XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Ap oximaci´on num´e ica de quin o o den de las ecuaciones
de Hamil on-Jacobi
S. Se na1
1Depa men o Ma hema ics, Uni e si y o Cali o nia Los Angeles, Los Angeles, CA 90095-1555,
USA. E-mail: [email p o ec ed]la.edu.
Palab as cla e: Hamil on-Jacobi, Weigh ed Powe -ENO, m´e odo de los “le el se s”
Resumen
En es e abajo ap oximamos la soluci´on de iscosidad de las ecuaciones de Hamil on-
Jacobi asociadas al p oblema de la einicializaci´on de cu as de ni el. U ilizamos pa a
ello un m´e odo de quin o o den de p ecisi´on espacial ´op imo pa a la ap oximaci´on
de las ecuaciones de Hamil on-Jacobi. Como aplicaci´on calculamos la ap oximaci´on a
al o o den de unciones dis ancia euclidea signadas de cu as en R2.
1. In oducci´on
Conside amos la ap oximaci´on num´e ica de las soluciones de iscosidad del p oblema
de alo es iniciales pa a las ecuaciones de Hamil on-Jacobi de la o ma
φ +H(x, φ, ∇φ) = 0, φ(x, 0) = φ0(x)x∈R > 0 (1)
donde Hes una unci´on de φno dec ecien e, ([2, 3]).
Las ecuaciones de Hamil on-Jacobi apa ecen en nume osas aplicaciones que aba can
desde el con ol ´op imo has a la din´amica de luidos. El es udio de m´e odos num´e icos
e icien es y p ecisos pa a esol e las ha sido un campo de in es igaci´on muy ac i o en los
´ul imos ein e a˜nos, ([6, 7, 10, 13, 14]).
La soluci´on de iscosidad de la ecuaci´on de Hamil on-Jacobi desa olla discon inuidades
en de i ada en iempo ini o. Los esquemas num´e icos en gene al y de p ime o den en
pa icula ienden a sua iza es as singula idades. Po es o es necesa io dise˜na m´e odos
num´e icos de al o o den en espacio pa a ap oxima las singula idades de la soluci´on de
o ma p ecisa ([6, 10, 13]).
La ap oximaci´on num´e ica del mo imien o de in e ases gobe nado po un sis ema
de ecuaciones en de i adas pa ciales es un p oblema impo an e en ´ısica compu acional
1
S. Se na
debido a la acumulaci´on de uido y di usi´on in oducidos po el m´e odo num´e ico y a
la di icul ad de ep oduci los cambios opol´ogicos que su e la in e ase a lo la go de
la e oluci´on. Es e en´omeno apa ece en la din´amica de luidos poli ´asicos comp esibles e
incomp esibles [1, 5, 8].
La desc ipci´on de in e ases en mo imien o median e la cu a de ni el ce o de una
unci´on impl´ıci a que e oluciona en iempo con la din´amica es uno de los undamen os del
m´e odo de los conjun os de ni el, ([4, 8]).
El m´e odo de los conjun os de ni el es ablece una clase impo an e de ecuaciones de
Hamil on-Jacobi donde el campo de elocidades que mue e las cu as de ni el es unci´on
de la cu a u a media [9]. La unci´on dis ancia eucl´ıdea signada a la in e ase es la unci´on
impl´ıci a que mejo desc ibe la cu a de ni el ce o. Una ap oximaci´on de al a p ecisi´on de
es a unci´on dis ancia pe mi e ealiza c´alculo de in eg ales p ecisas sob e la in e ase.
El concep o de einicializaci´on ue in oducido en [15] pa a man ene la p ecisi´on de
la in e ase en mo imien o desc i a como la cu a de ni el ce o de una unci´on impl´ıci a
y educi su deg adaci´on cuando e oluciona en iempo. La ecuaci´on de einicializaci´on de
los conjun os de ni el p opues a en [15] es una ecuaci´on de Hamil on-Jacobi que pe mi e
ap oxima la unci´on dis ancia eucl´ıdea signada.
En es e abajo p oponemos calcula con al a p ecisi´on espacial median e la ecuaci´on de
einicializaci´on, unciones dis ancia de cu as median e el esquema num´e ico de al o o den
Weigh ed Powe ENO p opues o en [13] pa a ecuaciones de Hamil on-Jacobi de e oluci´on.
En la secci´on 2 se desc ibe el esquema num´e ico y en la secci´on 3 se p esen a un
conjun o de expe imen os donde se calcula de mane a ap oximada la unci´on dis ancia
signada de algunas cu as en R2.
2. Esquema num´e ico
En es a secci´on p esen amos un esquema en di e encias ini as de al o o den pa a las
ecuaciones de Hamil on-Jacobi. Desc ibimos el Hamil oniano num´e ico mon´o ono debido
a Oshe y Se hian ([9]) y un m´e odo de econs ucci´on de quin o o den ´op imo pa a la
ap oximaci´on de la soluci´on de las ecuaciones de Hamil on-Jacobi p opues o en [13]. La
es a egia consis e en p ime o ap oxima con di e encias ini as las de i adas pa ciales de
la soluci´on a al o o den y despues inse a las en el Hamil oniano num´e ico. La in eg aci´on
en iempo se ealiza median e un m´e odo de al o o den Runge-Ku a ([16]).
2.1. Un Hamil oniano num´e ico mon´o ono
Desc ibimos el esquema num´e ico b´asico de p ime o den pa a el p oblema de alo es
iniciales de la ecuaci´on de Hamil on-Jacobi en dos dimensiones espaciales
φ +H(φx, φy) = 0, φ(x, y, 0) = φ0(x, y), > 0 (2)
median e una malla compu acional de inida po los inc emen os ∆x, ∆yy ∆ , siendo φn
j,k
la ap oximaci´on num´e ica a la soluci´on de iscosidad de (2)
φ(xj, xk, n) = φ(j∆x, k∆y, n∆ ) (3)
2
Ap oximaci´on num´e ica de las ecuaciones de Hamil on-Jacobi
Eliminamos la dependencia de x, y yφpa a simplicidad en la exposici´on. Conside amos
el esquema de p ime o den,
φn+1
j,k =φn
j,k −∆ g(Dx
−φj,k, Dx
+φj,k, Dy
−φj,k, Dy
+φj,k) (4)
donde ges un lujo Lipschi z con inuo y mon´o ono en cada una de las a iables y consis en e
con el Hamil oniano de la ecuaci´on H,g(u, u, , ) = H(u, ) y
Dx
−φj,k =φj,k −φj−1,k
∆x;Dx
+φj,k =φj+1,k −φj,k
∆x; (5)
Dy
−φj,k =φj,k −φj,k−1
∆y;Dy
+φj,k =φj,k+1 −φj,k
∆y.(6)
Una unci´on gcon es as p opiedades se denomina Hamil oniano num´e ico mon´o ono
asociado a la ecuaci´on o iginal.
En es e abajo ap oximamos la soluci´on de ecuaciones de Hamil on-Jacobi con un
Hamil oniano H(u, ) que cumpla H(u, ) = h(u2, 2) al que h1·h2>0, donde hjes
la de i ada pa cial de h espec o del a gumen o jde la unci´on h. Pa a es e ipo de
Hamil onianos se puede u iliza el Hamil oniano num´e ico de Oshe -Se hian [9] de inido
como:
g(u−, u+, −, +) = 


h([max((u−)+,(u+)−)]2,[max(( −)+,( +)−)]2)h1≥0
h([max((u−)−,(u+)+)]2,[max(( −)−,( +)+)]2) o he wise
donde (a)+= max(a, 0) y (a)−=−min(a, 0).
Es e Hamil oniano num´e ico es mon´o ono y de ine un esquema num´e ico de p ime
o den que con e ge a la soluci´on de iscosidad, ([9]).
2.2. Recons ucci´on espacial de quin o o den pa a las ecuaciones de
Hamil on-Jacobi
En es a secci´on e isamos el m´e odo de econs ucci´on Weigh ed Powe -ENO de quin o
o den de p ecisi´on espacial.
Los m´e odos Weigh ed Powe -ENO ([12]) se p opusie on o iginalmen e pa a leyes de
conse aci´on hipe b´olicas. La idea undamen al de las econs ucciones Powe -ENO con-
sis e en aplica una clase ex endida de limi ado es ([11, 12]) a di e encias de segundo o den
de los m´e odos de econs ucci´on ENO cl´asicos de mane a que la econs ucci´on e iene
m´as in o maci´on de las escalas inas y mejo a la esoluci´on al ededo de las discon inui-
dades de la soluci´on. Una es a egia de ponde aci´on basada en indicado es de sua idad
ap opiados ([12]) se usa pa a consegui una ap oximaci´on de quin o o den. El m´e odo de
quin o o den que esul a es el llamado m´e odo Weigh ed Powe -ENO.
En [13] se adap an los m´e odos de econs ucci´on Weigh ed Powe ENO pa a abo da
la ap oximaci´on de la soluci´on de iscosidad de las ecuaciones de las Hamil on-Jacobi y
as´ı mejo a la esoluci´on al ededo de las esquinas donde el g adien e de la soluci´on es
discon inua.
3
S. Se na
Los limi ado es powe p, a pa i de los cuales se dise˜nan es os m´e odos, se de inen
a pa i de las siguien es medias: dados dos n´ume os posi i os x > 0 e y > 0, pa a un
n´ume o na u al p, en [12] se de ine la media powe p(x, y) como:
powe p(x, y) = (x+y)
21−
x−y
x+y
p(7)
Las siguien es desigualdades se sa is acen pa a odo x > 0 e y > 0:
min(x, y)≤powe p(x, y)≤powe q(x, y)≤x+y
2
pa a 0 < p < q.
Obs´e ese que l´ımp→∞ powe p(x, y) = x+y
2:= powe ∞(x, y).
Dados los alo es pun uales φ(xj), j = 1,2,··· de una unci´on en nodos equiespaciados
xj, al que xj+1 =xj+ ∆xdeno amos sus di e encias ini as di ididas como
zj+1
2=φj+1 −φj
∆x(8)
In oducimos la siguien e no aci´on pa a las di e encias:
dj=zj+1
2−zj−1
2(9)
dj+1
2=dj+dj+1
2(10)
Dj+1
2=dj+1 −dj(11)
La econs ucci´on Weigh ed Powe ENO es ´a basada en una combinaci´on con exa de
las es pa ´abolas siguien es asociadas a cada in e alo Ij= [xj, xj+1]
pP
j(x) = zj+1
2−Pj
24 +
x−xj+1
2
∆xdj+Pj
2+Pj
2x−xj+1
2
∆x (12)
pj+1
2(x) = zj+1
2−
Dj+1
2
24 +
x−xj+1
2
∆x"dj+1
2+
Dj+1
2
2x−xj+1
2
∆x#(13)
pP
j+1(x) = zj+1
2−Pj+1
24 +
x−xj+1
2
∆xdj+1 −Pj+1
2+Pj+1
2x−xj+1
2
∆x (14)
donde Pj:= powe modp(Dj−1
2
, Dj+1
2) y
powe modp(x, y) = sign(x) + sign(y)
2powe p(|x|,|y|) (15)
En pa icula , en x=xj enemos
4
Ap oximaci´on num´e ica de las ecuaciones de Hamil on-Jacobi
pP
j(xj) = zj+1
2−1
2dj−1
6Pj(16)
pj+1
2(xj) = zj+1
2−1
2dj+1
2−1
6Dj+1
2(17)
pP
j+1(xj) = zj+1
2−1
2dj+1 +1
3Pj+1 (18)
Pa a ob ene la p ecisi´on ´op ima de u+(xj) en la in e ase de Ijusamos las siguien e
combinaci´on con exa
u+(xj) = w0·pP
j(xj) + w1·pj+1
2(xj) + w2·pP
j+1(xj) (19)
donde
wk=αk
α0+α1+α2
k= 0,1,2 (20)
y
αk=Ck
(ǫ+ISk)2(21)
aqu´ı C0= 0,6, C1= 0,2 y C2= 0,2 son los pesos ´op imos.
Pa a calcula los indicado es de sua idad u ilizamos la no ma L2de las de i adas de
los polinomios de mane a que se alcanza el g ado ´op imo de p ecisi´on. Ob enemos las
exp esiones siguien es:
IS0=13
12 (Pj)2+1
42zj+1
2−2zj−1
2+Pj2
(22)
IS1=13
12 zj−1
2−2zj+1
2+zj+3
22
+1
4zj−1
2−zj+3
22
(23)
IS2=13
12 (Pj+1)2+1
42zj+3
2−2zj+1
2−Pj+12
(24)
Pa a u−(xj) se ob iene una exp esi´on simila pa a el polinomio asociado en Ij−1,
u−(xj) = w0·pP
j−1(xj) + w1·pj−1
2(xj) + w2·pP
j(xj) (25)
con C0= 0,2, C1= 0,2 y C2= 0,6 como pesos ´op imos.
Una exp esi´on educida de es as pa ´abolas e aluadas en x=xjes,
pP
j−1(xj) = zj−1
2+1
2dj−1+1
3Pj−1(26)
pj−1
2(xj) = zj−1
2+1
2dj−1
2+1
12Dj−1
2(27)
pP
j(xj) = zj−1
2+1
2dj−1
6Pj(28)
5

S. Se na
El m´e odo que esul a es un m´e odo Weigh ed Powe ENO de quin o o den de p ecisi´on
pa a p≥3 como se demues a en [12].
En [12] se demues a que el alo ´op imo de ppa a la ap oximaci´on de leyes de con-
se aci´on hipe b´olicas donde se desa ollan discon inuidades en iempo ini o de mane a
que el esquema sea de a iaci´on o al local aco ada ha de se p= 3.
En [13] se es udia aplica los m´e odos Weigh ed Powe ENO pa a la ap oximaci´on
de las soluciones de iscosidad de Hamil on-Jacobi u ilizando limi ado es powe pm´as
d´ebiles con p > 3. En pa icula se p opone la media a i m´e ica (l´ımi e in ini o de las
medias powe p) en luga de los limi ado es powe 3u ilizados pa a leyes de conse aci´on.
El m´e odo, al que se denomina Weigh ed Powe ∞ENO, es ´u il pa a la ap oximaci´on de
soluciones de iscosidad de las ecuaciones de Hamil on-Jacobi ([13]) ya que es as soluciones
son con inuas con de i adas discon inuas y el p ocedimien o de econs ucci´on se aplica a
di e encias di ididas de p ime o den.
3. Reinicializaci´on de unciones de conjun os de ni el
Pa a cie as cu as en R2no exis e exp esi´on anal´ı ica expl´ıci a de su unci´on dis ancia.
En es a secci´on ap oximamos con al a p ecisi´on la unci´on dis ancia euclidea signada
de di e en es cu as sencillas. El c´alculo de la unci´on dis ancia se ealiza ap oximando la
soluci´on de iscosidad de la ecuaci´on de einicializaci´on omando como da o inicial una
pe u baci´on de dicha unci´on.
La ecuaci´on de einicializaci´on de los conjun os de ni el es de la o ma
φ + sign(φ0)hqφ2
x+φ2
y−1i= 0, φ(x, y, 0) = φ0(x, y) (29)
cuyo da o inicial es una unci´on φ0(x, y) que iene como cu a de ni el ce o la cu a de
R2pa a la que deseamos calcula la unci´on dis ancia. La uncion sign(φ0) ep esen a la
egula izaci´on de la unci´on signo
sign(φ0) = φ0
pφ2
0+ǫ, ǫ =O(∆x) (30)
El p oblema de alo es iniciales (29) iene como soluci´on es aciona ia la unci´on dis-
ancia signada a la cu a dada.
Resol emos (29) usando el Hamil oniano num´e ico de Oshe -Se hian a p ime y quin o
o den (Weigh ed Powe ∞ENO ) pa a di e en es da os iniciales. Compa amos la p ecisi´on
de los m´e odos calculando los e o es globales en no ma L∞con di e en es mallas compu-
acionales. Los esul ados se mues an en ablas donde se ap ecia una mejo a conside able
en la educci´on del e o pa a los c´alculos ealizados a quin o o den.
3.1. Expe imen o 1. Funci´on dis ancia egula
Elegimos la unci´on φ0como la unci´on dis ancia signada a la ci cun e encia de cen o
el o igen y adio 1
2pe u bada en las di ecciones adial y angula :
φ0(x, y) = d+δ|d| ≤ ǫ
den o o caso
6
Ap oximaci´on num´e ica de las ecuaciones de Hamil on-Jacobi
N P ime o den Weigh ed Powe ∞
100 3.85 10−32.5 10−5
200 2.43 10−34.51 10−7
Tabla 1: E o es globales en no ma L∞pa a la unci´on dis ancia de la ci cun e encia
N P ime o den Weigh ed Powe ∞
100 8.10 10−12.17 10−2
200 1.03 10−17.61 10−3
Tabla 2: E o es globales en no ma L∞pa a la unci´on dis ancia de la lemnisca a
donde d=px2+y2−0,5, θ= an−1(y
|x|), ǫ= 0,2 y δ=ǫ
16πsin 4πd sin 5θ
ǫ
Realizamos el c´alculo en el dominio [−1,1] ×[−1,1] u ilizando las mallas compu acio-
nales 100 ×100, 200×200 con una es icci´on CFL de 0,6 y 256 y 1024 i e aciones espec-
i amen e.
Los e o es en no ma L∞pa a cada uno de los m´e odos se p esen an en la Tabla 1.
3.2. Expe imen o 2. Funci´on dis ancia con discon inuidades en de i ada
Conside amos la es au aci´on de una unci´on dis ancia no egula . Elegimos φ0como
la uncion dis ancia a la lemnisca a
a4= [(x−a)2+y2][(x+a)2+y2] (31)
con a= 0,5 y a˜nadiendo una pe u baci´on en di ecci´on adial y angula
φ0(x, y) = d+ 3δ|d| ≤ ǫ
den o o caso
de inida en [−1,1] ×[−1,1] donde θ= an−1(y
|x|), ǫ= 0,2 y δ=ǫ
16πsin 4πd sin 5θ
ǫ.
Calculamos la unci´on dis ancia dde la lemnisca a ap oximando la e oluci´on de la ecuaci´on
(29) al es ado es aciona io omando como da o incial la unci´on
D(x, y) = p[(x−a)2+y2][(x+a)2+y2]−a2(32)
Realizamos el c´alculo u ilizando las mallas compu acionales 100×100, 200×200 con una
es icci´on CFL de 0,6 y 256 y 1024 i e aciones espec i amen e. Se oma como e e encia
la soluci´on pa a la malla compu acional 400 ×400.
Los e o es en no ma L∞pa a cada uno de los m´e odos se p esen an en la Tabla 2.
3.3. Expe imen o 3. Cu a no egula con in e io con exo
Conside amos la cu a on e a de la bola de cen o ce o de adio 1
2en la no ma L1,
{(x, y) : |x|+|y|=1
2}. Como da o inicial elegimos la unci´on dis ancia signada en la no ma
L1
φ0(x, y) = |x|+|y| − 1
2(33)
7
S. Se na
N P ime o den Weigh ed Powe ∞
100 2.03 10−21.35 10−3
200 8.12 10−34.50 10−4
Tabla 3: E o es globales en no ma L∞pa a la unci´on dis ancia de la bola de adio 1
2en
no ma L1
Realizamos el c´alculo en el dominio [−1,1] ×[−1,1] u ilizando las mallas compu acio-
nales 100 ×100, 200×200 con una es icci´on CFL de 0,6 y 256 y 1024 i e aciones espec-
i amen e.
Los e o es en no ma L∞pa a cada uno de los m´e odos se p esen an en la Tabla 3.
Los e o es globales pa a las soluciones ap oximadas de la lemnisca a y la on e a
de la bola en no ma L1son signi ica i amen e mayo es que los co espondien es a la
ci cun e encia debido a la p esencia de discon inuidades en de i ada.
Re e encias
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