Los mecanismos de asimilación y acomodación en la tematización de un Esquema de derivada

AIEM AVANCES DE INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Re is a de la Sociedad Española de In es igación en Educación Ma emá ica ISSN 2254-4313 | (2022) 21, 23-44 | aiem.es Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de un Esquema de de i ada Assimila ion and accommoda ion mechanisms in he hema iza ion o he de i a i e Schema Claudio Fuen ealba @ 1, Ma ía T igue os @ 2, Glo ia Sánchez-Ma amo os @ 3, Edelmi a Badillo @ 4 1 Uni e sidad Aus al de Chile (Chile) 2 Benemé i a Uni e sidad Au ónoma de Puebla (México) 3 Uni e sidad de Se illa (España) 4 Uni e sidad Au ónoma de Ba celona (España) Resumen ∞ En es e a ículo se usa la eo ía Acción-P oceso-Obje o-Esquema (APOE) pa a examina la ema ización del Esquema de de i ada y el papel que juegan los mecanismos de equilib ación de dicho Es- quema a a és de la e idencia mos ada po es udian es a anzados al en en a a eas diseñadas pa a con- on a el equilib io de sus Esquemas y ob ene e idencia de su posible ema ización. Es a in es igación con ibuye al es udio de la ema ización de un Esquema al en oca se en los mecanismos que pueden po- ne se en juego cuando los es udian es equie en hace Acciones sob e su Esquema de de i ada. Los esul- ados del es udio mues an e idencias que hacen isible el papel que los mecanismos de acomodación y asimilación juegan en las es a egias de los es udian es pa a e-equilib a su Esquema y demos a su e- ma ización. Algo que no ha ecibido a ención p e ia. Palab as cla e ∞ Esquema; Tema ización; Acomodación; Asimilación; De i ada Abs ac ∞ In his a icle, Ac ion-P ocess-Objec -Schema (APOS) heo y is used o examine he hema i- za ion o he de i a i e Schema and he ole played by he equilib a ion mechanisms e idenced by some ad anced s uden s while acing asks designed o con on he equilib ium o hei Schemas and ob ain hema iza ion e idence. This in es iga ion con ibu es o he s udy o Schema hema iza ion by ocusing on he mechanisms in ol ed when s uden s need o pe o m Ac ion on hei de i a i e Schema. Resul s show e idences on he ole ha accommoda ion and assimila ion mechanisms play in s uden s’ s a egies when hey e-equilib a e hei Schema and e idence i s hema iza ion Which has no ecei ed p e ious a en ion. Keywo ds ∞ Schema; Thema iza ion; Accommoda ion; Assimila ion; De i a i e Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. (2022). Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de un Esquema de de i ada. AIEM - A ances de in es igación en educación ma emá ica, 21, 23-44. h ps://doi.o g/10.35763/aiem21.4241 seiem.es Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 24 AIEM (2022), 21, 23-44 1. INTRODUCCIÓN El Cálculo es uno de los mayo es y más impo an es log os del in elec o humano po su po encialidad como un ma co pa a modela p oblemas elacionados con la a iación y como he amien a concep ual pa a p edeci , a pa i de esos modelos, en las más di e sas á eas del conocimien o ales como: ma emá icas, ísica, inge- nie ía, ciencias sociales y biología, en e o as (Pepin e al., 2021). A pesa de su im- po ancia, un p oblema aún sin solución es cómo log a la comp ensión po pa e de los es udian es uni e si a ios de los concep os undamen ales de es e cu so. En pa icula , en es e abajo nos cen amos en el es udio de la comp ensión del concep o de de i ada, que es una he amien a undamen al en el es udio de e- nómenos que in oluc an el cambio o a iación de magni udes. Es e hecho ha p o- ocado que el concep o o me pa e de los cu ículos uni e si a ios an o del á ea de ma emá icas como de o as elacionadas (Le man, 2014; V ancken y Engle , 2014). Sin emba go, a pesa de su ans e salidad e impo ancia, el ap endizaje del concep o de de i ada en el ni el uni e si a io esul a complejo po que iende a cen- a se en una p ác ica algo í mica y algeb aica, e aluando en esencia las compe- encias adqui idas en es e dominio (A igue, 1995). Es a p ác ica p o oca que un g an núme o de es udian es u ilicen dichas écnicas y au oma ismos pa a esol e una ipología de a eas, sin emba go, no les unciona cuando se en en an a o as que equie en la comp ensión del signi icado de la de i ada (Sánchez-Ma amo os e al., 2006). Dada la impo ancia del concep o de de i ada y las di icul ades p esen es en su comp ensión, se han ealizado nume osas in es igaciones que abo dan la p o- blemá ica desde di e sos en oques eó icos (Asiala e al., 1997; Bake e al., 2000; Cooley e al., 2007; Fon e al, 2016; Fuen ealba e al., 2017, 2019; Ga cía e al., 2011; Sánchez-Ma amo os e al., 2006). Dichos es udios apo an in o mación sob e as- pec os muy impo an es como son: e o es y di icul ades en la comp ensión del concep o de de i ada; ac i idades que pueden a o ece su comp ensión; elación en e azón de cambio y cocien e inc emen al; los sis emas de ep esen ación como he amien as pa a pensa sob e las de i adas; la elación en e la de i ada en un pun o 𝑓′(𝑎) y la unción de i ada 𝑓′(𝑥); el desa ollo del Esquema de de i ada, y la aplicación del concep o y el uso de la ecnología en su enseñanza. Los a ances de los dis in os es udios y sus implicaciones di ec as en el desa- ollo del cu ículo inculado al concep o de de i ada han pe mi ido una mayo comp ensión de la complejidad del concep o, p opo cionando di ec ices pa a p o- mo e la posibilidad de que los es udian es desa ollen una isión más p o unda de la de i ada y de su papel en las ma emá icas. Es a isión es á, desde nues a pe s- pec i a, ligada al desa ollo de un Esquema de de i ada ema izado. Sin emba go, el es udio de la ema ización de un Esquema es muy escaso, solamen e encon a- mos un a ículo sob e es e ema y es á jus amen e elacionado con el Esquema de la de i ada (Cooley e al., 2007). Desde es e con ex o, es e a ículo iene como ob- je i o con ibui a la comp ensión de la ema ización del Esquema, en pa icula del Esquema de de i ada, a a és del es udio de la elación del mecanismo de ema i- zación de la eo ía APOE con los mecanismos in oluc ados en el p oceso de Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 25 equilib ación de los Esquemas en la eo ía de Piage , a sabe , la acomodación y la asimilación (Piage , 1975). Dada la complejidad del enómeno de ema ización del Esquema de de i ada, es udiamos es os mecanismos a a és del abajo de es udian es uni e si a ios con ins ucción p e ia en Cálculo Di e encial y que en un es udio p e io mos a on la cons ucción del Esquema de de i ada a ni el T ans-de i ada. 2. MARCO TEÓRICO Es e es udio se basa en la Teo ía APOE (A non e al., 2014; Asiala e al., 1997), que apo a elemen os eó icos y analí icos pa a desc ibi la cons ucción de las es uc- u as cogni i as ealizadas po un indi iduo du an e el p oceso de ap endizaje de un concep o ma emá ico. En é minos conc e os, la Teo ía APOE in en a es udia y modela la o ma en que un es udian e ap ende ma emá icas, pe o ambién da cuen a de cómo es as se pueden enseña de o ma e ec i a (T igue os y Ok aç, 2005). 2.1. La noción de Esquema y los ni eles de desa ollo A non e al. (2014) señalan que un Esquema co esponde a la colección de Acciones, P ocesos, Obje os y o os Esquemas que es án elacionados conscien e o incons- cien emen e en la men e de un indi iduo en una es uc u a cohe en e, y que pueden se empleados en la solución de una si uación p oblemá ica que in oluc e esa á ea de las ma emá icas. En es e sen ido, T igue os (2005) indica que cuando un es u- dian e se encuen a en e a un p oblema especí ico en el ámbi o de las ma emá i- cas e oca un Esquema pa a abo da su esolución. Al e oca el Esquema pone en juego aquellas es uc u as cons uidas y las elaciones que dispone en ese mo- men o. An e una misma a ea, di e en es es udian es pueden u iliza dis in as es- uc u as y elaciones en e ellas. De es a o ma, cuando se oman en conside ación las elaciones que es ablecen en e las es uc u as cons uidas, es posible iden i i- ca , en las espues as de los es udian es que esuel en una misma a ea, di e en es ma ices en el ni el de desa ollo del Esquema. Los Esquemas son es uc u as dinámicas u ilizadas po los es udian es cuando se en en an a cualquie p oblema ma emá ico y se es án econs uyendo con inuamen e a a és de los mecanismos de asimilación y acomodación (Piage , 1975). La asimilación pe mi e inco po a una nue a es uc u a en un Esquema exis en e a a és de la cons ucción de nue as elaciones en e las componen es del Esquema, mien as que la acomodación es un mecanismo po el cual se econs- uye un Esquema pa a hace en e a nue as si uaciones (A non e al., 2014; Roa y Ok aç, 2010; T igue os, 2019). Piage y Ga cía (1982) plan ean que los Esquemas e olucionan según cie os mecanismos y se desa ollan pasando po es ni eles: In a-, In e - y T ans-, de- nominado T iada. Es os ni eles se suceden según un o den ijo, ca ac e izándose po el g ado de cons ucción de elaciones en e las es uc u as cogni i as elacio- nadas con los elemen os ma emá icos cons i u i os del concep o. En el p oceso de ap endizaje, el suje o desa olla di e en es Esquemas cuya e olución puede se Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 26 AIEM (2022), 21, 23-44 desc i a u ilizando la T iada, conside ando que el mecanismo in oluc ado en la p og esión en e los di e en es ni eles es la acomodación (A non e al, 2014, Bake e al., 2000). El desa ollo de un Esquema es desc i o po el mecanismo de la “T iada” (Pia- ge y Ga cía, 1982). Cons a de es e apas: In a-, In e - y T ans-, que se iden i ican po el ipo de elaciones cons uidas en e las es uc u as del Esquema. Así, las e- laciones de co espondencia son las u ilizadas po los indi iduos pa a compa a es- uc u as en é minos de simili udes, las de ans o mación se desa ollan cuando descub en que algunas es uc u as en el Esquema pueden es a elacionadas en é minos de cambios en la o a, y las de equi alencia implican la conse ación de p opiedades en las que una es uc u a depende de las o as. La e apa In a- del Es- quema se ca ac e iza po un en oque en los componen es indi iduales del Esquema de o ma aislada de los demás. Las es uc u as es án elacionadas p incipalmen e po las elaciones de co espondencia y po su uso en p oblemas simila es. En la ans o mación en e e apas se cons uyen más elaciones den o del Esquema y en la e apa In e - se iden i ican g upos de elemen os. Cuando se cons uyen elacio- nes de equi alencia, el Esquema e oluciona al ni el T ans-, en él se econoce una es uc u a subyacen e implíci a o explíci a, y las elaciones desa olladas en el ni el In e - se coo dinan y en ienden, alcanzando así la cohe encias del Esquema. La compa ación del abajo de los es udian es e ela di e encias que pueden elacio- na se con la e apa de desa ollo del Esquema que mues an (A non e al., 2014). Po lo an o, es posible asocia el ap endizaje de un es udian e con el ni el del Esquema que ponen en e idencia cuando abajan con las a eas p opues as. 2.2. Descomposición gené ica Tomando en conside ación la descomposición gené ica del Esquema de de i ada (Bake e al., 2000; Cooley e al., 2007), en es e abajo conside amos que, en el ni- el In a-de i ada, los es udian es pueden in e p e a la de i ada como azón de cambio o como pendien e de la ec a angen e en pun os especí icos y calcula la de i ada en pun os o in e alos especí icos, como P ocesos. Los es udian es eco- nocen, además, dos ipos de p ocesos asociados con su ep esen ación: el analí ico y el g á ico. El es udian e puede esol e algunos p oblemas, pe o no ha cons uido elaciones lógicas en e los dis in os componen es del Esquema o és as apa ecen como esbozos de elación y el oco de a ención del es udian e se cen a en las Ac- ciones y P ocesos indi iduales. En el ni el In e -de i ada, se cons uyen elaciones en e los dis in os componen es, in oluc ando p ocesos elacionados con una sola o ma de ep esen ación. Las elaciones que se es ablecen en e los elemen os del Esquema son limi adas. En el ni el T ans-de i ada, el es udian e hace una sín esis de los p oblemas que incluyen la a iación, así como de las dis in as o mas de e- p esen ación de la de i ada. Aumen a el núme o y el ipo de elaciones cons uidas y és as pe mi en al es udian e de e mina las condiciones en que es posible u iliza la de i ada. Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 27 2.3. La ema ización de un Esquema La ema ización de un Esquema en la eo ía APOE es el mecanismo asociado a la ans o mación de un Esquema en un Obje o, es deci , cuando es posible eje ce Ac- ciones o P ocesos sob e él. Po ejemplo, al ope a con él es posible descompone lo y econs ui lo cuando las condiciones de un p oblema cambian y es necesa io compa a Esquemas con las mismas componen es, pe o dis in as elaciones en e ellos (Cooley e al., 2007). En es e sen ido, los esul ados de Ga cía e al. (2011) in- dican que la ema ización del Esquema de la de i ada se e idencia cuando el es u- dian e es capaz de ans e i odas las elaciones que ha cons uido y o ganizado pa a el pa (𝑓, 𝑓′) al pa (𝑓′,𝑓′′). Es a ans e encia implica que el es udian e oma conciencia que el ope ado de i ada co esponde a una ans o mación lineal que se puede gene aliza y sob e el que puede ope a y econoce las p opiedades de la unción de i ada cuando se conoce in o mación sob e la segunda de i ada y ice- e sa. La epis emología gené ica de Piage se basa en dos p incipios gene ales que pe mi en el desa ollo del conocimien o: la adap ación y la o ganización. La p i- me a pe mi e el cambio de un es ado de conocimien o a o o a a és de un p oceso de equilib ación p og esi a de los Esquemas del indi iduo, al en en a nue as si- uaciones o p oblemas (Piage , 1975). Pa a Piage , dicho p oceso es el esul ado de la in e acción en e el suje o y el obje o a a és de los mecanismos de acomodación y asimilación. La acomodación se e ie e al mecanismo que pe mi e cambia el o los Esquemas pa a que se ajus en a la necesidad pe cibida. Es o ocu e cuando un Es- quema debe modi ica se o cuando es necesa io c ea un nue o Esquema pa a da sen ido a una nue a expe iencia. Po su pa e, la asimilación es el mecanismo que pe mi e al indi iduo en ende la ealidad ex e na con sus Esquemas. Ocu e cuando el indi iduo pe cibe nue os Obje os o e en os en é minos de sus Esquemas exis- en es. Es impo an e des aca que es os mecanismos se apoyan mu uamen e. Los mecanismos de asimilación y acomodación no han ecibido mucha a en- ción en es udios con la eo ía APOE, pe o es án de ás an o de la e olución del Es- quema (Roa y Ok aç, 2010; T igue os, 2019) como de su ema ización. Cuando un es udian e en en a un p oblema nue o, él o ella, puede eque i del mecanismo de acomodación pa a eo ganiza su Esquema y ope a sob e él o puede en en a lo, asimilando la in o mación nue a a su Esquema exis en e median e la econs uc- ción de las elaciones en e sus componen es, de o ma al que pueda ope a sob e él. En ambos casos, es os mecanismos p omue en la e-equilib ación del Esquema y pe mi en ac ua sob e él, es deci , la posibilidad de ema iza lo. Las p egun as de in es igación de es e es udio son: ¿Qué papel juegan las de i adas de o den supe io en las a eas que p omue- en que los es udian es apliquen Acciones sob e su Esquema de de i ada? ¿Qué es a egias u ilizan los es udian es que mues an la ema ización del Es- quema? ¿Cómo se mani ies an los mecanismos de acomodación y asimilación en los a gumen os de los es udian es y cómo se elacionan con la ema ización del Es- quema? Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 28 AIEM (2022), 21, 23-44 3. METODOLOGÍA En elación con los obje i os de es e es udio se busca on e idencias de posibles di- e encias en los mecanismos que los es udian es dan e idencia de u iliza cuando ema izan el Esquema. Pa a ello, u ilizamos las he amien as eó icas y analí icas que apo a APOE pa a ca ac e iza la ema ización de un Esquema, apoyándonos en los apo es ealizados po Bake e al. (2000) y en los esul ados de Ga cía e al. (2011). El análisis de los mecanismos que los es udian es u ilizan cuando ponen en e idencia la ema ización del Esquema p opo ciona in o mación sob e posibles di- e encias en la cons ucción del Esquema como Obje o y, con ello, el diseño de ac- i idades especí icas pa a p omo e la ema ización del Esquema de de i ada. 3.1. Pa icipan es y con ex o El p esen e es udio es de ipo cuali a i o con ca ác e desc ip i o y la mues a es- aba con o mada po 40 es udian es uni e si a ios de la p o incia de Ba celona de la doble i ulación de Ma emá icas y Física. Los es udian es habían cu sado y ap o- bado como mínimo una asigna u a de Cálculo Di e encial. Además, poseían muy buenas cali icaciones e ing esa on al g ado con al os pun ajes en las p uebas de se- lec i idad. 3.2. Ins umen os de ecogida de da os y mé odos de análisis Se diseña on dos ins umen os pa a la ecogida de da os, un cues iona io y una en- e is a clínica semies uc u ada. El análisis se ealizó en es ases. La p ime a ase se cen a en la iden i icación de los ni eles de desa ollo del Esquema de de i ada exhibida po los es udian es pa icipan es. En la segunda ase se iden i ican es u- dian es con un ni el T ans-de i ada de desa ollo. Finalmen e, en la e ce a ase se ca ac e izan los mecanismos de asimilación y acomodación, mos ando cómo es- os se elacionan con la ema ización del Esquema. Conc e amen e, en es a ase nos en ocamos en el análisis de las elaciones cons uidas en e las de i adas sucesi as que se ponen de mani ies o en la esolución de las a eas y en e is as po pa e de los es udian es. Es a sección la hemos es uc u ado en dos subapa ados en los que desc ibi- mos los dos ins umen os u ilizados en nues a in es igación, el cues iona io y la en e is a, jun o con el análisis lle ado a cabo con cada uno de ellos. 3.2.1. El cues iona io El p ime ins umen o se aplicó a los 40 es udian es y co espondió a un cues io- na io (Figu a 1) con es a eas pa a de e mina el ni el de desa ollo del Esquema de de i ada. Es as a eas ue on omadas y/o adap adas de las p opues as po in- es igaciones p e ias sob e el ema (Bake e al., 2000; Ga cía e al., 2011; Sánchez- Ma amo os e al., 2006). Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 29 Figu a 1. Enunciado de las a eas del cues iona io 3.2.2. Obje i os y undamen ación de las a eas del cues iona io A con inuación, desc ibimos b e emen e los obje i os que pe seguían cada una de las a eas p opues as en el cues iona io en é minos de la descomposición gené ica. La Ta ea 1 (Figu a 1) p opo ciona in o mación analí ica de la unción 𝑓 en é - minos de 𝑓, 𝑓′ y 𝑓′′. Con ello se pide esboza la g á ica de la unción 𝑓. El obje i o de es a a ea ue obse a si el es udian e e a capaz de iden i ica las con adicciones en e las condiciones analí icas del enunciado que p opo ciona ían e idencias so- b e la cons ucción de dis in os ipos de elaciones en e los elemen os del Es- quema. Pa a esboza la g á ica de 𝑓, un es udian e debe coo dina los P ocesos co- espondien es a la in e p e ación de la in o mación analí ica, p opo cionada po las condiciones del enunciado, y los ela i os a su con e sión al modo g á ico en un P oceso de ep esen ación g á ica que sea cohe en e con oda la in o mación. El conside a la condición c) e e en e a los ce os de 𝑓′ pe mi e al es udian e coo dina los P ocesos de cambio en el compo amien o de la azón de cambio con aquellos que elacionan dicho compo amien o con los posibles alo es ex emos o pun os Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 30 AIEM (2022), 21, 23-44 de in lexión de la unción. La coo dinación de los P ocesos asociados a la in e p e- ación de las condiciones c), ) y g) del enunciado hace posible el P oceso po el cual el es udian e pueda es ablece que la g á ica de 𝑓 posee un máximo absolu o. Ade- más, la coo dinación de las condiciones b), d) y e), espec i amen e, le pe mi e cons ui el P oceso que hace posible de e mina el ce o y las asín o as de la g á ica de 𝑓. Sin emba go, la posibilidad de esboza con p ecisión la g á ica de 𝑓 equie e que el es udian e es ablezca elaciones en e los P ocesos asociados al signo de 𝑓′′ con aquellos que los elacionan a la cu a u a de 𝑓. Finalmen e, el es udian e puede coo dina el cambio de cu a u a de las condiciones h) e i) como P oceso, con el P oceso asociado a la condición c) 𝑓′(3)= 0 pa a in e i que en 𝑥 = 3 exis e un pun o de in lexión. Lo an e io pod ía se posible, sin emba go, exis e una con adicción en e las condiciones (c, , g, h e i) del enunciado. La posibilidad de pe cibi dicha con adic- ción es á asociada a la cons ucción de una elación en e la in o mación que p o- po ciona 𝑓′′ y aquella que p opo ciona 𝑓′, conside ada como unción en é minos del compo amien o de la cu a que ep esen a a la unción en los dis in os in e - alos del dominio de la unción. En es e caso, las condiciones g) e i) indican que 𝑓′ es posi i a y c ecien e cuando 𝑥 < 3 y, po o o lado, las condiciones g) y h) indican que 𝑓′ es posi i a y es ic amen e dec ecien e cuando 𝑥 > 3. Po an o, en 𝑥 = 3 se iene que 𝑓′ alcanza un máximo que se encuen a sob e el eje 𝑋 que hace imposible que 𝑓′(3)= 0. La Figu a 2a es una posible g á ica de 𝑓′ en un en o no de 𝑥 = 3. Final- men e, si se conside a la condición 𝑓′(3)= 0, y se supone que 𝑓′ es con inua, en on- ces necesa iamen e debe exis i un cambio de mono onía de 𝑓′ en un en o no de 𝑥 = 3, lo que p oduci ía dos nue os cambios de signos de 𝑓′′ que se co esponde ían con dos pun os de in lexión de 𝑓, no desc i os en las condiciones analí icas de la a ea. La Figu a 2b es una posible g á ica de 𝑓′, pa a el caso desc i o an e io men e. Figu a 2. Con adicción de las condiciones del enunciado de la Ta ea 1 Figu a 2a. G á ica de 𝑓′ con 𝑓′(3)≠ 0 Figu a 2b. G á ica de 𝑓′ con 𝑓′(3)= 0 De odo lo an e io , el es udian e debe ía llega a la conclusión de que no puede esboza la g á ica de una unción que sa is aga odas las condiciones del enunciado, ya que la g á ica de la Figu a 2 se co esponde ía con una unción que e i ica ía odas las condiciones excep o una: 𝑓′(3)= 0. Es o lle a ía al es udian e a conclui que la a ea p opues a no iene solución. La segunda a ea (Figu a 1) p esen ada en modo g á ico, enía dos pa es. La p ime a se cen aba en compo amien o local de la unción y se les solici ó a los Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 31 es udian es calcula la de i ada en pun os especí icos. El obje i o de es a p ime a pa e ue obse a si los es udian es e an capaces de hace las Acciones o P ocesos necesa ios pa a calcula la de i ada en pun os que poseen dis in os compo a- mien os. En la segunda pa e se les solici ó esboza el g á ico de 𝑓′ a pa i del g á- ico de 𝑓, en es e caso, p e endíamos obse a si los es udian es habían cons uido la unción de i ada como un Obje o y si log aban coo dina los P ocesos in oluc a- dos en el manejo de la in o mación, local y global, en un con ex o analí ico con aquéllos co espondien es al manejo de la in o mación en el con ex o g á ico. En la e ce a a ea (Figu a 1), se les p opo cionó a los es udian es la g á ica de la unción 𝑓′, la cual con empla a ios cambios de signo, c ecimien o, ce os, pun os de angencia ho izon al y un pun o anguloso. La a ea consis ía en esboza odas las posibles g á icas pa a la unción 𝑓. El obje i o de es a a ea ue alo a si los es udian es podían coo dina los P ocesos elacionados con los alo es ex emos de 𝑓′ con los P ocesos asociados a los alo es ex emos y pun os de in lexión de 𝑓, los P ocesos asociados con el signo de 𝑓′ con los elacionados con la mono onía de 𝑓 y los P ocesos ela i os al c ecimien o de 𝑓′ con los P ocesos elacionados con la con exidad de 𝑓. 3.2.3. En e is a clínica El análisis del cues iona io nos pe mi ió, po un lado, iden i ica el ni el de desa- ollo del Esquema de de i ada (In a-de i ada, In e -de i ada, T ans-de i ada) que mos aba cada uno de los es udian es. Y, po o o lado, nos si ió como insumo pa a la elabo ación del segundo ins umen o que ue aplicado a los es udian es que mos a on un ni el de desa ollo T ans-de i ada del Esquema. Es e segundo ins- umen o es una en e is a clínica diseñada pa a: (i) p o undiza en el p oceso de esolución de las a eas p opues as a los es udian es; y (ii) indaga en los mecanis- mos in oluc ados en la posible necesidad de econs ucción del Esquema de de i- ada pa a hace posible su ema ización. La en e is a semies uc u ada cons ó de dos pa es. En la p ime a pa e ealizamos modi icaciones a las condiciones de las a eas del cues iona io. En la Tabla 1 mos amos algunos ejemplos del ipo de mo- di icaciones que hicimos en cada una de las a eas, con el p opósi o de obse a si los es udian es e an capaces de mo iliza las elaciones, que habían cons uido y o maban pa e de su Esquema, a una si uación di e en e y cómo lo hacían. La in o mación ob enida en la p ime a pa e de la en e is a clínica nos pe - mi ió con i ma que los es udian es habían log ado cons ui un ni el de desa ollo T ans-de i ada del Esquema con e idencias de posible ema ización. El Esquema en el ni el T ans-de i ada implica cohe encia y lexibilidad en el uso de las ela- ciones cons uidas en e las es uc u as que con o man el Esquema a la ho a de en- en a se a la esolución de si uaciones di e en es. La ema ización exige, además, e idencia de que es posible hace Acciones sob e el Esquema, que pueden aduci se en econs ui las elaciones p e iamen e cons uidas. El habe lo cons uido como un Obje o sob e el cual pode ope a le pe mi i á al es udian e aslada las elacio- nes del pa (𝑓, 𝑓′) al pa (𝑓′,𝑓′′). Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 38 AIEM (2022), 21, 23-44 E4: Sí, si yo digo que F, digamos ′ la llamo F, con lo cual (n) = F(n−1), me oy ahí, y yo abajo con la unción que es oy acos umb ado y no cambio unciones, me es más ácil así. El es udian e E4 log a cons ui las elaciones en e el pa (𝑓′,𝑓′′) y o as de- i adas sucesi as de o den supe io a dos, pe o pa a ello debe apoya se en un nue o Obje o, la unción 𝐹, que le pe mi a u iliza las elaciones cons uidas pa a da cuen a de nue as elaciones asociadas a las p opiedades de la unción o iginal. Es o le pe mi e acomoda el Obje o segunda de i ada como unción pa a e-equilib a el Esquema y pode ope a sob e él. En pa icula , es e es udian e equie e de la u ilización de una unción auxilia 𝐹 que hace co esponde con 𝑓′. Así, conside a que 𝐹′′ se co esponde con 𝑓′′′ y ealiza el análisis del pun o de in lexión de 𝑓′ a a és de 𝐹′′ pa a es ablece las elaciones asociadas al pa (𝑓′′, 𝑓′′′). E4 no esuel e el p oblema di ec amen e, sino solo po medio de una elación de ecu si idad en e de i adas sucesi as. Es a ope ación le pe mi e acomoda en su esquema los Obje os elacionados con las de i adas de o den supe io y eo ganiza las elaciones en e los componen es de su Esquema. Es e es udian e pone de mani ies o, explíci a- men e, el uso de es a es uc u a de ecu encia pa a incula la elación en e 𝑓, 𝑓′ y 𝑓′′, en o os pa es de de i adas sucesi as. Po ejemplo, al p egun a le po el com- po amien o de 𝑓′′ y 𝑓(4) en 𝑥 = 𝑎, cuando se le ha p opo cionado la g á ica de 𝑓′′′ en el en o no de es e pun o de angencia e ical (Tabla 2-Ta ea 4), el es udian e menciona: “Haciendo lo mismo que an es, aho a (n) = F(n−2), en onces mi e ce a de i ada en x = a se ía la p ime a de i ada de F, po an o, la segunda se ía la un- ción y la cua a la segunda de i ada y, luego abajo con lo que yo sé”. El uso ei e- ado de es a elación de ecu si idad en e unciones de i adas, conside ando siemp e la unción auxilia 𝐹 como nexo, pone de mani ies o la unción del meca- nismo de acomodación y de la econs ucción de las elaciones en e las compo- nen es pa a e-equilib a el Esquema. Más adelan e explica: I: En onces ¿qué sucede ía ′′ y (4) en el en o no de x = a? E4: Pues F′ iene una angen e e ical allí, además, pod ía se ce o y cambia de signo ¿el eje de coo denadas co a en el pun o de angencia? I: No necesa iamen e. E4: Ah, ale, o sea, no se puede de e mina po que depende á de la posición de es a po ción de g á ica, pe o en el caso más sencillo, o sea… si co a en pun o de angencia hab á un mínimo local en la unción. I: ¿En qué unción? E4: De mi unción F, que en es e caso se ía la ′′. La e idencia en el abajo de E4 mues a que la e-equilib ación de su Esquema de de i ada hace posible las Acciones sob e el Esquema, es deci , que a pa i de la acomodación lo ha ema izado, dado que es capaz de des ema iza lo y econs ui lo an e el nue o e o de desc ibi las p opiedades de la unción en é minos de de i a- das de o den supe io . Pa a e ec ua la econs ucción que implica la inco po ación de nue os Obje os y elaciones, E4 nue amen e hace uso del p oceso ecu si o. Es- pecí icamen e, es e es udian e inco po a nue os Obje os y econs uye las elacio- nes en e el signo de la de i ada 𝐹′ (𝐹′ que se co esponde con 𝐹′′′) y la mono onía Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 39 de la unción 𝐹 (𝐹 que se co esponde con 𝑓′′) suponiendo que la angen e e ical es á en 𝑥 = 0; es deci que 𝐹′(0)= 0. De es a o ma, E4 de e mina que 𝐹 end á un mínimo local en 𝑥 = 0. A pa i de la acomodación y la e-equilib ación del Esquema de de i ada, el es udian e puede hace Acciones sob e él mos ando así su ema i- zación. 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES El análisis de los esul ados de es e es udio mues a, en p ime é mino, que la e- ma ización de un Esquema, en es e caso el Esquema de de i ada, es di ícil. Consi- de ando la mues a inicial del es udio, y el hecho de que únicamen e es es udian- es mos a an la cons ucción del Esquema como un Obje o, indica que es necesa io un mayo es ue zo didác ico pa a log a una cons ucción cohe en e y lexible del Esquema de de i ada en el ni el uni e si a io. Aun es udian es que dan mues a del ni el T ans-de i ada, al abaja con p oblemas que exigen la cons ucción de e- laciones lexibles en e las de i adas p ime a y segunda de una unción, ienen di- icul ades pa a hace Acciones sob e él. Uno de ellos da mues a de la necesidad de cons ucción de un Esquema cohe en e pa a en en a un p oblema que incluye con adicciones en e las dis in as p opiedades de una unción. El análisis de las en e is as a los o os es udian es que mos a on una cons- ucción con ni el T ans-de i ada del Esquema de de i ada da e idencia que — en e a una si uación nue a que desequilib a el Esquema de de i ada cons uido— dis in os es udian es —que mos a on la ema ización de es e— p esen an di e- en es es a egias al abo da lo. Dichas es a egias demues an que, an e la necesi- dad de hace Acciones sob e el Esquema y mos a su posible ema ización, los es- udian es equie en en ocasiones de equilib a el Esquema cons uido a pa i de los mecanismos de asimilación o de acomodación. E ec i amen e, dos es udian es mos a on la equilib ación del Esquema y su posibilidad de ope a sob e él a a és de la cons ucción, en un caso, de una unción auxilia y, en o o, median e la compa ación de dis in os pa es de de i adas suce- si as que hizo posible acomoda es os Obje os en su Esquema pa a econs ui lo, da sen ido a las elaciones en e sus componen es y ope a sob e él. Un es udian e mos ó, a a és de sus espues as, la posibilidad de asimila nue as es uc u as y elaciones a su Esquema mos ando más di ec amen e la e- ma ización del Esquema. Sus espues as dan e idencia de cómo en en a las p e- gun as u ilizando las es uc u as del Esquema cons uido y econs uyendo las e- laciones en e ellas pa a esponde a cada e o en en ado. El uso de los di e en es mecanismos de equilib ación del Esquema pe mi e da cuen a de la o ma en que los Esquemas de de i ada de los es udian es es án en cons an e e olución. Es a e olución se es imula median e el en en amien o a p o- blemas nue os que con on an el conocimien o cons uido, pe mi iendo explo a y desa olla dis in as es a egias pa a esol e los. Dichas es a egias equie en de la inco po ación de nue os Obje os al Esquema y de la eo ganización de las elacio- nes en e las es uc u as que lo componen a in de e-equilib a el Esquema o e- compone lo a su es ado de equilib io. Una con ibución impo an e de es e es udio Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 40 AIEM (2022), 21, 23-44 es p opo ciona e idencia del papel que juegan la asimilación y la acomodación, pe mi iendo que es os es udian es mues en o cons uyan un Esquema de de i ada ema izado. A a és de los esul ados ob enidos es e abajo con ibuye, además, al desa- ollo de la p opia eo ía APOE al i más allá del es udio de las es uc u as que mues an los es udian es a pa i del ap endizaje de di e sos concep os y pasa al es udio de los mecanismos que pe mi en es as cons ucciones. El es udio p o ee e idencias cla as de los mecanismos de equilib ación del Esquema y su elación con el mecanismo de ema ización del mismo. Es e p oceso y es os mecanismos han ecibido muy poca a ención y pe mi en comp ende con mayo p o undidad la e o- lución de los Esquemas, al iempo que se mues a e idencia del papel que juegan los mecanismos de asimilación y acomodación al ac ua sob e el Esquema y mos- a así su ema ización. Es e es udio des ela los e os in oluc ados en la posibili- dad de ema iza los Esquemas elacionados con la cons ucción de los concep os abs ac os de las ma emá icas que se es udian en la uni e sidad. Po o a pa e, es e es udio mues a la po encialidad de p egun as de in es igación que incluyen a eas con dis in os g ados de complejidad y de en e is as que indagan a ondo en la a - gumen ación de los es udian es y que pe mi en accede al econocimien o de las es uc u as que ponen en juego cuando los es udian es se en en an a e os in e e- san es. Los hallazgos de es e es udio complemen an a los ob enidos en in es igacio- nes p e ias en elación con los Esquemas y su ema ización u ilizando la eo ía APOE an es mencionados. En el caso del Esquema de de i ada se cuen a aho a con mucha in o mación que puede con ibui al diseño de ac i idades didác icas que pe mi an a los es udian es ahonda en de alles de es e impo an e concep o del Cálculo Di e encial y log a con ello un ap endizaje más p o undo y sólido. La im- po ancia de la cons ucción de elaciones en e dis in os aspec os del concep o de de i ada que en an en juego en la cons ucción, e olución y ema ización del Es- quema no debe soslaya se en la enseñanza. AGRADECIMIENTOS Es e abajo ha sido inanciado pa cialmen e po los p oyec os: Fondecy N°11180899 de la Agencia Nacional de In es igación y Desa ollo de Chile; PID2019-104964GB-I00 y PID2020-116514GB-I00 (MINECO-España) y GIPEAM, SGR-2017-101. Además, ha con ado con el apoyo del Depa amen o de Ma emá ica Educa i a de la BUAP. REFERENCIAS A igue, M. (1995). La enseñanza de los p incipios del Cálculo: P oblemas epis emoló- gicos, cogni i os y didác icos. En M. A igue, R. Douady & P. Gómez (Eds.), Inge- nie ía didác ica en educación ma emá ica (pp. 97-140). G upo Edi o ial Ibe oamé- ica. A non, I., Co ill, J., Dubinsky, E., Ok aç, A., Fuen es, S. R., T igue os, M., & Welle , K. (2014). APOS heo y: A F amewo k o Resea ch and Cu iculum De elopmen in Ma hema ics Educa ion. Sp inge . Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 41 Asiala, M., Co ill, J., Dubinsky, E., & Schwingendo , K. (1997). The De elopmen o S uden s’ G aphical Unde s anding o he De i a e. Jou nal o Ma hema ics Be- ha io , 16(4), 399-430. h ps://doi.o g/10.1016/S0732-3123(97)90015-8 Bake , B., Cooley, L., & T igue os, M. (2000). A calculus g aphing schema. Jou nal o esea ch in ma hema ics educa ion, 31(5), 557-578. h ps://doi.o g/10.2307/749887 Cooley, L., T igue os, M., & Bake , B. (2007). Schema hema iza ion: A amewo k and an example. Jou nal o Resea ch in Ma hema ics Educa ion, 38(4), 370-392. h ps://doi.o g/10.2307/30034879 Fon , V., T igue os, M., Badillo, E., & Rubio, N. (2016). Ma hema ical objec s h ough he lens o wo di e en heo e ical pe spec i es: APOS and OSA. Educa ional S udies in Ma hema ics, 91(1), 107-122. h ps://doi.o g/10.1007/s10649-015-9639-6 Fuen ealba, C., Badillo, E., & Sánchez-Ma amo os, G. (2019). 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Bolema, 28(48), 449-468. h ps://doi.o g/10.1590/1980-4415 28n48a22 ∞ Claudio Fuen ealba Uni e sidad Aus al de Chile (Chile) [email p o ec ed] | h ps://o cid.o g/0000-0001-8071-5150 Ma ía T igue os Benemé i a Uni e sidad Au ónoma de Puebla (México) [email p o ec ed] | h ps://o cid.o g/0000-0001-7527-6704 Glo ia Sánchez-Ma amo os Uni e sidad de Se illa (España) [email p o ec ed] | h ps://o cid.o g/0000-0002-7502-7924 Edelmi a Badillo Uni e sidad Au ónoma de Ba celona (España) edelmi a.ba[email p o ec ed] | h ps://o cid.o g/0000-0001-6296-4591 Recibido: 20 de ene o de 2022 Acep ado: 31 de ma zo de 2022 Fuen ealba, C., T igue os M., Sánchez-Ma amo os G. y Badillo E. AIEM (2022), 21, 23-44 43 Assimila ion and accommoda ion mechanisms in he hema iza ion o he de i a i e Schema Claudio Fuen ealba @ 1, Ma ía T igue os @ 2, Glo ia Sánchez- Ma amo os @ 3, Edelmi a Badillo @ 4 1 Uni e sidad Aus al de Chile (Chile) 2 Benemé i a Uni e sidad Au ónoma de Puebla (México) 3 Uni e sidad de Se illa (España) 4 Uni e sidad Au ónoma de Ba celona (España) The no ion o Schema in APOS heo y has ecei ed less a en ion om he ma he- ma ics educa ion communi y using APOS (Ac ion, P ocess, Objec , Schema) Theo y as a heo e ical and me hodological esea ch amewo k. Schema plays a e y im- po an ole in Piage ’s epis emology and i s e olu ion is clea ly analyzed in Pia- ge ’s gene ic epis emology. This s udy con ibu es o he s udy o he De i a i e Schema and, pa icula ly, o i s hema iza ion, which desc ibes he mechanism in- ol ed in making possible o do Ac ions on he Schema. Speci ically, he s udy epo ed ocuses on he analysis o he ole o assimila ion and accommoda ion mechanisms in he equilib a ion p ocess o he Schema, and i s ela ionship wi h hema iza ion. The au ho s designed wo da a collec ion in- s umen s: a ques ionnai e and a semi-s uc u ed clinical in e iew consis ing in wo sessions. The ques ionnai e was in ended o iden i y he le els o unde s and- ing o he De i a i e Schema exhibi ed by he 40 pa icipa ing ad anced s uden s and was analyzed in a i s me hodological phase o he s udy. As a esul o his phase, nine s uden s who showed he cons uc ion o a T ans-de i a i e le el o Scheme de elopmen we e iden i ied and in e iewed. A hi d analysis phase o he s udy was conduc ed ocusing on he cha ac e iza ion o he assimila ion and ac- commoda ion mechanisms and hei ela ion o he equilib a ion and hema iza- ion o he De i a i e Schema. The au ho s o he s udy p o ide e idence o he s a egies ollowed by di e en s uden o add ess acing modi ica ions o he o iginal asks, and new si ua ions, ha in ended o unbalance hei knowledge and o ca e ully ollow hei s a egies ela ed o he s uc u es included in hei Schema and he possible need o he e- cons uc ion o s uc u es, he ela ions among hem oge he wi h hei changes and eo ganiza ion in he cons uc ion o a T ans-De i a i e Schema and s uden s’ possibili y o pe o m Ac ions on his Schema, demons a ing i s hema iza ion. The analysis o esul s ob ained h ough his expe ience e idenced di e ences in s uden s’ s a egies when ying o e-equilib a e hei de i a i e Schema. Au ho s explain hem in his s udy h ough he accommoda ion and assimila ion e- equi- lib a ion mechanisms, which had no ecei ed much a en ion in s udies using APOS Theo y as heo e ical amewo k. Los mecanismos de asimilación y acomodación en la ema ización de... 44 AIEM (2022), 21, 23-44 Resul s o his s udy show, acco ding o i s au ho s, ha hema iza ion o a Schema, he de i a i e Schema in his case, is a challenging endea o and di icul o achie e. In addi ion, he au ho s’ esul s show ha he De i a i e Schema is a dynamic and cons an ly ol ing s uc u e. Mo eo e , he au ho s ha h ough he use o ca e ully designed ques ions i is possible o con on s uden s wi h hei cons uc ed knowledge and s imula e hei hinking, hus a es ing hei Schema dynamics and he mechanisms in ol ed in hei e-equilib a ion e o s. The ind- ings o his s udy add o exis ing knowledge abou he ole o Schemas in APOS he- o y. In pa icula hey add ess impo an aspec s ela ed o Schema hema iza ion and p o ide e idence o s uden s s uggles and success o e-equilib a e hei Schema when hey ace disequilib a ing si ua ions. In pa icula , his wo k com- plemen s p e ious s udies on he De i a i e Schema and p o ides aluable in o - ma ion ha can con ibu e o he design o didac ic ac i i ies ha may os e s u- den s’ lea ning by allowing hem o del e in o impo an de ails in ol ed in he lea ning o Di e en ial Calculus.