T abajo Fin de G ado
Se illa, a 3 de Sep iemb e de 2018
ANÁLISIS DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO DE
ESTUDIANTES DE TERCERO DE PRIMARIA A
TRAVÉS DE SU PERCEPCIÓN DE LAS FIGURAS.
Ti ulación: G ado en Educación P ima ia
Depa amen o: Didác ica de las ma emá icas
Cu so académico: 2017- 2018
Tu elado po : D a. Ma ía del Ma Liñán Ga cía
Au o a: Claudia Ramos Sánchez
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3
Decla ación pe sonal de no plagio
Dña.: Claudia Ramos Sánchez NIF: 28825004-R
Es udian e del G ado de Educación P ima ia de la Uni e sidad de Se illa, cu so 2017-
2018, como au o a de es e documen o académico i ulado:
ANÁLISIS DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO DE ESTUDIANTES DE
TERCERO DE PRIMARIA A TRAVÉS DE SU PERCEPCIÓN DE LAS
FIGURAS.
Y p esen ado como T abajo de Fin de G ado, pa a la ob ención del í ulo
co espondien e,
DECLARO QUE
es u o de mi abajo pe sonal, que no copio, que no u ilizo ideas, o mulaciones, ci as
in eg ales e ilus aciones di e sas, sacadas de cualquie ob a, a ículo, memo ia, e c.,
(en e sión imp esa o elec ónica), sin menciona de o ma cla a y es ic a su o igen,
an o en el cue po del ex o como en la bibliog a ía.
Así mismo soy plenamen e conscien e de que el hecho de no espe a es os ex emos es
obje o de sanciones uni e si a ias y/o de o o o den.
En Se illa a 3 de Sep iemb e de 2018.
Fdo: Claudia Ramos Sánchez
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AGRADECIMIENTOS
A mi amilia, po se el mo o que me ha pe mi ido cumpli el sueño, po que las
segundas opo unidades exis en y hay que sabe ap o echa las.
A mis compañe as, hoy amigas, de es a ca e a, po que han hecho el p oceso más
sencillo e inol idable.
A aquellos que, desde ue a, no han dejado de empuja conmigo de alguna o ma,
po que el calo de las pe sonas ambién ayuda.
A mi compañe o que en iende que los sac i icios alen, cuando se hacen de co azón. Ha
me ecido la pena.
Al p o eso ado que ha se ido de ejemplo du an e odo es e iempo, po que aún exis en
las u opías y ha sido un place .
Al colegio y esos niños y niñas an dispues os, pues sin ellos nada hubie a sido posible.
Muy especialmen e a mi u o a, Ma , po o ece me la opo unidad, po no deja de
alen a me, po su sencillez y su calidez, po mos a esa son isa en cualquie momen o;
pe o sob e odo, po ab i me es a en ana.
Los iajes que inicias con miedo, son aquellos que más e pe mi en c ece . Es e iaje no
hubie a sido posible sin muchos homb os y muchas alas que me han pe mi ido ele a me
y mi a más a iba, mi a más allá.
Cie o lo que ha sido una de las más boni as y du as e apas con el co azón lleno y la
mochila ca gada de sueños.
GRACIAS
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RESUMEN
El p esen e p oyec o pa e de la inquie ud que siemp e me ha susci ado la
ma emá ica. Si nos cen amos en la enseñanza de la geome ía, la ju isp udencia ac ual,
los p incipios y es ánda es enunciados en el NCTM (2003) y el conocimien o apo ado
po expe os como Ho e (1981) y Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013); p oponen
un o den ideal pa a la enseñanza de es e bloque. Sin emba go, es so p enden e que la
mayo ía de los lib os de ex o escola es es uc u an los con enidos de o ma di e en e.
Po ello, es e T abajo de Fin de G ado p esen a el diseño de una p opues a de
in e ención educa i a en el ámbi o escola di igida al alumnado de e ce cu so de
Educación P ima ia. Dicha p opues a con empla un o den que pa e de la ealidad
idimensional, pa a llega a obje os de dos dimensiones. La implemen ación de la
misma se ealiza en dos sesiones di e en es, y pe mi i á ob ene in o mación sob e el
conocimien o geomé ico que el alumnado iene, así como del ni el de azonamien o de
Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013) en el que cada uno se encuen a.
Los da os ob enidos señalan que las nociones geomé icas deben abaja se más
p o undamen e, además pe mi en mejo a el diseño de ac i idades u u as pa a ayuda al
alumnado a a anza en su ap endizaje.
Palab as cla e: geome ía, Ni eles de Van Hiele, igu as planas, cue pos
geomé icos, ap endizaje de ma emá icas.
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ABSTRACT
The s a e poin o his P ojec has been my pe sonal in e es on Ma hema ics.
Focusing o he eaching o geome y, he cu en laws, he p inciples and s anda ds
om he NCTM (2003) and he knowledge p o ided by expe s such as Ho e (1981)
and Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013); p opose he ideal o de o eaching
geome y a school. Howe e , su p isingly, he majo i y o school ex books ha e
o ganised he con en di e en ly.
The e o e, his Final Deg ee P ojec p esen s an educa ional design o hi d yea
s uden s o P ima y Educa ion. This design ollows an o de which mo es om h ee
dimensional objec s o wo dimensional objec s. The ac i i ies will be done in wo
di e en days. The in o ma ion ob ained will allow knowing wha geome ical
knowledge s uden s ha e; and in which le el o Van Hiele’s easoning a e hey si ua ed.
The ou comes o his p ojec sugges he need o wo k in he geome ical con en
deeply a school, and also allow us o de elop new ac i i ies o imp o e s uden s’
lea ning.
Key wo ds: geome y, Van Hiele’s le els, plane igu es, solid igu es,
ma hema ic lea ning.
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Con enido
1. In oducción y jus i icación. ................................................................................................ 10
2. Obje i os. ............................................................................................................................ 13
3. Ma co eó ico. ..................................................................................................................... 14
3.1. Cu ículo de Educación P ima ia en Andalucía ........................................................... 14
3.2. P incipios y es ánda es pa a la educación ma emá ica. ............................................. 15
3.3. Ho e y Van Hiele: conocimien o de los expe os. ..................................................... 18
4. Me odología ........................................................................................................................ 22
4.1. Luga de acción: el colegio. ......................................................................................... 22
4.2. Conside aciones pa a elabo a la secuencia de ac i idades. ...................................... 23
4.3. P opues a didác ica de ac i idades. ............................................................................ 24
4.3.1. Ac i idades. ......................................................................................................... 25
4.4. ¿Cómo se a a hace ? .................................................................................................. 34
4.4.1. Tablas de análisis de da os .................................................................................. 35
4.5. Fases del p oceso ........................................................................................................ 36
5. Resul ados ........................................................................................................................... 37
5.1. Resul ados indi iduales. ................................................................................................... 37
5.2. Resul ados g upales ......................................................................................................... 60
6. Conclusiones, implicaciones y limi aciones......................................................................... 62
7. Re e encias Bibliog á icas ................................................................................................... 67
8. Anexos. .................................................................................................................................... 70
8.1. Anexo I: Ma e ial usado en las ac i idades. ..................................................................... 70
8.2. Anexo II: Ac i idades esuel as po el alumnado ............................................................. 73
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p e enden se una guía p o esional sólida pa a una educación ma emá ica de g an
calidad, es po eso po lo que paso a desc ibi los b e emen e a con inuación (pp. 10-28).
 Igualdad: odo el alumnado deben ene opo unidades pa a es udia
ma emá icas y apoyo pa a ap ende las. Es o no implica una ins ucción idén ica
sino la posibilidad de que odos/as ob engan log os, median e las adap aciones
necesa ias. Pa a una igualdad eal se equie e ene en cuen a las di e encias del
alumnado pa a p es a ayuda dis in a a cada uno/a en unción de sus habilidades
y necesidades.
 Cu ículo: el cu ículo debe pe mi i que el alumnado a ance en ma emá icas
cons uyendo y enlazando ideas y p incipios unos con o os. El cu ículo po ello
debe apo a aspec os ú iles de las ma emá icas que a o ezcan en el alumnado
el gus o po la misma.
 Enseñanza: es e p incipio ecoge la idea de que la enseñanza de ma emá icas se
haga de o ma e icaz po pa e del p o eso ado y e ec i a pa a cada discen e en
cada aula. Un p o eso ado e icaz es aquel que posee el conocimien o
ma emá ico, sabe cómo ansmi i lo según a qué alumnado y es conscien e del
complejo p oceso que equie e la enseñanza a endiendo a lexibilidad que hay en
las aulas, además de an icipa posibles p oblemas y de ene una p opues a de
e aluación ica.
 Ap endizaje: la ma emá ica equie e de un ap endizaje comp ensi o que
pe mi a cons ui nue os conocimien os en base a los que ya se ienen, de o ma
signi ica i a. Ap ende de o ma comp ensi a gene a mayo segu idad en los
es udian es po que en ienden lo que es udian y saben cómo y dónde aplica lo;
además, las ma emá icas cob an más sen ido pa a el discen e.
 E aluación: la o ma de e alua debe con ibui al ap endizaje de los
es udian es, es deci , debe se i pa a que el docen e conozca los a ances, log os
y debilidades de su alumnado, pe o ambién, pa a que el p opio alumnado pueda
mejo a su ap endizaje.
 Tecnología: como acili ado a en el p oceso de ap endizaje de las ma emá icas,
además de se una he amien a que pe mi a adap a la enseñanza a las
necesidades del alumnado. De o o lado, la ecnología ambién in luye en qué se
enseña, no solo en el cómo, ya que puede supone a iaciones en el cu ículo, al
hace cálculos con núme o más ele ados o usa p og amas a la ho a de e
cue pos geomé icos.
Los es ánda es p e enden asegu a la calidad, señala me as y p omo e cambios.
Es o puede cumpli se siemp e que se asegu e el deba e en e los p o esionales que
pa icipan en la educación. Po ello, los es ánda es son exposiciones ace ca de lo que los
es udian es de ma emá icas debe ían conoce y log a du an e cada e apa. Es os
es ánda es se e ie en a ni eles o e apas escola es que ienen sus equi alen es en nues o
sis ema educa i o. A con inuación se añade un cuad o que cla i ica y compa a es os

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ni eles educa i os de Es ados Unidos con España, sob e odo en é minos de
nomencla u a.
EDAD
ESTADOS UNIDOS
ESPAÑA
5 años
Kinde ga en (K)
E apa P-K-2
P ekinde ga en,
kinde ga en,
ni eles 1-2
In an il [3-5 años]
6 años
Ni eles 1 y 2
1º EPO
1e ciclo
p ima ia
7 años
2º EPO
8 años
Ni eles 3, 4 y 5
E apa 3-5
Elemen a y
School 5 a 11 años
3º EPO
2º ciclo
p ima ia
9 años
4º EPO
10 años
5º EPO
3e ciclo
p ima ia
11 años
6º EPO
12 años
Ni eles 6, 7 y 8
E apa 6-8
Junio High
School
Middle School
1º ESO
Educación
Secunda ia
Obliga o ia
13 años
2º ESO
14 años
3º ESO
15 años
Ni eles 9, 10, 11 y
12
E apa 9-12
High School
4º ESO
16 años
1º Bachille
Bachille a o
17 años
2º Bachille
18 años
Tabla 1. Compa a i a del el sis ema educa i o de Es ados Unidos y el sis ema educa i o de España,
po edades1.
La e apa 3-5 es la que co esponde ía con la edad de 8-9 años de e ce o EPO de
nues o sis ema, po an o, pasamos a menciona los es ánda es que se p e én pa a dicha
e apa en geome ía.
Los es udian es debe ían es a capaci ados pa a (p. 168): analiza las
ca ac e ís icas y p opiedades de igu as geomé icas de dos y es dimensiones y
desa olla azonamien os ma emá icos sob e elaciones geomé icas; localiza y
desc ibi elaciones espaciales median e coo denadas geomé icas y o os sis emas de
ep esen ación; aplica ans o maciones y usa la sime ía pa a analiza si uaciones
ma emá icas; u iliza la isualización, el azonamien o ma emá ico y la modelización
pa a esol e p oblemas.
Aunque no podemos en ende que la geome ía sea una se ie de con enidos es ancos
y no conec ados en e sí, es cie o que siguiendo la línea de obje i os de es e p oyec o,
el oco de in e és a a es a en el análisis de las ca ac e ís icas de igu as, que se
desglosa ía en los siguien es pun os (p. 168):
1 Nó ese que las edades no son exac as según ni eles y ciclos y pueden p esen a a iaciones ya que no
son años na u ales sino académicos. Fuen e: Elabo ación p opia con la in o mación ob enida en el NCTM
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 Iden i ica , compa a y analiza a ibu os de igu as de dos y es dimensiones y
desa olla el ocabula io pa a desc ibi los.
 Clasi ica igu as de dos y es dimensiones de acue do con sus p opiedades y
desa olla las de iniciones de algunas clases de igu as, como los iángulos y
las pi ámides.
 In es iga , desc ibi y azona los esul ados de subdi idi , combina y
ans o ma igu as.
 Explo a la cong uencia y la semejanza.
 Fo mula y comp oba conje u as sob e las p opiedades geomé icas y las
elaciones, y desa olla a gumen os lógicos pa a jus i ica las conclusiones
En ienden que es os pun os deben consis i en que conozcan un ocabula io
ma emá ico adecuado que pe mi a e e i a ibu os, ideas o nociones de o ma exac a;
que dibujen y cons uyan igu as; que compa en y discu an los a ibu os de dis in as
igu as; que clasi iquen y elabo en de iniciones basadas en p opiedades.
3.3. Ho e y Van Hiele: conocimien o de los expe os.
Ho e (1981) y Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013), apo an un conocimien o
pa a la geome ía que pe mi e iden i ica en qué momen o del ap endizaje se encuen a
el alumnado, ayuda mejo a la comp ensión de la geome ía po los es udian es y
ealiza un análisis de la p ác ica de aula a endiendo al ni el del alumnado. Es
impo an e menciona que pese a que ambos au o es p esen asen sus es udios en es e
campo hace iempo, los expe os en la ma e ia conside an que son los pila es en dicho
ámbi o y que nada pos e io se ha hecho que no es é basado en sus conside aciones.
Tan o es así, que en la LOMCE ambién se menciona que se enga en cuen a lo dicho
po Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013) pa a la p og amación de es e bloque en las
aulas.
De un lado, según Ho e (1981), en geome ía se deben omen a unas habilidades
o es a egias de ca ác e más p ác ico pe o de na u aleza geomé ica, en luga de
demos aciones que supongan un al o ni el de abs acción men al. Es as es a egias
p opo cionan al alumnado dis in as o mas de ace ca se a la geome ía,
complemen ándose unas con o as. Es as habilidades, que a con inuación se p esen an,
se desglosan en cinco á eas que son: isual, e bal, de dibujo, lógica y aplicada.
Las es a egias isuales pe mi en que el alumnado explo e y expe imen e las igu as
de o ma manipula i a ya que, la geome ía, es eminen emen e isual; además acili an
el desa ollo de los dos hemis e ios ce eb ales, yux aponiendo unciones lógicas y
analí icas con o as espaciales y holís icas. Las es a egias e bales son especialmen e
in e esan es en es e bloque ya que hay un g an núme o de de iniciones y concep os
ma emá icos que deben enuncia de o ma adecuada; si se po encian dichas es a egias
se consegui á un doble obje i o: que el alumnado sepa desc ibi de o ma exac a los
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concep os y que sean capaces de econoce sus p opias ca encias. Las es a egias de
dibujo son esenciales po que los/as es udian es deben dibuja igu as y cue pos pa a
desa olla p opo ciones o comp ende p opiedades; al dibuja deben hace explíci os
los a ibu os de las igu as, además de p omo e en ellos/as el uso de la egla, el
anspo ado o la ejilla. Las es a egias lógicas po encian el desa ollo de la
comp ensión y de la elabo ación de a gumen os álidos o no. Ha exis ido una endencia
a memo iza en luga de comp ende , lo cual ha hecho que esa na u aleza lógica de la
geome ía no se llegue a pone en juego. Finalmen e las es a egias aplicadas consis en
en lle a la ma emá ica has a el con ex o co idiano, haciéndonos conscien es de que la
ma emá ica es á p esen e en nume osos enómenos ísicos y desa ollados en muchas
disciplinas.
De o o lado, según Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013), el alumnado no
p esen a la misma capacidad de azonamien o, comp ensión y exp esión a lo la go de
los di e en es cu sos académicos, po ello, c ee e iden e que exis an dis in os ni eles de
azonamien o del es udian e. Si bien es cie o que se habla de cinco ni eles,
menciona emos los cua o p ime os, dado que el úl imo solo se á alcanzable po
de e minados cu sos uni e si a ios. A lo la go de los mismos el azonamien o
ma emá ico de los es udian es a p og esando y pe eccionándose. Además ambién se
habla de “ ases de ap endizaje”, que si en a los docen es como guías que les ayudan a
p omo e en e su alumnado la p omoción de un ni el a o o supe io . A con inuación
se desc iben b e emen e las ca ac e ís icas que pueden obse a se pa a cada ni el.
Ni el 1, de econocimien o.
 Pe ciben las igu as geomé icas de o ma o al como una unidad, pudiendo
inclui a ibu os i ele an es.
 Incapaces de hace gene alizaciones; pe cibiendo las igu as como indi iduales.
 Las semejanzas o di e encias en e igu as se basan en el aspec o ísico de las
mismas.
 El con ex o ce cano ayuda a desc ibi igu as basándose en semejanza con o os
de su ealidad. Po ejemplo “se pa ece a…” “ iene o ma de…”
 No se econocen p opiedades ma emá icas ni las pa es que con o man la igu a.
Es e ni el es ca ac e ís ico de los p ime os cu sos. Especial impo ancia cob a el
amaño, o ma o colo de las igu as pa a sus desc ipciones y alo aciones. De es e ni el
podemos espe a que nomb en elemen os ma emá icos de la o ma de: “ edondez,
pun as o picos, e c.”
Ni el 2, de análisis.
 Desc iben pa es que in eg an las igu as y enuncian p opiedades de mane a
in o mal.
 Deducen p opiedades en base a gene alizaciones po expe imen ación.
 Incapaces de hace clasi icaciones, pues no elacionan unas igu as con o as
basándose en sus elemen os.
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En es e ni el iene más ele ancia las di e encias que hacen que unas igu as no sean
o as, que las semejanzas que ag upa ían dichas igu as po clases. Además empiezan a
hace azonamien os “ma emá icos” lo cual es el paso p e io necesa io pa a hace
o denaciones.
Ni el 3, de clasi icación.
 Reconocen que de unas p opiedades se deducen o as, lo que empieza a lle a les
a azonamien os o males; sin emba go, aún dependen de la manipulación.
 Son capaces de hace de iniciones ma emá icamen e co ec as.
 Pueden comp ende una demos ación pe o no pueden elabo a la po sí mismos.
Ni el 4, de deducción.
 En ienden y ealizan azonamien os lógicos o males.
 Comp enden la es uc u a axiomá ica de la ma emá ica.
 En ienden que se puede llega al mismo esul ado po di e en es p emisas.
De es os ni eles se debe ene en cuen a que p esen an las siguien es ca ac e ís icas:
 Los ni eles p esen an una je a quización y secuencialidad, pues el paso a un
ni el supe io no puede da se sin an es habe es ado en el in e io , es deci
hablamos de una es uc u a ecu si a ya que lo que en un ni el p e io es
implíci o, en un ni el supe io se hace explíci o.
 Se p oduce una especi icidad en el lenguaje, es o es que a medida que la
complejidad de sus exp esiones y deducciones aumen a, ambién su ocabula io
y lenguaje. Cada ni el p esen a un ocabula io simbólico y una elación en e
ese ocabula io simbólico y el ocabula io ma emá ico ap opiado. Es cie o que
el lenguaje u ilizado po el docen e puede se una ba e a con el discen e si no
conec a con el ni el que enga el mismo.
 Exis e una con inuidad en e un ni el y el siguien e. Es o ha sido eba ido po
quienes c een que se p oduce un sal o de ni el a ni el, pe o la ealidad ha
mos ado que es p og esi o y que las des ezas se adquie en g adualmen e.
Po úl imo, Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013) iden i ica cinco “ ases de
ap endizaje” a a és de las cuales un p o eso puede ayuda a p omociona de un ni el
a o o a sus discen es median e secuencias de ac i idades conc e as.
 1ª ase, in o mación. Si e de oma de con ac o del alumnado y el p o eso . Es os
deben si ua se en la emá ica a abaja y ap ende a maneja ma e iales. El docen e
indaga en los conocimien os p e ios que engan es os.
 2ª ase, o ien ación di igida. Fundamen al que los es udian es descub an,
comp endan y ap endan concep os y p opiedades de igu as. Es a ase sen a á la
base que pe mi a que el alumnado haga u u as elaciones.
21
 3ª ase, explici ación. Deben o ma se g upos de deba e en e los es udian es en los
que haya posibilidad de que su jan ideas di e sas que engan que de ende , lo cual
les obliga á a ce cio a se de lo que saben, de o ganiza lo y de cómo lo exp esan. En
es a ase no se ap ende nada nue o, pe o se e isa odo y se asien a el conocimien o.
 4ª ase, o ien ación lib e. La cla e de es a ase es á en busca p oblemas que
puedan soluciona se po más de un camino y que el alumnado pueda combina los
concep os ap endidos. Es o pe mi i á es ablece elaciones más complejas.
 5ª ase, in eg ación. Deben es ablece conexiones más gene ales en e los
con enidos es udiados y o os campos de es udio. Se a a de condensa en un odo
lo adqui ido.

22
4. Me odología
El abajo ha pa ido con una inquie ud p opia ace ca de la geome ía, la cual ha
aumen ado a medida que ealizaba búsquedas y lec u as e indagaba en lo que o os ya
habían pensado. Un p ime paso undamen al ha sido la búsqueda p e ia de
in o mación, pa a sabe qué se había dicho y hecho. Es a búsqueda me pe mi ió, en
p ime luga , sabe qué decía la ley ace ca de la geome ía; en segundo luga , se
conscien e de qué p incipios y es ánda es p oponía el Na ional Council o Teache s o
Ma hema ics; y en e ce luga , qué nociones de la enseñanza y el ap endizaje de los
expe os como Ho e (1981) y Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013) podían se i me.
T as es e p ime paso, acla é mis obje i os y de iní mi p egun a de in es igación. Si
bien es cie o que el obje i o inicial e a más amplio, pe o como ya expliqué
an e io men e queda abie o a una u u a línea de in es igación pa a con inua es e
p oyec o.
El ins umen o de ecogida de da os que se plan ea en es e abajo es una secuencia
didác ica b e e, o mada po nue e ac i idades plan eadas a un g upo de seis niños y
niñas de e ce o de p ima ia, que nos apo a án in o mación pa a, en un análisis
pos e io , da espues a a los obje i os de in es igación plan eados.
4.1. Luga de acción: el colegio.
El cen o donde se implemen a la secuencia didác ica, es un cen o conce ado en la
p o incia de Se illa, si uado en el dis i o Maca ena. Pe enece a un en o no esidencial
cuya clase, en cuan o al ni el socio-económico, es media-baja. P ecisamen e es la
condición social, cul u al y económica de las amilias del cen o, lo que condiciona que
en el mismo los log os escola es llegan a ene más peso que el cu ículo o los ecu sos
con los que se cuen a.
El colegio cuen a con una línea de in an il, o a en p ima ia y dos en secunda ia, sin
ene bachille a o. El g upo de alumnos/as con el que se desa olla la p opues a
didác ica pe enece al segundo ciclo de Educación P ima ia, conc e amen e el e ce
cu so. La clase es á compues a po ein icinco alumnos y alumnas, dieciséis niños y
nue e niñas. C eando un g upo bas an e he e ogéneo donde encon amos di e en es
alumnos que acuden al aula de apoyo e in eg ación. Así como dis in os ni eles de
adquisición de con enidos. Es una clase cohesionada como g upo ya que iene un ue e
abajo en alo es desde el cen o educa i o y el u o .
La p opues a de ac i idades se ealiza con un g upo pa i a io de seis alumnos y
alumnas, es niños y es niñas2. Pa a lle a a cabo la implemen ación de la p opues a y
2 Pa a lle a a cabo las g abaciones e implemen a las sesiones se i mó p e iamen e un comp omiso de
con idencialidad; además se in o mó a las amilias de los niños y niñas de la ac i idad que se ealizó.
23
la g abación, el colegio o ece una sala donde habi ualmen e se eúne el p o eso ado
pa a pode abaja con el g upo de niños y niñas de una o ma más cómoda.
En elación al ni el de desa ollo cogni i o del g upo de seis alumnos y alumnas
cabe des aca que no es del odo homogéneo, ya que aunque hay un niño que iene un
mayo dominio y conocimien o, hay o os cua o que si ua íamos en un ni el medio, y
el o o en un ni el bajo3. Conside o impo an e y en iquecedo a la di e sidad en el
g upo po que ealmen e casa con las aulas, donde la di e sidad, la complejidad y los
dis in os ni eles son las ca ac e ís icas habi uales de cualquie g upo-clase.
La implemen ación se ealiza en dos días sepa ados en dos sesiones de cua en a y
cinco minu os cada una, una cada día. Las sesiones son g abadas pa a pode ealiza un
análisis pos e io más ico y no pe de minu os de la sesión en i ano ando incidencias,
comen a ios o si uaciones que se p oduzcan du an e la misma.
Pa a pode pone en ma cha las sesiones es necesa ia la coo dinación con el u o y
el cen o pa a dispone del espacio y con a con el alumnado sin in e e i en el es o de
asigna u as del ho a io lec i o de ellos. Po ello, cabe des aca las acilidades mos adas
po pa e del u o y el colegio.
4.2. Conside aciones pa a elabo a la secuencia de ac i idades.
Quie o deja cons ancia en es e pun o que elabo a la p opues a didác ica ha
eque ido que me plan ee y eplan ee mis p opias nociones geomé icas. Es e abajo me
ha b indado la opo unidad de asen a mi conocimien o y de pone en ela de juicio qué
sabía y qué c eía sabe . En elación a es o ha sido impo an e la lec u a de Puig (1986),
aunque es una lec u a ex ensa quie o pone el oco de a ención en la de inición
axiomá ica que o ece del é mino pun o. Pa a comple a y acla a ese é mino incluye
una no a a pie de página. La de inición y la no a a pie de página siguen así:
Reconocemos la exis encia de in ini os en es llamados ‘pun os’, cuyo conjun o
llama emos ‘espacio’ (*)
(*) Es a ‘denominación’ no implica una ‘de inición’ de espacio como simple
conjun o de in ini os pun os. Sólo cuando és os cumplen cie as elaciones llámase a su
conjun o ‘espacio’. Ya hemos dicho que son odos los axiomas admi idos los que, en
de ini i a, ‘de inen’ los concep os en ellos enunciados. Huelga, pues, hace idén ica
obse ación con los concep os ‘ ec a’, ‘plano’. (Puig, 1986, p. 4)
Siguiendo a Puig (1986), los axiomas que de inen los elemen os de la geome ía
euclídea, pun o, ec a, plano o espacio, no son en sí mismos de iniciones po que
necesi amos del uno pa a de ini el o o. Po ejemplo, pa a de ini el pun o, necesi amos
3 Conoce el ni el cogni i o del alumnado con el que se ha abajado ha sido posible g acias a las
nociones que el u o ha acili ado ace ca de los niños y niñas, los cuales ue on elegidos po él.
24
de la ec a y ice e sa; así en endemos que un pun o es un luga geomé ico donde se
co an dos ec as, y que una ec a es una sucesión de in ini os pun os con igual
di ección. Po ello, odas jun as son una de inición de los elemen os de la geome ía
euclídea, sin emba go, po sepa ado son denominaciones, ya que ma emá icamen e no
end ían alidez. Sin emba go, en los colegios se hace ecuen e que es os é minos se
enseñen como de iniciones pe se sin en ende la complejidad y di icul ad que es as
en añan, y sin sabe que no son de iniciones po sí solas.
Dos ideas undamen ales que ambién he enido en cuen a en la elabo ación de
las ac i idades han sido: de un lado, que mi en oque enía que pa i de la ealidad
conocida po el alumnado, de obje os que u ie an o mas idimensionales, y desde ahí
llega a una ealidad plana y bidimensional; de o o lado, conside ando las di icul ades
e e idas po la p o eso a Muñoz-Ca alán (2015) du an e segundo cu so, donde apun ó
que las igu as no debían p esen a se de o ma es á ica, ya que es o implica e o es en el
alumnado como pensa que en el ec ángulo su base es mayo que su al u a, in en a no
p esen a las cayendo en ese e o .
En úl imo luga , ambién hay que ene en cuen a el iempo del que se dispone pa a
lle a a cabo la implemen ación, la al u a del cu so en la que se ealiza, y que el clima
que se gene e con el alumnado sea elajado y dis endido pa a que puedan exp esa se de
una o ma más segu a y anquila. Po supues o desa olla ac i idades pa a un ni el
cogni i o de e minado, en es e caso e ce o de p ima ia (8-9 años).
4.3. P opues a didác ica de ac i idades.
Pa a la p opues a de ac i idades me han se ido de inspi ación, de o ma más
di ec a o indi ec a, cie as lec u as: Chamo o (2005), Alsina (2004), Puig (1986),
además de cie as expe iencias didác icas de Badillo (2015) y ecu sos web. Aunque
quie o menciona que las ac i idades que se p esen an a con inuación son de
elabo ación p opia.
Se p opone una ba e ía de ac i idades sencilla, lle ada a cabo en dos sesiones, con
la que se p e ende ecoge in o mación de cada alumno y alumna que pe mi a esponde
a los obje i os plan eados en es e abajo e iden i ica , siemp e que sea posible, en qué
ni el de azonamien o se encuen an. Las nue e ac i idades plan eadas p e enden
p incipalmen e omen a la discusión en e los niños y niñas y que a a és de p egun as,
imágenes y dibujos se eplan een sus p opias ideas.
Las ac i idades han sido plani icadas de o ma que solo se abajan algunas igu as
y cue pos geomé icos, ya que esul a imposible en an poco iempo aba ca más ipos
de igu as. Po ello, siendo aconsejada po mi u o a se abajan en cue pos geomé icos,
dos polied os: p isma y pi ámide (con bases iangula es y cuad angula es). Mien as
que en igu as planas: cuad ilá e os pa alelog amos como el cuad ado, ec ángulo y
25
ombo y, de o o lado, el iángulo. Así mismo, al como Ho e (1981) señala la
impo ancia de abaja la geome ía usando di e en es es a egias, en las ac i idades se
han que ido pone de mani ies o las mismas, po que la expe iencia de ap endizaje del
alumnado se á más en iquecedo a si hacemos un ma e ial que pe mi a accede al
con enido a a és de di e en es canales. Es as ac i idades equie en que el con enido
geomé ico se abaje desde lo isual, e bal, el dibujo y la lógica de o ma yux apues a.
Pa a e leja de una o ma más cla a y p ác ica la secuencia de ac i idades que
sigue, he c eado una abla pa a cada ac i idad donde se de allan los siguien es pun os:
 Núme o de la ac i idad.
 Obje i o u obje i os que se pe sigue con la ac i idad.
 Ma e ial y/o ecu sos usados pa a lle a a cabo la misma.
 Desa ollo, donde se enume an los enunciados, p egun as o comandos usados en
cada una, pa a conoce de qué o ma se lle a a cabo la ac i idad.
 Explicación de la p opues a, pa a comp ende el po qué de las p egun as
elegidas.
 Acla aciones, po si son necesa ias.
4.3.1. Ac i idades.
32
ACTIVIDAD 6
OBJETIVOS
MATERIAL-RECURSOS
- Reconoce igu as planas.
- Enume a y nomb a las igu as.
- Di e encia unas igu as de o as.
- Clasi ica o ca ego iza las igu as.
O denado u hoja imp esa.
Composición de imágenes con di e en es
o mas.
Pa a la composición de imágenes de es a
ac i idad éase anexo I, ilus ación 5.
DESARROLLO
Se p oyec a una composición de imágenes de igu as planas y se les pide que
espondan a las siguien es cues iones de o ma o denada en oz al a:
1. ¿Cuán as igu as hay en la siguien e imagen?
2. ¿Cuáles sabemos nomb a ?
3. ¿Cuán as hay del mismo ipo o g upo?
4. ¿Cuán os g upos o ma íamos?
EXPLICACIÓN DE LA PROPUESTA
De o ma simila a cuando se empezó a enseña los cue pos geomé icos, en es a
ac i idad con las igu as planas se quie e que hagan un econocimien o, di e encien
unas igu as de o as y las ag upen en iángulos y cuad ilá e os; o bien en iángulos,
ec ángulos, cuad ados y ombos.
ACLARACIONES
Una ez más se guia á al alumnado si du an e sus in e enciones no se ace can al
obje i o espe ado, pudiéndoles hace suge encias o p egun as en o ma de pis as pa a
ayuda les.
Gene almen e las igu as planas son más abajadas en el colegio, po lo que puede que
no necesi en an a ayuda como en los cue pos geomé icos.
Tabla 7. Ac i idad 6

33
ACTIVIDAD 7
OBJETIVOS
MATERIAL-RECURSOS
- T abaja la modelización y
expe imen ación.
- Expone sus conocimien os en una
ealidad idimensional.
Pali os de made a de di e en es colo es.
Plas ilina.
Folios y lápices.
DESARROLLO
A cada niño y niña se le en ega un olio pa a que si a de base pa a cons ui las
igu as y además puedan esc ibi en él las ca ac e ís icas de las mismas. Luego se
ponen pali os de made a en el cen o pa a que puedan coge según necesi en y a cada
uno se le da un ozo de plas ilina. Una ez odo es á p epa ado se les pide:
A. A es de los niños que o men un iángulo. A los o os es un cuad ado.
B. Una ez o mado, se pide que le pongan el nomb e y señalen sus ángulos
in e nos.
C. Sob e la base de la igu a plana se pide que hagan: p isma de base
cuad angula , p isma de base iangula , pi ámide de base cuad angula y
pi ámide de base iangula .
D. Una ez o mados, se les pide que ano en sus elemen os como é ices, lados,
ca as la e ales o ángulos.
EXPLICACIÓN DE LA PROPUESTA
A a és de las di e en es ac i idades se ha ido pasando po abaja p incipalmen e lo
isual con composiciones de imágenes pe o que no podían expe imen a o modeliza
po ellos mismos las igu as. Es impo an e que se pe mi a abaja una ealidad
idimensional de o a o ma que no sea en el papel (bidimensional). También ayuda a
pensa y eplan ea se sus p opios conocimien os.
Des aca que conside o es a ac i idad con una ca ga impo an e de mo i ación, pues
ene que o ma las igu as suele se algo di e en e y a ayen e.
Pa a las igu as que se o ma on éase anexo II, ac i idad 7, ilus aciones 21 a 38
incluidas.
ACLARACIONES
La idea de que esc iban algunas ca ac e ís icas de las igu as una ez que las han
o mado p e ende segui a ianzando sus conocimien os.
Tabla 8. Ac i idad 7
34
ACTIVIDAD 8
OBJETIVOS
MATERIAL-RECURSOS
- Sin e iza algunas ideas.
- Re isa dudas o e o es.
- Re o za el conocimien o
adqui ido.
Tabla en papel, o ma o A5.
Lápices.
Pa a e la plan illa de la abla éase
anexo I, abla 11.
DESARROLLO
Se en ega a cada niño y niña una abla en papel que deben ellena a mano. Se explica
cada una de las columnas y se esuel en dudas. Se le dice a cada niño o niña de o ma
alea o ia que comple en las in o mación pa a las siguien es igu as y cue pos:
- Rec ángulo, iángulo, cuad ado, ombo, pi ámide iangula , pi ámide
cuad angula , p isma iangula y p isma cuad angula .
EXPLICACIÓN DE LA PROPUESTA
Se asigna á a cada alumno y alumna di e en es igu as pa a in en a que lo ealicen po
sí mismos y no con el compañe o que engan al lado. Es a ac i idad es la úl ima y se
p e ende ecopila las ideas is as y a ianza el con enido. También se consigue que
enume en los a ibu os de las igu as y que piensen una ez más sob e ellas.
Pa a los esul ados de las ablas del alumnado éase anexo II, ac i idad 8, ilus aciones
39 a 44 incluidas.
ACLARACIONES
En la abla que se le en ega a cada alumno y alumna, una de las columnas pide el
núme o de lados; se usa la nomencla u a lado, pa a denomina las a is as de las igu as.
Tabla 9. Ac i idad 8
4.4. ¿Cómo se a a hace ?
Una ez que el ins umen o de ecogida de in o mación se implemen a el siguien e
paso consis e en analiza la in o mación ecogida, es deci , expone los esul ados. El
análisis que se plan ea en es e abajo iene ca ác e cuali a i o, ya que p e ende a oja
unos esul ados que ace ca de las ca ac e ís icas del alumnado obje o de es udio, y no
cuan i ica de ningún modo la ac i idad ealizada. Pa a es e pun o del abajo se
analiza á a cada alumno y alumna de o ma indi idual; se esponde á a los obje i os
plan eados y se de e mina á en qué ni el de Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013) se
encuen an. Pa a ello, he elabo ado dos ablas que se emplea án pa a cada alumno y
alumna y se i án pa a mos a de o ma sin e izada la in o mación ecopilada en las
ac i idades; a dichas ablas p osegui án unos comen a ios que analizan las espues as
dadas po el alumnado de alladamen e.
35
Po úl imo, se exponen las conclusiones donde se incluyen las limi aciones del
abajo, la alo ación sob e la alidez de la p opues a, la p opues a de mejo a, y el
esul ado ob enido.
4.4.1. Tablas de análisis de da os
Las dos ablas que nos pe mi i án sin e iza la in o mación ecogida po el
ins umen o de ecogida de in o mación, son las siguien es:
ALUMNO X
OBJETIVO
SÍ
CON
BASTANTE
FRECUENCIA(*)
POCAS
VECES (**)
NO
Reconoce igu as planas
Compone y descompone
igu as planas
Nomb a a ibu os i ele an es
Nomb a a ibu os ele an es
Hace clasi icaciones
Hace ca ego izaciones
U iliza ocabula io
ma emá ico
Tabla 10. Análisis obje i os. Fuen e: Elabo ación p opia
(*) Al se una abla gene al que engloba las espues as mos adas po el alumnado a lo la go de
9 ac i idades, la conside ación del í em “con bas an e ecuencia” se en ende á si cumple el
obje i o en al menos 6 de las ac i idades. (**) La conside ación del í em “pocas eces” se
en ende á si el alumno o alumna cumple el obje i o en has a 4 ac i idades, del o al de 9.
Es a abla pe mi e e pa a cada alumno y alumna si los obje i os plan eados en
el abajo se cumplen de mane a gene al o no.
Alumno X
Obse aciones y comen a ios más ele an es
Ac i idad 1
Ac i idad 2
Ac i idad 3
Ac i idad 4
Ac i idad 5
Ac i idad 6
Ac i idad 7
Ac i idad 8
Tabla 11. Comen a ios del alumnado po ac i idades. Fuen e: Elabo ación p opia
36
A di e encia de la abla 11, es a abla pe mi e ecaba los comen a ios y
obse aciones más ele an es o signi ica i os ealizados po los alumnos y alumnas en
cada ac i idad. Nos ace ca a un análisis más de allado y es el paso an e io a de e mina
en qué ni el de azonamien o se encuen an.
4.5. Fases del p oceso
Pa a deja e lejada de una o ma más cla a, o denada y isual las ases po las que
se ha a anzado a lo la go del abajo, incluyo la siguien e imagen.
Ilus ación 1. Fases del p oceso. Fuen e: Elabo ación p opia
In e és pe sonal
en el á ea de
ma emá icas
Búsqueda
explo a o ia
inicial
Elección
emá ica
P oblema de
in es igación
Re isión
bibliog á ica
De inición de
obje i os
Elección del
luga de
implemen ación
Desa ollo ma co
eó ico
Elección g upo
obje o es udio
Diseño
ins umen o
ecogida da os
Implemen ación
de la p opues a
didác ica
Análisis de la
in o mación
In e p e ación
de los da os
ob enidos
Elabo ación de
conclusiones
37
5. Resul ados
Pa a analiza la in o mación ob enida se desc ibi á b e emen e al alumnado de
o ma indi idual, a con inuación, se esumi á la in o mación ecabada en dos ablas que
o ecen una isión gene al, y po úl imo se analiza án de o ma de allada sus espues as.
Pa a ga an iza la p i acidad del alumnado se an a u iliza las denominaciones de
“Alumno/Alumna” seguido de una le a en o den al abé ico. La b e e desc ipción
inicial es posible g acias a los da os apo ados po el u o . Seguida de la desc ipción
añado una b e e ano ación desc ibiendo cómo ue el in e és, ac i ud y/o
compo amien o de cada uno du an e las sesiones.
Se pod á obse a que las ac i idades 5 y 6 no apa ecen mencionadas en el apa ado
siguien e, ya que no apo a on demasiada in o mación, se hicie on de o ma ápida. No
obs an e, se mencionan en el apa ado 5.2. Resul ados g upales, donde he que ido
signi ica comen a ios gene ales de ambas.
5.1. Resul ados indi iduales.
 Alumno A
Alumno de 9 años, con un ni el cogni i o, un desa ollo del lenguaje y una
capacidad de ap endizaje al os. Es un alumno bien in eg ado en el g upo-clase, no
p esen a p oblemas en las elaciones con los compañe os. Mues a una madu ez y
capacidad de azonamien o po encima de su ni el de e e encia, p esen a inquie udes
imp opias de su edad. Se mues a muy mo i ado en e a las a eas escola es con un al o
g ado de esponsabilidad. Es e alumno se mos ó muy pa icipa i o y ac i o du an e las
dos sesiones.
ALUMNO A
OBJETIVO
SÍ
CON
BASTANTE
FRECUENCIA(*)
POCAS
VECES (**)
NO
Reconoce igu as planas
X
Compone y descompone
igu as planas
X
Nomb a a ibu os i ele an es
X
Nomb a a ibu os ele an es
X
Hace clasi icaciones
X
Hace ca ego izaciones
X
U iliza ocabula io
ma emá ico
X
Tabla 12. Análisis obje i os, ALUMNO A

38
Hay que conside a de aquí en adelan e pa a odos los alumnos lo siguien e: En
el obje i o “hace clasi icaciones”, hay que conside a que al alumnado se le pide que
ag upe, o dene o clasi ique de alguna o ma las igu as, po an o, odos an a elabo a
una clasi icación más o menos co ec a o udimen a ia. Po an o, aunque es a columna
apa ezca ma cada pa a odos, se especi ica en el eje cicio co espondien e, pa a cada
alumno y alumna de qué clasi icación es amos hablando. Véase conclusiones.
Alumno A
Obse aciones y comen a ios más ele an es
Ac i idad 1
“Es os son dados” (señalando los dados de la imagen)
“Son igu as en 3D”
“La leche con los edi icios se pa ecen”
El alumno A, apo a muchos comen a ios y obse aciones
du an e la p ime a ac i idad. Algunos con mayo ele ancia.
Ac i idad 2
“La pi ámide (de Rubik) pa ece que es equilá e a. Que iene los
es lados iguales. Tiene muchos colo es, iene o ma pi amidal.
La pa e de abajo end ía o ma de cuad ado y odas se jun an
en una pun a.”
Es la desc ipción que hace de la pi ámide de Rubik.
En la llu ia de ideas empieza diciendo del chocola e “se puede
come , luego apo a é mino como “la go, iangula , ancho”
Ac i idad 3
Hace es ag upaciones di e en es.
Di e encia el edi icio y p isma; y de o o lado, dados, cajas,
lad illo y cubo.
Véase anexo II, ac i idad 3, ilus ación 8.
Ac i idad 4
Hace dibujos es á icos y p o o ípicos.
Desc ibe las igu as de la siguien e o ma:
- “Rombo: iene ángulos iguales dos a dos, odos los
lados iguales.
- T iángulo: es ángulos, es lados, puede se isósceles,
equilá e o y escaleno.
- Cuad ado: iene cua o ángulos iguales, cua o lados.
- Rec ángulo: lados iguales dos a dos, cua o ángulos
iguales.”
Véase anexo II, ac i idad 4, ilus ación 14.
Ac i idades 5 y 6
Véase apa ado 5.2. Resul ados g upales, ac i idades 5 y 6.
Véase anexo II, ac i idad 5, ilus ación 20.
Ac i idad 7
Véase anexo II, ac i idad 7, ilus aciones 21, 22 y 23.
Ac i idad 8
Véase anexo II, ac i idad 8, ilus ación 39.
Tabla 13. Obse aciones, ALUMNO A
39
El alumno A ha apo ado muchas ideas du an e las sesiones. Ha exp esado
ocabula io ma emá ico, ha nomb ado a ibu os ele an es e i ele an es a anzando
p og esi amen e según las ac i idades lo pedían. Ha lanzado ideas que han se ido a sus
compañe os como puen e a desa olla las suyas p opias.
En la ac i idad 1, dice que las igu as son idimensionales, po lo an o se
e leja que di e encia en e la idimensionalidad y la bidimensionalidad. También
apun a la simili ud que hay en e el e ab ik de leche y los edi icios, encon ando en
ellos igu as idén icas o con ca ac e ís icas comunes.
En la ac i idad 2, desc ibe la pi ámide de Rubik. Desc ibe a la ez a ibu os
ele an es e i ele an es, ales como los colo es. No obs an e, señala elemen os
impo an es y o os que, pe sonalmen e, no espe aba escucha ; dice que es equilá e a, y
con inúa diciendo que iene los es lados iguales. También apun a a que se une en una
pun a, elemen o que debe íamos inclui en la de inición ma emá ica. Po el con a io
dice que la base se ía cuad angula y es a a i mación es e ónea.
En la llu ia de ideas de la ac i idad 2, empieza dando una ca ac e ís ica que
ma emá icamen e no es ele an e, aunque sí se i ía pa a di e encia lo del es o de
imágenes. Luego, cuando pido que se usen é minos ma emá icos incluye, la go y ancho
y además iangula .
En la ac i idad 3, las espues as del alumno ue on las que pueden e se en el
anexo II, ac i idad 3. Pa ece obse a se que ealiza es ag upamien os di e en es. En
p ime luga , habla de la pi ámide de Rubik y desc ibe ca ac e ís icas de la misma. La
p incipal es que “se jun an en una pun a”, siendo es á una ca ac e ís ica de la pi ámide.
Luego menciona edi icio y p isma jun os, pe o acla a “ iene o ma de iángulo;
iene o ma de p isma” po es a acla ación puede ap ecia se que iene una imagen de
p isma es á ica e incomple a, que encaja con algunas de las imágenes p opues as pe o
que no acep a inclui o a; no iene cla o, po an o, cuáles son los a ibu os que de inen
un p isma pues o que ealiza una ca ego ización exclusi a, o clasi icación, ijándose en
sus di e encias en luga de sus elemen os comunes. Po ello, a con inuación, ag upa los
dados, las cajas, el lad illo y cubo y añade que “ iene o ma de cubo”; puede e se de
nue o que no es capaz de asocia dis in as imágenes de p isma, la imagen del concep o
p isma no encaja con la de inición del concep o, Vinne (1983). Es o puede debe se a
que las expe iencias del alumno y los ejemplos y con aejemplos no han sido
su icien es.
En la p ime a pa e de la ac i idad 4, al dibuja se obse a que el alumno ealiza
ep esen aciones p o o ípicas de las igu as p opues as; en el iángulo cambia la
longi ud de sus lados, en el ombo su p opo cionalidad y en el ec ángulo si cambia la
base sob e la que es e se apoya. En la segunda pa e de la ac i idad, en la que desc ibe
las cua o igu as p opues as, po sus desc ipciones se puede en ende que clasi ica las
igu as men almen e haciendo una ca ego ización exclusi a ya que no menciona que el
cuad ado pueda se un ipo de ec ángulo o de ombo. Pa a es e alumno son cua o
40
igu as di e enciadas. De ine al ombo de o ma co ec a, “ iene ángulos iguales dos a
dos, odos los lados iguales”, aunque no menciona que enga cua o lados, si conside o
que lo da po hecho; no habla de las diagonales, pe o es un concep o que me cons a no
ha abajado ni in uye. El iángulo queda de inido bien, p obablemen e sea una igu a
más sencilla, “ es ángulos, es lados, puede se isósceles, equilá e o y escaleno”. El
cuad ado iene lados y ángulos iguales según comen a, “ iene cua o ángulos iguales,
cua o lados”, po lo que en iende bien la igu a. Po úl imo el ec ángulo ambién es á
bien de inido, “lados iguales dos a dos, cua o ángulos iguales”. Como ya he e e ido
al sepa a las igu as y no menciona nada de sus a ibu os comunes, emos que no es
capaz de ca ego iza cuad ilá e os, pa alelog amos y equilá e os, en endiendo al ombo
y cuad ado; ni ampoco, cuad ilá e os, pa alelog amos con cua o ángulos ec os,
en endiendo al ec ángulo y al cuad ado.
La ac i idad 7, no supuso ningún p oblema pa a elabo a las igu as que se le
pidie on, cuad ado, p isma cuad angula y pi ámide cuad angula . Supo hace las de
o ma co ec a y nomb ó, en su mayo ía los a ibu os bien.
La ac i idad 8, no pa ece ene mucha complicación pa a el alumno ya que la
esuel e casi pe ec a; excep o po los é ices de los dos p ismas. Pa ece que después
de e los en di e en es imágenes, discu i sob e ello y inalmen e hace las igu as con
plas ilina y pali os, se consiguen a ianza las ideas.
Según odo lo mencionado, las in e enciones que ealizó du an e las ac i idades,
sus comen a ios y azonamien os, se puede de e mina que el alumno A es á en el ni el
I de Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013), ni el de econocimien o. Es ca ac e ís ico
de es e ni el que se econozcan las igu as como un odo y se mencionen a ibu os
i ele an es, además sus ag upaciones o clasi icaciones de las igu as es án basadas en
simili udes o di e encias globales, sin ahonda en sus a ibu os ma emá icos. Es o ocu e
sob e odo en los cue pos geomé icos. Aunque es capaz de menciona que la pi ámide
acaba en pun a, lo hace de una o ma más udimen a ia. Sí es cie o que se puede
ap ecia como en las igu as planas su conocimien o y las desc ipciones de las mismas
son más elabo adas y p ecisas, siendo capaz de en ende que las igu as ienen
elemen os que las in eg an; a pesa de ello, no hace clasi icaciones en las que se
obse e, po ejemplo, que ag upe el ombo, cuad ado y ec ángulo como cuad ilá e os o
pa alelog amos. Es o aún es p opio del ni el I, pues aunque enga ese conocimien o no
es capaz de hace gene alizaciones con el mismo.
41
 Alumno B
Alumno de 8 años con una g an sensibilidad y empa ía hacia sus compañe os y
compañe as. Aunque es in o e ido, es o no le pe judica pa a lle a elaciones sociales
óp imas y es ables. Académicamen e no p esen a di icul ades llama i as en ningún
á ea, siendo la lec u a uno de sus pun os ue es. Es e alumno p esen ó un in e és g ande
du an e las dos sesiones y pa icipó mucho en las ac i idades.
ALUMNO B
OBJETIVO
SÍ
CON
BASTANTE
FRECUENCIA(*)
POCAS
VECES (**)
NO
Reconoce igu as planas
X
Compone y descompone
igu as planas
X
Nomb a a ibu os i ele an es
X
Nomb a a ibu os ele an es
X
Hace clasi icaciones
X
Hace ca ego izaciones
X
U iliza ocabula io
ma emá ico
X
Tabla 14. Análisis obje i os, ALUMNO B
48
omase su iempo pa a enume a las ca ac e ís icas, si no lo hace di ícilmen e pod á
esol e la a ea p opues a.
En la ac i idad 8, el alumno pa ece es a algo más dispe so, a p io i conside o
que al se la úl ima ac i idad y es a más ne iosos po el in e cambio de clase e i un
poco más ápido al hace la, ha podido in lui en los esul ados. Según sus espues as el
p isma cuad angula no es a ía nada cla o, ya que no es co ec o en sus é ices, lados ni
bases.
El ni el de azonamien o de Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013) del alumno es
el I, de econocimien o. Es e alumno p esen a unas nociones geomé icas poco
elabo adas y abajadas. Domina mejo las igu as planas, de las que es capaz de da
in o mación y enume a algunas ca ac e ís icas, no obs an e, es un p oceso que ealiza
de o ma guiada. Su abajo au ónomo no demues a el mismo ni el de conocimien o,
mos ándose dispe so en algunos momen os y menos ac i o en la ac i idad. Pa a sus
azonamien os en iende las igu as como un odo sin se capaz de hace una
clasi icación de las mismas.

49
 Alumna D
Alumna de 9 años, con una sensibilidad especial, iene buenas do es comunica i as
y unas ap i udes o midables hacia el abajo de la escuela. P esen a una comp ensión
social muy po encima de su edad na u al, analiza si uaciones y p oblemá icas
co idianas de mane a conc e a. Socialmen e se encuen a muy in eg ada en el aula y sus
compañe os con ían plenamen e en ella, an o es así que es la delegada del aula. Es a
alumna ue p uden e, amable y colabo a i a, pa icipó en las ac i idades y apo ó
muchas ideas.
ALUMNA D
OBJETIVO
SÍ
CON
BASTANTE
FRECUENCIA(*)
POCAS
VECES (**)
NO
Reconoce igu as planas
X
Compone y descompone
igu as planas
X
Nomb a a ibu os i ele an es
X
Nomb a a ibu os ele an es
X
Hace clasi icaciones
X
Hace ca ego izaciones
X
U iliza ocabula io
ma emá ico
X
Tabla 18. Análisis obje i os, ALUMNA D
50
Alumna D
Obse aciones y comen a ios más ele an es
Ac i idad 1
“Hay un cubo” e i iéndose a qué emos en la imagen.
“Son igu as planas” a lo que su compañe o, alumno A, acla a
“son igu as en 3D”
“Es un p isma” e i iéndose al edi icio azul que apa ece solo
Hace dos compa aciones: “el lad illo y la caja se pa ecen” y
“la o e de a iba con el Toble one” po úl imo añade “un
lado de la pi ámide a uno de los piqui os del Toble one”
Ac i idad 2
Desc ibe el lad illo “Yo el lad illo. Es ec angula
idimensional, iene aguje i os. Si e pa a cons ui . Es de
colo na anja.”
En la llu ia de ideas empieza diciendo “se cons uyen en Egip o
y es iangula idimensional” habla de “lado”
Ac i idad 3
Hace 4 g upos di e en es:
- Lad illo, dados y caja. Les llama cubos
- Edi icio. Le llama p isma y iángulo ( e ie e al edi icio
azul ilus ación 2)
- Pi ámide egipcia, iángulo de Rubik, Toble one,
pi ámide osa. Les llama pi ámides
- Leche y edi icio. Rec ángulo azul (p isma azul
ilus ación 3). Les llama ec ángulo.
Véase anexo II, ac i idad 3, ilus ación 11.
Ac i idad 4
Los dibujos que hace no son muy exac os al igual que sus
compañe os. Dibuja al ec ángulo apoyado sob e dos bases
di e en es y al iángulo ambién.
Sus desc ipciones de las igu as son:
- “Rombo: iene cua o lados iguales y los ángulos dos a
dos.
- T iángulo: iene es lados y iene muchos ipos de
iángulos. Unos de ellos son: isósceles, escaleno y
equilá e o.
- Cuad ado: iene cua o ángulos iguales y cua o lados
iguales.
- Rec ángulo: iene cua o lados dos a dos y ambién iene
los ángulos dos a dos.”
Véase anexo II, ac i idad 4, ilus ación 17.
Ac i idades 5 y 6
Véase apa ado 5.2. Resul ados g upales, ac i idades 5 y 6.
Véase anexo II, ac i idad 4, ilus ación 20.
Ac i idad 7
Véase anexo II, ac i idad 7, ilus aciones 30, 31 y 32.
Ac i idad 8
Véase anexo II, ac i idad 8, ilus ación 42.
Tabla 19. Obse aciones, ALUMNA D
51
La alumna ha mos ado una ac i ud muy posi i a hacia las ac i idades
p opues as. Con ganas de pa icipa y exp esa sus ideas. Aunque hay concep os que no
iene cla os y les han esul ado más con usos, ha in en ado esol e odas las
ac i idades.
En la ac i idad 1, empieza señalando que en la imagen podemos e un cubo,
p obablemen e pensando en la caja. La alumna indica que la imagen iene igu as
planas, aunque luego u iliza co ec amen e el é mino p isma al e e i se al edi icio azul.
Es o hace pensa que iene nociones en la cabeza que no domina o almen e, pues no
en iende que odas son igu as idimensionales, al menos no es capaz de e lo en un
p ime momen o; de o o lado, hay imágenes que sí pa ece domina asociando al
edi icio la ca ego ía p isma.
En la ac i idad 2, desc ibe el lad illo con ca ac e ís icas que pueden ene más
ele ancia como ec angula o idimensional, aunque es a igu a no es econocida como
p isma, o al menos no lo hace explíci o; de o o lado, menciona ca ac e ís icas
i ele an es como el colo o la u ilidad.
En la llu ia de ideas hace e e encia a la pi ámide del desie o, aunque no se
e ie e a al como pi ámide, o al menos no lo hace explíci o. Sí asemeja iangula
po que sus ca as sean iángulos, pe o no hace mención a que la base sea cuad angula .
En la ac i idad 3, la alumna hace 4 g upos di e en es. El g upo que mejo abaja
y que pa ece es a más cla o es el que ca aloga como “pi ámides” donde engloba la
pi ámide egipcia, la de Rubik, la chocola ina y la pi ámide osa. Aunque no menciona la
mul icolo , pa ece que su imagen del concep o pi ámide coincide con la de inición del
concep o, Vinne (1983). Los o os 3 g upos que hace, se ap ecia como los cubos u
o oed os como son, los dados el lad illo o la caja, es án en un luga di e en e al es o de
los p ismas. Así mismo, el edi icio azul (ilus ación 2) le llama p isma y añade
iángulo po di e encia su base; de igual modo, pa ece que pa a es a alumna es e ipo
de p ismas pod ían o ma un g upo di e enciado. Po eso la alumna ealiza
clasi icaciones y no ca ego izaciones. Po úl imo, la leche, el edi icio de las o es
inclinadas y el p isma azul, es án en su úl imo g upo, a los que llama ec ángulos. No
apun a a que es os sean p ismas, ni pa ece que dis inga de igu a plana o idimensional.
Los dibujos que hace es a alumna en la ac i idad 4 no son muy cuidadosos,
aunque apoya al ec ángulo y iángulo sob e o a base, no dejan de se ep esen aciones
es á icas y p o o ípicas. En elación a sus de iniciones, se puede ap ecia que el ombo y
el cuad ado sin son co ec as, diciendo que “ iene cua o lados iguales y los ángulos dos
a dos” y que “ iene cua o ángulos iguales y cua o lados iguales”, espec i amen e.
Mien as que el iángulo no apo a da os su icien es pa a desc ibi lo, ob iando los
ángulos, “ iene es lados y iene muchos ipos [...].” Y en el ec ángulo ocu e que al
deci que sus ángulos son iguales dos a dos, no explica bien las ca ac e ís icas de es e,
“ iene cua o lados dos a dos y ambién iene los ángulos dos a dos.”
52
En la ac i idad 7, cons uye las igu as de iángulo, p isma iangula y
pi ámide iangula . Las elabo a sin ningún p oblema y nomb a sus a ibu os de o ma
co ec a.
La alumna D, p esen a p oblemas al esol e la ac i idad 8, sob e odo en la
igu a de la pi ámide cuad angula . De igual o ma que su compañe o, el alumno C,
c eo que la p isa po acaba e i se a la siguien e clase pudo in lui en que no omase más
iempo pa a pensa la espues a. Además puede e se como en la pi ámide iangula ,
po ejemplo, no iene ningún e o , cuando al se pi ámides ambas, el núme o de bases
es común y no iene en cuen a.
La alumna D es á en el ni el I de Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al, 2013), de
econocimien o. En iende las igu as de una mane a global, sin analiza o enume a
comple amen e sus a ibu os. Es capaz de ag upa igu as po la imagen que iene de
es as, su pa ecido en la o ma; pe o no po que pe enezcan a la misma amilia. Las
di e encias en e igu as no las hace eniendo en cuen a sus é ices, o ángulos. Y las
ca ac e ís icas que nomb a de algunas igu as son conocimien os ap endidos que no le
si en, aún, pa a conec a los en e ellos y hace gene alizaciones a pa i de los mismos.
53
 Alumna E
Alumna de 9 años con una educación en alo es imp opia del alumnado de su edad.
Empá ica, a en a e imp egnada de buenos ges os hacia los demás. De las alumnas más
que idas den o del g upo clase. Su ni el académico es al o con buen azonamien o
lógico ma emá ico y una calig a ía muy cla a y legible. Sin emba go es e año ha endido
po debajo de sus posibilidades debido a su con o mismo. Es a alumna muy jo ial,
mos ó in e és po las ac i idades y pa icipó de o ma ac i a du an e las sesiones.
ALUMNA E
OBJETIVO
SÍ
CON
BASTANTE
FRECUENCIA(*)
POCAS
VECES (**)
NO
Reconoce igu as planas
X
Compone y descompone
igu as planas
X
Nomb a a ibu os i ele an es
X
Nomb a a ibu os ele an es
X
Hace clasi icaciones
X
Hace ca ego izaciones
X
U iliza ocabula io
ma emá ico
X
Tabla 20. Análisis obje i os, ALUMNA E

54
Alumna E
Obse aciones y comen a ios más ele an es
Ac i idad 1
A la p egun a que emos su espues a inicial es “un lad illo”
Luego añade que “la caja es un cubo”
Indica que son pa ecidas “la pi ámide, el Rubik y el Toble one”
Ac i idad 2
“No, no, no, es un omboide” indica al desc ibi uno de los
lados del edi icio azul que apa ece solo.
En llu ia de ideas menciona “se pueden me e cosas den o”
( e i iéndose a la caja) y “ángulo”
Ac i idad 3
Hace dos g upos, quedando así:
- Pi ámides, Toble one, cubo Rubik, pi ámide egipcia,
edi icio ( o es inclinadas), na anja (p isma na anja),
colo es (pi ámide mul icolo ) y osa (pi ámide osa).
- Cubo, dados, caja, lad illo, caja, leche, o e azul.
Véase anexo II, ac i idad 3, ilus ación 12.
Ac i idad 4
Sus dibujos pa ecen es a más cuidados. In en a cambia de
posición odas las igu as man eniendo sus p opo ciones,
aunque se equi oca en el cuad ado, lo in en a.
Sus desc ipciones de las igu as son:
- “Rombo: ángulos dos a dos, iene cua o lados iguales.
- T iángulo: ienen es lados. Isósceles, equilá e o y
escaleno.
- Cuad ado: sus lados son odos iguales.
- Rec ángulo: sus lados son iguales dos a dos.”
Véase anexo II, ac i idad 4, ilus ación 18.
Ac i idades 5 y 6
Véase apa ado 5.2. Resul ados g upales, ac i idades 5 y 6.
Véase anexo II, ac i idad 4, ilus ación 20.
Ac i idad 7
Véase anexo II, ac i idad 7, ilus aciones 33, 34 y 35.
Ac i idad 8
Véase anexo II, ac i idad 8, ilus ación 43.
Tabla 21. Obse aciones, ALUMNA E
La alumna apo a cie as ideas que me llaman la a ención y hace algunas
asociaciones de o ma co ec a en e igu as y concep os. No obs an e, iene más
di icul ades en la ac i idad inal de las espe adas.
En la ac i idad 1, pa icipa indicando una acla ación diciendo que la caja es un
cubo. Aunque la caja sea ealmen e un o oed o, y el cubo un caso especial de los
o oed os. Sí que es cie o que conside o que ene esa idea es una base co ec a que
puede i desa ollando en cu sos pos e io es; sin emba go, no habla de p isma con lo
que no puedo conside a si en ienden que esas igu as pe enece ían, po sus
ca ac e ís icas, a los p ismas. Además asemeja a la pi ámide, el Rubik y el Toble one.
Quizás la imagen del chocola e y su en ol o io pueden c ea con usión po eso en iendo
que den di e sas espues as, dependiendo de si obse an la caja o bien el chocola e, y
den o del chocola e si lo analizan como un odo o po pa es di e enciadas. Po ello, la
55
pi ámide y el Rubik es a ían bien empa ejados, aunque no el Toble one, pe o no se aleja
del odo de la idea de pi ámide. Es o ambién puede ocu i que aún no haya abajado
su icien es ejemplos y con aejemplos de pi ámides y p ismas.
Como he mencionado an e io men e, en la ac i idad 2, mien as que el
compañe o desc ibe el edi icio azul que apa ece solo, ella e ie e que el lado iene o ma
de omboide. Quie o apun a es a idea po que no espe aba que su gie a, quizás ni
siquie a a lo la go de odas las ac i idades, pe o menos al p incipio. El é mino es
e óneo po que en es e caso el omboide es un pa alelog amo y esa igu a sólo iene un
pa de lados pa alelos, además sus lados miden dis in o, po ello es un apezoide.
Des aco que al menciona en la llu ia de ideas el é mino ángulo, es la única que
habla de ese elemen o has a el momen o.
En la ac i idad 3, la alumna hace dos g upos di e enciados. El p ime o de ellos,
el que llama “pi ámides” incluye e óneamen e el edi icio azul y los dos p ismas
na anjas, ambién la chocola ina pe o no alo o eso. Conside o que hace es a ag upación
e ónea po que su concep o de pi ámide es á muy ligado a los iángulos y al se
p ismas de base iangula es se con unde y no es capaz de di e encia según los
a ibu os ele an es del concep o pi ámide. P obablemen e pueda a ianza los é minos
si ecibe más ejemplos de p ismas y se abajan dis in as bases pa a que en ienda que la
o ma de es a no de e mina que sea p isma o no. El segundo g upo, es in e esan e que
pa ezca se la única que ha de e minado un g upo de p ismas mayo e inclusi o
conside ando a odos los p ismas excep o los de base iangula que e óneamen e
coloca en el o o g upo. Pese a nomb a al g upo como “cubos” en iende ca ac e ís icas
comunes de es os, siemp e que la o ma p edominan e sea la del g upo de cuad ilá e os.
La alumna cuida un poco más sus dibujos que sus compañe os y elabo a, en la
ac i idad 4, unas ep esen aciones cla as. Sin emba go, son simila es a las de los o os,
aunque mejo p esen adas. Quie o des aca que in en a mo e el cuad ado, aunque no lo
consigue pe o gua da mejo la p opo ción de es e que sus compañe os al in en a hace
lo mismo. De igual o ma p esen a algunas igu as apoyadas sob e dis in as bases. Po
o o lado sus de iniciones son muy escue as y algunas es án incomple as. De ine bien el
ombo, “ángulos dos a dos, iene cua o lados iguales”, dando in o mación de ángulos
y lados. Pe o no ocu e lo mismo con las o as es igu as en las que algo al a en cada
de inición; el iángulo “ ienen es lados. Isósceles, equilá e o y escaleno”, pa a el
cuad ado “sus lados son odos iguales” y pa a el ec ángulo “sus lados son iguales dos
a dos”; como se puede obse a no habla de ángulos en ninguna de las es igu as,
mien as que en la p ime a sí.
Las igu as que ealiza en la ac i idad 7 son adecuadas, co ec as y esuel as sin
p oblemas.
La alumna desa olla buenas espues as y pa icipación du an e las dos sesiones,
sin emba go en la ac i idad 8, no pa ece que los concep os es én cla os, ya que las
igu as de pi ámide iangula y p isma cuad angula no se comple an de o ma co ec a.
56
Es a alumna y su compañe a, la alumna F, ue on las úl imas en acaba y demos a on
es a más apu adas ya que sus compañe os ya se habían ido, pe o se habían e asado en
mon a las igu as y eso las e asó. C eo que es o a ec ó a ambas en la esolución de la
ac i idad inal. No obs an e, es a alumna demues a que hay elemen os que no quedan
cla os, aunque sea capaz de dibuja los, no los dis ingue.
Es a alumna es una de las que mejo ha podido clasi ica igu as, no obs an e, su
clasi icación nos indica, que aunque quizás, un poco más cuidadosa que sus
compañe os, se apoya en las igu as de o ma global pa a di e encia las y ag upa las.
Po ello, no conside a los p ismas iangula es en el mismo g upo que el es o de
p ismas. Su azonamien o se iden i ica con el ni el I de Van Hiele (Muñoz-Ca alán e
al, 2013), de econocimien o. Aun no es capaz de desa olla nociones y de iniciones
ma emá icas de las igu as que hemos abajado. Aunque econoce que las igu as ienen
elemen os que pueden a ia de una a o a, no le si e, ese conocimien o, pa a en ende
que deben pe enece a la misma amilia, po ejemplo. Sus de iniciones no son
comple as y exac as del odo, al ando elemen os pa a comple a las mismas.
57
 Alumna F
Alumna de 9 años cuya ca ac e ís ica más no able es su c ea i idad. P esen a una
g an disposición al abajo po p oyec os y de mane a coope a i a. Concep ualmen e
puede come e cie os e o es an o en cálculo como en o og a ía ya que p esen a una
dislexia en g ado I diagnos icada ecien emen e. Socialmen e in eg ada y eliz con su
g upo clase. Es a alumna se mos ó muy p oac i a al p incipio y pe dió un poco el
in e és sob e odo du an e el segundo día al inal de la sesión, pese a eso su
pa icipación en las a eas ue adecuada.
ALUMNA F
OBJETIVO
SÍ
CON
BASTANTE
FRECUENCIA(*)
POCAS
VECES (**)
NO
Reconoce igu as planas
X
Compone y descompone
igu as planas
X
Nomb a a ibu os i ele an es
X
Nomb a a ibu os ele an es
X
Hace clasi icaciones
X
Hace ca ego izaciones
X
U iliza ocabula io
ma emá ico
X
Tabla 22. Análisis obje i os, ALUMNA F
64
Po úl imo, espe aba que ue an capaces de dis ingui en p imas y pi ámides, las
igu as planas que o man sus bases o ca as la e ales; sin emba go, han llegado a
econoce alguna, como el iángulo de base de algún p isma, escasas eces. En iendo
que no con emplan que una igu a idimensional, se o me po di e en es igu as
planas.
 Conside aciones gene ales
Uno de los ac o es de e minan es en es e p oyec o ha sido el iempo y los medios
disponibles. En la plani icación y desa ollo del abajo se hace esencial conside a qué
can idad de iempo se dispone ealmen e pa a lle a a cabo el p oyec o. De una pa e, el
iempo pe sonal de abajo y de o a, el iempo que disponemos en el colegio pa a lle a
a cabo la expe iencia. Sumado a es e ac o , los medios que se ienen al alcance
condicionan el ipo de p opues a que se puede implemen a y el alcance de la misma.
Como mencionaba al p incipio del p oyec o, es e p e endía se una in es igación más
amplia desa ollada en dos ases, sin emba go, po al a de medios y iempo solo se ha
podido desa olla la p ime a, sin llega a analiza mi p opia p ác ica, quedando abie a
a una u u a in es igación.
Las ac i idades plan eadas no con emplan el uso de las TICs, ecu so que,
pe sonalmen e, conside o muy impo an e en el ap endizaje. La azón p incipal de que
no se hayan con emplado es que elabo é ac i idades sencillas, cuya esolución ue a
más o menos ápida y que pe mi ie a ap o echa el mayo iempo de la sesión posible.
Con mucha segu idad, el uso de alguna aplicación o he amien a TIC hab ía hecho que
el i mo de la sesión ue a más len o y una mayo dis acción en el alumnado. Po an o,
aunque ecomiendo que se empleen ac i idades que pe mi an es e ipo de he amien as,
ambién ins o a conside a que cuando el g upo de alumnos no se conoce y el iempo
disponible es poco, es más p ác ico op a po o as de co e más sencillo.
 Limi aciones
La p incipal limi ación de es e p oyec o adica en la ci cuns ancia de que los da os
ecogidos y el análisis ob enido, es solo ex apolable a un g upo de alumnos educido,
de un colegio conc e o, en una zona y una ciudad de e minadas. Dicho de o o modo,
los esul ados aquí e lejados no se pueden gene aliza . No esul a posible, sin habe
podido compa a si quie a con más espues as de o os compañe os y compañe as de su
aula, o de o o g upo de alumnos y alumnas de o o colegio, o has a de o a ciudad; si
los esul ados e lejan una endencia gene al en el alumnado de e ce o de p ima ia, o un
caso pa icula de es os. Es ob io que las ci cuns ancias pe sonales, el con ex o, la
implicación del p o eso ado, los conocimien os de es e o la mo i ación en la amilia,
en e o os, ambién o man pa e de ese esul ado; pe o odos es os ac o es escapan a
dicho análisis. Sin emba go, pese a que no se pueda gene aliza el esul ado, es e

65
p oyec o sí pe mi e se un apoyo pa a o os maes os y maes as, ya que de las
espues as dadas po los niños y niñas, y la e lexión pos e io de las mismas, se pueden
ob ene e e encias que ayuden a p epa a su p ác ica docen e, que ayuden a mejo a el
p oceso de enseñanza-ap endizaje. Como sabemos el ap endizaje ambién sucede
cuando es a o os, po ello espe o que es e p oyec o si a además pa a ayuda a que
o os mejo en. En el ámbi o pe sonal, es e p oyec o me ha pe mi ido mejo a mi u u a
p axis, pa a la que conside a é las nociones ap endidas en es e camino.
 Ap endizajes adqui idos
En en a me a es e p oyec o suponía aden a me en un e eno en el que, a pesa de
encan a me, me sen ía insegu a. Quizás es o de e minó mis ganas po hace lo, el sabe
que end ía la posibilidad de ap ende mucho más. Al acaba es e p oyec o me doy
cuen a de que mis conocimien os en el bloque de geome ía han c ecido, se han
eno ado. Las di e en es lec u as y sesiones de u o ía me han ayudado a en ende mejo
e in en a mejo a , po los u u os ellos, po mí. A la inalización de es e p oyec o lo
más impo an e de lo que he adqui ido, o lo que de alguna o ma más me ha ma cado,
ha sido en ende que la secuencia que se ha seguido en la escuela años a ás, la
secuencia con la que yo ap endí, no es el o den idóneo pa a que el ap endizaje sea
signi ica i o. Po an o, mis es ue zos deben i encaminados a pensa caminos
al e na i os que me pe mi an mos a les un camino más sencillo, quizás, o más cla o
hacía la ealidad que les odea.
 Conclusión inal
Pa a inaliza , en iendo que debo ce a es e p oyec o e omando la p egun a de
in es igación de la que de i a odo.
¿En ienden las igu as como un odo o econocen sus elemen os?
Es a p egun a, a simple is a pod ía pa ece nos simple, pe o pe mi e e en qué
ni el de azonamien o geomé ico es á el alumnado, qué pensamien o y nociones
geomé icas ienen y cuáles no dominan ealmen e.
De es a p egun a e mino concluyendo que el alumnado econoce agamen e los
elemen os de las igu as de o ma espon ánea; aunque sí es capaz de en ende algunos
de sus elemen os (como po ejemplo, lado, é ice o núme o de ca as) si se les insis e a
que los conside en. Del mismo modo, la mayo ía en iende las igu as como un odo,
hacen desc ipciones de las mismas no analí icas, y cuando así lo in en an son e óneas o
inacabadas. Es o ha de e minado que su ni el de Van Hiele (Muñoz-Ca alán e al,
2013), en odos, sea el ni el I de econocimien o.
66
Po úl imo, ambién he obse ado que aunque puedan nomb a elemen os o
igu as de o ma co ec a, no llegan a en ende ealmen e las ca ac e ís icas de es as, po
lo que no son concep os que ealmen e dominen o hayan llegado a in e io iza .
Pa a inaliza quie o deja cons ancia de que al habe enido la posibilidad de lle a
a cabo un p oyec o an en iquecedo , además de pe mi i me c ece p o esionalmen e,
pues mi conocimien o ha mejo ado; me ha pe mi ido ea i ma me en mi decisión
omada hace cua o años. La educación no es algo ácil, ni puede se e aluada como un
p oduc o inal. Es la decisión de in en a ayuda un poco cada día y de hace lo mejo
que podamos con lo que engamos.
67
7. Re e encias Bibliog á icas
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Dec e o 97/2015, de 3 de ma zo, po el que se es ablece la o denación y el cu ículo de
la Educación P ima ia en la Comunidad Au ónoma de Andalucía. Bole ín O icial de la
Jun a de Andalucía, 13 de ma zo de 2015, núm. 50, pp. 11-22.
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O den de 17 de ma zo de 2015, po la que se desa olla el cu ículo co espondien e a la
Educación P ima ia en Andalucía. Bole ín O icial de la Jun a de Andalucía, 27 de
ma zo de 2015, núm. 60, pp. 9-142.
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maes os y maes as. Aula de inno ación educa i a, (252), 0040-45.

70
8. Anexos.
8.1. Anexo I: Ma e ial usado en las ac i idades.
Ilus ación 2. Composición de imágenes, ac i idades 1, 2 y 3. Fuen e: Elabo ación p opia
71
Ilus ación 3. Composición imágenes, p ismas y pi ámides, ac i idad 3. Fuen e: Elabo ación p opia
Ilus ación 4. Ta je as con ca ac e ís icas de cue pos geomé icos y igu as planas, ac i idad 5.
Fuen e: Elabo ación p opia
72
Ilus ación 5. Composición igu as planas, ac i idad 6. Fuen e: Elabo ación p opia
NOMBRE
TIPO
Nº VÉRTICES
Nº LADOS
Nº BASES
Nº CARAS
Tabla 24. Plan illa ac i idad 8. Fuen e: Elabo ación p opia
73
8.2. Anexo II: Ac i idades esuel as po el alumnado
 Ac i idad 2
Ilus ación 6. Llu ia ideas inicial
80
Ilus ación 13. Respues a alumna F

 Ac i idad 4
Alumno A
Ilus ación 14. Respues as, alumno A
2
Alumno B
Ilus ación 15. Respues as, alumno B
3
Alumno C
Ilus ación 16. Respues as, alumno C
4
Alumna D
Ilus ación 17. Respues as, alumna D
5
Alumna E
Ilus ación 18. Respues as, alumna E

6
Alumna F
Ilus ación 19. Respues as, alumna F
 Ac i idad 5
Ilus ación 20. Mapa ideas g upal
2
 Ac i idad 7
Alumno A
Ilus ación 21. Figu a plana, alumno A
3
Ilus ación 22. Pi ámide, alumno A
10
Ilus ación 31. Pi ámide, alumna D
Ilus ación 32. P isma, alumna D

11
Alumna E
Ilus ación 33. Cuad ado, alumna E
12
Ilus ación 34. Pi ámide, alumna E
Ilus ación 35. P isma, alumna E
13
Alumna F
Ilus ación 36. T iángulo, alumna F
Ilus ación 37. Pi ámide, alumna F
14
Ilus ación 38. P isma, alumna F
15
 Ac i idad 8
Ilus ación 39. Respues a, alumno A

16
Ilus ación 40. Respues a, alumno B
17
Ilus ación 41. Respues a, alumno C
18
Ilus ación 42. Respues a, alumna D
19
Ilus ación 43. Respues a, alumna E