Es udio analí ico y numé ico del sca e ing de
una onda elec omagné ica plana po un
cilind o conduc o ideal
Héc o B a o Muñoz
Supe isado po D . Ra ael Rod iguez Boix
G ado en Física, Uni e sidad de Se illa
5 de sep iemb e de 2022
Índice
1. In oducción 1
1.1. Jus i icación y an eceden es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. B e e desc ipción del abajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Ecuación in eg al pa a la densidad de co ien e sob e la supe icie del
cilind o (caso TMz). Resolución de la ecuación in eg al median e el Mé-
odo de los Momen os 4
2.1. Exp esiones del campo eléc ico en é minos de unciones de G een y de la
densidad de co ien e en los casos idimensional y bidimensional . . . . . . 4
2.2. Ecuación in eg al pa a la densidad de co ien e en el p oblema de sca e ing
bidimensional .................................. 11
2.3. Resolución de la ecuación in eg al median e el Mé odo de los Momen os
con unciones base ec angula es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Resul ados numé icos 22
3.1. Validación pa a el caso pa icula del cilind o de sección ci cula (sección
ada bidimensional y densidad de co ien e) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Análisis de con e gencia del MdM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Resul ados pa a cilind os con o as secciones ans e sales (elíp ica, oji al
y ec angula ).................................. 28
4. Conclusiones 43
Ag adecimie os
Me gus a ía ag adece en p ime luga el abajo de mi u o Ra ael Rod iguez Boix,
ya que a pesa de las di icul ades de di igi un TFG a dis ancia, decidió con a igualmen-
e conmigo pa a ello. Ag adece le el iempo dedicado en la edacción de sus apun es que
explicaban oda la eo ía as es e abajo, y el iempo dedicado a co egi lo de mane a
exigen e. Sin duda, más allá de habe me enseñado elec omagne ismo, me ha enseñado
cómo se un buen p o eso . Como él di ía: “Me gus a hace las cosas bien”.
También quie o da las g acias a mis compañe os de clase Alex y Pablo, po habe -
me acompañado du an e es os 4 años y habe me ayudado an o. Po supues o ag adece
ambién a Fe nando po su compañía du an e los 3 p ime os años.
Ag adece ambién a mis amigos de Mon equin o: Ab aham, C is ina, And ea, Ál a-
o, Mayo y Ma a, ya que aunque las cosas se pusie an di íciles, ellos han es ado siemp e
apoyándome.
Da las g acias po supues o a mis compañe os de ERASMUS, mi segunda amilia:
Ma ibel, Juan, Albe , Boni, Emma, Ma ía, Lau a, Mi iam, Ana, Emmanuelle, Ma os
y Alex, po acompaña me es e úl imo año en Alemania. G acias a ellos, he ap endido
mucho más allá de la ísica.
Y po úl imo y más impo an e, da las g acias a mis pad es Paloma y Albe o, y a mi
he mano Albe o. A pesa de que es os úl imos años han sido especialmen e complicados
po muchas azones, ellos lo han dado odo po mí. A ellos se lo debo odo.
1. In oducción
1.1. Jus i icación y an eceden es
Es e abajo se cen a en el es udio de los campos elec omagné icos de sca e ing
gene ados al hace incidi una onda elec omagné ica plana sob e un cilind o conduc o
pe ec o -es o es, sob e un cilind o conduc o de conduc i idad in ini a- de longi ud in ini a
y sección ans e sal a bi a ia. En el caso conc e o es udiado en el abajo, la onda
inciden e end á una pola ización del ipo TMz, lo cual signi ica que el campo eléc ico
de la onda inciden e es pa alelo al eje del cilind o [1]. Adicionalmen e, ambién iene
in e és el es udio del sca e ing en el caso en que la onda iene pola ización TEz (es o es,
cuando el campo eléc ico es pe pendicula al eje del cilind o), pe o el es udio comple o
de los dos casos es demasiado amplio pa a se incluido en un T abajo Fin de G ado
[1]. El conside a in ini o el cilind o obje o de es udio pe mi e educi el p oblema del
sca e ing a 2 dimensiones. El es udio del sca e ing po obje os idimensionales iene
desde luego mayo in e és p ác ico, pe o el caso idimensional es muchísimo más complejo
que el bidimensional, y la esolución de ese p oblema debe ía abo da se en el ma co de
un doc o ado, y po an o, queda ue a del ámbi o de los T abajos Fin de G ado.
A lo la go de es e T abajo Fin de G ado, lle a emos a cabo cálculos de la sección
ada bidimensional [1] de cilind os de sección a bi a ia (en el caso idimensional, la
sección ada es la igu a de mé i o que ca ac e iza a los obje os cuando sob e ellos incide
una onda elec omagné ica, y es el pa áme o ele an e del obje o que in e iene en la
ecuación de ada [2]) y de las co ien es gene adas en el conduc o . Con is as al cálculo
de la sección ada y de las co ien es en los cilind os, esol e emos numé icamen e una
ecuación in eg al de campo eléc ico median e el Mé odo de los Momen os. Pa a e i ica
que el mé odo numé ico se ha implemen ado co ec amen e, se lle a án a cabo es udios
de con e gencia de los dis in os pa áme os in oluc ados. En un p incipio, se lle a á a
cabo el es udio exhaus i o del sca e ing po un cilind o de sección ci cula ya que pa a
es e caso exis e solución analí ica. A con inuación, se es udia án cilind os de secciones
elíp icas, oji ales y ec angula es. Dado que exis en casos lími es en los que una elipse
y una oji a pasan a se ci cun e encias, se es udia án esos casos lími e pa a alida los
esul ados ob enidos pa a cilind os de sección elíp ica y oji al.
El cálculo de los campos de sca e ing que se p oducen cuando una onda elec omag-
1
né ica incide sob e un obje o es un p oblema clásico de la Física. Es e p oblema iene
in e és p ác ico en conexión con el uncionamien o de los ada es. Es os sis emas se u ili-
zan pa a medi la dis ancia a un obje o, pa a medi la elocidad del obje o si és e es á en
mo imien o ( ada de e ec o Dopple ), y inalmen e, pa a es ima el amaño del obje o a
a és de su sección ada (lo que en Física se suele llama “sección e icaz de dispe sión”).
Los ada es ienen aplicaciones ci iles ( á ico en ae opue os, me eo ología, ala mas pa a
lad ones, ada es de elocidad en ca e e as, e c.), mili a es (na egación aé ea y ma ina
o de ección de misiles), y po supues o, aplicaciones cien í icas (as onomía, adiode ec-
ción de ecu sos na u ales, e c.). El conocimien o de es e campo ha sido de e minan e en
algunos momen os de la his o ia ya que apo a una g an en aja mili a (así ocu ió, po
ejemplo, a inales de la Segunda Gue a Mundial). Un ejemplo muy conocido es el del caza
F-117, que ue el p ime a ión mili a de la his o ia con ecnología s eal h [3]( ecnología
de in isibilidad en cas ellano). En la abla 12.3 del lib o de Da id M. Poza Mic owa e
Enginee ing [2] podemos encon a alo es ípicos de secciones ada . Los alo es usuales
de la sección ada pa a un caza es án en e 3 y 8 m2. Sin emba go, debido a su geome ía
y a los ma e iales con los que es á cons uido, la sección ada del F-117 es del o den de
0.003 m2, que es la sección ada de un pája o del amaño de un colib í. Pues bien, es e
hecho apo ó una conside able en aja al bando es adounidense du an e la Gue a del
Gol o, y ue c ucial pa a que los es adounidenses acaba an ganando la gue a.
1.2. B e e desc ipción del abajo
Con is as a ob ene los campos de sca e ing, amos a esol e la ecuación in eg al
que se ob iene al impone que se anule el campo eléc ico angencial o al (suma del
inciden e y del de sca e ing) en la supe icie de los cilind os. A es a ecuación in eg al
se la suele llama ecuación in eg al de campo eléc ico (elec ic ield in eg al equa ion o
EFIE en inglés). Pa a deduci la, pa i emos de las ecuaciones de Maxwell, exp esa emos
los campos en unción de los po enciales, y haciendo uso de unciones de G een pa a
los po enciales y de la ecuación de con inuidad, llega emos a una ecuación in eg al que
iene como incógni a la densidad de co ien e supe icial inducida a los cilind os. Dado
que es a ecuación in eg al se ob iene haciendo uso del po encial ec o magné ico y del
po encial escala eléc ico, ambién se la llama a eces ecuación in eg al de po enciales
mix os. Dicha ecuación in eg al la amos a esol e median e el Mé odo de los Momen os.
2

El Mé odo de los Momen os se basa en ap oxima la densidad de co ien e inducida
en el cilind o como una combinación lineal de unciones base conocidas (en nues o caso
las unciones base se án pulsos ec angula es). Los coe icien es inde e minados de es a
combinación lineal se ob ienen p oyec ando la exp esión esul an e de sus i ui la ap o-
ximación de la densidad de co ien e en la ecuación in eg al sob e las mismas unciones
base (a es a implemen ación del Mé odo de los Momen os se la conoce como Mé odo de
Gale kin), lo cual lle a a que los coe icien es inde e minados sean la solución de un sis e-
ma de ecuaciones lineales. Los elemen os de la ma iz de coe icien es de es e sis ema de
ecuaciones son un conjun o de in eg ales dobles que es p eciso calcula numé icamen e.
Dado que los in eg andos de es as in eg ales poseen singua idades loga í micas, hay que
u iliza un mé odo especí ico de in eg ación numé ica capaz de a a con in eg andos
con singula idades loga í micas. En es e abajo se ha u ilizado el mé odo de in eg ación
numé ica basado en las cuad a u as de Ma-Rokhlin-Wandzu a [4].
El cálculo numé ico de las in eg ales, la esolución del sis ema de ecuaciones pa a
ob ene la densidad de co ien e de los cilind os y el cálculo adicional de la sección ada
bidimensional se lle an a cabo median e códigos en lenguaje MATLAB. Las magni udes
calculadas son alidadas median e compa ación con esul ados p e iamen e publicados o
median e compa ación con esul ados analí icos (conc e amen e, con los esul ados que
exis en pa a un cilind o de sección ci cula ). Asimismo, se lle an a cabo es udios de
con e gencia pa a chequea el buen uncionamien o del Mé odo de los Momen os.
3
2. Ecuación in eg al pa a la densidad de co ien e so-
b e la supe icie del cilind o (caso TMz). Resolución
de la ecuación in eg al median e el Mé odo de los
Momen os
2.1. Exp esiones del campo eléc ico en é minos de unciones de
G een y de la densidad de co ien e en los casos idimen-
sional y bidimensional
De aho a en adelan e, supond emos que odas las magni udes elec omagné icas esca-
la es y ec o iales de es e abajo dependen del iempo sinusoidalmen e con una ecuencia
angula ωde o ma que en las ecuaciones que amos a maneja dichas magni udes puedan
se sus i uidas po sus aso es complejos. En el caso de que la dependencia con el iempo
ue a a bi a ia, dichos aso es ep esen a ían las ans o madas de Fou ie de las magni-
udes, y pa a ecupe a la dependencia con el iempo de las co espondien es magni udes,
hab ía que calcula la ans o mada in e sa de Fou ie .
Conside emos aho a un olumen τ′en el acío, en el que exis en co ien es y ca gas
( uen es de campo elec omagné ico) a iables sinusoidalmen e en el iempo ( égimen
a mónico) que lle an asociadas un aso densidad de co ien e 
J(
′)y un aso densidad
de ca ga ρ(
′)( éase la Figu a 1).
Debido a la ecuación de con inuidad, se iene que cumpli que:

∇′·
J(
′) + jωρ(
′)=0 ⇒ρ(
′) = j
ω
∇′·
J(
′).(1)
donde jes la unidad imagina ia. Las ecuaciones de Maxwell pa a los aso es del campo
eléc ico 
E( )y del campo magné ico 
B( )c eados po las uen es son:

∇· 
E( ) = ρ( )
ε0
(2)

∇× 
E( ) = −jω 
B( )(3)

∇· 
B( ) = 0 (4)

∇× 
B( ) = µ0
J( ) + jωε0µ0
E( ).(5)
4
Figu a 1: Volumen a bi a io con densidad de ca ga y densidad de co ien e.
Las ecuaciones que elacionan los aso es de los campos con los aso es del po encial
ec o magné ico 
A( )y del po encial escala eléc ico ϕ( )son:

B( ) = 
∇× 
A( )(6)

E( ) = −jω 
A( )−
∇ϕ( ).(7)
Si hacemos uso del gauge de Lo en z, se debe cumpli que:

∇· 
A( ) + jωε0µ0ϕ( )=0 ⇒ϕ( ) = j
ωε0µ0

∇· 
A( ).(8)
Sus i uyendo (6) y (7) en (5), se llega a que:

∇×(
∇× 
A) = µ0
J+jωε0µ0·(−jω 
A−
∇ϕ)⇒
⇒
∇(
∇· 
A)−
∇2
A=µ0
J+k2
0
A−jωε0µ0
∇ϕ,
(9)
donde k0=ω√µ0ε0=ω
ces el núme o de ondas del acío. Ind oduciendo el gauge de
Lo en z (8) en (9) se ob iene:

∇2
A+k2
0
A=−µ0
J. (10)
Es a es la ecuación de Helmhol z pa a el aso del po encial ec o 
A. Como es bien
sabido, la solución de la ecuación (10) pa a 
Ase puede esc ibi median e la exp esión pa a
5
el po encial e a dado:

A( ) = µ0
4π˚τ′

J(
′)e−jk0| −
′|
 −
′
dτ′=˚τ′
GA( −
′)·
J(
′)dτ′,(11)
donde GA( −
′)es la unción de G een diádica pa a el po encial ec o , dada po :
GA( −
′) = 






µ0e−jk0| −
′|
4π| −
′|0 0
0µ0e−jk0| −
′|
4π| −
′|0
0 0 µ0e−jk0| −
′|
4π| −
′|







.(12)
Gxx
A( −
′)ˆx=µ0e−jk0| −
′|
4π| −
′|ˆx( éase la ecuación (12)) se ía el po encial ec o c eado
po un elemen o in ini esimal de densidad de co ien e 
J( ) = δ(x−x′)δ(y−y′)δ(z−z′)ˆx.
A es e elemen o de co ien e le co esponde una unción de G een pa a el po encial escala
Gxx
ϕque, de acue do con la ecuación (8), end ía dada po :
Gxx
ϕ( −
′) = j
ωε0µ0

∇·hGxx
A( −
′)ˆxij
ωε0µ0

∇·hµ0e−jk0| −
′|
4π −
′
ˆxi=
=−j
ωε0µ0
µ0
4π"1 + jk0 −
′e−jk0| −
′|
 −
′
3#(x−x′).(13)
Es a unción de G een es el po encial escala elec odinámico c eado po un dipolo
eléc ico in ini esimal (dos ca gas iguales de signo con a io que exis en en los ex emos
del elemen o de co ien e in ini esimal debido a la ecuación de con inuidad). Imaginemos
que que emos calcula el po encial de una sola de esas ca gas in ini esimales. De acue do
con Michalsky [5], ese po encial es una uncion de G een Gxx
ϕq ( −
′)que se elaciona con
la unción de G een del dipolo Gxx
ϕ( −
′)median e la ecuación:
Gxx
ϕ( −
′) = 1
jω
∂Gxx
ϕq ( −
′)
∂x′.(14)
En gene al, si el elemen o in ini esimal de co ien e es a o ien ado en la di ección dada
po el ec o uni a io ˆu, la elación se á:
Gϕ( −
′) = 1
jω 
∇′Gϕq( −
′)·ˆu. (15)
6
sca e ing) iene que se nulo en la supe icie del cilind o conduc o pe ec o, se a a
cumpli que:
Ei
z(x, y) + ESC
z(x, y) = 0 (x, y)∈C. (51)
O lo que es lo mismo, que:
Ei
z(x, y) = ωµ0
4ˆC′
H(2)
0k0p(x−x′)2+ (y−y′)2K(x′, y′)dl′(x, y)∈C. (52)
La ecuación (52) es una ecuación in eg al de campo eléc ico (EFIE en inglés) pa a
la densidad supe icial de co ien e inducida en el cilind o. En el p óximo subapa ado,
se explica á cómo se puede esol e numé icamen e es a ecuación in eg al median e el
Mé odo de los Momen os (MdM). No obs an e, y pa a acili a la aplicación del MdM,
amos a pa ame iza p ime o la cu a Cque limi a la sección ans e sal del cilind o en
unción del pa áme o angula ∈[0,2π)que se de ine en la Figu a 4.
Figu a 4: Pa ame ización usada pa a la cu a Cque limi a la sección ans e sal del
cilind o.
De acue do con la Figu a 4, se cumple que en los pun os de la cu a Cse cumple que:
x( ) = ρ( ) cos( )(53)
y( ) = ρ( ) sin( ).(54)
En ese caso, el di e encial de longi ud que apa ece en la in eg al de línea de la ecuación
(52) iene dado po :
13

dl′=p(dx′)2+ (dy′)2=
u
u
dx′
d ′!2
+ dy′
d ′!2
d ′=w( ′)d ′.(55)
Exp esando xeyen unción de yx′ey′en unción de ′y u ilizando la ecuación
(55), la ecuación in eg al (52) se puede eesc ibi en é minos de las dos a iables y ′
como:
Ei
z(x( ), y( )) = ωµ0
4ˆ2π
0
H(2)
0k0p(x( )−x′( ′))2+ (y( )−y′( ′))2
·K(x′( ′), y′( ′))w( ′)d ′0≤ ≤2π. (56)
De hecho, la ecuación in eg al (56) se puede eesc ibi de o ma más simpli icada como:
F( ) = ωµ0
4ˆ2π
0
M( , ′)I( ′)d ′0≤ ≤2π, (57)
donde las unciones F( ),M( , ′)eI( ′)se de inen como:
F( ) = Ei
z(x( ), y( )) = E0e−jk0(cos φix( )+sin φiy( )) (58)
M( , ′) = H(2)
0k0p(x( )−x′( ′))2+ (y( )−y′( ′))2w( ′)(59)
I( ′) = K(x′( ′), y′( ′)).(60)
La ecuación in eg al (57), que es una exp esión más simpli icada de la ecuación (56),
es la que se a a esol e median e el MdM.
2.3. Resolución de la ecuación in eg al median e el Mé odo de
los Momen os con unciones base ec angula es
El obje i o que se busca es despeja la unción incógni a I( )de la ecuación in eg al
(57), que básicamen e ep esen a la densidad de co ien e inducida en el cilind o conduc o
de la Figu a 3 en unción del pa áme o angula . Como ya hemos dicho an e io men e,
el cálculo de I( )lo ha emos median e el Mé odo de los Momen os (MdM), pa a lo cual,
ap oxima emos I( )como una combinación lineal de unciones base conocidas. Siguiendo
14
las ecomendaciones del lib o Compu a ional Me hods o Elec omagne ics de Pe e son,
Ray y Mi a [9], u iliza emos pulsos ec angula es como unciones base. Es o es así po -
que, al no depende la componen e zde la densidad de co ien e de la coo denada z(en
el caso de una onda inciden e con pola ización TMz), dicha co ien e no lle a apa ejada
densidad de ca ga de acue do con la ecuación de con inuidad ( éase la ecuación (49)),
y po an o, puede se ap oximada median e una unción discon inua. En el caso del
sca e ing po un cilind o cuando incide una onda con pola ización TEz, la densidad de
co ien e inducida lle a apa eada densidad de ca ga y la densidad de co ien e debe se
ap oximada median e una unción con inua pa a e i a que la densidad de ca ga p esen e
singula idades que no ienen sen ido ísico [9] ( éngase en cuen a que la densidad de ca ga
es p opo cional a la di e gencia de la densidad de co ien e de acue do con la ecuación de
con inuidad).
Vamos a di idi el in e alo 0≤ ≤2πen Nsubin e alos i−1≤ ≤ i(i= 1, ..., N),
cumpliéndose que 0= 0 < 1< 2< ... < N−1< N= 2π. De inimos el pulso ec angula
i-ésimo (i= 1, . . . , N) como ( éase la Figu a 5):
Ri( ) = 


1 i−1< < i
0en o o caso.
(61)
Figu a 5: Esquema de los pulsos ec angula es.
Aho a ap oximamos la unción I( ′)como una combinación lineal de los pulsos ec-
angula es Ri( ), es o es:
I( ′) =
N
X
j=1
ajRj( ′),(62)
donde aj(j= 1, ..., N) son coe icien es inde e minados que hay que de e mina . Sus i u-
yendo (62) en (57) se ob iene que:
15
F( ) =
N
X
j=1 ωµ0
4ˆ j
j−1
M( , ′)d ′aj.(63)
A con inuación, siguiendo el esquema del MdM, mul iplicamos la ecuación (63) po
Ri( )e in eg amos en el in e alo i−1< < i. Es o equi ale a deci que en el ma co
del MdM, es amos u ilizando unciones peso del mismo ipo que las unciones base, y po
an o, que es amos u ilizando la e sión “Gale kin” del MdM. Al p oyec a la ecuación
(63) sob e las unciones peso Ri( )(i= 1, . . . , N), se ob ienen las siguien es Necuaciones:
ˆ i
i−1
F( )d =
N
X
j=1 ωµ0
4ˆ i
i−1ˆ j
j−1
M( , ′)d ′d aj.(64)
La exp esión (64) se puede eesc ibi como:
bi=
N
X
j=1
Qijaj,(65)
que básicamen e es un sis ema de Necuaciones lineales en los coe icien es inde e minados
aj. En es e sis ema de ecuaciones, los elemen os de la ma iz de coe icien es Qij y los
é minos independien es bi ienen dados po las siguien es in eg ales:
Qij =ωµ0
4ˆ i
i−1ˆ j
j−1
M( , ′)d ′d (66)
bi=ˆ i
i−1
F( )d . (67)
Las in eg ales de (66) y de (67) no se pueden hace analí icamen e, y hay que hace las
median e in eg ación numé ica. El p oblema que su ge al lle a a cabo la in eg ación
numé ica es que la unción de dos a iables M( , ′) iene una singula idad loga í mica
cuando = ′, y es a singula idad apa ece en el dominio de in eg ación de Qij cuando
i=j( éase la Figu a 6), lo cual puede in oduci e o es impo an es en el p oceso de
in eg ación numé ica de las ci adas in eg ales.
Se puede demos a que en el dominio de in eg ación de Qii ( i−1≤ ≤ iy i−1≤
′≤ i), cuando → ′la unción M( , ′)se compo a como se indica a con inuación:
M( , ′) → ′≃ {A+Bln | − ′|} (68)
16
Figu a 6: Dominio de in eg ación en y ′pa a Qii. Las singula idades se encuen an en
la ec a ′= , ma cada en ojo.
donde AyBson cons an es, y donde se ha enido en cuen a el desa ollo en se ie en
o no al o igen de la unción de Hankel H(2)
0(·)cuando su a gumen o iende a ce o [8]. La
ecuación (68) mues a cla amen e la singula idad loga í mica de M( , ′)cuando → ′.
Pa a sol en a el p oblema de las singula idades loga í micas, al lle a a cabo la in e-
g ación numé ica de las in eg ales de (66) y de (67), se han u ilizado ó mulas de cuad a u-
a de Ma-Rokhlin-Wandzu a (MRW) [4], que es án especialmen e pensadas pa a in eg a
unciones con singula idades loga í micas. Conc e amen e, si F(x) = h(x) + (x) ln xes
una unción de una a iable que es una combinación lineal de dos unciones, una h(x)que
iene un compo amien o sua e y o a (x) ln xque iene una singula idad loga í mica
en x= 0 -se supone que (x) ambién iene un compo amien o sua e-, las ó mulas de
cuad a u a MRW pe mi en in eg a F(x)en el in e alo 0≤x≤1con g an p ecisión
median e la siguien e ecuación:
ˆ1
0
F(x)dx ≃
Nc
X
m=1
wmF(xm),(69)
donde los pesos wmy los nodos xmes án abulados en [4], y donde Nces el o den de la
cuad a u a. La ecuación (69) es an o más p ecisa cuan o mayo es el alo de Nc. En
[4] se p esen an ablas de wmyxmpa a Nc= 5,10,15,20,25,30,35 y40. Debido a la
exp esión de F(x), las ó mulas de cuad a u a MRW pe mi en in eg a , an o unciones
sua es (en ese caso (x)=0) como unciones con singula idades loga í micas (en ese caso
17
h(x) = 0)), con lo cual, han sido u ilizadas indis in amen e pa a hace odas las in eg ales
de (66) y (67).
Po ejemplo, con is as a calcula las in eg ales de (66) cuando i=j, de inimos
p ime o:
Nj( ) = ωµ0
4ˆ j
j−1
M( , ′)d ′.(70)
Teniendo en cuen a la de inición de los coe icien es Qij en (66), se cumple que:
Qiji=j
=ˆ i
i−1
Nj( )d = ( i− i−1)ˆ1
0
Nj(( i− i−1)u+ i−1)du. (71)
donde se ha in oducido el cambio de a iables = ( i− i−1)u+ i−1en (71) pa a que la
in eg al aya de 0 a 1 y así pode aplica la ó mula de cuad a u a MRW que apa ece en
(69). Al u iliza es a ó mula se ob iene:
Qiji=j≃( i− i−1)
Nc
X
m=1
wmNj( = ( i− i−1)xm+ i−1),(72)
pe o:
Nj( = ( i− i−1)xm+ i−1) = ωµ0
4ˆ j
j−1
M( = ( i− i−1)xm+ i−1), ′)d ′
=ωµ0
4ˆ1
0
M( = ( i− i−1)xm+ i−1), ′= ( j− j−1) + j−1)d ′
≃ωµ0
4( j− j−1)
Nc
X
n=1
wnM( = ( i− i−1)xm+ i−1), ′= ( j− j−1) + j−1).(73)
Sus i uyendo aho a (73) en (72,) se ob iene una exp esión pa a los Qiji=j
, que es á dada
po :
Qiji=j
=ωµ0
4( j− j−1)( i− i−1)
Nc
X
m=1
Nc
X
n=1
wmwnM( = ( i− i−1)xm+ i−1), ′= ( j− j−1)xn+ j−1).
(74)
Haciendo unos cálculos simila es, la in eg al de (67) se puede ob ene median e la
ecuación:
18

bi≃( i− i−1)
Nc
X
m=1
wmF( = ( i− i−1)xm+ i−1).(75)
Como se indicó an e io men e, el cálculo de Qii es más p oblemá ico debido a la
singula idad loga í mica que apa ece en la ecuación (68). Po an o, en es e caso, lo
que se hace es di idi la in eg al de (70) en dos sumandos de o ma que el pun o del
in e alo del in e alo de in e g ación donde apa ece la singula idad loga í mica apa ezca
como lími e de in eg ación en cada uno de los sumandos como ocu e en la ó mula de
cuad a u a de (69), y a con inuación, se lle an a cabo en cada sumando los mismos pasos
de las ecuaciones (72) a (74). El esul ado inal es una exp esión pa a Qii basada en las
ó mulas de cuad a u a MRW, que es á dada po :
Qii ≃( i− i−1)2ωµ0
4·Nc
X
m=1
Nc
X
n=1
wmwnxm·M = ( i− i−1)xm+ i−1,
′=−( i− i−1)xmxn+ ( i− i−1)xm+ i−1+
Nc
X
m=1
Nc
X
n=1
wmwn(1 −xm)·
·M = ( i− i−1)xm+ i−1), ′= ( i− i−1)(1 −xm)xn+ ( i− i−1)xm+ i−1.(76)
Sus i uyendo (74), (75) y (76) en (65), podemos esol e el sis ema de ecuaciones pa a
los coe icien es inde e minados aj(j= 1, . . . , N) de (62), y así llega a una exp esión
pa a I( ). Una ez conocida I( )en el in e alo 0≤ ≤2π, podemos llega a calcula
la sección ada bidimensional (sección e icaz de dispe sión po unidad de longi ud) del
cilind o conduc o de la igu a 3 pa a ondas inciden es con pola ización TMz. Es a sección
ada bidimensional iene dimensiones de longi ud, y de alguna mane a, nos da una medida
de la anchu a que p esen a el cilind o a la onda inciden e. De acue do con la ecuación
(1.125) de [9], la sección ada bidimensional end ía dada po :
σT M (φ, φi) = l´ım
ρ→∞ 2πρ|ESC
z(ρ, φ)|2
|E0|2,(77)
donde ESC
z(ρ, φ)es el campo eléc ico de sca e ing de la ecuación (50) esc i o en coo de-
nadas cilínd icas y E0es la ampli ud compleja del campo eléc ico de la onda inciden e
de inido en la ecuación (46). Pa a pode ob ene σT M (φ, φi)median e la ecuación (77),
necesi amos calcula ESC
z(ρ, φ)cuando ρ≫. Pa a ello, eesc ibimos la ecuación (50) en
19
coo denadas cilínd icas como se indica a con inuación:
ESC
z(ρ, φ) = −ωµ0
4ˆC′
H(2)
0k0p(ρcos φ−x′)2+ (ρsin φ−y′)2K(x′, y′)dl′.(78)
Aho a ap oximamos la aíz cuad ada que apa ece en el a gumen o de la unción de
Hankel pa a ρ≫:
p(ρcos φ−x′)2+ (ρsin φ−y′)2ρ≫≃ρ−(x′cos φ+y′sin φ).(79)
Teniendo en cuen a la ap oximación de (79) en (78), se ob iene:
ESC
z(ρ, φ)ρ≫≃ −ωµ0
4ˆC′
H(2)
0k0ρ−(x′cos φ+y′sin φ)K(x′, y′)dl′ρ≫
.(80)
De acue do con la ec (9.2.4) del lib o de Ab amowi z y S egun [8], se cumple que:
H(2)
0(x)x≫≃ 2
πxe−j(x−π
4)= 2j
πxe−jx.(81)
Haciendo uso de (81) en (80), se ob iene:
ESC
z(ρ, φ)ρ≫≃ −ωµ0
4 2j
πˆC′
e−jk0ρejk0(x′cos φ+y′sin φ)
pk0ρ−k0(x′cos φ+y′sin φ)K(x′, y′)dl′ρ≫
≃ −ωµ0√je−jk0ρ
2√k0√2πρ ˆC′
ejk0(x′cos φ+y′sin φ)K(x′, y′)dl′.(82)
In oduciendo (82) en (77) y eniendo en cuen a que ω2µ2
0
k0=k0Z2
0, se llega a que:
σT M (φ, φi) = k0Z2
0
4E2
0ˆC′
ejk0(x′cos φ+y′sin φ)K(x′, y′)dl′
2
.(83)
Po analogía con las ecuaciones (52) y (56), se cumple que:
ˆC′
ejk0(x′cos φ+y′sin φ)K(x′, y′)dl′=ˆ2π
0
ejk0(x′( ′) cos φ+y′( ′) sin φ)K(x′( ′), y′( ′))w( ′)d ′
=ˆ2π
0
S( ′)I( ′)d ′,(84)
20
donde:
S( ′) = ejk0(x′( ′) cos φ+y′( ′) sin φ)w( ′)(85)
eI( ′)ha sido de inida en la ecuación (60). Sus i uyendo aho a (62) en (84) y eniendo
en cuen a la de inición de los pulsos ec angula es dada en (61), llegamos a que:
ˆC′
ejk0(x′cos φ+y′sin φ)K(x′, y′)dl′=
N
X
j=1
ajˆ2π
0
S( ′)Rj( ′)d ′=
N
X
j=1
ajˆ j
j−1
S( ′)d ′.(86)
Sus i uyendo (86) en (83), podemos exp esa σT M (φ, φi)como:
σT M (φ, φi) = k0Z2
0
4E2
0
N
X
j=1
ajˆ j
j−1
S( ′)d ′
2
.(87)
Las in eg ales de (87) se pueden calcula u ilizando cuad a u as MRW como ocu e
con las in eg ales de (66) y (67). siguiendo un p ocedimien o análogo al seguido en las
ecuaciones (72) a (74), se deduce que:
ˆ j
j−1
S( ′)d ′≃( i− i−1)
Nc
X
m=1
wmS( = ( i− i−1)xm+ i−1).(88)
Po lo an o y a modo de esumen, pa a calcula σT M (φ, φi)bas a con u iliza las
ecuaciones (74), (75) y (76) pa a calcula los coe icien es Qij ybi(i, j = 1, ..., N), con
esol e el sis ema de ecuaciones (65) pa a ob ene ai(i= 1, ..., N), y con u iliza (88)
pa a ob ene las in eg ales de (87).
21
3. Resul ados numé icos
Teniendo en cuen a los esul ados ob enidos an e io men e, podemos calcula dis in-
as magni udes como la sección ada bidimensional σT M o la densidad de co ien e K
pa a cilind os de dis in as secciones. Con el in de alida nues os códigos en MATLAB,
empeza emos po mos a esul ados pa a el cilind o de sección ci cula ya que pa a es e
caso exis en esul ados analí icos.
3.1. Validación pa a el caso pa icula del cilind o de sección ci -
cula (sección ada bidimensional y densidad de co ien e)
Sea un cilind o de sección ci cula de adio R. Sin pé dida de gene alidad, en odos los
casos a ados en es e subapa ado supond emos que la onda inciden e sob e el cilind o
iene de izquie da a de echa en la Figu a 3 con un ángulo de incidencia φi= 0. La
pa ame ización de cu a Cque limi a la sección ans e sal del cilind o ( éase la Figu a
7) end á dada po las ecuaciones:
x( ) = Rcos( )(89)
y( ) = Rsin( ).(90)
Figu a 7: Sección ans e sal ci cula .
El di e encial de longi ud dl′de la ecuación (52) se calcula median e la ecuación (55):
dl′=p((−Rsin( ′))2+ ((Rcos( ′))2)d ′=Rd ′=w( ′)d ′⇒w( ′) = R. (91)
22
cilind os con secciones elíp ica, oji al y ec angula . Asimismo, en los es casos lle a emos
a cabo un análisis de con e gencia en unción del núme o de unciones base u ilizadas en
el MdM pa a un Nc ijo (es o es, ha emos análisis de con e gencia del ipo mos ado en
la Figu a 12). En odos los casos asumi emos que la onda inciden e iaja de izquie da a
de echa con un ángulo de incidencia φi= 0 y, mien as no se indique lo con a io, los
cálculos se ha án con un o den de cuad a u a Nc= 15 y un núme o de unciones base
N= 100.
En p ime luga , es udia emos el caso del cilind o de sección elíp ica que se mues a
en la Figu a 13. La pa ame ización de la cu a Cque limi a la sección ans e sal del
cilind o end á dada po las ecuaciones:
x( ) = acos( )(97)
y( ) = bsin( ),(98)
donde aybson los semiejes ho izon al y e ical, espec i amen e.
Figu a 13: Sección ans e sal elíp ica.
El di e encial de longi ud dl′la ecuación (55) iene dado po :
dl′=p((−asin( ′))2+ ((bcos( ′))2)d ′=w( ′)d ′.(99)
En la Figu a 14 se ep esen a la sección ada no malizada a la longi ud de onda pa a
cilind os elíp icos en los que b/λ = 0.4ya/λ oma alo es 0.2, 0.4 y 0.6. En el caso
en el que a=b= 0.4λlos alo es ob enidos coinciden con los que se ep esen an en la
Figu a 8 pa a un cilind o ci cula en el que R= 0.4λ, lo cual si e pa a alida el código
implemen ado pa a cilind os elíp icos. Al igual que en el caso de la Figu a 8, en la Figu a
29

14 se obse a que la sección ada como unción de φ iene un máximo en la di ección de
p opagación de la onda (φ= 0).
Figu a 14: Rep esen ación de la sección ada bidimensional en unción del ángulo φpa a
cilind os de sección elíp ica.
En la Figu a 15 se ep esen a la densidad de co ien e inducida en los cilind os elíp icos
es udiados en la Figu a 14. Se obse a que el máximo de la densidad de co ien e en la
di ección φ=πse a haciendo más agudo con o me se a acha ando el cilind o elíp ico
en di ección e ical, es o es, con o me a/b a disminuyendo. Es o es lógico si pensamos
que en una i a conduc o a in ini a, que se ía un cilind o elíp ico en el que a/b = 0, la
densidad de co ien e en los bo des de la i a es singula [6], con lo cual, lo que ocu e es
que el compo amien o del cilind o elíp ico a endiendo al de la i a conduc o a con o me
a a disminuyendo. En la Figu a 15 ambién se obse a que la o ma de la densidad de
co ien e en el caso a=b= 0.4λcoincide con la que se ap ecia en la Figu a 9 pa a un
cilind o ci cula en el que R= 0.4λ, lo cual si e una ez más pa a alida los esul ados
ob enidos pa a el cilind o elíp ico.
En la Figu a 16 se ep esen a la sección ada monoes á ica de cilind os elíp icos en e
aa/λ, suponiendo que b
a= 2. Como e a de espe a , al aumen a el amaño del cilind o,
aumen a su sección ada monoes á ica, y lo hace de o ma “cuasi-lineal” como ocu ía
30
Figu a 15: Módulo de la densidad supe icial de co ien e no malizada en e al ángulo φ
en cilind os elíp icos.
en el caso de los cilind os de sección ci cula ( éase la Figu a 10).
En la Figu a 17 se lle a a cabo un es udio de con e gencia con el núme o de unciones
base Npa a la sección ada monoes á ica de un cilind o elíp ico, que es simila al que
se lle ó a cabo pa a un cilind o ci cula en la Figu a 12. Se obse a que el i mo de
con e gencia en la Figu a 17 es muy simila al que se obse a en la Figu a 12. Si omamos
como alo es i ualmen e exac os los que se ob ienen cuando N= 340, cuando N= 10
se es á ob eniendo una ci a signi ica i a de p ecisión en los alo es de la sección ada
monoes á ica, cuando N= 100, se ob ienen cua o ci as signi ica i as, y cuando N= 260,
se ob ienen seis ci as signi ica i as. Es os esul ados jus i ican habe u ilizado N= 100
en nues os cálculos pa a cilind os elíp icos.
A con inuación, amos a ob ene esul ados pa a cilind os de sección oji al con una
sección del ipo mos ado en la Figu a 18. La oji a es á o mada po dos po ciones iguales
de ci cun e encia, que son imagen especula una de la o a a a és del plano y= 0.
La pa ame ización de la cu a Cque limi a la sección oji al end á dada po las
ecuaciones (53) y (54) con la siguien e unción ρ( ):
31
Figu a 16: Sección ada monoes á ica pa a cilind os elíp icos en unción del amaño del
semieje ho izon al apa a b
a= 2.
Figu a 17: Análisis de con e gencia con Npa a cilind os de sección elíp ica. Nc= 20,
a/λ = 0,4yb= 2a.
32
Figu a 18: Sección ans e sal oji al.
ρ( ) = 


−(R−c) sin( ) + p(R−c)2sin2( ) + (2Rc −c2) 0 ≤ ≤π
(R−c) sin( ) + p(R−c)2sin2( ) + (2Rc −c2)π≤ ≤2π,
(100)
donde:
R=c2+d2
2c.(101)
Aplicando la ecuación (55), se puede demos a que el di e encial de longi ud dl′en
es e caso iene dado po :
dl′=sdρ
d ′2
+ (ρ( ′))2d ′=w( ′)d ′.(102)
donde la de i ada de la coo denada adial ρ( )con espec o al pa áme o iene dada
po :
dρ
d =




−(R−c) cos( ) + (R−c)2sin( ) cos( )
√(R−c)2sin2( ′)+(2Rc−c2)0≤ ≤π
(R−c) cos( ) + (R−c)2sin( ) cos( )
√(R−c)2sin2( )+(2Rc−c2)π≤ ≤2π.
(103)
A la ho a de aplica el MdM al análisis del sca e ing po una sección oji al, es a sección
p esen a cie as di icul ades que no nos encon ábamos en los casos de las secciones ci cula
y elíp ica. La oji a iene esquinas en φ= 0 yφ=π, y en esas esquinas la co ien e inducida
en la supe icie de la oji a a a se singula [6]. Si alguno de los pulsos ec angula es
33
elegidos como unciones base mues ea la co ien e en una esquina, ello puede a da a
luga a e o es numé icos en la aplicación del MdM. Po an o, es con enien e escoge los
pulsos ec angula es de mane a que las esquinas es én en los ex emos de los in e alos
en los que es án de inidos. En el caso de la sección oji al, sol en a es e p oblema es an
sencillo como elegi un núme o de unciones base Nque sea pa .
En la Figu a 19 se p esen an esul ados pa a la sección ada de cilind os de sección
oji al en unción del ángulo φ. Se obse a que con o me se a acha ando la oji a en
di ección e ical (es o es, con o me c/d a disminuyendo), el mínimo de la sección ada
pa a φ=π a dismninuyendo, y esos mínimos son más p o undos que los que se obse an
pa a cilind os ci cula es y elíp icos de dimensiones simila es. También se obse a que los
alo es ob enidos en la Figu a 19 pa a la sección ada de una sección oji al en la que
c=d= 0.6λcoinciden con los ob enidos en la Figu a 8 pa a un cilind o ci cula en el
que R= 0.6λ, lo cual si e pa a alida el código implemen ado pa a cilind os de sección
oji al.
Figu a 19: Rep esen ación de la sección ada bidimensional en unción del ángulo φpa a
cilind os de sección oji al.
En la Figu a 20 se p esen an esul ados pa a la densidad de co ien e en cilind os de
sección oji al. Se obse a de nue o que los esul ados ob enidos pa a el caso c=d= 0.6λ
34

coinciden con los esul ados ob enidos en el caso R= 0.6λen la Figu a 9. La Figu a 20
pone de mani ies o la singula idad de la co ien e en la esquina φ=πde las oji as cuando
c= 0.5λy cuando c= 0.4λ. La singula idad es an o más ab up a cuan o meno es la azón
c/d. La densidad de co ien e no se puede i a in ini o en esas esquinas po que no hemos
u ilizado unciones base que den cuen a de la singula idad de bo de. Si las hubié amos
u ilizado, es a íamos dando cuen a de o ma exac a de la singula idad de la co ien e en
las esquinas [6]. Los esul ados ob enidos en la Figu a 20 se pueden compa a con los
que apa ecen en la Figu a 2.3 de [9] pa a una oji a con una esquina más p onunciada
(c= 1.5λyd= 5λ) obse ándose que la o ma cuali a i a de la densidad de co ien e es
esencialmen e la misma.
Figu a 20: Módulo de la densidad supe icial de co ien e no malizada en e al ángulo φ
en cilind os de sección oji al.
La Figu a 21 mues a esul ados pa a la sección ada monoes á ica de cilind os de
sección oji al en e a c/λ cuando c/d=2/3. De nue o, la sección ada monoes á ica c ece
al c ece las dimensiones del cilind o pe o, a di e encia de lo que ocu e en las Figu as
10 y 16, ya no c ece de o ma “cuasi-lineal”. Es más, se puede comp oba que los alo es
de la sección ada monoes á ica de los cilind os de sección oji al son sus ancialmen e
in e io es a los de cilind os de sección ci cula y elíp ica, lo cual signi ica que la ene gía
35
Figu a 21: Sección ada monoes á ica pa a cilind os de sección oji al en unción del
amaño del semieje e ical cpa a c/d = 2/3.
Figu a 22: Análisis de con e gencia con Npa a pa a cilind os de sección oji al. Nc= 20,
c= 0.4λyd= 0.6λ.
36
“ ebo ada” po el obje o al incidi la onda es muy in e io . De alguna mane a, la a is a
de la oji a, dispe sa la onda en odas las di ecciones en luga de ebo a la hacia a ás.
Es o pod ía explica po qué los a iones con ecnología s eal h ienen muchas a is as en
su uselaje pa a consegui educi la sección ada .
La Figu a 22 mues a la con e gencia del MdM pa a la sección ada monoes á ica de
cilind os de sección oji al con el núme o de unciones base N. Es e iden e que la con e -
gencia es peo que en el caso de cilind os de sección ci cula y elíp ica, lo cual se a ibuye
a que las unciones base no son capaces de ep oduci con p ecisión las singula idades de
bo de de la densidad de co ien e en las esquinas. Si omamos como alo es i ualmen e
exac os los que se ob ienen cuando N= 340, cuando N= 20 se es á ob eniendo una
ci a signi ica i a de p ecisión en los alo es de la sección ada monoes á ica, cuando
N= 100, se ob ienen ap oximadamen e es ci as signi ica i as, y cuando N= 260, se
ob ienen cua o ci as signi ica i as.
Po úl imo, amos a es udia el caso de un cilind o de sección ec angula . La sección
a a se un ec ángulo de semilados ayb, al y como se indica en la Figu a 23.
Figu a 23: Sección ans e sal ec angula .
En el caso del cilind o de sección ec angula , la pa ame ización de la cu a Cque
37
limi a la sección ec angula end á dada po las ecuaciones:
x( ) =





















a0< < φo
bco g( )φo< < π −φo
−a π −φo< < π +φo
−bco g( )π+φo< < 2π−φo
a2π−φo< < 2π
(104)
y( ) =





















a g( ) 0 < < φo
b φo< < π −φo
−a g( )π−φo< < π +φo
−b π +φo< <2π−φo
a g( ) 2π−φo< <2π,
(105)
donde φ0= a c anb
a. La unción w( ′)que apa ece en la ecuación (55) puede se calcu-
lada ácilmen e, ob eniéndose:
w( ′) =





















asec2( ′) 0 < ′< φo
bcsc2( ′)φo< ′< π −φo
asec2( ′)π−φo< ′< π +φo
bcsc2( ′)π+φo< ′<2π−φo
asec2( ′) 2π−φo< ′<2π.
(106)
De mane a simila a lo que ocu e en la sección oji al, la aplicación del MdM al cilind o
de sección ec angula plan ea p oblemas po que el cilind o p esen a cua o esquinas en los
que la densidad de co ien e es singula [6]. Pa a e i a p oblemas numé icos, los in e alos
en los que es án de inidos los pulsos ec angula es u ilizados como unciones base no deben
inclui a es as cua o esquinas. Los cálculos que se p esen an en es e subapa ado se han
ealizado pa a una sección cuad ada (φ0=π
4) y pa a 2 secciones ec angula es dis in as
en las que φ0=π
6yφ0=π
3. En odos los casos analizados se ha u ilizado un núme o
de unciones base N= 96 (ya que es e núme o es p óximo a 100, que es el núme o de
unciones base u ilizados pa a los cálculos de los cilind os de secciones elíp ica y oji al).
El núme o 96 es di isible po 8 y po 12, lo cual es necesa io pa a que los in e alos de
los pulsos ec angula es no incluyan a las esquinas en los casos pa icula es de secciones
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Re e encias
[1] C. A. Balanis, Ad anced Enginee ing Elec omagne ics, John Wiley &Sons, Inc.,
pp. 570-658, New Yo k, 1989.
[2] Da id M. Poza , Mic owa e Enginee ing, 2nd edi ion, John Wiley &Sons, Inc., pp.
673-679, New Yo k, 1998.
[3] Wikipedia. S eal h Technololgy. URL: h ps://en.wikipedia.o g/wiki/S eal h_
echnology (Accedido: 29/08/2022).
[4] J. Ma, V. Rokhlin and S. Wandzu a, “Gene alized Gaussian Cuad a u e Rules o
Sys ems o A bi a y Func ions", SIAM Jou nal Num. Anal., Vol. 33, No. 3, June
1996, pp. 971-996.
[5] K. A. Michalsky, “On he Scala Po en ial o a Poin Cha ge Associa ed wi h a
Time-Ha monic Dipole in a Laye ed Medium", IEEE T ansac ions on An ennas and
P opaga ions, Vol. AP-35, No. 11, No embe 1987, pp. 1299-1301.
[6] J. Van Bladel, Elec omagne ic Fields, 2nd edi ion, IEEE P ess/Wiley-In e science,
pp. 172-175, pp. 749-751 and p. 1027, Hooboken, New Je sey, 2007.
[7] I. S. G adsh eyn and I. M. Ryzhik, Table o in eg als, se ies and p oduc s, 7 h edi ion,
Else ie & Academic P ess, p. 482, Ams e dam, 2007.
[8] M. Ab amowi z, Handbook o Ma hema ical Func ions wi h Fo mulas, G aphs and
Ma hema ical Tables, 9 h p in ing, Do e Publica ions, pp. 358-389, New Yo k, 1970.
[9] A. F. Pe e son, S. L. Ray and R. Mi a, Compu a ional Me hods o Elec omagne-
ics, IEEE P ess and Ox o d Uni e si y P ess, pp. 1-93, New Yo k, 1998.
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