Aspectos numéricos del cálculo fotoelástico de factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie

ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. S (1991) ASPECTOS NUI1ERICOS DEL CALCULO FOTOELASTICO DE FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES MEDIANTE DESARROLLOS EN SERIE RESUMEN: R. Picón. F. Pa ís y C. Ri as. Dp o. de Mecánica de Medios Con inuos. E. T. S. Ingenie os Indus iales de Se illa. A da. Reina Me cedes s/n. 41 O 12 Se illa. En un abajo p e io [ 1) se expuso la me odología gene al del cálculo o oelás íco de los ac o es de in ensidad de ensiones median e desa ollos en se ie del campo gene al de ensiones y pos e io ajus e de lo5 coe icien es de dichos desa ollos a los da os expe imen ales ob enidos del campo de isoc óma icas. En dicho abajo se es udió la in luencia de un cie o núme o de ac o es en los esul ados numé icos ob enidos. En es e abajo se comple a el es udio numé ico p opues o, analizándose la in luencia en los esul ados de una se ie de ac o es, como son la solución inicial escogida, los e o es de medida, la dis ibución y núme o de los pun os u ilizados y la elación pun os-coe icien es. A pa i de los esul ados ob enidos se dan una se ie de ecomendaciones pa a el uso e icien e de es e ipo de mé odos. ABSTRACT: In a p e ious wo k [ 1]. he gene al me hodology o ob ain s ess in ensi y ac o s pho oelas ically by he use o s ess- unc ions se ies expansions and subsequen i ing o he coe icien s o he expe imen al isoch oma ic pa e n was p esen ed, analysing he in luence o se e al pa ame e s on he nume ical esul s. In his pape . ha nume ical s udy is comple ed, aking in o accoun a numbe o ac o s: ini ial es ima ions, e o measu es, dis ibu ion and numbe o poin s used and he a io poin s-coe icien s. F om he esul s ob ained, so ne ecommenda ions o he e icien use o his ype o me hods a e made. 1.- INTRODUCCION 231 En un abajo p e io [ 1] se expuso el mé odo gene al de calculo o oelás ico de los ac o es de in ensi icación de ensiones KI y Kn median e desa ollos en se ie de las unciones de ensión. En esencia, el p ocedimien o p opues o es el siguien e: en p ime luga , el enso de ensiones plano se exp esa [ 1] a pa i de cua o unciones de la a iable eje de la g ie a (y=O), y pueden se exp esadas median e desa ollos en se ie que sa is agan las condiciones de con o no en dicha línea y= O, en la que exis e una g ie a semide inida en x <O. En o ma simbólica, se iene: compleja z = x + iy = ei9 ( ,e :coo denadas pola es medidas desde el bo de de g ie a): Ojk (x,y) = Sjk [ZI(z), li(z)] + 8 jk [Zn(z).T)n(z)] j,k =X ,y ( 1) Las unciones complejas ZI , 11I (Zn , T)n) es án asociadas al campo simé ico (an isimé ico) de ensiones, espec o al ( 2) ep esen ando An. Bm, Cp. Dq. gené icamen e, los N, M, P, Q é minos de los desa ollos en se ie de ZI, li, ZII y T)n. Los alo es de KI y KII se ob ienen según: KI = -Vsñ. Ao y KII = -Vañ. B 0. Sus i uyendo los desa ollos (2) en ( 1) y usando las exp esiones de las ensiones en la ecuación de una isoc omá ica de o den N, pa a un ma e ial de ac o de anja A. y espeso e [2]: 232 ANALES DE MECANICA DE LA FRACI'URA Vol.8 (1991) F( Oxx .oyy ,Oxy.N)=( e/NA)~ ( Oxx-Oyy) 2+( 20xy)2]-1 =O ( 3) se ob iene la ecuación de una isoc omá ica de o den N en unción de los coe icien es del desa ollo: ( 4) La unción u ilizada en ( 3) es la denominada F0 en [ 1]. La di icul ad de si ua con p ecisión el ex emo de g ie a hace aconsejable inclui las coo denadas de es e ex emo, 0, e0. como a iables del ajus e. Las a iables y e eales se exp esan a pa i de e. e e y de *. e*. ( alo es medidos) según ( Fig. 1 ). 2=( "J2+ 2 0 -2 * ecos(e"-ee) (Sa) g9 = ( * sen e"- e sen ee) 1 ( * cose" - e cos ee) ( Sb) Fig. 1.- Relación geomé ica en e , e. 0, e0y *, e* La ec. ( 4) se gene aliza en onces en la o ma: Los coe icien es de la ec ( 6), en núme o N + M + P + Q + 2 = T se calculan pa icula izando dicha ecuación en S pun os de dis in as isoc omá icas, cada uno con unos alo es *s· e*s· Ns. (s = 1, S). Pa a minimiza el e ec o de los e o es de medida es con enien e adop a S > T, lo que dá un sis ema sob ede e minado no lineal de ecuaciones, que en gene al no end á ninguna solución. Si denominamos ec o esiduo al conjun o de alo es Fs (s = 1, S)., O, en cade pun o, se busca la solución que minimice el módulo del ec o esiduo. Dicha solución se ob iene median e un p ocedimien o i e a i o que combina el mé odo de New on- Raphson gene alizado [ 1] con el de mínimos cuad ados. Una ez calculados los coe icien es se ep esen an las isc omá icas ob enidas pa a e alua isualmen e la bondad del ajus e ob enido. 2.- ANALISIS NUMERICO E 1 caso a na 1 izado consis e en una placa accionada que con iene una g ie a inclinada, de g andes dimensiones compa ada con el ancho de la placa, pa a que apa ezca una pe u bación debida al bo de lib e. Las dimensiones exac as y las p opiedades del ma e ial o oelás ico, así como una o og a ía del campo de isoc omá icas, puede e se en [ 1]. En la Fig. 2 puede e se el conjun o de pun os u ilizado (signo +),es ando la zona de medida ca ac e izada po 0'0 1 < /a < 0'3. La posible in alidez de la solución elás ica en los pun os CPPBL/T-443-1.8 .+-·+.+- +-+ ... + + + + + a) K1= 1.913 K2• 0.852 + CPPBL/T-443-18 .... Fig. 2.- Caso óp imo: T-443-18. a) is aglobal; b) is a ce cana. más ce canos al bo de de g ie a se comp oba á median e la bondad de los ajus es. A con inuación se analizan una se ie de ac o es numé icos, que comple an el es udio iniciado en [ 1). ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol.8 (1991) 2.1. ESTIMACIOH INICIAl La solución inicial que se p oponía en [ 1] e a KI = KII = 1 y el es o de los coe icien es nulos. Po un e o , sin emba go, el coe icien e A3 e a igual a 0'006. Al ecalcula los casos analizados en [ 1) usando una nue a solución inicial con A3 =o se encon ó que los alo es de KI = Kn ob enidos no su ían excesi as a iaciones pe o, en algunos casos, e 1 ajus e de las isoc omá icas más lejanas (las de o den meno ) a iaba sensíb lamen e. Es o hizo aconsejable p ocede a una nue a búsqueda del ajus e que se á a usa como óp imo, pa a lo que se manejó el núme o o al de pun os ( 443). En odos los casos se usó ya la solución inicial KI = Kn = 1 y el es o de los coe icien es nulos. En la Fig. 3 se mues a la e olución del esiduo con el núme o de coe icien es usado; de es e núme o, dos coe icien es son las coo denadas del bo de de g ie a y el es o son los é minos de los desa ollos de las cua o unciones complejas (ec. (2)), a pa es iguales en e cada una de ellas. La inspección isua 1 e ela un ajus e co ec o de odo e 1 campo pa a 18 coe icien es, Fig. 2, lo que es á asociado a une 1.600 1.371 .. 1.143 "' " 1! 0.914 a: 0.666 0.457 0.229 0.000 Caso T-443- Coe icien es 6.0 10.0 14.0 16.0 22.0 26.0 30.0 34.0 36.042.0 Fig. 3.- Residuo en e a núme o de coe icien es. Caso T -443-COEFICIENTES. es abilización del esiduo. (La le a T, Fig. 2., indica que se usan odos los pun os, y las dos siguien es ci as indican el núme o de pun os y el núme o de coe icien es u ilizados). El esiduo, sin emba go, no es un indicado absolu o, en el sen ido de que apa ecen pe u baciones del ajus e cuando aún el esiduo se compo a monó onamen e, como se mues a en la Fig. 4, en la que se ha ep esen ado el caso T -443-34. Una ez escogido el caso óp imo de e e encia T -443-18 se p ocedió a esol e es e caso a iando la es imación inicial de las siguien es o mas: a) se usó como solución inicial la ob enida en el caso T -443-18 mul iplicada po 0.2; b) ldem 3.5; e) se usó como solución inicial pa a los alo es de A 0 y B 0 (asociados a KI = Kn ) los del óp imo mul iplicados po 0.2, man eniendo nulas el es o de las a iables; y d) ldem CPPBL/T-443-34 K1= 1.936 .+ + ..... +_.;. . .: ',: Fig. 4.- Caso T -443-34. Vis a global. 3.5. En odos los casos el mé odo con e gió a la solución óp ima, lo que pa ece indica obus ez an e cambios homogéneos y cie a sensibilidad an e pequeños cambios alea o ios. En odo caso, con iene ealiza algunas p uebas con la es imación inicial an es de da un ajus e po malo. 2.2. ERRORES DE MEDIDA Las isoc omá icas de o den bajo ienen una banda muy ancha, po lo que es ácil come e e o es al medi el adio de los pun os. Pa a es ima como in lui ían es os e o es se esol ió el caso óp imo a iando los adíos de las isoc omá ícas de o den 1.5 y 2 (las de adios mayo es), que se aumen a on en un 1 O y 5~, espec i amen e; pos e io men e se epi ió el analisis pe o disminuyendo los adios en los mismo po cen ajes. Los ac o ·es de in ensidad de ensiones ob enidos ue on KI = 1 '883, Kn = 0'855, pa a el caso de adios aumen ados, y KI = 1'95, Kn = 0'847 pa a el caso de adios disminuidos. En conjun o, la máxima a iación de KI ué del 1 ·g~ y la de Kn del 0'6%, po lo que pa ece que es os e o es no ienen una in luencia sensible. 2.3. DISTRIBUCION DE lOS PUNTOS Usando ap oximadamen e la mi ad del núme o o al de pun os es os se dispusie on: a) sob e las zonas la e ales (es deci de meno adio) de cada isoc omá ica (cla e LAT); b) sob e las zonas ex emas (es deci , las de mayo adio de cada isoc omá ica (cla e MAX); y e) epa idos uni o memen e po odas las isoc omá icas (cla e MIT). El an o po cien o de a iación de los alo es ob enidos de K 1 y 233 234 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. S (1991) Ku espec o a los del óp imo (dK¡ dK¡¡) se mues an en la Tabla 1. Como además el ajus e ué mejo en el caso MIT, concluimos que es con enien e dis ibui los pun os uni o memen e sob e odo el campo. Tabla 1: Dis ibución de pun os CASO dK1 dKz I LAT- 221- 18 1.4 -1.3 MAX- 222- 18 -1.2 0.87 MIT -220-18 -o.2 0.11 2.4 NUMERO DE PUNTOS NECESARIOS El núme o o al de pun os se ob u o azando adios de 5 en 5 g ados e i n e sec ando es as ec as con las isoc omá icas. Pa a gene a una se ie dec ecien e de pun os se aza on los adios con in e alos de 1 O, 1 5, 20, 25 y 30 g ados, lo que dió un núme o de pun os de ap oximadamen e la mi ad del o al, un e cio del o al , e c ... , has a un sex o del o al (cla es MIT, TER, CUA, QUI, SEX). Los alo es ob enidos de ~K¡ y dKu (de inidos en el apa ado an e io ) se mues an en la Tabla 2. En cuan o al aspec o de los ajus es ob enidos, son p ác icamen e idén icos al óp imo has a el caso QUI-88-18. En el caso SEX- 72-18 se p oduce ya una pe u bación e iden e en las zonas más alejadas del bo de de g ie a, como se ap ecia en la is a global de la Fig. 5. En és a, los pun os ep esen ados con el símbolo "*" son aquellos que no han sido u ilizados en el ajus e. '"·"·"''"'""'""""'"""; ''"""' * ;" * ! i .,+· * .... . * *,.¡:··* * * K1• 1.956 K2• El.ll41J Fig. 5.- Caso SEX-72-18. Vis a global Es in e esan e menciona que la o ma u ilizada de i educiendo los pun os no los epa e uni o memen e en e odas las isoc omá icas. Como ejemplo se mues an en la Tabla 2· Núme o de pun os necesa ios CASO dK 1 d K¡ I MIT- 220- 18 -.18 .11 TER- 147- 18 -.11 .23 CUA- 108- 18 -.83 .65 QUI- 88- 18 .15 -.16 SEX -72- 18 2.0 2.3 Tabla 3 los pun os adop ados en cada isoc omá ica en los casos QUI-88-18 y SEX-72-18. Pa a es ima la in luencia de es a disposición de los pun os se esol ió un nue o caso adop ando 6 pun os po isoc omá ica, 3 po cada lazo ce ado; de es os 3 pun os, uno enía el adio máximo y los o -os dos los -adios mínimos. Es o dá un o al de 72 pun os, Igual que en el caso SEX-72-18, que aún daba alo es acep ables de K¡ y Ku. Tabla 3: Pun os po isoc omá ica IS~ QUI-88 -le SEX-72 -18 CROMA TIC 1.5 11 9 2 11 8 2.5 9 7 3 8 7 3.5 8 6 4 8 6 4.5 7 6 5 7 6 5.5 6 6 6 5 5 6.5 4 4 7 4 2 Los esul ados ob enidos ue on pésimos, debido a una mala con e gencia del p oceso i e a i o. Pa ece pues ecomendable g adua el núme o de pun os po isoc omá íca, en la línea desc i a an e io men e. En cuan o al núme o de pun os a u iliza , los esul ados ob enidos pa ecen indica que 5 ó 6 pun os, po cada lazo ce ado, en las isoc omá icas más ex e nas, son su icien es, lo que, en nues o ejemplo, es á asociado al c-aso QUI-88-18. Es e núme o de pun os ( 88) es azonablemen e pequeño como pa a se manejado con comodidad en los casos eales que pueden p esen a se. 2.5. RElACION PUNTOS-COEFICIENTES Las ideas an e io es son una o ien ación espec o al núme o de pun os que es con enien e u iliza . Respec o al núme o de coe icien es, es ob io que debe se el su icien e pa a pode ajus a co ec amen e en la zona de medida u ilizada. Sin emba go, no es una buena es a egia u iliza un núme o excesi o de coe icien es, pues pa a un cie o alo de ANALES DE MECAJ TJ:CA DE LA FRAC URA Vol.8 (1991) 235 la elación pun os/coe icien es empiezan a p oduci se ines abilidades numé icas, apa en emen e debidas a que los coe icien es de las ma ices que in e ienen en el p oceso oman alo es de ó denes de magni ud muy di e en es. En la Tabla 4 se mues an los esul ados ob enidos pa a el caso de cla e QUI, al aumen a el núme o de coe icien es. R y P /C ep esen an el esiduo ob enido y la elación en e pun os y coe icien es. Las columnas AC y AL e lejan la imp esión isual de los ajus es en las zonas ce canas (AC) y lejanas (AL), según B(bueno), R( egula ) y M (malo). La nomencla u a B-n indica que el ajus e es bueno excep o en las n isoc omá icas más ex e nas, en que es malo, po habe se p oducido una pe u bación de la so lución. Tabla 4: Se ie c ecien e de coe icien es, pa a el caso QUI-88-COEF. . COEF. .K .K R AC AL P/C 6 -14.3 10.6 .7 M M 15. 10 -7.7 3.9 .5 M M 8.8 14 -2.1 3.0 .25 B B-1 6.3 18 .15 -.16 .20 B ¡; 4.9 22 1.2 -1.0 .17 B B-2 4.0 26 .9 -1.1 1.1 B B-3 3.4 30 NO - I!W K "L.Y La endencia que se obse a en dicha abla es gene al, y se p esen a siemp e que in en emos ajus a un campo amplio de isoc omá icas. Apa ecen en p incipio malos ajus es debido a que un bajo núme o de coe icien es no puede ajus a un campo amplio, se pasa po una e apa de buen ajus e y inalmen e empiezan a apa ece pe u baciones de la solución. Al inal el mé odo no con e ge, endiendo a pe manece en la solución inicial p opo cionada. Aunque el esiduo, como ya se comen ó an e io men e, no es un indicado absolu o, sí que puede deci se: a) que cuando el esiduo empieza a es abiliza se es amos en las p oximidades del núme o óp imo de coe icien es;y b) que sal os b uscos del esiduo indican un núme o excesi o de coe icien es (obsé ese es o en la Tabla 4, pa a 26 coe icien es y en la F ig. 3, pa a 38 coe icien es). Como conclusión, no se debe i de en ada a un al o núme o de coe icien es, siendo p e e ible un aumen o p og esi o de és os. Aunque en la Tabla 4 el ajus e empieza a pe u ba se pa a P /C ñ 4y el mé odo no con e ge pa a P /C ñ 3, es os ac o es no pa ecen pode se gene aliza , es ic amen e, a o os casos en que a íe la zona de oma de pun os, ó el núme o de és os. 2.6. OTRAS POSIBILIDADES Aunque la me odología gene al que se ecomienda es la desc i a en apa ados an e io es, se incluyen aquí algunas o as posibilidades que manejan un meno núme o de pun os. 2.6.1. SIMULACION DEL CAMPO CERCANO En la Tabla 5 se mues an los esul ados ob enidos usando odos los pun os de las dos isoc omá icas más ce canas ( 6.5 y 7) cla e C657-44-COEF , al inc emen a el núme o de coe icien es. La nue a columna PAC indica, median e los símbolos S(si), R( egula ) y N(no), si el ajus e es á pe u bado, es deci si el aspec o del campo ob enido es análogo al eal. Tabla 5: Se ie c ecien e de coe icien es, pa a e 1 caso C657-44-COEF. COEF. .K .Kn R AC PAC P/C 6 2. -4.7 .07 B N 7.3 10 15.4 -19. .05 B R 4.4 14 3. -10.3 .27 M S 3.1 18 42 -42. .03 B S 2.4 Se abse a que con 6 coe icien es los esu Hados son acep ables pe o a pa i de ahí el compo amien o es e á ico. El ajus e del campo ce cano se ía, aún u ilizando un mé odo que pe mi e el ajus e en odo el dominio, la idea más inmedia a , pues mien as más ce cana al bo de de g ie a sea la zona de oma de pun os, más con olado es á ese campo de ensiones po los é minos singula es del desa ollo en se ie. Sin emba go hay di e sos p oblemas asociados a oma medidas en dicha zona, en e los que cabe menciona los siguien es: a) las ensiones en la zona de medida pueden es a al e adas po di e sas no-linealidades; b)Pueden no exis i isoc omá icas ce canas, po al a de sensibilidad del ma e ial, ó aquellas pueden es a · ocul as po la p esencia de una cáus ica (hecho ecuen e en o oelas icidad dinámica); y e) el alo ob enido pa a KI y Kn depende no sólo del .buen ajus e ob enido en los pun os u ilizados, sino del aspec o local del campo de ensiones. En las igu as 6a y b se mues a el ajus e ce cano de los casos C657-44-06 y C657-44-1 O, obse ándose en es e úl imo que, aunque el ajus e de los pun os u ilizados es bueno, la solución es á pe u bada, lo que o igina sensibles di e encias en e los alo es de KI y Kn en uno y o o caso. Pa ece mejo consegui ajus es de zonas más amplias según las ecomendaciones de los apa ados an e io es ó siguiendo las líneas del apa ado siguien e. que in en a es ima subje i amen e en cuan o al e a á los esul ados una cie a pe u bación del ajus e. 2.6.2. SIMULACION DEL CAMPO CERCANO Y LEJANO En la Tabla 6 se mues an los esul ados ob enidos usando: a) 48 pun os dispues os en las isoc omá icas 1.5, 2, 6.5 y 7, ob enidos usando adios sepa ados 15 g ados (cla e 236 ANALES DE MECANICA DE LA FRAC URA Vol. S (1991) TER152657); y b) 35 pun os dispues os 'sob e las isoc omá icas 1.5 y 7. ob enidos usando adios sepa ados 1 O CPPBL/T657-44-06 .. CPPBL/T657-44-H~ . ·. *· ', * ' . .. . . . .··• ' • Fig. 6.- a) Caso C657-44-06. Vis a ce cana; b) Caso C657-44-1 O. Vis a ce cana. g ados (cla e MIT15Y7). En ambos casos se han usado 18 coe icien es. Como puede obse a se, pueden ob ene se esul ados muy acep ables ajus ando a la ez pun os de isoc omá icas de Tabla 6: Casos TER152657-48-18 y MIT15Y7-35-18. CASO 6KI 6Kn R AC AL P/C TER152657- 2.7 -2.3 .17 B B 2.7 -48-18 MIT15Y7- 3.2 -3.4 .06 B B 1.9 -35-18 o den al o y bajo. El ajus e en los pun os de isoc omá icas in e medias, no u ilizadas, iene o zado po las de o denes más ex emos . 3. CONCLUSIONES Del es udio del compo amien o numé ico de los mé odos o oe lás icos de cálculo de ac o es de in ensidad de ensiones median e desa ollos en se ie pueden ex ae se algunas conclusiones, que debe ían añadi se a las es ablecidas en [ 1 ): a) El mé odo pa ece obus o espec o a a iaciones egula es de la es imación inicial, aunque cambios aislados en algún coe icien e pueden al e a la solución. Se ecomienda p oba a ias soluciones iniciales an es de da po malo un ajus e. Asimismo, se obse a que la solución no a ia sensiblemen e con a iaciones del o den del 5 al 10% en los adios mayo es . b) Se ecomienda usa odo el campo de medida, disponiendo pun os uni o memen e dis ibuidos en cada isoc omá ica, y usando más pun os en las de o den meno . En es as, un núme o de pun os, po cada lazo ce ado, ap oximadamen e igua 1 a 5 ó 6. pa ece se su icien e. e) Escogido un núme o de pun os, el núme o de coe icien es necesa io coincide ap oximadamen e con la es abilización del esiduo, y debe se alidado isualmen e. Un núme o de coe icien es excesi o p o oca p oblemas numé icos. d) Pueden ob ene se es imaciones iables ajus ando a la ez zonas ce canas y lejanas, lo que ue za el ajus e en las zonas in e medias. 4.AGRADECIMIENTOS -Los au o es ag adecen el imp escindible abajo de An onio Cañas en e 1 Labo a o io. - Es e abajo ha sido inanciado median e el P oyec o 5853 de la Jun a de Andalucía, "Ca ac e ización de G ie as en Régimen Elas odinámico". 5. REFERENCIAS [ 1] Picón, R.; Pa ís, F. y Ri as C. ( 1990) "Cálculo o oelás ico de ac o es de in ensidad de ensiones median e desa ollos en se ie. Es udio numé ico". Anales de Mecánica de la F ac u a, Vol. 7 pgs. 218-224. [2) Dally, J.W. y Riley, W.F. ( 1978) "Expe imen al s ess analysis". McG aw-Hill.