Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno

Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno Autor: Andrés Muñoz Leal Tutor: Héctor Cifuentes Bulté Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 ii iii Trabajo Fin de Máster Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno Autor: Andrés Muñoz Leal Tutor: Héctor Cifuentes Bulté Profesor Titular de Universidad Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 iv v Trabajo Fin de Máster: Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultraaltas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno Autor: Andrés Muñoz Leal Tutor: Héctor Cifuentes Bulté El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal vi vii A mis padres, María Luz y Andrés. A mis profesores, especialmente a mi tutor Héctor Cifuentes Bulté. A mis compañeros y amigos. viii ix AGRADECIMIENTOS Seis años después de entrar parece que se culmina una etapa de formación académica y personal en la Escuela. Un largo caminar para conseguir lo que tanto anhelaba desde que tengo uso de razón: SER INGENIERO. Parece que fue ayer cuando, nada más aterrizar en la Isla de la Cartuja, depositaba un sobre blanco con mi nombre y titulación, Grado en Ingeniería Civil, en un buzón de madera, con las instrucciones pegadas en el frente, y quién me lo iba a decir, lo más importante estaba detrás de mí, incondicionales, mi familia, mis padres. Ellos son el principal motivo de estas líneas, los que me ayudaron a remar tantas veces a contracorriente, los que sabían lo que necesitaba en cada momento y los que hacen que siempre intente ser mejor persona, que se sientan orgullosos de mí como yo lo estoy de ellos. Muchas gracias, sé que siempre estaréis. A mis compañeros y amigos, sólo ellos pueden ponerse en mi piel cuando nadie logra comprender las alegrías y desesperanzas de esta carrera. Sería imposible nombrar a todos los que me llevo más allá de estas cuatro paredes pero, si hay alguien que destacar en mi periplo en el Máster, aquel que sé que va a leer está página…Javi: “como un hombre piensa, así es su vida”. Muchas gracias. Por último, agradecer a todos los profesores, que cada uno a su manera, han conseguido formarme y motivarme para alcanzar mi sueño, y en especial a mi tutor de este trabajo, Héctor Cifuentes, que me ha guiado en el final de mi enseñanza. También a José David Ríos, que sin su inestimable ayuda no podría estar presentando este trabajo. Andrés Muñoz Leal Sevilla, 2018 xvi xvii ÍNDICE DE FIGURAS Figura 0-1. Moldes utilizados para la elaboración de las probetas [1] xi Figura 1-1. Pasarela peatonal, Sherbrooke, Quebec, Canadá [3] 21 Figura 1-2. Infografía de la evolución del spalling [10] 22 Figura 2-1. Materiales cementicios y áridos 23 Figura 2-2. Superplastificante utilizado en la mezcla 24 Figura 2-3. Curva tensión-deformación de las fibras de acero [7] 24 Figura 2-4. Fibras de acero utilizadas 25 Figura 2-5. Fibras de polipropileno [12] 25 Figura 3-1. Probeta cúbica sometida carga uniaxial de compresión [1] 27 Figura 3-2. Probeta cilíndrica sometida a cargas cíclicas [1] 27 Figura 3-3. Probeta prismática sometida al ensayo de flexión en tres puntos [1] 27 Figura 3-4. Ensayo de flexión en tres puntos a 300ºC [5] 28 Figura 3-5. Anillos y transductores LVDT utilizados [1] 31 Figura 3-6. Ciclos para la determinación del módulo secante de elasticidad estabilizado (Método B) 32 Figura 3-7. Transmisión de tensiones en la ZPF [15] 35 Figura 3-8. Zona de afección del Hinge Model [15] 35 Figura 3-9. Ley de ablandamiento bilineal [15] 36 Figura 3-10. Geometría, esfuerzos y deformación del elemento “bisagra” [15] 37 Figura 3-11. Curvas P-pos fallidas a temperatura ambiente 37 Figura 3-12. Curva carga-posición del actuador DF1_ST_4 38 Figura 3-13. Curva carga-flecha DF1_ST_4 38 Figura 3-14. Comparación curvas depuradas P-posición del actuador y P-flecha 39 Figura 3-15. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF1_ST_4 40 Figura 3-16. Representación gráfica del Hinge Model a temeperatura ambiente 40 Figura 3-17. Curvas P-pos fallidas a 100ºC 41 Figura 3-18. Curva carga-posición del actuador DF2_ST_1 41 Figura 3-19. Curva carga-posición del actuador DF2_ST_2 42 Figura 3-20. Curva carga-posición del actuador DF2_ST_4 42 Figura 3-21. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF2_ST_1 43 Figura 3-22. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF2_ST_2 43 Figura 3-23. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF2_ST_4 44 Figura 3-24. Representación gráfica del Hinge Model a 100ºC 44 Figura 3-25. Curva carga-posición del actuador DF3_ST_1 45 xviii Figura 3-26. Curva carga-posición del actuador DF3_ST_2 45 Figura 3-27. Curva carga-posición del actuador DF3_ST_3 46 Figura 3-28. Curva carga-posición del actuador DF3_ST_4 46 Figura 3-29. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF3_ST_1 47 Figura 3-30. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF3_ST_2 47 Figura 3-31. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF3_ST_3 48 Figura 3-32. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF3_ST_4 48 Figura 3-33. Representación gráfica del Hinge Model a 200ºC 49 Figura 3-34. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_1 50 Figura 3-35. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_2 50 Figura 3-36. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_3 51 Figura 3-37. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_4 51 Figura 3-38. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_1 52 Figura 3-39. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_2 52 Figura 3-40. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_3 53 Figura 3-41. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_4 53 Figura 3-42. Representación gráfica del Hinge Model a 300ºC 54 Figura 3-43. Comparación de los valores de la ley de ablandamiento de los hormigones 55 Figura 3-44. Aproximación lineal del efecto de la temperatura en el módulo elástico 56 Figura 3-45. Curva carga-posición del actuador DF6_A_ST_1 57 Figura 3-46. Curva carga-posición del actuador DF6_B_ST_2 57 Figura 3-47. Curva carga-posición del actuador DF6_ST_TA_3 58 Figura 3-48. Curva carga-posición del actuador DF6_ST_TA_4 58 Figura 3-49. Curva carga-flecha DF6_A_ST_1 59 Figura 3-50. Curva carga-flecha DF6_B_ST_2 59 Figura 3-51. Curva carga-flecha DF6_ST_TA_3 60 Figura 3-52. Curva carga-flecha DF6_ST_TA_4 60 Figura 3-53. Comparación de las curvas posición del actuador/flecha-carga 61 Figura 3-54. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF6_A_ST_1 62 Figura 3-55. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF6_B_ST_2 63 Figura 3-56. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF6_ST_TA_3 63 Figura 3-57. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de xix DF6_ST_TA_4 64 Figura 3-58. Representación gráfica del Hinge Model a temeperatura ambiente 65 Figura 3-59. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_1 65 Figura 3-60. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_2 65 Figura 3-61. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_3 66 Figura 3-62. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_4 66 Figura 3-63. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_1 67 Figura 3-64. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_2 67 Figura 3-65. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_3 68 Figura 3-66. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_4 68 Figura 3-67. Representación gráfica del Hinge Model a 300ºC 69 Figura 3-68. Comparación de los valores de la ley de ablandamiento de los hormigones 70 Figura 4-1. Diagramas de esfuerzos y geometría de la viga 71 Figura 4-2. Dimensionamiento de la sección transversal de la viga 72 Figura 4-3. Modelización de la viga de UHPFRC 72 Figura 4-4. Modelización de la armadura pasiva longitudinal 73 Figura 4-5. Modelización de la armadura transversal 73 Figura 4-6. Coeficientes de corrección con la temperatura de las características mecánicas de los aceros estructurales al carbono [19] 75 Figura 4-7. Elementos que conforman el modelo 76 Figura 4-8. Nodos de la parte Viga 76 Figura 4-9. Cargas y condiciones de contorno aplicadas al modelo 77 Figura 4-10. Inicio de la fisuración en la viga 78 Figura 4-11. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 78 Figura 4-12. Representación de la flecha de la viga 79 Figura 4-13. Curva Carga-Flecha UHPFRC a temperatura ambiente sin armadura 79 Figura 4-14. Inicio de la fisuración en la viga 80 Figura 4-15. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 80 Figura 4-16. Representación de la flecha de la viga 81 Figura 4-17. Curva Carga-Flecha UHPFRC a temperatura ambiente con armadura 81 Figura 4-18. Inicio de la fisuración en la viga 82 Figura 4-19. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 82 Figura 4-20. Representación de la flecha de la viga 83 Figura 4-21. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 100ºC sin armadura 83 Figura 4-22. Inicio de la fisuración en la viga 84 Figura 4-23. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 84 Figura 4-24. Representación de la flecha de la viga 85 xx Figura 4-25. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 100ºC con armadura 85 Figura 4-26. Inicio de la fisuración en la viga 86 Figura 4-27. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 86 Figura 4-28. Representación de la flecha de la viga 87 Figura 4-29. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 200ºC sin armadura 87 Figura 4-30. Inicio de la fisuración en la viga 88 Figura 4-31. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 88 Figura 4-32. Representación de la flecha de la viga 89 Figura 4-33. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 200ºC con armadura 89 Figura 4-34. Inicio de la fisuración en la viga 90 Figura 4-35. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 90 Figura 4-36. Representación de la flecha de la viga 91 Figura 4-37. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 300ºC sin armadura 91 Figura 4-38. Inicio de la fisuración en la viga 92 Figura 4-39. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 92 Figura 4-40. Representación de la flecha de la viga 93 Figura 4-41. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 300ºC con armadura 93 Figura 4-42. Inicio de la fisuración en la viga 94 Figura 4-43. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 94 Figura 4-44. Representación de la flecha de la viga 95 Figura 4-45. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a temperatura ambiente sin armadura 95 Figura 4-46. Inicio de la fisuración en la viga 96 Figura 4-47. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 96 Figura 4-48. Representación de la flecha de la viga 97 Figura 4-49. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a temperatura ambiente con armadura 97 Figura 4-50. Inicio de la fisuración en la viga 98 Figura 4-51. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 98 Figura 4-52. Representación de la flecha de la viga 99 Figura 4-53. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a 300ºC sin armadura 99 Figura 4-54. Inicio de la fisuración en la viga 100 Figura 4-55. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga 100 Figura 4-56. Representación de la flecha de la viga 101 Figura 4-57. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a 300ºC con armadura 101 Figura 4-58. Modelo de ensayo a flexión en tres puntos 102 Figura 4-59. Curvas carga-flecha MEF vs test UHPFRC a temperatura ambiente 102 Figura 4-60. Curvas carga-flecha MEF vs test UHPFRC+PP a temperatura ambiente 103 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 21 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS os hormigones de ultra-altas prestaciones (UHPC) son un material compuesto de carácter cementicio caracterizado por una cantidad significante de cemento (más de 600 Kg), áridos de pequeño tamaño, aglutinante (en forma de humo de sílice, escoria de alto horno o cenizas) y una baja relación agua/cemento (w/c≤0.2). Esta dosificación genera un hormigón con mejores características en su comportamiento, mayor durabilidad y dureza que los hormigones de normal y alta resistencia. La incorporación de fibras de acero (UHPFRC) mejora significativamente el comportamiento a tracción de los mismos y el comportamiento en fractura, originando a su vez un material con una mayor ductilidad y por tanto, se incrementa la energía de deformación del hormigón. Es necesario remarcar que una mayor resistencia a compresión conlleva a su vez una mayor resistencia a tracción y un mayor módulo elástico. Debido a estas propiedades, una de las mayores y prometedoras aplicaciones es en la rehabilitación de estructuras, por ejemplo en la superestructuras de puentes sometidos a ambientes y cargas severas, también en las estructuras de edificios de gran altura o puentes, reduciendo el tamaño de las secciones, en pavimentos o incluso en elementos de mobiliario, permitiendo placas de 30 mm de espesor [2]. La primera aplicación de estos novedosos hormigones fue un puente, la pasarela Sherbrooke, realizada en 1997 en Canadá. Estas estructuras aprovechan todas las ventajas del material al estar sometidas a esfuerzos normales. En 2013 se construyó una pasarela de similares características en la UPV en Alicante, siendo la primera estructura de ingeniería de este material en España. Figura 1-1. Pasarela peatonal, Sherbrooke, Quebec, Canadá [3] Más de dos décadas después se sigue investigando para conocer más a fondo y perfeccionar estos hormigones, motivo por el cual este trabajo versa de la influencia de la temperatura en el comportamiento en fractura, afectando a su vez a su ductilidad. Como hipótesis inicial, se puede llegar a pensar que la temperatura genera un efecto parecido al envejecimiento, que en los hormigones de alta resistencia, con humo de sílice en su composición, se vuelven más frágiles, desarrollando menos energía de deformación. Este hecho puede ser atribuido al endurecimiento de la mezcla y de las interfaces con el tiempo, generando caminos de crecimiento de grieta menos tortuosos [4]. Detrás de la motivación de esta línea de investigación está la adición a las aplicaciones de los UHPRFC de depósitos sometidos a variaciones de temperatura entre 100ºC y 300ºC, siendo un material con buenas propiedades mecánicas, trabajabilidad in situ, alta disponibilidad y, en cualquier parte del mundo, competitivo económicamente [5]. Además, se añaden como aditivo a los UHPFRC, en esa misma dosificación, fibras de polipropileno con el objetivo de observar una reducción del daño producido por la subida de temperatura en el material, de L 1. Introducción y objetivos 22 temperatura ambiente a 300ºC, evitando el fenómeno conocido como spalling, muy frecuente en incendios donde se pueden llegar a alcanzar los 1000ºC en recintos cerrados. El proceso de desprendimiento, también llamado spalling, tiene lugar rápidamente, a los 100-150 ºC, como resultado del impacto térmico y el cambio de estado del agua intersticial. Proceso que, con el tratamiento térmico que se aplica en este Trabajo, se debe producir y afectar a las propiedades del material A medida que el agua se convierte en vapor y debido a la densa estructura del hormigón, el vapor no puede escapar eficientemente a través de su matriz, y la presión aumenta. Cuando la presión en el hormigón es superior a su resistencia, comienza el spalling, deteriorando el material generando coqueras exponiendo a la matriz a un calor intenso, lo que reproduce el proceso de desprendimiento a mayor velocidad [11]. El Trabajo se estructura de forma que, una vez puestos en situación y fijados los objetivos del mismo, el punto 2 enumera los materiales utilizados en la fabricación del hormigón, estableciendo la dosificación empleada. En el 3 se detallan los ensayos realizados para caracterizar el hormigón a compresión, a temperatura ambiente, 100ºC, 200ºC y 300ºC, cada uno de ellos con su valor de resistencia y módulo elástico y, además, se han testado para conocer su comportamiento en fractura, obteniendo los parámetros necesarios para modelar la apertura de grieta de forma bilineal, siguiendo las directrices del Hinge Model. En el siguiente apartado, el 4, se modeliza una viga de UHPRFC armada biapoyada con los valores obtenidos en laboratorio, en la simulación, realizada en Abaqus de SIMULIA®, se detallan los patrones de fisura mediante las deformaciones plásticas y las curvas carga-flecha, en este mismo apartado se validará el modelo diseñado comparando los valores de la curva cargaflecha experimental por la obtenida numéricamente mediante otro modelo que reproduce el ensayo de flexión en tres puntos. En el 5 se mostrarán las conclusiones más relevantes de lo previamente observado y registrado. Finalmente, en el capítulo 6, se expondrán las posibles vías de mejora y ampliación de este Trabajo. Figura 1-2. Infografía de la evolución del spalling [10] Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 23 2 MATERIALES Y DOSIFICACIONES DE LOS HORMIGONES UHPFRC Elaborar UHPFRC requiere materias primas exclusivas (fibras de alto límite elástico, aditivos de última generación, áridos selectos de pequeño diámetro). Del análisis de dosificaciones anteriores [13] concluye:  En la mayoría de casos el tamaño máximo de árido inferior a 0.8 mm, siempre siendo de alta resistencia (basalto, diabasa, bauxita, cuarcita).  Se utiliza casi siempre humo de sílice y, a menudo SiO2 cristalina (harina de cuarzo) como fracción ultrafina para conseguir máxima compacidad.  La proporción tanto de humo de sílice como de harina de cuarzo sobre el peso de cemento es de alrededor del 25%. Si no se utiliza harina de cuarzo, se necesita máscemento u otras adiciones. En este Trabajo se utiliza la dosificación utilizada por J.D. Ríos [5] y, tal como se especifica en este artículo, sigue las recomendaciones realizadas por Deeb et al [6]. Los materiales empleados en la fabricación del hormigón de ultra-altas prestaciones reforzado con fibras de acero (UHPFRC) son los siguientes:  Materiales cementicios: o CEM I 52,5 R-SR: provisto por PORTLAND VALDERRIVAS® se trata de un cemento tipo 1, obtenido tras mezclar el Clinker con yeso, de elevada resistencia mecánica 52,5 R y con muy bajo contenido en aluminato tricálcico (C3A), lo que le confiere las siguientes características:  Menor vulnerabilidad química ante agresiones de tipo salino por agua de mar o sulfatos.  Altas resistencias a compresión a edades tempranas y a largo plazo.  Rápido endurecimiento. o Humo de sílice S-92-D: suministrado por SIKA®, es una adición que se utiliza para aumentar la cohesión del hormigón fresco y las resistencias mecánicas y a agentes agresivos en el hormigón endurecido. o Escoria de alto horno: suministrada por Arcelor®, como regla general, el uso de escorias molidas como adición al hormigón, mejora la trabajabilidad y condiciones de puesta en obra permitiendo una mejor compactación. Además, la adición de escorias mejora la resistencia de los hormigones frente a los ataques causados por agentes y medios agresivos externos. Por último su contribución a la resistencia mecánica es pequeña a las primeras edades, aumentando significativamente con el tiempo.  Áridos: o Arena de cuarzo con tamaño máximo de árido 800 μm o Arena de cuarzo con tamaño máximo de árido 315 μm Figura 2-1. Materiales cementicios y áridos 2. Materiales y dosificaciones de los hormigones UHPFRC 24  Agua  Superplastificante: se ha utilizado MasterGlenium 355C de BASF®, un reductor de agua de alta actividad basado en éteres policarboxílicos modificados. Este aditivo se adiciona con la última parte de agua del amasado. Muchas de las características de los hormigones, especialmente las relacionadas con la durabilidad de los materiales, tienen que ver con la estructura capilar del mismo. La minimización del volumen total de poros y su conectividad en la matriz cementicia puede conseguirse y diseñarse mediante el uso de estos aditivos. Figura 2-2. Superplastificante utilizado en la mezcla  Fibras de acero: se utilizan, en igual proporción en la dosificación, dos tipos de fibras de la marca Bekaert® de la serie DRAMIX® o Las fibras más largas denominadas RC 80/30 CP con las siguientes características:  Relación de aspecto: 80.  Longitud: 30 mm.  Diámetro de 0,38 mm.  Resistencia a tracción de 3070 MPa.  Módulo de Young de 210 GPa. Figura 2-3. Curva tensión-deformación de las fibras de acero [7] Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 25 o Las más cortas denominadas OL 13/.20 con las siguientes características:  Relación de aspecto: 62.  Longitud: 13 mm.  Diámetro de 0,21 mm.  Resistencia a tracción de 2750 MPa.  Módulo de Young de 200 GPa. Además se añadirán fibras de propileno, generando una nueva dosifcación que posteriormente será ensayada a temperatura ambiente y a 300ºC.  Fibras de polipropileno: es un material compuesto consistente en fibras continuas o discontinuas de polipropileno ensambladas en una matriz plástica. El polipropileno se utiliza como material de refuerzo debido a [12]: o Versatilidad: compatible con la mayoría de las técnicas de procesamiento existentes y usado en diferentes aplicaciones. o Es el material plástico de menor peso específico lo que implica que se requiere de una menor cantidad para la obtención de un producto terminado. o Buen balance rigidez/impacto. o Resistencia química a disolventes comunes. o Buena estabilidad dimensional a altas temperaturas. o Barrera al vapor de agua: evita el traspaso de humedad, mejorando la resistencia a altas temperaturas. Figura 2-5. Fibras de polipropileno [12] Figura 2-4. Fibras de acero utilizadas 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 32 Se disminuye la tensión a una velocidad de (0,6±0,2) MPa/s hasta la tensión de precarga y se mantiene la tensión de precarga durante un periodo de tiempo no superior a 20 segundos, otra vez se han fijado 15 segundos. Al final de este periodo se registra la deformación a lo largo de cada línea de medición y se calcula la deformación media, εp,1. Segundo ciclo Se incrementa la tensión a una velocidad de (0,6±0,2) MPa/s desde la tensión de precarga hasta la tensión superior σa. Se mantiene la tensión superopr durante un periodo de tiempo no superior a 20 segundos, también se han establecido 15 segundos. Al final de este periodo se registra la deformación a lo largo de cada línea de medición y se calcula la deformación media, εa,2. Se disminuye la tensión a una velocidad de (0,6±0,2) MPa/s hasta la tensión de precarga y se mantiene la tensión de precarga durante un periodo de tiempo no superior a 20 segundos, otra vez se han fijado 15 segundos. Al final de este periodo se registra la deformación a lo largo de cada línea de medición y se calcula la deformación media, εp,2. Tercer ciclo Se incrementa la tensión a una velocidad de (0,6±0,2) MPa/s desde la tensión de precarga hasta la tensión superior σa. Se mantiene la tensión superopr durante un periodo de tiempo no superior a 20 segundos, también se han establecido 15 segundos. Al final de este periodo se registra la deformación a lo largo de cada línea de medición y se calcula la deformación media, εa,2. Se disminuye la tensión a una velocidad de (0,6±0,2) MPa/s hasta la tensión de precarga y se mantiene la tensión de precarga durante un periodo de tiempo no superior a 20 segundos, otra vez se han fijado 15 segundos. Al final de este periodo se registra la deformación a lo largo de cada línea de medición y se calcula la deformación media, εp,2. Figura 3-6. Ciclos para la determinación del módulo secante de elasticidad estabilizado (Método B) Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 33 Siendo el módulo: 𝐸𝐶,𝑆 =∆𝜎 ∆𝜀𝑆=𝜎𝑎−𝜎𝑝 𝜀𝑎,3 −𝜀𝑝,2 El valor de la resistencia a compresión de los ciclos de carga se ha tomado como la media de las probetas cúbicas. Hay que indicar que el valor de 𝜎𝑝 se ha tomado como 0,05 el valor de la resistencia a compresión adoptada. La máquina utilizada controla el ensayo en fuerza por lo que, conociendo las dimensiones de la probeta, se pueden hallar los máximos y mínimos de los ciclos de carga Como hay dos trazadores se obtiene el desplazamiento realizando la media de ambos, exceptuando aquellos datos en los cuales uno de ellos sea erróneo, en ese caso se tomará solo el valor del acorde a la realidad. A partir del desplazamiento y sabiendo el diámetro del anillo (100 mm, igual que la probeta) y la altura (un tercio de la altura de la probeta) se conocen también las deformaciones que nos interesan para hallar el módulo de Young. Por último cabe reseñar dos apuntes, al igual que ocurría con los ensayos de resistencia a compresión simple y ocurrirá en los de tenacidad, aquellos que los datos o el propio devenir del test sea defectuoso no serán tenidos en cuenta para el resultado final. Además, como se verá más adelante, uno de los parámetros obtenidos del Hinge Model es el módulo elástico, como el interés de este Trabajo es el de caracterizar el comportamiento en fractura de estos hormigones, este valor será el utilizado para simular el modelo desarrollado en Abaqus. Las discrepancias en estos valores serán comentadas posteriormente. 3.2.1 UHPFRC ensayado a temperatura ambiente Tabla 3-7. Módulo de Young UHPFRC a temperatura ambiente La media de los resultados de estos ensayos, sin contar con la muestra DF1-cil-3 es de un módulo de Young de 47,81 GPa con una desviación típica relativa del 2,60%. 3.2.2 UHPFRC ensayado a 100ºC No se han realizado ensayos de módulo elástico a esta temperatura. 3.2.3 UHPFRC ensayado a 200ºC Tabla 3-8. Módulo de Young UHPFRC a 200ºC La media de los resultados de estos ensayos, sin contar con la muestra DF3-cil-3 es de un módulo de Young de 38,94 GPa con una desviación típica relativa del 4,21%. Muestra Fecha de hormigonado Fecha estimada de ensayo Ec (GPa) DF1-cil-1 16/03/2016 13/04/2016 46,10 DF1-cil-2 16/03/2016 13/04/2016 49,01 DF1-cil-3 16/03/2016 13/04/2016 44,22 DF1-cil-4 16/03/2016 13/04/2016 48,32 Muestra Fecha de hormigonado Fecha estimada de ensayo Ec (GPa) DF3-cil-1 20/03/2017 17/04/2017 38,02 DF3-cil-2 20/03/2017 17/04/2017 37,55 DF3-cil-3 20/03/2017 17/04/2017 34,62 DF3-cil-4 20/03/2017 17/04/2017 41,24 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 34 3.2.4 UHPFRC ensayado a 300ºC Tabla 3-9. Módulo de Young UHPFRC a 300ºC Al tener solo un ensayo realizado, se tomará el dato de 30,41 GPa para los UHPFRC ensayados a 300ºC. 3.2.5 UHPFRC + PP ensayado a temperatura ambiente Tabla 3-10. Módulo de Young UHPFRC a temperatura ambiente La media de los resultados de estos ensayos es de un módulo de Young de 47,18 GPa con una desviación típica relativa del 4,63%. 3.2.6 UHPFRC + PP ensayado a 300ºC Tabla 3-11. Módulo de Young UHPFRC a temperatura ambiente La media de los resultados de estos ensayos es de un módulo de Young de 32,40 GPa con una desviación típica relativa del 6,28%. 3.3 Ensayo para obtener el comportamiento en fractura y tenacidad del UHPFRC. Hinge Model 3.3.1 Introducción El hormigón es un material con comportamiento cuasi-frágil que, debido a su baja resistencia a tracción (en torno al 10% de la resistencia a compresión), se encuentra normalmente fisurado. Esta fisuración está permitida en la mayoría de los códigos siempre que se encuentre en unos límites establecidos. Es por ello que se ha llevado a cabo el estudio de la mecánica de la fractura, de forma que se pudiera predecir la aparición y posterior propagación de grietas en el hormigón [14]. Debido a la no linealidad en la curva de ablandamiento, no será adecuado el tratamiento de la teoría de la MFEL en el hormigón. En el análisis de estructuras de hormigón fisurado, la teoría no lineal de mecánica de la fractura basada en el modelo de rotura ficticia es frecuentemente utilizada. [15] Este modelo reconoce el hecho que una zona de proceso en fractura (ZPF) extensa existe antes de la zona libre de tracciones real en la que el hormigón se ablanda progresivamente debido a la formación de microgrietas. Esta tensión de ablandamiento en la ZPF se incluye en el modelo de rotura ficticia. El término “ficticio” es para subrayar el hecho de que esta porción de la rotura no puede ser continua con total separación de sus caras, como en una rotura real libre de tensiones. Las caras de fractura ficticia son capaces de transferir algo de esfuerzo a través de ellas, sin ser constantes a lo largo de su longitud. De hecho, estas tensiones aumentan desde cero en la punta de la zona libre de tracciones hasta la tensión máxima de tracción uniaxial en la punta de la grieta ficticia. Muestra Fecha de hormigonado Fecha estimada de ensayo Ec (GPa) DF4-cil-1 26/04/2017 24/05/2017 30,41 Muestra Fecha de hormigonado Fecha estimada de ensayo Ec (GPa) DF6-cil-1 21/12/2017 18/01/2018 44,27 DF6-cil-2 21/12/2017 18/01/2018 49,54 DF6-cil-3 21/12/2017 18/01/2018 47,73 Muestra Fecha de hormigonado Fecha estimada de ensayo Ec (GPa) DF5-cil-1 12/09/2017 10/10/2017 29,57 DF5-cil-2 12/09/2017 10/10/2017 34,27 DF5-cil-3 12/09/2017 10/10/2017 33,36 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 35 Figura 3-7. Transmisión de tensiones en la ZPF [15] En el modelo de rotura ficticia (FCM) dos propiedades del hormigón son necesarias además de la resistencia a tracción ft y el módulo de Young E. Estas propiedades son la energía específica de fractura, GF y la correspondiente tensión de ablandamiento σ(w) relativa a la capacidad de transferir tensión residual σ que genera la abertura w de las caras de rotura ficticias. En la práctica, la relación σ(w) suele aproximarse de forma lineal, bilineal, polilineal o incluso exponencial siendo la aproximación bilineal la más utilizada. Esta última refleja los dos mecanismos principales responsables de la tensión de ablandamiento observada en el hormigón, la microrrotura, representada por la primera rama del modelo bilineal y la rotura del árido o macrodaño, que traza la segunda rama del modelo. La determinación de la ley de ablandamiento no es una tarea sencilla de llevar a cabo, numerosos investigadores han intentado medirla a través del ensayo de tracción. Otros sin embargo han optado por hallarla a través de la curva carga-desplazamiento del ensayo a flexión en tres puntos, que es finalmente el método optado en este Trabajo, utilizando las funciones en MatLab® que proporciona [16], utilizando un modelo bilineal. 3.3.2 Modelo de la bisagra (“hinge model”) La idea del modelo no lineal es de aislar la parte de la viga próxima a la propagación de la rotura (es decir, la parte bajo el máximo momento flector) como un pequeño segmento sujeto al flector y a axil. Figura 3-8. Zona de afección del Hinge Model [15] En el Hinge Model, la rotura es vista como un cambio local en el total del campo de tensiones y deformaciones. Este cambio se supone que desaparecerá fuera de una banda de ancho s. Por tanto, fuera de esta banda el 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 36 elemento estructural es modelado utilizando la teoría de la elasticidad. La ley constitutiva en cada segmento dentro de la “bisagra” se supone que es lineal en el estado de pregrieta (fase 0), mientras la etapa de rotura se aproxima por una curva de ablandamiento bilineal: 𝜎={𝐸·𝜀 𝜎(𝑤)=𝑔(𝑤)𝑓𝑡 donde: - E: módulo elástico - ε: deformación elástica - w: apertura de grieta - g(w): función que representa la apertura de grieta - ft: resistencia a tracción Para la ley bilineal se tiene: 𝑔(𝑤)=𝑏𝑖−𝑎𝑖·𝑤={𝑏1−𝑎1·𝑤,0≤𝑤 ≤𝑤1 𝑏2−𝑎2·𝑤,𝑤1≤𝑤 ≤𝑤2 donde b1≡1, y los límites w1 y w2 están dados por la intersección de dos segmentos y la intersección de la segunda línea con el eje de abscisas. Figura 3-9. Ley de ablandamiento bilineal [15] El análisis del elemento “bisagra” permite determinar el esfuerzo axil N y el momento flector M para cualquier rotación 2φ. El problema es resolver en cuatro etapas cada fase del proceso de propagación de rotura. La fase 0 representa el estado elástico, cuando la fisura no se ha formado en la entalla inicial, mientras las fases 1, 2 y 3 representan diferentes etapas de la propagación de rotura. En la fase 1, la longitud de rotura ficticia de magnitud d provoca siempre una apertura de grieta menor que w1. En la fase 2, hay una parte en la que la apertura de grieta es mayor que w1 y otra menor en la parte final. En la fase 3, una parte de la abertura es mayor que w2 lo que genera una zona libre de tracciones, mientras la parte final de la grieta es menor que w2 o incluso menor que w1. Cuando está completa la distribución de esfuerzos por el Hinge Model, una relación entre el axil N, el momento flector M y el ángulo de giro φ, puede ser obtenida en cada fase de la propagación. Así se introducen los siguientes parámetros: 𝜇 = 6 𝑓𝑡·ℎ𝑔2·𝑡· 𝑀; 𝜌= 1 𝑓𝑡·ℎ𝑔·𝑡· 𝑁; 𝜃 =ℎ𝑔·𝐸 𝑠·𝑓𝑡· 𝜑; 𝛼ℎ=𝑑 ℎ𝑔 siendo t la anchura de la grieta en la dirección normal al papel y d la longitud de rotura ficticia. Para probetas sometidas a flexión en tres puntos, ρ=0. Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 37 Figura 3-10. Geometría, esfuerzos y deformación del elemento “bisagra” [15] 3.3.3 Fase experimental Una vez introducidos en la teoría del modelo de fractura utilizado para explicar el comportamiento en rotura del hormigón y asumiendo que se puede aproximar la ley de ablandamiento de forma bilineal, tal y como enuncia el Hinge Model, se procede a realizar un estudio experimental de los hormigones UHPFRC para caracterizar su tenacidad a través de la curva carga-flecha obtenida a partir del ensayo a flexión en tres puntos para posteriormente, y gracias al procedimiento matemático desarrollado en [16], hallar los valores de los parámetros del modelo bilineal. Como se dijo al comienzo de este capítulo, la particularidad del Trabajo resisde en los ensayos realizados con temperatura. Al no ser posible la colocación de transductores para obtener ni la flecha ni la apertura de grieta, se necesaitan correlaciones que nos ayuden a eliminar las posibles diferencias encontradas entre la posición del actuador y la flecha medida por el LVDT, dichas discrepancias se achacan a la rigidez de la máquina. Para la visualización de los resultados se ha utilizado el programa Origin® y el tratamiento de los datos con funciones y scripts de MatLab® proporcionados por J.D. Ríos y [16] que se recogerán en el Anexo de este Trabajo. 3.3.3.1 Hormigones con fibras de acero UHPFRC 3.3.3.1.1 Ensayos a temperatura ambiente Los ensayos de flexión en tres puntos a temperatura ambiente no han sido del todo satisfactorios, tres de las cuatro probetas ensayadas no recogen el comportamiento real de la viga por lo que se han tenido que desechar los siguiente especímenes:  DF1_ST_1  DF1_ST_2  DF1_ST_3 Figura 3-11. Curvas P-pos fallidas a temperatura ambiente 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 38 3.3.3.1.1.1 Representación gráfica de los ensayos 3.3.3.1.1.1.1 Curva carga-posición del actuador Del espécimen válido, DF1_ST_4, se representa a continuación la curva carga-posición del actuador, que, aunque no sirva para determinar los parámetros del Hinge Model, sí que será útil para obtener las correlaciones utilizadas en los ensayos a 100ºC, 200ºC y 300ºC. Figura 3-12. Curva carga-posición del actuador DF1_ST_4 3.3.3.1.1.1.2 Curva carga-flecha De la muestra válida en el ensayo a temperatura ambiente, DF1_ST_4, se representa a continuación la curva carga-flecha, que, además de determinar los parámetros del Hinge Model a partir de ella, se usará para obtener las correlaciones utilizadas en los ensayos dentro del horno. Figura 3-13. Curva carga-flecha DF1_ST_4 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 39 3.3.3.1.1.2 Obtención de la relación de las curvas carga-posición del actuador y carga-flecha Como se ha podido observar, las dos curvas anteriores se parecen pero debido a diversos factores, como la rigidez del aparato servo-hidráulico, no son iguales cuando deberían serlo. Por ello se ha tenido que obtener una relación entre ambas curvas. En primer lugar se han depurado las dos imperfecciones de los datos, esos escalones originados por asientos de la probeta sobre los apoyos han sido eliminados quedando la diferencia de curvas de la siguiente manera. Figura 3-14. Comparación curvas depuradas P-posición del actuador y P-flecha Es fácil observar que hay dos fases bien diferenciadas:  La primera, prepico, donde hay una variación ostensible de la medición, por lo que se obtendrá la relación entre los valores de la carga en uno y otro caso para realizar un giro de los mismos.  La segunda fase, postpico, que coincide la flecha medida casi en su totalidad con el desplazamiento del actuador de la máquina por lo que se recurrirá a una traslación de los valores medidos hacia los resultados girados previamente. 3.3.3.1.1.3 Resultados de los ensayos Una vez tratados los datos se procede al cálculo de los parámetros del Hinge Model, obtenidos a partir de las funciones de MatLab® presentes en la tesis de Lennart Ostergaard [16]. En ellas, se calcula un valor teórico de la carga para cada valor del desplazamiento que se ajuste lo máximo al valor ensayado y que a la vez consiga converger en el modelo y así obtener los parámetros. En estas funciones de MatLab® se recogen parámetros adimensionalizados con la resistencia tracción por consiguiente, después serán multiplicados por ella. Una vez hecho esto, se realizará el cálculo y representación del Hinge Model con los parámetros medios, en este caso solo se hará de la probeta válida. Una de las utilidades de este modelo es saber qué genera la fractura, la microfisuración (color azul) o el macrodaño (color rojo) es por ello que se representa el porcentaje de cada uno de ellos. 3.3.3.1.1.3.1 DF1_ST_4 En el caso de temperatura ambiente solo se puede evaluar la probeta DF1_ST_4 con los siguientes resultados: 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 40 Figura 3-15. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF1_ST_4 3.3.3.1.1.4 Resumen Tabla 3-12. Resumen de parámetros y media de las probetas ensayadas a temperatura ambiente PARÁMETROS HINGE MODEL TA SPECIMEN ft (MPa) a1 a2 b2 E (MPa) DF1_ST_4 15,20 0,1610 0,0039 0,1231 37.073 AVERAGE 15,20 0,1610 0,0039 0,1231 37.073 Figura 3-16. Representación gráfica del Hinge Model a temeperatura ambiente Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 41 3.3.3.1.2 Ensayos a 100ºC De la misma manera que antes, se desechan los ensayos mal ejecutados que, en este caso, solo es uno:  DF2_ST_3 Figura 3-17. Curvas P-pos fallidas a 100ºC 3.3.3.1.2.1 Representación gráfica de los ensayos 3.3.3.1.2.1.1 Curva carga-posición del actuador Se representa a continuación los datos de:  DF2_ST_1  DF2_ST_2  DF2_ST_4 Figura 3-18. Curva carga-posición del actuador DF2_ST_1 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 48 3.3.3.1.3.2.3 DF3_ST_3 Figura 3-31. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF3_ST_3 3.3.3.1.3.2.4 DF3_ST_4 Figura 3-32. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF3_ST_4 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 49 3.3.3.1.3.3 Resumen Tabla 3-14. Resumen de parámetros, media y desviación de las probetas ensayadas a 200ºC PARÁMETROS HINGE MODEL 200ºC SPECIMEN ft (MPa) a1 a2 b2 E (MPa) DF3_ST_1 6,28 0,1553 0,0175 0,2636 22.259 DF3_ST_2 10,78 0,1967 0,0211 0,1961 27.034 DF3_ST_3 7,01 0,1791 0,0310 0,3785 30.258 DF3_ST_4 12,08 0,1897 0,0140 0,1827 28.785 AVERAGE 9,04 0,1802 0,0209 0,2552 27.084 DESV 27,11% 8,71% 30,29% 30,38% 11,12% Figura 3-33. Representación gráfica del Hinge Model a 200ºC 3.3.3.1.4 Ensayos a 300ºC Todas las probetas ensayadas a 300ºC serán utilizadas en el muestreo estadístico:  DF4_ST_1  DF4_ST_2  DF4_ST_3  DF4_ST_4 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 50 3.3.3.1.4.1 Representación gráfica de los ensayos 3.3.3.1.4.1.1 Curva carga-posición del actuador Figura 3-34. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_1 Figura 3-35. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_2 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 51 Figura 3-36. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_3 Figura 3-37. Curva carga-posición del actuador DF4_ST_4 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 52 3.3.3.1.4.2 Resultados de los ensayos Se tratarán los datos obtenidos de la misma manera descrita en 3.3.3.1.1.3, una vez realizada la correlación posición del actuador-flecha. 3.3.3.1.4.2.1 DF4_ST_1 Figura 3-38. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_1 3.3.3.1.4.2.2 DF4_ST_2 Figura 3-39. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_2 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 53 3.3.3.1.4.2.3 DF4_ST_3 Figura 3-40. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_3 3.3.3.1.4.2.4 DF4_ST_4 Figura 3-41. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF4_ST_4 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 54 3.3.3.1.4.3 Resumen Tabla 3-15. Resumen de parámetros, media y desviación de las probetas ensayadas a 300ºC PARÁMETROS HINGE MODEL 300ºC SPECIMEN ft (MPa) a1 a2 b2 E (MPa) DF4_ST_1 10,75 0,2000 0,0116 0,1173 25.132 DF4_ST_2 7,35 0,2441 0,0262 0,2736 29.976 DF4_ST_3 12,10 0,2690 0,0235 0,2198 15.617 DF4_ST_4 6,02 0,2308 0,0231 0,2417 15.299 AVERAGE 9,05 0,2360 0,0211 0,2131 21.506 DESV 27,20% 10,54% 26,51% 27,47% 29,23% Figura 3-42. Representación gráfica del Hinge Model a 300ºC Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 55 3.3.3.1.5 Conclusiones de los ensayos de UHPFRC Una vez realizada la recolección y el tratamiento de los datos experimentales, se procede a obtener ciertas conclusiones acerca del comportamiento de los hormigones según la temperatura a la que se vean sometidos. En cuanto a la ley de ablandamiento del hormigón obtenida a partir del Hinge Model, se distingue con claridad una pérdida de ductilidad del material conforme aumenta la temperatura hasta los 200ºC, en este punto, al subir hasta los 300ºC se aprecia un estancamiento del daño producido por la temperatura, obteniendo una energía de deformación y una resistencia a tracción similar a la obtenida a los 200ºC. Figura 3-43. Comparación de los valores de la ley de ablandamiento de los hormigones Es interesante obtener y comparar los valores porcentuales de las áreas encerradas bajo las dos ramas de la curva de ablandamiento, que nos indicarán cuánta energía específica de fractura es causada por la microfisuración, correspondiente a la primera rama, u otros factores como el macrodaño, relacionada con la segunda rama. Tabla 3-16. Porcentajes de energía de fractura correspondiente a microfisuración y macrodaño Hormigón Temperatura Gf (N) % Gf GF-Gf (N) %GF-Gf UHPFRC Ambiente 47,21 70,24 19,52 29,26 UHPFRC 100 22,45 80,14 5,57 19,86 UHPFRC 200 25,08 84,1 4,74 15,9 UHPFRC 300 19,18 84,18 3,60 15,82 A la vista de los resultados, conforme aumenta la temperatura, aumenta también la energía de fractura inicial del hormigón, fenómeno gobernado por la microfisuración, al menos hasta los 200ºC donde, hasta donde nuestros ensayos pueden abarcar, no crece este fenómeno. Por tanto al aumentar la temperatura, disminuye la microfisuración. Como se verá a continuación, conforme aumenta la temperatura disminuye el módulo elástico del hormigón. Hay que reseñar que la estimación obtenida por el modelo de Lennart, subestima el valor obtenido por el ensayo sobre probeta cilíndrica por lo que, se tomará como valor característico el conseguido en los ensayos. Como ya se ha comentado, no hay ensayos realizados para obtener el módulo de Young a 100ºC por lo que se calculará a partir de una correlación líneal del resto de ensayos. 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 56 Figura 3-44. Aproximación lineal del efecto de la temperatura en el módulo elástico Por último en los ensayos a compresión simple del hormigón se puede observar una mejora de esta propiedad del material al aplicarle temperatura hasta los 200ºC, si bien es verdad que a los 100ºC no se aprecia un cambio significativo y a los 300ºC decae el valor de la resistencia. Tabla 3-17. Resistencia a compresión simple de los UHPFRC Hormigón Temperatura fc [MPa] UHPFRC Ambiente 143,1 UHPFRC 100 139,32 UHPFRC 200 172 UHPFRC 300 125,48 3.3.3.2 Hormigones con fibras de acero y polipropileno UHPFRC+PP 3.3.3.2.1 Ensayos a temperatura ambiente Los ensayos de flexión en tres puntos a temperatura ambiente de los hormigones reforzados con fibras de polipropileno se han desarrollado sin aparentes complicaciones, sin embargo a la hora del tratamiento de los datos obtenidos se desecherán aquellos datos que se valoren como fuera de rango. Las probetas ensayadas son:  DF6_A_ST_1  DF6_B_ST_2  DF6_ST_TA_3  DF6_ST_TA_4 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 57 3.3.3.2.1.1 Representación gráfica de los ensayos 3.3.3.2.1.1.1 Curva carga-posición del actuador Como se explicará posteriormente únicamente una de las curvas carga-posición del actuador, será útil para obtener las correlaciones utilizadas en los ensayos a 300ºC. A continuación se representan gráficamente: Figura 3-45. Curva carga-posición del actuador DF6_A_ST_1 Figura 3-46. Curva carga-posición del actuador DF6_B_ST_2 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 64 3.3.3.2.1.3.4 DF6_ST_TA_4 Figura 3-57. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF6_ST_TA_4 3.3.3.2.1.4 Resumen Tabla 3-20. Resumen de parámetros y media de las probetas ensayadas a temperatura ambiente PARÁMETROS HINGE MODEL TA SPECIMEN ft (MPa) a1 a2 b2 E (MPa) DF6_A_ST_1 10,52 0,1358 0,0197 0,1943 109.798 DF6_B_ST_2 11,35 0,1697 0,0227 0,2693 47.857 DF6_ST_TA_3 12,77 0,3592 0,0108 0,0966 38.745 DF6_ST_TA_4 7,12 0,2035 0,0072 0,1058 519.075 AVERAGE 11,55 0,2216 0,0177 0,1867 43.301 DESV 8,04% 44,37% 28,41% 37,87% 10,52% Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 65 Figura 3-58. Representación gráfica del Hinge Model a temeperatura ambiente 3.3.3.2.2 Ensayos a 300ºC Todas las probetas ensayadas a 300ºC serán utilizadas en el muestreo estadístico:  DF5_ST_1  DF5_ST_2  DF5_ST_3  DF5_ST_4 3.3.3.2.2.1 Representación gráfica de los ensayos 3.3.3.2.2.1.1 Curva carga-posición del actuador Figura 3-59. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_1 Figura 3-60. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_2 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 66 Figura 3-61. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_3 Figura 3-62. Curva carga-posición del actuador DF5_ST_4 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 67 3.3.3.2.2.2 Resultados de los ensayos Se tratarán los datos obtenidos de la misma manera descrita en 3.3.3.1.1.3, una vez realizada la correlación posición del actuador-flecha. Se seguirán omitiendo los valores discordantes de los parámetros del Hinge Model. 3.3.3.2.2.2.1 DF5_ST_1 Figura 3-63. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_1 3.3.3.2.2.2.2 DF5_ST_2 Figura 3-64. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_2 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 68 3.3.3.2.2.2.3 DF5_ST_3 Figura 3-65. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_3 3.3.3.2.2.2.4 DF5_ST_4 Figura 3-66. Representación gráfica de la carga teórica-desplazamiento y parámetros adimensionales de DF5_ST_4 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 69 3.3.3.2.2.3 Resumen Tabla 3-21. Resumen de parámetros, media y desviación de las probetas ensayadas a 300ºC PARÁMETROS HINGE MODEL 300ºC SPECIMEN ft (MPa) a1 a2 b2 E (MPa) DF5_ST_1 8,70 0,1894 0,0142 0,2037 112.175 DF5_ST_2 10,01 0,1462 0,0000 0,0500 65.328 DF5_ST_3 4,00 0,2527 0,0242 0,2147 43.025 DF5_ST_4 5,54 0,3176 0,0231 0,2087 62.897 AVERAGE 7,06 0,2265 0,0205 0,1693 57.084 DESV 34,00% 28,62% 21,96% 40,75% 17,50% Figura 3-67. Representación gráfica del Hinge Model a 300ºC 3.3.3.2.3 Conclusiones de los ensayos de UHPFRC+PP Como era de esperar y tal y como ocurre con los UHPFRC, el aumento de la tempetaura genera un decremento de la energía de fractura en los hormigones, mostrándose a continuación las dos leyes de ablandamiento obtenidas para temperatura ambiente y 300ºC. 3. Caracterización mecánica de los hormigones UHPFRC y su comportamiento en fractura 70 Figura 3-68. Comparación de los valores de la ley de ablandamiento de los hormigones En cuanto a la energía específica de fractura se puede afirmar que también disminuye la microfisuración, provocando menos daño en la matriz del material. Tabla 3-22. Porcentajes de energía de fractura correspondiente a microfisuración y macrodaño Hormigón Temperatura Gf (N) % Gf GF-Gf (N) %GF-Gf UHPFRC+PP Ambiente 26,06 86,56 4,05 13,44 UHPFRC+PP 300 15,58 92,99 1,18 7,01 En cuanto al módulo elástico del material, se puede decir que la aproximación realizada por la hoja de cálculo de los parámetros del Hinge Model no concuerda con la realidad ya que, si obedecemos a estos datos, el módulo elástico aumentaría conforme aumenta también la temperatura, hecho que queda invalidado por la experiencia. Por tanto, de la misma manera que se hizo en los hormigones sin fibras de polipropileno, se tomarán los datos de los tests de carga cíclica sobre probeta cilíndrica. Tabla 3-23. Valores del módulo elástico de los UHPFRC+PP Hormigón Temperatura E [MPa] UHPFRC+PP Ambiente 47.180 UHPFRC+PP 300 32.400 Finalmente, el comportamiento registrado en los ensayos de estos hormigones es similar al expuesto en los primeros. Tabla 3-24. Resistencia a compresión simple de los UHPFRC Hormigón Temperatura fc [MPa] UHPFRC Ambiente 145,88 UHPFRC 300 126,62 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 71 4 MODELIZACIÓN Y RESULTADOS OBTENIDOS A PARTIR DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA DE LOS UHPFRC ENSAYADOS 4.1 Introducción Este apartado del Trabajo se centra en reproducir, con un ejemplo práctico sencillo, el daño que se genera en estos hormigones, tanto en los reforzados con fibras de acero como los que incluyen polipropileno en su matriz, comparando a su vez la influencia o no de armadura pasiva. Como objetivo principal se quiere poner de manifiesto la bajada de las prestaciones cuando se incrementa la temperatura, para ello se analizarán los patrones de fisura, a través de las deformaciones plásticas, y la flecha obtenida de un modelo simple, en nuestro caso, una viga de hormigón sometida a una carga uniformemente distribuida. Los resultados de los ensayos son considerados como el comportamiento real del material, constatados de modo numérico mediante la reproducción del ensayo a flexión en tres puntos a temperatura ambiente con los modelos ensayados desde el origen hasta el pico de la curva carga-flecha, denotando un ablandamiento posterior. Para analizar este fenómeno se utiliza la formulación del método de los elementos finitos de forma computacional y se ha optado por utilizar un software especializado como es Abaqus de SIMULIA®, ya que incluye modelos de comportamiento del hormigón que se ajustan en gran medida a la realidad. El programa puede resolver casi todo tipo de problemas, desde un simple análisis lineal hasta simulaciones complejas no lineales. 4.2 Modelo físico Se quiere modelar una viga de hormigón de ultra-altas prestaciones de 5 metros de luz y biapoyada, sometida a una carga uniformemente distribuida, por lo que se obtendrá un diagrama de momentos y cortantes de la siguiente manera: Figura 4-1. Diagramas de esfuerzos y geometría de la viga 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 72 Para el dimensionamiento de la sección se optará por:  Una sección rectangular de canto (h) 500 mm y de ancho (b) 300 mm para el dimensionamiento de la armadura pasiva:  Armadura longitudinal: o 6 barras de acero B500S de diámetro 20 mm como armadura pasiva de tracción a lo largo de toda la viga y con un recubrimiento mecánico de 25 mm, quedando un canto útil en la pieza de 457 mm (debido a la inclusión de la armadura transversal). o 2 barras de diámetro 16 mm como armadura pasiva de compresión en toda la longitud del modelo, para cumplir con la cuantía geométrica mínima establecida en el artículo 42.3 de la EHE-08 [17] del 2,8‰ para armaduras con acero B 500S.  Armadura transversal: como se verá más adelante, en la ejecución del modelo, en la parte donde más influye el esfuerzo cortante, es decir, en los apoyos, nos interesa menos el comportamiento del mecanismo ya que el esfuerzo que provoca la fisuración es en la mitad del vano donde no hay esfuerzo cortante, sin embargo se ha optado por colocar cercos de acero de 8 mm cada 120 mm y a 1,2 m de los apoyos aumentar la separación a 200 m. Figura 4-2. Dimensionamiento de la sección transversal de la viga 4.3 Modelo matemático Se describe en este apartado cómo se ha plasmado el modelo físico en el software de cálculo manteniendo siempre la intención de realizar una representación fidedigna y precisa del comportamiento real de la viga en cuestión. El modelo se ha realizado en el espacio modelo 3D del tipo deformable. 4.3.1 Partes 4.3.1.1 Viga Se modela la viga como un sólido de extrusión de dimensiones 5.000 x 500 x 300 mm, como se puede ver se han hecho particiones en los extremos para modelar correctamente los apoyos, aunque posteriormente se entrará más en detalle. Figura 4-3. Modelización de la viga de UHPFRC Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 73 4.3.1.2 Barras de acero Ambas barras, tanto las de diámetro 16 mm como 20 mm, han sido plasmadas como partes tipo wire, en una dimensión de 5.000 mm. Figura 4-4. Modelización de la armadura pasiva longitudinal 4.3.1.3 Estribos De la misma manera que las barras longitudinales se crean los estribos como tipo wire, las dimensiones de los cercos rectangulares serán de 442 mm de alto y 242 mm de ancho, para tener en cuenta tanto la sección de las barras como el recubrimiento de 25 mm. Figura 4-5. Modelización de la armadura transversal 4.3.2 Materiales Parece lógico que nuestro modelo se componga de 2 materiales, el acero de las armaduras y el hormigón de la viga, sin embargo este último será representado de dos maneras, una incluye el Concrete Damaged Plasticity Model y otra no. Esta es la razón por la que se ha hecho la partición que se veía en el apartado de Partes, para que la simulación numérica no devuelva resultados erróneos en las proximidades de las condiciones de contorno, se decide modelar en una longitud el canto de la viga, es decir 500 mm, por cada extremo de ésta como si el hormigón fuese un material elástico y lineal, sin tener en cuenta el daño que está presente en los 4 metros restantes de la práctica. Las propiedades de los materiales cambiarán según sean a temperatura ambiente, 100, 200 ó 300 ºC y si contienen o no fibras de polipropileno. 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 80 4.3.6.2 UHPFRC a temperatura ambiente con armadura Figura 4-14. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-15. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 81 Figura 4-16. Representación de la flecha de la viga Figura 4-17. Curva Carga-Flecha UHPFRC a temperatura ambiente con armadura 0 50 100 150 200 250 300 010 20 30 40 50 60 70 80 90 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 82 4.3.6.3 UHPFRC a 100ºC sin armadura Figura 4-18. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-19. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 83 Figura 4-20. Representación de la flecha de la viga Figura 4-21. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 100ºC sin armadura 0 20 40 60 80 100 120 010 20 30 40 50 60 70 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 84 4.3.6.4 UHPFRC a 100ºC con armadura Figura 4-22. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-23. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 85 Figura 4-24. Representación de la flecha de la viga Figura 4-25. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 100ºC con armadura 0 50 100 150 200 250 010 20 30 40 50 60 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 86 4.3.6.5 UHPFRC a 200ºC sin armadura Figura 4-26. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-27. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 87 Figura 4-28. Representación de la flecha de la viga Figura 4-29. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 200ºC sin armadura 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 010 20 30 40 50 60 70 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 88 4.3.6.6 UHPFRC a 200ºC con armadura Figura 4-30. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-31. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 89 Figura 4-32. Representación de la flecha de la viga Figura 4-33. Curva Carga-Flecha UHPFRC a 200ºC con armadura 0 50 100 150 200 250 010 20 30 40 50 60 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 96 4.3.6.10 UHPFRC+PP a temperatura ambiente con armadura Figura 4-46. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-47. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 97 Figura 4-48. Representación de la flecha de la viga Figura 4-49. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a temperatura ambiente con armadura 0 50 100 150 200 250 010 20 30 40 50 60 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 98 4.3.6.11 UHPFRC+PP a 300ºC sin armadura Figura 4-50. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-51. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 99 Figura 4-52. Representación de la flecha de la viga Figura 4-53. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a 300ºC sin armadura 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 100 4.3.6.12 UHPFRC+PP a 300ºC con armadura Figura 4-54. Inicio de la fisuración en la viga Figura 4-55. Inicio de la fisuración en la sección transversal de la viga Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 101 Figura 4-56. Representación de la flecha de la viga Figura 4-57. Curva Carga-Flecha UHPFRC+PP a 300ºC con armadura 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 010 20 30 40 50 60 Carga (KN/m) Flecha (mm) Curva Carga-Flecha 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 102 4.3.7 Validación del método Para comprobar la validez de las simulaciones realizadas se modela una probeta prismática entallada también en el programa Abaqus, añadiéndole las características mecánicas de los hormigones a temperatura ambiente, tanto con fibras de polipropileno como sin ellas. Las condiciones de la simulación serán lo más parecidas para reproducir el ensayo a flexión entres puntos por lo que:  La probeta tendrá una longitud de 440 milímetros y será de sección cuadrada, 100 x 100 mm.  Presentará una entalla de espesor 3 mm y profundidad 16,67 mm en el centro de su cara inferior.  Estará simplemente apoyada a 20 mm de los extremos, generando un vano de 400 mm.  Se aplicará una carga uniforme en la cara superior sobre una banda igual al espesor de la entalla, es decir, 3 mm.  El cálculo se llevará a cabo con control en desplazamientos gracias al método de Riks. Figura 4-58. Modelo de ensayo a flexión en tres puntos Se analizarán las curvas carga-desplazamiento obtenidas, comparándolas con las de los ensayos: Figura 4-59. Curvas carga-flecha MEF vs test UHPFRC a temperatura ambiente 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 CARGA (KN) FLECHA (MM) CURVAS CARGA-FLECHA MEF VS TEST Carga-Desplazamiento MEF Carga-Desplazamiento experimental Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 103 Figura 4-60. Curvas carga-flecha MEF vs test UHPFRC+PP a temperatura ambiente Como se puede observar, los modelos realizados reproducen fielmente la realidad de los instantes prepico y pico, obteniendo unas curvas similares a las experimentales, por lo que se puede afirmar que el módulo elástico adoptado y la resistencia a tracción obtenida, responsables del comportamiento hasta la carga pico del ensayo. Posteriormente se producirá un ablandamiento del material. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 CARGA (KN) DESPLAZAMIENTO (MM) CURVAS CARGA-FLECHA MEF VS TEST MEF DF6_A_ST_1 DF6_B_ST_2 DF6_ST_TA_3 4. Modelización y resultados obtenidos a partir de la simulación numérica de los UHPFRC ensayados 104 Estudio del comportamiento a altas temperaturas de elementos de hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno 105 5 CONCLUSIONES Durante todo el transcurso del trabajo se han recogido y analizado los resultados de los ensayos realizados a los hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno, así como de las simulaciones realizadas numéricamente para llegar a extraer las siguientes conclusiones: 1. Al incrementar la temperatura se produce un primer proceso de hidratación de los hormigones generando un aumento de la resistencia a compresión del material apreciable desde los 100ºC hasta los 200ºC, para posteriormente, en los especímenes ensayados a 300ºC, disminuir su valor en torno a un 87% de la resistencia tomada a temperatura ambiente debido al aumento de la presión causada por la evaporación del agua confinada, generando daño térmico en la matriz. 2. El incremento de la temperatura en los hormigones de ultra-altas prestaciones reforzados con fibras de acero y polipropileno causa una disminución progresiva del módulo elástico, como consecuencia del daño térmico producido por el aumento de la porosidad, característica diferencial entre estos hormigones y los ordinarios. 3. La adición de fibras de polipropileno mejora el comportamiento en fractura del hormigón, disminuyendo el efecto del daño térmico en la matriz cementicia causante de la microfisuración. 4. El modelo de viga isostática de los UHPFRC revela que el momento de fisuración disminuye con el aporte de temperatura, debido al daño térmico que genera la pérdida de propiedades mecánicas del hormigón. 5. La introducción de armadura pasiva en el modelo de numérico produce una mejora del comportamiento, aumentando el momento de fisuración y la ductilidad del material, lo que permite un mayor valor de la flecha en el comienzo del crecimiento de grietas en el hormigón. 6. El modelo numérico reproduce con exactitud el proceso de apertura de grieta en sus fases prepico y pico. 112 datared.m function [X,Y] = datared(X_full,Y_full,cs_s) %% Algoritmo de reducción de datos j=1; row=2; X = 0; Y = 0; peak=find(Y_full==max(Y_full)); %posición del máximo en un vector m=peak(1); max_Y=max(Y_full(:,1)); % guarda el valor máximo de Y max_X=max(X_full(:,1)); X_full_int=X_full(:)./max_X; %todos los valores de X los divide entre el max Y_full_int=Y_full(:)./max_Y; %Almacena los valores de X e Y que sean mayores que su antecesor. Desde la %fila 2 hasta la fila del valor máximo. for i=2:m if (Y_full_int(i)>Y_full_int(j)) && ((X_full_int(i)>X_full_int(j))) X(row,1)=X_full(i); Y(row,1)=Y_full(i); row=row+1; j=i; end end %Almacena los valores de Y que sean menores que su antecesor y para X mayores que su sucesor. Desde la %fila posterior al maximo hasta el final. for i=m+1:size(Y_full,1) if (Y_full_int(i)<Y_full_int(j)) && ((X_full_int(i)>X_full_int(j))) X(row,1)=X_full(i); Y(row,1)=Y_full(i); row=row+1; j=i; end end %% Vuelve a ajustar los párametros como al principio j=1; row=2; X_full = X; Y_full = Y; X = 0; Y = 0; peak=find(Y_full==max(Y_full)); m=peak(1); max_Y=max(Y_full(:,1)); max_X=max(X_full(:,1)); X_full_int=X_full(:)./max_X; Y_full_int=Y_full(:)./max_Y; for i=2:m if X_full_int(i)>X_full_int(j) cs=((Y_full_int(i)-Y_full_int(j))^2+(X_full_int(i)... -X_full_int(j))^2)^0.5; if cs >= cs_s if cs <= 1.5*cs_s X(row,1)=X_full(i); Y(row,1)=Y_full(i); 113 row=row+1; j=i; else a=(Y_full_int(i)-Y_full_int(j))/(X_full_int(i)-X_full_int(j)); dx=sign(X_full_int(i)-X_full_int(j))*1/(1+a^2)^0.5*cs_s; dy=a*dx; k=1; while cs > 1.5*cs_s X(row,1)=X_full(j)+k*dx*max_X; Y(row,1)=Y_full(j)+k*dy*max_Y; cs=((Y_full_int(i)-Y(row,1)/max_Y)^2+... (X_full_int(i)-X(row,1)/max_X)^2)^0.5; row=row+1; k=k+1; end X(row,1)=X_full(i); Y(row,1)=Y_full(i); row=row+1; j=i; end end end end X(row,1)=X_full(m); Y(row,1)=Y_full(m); row=row+1; i=m; while i<=size(X_full,1) if X_full_int(i)>X_full_int(j) cs=((Y_full_int(i)-Y_full_int(j))^2+(X_full_int(i)... -X_full_int(j))^2)^0.5; if cs >= cs_s if cs < 1.5*cs_s X(row,1)=X_full(i); Y(row,1)=Y_full(i); row=row+1; j=i; else a=(Y_full_int(i)-Y_full_int(j))/(X_full_int(i)- X_full_int(j)); dx=sign(X_full_int(i)-X_full_int(j))*1/(1+a^2)^0.5*cs_s; dy=a*dx; k=1; while cs > 1.5*cs_s X(row,1)=X_full(j)+k*dx*max_X; Y(row,1)=Y_full(j)+k*dy*max_Y; cs=((Y_full_int(i)-Y(row,1)/max_Y)^2+... (X_full_int(i)-X(row,1)/max_X)^2)^0.5; row=row+1; k=k+1; end X(row,1)=X_full(i); Y(row,1)=Y_full(i); row=row+1; j=i; end end i=i+1; else avg_index=find(Y_full(i:size(Y_full(:,1),1))... 114 ==max(Y_full(i:size(Y_full(:,1),1)))); if (i+avg_index <= size(X_full,1)) && (Y_full(i)<Y_full(j)) X(row,1)=X_full(i+avg_index); Y(row,1)=Y_full(i+avg_index); row=row+1; i=i+avg_index; j=j+avg_index; else i=i+1; end end end X(row,1)=X_full(size(X_full,1)); Y(row,1)=Y_full(size(X_full,1)); 115 dispmsg.m function dispmsg(geometry,input,initial,output,rep,X) disp(blanks(1)') disp('Geometry data from: ') disp(geometry) disp('Exp. data from: ') disp(input) disp('Initial values from:') disp(initial) disp('Output to: ') disp(output) disp(blanks(1)') disp(['No. of repetitions =' blanks(1) num2str(rep)]) disp(['No. of datapoints =' blanks(1) num2str(size(X,1))]) disp(blanks(1)') 116 E1.m function E1 = E1(est,X,Y,geo,fix,lb,ub,type,warnings,i,rep,obstype) % Da por la salida la función a minimizar, sum(P-Pex)^2 % FASE I estima modulo de deformacion E % est(1)=E %"inp": valores parámetros a estimar (ft,a1,a2,b2,E) %"obs": viene de valores observados (ver Thesis Ostegaard). Son los valores %experimentales de CMOD o U según curva introducida. inp=[fix(1);fix(2);fix(3);fix(4);est(1)]; %%% "est()", son los parámetros libres para la optimización en cada fase y "fix()" los fijos. if (est(1)<lb(5))||(est(1)>ub(5))||(swcheck(inp,stimate(inp,geo,type),0)==0) E1=1e12; warn(warnings,1,stimate(inp,geo,type),inp,lb,ub,i,rep,1); else switch 1 case strcmp(type,'wst') out = wstmain(geo,inp,X,0); case strcmp(type,'tpbt') out = tpbtmain(geo,inp,X,obstype,0); %obtener P teorico. "X" son los valores de CMOD o U reales. "obstype":tipo de curva CMOD o U. end % real(Y(1:size(out,1))) % out(:,1) E1 = sum((real(Y(1:size(out,1))-out(:,1))).^2)/size(out,1);%%% Error cuadrático suma (P-Pteor)^2. "out()" valor de Pteórico obtenido de funcion tpbtmain. end 117 E2.m function E2 = E2(est,X,Y,geo,fix,lb,ub,type,warnings,i,rep,obstype) %% FASE II estima ft y a1 inp=[est(1);est(2);fix(3);fix(4);fix(5)]; if (est(1)<lb(1))||(est(2)<lb(2))||(est(1)>ub(1))||(est(2)>ub(2))||(swcheck(inp, stimate(inp,geo,type),0)==0) E2=1e12; warn(warnings,1,stimate(inp,geo,type),inp,lb,ub,i,rep,2); else switch 1 case strcmp(type,'wst') out = wstmain(geo,inp,X,1); case strcmp(type,'tpbt') out = tpbtmain(geo,inp,X,obstype,1); end E2 = sum((real(Y(1:size(out,1))-out(:,1))).^2)/size(out,1); end E3.m 118 function E3 = E3(est,X,Y,geo,fix,lb,ub,type,warnings,i,rep,obstype) % FASE III estima a2, b2 inp=[fix(1);fix(2);est(1);est(2);fix(5)]; if (est(1)<lb(3))||(est(2)<lb(4))||(est(1)>ub(3))||(est(2)>ub(4))... ||(swcheck(inp,stimate(inp,geo,type),0)==0) E3=1e12; warn(warnings,1,stimate(inp,geo,type),inp,lb,ub,i,rep,3); else switch 1 case strcmp(type,'wst') out = wstmain(geo,inp,X,1); case strcmp(type,'tpbt') out = tpbtmain(geo,inp,X,obstype,1); end E3 = sum((real(Y(1:size(out,1))-out(:,1))).^2)/size(out,1); end 119 fun.m function f = fun(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c,a0,d0,ft,E,h,H,v1,v2,s,L,obsty pe,obs) %calcula tetha según la fase en la que estemos if strcmp(obstype,'cmod')==1 %Si estamos en caso 'cmod' switch 1 case theta <= theta_1_2 %%% si estamos en FASE I alpha=1-beta1-sqrt((1-beta1)*(1/theta-beta1)); bi = 1; betai=beta1; case theta <= theta_2_3 %%% si estamos en FASE II alpha = 1-beta2-(1-b2)/2/theta-sqrt((1-beta2)*((1-b2)^2/4/theta^2/(beta1- beta2)-beta2+b2/theta)); bi = b2; betai=beta2; case theta > theta_2_3 %%% si estamos en FASE III alpha = 1-1/2/theta*(1+sqrt((1-b2)^2/(beta1-beta2)+b2^2/beta2)); bi = 0; betai=0; end f = s*ft/E*(1-bi+2*alpha*theta)/(1- betai)+4*a0*ft/E*mu(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c)*(h/H)^2*v1+2* (a0+d0)*s*ft/h/E*(theta-1)-obs; %========================================================================== elseif strcmp(obstype,'u')==1 %Si estamos en caso 'u' f = theta+(L/3/s*(h/H)^3+2*h/s/(H/h)^2*v2- 1)*mu(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c)-obs*2*h*E/s/ft/L; end 120 initialize.m function ini = initialize(geo,X,Y,type,output,obstype) options = optimset('Display','off','MaxFunEvals',5000,'MaxIter',5000,'TolFun',1e-13); switch 1 case strcmp(type,'wst') [X,Y] = datared(X,Y,0.09); m = geo(1); a0 = geo(2); am = geo(3); b = geo(4); bm = geo(5); d1 = geo(6); d2 = geo(7); h = geo(8); L = geo(9); t = geo(10); mu = geo(11); alpha_w = geo(12); if size(geo,1)==12 y = (b-h)/b; v2 = y/(1-y)^2*(38.2-55.4*y+33.0*y^2); else v2 = geo(13); end A_1 = bm*(L-h-a0); A_2 = (L/2-am/2)*a0; A_3 = L/2*h; A = A_1 + A_2 + A_3; e = (L/2-bm/2)*A_1/A + (L/4+am/2)*A_2/A + L/4*A_3/A; kmu = (2*tan(alpha_w/180*pi)+2*mu)/(1-mu*tan(alpha_w/180*pi)); ini(1,1) = 0.5*(max(Y)*(6*d2+3*d1*kmu-2*h)+6*(m/2)*9.82*e)/h^2/t; ini(4,1) = 0.5; ini(5,1) = X(1:ceil(find(Y==max(Y))/4))\Y(1:ceil(find(Y==max(Y))/4))/t*v2; a1 = [5;20;80;160]; a2 = [0.05;0.20;0.80;1.60;3.20]; for i=1:size(a1(:,1)) for j=1:size(a2(:,1)) b(i,j) = fzero(@fun,0.5,options,[ini(1,1);a1(i);a2(j);ini(4,1);... ini(5,1)],X,Y,h,t); if (b(i,j) > 0) && (b(i,j) < 1) && (swcheck([ini(1,1); a1(i,1);... a2(j,1); b(i,j); ini(5,1)],stimate([ini(1,1);... a1(i,1); a2(j,1); b(i,j); ini(5,1)],geo,'wst'),0)==1) out = wstmain(geo,[ini(1,1);a1(i);a2(j);b(i,j);ini(5,1)],X,1); E(i,j) = sum((real(Y(1:size(out,1))-out(:,1))).^2)/size(out,1); else E(i,j)=Inf; end end end if (sum(sum(E(:,:)<Inf)) > 0) [i,j]=find(E==min(min(E))); ini(2,1) = a1(i,1); ini(3,1) = a2(j,1); ini(4,1) = b(i,j); if swcheck(ini,stimate(ini,geo,'wst'),0)==0 errormsg(output) end else errormsg(output) end %========================================================================= case strcmp(type,'tpbt') [X,Y] = datared(X,Y,0.01); a0 = geo(1); H = geo(2); L = geo(3); t = geo(4); m = geo(5); d0 = geo(6); h = H-a0; 121 if size(geo,1)==6 y = a0/H; y1 = (a0+d0)/(H+d0); v1_stang = (a0+d0)/(a0)*(0.76-2.28*y+3.87*y^2-2.04*y^3+0.66/(1-y)^2); %See ref. [11] v1_karihaloo = 0.76-2.28*y1+3.87*y1^2-2.04*y1^3+0.66/(1-y1)^2; %See ref. [10] v1=(v1_stang+v1_karihaloo)/2; %This latter relation corresponds very well %with FEM conducted on the Rilem beam v2 =(y/(1-y))^2*(5.58-19.57*y+36.82*y^2-34.94*y^3+12.77*y^4); else v1=geo(7); v2=geo(8); end ini(1,1) = 0.5*3/2*max(Y)*L/t/h^2; ini(4,1) = 0.5; if strcmp(obstype,'cmod')==1 ini(5,1) = X(2:ceil(find(Y==max(Y))/4))\Y(2:ceil(find(Y==max(Y))/4))... *6*v1*L*a0/t/H^2; elseif strcmp(obstype,'u')==1 ini(5,1) = X(2:ceil(find(Y==max(Y))/4))\Y(2:ceil(find(Y==max(Y))/4))... /4/h^2/t*(h/H)^2*L^2*(L/H+6*v2); end a1 = [5;20;80;160]; a2 = [0.05;0.20;0.80;1.60;3.20]; for i=1:size(a1(:,1)) for j=1:size(a2(:,1)) b(i,j) = fzero(@fun,0.5,options,[ini(1,1);a1(i);a2(j);ini(4,1)... ;ini(5,1)],X,Y,h,t); if (b(i,j) > 0) && (b(i,j) < 1) && ((swcheck([ini(1,1); a1(i,1);... a2(j,1); b(i,j); ini(5,1)],stimate([ini(1,1);... a1(i,1); a2(j,1); b(i,j); ini(5,1)],geo,'tpbt'),0)==1)) out = tpbtmain(geo,[ini(1,1);a1(i);a2(j);b(i,j);ini(5,1)],... X,obstype,1); E(i,j) = sum((real(Y(1:size(out,1))-out(:,1))).^2)/size(out,1); else E(i,j)=Inf; end end end if (sum(sum(E(:,:)<Inf)) > 0) [i,j]=find(E==min(min(E))); ini(2,1) = a1(i,1); ini(3,1) = a2(j,1); ini(4,1) = b(i,j); if swcheck(ini,stimate(ini,geo,'tpbt'),0)==0 128 tpbt_inverse.m function tpbt_inverse(input,obstype,geometry,output,initial,red,rep,tol) %input: datos experimentales en archivo txt (CMOD,Carga) %obstype: tipo de curva CMOD ('cmod') o Flecha ('u') %geometry: datos geométricos de la probeta [entalla (mm), alto probeta(mm), espacio entre apoyos (mm),ancho,peso (kg) ,espesor chapa cmod] %output: datos de salida, creo que es una variable donde se guarda la salida %initial:valores iniciales de constantes a calcular (ft,a1,a2,b2,E) %red: reduccion de datos %rep:número de repeticiones %tol:tolerancia tic %inicia el reloj interno del programa if (nargin==0)||(nargin==6)||(nargin==7)||(nargin>8) %nargin calcula el número de argumentos introducidos disp('Input not correctly specified') else data(:,1)=input(:,1); data(:,2)=input(:,2); %if nargin <= 2 %geometry = 'tpbtgeometry.dat'; %if nargin == 1 %obstype = 'u'; %end,end if nargin <= 5 red = 0.009; rep = 50; tol = 0.01; fix=initial;%fix, guarda los valores iniciales de los parámetros (ft,a1,a2,b2,E) if nargin <= 4 initial =[strtok(input,'.') '-ini' '.dat']; %Crea una matriz "initial" dlmwrite(initial,initialize(geometry,data(:,1),data(:,2),'tpbt',initial,obsty pe),'\t') fix = textread('initial.dat','%f'); %dlmwrite: escribe los datos de initialize a un archivo ASCII llamado %'ini.txt', con un tabulador como separador o delimitador if nargin <= 3 output = [strtok(input,'.') '.out']; end end end geo = geometry; %geo, guarda los valores geométricos ( ) warnings = [strtok(input,'.') '_WARNINGS.dat']; warn(warnings,0) %vector con columna warnings y segunda columna 0. %========================================================================== %%%% Comprueba si los valores son posibles if (swcheck(fix,stimate(fix,geo,'tpbt'),1) == 1)&&((strcmp(obstype,'cmod')&&geo(1)>0)||(strcmp(obstype,'u'))) %geo(1)=a0 %[X,Y]=datared(data(:,1),data(:,2),red); 129 X=data(:,1); Y=data(:,2); [lb,ub]=textread('boundaries.dat','%f %f'); %condiciones superior e inferior de los parámetros options=optimset('TolX',0.01,'TolFun',0.01); %crea unas opciones para introducir luego en "fminsearch" dispmsg(geometry,input,initial,output,rep,X) i=1;err=1; E_1=fix(5); %save E_1.dat E_1 -ascii %=========================================================================== while (i <= rep) && (err > tol) fix(5)=fminsearch(@E1,fix(5),options,X,Y,geo,fix,lb,ub,'tpbt',warnings,i,rep, obstype); % fix(5)=E, minimiza la funcion E1; disp(['Fit session no.' blanks(1) num2str(i) blanks(1),'for E completed']) E_1=fix(5); %save E_1.dat E_1 -ascii fix(1:2)=fminsearch(@E2,[fix(1);fix(2)],options,X,Y,geo,fix,lb,ub,'tpbt',warn ings,i,rep,obstype); disp(['Fit session no.' blanks(1) num2str(i) blanks(1),'for ft and a1 completed'])%% fix(1)=ft, fix(2)=a1, calcula ft y a1 ft=fix(1); a1=fix(2); A=[ft;a1]; %save ft_a1.dat A -ascii fix(3:4)=fminsearch(@E3,[fix(3);fix(4)],options,X,Y,geo,fix,lb,ub,'tpbt',warn ings,i,rep,obstype); disp(['Fit session no.' blanks(1) num2str(i) blanks(1),'for a2 and b2 completed']) a2=fix(3); b2=fix(4); B=[a2;b2]; %save a2_b2.dat B -ascii out=tpbtmain(geo,fix,X,obstype,1); %Obtiene P teorica con los parámetros definitivos. results(1:5,i)=fix; %Guarda los parámetros calculados results(6,i)=1/2*fix(1)*(fix(4)/fix(3)+(1-fix(4))/(fix(2)- fix(3))*(fix(3)-fix(2)*fix(4))/fix(3)); results(7,i)=results(6,i)*fix(5)/fix(1)^2; results(8,i)=sqrt(sum((real(Y(:)-out(:,1))).^2)/size(out,1))/max(Y)*100; if i > 1 err = max(abs((results(1:7,i-1)-results(1:7,i))./results(1:7,i))); end i=i+1; %dlmwrite('output',results,'\t'); end %save('DF2_ST_1_salida.mat','results','out') save DF1_ST_4_inverse_Results.dat results -ascii save DF1_ST_4_inverse_Pteorico.dat out -ascii 130 %====================== aÑADIDO JD dibujar curva====================== %x1=[0;]; %x2=[wk;wc]; %y1=((fix(2)).*x1)+1; %y2=((fix(3)).*x2)+fix(4); % figure (1) % %plot(x1,y1,'-blue') %hold on %plot(x2,y2,'-blue') %=========================================================================== if err > tol disp(['Max number of iterations reached. Relative error: ' ... num2str(100*err) ' %']) else disp(['Convergence achieved after ' num2str(i-1) ' iterations.']) end resplot(X,Y,out,input,obstype) disp(blanks(1)'), disp(['Time =' blanks(1) num2str(toc/60,3)... blanks(1) 'min']) elseif (strcmp(obstype,'cmod'))&&(geo(1)==0) disp('CMOD as input is not supported for unnotched beams') end end 131 tpbtmain.m function pre = tpbtmain(geo,est,obs,obstype,p) %Saca Carga P teorica en función de los parámetros para minimizarla %posteriormente a0=geo(1); %entalla H = geo(2); %altura de la probeta. Ver Figura 5.44 Thesis Ostegaard L = geo(3); %distancia entre apoyos. Ver Figura 5.44 Thesis Ostegaard t = geo(4); %espesor de la probeta m=geo(5); %masa de la probeta d0=geo(6); %espesor chapas CMOD. Ver Figura 5.47 Thesis Ostegaard h=H-a0; %geo: vector con valores geométricos de la probeta. %est:valores estimados de los parámetros a calcular (ft,a1,a2,b2,E) %obs:valores reales CMOD o flecha "u" %obstype: para calcular CMOD o flecha "u" %p: phase en la que estamos calculando, si p=0 pre-grieta, si p=1 grieta %d0: es el espesor de las chapas donde se colocó el CMOD (ver pag 123 Tesis Danesa s=stimate(est,geo,'tpbt'); %estima el valor de la anchura "s" del hinge, según el ensayo sea TPB o WS g=9.820; ft=est(1); a1=est(2); a2=est(3); b2=est(4); E=est(5); beta1=ft*a1*s/E; beta2=ft*a2*s/E; %calculo de beta 1 y beta 2 a partir de los parámetros estimados if size(geo,1)==6 %estamos en caso TPB, porque WS tiene más de 6 parámetros geométricos y = a0/H; y1 = (a0+d0)/(H+d0); v1_stang = (a0+d0)/(a0)*(0.76-2.28*y+3.87*y^2-2.04*y^3+0.66/(1-y)^2); %See ref. [11] v1_karihaloo = 0.76-2.28*y1+3.87*y1^2-2.04*y1^3+0.66/(1-y1)^2; % See ref. [10] v1 = (v1_stang+v1_karihaloo)/2; %This latter relation corresponds very well %with FEM conducted on the Rilem beam [8] v2 = (y/(1-y))^2*(5.58-19.57*y+36.82*y^2-34.94*y^3+12.77*y^4); else v1=geo(7); %en caso de WS test v2=geo(8); %en caso de WS test end c = (1-b2)*(1-beta1)/(beta2-beta1); theta_1_2 = 1/2*(1-c+sqrt((1-c)^2+c^2/(beta1-1))); theta_2_3 = 1/2*(b2/beta2+sqrt((1-b2)^2/(beta1-beta2)+b2^2/beta2)); cmod_0 = (4*a0*ft/E*(h/H)^2*v1)-(3*m*g*L/t/H^2/E*a0*v1); %CMOD_0, es la aperura de grieta en el inicio del agrietamiento u_0 = ft*L/h/E*(h/H)^2*(L/6*(h/H)+h*v2)-m*g/E/t*(3/4*(L/h)^2*v2+1/8*(L/H)^3); %flecha0, es la flecha en el inicio del agrietamiento 132 row = 1; theta = 1; options = optimset('Display','off','MaxFunEvals',50000,'MaxIter',50000,'TolFun',1e-13); % cmod_0; %========================================================================== if strcmp(obstype,'cmod')==1 while (obs(row) <= cmod_0) pre(row,1)=1/6*E*t*H^2/a0/L/v1*obs(row); %calculo del vector columna Pteorico(row,1) en fase elastica a partir del vector CMOD(row); Ec. (5.61) pág 135 row=row+1; % OBS=obs(row) end %pre=P %obs=CMOD exp %========================================================================== elseif strcmp(obstype,'u')==1 %define pre para calculo de la flecha while (obs(row) <= u_0) pre(row,1)=4*h^2*t*E*obs(row)*(H/h)^2/L^2/(L/H+6*v2); % Carga Ec (5.67) row=row+1; %obs=flecha exp end end %========================================================================== if p > 0 %este bloque se ejecuta con E2 y E3, no con E1 for row=row:size(obs,1) %desde la fila donde obs=CMOD_0, hasta el resto de obs theta = fzero(@fun,theta,options,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c,a0,d0,ft,E,h,H, v1,v2,s,L,obstype,obs(row)); %define a theta pre(row,1)=2/3*ft*h^2*t/L*mu(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c)- 1/2*m*g; % carga P ecuacion (8) (Abadalla, Karihaloo)) %size(pre) end end %========================================================================== %========================================================================== % function f = fun(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c,a0,d0,ft,E,h,H,v1,v2,s,L,obsty pe,obs) % %calcula tetha según la fase en la que estemos % Pre=8 % if strcmp(obstype,'cmod')==1 %Si estamos en caso 'cmod' % % switch 1 % % case theta <= theta_1_2 %%% si estamos en FASE I % alpha = 1-beta1-sqrt((1-beta1)*(1/theta-beta1)); % bi = 1; betai=beta1; % % case theta <= theta_2_3 %%% si estamos en FASE II % alpha = 1-beta2-(1-b2)/2/theta-sqrt((1-beta2)*((1- b2)^2/4/theta^2/(beta1-beta2)-beta2+b2/theta)); % bi = b2; betai=beta2; % 133 % case theta > theta_2_3 %%% si estamos en FASE III % alpha = 1-1/2/theta*(1+sqrt((1-b2)^2/(beta1-beta2)+b2^2/beta2)); % bi = 0; betai=0; % end % f = s*ft/E*(1-bi+2*alpha*theta)/(1- betai)+4*a0*ft/E*mu(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c)*(h/H)^2*v1+2* (a0+d0)*s*ft/h/E*(theta-1)-obs; % %========================================================================== % % % elseif strcmp(obstype,'u')==1 %Si estamos en caso 'u' % f = theta+(L/3/s*(h/H)^3+2*h/s/(H/h)^2*v2- 1)*mu(theta,theta_1_2,theta_2_3,beta1,beta2,b2,c)-obs*2*h*E/s/ft/L; % end % % %========================================================================= 134 warn.m function warn(warnings,p,s,inp,lb,ub,i,rep,phase) switch 1 case (p == 0) if which(warnings) | 0 fid = fopen(warnings,'w+'); fprintf(fid,'This file contains warnings generated during inverse analysis. Pls. check your results if any warnings have been generated\n\n'); fclose(fid); end case (p == 1) WT = WarningType(inp,s,lb,ub); if which(warnings) | 0 fid = fopen(warnings,'a'); fprintf(fid,'Warning: The optimization was limited by: %s.\nValues of parameters: [%8.5e %8.5e %8.5e %8.5e %8.5e].Phase %1.0f. Repetition: %1.0f\n',WT,inp,phase,i); fclose(fid); else %fid = fopen(warnings,'w+'); %fprintf(fid,'This file contains warnings generated during inverse analysis. Pls. check your results if any warnings have been generated\n\n'); %fprintf(fid,'Warning: The optimization was limited by: %s.\nValues of parameters: [%8.5e %8.5e %8.5e %8.5e %8.5e].Phase %1.0f. Repetition: %1.0f\n',WT,inp,phase,i); %fclose(fid); end end 135 PlotHingeModel.m a=figure; a.Color='w'; a.Name='Hinge Model 300'; ft=9.05; a1=0.2360*ft; a2=0.0211*ft; b2=0.2131*ft; E=21506; subplot(1,3,1); x=[0,ft/E]; y=[0,ft]; x1=[0,ft/E]; y1=[ft,ft]; line(x,y,'color','black','linestyle','-','linewidth',2); str1 = {['f_{t}=',num2str(ft),' MPa'],['E=',num2str(E),' MPa']}; annotation('textbox', [0.21,0.3,0.1,0.1],... 'String', str1,'FontSize',20,'LineWidth',0.8) line(x1,y1,'color',[.8 .8 .8],'linewidth',1,'linestyle','--') xlabel('\epsilon','FontSize',22,'FontName','Arial') ylabel('\sigma [MPa]','Rotation',90,'FontSize',22,'FontName','Arial') title('Stress-strain relationship','FontSize',20) subplot(1,3,2); f1=@(x)(ft-x*a1); f2=@(x)(b2-x*a2); intersecx=@(x)(ft-x*a1)-(b2-x*a2); xint=fzero(intersecx,100); yint=f1(xint); x=[0,xint]; y=[ft,yint]; x1=[xint,b2/a2]; y1=[yint,0]; w1=(ft-b2)/(a1-a2); border1=[xint,(w1+yint/a1)]; border2=[yint,0]; GF=((xint+x1(2))*yint)/2+xint*(ft-yint)/2; Gf=(w1+yint/a1)*ft/2; gf=GF-Gf; Gf_perc=round(Gf/GF*100,2); gf_perc=round(gf/GF*100,2); line(x,y,'color','blue','linestyle','-','linewidth',2); line(x1,y1,'color','red','linewidth',2,'linestyle','-') line(border1,border2,'color',[.8 .8 .8],'linewidth',1,'linestyle','--') line([0,w1],[b2,yint],'color',[.8 .8 .8],'linewidth',1,'linestyle','--') xlabel('w [mm]','FontSize',22,'FontName','Arial') ylabel('\sigma_w [MPa]','Rotation',90,'FontSize',22,'FontName','Arial') str1 = {['a_{1}=',num2str(a1)],['a_{2}=',num2str(a2)],['b_{2}=',num2str(b2)],['w_{1} =',num2str(round((w1+yint/a1),2))]}; annotation('textbox', [0.5,0.4,0.1,0.1],... 'String', str1,'FontSize',20,'LineWidth',0.8) str2 = {['G_{f}=',num2str(Gf_perc),'%'],['G_{F}- G_{f}=',num2str(gf_perc),'%']}; annotation('textbox', [0.77,0.4,0.1,0.1],... 'String', str2,'FontSize',20,'LineWidth',0.8) title('Stress-crack opening relationship','FontSize',20) subplot(1,3,3); fill([0,w1+yint/a1,0],[ft,0,0],'blue') 136 hold on fill([xint,b2/a2,(w1+yint/a1)],[yint,0,0],'red') legend('G_f','G_F-G_f'); xlabel('w [mm]','FontSize',22,'FontName','Arial') ylabel('\sigma_w [MPa]','Rotation',90,'FontSize',22,'FontName','Arial') title('Fracture energy','FontSize',20) 137 ComparisionHingeModel.m ft_TA=15.20; a1_TA=0.1610*ft_TA; a2_TA=0.0039*ft_TA; b2_TA=0.1231*ft_TA; E_TA=37073; ft_100=9.58; a1_100=0.2133*ft_100; a2_100=0.0291*ft_100; b2_100=0.3073*ft_100; E_100=28796; ft_200=9.04; a1_200=0.1802*ft_200; a2_200=0.0209*ft_200; b2_200=0.25521*ft_200; E_200=27084; ft_300=9.05; a1_300=0.2360*ft_300; a2_300=0.0211*ft_300; b2_300=0.2131*ft_300; E_300=21506; subplot(1,2,1) x=[0,ft_TA/E_TA]; y=[0,ft_TA]; x1=[0,ft_TA/E_TA]; y1=[ft_TA,ft_TA]; line(x,y,'color','black','linestyle','-','linewidth',2); %line(x1,y1,'color','black','linewidth',1,'linestyle','--') x=[0,ft_100/E_100]; y=[0,ft_100]; x1=[0,ft_100/E_100]; y1=[ft_100,ft_100]; line(x,y,'color','blue','linestyle','-','linewidth',2); %line(x1,y1,'color','blue','linewidth',1,'linestyle','--') x=[0,ft_200/E_200]; y=[0,ft_200]; x1=[0,ft_200/E_200]; y1=[ft_200,ft_200]; line(x,y,'color','red','linestyle','-','linewidth',2); %line(x1,y1,'color','red','linewidth',1,'linestyle','--') x=[0,ft_300/E_300]; y=[0,ft_300]; x1=[0,ft_300/E_300]; y1=[ft_300,ft_300]; line(x,y,'color','yellow','linestyle','-','linewidth',2); %line(x1,y1,'color','yellow','linewidth',1,'linestyle','--') xlabel('\epsilon','FontSize',22,'FontName','Arial') ylabel('\sigma [MPa]','Rotation',90,'FontSize',22,'FontName','Arial') legend('Temperatura ambiente','100º','200º','300º','Location','northwest'); title('Comparision stress-strain relationship')