a Xi :1110.1467 2 [ma h.RT] 2 Ap 2014
REPR ´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D)
pa
Albe o M´ınguez & Vincen S´eche e
Abs ac . — Le F be a non-A chimedean locally compac ield o esidue cha ac e is ic p, le D be
a ini e dimensional cen al di ision F-algeb a and R be an algeb aically closed ield o cha ac e is ic
di e en om p. We classi y all smoo h i educible ep esen a ions o GLm(D) o m⩾1, wi h
coe icien s in R, in e ms o mul isegmen s, gene alizing wo ks by Zele inski, Tadi´c and Vign´e as.
We p o e ha any i educible R- ep esen a ion o GLm(D) has a unique supe cuspidal suppo , and
hus ge wo classi ica ions: one by supe cuspidal mul isegmen s, classi ying ep esen a ions wi h a
gi en supe cuspidal suppo , and one by ape iodic mul isegmen s, classi ying ep esen a ions wi h
a gi en cuspidal suppo . These cons uc ions a e made in a pu ely local way, wi h a subs an ial
use o ype heo y.
Table des ma i`e es
In oduc ion.................................................................... 2
Reme ciemen s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
No a ions e con en ions. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 7
1. P ´eliminai es. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . 8
1.1. Induc ion e es ic ion pa aboliques. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8
1.2. Rep ´esen a ions en i`e es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Fo mes in ´e ieu es de GLn(F)........................................... 10
2. Compl´emen s su l’induc ion pa abolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Suppo cuspidal e ´equi alence ine ielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Sous-quo ien s i ´educ ibles d’une indui e pa abolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Deux lemmes su l’i ´educ ibili ´e d’une indui e pa abolique. . . . . . .. . . . . . 14
2.4. Le cas de GLm(D)....................................................... 15
3. Rep ´esen a ions modulai es de GLnsu un co ps ini........................ 16
3.1. P ´eliminai es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Rep ´esen a ions non d´eg´en´e ´ees. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 17
3.3. Classi ica ion de James. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Rep ´esen a ions modulai es des alg`eb es de Hecke a ines.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . 20
Ce a ail a b´en´e ici´e de inancemen s de l’EPSRC (GR/T21714/01, EP/G001480/1) e de l’Agence Na ionale de
la Reche che (ANR-08-BLAN-0259-01, ANR-10-BLANC-0114). Le p emie au eu es aussi inanc´e en pa ie pa
FEDER, MTM2007-66929 e MTM2010-19298.
2ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
4.1. L’alg`eb e de Hecke a ine. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . 20
4.2. L’alg`eb e de Hecke-Iwaho i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Classi ica ion des modules i ´educ ibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Rappels su les ep ´esen a ions cuspidales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1. Types simples maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. In a ian s associ´es `a une ep ´esen a ion cuspidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3. Le onc eu K........................................................... 26
5.4. Rel`e emen des ep ´esen a ions supe cuspidales.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27
6. Classi ica ion des ep ´esen a ions cuspidales pa les supe cuspidales. . . . . . . . . 27
6.1. Classi ica ion des ep ´esen a ions cuspidales pa les supe cuspidales. . . . . 27
6.2. Unici ´e du suppo supe cuspidal `a ine ie p `es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7. La h´eo ie des segmen s..................................................... 33
7.1. Segmen s................................................................ 33
7.2. Rep ´esen a ions associ´ees `a un segmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3. C i `e e d’i ´educ ibili ´e pou un p odui de segmen s non li´es. . . . . . . . . . . 39
8. Rep ´esen a ions ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ees de GLm(D).................. 45
8.1. Rep ´esen a ions ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ees. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . 45
8.2. Condi ions d’appa i ion d’un ac eu cuspidal dans une indui e. . . . . . . . . 47
8.3. Unici ´e du suppo supe cuspidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9. Classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles de GLm(D).................. 50
9.1. Mul isegmen s........................................................... 50
9.2. Mul isegmen s supe cuspidaux e ap´e iodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.3. Classi ica ion des ep ´esen a ions ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ees. . . . . . . . 53
9.4. La pa i ion µme la ep ´esen a ion S µm(m)............................ 54
9.5. La ep ´esen a ion Z(m).................................................. 57
9.6. Classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.7. R´educ ion modulo ℓ..................................................... 62
R´e ´e ences...................................................................... 64
In oduc ion
Soi F un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien de ca ac ´e is ique ´esiduelle
pe soi D une alg`eb e `a di ision cen ale de dimension inie su F don le deg ´e ´edui es no ´e d.
Pou ou en ie m⩾1, on pose Gm= GLm(D), qui es une o me in ´e ieu e de GLmd(F). Les
ep ´esen a ions lisses i ´educ ibles complexes de GLmd(F) on ´e ´e class´ees pa Zele inski [39]
en e mes de pa am`e es appel´es mul isegmen s. Dans le cas o`u F es de ca ac ´e is ique nulle,
Tadi´c [33] a donn´e une classi ica ion des ep ´esen a ions lisses i ´educ ibles complexes de Gmen
e mes de mul isegmen s. La m´e hode qu’il u ilise epose su les ´esul a s de [16] (eux-mˆemes
eposan su la o mule des aces) e en pa iculie su la co espondance de Jacque -Langlands
locale e la classi ica ion des ep ´esen a ions emp´e ´ees en onc ion de la s´e ie disc `e e (ibid.,
h´eo `eme B.2.d). Dans [5], Badulescu ´e end ces deux ´esul a s au cas o`u F es de ca ac ´e is ique
p, e on ou e dans [4] la classi ica ion des ep ´esen a ions lisses i ´educ ibles complexes de Gm
sans es ic ion su la ca ac ´e is ique de F.
Dans ce a icle, on s’in ´e esse au p obl`eme de la classi ica ion des ep ´esen a ions lisses i ´e-
duc ibles de Gm`a coe icien s dans un co ps R alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique di ´e en e
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 3
de p. Dans le cas o`u ce e ca ac ´e is ique es un nomb e p emie ℓ, ces ep ´esen a ions se on
di es modulai es. L’in ´e ˆe de comp end e e classe les ep ´esen a ions modulai es p o ien de
l’´e ude des cong uences de o mes au omo phes.
La h´eo ie des ep ´esen a ions modulai es des g oupes ´educ i s p-adiques a ´e ´e d´e elopp´ee pa
Vign´e as dans [34, 35]. En pa iculie , les ep ´esen a ions modulai es du g oupe GLn(F) y son
´e udi´ees en d´e ail. Compa ´ee `a la h´eo ie complexe, la h´eo ie modulai e p ´esen e de g andes
simila i ´es, mais aussi des di ´e ences impo an es, `a la ois dans les ´esul a s e les m´e hodes.
Les ep ´esen a ions modulai es d’un g oupe compac ne son pas oujou s semi-simples. Le ai
que ℓsoi di ´e en de p´equi au `a l’exis ence d’une mesu e de Haa `a aleu s dans R su le
g oupe p-adique, mais la mesu e d’un sous-g oupe ou e compac peu ˆe e nulle. Il au dis-
ingue dans le cas modulai e en e les deux no ions de ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale
(c’es -`a-di e don ous les modules de Jacque ela i emen `a un sous-g oupe pa abolique p op e
son nuls) e supe cuspidale (c’es -`a-di e qui n’es sous-quo ien d’aucune indui e pa abolique
d’une ep ´esen a ion i ´educ ible d’un sous-g oupe de Le i p op e).
Si l’on essaie d’´e end e aux ep ´esen a ions modulai es du g oupe non d´eploy´e Gmles echni-
ques employ´ees pa Zele inski [39], Tadi´c [33] e Vign´e as [34, 35], on es con on ´e aux p o-
bl`emes sui an s. Il n’y a pas de e sion modulai e de la o mule des aces e du h´eo `eme
de Paley-Wiene (qui se en `a p ou e que l’indui e no malis´ee d’une ep ´esen a ion de ca ´e
in ´eg able d’un sous-g oupe de Le i es i ´educ ible e `a ´e abli la co espondance de Jacque -
Langlands). Il n’y a pas non plus de e sion modulai e du h´eo `eme du quo ien de Langlands,
qui pe me dans [33] de d´ec i e les ep ´esen a ions i ´educ ibles en onc ion des emp´e ´ees. Les
onc eu s de Jacque ne su isen pas `a d´e e mine les ep ´esen a ions, c’es -`a-di e qu’il y a des
ep ´esen a ions i ´educ ibles non isomo phes d’un mˆeme g oupe Gmdon ous les modules de
Jacque p op es son isomo phes. La di ´e ence en e ep ´esen a ions cuspidales e supe cuspi-
dales joue ´egalemen un ˆole impo an . On a na u ellemen une no ion de suppo supe cuspidal
( oi le §2.1.2) mais on igno e en g´en´e al si une ep ´esen a ion i ´educ ible modulai e d’un g oupe
´educ i p-adique poss`ede un unique suppo supe cuspidal (con ai emen `a ce qui se passe pou
le suppo cuspidal : oi le h´eo `eme 2.1).
L’un des p incipaux ´esul a s de ce a icle es la p eu e de l’unici ´e du suppo supe cuspidal
pou les ep ´esen a ions i ´educ ibles de Gm( oi plus bas dans ce e in oduc ion e le h´eo `eme
8.16).
Th´eo `eme A. — Tou e ep ´esen a ion i ´educ ible de Gma un unique suppo supe cuspidal.
`
A ceci s’ajou en les p obl`emes sui an s, sp´eci iques au cas o`u D es non commu a i e : les
ep ´esen a ions cuspidales de Gmn’on pas de mod`ele de Whi ake e il n’y a pas de h´eo ie
des d´e i ´ees pou les ep ´esen a ions i ´educ ibles de Gm, don l’usage es c ucial dans [35] ; la
´educ ion modulo ℓd’une Qℓ- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale en i`e e de Gmn’es pas ou-
jou s i ´educ ible e il y a des Fℓ- ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales non supe cuspidales
qui ne se el`e en pas en des Qℓ- ep ´esen a ions ( oi [26]).
L’un des p incipaux ou ils employ´es dans ce a icle es une e sion modulai e de la h´eo ie des
ypes de Bushnell e Ku zko pou Gm, qui a ´e ´e d´e elopp´ee dans un p ´ec´eden a icle [26]. Elle
pe me de compa e la h´eo ie des ep ´esen a ions lisses de Gm`a celle de ce aines alg`eb es de
Hecke a ines. L’un des p incipaux ´esul a s de [26] es la d´e ini ion, pou ou e ep ´esen a ion
i ´educ ible cuspidale ρde Gm, d’un ca ac `e e non ami i´e νρde ce g oupe poss´edan la p op i´e ´e
sui an e : si ρ′es une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gm′, a ec m′⩾1, alo s l’indui e
pa abolique no malis´ee ρ×ρ′( oi (1.3)) es ´educ ible si e seulemen si m′=me si ρ′es
4ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
isomo phe `a ρνρou `a ρν−1
ρ. Ceci es le poin de d´epa de la classi ica ion des ep ´esen a ions
i ´educ ibles puisque, une ois d´e ini ce ca ac `e e, on peu d´e ini la no ion de segmen ( oi la
d´e ini ion 7.1).
D´e ini ion . — Un segmen es une sui e inie de la o me :
[a, b]ρ= (ρνa
ρ, ρνa+1
ρ,...,ρνb
ρ),
o`u a, b ∈Zson des en ie s els que a⩽be o`u ρes une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale
de Gm.
G ˆace `a la p op i´e ´e de quasi-p ojec i i ´e des ypes cons ui s dans [26], il exis e une bijec-
ion explici e en e les ep ´esen a ions i ´educ ibles don le suppo cuspidal es ine iellemen
´equi alen `a ρ⊗ ··· ⊗ ρ(o`u ρappa aˆı n ois) e les modules simples su une ce aine alg`eb e
de Hecke a ine H(n, q(ρ)) de ype An−1e de pa am`e e q(ρ), une puissance de passoci´ee `a ρ.
Pa ce biais, on associe `a un segmen ∆ = [a, b]ρde longueu n=b−a+ 1 deux ep ´esen a ions
i ´educ ibles :
Z(∆) e L(∆)
de Gmn, espec i emen sous- ep ´esen a ion e quo ien de l’indui e ρνa
ρ×ρνa+1
ρ×···×ρνb
ρe
co espondan espec i emen au ca ac `e e i ial e au ca ac `e e signe de H(n, q(ρ)). Tan que
q(ρ) n’es pas cong u `a 1 modulo ℓ, il es possible de d´e ini les ep ´esen a ions Z(∆) e L(∆) sans
passe pa la h´eo ie des ypes e les alg`eb es de Hecke a ines ( oi la p oposi ion 7.17), mais
ce e app oche es n´ecessai e si l’on eu inclu e le cas o`u q(ρ) es cong u `a 1 modulo ℓ. Dans le
cas o`u R es le co ps des nomb es complexes, Z(∆) es une ep ´esen a ion de Speh g´en´e alis´ee e
L(∆) une ep ´esen a ion de S einbe g g´en´e alis´ee, c’es `a di e une ep ´esen a ion essen iellemen
de ca ´e in ´eg able. Ces ep ´esen a ions jouissen d’un ce ain nomb e de p op i´e ´es qui son
´e ablies dans la sec ion 7. Elles pe me en de p ou e le ´esul a sui an , qui p ou e le bien-
ond´e de no e d´e ini ion des segmen s li´es ( oi la d´e ini ion 7.3, ainsi que le h´eo `eme 7.24).
Th´eo `eme B. — Soi ⩾1e soien ∆1,...,∆ des segmen s. Les condi ions sui an es son
´equi alen es :
(1) Pou ous i, j ∈ {1,..., } els que i6=j, les segmen s ∆ie ∆json non li´es.
(2) L’indui e Z(∆1)×···×Z(∆ )es i ´educ ible.
(3) L’indui e L(∆1)×···×L(∆ )es i ´educ ible.
Ce h´eo `eme es une e sion pu emen alg´eb ique, alable pou des ep ´esen a ions modulai es,
du ´esul a selon lequel l’indui e pa abolique no malis´ee d’une ep ´esen a ion complexe de ca ´e
in ´eg able es i ´educ ible.
Un des p incipaux ´esul a s de [26] es la cons uc ion de onc eu s Kpe me an de ai e un
lien en e ep ´esen a ions de Gme ep ´esen a ions des g oupes lin´eai es GL su une ex ension
inie kdu co ps ´esiduel de F. Ils cons i uen un ou il echnique impo an e peu en ˆe e us
comme la g´en´e alisa ion du onc eu associan `a une ep ´esen a ion lisse de Gmla ep ´esen a ion
de GLm(kD) (o`u kDes le co ps ´esiduel de D) su l’espace de ses in a ian s sous le adical p o-
unipo en du sous-g oupe compac maximal GLm(OD), o`u ODes l’anneau des en ie s de D.
´
E an donn´es un en ie ⩾1 e une ex ension inie kdu co ps ´esiduel de F, les ep ´esen a ions
i ´educ ibles modulai es de GL (k) on ´e ´e ´e udi´ees e class´ees pa Dippe e James [22, 18], e
une h´eo ie des d´e i ´ees a ´e ´e d´e elopp´ee pa Vign´e as dans [34]. On no e a en pa iculie les
´esul a s sui an s ( oi la sec ion 3) :
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 5
(1) ou e ep ´esen a ion i ´educ ible de GL (k) poss`ede un unique suppo supe cuspidal ;
(2) on a une no ion de ep ´esen a ion i ´educ ible non d´eg´en´e ´ee de GL (k) ;
(3) on a une classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de GL (k) en onc ion
des ep ´esen a ions i ´educ ibles supe cuspidales de GL ′(k) pou ′di isan .
G ˆace aux onc eu s ´e oqu´es plus hau , ces ois asse ions on pe me e de p ou e plusieu s
´esul a s impo an s qui abou issen `a l’unici ´e du suppo supe cuspidal ( h´eo `eme A ci-dessus).
D’abo d (1) pe me de p ou e l’unici ´e du suppo supe cuspidal `a ine ie p `es ( oi la p oposi-
ion 6.17). Ensui e (2) pe me d’associe `a ou en ie n⩾1 e `a ou e ep ´esen a ion i ´educ ible
cuspidale ρde Gmune ep ´esen a ion i ´educ ible :
S (ρ, n)
d´e inie comme l’unique sous-quo ien i ´educ ible de l’indui e ρ×ρνρ×···×ρνn−1
ρdon l’image pa
un onc eu Kcon enable, d´e ini `a pa i de ρ, con ienne une ce aine ep ´esen a ion i ´educ ible
non d´eg´en´e ´ee. Dans le cas o`u R es le co ps des nomb es complexes, S (ρ, n) es la ep ´esen a ion
de S einbe g g´en´e alis´ee L([0, n −1]ρ), mais dans le cas modulai e ces deux ep ´esen a ions di -
`e en d`es que nes assez g and ( oi la ema que 8.14). En in (3) pe me de p ou e le ´esul a
sui an , qui ou ni une classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales en onc ion des
ep ´esen a ions supe cuspidales, dans le cas o`u le co ps R es de ca ac ´e is ique non nulle ℓ( oi
le h´eo `eme 6.14).
Th´eo `eme C. — (1) ´
E an donn´ee une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρ, il exis e un
en ie e(ρ) el que S (ρ, n)soi cuspidale si e seulemen si n= 1 ou n=e(ρ)ℓ a ec ⩾0.
(2) Pou ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale non supe cuspidale π, il y a une ep ´e-
sen a ion i ´educ ible supe cuspidale ρe un unique ⩾0 els que πsoi isomo phe `a la ep ´e-
sen a ion S (ρ) = S (ρ, e(ρ)ℓ ).
(3) Si ρ′es une ep ´esen a ion i ´educ ible supe cuspidale elle que les ep ´esen a ions S (ρ′)
e S (ρ)soien isomo phes, alo s il exis e i∈Z el que ρ′soi isomo phe `a ρνi
ρ.
La de ni`e e ´e ape de la p eu e de l’unici ´e du suppo supe cuspidal es la p oposi ion c uciale
8.9, qui con ˆole l’appa i ion de ac eu s cuspidaux dans des indui es pa aboliques. On es alo s
en mesu e de p ou e le h´eo `eme 8.16.
On a i e main enan au p obl`eme de la classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles de Gm.
On a une no ion na u elle d’´equi alence en e segmen s ( oi la d´e ini ion 7.2), ce qui pe me
d’in odui e la d´e ini ion sui an e.
D´e ini ion . — Un mul isegmen es une applica ion m`a suppo ini de l’ensemble des classes
d’´equi alence de segmen s `a aleu s dans N, qu’on ep ´esen e sous la o me d’une somme inie :
m= ∆1+···+ ∆ = [a1, b1]ρ1+···+ [a , b ]ρ ,
o`u ∆1,...,∆ son des segmen s.
Si l’on no e mil’en ie el que ρisoi une ep ´esen a ion de Gmi, la somme des (bi−ai+1)mies
appel´ee le deg ´e de me la somme o melle des classe d’´equi alence des ρiνj
ρipou i∈ {1,..., }
e j∈ {ai,...,bi}es appel´ee le suppo de m.
Un mul isegmen es di supe cuspidal si ou es les ep ´esen a ions ρ1,...,ρ son supe cuspi-
dales e ap´e iodique si, pou ou en ie n⩾0 e ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρ, il
exis e a∈Z el que la classe d’´equi alence du segmen [a, a +n]ρn’appa aisse pas dans m. Ces
deux so es de mul isegmen s on pe me e une classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles

6ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
en onc ion de leu s suppo s supe cuspidal e cuspidal espec i emen . Ces deux so es de mul i-
segmen s se co esponden bijec i emen : g ˆace `a la classi ica ion des ep ´esen a ions cuspidales
en onc ion des supe cuspidales, on d´e ini une applica ion :
m7→ msc
associan `a un mul isegmen un mul isegmen supe cuspidal. On ´e i ie ( oi le lemme 9.8) qu’il
exis e un unique mul isegmen ap´e iodique a el que asc =msc ; on le no e map.
La d´e ini ion de S (ρ, n) e la p eu e de la p oposi ion 8.9 eposen ou es deux su une id´ee
commune donnan lieu `a la no ion de ep ´esen a ion i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee
( oi le §8.1). Dans le cas o`u D = F, ce e no ion co¨ıncide a ec celle de ep ´esen a ion i ´educ ible
non d´eg´en´e ´ee de GLn(F) d´e inie pa Vign´e as ( oi le co ollai e 9.12). G ossi`e emen , il s’agi ,
pa l’in e m´ediai e des onc eu s Kin odui s ci-dessus, de anspo e aux ep ´esen a ions de
Gmla no ion de ep ´esen a ion non d´eg´en´e ´ee qui exis e pou les ep ´esen a ions de GL su un
co ps ini de ca ac ´e is ique p. Ce e id´ee culmine dans la d´e ini ion sui an e : `a ou mul i-
segmen mon ai co espond e un sous-g oupe de Le i s anda d Mmde G (don les ailles des
blocs son donn´es pa les deg ´es des segmen s appa aissan dans m) puis une ep ´esen a ion
i ´educ ible :
Σ(m)
de Mm(no ´ee S µm(m) au pa ag aphe 9.4) d´e inie comme l’unique sous-quo ien i ´educ ible
´esiduellemen non d´eg´en´e ´e du module de Jacque de Z(∆1)×···×Z(∆ ) ela i au sous-g oupe
pa abolique s anda d Pmde ac eu de Le i Mm. Ce e indui e poss`ede un unique sous-quo ien
i ´educ ible :
Z(m)
don le module de Jacque ela i `a Pmposs`ede un sous-quo ien isomo phe `a Σ(m). L’in ´e ˆe
d’in odui e la ep ´esen a ion Σ(m) es qu’il n’es pas di icile de mon e qu’elle ne d´epend que
de msc, e que l’applica ion m7→ Σ(m) es injec i e su l’ensemble des mul isegmen s supe -
cuspidaux ( oi le §9.4.2). Il s’ensui que la es ic ion Zsc de m7→ Z(m) `a l’ensemble des
mul isegmen s supe cuspidaux es injec i e ( oi le h´eo `eme 9.30).
La p eu e de la su jec i i ´e de l’applica ion Zsc e le calcul des suppo s cuspidal e supe -
cuspidal de Z(m) pou un mul isegmen mquelconque son plus di iciles. Nous ai ons ous
ces p obl`eme en mˆeme emps dans un aisonnemen pa ´ecu ence su le deg ´e de m( oi les
p oposi ions 9.32 e 9.34). C’es l`a que nous u ilisons de a¸con c uciale un a gumen de comp age
( oi le lemme 9.33) eposan su la classi ica ion des modules i ´educ ibles su une alg`eb e de
Hecke a ine en une acine de l’uni ´e (A iki [1, 2], Ch iss-Ginzbu g [11]). De a¸con p ´ecise, ce
a gumen ( oi le §4.3) pe me de conclu e que l’applica ion injec i e (9.16) es bijec i e. Nous
ob enons inalemen le h´eo `eme de classi ica ion ( oi le h´eo `eme 9.36).
Th´eo `eme D. — (1) L’applica ion m7→ Z(m)indui une su jec ion de l’ensemble des mul-
isegmen s de deg ´e msu l’ensemble des ep ´esen a ions i ´educ ibles de Gm.
(2) ´
E an donn´es deux mul isegmen s m,m′, les ep ´esen a ions Z(m),Z(m′)son isomo phes
si e seulemen si msc =m′
sc (ou, de a¸con ´equi alen e, si map =m′
ap).
(3) Pou ou mul isegmen m, le suppo cuspidal de Z(m)es ´egal au suppo de map e son
suppo supe cuspidal es ´egal au suppo de msc.
En in, dans le pa ag aphe 9.7, nous ´e udions le p obl`eme de la ´educ ion mod ℓdes Qℓ- ep ´e-
sen a ions i ´educ ibles en i`e es de Gm. Nous p ou ons ( oi le h´eo `eme 9.40) que le mo phisme
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 7
de ´educ ion mod ℓes su jec i , c’es -`a-di e que ou e Fℓ- ep ´esen a ion i ´educ ible de Gmes
la ´educ ion mod ℓd’une Qℓ- ep ´esen a ion i uelle en i`e e de longueu inie.
Nous insis ons su le ai que ce a ail ou ni une classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ-
ibles de Gmne eposan pas su les ´esul a s an ´e ieu s de Zele inski, Tadi´c e Vign´e as. Pa
con e, il s’appuie su la classi ica ions des ep ´esen a ions i ´educ ibles modulai es de GLnsu
un co ps ini de ca ac ´e is ique p(Dippe -James) e su la classi ica ion des modules i ´educ ibles
su une alg`eb e de Hecke a ine en une acine de l’uni ´e (A iki, Ch iss-Ginzbu g).
Dans la sec ion 2, on ´e abli des ´esul a s g´en´e aux conce nan l’induc ion pa abolique dans
un g oupe ´educ i p-adique quelconque : on p ou e que la semi-simpli i´ee de l’indui e pa abo-
lique d’une ep ´esen a ion i ´educ ible d’un sous-g oupe de Le i ne d´epend pas du sous-g oupe
pa abolique choisi (p oposi ion 2.2), e on p ou e au pa ag aphe 2.3 des c i `e es d’i ´educ ibili ´e
e d’unici ´e d’un quo ien i ´educ ible d’une indui e pa abolique.
Les sec ions 3, 4 e 5 ne con iennen pas de ´esul a nou eau. Dans la sec ion 3, on ´esume
la h´eo ie des ep ´esen a ions modulai es de GLnsu un co ps ini de ca ac ´e is ique p. Dans la
sec ion 4, on ´esume la classi ica ion des modules simples su une R-alg`eb e de Hecke a ine de
ype A en e mes de mul isegmen s ap´e iodiques. Dans la sec ion 5, on ´esume les ´esul a s e
les ou ils de h´eo ie des ypes ob enus dans [26] don nous au ons besoin.
Dans la sec ion 6, on p ou e l’unici ´e du suppo supe cuspidal `a ine ie p `es e on classe
les ep ´esen a ions cuspidales de Gmen onc ion des ep ´esen a ions supe cuspidales de Gm′
a ec m′di isan m. Dans la sec ion 7, on d´e ini la no ion de segmen e on associe `a ou
segmen deux ep ´esen a ions i ´educ ibles don on ´e udie les p op i´e ´es. Dans la sec ion 8, on
d´e ini la no ion de ep ´esen a ion ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee de Gm. Dans la sec ion 9 en in,
on classe les ep ´esen a ions i ´educ ibles de Gmen e mes de mul isegmen s ap´e iodiques e
supe cuspidaux.
Reme ciemen s
Nous eme cions Jean-F an¸cois Da , Guy Hennia , Vanessa Miemie z, Shaun S e ens e Ma-
ie-F ance Vign´e as pou de nomb euses discussions `a p opos de ce a ail.
Une pa ie de ce a ail a ´e ´e ´ealis´ee lo s du s´ejou des au eu s `a l’E win Sch ¨odinge Ins i u e
en jan ie - ´e ie 2009 e du second au eu `a l’Ins i u Hen i Poinca ´e de jan ie `a ma s 2010 ;
que ces deux ins i u ions soien eme ci´ees pou leu accueil e leu sou ien inancie . Une au e
pa ie en a ´e ´e ´ealis´ee lo s de plusieu s s´ejou s `a l’Uni e si y o Eas Anglia : nous eme cions
celle-ci pou son accueil e Shaun S e ens pou ses nomb euses in i a ions.
Albe o M´ınguez eme cie le CNRS pou les six mois de d´el´ega ion don il a b´en´e ici´e en 2011.
Vincen S´eche e eme cie l’Ins i u de Ma h´ema iques de Luminy e l’Uni e si ´e de la M´edi-
e an´ee Aix-Ma seille 2, o`u il ´e ai en pos e du an la majeu e pa ie de ce a ail.
No a ions e con en ions
1. On no e Nl’ensemble des en ie s na u els, Zl’anneau des en ie s ela i s e Cle co ps des
nomb es complexes.
2. Si X es un ensemble, on no e Z(X) le g oupe ab´elien lib e de base X cons i u´e des applica ions
de X dans Z`a suppo ini e N(X) le sous-mono¨ıde cons i u´e des applica ions `a aleu s dans
8ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
N.´
E an donn´es , g ∈Z(X), on no e ⩽gsi g− ∈N(X), ce qui d´e ini une ela ion d’o d e
pa iel su Z(X).
3. Dans ce a icle, F es un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien de ca ac-
´e is ique ´esiduelle no ´ee pe R es un co ps alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique di ´e en e
de p.
4. Tou es les F-alg`eb es son suppos´ees uni ai es e de dimension inie. Pa F-alg`eb e `a di ision
on en end F-alg`eb e cen ale don l’anneau sous-jacen es un co ps, pas n´ecessai emen commu-
a i . Si K es une ex ension inie de F, ou une alg`eb e `a di ision su une ex ension inie de F,
on no e OKson anneau d’en ie s, pKson id´eal maximal, kKson co ps ´esiduel e qKle ca dinal
de kK. En pa iculie , on pose q=qFune ois pou ou es.
5. Une R- ep ´esen a ion lisse d’un g oupe opologique G es la donn´ee d’un R-espace ec o iel
V e d’un homomo phisme de G dans Au R(V) el que le s abilisa eu dans G de ou ec eu
de V soi ou e . Dans ce a icle, ou es les ep ´esen a ions son des R- ep ´esen a ions lisses.
Une ep ´esen a ion de G su un R-espace ec o iel V es admissible si, pou ou sous-g oupe
ou e H de G, l’espace VHde ses ec eu s H-in a ian s es de dimension inie.
Un R-ca ac `e e de G es un homomo phisme de G dans R×de noyau ou e .
Si πes une R- ep ´esen a ion de G, on d´esigne pa π∨sa con ag ´edien e. Si en ou e χes
un R-ca ac `e e de G, on no e χπ ou πχ la ep ´esen a ion o due g7→ χ(g)π(g).
Si aucune con usion n’es `a c aind e, on ´ec i a ca ac `e e e ep ´esen a ion plu ˆo que R-ca ac-
`e e e R- ep ´esen a ion.
6. On d´esigne pa RR(G) la ca ´ego ie des R- ep ´esen a ions lisses de G, pa I R(G) l’ensemble
des classes d’isomo phisme de ses ep ´esen a ions i ´educ ibles e pa GR(G) le g oupe de G o-
hendieck de ses ep ´esen a ions de longueu inie. On ome a sou en R dans les no a ions.
Si σes une ep ´esen a ion de longueu inie de G, on d´esigne pa [σ]son image dans G(G). En
pa iculie , si σes i ´educ ible, [σ]d´esigne sa classe d’isomo phisme. Lo squ’aucune con usion
ne se a possible, il nous a i e a d’iden i ie une ep ´esen a ion a ec sa classe d’isomo phisme.
Le Z-module G(G) s’iden i ie `a Z(I (G)), qui es muni d’une ela ion d’o d e no ´ee ⩽, andis
que N(I (G)) es l’ensemble des [σ]o`u σd´ec i les ep ´esen a ions de longueu inie de G.
1. P ´eliminai es
1.1. Induc ion e es ic ion pa aboliques
On suppose dans ou ce pa ag aphe que G es le g oupe des poin s su F d’un g oupe ´educ-
i connexe d´e ini su F. On en oie `a [34, II.2] pou plus de p ´ecisions. Tou e ep ´esen a ion
i ´educ ible de G es admissible e adme un ca ac `e e cen al d’ap `es [34, II.2.8].
1.1.1. On choisi une ois pou ou es une acine ca ´ee de qdans R, no ´ee √q. Si P = MN
es un sous-g oupe pa abolique de G muni d’une d´ecomposi ion de Le i, son module δPes un
ca ac `e e de M dans C×de la o me m7→ q P(m)o`u Pes un homomo phisme de g oupes de
M dans Z. On d´e ini un R-ca ac `e e :
m7→ (√q) P(m)
qui es un ca ac `e e non ami i´e de M don le ca ´e es le module de P `a aleu s dans R×. On
no e G
Ple onc eu de es ic ion pa abolique no malis´e ( ela i emen `a ce ca ac `e e) de R(G)
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 9
dans R(M) e iG
Pson adjoin `a d oi e, c’es -`a-di e le onc eu d’induc ion pa abolique no malis´e
qui lui co espond. Ces onc eu s son exac s, e ils p ´ese en l’admissibili ´e e le ai d’ˆe e de
longueu inie ( oi [34, II], pa ag aphes 2.1, 3.8 e 5.13).
Rema que 1.1. — Lo sque pes impai , emplace la acine ca ´ee choisie plus hau pa son
oppos´ee a pou e e de o d e les onc eu s iG
Pe G
Ppa un ca ac `e e non ami i´e d’o d e 2.
Soi P−le sous-g oupe pa abolique de G oppos´e `a P ela i emen `a M.
P oposi ion 1.2. — Si πe σson des ep ´esen a ions admissibles de Ge de M espec i e-
men , on a un isomo phisme de R-espaces ec o iels :
HomG(iG
P−(σ), π)≃HomM(σ, G
P(π))
di de seconde adjonc ion ( oi [34, II.3.8]).
1.1.2. On ixe un o e d´eploy´e maximal A de G e un sous-g oupe pa abolique minimal P
de G con enan A. On no e espec i emen W = W(G,A) e Φ = Φ(G,A) le g oupe de Weyl
e l’ensemble des acines ´edui es de G ela i emen `a A. Le choix de P d´e e mine une base
S de Φ ainsi qu’un ensemble Φ+de acine posi i es dans Φ. Pou ou e pa ie I ⊆S, on no e
PIle sous-g oupe pa abolique de G con enan P d´e e min´e pa I e MIle sous-g oupe de Le i
con enan A lui co espondan . Pou I,J⊆S, on pose :
D(I,J) = D(MI,MJ) = {w∈W|w−1(I) ⊆Φ+e w(J) ⊆Φ+}.
´
E an donn´ee une ep ´esen a ion σde MJ, on a le lemme g´eom´e ique de Be ns ein e Zele inski :
(1.1) [ G
PI(iG
PJ(σ))]=X
w∈D(I,J)
[iMI
MI∩Pw−1
J
(w· MJ
MJ∩Pw
I(σ))],
qui es une ´egali ´e dans le g oupe de G o hendieck G(MI), e o`u w·d´esigne la conjugaison pa
w. On en oie `a [12, 2.8] pou plus de p ´ecisions.
1.1.3. Une ep ´esen a ion i ´educ ible de G es cuspidale si son image pa G
Pes nulle pou
ou sous-g oupe pa abolique p op e P de G, c’es -`a-di e si elle n’es isomo phe `a aucun quo ien
(ou, de a¸con ´equi alen e, `a aucune sous- ep ´esen a ion) d’une indui e pa abolique d’une ep ´e-
sen a ion d’un sous-g oupe de Le i p op e. Elle es supe cuspidale si elle n’es isomo phe `a aucun
sous-quo ien d’une indui e pa abolique d’une ep ´esen a ion i ´educ ible d’un sous-g oupe de
Le i p op e.
On no e CR(G) e SR(G) les ensembles o m´es espec i emen des classes d’isomo phisme de
ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales e supe cuspidales de G.
1.2. Rep ´esen a ions en i`e es
Soi ℓun nomb e p emie di ´e en de p. On no e Qℓle co ps des nomb es ℓ-adiques, Zℓson
anneau d’en ie s e Fℓle co ps ´esiduel de Zℓ. On ixe une clˆo u e alg´eb ique Qℓde Qℓ. On no e
Zℓson anneau d’en ie s e Fℓle co ps ´esiduel de Zℓ, qui es une clˆo u e alg´eb ique de Fℓ.
On suppose, `a l’excep ion du pa ag aphe 1.2.1 o`u G es un g oupe localemen p o ini quel-
conque, que G es le g oupe des poin s su F d’un g oupe ´educ i connexe d´e ini su F.
1.2.1. Soi G un g oupe opologique localemen p o ini. Une ep ´esen a ion de G su un
Qℓ-espace ec o iel V es di e en i`e e si elle es admissible e si elle adme une s uc u e en i`e e,
c’es -`a-di e un sous-Zℓ-module de V s able pa G e engend ´e pa une base de V su Qℓ([34, 37]).
16 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
B = (bi,j) compos´ees d’en ie s posi i s els que :
s
X
j=1
bi,j =mi, i ∈ {1,..., },
X
i=1
bi,j =nj, j ∈ {1,...,s}.
Fixons B ∈Mα,β e no ons αi= (bi,1,...,bi,s) e βj= (b1,j,...,b ,j), qui son des amilles de
somme mie de nj espec i emen . Pou chaque i∈ {1,..., }, on ´ec i :
σ(k)
i=σ(k)
i,1⊗···⊗σ(k)
i,s , σ(k)
i,j ∈I (Gbi,j ), k ∈ {1,..., i},
les di ´e en s sous-quo ien s i ´educ ibles de αi(πi). Pou ou j∈ {1,...,s}e ou e amille
d’en ie s (k1,...,k ) els que 1 ⩽ki⩽ i, on d´e ini une ep ´esen a ion σjde Gnjpa :
σj=iβjσ(k1)
1,j ⊗···⊗σ(k )
,j .
Alo s les ep ´esen a ions :
σ1⊗···⊗σs,B∈Mα,β,1⩽ki⩽ i,
son les sous-quo ien s i ´educ ibles de β(iα(π)). Voi Zele inski [39,§1.6], la p eu e ´e an
alable pou R alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique di ´e en e de pe pou D quelconque.
La p oposi ion sui an e es la combinaison du lemme 2.4 e de [25, Co ollai e 2.2] don la
p eu e es alable pou un co ps alg´eb iquemen clos quelconque de ca ac ´e is ique di ´e en e de
p. On ep end les no a ions ci-dessus a ec s= 2.
P oposi ion 2.8. — On suppose que, pou ou i∈ {1,..., }, ou e amille d’en ie s αide
somme mie ou sous-quo ien σ(k)
i=σ(k)
i,1⊗σ(k)
i,2de αi(πi), on a :
cusp(σ(k)
i,2)X
i<j⩽
cusp(πj).
Alo s πappa aˆı a ec mul iplici ´e 1dans [ α(iα(π))]. Ainsi iα(π)a une unique sous- ep ´esen a-
ion i ´educ ible, don la mul iplici ´e dans [iα(π)]es ´egale `a 1.
3. Rep ´esen a ions modulai es de GLnsu un co ps ini
Son ´eunis dans ce e sec ion les ´esul a s de la h´eo ie des ep ´esen a ions modulai es de
GLnsu un co ps ini don nous a ons besoin. On ixe un co ps ini kde ca ac ´e is ique pe de
ca dinal q. La ´e ´e ence p incipale es l’a icle de James [22] ( oi aussi [18, 21]).
3.1. P ´eliminai es
Pou m⩾1, on pose ¯
Gm= GLm(k), e on no e ¯
G0le g oupe i ial. On no e I l’ensemble
des classes d’isomo phisme de ep ´esen a ions i ´educ ibles des ¯
Gm,m⩾0, e Gle Z-module
lib e de base I . On no e Ce Sles sous-ensembles de I cons i u´es espec i emen des classes
de ep ´esen a ions cuspidales e supe cuspidales.
Si α= (m1,...,m ) es une amille d’en ie s ⩾0 de somme m, il lui co espond le sous-g oupe
de Le i s anda d ¯
Mαde ¯
Gmcons i u´e des ma ices diagonales pa blocs de ailles m1,...,m
espec i emen , que l’on iden i ie na u ellemen au p odui ¯
Gm1×···×¯
Gm . On no e ¯
Pαle sous-
g oupe pa abolique de ¯
Gmde ac eu de Le i ¯
Mα o m´e des ma ices iangulai es sup´e ieu es
pa blocs de ailles m1,...,m espec i emen , e on no e ¯
Nαson adical unipo en . On no e iα

REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 17
le onc eu d’induc ion pa abolique de ¯
Mαdans ¯
Gmle long de ¯
Pα. Si, pou chaque i∈ {1,..., },
on a une ep ´esen a ion πide ¯
Gmi, on no e a :
(3.1) π1×···×π =iα(π1⊗···⊗π ).
Si πes une ep ´esen a ion de longueu inie de ¯
Gmpou un m⩾0, on no e [π]son image dans
Ge deg(π) = mson deg ´e. L’applica ion deg ´e e la o mule (3.1) on de Gune Z-alg`eb e asso-
cia i e commu a i e g adu´ee. La commu a i i ´e de Gse d´edui pa exemple de [20], o`u Howle
e Leh e p ou en que l’induc ion pa abolique ne d´epend pas du sous-g oupe pa abolique quand
le ac eu de Le i es ix´e.
Tou e ep ´esen a ion i ´educ ible a un suppo cuspidal e un suppo supe cuspidal, c’es -`a-
di e qu’on a une applica ion su jec i e `a ib es inies :
cusp : I →N(C)
elle que, ´e an donn´ees des ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales σ1,...,σn, on ai :
cusp−1([σ1]+···+[σn]) = {classes de quo ien s i ´educ ibles de σ1×···×σn}
e on a une applica ion su jec i e `a ib es inies :
scusp : I →N(S)
elle que, ´e an donn´ees des ep ´esen a ions i ´educ ibles supe cuspidales σ1,...,σn, on ai :
scusp−1([σ1]+···+[σn]) = {classes de sous-quo ien s i ´educ ibles de σ1×···×σn}
( oi [34, III.2.5]).
3.2. Rep ´esen a ions non d´eg´en´e ´ees
On appelle quelques d´e ini ions conce nan les pa i ions ( oi Macdonald [23, I.1] pou plus
de p ´ecisions). Une pa i ion d’un en ie m⩾1 es une sui e d´ec oissan e :
µ= (µ1⩾µ2⩾...⩾µ )
d’en ie s s ic emen posi i s don la somme es ´egale `a m. Sa pa i ion conjugu´ee es la pa i ion
µ′= (µ′
1⩾µ′
2⩾...⩾µ′
s) de mo`u µ′
jes le nomb e d’en ie s i∈ {1,..., } els que µi⩾j. Si
µ, ν son des pa i ions de m, on ´ec i µEνlo sque :
X
i⩽k
µi⩽X
i⩽k
νi
pou ou k⩾1. On a µEνsi e seulemen si ν′Eµ′, c’es -`a-di e que l’applica ion µ7→ µ′es
d´ec oissan e pou E. Pou ce e ela ion, la plus g ande pa i ion de mes (m), andis que la
plus pe i e es (1,...,1).
Si µ= (µ1⩾µ2⩾...) es une pa i ion d’un en ie me ν= (ν1⩾ν2⩾...) une pa i ion
d’un en ie n, on no e µ+νla pa i ion (µ1+ν1⩾µ2+ν2⩾...) de l’en ie m+n.
Rema que 3.1. — On peu pense `a une pa i ion comme `a un ´el´emen de N(N∗).
Soi ¯
G = ¯
Gmpou un m⩾1. On no e ¯
N = ¯
N(1,...,1) le sous-g oupe des ma ices unipo en es
iangulai es sup´e ieu es de ¯
G. On ixe un R-ca ac `e e non i ial ψde k. Pou ce qui sui , on
en oie plus sp´eci iquemen `a [34, III.1-2].
18 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
Pou ou e pa i ion µ= (µ1⩾µ2⩾...⩾µ ) de m, on no e ψµle ca ac `e e de ¯
N d´e ini pa :
ψµ:u7→ ψX
i∈Jµ
ui,i+1,
la somme po an su l’ensemble Jµde ous les en ie s i∈ {1,...,m−1}qui ne son de la o me
µ1+···+µkpou aucun k∈ {1,..., }.
D´e ini ion 3.2. — Une ep ´esen a ion πde ¯
G es µ-d´eg´en´e ´ee si Hom¯
N(π, ψµ) es non nul.
Si µes la pa i ion maximale (m), le ca ac `e e ψ(m)es non d´eg´en´e ´e e on e ou e la no ion
classique de mod`ele de Whi ake pa ´ecip oci ´e de F obenius. On di que πes non d´eg´en´e ´ee
si elle es (m)-d´eg´en´e ´ee. Le ´esul a sui an es une cons´equence de [34, III.1.10].
P oposi ion 3.3. — Soien σ1,...,σ des ep ´esen a ions i ´educ ibles. Les condi ions sui an-
es son ´equi alen es :
(1) L’indui e σ1×···×σ poss`ede un sous-quo ien i ´educ ible non d´eg´en´e ´e.
(2) Pou ou 1⩽i⩽ , la ep ´esen a ion σies non d´eg´en´e ´ee.
Si elles son sa is ai es, ce sous-quo ien i ´educ ible non d´eg´en´e ´e es unique e sa mul iplici ´e
dans l’indui e es 1.
3.3. Classi ica ion de James
Soien m, n ⩾1 e soi σune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de ¯
Gm. On d´ec i dans ce
pa ag aphe la classi ica ion pa James [22] des ep ´esen a ions i ´educ ibles de ¯
Gmn isomo phes
`a un sous-quo ien de σ×···×σen onc ion des pa i ions de n.
Soi H=H(σ, n) l’alg`eb e des endomo phismes de σ×···×σ, qui es une alg`eb e de Hecke
de ype An−1e de pa am`e e qm. Ce e ep ´esen a ion indui e es p esque-p ojec i e au sens
de Dippe [17] ( oi aussi [26, 4.1]), On a ainsi une bijec ion en e classes de ep ´esen a ions
i ´educ ibles isomo phes `a un quo ien de σ×···×σe classes de H-modules i ´educ ibles.
Rema que 3.4. — Si R es de ca ac ´e is ique non nulle ℓ, e si qmn’es pas cong u `a 1 modulo
ℓ, alo s σes une ep ´esen a ion p ojec i e ( oi [34, III.2.9]).
D’ap `es [22, 6], il exis e une unique sous- ep ´esen a ion i ´educ ible de σ×···×σ, no ´ee :
(3.2) z(σ, n),
don le H-module associ´e soi le ca ac `e e i ial de H.
Th´eo `eme 3.5 (James [22]). — Soi µ= (µ1⩾µ2⩾...⩾µ )une pa i ion de n.
(1) La ep ´esen a ion z(σ, µ1)×···×z(σ, µ )adme un unique sous-quo ien i ´educ ible :
z(σ, µ)
d´eg´en´e ´e ela i emen `a la pa i ion mµ′= (mµ′
1⩾mµ′
2⩾...).
(2) Les sous-quo ien s i ´educ ibles de l’indui e z(σ, µ1)×···×z(σ, µ )son de la o me z(σ, ν)
a ec µEν, e z(σ, µ)appa aˆı dans ce e indui e a ec mul iplici ´e 1.
(3) L’applica ion :
µ7→ z(σ, µ)
es une bijec ion en e pa i ions de ne classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles de ¯
Gmn isomo -
phes `a un sous-quo ien de σ×···×σ.
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 19
Rema que 3.6. — (1) On no e e(σ) le plus pe i en ie k⩾1 el que :
1 + qm+···+qm(k−1) = 0
dans R. (Si R es de ca ac ´e is ique nulle, on con ien que e(σ) = +∞.) Alo s z(σ, µ) es
isomo phe `a un quo ien de σ× ··· × σsi e seulemen si µes e(σ)- ´eguli`e e, c’es -`a-di e si
aucun µin’es ´ep´e ´e plus de e(σ) ois, ou enco e si µ′
j< e(σ) pou ou j.
(2) Si σes supe cuspidale, l’applica ion µ7→ z(σ, µ) es une bijec ion en e pa i ions de ne
classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles de ¯
Gmn de suppo supe cuspidal n·[σ]=[σ]+···+[σ].
La ep ´esen a ion :
s (σ, n) = z(σ, (1,...,1))
es l’unique sous-quo ien non d´eg´en´e ´e de l’indui e σ×···×σ, dans laquelle elle es de mul i-
plici ´e 1. Le ´esul a sui an ou ni une classi ica ion de Cen onc ion de S.
P oposi ion 3.7. — On a les p op i´e ´es sui an es :
(1) s (σ, n)es cuspidale si e seulemen si n= 1 ou n=e(σ)ℓ , a ec ⩾0.
(2) L’applica ion :
(σ, )7→ s (σ) = s (σ, e(σ)ℓ )
d´e ini une bijec ion en e S×Ne l’ensemble des classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspi-
dales non supe cuspidales.
On a le ´esul a sui an . Voi le pa ag aphe 1.2 pou la d´e ini ion de ℓ.
P oposi ion 3.8. — Soi σune Fℓ- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de ¯
Gm, e soi ˜σune
Qℓ- ep ´esen a ion cuspidale ele an σ(c’es -`a-di e que ℓ(˜σ) = σ). Soi n⩾1.
(1) On a ℓ(z(˜σ, n)) = z(σ, n).
(2) La ep ´esen a ion ℓ(s (˜σ, n)) es i ´educ ible si e seulemen si n < e(σ).
(3) Il exis e une s uc u e en i`e e de s (˜σ, n) elle que s (σ, n)soi une sous- ep ´esen a ion
de ⊗Fℓ.
D´emons a ion. — D’ap `es [22], les sous-quo ien s i ´educ ibles de ℓ(s (˜σ, n)) son de la o me
z(σ, µ) a ec (n)Eµe z(σ, n) appa aˆı a ec mul iplici ´e 1. Donc ℓ(s (˜σ, n)) es i ´educ ible.
Pou les deux au es asse ions, oi [34, III.2.8] e [34, III.2.4, Rema que 3].
De a¸con analogue `a (3.2), l’indui e σ×···×σa un unique quo ien i ´educ ible :
(3.3) l(σ, n),
don le H-module associ´e soi le ca ac `e e signe de H.
P oposi ion 3.9. — On a l(σ, n) = s (σ, n)si e seulemen si n < e(σ).
D´emons a ion. — L’une des implica ions p o ien du ai que s (σ, n) co espond `a un module
simple de Hsi e seulemen si la pa i ion (1,...,1) es e(σ)- ´eguli`e e, c’es -`a-di e si n < e(σ).
In e semen , supposons que n < e(σ). Comme le g oupe ¯
G es ini e comme le ´esul a es
connu quand R es de ca ac ´e is ique nulle, on peu suppose que R = Fℓ. Soi ˜σune Qℓ- e-
p ´esen a ion cuspidale ele an σ. D’ap `es la p oposi ion 3.8, s (σ, n) es la ´educ ion mod ℓde
s (˜σ, n). Le H(˜σ, n)-module co espondan `a s (˜σ, n) es le Qℓ-ca ac `e e signe. Pa cons´equen ,
le H(σ, n)-module co espondan `a s (σ, n) es le Fℓ-ca ac `e e signe.
20 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
4. Rep ´esen a ions modulai es des alg`eb es de Hecke a ines
Dans ce e sec ion, on a ´euni les ´esul a s de la h´eo ie des ep ´esen a ions modulai es des
alg`eb es de Hecke a ines don nous au ons besoin. Il s’agi de R-alg`eb es de Hecke a ines de
ype A en un pa am`e e non nul qui peu ˆe e une acine de l’uni ´e. Le ´esul a p incipal es
le h´eo `eme 4.8 de classi ica ion des modules simples en e mes de mul isegmen s ap´e iodiques
d’ap `es [39, 30, 1, 11, 3, 24]. On d´e ini aussi des ca ac `e es (d´e ini ion 4.1) qui se i on dans
la sec ion 7 pou d´e ini les ´ep ´esen a ions i ´educ ibles a ach´ees `a un segmen .
4.1. L’alg`eb e de Hecke a ine
Soien n⩾1 e ξ∈R×. On no e Hn=HR(n, ξ) la R-alg`eb e de Hecke a ine engend ´ee pa
les symboles S1,...,Sn−1e X1,...,Xne leu s in e ses (X1)−1,...,(Xn)−1a ec les ela ions :
(Si+ 1)(Si−ξ) = 0, i ∈ {1,...n−1},(4.1)
SiSj= SjSi,|i−j|⩾2,(4.2)
SiSi+1Si= Si+1SiSi+1, i ∈ {1,...n−2},(4.3)
XiXj= XjXi, i, j ∈ {1,...,n},(4.4)
XjSi= SiXj, i /∈ {j, j −1},(4.5)
SiXiSi=ξXi+1, i ∈ {1,...,n−1},(4.6)
auxquelles s’ajou en les ela ions Xj(Xj)−1= (Xj)−1Xj= 1 pou j∈ {1,...,n}.
Comp e enu de ces ela ions, on peu d´e ini deux amilles de ca ac `e es de Hn.
D´e ini ion 4.1. — Soien a, b ∈Z els que a⩽b, e soi n=b−a+ 1.
(1) On no e Z(a, b) le ca ac `e e de Hnd´e ini pa :
Si7→ ξ, i ∈ {1,...,n−1},Xj7→ ξa+j−1, j ∈ {1,...,n}.
(2) On no e L(a, b) le ca ac `e e de Hnd´e ini pa :
Si7→ −1, i ∈ {1,...,n−1},Xj7→ ξb−j+1, j ∈ {1,...,n}.
Soi α= (n1,...,n ) une amille d’en ie s ⩾1 de somme n. No ons Hαla sous-alg`eb e de
Hnengend ´ee pa les Xie leu s in e ses e les Sia ec idi ´e en de n1+···+nkpou ou
k∈ {1,..., }. Elle es canoniquemen isomo phe `a Hn1⊗···⊗Hn .
Exemple 4.2. — Dans le cas o`u α= (1,...,1), la sous-alg`eb e H(1,...,1) es commu a i e e
´egale `a R[X±1
1,...,X±1
n]. On no e :
(4.7) I(a, b)
le Hn-module des H(1,...,1)-homomo phismes de Hndans la es ic ion de Z(a, b) `a H(1,...,1).
Les ca ac `e es Z(a, b), L(a, b) appa aissen espec i emen comme sous-module e quo ien de
I(a, b), ous deux a ec mul iplici ´e 1.
On no e Zn=ZR(n, ξ) le cen e de Hn. C’es la sous-alg`eb e de R[X±1
1,...,X±1
n] cons i u´ee
des ´el´emen s in a ian s sous l’ac ion du g oupe sym´e ique Snsu les Xi.
D´e ini ion 4.3. — Le ca ac `e e cen al d’un Hn-module i ´educ ible es le ca ac `e e de Znpa
lequel celui-ci agi su ce module.
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 21
Le ca ac `e e cen al d’un Hn-module i ´educ ible es ca ac ´e is´e pa nscalai es non nuls e non
o donn´es, c’es -`a-di e pa un mul i-ensemble de longueu ndans N(R×). On a une applica ion :
cen : I (Hn)→N(R×)
su jec i e e `a ib es inies, associan `a un Hn-module i ´educ ible son ca ac `e e cen al.
Le ca ac `e e cen al joue pou les modules un ˆole analogue `a celui du suppo cuspidal pou
les ep ´esen a ions. Pou un Ξ ∈N(R×) de longueu n, on no e I (Hn,Ξ) l’ensemble des classes
d’isomo phisme de Hn-modules i ´educ ibles de ca ac `e e cen al Ξ.
Th´eo `eme 4.4. — Soi ⩾1un en ie e soien z1,...,z ∈R× els que zi/zj/∈ξZpou ous
i6=j. Pou chaque i, soi ni⩾1un en ie e soi Ξi∈N(ziξZ). On no e Ξla somme des Ξi,
qu’on suppose de longueu n, e on pose α= (n1,...,n ).
(1) Pou chaque i, soi mi∈I (Hni,Ξi). Alo s HomHα(Hn,m1⊗···⊗m )es un Hn-module
i ´educ ible de ca ac `e e cen al Ξ.
(2) L’applica ion ainsi d´e inie :
I (Hn1,Ξ1)×···×I (Hn ,Ξ )→I (Hn,Ξ)
es bijec i e.
D´emons a ion. — La m´e hode de Rogawski [30, 4.1] es enco e alable ici.
4.2. L’alg`eb e de Hecke-Iwaho i
On appelle que qd´esigne le ca dinal du co ps ´esiduel de F ; on no e ξson image dans R. Soi
n⩾1 un en ie e soi I le sous-g oupe d’Iwaho i s anda d de G = GLn(F). On no e e1,...,en
les ec eu s de la base canonique du F-espace ec o iel Fn.
Pou i∈ {1,...,n−1}, on no e sila ma ice de pe mu a ion ansposan eie ei+1 e laissan
in a ian s les au es ec eu s de la base, e on no e Sila onc ion ca ac ´e is ique de IsiI.
Pou j∈ {0,...,n}, on no e jla ma ice diagonale de G agissan pa ek7→ ekpou chaque
k∈ {1,...,j}e laissan in a ian s les au es ec eu s de la base, e Tjla onc ion ca ac ´e is ique
de I jI, qui es in e sible. Pou ou j∈ {1,...,n}, on pose :
Xj=ξ−j+(n+1)/2Tj−1(Tj)−1.
Alo s les ´el´emen s S1,...,Sn−1e X1,...,Xne leu s in e ses (X1)−1,...,(Xn)−1engend en
l’alg`eb e HR(G,I) des onc ions de G dans R `a suppo compac e bi-in a ian es pa I, a ec les
ela ions (4.1) `a (4.6) ci-dessus. On a ainsi un isomo phisme :
Υ : HR(G,I) →HR(n, ξ) = Hn
de R-alg`eb es.
Rema que 4.5. — La desc ip ion pa g´en´e a eu s e ela ions ci-dessus se d´edui de celle
donn´ee dans [29] en appliquan l’in olu ion ♭de HR(G,I) d´e inie pa :
S♭
i= Sn−i, i ∈ {1,...,n−1},X♭
j= X−1
n+1−j, j ∈ {1,...,n}.
Soi α= (n1,...,n ) une amille d’en ie s ⩾1 de somme ´egale `a n. L’in e sec ion I ∩Mαes
le sous-g oupe d’Iwaho i s anda d du sous-g oupe de Le i Mα. L’alg`eb e HR(Mα,I∩Mα) a des
g´en´e a eu s :
Si,j,Xi,k,(Xi,k)−1, i ∈ {1,..., }, j ∈ {1,...,ni−1}, k ∈ {1,...,ni},

22 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
e on a un isomo phisme de R-alg`eb es :
Υα:HR(Mα,I∩Mα)→HR(n1, ξ)⊗···⊗HR(n , ξ) = Hα.
Il exis e un unique mo phisme de R-alg`eb es jαde HR(Mα,I∩Mα) dans HR(G,I) el que :
jα(Si,j) = Sn1+···+ni−1+j, jα(Xi,k) = Xn1+···+ni−1+k,
pou i∈ {1,..., },j∈ {1,...,ni−1},k∈ {1,...,ni}, e le mo phisme compos´e Υ ◦jαes ´egal
`a Υα.
4.3. Classi ica ion des modules i ´educ ibles
Rappelons que ξd´esigne l’image de qdans R. Si R es de ca ac ´e is ique non nulle, on no e
ele plus pe i en ie ⩾1 el que :
1 + ξ+···+ξe−1= 0
dans R. Sinon, on pose e= +∞.
D´e ini ion 4.6. — (1) Un segmen es une sui e inie de la o me :
[a, b] = (ξa, ξa+1,...,ξb)
o`u a, b ∈Zson des en ie s els que a⩽b.
(2) Un mul isegmen es un mul i-ensemble de segmen s.
Si mes ini, un mul isegmen es di ap´e iodique s’il ne con ien aucun mul isegmen de la
o me :
[a, b] + [a+ 1, b + 1] + ···+ [a+e−1, b +e−1].
Si e= +∞, on con ien que ou mul isegmen es ap´e iodique. D´esignons pa Ψ l’ensemble des
mul isegmen s ap´e iodiques. ´
E an donn´e un mul isegmen ap´e iodique :
ψ= [a1, b1] + ···+ [a , b ]∈Ψ,
on no e supp(ψ) la somme o melle des [ξj]pou i∈ {1,..., }e j∈ {ai,...,bi}, qu’on appelle le
suppo de ψ.´
E an donn´e Ξ ∈N(ξZ), on no e Ψ(Ξ) l’ensemble des mul isegmen s ap´e iodiques
de suppo Ξ.
Rema que 4.7. — On suppose que R es de ca ac ´e is ique ℓnon nulle e que ξ au 1. Un
mul isegmen s’iden i ie `a une pa i ion e Ψ `a l’ensemble des pa i ions ℓ- ´eguli`e es.
Le h´eo `eme sui an donne la classi ica ion des Hn-modules i ´educ ibles en e mes de mul i-
segmen s ap´e iodiques.
Th´eo `eme 4.8. — Il exis e une bijec ion :
ψ7→ Zψ
en e les mul isegmen s ap´e iodiques de longueu ne les classes d’isomo phisme de Hn-modules
i ´educ ibles `a ca ac `e e cen al dans N(ξZ) elle que le ca ac `e e cen al de Zψsoi supp(ψ).
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 23
D´emons a ion. — Si R es de ca ac ´e is ique 0, le ´esul a es une cons´equence de la classi ica-
ion de Zele inski [39] ( oi aussi Rogawski [30]).
Si R es de ca ac ´e is ique ℓnon nulle e si ξ6= 1, il es dˆu `a A iki e Ma has [3, Theo em B]
e s’appuie su [1] e les a aux de Ch iss-Ginzbu g [11].
Si R es de ca ac ´e is ique ℓnon nulle e si ξ= 1, alo s Ψ es ( ema que 4.7) l’ensemble des
pa i ions ℓ- ´eguli`e es. D’ap `es Ma has [24, Theo em 3.7], il exis e une bijec ion en e pa i ions
ℓ- ´eguli`e es de ne classes de H-modules i ´educ ibles de ca ac `e e cen al [1]+···+[1]=n·[1].
(Ma has u ilise la no ion de pa i ion ℓ- es ein e ; on se am`ene `a celle de pa i ion ℓ- ´eguli`e e
pa conjugaison.)
On en i e le co ollai e sui an .
Co ollai e 4.9. — Pou Ξ∈N(ξZ)de longueu n, les ensembles inis Ψ(Ξ) e I (Hn,Ξ) on
le mˆeme ca dinal.
5. Rappels su les ep ´esen a ions cuspidales
Dans ce e sec ion, on appelle ce ains ´esul a s ob enus dans [26] don nous au ons besoin
pa la sui e. Dans le pa ag aphe 5.1, on appelle un peu du ocabulai e de la h´eo ie des ypes
qui nous se a n´ecessai e. Dans le pa ag aphe 5.2, on appelle la d´e ini ion de ce ains in a ian s
associ´es `a une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale. Dans le pa ag aphe 5.3, on appelle les
p incipales p op i´e ´es du onc eu Kd´e ini e ´e udi´e dans [26,§5].
5.1. Types simples maximaux
Soien m⩾1 un en ie e G = Gm. Dans [26], nous p ou ons que ou e ep ´esen a ion i ´e-
duc ible cuspidale de G s’ob ien pa induc ion compac e d’une ep ´esen a ion i ´educ ible d’un
sous-g oupe ou e compac modulo le cen e de G (ibid., h´eo `eme 3.11). Plus p ´ecis´emen ,
nous cons uisons une amille de pai es (J, λ) o m´ees d’un sous-g oupe ou e compac J de G
e d’une ep ´esen a ion i ´educ ible λde J poss´edan les p op i´e ´es sui an es :
(1) pou ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρde G, il exis e une pai e (J, λ), unique
`a conjugaison p `es, elle que la es ic ion de ρ`a J ai une sous- ep ´esen a ion isomo phe `a λ;
(2) deux ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de G con iennen une mˆeme pai e (J, λ) si
e seulemen si elles son ine iellemen ´equi alen es ;
(3) ´e an donn´es une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρde G e une pai e (J, λ) con enue
dans ρ, il exis e une unique ep ´esen a ion i ´educ ible p olongean λ`a son no malisa eu don
l’indui e compac e `a G soi isomo phe `a ρ.
De elles pai es son appel´ees des ypes simples maximaux de G. Leu cons uc ion es echnique
e implique de nomb eux pa am`e es. Nous en oyons `a [26] pou un expos´e d´e aill´e, que nous
´esumons ci-dessous. ´
E an donn´e un ype simple maximal (J, λ) de G, il lui co espond :
(1) des sous-g oupes ou e s dis ingu´es H1⊆J1de J ;
(2) un ca ac `e e θde H1, appel´e ca ac `e e simple ;
(3) une ex ension inie E de F con enue dans Mm(D) ;
(4) un en ie m′⩾1 e une ex ension inie kde kE.
Ces obje s poss`eden les p op i´e ´es sui an es :
(1) le cen alisa eu de E dans J es un sous-g oupe compac maximal du cen alisa eu de E
dans G ;
24 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
(2) le quo ien J/J1es isomo phe au g oupe GLm′(k) ;
(3) la ep ´esen a ion λse d´ecompose sous la o me κ⊗σ, o`u σes une ep ´esen a ion i ´educ-
ible de J i iale su J1s’iden i ian `a une ep ´esen a ion cuspidale de GLm′(k), e o`u κes une
ep ´esen a ion i ´educ ible de J don la es ic ion `a J1es l’unique ep ´esen a ion i ´educ ible
de J1don la es ic ion `a H1con ien θ.
(4) la ep ´esen a ion κn’es pas unique — elle ne l’es qu’`a o sion p `es pa un ca ac `e e de
J i ial su J1— mais elle peu ˆe e choisie de a¸con `a a oi le mˆeme ensemble d’en elacemen
que θdans G, auquel cas on di que c’es une β-ex ension de θ.
5.2. In a ian s associ´es `a une ep ´esen a ion cuspidale
Dans [26], on associe `a ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρde G un ca ac `e e non
ami i´e νρde G e des en ie s n(ρ), (ρ), q(ρ), o(ρ), b(ρ), s(ρ) (ibid., 3.4,4.5) qui ne d´ependen
que de la classe d’ine ie de ρ. Rappelons que :
n(ρ) = nomb e de χ: G →R×non ami i´es els que ρχ ≃ρ,(5.1)
(ρ) = md/e(E/F), e(E/F) = indice de ami ica ion de E/F,(5.2)
q(ρ) = q (ρ)= ca dinal d’une ex ension de deg ´e m′de k,(5.3)
o(ρ) = o d e (´e en uellemen in ini) de q(ρ) dans R×.(5.4)
Puis, si (J, κ ⊗σ) es un ype simple maximal de G con enu dans ρ, alo s :
b(ρ) = ca dinal de la Gal(k/kE)-o bi e de σ,(5.5)
s(ρ) = o d e du s abilisa eu de σdans Gal(k/kE),(5.6)
νρ=νs(ρ).(5.7)
Rappelons ( oi [26, 4.5]) la p op i´e ´e impo an e sui an e du ca ac `e e non ami i´e νρ.
P oposi ion 5.1. — Soi ρ′une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gm′,m′⩾1. Alo s
l’indui e ρ×ρ′es ´educ ible si e seulemen si m′=me ρ′es isomo phe `a ρνρou ρν−1
ρ.
On pose main enan :
(5.8) Zρ={[ρνi
ρ]|i∈Z}.
Si R es de ca ac ´e is ique ℓnon nulle, on no e :
(5.9) e(ρ)
le plus pe i k⩾1 el que 1+ q(ρ) + ···+q(ρ)k−1soi cong u `a 0 modulo ℓ. Il au ℓsi o(ρ) = 1,
e il au o(ρ) sinon. Si R es de ca ac ´e is ique nulle, on con ien que e(ρ) = o(ρ) = +∞.
Rema que 5.2. — L’en ie e(ρ) es ´egal `a l’en ie e(σ) d´e ini `a la ema que 3.6.
On a la p op i´e ´e impo an e sui an e.
Lemme 5.3 ([26], lemme 4.41). — On a o(ρ) = ca d Zρ.
En in, on associe `a ρune endo-classe :
Θρ
qui es l’endo-classe commune aux ca ac `e es simples con enus dans ρ. Ce p ocessus es d´ec i
dans [10, 9.2] pou les ep ´esen a ions complexes e onc ionne de a¸con similai e pou les e-
p ´esen a ions modulai es.
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 25
No ons indG
J(λ) l’indui e compac e de λ`a G.
P oposi ion 5.4. — Pou ou n⩾1, il y a un isomo phisme canonique de R-alg`eb es :
(5.10) Ψρ,n :HR(n, q(ρ)) →EndG(indG
J(λ)×···×indG
J(λ))
o`u indG
J(λ)es ´ep´e ´e n ois.
D´emons a ion. — Voi le pa ag aphe 4.2 e [26, P oposi ion 4.30].
Rema que 5.5. — Ces deux alg`eb es ne d´ependen que de la classe d’ine ie de ρ, mais ce n’es
pas ai de l’isomo phisme Ψρ,n en e les deux, qui d´epend de ρ.
Rema que 5.6. — Soi J♯le no malisa eu de J dans G. D’ap `es [26, 3.1], il exis e une unique
ep ´esen a ion λ♯de J♯p olongean λe don l’indui e `a G soi isomo phe `a ρ. Alo s Ψρ,1es
l’isomo phisme de R[X,X−1] dans EndG(indG
J(λ)) el que Ψρ,1(X) co espond pa ´ecip oci ´e de
F obenius au J-homomo phisme de λdans l’indui e de λ`a G d´e ini pa :
( )(g) = λ♯(g) si g∈J♯,
0 sinon,
pou dans l’espace de λe pou g∈G. Pou n⩾1, l’isomo phisme Ψρ,n es ca ac ´e is´e pa
une condi ion de compa ibili ´e `a l’induc ion ( oi [26, 4.4]).
Do ´ena an , les deux alg`eb es de (5.10) se on iden i i´ees. Pou ou en ie n⩾1, on no e
Ωρ,n la classe ine ielle de n·[ρ]=[ρ]+···+[ρ]. On appelle que I (Ωρ,n)⋆es l’ensemble des
classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles don le suppo cuspidal es dans Ωρ,n.
P oposi ion 5.7 ([26],§4.4). — On a une bijec ion :
ξρ,n : I (Ωρ,n)⋆→ {classes d’isomo phisme de H(n, q(ρ))-modules simples}.
Fixons une ex ension inie F′/F comme dans [26, 4.4]. En pa iculie , son co ps ´esiduel es
de ca dinal q(ρ). Si l’on applique ce qui p ´ec`ede au ca ac `e e i ial de F′×, on ob ien pou ou
en ie n⩾1 une bijec ion ξ1F′× ,n en e I (Ω1F′× ,n)⋆e l’ensemble des classes d’isomo phisme
de H(n, q(ρ))-modules simples. La compos´ee :
(5.11) Φρ,n =ξ−1
1F′× ,n ◦ξρ,n : I (Ωρ,n)⋆→I (Ω1F′× ,n)⋆
es une bijec ion en e les ensembles I (Ωρ,n)⋆e I (Ω1F′× ,n)⋆compa ible au suppo cuspidal
d’ap `es [26, P oposi ion 4.33].
Th´eo `eme 5.8 ([26], h´eo `eme 4.18). — Soien ⩾1un en ie e ρ1,...,ρ des ep ´esen a-
ions i ´educ ibles cuspidales deux `a deux non ine iellemen ´equi alen es. Pou chaque en ie
i∈ {1,..., }, on ixe un suppo cuspidal si o m´e de ep ´esen a ions ine iellemen ´equi alen es
`a ρi.
(1) Pou chaque en ie i, soi πiune ep ´esen a ion i ´educ ible de suppo cuspidal si. Alo s
l’indui e π1×···×π es i ´educ ible.
(2) Soi πune ep ´esen a ion i ´educ ible de suppo cuspidal s1+···+s . Alo s il exis e des
ep ´esen a ions π1,...,π , uniques `a isomo phisme p `es, elles que πisoi de suppo cuspidal
sipou chaque ie elles que π1×···×π soi isomo phe `a π.
Le ´esul a sui an a ine le h´eo `eme 5.8. Soien m, m′⩾1 des en ie s.
32 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
D´emons a ion. — On peu suppose que les sous-g oupes de Le i son s anda ds, c’es -`a-di e
que M = Mαe M′= Mα′o`u αe α′son chacunes des amilles d’en ie s de somme m, e on
´ec i =ρ1⊗ ··· ⊗ ρne ′=ρ′
1⊗ ··· ⊗ ρ′
n′. Soi πun sous-quo ien i ´educ ible commun.
En ixan une amille d’en ie s γde somme m elle que γ(π) soi cuspidale e en appliquan
le lemme g´eom´e ique, on se am`ene au cas o`u πes cuspidale. En aisonnan comme dans la
p eu e du lemme 6.1, on oi que ρ1,...,ρnson ine iellemen ´equi alen es e on ou es la
mˆeme endo-classe que π. D’ap `es la p oposi ion 5.12, don on ep end les no a ions, on a :
K(ρ1×···×ρn) = M
(i1,...,in)
σφi1
1×···×σφin
n
e on peu mˆeme suppose que σ1=···=σn=σca ρ1,...,ρnson ine iellemen ´equi alen es.
De a¸con analogue, ρ′
1,...,ρ′
n′son ine iellemen ´equi alen es e on ou es la mˆeme endo-classe
que π, e on a :
K(ρ′
1×···×ρ′
n′) = M
(i′
1,...,i′
n′)
σ′φi′
1×···×σ′φi′
n′
o`u chaque ρ′
jcon ien un ype simple maximal de la o me (J′, κ′⊗σ′). Il exis e donc des en ie s
i1,...,ine i′
1,...,i′
n′ els que :
σφi1×···×σφine σ′φi′
1×···×σ′φi′
n′
on un sous-quo ien i ´educ ible en commun. D’ap `es la p oposi ion 6.10, les ep ´esen a ions
σe σ′son supe cuspidales. De l’unici ´e du suppo supe cuspidal pou les ep ´esen a ions
i ´educ ibles de ¯
G ( oi le pa ag aphe 3.1) on d´edui que n=n′e que :
[σφi1]+···+[σφin]=[σ′φi′
1]+···+[σ′φi′
n].
Qui e `a ´eo donne ρ1,...,ρn(c’es -`a-di e, `a conjugue ), on peu suppose que :
[σφij]=[σ′φi′
j], j = 1,...,n.
Puisque σe σ′on mˆeme deg ´e e que ρje ρ′
jon la mˆeme endo-classe, on a deg(ρj) = deg(ρ′
j).
On d´edui de [26, Co ollai e 5.5] que ρje ρ′
json ine iellemen ´equi alen es. Ainsi les pai es
supe cuspidales (M, ) e (M′, ′) son ine iellemen ´equi alen es.
`
A l’aide de la p oposi ion 6.17, on p ou e une a ian e ine ielle du h´eo `eme 5.8. On u ilise
les no a ions du pa ag aphe 2.1.3. Si ρes une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale, on no e Ωρ
sa classe d’ine ie.
Th´eo `eme 6.18. — Soi ⩾1un en ie e soien ρ1,...,ρ des ep ´esen a ions i ´educ ibles
supe cuspidales deux `a deux non ine iellemen ´equi alen es. Pou chaque en ie i∈ {1,..., },
soi une classe ine ielle Ωi⊆N(Ωρi)de Gmi,mi⩾1, e soi Ωla classe ine ielle de Gm, a ec
m=m1+···+m , d´e inie pa Ω1,...,Ω .
(1) Pou chaque en ie i∈ {1,..., }, soi πi∈I (Ωi)une ep ´esen a ion i ´educ ible. Alo s
l’indui e π1×···×π es i ´educ ible.
(2) L’applica ion :
(π1,...,π )→π1×···×π
indui une bijec ion de I (Ω1)×···×I (Ω )dans I (Ω).

REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 33
D´emons a ion. — D´ecomposons chaque ep ´esen a ion πisous la o me πi=πi,1×πi,2×...
donn´ee pa le h´eo `eme 5.8. Supposons qu’il exis e deux couples (i, j)6= (i′, j′) els qu’un e me
[ρi,j]de cusp(πi,j) soi ine iellemen in´equi alen `a un e me [ρi′,j′]de cusp(πi′,j′). Alo s on
ai6=i′. En appliquan un onc eu de Jacque con enable, on ai appa aˆı e que ρi,j es un
sous-quo ien i ´educ ible d’une indui e d’un ´el´emen de N(Ωρi) e que ρi′,j′es un sous-quo ien
i ´educ ible d’une indui e d’un ´el´emen de N(Ωρi′). D’ap `es la p oposi ion 6.17, cela en aˆıne que
ρie ρi′son ine iellemen ´equi alen es, ce qui donne une con adic ion puisque i6=i′. Le poin
(1) es alo s une cons´equence du h´eo `eme 5.8(1). Le poin (2) s’ob ien pa un appau issemen
du h´eo `eme 5.8(2).
7. La h´eo ie des segmen s
Dans ce e sec ion, on d´e ini la no ion de segmen (§7.1), puis on associe `a ou segmen deux
ep ´esen a ions i ´educ ibles, don on ´e udie les p op i´e ´es (§7.2). On mon e ensui e ( h´eo `eme
7.24) que la ep ´esen a ion indui e `a pa i de ep ´esen a ions associ´ees `a des segmen s non li´es
(d´e ini ion 7.3) es i ´educ ible.
7.1. Segmen s
Soi un en ie m⩾1, e soi ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gm.
D´e ini ion 7.1. — Un segmen es une sui e inie de la o me :
(7.1) [a, b]ρ= (ρνa
ρ, ρνa+1
ρ,...,ρνb
ρ),
o`u a, b ∈Zson des en ie s els que a⩽b.
Le segmen [a, b]ρpeu ˆe e in e p ´e ´e comme la pai e cuspidale :
(7.2) (M(m,...,m), ρνa
ρ⊗ρνa+1
ρ⊗···⊗ρνb
ρ),
o`u M(m,...,m)es le sous-g oupe de Le i s anda d de Gm(b−a+1) co espondan `a la amille d’en-
ie s (m,...,m).
D´e ini ion 7.2. — Deux segmen s [a, b]ρe [a′, b′]ρ′son ´equi alen s s’ils on la mˆeme longueu
ne si [ρνa+i
ρ]=[ρ′νa′+i
ρ′]pou ou i∈ {0,...,n−1}.
Si c’es le cas, on oi que ρ′es ine iellemen ´equi alen `a ρ, ce qui implique νρ′=νρ. Pa
cons´equen , pou que deux segmen s soien ´equi alen s, il su i qu’ils aien la mˆeme longueu e
que leu s ex ´emi ´es ini iales ρνa
ρe ρ′νa′
ρ′soien isomo phes.
Si ∆ = [a, b]ρes un segmen , on pose :
n(∆) = b−a+ 1,(7.3)
deg(∆) = n(∆)m,(7.4)
supp(∆) = [ρνa
ρ]+[ρνa+1
ρ]+···+[ρνb
ρ],(7.5)
qu’on appelle espec i emen la longueu , le deg ´e e le suppo de ∆. Celui-ci es ´egal `a la
classe de Gdeg(∆)-conjugaison de la pai e cuspidale (7.2) associ´ee `a ∆. On no e aussi :
a(∆) = ρνa
ρ,(7.6)
b(∆) = ρνb
ρ,(7.7)
34 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
les ex ´emi ´es ini iale e inale de ∆, e on no e :
(7.8) ∆∨= [−b, −a]ρ∨
le segmen con ag ´edien de ∆. Si a+ 1 ⩽b, on pose :
−∆ = [a+ 1, b]ρ,(7.9)
∆−= [a, b −1]ρ.(7.10)
Les d´e ini ions sui an es g´en´e alisen celles de Zele inski [39, 4.1]. Rema quons qu’elles di `e en
de celles de Vign´e as [34, V.3].
D´e ini ion 7.3. — Soien ∆ = [a, b]ρe ∆′= [a′, b′]ρ′des segmen s.
(1) On di que ∆ p ´ec`ede ∆′si l’on peu ex ai e de la sui e :
(ρνa
ρ,...,ρνb
ρ, ρ′νa′
ρ′,...,ρ′νb′
ρ′)
une sous-sui e qui soi un segmen de longueu s ic emen sup´e ieu e `a n(∆) e n(∆′).
(2) On di que ∆ e ∆′son li´es si ∆ p ´ec`ede ∆′ou si ∆′p ´ec`ede ∆.
Ces condi ions son adui es en e mes combina oi es en [28, Lemme 3.4 e Co ollai e 3.6]
Rema que 7.4. — Soien ∆ e ∆′des segmen s. Les p op i´e ´es sui an es d´ecoulen di ec e-
men des d´e ini ions :
(1) On suppose que ∆ e ∆′ne son pas li´es, que n(∆) ⩾n(∆′) e que b(∆) e b(∆′) ne son
pas isomo phes. Alo s b(∆) n’appa aˆı pas dans ∆′. Ce e p op i´e ´e se a u ilis´ee dans la p eu e
du h´eo `eme 7.24.
(2) On suppose que ∆ e ∆′ne son pas li´es e que n(∆) ⩾n(∆′). Alo s ∆ e −∆′ne son
pas li´es. Ce e p op i´e ´e se a u ilis´ee dans la p eu e de la p oposi ion 7.27.
7.2. Rep ´esen a ions associ´ees `a un segmen
Soi ρune ep ´esen a ion cuspidale de Gm, e soi ∆ = [a, b]ρun segmen . On pose :
(7.11) Π(∆) = ρνa
ρ×···×ρνb
ρ
e n=b−a+ 1. On en oie aux no a ions du pa ag aphe 5.2. On pose G = Gmn e on no e H
l’alg`eb e de Hecke-Iwaho i H(n, q(ρ)). D’ap `es la p oposi ion 5.7, on a une bijec ion ξρ,n en e
I (Ωρ,n)⋆e l’ensemble des classes d’isomo phisme de H-modules simples. Comp e enu de la
d´e ini ion du H-module I(a, b) en (4.7) e de [26, Co ollai e 4.38], elle indui des bijec ions :
(1) en e sous- ep ´esen a ions i ´educ ibles de Π(∆) e sous-modules simples de I(a, b) ;
(2) en e quo ien s i ´educ ibles de Π(∆) e quo ien s simples de I(a, b).
De ceci on i e la d´e ini ion sui an e, qui associe au segmen ∆ deux ep ´esen a ions i ´educ ibles
Z(∆) e L(∆) de G ( oi la d´e ini ion 4.1 pou les no a ions).
D´e ini ion 7.5. — (1) La ep ´esen a ion Π(∆) poss`ede une unique sous- ep ´esen a ion i -
´educ ible, no ´ee Z(∆), elle que ξρ,n(Z(∆)) soi le ca ac `e e Z(a, b).
(2) Π(∆) poss`ede un unique quo ien i ´educ ible, no ´e L(∆), el que ξρ,n(L(∆)) soi le ca ac-
`e e L(a, b).
Rema que 7.6. — (1) Les ep ´esen a ions Z(∆) e L(∆) peu en ˆe e de mul iplici ´e ⩾2
comme sous-quo ien s de Π(∆).
(2) Les ep ´esen a ions Z(∆) e L(∆) son cuspidales si e seulemen si n(∆) = 1.
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 35
(3) La p oposi ion 7.17 donne, dans le cas o`u o(ρ)6= 1, une d´e ini ion de Z(∆) e de L(∆)
n’u ilisan pas la h´eo ie des ypes, c’es -`a-di e n’u ilisan pas ξρ,n.
Rema que 7.7. — On suppose que R es le co ps des nomb es complexes.
(1) La ep ´esen a ion Z(∆) es la ep ´esen a ion no ´ee de la mˆeme a¸con dans [33]. Si en
ou e D = F, c’es la ep ´esen a ion no ´ee h∆idans [39] e [34].
(2) La ep ´esen a ion L(∆) es la ep ´esen a ion no ´ee de la mˆeme a¸con dans [33]. Si en
ou e D = F, c’es la ep ´esen a ion no ´ee h∆i dans [39].
Le ´esul a sui an se a u ile au pa ag aphe 7.3.
P oposi ion 7.8. — Les ep ´esen a ions Z(∆) e L(∆) son isomo phes si e seulemen si R
es de ca ac ´e is ique non nulle ℓe si q(ρ)e (−1)nson cong us `a −1modulo ℓ, c’es -`a-di e
que, ou bien q(ρ)es cong u `a −1modulo ℓe nes impai , ou bien ℓ= 2.
D´emons a ion. — Ces ep ´esen a ions son isomo phes si e seulemen si les ca ac `e es Z(a, b)
e L(a, b) son ´egaux. Le ´esul a es une cons´equence de la d´e ini ion 4.1.
Rema que 7.9. — `
A no e que, dans ce cas, les ep ´esen a ions Z(∆) e L(∆) son isomo phes
mais pas o c´emen ´egales comme sous-quo ien s de Π(∆).
Le ´esul a sui an es une cons´equence de la d´e ini ion de Z(∆). Il se a u ile au pa ag aphe
7.3 e dans la sec ion 9.
P oposi ion 7.10. — Soi Φρ,n la bijec ion d´e inie pa (5.11). Alo s on a :
Φρ,n(Z([a, b]ρ)) = Z([a, b]1F′× ).
On a main enan calcule les modules de Jacque des ep ´esen a ions Z(∆) e L(∆). Pou ¸ca,
on u ilise les no a ions des pa ag aphes 3.1 e 3.3, auxquels on en oie le lec eu . On appelle
que I (Ωρ,n) es l’ensemble des classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles qui son sous-quo ien s
i ´educ ibles d’une indui e de la o me ρχ1× ··· × ρχn, o`u χ1,...,χnson des ca ac `e es non
ami i´es de Gm. Comp e enu de (5.14), on in odui la d´e ini ion sui an e.
D´e ini ion 7.11. — Pou ou π∈I (Ωρ,n), on no e Sn(π) la plus g ande sous- ep ´esen a ion
de [Kn(π)](dans le g oupe de G o hendieck de GLm′n(k)) con enue dans [σ×···×σ].
Rema que 7.12. — Si D = F, alo s Sn(π) es simplemen la semisimpli i´ee de Kn(π).
Ceci d´e ini pa lin´ea i ´e un mo phisme de Z-modules :
(7.12) Sn:Z(I (Ωρ,n)) →G(GLm′n(k)) ⊆G.
Si α= (n1,...,n ) es une amille d’en ie s ⩾1 de somme n, on d´e ini Sαde a¸con analogue `a
pa i de Kα. On a les p op i´e ´es sui an es.
P oposi ion 7.13. — (1) Si χ1,...,χnson des ca ac `e es non ami i´es de G, alo s on a :
(7.13) Sn(ρχ1×···×ρχn) = σ×···×σ
dans G.
(2) Si π1,...,π son des ep ´esen a ions de I (Ωρ,n1),...,I (Ωρ,n ) espec i emen , on a :
Sn(π1×···×π ) = Sn1(π1)×···×Sn (π )
dans G.
36 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
(3) Si πes dans I (Ωρ,n), on a :
Sn(π)¯
N(m′n1,...,m′n )=Sα( (mn1,...,mn )(π))
dans G(¯
M(m′n1,...,m′n )).
On commence pa ai e le cas d’un sous-g oupe pa abolique minimal.
Lemme 7.14. — On a :
(m,...,m)(Z([a, b]ρ)) = ρνa
ρ⊗···⊗ρνb
ρ,(7.14)
(m,...,m)(L([a, b]ρ)) = ρνb
ρ⊗···⊗ρνa
ρ,(7.15)
−
(m,...,m)(Z([a, b]ρ)) = ρνb
ρ⊗···⊗ρνa
ρ,(7.16)
−
(m,...,m)(L([a, b]ρ)) = ρνa
ρ⊗···⊗ρνb
ρ.(7.17)
D´emons a ion. — Nous p ou ons la p emi`e e asse ion ; la seconde se p ou e de a¸con analogue
e les deux de ni`e es se d´eduisen des deux p emi`e es pa conjugaison. On pose Z = Z([a, b]ρ).
Pa ´ecip oci ´e de F obenius, on a un mo phisme su jec i :
(m,...,m)(Z) →ρνa
ρ⊗···⊗ρνb
ρ.
D’ap `es le lemme g´eom´e ique e la d´e ini ion de Z, le memb e de gauche es compos´e de sous-
quo ien s i ´educ ibles de la o me ρχ1⊗···⊗ρχno`u χ1...,χnson des ca ac `e es non ami i´es
de Gm. D’ap `es la p oposi ion 5.11 pa exemple, aucun de ces sous-quo ien s n’es annul´e pa
le onc eu K(1,...,1). D’ap `es la p oposi ion 5.13, on a :
(7.18) K(1,...,1)( (m,...,m)(Z)) ≃Kn(Z)¯
N(m′,...,m′).
D’ap `es (5.14), Kn(Z) es une sous- ep ´esen a ion de :
(7.19) Kn(ρνa
ρ×···×ρνb
ρ)≃M
(i1,...,in)
σφi1×···×σφin,
o`u i1,...,in a ien en e 1 e b(ρ). Le memb e de d oi e de (7.18) es donc une sous- ep ´esen-
a ion de la somme di ec e inie :
n!·M
(i1,...,in)
σφi1⊗···⊗σφin,
o`u n! es une mul iplici ´e. On en d´edui que :
(7.20) S(1,...,1)( (m,...,m)(Z)) = Sn(Z)¯
N(m′,...,m′)
es une somme di ec e inie de copies de σ⊗···⊗σ. On u ilise main enan la R-alg`eb e H(σ, n)
d´e inie au pa ag aphe 3.3. D’ap `es [26, P oposi ion 5.17], le H(σ, n)-module :
Hom¯
G(σ×···×σ, Kn(Z)) ≃Hom ¯
M(m′,...,m′)(σ⊗···⊗σ, Kn(Z)¯
N(m′,...,m′))
es de dimension 1. On en d´edui que la ep ´esen a ion (7.20) es isomo phe `a σ⊗···⊗σ. Comme
(7.20) e (m,...,m)(Z) on la mˆeme longueu , ce e de ni`e e es i ´educ ible, donc isomo phe `a
ρνa
ρ⊗···⊗ρνb
ρ.
Rema que 7.15. — On en d´edui que Z(∆) es aussi un quo ien de ρνb
ρ× ··· × ρνa
ρe que
L(∆) es aussi une sous- ep ´esen a ion de ρνb
ρ×···×ρνa
ρ.
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 37
P oposi ion 7.16. — On a les p op i´e ´es sui an es.
(1) Si kes un en ie el que a < k ⩽b, alo s :
((k−a)m,(b−k+1)m)(Z([a, b]ρ)) = Z([a, k −1]ρ)⊗Z([k, b]ρ),
((b−k+1)m,(k−a)m)(L([a, b]ρ)) = L([k, b]ρ)⊗L([a, k −1]ρ).
(2) Si kes un en ie el que a < k ⩽b, alo s :
−
((b−k+1)m,(k−a)m)(Z([a, b]ρ)) = Z([k, b]ρ)⊗Z([a, k −1]ρ),
−
((k−a)m,(b−k+1)m)(L([a, b]ρ)) = L([a, k −1]ρ)⊗L([k, b]ρ).
D´emons a ion. — D’ap `es [26, P oposi ions 4.5 e 4.20], la bijec ion ξρ,n indui une bijec ion
en e sous- ep ´esen a ions i ´educ ibles de Z([a, k−1]ρ)×Z([k, b]ρ) e sous-modules i ´educ ibles
de :
(7.21) HomH((k−a)m,(b−k+1)m)(H,Z(a, k −1) ⊗Z(k, b))
a ec les no a ions du pa ag aphe 4.2. Comme Z(a, b) es un sous-module de (7.21), on en d´edui
que Z([a, b]ρ) es une sous- ep ´esen a ion de Z([a, k −1]ρ)×Z([k, b]ρ). Pa adjonc ion, on en
d´edui un mo phisme su jec i :
((k−a)m,(b−k+1)m)(Z([a, b]ρ)) →Z ([a, k −1]ρ)⊗Z ([k, b]ρ).
Posons = ((k−a)m,(b−k+1)m)pou all´ege les no a ions e supposons que le memb e de gauche
ci-dessus ne soi pas i ´educ ible. Il con ien un au e sous-quo ien i ´educ ible Y, qu’on peu
suppose ˆe e une sous- ep ´esen a ion ou un quo ien . Supposons que Y soi un quo ien , l’au e
cas se ai an de a¸con analogue. On ixe une pai e cuspidale (M′, ′) du sous-g oupe de Le i
M = M((k−a)m,(b−k+1)m)e un sous-g oupe pa abolique P′de M de ac eu de Le i M′ els que
Y soi une sous- ep ´esen a ion de iM
P′(′). On suppose que M′es s anda d. Alo s :
HomM( (Z[a, b]ρ),iM
P′(′)) 6= 0.
On en d´edui que le suppo cuspidal de Z[a, b]ρes la classe de G-conjugaison de (M′, ′). Pa
cons´equen , on a M′= M(m,...,m)e ′es G-conjugu´ee `a ρνa
ρ⊗···⊗ρνb
ρ, ce qui con edi le ai
que, d’ap `es le lemme 7.14, on a (m,...,m)(Y) = 0.
Dans le cas o`u o(ρ)6= 1, c’es -`a-di e quand q(ρ) n’es pas cong u `a 1 modulo ℓ, les ep ´esen-
a ions Z(∆) e L(∆) peu en ˆe e d´e inies pa ´ecu ence su la longueu de ∆.
P oposi ion 7.17. — On suppose que o(ρ)6= 1 e que b−a⩾1.
(1) Z([a, b]ρ)es l’unique sous- ep ´esen a ion i ´educ ible de Z([a, b −1]ρ)×ρνb
ρ.
(2) Z([a, b]ρ)es l’unique quo ien i ´educ ible de Z([a+ 1, b]ρ)×ρνa
ρ.
(3) L([a, b]ρ)es l’unique quo ien i ´educ ible de L([a, b −1]ρ)×ρνb
ρ.
(4) L([a, b]ρ)es l’unique sous- ep ´esen a ion i ´educ ible de L([a+ 1, b]ρ)×ρνa
ρ.
D´emons a ion. — On p ou e la p emi`e e asse ion, les au es se p ou an de a¸con analogue.
On pose n=b−a+ 1 e = ((n−1)m,m). Comp e enu de la p oposi ion 7.16, on a :
[ (Z([a, b −1]ρ)×ρνb
ρ)]=[Z([a, b −1]ρ)⊗ρνb
ρ]+[(Z([a, b −2]ρ)×ρνb
ρ)⊗ρνb−1
ρ].
Si n= 2, on in e p `e e Z([a, b −2]ρ) comme la ep ´esen a ion ( i iale) du g oupe i ial G0.
Comme o(ρ)6= 1, les ep ´esen a ions ρνb
ρe ρνb−1
ρne son pas isomo phes : le sous-quo ien

38 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
i ´educ ible Z([a, b −1]ρ)⊗ρνb
ρes donc de mul iplici ´e 1 dans le memb e de gauche. Le ´esul a
se d´edui alo s du lemme 2.4.
Rema que 7.18. — Ce e p oposi ion pe me de d´e ini , dans le cas o`u o(ρ)6= 1, les ep ´esen-
a ions Z([a, b]ρ) e L([a, b]ρ) pa ´ecu ence, sans ai e ecou s `a la h´eo ie de ypes.
La p oposi ion sui an e d´ec i le compo emen de ∆ 7→ Z(∆) e ∆ 7→ L(∆) pa passage `a la
con ag ´edien e ( oi (7.8) pou la d´e ini ion de la no a ion ∆∨).
P oposi ion 7.19. — On a Z(∆∨)≃Z(∆)∨e L(∆∨)≃L(∆)∨.
D´emons a ion. — Nous p oposons deux p eu es de ce ´esul a , la p emi`e e ne onc ionnan que
dans le cas o`u o(ρ)6= 1.
On suppose d’abo d que o(ρ)6= 1 e on p ou e le ´esul a pa ´ecu ence su n=b−a+1, le cas
n= 1 ´e an imm´edia . On suppose que n⩾2 e on u ilise les no a ions (7.9) e (7.10). D’ap `es
la p oposi ion 7.17, l’indui e Z(∆−)×ρνb
ρadme Z(∆) pou sous- ep ´esen a ion i ´educ ible,
donc Z(∆−)∨×ρ∨ν−b
ρadme Z(∆)∨pou quo ien i ´educ ible. Pa hypo h`ese de ´ecu ence,
Z(∆−)∨e Z((∆−)∨) son isomo phes. Comme (∆−)∨es ´egal `a −(∆∨) e d’ap `es la p oposi ion
7.17(2), le quo ien i ´educ ible Z(∆)∨es isomo phe `a Z(∆∨). Le cas de L(∆) se ai e de a¸con
analogue.
Voici main enan une p eu e onc ionnan sans hypo h`ese su o(ρ), s’appuyan su [19]. Il
s’agi de p ou e que la ep ´esen a ion Z(∆)∨poss`ede les deux p op i´e ´es de la d´e ini ion 7.5
qui ca ac ´e isen Z(∆∨). D’abo d, d’ap `es la ema que 7.15 e pa passage `a la con ag ´edien e,
Z(∆)∨es une sous- ep ´esen a ion i ´educ ible de Π(∆∨). Ensui e, si (J, λ) es le ype simple
maximal con enu dans ρ ix´e au pa ag aphe 5.2, alo s le ype simple maximal (J, λ∨) es con enu
dans la con ag ´edien e ρ∨( oi [19, Th´eo `eme 4.1] appliqu´e au ype simple (J, λ)). On a ainsi
une bijec ion ξρ∨,n en e I (Ωρ∨,n)⋆e l’ensemble des classes de H-modules simples, e il au
´e i ie que Z(∆)∨co espond au ca ac `e e Z(−b, −a) pa ce e bijec ion. D’ap `es [26, 4.4], il
y a un ype simple (K,W) de G el que :
(1) l’indui e compac e indG
K(W) es isomo phe `a indGm
J(λ)×···×indGm
J(λ) (n ois) ;
(2) pou ou e ep ´esen a ion V dans I (Ωρ,n)⋆, son image ξρ,n(V) es HomK(W,V) consid´e ´e
comme un H-module g ˆace `a la p oposi ion 5.4 ;
(3) de a¸con analogue, si V es une ep ´esen a ion dans I (Ωρ∨,n)⋆, alo s son image ξρ∨,n(V)
es HomK(W∨,V) consid´e ´e comme un H-module.
La ep ´esen a ion Z(∆)∨es dans I (Ωρ∨,n)⋆. D’ap `es (3) ci-dessus e d’ap `es [19, Th´eo `eme 4.1]
appliqu´e au ype simple (K,W), le H-module ξρ∨,n(Z(∆)∨) es le dual de ξρ,n(Z(∆)) = Z(a, b),
c’es -`a-di e Z(−b, −a) comme oulu. On en d´edui donc que Z(∆∨)≃Z(∆)∨. La p eu e pou
L(∆∨) es similai e.
Rema que 7.20. — `
A no e que Π(∆)∨n’es pas isomo phe `a Π(∆∨) en g´en´e al.
Pou ini ce pa ag aphe, on p ou e le ´esul a sui an ( oi (3.3) pou la d´e ini ion de l(σ, n)).
P oposi ion 7.21. — Soi ∆ = [a, b]ρun segmen de longueu n.
(1) On a Sn(Z([a, b]ρ)) = z(σ, n).
(2) On a Sn(L([a, b]ρ)) = l(σ, n).
(3) On a Sn(L([a, b]ρ)) = s (σ, n)si e seulemen si n < e(ρ).
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 39
D´emons a ion. — On p oc`ede pa ´ecu ence su n. On pose Z = Z([a, b]ρ). On sai que z(σ, n)
es un sous-quo ien de Sn(Z). Supposons que Sn(Z) n’es pas i ´educ ible : elle con ien donc
un au e ac eu i ´educ ible, no ´e . Soi un en ie k∈ {1,...,n−1}, soi α= (km, (n−k)m)
e posons ¯
N = ¯
Nαe ¯
M = ¯
Mα. D’ap `es la p oposi ion 7.16, on a :
α(Z) = Z([a, c]ρ)⊗Z([c+ 1, b]),
a ec c=a+k−1. Pa hypo h`ese de ´ecu ence, on a :
S(k,n−k)( α(Z)) = z(σ, k)⊗z(σ, n −k),
qui es aussi ´egal `a Sn(Z)¯
Nd’ap `es la p oposi ion 7.13.
Lemme 7.22. — On a [z(σ, n)¯
N]⩾[z(σ, k)⊗z(σ, n −k)].
D´emons a ion. — No ons σ×nl’indui e σ×··· ×σo`u σappa aˆı n ois. Pa d´e ini ion de la
ep ´esen a ion z(σ, n), on a :
Hom¯
G(σ×n, z(σ, n)) ≃Hom ¯
M(σ×k⊗σ×(n−k), z(σ, n)¯
N)
qui es de dimension 1, isomo phe au ca ac `e e i ial de H(σ, k)⊗H(σ, n−k) consid´e ´e comme
sous-alg`eb e de H(σ, n).
Comme Sn(Z)¯
Ncon ien [z(σ, n)¯
N]e [ ¯
N], on d´edui du lemme 7.22 d’une pa que :
z(σ, n)¯
N=z(σ, k)⊗z(σ, n −k)
e d’au e pa que ¯
N= 0, e ce pou ou k. On en d´edui que es cuspidale, e donc de la
o me s (σ, n) a ec n= 1 ou n=e(σ)ℓ . Pa cons´equen , Z = S (ρ, n) d’ap `es la d´e ini ion 6.3.
Mais pou ces aleu s de n, la ep ´esen a ion S (ρ, n) es cuspidale d’ap `es la p oposi ion 6.4.
Comme Z ne peu pas ˆe e cuspidale `a moins que n= 1, on ob ien une con adic ion.
L’asse ion (2) se d´emon e de a¸con analogue. Pou p ou e l’asse ion (3), il su i de p ou e
que s (σ, n) co espond au ca ac `e e signe de H(σ, n) si e seulemen si on a n < e(σ), ce qui es
donn´e pa la p oposi ion 3.9.
Rema que 7.23. — On en oie `a la ema que 8.14 pou une p ´ecision suppl´emen ai e.
7.3. C i `e e d’i ´educ ibili ´e pou un p odui de segmen s non li´es
Le bu de ce e sec ion es de mon e le h´eo `eme sui an .
Th´eo `eme 7.24. — Soi un en ie ⩾1e soien ∆1,...,∆ des segmen s. Les condi ions
sui an es son ´equi alen es :
(1) Pou ous i, j ∈ {1,..., }a ec i6=j, les segmen s ∆ie ∆json non li´es.
(2) La ep ´esen a ion Z(∆1)×···×Z(∆ )es i ´educ ible.
(3) La ep ´esen a ion L(∆1)×···×L(∆ )es i ´educ ible.
Ce h´eo `eme g´en´e alise [39, 4] e [33, Lemmas 2.5, 4.2] au cas modulai e. Il jus i ie le bien-
ond´e de no e d´e ini ion 7.3.
40 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
7.3.1. ´
E an donn´e un segmen ∆ = [a, b]ρ, on no e :
(7.22) h∆i=ha, biρ
l’une des deux ep ´esen a ions Z([a, b]ρ) ou L([−b, −a]ρ), e on pose :
(7.23) µρ=νρsi h∆i= Z(∆) ;
ν−1
ρsi h∆i= L([−b, −a]ρ).
La p oposi ion sui an e, qui syn h´e ise les ´esul a s de la p oposi ion 7.16, mon e l’u ili ´e des
no a ions (7.22) e (7.23).
P oposi ion 7.25. — Soien ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gme ∆ = [a, b]ρ.
(1) Si kes un en ie el que a < k ⩽b, on a :
(k−a)m,(b−k+1)m(ha, biρ) = ha, k −1iρ⊗hk, biρ.
(2) Si kes un en ie el que a < k ⩽b, on a :
−
(b−k+1)m,(k−a)m(ha, biρ) = hk, biρ⊗ha, k −1iρ.
(3) On a :
(m,...,m)(h∆i) = ρµa
ρ⊗ρµa+1
ρ⊗···⊗ρµb
ρ
e :
−
(m,...,m)(h∆i) = ρµb
ρ⊗ρµb−1
ρ⊗···⊗ρµa
ρ.
(4) On a h∆∨i=h∆i∨, c’es -`a-di e que h−b, −aiρ∨=ha, bi∨
ρ.
Pou mon e le h´eo `eme 7.24, il su i a donc de mon e le h´eo `eme sui an .
Th´eo `eme 7.26. — Soi un en ie ⩾1e soien ∆1,...,∆ des segmen s. Alo s :
h∆1i×···×h∆ i
es i ´educ ible si e seulemen si ∆ie ∆json non li´es pou ous i, j ∈ {1,..., }a ec i6=j.
On mon e d’abo d le ´esul a sui an .
P oposi ion 7.27. — Soien ∆e ∆′des segmen s non li´es. Alo s h∆i×h∆′ies i ´educ ible.
Rema que 7.28. — D’ap `es la p oposi ion 2.2, ce e p oposi ion implique que, si ∆ e ∆′son
deux segmen s non li´es, alo s h∆i×h∆′ie h∆′i×h∆ison isomo phes.
On ´ec i ∆ e ∆′ espec i emen sous la o me [a, b]ρe [a′, b′]ρ′, o`u ρe ρ′son i ´educ ibles
cuspidales. On no e n=b−a+ 1 e n′=b′−a′+ 1. On ai d’abo d quelques ´educ ions : elles
ne son pas n´ecessai es dans no e p eu e mais pe me en de simpli ie les no a ions.
R1 D’ap `es la p oposi ion 2.2, on peu suppose que n⩽n′.
R2 D’ap `es la p oposi ion 5.9, e qui e `a modi ie a,b,a′e b′, on peu suppose que ρe ρ′
son isomo phes.
R3 Qui e `a o d e ρpa un ca ac `e e non ami i´e, on peu suppose que a= 0.
R4 Pa la m´e hode du changemen de g oupe ( oi la p oposi ion 7.10 e [26, 4.4]), on peu
suppose que ρes le ca ac `e e i ial de F×, que l’on no e a h0i.
Aussi peu -on suppose que ∆ = [0, b] e ∆′= [a′, b′] a ec b+a′⩽b′.
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 41
Rema que 7.29. — Si R es de ca ac ´e is ique non nulle ℓ, on no e el’o d e de qdans F×
ℓ.
Puisque ∆ e ∆′ne son pas li´es e que n⩽n′, on a n⩽e−1, ce qui implique qu’on a e⩾2. Si
R es de ca ac ´e is ique nulle, on con ien que ees in ini e une cong uence de la o me a≡a′
mod e oud a jus e di e que a=a′.
Nous u ilisons la m´e hode des onc eu s de Jacque e le lemme 2.5. Malheu eusemen , nous
ne pou ons ´e i e de ai e plusieu s cas en pe i e dimension (o`u les onc eu s de Jacque ne
son pas de g ande aide). On dis ingue les cas sui an s :
1. n=n′= 1.
2. e⩾3 e n= 1.
3. e⩾3 e n, n′⩾2.
4. e= 2 e n′= 3.
5. e= 2 e n′⩾4.
On ema que que, dans les deux de nie s cas, on a n= 1. Dans le cas o`u n=n′= 1, la p opo-
si ion es une cons´equence de [26, P oposi ion 4.35]. On passe main enan aux cas sui an s.
7.3.2. On suppose que e⩾3 e n= 1. On p oc`ede pa ´ecu ence su n′, le cas n′= 1 ´e an
d´ej`a p ou ´e. Rema quons que l’hypo h`ese su ∆ e ∆′se adui pa a′6≡ 1 mod ee b′6≡ −1
mod e. Il au enco e di ´e encie les sep cas sui an s :
2.1. ∆′= [0,1].
2.2. b′6≡ −1,0,1 mod e.
2.3. a′= 0, b′≡0,1 mod ee n′⩾3.
2.4. a′=−1 e b′≡1 mod e.
2.1′. ∆′= [−1,0].
2.2′.a′6≡ −1,0,1 mod e.
2.3′.b′= 0, a′≡0,−1 mod ee n′⩾3.
Les cas 2.1′, 2.2′e 2.3′d´ecoulen espec i emen des cas 2.1, 2.2 e 2.3 pa passage `a la con a-
g ´edien e (ce que nous pou ons ai e puisque e6= 1). T ai ons les cas 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4.
Lemme 7.30. — L’indui e h0i×h0,1ies i ´educ ible.
D´emons a ion. — Comme dans Rogawski [30], ce cas es pa iculie e il au le ai e `a pa .
On pose M = M(1,2) e on no e χle ca ac `e e o m´e des ec eu s de h0,1iqui son in a ian s
pa le sous-g oupe d’Iwaho i de GL2(F) (il s’agi donc de Z(0,1) ou de L(0,1) selon les cas).
D’ap `es [26, P oposi ion 4.13], l’indui e es i ´educ ible si e seulemen si HomHM(H,1⊗χ) es
i ´educ ible. L’i ´educ ibili ´e de ce H-module se mon e comme dans [30, Lemma 5.1].
T ai ons le cas 2.2. D’ap `es la p oposi ion 7.25(1), la ep ´esen a ion h0i×ha′, b′ies une sous-
ep ´esen a ion de h0i×ha′, b′−1i×hb′i. Pa hypo h`ese de ´ecu ence (puisqu’on a b′6≡ 0 mod e)
e d’ap `es la ema que 7.28, celle-ci es isomo phe `a π1×π2, o`u l’on a pos´e π1=ha′, b′−1ie
π2=h0i×hb′i( ema quons que π2es i ´educ ible pa hypo h`ese de ´ecu ence puisque b′6≡ ±1
mod e). De mˆeme, pa la p oposi ion 7.25(2), c’es un quo ien de π2×π1. D’ap `es le lemme
g´eom´e ique, on a :
[ (n′−1,2)(π1×π2)]=ha′, b′−1i⊗(h0i×hb′i) + (ha′, b′−2i×h0i)⊗(hb′−1i×hb′i)
+ (ha′, b′−2i×hb′i)⊗(hb′−1i×h0i)
+ (ha′, b′−3i×hb′i×h0i)⊗hb′−2, b′−1i
e donc la ep ´esen a ion π1⊗π2appa aˆı a ec mul iplici ´e 1 dans (n′−1,2)(π1×π2). On d´edui
du lemme 2.5 que h0i×ha′, b′ies i ´educ ible.
48 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
Ces segmen s son uniques `a l’o d e p `es. D’ap `es le h´eo `eme 7.24, la ep ´esen a ion :
(8.2) Π = L(∆1)×···×L(∆ )
es i ´educ ible.
Lemme 8.10. — La ep ´esen a ion Πes l’unique sous-quo ien i ´educ ible ´esiduellemen non
d´eg´en´e ´e de l’indui e ρ1×···×ρn, o`u elle appa aˆı a ec mul iplici ´e 1.
D´emons a ion. — D’abo d, Π es un sous-quo ien i ´educ ible de ρ1× ··· × ρn. D’ap `es la
p oposi ion 8.4, ce e indui e con ien un unique ac eu i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´e-
n´e ´e. D’ap `es la p oposi ion 8.4 enco e, Π es ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee si e seulemen si
chaque L(∆i) es ´esiduellemen non d´eg´en´e ´e, ce qui sui de la p oposi ion 7.21.
Lemme 8.11. — La ep ´esen a ion Πn’es pas cuspidale.
D´emons a ion. — Le ´esul a es imm´edia si ⩾2. Si = 1, Π es une ep ´esen a ion associ´ee
`a un segmen , qui es pa d´e ini ion quo ien d’une indui e pa abolique p op e (ca n⩾2).
La conjonc ion des lemmes 8.10 e 8.11 e du ai que ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspi-
dale es ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee en aˆıne que l’indui e ne poss`ede pas de sous-quo ien
i ´educ ible cuspidal.
Exemple 8.12. — Si R es de ca ac ´e is ique nulle, (8.1) es oujou s ´e i i´ee.
Soien m, n ⩾1 e soi ρune ep ´esen a ion cuspidale de Gm.
P oposi ion 8.13. — Soien χ1,...,χndes ca ac `e es non ami i´es de Gm els que :
(8.3) ρχ1×···×ρχn
poss`ede un sous-quo ien cuspidal. Alo s :
[ρχ1]+···+[ρχn]=[ρχ1]+[ρχ1νρ]+···+[ρχ1νn−1
ρ].
D´emons a ion. — Qui e `a emplace ρpa ρχ1, on peu suppose que χ1es i ial. On ´eca e
le cas i ial o`u n= 1, de so e que, d’ap `es le co ollai e 6.13, il exis e ⩾0 el que n=e(ρ)ℓ .
Ensui e, d’ap `es la p oposi ion 5.9, on peu suppose que χi=νki
ρa ec ki∈Z. Si o(ρ) = 1,
chaque χies i ial e le ´esul a es imm´edia . On suppose donc do ´ena an que o(ρ)⩾2,
de so e que e(ρ) = o(ρ). D’ap `es la p oposi ion 8.9, il exis e un en ie ⩾1 el que, qui e `a
´eo donne les χi, on ai :
(1) pou ou i⩽ e(ρ), on a [ρχi]=[ρνi−1
ρ];
(2) la condi ion (8.1) es ´e i i´ee pa les ep ´esen a ions ρχ e(ρ)+1,...,ρχn.
On ´ec i n= e(ρ) + ke on suppose que k⩾1. Soi πun sous-quo ien i ´educ ible cuspidal
de (8.3). Soi π1un sous-quo ien i ´educ ible de ρχ1× ··· × ρχ e(ρ)e π2un sous-quo ien
i ´educ ible de ρχ e(ρ)+1 × ··· × ρχn els que πsoi un sous-quo ien i ´educ ible de π1×π2.
Comme πes ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee, c’es ai aussi de π1e de π2. En pa iculie , π1
es ´egal `a S (ρ, e(ρ) ).
Si l’on ´ec i = ′ℓ a ec ′⩾1 p emie `a ℓe ⩾0, e si l’on pose τ= S (ρ, e(ρ)ℓ ), alo s
τes cuspidale non supe cuspidale e π1es ´egale `a S (τ, ′) d’ap `es la p oposi ion 6.4 e le
lemme 6.9. En pa iculie , le suppo cuspidal de π1es dans N(Zτ). D’au e pa , d’ap `es la
p oposi ion 8.9, le suppo cuspidal de π2es dans N(Zρ). D’ap `es le h´eo `eme 5.8, l’indui e

REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 49
π1×π2es i ´educ ible, ce qui con edi le ai que πes cuspidale. On en d´edui que k= 0, ce
qui me in `a la d´emons a ion.
Rema que 8.14. — D’ap `es la p oposi ion 7.21, les ep ´esen a ions L([0, n −1]ρ) e S (ρ, n)
son isomo phes si e seulemen si n < e(ρ). Si n⩾e(ρ), la ep ´esen a ion L([0, n −1]ρ) n’es
jamais ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee. Pa exemple, si ρes le ca ac `e e i ial de F×e si qes
d’o d e 2 dans R×, alo s la ep ´esen a ion L([0,1]ρ) es un ca ac `e e de GL2(F).
Rema que 8.15. — Une ep ´esen a ion i ´educ ible don le suppo cuspidal [ρ1]+···+[ρn]
´e i ie la condi ion (8.1) es di e banale. Les ep ´esen a ions banales son ´e udi´ees en d´e ail dans
[27].
8.3. Unici ´e du suppo supe cuspidal
Le bu de ce pa ag aphe es de mon e le h´eo `eme sui an .
Th´eo `eme 8.16. — Soien ρ1,...,ρne ρ′
1,...,ρ′
n′des ep ´esen a ions i ´educ ibles supe cus-
pidales. Alo s ρ1×···×ρne ρ′
1×···×ρ′
n′on un sous-quo ien i ´educ ible en commun si e
seulemen si n′=ne :
(8.4) [ρ1]+···+[ρn]=[ρ′
1]+···+[ρ′
n′].
Rema que 8.17. — Voi [35] page 598 dans le cas o`u D = F.
D´emons a ion. — Si (8.4) es ´e i i´e, alo s n=n′e , d’ap `es la p oposi ion 2.2, les ep ´esen-
a ions ρ1×···×ρne ρ′
1×···×ρ′
n′on les mˆemes sous-quo ien s i ´educ ibles. Pou p ou e
la ´ecip oque, on ixe un sous-quo ien i ´educ ible πcommun `a ρ1×···×ρne ρ′
1×···×ρ′
n′,
e on commence pa ai e le cas o`u πes cuspidal. D’ap `es le h´eo `eme 5.8, il exis e des
ep ´esen a ions i ´educ ibles supe cuspidales ρe ρ′ elle que les ρi(les ρ′
i) soien ine iellemen
´equi alen es `a ρ(`a ρ′). D’ap `es la p oposi ion 8.13, on peu mˆeme suppose que :
[ρ1]+···+[ρn]=[ρ]+[ρνρ]+···+[ρνn−1
ρ].
Comme πes cuspidal, c’es l’unique sous-quo ien i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´e de
ρ1× ··· × ρn. Il es donc isomo phe `a S (ρ, n). On a quelque chose d’analogue pou ρ′, ce
don on d´edui que S (ρ, n) e S (ρ′, n′) son ous les deux isomo phes `a π. Le ´esul a es une
cons´equence de la p oposi ion 6.14.
On ai e main enan le cas g´en´e al. Soi αune amille d’en ie s de somme deg(π) elle que
α(π) soi cuspidale, e ´ec i ons [τ1]+···+[τ ]son suppo cuspidal. Pa exac i ude du onc eu
de Jacque , la ep ´esen a ion τ1⊗···⊗τ es un sous-quo ien i ´educ ible de α(ρ1×···×ρn) e
de α(ρ′
1×···×ρ′
n′), o`u αes la amille d’en ie s (deg(τ1),...,deg(τ )). Ces ep ´esen a ions on
chacune une il a ion don les sous-quo ien s i ´educ ibles son de la o me (1.1). Le ´esul a
´e an ai pou les ep ´esen a ions τion d´edui alo s (8.4).
D´e ini ion 8.18. — ´
E an donn´ee une ep ´esen a ion i ´educ ible π∈I , il exis e une unique
somme [ρ1]+···+[ρn]∈N(S) elle que πsoi un sous-quo ien i ´educ ible de ρ1× ··· × ρn.
On l’appelle le suppo supe cuspidal de π, que l’on no e scusp(π).
Pou s∈N(S), on no e I (s) l’ensemble des classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles de suppo
supe cuspidal s. On en d´edui une a ian e supe cuspidale du h´eo `eme 5.8.
50 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
Th´eo `eme 8.19. — Soi ⩾1un en ie e soien ρ1,...,ρ des ep ´esen a ions i ´educ ibles
supe cuspidales deux `a deux non ine iellemen ´equi alen es. Pou chaque i, on ixe un suppo
supe cuspidal si∈N(Ωρi).
(1) Pou chaque i, soi πiune ep ´esen a ion i ´educ ible de suppo supe cuspidal si. Alo s
π1×···×π es i ´educ ible.
(2) On pose s=s1+···+s . L’applica ion :
(π1,...,π )→π1×···×π
indui une bijec ion de I (s1)×···×I (s )dans I (s).
La p oposi ion sui an e d´ecoule de l’unici ´e du suppo supe cuspidal e de la p oposi ion 8.4.
P oposi ion 8.20. — L’applica ion (ρ1,...,ρ )7→ S (ρ1,...,ρ )de N(S)dans Rnd es une
bijec ion, e sa ´ecip oque es donn´ee pa π7→ scusp(π).
9. Classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles de GLm(D)
L’objec i de ce e sec ion es le h´eo `eme 9.36, qui ou ni une classi ica ion `a la Zele inski des
ep ´esen a ions i ´educ ibles de GLm(D), m⩾1, en e mes de mul isegmen s. Les mul isegmen s
son d´e inis au pa ag aphe 9.1. Dans le pa ag aphe 9.2, on d´e ini les mul isegmen s supe cus-
pidaux e les mul isegmen s ap´e iodiques, e on mon e commen passe bijec i emen des uns
aux au es. On donne au pa ag aphe 9.3 une classi ica ion des ep ´esen a ions ´esiduellemen
non d´eg´en´e ´ees en onc ion de leu suppo cuspidal. Dans le pa ag aphe 9.5, on associe `a ou
mul isegmen mune ep ´esen a ion i ´educ ible Z(m). Dans le pa ag aphe 9.6, on mon e que
l’applica ion m7→ Z(m) es su jec i e e on calcule ses ib es. Dans le pa ag aphe 9.7, on ´e udie
la ´educ ion modulo ℓdes Qℓ- ep ´esen a ions i ´educ ibles.
9.1. Mul isegmen s
Dans ce pa ag aphe, on d´e ini la no ion de mul isegmen . On no e Seg l’ensemble des classes
d’´equi alence de segmen s (d´e ini ion 7.2). Le deg ´e, la longueu , le suppo d’un segmen ∆ ne
d´ependen que de la classe d’´equi alence de ce segmen , ainsi que les classes de ep ´esen a ions
[Z(∆)]e [L(∆)].
D´e ini ion 9.1. — Un mul isegmen es un mul i-ensemble de classes de segmen s, c’es -`a-di e
un ´el´emen de N(Seg). On no e :
(9.1) Mul = N(Seg)
l’ensemble des mul isegmen s.
Un mul isegmen non nul s’´ec i sous la o me :
(9.2) m= ∆1+···+ ∆ = [a1, b1]ρ1+···+ [a , b ]ρ ,
o`u chaque ∆i= [ai, bi]ρies une classe de segmen s. La longueu , le deg ´e e le suppo , d´e inis
pou les segmen s en (7.3), son d´e inis pou les mul isegmen s pa addi i i ´e :
n(m) =
X
i=1
n(∆i),deg (m) =
X
i=1
deg (∆i),supp(m) =
X
i=1
supp (∆i)
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 51
d´esignen espec i emen la longueu , le deg ´e e le suppo de m. On d´e ini aussi pa addi i i ´e
les applica ions m7→ m∨e m7→ m−de Mul dans Mul ( oi (7.8) e (7.9)). Pou la seconde,
on con ien que, si ∆ es un segmen de longueu 1, alo s ∆−es le mul isegmen nul.
Voici une s´e ie de lemmes qui se on u iles pa la sui e.
Lemme 9.2. — Soien m,m′des mul isegmen s els que m−=m′−. Il exis e alo s des mul i-
segmen s ne n′qui son sommes de segmen s de longueu 1e els qu’on ai m+n=m′+n′.
D´emons a ion. — Si l’on ´e end l’op´e a ion m7→ m−en un endomo phisme de g oupe de Z(Seg),
il su i de p ou e que le noyau de ce endomo phisme es ´edui au sous-g oupe engend ´e pa
les segmen s de longueu 1, ce qui es imm´edia .
Soi mun mul isegmen , qu’on ´ec i sous la o me (9.2). On pose :
m(1) =[ρ1νb1
ρ1]+[ρ2νb2
ρ2]+···+[ρ νb
ρ ]
la somme des ex ´emi ´es inales des segmen s composan m. Ceci d´e ini une applica ion m7→
m(1) de Mul dans N(C). Le lemme sui an es imm´edia .
Lemme 9.3. — On a m(1) =msi e seulemen si m−= 0, c’es -`a-di e si e seulemen si mes
une somme de segmen s de longueu 1.
On d´e ini main enan pa ´ecu ence des mul isegmen s m(1),m(2),... associ´es `a men posan
m(i+1) = (m−)(i)pou ou i⩾1.
Lemme 9.4. — L’applica ion m7→ (m(1),m(2),...)es injec i e.
D´emons a ion. — Soien me m′des mul isegmen s els que m(i)=m′(i)pou ou i⩾1. Alo s
les mul isegmen s me m′on la mˆeme longueu , no ´ee n. On ema que aussi qu’ils poss`eden
le mˆeme nomb e de segmen s, no ´e . On p oc`ede pa ´ecu ence su n, le cas o`u n= 1 ´e an
imm´edia . En consid´e an les ´egali ´es m(i)=m′(i)pou ou i⩾2, on ob ien m−=m′− pa
hypo h`ese de ´ecu ence. On d´edui du lemme 9.2 qu’il exis e ne n′des mul isegmen s sommes
de segmen s de longueu 1 els que m+n=m′+n′. On en d´edui que m(1) +n(1) =m′(1) +n′(1).
Mais on a aussi m(1) =m′(1), ce don on d´edui que n=n′, puis que m=m′.
On in odui main enan une ela ion ⊢su Mul . Que le lec eu p enne ga de au ai que ce
n’es pas une ela ion d’o d e.
D´e ini ion 9.5. — Soi mun mul isegmen , qu’on ´ec i sous la o me (9.2), e soi nun au e
mul isegmen . Si nes de la o me :
[a1, c1]ρ1+···+ [a , c ]ρ
a ec ci∈ {bi−1, bi}pou ou i, on ´ec i m⊢ne on pose δ(m,n) = deg(m)−deg(n).
Rema que 9.6. — (1) Pou ou m∈Mul , on a m⊢m−e δ(m,m−) = deg(m(1)).
(2) Si m⊢n, alo s on a m−⊢n−e δ(m,n)−δ(m−,n−) = deg(m(1))−deg(n(1)).
52 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
9.2. Mul isegmen s supe cuspidaux e ap´e iodiques
Dans ce pa ag aphe on ´e end au cas non deploy´e les d´e ini ions de [35, V.6]. Un mul isegmen
mes une p´e iode s’il es de la o me :
(9.3) m= [a, b]ρ+ [a+ 1, b + 1]ρ+···+ [a+n−1, b +n−1]ρ,
a ec ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale, a, b ∈Ze n=e(ρ)ℓ pou ⩾0.
D´e ini ion 9.7. — Un mul isegmen es di ap´e iodique s’il ne con ien pas de p´e iode e su-
pe cuspidal si son suppo es o m´e de ep ´esen a ions supe cuspidales.
Soi ∆ un segmen . D’ap `es le h´eo `eme 6.14, on peu l’´ec i e ∆ = [a, b]S (ρ,n), o`u ρes une
ep ´esen a ion i ´educ ible supe cuspidale e n= 1 ou n=e(ρ)ℓ pou ⩾0. La ep ´esen a ion
ρn’es pas unique, mais le mul isegmen :
∆sc = [a, b]ρ+ [a+ 1, b + 1]ρ+···+ [a+n−1, b +n−1]ρ
ne d´epend pas du choix de ρ. Ce p oc´ed´e d´e ini pa addi i i ´e une applica ion :
(9.4) m7→ msc
de Mul e s l’ensemble Mul sc des mul isegmen s supe cuspidaux, qui es l’inden i ´e su Mul sc.
Elle es donc su jec i e, mais pas injec i e en g´en´e al. Cependan , on a le ´esul a sui an .
Lemme 9.8. — Soi mun mul isegmen supe cuspidal. Il y a un unique mul isegmen ap´e io-
dique a el que asc =m.
D´emons a ion. — On peu se amene au cas de mul isegmen s don l’image pa (9.4) a un sup-
po dans N(Zρ) a ec ρsupe cuspidale. Pou all´ege les no a ions, on pose S (ρ) = S (ρ, e(ρ)ℓ )
pou ⩾0. Un mul isegmen ap´e iodique s’´ec i :
a=X
⩾0X
n⩾1
u ,n ·[1, n]S (ρ)+a0
o`u a0es la pa ie supe cuspidale de a, c’es -`a-di e le plus g and mul isegmen ⩽adon le suppo
soi supe cuspidal, e o`u u ,n ⩾0 es la mul iplici ´e du segmen [1, n]S (ρ)dans a1=a−a0.
(On ema que que pou ⩾0 la ep ´esen a ion cuspidale S (ρ) n’es pas supe cuspidale. Ceci
implique que o(S (ρ)) = 1, donc que ou segmen de longueu n⩾1 de la o me [a, b]S (ρ)es
´equi alen `a [1, n]S (ρ).) L’hypo h`ese d’ap´e iodici ´e implique que, pou chaque ⩾0 e chaque
n⩾1, on a u ,n < ℓ. On ´ec i main enan :
m=asc =X
⩾0X
n⩾1ℓ u ,n ·
e(ρ)−1
X
j=0
[j, j +n−1]ρ+a0.
Pou n⩾1 e a∈Z, soien n,a e wn,a les mul iplici ´es du segmen [a, a +n−1]ρdans me
dans a0 espec i emen . Si o(ρ) = 1, alo s pou n⩾1 e a∈Zon ou e :
n,a =wn,a +X
⩾0
ℓ +1u ,n
a ec la condi ion wn,a < ℓ p o enan de l’ap´e iodici ´e du mul isegmen a0. Pa unici ´e du d´e e-
loppemen ℓ-adique de n,a, on e ou e les wn,a e les u ,n `a pa i de m. Si o(ρ)>1, alo s pou
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 53
n⩾1 e a∈Zon ou e :
n,a =wn,a +X
⩾0
ℓ u ,n,
a ec la condi ion wn,b = 0 pou au moins un b∈Z, p o enan de l’ap´e iodici ´e de a0. Pou un
el b, l’unici ´e du d´e eloppemen ℓ-adique de n,b pe me de e ou e les u ,n `a pa i de m.
Puis on en d´edui la aleu de wn,a pou ou a∈Z.
En d’au es e mes, la es ic ion de l’applica ion (9.4) `a l’ensemble Mul ap des mul isegmen s
ap´e iodiques indui une bijec ion de Mul ap e s Mul sc. On no e map l’ap´e iodis´e d’un mul i-
segmen m, c’es -`a-di e l’an ´ec´eden de msc pa ce e bijec ion. Les applica ions m7→ msc e
m7→ map son des bijec ions ´ecip oques l’une de l’au e en e les ensembles Mul ap e Mul sc.
´
E an donn´e s∈N(C), on pose :
(9.5) Mul (s) = {m∈Mul |supp(m) = s}
e on no e Mul (s)ap l’in e sec ion Mul ap ∩Mul (s). On a le lemme sui an .
Lemme 9.9. — On a les p op i´e ´es sui an es.
(1) Pou ou m∈Mul sc, on a supp(m)ap = supp(map).
(2) Pou ou m∈Mul ap, on a supp(m)sc = supp(msc).
(3) Pou ou suppo supe cuspidal s∈N(S), l’applica ion m7→ map indui une bijec ion :
(9.6) Mul (s)→a
Mul ( )ap
o`u d´ec i les ∈N(C) els que sc =s.
D´emons a ion. — On passe de (1) `a (2) en appliquan les bijec ions m7→ msc e m7→ map en e
Mul ap e Mul sc. Il su i donc de p ou e (1). Il su i de le p ou e lo sque mes une p´e iode,
auquel cas le ´esul a es imm´edia . Pou p ou e (3), il su i de p ou e que l’applica ion (9.6)
es bien d´e inie, ce qui d´ecoule de (1).
9.3. Classi ica ion des ep ´esen a ions ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ees
Dans ce pa ag aphe, on classe les ep ´esen a ions ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ees ( oi aussi
la p oposi ion 8.20) en e mes de mul isegmen ap´e iodiques. Ceci pe me de donne quelques
p op i´e ´es de ces ep ´esen a ions, qui se on u iles pa la sui e.
On no e N(C)ap l’image de N(S) pa la bijec ion m7→ map de Mul sc dans Mul ap, c’es -`a-di e
l’ensemble des suppo s cuspidaux ap´e iodiques.
Th´eo `eme 9.10. — Soi πune ep ´esen a ion ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee. Il y a un unique
mul isegmen m= ∆1+···+ ∆ el que, pou ous i6=j, les segmen s ∆i,∆jne soien pas li´es
e el que πsoi isomo phe `a L(∆1)×···×L(∆ ).
D´emons a ion. — Soi s=[τ1]+···+[τn]∈N(S) le suppo supe cuspidal de πe soi =sap le
suppo cuspidal ap´e iodique lui co espondan , qu’on ´ec i [ρ1]+···+[ρ ]a ec ⩾1. G ˆace `a la
condi ion d’ap´e iodici ´e, il exis e des segmen s ∆1,...,∆ de la o me ∆i= [ai, bi]ρisa is aisan
aux condi ions sui an es :
(1) on a = supp(∆1) + ···+ supp(∆ ) ;
(2) pou ous i6=j, les segmen s ∆ie ∆jne son pas li´es ;
(3) pou ou i, la longueu de ∆ies s ic emen in ´e ieu e `a e(ρi).

54 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
(On aisonne pa ´ecu ence su , le cas o`u = 1 ´e an imm´edia . On choisi un segmen ∆1
don le suppo es inclus dans =[ρ1]+···+[ρ ]e de longueu maximale pou ce e p op i´e ´e.
Puis on applique l’hypo h`ese de ´ecu ence `a −supp(∆1).)
Ces segmen s son uniques `a l’o d e p `es. D’ap `es le h´eo `eme 7.24, la ep ´esen a ion :
Π = L(∆1)×···×L(∆ )
es i ´educ ible, e elle es ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee d’ap `es la p oposi ion 7.21(3). Comme
ρ1× ··· × ρ es un sous-quo ien de τ1× ··· × τn, on d´edui de la p oposi ion 8.4 que πes
isomo phe `a Π.
On en d´edui le ´esul a sui an .
P oposi ion 9.11. — L’applica ion (ρ1,...,ρ )7→ S (ρ1,...,ρ )es une bijec ion de N(C)ap
dans Rnd, no ´ee 7→ S ( ), e sa ´ecip oque es donn´ee pa π7→ cusp(π).
D´emons a ion. — Si πes une ep ´esen a ion i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee, on
pose = scusp(π)ap e on no e mle mu isegmen donn´e pa le h´eo `eme 9.10, de so e que es
´egal au suppo de m. Pa cons uc ion, πes ´egale `a S ( ). Pa d´e ini ion, le suppo cuspidal
de L(∆i) es ´egal au suppo de ∆i. Le h´eo `eme 9.10 implique donc que le suppo cuspidal de
πes ´egal `a supp(m) = .
En compa an [35, Theo em V.7] `a la p oposi ion 9.11, on ob ien le ´esul a sui an .
Co ollai e 9.12. — Soi πune ep ´esen a ion i ´educ ible de GLn(F). Alo s :
(1) πes non d´eg´en´e ´ee si e seulemen si πes ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee.
(2) Si µes une pa i ion de n, alo s πes µ-d´eg´en´e ´ee [35, V.5] si e seulemen si elle es
´esiduellemen µ-d´eg´en´e ´ee.
D´emons a ion. — Comp e enu de [35, V.7] e de la ema que 8.14, il su i de p ou e que, pou
ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρe pou ou en ie n⩽e(ρ)−1, la ep ´esen a ion
S (ρ, n) es isomo phe `a l’unique sous-quo ien i ´educ ible non d´eg´en´e ´e de l’indui e :
ρ×ρνρ×···×ρνn−1
ρ.
Ceci d´ecoule de [34, III.5.13].
Le co ollai e sui an es une cons´equence de la p oposi ion 7.19.
Co ollai e 9.13. — (1) Pou ou suppo cuspidal ∈N(C), on a S ( ∨)≃S ( )∨.
(2) Soi µune pa i ion de n. Alo s une ep ´esen a ion es ´esiduellemen µ-d´eg´en´e ´ee si e
seulemen si sa con ag ´edien e es ´esiduellemen µ-d´eg´en´e ´ee.
En pa iculie , une ep ´esen a ion i ´educ ible es non d´eg´en´e ´ee si e seulemen si sa con-
ag ´edien e es ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee.
9.4. La pa i ion µme la ep ´esen a ion S µm(m)
Dans ce pa ag aphe, on associe `a ou mul isegmen mune amille c oissan e d’en ie s µmde
somme deg(m) e une ep ´esen a ion i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee du sous-g oupe
de Le i Mµm, que l’on no e S µm(m).
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 55
9.4.1. Soi mun mul isegmen de deg ´e no ´e m. On no e Pa (m) l’ensemble des pa i ions
µde m elles que l’indui e :
(9.7) I(m) = Z(∆1)×···×Z(∆ )
poss`ede un sous-quo ien i ´educ ible µ-d´eg´en´e ´e (d´e ini ion 8.7). Il n’es pas ide, pa ce qu’on
peu choisi µde so e que µ(I(m)) con ienne un sous-quo ien i ´educ ible cuspidal, qui es
´esiduellemen non d´eg´en´e ´e d’ap `es le lemme 8.4.
D´e ini ion 9.14. — On pose :
(9.8) µm= (deg(m(1))⩾deg(m(2))⩾...).
C’es une pa i ion de mdon la conjugu´ee es la pa i ion associ´ee `a (deg(∆1),deg(∆2),...),
la amille des deg ´es des segmen s composan m.
Rema que 9.15. — Pa cons uc ion, on a µm∨=µmpou ou mul isegmen m.
On ema que que ous les mul isegmen s m(i)son des sommes de segmen s de longueu 1,
de so e que, d’ap `es la p oposi ion 8.4, chacune des indui es I(m(i)) con ien le sous-quo ien
i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´e S (m(i)).
D´e ini ion 9.16. — Soi le plus g and en ie el que m( )6= 0. On no e µmla amille c oissan e
d’en ie s associ´ee `a la pa i ion µm, c’es -`a-di e :
(9.9) µm= (deg(m( ))⩽deg(m( −1))⩽...⩽deg(m(1))),
e on no e :
(9.10) S µm(m) = S (m( ))⊗S (m( −1))⊗···⊗S (m(1)),
qui es une ep ´esen a ion i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee de Mµm.
Lemme 9.17. — La ep ´esen a ion S µm(m)es l’unique sous-quo ien i ´educ ible ´esiduelle-
men non d´eg´en´e ´e de µm(I(m)).
D´emons a ion. — On a le p ou e pa ´ecu ence su la longueu nde m. Si n= 1, le ´esul a
es imm´edia puisqu’alo s I(m) es i ´educ ible cuspidale. On suppose main enan que n⩾2 e
on pose α= (m−deg(m(1)),deg(m(1))). D’ap `es le lemme g´eom´e ique (§2.4.3) e la p oposi ion
7.16, le module de Jacque α(I(m)) es compos´e de ep ´esen a ions de la o me :
I(m1)⊗I(m2)
a ec m1,m2des mul isegmen s de la o me :
m1=
X
i=1
[ai, ci]ρi,m2=
X
i=1
[ci+ 1, bi]ρi, ai−1⩽ci⩽bi,deg(m2) = deg(m(1)).
D’ap `es le co ollai e 8.5, I(m2) con ien une ep ´esen a ion ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee si e
seulemen si pou ou i, on a ci=bi−1, c’es -`a-di e si m1=m−e m2=m(1). Pa hypo h`ese de
´ecu ence, la ep ´esen a ion S µm−(m−) es l’unique sous-quo ien ´esiduellemen non d´eg´en´en´e
de µm−(I(m−)). On ema que que :
µm−= (deg(m( ))⩽deg(m( −1))⩽...⩽deg(m(2))),
S µm−(m−) = S (m( ))⊗S (m( −1))⊗···⊗S (m(2)).
56 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
On d´edui le ´esul a pa ansi i i ´e des onc eu s de Jacque .
On en oie `a la d´e ini ion 9.5 e au pa ag aphe 3.2 pou les d´e ini ions de ⊢e de la ela ions
d’o d e Esu l’ensemble des pa i ions.
Lemme 9.18. — Soien m,ndeux mul isegmen s els que m⊢n. Alo s la pa i ion µmes plus
g ande que la pa i ion associ´ee `a la amille (δ(m,n), µn).
D´emons a ion. — On eu mon e que, pou ou k⩾1, on a :
k
X
i=1
deg n(i)⩽
k
X
i=1
deg m(i)si δ(m,n)⩽deg n(k),(9.11)
δ(m,n) +
k−1
X
i=1
deg n(i)⩽
k
X
i=1
deg m(i)si δ(m,n)>deg n(k).(9.12)
La p emi`e e in´egali ´e d´ecoule du ai que, pou ou i⩾1, on a deg(m(i))⩾deg(n(i)). P ou ons
la seconde in´egali ´e pa ´ecu ence su la longueu nde m. Si k= 1, on a deg(m(1))⩾δ(m,n).
Si k⩾2, d’ap `es la ema que 9.6, l’in´egali ´e (9.11) ´equi au `a :
k
X
i=2
deg(m(i))⩾δ(m,n) +
k−1
X
i=2
deg(n(i)),
c’es -`a-di e :
k−1
X
i=1
deg(m−(i))⩾δ(m,n) +
k−2
X
i=1
deg(n−(i)),
ce qui es ai pa hypo h`ese de ´ecu ence.
P oposi ion 9.19. — La pa i ion µmes le plus g and ´el´emen de Pa (m), e I(m)poss`ede
un unique sous-quo ien i ´educ ible ´esiduellemen µm-d´eg´en´e ´e. Il appa aˆı a ec mul iplici ´e 1
comme sous-quo ien dans I(m).
Rema que 9.20. — L’o d e Esu les pa i ions n’´e an pas o al, il n’es pas ´e iden a p io i
que Pa (m) poss`ede un plus g and ´el´emen . Ainsi l’asse ion de la p oposi ion 9.19 es iple :
(1) l’ensemble Pa (m) adme un plus g and ´el´emen (au oma iquemen unique) ;
(2) ce plus g and ´el´emen es µm(ce qui implique en pa iculie que µm∈Pa (m)) ;
(3) le module de Jacque µm(I(m)) poss`ede un unique sous-quo ien i ´educ ible ´esiduelle-
men non d´eg´en´e ´e a ec mul iplici ´e 1.
D´emons a ion. — La pa i ion µmappa ien `a Pa (m) d’ap `es le lemme 9.17 e la d´e ini ion
8.7. Ce lemme implique aussi que µm(I(m)) a un unique sous-quo ien i ´educ ible ´esiduelle-
men non d´eg´en´e ´e a ec mul iplici ´e 1. Soi main enan ν= (ν1⩾ν2⩾...)∈Pa (m). On a
mon e , pa ´ecu ence su m, que l’on a νEµm.
D’ap `es le lemme g´eom´e ique e la p oposi ion 7.16, la ep ´esen a ion (m−ν1,ν1)(I(m)) es
soi nulle, soi compos´ee de ep ´esen a ions de la o me :
I(m1)⊗I(m2)
REPR´
ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 57
a ec m1,m2des mul isegmen s de la o me :
m1=
X
i=1
[ai, ci]ρi,m2=
X
i=1
[ci+ 1, bi]ρi, ai−1⩽ci⩽bi,deg(m2) = ν1.
D’ap `es le co ollai e 8.5, l’indui e I(m2) con ien une ep ´esen a ion ´esiduellemen non d´eg´en´e ´ee
si e seulemen si pou ou i, on a ci=biou ci=bi−1, c’es -`a-di e si m⊢m1. Puisque
ν∈Π(m), en ´ec i an ν−= (ν2⩾...), il exis e (pa ansi i i ´e du onc eu de Jacque )
un sous-quo ien i ´educ ible de (m−ν1,ν1)(I(m)) de la o me I(m1)⊗I(m2) o`u I(m2) con ien
un sous-quo ien i ´educ ible ´esiduellemen non d´eg´en´e ´e e o`u I(m1) con ien un sous-quo ien
i ´educ ible ´esiduellemen ν−-d´eg´en´e ´e. La condi ion su I(m1) en aˆıne pa hypo h`ese de ´ecu -
ence qu’on a ν−Eµm1. Comme ν1=δ(m,m1), on en d´edui que νes plus pe i e que la pa i ion
associ´ee `a (δ(m,m1), µm1). Finalemen , on d´edui du lemme 9.18 que νEµm.
9.4.2. ´
E an donn´es deux mul isegmen s m,m′, on a donne dans ce pa ag aphe des condi-
ions n´ecessai es e su isan es pou que S µm(m) e S µm′(m′) soien isomo phes.
Lemme 9.21. — Soien m,m′deux mul isegmen s supe cuspidaux. Si S µm(m)e S µm′(m′)
son isomo phes, alo s m=m′.
D´emons a ion. — L’hypo h`ese implique d’une pa que µm=µm′, d’au e pa que S (m(i))
e S (m′(i)) son isomo phes pou ou i⩾1. D’ap `es la p oposi ion 8.20, ceci en aˆıne que
m(i)=m′(i)pou ou i⩾1. Le lemme 9.4 implique alo s que m=m′.
Lemme 9.22. — Pou ou mul isegmen m, on a µm=µmsc e S µm(m)≃S µmsc (msc).
D´emons a ion. — Rema quons que, pa addi i i ´e de l’applica ion m7→ m(i), on a :
(9.13) µm+n=µm+µn
pou ous mul isegmen s me n. D’ap `es la p oposi ion 8.8, il su i de p ou e le lemme lo sque
mes une p´e iode, auquel cas le ´esul a es imm´edia .
On en d´edui la p oposi ion sui an e.
P oposi ion 9.23. — Soien m,m′deux mul isegmen s. Alo s S µm(m)e S µm′(m′)son iso-
mo phes si e seulemen si msc =m′
sc.
9.5. La ep ´esen a ion Z(m)
Dans ce e sec ion, on associe `a ou m∈Mul une ep ´esen a ion i ´educ ible Z(m).
9.5.1. La p oposi ion 9.19 nous pe me de donne la d´e ini ion sui an e.
D´e ini ion 9.24. — Soi m= ∆1+···+ ∆ un mul isegmen . Il y a un unique sous-quo ien
i ´educ ible de :
(9.14) I(m) = Z(∆1)×···×Z(∆ ),
no ´e Z(m), qui soi ´esiduellemen µm-d´eg´en´e ´e ( oi (9.8) e la d´e ini ion 8.7). Il appa aˆı a ec
mul iplici ´e 1 dans I(m) e l’unique sous-quo ien ´esiduellemen non d´eg´en´e ´e de µm(Z(m)) es
S µm(m).
Ceci d´ecoule de l’exac i ude du onc eu de Jacque e de la p op i´e ´e de mul iplici ´e 1 de la
p oposi ion 9.19.
64 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
(4) Si ℓ(˜ρ) n’es pas i ´educ ible, alo s ℓ(Z( ˜
∆)) ne l’es pas non plus. Pa exemple, si ˜ρes
une Qℓ- ep ´esen a ion cuspidale en i`e e elle que ℓ(˜ρ) = [ρ]+[ρ′]a ec ρe ρ′i ´educ ibles non
isomo phes, on a :
ℓ(Z([0,1]˜ρ)) = Z([0,1]ρ) + Z([0,1]ρ′) + [ρ×ρ′].
(5) Si ρes une Fℓ- ep ´esen a ion cuspidale elle qu’il exis e une Qℓ- ep ´esen a ion cuspidale
i ´educ ible ˜ρqui el`e e ρ, alo s Z([a, b]ρ) peu ˆe e aussi ca ac ´e is´e comme la ´educ ion modulo
ℓde Z([a, b]˜ρ). Ce e d´e ini ion ne d´epend pas du choix de ˜ρ( oi [14, P oposi ion 2.2.3]).
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INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
Albe o M´
ınguez, Ins i u de Ma h´ema iques de Jussieu, Uni e si ´e Pa is 6, 4 place Jussieu, 75005, Pa is,
F ance. URL: h p://www.ma h.jussieu. /∼minguez/ •E-mail : minguez@ma h.jussieu.
Vincen S´
eche e, Uni e si ´e de Ve sailles Sain -Quen in-en-Y elines, Labo a oi e de Ma h´ema iques
de Ve sailles, 45 a enue des E a s-Unis, 78035 Ve sailles cedex, F ance
E-mail : incen .seche e@ma h.u sq.