o, φ253
A.5.3 Función po encial co espondien e a un o bellino, φ354
A.5.4 Función po encial co espondien e a un doble e, φ454
A.5.5 Po encial c eado po la supe posición de soluciones elemen ales 55
A.6 Fue zas sob e obje os bidimensionales según la eo ía po encial 56
A.6.1 Fue zas sob e un cilind o de adio =ainme so en un lujo po encial 56
A.6.2 Fue zas sob e obje os bidimensionales de geome ía a bi a ia inme sos en un lujo po encial 57
A.7 Gene ación de ci culación y condición de Ku a-Joukowski 58
A.8 Resolución numé ica del lujo al ededo de un pe il ae odinámico: mé odo de los elemen os de
con o no 61
Apéndice B Ae odinámica de alas de en e gadu a ini a. Vo ex-La ice 67
B.1 Ecuación del po encial y condiciones de con o no 67
B.2 Resolución del p oblema sus en ado : mé odo de Vo ex La ice 70
B.2.1 Campo de elocidades. Analogía de Bio y Sa a 70
B.2.2 Aspec os ele an es de la implemen ación numé ica 73
B.2.3 Ci culación y ángulo de a aque inducido 74
Índice de Figu as 77
Índice de Tablas 81
Bibliog a ía 83
Índice al abé ico 85
Glosa io 85

1 In oducción
P
oduci bu bujas de amaño mic omé ico iene, hoy día, nume osas aplicaciones que an más allá de
aquellas des inadas a p ocesos a escala de labo a o io. De hecho, el g an desa ollo y la di e sidad de
ecnologías desa olladas en los úl imos años han dado luga a ecien es e isiones del es ado del a e que
a an con g an de alle an o los undamen os que sus en an la p oducción de mic obu bujas monodispe sas
como sus aplicaciones ( éase [
1
]). Tan o es así que el empleo de mic obu bujas iene cabida en p ocesos de
índole an a iada como el a amien o de aguas, la indus ia alimen a ia, y odo ipo de p ocesos médicos y
a macológicos, po ci a algunos ejemplos. Así, pa a la ob ención de imágenes po ul asonidos, el uso de
mic obu bujas como angen es de con as e ha demos ado a oja unos excelen es esul ados [
2
,
3
,
4
]. Po
o o lado, las ele adas necesidades de ai eación y el g an po cen aje que es a ocupa en el cos e de ope ación
de los bio eac o es [
5
,
6
] hacen que el adecuado con ol del amaño y la ecuencia de p oducción de las
bu bujas enga un ue e impac o en la e iciencia del p oceso.
Cuando se equie e el uso de mic obu bujas en aplicaciones como las mencionadas an e io men e, se
dispone de es a iables que se desean con ola : el diáme o medio de las bu bujas,
db
, la ecuencia de
p oducción de es as,
b
y el índice de polidispe sión,
PDI =∑n
i(Di−hDi)2/n
(siendo
Di
el diáme o de
cada bu buja,
hDi
el diáme o medio y
n
el núme o de pa ículas), ya que pa a conside a que la p oducción
de mic obu bujas es monodispe a es as ienen que ene un PDI po debajo del 5% [
1
]. Así, en el caso
de la oxigenación de bio eac o es, ípicamen e se á necesa io sa is ace la demanda de oxígeno de los
mic oo ganismos p esen es, OUR (Oxygen Up ake Ra e, de sus siglas en inglés), po lo que el a io de
ans e encia de oxígeno (Oxygen T ans e Ra e-OTR) puede se el paso limi an e en odo el p oceso [
5
]. El
pa áme o que con ola el OTR es, dado un g adien e de concen ación, el coe icien e de ans e encia de
masa,
kLa
, siendo
kL
el cocien e en e la cons an e de di usión pa a una di e encia de concen ación y á ea
de e minadas, y se encuen a di ecamen e a ec ado po la ecuencia y el diáme o de las bu bujas. En e ec o,
el a ea especí ica de in e ase, i.e. el a ea po unidad de olumen de las bu bujas, depende de o ma in e sa
del diáme o de las bu bujas (
a=6φ/db
, con
φ
la acción de gas en el medio). Po lo an o, a meno diáme o
de las bu bujas mayo es el coe icien e de ans e encia de ans e encia de masa, lo que se aduce en úl ima
ins ancia en una educción del caudal de ai e eque ido pa a sa is ace el OUR del cul i o, con el consiguien e
aho o que es a implica. Es po ello que el empleo de di uso es de bu buja ina [
7
,
6
], con diáme os 1-3 mm,
o incluso de mic obu bujas [
8
,
9
,
10
], con diáme os 10-500
µ
m, esul a esencial cuando se a a de aumen a
la e iciencia del p oceso de ai eación; no obs an e, ambién se ha epo ado que la p esencia de su ac an es y
an iespuman es en el medio puede educi c í icamen e el alo de dicho coe icien e en los casos en los que
se a o ece la coalescencia ( éase [
11
]), mien as que la p esencia de una de e minada concen ación de sal
(equi alen e al lodo p esen e en las aguas no a adas) puede inhibi p ecisamen e es a coalescencia [7].
Como puede obse a se, las exigencias de las indus ias ac uales, que equie en cada ez mayo es e-
cuencias de p oducción y meno es diáme os de las bu bujas, conlle a que se hayan desa ollado di e en es
ecnologías pa a pode consegui una población monodispe sa donde se pueda con ola an o
db
como
b
.
Todas es as ecnologías eme gen es emplean disposi i os mic o luídicos de amaño milimé ico y submilimé-
ico que, aunque puedan pa ece muy simila es en e sí, se undamen an en p incipios ísicos di e en es que
con iene comp ende [
1
]. De es e modo, el capí ulo se es uc u a de la siguien e o ma: en p ime luga , se
ealiza una desc ipción de las ecuaciones que gobie nan la dinámica de una bu buja que se p oduce en el
seno de un líquido, después, se enume an las di e sas ecnologías que se han desa ollado y que se u ilizan
pa a gene a una población monodispe sa de mic obu bujas en los di e en es egímenes. En algunas de es a
aplicaciones, el papel del g adien e de p esión exis en e en el líquido ex e io juega un papel undamen al
1
2Capí ulo 1. In oducción
que se desc ibe con de alle en la Sección 1.3. Finalmen e, conside ando las pequeñas geome ías empleadas
en las ecnologías ac uales y el ol de e minan e del g adien e de p esión, se expond án las ideas que han
lle ado al desa ollo del disposi i o que en es e abajo se es udia.
1.1 Fundamen os de la gene ación de bu bujas
Lejos de lo que pudie a in ui se, la gene ación de bu bujas es un p oceso con impo an es di e encias espec o
al p occeso de p oducción de go as. En gene al, pa a gene a go as de adio
d
a una ecuencia
d∼U/ d
,
bas a con inyec a el líquido a a és de un ubo de adio
∼ d
a una elocidad
U&Uc
, con
Uc= [σ/(ρg)]1/2
la elocidad capila 1[1].
Sin emba go, en el caso de la o mación de bu bujas pa a es as condiciones, el compo amien o es di e en e.
Po un lado, en el caso de gene ación cuasies á ica en el que
UUc
, el adio de la bu buja iene dado
po el conocido adio de F i z, que esul a del balance de es ue zos de ensión supe icial con la ue za de
lo ación, F/ ∼[3/(2Bo)]1/3, con Bo =ρg 2
/σel núme o de Bond, que mide la impo ancia ela i a de
los es ue zos de ensión supe icial en e a los es ue zos de olumen (g a edad/ lo ación). Sin emba go, si se
desea educi el diáme o de las bu bujas o inc emen a la ecuencia de p oducción aumen ando la elocidad
de inyección del gas a alo es po encima de
Uc
, lejos de ob ene un cho o de adio compa able al del injec o ,
se ob ienen (po encima de cie a elocidad) bu bujas de olumen
Vb∝Qg/g1/26/5>4/3π 3
F
[
1
], y lo
que es más, si se sigue aumen ando la elocidad, las bu bujas ce canas en e sí pueden coalesce , con lo que
el diáme o inal ob enido es mucho mayo [?].
Pa a explica es as di e encias en e ambos p ocesos, si se desp ecian los e ec os dinámicos del gas (ya que
ρg/ρ1yµg/µ1), y se conside a que la bu buja es p ác icamen e es é ica, con una p esión uni o me
en su in e io , la dinámica de la bu buja puede desc ibi se a a és de la ecuación de Rayleigh-Plesse .
ρRb¨
Rb+3
2˙
R2
b=∆pexi −2σ
Rb−4µ˙
Rb
Rb
(1.1)
Tal y como se puede obse a en [
1
], pa a que el c ecimien o de la bu buja y su pos e io colapso engan
luga , equie e que el é mino
∆p−2σ/Rb
cambie de posi i o, alo que adqui e en los p ime os ins an es
mien as la bu buja se in la, a nega i o, momen o en el que las elocidades nega i as ce ca del inyec o la
ha án colapsa . La Ecuación (1.1) jun o con la ecuación de con inuidad
Qg=dVb
d ≃4πR2
b˙
Rb(1.2)
y la elación en e la p esión de inyección y el caudal en la línea de gas2
p0−pexi =ρgKRegQg/π 2
2(1.3)
p opo cionan el conjun o de ecuaciones necesa io pa a desc ibi sucin amen e las ecnologías de la
Sección 1.2 y, con ellas, el diáme o y ecuencia de p oducción de las bu bujas inalmen e ob enidas.
Sin e izando una ez más las ideas expues as en [
1
], el p oceso de o mación de una bu buja en una piscina
en eposo puede esquema iza se en las siguien es e apas:
•
En p ime luga , pa a sa is ace Ecuación
(1.3)
, el olumen de la bu buja debe aumen a , lo que p o oca
elocidades adiales en el líquido hacia ue a de la bu buja.
•
La p esión del gas en el in e io de la bu buja es p ác icamen e uni o me, y debe adap a se a la del
líquido ex e io en algún pun o en e
z=0
( éase la Figu a 1.1) y
z=2Rb
, el ceni de la misma,
supóngase en z∼Rb.
•
A medida que el adio de la bu buja aumen a, la pun a de la bu buja se encuen a con una sob ep esión
espec o al líquido ex e io del o den de
∼ρgRb
, lo que con ibuye a que el gas acele e al líquido
ex e io , mien as que, en
z=0
, es el líquido el que eje ce una sob ep esión sob e la base de la bu buja
del o den de
∼ −ρgRb
, lo que conlle a que el líquido induzca elocidades hacia el in e io de la
bu buja.
1Se emi e al lec o in e esado en la o u a e ines abilidades de cho os líquidos a la excelen e e isión [12]
2
Nó ese que no puede p esupone se, a p io i, la cons ancia del caudal, debido a las dos e apas bien di e enciadas que exis en en el
p oceso de gene ación de bu bujas.
1.2 Disposi i os pa a la gene ación de mic obu bujas 3
7
6
5
4
3
2
1
00 1 2 3 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8
380
P essu e
(Pa)
/
z/
360
340
320
300
280
Figu a 1.1
Con o nos de p esión en las ases iniciales del p oceso de o mación de una bu buja pa a un
núme o de Bond, Bo =0.245. Co esía de [1].
Po lo an o, si nos ceñimos al caso no iscoso, la bu buja se desp ende á del inyec o cuando la elocidad
hacia aden o en
z=0
, que su ge del balance de Ecuación
(1.1)
,
∆p=pexi −2σ/Rb∼ρ˙
R2
b
coincida con la
elocidad hacia a ue a impues a po con inuidad, ∼Qg/4πR2
b.
Qg
R2
b∼s∆p
ρ∼pgRb⇒db∼Qg
g1/22/5
(1.4)
siendo, inalmen e, la ecuencia de p oducción
b∼Qg
d3
b∼ g3
Qg!1/5
(1.5)
Así, aunque puede emplea se es e sencillo mé odo pa a p oduci bu bujas simplemen e inyec ando gas en
el seno de un líquido en eposo, la bu bujas ob enidas poseen un diáme o signi ica i amen e mayo que el
adio del inyec o y con ecuencias que dec ecen con el caudal, po lo que no esul a un mé odo adecuado
pa a sa is ace las demandas que las aplicaciones ac uales equie en en lo que a diáme os y ecuencias
se e ie e[
1
]. Ello ha p opiciado el desa ollo de ecnologías más so is icadas basadas en disposi i os con
geome ías mic o luídicas como las que se de allan a con inuación, capaces de p oduci en masa bu bujas de
diáme os mic omé icos.
1.2 Disposi i os pa a la gene ación de mic obu bujas
Una ez que se han desc i o las ecuaciones necesa ias pa a la comp esión de los undamen os de la gene ación
de bu bujas en el seno de un líquido, se es á en disposición de enume a y desc ibi de o ma sucin a las
ecnologías más ele an es que, ac ualmen e, se emplean pa a p oduci las masi amen e las mencionadas
bu bujas. Con iene eco da que las soluciones ecnológicas que aquí se p esen an no son las únicas que
pe mi en la p oducción de bu bujas con amaños submilimé icos; en e ec o, en aplicaciones indus iales
como los eac o es químicos, los es ue zos de co adu a causados po el lujo u bulen o gene an bu bujas
mic omé icas pe o con una g an dispe sión de amaños [1].
De nue o, al igual que se ealizó en Sección 1.1, se espe a á la es uc u a de [
1
] pa a p esen a las
ecnologías que a con inuación se desc iben, no ex endiénsose en exceso y pudiendo encon a el lec o una
desc ipción más de allada an o en el e iew como en las e e encias ci adas en él. Así pues, en la Figu a 1.2,
se desc iben de o ma esquemá ica los disposi i os más ele an es pa a la p oducción de bu bujas ac ualmen e.
En la igu a se pueden dis ingui dos ipos p incipales de ecnologías: aquellas emplean una co ien e de líquido
pa a p o oca el colapso de la co ien e gaseosa pa a la o mación de bu bujas (Figu a 1.2a-d) y aquellas
que en las que se emplean ul asonidos (Figu a 1.2e- ). A su ez, de en e las p ime as, se puede dis ingui
aquellas en las que el líquido es inyec ado en la misma di ección que la co ien e gaseosa (Figu a 1.2a-c) y
aquellas en las que el líquido y el gas luyen de o ma pe pendicula (Figu a 1.2d). Finalmen e, la di e encia
p incipal en e los disposi i os de low- ocussing (Figu a 1.2b-c), y los de co low es que en el p ime o se hace
4Capí ulo 1. In oducción
U UQ
g
2
2
p
a
p
0
Gas
Liquid
Simple co

ow
a
C oss

ow
d
Sonica ion
de ice
e
Ul asound bubble
Axisymme ic

ow ocusing
b
Plana

ow ocusing
c
Q Q
g
Q
g( )
Q
g( )
D
Q Q Q
gQ
Focusing
channel
exi
channel
w
w
exi
U
w
Ul asound wa e
Gas meniscus
l
l
Figu a 1.2
Rep esen ación esquemá ica de los di e en es disposi i os que iden iican la ecnología u ilizada
en la p oducción de bu bujas monodispe sas. Figu a adap ada de [1].
pasa ambos luidos a a és de un es echamien o, lo que acele a colapso y pe mi e gene a bu bujas más
pequeñas [
1
]. En es a sección, nos cen a emos sólo en los 4 p ime os, debido a la analogía que los mismos
p esen an con la solución ecnológica de la que a a es e es udio.
1.2.1 Disposi i os de Co low
Un disposi i o de ipo co low es aquél como el mos ado en la Figu a 1.2a, donde la co ien e gaseosa y
la de líquido son inyec adas en la misma di ección. Las condiciones en las que usualmen e se ope a es e
ipo de disposi i os son aquellas en las que el núme o de Reynolds y Webe son ales que
Re =ρU /µ1
y
We =ρU2 /σ
. Bajo es as condiciones, las ecuencias de p oducción,
b
y los diáme os equi alen es
de las bu bujas ob enidas,
db=6Qg/(π b)(1/3)
, dependen sólo del a io de elocidades gas-líquido,
Ug/U
, y del a io
/U
. Además, en los casos bajo conside ación donde
We 1
, el líquido ex e io impone
la elocidad a la que la in e ase es anspo ada, con lo que se p e iene la coalescencia ya que las bu bujas
son anspo adas a la elocidad del líquido [
13
]. P ecisamen e, en una ope ación no mal con es e ipo de
disposi i os, la elocidad del gas suele se mayo que la del líquido, con lo que las bu bujas son gene adas
ce ca de la pun a del inyec o . Siguiendo las mismas ideas que el p oceso basado en las ases de expansión y
1.2 Disposi i os pa a la gene ación de mic obu bujas 5
pos e io colapso desc i o en Sección 1.1, en [
14
] se desa olla un modelo simple pa a la ase de colapso en
el que puede comp oba se que, en el lími e en el que Ug/U1, la ecuencia escala como b≃0.15U/ .
Po o o lado, el caso con a io en el que
Re 1
no ha sido muy epo ado en la li e a u a [
1
]. En es e
caso, en luga del núme o de Webbe , el pa áme o adimensional que gobie na el p oblema es el núme o
capila ,
Ca =µU/σ
, además del a io
Ug/U
como en el caso an e io y del ya desc i o núme o de Bond,
Bo
.
En es e caso, as el exhaus i o es udio numé ico de [
15
], se iene que el diáme o de las bu bujas dec ece
cuando el a io Ug/U ambién lo hace.
1.2.2 Disposi i os de C oss-Flow
Los disposi i os de ipo C oss-Flow son aquellos como los mos ados en la Figu a 1.2d, donde puede
ap ecia se que el gas es inyec ado de o ma pe pendicula al líquido a a és de una jun a en T. Pa a ene
buen con ol y epe ibilidad en los amaños de las bu bujas, es os disposi i os ope an a núme os de Reynolds
muy bajos, po lo que su mayo campo de amplicación se encuen a den o de la mic o luídica. Dado que
ope an a
Re 1
, se obse an di e en es egímenes en unción del núme o capila ,
Ca
, como son el squeezing,
d ipping oje ing. De en e ellos, el que pa ece más ap opiado pa a el con ol del diáme o de las bu bujas
es el squeezing, lo que ocu e cuando
Ca .O10−2
. Po o o lado, una de las p incipales des en ajas del
empleo de es e ipo de disposi i o es la baja ecuencia de p oducción de i ada de la ope ación a bajos
núme os capila es. En e ec o, si se p e ende aumen a la elocidad del líquido pa a aumen a dicha ecuencia,
ambién se p oduci á un aumen o del nume o capila , lo que limi a en gene al la ecuencia de p oducción de
es os disposi i os a b∼103Hz.
Tan o los disposi i os con con igu aciones de ipo C oss-Flow como los de Co low pe mi en ene con ol
de o ma sepa ada del diáme o de las bu bujas y de su ecuencia, a iando pa a ello
Qg
y
Q
. Sin emba go,
a pesa de se disposi i os mic o luídicos de amaños del o den de las cen enas de mic as(o mayo es), su
geome ía limi a el amaño mínimo de las bu bujas que se pueden ob ene . Es a di icul ad puede se supe ada
a a és de o o mé odo conocido como Flow-Focussing que u iliza una geome ía un an o di e en e como se
e á en la p óxima subsección.
1.2.3 Disposi i os de Flow-Focussing
La sencillez de los disposi i os desc i os an e io men e posee un no able incon enien e, pues si se elimina la
inyección de gas las líneas de líquido son casi pa alelas, con lo que los g adien es de p esión exis en es son
p ác icamen e desp eciables [
1
]. La demanda de diáme os cada ez meno es de las bu bujas hace que sea
ecnológicamen e in iable educi an o como se desee el diáme o del inyec o , po lo que o as soluciones
han eme gido pa a palia las limi aciones de las con igu aciones de co low y c oss low; una de ellas, es
el empleo de disposi i os de Flow-Focussing. En geome ías de low- ocussing como las mos adas en la
Figu a 1.2b-c, la p esencia del es echamien o p o oca (además de un co lujo de líquido y gas que p e iene
la apa ición de coalescencia) un g adien e longi udinal de p esión, cuyo e ec o p incipal es el de educi el
diáme o inal de las bu bujas ob enidas. Los p ime os en epo a es e enómeno ue on [
16
], ob eniendo
bu bujas de amaños
db∼O(10µm)<D
, con olando simplemen e el a io
Qg/Q
y el caudal de líquido
ex e io
Q=πD2U/4
, con
D
el diáme o del es echamien o. En e ec o, el papel del g adien e axial de
p esión es análogo al jugado po la g a edad en el caso de la Ecuación
(1.4)
, es o es, omando
∆pexi =∇pRb
,
y eniendo en cuen a que el g adien e de p esión puede se ob enido de o ma es imada de las ecuaciones de
Na ie -S okes como
ρDu
D =−∇p⇒∇p∼ρu·∇u∼ρU2/D(1.6)
se iene, sus i uyendo ∆pen (1.4),
db
D∼Qg
Q2/5
(1.7)
siendo pues la ecuencia de bu bujeo
b=6Qg
πd3
b
∝U
DQg
Q−1/5
(1.8)
po lo que es e disposi i o ambién pe mi e con ola de o ma sepa ada amaño y ecuencia de p oducción
simplemen e a a és de la a iación de los a ios
Qg/Q
y de la elocidad del líquido
U
. Uno de los p incipales

6Capí ulo 1. In oducción
escollos en el uso de es e ipo de disposi i os se encuen a en la di icul ad que supone consegui un buen
alineamien o en e los di e en es canales, lo que in odujo la con igu ación de la Figu a 1.2c, que pe mi e
simpli ica es a labo .
1.2.4 O os disposi i os y b e e e lexión
Exis e, además de los desc i os en los apa ados an e io es, o os disposi i os pa a gene a bu ubujas de
amaño mic omé ico de o ma monodispe sa, como son aquellos basados en la aplicación de ondas acús icas,
al y como se mues a en la Figu a 1.2e- , y lo que es más, nada impedi ía (en p incipio) combina es os
disposi i os con los an e io es, si se p e ende educi aún más el diáme o de las bu bujas [
1
]. A a és de
los ejemplos más signi ica i os de disposi i os que aquí se han p esen ado, el lec o puede es ima que el
amaño ca ac e ís ico de es os disposi i os se encon a á en un ango comp endido en e
∼O(10µm)
has a
∼O(10mm)
, lo que a p io i puede supone una di icul ad an o de ab icación como de ope ación; además,
a la di icul ad de manejo de los ins umen os mic o luídicos hab ía que suma la limi ación exis en e en la
ecuencia máxima de p oducción, que es a ía limi ada po el amaño de los disposi i os y cuya solución se
encon a ía en la ab iación de un núme o mayo de es os. Cabe en onces p egun a se si los mecanismos ísicos
ya desc i os y que subyacen bajo los di e en es p ocesos de p oducción de mic obu bujas aquí p esen ados son
exclusi os de los disposi i os mic o luídicos. En e ec o, si bien a lo la go del capí ulo se ha podido comp oba
que exis e una cla a dependencia con el diáme o del inyec o del gas (lo que apoya la necesidad del empleo
de la mic o luídica), ambién es cie o que las condiciones de con o no que el líquido ex e io impone sob e la
co ien e gaseosa, que son que la en e ase se con ec e ap oximadamen e a la elocidad del líquido (co low y
c oss- low) y el posible g adien e longi udinal de p esión p o ocado po un es echamien o ( low- ocussing),
no end ían (en p incipio) po qué i ligadas axa i amen e al empleo de geome ías mic omé icas.
Así pues, en la siguien e sección de es e capí ulo se discu e con más de alle el papel que el g adien e de
p esión juega en la o mación de bu bujas, p es ando especial a ención pa a ello en una écnica conocida
como Con ined-Selec i e-Wi hd awal que p esen a ca ac e ís icas comunes an o a las con igu aciones de
co low y low- ocussing. Se p e ende así e o za la idea de la impo ancia que juega el g adien e de p esión
en la o mación de bu bujas pa a, inalmen e, plan ea si cab ía la posibilidad de diseña un disposi i o capaz
de gene a mic obu bujas monodispe sas de o ma masi a cuya dimensión geomé ica ca ac e ís ica ue a
mucho mayo que las de los disposi i os empleados ac ualmen e.
1.3 In luencia del g adien e de p esión
A lo la go de la Sección 1.2, se ha podido comp oba como el papel del líquido ex e io en la gene ación de
mic obu bujas puede i desde simplemen e impone la elocidad de la en e ase p e iniendo la coalescencia
has a eje ce un e ec o análogo al de la g a edad a a és del g adien e axial de p esión. Las conclusiones
ex aídas en la Subsección 1.2.4 mo i an indaga un poco más en el papel que dicho g adien e longi udinal de
p esión puede juga en el p oceso de o mación de bu bujas, po lo que se an a p esen a de o ma sucin a
los esul ados ob enidos [
17
] donde se ob u ie on bu bujas de amaño mic omé ico empleando la écnica
conocida como Con ined Selec i e Wi hd awal.
En la Figu a 1.3 se desc ibe esquemá icamen e el uncionamien o de un disposi i o basado en es a écnica.
Consis e en cáma a p esu izada a
p0
con un líquido, de densidad
ρ
y de iscosidad
µ
, que se suminis a
desde el ex e io y que desca ga a
pa<p0
a a és de un ubo capila (en es e caso de sección cuad ada) de
dimensiones ca ac e ís icas
L∼1mm
. El capila se encuen a pe ec amen e alineado con una aguja donde
se inyec a el gas con caudal
Qg
y que se encuen a a una dis ancia
H
del capila . Como puede obse a se
en la Figu a 1.4, pa a elocidades del líquido en el capila in e io es a un de e minado alo ,
U<U∗
, el
menisco emi e bu bujas de o ma pulsan e y de di e en es diáme os [
17
]. Sin emba go, po encima de es a
elocidad, se puede obse a que el menisco de ai e se man iene es able y es aciona io en una egíon
x≤xs
( éase la Figu a 1.5), lo que p opicia la apa ición de un égimen de p oducción de bu bujas monodispe sas; la
condición de equilib io de la que esul a
xs
se á discu ida más adelan e. También, en la Figu a 1.5 se mues a
como, pa a alo es de
U>U∗
, aguas abajo de la zona es aciona ia (
x≤xs
), se p oduce un cilind o de gas
de diáme o
dg
y longi ud
`
que, inalmen e, culmina con la p oducción de una nue a bu buja; una ez la
bu buja es emi ida y anspo ada a la elocidad del líquido, se inicia nue amen e el p oceso de o mación de
o a bu buja a a és del mecanismo desc i o.
Aunque en [
17
] se analiza an o el caso iscoso como el no iscoso, en es a sección nos cen a emos
únicamen e en los casos
Re 1
, ya que se á el caso de in e és pa a el disposi i o que aquí se desc ibe. An es
de comenza el análisis, con iene no a que la p esión del gas,
pg
, que además se conside a cons an e a lo
1.3 In luencia del g adien e de p esión 7
H
L
1
Gas injec ion needle1
Ex ac ion ube (squa e duc )
2
2
Bubble
3
3
4
5
5P essu ized chambe 6
6
Liquid in low7
7
4End o he ex ac ion line
Ai meniscus
Figu a 1.3
Esquema del disposi i o empleado en [
17
] pa a la p oducción de mic obu bujas con la écnica de
Con ined Selec i e Wi hd awal. Imagen adap ada de [17].
Fully uns eady
gas ligamen
S eady po ion
o he gas
ligamen
Uns eady po ion o
he gas ligamen
whe e bubbles a e
o med
Needle ip
(a)
(b)
Figu a 1.4
Di e en es egímenes de bu bujeo en unción de la elocidad
U
a la que el líquido ci cula a a és
del capila . En (a) se isualiza el caso en que
U<U∗
, po lo que no se iene un égimen de
bu bujeo cons an e, mien as que en (b),
U>U∗
, se consigue alcanza un égimen de p oducción
de bu bujas monodispe sas. Imágenes adap adas de [17]..
la go odo el menisco según la hipó esis ya comen ada en la Sección 1.1, debe de encon a se en equilib io con
la del líquido a la salida de la aguja, donde la elocidad del líquido es casi nula, po lo que puede supone se
que
pg≃p0
. Así, pa a ob ene un menisco de ai e es able en la egión
x≤xs
, la di e encia de p esiones
p0−p(x)
debe es a en equilib io con la p esión capila . En e ec o, conside ando que el hilo gaseoso enga un
diáme o
dg
, llamando
U0
a la elocidad en el cen o del ubo capila , y eniendo en cuen a el cumplimien o
de la ecuación de con inuidad
Qg=πd2
g
4U0⇒dg∼Qg
U01/2
,(1.9)
8Capí ulo 1. In oducción
se iene que
p0−p(xs) = 2σ
dg≃2σ
Qg/U01/2(1.10)
lo que p opo ciona la condición de equilib io pa a que exis a un menisco de ai e es aciona io en
x≤xs
.
Tan o en
(1.9)
como en
(1.10)
, la exp esión de
U0
end á de e minada po el ipo de lujo que exis a en
el capila , lo que pa a el caso en el que
Re 1
y eniendo en cuen a los esul ados de las simulaciones
3
ealizadas en [
17
] cons i uye un pe il uni o me de elocidad; e ec i amen e, es e hecho queda ep esen ado
po el alo del coe icien e de p esión adimensional
ξ= (p0−p(x))/1/2ρU2≃1
en
x=0
. Así, dado que
p0−p(xs)∼1/2ρU2
pa a
Re 1
y eniendo en cuen a que el p oceso de o mación de bu bujas se á poisble
si
p0−p(x)∼1/2ρU2
0>2σ
dg
, son condiciones necesa ias pa a la p oducción de bu bujas monodispe sas
que
β=ρU2L
4σq1/2&1 conq=Qg
UL2(1.11)
donde
β
en la Ecuación
(1.11)
cons i uye un pa áme o simila al núme o de Webe ,
We =ρU2L2/σ
; la
alidez de (1.11) queda mos ada en [17]
S eady
Uns eady
(a)
(b)
Figu a 1.5
Secuencia de p oducción de bu bujas a pa i de un menisco de ai e es able pa a la egión
x≤xs
.
Como se ap ecia en la igu a, aguas abajo de
xs
, se emi e un cilind o de gas de diáme o
∼dg
que
se ex iende una longi ud `. Imagen omada de [17].
Una ez se han desc i o las condiciones neesa ias pa a la p oducción monodispe sa de bu bujas y se
conocen las condiciones de equilib io es aciona io del menisco de ai e, se es á en condición de desc ibi
el es o del p oceso de o mación, así como las exp esiones de los diáme os y ecuencias de o mación
de las bu bujas ob enidas. Una ez que las bu bujas se desp enden del ligamen o de gas en
Lx ≈Lxs+`
,
la di e encia de p esión
∆p=p0−p(x)−2σ/dg>0
, induce elocidades adiales sob e el ligamen o de
gas que p o oca el inicio del p oceso de o mación de una nue a bu buja. Dado que du an e los ins an es
pos e io es a la eyección de una nue a bu buja el diáme o del cilind o apenas a ía, es posible esc ibi
∆p=p0−p(x)−2σ/dg=p0−p(xs)−2σ/dg+p(xs)−p(x)≈
≈−dp
dx(xs)(x−xs)≈d(p0−p)
dx(xs)`
L
(1.12)
3
En [
17
] se ealiza una simulación del dominio conside ando es e como axilsimé ico y sin simula la ase gaseosa, lo que suele
ealiza se gene almen e cuando se desea es udia la es abilidad de cho os, descomponiendo el campo de p esiones como suma de la
solución básica más una pe u bación ( éase como ejemplo [
18
]). En [
17
], sin emba go, se ealiza la hipó esis, e i icada a pos e io i,
de que la p esencia de las bu bujas no pe u ba el campo de p esiones del líquido.
1.4 Analogía Ae odinámica 9
donde se ha enido en cuen a la Ecuación
(1.10)
y se ha ealizado un desa ollo en se ie de Taylo de p ime
o den de la p esión en o no al pun o
x=xs
. De es e modo, y al y como se de alla en [
17
], la Ecuación
(1.12)
mues a como el p oceso de o mación de bu bujas es á gobe nado po el g adien e de p esión local en el pun o
x=xs
, po lo que, como eníamos anunciando, el g adien e de p esión local posee un papel absolu amen e
análogo al que iene la g a edad en la o mación de una bu buja en una piscina en eposo. Así, siguiendo el
p ocedimien o que se siguió en la Sección 1.1, si se sus i uye la Ecuación
(1.12)
, pa icula izada pa a el caso
Re 1, en la ecuación de Rayleigh-Plesse (Ecuación (1.1)), se end á que
ρRb¨
Rb∝d(p0−p)
dx(xs)`
L∝`
2LρU2Ps(1.13)
siendo Ps=˙
ξ(xs). La ecuación an e io jun o con la ecuación de con inuidad pa a la línea de gas
Qg=π
6d3
b b(1.14)
pe mi en ob ene las ecuencias de p oducción,
ρPs
2
U2
L`∝ρRb¨
Rb∼ρd2
b 2
b⇒ b∝UpPs/2
pLdbs`
db
(1.15)
y, inalmen e, omando
`∝db
po analogía al caso de o mación de bu bujas en una piscina en eposo [
17
],
la exp esión inal de la ecuencia y los diáme os de las bu bujas.
b∝UpPs/2
pLdb
ydb
L∝ Qg
UpPs/2L2!2/5
(1.16)
El p oceso seguido pa a la ob ención de las ecuaciones
(1.15)
y
(1.16)
es comple amen e análogo al
desc i o en la Sección 1.1 con el g adien e de p esión local eje ciendo el papel de la g a edad y con la
di e encia que
ρU2/Lρg
, lo que a endiendo a las ecuaciones de a iba, se aduce en un aumen o de la
ecuencia y una disminución de los diáme os ob enidos. Es e hecho in i a a pensa que, si el p oceso de
o mación desc i o es á con olado po el g adien e de p esión local en
xs
, nada impide imagina disposi i os
gene ado es de bu bujas donde los g adien es a o ables de p esión puedan ob ene se con geome ías muy
di e en es a la desc i a en [17].
1.4 Analogía Ae odinámica
Al inal de la Sección 1.3, basándose en las ideas de [
17
], se dejó en e e la posibilidad de ob ene g adien es
a o ables de p esión simila es a los encon ados en disposi i os de Con ned Selec i e Wi hd awal o Flow-
Focussing pe o con o as geome ías comple amen e di e en es. La mo i ación en la explo ación de o as
geome ías es doble: disposi i os con amaños alejados de la escala de la mic o luídica pe mi i ían no sólo
una ab icación y ope ación más sencilla, sino ambién aumen a no ablemen e el i mo de p oducción de
las bu bujas. Así, un ejemplo co idiano de geome ías donde se p oducen ue es g adien es a o ables de
p esión lo cons i uyen las supe icies sus en ado as de los a iones. Dado que la única p emisa que, a p io i,
debe cumpli una geome ía al e na i a a las empleadas ac ualmen e se ía consegui g adien es de p esión
compa ables a los c eados en los disposi i os mic o luídicos, ¿qué impide pensa que se pueda emplea un
ala pa a p oduci masi amen e mic obu bujas monodispe sas?
Con iene an es de segui , no obs an e, esboza algunas ideas básicas en ae odinámica que pe mi i án
comp ende mejo la posibilidad de emplea un ala como disposi i o gene ado de bu bujas. Se ha decidido
inclui en el Apéndice A un esumen de [
19
] donde se desa ollan los concep os más impo an es de la
Ae odinámica po encial, de o ma que el lec o in e esado pueda consul a lo pa a p o undiza un poco más
en las ideas y de iniciones expues as a con inuación. La Ae odinámica es la pa e de la Mecánica de Fluidos
que se enca ga del es udio del mo imien o de gases (gene almen e ai e) al ededo de un cue po. Teniendo en
cuen a las p opiedades del ai e (densidad
ρg∼O(1kg/m3)
y iscosidad
µ∼O(10−5Pa ·s)
a
T=20◦
) y
las elocidades ca ac e ís icas de un cue po que se mue e en él ( ómese como ejemplo un coche ci culando a
V=30m/s
o el ala de un a ión a
V=100m/s
) se iene que los núme os de Reynolds ca ac e ís icos del lujo
de ai e al ededo de un obje o con dimensiones ca ac e ís icas
L=1m
se án
Re =ρVL/µ∼O106
. Bajo
es as condiciones los e ec os iscosos pueden se desp eciados en la mayo pa e del dominio del p oblema
16 Capí ulo 2. Ala acuá ica bidimensional
Tabla 2.1 Dimensiones ele an es del únel hid odinámico.
Dimensión Valo [cm]
Ancho de la sección 30
Al u a de la sección 30
dis ancia en e sopo es 20
Figu a 2.1 Pe spec i a del únel hid odinámico donde los expe imen os han sido ealizados.
en [
17
], es o es
db∼O(200 µm)
, y se es ima que las bu bujas son con ec adas aguas abajo del pe il a una
elocidad
2 ∼U∞
, se end á que una bu buja eco e una dis ancia del o den de su diáme o en un iempo
b∼db/U∞∼O(200 µs)
, po lo que se án necesa ios del o den de 5000 o og amas po segundo (en adelan e
ps): esul a e iden e que es necesa io u iliza una cáma a de al a elocidad.
Tunel hid odinámico
En el labo a o io de Mecánica de Fluidos de la Escuela Supe io de Ingenie ía de Se illa se dispone de
un únel hid odinámico como el mos ado en la Figu a 2.1. Como puede obse a se en la igu a, el únel
consis e en un conduc o de sección ec angula a a és del cual se hace ci cula un líquido (en es e caso agua)
u ilizando pa a ello una bomba. Una ez que la bomba ha hecho ascende al líquido has a la al u a adecuada,
se le hace pasa a a és de una cáma a de con acción cuyo in es uni o miza el lujo inciden e en la cáma a
de ensayos (zona anspa en e del únel). Pese a no ap ecia se en la imagen, el únel se encuen a abie o
y en con ac o con la a mós e a en su pa e supe io , mien as que la pa e in e io del mismo ambién es a
delimi ada po c is ales de igual anspa encia que las pa edes la e ales. Las dimensiones del únel pueden
consul a se en la Tabla 2.1
El caudal que ci cula a a és del únel hid odinámico depende del p oduc o de la al u a o al del agua
(es o es, la acción de la sección del únel que queda mojada) y de la elocidad media del agua en la sección.
Dado que el únel se encuen a abie o en su pa e supe io , se ha comp obado expe imen almen e que si la
elocidad del únel excede el alo de
U∞∼0.75m/s
se o man ondas supe iciales. Po lo an o, se oma á
como es icción al diseño que la elocidad de la co ien e inciden e al pe il no puede supe a es e alo , es
deci ,
U∞≤0.75m/s(2.1)
Finalmen e, cabe des aca que el con ol de la elocidad del únel se ealiza a a és de un egulado de
po encia, po lo que la medida de la elocidad pa a cada po encia debe de e mina se expe imen almen e.
2
En [
17
], las bu bujas son con ec adas a la elocidad de la co ien e, siendo en es e caso
U
la elocidad media en el capila pa a
Re 1.

2.1 Diseño y ab icación 17
Figu a 2.2 Cáma a de al a elocidad Phan om® 710.
Regulado es de p esión
La o mación de bu bujas eque i á que se inyec e ai e en cie os pun os de la supe icie del ala, el cual debe
p ocede desde den o de la misma. Pa a pode suminis a el ai e se dispone en el labo a o io de una ed
capaz de suminis a más de 6 ba es de p esión, lo cual es más que su icien e pa a el p opósi o que nos ocupa.
Pa a egula de o ma adecuada la p esión se dispone de mano educ o es cuya p ecisión es de 1 mba .
Cáma a de al a elocidad
Pa a la g abación de las imágenes se dispone de una cáma a Phan om 710 como la que se mues a en la
Figu a 2.2, capaz de g aba a más de medio millón de ps. Dado que, según se comen ó al inicio de es a sección,
se án necesa ios en o no a 5000 ps, es a cáma a es capaz de acome e dicha a ea sin p oblema alguno.
Adicionalmen e, se disponen de dos obje i os Canon
®
di e en es con zoom 1-4 y 2.5-10, espec i amen e.
Finalmen e, cabe des aca que la dis ancia ocal de la cáma a es de ap oximadamen e 11 cm.
2.1.2 Diseño del ala
Una ez que se conside an los equipos disponibles y las es icciones que pueda impone cada uno, es
momen o de pasa a especi ica el diseño inal del ala. Dado que la sección ans e sal del ala consis e en un
pe il ae odinámico, se ha decidido que el p oceso de ab icación sea median e con ol numé ico, empleando
un políme o de ABS (Ac iloni ilo Bu adieno Es i eno, de sus siglas en inglés) como ma e ia p ima. La
ab iación po con ol numé ico aúna las en ajas de la imp esión 3D y la ab icación adicional, ya que las
pa edes de la pieza ob enidas son siemp e macizas
3
lo que apo a á la obus ez necesa ia pa a sopo a la
expe imen ación del ala en el agua del únel hid odinámico.
Pa a la sección ans e sal del ala se disponen de dos opciones p incipales en lo que a pe iles ae odinámicos
se e ie e: o bien se op a po diseña un pe il pe sonalizado, o bien se emplea alguno de los pe iles
no malizados ya exis en es, po ejemplo los de la se ie NACA. Se ha elegido pa a es e p ime p o o ipo el
conocido pe il simé ico NACA 0012, que posee un espeso máximo ela i o a la cue da
/c=0.12
. El
mo i o de empleo de un pe il de es as ca ac e ís icas se basa p incipalmen e en que el NACA 0012 es uno
de los pe iles ae odinámicos más es udiados, lo que unido a la sencillez en su diseño lo hacen idóneo pa a
una p ime a p ueba de concep o. No obs an e, el empleo de un pe il con cu a u a no supond ía una pé dida
de gene alidad en los esul ados ob enidos más adelan e.
Decidido el pe il ae odinámico que se emplea á como sección ans e sal del ala, an sólo es necesa io
de ini la cue da,
c
, y la en e gadu a,
b
, pa a ene comple amen e de inida la geome ía ex e io del ala. Pa a
la cue da es necesa io ene en cuen a los pun os de sujeción que end á el ala den o del únel hid odinámico.
En p incipio, pod ía op a se po dispone de 2 únicos pun os de sujeción (uno a cada lado del ala) que ue an
acoplados en o no a una dis ancia
c/2
del bo de de a aque. Sin emba go, dado que en los expe imen os
se p e ende a ia el ángulo de a aque de la co ien e iniciden e, el diseño de un sis ema capaz de a ia la
inclinación del ala con sólo 2 pun os de sujeción es bas an e complejo. Po ello, esul a más sencillo dispone
de 4 pun os de sujeción, de o ma que se si úen 2 de ellos ce ca del bo de de a aque y o os dos ce ca del
bo de de salida, pe maneciendo los p ime os ijos du an e la ope ación expe imen al, lo que pe mi e a ia la
3
Median e imp esión 3D ambién es posible emplea un 100% de en amado, con lo que se ob end ían esul ados pa ecidos si se emplea
el mismo ma e ial; si bien, el empleo de la écnica de imp esión 3D con en amados an ele ados suele lle a apa ejado un al o cos e.
18 Capí ulo 2. Ala acuá ica bidimensional
inclinación del ala y con ello el ángulo de a aque,
α
, con el que inicide la co ien e. El alo que oma la
cue da debe se al que pe mi a que el ala se si úe en e 2 pun os de sopo e consecu i os del únel ( éase la
Tabla 2.1), po lo que se ha decidido da le un alo
c=30cm
. En es e momen o, elegida la magni ud de la
cue da, se es á en condiciones de pode calcula el núme o de Reynolds global en el ala,
Rec=ρU∞c
µ∼O1051.(2.2)
donde se ha omado un alo o ien a i o
U∞∼0.5m/s
. Po lo an o, la magni ud de la cue da escogida
pe mi e sin mayo complicación epd oduci las condiciones de
Rec1
al y como se p e endía. El cálculo
del alo adecuado que se debe da a la en e gadu a, po o o lado, sigue un azonamien o di e en e. Modela
expe imen almen e un p oblema bidimensional no es una a ea ácil en la mayo ía de los campos de la ísica,
ya que se deben asegu a el cumplimien o de las hipó esis que con el in de simpli ica el p oblema base se
hayan ealizado. Como se comen ó en la Sección 1.4, pa a el caso del mo imien o de un sólido uselado en
el seno de un luido incomp esible a al os núme os de Reynolds siendo el lujo inicialmen e i o acional, se
ob iene que el p oblema se educe al desc i o po las ecuaciones
(1.20)
. La linealidad de es e p oblema, admi e
que pueda se esuel o median e supe posición de soluciones elemen ales de la laplaciana, como son é minos
uen e (y/o sumide os), o bellinos y doble es; un ejemplo ilus a i o donde se emplea la supe posición de
soluciones elemen ales de ipo doble e lo consi iuye el Mé odo de G een de Elemen os de con o no desc i o
en el Apéndice A.Po o o lado, cuando exis en con o nos ígidos como una pa ed, la eo ía de campos
nos b inda el conocido mé odo de las imágenes, consis en e en aplica una sime ía en la dis ibución de
soluciones elemen ales espec o a la pa ed en cues ión de o ma que se cumplan las condiciones de con o no
en la misma(en es e caso,
∇φ·n=0
). Es e mé odo pe mi e modela el e ec o que la pa ed eje ce sob e el
campo po encial solución del p oblema espec o al campo o iginal. Es e mismo azonamien o puede se
empleado de o ma in e sa: pa a modela un pe il ae odinámico bidimensional, se end ía que dispone de
un ala in ini amen e la ga, de modo que los o bellinos de la pun a no induje an elocidades ans e sales
a la co ien e inciden e
4
y po an o pe pendicula es al plano del p oblema 2D, ompiendo así la hipó esis
de bidimensionalidad. G acias al mé odo de las imágenes, es posible modela es e compo amien o si se
empo a el ala en las pa edes del únel, pa a lo cual la en e gadu a del ala end ía que coincidi con el ancho
de la sección. Sucede ,sin emba go, que las pa edes del únel son de c is al, lo que imposibili a la opción
de a o nilla o alad a en ellas la sujeción del ala, de modo que se emplea á una en e gadu a lige amen e
in e io que pe mi a un sis ema al e na i o de sujeción; nó ese que, al no pode aplica es ic amen e el
mé odo de las imágenes, se es á ealizando pues la hipó esis de compo amien o bidimensional, que end á
que se co obo ada a pos e io i. El alo empleado de la en e gadu a es inalmen e b=26cm.
Has a es e pun o se iene comple amen e de inida la geome ía ex e io del ala, pe o aún no posee las
condiciones pa a pode gene a bu bujas. Como ya se comen ó p e iamen e, el ai e debe inyec a se a a és
de de e minados o i icios de la supe icie del ala, po lo que el gas debe p o eni di ec amen e desde den o
de la misma. Pa a ello, exis en dos posiblidades. Una se ía lle a el ai e desde un depósi o si uado en el
ex e io del únel a a és de conduc os (como son los ubos de ygon o ubos de peek) has a cada o i icio,
lo que se ía di ec o pe o complica ía el diseño, al iempo que eque i ía un sellado muy me iculoso de la
zona de in e sección de los ubos con la supe icie ex e io del ala. La o a, se ía con e i el p opio ala en un
depósi o, pa a lo cual simplemen e hab ía que diseña el disposi i o de o ma que ue a hueco po den o.
Es a úl ima opción es la que se ha elegido, pudiéndose obse a en la Figu a 2.3 un co e longi udinal en
pe psec i a donde se ap ecia la oquedad in e io . Así, a a és de un o i icio oscado, un aco adap a á el
in e io del ala a la ed de p esión disponible.
Pa a conclui el diseño del sis ema de inyección de ai e, es necesa io indica los pun os donde se si ua án
los o i icios a a és de los cuales el ai e se á in oducido en el líquido. Reco dando las conclusiones ex aídas
en el capí ulo an e io , esul a e iden e que los o i icios deben si ua se en las zonas donde el g adien e
a o able de p esión sea mayo , es o es, la egión que, con eniendo al bo de de a aque, se encuen a en e
el pun o de emanso y el pico de succión del pe il. No obs an e, la posición de sendos pun os no es ija,
sino que depende (pa a un pe il simé ico) del ángulo de a aque de la co ien e inciden e, po lo que pa ece
con enien e dis ibui los pun os de inyección en un en o no del bo de de a aque y sob e una misma supe icie
del pe il (ex adós o in adós), que se á donde se g abe el p oceso de o mación de bu bujas. De es e modo,
en cada pun o y pa a cada
α
, se end án dis in os alo es del g adien e de p esión adimensional,
dCp/ds
( éase la Figu a 1.8a). Cabe ap ecia además, que puede da se la ci cuns ancia de que, pa a de e minados
alo es de
α
, los pun os pasen de encon a se en una zona de g adien e a o able de p esión a una zona de
4Es e aspec o pe enece a la eo ía de alas de en e gadu a ini a, cuya desc ipción de allada puede encon a se en el Apéndice B
2.1 Diseño y ab icación 19
Figu a 2.3
Pe spec i a de la sección longi udinal del disposi i o gene ado de mic obu bujas. En la igu a
puede ap ecia se el in e io hueco del ala que se halla á p esu izado pa a pode suminis a el
caudal de gas eque ido.
Tabla 2.2
Posición de la abcisa, adimensionalizada con la cue da del pe il, de los o i icios de inyeccón de
ai e..
Pun os 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x/c0 0.0017 0.003 0.005 0.0067 0.0083 0.01 0.02 0.03
g adien e ad e so de p esión, o lo que es lo mismo, aguas abajo del pico de succión. En la Tabla 2.2 se
mues an las posiciones adimensionalizadas con la cue da de la abcisa de los pun os de inyección omando
x
según el eje longi udinal de sime ía del pe il con o igen en el bo de de a aque.
Finalmen e, en lo que se e ie e al diáme o y long iud del los o i icios, se debe ene en cuen a que esul a
p imo dial asegu a la cons ancia del caudal du an e el expe imen o, lo que no se á i ial si se ienen en
cuen a las pe u baciones que puedan exis i an o en la p esión den o del ala como en la p esión en el o o
ex emo del o i icio (al agua bo deando el pe il). Pa a minimiza las a iaciones de caudal de gas causadas
po las pe u baciones de p esión y con idea de pode e ec ua a iaciones g aduales de caudal median e una
a iación mínima de p esión de 1 mba (p ecisión de los mano educ o es), la solución que se p opone es el
empleo de ubos capila es que gene en una g an pé dida de ca ga. En e ec o, si se asume que el lujo en el
in e io del ubo capila es al que
ReDD/L 1
,
5
con
ReD=4Qg/(πDν)
el núme o de Reynolds basado en
el diáme o del ubo
D
y
L
la longi ud del mismo, el lujo de gas po el in e io del ubo es casi-unidi eccional
y sigue la ley de Hägen-Poiseuille,
Qg=πD4
128µg
∆p
L
(2.3)
donde
∆p
es el inc emen o de p esón en e el in e io y el ex e io del ala. Si se llama aho a
δp
a la
pe u bación en el inc emen o de p esión, se iene que el inc emen o de p esión o al se á
∆p=∆p0+δp
,
que p o oca á un lujo de ai o al igual a
Qg=Qg0+δQg=πD4
128µgL
(∆p0+δp)⇒δQ=πD4
128µgL
δp=πD3
128µg
D
L
δp(2.4)
Po lo an o, según la Ecuación
(2.4)
, se iene que las pe u baciones en los inc emen os de p esión
p o aca án inc emen os de caudal más pequeños cuan o meno sea el díame o
D
y el cocien e
D/L
. De es e
modo, pa a que la inyección de ai e a caudal cons an e sea lo más es able posible, se hace necesa io educi
odo lo posible el diáme o del o i iio de salida. Así pues, conside ando las limi aciones ecnológicas exis en es
pa a pe o a un o i icio del amaño de, po ejemplo
200 µm
, la mejo al e na i a esul a en u iliza ubos
capila es con el diáme o in e io más pequeño posible compa ible con un diáme o ex e io más manejable,
5Es a hipó esis pod á se comp obada una ez se analicen los esul ados en la Sección 2.3
20 Capí ulo 2. Ala acuá ica bidimensional
(a) Pe spec i a 1. (b) Pe spec i a 2.
Figu a 2.4
Di e en es pe spec i as del disposi i o gene ado de mic obu bujas bidimensional empleado en
los expe imen os.
que pe mi a inse a los a a és de los o i icios del ala. Pa a el p o o ipo que se es á desc ibiendo, se han
empleado ubos capila es de ace o con diáme o ex e io Dex =400 µmy diáme o in e io D=160 µm.
Pa a conclui es a sección, se mues an en la Figu a 2.4 di e en es pe spec i as del aspec o inal del
disposi i o gene ado de mic obu bujas desc i o has a es e pun o. Nó ese la p esencia en los ex emos
la e ales del ala de un o i icio pasan e ce ca del bo de de a aque así como o o ciego ce ca del bo de de salida:
es os o i icios, que o man pa e del sis ema de a iación del ángulo de a aque, se án desc i os en de alle y
po con eniencia den o de la Subsección 2.1.3.
2.1.3 Diseño del mon aje expe imen al
Una ez ya se iene comple ado el diseño y la ab iación del ala, an sólo queda c ea un mon aje adecuado
pa a pode ealiza los expe imen os. El p ime obje i o de es e mon aje se á un sis ema capaz de no sólo
posiciona el ala den o del únel hid odinámico sino ambién de pode a ia el ángulo de a aque,
α
. En la
Figu a 2.5 puede obse a se que la es uc u a cons a de los sigiuen es componen es:
•
Dos la ge os longi udinales, los cuales si en pa a ancla la es uc u a a los o nillos que sob esalen en
la pa e supe io del únel, de o ma que la unión con es e sea lo más obus a posible.
•
Dos la ge os an e io es e icales, que eje cen la unción de pun os de sujeción del ala ce ca del bo de
de a aque. Es os la gue os, que deben es a comple amen e en con ac o con las pa edes la e ales del
únel, poseen o i icios que pe mi en en paso del eje que eco e ans e salmen e al ala y que o ma
pa e del sis ema de a iación del ángulo de a aque.
•
Dos la gue os ans e sales, de los cuales el si uado en la pa e delan e a (ce ca del bo de de a aque
del ala) si e pa a da obus ez a la es uc u a, mien as que el ase o (además de p o ee es abilidad),
incluye el sis ema de a iación del ángulo de a aque.
El sis ema de a iación del ángulo de a aque, po lo an o, unciona del siguien e modo: un eje me álico
pasa a a és del o i icio pasan e del ala ce ca del bo de de a aque ( éase la Figu a 2.4), desembocando en las
anu as p ac icadas en los la gue os e icales, con lo que el único g ado de libe ad no impedido del ala es el
gi o al ededo de dicho eje; po o o lado, en su pa e pos e io , dos a illas a o nilladas ce ca del bo de de
salida suje an el ala al la gue o ans e sal ase o, pasando cada a ila a a és de un espá ago que ija la
posición de las mismas con un o nillo de e lón (es e ipo de o nillo pe mi e ija la posición de las a illas
sin pe o a las o daña las).
Una ez el ala es ijada den o del únel, pa a comple a el mon aje se debe ins ala el equipo de isualización.
En la Figu a 2.6, donde puede ap ecia se odo el mon aje expe imen al comple o, se mues a en qué consis e
el equipo de isualización: la cáma a de al a elocidad desc i a en la Subsección 2.1.1 es ins alada de
o ma e ical a un sis ema de posicionado es que pe mi e cambia la posición de la cáma a de o ma muy
p ecisa; además, se dispone de una lámpa a de luz ía que median e un ubo de ib a óp ica pe mi e ilumina
adecuadamen e la zona que se desea documen a . La p esencia de la supe icie lib e en la zona supe io del
únel hace que la isualización desde dicha zona sea imposible, po lo que debe g aba se en e ical desde
abajo.
2.2 Expe imen os 21
Figu a 2.5
Es uc u a de aluminio empleada como sis ema posicionado del ala den o del únel hid odinámico.
En su pa e pos e io , los la ge illos incluyen dos cilind os que pe mi en el paso de las a illas
que pe mi en egula la inclinación del ala.
2.2 Expe imen os
T as el eco ido ealizado a a és del p oceso de diseño y ab iación de es e disposi i o gene ado de
bu bujas, es el momen o de p oba lo con una exhaus i a campaña expe imen al. En es a sección se mues an
odos los de alles e e en es al expe imen o, ales como los pa áme os que se han empleado y el ango en el
que es os han a iado, así como el p o ocolo seguido pa a cada se ie expe imen al. Finalmen e, pa a conclui
la sección, se especi ican los esul ados de las a iables expe imen ales así como los mé odos empleados
pa a mos a los esul ados de la Sección 2.3.
2.2.1 Campaña expe imen al
Reco dando los esul ados hallados en [
17
] y esumidos en la Sección 1.3, el diáme o y ecuencias de las
bu bujas p oducidas depende á, dada una geome ía, del caudal de gas inyec ado, la elocidad del líquido
ex e io y del g adien e de p esión local adimensionalizado en el pun o de o mación de la bu buja. Son
es os, po lo an o, las es a iables que con igu an el espacio pa amé ico que debe se ba ido en los
expe imen os. En la Tabla 2.3 se mues an los alo es empleados de es os es g ados de libe ad pa a los
di e en es expe imen os; nó ese que, po las ca ac e ís icas del mon aje an e io men e desc i o, no se puede
con ola di ec amen e el alo del caudal, ya que es e depende de la di e encia de p esión en e el in e io y
el ex e io del ala, siendo es a úl ima a iable con la elocidad y el ángulo de a aque. Po lo an o, se oma
como a iable lib e el alo de la p esión in e io del ala, debiendo calcula se el caudal de gas inyec ado a
pos e io i. Con iene des aca los siguien es aspec os de los alo es de la abla:
•
Los alo es de la elocidad iniciden e son de e minados, como ya se especi icó, de o ma indi ec a, ya
que el egulado de po encia del únel no pe mi e con ola di ec amen e la elocidad. Los de alles del
sis ema de medición de elocidad se especi can más adelan e en la Subsección 2.2.2.
•
Los alo es de la p esión in e io del depósi o ue on ijados du an e una de las p ime as p uebas
expe imen ales, comp obando cuándo se p oducían a iaciones signi ica i as en los diáme os de
las bu bujas al a ia la p esión in e io del ala y man eniendo la elocidad y el ángulo de a aque
cons an es.
•
Los alo es del ángulo de a aque que igu an en la Tabla 2.3 han sido calculados a pos e io i según los
mé odos especi icados más adelan e. Los alo es o ien a i os del ángulo de a aque que se p e endían
consegui a ían cada
2◦
en e
4◦−12◦
. Cabe deci que no se conside a on alo es
α>12◦
con el in
de es a su icien emen e lejos de los alo es que p opicia ían el desp endimien o de la capa lími e.

22 Capí ulo 2. Ala acuá ica bidimensional
(a) Mon aje del ala en el únel.
(b) Equipo de isualización.
Figu a 2.6
Mon aje expe imen al comple o. En la Figu a 2.6a puede ap ecia se el sis ema de posicionamien o
del ala y a iación del ángulo de a aque mien as que en la Figu a 2.6b se mues a el equipo de
isualización.
Tabla 2.3 Rango pa amé ico empleado du an e la ealización de los expe imen os..
Pa áme os U∞[m/s]Pin [mba ]α[◦]
Valo es [0.3, 0.5, 0.6, 0.72] [120, 207, 288, 400, 565, 789, 890] [4.66, 6.11, 8, 10, 12]
Po o o lado, pa a la g abación de imágenes a al a elocidad, cabe des aca que se ha empleado una
esolución g abando a una elocidad de adquisición de 5000-10000 imágenes po segundo (5000-10000 ps).
El siguien e paso es desc ibi cuál es el p o ocolo que pe mi e la ob ención de da os de una se ie expe imen al
(es o es, una combinación de la e na
[Pin ,U∞,α]
), de modo que si a de ejemplo del p oceso comple o de
ob ención de los da os que se án p ocesados en la siguien e sección.
El p o ocolo de expe imen ación seguido busca e ec ua los ealiza los ensayos de la o ma más igu osa y
e icien e posible, op imizando los iempos eque idos pa a cada a ea. Una ez se iene el ala ijada en el únel
hid odinámico, el ci cui o de p esión conec ado al ala con una p esión a bi a ia (pe o lo su icien emen e
al a como pa a e i a que en e agua a a és de los o i icios) y el sis ema de isualización co ec amen e
con igu ado y en ocado, se p ocede del siguien e modo:
1.
Se ija el ángulo de a aque,
α
, deseado pa a dicho expe imen o. Pa a ello se deben mo e las a illas
has a encon a (ayudándose de un anspo ado ) ap oximadamen e el ángulo buscado y pos e io men e
2.2 Expe imen os 23
ija las.
2.
Una ez encon ado el ángulo de a aque, se oma una o og a ía de la o ma más o ogonal posible de
la sección ans e sal del ala. Dicha imagen se á u ilizada pa a calcula el ángulo de a aque eal con el
que incide la co ien e.
3.
En es e pun o, si ue a necesa io, se uel e al paso 1 has a encon a un alo ap oximado al espe ado
pa a α.
4. Fijado el alo de α, se selecciona la elocidad a la que se ealiza á el ensayo.
5.
Finalmen e, se selecciona una p esión in e io de las que igu an en la Tabla 2.3 y se deja anscu i
un iempo su icien e has a alcanza un égimen es aciona io6.
6.
Se con igu a la cáma a pa a que inicie la g abación y se oman 3 ídeos de 3 ins an es di e en es con la
in ención de pode ealiza una media de los alo es ob enidos.
7.
Mien as se p oduce la g abación de los ideos, se egula la p esión pa a pode con inua con el siguien e
alo .
8.
Finalizadas odas las p uebas a iando la p esión in e io del ala y man eniendo la elocidad y el ángulo
de a aque cons an es, se p ocede a cambia el alo de la elocidad y epe i los pasos 5-7, y así has a
comple a odas las elocidades.
9. Finalmen e, si se desea, se modi ica el alo del ángulo de a aque y se epi en los pasos an e io es.
2.2.2 Da os ob enidos y mé odos de pos p oceso
Llegados a es e pun o y concluidos odos los expe imen os, se dispone del ma e ial necesa io pa a que, as
el pos p oceso adecuado, se pueda ealiza el análisis de los esul ados. Es obje o de es a sección de alla los
mé odos que se han u ilizado pa a llega a los esul ados mos ados en la Sección 2.3.
Videos
F u o de los ensayos ealizados se dispond á de 3 ídeos pa a cada e na de pa áme os
(α,U∞,Pin )
. Un
ejemplo ilus a i o del ipo de imágen que se ob iene de la g abación con la cáma a de al a elocidad puede
encon a se en la Figu a 2.7 donde se mues a la p oducción de bu bujas en un o i icio si uado en el bo de de
a aque. Debido a que se dispone de dis ancias calib adas en la imagen, es imedia o ealiza la medición de
los diáme os de las bu bujas empleando un so wa e especí ico como el g a ui o ImageJ
®
o el p og ama
come cial de la p opia cáma a Phan om
®
. Dado que las bu bujas p oducidas son monodispe sas, en cada ídeo
se ealiza la ob iene el diáme o de una bu buja ca ac e ís ica como media de dos diáme os pe pendicula es
en e sí, ya que la bu buja, po e ec o de la supe icie del ala, puede no se pe ec amen e es é ica a la salida
del o i icio. El diáme o inalmen e asignado a la e na de pa áme os conside ada se á la media a i mé ica de
los 3 ídeos disponibles. Cabe des aca que, dado que el p oceso de medición es ealizado de o ma manual,
se ha conside ado un e o de 1 pix en la medida del diáme o, lo que con la esolución y escala omada
co esponde a e o es de
±25 µm
. Po o o lado, pa a la medida de la ecuencia de bu bujeo, se ija una
de e minada posición en la imágen y se ano a el núme o de ames que son necesa ios pa a que pasen po
dicha posición un o al de 20 bu bujas. La ecuencia ob enida es po lo an o
b=20 × ame a e
n◦de ames (2.5)
Velocidad inciden e
Como se comen ó en secciones an e io es, la elocidad no puede se impues a con un alo p e ijado, sino
que debe de e mina se su alo median e análisis de imagen. Pa a ello, se emplean pequeñas pa ículas
azade as ap oximadamen e es é icas con una densidad simila a la del agua y se g aban eco e una dis ancia
p ede e minada en el únel hid odinámico cuando es e es á lib e de cualquie sólido. Es e p oceso se epi e
a ias eces pa a cada ni el de po encia del únel seleccionads, de o ma que la medida de la elocidad sea lo
más obus a posible.
6
Du an e la ope ación expe imen al es e iempo podía consis i en 20-30s, que es el iempo que se a daba en con igu a y p epa a la
cáma a pa a la g abación. Es e iempo es mucho mayo que el iempo de di usión iscosa
D2/νg
y que el iempo ca ac e ís ico que
emplea el gas en eco e el ubo capila (∼O(L /U∞), comp obándose es o úl imo en la Sección 2.3
24 Capí ulo 2. Ala acuá ica bidimensional
Figu a 2.7
Ejemplo de imágen ex aída de uno de los ideos ealizados con una esolución de 1280x800 a
5000 ps. La escala del ídeo es de
25mum/px
. La imagen mues a un expe imen o con
α=6.11◦
,
U∞=0.49m/syPin =289mba .
Va iables de in e és
Una ez que se han medido los diáme os y las ecuencias de o mación de las bu bujas de cada e na de
pa áme os y se conoce del alo de la elocidad inciden e, se pueden calcula o as a iables de in e és del
p oblema, como es el caudal o al de gas inyec ado, ob enido median e la Ecuación (1.14)
Qg=πd3
b
6 b
Finalmen e, pa a pode con as a la hipó esis de la analogía de los g adien es a o ables de p esión c eados
en en o no del bo de de a aque de un pe il ae odinámico con los esul ados mos ados en [
17
] se debe
dispone del coe icien e de p esión y su g adien e pa a los dis in os casos que lo equie an. En conc e o, pa a
la de inición aquí conside ada del coe icien e de p esión,
Cp(x) = p−p∞(x)
1/2ρU2
∞
,con x∈Σs(2.6)
esul a e iden e que dicho coe icien e sólo depende á, en cada pun o y pa a el caso de un pe il simé ico
de geome ía ija, del ángulo de a aque geomé ico p e iamen e ijado; nó ese que el alo del g adien e
adimensional del coe icien e de p esión, po su pa e, depende á (además de
α
) del alo empleado en la
adimensionalización de la dis ancia, en es e caso la cue da,
c
. El alo de
Cp
ha sido de e minado po el
Mé odo de G een de Elemen os de Con o no desc i o en el Apéndice A. Conocido el coe icien e de p esión
en los pun os de in eg ación de cada panel del pe il, esul a inmedia o el cálculo de su g adien e local en
cada pun o que se equie a median e de i ación numé ica de los alo es in e polados.
2.3 Resul ados y discusión
Finalizados odos los ensayos y p ocesados odos los da os ob enidos, oca desg ana y analiza el ico abanico
de enómenos que se han obse ado. El obje i o de es a sección se á es udia y comp ende las ca ac e ís icas
del p oceso de o mación de bu bujas en unción de los pa áme os ya mencionados (p esión in e io del ala
-es deci , caudal de ai e-, ángulo de a aque del ala y elocidad inciden e) y de la posición del o i icio sob e la
supe icie del ala. Dado que, como se comen ó al inal del Capí ulo 1, exis e la posibilidad de que cie os
o i icios se encuen en en zonas de g adien e a o able de p esión pa a cie os
α
y en zonas de g adien e
ad e so pa a o as, se a a analiza p ime o el e ec o de la posición del o i icio de inyección en el p oceso
de o mación de bu bujas. De es e modo el análisis puede cen a se en es udia el e ec o que la a iación
2.3 Resul ados y discusión 25
Figu a 2.8
E ec o de la posición del o i icio en el p oceso de gene ación de bu bujas. En la igu a se mues an
dos o i icios si uados en
x/c=0.0017
a la izquie da y
x/c=0
a la de echa pa a un ángulo de
a aque,
α≃12◦
, una p esión in e io ,
Pin =200mba
y 3 elocidades di e en es. Puede ap ecia se
que, mien as que en el o i icio de la de echa la o mación de bu bujas pe manece cons an e y
monodispe sa con independencia del alo de la elocidad, en el o i icio de la izquie da se o ma
un ligamen o gaseoso cuya ex ensión y amaño aumen a a medida que lo hace la elocidad.
de los es pa áme os ienen sob e los diáme os y ecuencias de las bu bujas p oducidas cen ándonos
exclusi amen e en un único o i icio.
2.3.1 E ec o de la posición del o i icio de inyección
El p oceso de gene ación de bu bujas depende de la posición del o i icio de inyección. En e ec o, se mues a
en la Figu a 2.8 una imagen ex aída de un ensayo ealizado a ángulo de a aque
α≃12◦
pa a es elocidades
di e en es (
U∞= [0.33,0.46,0.72]m/s
) man eniendo la p esión del in e io del ala cons an e. Como se ap ecia
en la igu a, el o i icio de la de echa, cuya posición longi udinal adimensional es
x/c=0
, se man iene en un
égimen de bu bujeo monodispe so independien emen e del alo de la elocidad aplicado, mien as que en
el o i icio de la izquie da, si uado en
x/c=0.0017
, el compo amien o es bien dis in o: pa a elocidades
bajas, el p oceso de o mación de bu bujas no e mina de p oduci se ce ca del o i icio como sí ocu e con el
o i icio an e io , sino que puede ap ecia se la o mación de un cho o de ai e eyec ado desde el o i icio. Es e
cho o c ece en ex ensión y en diáme o aguas abajo del o i icio a medida que se aumen a la elocidad.
Pa a comp ende como la o mación de bu bujas en o i icios si uados ela i amen e ce ca el uno del o o
puede p esen a semejan es di e encias, se mues a en la Figu a 2.9 las posiciones de los pun os de emanso
y picos de succión pa a di e en es ángulos de a aque jun o con las posiciones de los o i icios de inyección.
Como puede ap ecia se en el diag ama, donde se ha señalado especí icamen e las posiciones de los o i icios
mos ados en la Figu a 2.8, pa a un ángulo de a aque de
α=12◦
, el o i icio en la posición
x/c=0.0017
se
encuen a muy ce ca del pico de succión calculado numé icamen e con el Mé odo de Elemen os de Con o no.
Debido a que la esolución del p oblema de un pe il bidemensional po es e mé odo cons i uye una buena
ap oximación, pe o al in y al cabo, una ap oximación de la solución eal del campo de elocidades y p esiones
al ededo del ala, pa ece p obable que es e o i icio se encuen e ealmen e aguas abajo del pico de succión
pa a
α=12◦
y po lo an o en una egión de g adien e des a o able de p esión, po lo que la decele ación
que el líquido expe imen a en es a zona p o oca la eci culación del gas aguas abajo del pun o de inyección,
o mando la ca ac e ís ica o ma mos ada en la Figu a 2.8. Po lo an o, queda demos ado que la posición
que ocupen los pun os de inyección de gas en el ala esul a c í ica si se quie e asegu a una gene ación de
bu bujas exi osa, ya que una pequeña des iación puede hace que un o i icio, pa a de e minados ángulos de
a aque, pase de un égimen de bu bujeo monodispe so a un égimen en el que o me g andes masas de ai e.
Cabe en onces p egun a se en es e pun o cómo a ía el coe icien e de p esión y más conc e amen e su
g adien e pa a o i icios a lo la go de la coo denada cu ilínea con o igen en el bo de de a aque del pe il y
32 Capí ulo 3. Ala acuá ica o a o ia
Tabla 3.1 Medidas del anque empleado en los expe imen os del ala acuá ica o a o ia.
Dimensión Longi ud [m] Al u a [m] Espeso [mm]
Valo 1 0.6 30
•
Además debe exis i una dis ancia adecuada a las pa edes del anque con el in de e i a impac os y
elocidades inducidas po el mismo.
•
Po o o lado, las palas deben es a o madas en su sección ans e sal po pe iles ae odinámicos
donde exis an ue es g adien es a o albes de p esión en e el pun o de emanso y el pico de succión
de cada sección ans e sal pa a cada ángulo de a aque.
•
Con el in de explo a di e en es esul ados en unción del g adien e de p esión, el ángulo de a aque
debe pode se egulable.
•
Finalmen e, se debe consegui suminis a ai e desde el in e io de las alas hacia el líquido, lo que
debe á hace se a a és del eje de o ación, con i iéndo al igual que en el caso bidimensional cada
pala en un depósi o.
Pa a cumplia odas es as p emisas, se a a desc ibi el diseño de cada uno de los componen es po sepa ado.
3.1.2 Banco de ensayos
El banco de ensayos pa a un disposi i o de las ca ac e ís icas mencionadas a iba debe consis i undamen al-
men e en un anque lleno de líquido, en es e caso nue amen e agua an o po su sencillez como po la u u a
aplicación del p opio disposi i o
1
. Po o o lado, el anque debe ealiza se en un ma e ial anspa en e que
pe mi a la isualización de las bu bujas p oducidas con el in de pode medi los diáme os y las ecuencias
de p oducción como se ealizó en el Capí ulo 2; se ha op ado en es e caso po el me ac ila o como ma e ial
de ab iación, debido a su meno cos e con espec o al c is al. Aunque un anque de geome ía cilínd ica
se ía una solución idónea eniendo en cuen a la axilsime ía del p oblema, la dis o sión óp ica p o ocada po
la combinación de la geome ía cu a y el espeso del me ac ila o nos lle an a elegi un anque de sección
cuad ada. En cuan o a la al u a, se ha conside ado su icien e dipspone de una al u a o al del anque de
60 cm, con lo que la al u a o al de agua es a á en o no a los 0.5 m. Con es os eque imien os, y basándose
en la expe iencia del ab ican e, el espeso de pa ed ecomendado no debe ía se in e io al mos ado en la
Tabla 3.1, con el in de aguan a los casi 500 kg del peso del agua.
Po o o lado, dado que el equipo de isualización empleado se á el mismo y una ez más la in e ase
ai e-agua imposibili a ía la isión desde a iba, la g abacion de imágenes a al a elocidad ha de e ec ua se
desde la zona in e io del anque, po lo que es e debe es a ele ado. Pa a pode ealiza los expe imen os se
equie e po an o idea una es uc u a que pueda se u ilizada como banco de ensayos, debiendo la misma
da sopo e pa a la ealización de las siguien es a eas:
•
Sopo e del anque a una al u a su icien e como pa a pode inclui el mon aje comple o del equipo de
isualización bajo el mismo. Es a al u a debe se la mínima posible con el in de e i a aumen a la
longi ud de los pila es e icales y con ello la ines abilidad po pandeo.
•
Sopo e pa a el equipo o a i o en la zona supe io del anque, el cual debe sopo a el peso del mo o
y sis ema de ai eación jun o con los es ue zos adiales p oducidos po el gi o del mo o .
•
Es abilidad an e es ue zos en la di ección pe pendicula del eje. En e ec o, el mo imien o c eado po
las palas ae odinámicas en el seno del líquido ha án que el anque expe imen e es ue zos en su pa ed
que se án, en úl ima ins ancia, ansmi idos a la es uc u a que cons i uye el banco de ensayos.
De es e modo, eniendo en cuen a odo lo an e io , se ha diseñado y mon ado una es uc u a con pe iles de
aluminio, que apo a la igidez y obus ez necesa ias pa a sa is ace los eque imien os a iba desc i os. En la
Figu a 3.1 se mues a una pe spec i a de la es uc u a y el anque aquí desc i os, donde puede obse a se que
el anque se si úa ap oximadamen e a 1 m de dis ancia del suelo, dejando espacio su icien e pa a el mon aje
del equipo de isualización. Además los dos úl imos es an es p o een sopo e pa a el mo o eléc ico y el
depósi o de suminis o de p esión (es e ú limo desc i o más adelan e), mien as que los pe iles en diagonal
apo an la es abilidad su icien e pa a que, en ope ación, la es uc u a no se alabee.
1
Con iene menciona que el empleo de agua co ien e del g i o, a pesa de no se agua pu a, no iene nada que e con el ipo de aguas
encon ado en la indus ia de a amien o de aguas, debido a la abundancia de pa ículas y al os con enidos de ácidos como ni a os.

3.1 Diseño y ab iación 33
Figu a 3.1
Pe spec i a del banco de ensayos empleado en la campaña expe imen al. En las igu a se mues a
la es uc u a ab icada a base de pe iles de aluminio jun o con el anque de me ac ila o en su
in e io .
3.1.3 Diseño de las alas
El diseño de las alas empleadas pa a es e disposi i o se á muy simila al empleado en el disposi i o bidimen-
sional, po lo que muchos de los c i e ios de diseño seguidos en la Subsección 2.1.2 pueden se ex apolados
a es e caso. Así, po ejemplo, el pe il ae odinámico empleado se á el mismo que en el caso bidimensional,
es deci el pe il simé ico NACA 0012. Sin emba go, sí que exis en una se ie de di e encias que me ece
la pena pa a se a de alla . La p ime a de ellas es que aho a no se dispone de es icciones especiales ni
pa a la cue da ni pa a la en e gadu a del ala, ya que cada una debe i unida al eje a a és de su b azo
co espondien e, exis iendo po lo an o un único pun o de sujecion si uado ce ca de la zona de mayo espeso
de la sección ans e sal del ala. En es e caso, dado el ca ác e idimensional del p oblema y con la in ención
de pode aplica la eo ía ae odinámica gene al pa a alas esbel as (desc i a en de alle en el Apéndice B ),
se ía con enien e que su ala gamien o, de inido como
Λ=b2/S
con
b
la en e gadu a y
S
la supe icie en
plan a, sea al que
Λ>1
. Pa a el caso de un ala ec angula , la exp esión del ala gamien o es simplemen e el
cocien e en e la en e gadu a y la cue da,
Λ=b/c
, po lo que pa a el diseño de las palas conside ado, una de
las es icciones se á que b>c.
Po o o lado, la sección ans e sal del ala se á muy simila a la del caso bidimensional del Capí ulo 2, ya
que el ala ac ua á como depósi o espec o a los o i icios de inyección. No obs an e, en es e caso la inyección
de ai e se ealiza desde un la e al del ala en luga de hace la desde la zona del ex adós, ap o echando el
pun o de conexión del ala al eje de o ación a a és del b azo. En cuan o a los o i icios de inyección, es os
consis i án al igual que en el caso del ala bidimensional en idén icos ubos capila es de ace o con a ios
D/L 1
, con el in de consegui que la pe dida de ca ga e i e a iaciones b uscas de caudal po el cambio
en la elocidad o el ángulo de a aque inciden es. Una impo an e di e encia con espec o al caso del pe il
bidimensional, es que en es e caso no se explo a án di e en es zonas de inyección en o no al bo de de a aque,
sino que empleando los esul ados mos ados en la Subsección 2.3.1, se ha decidido coloca los pun os de
inyección jus o en el bo de de a que de cada pala. Además, se ha colocado un núme o mayo de pun os de
inyección con la in ención de analiza el compo amien o en dis in os pun os de la en e gadu a y de emula
aún más el posible de diseño de un p o o ipo de disposi i o de ai eación y agi ación de una plan a depu ado a.
34 Capí ulo 3. Ala acuá ica o a o ia
Tabla 3.2
Dimensiones ca ac e ís icas ele an es del diseño del ala y los o i icios de inyección. El alo de
g
en la úl ima columna ep esen a la dis ancia de sepa ación en e los di e en es o i icios a lo la go
de la en e gadu a.
Elemen o b[mm]c[mm]D[µm]L [mm]gap[mm]
Valo 200 125 160 30 5
(a) Pe spec i a en CAD del ala, con un co e longi udinal. (b) Pe spec i a inal.
Figu a 3.2
Di e en es pe spec i as del diseño y ab icación del ala pa a el p o o ipo de disposi i o o a o io.
Finalmen e, el diseño del ala queda comple o especi icando el sis ema de a iación de ángulo de a aque de
las palas. Dado que exis e un único pun o de sujeción y po es e pasa án no sólo los es ue zos causados po
la ue za cen í uga sino ambién los eje cidos po la p esión in e io den o de los ubos que con eccionan
los b azos del disposi i o, pa ece con enien e que la unión en e las alas y los ci ados b azos me álicos no se
haga di ec amen e a o nillando sob e la pala, pues o que el ma e ial de es a con inúa siendo un políme o de
ABS. En su luga , se ha con eccionado una solución consis en e en la ab icación de un pe il ealizado en
aluminio idén ico al del ala, pe o con un espeso mucho meno que la en e gadu a de es a. De es e modo,
el pe il si e de nexo de unión en e el ala y eje de o ación a a és del b azo. Es a pieza de aluminio, al
y como se obse a en la Figu a 3.2 posee un o al de 4 o i icios a ellanados, 3 de los cuales pe mi en una
unión obus a del ala y el o o se a o nilla median e un o nillo hueco di ec amen e al b azo, donde se ha
ealizado una osca in e na pa a al in. De es e modo, simplemen e gi ando el pe il de aluminio y ap e ando
el mencionado o nillo, se iene un sis ema capaz de implemen a el ángulo de a aque de la pala deseado y de,
a su ez, pe mi i el paso de ai e a a és de sí. Téngase en cuen a, además, que el ángulo de a aque no puede
se p e ijado, sino que debe medi se de o ma adecuada median e análisis pos e io de imágen, simila men e
al caso bidimensional.
3.1.4 Equipo o a i o y suminis o de p esión
Finalmen e, se llega al úl imo pun o a comple a en el diseño del p o o ipo disposi i o agi ado y gene ado de
mic obu bujas: el sis ema de o ación y ai eación. El sis ema de o ación es una a ea sencilla de implemen a ,
pues bas a un mo o eléc ico y un eje lo sucicien emen e la go (aunque no demasiado si se quie en e i a
excen icidades de la ca ga); la única condición "especial" que debe sa is ace dicho eje es que consis a en
un ubo hueco po den o, de o ma que pe mi a el paso de ai e desde el ci cui o de p esión has a las alas.
El mo o , po su pa e, posee un egulado de ecuencia que pe mi e con ola la po encia suminis ada e
indi ec amen e elocidad de o ación; la elocidad de o ación end á que medi se po lo an o a pos e io i.
El diseño de un adecuado sis ema de suminis o de p esión, po o o lado, es una a ea un poco más compleja.
El sis ema que se ha p opues o pa a pe mi i al ala o a al iempo que se anspo a el ai e desde la ed de
p esión has a el in e io del ala consis e en lo siguien e:
•
Un ecipien e de aluminio ab icado especí camen e pa a el disposi i o se i á de depósi o es anco,
si uado ue a del anque.
•
El depósi o se encon a á alineado con el eje del mo o , de o ma que és e úl imo pueda pasa a a és
de él.
•
En la apa supe io e in e io del depósi o se disponen 2 odamien os (uno a cada lado) jun o con
e enes pa a pe mi i al eje o a man eniendo el depósi o es anco en odo momen o.
•
El eje posee en la zona que se encuen a en el in e io del depósi o unas anu as que pe mi en la
en ada de ai e desde el depósi o p esu izado hacia su in e io . Es e aspec o implica además que el
3.2 Expe imen os 35
(a) Co e ans e sal del in e io del depósi o. (b) Pe spec i a inal del depósi o.
Figu a 3.3
Ilus ación del diseño y ab icación del depósi o de o ación es anca implemen ado en el disposi i o
gene ado de mic obu bujas p opues o..
eje pe manece siemp e ijo espec o del depósi o, es o es, iene impedidos odos los desplazamien os
incluido el pa alelo a sí mismo.
•
El depósi o se conec a di ec amen e a un mano educ o conec ado a su ez a la ed de p esión, po lo
que la p esión in e io del depósi o y po lo an o del ala es con olable desde es e mano educ o de
o ma simila a como se hizo en el disposi i o del Capí ulo 2.
En la Figu a 3.3 pueden obse a se algunos de los de alles del diseño del depósi o y de su ab iación así
como el aspec o de la con igu ación inal con el mo o eléc ico.
3.1.5 Ensamblaje inal
Finalmen e, desc i os odos los componen es que con o man el banco de ensayos y el p o o ipo de agi ación
y ai eación con mic obu bujas que se p opone, se mues a en la Figu a 3.4 el mon aje expe imen al comple o,
donde se ha incluido además el equipo de isualización si uado bajo el anque, lis o pa a comenza la campaña
expe imen al.
3.2 Expe imen os
Una ez comple ado el diseño de odo el p o o ipo se es á en disposición de comenza la campaña expe i-
men al que p opo cione los da os necesa ios pa a e alua la alidez de las leyes de escala ob enidas en el
capí ulo an e io . De es e modo, es a sección se es uc u a de o ma análoga a su homóloga en el Capí ulo 2,
mos ando en p ime luga el espacio pa amé ico que se p e ende explo a du an e la campaña expe imen al
y pos e io men e desc ibiendo los mé odos de análisis y pos p oceso u ilizados. Cabe des aca que es os
mé odos supond án una lige a modi icación/ampliación de los ya expues os en el capí ulo an e io .
3.2.1 Campaña expe imen al
Las a iables de las que dependen el diáme o y las ecuencias de p oducción de las bu bujas pa a el p oblema
idimensional son las mismas que pa a el p oblema bidimensional, po lo que el el ipo de pa áme os y el
ango explo ado se á muy simila al del p oblema 2D. Las a iables lib es que en es e p oblema se pueden
con ola son las siguien es:
•
Velocidad de o ación de las palas. El alo que se con ola es un pa áme o a bi a io de ecuencia,
po lo que la elocidad de o ación debe ex ae se de las imágenes g abadas.
•
P esión en el in e io del depósi o. Una ez más, no es posible el con ol di ec o del caudal de inyección
de ai e sino que sólo se puede ac ua sob e la p esión in e io del depósi o; no obs an e, la pé dida de
ca ga gene ada po los ubos capila es implica á, como en el caso bidimensional, que las a iaciones
36 Capí ulo 3. Ala acuá ica o a o ia
Figu a 3.4 Pe spec i a gene al del mon aje expe imen al comple o.
Tabla 3.3
Espacio pa amé ico a explo a en la campaña expe imen al. La úl ima columna ep esen a las
posiciones de los o i icios que son analizados en cada ídeo, donde
ep esen a la dis ancia de
cada o i icio al eje de o ación, po lo que la elocidad inciden e pa a una elocidad de o ación
dada, Ωi, y pa a un o i icio conc e o, jes Vi j =Ωi j.
Pa áme os Ω[ pm] Pin [mba ] αg[◦] [mm]
Valo es [65,80,105,125] [125,150,175,200,250,300] [8,12] [389,384,379], [424,419,414] ,[469,465,460]
de p esión p o ocadas po el aumen o de elocidad del líquido y/o po el cambio de ángulo de a aque
o iginen a iaciones pequeñas del caudal de ai e.
•
Ángulo de a aque geomé ico,
αg
. Es e es el ángulo de a aque que poseen las palas con espec o a un
plano de no mal al eje de o ación.
Aunque en es e caso odos los o i icios han sido si uados en el bo de de a aque del ala, los esul ados
ob enidos pa a el diáme o y las ecuencias a ia án de un o i icio a o o. En e ec o, si bien la p esión en
el in e io del ala puede conside a se uni o me y el ángulo de a aque geomé ico es cons an e pa a odas
las secciones de la pala, exis en dos magni udes que a ían con la en e gadu a: la elocidad local de cada
sección (p oduc o de la elocidad angula de gi o,
Ω
, y de la dis ancia de cada o i icio al eje de o ación,
, y
el ángulo de a aque e ec i o,
αe
, de inido en la eo ía gene al de alas como
αe =αg−αind (y)
, siendo
αind (y)
el ángulo de a aque inducido po los o bellinos de pun a de pala que a ía a lo la go de la coo denada
que eco e la en e gadu a,
y
, en el sis ema de ejes ien o al y como se de alla en el Apéndice B. Po lo an o,
pa ece necesa io, pa a cada e na de pa áme os (
Ω,α,Pin
) se analicen los diáme os y las ecuencias de
dis in os o i icios a lo la go de la en e gadu a con el in de pode cap u a oda la enomenología implicada
en el p oblema. El espacio pa amé ico explo ado du an e la campaña expe imen al queda esumido en la
Tabla 3.3
El p o ocolo expe imen al seguido en es e caso pa a ob ene una se ie expe imen al es el siguien e:
3.2 Expe imen os 37
Figu a 3.5
Mues a de imágen ex aídas de un ídeo ealizado con
αg=8◦
,
Pin =150mba
y
Ω=80 pm
. La
esolución o iginal del ídeo pa a es e caso es de 688x456 con una escala de
21 µm/px
g abado a
20.000 ps.
1.
Selección del ángulo de a aque geomé ico a ensaya . El ángulo de a aque geomé ico de cada pala
debe se opues o con espec o al plano de no mal según el eje de o ación, ya que se p e ende e i a
momen os gene ados en el eje po e ec o de la sus en ación.
2. Ve i icación median e análisis de imágen del ángulo de a aque geomé ico.
3.
Colocación de las palas e inme sión en el anque de agua, conec ando el sis ema de p esión pa a e i a
la en ada de agua en el in e io de las alas.
4.
Posicionamien o de la cáma a en ocando alguno de los 3 angos de o i icios especi icados en la Tabla
3.3
5. Selección de la meno elocidad de o ación a analiza .
6. Selección de la p esión en el in e io del depósi o.
7.
Accionamien o del mecanismo de o ación y espe a du an e el iempo eque ido pa a que el sis ema se
conside e es aciona io2.
8.
Cap u a ídeo donde, al menos, haya anscu ido más de una uel a comple a del ala. Es o se debe a
que el ala sob e la que se isualizan los esul ados es aquella que posee un ángulo de a aque geomé ico
nega i o con espec o al plano de no mal según la di ección del eje de o ación y sen ido hacia el mo o ,
po lo que se equie e al menos una uel a comple a pa a pode e ec ua la medida de la elocidad de
o ación.
9. Una ez e minado, cambio en la p esión in e na del depósi o con la misma elocidad.
10. Una ez eco ido odo el ango de p esiones, cambio en la elocidad de o ación.
11.
Finalizadas odas las elocidades, ol e al paso 3 y epe i odos los pasos has a comple a odos los
o i icios de in e és.
12. Finalmen e, cambia el ángulo de a aque geomé ico y epe i el p oceso.
3.2.2 Da os ob enidos y pos p oceso
Una ez se haya inalizado la campaña expe imen al se dispond án de 3 ídeos pa a cada o i icio y e na de
pa áme os (
Ω,αg,Pin
). Un ejemplo ilus a i o del aspec o de es os ídeos puede obse a se en la Figu a 3.5
donde puede comp oba se que, al igual que en el caso bidimensional, se puede emplea so wa e de a amien o
de imágenes pa a medi de o ma manual el diáme o de las bu bujas y las ecuencias de p oducción,
exac amen e de la misma o ma que se ealizó en la Subsección 2.2.2 y asignando un e o de 1 px en la
medida del diáme o, que se co esponde en es e caso eniendo en cuen a la esolución de la Figu a 3.5 con
±21 µm/px
. La medida de la elocidad angula de gi o, po o o lado, puede ob ene se del núme o de ames
anscu idos en e un paso de la pala y el siguien e. La medida del caudal en el p oblema idimensional se
e ec úa de o ma indi ec a del mismo modo que en el caso bidimensional, es o es, aplicando la Ecuación
(1.14)
que elaciona diáme os de bu buja y ecuencia de o mación de bu bujeo con el caudal.
Has a es e pun o el pos p ocesado de esul ados esul a comple amen e análogo al desc i o pa a el caso
bidimensional, con la sal edad de que el núme o de o i icios donde hay que ealiza las medidas es mayo . La
única a iable que es a po calcula aho a es el g adien e de p esión local en el o i icio, es deci
Ps(¯s=0)
. Sin
emba go, no es posible emplea el código de elemen os de con o no del Apéndice A di ec amen e u ilizando
2
Debe ap ecia se en es e caso el ca ac e cla amen e no es aciona io del p oblema, po lo que se asume que, anscu ido un iempo en
el que odos los pa áme os man ienen un alo cons an e, se alcanza un égimen pe manen e.

38 Capí ulo 3. Ala acuá ica o a o ia
el ángulo de a aque geomé ico, ya que pa a el caso de un ala de en e gadu a ini a el ángulo de a aque
e ec i o en cada sección del pe il se e educido debido al wash-down c eado po los o bellinos de pun a de
pala que inducen elocidades e icales a lo la go de oda la en e gadu a del ala. Po ello, el ángulo de a aque
e ec i o con el que la co ien e incide en cada sección se puede modela como
αe (y) = αg−αind (y)
pa a
el caso de un ala sin o sión. El ángulo de a aque inducido,
αind (y)
, es pues una medida del ángulo de a aque
que se de lec a la co ien e inciden e debido a los o bellinos de bo de ma ginal. En e ec o, en es a egión, la
p esión en el ex ados e in adós se iguala, p o ocando el mo imien o del luido desde el en o no del bo de
ma ginal del in adós hacia el ex adós, gene ando así un o bellino en la pun a. Debido al ca ac e ini o de
la en e gadu a, es e o bellino induce elocidades ans e sales a la co ien e inciden e di igidas hacia la aíz
sob e la supe icie del ala, al iempo que de lec a la co ien e inciden e un ángulo
αind =wi/U∞
, con
wi
la
elocidad e ical que c ea el o bellino de bo de ma ginal y que puede esc ibi se de la o ma
wi(y) = 1
4πZy=b/2
y=−b/2
dΓ/dy0
y−y0
dy0(3.1)
siendo
Γ(y) = H ·dl
el alo de la ci culación al ededo del pe il si uado a una dis ancia
y
de la aíz
del ala. La deducción de la Ecuación
(3.1)
jun o con las de iniciones, hipó esis ealizadas y o a se ie de
azonamien os de obligada comp ensión sob e la ae odinámica de alas de en e gadu a ini a puede encon a se
en el Apéndice B. El ángulo de a aque inducido pa a cada posición
y
de la en e gadu a puede ob ene se como
αind (y) = 1
4πU∞Zy=b/2
y=−b/2
dΓ/dy0
y−y0
dy0(3.2)
En el Apéndice B se incluyen los de alles de un mé odo numé ico conocido como Vo ex-La ice que
pe mi e esol e p oblema sus en ado de un ala de en e gadu a ini a. La esolución de es e p oblema
PROPORCIONAel alo de la ci culación o al
Γ
, de la dis ibución de ci culación,
Γ(y)
y del ángulo de
a aque inducido, αind (y).
De es e modo, pa a el caso de un ala aislada con ángulo de a aque geomé ico
αg
sob e la que incide una
co ien e uni o me
U∞
, se pod ía emplea el código de elemen os de con o no empleado en el Capí ulo 2
suminis ando al p og ama el alo del ángulo de a aque e ec i o pa a el pe il de la sección que se desee
analiza . Sin emba go, en es e p oblema, exis en dos di e encias con espec o al caso de un ala sob e la que
incide una co ien e uni o me a ángulo de a aque geomé ico
αg
: la p ime a es que en nues o p oblema la
elocidad a ía de o ma lineal con la dis ancia al eje y la segunda es que la elocidad que incide sob e una
pala se encuen a pe u bada po la es ela que deja as de sí la o a pala. Pa a sol en a el p ime incon enien e
se p opone un modelo en el que se conside a la co ien e incide sob e el ala con una elocidad uni o me
de alo
U∞≃Ω( max + min)/2
, es deci , una elocidad media en e la máxima y mínima a lo la go de la
en e gadu a. Po o o lado, el modelado de la es ela as el ala no es un p oblema i ial aún hoy en día. Dado
que un modelo que ep oduzca de o ma igu osa el lujo en la es ela queda ue a del alcance de es e abajo,
se a a p opone uno más sencillo que nos pe mi a ob ene el ángulo de a aque e ec i o del ala. Considé ese la
Figu a 3.6, donde se ep esen an de o ma esquemá ica las dos palas y las es elas gene adas as de sí. Como
se ha comen ado, los o bellinos de bo de ma ginal inducen elocidades ans e sales sob e la supe icie del
ala y e icales sob e la co ien e inciden e que modi ican el ángulo de a aque e ec i o de cada sección de
la pala. Es os o bellinos se con ec an aguas abajo en la es ela, de o ma que los o bellinos del ala que a
po delan e p o oca án una educción del ángulo de a aque e ec i o del ala de a ás del o den de
∼αind (y)
,
dependiendo es a disminución de la sección,
y
, conside ada. Así pues, dado que el ángulo de a aque e ec i o
pa a un ala que en en a un lujo uni o me es αe (y) = αg−αind (y), se a a modela el e ec o de la es ela
conside ando que el ángulo de a aque e ec i o o al del ala es
αe (y) = αg−2αind (y)(3.3)
3.3 Resul ados y discusión
En es a úl ima sección se an a analiza los esul ados de la campaña expe imen al desc i a en la sección
an e io u ilizando pa a ello los mé odos an e io men e desc i os. La es uc u a de la sección se á simila a la
que se siguió en el Capí ulo 2: en p ime luga , se p esen an de o ma cuali a i a los esul ados ob enidos a
a és de los ídeos omados pa a dis in os alo es ep esen a i os de los pa áme os del p oblema de o ma
3.3 Resul ados y discusión 39
Figu a 3.6
Rep esen ación esquemá ica del p oblema de de e minación del ángulo de a aque e ec i o de las
palas. En la igu a se mues a como los o bellinos de bo de ma ginal se con ec an aguas abajo
en la es ela. La es ela de un ala modi ica el lujo inciden e sob e la o a, educiendo aún más el
ángulo de a aque e ec i o del ala pos e io .
(a) Bo de ma ginal de la pala. (b) Zona cen al de la pala. (c) Raíz de la pala.
Figu a 3.7
Resul ados ob enidos en 3 zonas di e en es a lo la go de la en e gadu a pa a unas palas o ando a
un ángulo de a aque α=12◦yΩ=80 pm..
que, as la cua i icación de los esul ados, se pueda comp oba si un escalado simila al ealizado al caso
bidimensional es ambién álido pa a es e p oblema.
3.3.1 Fenomenología
Es a sección se cen a á en mos a cuali a i amen e los enómenos ep esen a i os hallados du an e la
campaña expe imen al. En p ime luga , a di e encia del caso bidimensional, cabe des aca que los o i icios
es án odos si uados en la pun a del bo de de a aque de los pe iles que con o man las alas. Sin emba go,
dado el ca ac e ini o de la en e gadu a de las alas y dado que es as se encuen an o ando espec o a un eje,
sí deben exis i di e encias en e los dis in os pun os de inyección a lo la go de la en e gadu a. La Figu a 3.7
mues a de o ma cuali a i a las di e encias exis en es pa a dis in os o i icios dis ibuidos a lo la go de la
en e gadu a de la pala pa a un ángulo de a aque geomé ico
α=12◦
, una elocidad angula
Ω=80 pm
y
una p esión in e io
Pin =150mba
. En p incipio, cab ía espe a que dado que la elocidad en la pun a de
la pala es mayo que en la aíz debido a la o ación, las ecuencias de bu bujeo pa a un caudal cons an e
debe ían aumen a y consiguien emen e los diáme os de las bu bujas o madas disminui . No obs an e, como
se obse a en las di e en es imágenes, no se ap ecian a simple is a di e encias demasiado signi ica i as.
Analizada la in luencia de la posición de la en e gadu a la Figu a 3.8 mues a como cambian los diáme os
de las bu bujas al a ia el caudal de gas inyec ado. Como cabía espe a se, al aumen a el caudal de ai e
inyec ado el diáme o de las bu bujas aumen a, algo análogo a lo isualizado en el caso bidimensional.
Finalmen e, dada la in luencia que eje ce el g adien e de p esión local sob e los diáme os y ecuencias de
las bu bujas pa a el caso bidimensional, cabe p egun a se si en es e caso se ob end án esul ados simila es
a los hallados en la Sección 2.2. La Figu a 3.9 mues a los o i icios de la zona cen al del ala pa a los
dos ángulos de a aque conside ados du an e la campaña expe imen al (8 y 12 g ados). Puede ap ecia se
que la in luencia del ángulo de a aque geomé ico es dis in a al caso de un pe il bidimensional, donde las
educciones en los diáme os po e ec o de aumen o del g adien e de p esión al a ia el ángulo de a aque
podían llega a se del o den de 150 mic as.
40 Capí ulo 3. Ala acuá ica o a o ia
(a) Pin =125 mba . (b) Pin =250 mba .
Figu a 3.8
In luencia del caudal de gas inyec ado en los diáme os de la bu buja. Las igu as mues an los las
bu bujas p oducidads en o i icios de la zona cen al del ala pa a un α=8◦yΩ=65 pm.
(a) α=8◦.(b) α=12◦.
Figu a 3.9
In luencia del ángulo de a aque geomé ico en los diáme os de las bu bujas p oducidas. Ambas
igu as mues an el caso de o i icios si uados en la zona cen al del ala cuando la p esión del
depósi o es Pin =150mba y la elocidad de o ación Ω=80 pm. .
3.3.2 Resul ados cuan i a i os
Una ez isualizada la enomenología encon ada du an e la ealización de los expe imen os es momen o
de e alua cuan i a i amen e los da os esul ados ob enidos. An es de comenza a isualiza los alo es de
los diáme os de bu bujas ob enidos pa a es e p o o ipo, con iene cuan i ica el alo del ángulo de a aque
e ec i o pa a cada sección del pe il. La Figu a 3.10 mues a el alo del ángulo de a aque e ec i o, ob enido
al y como se especi icó en la Subsección 3.2.2, es o es, es ando al ángulo de a aque geomé ico el doble del
ángulo de a aque inducido calculado numé icamen e en cada sección del ala. Es e sencilo modelo p e ende
ene en cuen a en el cálculo del g adien e local de p esión el e ec o de los obellinos de bo de ma ginal
p esen es en alas de en e gadu a ini a y el e ec o de la es ela que el o o ala eje ce sob e el lujo inciden e
(si uado con ángulo de a aque opues o espec o a su adialmen e simé ica). Como puede comp oba se, el
ángulo de a aque e ec i o es mucho meno que el ángulo de a aque geomé ico que se p e endía impone
y, lo que es más impo an e, debido al inc emen o en el ángulo de a aque inducido cuando se aumen al el
ángulo de a aque geomé ico, las di e encias en el ángulo de a aque e ec i o en cada sección pa a los alo es
de los ángulos geomé icos conside ados son p ác icamen e desp eciables. Es e hecho explica ía po qué no
se ap eciaban a iaciones signi ica i as en los diáme os de las bu bujas cuando se obse aban a dos ángulos
de a aque muy di e en es (8 y 12 g ados).
Aho a se es á en condiciones de analiza cuan i a i amen e las a iaciones en los diáme os de las bu bujas
que exis en a lo la go de la en e gadu a. La Figu a 3.11 mues a los diáme os de bu buja medidos pa a
los di e en es pun os de inyección conside ados du an e los expe imen os y pa a los dos ángulos de a aque
analizados. En la Subsección 3.3.1 se comen ó que, en p incipio, cab ía espe a se encon a una educción en
el diáme o de la bu buja a medida que nos alejamos de la aíz, debido al inc emen o de elocidad inciden e.
Sin emba go, como se obse a en la Figu a 3.11, en la pun a se encuen an p ecisamen e diáme os de bu buja
3.3 Resul ados y discusión 41
-1 -0.5 0 0.5 1
0
1
2
3
4
Figu a 3.10
Ángulo de a aque e ec i o pa a dis in os pun os a lo la go de la en e gadu a. En la igu a se
mues an los alo es del ángulo de a aque e ec i o cuando se le sus ae al ángulo de a aque
geomé ico el doble del alo del ángulo de a aque inducido calculados numé icamen e u ilizando
el mé odo de Vo ex-La ice desc i o en el Apéndice B.
mayo es que en el cen o de la pala, además de se en cie os casos más pequeños los diáme os asociados a
ángulos de a aque geomé ico de 8 g ados que los asociados a
αg=12◦
. Es e aspec o encaja pe ec amen e
con la disminución del ángulo de a aque e ec i o desc i a an e io men e, pues p ecisamen e en las pun as
(ambos bo des ma ginales en es e caso) es donde la educción po e ec o del ángulo de a aque inducido es
mayo debido al e ec o del o bellino de pun a de pala. Así pues, es a disminunción en el ángulo de a aque
e ec i o hace que sea en el cen o de la pala donde se alcanzan meno es diáme os a pesa de se meno la
elocidad que en la pun a, lo que pone de mani ies o una ez más que el enómeno de o mación de bu bujas
es á dominado po el g adien e longi udinal de p esión local.
Finalmen e, si se adimensionalizan los esul ados de la misma o ma que en la Sección 2.3 y en [
17
] y se
hace uso de las leyes de escala deducidas p e iamen e pa a el caso bidimensional, es o es
db∝ Qg
U∞L2pPs/2!2/5
y se iene en cuen a que el alo del g adien e adimensional de p esión en el pun o de inyección de gas
Ps=dCp/d ¯s(¯s=0)c/L
, debe se calculado pa a cada o i icio empleando el mismo Mé odo de Elemen os
de Con o no que en el caso bidimensional pe o u ilizando el ángulo de a aque e ec i o pa a cada pun o de la
en e gadu a, así como el uso de un alo p omedio de la elocidad inciden e, dado po
Ω( max + min)/2
,
se ob ienen los esul ados de la Figu a 3.12. Cabe des aca que la exp esión de la ec a de mejo ajus e
encon ada pa a es e caso es
db
L=1· q
pPs/2!2/5
(3.4)
que es p ác icamen e idén ica a la encon ada en el caso bidimensional (Sección 2.3) y en [17].
48 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
ca ac e ís ica, en el caso que nos ocupa
F ∼O(1)
, ya que las elocidades del líquido son
U∞∼∞m/s
. Sin
emba go, la única ue za másica aquí conside ada es la g a edad, que es una ue za conse a i a, po lo que
de i a de un po encial,
m=−∇U
y puede inclui se den o del é mino de p esión de la Ecuación
(A.7)
,
−∇(p+ρU), denominándose p esión educida y sin que ello suponga pé dida de gene alidad.
O a impo an e simpli icación es posible si se conside a que en los pe iles ae odinámicos como los que
se emplean en los disposi i os mos ados poseen una cue da al que
c∼O(0.5m)
, y en en an una co ien e
inciden e de elocidad
U∞∼O(1m/s)
, con lo que se iene que el núme o de Reynolds,
Re
, que es el núme o
adimensional que su ge de compa a el é mino de ine cia
ρ ·∇
con el é mino de es ue zos iscosos,
n·¯
¯
τ
τ
τ000
,
en la Ecuación (A.7), puede es ima se como
Re =ρU∞c
µ∼103·1·0.5
10−3∼5·1051(A.12)
po lo que se concluye que puede desp ecia se, en p ime a ap oximación, los e ec os de la iscosidad
a dis ancias del o den de la longi ud de la cue da y mayo es en el dominio luido. Po o o lado, si en la
Ecuación
(A.8)
se compa a el lujo de calo po con ección,
ρc ·∇T
, con el lujo de calo po conducción,
k∇2T
, y se de ine además el núme o de P and l como el cocien e en e la di usión iscosa y la di usión
é mina,
P =µcp/k
, con
cp=c
pa a un líquido de p opiedades cons an es como el aquí conside ado, se
iene que
ρc ·∇T
k∇2T∼ρU∞c ∆T/c
k∆T/c2∼µc ρU∞c
kµ∼ReP =Pe 1(A.13)
donde se ha de inido el núme o de Pecle ,
Pe =ReP
, y se ha enido en cuen a que
P ∼O(7)
pa a el
caso del agua. Es e esul ado nos lle a a que ambién pueden desp ecia se en p ime a ap oximación los
é minos de conduc i idad é mina en e a los de con ección en la ecuación de la ene gía. Las es imaciones
an e io es son álidas cuando se oman los g adien es a dis ancias del o den
c
del obje o, lo que pe mi e
desp ecia ĺos é minos de es ue zos iscosos y de conducción é mica con e o es del o den de
Re−1
y
Pe−1
, espec i amen e. Nó ese, sin emba go, que dichos é minos no pueden se desp eciados en las egiones
ce canas a la pa ed del sólido, dado que el luido debe adap a se pa a cumpli las condiciones de con o no de
elocidad ela i a nula e igualdad de empe a u as y de lujos de calo . Pa a comp oba que, e ec i amen e,
es a egión es de un amaño muy in e io al dominio, se debe conside a que en el espeso de es a egión,
δ
,
el luido modi ica á su elocidad desde la co ien e ex e io (del o den de
U∞
) has a hace se nula en la pa ed
del sólido (siemp e en los ejes ligados al cue po), po lo que en es a egión, an o los é minos iscosos como
los de ine cia son compa ables,
ρ ·∇
µ∇2 ∼1→∼ ρU2
∞/c
µU∞/δ2∼1⇒δ
c∼Re−1/21(A.14)
po lo que, pa a el caso que nos ocupa, la egión donde los e ec os iscosos no pueden se desp eciados
posee un espeso muy in e io a las dimensiones ca ac e ís icas del ala; a es a egión se le conoce con el
nomb e de capa lími e. De un modo comple amen e análogo, puede ob ene se que la egión donde los e ec os
de conducción no pueden desp ecia se, se á una egión de espeso
δT
c∼Re−1/2P −1/21(A.15)
denominada capa lími e é mica, ambién muy in e io a c.
Que el espeso ela i o de la capa lími e sea al que
δ/c1
pe mi e ealiza una g an simpli icación
en la Ecuación
(A.7)
, de o ma que jun o con la Ecuación
(A.9)
pe mi an abo da con ela i a sencillez el
p oblema de la capa lími e. En e ec o, llamando
s
a la coo denada cu ilínea angen e a la supe icie del pe il
e
y
a la componen e o ogonal a la supe icie del sólido ( éase la Figu a A.2), los g adien es ans e sales
(∇T) y longi udinales (∇c) de p esión han de se , espec i amen e, del o den de
∆Tp∼ρ(∆V)2,∆cp∼ρU∞∆U∞(A.16)
siendo
V
la elocidad ans e sal del luido a dis ancias del o den
δ
del obje o. Es as elocidades pueden se
es imadas empleando la ecuación de con inuidad
∂u
∂s+∂
∂y=0⇔∂
∂y∼∂u
∂s⇒∆V∼δ
c∆U∞(A.17)

A.3 Ecuaciones simpli icadas 49
quedando en onces que
∆Tp
∆cp∼δ
c2
∼Re−11(A.18)
lo que exp esa que, con e o es ela i os del o den de
Re−1
, las a iaciones de p esión ans e sal pueden
se desp eciadas en la egión de la capa lími e, cumpliéndose las leyes de luidoes á ica que su gen de esol e
la ecuación
∂p
∂y=0(A.19)
Pa a acili a la comp ensión cuali a i a del enómeno de capa lími e, se a a conside a el caso es aciona io
de un líquido incomp esible pa a el que las ecuaciones de con inuidad y can idad de mo imien o se educen a
∂u
∂s+∂
∂y=0(A.20)
ρu∂u
∂s+ ∂u
∂y=−∂p
∂s+µ∂2u
∂y2(A.21)
donde en la segunda ecuación se ha conside ado desp eciable el é mino
∂2u/∂s2
en e a
∂2u/∂y2
. Aho a
bien, dado que las a iaciones ans e sales de p esión en la capa lími e son muy pequeñas compa adas con
las longi udinales, en cada pun o de la capa lími e, la p esión end á el mismo alo en odo su espeso que el
que posee en la zona ex e io a la misma, es o es en
y→∞
, donde la p esión puede se es imada eniendo en
cuen a que es a egión los e ec os iscosos son desp eciables y po lo an o es de aplicación la ecuación de
Eule -Be noulli
p∞+1
2ρU2
∞=pe(s)+ 1
2ρu2
e(s)(A.22)
con
pe(s)
y
ue(s)
la p esión y la elocidad angencial al pe il en la on e a de la capa lími e iscosa. Nó ese
ademaś que, an o en la ecuación de Eule -Be noulli como en la ecuación de capa lím e se ha desp eciado
el é mino de ue zas másicas, sin emba go es o no supone una pé dida de gene alidad pues, an o si se
conside a el caso de gases donde los e ec os de ine cia son mucho mayo es que los de g a edad (núme o de
F oude,
F =U2
∞/gc 1
)) como si se conside a que las ue zas másicas de i an de un po encial,
m=−∇U
,
las ecuaciones ob enidas son, en esencia, las mismas. Nó ese que, g acias a la ecuación de Eule -Be noulli, el
é mino del g adien e longi udinal de p esión puede se desc i o como
−∂pe(s)
∂s=ρue(s)due
ds(A.23)
po lo que la ecuación de can idad de mo imien o inalmen e queda
ρu∂u
∂s+ ∂u
∂y=ρue(s)due
ds+µ∂2u
∂y2(A.24)
suje a a las condiciones de con o no
y=0,u= =0,y→∞,u→ue(s)(A.25)
donde se ha conside ado que, como
δ/c1
, la elocidad en
y→∞
debe se muy p óximma al alo de la
elocidad en el ex e io de la capa lími e. Una simple inspección de la Ecuación
(A.24)
e ela que el campo
de elocidades en el in e io de la capa lími e es á con olado po el alo de
due/ds
. Así, po ejemplo, en los
casos en los que la co ien e se acele e a lo la go de la coo denada
s
, el g adien e a o able de p esión ha á
que las pa ículas en el in e io de la capa lími e se acele en a su ez en la misma di ección que la co ien e
ex e io . En es e caso, se dice que la capa lími e es á adhe ida al sólido, pues o que aunque el espeso de
es a capa aya cambiando siemp e se á al que
δ/c1
( éase la Figu a A.2). Sucede sin emba go que,
cuando la geome ía ab e paso al luido, es e se decele a,
due/ds<0
, lo que implica la exis encia de un
g adien e ad e so de p esión, es deci la p esión aumen a aguas abajo con o me el luido se a decele ando.
Aunque en la zona ex e io a la capa lími e, es e e ec o se aduce en una disminución en el módulo de la
elocidad sin que exis a cambio de di ección, en las egiones donde los e ec os iscosos son impo an es y
50 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
Figu a A.2
Dis ibución de la p esión sob e la supe icie de un pe il ae odinámico. En aquellas egiones
en las que el g adien e de p esiones es a o able, la capa lími e pe mance adhe ida a, siendo su
espeso ca ac e ís ico
δ∼cRe−1/2c
. Sin emba go, si el ángulo de a aque es lo su icien emen e
ele ado, el g adien e de p esiones po el ex adós del pe il puede se lo su icien emen e ad e so
como pa a desp ende la co ien e en es a zona. Es o gene a una egión de eci culación en la
que la p esión es p ác icamen e uni o me y muy pa ecida a la del pun o de desp endimien o,
pd<p∞.
donde la elocidad del luido ela i a al cue po dec ece has a anula se, es e g adien e ad e so de p esión
puede p o oca que el luido en la capa lími e pueda cambia de sen ido, comenzando a eci cula en con a
de la co ien e ex e io . Si es o ocu e, la capa lími e deja de es a adhe ida a la supe icie del cue po, y
po supues o deja de ene un espeso muy in e io a las dimensiones ca ac e ís icas del dominio luido,
o mándose una bu buja de eci culación; a es e enómeno se le conoce como desp endimien o de capa
lími e.
Las bu bujas de eci culación son ca ac e ís icas en la zona de so a en o de sólidos omos (cue pos donde
la elación en e la longi ud pa alela a la co ien e inciden e y la ans e sal es de o den unidad) o bien de
sólidos uselados donde el ángulo de a aque
α
con el que incide la co ien e no es pequeño en absolu o.
Dado que los alo es de la elocidad en es a egión son muy in e io es a los exis en es ue a de la misma, la
p esión a ía muy poco. Po lo an o, la p esión en el in e io de la bu buja es muy pa ecida a la que enía el
luido an es de desp ende se, y dado que en el pun o de desp endimien o
ue>U∞
, la p esión en es e pun o
aplicando Eule -Be noulli se á
pd−p∞∼−O(ρU2
∞)<0
. Po o a pa e, en la pa e de ba lo en o, donde las
pa ículas se decele an, se end á que la p esión es del o den de
pb−p∞∼O(ρU2
∞)>0
, hecho que supone
que el coe icien e de esis encia, de inido como
CD=D/(1/2ρU2
∞A)
, con
A
el á ea on al del obje o, sea de
o den unidad. Además, si bien el hecho de que la ex ensión de las bu bujas de eci culación no sea conocido
a p io i hace que la ae odinámica (hid odinámica en es e caso) de cue pos omos o uselados a al os ángulos
de a aque no sea abo dable median e écnicas analí icas , cuando el Reynolds es ele ado, ni siquie a puede
esol e se median e simulación numé ica.
Sin emba go, pa a la mayo ía de las aplicaciones se equie e que el coe icien e de esis encia enga un
alo muy in e io a la unidad, lo que nos lle a a elimina la bu buja de eci culación del p oblema a a és
del empleo de cue pos uselados a bajos ángulos de a aque. De es e modo, la capa lími e siemp e pe manece
adhe ida a la supe icie del sólido, po lo que los e ec os iscosos pueden se desp eciados en odo el dominio
excep o en dicha capa iscosa. Así, las ecuaciones que pe mi en de e mina los campos de p esión, elocidad
y empe a u a pueden esc ibi se del siguien e modo
∇· =0,(A.26)
ρ∂
∂ +ρ ·∇ =−∇p,(A.27)
A.4 Ecuación de la o icidad y lujos po enciales 51
ρDe
D =ρc
∂T
∂ +ρc ·∇T=−p∇· ⇔ρc
DT
D =0(A.28)
donde en la úl ima ecuación se ha hecho uso de la ecuación de con inuidad simpli icada pa a el caso de
un líquido incomp esible. Nó ese que, en es e caso, la de i ada sus ancial de la empe a u a es nula, lo que
implica que es a se man iene cons an e pa a un obse ado que se mue e a la elocidad del luido,
. Es e
hecho pe mi e desacopla el p oblema é mico del mecánico, po lo que nos cen a emos en adelan e en
esol e es e úl imo haciendo uso de las Ecuaciones
(A.26)
-
(A.27)
. Es as ecuaciones deben se esuel as
jun o con las condiciones de con o no a g andes dis ancias del obje o
x→∞,p−p∞→0, →U∞(A.29)
y la única condición de con o no sob e la supe icie del obje o, que es la condición de impene abilidad:
·ns=0(A.30)
Pa a enuncia es a condición de con o no se conside a que la elocidad no mal al sólido en las egiones
p óximas a la capa lími e a ia á muy poco de su alo en la pa ed, ya que
∆V(yδ)/U∞∼δ/c∼Re−1/2
,
po lo que se es án come iendo e o es del o den de
Re−1/2
al emplea la condición de impene abilidad.
El mismo o den de e o es el que se come e cuando se impone la condición de impene abilidad sob e la
supe icie del cue po en luga de sob e la on e a de la capa lími e.
A.4 Ecuación de la o icidad y lujos po enciales
Las ecuaciones
(A.26)
-
(A.27)
jun o con las condiciones de con o no
(A.29)
-
(A.30)
pe mi en de e mina el
campo de elocidades y de p esión de un líquido incomp esible que ci cula al ededo de un cue po uselado a
bajos ángulos de a aque. Una simpli icación más es posible si se conside a que el lujo inciden e p o iene de
una egión en la que los alo es de la p esión y la elocidad son uni o mes e iguales a
p∞
y
U∞
, espec i amen e.
Al se el alo de la elocidad del luido uni o me aguas a iba del obje o, su o icidad,
ω
ω
ω=∇×
, es
idén icamen e nula. En e ec o, con iene eco da que la o icidad es una medida de la elocidad angula con
la que o an las pa ículas adyacen es a un pun o ma e ial luido,
ω
ω
ω=2Ω
Ω
Ω
, po lo que en el caso de un lujo
uni o me no exis e al o ación de las pa ículas. Si aho a se hace uso de la iden idad ec o ial
·∇ =∇ 2
2− ×(∇× ) = ∇ 2
2− ×ω
ω
ω(A.31)
la ecuación de can idad de mo imien o puede exp esa se como
ρD
D =∂
∂ +∇ 2
2− ×ω
ω
ω=−∇p(A.32)
Si aho a se calcula el o acional de la ecuación an e io , se iene en cuen a que
∇·ω
ω
ω=0
, que
∇×∇ψ=0
siendo
ψ
cualquie campo escala , y que los ope ado es de de i ada empo al,
∂/∂
y
∇
pueden conmu a , la
ecuación an e io puede simpli ica se dando como esul ado
∂ω
ω
ω
∂ + ·∇ω
ω
ω=Dω
ω
ω
D =ω
ω
ω·∇ −ω
ω
ω∇· =ω
ω
ω·∇ ⇐⇒
⇐⇒ Dω
ω
ω
D =ω
ω
ω·∇
(A.33)
donde se ha hecho uso de la ecuación de con inuidad,
∇· =0
. La ecuación an e io exp esa que la a iación
po unidad de iempo del ec o o icidad siguiendo a una pa ícula luida es á causado po el é mino
denominado como o ex s e ching,
ω
ω
ω·∇
. Es e hecho implica que el alo de la o icidad de una pa ícula
a ía a una elocidad que es p opo cional al alo ins an áneo de la p opia o icidad, po lo que si inicialmen e
ω
ω
ω(x→∞) = ∇×U∞ex
, se puede conclui que la o icidad con inua á siendo nula en el es o del dominio.
Ob iamen e, el azonamien o seguido pa e de que es posible la aplicación de la Ecuación
(A.27)
, álida a
dis ancias del o den
c
del obje o donde
Rec1
pa a un líquido incomp esible de p opiedades cons an es.
52 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
En e ec o, a dis ancias del o den del espeso de la capa lími e,
δ
, los e ec os de la iscosidad no pueden se
desp eciados, y po lo an o la p esencia de o icidad en es as zonas es á asegu ada.
Teniendo en cuen a, según lo an e io , que el alo de la o icidad es desp eciable en la mayo pa e del
dominio luido de nues o p oblema, po lo que
∇× =0
, es posible esc ibi que
=∇φ
, siendo
φ
una
unción escala que en adelan e denomina emos po encial de elocidades. Aho a pues, si se in oduce es e
esul ado en la Ecuación (A.26), se iene
∇2φ=0(A.34)
po lo la esolución del p oblema del lujo de un líquido incomp esible a al os núme os de Reynolds
al ededo de un obje o uselado a bajos ángulos de a aque se educe a halla la solución de la laplaciana,
jun o con la ecuación de can idad de mo imien o pa a el alo de la p esión
∇∂φ
∂ +1
2|∇φ|2+p
ρ=0=⇒∂φ
∂ +1
2|∇φ|2+p
ρ=C( )(A.35)
que no es más que la ecuación de Eule -Be noulli jun o con el é mino de de i ada empo al del po encial
(donde se ha hecho uso de la conmu abilidad de los ope ado es
∇
y
∂/∂
), y suje a a las condiciones de
con o no
x→∞,∇φ→U∞ex,p−p∞→0(A.36)
x∈Σs,∇φ·ns=0(A.37)
En p incipio puede pa ece que el p oblema queda pe ec amen e ce ado de es a o ma. No obs an e, pese
a exis i soluciones sencillas de la laplaciana que se expond án en la p óxima sección, se pod á comp oba
como es as son in ini as pa a el p oblema de lujo po encial al ededo de un cue po, quedando inde e minadas
has a que se especi ique la condición que pe mi e que el lujo esul an e sea ísicamen e posible. A es a
condición se le conoce con el nomb e de condición de Ku a-Joukowski y se á p esen ada en la Sección A.7.
A.5 Resolución de la ecuación de Laplace median e supe posición de soluciones
elemen ales
La linealidad de la ecuación de Laplace en el p oblema
(A.34)
-
(A.37)
pe mi e aplica el p incipio de
supe posición pa a halla la solución del p oblema o al como suma de soluciones elemen ales de la laplaciana,
es deci ,
φ=Σi=N
i=1φi(A.38)
donde cada
φi
sa is ace el p oblema la Ecuación
(A.34)
y de o ma que el po encial o al
φ
sa is ace,
además, las condiciones de con o no. La mayo ía de las supe icies sus en ado as, como es el caso de un ala,
ienen la peculia idad de que la longi ud ans e sal p incipal a la co ien e inciden e (la en e gadu a) es
mucho mayo que la longi ud pa alela a la misma (cue da), po lo que el lujo, en p ime a ap oximación, puede
supone se como bidimensional. Es a simplicación implica que pod emos desp ecia el é mino
∂2φ/∂y2
,
lo que acili a á la comp ensión de los p incipios de esolución que aquí se p esen an. De es e modo, a lo
la go de es a y las siguien es secciones, se ob end án soluciones a la laplaciana y se esol e á el p oblema
de un lujo po encial en el caso bidimensional, omando como sis ema de coo denadas el plano
x−y
con
el eje
x
di igido según la cue da del pe il y el eje
y
pe pendicula a es e y apun ando hacia el ex adós del
pe il; nó ese que no debe con undi se dicho sis ema con los ejes del caso idimensional, donde
y
eco e de
o ma pa alela la en e gadu a del ala. Po o o lado, en el Apéndice B se abo da á el p oblema idimensional
di ec amen e pues así lo equie e la aplicación de allada en el Capí ulo 3.
A.5.1 Función po encial co espondien e a una co ien e uni o me, φ1
Una co ien e uni o me que o ma un ángulo
α
con el eje de abcisas
x
puede exp esa se en la o ma
U∞=U∞cosαex+U∞sinαey
, po lo que eniendo en cuen a que
∇xi=∂xi/∂xjej=ei
con
i=1,2
, se iene
A.5 Resolución de la ecuación de Laplace median e supe posición de soluciones elemen ales 53
que
U∞=U∞cosα∇x+U∞sinα∇y=∇(U∞cosαx+U∞sinαy) = ∇φ1(A.39)
po lo que el po encial de elocidades asociado a U∞es
φ1=U∞cosαx+U∞sinαy=U∞·x(A.40)
A.5.2 Función po encial co espondien e a un manan ial o un sumide o, φ2
Considé ese la exp esión de la ecuación de Laplace en coo denadas pola es
∇2φ=1
∂
∂  ∂φ
∂ +1
2
∂2φ
∂θ2(A.41)
El caso más simple de es a ecuación lo cons i uye aquel en el que exis e independencia de la coo denada
azimu al, θ, po lo que φ2=φ2( )debe sa is ace la ecuación
∇2φ=1
∂
∂  ∂φ
∂ =0→ ∂φ2
∂ =C→φ2=Cln ,(A.42)
siendo Cuna cons an e. Dado que en coo denadas pola es
∇φ=∂φ
∂ e +1
∂φ
∂θ eθ(A.43)
y
=px2+y2,e =xex+yey
px2+y2,eθ=−yex+xey
px2+y2,(A.44)
la exp esión del campo de elocidades co espondien e a la solución elemen al φ2es
2=∇φ2=e
C
=Cxex+yey
2(A.45)
Nó ese que el alo de la elocidad iende a in ini o cuando
→0
, po lo que exis e una singula idad en
o no al pun o donde se si úa dicha solución, así como que
| 2|→0
cuando
→∞
. A aquellas soluciones
donde
C>0
se las denomina uen es mien as que cuando
C<0
se denominan sumide os. La azón de es a
denominación se halla en que el caudal que ci cula a a és de cualquie supe icie
Σ
que odee al o igen de
coo denadas (es o es, a la singula idad) en a á hacia la supe icie si
C<0
o sald á de la misma si
C>0
.
Es e hecho pe mi e calcula el alo de la cons an e como
q=ZΣ
·ndσ=Z2π
0
·n 0dθ=Z2π
0
e ·e
C
0
0dθ=CZ2π
0
dθ=2πC=⇒C=q
2π(A.46)
Pa a aquellos casos en los que la uen e o sumide o se halle si uada en un pun o dis in o al o igen de
coo denadas, po ejemplo
x0= (x0,y0)
, an sólo se á necesa io ealiza una aslación en la o ma
x0=x−x0
,
con lo que las soluciones pueden exp esa se como
φ2=q
2πlnq(x−x0)2+(y−y0)2(A.47)
2=q
2π(x−x0)ex+(y−y0)ey
(x−x0)2+(y−y0)2(A.48)
Pa a ilus a la idea de que la supe posición de soluciones elemen ales ambién es solución de la ecuación
de Laplace, se p opone calcula el campo de elocidades gene ado po una dis ibución con inua de uen es
si uadas en el eje ho izon al en e
x=0
y
x=`
, siendo el caudal inyec ado po la uen e localizada en
x0=x0ex
igual a
dq(x0) = (x0)dx0
, con
(x0)
conocida. El campo de elocidades gene ado po dicha
singula idad se á
d (x) = (x0)dx0
2π(x−x0)ex+yey
(x−x0)2+y2(A.49)

54 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
po lo que el campo de elocidades o al c eado po una supe posición con ninua de uen es como la
desc i a es
(x) = Z`
0
(x0)
2π(x−x0)ex+yey
(x−x0)2+y2dx0(A.50)
A.5.3 Función po encial co espondien e a un o bellino, φ3
De o ma análoga a la sencillez que spone conside a que una solución de ipo uen e o sumide o es indepen-
dien e de la coo denada acimu al, es posible conside a el caso con a io de una solución que sólo dependa
de dicha coo denada y no de la adial, φ3=φ3(θ). En es e caso, la ecuación de Laplace se educe a
∇2φ3=1
2
∂2φ3
∂θ2=0⇒∂φ3
∂θ =C⇒φ3=Cθ(A.51)
con lo que la elocidad c eada po es a solución elemen al es
3=∇φ3=∇(Cθ) = e
∂φ3
∂ +eθ
∂φ3
∂θ =eθ
C
=C−yex+xey
x2+y2(A.52)
Es a solución ecibe el nomb e de o bellino debido a que el campo de elocidades que gene a sólo posee
componen e acimu al. Al igual que en el caso de la uen e, el campo de elocidades c eado po un o bellino
pun ual dec ece con el adio, disipándose po comple o cuando
→∞
, y exis iendo una singula idad en el
o igen de coo denadas donde se si úa al o bellino. La cons an e
C
puede se elacionada con el alo de la
ci culación,
Γ
, del campo de elocidades a lo la go de un camino
C
que encie a al eje de coo denadas y que
se eco e en sen ido an iho a io
Γ=IC
3·d`
`
`(A.53)
con lo que omando un cí culo de adio gené ico
0
,
d`
`
`= 0dθeθ
, po lo que
Γ=R2π
0Cdθ=2πC
y de
es e modo
3=Γ
2π eθ(A.54)
φ3=Γ
2πθ(A.55)
Finalmen e, de o ma análoga al caso de las uen es o sumide os, es posible halla el campo de elocidades
c eado po una dis ibución de o bellinos dis ibuidos a lo la go del eje
x
. Llamando
dΓ(x0) = (x0)dx0
a la
ci culación di e encial c eada po un o bellino si uado en
x=x0
, la exp esión de la elocidad c eada po
es a dis ibución es análoga a la del caso de la uen e y puede esc ibi se como
(x) = Z`
0
(x0)
2π−yex+(x−x0)ey
(x−x0)2+y2dx0.(A.56)
A.5.4 Función po encial co espondien e a un doble e, φ4
Es a solución elemen al su ge cuando se p e ende calcula el po encial c eado po una uen e y un sumide o
si uados a una dis ancia
2ε
. Ambas singula idades poseen una in ensidad idén ica
q
de al o ma que
qε/π→M
, en el lími e
ε→0
, siendo
M
una cons an e denominada ins ensidad del doble e. Pa a halla la
exp esión del po encial co espondien e a un doble e supongamos, sin pé dida de gene alidad, que colocamos
una uen e de in ensidad
q
en
1=ε,θ=π
y un sumide o de in ensidad
−q
en
2=ε,θ=0
. Empleando el
p incpio de supe posición, el po encial de elocidades end á dado po
π=q
2π[ln|| +εex||−ln|| −εex||](A.57)
A.5 Resolución de la ecuación de Laplace median e supe posición de soluciones elemen ales 55
Pues o que
|| +εex||=p( +εex)( +εex) = q 2+2ε ·ex+ε2≃
≃q 2+2ε ·ex+Oε2≃ 1+2ε ·ex
21/2
= 1+2ε ·ex
2(A.58)
donde se ha enido en cuen a que, al se
ε1
,
√1+ε≃1+1/2ε+O(ε2)
y
ln(1+ε)≃ε+O(ε2)
. Po
an o,
ln|| +εex|| =ln +ε ·ex
2(A.59)
ln|| −εex|| =ln −ε ·ex
2(A.60)
y en el lími e ε→0,
φ4=Me
·ex=Mcosθ
(A.61)
donde se ha enido en cuen a que
qε/π→M
cuando
ε→0
. Conocido el po encial es ácil de e mina el
campo de elocidades c eado po el doble e en la o ma
4=∇Me
·ex=−Me
2e ·ex+Meθ
2eθ·ex=M
2(−cosθe −sinθeθ)(A.62)
habiéndose enido en cuen a que ∂e ,θ/∂ =0y que ∂e /∂θ =eθ.
A.5.5 Po encial c eado po la supe posición de soluciones elemen ales
Has a el momen o se han hallado 4 soluciones elemen ales a la Laplaciana en dos dimensiones, lo que nos
pe mi e combina las linea men e pa a ob ene odo un abanico de soluciones analí icas a di e en es p oblemas
sencillos. Queda ue a del alcance de es e apéndice abo da las di e en es soluciones al lujo po encial
al ededo de obje os que pueden ob ene se aplicando el p incipio de supe posición con es as soluciones
elemen ales; en [
19
] pueden encon a se mul i ud de casos esuel os y p opues os que pe mi an al lec o
p o undiza más en es e ema. No obs an e, con iene expone un caso pa icula que esul a no sólo de g an
in e és sino que ayuda á a comp ende el o igen de la úl ima condición de con o no al p oblema
(A.34)
-
(A.37)
.
Conside emos el lujo esul an e de la supe posición de una co ien e uni ome de módulo
U∞
pa alela al
eje
x
(
α=0
) con un doble e y un o bellino, ambos en el o igen de coo denadas y con in ensidades espec i as
U∞a2y−ΓEl po encial esul an e de la suma de es as es soluciones elemen ales es el siguien e:
φ=U∞x+U∞a2cosθ
−Γθ
2π(A.63)
cuyo campo de elocidades puede ob ene se a pa i de =∇φ,
=U∞cosθ1−a2
2e +−U∞sinθ1+a2
2−Γ
2π eθ(A.64)
donde se ha enido en cuen a que
e1=e cosθ−eθsinθ
. En la exp esión an e io , puede no a se que
el alo de la componen e adial de la elocidad,
, es nulo independien emen e del alo de
θ
pa a la
ci cun e encia de adio
=a
cen ada en el o igen. Po lo an o, el campo de elociades y el po encial
hallados an e io men e sa is ancen la ecuación de Laplace suje a las condiciones de con o no
∇φ→U∞
pa a
→∞
y
n·∇φ=0
sob e el cí culo de adio
=a
cen ado en el o igen, con lo que se concluye que dicho
campo po encial es solución del p oblema de lujo po encial de una co ien e uni o me que incide sob e un
cilind o de adio a.
Sin emba go, como puede comp oba se, el campo de la Ecuación
(A.63)
sa is ace an o la ecuación de
Laplace como las condiciones de con o no de impene abilidad y en el in ini o independien emen e del alo
de la in ensidad del o bellino
Γ
, lo que pone de mani ies o la exis encia de in ini as soluciones al p oblema a
56 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
expensas de p opo ciona una condición de con o no que pe mi a educi el abanico de soluciones a la única
ísicamen e eal y posible.
A.6 Fue zas sob e obje os bidimensionales según la eo ía po encial
Como ya se comen ó en la in oducción de es e apéndice, no es necesa io en nues o caso el cálculo de las
ue zas de sus en ación y esis encia sob e el pe il ae odinámico (o el ala, en su caso) ya que pa a ob ene
las leyes de escala de los modelos desc i os en el Capí ulo 2 y Capí ulo 3 sólo es necesa io conoce el campo
de p esiones sob e el obje o pa a pode calcula el g adien e de p esión en el pun o de in e és. Sin emba go,
como ha quedado mos ado en el úl imo apa ado de la sección an e io , exis en in inidad de soluciones al
p oblema
(A.34)
-
(A.37)
si no se añade una condición de con o no más. Dado el eminen e sen ido ísico de
es a condición, el conocimien o de las ue zas que ac úan sob e el obje o ayuda á a ob ene lo que se conoce
como la condición de Ku a-Joukowski, po ello le dedica emos un ins an e a e alua p ime o las ue zas que
ac úan sob e el cilind o de adio
=a
del apa ado an e io , ex endiendo inalmen e dicha exp esión pa a el
caso más gene al de ue zas sob e cue pos de geome ía a bi a ia.
A.6.1 Fue zas sob e un cilind o de adio =ainme so en un lujo po encial
La esul an e de las ue zas que ac úan sob e un cue po pa a el caso del lujo po encial es igual a la esul an e
de las ue zas de p esión (ya que se desp ecia on en su momen o los es ue zos iscosos en la ecuación de
can idad de mo imien o). Es a ue za iene dada po
s =ZΣs
(p−p∞)(−ns)dσ(A.65)
siendo
ns
la no mal ex e io al sólido. Pa a halla la p esión en odo pun o del dominio luido, podemos
ecu i como ya se sugi ió en la sección an e io a la ecuación de can idad de mo mien o (Ecuación
(A.35)
),
que pa icula izada pa a el caso de lujo es aciona io esul a en la ecuación de Eule -Be noulli
p+1
2ρ 2=p∞+1
2ρU2
∞(A.66)
Si aho a se iene en cuen a que sob e el cilind o de adio =ael alo de la elocidad es
∇φ( =a) = θeθ=−2U∞sinθ+Γ
4πU∞aeθ(A.67)
la p esión sob e la supe icie del cilind o puede halla se como
p−p∞=1
2ρU2
∞− 2
θ
=1
2ρU2
∞−2ρU2
∞sinθ+Γ
4πU∞a2(A.68)
la ue za sob e el cilind o es a á dada po la in eg al
s =ZΣs
(p−p∞)(−ns)dσ=2ρU2
∞Z2π
0sin2θ+Gsinθcosθex+sinθeyadθ,(A.69)
donde
G=Γ/(2πU∞a)
y donde se ha enido en cuen a que po el Teo ema de Gauss
RΣsCnsdσ=0
, con
C
una cons an e. Es a ecuación puede eesc ibi se aho a de la siguien e o ma
s =2aρU2
∞Z2π
0sin2θcosθ+Gsinθcosθex+sin3θ+Gsin2θeydθ(A.70)
A.6 Fue zas sob e obje os bidimensionales según la eo ía po encial 57
y dado que
Z2π
0
sin2cosθdθ=0,Z2π
0
sin3θdθ=0,Z2π
0
sinθcosθdθ,y
Z2π
0
sin2θdθ=π,
(A.71)
se iene
s =2πaρU2
∞Gey=ρU∞Γey(A.72)
Pues o que el ec o esul an e de ue zas que el luido eje ce sob e el cilind o sólo iene componene e según
la di ección pe pendicula a la co ien e inciden e, se iene que la eo ía po encial p edice que el cilind o no
eje ce esis encia ae odinámica alguna, lo que se conoce como la pa adoja de D
0
Alembe . E iden emen e,
es e esul ado no es ísicamen e posible si se ienen en cuen a la mul i ud de expe imen os exis en es y que
pueden consul a se (po ejemplo) en [
19
]. La azón de es a apa en e con adicción no sólo es iba en la
esis encia de icción causada po la iscosidad que desde un p incipio se es á desp eciando, sino además en
que en el p oceso de esolución del lujo po encial no se con empla en ningún caso la posibilidad de que la
capa lími e se desp enda, p o ocando que la p esión no se ecupe e en la zona de so a en o y que po lo an o
el coe icien e de esis encia inal sea de o den unidad.
A.6.2 Fue zas sob e obje os bidimensionales de geome ía a bi a ia inme sos en un lujo po encial
El obje i o de es a sección es demos a que la exp esión hallada pa a la ue za que el luido eje ce sob e
un cilind o puede ex ende se al caso de un obje o de geome ía a bi a ia, odo ello sin ene que esol e el
campo de elocidades po encial. Conside ese un olumen de con ol,
Ωc
,como el de la Figu a A.3 delimi ado
po la supe icie
Σc=Σs∪Σ∞
. La ecuación de can idad de mo imien o aplicada a dicho olumen de con ol
es
d
d ZΩc
ρ dω+ZΣc
ρ ·ndσ=ZΣc
(p−p∞)(−nc)dσ=
=ZΣ
(p−p∞)−n dσ+ZΣ∞
(p−p∞)(−n∞)dσ=
=− s +ZΣ∞
(p−p∞)(−n∞)dσ,
(A.73)
donde se ha enido en cuen a que
s =RΣs(p−p∞)(−ns)dσ
y que la no mal ex e io al olumen de
con ol
Ωc
sob e la supe icie
Σs
es igual y de sen ido con a io a la no mal ex e io sob e el sólido,
ns=−n
.
En el caso de lujo es aciona io y eniendo en cuen a que los lujos de can idad de mo imien o a a és de las
pa edes del sólido son idén icamen e nulos, se ob iene que
s=Z∞(p−p∞)(−n∞)dσ−ZΣ∞
ρ ·n∞dσ(A.74)
An es de p ocede al cálculo de las in eg ales de supe icie de la ecuación an e io , se a a calcula el
alo de la p esión sob e la supe icie
Σ∞
. En e ec o, sob e es a supe icie, al es a muy lejos del sólido, la
elocidad se á p ác icamen e la elocidad inciden e más una pe u bación, es o es,
x∈Σ∞, =U∞ex+u0
con
u0U∞. La p esión en es a egión puede de e mina se haciendo uso de la ecuación de Eule -Be noulli,
p(x∈Σ∞)−p∞=1
2ρU2
∞−1
2ρ(U∞ex+u0)·(U∞ex+u0) =
=1
2ρU2
∞−1
2ρU2
∞+2U∞u0·ex+u0
2=
=−ρU∞u0·ex+Ou0/U∞2
(A.75)
64 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
E E :+
,,
--
¿
,,,--
,".
,~
ll
E+
(
¿
,_
_,,
'
ll
E-
Figu a A.9
Esquema de las dis in as supe icies u ilizadas pa a calcula las in eg ales que in oluc an a la
singula idad.
habiéndose enido en cuen a que
l´
ımε→0εlnε→0
. Po o a pa e, aplicando el eo ema de Gauss y pues o
que en el olumen ence ado po la supe icie
Σs∪Σε−,∇2φ∞=0
y
∇2ψj=0
al no exis i singula idades en
el in e io del mismo,
I∞,s=−ZΩs,∞ψj∇2φ∞−φ∞∇2ψjdω=0(A.98)
Puede aho a a aja se el cálculo de la in eg al pa a el po encial
φ
en la Ecuación
(A.95)
sob e la supe icie
Σe:
ZΣeψj∇φ−φ∇ψj·ndσ=
l´
ım
ε→0Zπ
0
[(lnε)∇φ·nε−(φ/ε)(e )·(−e )]εdθ=πφ xj,
(A.99)
y, po an o, la ecuación o iginal puede se exp esada como
φx0j,z0j=2cosαx0j+sinαz0j+1
πZΣs−ψj∇φ+φ∇ψ·ndσ+
Γ
πZ∞
0
∇ψj·(−kcosα+isinα)ds
(A.100)
donde
xj=x0ji+z0jk
y se ha enido en cuen a que la e ela sigue la di ección de la co ien e inciden e.
Teniendo en cuen a aho a la condición de impene abilidad sob e la supe icie del obje o,
n·∇φ=0
, y que
n·∇ψj=n·x−xj
x−xj·x−xj(A.101)
la ecuación de G een queda, inalmen e,
φx0j,z0j=2cosαx0j+sinαz0j+1
πZΣs
φ(x,z)x−xj·n
x−xj
2dσ+
Γ
πZΣex−xj·(−kcosα+isinα)
x−xj
2dσ
(A.102)
donde
xj=x0ji+z0jk
es el pun o sob e la supe icie del pe il
Σs
sob e el que se si úa el doble e y, po an o,
es un pun o ijo a e ec os de la in eg ación.
Las
N
ecuaciones de la Ecuación
(A.102)
(nó ese que exis e una ecuación pa a cada posición
xj
de los N
doble es que se coloca án sob e la supe icie del pe il) se án las que pe mi an esol e numé icamen e el
lujo sob e un cue po de geome ía conocida. El p ime paso a ejecu a cuando se ealiza una implemen ación
numé ica consis e en disc e iza la geome ía. Así, se di ide el pe il en
N
segmen os denominados en adelan e
paneles. Cada panel
k
es á de inido po los nodos
k
y
k+1
y deno a emos a su longi ud
∆k
. El úl imo nodo

A.8 Resolución numé ica del lujo al ededo de un pe il ae odinámico: mé odo de los elemen os de con o no 65
(
N+1
) coincide con el nodo
1
, lo que da como esul ado los
N
paneles mencionados. Deno ando como
k
el
ec o de posición del nodo k, se puede esc ibi el pun o medio del panel y la longi ud del mismo como
mk= k+ k+1
2=xk+xk+1
2i+zk+zk+1
2k=mkxi+mkzk(A.103)
∆k=q k+1− k· k+1− k=qxk+1−xk2+zk+1−zk2(A.104)
Del mismo modo, conocidos los ec o es de posición de cada nodo y la longi ud de cada panel, pueden
encon a se los ec o es angen e y no mal al panel kcomo
k= k+1− k
∆k
(A.105)
nk=zk+1−zk
∆k
i−xk+1−xk
∆k
k(A.106)
Con iene de ini además la dis ancia en e dos pun os medios consecu i os, dada po
∆0
k= m(k+1)x−mkx2+m(k+1)z−mkz2(A.107)
Una ez se ha disc e izado y de inido la geome ía, el siguien e paso consis e en coloca el o igen singula
del doble e
j
en el pun o medio medio del panel
j
, es o es
xj=mj
y ap oxima el alo del po encial en odo
el panel
j
como una cons an e igual al alo del po encial en el pun o medio de dicho panel. Teniendo en
cuen a odo lo an e io , la ecuación in eg al de con o no puede esc ibi se como
φj=2mjx cosα+mjz sinα+1
π
N
∑
k=1
φkZ∆k
0x−mj·nk
x−mj
2ds
Γ
πZ∞
0x−mj·(−kcosα+isinα)
x−mj
2ds
(A.108)
donde
s
es la longi ud de a co en cada panel,
φj=φmj
y
φk=φ(mk)
, lo que p opo ciona un sis ema
de
N
ecuaciones pa a cada alo de
j∈[1,N]
. Exis en dos in eg ales que se á p eciso esol e pa a o mula
cada una de las ecuaciones, la p ime a de ellas, pa a cada panel k,
Z∆k
0x−mj·nk
x−mj
2ds(A.109)
Si
k=j
, es o es, elemen os diagonales, el alo de la in eg al es ce o, pues o que
(x−mk)
es pe pendicula
a
nk
. En el caso gene al de
k6=j
, exp esando el ec o de posición
x
sob e el panel
k
como
x= k+s k
, con
s∈[0,∆k], la in eg al queda
Z∆k
0xk+s k−mj·nk
 k+s k−mj· k+s k−mjds(A.110)
Dado que
k+s k−mj= k−mj· k k+ k−mj·nknk+s k(A.111)
desa ollando el denominado y ealizando la in eg al se ob iene
Z∆k
0xk+s k−mj·nk
 k+s k−mj· k+s k−mjds=
=a c an"∆k+ k−mj· k
 k−mj·nk#−a c an" k−mj· k
 k−mj·nk#(A.112)
66 Capí ulo A. In oducción a la Ae odinámica po encial
Es e esul ado puede se u ilizando ambién pa a calcula la in eg al sob e la es ela
Z∞
0xbs +s(cosαi+sinαk)−mj·(−kcosα+isinα)
xbs +si−mj·xbs +si−mjds=
="π
2sign1−mjxsinα+mjz cosα−a c an 1−mjxcosα−mjz sinα
1−mjxsinα+mjz cosα!# (A.113)
donde se ha enido en cuen a que el ec o de posición del bo de de salida, que es de donde pa e la es ela,
es
xbs =i
. Obsé ese que se dispone de
N
ecuaciones pa a
N+1
incógni as: los
N
alo es del po encial
φk
y
el alo de la ci culación
Γ
. Se p ecisa inco po a la condición de Ku a-Joukowski pa a comple a el sis ema.
Es a condición se implemen a simplemen e imponiendo que la elocidad en el bo de de salida ha de se igual
en módulo y sen ido cuando se calcula po el in adós o el ex adós, es deci
φM−φM−1
∆0
M−1
=φM+1−φM+2
∆0
M+1
(A.114)
donde se ha enido en cuen a que el bo de de salida es á en el nodo
M+1
. De es e modo, el mé odo de los
elemen os de con o no o mé odo de G een expues o has a es e pun o, pe mi e halla e el po encial sobb e la
supe icie del pe il median e la esolución del siguien e sis ema lineal de N+1ecuaciones



∑N
k=1δjk −Rjk−Γ j=2mjx cosα+mz j sinα
φM−φM−1
∆0
M−1−φM+1−φM+2
∆0
M+1
=0(A.115)
pa a las
N+1
incógni as
[φ1,φ2,...,φN,Γ]
, que son los alo es del po encial en los pun os medios de cada
panel y
Γ
la ci culación de inida como la in eg al de línea de la elocidad sob e una cu a
C
que engloba al
pe il ae odinámico y es á eco ida en sen ido ho a io. Los coe icien es del sis ema an e io se de inen como
Rjk =




1
π a c an"bs
jk +∆k
bn
jk #−a c an"bs
jk
bn
jk #! k6=j
0k=j





,(A.116)
con
bs
jk = k−mj· kybn
jk = k−mj·nk(A.117)
y
j=1
πhπ
2sign 1−mjxsinα+mjz cosα
−a c an 1−mjxcosα−mjz sinα
1−mjxsinα+mjz cosα!# (A.118)
Así, inalmen e, una ez que se dispone del alo del po encial en cada panel, y eco dando que la exp esión
del coe icien e de p esión en el caso po encial y u ilizando la ecuación es aciona ia de Eule -Be noulli
Cp=p−p∞
1
2ρU2
∞⇒1−u
U∞2
=⇒1−∂φ
∂x2
(A.119)
se puede calcula numé icamen e el coe icien e de p esión como
Cp( k) = 1−φk−φk−1
∆0
k−12
(A.120)
con lo que ya se dispone de odo lo necesa io pa a e alua el g adien e de p esión local en los pun os que
se equie an.
Apéndice B
Ae odinámica de alas de en e gadu a ini a.
Vo ex-La ice
B.1 Ecuación del po encial y condiciones de con o no
En es e apéndice se abo da di ec amen e el caso idimensional de un ala de en e gadu a,
b
, ini a. Considé ese
el lujo al ededo de un ala e e ida al sis ema de ejes ien o de inido en la Figu a A.1, con el eje
x
siguiendo
la di ección del lujo U∞, el eje z pe pendicula a és e y hacia a iba y el eje y di igido según el ala de echa
del a ión. La geome ía del ala es á dada po las unciones
z=z+
w(x,y)
y
z=z−
w(x,y)
co espondien es a su
ex adós e in adós, espec i amen e, y quedan de e minadas po la o ma en plan a del ala, la o ma de los
pe iles de las dis in as secciones del ala y el ángulo de a aque que el pe il cen al o ma con la co ien e
inciden e. En el Apéndice A se simpli ica on las ecuaciones de Na ie -S okes al ealiza a ias hipó esis
ace ca del ipo de mo imien o que el luido desc ibía al ededo del cue po. Algunas de las p incipales
hipó esis ealizadas son:
•
Se conside a un líquido incomp esible de p opiedades e modinámicas cons an es. Es a hipó esis
elimina la densidad como incógni a y la ija como pa áme o. Además, simpli ica la ecuación de
con inuidad a
∇· =0(B.1)
•
Las ue zas másicas que ac úan son las ue zas de g a edad, y po lo an o es as de i an de un po encial,
m=−∇U.
•
La elocidad ca ac e ís ica del líquido,
U∞∼O(0.5m/s)
, son ales que, jun o con el alo ca ac e ís ico
de la cue da,
c∼O(0.1m)
y con los alo es de la densidad y iscosidad del agua,
ρ≃103kg/m3
y
µ=10−3Pa ·s
, espec i amen e, hacen que el núme o de Reynolds ca ac e ís ico sea al que
Re 1
.
Es e aspec o implica que se puedan desp ecia los e ec os iscosos a dis ancias del o den cdel ala.
•
A dis ancias del o den
δ∼cRe−1/2
los e ec os iscosos son del mismo o den que los e ec os de ine cia,
po lo que en es a egión no pueden desp ecia se; a es a egión se le conoce con el nomb e de capa
lími e iscosa.
•
Un azonamien o simila puede hace se en la ecuación de la ene gía, donde los e ec os de conducción
son desp eciables a dis ancias del o den
c
del obje o debido a que el núme o de Pecle ,
Pe =ReP
con
P
el núme o de P and l de inido en el Apéndice A, que su ge de compa a el é mino de calo
con ec i o en e al conduc i o en la ecuación de la ene gía es al que
Pe 1
. Del mismo modo, a
dis ancias del o den
δT∼cPe−1/2
de la supe icie del cue po, los e ec os de conducción han de se
enidos en cuen a. Además, eniendo en cuen a que se es á conside ando un líquido incomp esible, es e
esul ado pe mi e desacopla el p oblema mecánico del é mico.
•
El lujo inciden e es uni o me y po lo an o ca en e de o icidad, o lo que es lo mismo
ω
ω
ω=∇× =0
,
lo que unido a la ecuación de la o icidad del apéndice an e io da como esul ado que el campo de
elocidades es i o acional y de i a de un po encial, =∇φ.
67
68 Capí ulo B. Ae odinámica de alas de en e gadu a ini a. Vo ex-La ice
•
Es e úl imo esul ado nos lle a, jun o con la ecuación de con inuidad pa a el caso de un líquido
inco mp esible, a que el p oblema a esol e es la ecuación de Laplace pa a el po encial φ
∇2φ=0(B.2)
Además de las hipó esis ealizadas has a aho a, y dado que el po encial asociado a la co ien e uni o me
U∞
es el mismo que en el caso bidimensional,
φ∞=U∞·x
, con
x=xex+yey+zez
, se a a esol e la ecuación
an e io pa a el po encial de pe u bación,
φ0=φ−φ∞
. Es e hecho implica que las a iables de in e és del
p oblema pueden ambién exp esa se como las a iables asociadas al po encial in ini o más una pe u bación,
es o es
V=U∞ex+uex+ ey+wez(B.3)
p(x) = p∞+p0(x)(B.4)
El hecho de conside a el lujo como la supe posición de una solución básica más una pe u bación y dado
que es as se án pequeñas espec o a las soluciones en cues ión, implica que se pueden linea liza cie os
é minos en la ecuación de Na ie -S okes que pe mi en esc ibi de o ma más adecuada las condiciones de
con o no que se e án a con inuación. En e ec o, si se conside a la ecuación simpli icada de can idad de
mo imien o pa a es e p oblema, ρ ·∇ =−∇py se linealiza se ob iene
ρ ·∇ =−∇p→ρU∞ex·(∇ 0) = −∇p0→ρU∞
∂ 0
∂x=−∇p0(B.5)
con lo que, p oyec ando en la di ección exe in eg ando se ob iene,
p0+ρU∞u=C(x,y)(B.6)
y dado que en
(x,y)→∞
las pe u baciones ienden a ce o, se iene que
C(x,y) = 0
, po lo que
p0=−ρU∞u
.
Pa a es e p oblema, las condiciones de con o no son:
•Condición de con o no en el in ini o:
x→∞,φ→0(B.7)
•
Sob e la supe icie del ala debe cumpli se la condición de impene abilidad, es deci
V·n±
w=0,
donde
n+
w
y
n−
w
deno an las no males uni a ias y ex e io es al ex adós y al in adós, de inidos po las ecuaciones
z−z+
w(x,y) = 0,
y
z−z−
w(x,y) = 0
espec i amen e. Pues o que las no males son p opo cionales a
∇(z−z±
w) = ez−∂z±
w
∂xex−∂z±
w
∂yey, la condición de impene abilidad puede esc ibi se como
(U∞ex+ 0)·∇(z−z±
w) = wx,y,z±
w−U∞+ux,y,z±
w∂z±
w
∂x− x,y,z±
w∂z±
w
∂y=0(B.8)
y eniendo en cuen a que : a)
u, U∞
y b)
∂z±
w
∂x∼Oh0
c1
y que
∂z±
w
∂y∼Oh0
b1
(és a úl ima
sólo en el caso de que el ála sea plana, pues o que si u ie amos un ángulo died o
ϒ
, en onces ya no se
cumpli ia exac amen e)
wx,y,z±
w−U∞
∂z±
w
∂x=0
donde, linealizando
w
eniendo p esen e que és a a ía en dis ancias del o den del espeso del ala,
enemos que
wx,y,0±=U∞
∂z±
w
∂x(B.9)
eniendo que (x,y)εFP,con FP la o ma en plan a del ala.
•
Sob e la es ela, dado que se a a de una supe icie de discon inuidad, debe sa is ace se que la esul an e
de las ue zas de p esión sob e ella sea nula y la ecuación de con inuidad. En e ec o, conside emos un
cilind o di e encial como olumen de con ol que engloba a la es ela. Aplicando el equilib io de las
B.1 Ecuación del po encial y condiciones de con o no 69
ue zas de p esión sob e odas las supe icies y eniendo en cuen a que si el cilind o es di e encial y se
hace ende su al u a a ce o, las supe icie la e al no a ec a al equilib io enemos que
p+
E(x,y,z) = p−
E(x,y,z)→p+0
E(x,y,z) = p−0
E(x,y,z)(B.10)
Reco dando aho a que ya habíamos de inido pa a odo el campo luido una exp esión pa a las pe u ba-
ciónes de p esión, se iene:
uEx,y,z=0+=u−
Ex,y,z=0−∀(x,y)εFP de laes ela (B.11)
que, a pesa de que es una condición de con o no en elocidad, iene de habe aplicado un equilib io
en e ca gas. Es a condición puede eco da a la de Ku a-Yukowsky que se aplica sob e pe iles, es
deci , que la elocidad angencial no a íe en el bo de de salida pa a que no se p oduzca el ebo deo de
la co ien e en ese pun o). Aplicando aho a la ecuación in eg al de con inuidad al olumen di e encial
de con ol, enemos que a a és de la supe icie la e al apenas end emos lujo po se un olumen
di e encial, mien as que po la supe io e in e io
ρE+VE+·nE+dΣ+
E=ρE−VE−·nE−dΣ−
E(B.12)
nE±=±ez(B.13)
de donde se ob iene
V0
E−·(−ez) = V0
E+·ez(B.14)
wx,y,0+=wx,y,0−∀(x,y)εFPde la es ela (B.15)
El p oblema po lo an o puede esumi se, con sus condiciones de con o no

























∇2·φ=0∀x
|∇φ|→0|x|→∞
∂φ
∂z(x,y,0±)
=U∞
∂z±
w
∂xsi(x,y)∈FP
∂φ
∂x(x,y,0+)
=∂φ
∂x(x,y,0−)
si(x,y)∈E
∂φ
∂z(x,y,0+)
=∂φ
∂z(x,y,0−)
si(x,y)∈E
(B.16)
Como ya habíamos adelan ado, se a a de un p oblema de ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales
con las condiciones de con o no ap opiadas. Su solución es complicada, pe o podemos ap o echa nos (una
ez más) de la linealidad del p oblema y exp esa el p oblema como supe posición de o os dos. Reco dando
que la geome ía del ala es á dada po las unciones
z−z±
w(x,y) = 0,
pa a el ex adós y el in adós, podemos
di idi es a en 2 unciones: una de ellas,
zs(x,y),
modela á el espeso del ala y la o a,
za(x,y)
, modela á el
ángulo de a aque y la cu a u a. De es a o ma, en el p oblema de simé ico o espeso , la esul an e de p esión
se á igual en el ex adós y en el in adós, y po lo an o no end emos sus en ación alguna; po con a, en el
p oblema an isimé ico o sus en ado , sí end emos una esul an e o al del p esiones. Veamos aho a como
podemos o mula ambos p oblemas. En e ec o, el po encial de pe u bación
φ(x,y,z)
admi e se esc i o en la
o ma
φ(x,y,z) = φs(x,y,z)+φa(x,y,z)(B.17)
siendo
φs(x,y,z) = 1
2(φ(x,y,z) +φ(x,y,−z)) (B.18)
φa(x,y,z) = 1
2(φ(x,y,z)−φ(x,y,−z)) (B.19)

70 Capí ulo B. Ae odinámica de alas de en e gadu a ini a. Vo ex-La ice
po lo que puede comp oba se que
φs(x,y,z) = φs(x,y,−z)(B.20)
φa(x,y,z) = −φa(x,y,−z)(B.21)
Si aho a di idimos la geome ía de una o ma pa ecida enemos
zs(x,y) = z+
w+z−
w
2(B.22)
za(x,y) = z+
w−z−
w
2(B.23)
quedando a su ez que
∂z±
w
∂x=∂za
∂x±∂zs
∂x(B.24)
De es e modo, el p oblema o al se puede di idi en dos subp oblemas conocidos como p oblema espeso
y p oblema sus en ado . El p ime o de ellos es un p oblema simé ico que puede esol e se median e una
supe posición de soluciones elemen ales de ipo uen e. El segundo es un p oblema an isimé ico, y es el
que conside a la línea media cada pe il del ala ( an o si es os ienen cu a u a como si no), jun o con la
co ien e
U∞
incidiendo con un ángulo de a aque,
α
. Es e es el p oblema que se equie e esol e pa a ob ene
el ángulo de a aque inducido necesa io pa a el cálculo de el g adien e de p esión local en el ala o a o ia, po
lo que nos cen a emos en la esolución de es e. Po lo an o, el p oblema a esol e es

























∇2·φa=0∀x
|∇φ|→0|x|→∞
∂φa
∂z(x,y,0±)
=U∞
∂za
∂xsi(x,y)∈FP
∂φa
∂x(x,y,0+)
=∂φa
∂x(x,y,0−)
=0 si(x,y)∈E
∂φa
∂z(x,y,0+)
=∂φa
∂z(x,y,0−)
si(x,y)∈E
(B.25)
donde se ha enido en cuen a que
φax,y,0+=−φx,y,0−
en la condición de con o no de elocidad
longi udinal en la es ela. Una ez iden i icado pues el p oblema que se p e ende esol e con el in de halla
el ángulo de a aque e ec i o del ala, se a a desc ibi un mé odo numé ico conocido como el Mé odo de
Vo ex-La ice, ampliamen e u ilizado hoy día en el cálculo de la sus en ación y esis encia inducida de alas
du an e los p ocesos de diseño.
B.2 Resolución del p oblema sus en ado : mé odo de Vo ex La ice
El mé odo de Vo ex-La ice pa e de la analogía exis en e con el p oblema de lujo po encial y el p oblema
del campo magné ico. Es po ello que se desc ibe en p ime luga la analogía del campo de elocidades con
la ley de Bio y Sa a . Así, se pueden dis ibui a lo la go del ala una se ie de o bellinos que son soluciones
elemen ales de la Laplaciana como se io en el Apéndice A y obliga los a cumpli las condiciones de con o no,
ob iendo así un sis ema lineal de ecuaciones que se puede esol e numé icamen e.
B.2.1 Campo de elocidades. Analogía de Bio y Sa a
La ley de Bio y Sa a p opo ciona la siguien e la exp esión del campo magné ico al ededo de un hilo
in ini o po el que ci cula una in ensidad I
B=Il
µ0I(x0)
4πdl0×x−x0
|x−x0|3(B.26)
siendo
l
, una cu a ce ada que odea al conduc o ,
x
e l pun o donde que emos medi el campo magné ico
y
x0
la coo denada que ecco e el hilo donde si uamos la in ensidad de co ien e. La analogía del campo
B.2 Resolución del p oblema sus en ado : mé odo de Vo ex La ice 71
elec omagné ico con el campo de elocidades ae odinámicas es iba en la de inición de la o icidad como
ω=∇× (B.27)
de o ma que como el lujo po encial ca ece de o icidad, en onces
=∇φ
de mane a análoga a como
sucede con el campo magné ico donde el campo eléc ico (
∇×E=0→E=∇V→∇2V=0
). Po ello,
amos a p opone como solución al campo de elocidades una exp esión del ipo
=∇φ=c(x0)×(x−x0)
|x−x0|3=(x−x0)ex+(y−y0)ey+ (z−z0)ez
h(x−x0)2+(y−y0)2+ (z−z0)2i3/2(B.28)
siendo c(x0)un é mino cons an e. Reco dando que
(x−x0)
|x−x0|3=−∇1
|x−x0|(B.29)
se iene
=−c(x0)×∇1
|x−x0|=∇1
|x−x0|×c(x0)(B.30)
eamos si el campo p opues o sa is ace p ime o nues a ecuación. En e ec o, en el caso incomp esible que
es amos a ando, la ecuacíón a esol e es la laplaciana, de o ma que debe cumpli se que
∇· =0
. En e ec o
∇· =∇·∇1
|x−x0|×c(x0)=c(x0)·∇×∇1
|x−x0|=0(B.31)
donde se ha aplicado la pe mu abilidad cíclica del p oduc o mix o y que el o acional de un g adien e es
ce o po de inición. Además sabemos que el campo debe sa is ace que ∇× =0, de modo que
∇×∇1
|x−x0|×c(x0)=∇1
|x−x0|(∇·c(x0))−c(x0)∇21
|x−x0|=0(B.32)
donde el p ime e mino es ce o po se
c(x0)
un é mino cons an e en cada pun o
x0
, y el segundo ambién
lo es pues o que sabemos de campos elec omagné icos que
V=q
|x−x0|,
y que se cumple que
∇2V=0
. Po
lo an o, al cumpli se las condiciones necesa ias pa a que se sa is aga la ecuación de laplace, ya enemos
un campo ec o ial pa a el campo de elocidades. Pa a e mina de conc e a lo, de ini emos el é mino
c(x0) = Γ
4πdl0, po lo que
=Il
Γ
4πdl0× x−x0
|x−x0|3!(B.33)
Es aho a el momen o de e cómo es el campo de elocidades que c ea un hilo de o bellinos, es deci , es
el momen o de e cómo esol emos es a in eg al. Conside ese el segmen o de inido po PQ, es deci que a
desde el pun o P a Q. Realizando el p oduc o ec o ial del in eg ando, podemos exp esa
4 =Γ
4πdl0|x−x0|
|x−x0|3sinβ=Γ
4πdl0
n
|x−x0|2sinβ(B.34)
siendo
β
el ángulo que o ma
(x−x0)
con
dl0
y
n
el ec o no mal a es os dos. Aho a, llamando
al módulo
del ec o que une los pun os del hilo de o bellinos con el pun o donde que emos medi la elocidad,
=|x−x0|, enemo que la dis ancia del hilo de o bellinos al pun o es d= sinβ, po lo que
an(π−β) = d
l0
=sinβ
−cosβ=− anβ(B.35)
po lo que se puede despeja l0como
l0=d
− anβ→dl0=d
an2β
1
cos2βdβ=d
sin2βdβ(B.36)
72 Capí ulo B. Ae odinámica de alas de en e gadu a ini a. Vo ex-La ice
pudiendo asi exp esa aho a la elocidad como
∆ =Γ
4πnd
sin2β
sin2β
d2sinβdβ=Γ
4πdnsinβdβ(B.37)
y, inalmen e, in eg ando en e P y Q, que o man ángulos β1yβ2, enemos que
=Zβ2
β1
Γ
4πdnsinβdβ=Γ
4πdn(cosβ1−cosβ2)(B.38)
si deno amos aho a
sP
y
sQ
los ec o es que an desde el pun o P y Q al pun o donde medimos la elocidad
x, espec i amen e, enemos que
n=sP×sQ
sP×sQ
xPQ =xP−xQ
d=sP×sQ
xPQ
donde, inalmen e ap o echandonos de la p opiedad del p oduc o escala , podemos exp esa los cosenos
como
cosβ1=xPQ ·sP
|sP|xPQ
cosβ2=xPQ ·sQ
sQxPQ
de o ma que la ecuación queda ía
=Γ
4π
sP×sQ
sP×sQ
2xPQ· sP
|sP|−sQ
sQ!(B.39)
cuya componen e zes á dada po la exp esión
wPQ (x) = Γ
4πsP×sQz
sP×sQ
2xPQ· sP
|sP|−sQ
sQ!(B.40)
que puede esc ibi se ma icialmen e como
wPQ (x) = ΓgPQ (x)(B.41)
siendo de nue o
gPQ (x),
un é mino pu amen e geomé cio que cuan i ica la in luencia del anillo de o bellinos
PQ sob e el pun o x.
Una ez que hemos ob enido una exp esión pa a el campo de elocidades, amos a comen a b e emen e
aspec os ela i os a la implemen ación numé ica. Pa a ello, di idimos la o ma en plan a del ala y la es ela en
los MxN paneles que comen amos al p incipio de la sección, iden i icando cada uno po un doble índice (i,j),
donde el p ime índice indica la posición del panel a lo la go de la cue da del ala mien as que el segundo lo
hace según la en e gadu a. Cada uno de los paneles los iden i ica emos con 4 pun os nume ados en el sen ido
de las agujas del eloj. Así, los pun os 2 y 3 de cada panel coinciden con los 1 y 4 del panel que es a jus o a la
de echa, espec i amen e, y los pun os 3 y 4 coinciden con los 2 y 1 del panel pos e io (mayo
x
). Pa a los
anillos de o bellinos, como eco damos del comienzo de la sección, end emos o bellinos dis ibuidos a lo
la go del eje
x
y del eje
y
, po lo que amos a si ua un anillo cuad ilá e o de o bellinos cuyos segmen os
la e ales conciden con los del panel, el segmen o an e io (meno
x
) es a á si uado a un cua o del panel
4xi j/4
y el segmen o pos e io coincidi á con el segmen o an e io del siguien e panel en la ila. Po o o
lado, los pun os de colocación es a án si uados a
34xi j/4
, de mane a análoga a como hicimos en el caso
bidimensional. Los anillos de o bellinos se enume a án con las le as A,B,C,D, en el mismo sen ido que
los núme os del panel. De es a o ma las coo denadas de los é ices del cuad ilá e o de o bellinos en
unción de las del panel son:
xA=x1+1
4(x4−x1)
,
xB=x2+1
4(x3−x2),
y aho a
xC(k,l) = xB(k+1,l)
y
xD(k,l) = xA(k+1,l)
. Dado que la elocidad e ical es a ia aho a dada po cua o hilos de o bellino po
cada panel, si que emos calcula la elocidad en un pun o de colocación del panel (i,j), sob e él in lui án las
in ensidades de o bellinos de odos los paneles, mul iplicadas po su coe icien e de in luencia. De modo que
B.2 Resolución del p oblema sus en ado : mé odo de Vo ex La ice 73
el sis ema de ecuaciones puede esc ibi se como
wi j =U∞
∂zp(x,y)
∂x(i,j)
=
M
∑
k=1
N
∑
l=1
Γi jkl gkl (B.42)
siendo
gkl = (gAB +gBC +gCD +gDA)kl (B.43)
los coe icien es de in luencia de cada panel (k,l). Pa a pode implemen a el mé odo ag upa emos los 4
índices en dos, I y K, siendo
I=N∗(i−1)+ j
, donde I a desde
I=1,...,MxN
. y
K=N∗(k−1)+l
, con
K=1,...,MxN.
Po o o lado, cabe eco da que amos a panela el ala y la es ela, pe o has a aho a no
hemos hablado nada más que de di idi el ala en MxN paneles. ¿Qué hacemos con la es ela? Como ya se
ha comen ado, la es ela es una supe icie de discon inuidad, donde, en la zona de ex adós, las elocidades
an e sales al lujo an desde la pun a has a la aíz y po la zona de in adós lo hacen desde la aíz has a la
pun a, ep esen ando po an o una discon inuidad ma emá ica
1
. Si a endemos a la p ime a de las condiciones
de con o no impues as pa a la es ela en el p oblema sus en ado
ux,y,0+=ux,y,−=−ux,y,0+=0∀(x,y)∈E(B.44)
∂φ
∂x(x,y,±)∈E
=0→∂
∂y ∂φ
∂x(x,y,±)∈E!=0→∂
∂x ∂φ
∂y(x,y,±)∈E!=0(B.45)
donde se ha hecho uso del eo ema de Schwa z pa a in e cambia de i adas. La ecuación an e io exp esa que
las la a iación de la elocidad ans e sal
es nula en la es ela, y po lo an o igual a la discon inuidad que
hab ía en el bo de de salida. Po consiguien e, la condición de con o no en la es ela amos a ca ac e iza la
compu acionalmen e colocando odos los paneles de la ila M de o ma que empiecen en la es ela y e minen
en el in ini o aguas abajo.
B.2.2 Aspec os ele an es de la implemen ación numé ica
Vamos a comen a algunos de los aspec os más de la implemen ación numé ica, como son los pa áme os
u ilizados y la o ma de calcula los coe icien es de in luencia, en e o os. Se debe comenza de iniendo la
geome ía, es deci , los pun os
xi,i=1 : 4,
y los pun os
xj,j=A,B,C,D
pa a los hilos de o bellinos. En
cuan o a los cen os de o bellinos, sabemos que los pun os A y B es án a un cua o de cada panel, pe o
el cen o del o bellino que se si ua en el panel ha de es a en el pun o medio, es deci ,
xg=1
2(xA+xB).
Algo simila ocu e en los pun os de colocación,
xc=1
2x1+3
4(x4−x1)+x2+3
4(x3−x2)
. Pa a la
implemen ación de la ecuación pa a la elocidad elocidad e ical, debemos de ini co ec amen e los
siguien es pa áme os:
•Vec o es del pun o de colocación al inicio y inal del hilo de o bellino: sPysQy sus módulos
sP=xc−xp,yc−yp(B.46)
sQ=xc−xQ,yc−yQ(B.47)
asQ=qxc−xp2+yc−yp2(B.48)
asP=qxc−xQ2+yc−yQ2(B.49)
•Di ección de la no mal, componen e z sP×sQz,y su módulo
sP×sQz=xc−xpyc−yQ−xc−xQyc−yp (B.50)
1
Recué dese que es a discon inuidad es sólo ma emá ica; en la ealidad la iscosidad se enca ga de hace que es a elocidad a ie de
o ma con inua a a és de la es ela en un espeso ela i o del o den de δE(x0)
c0∼qνx0
U∞c2
0

Índice de Tablas
2.1 Dimensiones ele an es del únel hid odinámico 16
2.2 Posición de la abcisa, adimensionalizada con la cue da del pe il, de los o i icios de inyeccón de ai e. 19
2.3 Rango pa amé ico empleado du an e la ealización de los expe imen os. 22
3.1 Medidas del anque empleado en los expe imen os del ala acuá ica o a o ia 32
3.2 Dimensiones ca ac e ís icas ele an es del diseño del ala y los o i icios de inyección. El alo de g
en la úl ima columna ep esen a la dis ancia de sepa ación en e los di e en es o i icios a lo la go
de la en e gadu a 34
3.3 Espacio pa amé ico a explo a en la campaña expe imen al. La úl ima columna ep esen a las
posiciones de los o i icios que son analizados en cada ídeo, donde ep esen a la dis ancia de
cada o i icio al eje de o ación, po lo que la elocidad inciden e pa a una elocidad de o ación
dada, Ωi, y pa a un o i icio conc e o, jes Vi j =Ωi j36
81
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Índice al abé ico 85