Optimización de misiones interplanetarias mediante el uso de algoritmos genéticos

P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía Ae oespacial
Op imización de misiones in e plane a ias
median e el uso de algo i mos gené icos
Au o : Jesús F. Ramí ez Sánchez
Tu o es: Ra ael Vázquez Valenzuela
Julio Cesa Sánchez Me ino
Dp o. Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de
Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2020
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía Ae oespacial
Op imización de misiones in e plane a ias
median e el uso de algo i mos gené icos
Au o :
Jesús F. Ramí ez Sánchez
Tu o es:
Ra ael Vázquez Valenzuela
P o eso Ti ula
Julio Cesa Sánchez Me ino
Pe sonal In es igado en Fo mación
Dp o. Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2020
T abajo Fin de G ado:
Op imización de misiones in e plane a ias median e el uso de al-
go i mos gené icos
Au o : Jesús F. Ramí ez Sánchez
Tu o es: Ra ael Vázquez Valenzuela
Julio Cesa Sánchez Me ino
El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es:
P esiden e:
Vocal/es:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

Resumen
En
el diseño de misiones espaciales, ya sea den o de la in luencia e es e o en ocadas al
espacio p o undo, es p imo dial ealiza una op imización en pos de minimiza el combus ible
necesa io pa a log a el obje i o, haciendo asumible y a ac i a económicamen e la explo ación y
explo ación del espacio. Dada la no linealidad del p oblema y la can idad de a iables en juego, es
necesa io p ocede po e apas, y encon a p ime o una buena solución bajo cie as hipó esis pa a
analiza la pos e io men e en de alle.
Pa a es a p ime a e apa, en la que se cen a es e p oyec o, exis en dis in as al e na i as de op imi-
zación. La que se a a abo da aquí es el uso de algo i mos gené icos, de apa ición en 1970 y ue e
c ecimien o en el campo de es udio en la úl ima década g acias a los a ances compu acionales,
o eciendo g andes en ajas en e a o os mé odos. Una he amien a con eno me po encial que se
desa olla á y pond á a p ueba en es a memo ia.
I
Abs ac
In
he design o space missions, whe e hey a e unde he Ea h’s in luence o ocused on deep
space, i is essen ial o sol e an op imiza ion p oblem in o de o minimize he uel consump ion
needed o each he obje i e hus making a o dable and inancially a ac i e he explo a ion and
explo a ion o he space. Due o he non-linea i y o he p oblem and he amoun o a iables
in ol ed, i is necessa y o p oceed s ep by s ep, o ind a i s good solu ion unde ce ain hypho esis,
and hen analyzing i in de ail.
Fo his i s s ep, he con ex in which his wo k is de eloped, he e a e di e en op imiza ion
al e na i es. The one which is going o be ea ed he e is he use o gene ic algo i hms, which
appea ed in 1970 and has s ongly g own in he space ield in he las decade hanks o he compu a ion
de elopemen s, o e ing big ad an ages compa ed wi h o he me hods. Gene ic algo i hms a e a
ool wi h an eno mous po en ial which is going o be de eloped and es ed in his documen .
III
XNo ación
λTLongi ud Ve dade a.
ϖLongi ud del pe iapsis.
uA gumen o de la la i ud.
àP ime Pun o de A ies.
ÀSol.
⊕Tie a.
cVec o de elemen os o bi ales.
c0Vec o de elemen os o bi ales en J-2000.
˙
cDe i ada de elemen os o bi ales.
MEP Maniob a de Espacio P o undo.
UB Lími e supe io de una a iable.
LB Lími e in e io de una a iable.
AMa iz de es icciones lineales.
bVec o de es icciones lineales.
X
Núme o de indi iduos que con o man la población base.
ENúme o de indi iduos ca alogados de éli e.
NNúme o máximo de gene aciones pe mi idas.
Núme o de in eg an es de o neos.
ncNúme o de c uces alea o ios po gene ación.
ηc
Pa áme o de con ol de simili ud descendencia-
p ogeni o es.
σc
Di iso en la a ianza de la dis ibución No mal en mu-
ación.
pmu P obabilidad de un indi iduo de mu a .
pmP obabilidad de mu a de gen en un indi iduo mu an e.
pc
P obabilidad de un indi iduo de con e i se en p ogeni-
o .
TOL
Tole ancia de disc epancia en e el alo medio en la po-
blación en la Función Obje i o y el del mejo indi iduo.
∆VTImpulso o al empleado en la misión.
TVTiempo de Vuelo To al de la misión.
JD Días Julianos.

1 In oducción
La explo ación del espacio p o undo ha sido desde los o ígenes de la ca e a espacial, en el año
1957, un obje i o pa a muchos países y compañías, pe o al alcance de pocos dados sus al os cos es
y ecnologías eque idas. Sin emba go, en las úl imas décadas se puede obse a que cada día son
más las misiones que se lanzan hacia la explo ación de nues o Sis ema Sola , e incluso más allá.
En las Figu as 1.1 y 1.2, pueden ap ecia se algunos ejemplos en lo ela i o a la explo ación del
Sis ema Sola , el au o de es as imágenes expone que "These days, i ’s ha d o keep ack, because
he e a e so many." ("En es os días, es di ícil segui la pis a, po que son demasiadas") [
7
]. Sin más
que mi a los colo es de los g á icos puede comp oba se el aumen o del núme o de es e ipo de
misiones.
Figu a 1.1
Misiones de espacio p o undo de mayo ele ancia den o del Sis ema Sola , an e io es
al año 2003.
Los mo i os de es e inc emen o son a ios:
•Nue os in e eses en la explo ación del espacio p o undo ales como:
–Misiones cien í icas y de explo ación.
–Aplicaciones ecnológicas y come ciales.
–Misión de colonización de Ma e.
1
2Capí ulo 1. In oducción
•
A ances en la ecnología y conocimien os que pe mi en llega más lejos y educiendo cos es.
•
A ances en el cálculo compu acional, que pe mi en la c eación de he amien as más po en es
pa a la op imización de ayec o ias, con la consecuen e educción de p ecios y iempos.
Figu a 1.2
Misiones de espacio p o undo de mayo ele ancia den o del Sis ema Sola , pos e io es
al año 2003 y p oyec adas has a 2018.
La op imización de las misiones supone un aho o conside able pa a las agencias y la posibilidad
de aumen a la ca ga de pago g acias a la disminución de masa en combus ible, con el consiguien e
mayo e o no cien í ico. Un p oceso obliga o io pa a cualquie misión, un paso que puede ealiza se
sin cos es ma e iales pe o que conlle a una g an complejidad que exige di idi es e p ocedimien o en
a ios subp ocesos, desde las soluciones más simples has a su úl imo análisis en de alle y de inición
de la misión inal.
El p ime subp oceso consis e en de e mina en unción de una se ie de obje i os un p ime pun o
de pa ida, un óp imo global encon ado u ilizando hipó esis simpli ica i as que en pos e io es
análisis de de alle se eliminan. Es e subp oceso no es i ial, y en uel e una se ie de complejidades
y decisiones a oma que son las abo dadas en es e abajo.
1.1 Alcance del p oyec o/ abajo
Es e p oyec o iene como obje i o p oba la e icacia del algo i mo de op imización me aheu-
ís ico conocido como algo i mo gené ico en la esolución de un p oblema de op imización de
ans e encia in e plane a ia con a ias Maniob as de Espacio P o undo; e in es iga cómo a ec an
es as maniob as a los ayec os de es as ca ac e ís icas. El algo i mo en sí mismo, jun o a odos los
p og amas que in e ienen en el p oblema, se án c eados desde ce o en el en o no de
MATLAB
(a
excepción de algunas unciones básicas como @ sol e, y del denominado e inado @ mincon).
Pa a in es iga el uncionamien o del algo i mo y la in luencia de las MEP (Maniob as de Espa-
cio P o undo) se ealizan una se ie de simulaciones de misiones a dis in os plane as en el plano
bidimensional, y a pos e io y como ampliación del abajo una más a Ma e con la conside ación de
p oblema idimensional. Pa a ce a la in es igación, se es udia la in luencia de la echa de salida
1.2 Es uc u a del documen o 3
en la misión y se compa an los esul ados con o o au o .
Todos los concep os mencionados quedan con enien emen e explicados a lo la go de la memo ia.
1.2 Es uc u a del documen o
T as es a b e e in oducción, el documen o se di ide en capí ulos que abo dan cada una de las
pa es in oluc adas en el p oceso de op imización, los esul ados, y las conclusiones ob enidas as
la ealización de es e abajo.
En p ime luga se a a án el
Modelo e hipó esis
(Capí ulo 2) u ilizados pa a de ini el p oblema
de Mecánica O bi al asociado a la misión a op imiza , incluyendo una b e e in oducción a es a
ciencia, y los concep os básicos necesa ios pa a en ende el p oblema.
En segunda ins ancia, se expone la he amien a u ilizada pa a lle a a cabo dicha op imización:
el
Algo i mo gené ico
(Capí ulo 3). En es e capí ulo se incluye de mane a simila al an e io una
in oducción acompañada de los concep os básicos de la me odología de ás del algo i mo; y se
desa olla dicho algo i mo en ocado al caso que ocupa.
En cua o luga , se ealiza un
Análisis de p ocedimien os del algo i mo gené ico
(Capí ulo 4)
con el obje i o de ajus a el p og ama y e alua el camino seguido po el algo i mo pa a encon a
el óp imo aplicado a un escena io conc e o, de e minando así su con e gencia y e icacia.
Se p ocede as el desa ollo del algo i mo a p esen a las
Simulaciones y esul ados
(Capí ulo
5). Se p esen an en es a sección dis in os escena ios y los esul ados o ecidos an o po el algo i mo
c eado, como los ob enidos median e o os algo i mos de op imización de uso gené ico p esen es
en
MATLAB
, pa a mos a así una compa a i a que alide y demues e la e icacia de la he amien a
desa ollada.
Po úl imo, en lo ela i o a las pa es p incipales del documen o, se p esen an las
Conclusiones y
abajo u u o
(Capí ulo 6), que alo an la solución ob enida y ealizan p opues as pa a p osegui
el abajo en un u u o.
Adicionalmen e, se añaden a la memo ia dos apéndices con in o mación que se ex ae del
documen o base pa a e i a dis ae la a ención del lec o del hilo p incipal del p oyec o. El p ime o
de ellos:
Código Algo i mo gené ico
(Apéndice A) eúne el código comple o del op imizado
desa ollado en
MATLAB
. El segundo:
He amien as pa a modelización del p oblema
(Apéndice
B) lis a odos los subp og amas desa ollados pa a la esolución del p oblema, y en a en de alle en
aquellos que se conside an más impo an es.
2 Modelo e hipó esis
El p oblema que nos a añe consis e no en una simple ans e encia en e ó bi as en el Sis ema Sola ,
sino en una ans e encia o bi al en e las posiciones de dis in os plane as. A p io i pudie a pa ece
que el p oblema es simila , pe o conlle a una se ie de peculia idades que son a adas en es e capí ulo.
Comenzando po in oduci al lec o en los concep os gené icos básicos en los que se apoya la
Mecánica O bi al, los necesa ios pa a en ende el p oblema, se con inúa después po eco e los
dis in os ma ices que ca ac e izan a es e, inalizando con las hipó esis, algunas necesa ias y o as
simpli ica i as, que se aplican en el desa ollo del abajo.
2.1 Concep os undamen ales de la Mecánica O bi al
La ama de la Mecánica O bi al de la que se hace uso en es e abajo es la ela i a a la dinámica
aplicada a un pun o y al uso de ó bi as Keple ianas. No se ienen po an o en cuen a ine cias, i e-
gula idades en el campo g a i a o io de los plane as (es deci se conside an es os es e as pe ec as),
campos g a i a o ios de o os cue pos, u o a se ie de di icul ades que apa ecen a medida que se
libe an g ados de libe ad.
Las bases del p oblema se sien an pues en el uso adecuado de las
Leyes de New on
, de la
ue za
g a i a o ia
, y de las
Leyes de Keple
. Es as úl imas son de especial ele ancia den o de la Mecánica
O bi al [12] :
1La ó bi a de cada plane a es una elipse con el Sol en uno de sus ocos.
2
Una línea que una el Sol con un plane a ba e á eas iguales en iempos iguales (Ley de Á eas).
3
El cuad ado del pe iodo o bi al de cada plane a es di ec amen e p opo cional al cubo del
semieje mayo de la elipse de la ó bi a del plane a.
Es as leyes, si bien enunciadas pa a el Sis ema Sola , son pe ec amen e aplicables bajo la hi-
pó esis del P oblema de los dos cue pos (explicada en la Sección 2.4) a un sa éli e, sus i uyendo
plane a po es e, y man eniendo Sol o cambiándolo po el plane a del sis ema de dos cue pos. Son
es as leyes deducidas p ime amen e de la obse ación del cielo, y ob enibles a pa i de la co ec a
manipulación de las leyes de New on y la ecuación de la ene gía; las que pe mi en de e mina el
mo imien o de un sa éli e bajo la in luencia del campo g a i a o io de un cue po p incipal a a és
del espacio, las que pe mi en de e mina la cónica en la que se mue e.
Es necesa io, pa a el co ec o en endimien o de los esul ados que se mues an en es e documen o,
explica cómo se de e minan es as cónicas que sigue como ayec o ia el sa éli e, y cómo se elacionan
5

6Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
con su posición y elocidad así como con el iempo anscu ido en ella. Po ello los siguien es
apa ados, desde el 2.1.1 has a el 2.1.3 incluido, indagan en la cues ión, y p esen an el conocido
como
P oblema de Lambe
, que no es más que el mismo p oblema con dis in as a iables de
en ada, consis en e en encon a la cónica que une dos posiciones en el espacio pa a un de e minado
iempo de uelo.
2.1.1 Elemen os o bi ales, de e minación de ó bi a
Ob ención de in eg ales p ime as
La p ime a Ley de Keple puede deduci se pa a el P oblema de dos cue pos median e la mani-
pulación ma emá ica de la ecuación del mo imien o del p oblema en cues ión. Es a ecuación del
mo imien o p esen a la o ma:
¨
=−µ
3,(2.1)
donde
µ=G(m1+m2)
es el Pa áme o G a i acional de las Masas Combinadas (siendo
G
la
cons an e de g a i ación uni e sal),
el ec o posición que une ambos cue pos, y
˙
,
¨
y
sus
de i adas p ime a con espec o al iempo, segunda y módulo espec i amen e
1
. Aplicando las
siguien es ope aciones ma emá icas en pos de de e mina in eg ales p ime as de la ecuación del
mo imien o, empezando po : [12]
¨
·˙
=−µ ·˙
3,(2.2)
·˙
= · = ˙ −→ ¨
·˙
=−µ˙
2,(2.3)
d
d ( 2) = d
d ( · ) = 2¨
·˙
−→ d
d  2
2=−µ˙
2=d
d µ
,(2.4)
se ob iene la p ime a de las in eg ales p ime as necesa ias pa a la de e minación de la ó bi a,
la
ecuación de conse ación de la ene gía especí ica:
2
2−µ
=c e =ε.(2.5)
P ocediendo aho a de o ma simila desde (2.1), pe o haciendo uso de las p opiedades del p oduc o
ec o ial en luga del escala es a ez:
∧¨
=−µ ∧
3=0,(2.6)
d
d ( ∧˙
) = ˙
∧˙
+ ∧¨
= ∧¨
−→ d
d ( ∧˙
) = 0.(2.7)
Se ob iene con es e p ocedimien o las siguien es es in eg ales p ime as (es ec o ial),
la conse -
ación del momen o ciné ico especí ico h:
∧˙
= ∧ =h=~
c e.(2.8)
Con es a elación es inmedia o comp oba la p ime a pa e del enunciado de la p ime a Ley de
Keple , pues
·h=0
y
·h=0
con
h
siendo cons an e, lo que indica que el mo imien o se
desa olla en un plano pe pendicula a h.
1
Se sigue la no ación especi icada en el apa ado del documen o p esen e en la página VII pa a odas las a iables del
desa ollo.
2.1 Concep os undamen ales de la Mecánica O bi al 7
Pa a demos a que es e mo imien o se co esponde con una ayec o ia cónica, es necesa ia una
úl ima manipulación:
¨
∧h=−µ ∧h
3,(2.9)
aplicando la egla del doble p oduc o ec o ial a∧(b∧c) = (a·c)b−(a·b)c, se iene:
∧h= ∧( ∧ ) = ( · ) −( · ) = ˙ − 2 ,(2.10)
haciendo uso de la igualdad (2.10) en (2.9), y exp esando (2.9) como una de i ada (donde se ha
usado la p opiedad de que hes cons an e) se llega a:
d
d (˙
∧h) = ¨
∧h+˙
∧˙
h=¨
∧h−→ d
d (˙
∧h) = d
d ( ∧h) = −µ˙ −
2=d
d µ
,(2.11)
y inalmen e, se ob ienen las úl imas in eg ales p ime as
2
,
la conse ación del ec o excen ici-
dad:
∧h−µ
=~
c e =µe,(2.12)
ep esen ando
e
el ec o excen icidad o ec o de Lag ange. Pa a e mina , de iniendo como
θ
(la
anomalía e dade a) el ángulo o mado po
y
e
, y
e
(excen icidad) al módulo de
e
, sin más que
mul iplica escala men e (2.12) po se llega a:
h2−µ =µ ecosθ.(2.13)
Simplemen e eo denando la exp esión an e io y despejando
, se ob iene inalmen e la ecuación
que desc ibe la ayec o ia del mo imien o, que e ec i amen e se co esponde con la de una cónica,
ce ando es e desa ollo de demos ación de la p ime a Ley de Keple :
=
h2
µ
1+ecosθ=p
1+ecosθ.(2.14)
Es (2.14) posiblemen e una de las ecuaciones más amosas de la Mecánica O bi al, donde
p
ecibe
el nomb e de pa áme o de la cónica. Se á p ecisamen e (2.14), sumada a (2.5), (2.8) y (2.12) las
que pe mi an de e mina la ó bi a en la que se mue e el sa éli e de es udio (o cualquie cue po en
un p oblema de dos cue pos). Cabe menciona , que la excen icidad (
e
) de e mina el ipo de cónica,
exis iendo los siguien es casos:
•e=0; Ci cun e encia.
•0<e<1; Elipses.
•e=1; Pa ábola.
•e>1; Hipé bolas.
Elemen os o bi ales y sis ema de e e encia
An es de p ocede , llegados a es e pun o es con enien e in oduci los
elemen os o bi ales
. Es os
son los pa áme os mínimos y su icien es pa a desc ibi sin ambigüedad una ó bi a en el espacio,
y la posición del cue po den o de ella en un ins an e. Du an e es e desa ollo ya se han de inido
es de ellos:
p
,
e
, y
θ
. Es e úl imo lle a implíci o el ca ác e empo al, pues de e mina en qué
pun o de la cónica se encuen a el sa éli e. Dado el o igen de es os es elemen os o bi ales, son po
na u aleza su icien es pa a de ini la cónica de la ayec o ia como cu a; siendo aho a necesa ios
pa a coloca la en el espacio o os es pa áme os. Dicho con o as palab as, los pa áme os
p
y
e
dibujan la cu a en un plano y
θ
si úa un pun o den o de es a, quedando po de e mina la
2
Puede ex aña el hecho de que apa ezcan un o al de 7 in eg ales p ime as pa a un p oblema de 6 g ados de libe ad,
puede demos a se que una de es as in eg ales p ime as es combinación lineal del es o:
e
es á con enida en el plano
de inido po y (e·h=0), po lo que solo posee dos g ados de libe ad.
8Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
o ien ación de ese plano (conocido como
plano/sis ema de e e encia pe i ocal
) en el espacio.
Pe o pa a pode e e i cualquie cosa en un espacio idimensional, es necesa io habla p ime o del
sis ema de e e encia.
Exis en a ios sis emas de e e encia en la Mecánica O bi al, en unción del cue po p incipal que
ocupe el p oblema de es udio (po ejemplo heliocén ico o geocén ico) y en unción del plano de
e e encia (pe i ocal, eclíp ico...). Pa a es e abajo en conc e o in e esa uno pa icula men e, que es
comen ado en la Sección 2.2; pe o pa a in oduci los elemen os o bi ales que al an se a a u iliza
uno gené ico que se de ine en la Figu a 2.1:
Figu a 2.1 Sis ema de e e encia gené ico pa a ó bi a.
En es e sis ema de e e encia pueden ap ecia se el plano de e e encia gené ico así como el plane a
de mayo masa si uado en el oco de la cónica ( éase el P oblema de los dos cue pos de la Sección
2.4). Se e leja ambién en la Figu a 2.1 el ec o de excen icidad
e
que de ine la conocida como
línea de ápsides, una línea que une el pun o de meno dis ancia en e los dos cue pos (pe iapsis) y
el oco; el ec o
h
, pe pendicula al plano o bi al; así como el ángulo
θ
que siemp e se conside a
posi i o en el sen ido del mo imien o3.
Pe o en la Figu a 2.1 apa ecen ambién nue os elemen os no mencionados con an e io idad, los
elemen os o bi ales es an es. Su ge de mane a na u al un nue o ec o que si e de he amien a
an o pa a de ini los elemen os o bi ales, como pa a pasa de ellos a posición y elocidad, el ec o
de la línea de nodos (
n
). Es e ec o iene como di ección la in e sección en e el plano o bi al y el
de e e encia, y sen ido hacia el denominado como nodo ascenden e, un pun o que ma ca el paso
del sa éli e de la zona in e io del plano de e e encia a la supe io .
3
Mien as que en elipses se eco e desde 0
º
a 360
º
, en pa ábolas, po con ención, se hace desde -180
º
a 180
º
e hipé bolas
desde −θ∞aθ∞(obsé ese la Figu a 2.4) pa a e i a ambigüedades en las leyes ho a ias.
2.1 Concep os undamen ales de la Mecánica O bi al 9
El p ime o de los nue os elemen os o bi ales es la RAAN (
Ω
,Righ Ascension o he Ascending
Node), ángulo que o ma la línea de nodos con el eje x, comúnmen e (y así se oma á en es e
documen o) al que apun a al p ime pun o de A ies
à
. El segundo es el ángulo o mado en e el
ec o excen icidad y
n
cuya unción es si ua el pe iapsis de la ó bi a, conocido como A gumen o
de pe iapsis (
ω
). El úl imo que cie a el conjun o de elemen os o bi ales es la inclinación (
i
), que
mide el ángulo o mado en e los dos planos, con enido en e 0 y 180 g ados. En la Figu a 2.1 puede
comp oba se el sen ido posi i o de cada uno de es os es ángulos.
Pa a esumi , queda de inida en el espacio cualquie ó bi a no degene ada median e los siguien es
pa áme os4:
•p: Pa áme o de la cónica.
•e: Excen icidad.
•θ: Anomalía Ve dade a.
•Ω: RAAN.
•ω: A gumen o de Pe iapsis.
•i: Inclinación.
Di e enciación en e dis in as cónicas
Se ha demos ado al comienzo del Apa ado 2.1.1 la p ime a Ley de Keple , que enuncia que la
ayec o ia seguida po un cue po sume gido en la acción g a i a o ia de o o es una cónica; así
como se ha expues o en unción de
e
la cónica en cues ión. En es e apa ado, se ealiza un b e e
epaso po cada una de es as cónicas, haciendo én asis en lo que p esen a mayo u ilidad pa a el
obje i o del abajo: la elación del pa áme o de la cónica (
p
) con la cu a en cues ión según su
ipo.
En el p ime o y más sencillo de los casos, la
ci cun e encia
(
e=0
), la elación es cla a y di ec a:
=p
1+ecosθe=0
=p,(2.15)
con lo que pa a es e caso, el pa áme o pno es más que el adio de la ci cun e encia.
Figu a 2.2 Esquema de ó bi a elíp ica en plano pe i ocal, ex aída de [12].
4
Los elemen os o bi ales no son únicos, dependiendo del au o puede encon a se alguno de es os in e cambiados. Pa a
es e abajo, es os han sido los escogidos.
16 Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
Las Leyes Ho a ias son las siguien es6:
•Elipses:
1.x | an(θ/2) = q1+e
1−e an(E/2).
2.x | M=E−esinE.
3.x | M=n∆ .
•Hipé bolas:
1.y | an(θ/2) = q1+e
e−1 anh(H/2).
2.y | N=esinhH−H.
3.y | N=n∆ .
•Pa ábolas:
1.z | 2B=3 anθ
2+ an3θ
2.
2.z | B=3qµ
p3∆ .
3.z | z=3
pB+√B2+1.
4.z | anθ
2=z−1
z.
El p ocedimien o de esolución es el siguien e:
1-
Dada una posición que no co esponda con
θ=0
o
θ=180º
(
θ∞
en caso hipe bólico, éase
la Figu a 2.4), en cuyos casos los iempos desde pe iapsis son conocidos (0 en el p ime caso,
T/2
en el segundo si es una elipse o in ini o si es una pa ábola o hipé bola), se esuel en
las ecuaciones en el o den (1.x)-(2.x)-(3.x) ( espec i amen e, (1.y)-(2.y)-(3.y) en el caso
hipe bólico y (1.z)-(2.z) en el pa abólico) pa a de e mina el iempo que co esponde has a
ese pun o desde pe iapsis (el pun o puede se pos e io o an e io a es e c uce, los iempos de
uelo son simé icos).
2-
Se calcula el iempo a inclui en las ecuaciones pa a de e mina la posición inal, en el que
pueden da se las siguien es casuís icas:
–
El ángulo de la posición inicial se encuen a en e 0
º
y 180
º
, en cuyo caso el iempo de
cálculo se á la suma del calculado en el pun o 1- más el iempo de p opagación. Si se
es á en el caso elíp ico y el iempo calculado supe a el semi-pe íodo, es ecomendable
aplica p opiedades de sime ía y calcula el ángulo co espondien e a un iempo desde
pe iápsis de
T−∆
, siendo el ángulo de la posición inal 360
º
menos el alo que den
las ecuaciones.
–
El ángulo de la posición inicial es supe io a 180
º
en una elipse o nega i o en los o os
dos casos, y el iempo desde dicho pun o has a pe iapsis es meno que el iempo de
p opagación. El iempo a usa se á en onces la di e encia en e el de p opagación y el
calculado en 1-, y el ángulo ob enido se á di ec amen e el de la posición inal (si se die a
el caso en el que
∆
sea mayo al semi-pe íodo de una ó bi a elíp ica, puede segui se la
misma es a egia que en el caso an e io ).
–
El ángulo de la posición inicial es supe io a 180
º
en una elipse o nega i o en los o os
dos casos, y el iempo desde dicho pun o has a pe iapsis es mayo que el iempo de
p opagación. En es e caso el
∆
a usa en las ecuaciones se á el iempo calculado en 1-
menos el de p opagación, y el ángulo inal se á 360
º
menos el ob enido (o simplemen e
menos el ángulo en hipé bolas y pa ábolas).
6(2.z) y (2.x) son denominadas, espec i amen e, Ecuación de Ba ke yEcuación de Keple .

2.1 Concep os undamen ales de la Mecánica O bi al 17
3-
Con
∆
se esuel en las ecuaciones en la di ección con a ia ((2.z)-(3.z)-(4.z) pa a pa ábola,
siendo indi e en e la solución que se elija en
z
sob e el alo inal de
θ
). Cabe des aca que
(2.x), la Ecuación de Keple , es una ecuación ascenden al, sin solución analí ica. Es a
ecuación y (2.y) deben esol e se u ilizando algún mé odo numé ico.
El p oblema puede en oca se ambién en el sen ido con a io de esolución, dadas dos posiciones
en la ó bi a de e mina el iempo en e ellas, esoluble con mayo acilidad al no ene que esol e
las ecuaciones ascenden ales, pe o ca ece de u ilidad al y como se esuel e el p oblema plan eado
en es e p oyec o.
2.1.3 P oblema de Lambe
Se ha expues o cómo de e mina una ó bi a dados el ec o de posición y elocidad en un ins an e,
o cómo p opaga en el iempo la posición den o de una ó bi a. El P oblema de Lambe p esen a el
obje i o de de e mina una ó bi a a pa i de
dos posiciones conocidas
, y el
iempo
que se a da
en i de una a o a siguiendo la ó bi a que se p e ende encon a .
Las ecuaciones que apa ecen pa a esol e lo no son i iales, y abajos de in es igación comple os
se dedican a encon a la mane a óp ima de hace lo. Exis en mul i ud de algo i mos dis in os, cada
uno con sus en ajas y des en ajas. En es e abajo se ha u ilizado el p ocedimien o p esen ado po
Ba e, Muelle and Whi e (1971) and Bond and Allman (1996) [
2
]. Más de alles sob e el algo i mo
pueden ap ecia se en el apéndice B del documen o, es e apa ado se dedica pa a plan ea el p oblema.
Figu a 2.8 Esquema del p oblema de Lambe , ex aída de [2].
En la Figu a 2.8 pueden ap ecia se algunas de las a iables del p oblema. En un Sis ema de
Re e encia simila al desc i o en es e documen o en la Figu a 2.1, se ap ecian el ec o de posición
inicial
1
y inal
2
, así como la Anomalía Ve dade a (el inc emen o) medida en el sen ido de
a ance del mo imien o. Apa ece ambién un nue o pa áme o
c
que ep esen a la cue da del a co
de ayec o ia.
18 Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
A es as a iables se añade el iempo de uelo en e ambos pun os y el núme o de e oluciones
pe mi idas (pa áme o que no se con empla en es e abajo), y es posible de e mina la ó bi a que
cumple las condiciones.
Pa a elegi co ec amen e ∆θ, que se calcula como:
cos∆θ= 1· 2
1 2
,(2.34)
es su icien e con calcula el p oduc o ec o ial de los dos ec o es (
1∧ 2
), al que si la componen e
en
z
del ec o esul ado es nega i a, indica á que el ángulo co ec o que se co esponde con el
mo imien o es 360
º
menos la p ime a solución del coseno (se pa e de
1
). Hay que hace ambién
la dis inción de la si uación en la que la ó bi a ue a e óg ada, en cuyo caso el c i e io es jus o el
con a io.
Siguiendo el p ocedimien o expues o en [
8
] se pueden ob ene las ecuaciones clásicas del
P oblema de Lambe . Haciendo uso de las leyes ho a ias, elaciones geomé icas en e los ec o es
posición y
E
o
H
según el caso, puede llega se a los siguien es sis emas de ecuaciones que pe mi en
esol e el p oblema:
1 Caso elíp ico:
√16µ
( 1+ 2+c)1/32∆ sin3(α/2) = α−β−sinα+sinβ; 0 ≤α≤2π,(2.35)
sin(β/2) = qsin(α/2);−π≤β≤π,(2.36)
q=±√ 1 2
( 1+ 2+c)/2cos(∆θ/2).(2.37)
Se debe elegi la solución posi i a de
q
(conocido con los da os de en ada al p oblema) si
∆θ
es á
en e 0 y
π
, y la nega i a en caso con a io. Una ez ob enidos los alo es de
α
y
β
es posible
de e mina el alo del semieje mayo de la elipse como:
c
2a=sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).(2.38)
Conocido
a
,
e
puede ob ene se haciendo uso de (2.1) que es á exp esada en unción de
p(a,e)
,
θ
y
ec eando un sis ema de ecuaciones con 1y 2, sabiendo ∆θ.
De o ma análoga pueden ob ene se las ecuaciones que pe mi i ían ob ene la cónica en caso de
se hipe bólica o pa abólica:
2 Caso hipe bólico/pa abólico
√16µ
( 1+ 2+c)1/32∆ =−(sinh2(γ/2))−3/2[γ−δ−(sinhγ−sinhδ)],(2.39)
sinh(δ/2) = qsinh(γ/2),(2.40)
q=±√ 1 2
( 1+ 2+c)/2cos(∆θ/2),(2.41)
2.2 Peculia idades de las ans e encias in e plane a ias 19
donde
γ
y
δ
juegan papeles simila es (aunque con pa icula idades) a los de
α
y
β
en el caso
elíp ico. El caso de
γ=0
se co esponde con la pa ábola, que equie e un especial a amien o de
las ecuaciones y desa ollos en se ie pa a e i a e o es numé icos ele ados en su esolución.
En la búsqueda de una ayec o ia óp ima (obje i o) sólo apa ece án casos hipe bólicos cuando
los iempos de uelo exigidos sean bajos, po ello no se hace una mayo p o undización en el uso de
γ
y
δ
. Es o no quie e deci que el caso no se haya enido en cuen a, y se puede e cómo se abaja
con él y cómo se ob iene la cónica en el apéndice B.
2.2 Peculia idades de las ans e encias in e plane a ias
El p oblema de es udio se cen a en la ans e encia en e dos plane as del Sis ema Sola . Po ello,
es lógico escoge pa a abaja el
Sis ema de Re e encia Heliocén ico Eclíp ico
, que iene po
ca ac e ís icas:
•
O igen del sis ema de e e encia en el Sol (muy ap oximadamen e el oco de odas las ó bi as
plane a ias del Sis ema Sola ).
•Eje x apun ando hacia el P ime Pun o de A ies à.
•Plano de e e encia: plano de la eclíp ica (en el que es á con enido la ó bi a e es e).
•Eje z al que las ó bi as de odos los plane as son di ec as.
Figu a 2.9 Sis ema de Re e encia Heliocén ico Eclíp ico.
Las ó bi as de los plane as del Sis ema Sola han sido es udiadas al de alle y con mediciones
desde los iempos de Keple , po ello en luga de ealiza una hipó esis demasiado es ic a como
se ía supone las ci cula es, pa a apo a ealismo al p oyec o se ha hecho uso de las E emé ides
Plane a ias.
2.2.1 E emé ides Plane a ias
Las e emé ides escogidas [
11
] es án basadas en el Sis ema de Re e encia J-2000, y cuen an con
g an p ecisión pa a los años 1800-2050 d.C.; y con meno p ecisión (lo cual no quie e deci que
20 Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
sean e óneas las medidas, es án de hecho co egidas con é minos ex as) pa a los años desde 3000
a.C. has a 3000 d.C.
Es as e emé ides abajan con un modelo de pe u baciones en el que los elemen os Keple ianos
(los expues os en es a memo ia) se ac ualizan según el iempo co espondien e siguiendo un modelo
lineal de la o ma:
c=c0+˙
c·S,(2.42)
donde
c
es un ec o que ecoge los seis elemen os de Keple de la ó bi a de un plane a,
c0
los
alo es de es os elemen os en el modelo J-2000, y
S
los siglos pasados desde el año 2000, calculados
a pa i de Días Julianos7 al que:
S= −2451545.0
36525 .(2.43)
Una acla ación impo an e es que dada la hipó esis de p oblema plano, se ha op ado po impone
la inclinación de las ó bi as de odos los plane as (y sus a iaciones) nulas. Exis en o os mé odos
de lle a a cabo es a hipó esis, como p oyec a las ó bi as en el plano de la eclíp ica. Dados los
bajos alo es en inclinación de las ó bi as de los plane as que se escogen pa a las simulaciones
ambas ap oximaciones son muy simila es, es e mé odo se ía sin emba go poco ealis a si se ue a a
analiza una misión a Plu ón (aunque no sea un plane a), cuya ó bi a se si úa en o no a los 17
º
de
inclinación, si bien igualmen e álido pa a un análisis de misión p elimina .
2.2.2 Es e a de In luencia
Un concep o impo an e de ca a a abaja en el Sis ema Sola bajo la hipó esis de los dos cue pos,
es el de Es e a de In luencia. En los p og amas desa ollados no se abaja explíci amen e con ella,
pe o sí que si e pa a jus i ica una de las hipó esis en la que se basan, el ajus e de cónicas.
La Es e a de In luencia se puede de ini como el espacio geomé ico asociado a un cue po masi o
en el que en un p oblema g a i a o io con dos cue pos masi os y uno no masi o, la in luencia
de uno de los dos (masi os) puede conside a se una pe u bación en e a la del o o (al que es á
asociado la es e a).
El adio de la Es e a de In luencia espec o al Sol de un plane a cualquie a P, puede calcula se
como:
RE.I.−P=DÀ−Pµp
µÀ2/5
,(2.44)
siendo
DÀ−P
la dis ancia del Sol al plane a, y
µi=G·mi
. Si se e alúa es e adio pa a los dis in os
plane as del Sis ema Sola , se ob iene la siguien e abla (ex aída de [12]):
7
Los Días Julianos son una medida de iempo de inida po Joseph Salinge en 1582 como una cuen a de días a pa i de
las 12:00 UT del 1 de Ene o del año 4713 aC; que busca e i a ambigüedades como años bisies os en escalas de iempo
as onómicas, pe mi iendo uni ica calenda ios [12]. Un día Juliano cons a de 24 ho as.
2.3 Va iables de op imización de la misión 21
2.3 Va iables de op imización de la misión
En un p oblema de op imización es c ucial an o escoge las a iables que en an en juego, como
el a amien o que se les da, es o úl imo es especialmen e impo an e en cuan o a al con e gencia
de esul ados se e ie e. Según los au o es de la bibliog a ía consul ada, an o a iables como
a amien os p esen an mucha a iabilidad. Pa a es e abajo se ha elegido in oduci las
maniob as
de espacio p o undo
(modeladas como impulsos ins an áneos), los
iempos
asociados a es as, y la
elocidad y echa de salida.
En el caso en el que el núme o de maniob as in e medias ue a nulo, las única a iables se ían el
iempo o al de la misión y la echa de inicio, pues la elocidad de salida queda ía ijada po las
posiciones del plane a de salida, el de llegada y el iempo de uelo, que con o man un p oblema
de Lambe . Es e es un p oblema ípico de ans e encia in e plane a ia al que es án asociadas las
denominadas Po kchop Plo s. Es as g á icas y el p oblema son e aluados pa a e i ica el uncio-
namien o de los p og amas he amien as y el algo i mo gené ico al comienzo del Capí ulo 5 de
Simulaciones y Resul ados.
El a amien o de las a iables se ese a al Capí ulo 3 en la que se desa olla el algo i mo
gené ico, donde se puede en ende mejo el po qué de las decisiones omadas.
2.3.1 Maniob as de Espacio P o undo
Una Maniob a de Espacio P o undo (Deep Space Maneu e ) consis e en, en un pun o a elegi
de la ayec o ia in e plane a ia de un sa éli e, ealiza una maniob a de ca ác e ins an áneo que
cambia la elocidad del cue po, en módulo, di ección, o ambos, sin que es e cambie su posición.
De es a o ma, con el impulso el sa éli e modi ica su ó bi a sin modi ica su posición en el ins an e
en que se p oduce la maniob a.
Figu a 2.10 Esquema de Maniob a de Espacio P o undo.
Su u ilización es al y como se mues a en la Figu a 2.10: as un iempo de e minado en la ó bi a
an e io , se aplica en la posición inal (pa a lo que son necesa ias las leyes ho a ias) el impulso;
gene ándose así una nue a ayec o ia que se eco e du an e el iempo has a la siguien e maniob a,
o has a llega al plane a des ino.

22 Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
Pa a e i a que as el úl imo iempo después de la úl ima maniob a no se alcanza a el plane a
des ino, la úl ima maniob a de espacio p o undo (penúl ima maniob a del p oblema, siendo la
úl ima la de apa camien o en el plane a des ino) no es una a iable, sino que se calcula a pa i del
P oblema de Lambe al que en la posición en la que se aplica se consiga la elocidad que cie a la
misión uniendo es e pun o y el plane a des ino (en su posición en la echa de llegada) en el iempo
es an e.
Es e ipo de maniob as se u ilizan en la indus ia y han pe mi ido el éxi o de nume osas misiones,
no sólo a ni el de op imización, sino como mé odo de co ección de las ó bi as. En a ículos como
[
10
] o [
1
] puede e se que es una a iable ípica de op imización, que se puede in e cala además
con Maniob as Asis idas po G a edad mejo ando su ac ibilidad, o incluso u iliza se pa a mejo a
el Rendez ous en una ó bi a.
2.3.2 Velocidad y echa de salida
La echa de salida de e mina a pa i de las e emé ides plane a ias la elocidad y posición del
plane a de salida, y jun o a la suma de los iempos (la echa inal) la posición y elocidad del plane a
de des ino.
Figu a 2.11 Velocidad de salida del plane a de salida.
La elocidad de salida, di ec amen e elacionada con uno de los impulsos de la misión, es o a de
las a iables del p oblema. Es a elocidad se co esponde, al y como puede obse a se en la Figu a
2.11 con la elocidad en el in ini o (de salida de la Es e a de In luencia) de una hipé bola que se
gene a a pa i de una ó bi a de apa camien o con un impulso angen e. La hipé bola que en en el
esquema se mues a con salida pa alela a la elocidad del plane a, no iene po qué ene esa o ma,
y es pa e de la a iable el ángulo con el que escapa ela i o a la elocidad del plane a.
2.4 Hipó esis ealizadas 23
2.4 Hipó esis ealizadas
Las hipó esis que se an a oma han sido odas mencionadas en los desa ollos an e io es. En
es e apa ado se an a explica en mayo de alle, si bien ya se han is o odas sus consecuencias.
2.4.1 P oblema de los dos cue pos
Una de las hipó esis undamen ales aplicadas es la de supone un p oblema de dos cue pos, es
deci , conside a que en el p oblema de es udio sob e el sa éli e sólo ac úa un campo g a i a o io al
mismo iempo, suponiendo el e ec o del es o de cue pos del Sis ema Sola así como la p esión de
adiación sola una
pe u bación
en es e caso
desp eciable
(aunque sí se han enido en cuen a en
las ó bi as plane a ias).
Es a hipó esis iene cabida den o del es udio de ca ác e p elimina , pues lo que se busca es un
pun o óp imo de pa ida. Como ya se ha explicado con an e io idad, es a y el es o de hipó esis
debe án i elajándose una ez encon ada la solución, ealizando modi icaciones sob e la misma
pa a adap a la al p oblema eal. Se ecue da que lo que en es e abajo se abo da es el p ime o de
los pasos de op imización.
Re ue za es a hipó esis el concep o de Es e a de In luencia y la abla con esul ados de la misma
expues a en su co espondien e apa ado. En ella puede obse a se el adio de dicha es e a es mucho
mayo que el del plane a e aluado, pe mi iendo conside a un espacio eó icamen e in ini o a su
al ededo (es deci , se conside an los lími es de la Es e a de In luencia como el in ini o); y a su ez
el amaño de es e espacio es mucho meno que la dis ancia que exis e en e el plane a en cues ión y
el Sol, p o ocando que du an e el ayec o in e plane a io sea es e as o el que domina el p oblema.
La hipó esis del p oblema de los dos cue pos no queda lejos de la ealidad, pe mi ió a Keple
enuncia sus leyes y es ampliamen e usada an o en diseño como con ol de múl iples misiones,
ealizando a pos e io i co ecciones como las u ilizadas en las e emé ides plane a ias aplicadas en
es e abajo.
Cue po Masi o
Den o de la hipó esis an e io , se ealiza además la ap oximación (pe ec amen e álida) en la
que el plane a o as o es mucho más masi o que el sa éli e de es udio. De es a o ma, el pa áme o
µ=G(mp+ms)≈G·mp, y el as o en cues ión se si úa en el oco de la cónica.
2.4.2 Ajus e de cónicas
El ajus e de cónicas se apoya en el p oblema de dos cue pos, y consis e en di idi la ayec o ia
in e plane a ia en pa es, ac uando en cada una de las pa es sólo dos cue pos. Las dis in as pa es
es án dominadas po plane as (de salida o de llegada), o po el Sol.
El mé odo consis e en cambia de Sis ema de Re e encia al cambia en e pa es del p oblema,
pa a lo cual, se supone que los Sis emas de Re e encia asociados a los plane as son Ine ciales,
que si bien no es cie o, los e o es come idos po acele aciones son muy bajos, y quedan den o del
e o que p esen a el p oblema de po sí po exis i el es o de hipó esis.
Pa a ealiza es e cambio se hace uso del concep o de Es e a de In luencia, y al y como se mues a
en la Figu a 2.11, la elocidad en el in ini o de la ó bi a de escape del plane a se suma á a la del
p opio plane a pa a ealiza el cambio de Sis ema de Re e encia. Es o implica, que an o llegadas
como salidas se ían siemp e median e hipé bolas o pa ábolas, como es lógico si se iene en cuen a
24 Capí ulo 2. Modelo e hipó esis
que pa a escapa de la Es e a de In luencia debe llega se al in ini o. La pa ábola sin emba go, es
una si uación peculia dado que implica ía que el sa éli e "queda a apado" con elocidad nula en el
lími e de la es e a.
Du an e el ayec o in e plane a io, donde se hace uso del Sis ema de Re e encia Heliocén ico,
las Es e as de In luencia se conside an de ca ác e pun ual ocupando la posición del plane a, de
al o ma que cuando el sa éli e alcanza una de es as posiciones, se uel e a ealiza el cambio de
Sis ema de Re e encia. En es e caso el cambio en la elocidad se á al que la elocidad de llegada
(po el in ini o, el lími e de la es e a) al plane a se á igual a la del sa éli e en el Sis ema de Re e encia
Heliocén ico menos la del plane a en el mismo sis ema. En cuan o a la posición del ec o elocidad
den o de la Es e a de In luencia, si bien queda de e minada en qué mi ad de la es e a se encuen a
po el sen ido de la misma, se supone elegible la posición de o ma que el pe iapsis de la hipé bola
de llegada es un pa áme o a escoge . Es o en la ealidad se ía una de las pequeñas co ecciones
inales que hab ía que ealiza pa a consegui que se cumpla la ó bi a escogida.
2.4.3 Ins an aneidad de los impulsos
Una de las hipó esis omadas es á e e ida a una a iable de op imización, y al p oblema en gene al.
Consis e en conside a los impulsos ealizados sob e el sa éli e como ins an áneos, epe cu iendo
sob e el mismo en un cambio en su elocidad que no conlle a iempo. No se conside a en es e
abajo o os ipos de p opulsión como pudie a se la p opulsión eléc ica o cualquie o o ipo de
p opulsión con inua, que conlle a ían un a amien o comple amen e dis in o del p oblema.
2.4.4 Pa ida desde ó bi a de apa camien o
El lanzamien o con o ma o o p oblema a op imiza , pe o queda des inculado del a ado en es e
abajo en cuan o a a iables de op imización (lanzamien os mul ie apas, ho a de lanzamien o, e c.).
Pa a es e abajo se asume que el lanzamien o ya ha sido ealizado y el sa éli e se encuen a en una
ó bi a de apa camien o inicial, que se supond á baja pa a simula una con inuación del lanzamien o.
2.4.5 P oblema plano
La úl ima de las hipó esis es una no an necesa ia, sino simpli ica i a. El hecho de educi el
espacio a bidimensional educe conside ablemen e el núme o de a iables a op imiza , y eniendo
en cuen a la ela i a plani ud del Sis ema Sola y el ca ác e p elimina del diseño esul a adecuado
su uso.
Es a hipó esis si bien es una ayuda, p esen a ambién des en ajas. Po ejemplo, se pie de po encial
de op imización en cuan o al uso de Maniob as de Espacio P o undo, especialmen e ú iles en cam-
bios de plano. Pe o po o a pa e, pe mi e de e mina de mane a más sencilla la alidez de cálculos
ealizados dada la exis encia de soluciones eó icas óp imas, como la maniob a de ans e encia
ipo Hohmann.
Po úl imo, des aca que la acili ación se aplica a la esolución del algo i mo gené ico al abaja
con menos a iables, y que la mayo ía de los p og amas c eados cuen an con la opción de abajo
en es dimensiones, dejando así p epa ado el e eno pa a un posible abajo u u o en el que se
libe a a es a hipó esis; una ez comp obada la e icacia del algo i mo gené ico.
2.5 Ampliación: P oblema idimensional 25
2.5 Ampliación: P oblema idimensional
La conside ación del p oblema plano como se ha comen ado no es an o una necesidad como una
simpli icación del p oblema pa a aho a en iempos de compu ación. Los esul ados ob enidos con
es a hipó esis son en muchas ocasiones su icien es pa a es a p ime a e apa de diseño de misiones, y
en o as muy p óximos al caso eal idimensional en cuan o al Sis ema Sola se e ie e, debida a la
baja di e encia de inclinación en e las ó bi as plane a ias.
Po o a pa e, la hipó esis bidimensional puede ocul a una impo an e en aja que o ecen las
Maniob as de Espacio P o undo espec o a las misiones sin impulsos in e medios: los cambios
de plano. Po es e mo i o y po e i ica el uncionamien o de odos los p og amas elabo ados
(incluyendo el algo i mo gené ico) se decide amplia el alcance del p oyec o e inclui ambién una
simulación de un p oblema idimensional.
En lo ela i o a es e capí ulo de in oducción eó ica, es necesa io ealiza una se ie de acla acio-
nes espec o a lo expues o has a es a sección. Se a a a a de comple a es os concep os básicos de
la Mecánica O bi al añadiendo aquellas excepciones y casuís icas no conside adas con an e io idad
po la hipó esis de p oblema plano.
Siguiendo el o den de exposición de con enidos, la p ime a acla ación necesa ia es ela i a a los
casos degene ados de los elemen os o bi ales clásicos
. Al conside a la posibilidad de
i
dis in o
de
0
o
π
, su ge una nue a excepción co espondien e a una ó bi a ci cula de inclinación no nula, es
deci e=0con i∈(0,π). En es e caso θyωno es án bien de inidas al no exis i línea de ápsides.
Se de ine pa a sol en a es e p oblema el elemen o o bi al a gumen o de la la i ud:
u=θ+ω;(2.45)
ángulo e e ido a la línea de nodos, con sen ido posi i o en el sen ido del mo imien o. Su cálculo
es simple a pa i del ec o uni a io de la línea de nodos:
cosu= ·n
,(2.46)
escogiéndose la segunda solución del coseno cuando la componen e en zde es nega i a.
La segunda di e encia espec o al p oblema plano eside en las ma ices de gi o pa a pasa de
elemen os pe i ocales al Sis ema de Re e encia usado, como se expone en (2.33). En el caso más
gene al la ma iz de gi o oma la o ma:
C=

cosωcos Ω−sinωsinΩcosisinΩcosω+cosΩsinωcosisin ωsini
−cosΩsin ω−sinΩcosωcosi−sinΩsinω+cosΩcosωcosicos ωcosi
sinΩsin i−cosωsinicosi

.(2.47)
El es o de eo ía y desa ollo expues o es consis en e con el p oblema idimensional, pe o
sí apa ece di e en e a amien o en las e emé ides plane a ias, al deja de oma se
i=0
; y en las
Maniob as de Espacio P o undo, pasando es as a es a o madas po es componen es en el p oblema
en 3D. La elocidad de salida iene ambién es componen es en es e escena io, pe o se conside a
como hipó esis que la ó bi a de apa camien o inicial es á si uada en el plano de la hipé bola de
escape de e minada en la solución alcanzada.
32 Capí ulo 3. Algo i mo gené ico
3.2.2 Pa es de un algo i mo gené ico
En endida la base del uncionamien o de un algo i mo gené ico, se explica en es e apa ado cómo
se aduce esa eo ía en el cálculo compu acional. Se an a in oduci cada una de las pa es que
componen el algo i mo, los denominados como ope ado es gené icos, qué g ados de libe ad exis en
en cada uno de ellos y su implicación, y cuáles de en e las dis in as posibilidades de uncionamien o
se adap a mejo al p oblema a esol e . Toda la codi icación, ealizada en
MATLAB
, puede e se en
el Apéndice A.
Gene ación de la población inicial
La opción elegida pa a la gene ación de los indi iduos que con o man la p ime a población es
ealiza es e p oceso de mane a pu amen e alea o ia, en é minos compu acionales. Es o se aduce
en no ija una semilla de gene ación pa a el p oceso de asignación de núme os alea o ios.
La semilla es una a iable de en ada que de e mina en cualquie algo i mo de gene ación de
núme os alea o ios la o ma de c ea los. En p og amación, la a ea de p o ee núme os alea o ios de
la o ma en la que lo ha ía un dado no es i ial, en ealidad es os algo i mos no son comple amen e
alea o ios y po ello, con una misma semilla cada ez que se comience a usa el algo i mo la
secuencia de núme os mos ada es la misma.
Pa a algunos p oblemas y pa a el p oceso de c eación del algo i mo puede se in e esan e ija
odas las semillas de odos los p ocesos que conlle en alea o iedad, p i ando al mé odo de la e icacia
que conlle a deja los lib e pe o siendo ú il pa a analiza si la ejecución del mismo es á siendo
co ec a. El algo i mo que se u iliza pa a ob ene odos los esul ados expues os en el abajo no
iene ijada ninguna de es as semillas. Pa a de e mina es os indi iduos, se u iliza la o den and
de
MATLAB
sin ija la semilla, asignando a cada gen de cada indi iduo de o ma alea o ia un alo
comp endido en e su máximo y mínimo.
C ea un algo i mo gené ico que o ezca siemp e el mismo esul ado, aunque es e se haya
conseguido en una p ime a i e ación siguiendo el camino de la me aheu ís ica, no iene sen ido. La
g an explo ación que o ecen es os mé odos se e limi ada si no deja libe ad en la inicialización del
p oblema. Un algo i mo gené ico no debe lanza se una única ez, debe hace se en a ias ocasiones
en pos de de e mina la solución más ce cana al óp imo global. Nunca es posible asegu a que se ha
encon ado, pe o si es posible compa a en e a ias i e aciones cuál es á más ce ca.
Selección
El Ope ado de Selección iene como misión elegi , as ealiza el es o de ope aciones gené icas
y ene se un núme o de indi iduos
Y>X
, siendo
X
el núme o de indi iduos que con o man una
población (cons an e), los (Y−X)indi iduos que se án eliminados.
La selección de indi iduos que sob e i en y pasan a o ma pa e de la siguien e población es
quizás la pa e del algo i mo en la que la decisión de cómo a on a la p oduzca mayo a iedad en
el esul ado. Cons i uye la capacidad de supe i encia en sí misma, y pa icipa en g an medida
en la p esión sob e la población[
1
]. Es e es un concep o que es á di ec amen e elacionado con
la explo ación y explo ación del mé odo. Con unas condiciones de supe i encia es ic as, po
ejemplo, si sob e i en siemp e los
X
mejo es indi iduos ( as los p ocesos de c uce y mu ación,
es e p ocedimien o es conocido como Selección po T uncado) la p esión se á al a y con ello la
explo ación, pe o se pe de á capacidad de explo ación lle ando el mé odo a una con e gencia ápida
a un óp imo local. Lo con a io, una p esión demasiado baja como pudie a se la selección alea o ia
de indi iduos que sob e i en, ca ece ía de capacidad de explo ación.

3.2 Base y uncionamien o de los algo i mos gené icos, Selección Na u al 33
El obje i o es consegui un mé odo capaz de aplica una p esión baja al p incipio a o eciendo la
explo ación, y al a en sus úl imas i e aciones pa a explo a la mejo zona encon ada. Pa a log a
es e obje i o exis en dis in os p ocedimien os [9], algunos de ellos son:
•Fi ness P opo iona e Selec ion (FPS)
: A eces e e ida como Selección de Rule a, la
p obabilidad de supe i encia de un indi iduo es p opo cional a su alo en la unción
obje i o. Es a p obabilidad iene de e minada en el caso de maximización po la exp esión:
pi=FVi
∑XFVi
,(3.1)
que cambia ía a
(1−pi)
en minimización, siendo
FVi
el alo de la unción obje i o pa a
el indi iduo
i
. Se a a de un p ocedimien o con p esión al a, pe o que pe mi e a cualquie
solución la opo unidad de sob e i i , pues nunca se alcanza una p obabilidad es ic a de 0.
•S ochas ic Uni e sal Sampling (SUS)
: Consis e en una a iación de
FPS
que log a disminui
la p esión. El p ocedimien o consis e en elegi un núme o
n
den o de
Y
, o dena las soluciones
según su alo en la unción obje i o, y p ocede a de e mina cuales sob e i en u ilizando
p obabilidades simila es a las del mé odo an e io , pe o de o ma que se asegu a la elección
de al menos un indi iduo den o de cada ango (o den de magni ud) de los alo es de unción
obje i o. De es a o ma se asegu a que exis e siemp e posibilidad de explo ación.
F.Caccia o e yC.Toglia p esen an en [
1
] al e na i as como Ranking Selec ion ySigma Scaling;
pe o es án de acue do con Sean Luke, au o de [
9
], en que el p ocedimien o más adecuado pa a un
algo i mo gené ico (y en conc e o adecuado pa a el a amien o de p oblemas de Mecánica O bi al
según se expone en [1]) es el conocido como Selección po To neo.
La
Selección po To neo
consis e como su p opio nomb e indica en ealiza compe iciones en e
un núme o
de indi iduos alea o ios del g upo
Y
al que el mejo de ellos pasa a o ma pa e de la
siguien e población y deja de pa icipa en los o neos siguien es. Se epi e es e o neo
X
eces de
o ma que se man iene el núme o o al de indi iduos en la población seleccionada. El pa áme o
es
uno de los mencionados pa áme os de con ol sob e el algo i mo gené ico, enca gado de con ola
la p esión sob e la población du an e el p oceso de selección. Un alo de
=1
implica ía un
p oceso de selección alea o ia, ca en e de explo ación; mien as que uno supe io a
X
consis i ía
en un p oceso de uncado, educiendo la explo ación. Típicamen e el alo de =2log a buenos
esul ados, pudiendo aumen a pa a c ea un algo i mo más selec i o. Explo ando es a idea, el
algo i mo que se desa olla en es e abajo comenza á con un alo de
=2
que aumen a á en
i e aciones a anzadas pa a inc emen a la p esión en es as e apas y con ello la explo ación.
Figu a 3.4 Diag ama de p oceso de Selección po To neo.
34 Capí ulo 3. Algo i mo gené ico
C uce
El Ope ado de C uce es el enca gado de selecciona a dos indi iduos y c ea uno nue o a
pa i de la ecombinación de sus genes (de los alo es de sus a iables). Pa a c ea es a pa e del
algo i mo exis en dis in as me odologías, la mayo ía de ellas en ocadas a indi iduos con a iables
bina ias. P incipalmen e pueden dis ingui se dos caminos pa a abo da el p oceso [9]:
•Recombinación po sus i ución
: Consis e en elegi cie as a iables de uno de los p ogeni-
o es pa a el nue o indi iduo y comple a los genes de la descendencia ellenándolos con los
del o o p ogeni o .
•Recombinación lineal
: Consis e en elegi cuán o se pa ece la descendencia a cada uno de los
p ogeni o es, siendo los genes del nue o indi iduo una combinación lineal de los p edeceso es.
Es e camino no es aplicable a un p oblema de a iables bina ias.
En un p oblema no bina io (como el p esen e en es e abajo) cualquie a de las dos al e na i as es
iable así como una combinación de ellas. La na u aleza del p oblema abo dado sin emba go p o oca
que el p ime mé odo conlle e una ine i able pé dida de explo ación en las e apas inales del p oceso.
El cambio en una sola de las elocidades de maniob a, simplemen e en su ángulo, puede p o oca
un cambio adical en las ó bi as y a ec a a la con e gencia. En la búsqueda de ob ene un mé odo
con p esión selec i a que a o ezca la explo ación en los inicios y la explo ación en el inal, se ha
decidido implemen a el mé odo de
ecombinación lineal
conocido como
SBR
(Simula ed Bina y
Recombina ion), p opues o po K. Deb en 1998 as la con inuación de sus es udios comenzados en
[
4
]. Es a ecombinación consis e en usa una a iable alea o ia
u
comp endida en e 0 y 1 al que:
¯
β= (2u)1
ηc+1,u≤0.5; (3.2)
¯
β=1
2(1−u)1
ηc+1
,u>0.5; (3.3)
implicando
¯
β
la o ma de la descendencia, al que si
xp1
y
xp2
son los p ogeni o es, y
xd1
y
xd2
la
descendencia (en es e mé odo siemp e hab á dos nue os indi iduos po cada pa eja de p ogeni o es),
se iene:
xd1=1
2[(1+¯
β)xp1+(1−¯
β)xp2],(3.4)
xd2=1
2[(1−¯
β)xp1+(1+¯
β)xp2].(3.5)
El pa áme o
ηc
que apa ece en (3.2) y (3.3) es o o de los denominados en es e documen o
como pa áme os de con ol, en es e caso consis e en un núme o eal no nega i o que con ola la
p obabilidad de que la descendencia sea simila a los p ogeni o es. El alo conc e o se decide en el
Capí ulo 4 del documen o as simulaciones a iando los dis in os pa áme os.
Lo que se consigue con
SBR
es el obje i o buscado con el c uce. Du an e las p ime as e apas
donde los indi iduos son muy dis in os en e ellos, es e mé odo de ecombinación a o ece la
explo ación del espacio comple o de soluciones; mien as que a medida que el mé odo con e ge
y los indi iduos comienzan a pa ece se, independien emen e del alo de
ηc
la descendencia se
pa ece más a los p ogeni o es, explo ando el espacio inal de búsqueda.
La selección de los p ogeni o es es o o ema abie o en la c eación del ope ado . Desde el uso de
o neos pa a su elección has a la elección alea o ia de los mismos, los p ocedimien os exis en es
son simila es a los de la selección de población supe i ien e. El mé odo que se ha elegido en es e
abajo (de in ención p opia) es el siguien e:
3.2 Base y uncionamien o de los algo i mos gené icos, Selección Na u al 35
1-
Se eco e la población de indi iduos, o denada de mejo a peo indi iduo, decidiendo
con una p obabilidad
pc
si un indi iduo pasa a se p ogeni o o no. Cuando se consiguen
dos p ogeni o es, se p oduce el c uce. Es a o ma de p ocede a o ece la explo ación y
con e gencia p omo iendo el c uce en e mejo es indi iduos.
2-
De o ma independien e al paso an e io , se ue za el c uce de o ma a bi a ia en e indi iduos
cualesquie a. Es o se ealiza un núme o bajo de eces (pa áme o de con ol
nc
) y a o ece
que en ningún momen o cese la explo ación.
Figu a 3.5 Diag ama de p oceso de C uce.
Mu ación
El Ope ado de Mu ación es una he amien a c ucial pa a la explo ación. La mu ación pe mi e,
en las ases del mé odo en la que la con e gencia es al a y la explo ación po el es o de ope ado es
baja, la capacidad del algo i mo de segui explo ando con la posibilidad de encon a mejo a. Es o
no quie e deci que la mu ación no ayude a la explo ación, hacia cuál de los dos concep os se
en oque es e ope ado depende de la magni ud de los cambios p oducidos en los genes, siendo una
he amien a ú il pa a explo a el espacio inal de búsqueda si los cambios p oducidos son pequeños.
Pa a con ola es e ope ado cuando los indi iduos es án o mados po genes no bina ios un buen
algo i mo es el de Con olución Gaussiana p opues o en [
9
], con una lige a modi icación. El mé odo
consis e en mu a un indi iduo elegido modi icando genes alea o ios de o ma alea o ia, pe o al
que las modi icaciones (siemp e comp endidas en e los máximos y mínimos del gen) esponden
a una dis ibución No mal de media ce o y a ianza con olada
σ
. Ajus ando el alo de
σ
y el
de la p obabilidad de que un gen mu e, que se denomina á
pm
, (nue os pa áme os de con ol) se
consigue que el p ocedimien o se cen e más en la explo ación (meno alo de
σ
y
pm
) o en la
explo ación (caso con a io). La p obabilidad
pm
puede incluso oma el alo unidad, en cuyo caso
el indi iduo a mu a su e cambios en cada uno de sus genes. Es e caso es especialmen e ú il pa a
consegui que el algo i mo gené ico nunca pa e de explo a de o ma a bi a ia el espacio, y po
ello se a a hace uso de él en es e abajo.
La modi icación ealizada sob e es e mé odo es en lo ela i o al uso y especi icación de
σ
. En
luga de es ablece un alo de es e pa áme o que a ec e igual a la mu ación de cualquie a de los
genes, se decide que el alo de la a ianza en la dis ibución No mal dependa del gen a modi ica .
Mien as la mayo ía de algo i mos abajan bien cuando odos los genes ienen el mismo o den de
magni ud, es e cambio pe mi e abaja sin necesidad de p eocupa se po es e aspec o (lo cual es
especialmen e con enien e en un caso en el que se abaja con genes que comp enden una acción
de 0 a 1, y genes que especi ican el Día Juliano, de o denes de milla es). La o ma de es ablece el
alo de σpa a cada uno de es os genes se á:
σ2
i=UBi−LBi
σc
,(3.6)
36 Capí ulo 3. Algo i mo gené ico
donde
UBi
y
LBi
son los lími es supe io es e in e io es de la a iable del gen espec i amen e, y
σc
el pa áme o de con ol cuyo e ec o es in e so al de
σ
(no se debe con undi
σc
con la des iación
ípica, se le da es e nomb e po su elación con la misma: a mayo alo de
σc
meno alo de
σ
y
mayo explo ación, a meno alo mayo explo ación po el aumen o de σ).
El uso del Ope ado de Mu ación end á dos p opósi os undamen ales:
1-
De o ma a bi a ia cada indi iduo de la población
Y0
(es deci con descendencia incluida)
se some e a la decisión de mu a o no. Si dicha mu ación sucede, se aplica el mé odo de
Con olución Gaussiana pa a un alo de pmyσca de e mina .
2-
De o ma a bi a ia se escoge un indi iduo de la población
Y”
(población mu ada) y se le
aplica una mu ación con alo de pm=1.
Figu a 3.6 Diag ama de p oceso de Mu ación.
Eli ismo
El Ope ado de Eli ismo es una he amien a no siemp e usada en algo i mos gené icos, pe o de
especial u ilidad sob e odo en casos como el que a añe en el que pequeñas a iaciones en los genes
pueden p o oca g andes cambios en el alo de la unción obje i o.
Su unción es simple: p ese a las
E
mejo es soluciones de la población y e i a que es as
pudie an se eliminadas du an e la selección ó some idas a mu ación. El nue o pa áme o de con ol
E
debe se al menos siemp e un o den de magni ud in e io a
X
(población o al que sob e i e) y
depende á de él, siendo en el caso de poblaciones no muy nume osas
E=2
(se ecue da que se ha
decidido que al menos se puede c ea una ez descendencia de la éli e) has a un máximo de
E=10
en las más amplias.
Dadas las ca ac e ís icas de los indi iduos pe enecien es a es e g upo, se ían necesa ias lige as
modi icaciones sob e las Figu as 3.4 y 3.6 pues en ellas los g upos mos ados que se some en
al ope ado son el cómpu o de la población comple a as el p oceso de c uce, siendo po an o
necesa io ex ae de es os g upos los seleccionados como éli e, y se ealiza ían consecuen emen e
X−E
o neos. Se ha decidido deja así es as igu as pa a con ibui a su labo explica i a en las
pa es co espondien es y apo a les un alo más gené ico, pues como se menciona no odos los
algo i mos gené icos poseen Ope ado de Eli ismo. Es e p oblema no apa ece en la Figu a 3.5,
donde se pe mi e la mezcla en e indi iduos no males y de éli e a pa e del c uce alea o io po o o
lado. En el Apa ado 3.2.4 puede obse a se cómo queda la in eg ación en e las dis in as pa es,
con la especi icación de qué pa e de la población pa icipa en cada ope ación.
3.2 Base y uncionamien o de los algo i mos gené icos, Selección Na u al 37
3.2.3 Res icciones
Las es icciones juegan un papel undamen al en cualquie p oblema de op imización, siendo
en nume osos casos una ba e a di ícil de sob epasa a la ho a de encon a soluciones ac ibles.
Elegi la mane a de a on a el p oblema cuando es posible puede educi e incluso elimina en
ocasiones las es icciones del p oblema, escoge adecuadamen e las a iables de en ada y la o ma
de p ocede puede supone como ya se ha comen ado la con e sión de un p oblema NP-Du o en
NP-Comple o.
P incipalmen e pueden ca aloga se en dos g upos:
•Res icciones lineales:
Son las más sencillas y áciles de abo da , es ablece una elación
lineal en e odos o algunos genes que debe cumpli se pa a que la solución sea acep able.
Puede exp esa se ma icialmen e como:
Ax ≤b,(3.7)
siendo
A
la ma iz de condición que elaciona los genes del indi iduo
x
, y
b
el ec o que
con iene la condición pa a la elación.
•Res icciones no lineales:
Son complejas y conlle an ope aciones no lineales, lo que impide
exp esa las en o ma ma icial. Requie en de una unción auxilia que e alúe la condición, en
ocasiones es a unción puede se el p opio p oblema y eque i se su esolución comple a pa a
de e mina la ac ibilidad de la solución. Es e ipo de condiciones es habi ual en p oblemas
NP-Du o. Pueden se an o de igualdad como desigualdad.
El p oblema de es udio en es e documen o se ha abo dado e i ando es icciones no lineales
g acias al cie e del mismo haciendo uso del P oblema de Lambe , quedando únicamen e una
es icción lineal sencilla y ácil de cumpli se elacionada con los iempos. Su o ma y más de alles
pueden ap ecia se en el Apa ado 3.4.
En cuan o a su aplicación, se comp ueban las es icciones cada ez que se gene a un indi iduo
nue o, sea cual sea el ope ado que lo p oduce. Si no se cumple la es icción, se epi e la ope ación
gené ica has a que se cumpla o se sob epase un núme o de in en os, en cuyo caso se cesa la ope ación
sob e el indi iduo y se pasa al siguien e.
3.2.4 Relación en e las pa es, p ocedimien o
En es e úl imo apa ado en lo ela i o al uncionamien o y bases de los algo i mos gené icos se
mues a en o ma de diag ama de lujo la in eg ación en e las dis in as pa es que con o man el
mé odo.
Como esumen p e io, los Pa áme os de Con ol2son inalmen e:
•X
: Núme o de indi iduos que con o man
la población base.
•E
: Núme o de indi iduos ca alogados de
éli e.
•N
: Núme o máximo de gene aciones pe -
mi ido.
• : Núme o de in eg an es de o neos.
•nc
: Núme o de c uces alea o ios po gene-
ación.
•ηc
: Pa áme o de con ol de simili ud
descendencia-p ogeni o es.
2
Se ecue da que la decisión sob e sus alo es se ese a al Capí ulo 4 as dis in as p uebas, y que puede ap ecia se
mayo de alle sob e la implemen ación numé ica del algo i mo en el Apéndice A

38 Capí ulo 3. Algo i mo gené ico
•σc
: Di iso en la a ianza de la dis ibu-
ción No mal en mu ación.
•pmu
: P obabilidad de un indi iduo de mu-
a .
•pm
: P obabilidad de mu a de gen en un
indi iduo a mu a .
•pc
: P obabilidad de un indi iduo de con-
e i se en p ogeni o .
•TOL
: Tole ancia de disc epancia en e el
alo medio en la población en la unción
obje i o y el del mejo indi iduo.
Figu a 3.7 Diag ama de lujo del p oceso del algo i mo gené ico.
3.3 Pa e o Dominancia, F en e de Pa e o 39
3.3 Pa e o Dominancia, F en e de Pa e o
En ocasiones en un P oblema de Op imización no se pe sigue un único obje i o. En la p ác ica, el
ingenie o debe en en a se a un p oblema siendo conscien e de las limi aciones exis en es como pue-
den se el capi al disponible o el iempo admisible de du ación. Es as limi aciones pueden apa ece
como Res icciones al p oblema, o incluso imposiciones al mismo, pe o es habi ual que la elación
en e limi an es y obje i o no sea cla a y en o os an os casos no se una a iable del p oblema
sob e la que se enga con ol. Es en es e escena io donde su ge la Op imización Mul iobje i o.
El p opósi o de la Op imización Mul iobje i o como su p opio nomb e indica es el de op imiza
al mismo iempo dos o más p oblemas que es án elacionados o el mismo p oblema en ocado a
dos p opósi os dis in os. Una me odología ípica pa a abo da es e ipo de op imización es el de
es ablece una Función Obje i o única cuyo alo es una suma ponde ada de los dis in os obje i os.
Es e p ocedimien o en ocasiones es su icien e pa a ob ene una buena solución, pe o p esen a un
p oblema: dos soluciones muy dis in as pueden ene exac amen e el mismo alo en la unción
obje i o. Po ejemplo, si se u ie a la Función Obje i o:
J=0.3·O1+0.7·O2,(3.8)
donde
O1
y
O2
son los obje i os de op imización, y
0.3
y
0.7
sus co espondien es pesos, en onces:
O1=J−0.7·O2
0.3(3.9)
cons i uye un conjun o de soluciones pa a
J=c e
. Es o no implica necesa iamen e que el conjun o
de soluciones sea in ini o (
O1
y
O2
es án elacionados), pe o sí que exis e la
posibilidad
de habe
a ias. No se p e ende deci con es o que suponga el mé odo de pesos ponde ados un mal p oce-
dimien o pa a esol e una Op imización Mul iobje i o, siendo en ocasiones un camino di ec o y
pe ec amen e álido. Sin emba go, en un p oblema sob e el que se iene poco conocimien o en e
la elación de los obje i os p opues os o de las soluciones del p oblema en sí mismas, es e mé odo
puede ocul a una posible solución mejo , al igual que ocu e en el caso de un único obje i o con
los óp imos locales y globales.
Pa a sol en a la duda de si el óp imo ob enido es el mejo o no según los obje i os, su ge la
denominada
Pa e o Dominancia
y con ella los
F en es de Pa e o
. Un F en e de Pa e o no es más
que una ep esen ación en el espacio de las mejo es soluciones de un p oblema de Op imización
Mul iobje i o que se cons uye a pa i de la Pa e o Dominancia, consis en e en man ene en es a
ep esen ación solo las soluciones no dominadas, es deci , aquellas que son al menos en uno de los
obje i os mejo al es o. Es e concep o puede comp ende se mejo a pa i del ejemplo expues o en
las Figu as 3.8 y 3.9.
En el ejemplo se mues a un p oblema de Op imización Mul iObje i o de una áb ica [
9
], que
debe en en a se a la decisión de cuán a maquina ia elegi pa a sus ope aciones. P oduc o de es a
decisión su gen la ene gía disponible pa a p ocesa en la áb ica y el cos e de man ene las. Se plan ea
en onces la maximización de la ene gía disponible suje a a la minimización de cos es. Pa a e el
compo amien o de elación en e ambos obje i os, se decide c ea un F en e de Pa e o (Figu a 3.9)
que ayude al di ec o de la áb ica a oma una decisión.
40 Capí ulo 3. Algo i mo gené ico
Figu a 3.8 Ejemplo de Pa e o Dominancia, ex aído de [9].
En la Figu a 3.8 puede ap ecia se la denominada Pa e o Dominancia. Todas las soluciones
(pun os) que es án den o del ec ángulo g is son dominadas po A, es deci , A es mejo en al menos
uno de los obje i os a odas ellas. Es as soluciones del ecuad o po an o no o ma án pa e del
F en e de Pa e o. Es o como se puede obse a , no implica que A pase a o ma pa e del F en e,
pues queda po some e se a juicio del es o de soluciones.
Figu a 3.9 Ejemplo de F en e de Pa e o, ex aído de [9].
Una ez se han e aluado odas las soluciones y es ablecido la Pa e o Dominancia, se o ma la
denominada cu a de F en e no dominado de Pa e o uniendo odas aquellas soluciones que no
es án dominadas po ninguna o a. La o ma que adop a es a cu a depende del p oblema abo dado
(minimización, maximización, mix o, el p oblema en sí mismo...). En la Figu a 3.10 se exponen
algunas cu as ca ac e ís icas, pe o no las únicas. Es impo an e ene en cuen a que los ejes del
F en e de Pa e o no ep esen an a iables de op imización sino obje i os, en gene al, no coinciden es.
Las soluciones (pun os) se ep esen an po sus alo es en es os obje i os, pe o dos soluciones que
apa ecen p óximas en el F en e pueden se muy dis in as en e ellas.
3.3 Pa e o Dominancia, F en e de Pa e o 41
Figu a 3.10 Ejemplo de dis in as o mas de F en e de Pa e o, ex aído de [9].
Si bien la c eación de F en es de Pa e o esul a de g an u ilidad al pe mi i ob ene una isión
global del p oblema y apo a c i e io a la decisión, no implica que deba se siemp e el camino
escogido. Explo a al can idad de soluciones pa a gene a el F en e conlle a iempos ele ados. Es
un p ocedimien o que equie e jus i icación, un in e és conc e o.
Los mé odos usados pa a gene a los F en es de Pa e o son e ec i amen e me aheu ís icos,
consis en es en p oba una g an can idad de soluciones pe o explo ando el espacio de o ma e icien e
pa a gene a una cu a que cub a co ec amen e el espec o de obje i os. Una me odología seguida
ampliamen e en es e campo y basada en algo i mos gené icos es la conocida como NSGA-II.
3.3.1 NSGA-II
Un algo i mo pa a gene ación de F en es de Pa e o aclamado po su e ec i idad y apidez de
cómpu o es el conocido como
NSGA-II
. El mé odo undamen almen e consis e en aplica los
p ocedimien os de algo i mos gené icos en ocados a explo a el espacio de soluciones añadiendo
a es e concep o de explo ación el eco ido po los dis in os alo es posibles de alo obje i o en
pos de c ea un F en e de Pa e o bien de inido y cub iendo el espec o de posibilidades. En es e
documen o se en a solo en el de alle su icien e pa a jus i ica el uso de un mé odo al e na i o,
la in o mación comple a puede ob ene se en [
3
]. Es e mé odo su ge como una mejo a de
NSGA
(Nondomina ed So ing Gene ic Algo i hm) que busca mejo a con espec o a es e en:
•
Mejo a en los iempos de compu ación a O(
MN2
).
NSGA
es un mé odo complejo que conlle a
iempos de O(MN3) donde Mes el núme o de obje i os y Nel amaño de población.
•Añadido de Eli ismo, no exis en e en NSGA.
•Reducción de pa áme os de con ol pa a c ea un mé odo más sencillo de implemen a .
La ca ac e ís ica p incipal que di e encia a es e algo i mo del es o de Op imización Mul iobje i o
es la o ma en la que selecciona las soluciones que pe manecen en el F en e de Pa e o. El núme o
inal de soluciones que con o man es a cu a es á limi ado a un máximo de
N
, siendo
N
simila
a
X
en el algo i mo gené ico, el amaño de población de soluciones sob e el que se abaja. Con
es a limi ación, puede sucede que se encuen en g an can idad de soluciones no dominadas en
un en o no no muy amplio del espec o de posibilidades, siendo en onces el F en e gene ado no
álido pa a sol en a el p oblema po el que ue on ideados: c ea una isión global del p oblema.
NSGA-II
se en oca en sol en a es e p oblema de una mane a e icien e, y lo consigue con éxi o
como puede comp oba se en la Figu a 3.11.
48 Capí ulo 3. Algo i mo gené ico
desc i o (p oblemas ipo NP, en conc e o en el p oblema p opues o en el p oyec o) pa a la mayo ía
de aspec os de la op imización, pe o no pa a odos y no siemp e.
El p ime incon enien e que su ge al a a una me odología al ni el de complejidad de la p esen-
ada es la p og amación del algo i mo. Exis en uen es de código a disposición de cualquie usua io,
el p opio
MATLAB
con iene el suyo p opio (
@ga
), pe o c ea algo i mo desde ce o pa a adap a lo al
p oblema o ece mejo es esul ados y mayo con ol sob e el mé odo.
En lo ela i o al con ol su ge el segundo g an incon enien e. Los algo i mos gené icos p esen an
un g an núme o de Pa áme os de Con ol cuya calib ación es necesa ia pa a ajus a la con e gencia
del p oblema a ado. Es e es un p oceso que debe ealiza se al inicio y puede esul a p oblemá ico
an e al a de expe iencia o conocimien o sob e el p oblema.
En el ajus e p e io del algo i mo se abaja ambién sob e la p ecisión y ole ancias. Tal y como
se ha expues o en es e capí ulo, encon a el equilib io en e explo ación y explo ación no es una
a ea sencilla, y habi ualmen e pa a consegui iempos de cómpu o asumibles es necesa io sac i ica
p ecisión en el óp imo alcanzado. Es o hace necesa ia la u ilización de un algo i mo con encional
auxilia pa a e ina el óp imo global alcanzado, lo que in ie e en un ex a de iempo empleado pa a
esol e el p oblema.
O o g an incon enien e es la al a de ga an ías ma emá icas de que la solución encon ada sea un
óp imo global. Si bien la expe iencia demues a la iabilidad de es os mé odos y su g an u ilidad, no
es posible asegu a si quie a, p e io a la esolución de un p oblema, que el mé odo aya a con e ge .
Po úl imo, no hay compa a i a en e los iempos de cálculo de un mé odo con encional con
uno me aheu ís ico. En es os úl imos la necesidad de comp oba un g an núme o de soluciones
sumada a las ope aciones que se ealizan con las p opias soluciones en e gene aciones esul a
en un ele ado cos e compu acional que se e leja en iempos de cálculo un o den de magni ud (o
has a dos) supe io a los de mé odos con encionales. Es a des en aja sumada a la al a de ga an ías
ma emá icas sob e la solución alcanzada hacen de es os mé odos un p ocedimien o inadecuado
pa a cie as aplicaciones que equie an apidez y iabilidad (lo cual no es una p eocupación en el
p oblema abo dado en es e documen o).
Es as des en ajas no deben ocul a po o o lado el hecho de que los mé odos me aheu ís icos
en ocasiones pueden esul a el único (o al menos el mejo ) p ocedimien o pa a ob ene el óp imo
global de un p oblema.

4 Análisis de p ocedimien os del
algo i mo gené ico
T as p og ama el algo i mo gené ico ( éase el Apéndice A) se p ocede en es e capí ulo a mos a
su uncionamien o. El p ime apa ado se dedica a la con igu ación de los pa áme os de con ol
pa a ajus a la con e gencia del mé odo. Todos los desa ollos del capí ulo se co esponden con la
siguien e con igu ación de misión1:
•P oblema bidimensional2.
•Misión Tie a-Sa u no.
•Fechas de lanzamien os comp endidas en e el 1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025.
•Ó bi a de apa camien o inicial a 100 km de al i ud.
•Ó bi a inal a un adio de 349392 km (seis eces el adio de Sa u no).
•Dos Maniob as de Espacio P o undo.
•Tiempo de Vuelo To al de 600 días.
Pa a comp oba que el algo i mo unciona co ec amen e, se compa an los esul ados con los
ob enidos po la unción @ga y@ mincon de MATLAB.
4.1 Análisis de sensibilidad de pa áme os de con ol
En es e apa ado se ealizan p uebas a iando los alo es de los dis in os Pa áme os de Con ol
expues os en el Apa ado 3.2.4. El obje i o es p ime o mos a cómo a ec a al p ocedimien o cada
uno de ellos, y inalmen e escoge los más adecuados pa a el p oblema a esol e . Pa a isualiza su
e ec o se ha decidido c ea una ep esen ación ípica del p ocedimien o de un algo i mo me aheu ís-
ico consis en e en ep esen a pa a cada población el alo obje i o de la mejo solución (pun os
ojos) y la media del es o de población (pun os neg os). De es a media se ha decidido exclui un
quin o de la población co espondien e a las peo es soluciones, en gene al es as se co esponde án
con la explo ación más alea o ia del algo i mo y pueden apo a alo es ex emadamen e al os en la
unción (incluso in ini o) poco ep esen a i os de la con e gencia del algo i mo du an e las ases
in e medias de explo ación al a.
1
Se ealizan los análisis con una única con igu ación de misión pa a apo a al Capí ulo la posibilidad de compa a
ácilmen e en e los dis in os cambios. Los pa áme os se es án ajus ando pa a el p oblema, no pa a la con igu ación de
la misión. Se puede ap ecia que el ajus e ha sido co ec o en los dis in os esul ados del Capí ulo 5.
2A excepción del úl imo apa ado en el que se e i ican los ajus es ambién pa a el caso idimensional.
49
50 Capí ulo 4. Análisis de p ocedimien os del algo i mo gené ico
Se da á po álido el p ocedimien o del algo i mo si se cumplen las siguien es condiciones:
•
La cu a ep esen ada po la media iende a la cu a ep esen ada po el mejo (el mé odo
con e ge).
•
La cu a neg a no debe se (en gene al) pe ec amen e de inida, es deci , debe p esen a picos.
Es o indica que se sigue explo ando el espacio de soluciones.
•
La cu a oja no debe se cons an e (en gene al, pudie a se que de o ma alea o ia una de las
soluciones gene adas a bi a iamen e al inicio coincidie a con el óp imo global) y a medida
que a anza el algo i mo debe (en el caso de minimización abo dado) ende a un alo meno
al inicial.
•
El alo inal alcanzado de la solución óp ima debe se del ó den de los ob enidos con
@ga
y
@ mincon.
•
Los iempos de compu ación deben se al menos del o den de los ob enidos con
@ga
(pa a
es a comp obación no se pin a la g á ica de p oceso).
4.1.1 Va iación de X
Pa iendo de unos pa áme os de con ol inicial de la o ma:
[X,N,TOL,E,pc,pmu ,ηc, ,σc,pm,nc] = [X,400,5,5,0.5,0.3,3,2,30,0.3,2];(4.1)
decididos de o ma a bi a ia, se p ocede a a ia
X
y comp oba los cambios. El pa áme o
X
es
con olable en
@ga
, po lo que es posible ealiza dos compa a i as en pa a es e análisis a ni el de
esul ados y iempos3.
Figu a 4.1 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y X=50.
3
El p oblema de
@ga
es, como en o os an os códigos de uso abie o, el desconocimien o sob e su p og amación in e na.
En algunos aspec os supone una caja neg a y modi ica sus opciones puede no epe cu i en lo espe ado. Es e ue uno
de los p incipales mo i os que lle ó a c ea un algo i mo p opio. Pa a ecalca la impo ancia de ajus a los pa áme os
de con ol, en @ga el núme o de población es el único pa áme o que se modi ica.
4.1 Análisis de sensibilidad de pa áme os de con ol 51
Figu a 4.2 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y X=100.
Pudie a pa ece en es as g á icas que no se es á mejo ando en exceso en cuan o al óp imo se
e ie e, es deci , que la explo ación es baja. Es o es sin emba go un p oblema de escala, en la Figu a
4.3 puede ap ecia se la mejo a con el paso de gene aciones. La ealidad es que la explo ación posible
depende de la alea o iedad de la población inicial, pudiendo po sue e cae uno de es os indi iduos
muy p óximo al óp imo global.
Figu a 4.3
Zoom a mejo a del óp imo en p ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol
iniciales (4.1) y X=50.
Se p esen an aho a unas ablas que ecogen la in o mación más ele an e pa a compa a . En es e
p ime análisis de pa áme o se incluye
@ga
y
@ mincon
en pos de espalda el uncionamien o del
algo i mo c eado y la decisión de abo da el p oblema po es e p ocedimien o. Se en a á en mayo
de alle en el Apa ado 4.1.7.
52 Capí ulo 4. Análisis de p ocedimien os del algo i mo gené ico
X=50 Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 758 32.0144
@ga 1162 43.4448
@ mincon 61 40.8778
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 756 30.8784
@ga (+ e inado ) 1071 30.8111
X=100 Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 1427 32.0584
@ga 1831 30.7426
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 1404 32.0014
@ga (+ e inado ) 3839 30.7105
Con los esul ados de la abla se obse a el éxi o de habe p og amado un algo i mo gené ico
desde ce o en ocado al p oblema a esol e . Los iempos son conside ablemen e mejo es y si bien
en el e inado no exis en g andes di e encias en e el p opio y el que inco po a
MATLAB
si las hay
en las soluciones sin pos e inado . En de ini i a de es as p ime as ablas se puede conclui que
se han ap o echado bien an o la capacidad de explo ación como de explo ación del algo i mo.
En cuan o a los mé odos con encionales como
@ mincon
(usado en el e inado de soluciones)
se obse a que, pese a los escasos iempos de cómpu o que equie e, la solución alcanzada peca
de depende en exceso de la solución inicial apo ada (en es e es udio alea o ia, excep o pa a el
e inado), y puede con e ge como se ha comen ado p e iamen e a un óp imo local. No debe
so p ende po ejemplo que el iempo o al sea meno en el caso con e inado que sin él pa a
el algo i mo p opio. Los iempos son o ien a i os y si en pa a e leja el o den de magni ud en
el que se p ocesa la solución, el iempo conc e o depende de la alea o iedad implíci a en el p oblema.
En cuan o al núme o de indi iduos po gene ación (
X
) se puede conclui que aumen a lo en exceso
epe cu e no ablemen e en los iempos (ha de ene se en cuen a que se a a epe i nume osas eces el
uso del algo i mo pa a gene a el F en e de Pa e o), habiendo en es e caso incluso pa a el algo i mo
p opio empeo ado la solución con e giendo a un óp imo local
4
(se ap ecia en la p oximidad de la
solución del gené ico con el e inado, y la di e encia con el caso de meno población). Po ello se
concluye que la población de 50 es álida pa a al menos has a dos Maniob as de Espacio P o undo
en el algo i mo c eado.
4.1.2 Va iación de N
Como se puede p e e , en caso de que la solución no se alcance po ole ancia, el pa áme o
N
de e mina á el iempo de p ocesamien o y la ce canía de la solución inal alcanzada po el algo i mo
al óp imo eal, al y como se obse a en las Figu as y las ablas que le p osiguen. Se a ía en e
N=400 yN=200, el es o de pa áme os se man iene igual a (4.1) con X=50.
4
Se ecue da que los algo i mos me aheu ís icos no pueden asegu a la con e gencia hacia un óp imo global, pe o ienen
más p obabilidad de p oduci es a si uación que los mé odos con encionales.
4.1 Análisis de sensibilidad de pa áme os de con ol 53
Figu a 4.4
P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y
N=100
.
Compá ese con la Figu a 4.1.
N=200 Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 367 35.3995
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 424 30.8268
Las di e encias en el caso con e inado son indis inguibles, pe o igual que ha ocu ido así pudie a
habe sucedido que se hubie a quedado el algo i mo gené ico ce ca de un óp imo local. Cuan o
mayo sea
N
mayo núme o de opo unidades de encon a el global. Se debe op a po un alo
de comp omiso en e es a segu idad y el iempo de compu ación pa a la gene ación del F en e de
Pa e o, aunque lo ideal se ía que el algo i mo enco a a la solución po ole ancia en un iempo
azonable, no alcanzando el núme o de gene aciones N.
4.1.3 Va iación de TOL
Va ia la ole ancia en la solución (la cual se ha de inido excluyendo el peo quin o de población
pa a comp oba si se ha alcanzado) a ec a no a la con e gencia, sino a los iempos de p ocesamien o
e indi ec amen e a la explo ación del mé odo. El hecho de e i a da po concluido el mé odo
disminuyendo la ole ancia obliga al algo i mo a segui explo ando y explo ando, mejo ando la
solución alcanzada. Si bien se mejo a en el óp imo en el caso sin e ina , en el e inado pa a las
ole ancias manejadas, las di e encias son indis inguibles.Se a ía en e
TOL =1
y
TOL =5
, el
es o de pa áme os se man iene igual a (4.1) con X=50.
TOL=1 Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 781 31.3304
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 838 30.6245

54 Capí ulo 4. Análisis de p ocedimien os del algo i mo gené ico
Figu a 4.5
P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y
TOL =1
.
Compá ese con la Figu a 4.1.
Si bien ya se ap ecia el e ec o de la ole ancia en es as ablas, es o es debido a la elación que iene
con el aumen o del pa áme o
en la e apa inal del mé odo. El e dade o e ec o sucede cuando el
algo i mo alcanza solución po ole ancia y no po núme o de gene aciones. Mayo de alle de es e
enómeno se ap ecia en el Apa ado 4.1.7.
4.1.4 Va iación de yE
El pa áme o
(pa icipan es en los o neos de selección) esul a se uno de los pa áme os que
más a ec an a la explo ación y con e gencia del mé odo. Tal y como se explicó en el Apa ado
3.2.2, el núme o de pa icipan es se aumen a cuando el algo i mo decide que se es á ace cando a las
gene aciones inales, asegu ando la con e gencia, mejo ando la explo ación en es a úl ima e apa, y
educiendo los iempos (la implemen ación puede ap ecia se en el Apéndice A). Po o a pa e el
núme o de indi iduos de éli e
E
p esen a un e ec o simila al de
, siendo cuan o mayo su alo la
explo ación más in ensa. Pa a e leja la impo ancia de es os pa áme os, se mues an esul ados
pa a alo es iniciales de
=2
con
E=5
; y
=5
con
E=7
. El es o de pa áme os se man iene
igual a (4.1) con X=50.
=5, E=7 Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 788 32.4609
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 958 30.9710
Como se ap ecia en la Figu a 4.6, el aumen o de es os pa áme os lle a a una con e gencia
excesi amen e ápida del mé odo y educe la explo ación en g an medida. En es e caso se ha
alcanzado una buena solución pe o se ecue da que la solución alcanzada pa a unos mismos
pa áme os no es siemp e idén ica y depende de la componen e alea o ia del mé odo.
4.1 Análisis de sensibilidad de pa áme os de con ol 55
Figu a 4.6
P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1),
=5
y
E=7
.
Compá ese con la Figu a 4.1.
4.1.5 Va iación de pc,ηc, y nc
El Ope ado de C uce juega un papel undamen al en el p oceso. Los es Pa áme os de Con ol
que in e ienen en su uncionamien o a ec an sus ancialmen e a la con e gencia. T as a ias i e a-
ciones, los alo es de los pa áme os que mejo se adap an al p oblema son:
pc=0.4
,
ηc=3
, y
nc=2
. Reduci lige amen e la p obabilidad de c uce educe los iempos sin a ec a en g an medida
a la explo ación. El alo de ηcse selecciona de mane a que los descendien es puedan llega a se
con ela i a ecuencia igual de pa ecidos a ambos p ogeni o es (
¯
β∼0.5
). También después de
a ias ejecuciones del algo i mo a iando
nc
se ha escogido es e con alo de 2, lo que implica
cua o descendien es con mayo alea o iedad, dando buenos esul ados en la explo ación.
Figu a 4.7
P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1),
pc=0.4
,
ηc=3, y nc=2. Compá ese con la Figu a 4.1.
56 Capí ulo 4. Análisis de p ocedimien os del algo i mo gené ico
pc=0.4, ηc=3, nc=2 Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 743 31.4569
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 742 30.6877
4.1.6 Va iación de pmu ,σc, y pm
La in luencia del Ope ado Mu ación en la con e gencia del mé odo es c ucial. No sólo de e mina
la explo ación en las e apas inales pe mi iendo posibles mejo as sino además la con e gencia g acias
a los pequeños cambios con olados po
σc
en los genes. Las modi icaciones sob e es e ope ado
esul an se las que mayo e ec o ienen sob e el mé odo, pe mi iendo ce a el p oblema po habe
alcanzado ole ancias (g an mejo a en explo ación) pe o con el pelig o de lle a al algo i mo a
óp imos locales.
Figu a 4.8
P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1),
pmu =0.15
,
pm=0.3, y σc=30. Compá ese con la Figu a 4.1.
Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
Algo i mo Gené ico P opio 649 31.8670
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) 641 31.9618
4.1.7 Decisión inal sob e Pa áme os de Con ol
Como se ha podido ap ecia en odas las Figu as de los apa ados an e io es, an e las dis in as
con igu aciones de los Pa áme os de Con ol se cumplen los c i e ios es ablecidos al inicio de la
Sección 4.1, alidando el p ocedimien o del algo i mo. T as obse a el e ec o de modi ica cada
uno de es os pa áme os se ealizan p uebas ex as pa a de e mina qué combinación de los mismos
o ece esul ados su icien emen e ce canos al óp imo global (que se puede es ablece as odas
las p uebas que se encuen a en el en o no de
∆VT=30.7
km/s) en iempos educidos de ca a a
p epa a el algo i mo a en en a se a la c eación del F en e de Pa e o.
T as las dis in as p uebas, se ha de e minado que una buena elección de los pa áme os de con ol
es:
[X,N,TOL,E,pc,pmu ,ηc, ,σc,pm,nc] = [50,400,3,7,0.4,0.15,3,4,30,0.3,2].(4.2)
4.1 Análisis de sensibilidad de pa áme os de con ol 57
Con es os pa áme os se lanza a ias eces el algo i mo pa a comp oba que los esul ados no
son buenos po pu a alea o iedad. Se ob ienen los siguien es esul ados:
Algo i mo Gené ico P opio Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
P ueba 1 611 41.4235
P ueba 2 504 31.2703
P ueba 3 549 32.6524
P ueba 4 215 32.4654
Algo i mo Gené ico P opio (+ e inado ) Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
P ueba 1 374 30.7162
P ueba 2 609 30.7621
P ueba 3 505 31.3902
P ueba 4 177 30.6952
O os algo i mos Tiempo de compu ación [s] ∆VTalcanzado [km/s]
@ga 1162 43.4448
@ mincon 61 40.8778
@ga (+ e inado ) 1071 30.8111
A la is a de los esul ados se pod ía conclui en el éxi o del algo i mo c eado, o eciendo mejo es
alo es pa a el p oblema a ado en meno iempo que
@ga sin modi ica sus opciones
. El uso
de un e inado (
@ mincon
) pa a la solución alcanzada po el algo i mo gené ico esul a más una
necesidad que una opción si se busca p ecisión. Si bien es cie o que las di e encias en ocasiones
en e ambas soluciones son bajas, las in e encias en el iempo de cálculo no son si quie a ap eciables
haciendo que me ezca la pena ealiza la mejo a. Es espec o a es os iempos de cómpu o donde se
ap ecia la mayo en aja de habe p og amado y ajus ado al algo i mo pa a el p oblema conc e o.
Teniendo en cuen a que se a a ejecu a mul i ud de eces (
m
eces, siendo
m
el núme o de posibles
Maniob as, pa a cada Tiempo To al de Vuelo de inido en el F en e de Pa e o) el algo i mo, cada
segundo educido po ejecución puede supone una g an di e encia en el iempo o al de p oceso.
Una ez elegida la solución del F en e que se quie e ealiza , lo lógico es ol e a ejecu a pa a ese
iempo el algo i mo educiendo su TOL y aumen ando N.
Figu a 4.9 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol inales.
64 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
Es el conocimien o de es a solución el que a a pe mi i e i ica el uncionamien o de los
p og amas. Al ob ene una Po kChop plo debe ía ob ene se un único mínimo y una o ma epe ida
en el iempo. Al comp oba la ó bi a de ans e encia co espondien e al mínimo, debe ía obse a se
la ipo Hohmann.
Figu a 5.1 Ejemplo (ex aído) de Po kChop plo pa a misión Tie a-Ma e, caso idimensional.
La o ma de esol e es e p oblema consis e en ealiza un ba ido en las echas de salida y
llegada, pa a cada una de ellas es ablece la posición de los plane as implicados, y esol e con
es os da os del P oblema de Lambe . Realizando es o pa a una misión Tie a-Sa u no se ob iene
las g á ica que se obse a en la Figu a 5.2.
Figu a 5.2 Po kchop plo de misión Tie a-Sa u no, ep esen ando C3T.

5.1 Ve i icación de p og amas, Po kChop 65
Se p ocede aho a a busca con el algo i mo gené ico el óp imo pa a comp oba si se co esponde
con el que debe ía según las g á icas. Se abaja sob e
∆VT
po cohe encia con el es o de esul ados
del documen o, y sob e
C3T
pa a compa a . Se usa una Función Obje i o dis in a a la expues a en el
Apa ado 3.4, pues en es e caso las a iables de op imización son la echa de llegada y salida, y en
uno de los casos la unción obje i o cambia (a minimiza C3T). Sin u iliza e inado , se ob iene:
Caso Fecha Salida [JD-24 ·105]Fecha Llegada [JD-24 ·105]Valo
Minimización ∆VT6.0447·1046.2876·10412.8713 km/s
Minimización C3T6.0447·1046.2563·104137.9973 (km/s)2
Figu a 5.3 Solución minimizando ∆VT.Figu a 5.4 Solución minimizando C3T.
Como se ap ecia, ambas soluciones son casi idén icas (el algo i mo se ha lanzado en dos ocasiones
dis in as, una pa a cada Función Obje i o). Es o sucede debido a la es echa elación en e
C3T
y
∆VT
, el ó pimo se encuen a en las mismas echas, pe o el alo alcanzado en él de
∆VT
depende de
las ó bi as de apa camien o. Se comp ueba que e ec i amen e el algo i mo ha encon ado (incluso
sin e inado , no necesa io po las pocas a iables) la solución óp ima global en el espacio de
búsqueda. Además puede obse a se que dicha solución se co esponde en e ec o como se había
p edicho con una maniob a de ans e encia ipo Hohmann 3.
Con es a demos ación se dan po álidos el conjun o de p og amas que in e ienen en el P oblema
de Op imización. No sólo se ha pues o a p ueba el enca gado de esol e el P oblema de Lambe en
la gene ación de la Po kchop, ambién se ha hecho uso de p opagado es, con e so es de elemen os
a posición y elocidad (y ice e sa), con e so es de Días Julianos, y o os de meno impo ancia
pa a ealiza la ep esen ación de la misión.
3
El iempo de una ans e encia de Hohmann es
TH=π
n
, con
n=8µÀ
( 1+ 2)31/2
y
1
y
2
las dis ancias (en es e caso
medias) de ambos plane as al Sol.
66 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
5.2 Misión Tie a-Sa u no
El p ime escena io que se plan ea es el que se ha enido usando pa a ealiza p uebas sob e
el algo i mo: una misión Tie a-Sa u no (bajo la hipó esis de p oblema 2D). Es a es una misión
ealizada múl iples eces po dis in as agencias p incipalmen e po in e eses cien í icos. Pa a el
abajo esul a ú il po in oluc a a un plane a an lejano, apo ando a iedad a las simulaciones que
se an a ealiza . La con igu ación escogida pa a la misión es la siguien e:
•
Fechas de lanzamien os comp endidas en e el 1 de Ene o de 2024 y 1 de Ene o de 2025. Dada
la baja excen icidad de las ó bi as plane a ias implicadas y la conside ación de p oblema plano
un año e es e esul a su icien e pa a explo a casi la o alidad de posibles con igu aciones.
•
Ó bi a de apa camien o inicial e es e a una al u a de 100 km. Es a al u a es conside ada
baja pa a una ó bi a de apa camien o po la p esencia a mos é ica, pe o su p esencia en el
p oblema exis e únicamen e pa a ob ia la ase de lanzamien o. Es ablece la ó bi a inicial
es en ealidad una simpli icación pa a es ablece un pun o de pa ida, en eo ía el sa éli e
no es a ía du an e demasiado iempo en es a ó bi a, que se ía en ealidad pa e del p opio
lanzamien o.
•
Ó bi a inal a un adio de 349392 km (seis eces el adio de Sa u no). Se ha escogido es a
ó bi a inal pa a a a de se ealis a y aloja al sa éli e en una ó bi a de des ino su icien emen e
alejada de un plane a al amen e adiac i o.
•
Tiempos de Vuelo pa a la gene ación del F en e de Pa e o que comp enden desde un año
has a ein icinco. Se han decidido es os iempos as comp oba en el p ime apa ado del
capí ulo que el óp imo pa a es a misión sin Maniob as de Espacio P o undo se encuen a en
el en o no de los 5 años, y ampliando el ango p e endiendo encon a algunas soluciones
in e esan es al p oblema. La misión más amosa lanzada a Sa u no, Cassini, a dó 7 años en
comple a su a esía.
Figu a 5.5 F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no.
P ime amen e, se conside an como posibilidades 0, 1 o 2 Maniob as de Espacio P o undo. Lan-
zando una p ime a ez el algo i mo gené ico, as un iempo de p ocesamien o de unas 3 ho as, se
ob ienen los esul ados de la Figu a 5.5 ( eco da que en la gene ación del F en e de Pa e o se hace
uso del e inado , po lo que lo co ec o se ía deci as lanza el algo i mo gené ico más e inado ).
Puede ap ecia se una cie a endencia cla a pa a las misiones sin Maniob as de Espacio P o undo.
5.2 Misión Tie a-Sa u no 67
Es a endencia iene lógica si se piensa que el F en e pa a el caso sin maniob as no es más que un
co e a la supe icie de la que se ob iene la Po kChop plo (Figu a 5.2) po un plano que la c uza pa a
cada iempo de uelo po el pun o de mínimo
∆VT
. De hecho en es a cu a se ap ecia un mínimo
cla o en el en o no de los 2000 días de uelo, co espondien e con la maniob a de ans e encia ipo
Hohmann de la Figu a 5.3.
Es a endencia cla a en el caso sin maniob as no se ep oduce en el es o de casos, donde el
inc emen o del núme o de a iables que in e ienen en el p oblema ni siquie a pod ía ep esen a se
en un espacio idimensional. Ampliando la Figu a 5.5 en la Figu a 5.6, puede comp oba se en
p ime luga que en a ias ocasiones las misiones con e gen a unos mismos alo es del óp imo.
Es o se debe, como ya podía comp oba se en las Figu as 4.12 y 4.13, a que el op imizado iene la
posibilidad de en el caso de a ias maniob as lle a es as a un alo nulo (o ap oximadamen e nulo,
pod ían conside a se e o es numé icos). Alcanza es a solución sin emba go no siemp e es posible
po el algo i mo, de se así no exis i ían misiones po encima de la de ce o Maniob as de Espacio
P o undo ( odas con e ge ían a la de ce o), pe o no es un p oblema en an o en cuan o se pueda
asegu a (con la segu idad que un algo i mo gené ico sumado a un e inado pe mi e asegu a ) que
la óp ima sucede sin impulsos in e medios, pe diendo in e és el es o.
Figu a 5.6 Zoom a F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no.
Resul a lógico que en la mayo ía de si uaciones, y pa a iempos bajos, que la solución óp ima
sea una ayec o ia di ec a sin Maniob as de Espacio P o undo. Es a si uación se p oduce po la
conside ación de p oblema plano. Es en un caso idimensional donde se explo an las en ajas de
ealiza Maniob as in e medias, pe mi iendo cambios de plano a meno cos e ( éase la Sección
5.5). Haciéndose én asis en es a p ime a pa e del Capí ulo en el p oblema plano, se an a analiza
algunas de las soluciones que apa ecen como mejo es pa a la misión plan eada en cie os iempos de
uelo, de e minando el po qué. También se a a busca si alguna misión mejo a en
∆VT
al mínimo
ob enido en el caso sin maniob as.
An es sin emba go de p ocede a es os análisis, con iene eco da uno de los incon enien es (o
en ajas según se mi e) de los algo i mos gené icos: su esul ado cambia cada ez que se lanza. Po
ello se decide epe i el F en e de Pa e o pa a ene una compa a i a y alida los esul ados. Se
ap o echa que la elocidad alcanzada pa a gene a los es adecuada, y se incluye la posibilidad de
has a cua o Maniob as de Espacio P o undo (Figu as 5.7, 5.8 y 5.9).
68 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
Figu a 5.7 F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no.
En la Figu a 5.7 ( iempo de p ocesamien o de 10 ho as y media) puede comp oba se que la
o ma del F en e de Pa e o es simila a la ob enida en la Figu a 5.5, alidándose los esul ados.
Se ap ecia de nue o la endencia cla a de las misiones sin impulsos in e medios (Figu a 5.8), y
ap oximadamen e a pa i de los 3000 días de uelo comienzan a se mejo es aquellas con Maniob as
de Espacio P o undo (en es e caso es o sucede pa a iempos de meno alo que en la Figu a 5.5,
puede comp oba se que es debido a que las misiones que mejo an en es os p ime os casos son las
de 3 impulsos in e medios, an es no conside adas).
Figu a 5.8 Tendencia de misiones sin MEP en F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no.
Se uel e aho a a amplia la g á ica en la Figu a 5.9 pa a selecciona las misiones que pueda
esul a de in e és analiza en de alle. Se ha decidido ambién uni las soluciones no dominadas.
La p ime a solución de in e és es la misión con dos Maniob as de Espacio P o undo y
TV=6935
JD, que esul a se la que meno
∆VT
p esen a en el F en e de Pa e o:
12.5709
km/s en e a los
12.6606
km/s de la ipo Hohmann. Las di e encias son mínimas pe o es in e esan e aún así e qué
ca ac e iza a es a misión.
5.2 Misión Tie a-Sa u no 69
Figu a 5.9
Zoom a F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no con echa de lanzamien o en e
el 1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025.
Figu a 5.10 Solución con 2 MEP pa a TV=6935 JD. Salida el 6 de No iemb e de 2024.
La solución que se ha alcanzado y puede ap ecia se
4
en la Figu a 5.10 es in e esan e, consis e
en ealiza algo pa ecido a la ans e encia de Hohmann: en a en la ó bi a que ca ac e iza a es a
maniob a y el sa éli e espe a en ella es semipe iodos has a encon a se con Sa u no. El hecho
de que la misión sea lige amen e más económica que el mínimo encon ado pa a ce o impulsos
in e medios es po el hecho de habe ijado los iempos, po casualidad los 6935 JD en los que
se desa olla es a misión es án más p óximos a es semipe iodos de Hohmann de lo que es á la
4
Se ep esen an las ó bi as implicadas a escala, con los ejes en Unidades As onómicas. La línea con inua pa a las
ó bi as plane a ias indica lo eco ido po el plane a en cues ión desde la echa de salida has a la de llegada. La línea
discon inua neg a señala la ayec o ia seguida po el sa éli e. No ese la baja excen icidad de las ó bi as plane a ias,
pe o no nula.

70 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
solución sin MEP de un semipe iodo, ap oximándose po an o más la ó bi a a la ipo Hohmann. Es
cu ioso sin emba go la di e encia en e la solución conside ando es e núme o de maniob as con
la di ec a, pe o la explicación es sencilla: el P oblema de Lambe p og amado no con empla la
posibilidad de múl iples e oluciones. En la solución alcanzada los impulsos in e medios pod ían
conside a se nulos. Sin p e ende lo, modela a ios impulsos ha solucionado un p oblema ni an
siquie a conside ado como es la posibilidad de pe manece en una ó bi a de ans e encia un iempo
mayo a su pe íodo.
O a solución in e esan e pa a mi a más a ondo es la única de cua o maniob as que no es á
dominada, la que se co esponde con
TV=8760
JD. En es e caso la misión cons a una p ime a ase
de espe a en una ó bi a elíp ica pa a luego ce cano al pe iapsis de es a ó bi a ealiza el sa éli e
una úl ima maniob a que cambia la ayec o ia pa a hace lo llega has a Sa u no. Es ealmen e
sa is ac o io el hecho de que el algo i mo de e mine el momen o exac o en el que debe ealiza se el
úl imo impulso pa a que es e sea más e icien e5.
Figu a 5.11 Solución con 4 MEP pa a TV=8760 JD. Salida el 3 de Ene o de 2024.
Es a es una solución que se epi e en la p ác ica o alidad del F en e de Pa e o pa a las soluciones
no dominadas a pa i del momen o en el que la di ec a sin maniob as deja de se en able. Se
ealiza una espe a (denominada phasing) has a cuad a que el iempo es an e de misión sea lo más
p óximo al semipe iodo de la maniob a ipo Hohmann, en es e ins an e, es ando el sa éli e en el
pe iapsis de la ó bi a de espe a, se ealiza un úl imo impulso pa a alcanza al plane a de des ino.
Es e p oceso se ilus a bien con la solución de 1 MEP pa a
TV=4015
JD ep esen ada en la Figu a
5.12, ealizando la Maniob a de Espacio P o undo unos 2121 días as el lanzamien o. En la Figu a
5.13, solución no dominada, se puede ap ecia o o ejemplo.
5Las maniob as en pe iapsis p oducen pa a un mismo ∆VTun mayo cambio en el amaño de la ó bi a.
5.2 Misión Tie a-Sa u no 71
Figu a 5.12 Solución con 1 MEP pa a TV=4015 JD. Salida el 3 de Agos o de 2024.
Figu a 5.13 Solución con 2 MEP pa a TV=5840 JD. Salida el 22 de Sep iemb e de 2024.
T as analiza en de alle las soluciones es posible in e p e a co ec amen e el F en e de Pa e o.
Pa a un p oblema plano en el que ambos plane as o bi an en ó bi as casi ci cula es, la solución óp i-
ma siemp e que se pueda alcanza es la ans e encia de Hohmann. Pa a iempos meno es al iempo
ca ac e ís ico de es a ans e encia las soluciones no pueden se o as que hipé bolas o pa ábolas (la
ó bi a de la ans e encia de Hohmann es la elipse de meno amaño que une dos ó bi as ci cula es),
en cuyo caso sigue siendo mejo dos únicos impulsos (sin Maniob as de Espacio P o undo). A pa i
de es e iempo de uelo, el óp imo oscila en o no al alo de una ans e encia si ue an las ó bi as
pe ec as ci cun e encias, consiguiendo es o haciendo uso de a ias maniob as pa a ealiza espe as
72 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
c eando la opo unidad pe ec a pa a enlaza con el plane a de des ino en una maniob a de Hohmann.
Las Maniob as de Espacio P o undo po an o se limi an en el p oblema plano (al menos en la
p ime a misión plan eada) a c ea el mejo escena io posible pa a una ans e encia elíp ica de un
solo amo. Es a conclusión se puede obse a ambién el abajo de o os au o es [
1
], donde se
busca con las maniob as op imiza un Rendez ous en e dos ó bi as geocén icas que compa en
plano o bi al (en es e caso Maniob as de Espacio P o undo no se ía un nomb e adecuado).
No quie e deci la conclusión a la que se ha llegado que el uso de MEP ca ezca de u ilidad en el
p oblema plan eado exis iendo la posibilidad de ealiza una ans e encia di ec a ipo Hohmann,
pues en ocasiones, po uno u o o mo i o no se puede lanza en la echa co ec a que lo consigue o
pa a el iempo de uelo que la es ablece. Además, se pueden plan ea escena ios in e esan es que
en abilicen una misión an lejana como es a Sa u no ealizando alguna ap oximación a un pun o
in e medio que esul e de in e és y eg esando a la Tie a pa a ansmi i de mane a más e icien e
los da os (o de mayo peso), pa a con inua luego su iaje has a su plane a des ino, odo ello al
mismo cos e que hubie a supues o i di ec amen e (cualquie a de las soluciones p esen adas pod ía
a ende a es e escena io).
5.2.1 Análisis de explo ación en gene ación de F en e de Pa e o (Tie a-Sa u no)
Pa a e mina con es a p ime a misión, a modo de comp obación de cómo de bien o mal ha uncio-
nado el algo i mo gené ico en lo ela i o a la explo ación, y e i ica una ez más la alidez del ajus e
de los Pa áme os de Con ol pa a el p oblema (que ya han dado buenos u os en cuan o a iempo de
cómpu o se e ie e), se ep esen a en la g á ica de la Figu a 5.14 pa a los dis in os casos calculados la
di e encia en e el óp imo encon ado po el algo i mo gené ico y el e inado después po
@ mincon
.
En es a ep esen ación puede comp oba se que las di e encias son inexis en es pa a el caso de
meno núme o de a iables, y an aumen ando de o ma gene al a medida que inc emen an en
núme o. No ha de so p ende las di e encias de has a 10 km/s que se pueden alcanza en ocasiones,
es o no implica que el óp imo alcanzado no sea el global (un buen ejemplo de es o es que la solución
en la que exis e mayo disc epancia, la de 2 MEP pa a
TV≈8400
JD, pe enece a las soluciones
óp imas del F en e de Pa e o). Algo que puede pa ece e iden e pe o aún así es impo an e ecalca
es que el e inado (usado en el F en e de Pa e o) no ha empeo ado las soluciones en ningún caso.
Figu a 5.14
Di e encias en e soluciones alcanzadas po uso único de algo i mo gené ico y las
e inadas (Tie a-Sa u no).
5.3 Misión Tie a-Me cu io 73
5.3 Misión Tie a-Me cu io
El siguien e escena io a analiza se á una misión Tie a-Me cu io (bidimensional). La explo ación
hacia es e plane a in e io es amosa po sus al os cos es, analiza la en es e abajo esul a de in e és
al in oluc a al plane a más ce cano al Sol, di e enciándose de la misión an e io y pe mi iendo
explo a más la u ilidad de las Maniob as de Espacio P o undo. La con igu ación escogida pa a la
misión es la siguien e:
•
Fechas de lanzamien os comp endidas en e el 1 de Ene o de 2024 y 1 de Ene o de 2025. En
es e caso la excen icidad de la ó bi a de Me cu io es mayo , pe o la ce canía con la Tie a
hace que un año sea su icien e pa a e alua mul i ud de casos de con igu aciones iniciales.
•Ó bi a de apa camien o inicial e es e a una al u a de 100 km.
•Ó bi a inal a un adio de 9758.8 km (cua o eces el adio de Me cu io).
•
Tiempos de Vuelo pa a la gene ación del F en e de Pa e o que comp enden desde un 30 días
has a los 7 años y medio. Los iempos han sido escogidos así pa a explo a an o iempos que
incluyan a esías hipe bólicas como aquellos muy supe io es donde en una e olución sea
ine icien e ealiza la ans e encia.
El caso que se es udia aho a es más complejo a ni el compu acional. La mayo ce canía de
las ó bi as en gene al al Sol hace que los iempos de búsqueda de la solución aumen en po el
mayo e ec o de las a iables en la misma. En un caso como es e el algo i mo gené ico es capaz
de demos a que, an e la g an di e encia de la o ma de misiones, siendo el p oblema en cues ión
el mismo, puede encon a un óp imo global (o al menos mejo que el que apo a ía un mé odo
con encional).
T as lanza el p og ama y con un iempo de p ocesamien o de unas 17 ho as, conside ando la
posibilidad de has a cua o Maniob as de Espacio P o undo, se ob iene el F en e de Pa e o de la
Figu a 5.156.
Figu a 5.15
F en e de Pa e o pa a una misión Tie a-Me cu io con echa de lanzamien o en e el 1
de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025.
6
Se ecue da que los esul ados ep esen ados se co esponden al uso de algo i mo gené ico p opio con pos e io e inado
median e el uso de @ mincon.
80 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
La peculia o ma de es a cu a se explica si se analiza el Po kchop plo del p oblema plano de la
misión Tie a-Ma e en e las echas escogidas. En la Figu a 5.25 se expone es e esul ado, donde
se puede ap ecia que la o ma que adop a es más pa ecida a la que pod ía ob ene se al analiza se el
p oblema idimensional, casi ap eciándose dos ipos de mínimo dis in os.
Figu a 5.25
Po kchop plo del
C3T
pa a una misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el
1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025.
Figu a 5.26 Solución con 0 MEP pa a TV=307 JD. Salida el 3 de Oc ub e de 2024.
Como de cos umb e se pasa aho a a analiza aquellas soluciones no dominadas más ca ac e ís icas
del F en e de Pa e o. Des aca que la solución que log a un mínimo
∆VT
(de alo
∆VT=5.4039
km/s) se co esponde con una sin Maniob as de Espacio P o undo pa a
TV=307
días, p óximo al
iempo de uelo de la misión Cu iosi y (di e encia p incipalmen e causada po la conside ación
de p oblema plano y echas de lanzamien o posibles). Como e a de espe a , en la Figu a 5.26 se

5.4 Misión Tie a-Ma e 81
ap ecia que es a solución se co esponde con una maniob a simila a la ipo Hohmann enlazan-
do con Ma e en el apohelio de su ó bi a (la ó bi a de Ma e iene una excen icidad no desp eciable).
A pa i de es e mínimo, en o no los 400 días de iempo de uelo, las misiones sin impulsos
in e medios dejan de se en ables. En la Figu a 5.27 puede comp oba se que dominan las soluciones
con una única maniob a in e media en la p ác ica o alidad del F en e, c eando una endencia en las
soluciones no dominadas bien de inida y algo dis in a a la de los casos an e io es, no alcanzándose
en es e ese mínimo en o no al cual se oscilaba en las misiones Tie a-Sa u no o Tie a-Me cu io.
Supe ados los 600 días de uelo, las soluciones con mayo núme o de maniob as comienzan a cob a
mayo impo ancia, si bien es o es en ocasiones como ya se ha comen ado po el uncionamien o
del algo i mo (siendo algunas MEP p ác icamen e nulas o pequeñas co ecciones inales).
Figu a 5.27
Zoom a F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el
1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025.
An e la duda de si el Pa áme o de Con ol elacionado con la ole ancia pudie a es a jugando un
papel pe judicial en es a simulación po se del mismo o den de magni ud que el óp imo, se decide
epe i el F en e de Pa e o bajando la ole ancia ( educiendo el núme o de pun os calculados, sólo
como comp obación) pa a co obo a que los esul ados no es án siendo malin e p e ados debido a
un mal uncionamien o del algo i mo gené ico.
Figu a 5.28
F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025, con TOL =1.
82 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
En la Figu a 5.28 se obse a que la disminución en el Pa áme o de Tole ancia no ha a ec ado
a la o ma que oma la cu a de inida po las soluciones no dominadas, a excepción del úl imo
amo donde se han encon ado algunas soluciones mejo es
9
. Los iempos sin emba go se han casi
duplicado, de unas 6 ho as de p ocesamien o pa a la Figu a 5.27 a 10 ho as en gene a el segundo
con meno ole ancia (habiéndose e aluado 50 casos menos). No ha de ex aña la di e encia en
el núme o de MEP pa a algunos iempos en e ambos F en es de Pa e o, los iempos de cálculo
no son exac amen e los mismos, y aún si lo ue an se ecue da que la solución no es ija pa a
un algo i mo me aheu ís ico (además de la posibilidad de una solución con más maniob as ene
alguna de ellas de alo nulo). Demos ada que la o ma del F en e de Pa e o no es debida a un
desajus e en el algo i mo, se p ocede a analiza algunas soluciones, que se oma án de la Figu a 5.27.
En ambos en es se obse a as una endencia c ecien e con 1 MEP un segundo mínimo en
la cu a, co espondien e con
TV=846
días (y
∆VT=5.8931
km/s) y en la Figu a 5.27 pa a 2
MEP. La solución se co esponde con una ans e encia di ec a has a la ó bi a plane a ia de Ma e,
añadiendo un phasing pa a alcanza luego en es e mismo pun o al plane a des ino. Se puede ap ecia
que la maniob a de phasing no es excesi amen e cos osa en es e caso y educe el impulso necesa io
de es ablecimien o en la ó bi a de apa camien o inal si se compa a con la Figu a 5.26, con lo que el
inc emen o o al de impulso necesa io espec o a es a no es excesi o.
Figu a 5.29 Solución con 2 MEP pa a TV=846 JD. Salida el 29 de Julio de 2024.
O a solución in e esan e pa a analiza es la que se co esponde con lo que apa en a se un máximo
local del F en e de Pa e o. Se a a de la solución pa a
TV=556
días con 1 MEP, que consigue
∆VT=6.7126
km/s. Se co esponde con una ans e encia bielíp ica, que consigue llega al plane a
des ino en dos a cos de medias elipses. Es e ipo de ans e encias es óp ima en un p oblema plano
de ans e encia en e dos ó bi as ci cula es pa a una elación en e sus adios mayo a
15.58
[
12
]. En
es a misión donde dicha elación no se cumple, puede comp oba se que no supe a a la ans e encia
9
La ole ancia no es di ec amen e el e o que se come e con espec o al óp imo, se ecue da que es un pa áme o que
in e iene en la decisión de pa ada del algo i mo y es á elacionado con los alo es que se an alcanzando en las
gene aciones pa a la Función Obje i o de odos los indi iduos, po lo que depende sus ancialmen e ambién del núme o
de población.
5.4 Misión Tie a-Ma e 83
di ec a simila a ipo Hohmann, pe o que sí esul a se la mejo opción pa a una con igu ación
an pe judicial como la que se obse a en la Figu a 5.30, es ando los plane as en la salida y en la
llegada p ác icamen e alineados (y no opues os espec o al Sol), siendo pa a es e iempo de uelo
ap oximadamen e donde se alcanzan alo es máximos en
∆VT
pa a la misión sin MEP (Figu a 5.24).
Figu a 5.30 Solución con 1 MEP pa a TV=556 JD. Salida el 27 de Agos o de 2024.
Pa a e mina , se mues a la solución co espondien e a
TV=1012
días con 4 MEP, in e esan e
po mos a la u ilidad de un g an núme o de maniob as en es e caso ninguna de ellas nulas pe o
odas de pequeño alo , log ando un esul ado inal de ∆VT=6.2078 km/s.
Figu a 5.31 Solución con 4 MEP pa a TV=1012 JD. Salida el 21 de Agos o de 2024.
84 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
T as los análisis se puede conclui en que la ce canía de ambos plane as hace de las soluciones sin
impulsos in e medios una opción muy es ingida, delimi ada a unos iempos de uelo y echas muy
conc e os. Las MEP mejo an no ablemen e el gas o de combus ible en el es o de si uaciones aunque
no consigue man ene el mínimo en el mismo en o no al igual que ocu ía en las dos simulaciones
an e io es. Más de alles sob e es a misión se mues an pa a el caso idimensional en la Sección 5.5.
5.4.1 Análisis de explo ación en gene ación de F en e de Pa e o (Tie a-Ma e)
Pa a ce a la sección, se ep esen a de nue o una g á ica compa a i a en e la solución encon a-
da po el algo i mo y la e inada po
@ mincon
. En es a sección se ap o echa además que se ha
ealizado el F en e de Pa e o con dos alo es del Pa áme o de Con ol
TOL
pa a ep esen a ambos
casos y compa a y obse a una ez más el e ec o de es e pa áme o.
En línea con inua pueden comp oba se los alo es ob enidos pa a el ajus e de Pa áme os de
Con ol con el que se ha abajado en las simulaciones an e io es (4.2). Las di e encias pa a es e
caso en e las soluciones alcanzadas po el algo i mo y las e inadas se man ienen en los mismos
má genes que pa a las simulaciones an e io es, alidando el ajus e aún pa a es a misión donde el
en o no del óp imo de ∆VTes meno .
En línea discon inua pueden e se las ob enidas as baja
TOL
a 1. Como puede comp oba se
la explo ación mejo a no ablemen e (a cos a de un al o inc emen o de iempo de p ocesamien o),
disminuyendo en odos los casos las di e encias en e las soluciones encon adas po el algo i mo y
las e inadas a pos e io i.
También ecalca que en es a simulación el e inado no ha empeo ado ninguna de las soluciones
encon adas po el algo i mo.
Figu a 5.32
Di e encias en e soluciones alcanzadas po uso único de algo i mo gené ico y las
e inadas (Tie a-Ma e).
Aunque es e ipo de sucesos pueda pa ece una des en aja del algo i mo, la necesidad de ealiza
comp obaciones cambiando algún pa áme o, no es sino una en aja: la lexibilidad del mé odo.
El óp imo de un p oblema es desconocido an es de su esolución (lógicamen e), po lo que una
ca ac e ís ica bene iciosa de los algo i mos gené icos es la posibilidad de busca lo bajo dis in as
opciones de ajus e como se ha ealizado en es a sección pa a co obo a los esul ados.
5.5 Ampliación a caso idimensional 85
5.5 Ampliación a caso idimensional
Se p ocede aho a a plan ea y esol e una misión conside ando las ó bi as eales de los plane as, es
deci , en un caso idimensional. Se ha decidido escoge pa a es e es udio una misión Tie a-Ma e,
que ilus a adecuadamen e las di e encias con el p oblema plano y es además la más a ac i a a
analiza po los planes de u u o ce cano elacionados con es e plane a. La con igu ación de misión
plan eada es simila a la del caso plano:
•
Fechas de lanzamien os comp endidas en e el 1 de Ene o de 2024 y 1 de Ene o de 2025. El
obje i o es encon a soluciones iables en cualquie época del año, po lo que el ango es
adecuado.
•
Ó bi a de apa camien o inicial e es e a una al u a de 100 km. Se supone con la inclinación
adecuada pa a que la ó bi a de escape de e minada en la solución óp ima sea coplana ia a
es a.
•
Ó bi a inal a un adio de 6779 km (dos eces el adio de Ma e). Al igual que con la ó bi a
inicial, se asume que la inclinación de es a ó bi a inal es la misma que la de la hipé bola de
llegada al plane a.
•
Tiempos de Vuelo pa a la gene ación del F en e de Pa e o que comp enden desde un 100 días
has a los 3 años.
Con la misma con igu ación es ablecida que en el caso plano es posible ap ecia los cambios
que una inclinación media de di e encia en e ambas ó bi as plane a ias de an solo unos
1.85º
es
capaz de p oduci . An es de esol e el p oblema y gene a el F en e de Pa e o, con iene comp oba
la uncionalidad de los p og amas pa a es dimensiones de o ma simila a como se ealizó pa a
el caso bidimensional. Comenzando po la ep esen ación del Po kchop plo pa a las echas de
lanzamien o y iempos de uelo es ablecidos:
Figu a 5.33 Po kchop plo de misión Tie a-Ma e, ep esen ando C3T.
En la Figu a 5.33 puede comp oba se que, si bien la disposición de las zonas de cos e asumible
con una maniob a se encuen an en o no a las mismas echas y con o mas simila es al caso
bidimensional (Figu a 5.25), apa ecen dos mínimos (el alo especi icado en la Figu a 5.33 es
o ien a i o) elacionados con las ans e encias Tipo I yTipo II debido a la di e encia de inclinación
de las ó bi as, como puede ocu i en casos eales (po ejemplo en la Figu a 5.1). Es in e esan e e

86 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
qué ca ac e iza es os dos ipos de ans e encia, po ello se p ocede a su búsqueda con el algo i mo
gené ico, comp obando así su co ec o uncionamien o jun o al del es o de p og amas10.
Figu a 5.34 T ans e encia Tipo I, con echa de salida el 29 de Oc ub e de 2024, TV=270 días.
Figu a 5.35
T ans e encia Tipo II, con echa de salida el 29 de Sep iemb e de 2024,
TV=350
días.
Como se puede comp oba , la p oyección en el plano es casi idén ica, sin emba go no lo son sus
cos es ni la inclinación del plano de la ó bi a de ans e encia. Se puede ap ecia una di e encia de
en o no a 1 km/s en e ambas soluciones. Es e suceso es na u al, y dependiendo de las echas de
es udio un ipo supe a en en abilidad al o o, siendo en el año de es udio más económico el Tipo II
(solución len a). Es impo an e acla a que se es á suponiendo en las ep esen aciones an e io es
ó bi a inicial y de apa camien o inal aco de a la con igu ación de misión, es deci , coplana ias a la
hipé bola de salida y de llegada espec i amen e, lo que hace que el mínimo en
∆VT
se p oduzca
10
En las ep esen aciones de soluciones la is a idimensional no man iene la escala pa a que se ap ecien mejo las
di e encias de inclinación en e las dis in as ó bi as. Su obje i o es ilus a di e encias.
5.5 Ampliación a caso idimensional 87
donde se p oducen los de
C3T
. De no se así, la inclinación de llegada juga ía un papel undamen al
en la de e minación del óp imo.
Ve i icado el uncionamien o de los p og amas que in e ienen, se p ocede a ob ene el F en e
de Pa e o pa a la misión. Aún educiendo a 20 Tiempos To ales de Vuelo e aluados, el iempo de
p ocesado asciende a las 17 ho as y media. Como ya se ha comen ado en alguna ocasión, libe a
la hipó esis bidimensional no sólo aumen a el núme o de a iables sino ambién la complejidad
del p oblema, haciendo que el cambio en cualquie a de es as a iables enga mayo e ec o sob e la
Función Obje i o.
Figu a 5.36
F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025, p oblema idimensional.
De nue o y ambién pa a el caso idimensional, se obse a una endencia pa a las misiones sin
impulsos in e medios, que suponen las soluciones óp imas pa a iempos co os. A pa i de los 450
días ap oximadamen e es e ipo de soluciones es á dominada po aquellas que con ienen Maniob as
de Espacio P o undo.
Figu a 5.37
Zoom a F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el
1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025, p oblema idimensional.
88 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
La o ma de la cu a de soluciones no dominadas ob enida se asemeja en cie o modo la que
apa ece en el p oblema plano, con dos di e encias undamen ales: el cos e en gene al aumen a pa a
oda la cu a, y la zona de soluciones MEP óp imas se man iene más plana en o no a un mismo
alo de
∆VT
. La p ime a de las di e encias iene ápida explicación, eside en la di e encia de planos
o bi ales en e los dos plane as in oluc ados. La necesidad de u iliza maniob as pa a cambia de
plano no solo enca ece la misión sino hace menos ap o echable la elocidad del plane a de salida
en algunos casos, como los que no p esen an impulsos in e medios.
Como has a aho a, se p ocede a analiza algunas de las soluciones no dominadas pa a de e mina
qué hace que el alo de
∆VT
oscile en o no a un alo de unos 8-9 km/s pa a iempos supe io es a
los 500 días. Comenzando po analiza la solución con 1 MEP pa a
TV=519
días, en la Figu a
5.38 puede ap ecia se una solución in e esan e.
Figu a 5.38 Solución con 1 MEP pa a TV=519 JD. Salida el 2 de Ma zo de 2024.
Si se compa a la solución con la de las Figu as 5.34 y 5.35, puede comp oba se que el impulso
in e medio a a de p o oca una si uación simila a una ans e encia Tipo II. El p ime impulso (el
que se ealiza en la ó bi a de apa camien o inicial) iene como único obje i o escapa de la es e a
de in luencia e es e median e una pa ábola, pe maneciendo después en la ó bi a del plane a has a
el momen o opo uno de ealización de la Maniob a de Espacio P o undo. Se puede demos a de
hecho, que con las condiciones de la ó bi a inicial, el impulso necesa io pa a escapa de la in luencia
e es e median e una pa ábola es:
∆V1= 2µ⊕
6468.14 − µ⊕
6468.14 =3.2491 km/s.(5.1)
Es e p ime impulso pod ía pe ec amen e habe se aho ado y combinado con la Maniob a de
Espacio P o undo dando luga a una si uación simila a la de la Figu a 5.35, pe o en onces no se
co esponde ía con una misión del iempo de uelo designado. Es e esul ado es un indica i o de
la en aja de espe a a lanza en la echa opo una, consiguiendo llega en la misma echa inal
(obsé ese la posición de Ma e en ambas soluciones) a un cos e meno . Es a solución se epi e en
a ios casos de las soluciones no dominadas, en ocasiones cuando no es posible cuad a bien el
p ime impulso in e medio (la solución ambién apa ece pa a más de una MEP no nula) una lige a
modi icación como la del caso que se ap ecia en la Figu a 5.39 esul a más e ec i a.
5.5 Ampliación a caso idimensional 89
Figu a 5.39 Solución con 1 MEP pa a TV=624 JD. Salida el 1 de Ene o de 2024.
No odas las soluciones no dominadas se co esponden sin emba go con es a o ma de ayec o ia,
no posible cumpli con acilidad pa a iempos supe io es. Pa a
TV=728
días se obse a en la
solución no dominada de 3 MEP un cambio de plano que se ejecu a en el segundo impulso in e medio,
más alejado del Sol pa a aba a a dicha maniob a (Figu a 5.40).
Figu a 5.40 Solución con 3 MEP pa a TV=728 JD. Salida el 8 de Ma zo de 2024.
Pa a iempos aún más ele ados es a solución se mezcla con algún phasing de espe a en alguna
de las ó bi as de ans e encia. Es el caso de la solución de 2 MEP pa a
TV=938
días, que p esen a
el mayo alo de las soluciones no dominadas con
∆VT=9.5309
km/s (Figu a 5.41); o la solución
pa a TV=1043 días con 4 MEP (Figu a 5.42).
96 Capí ulo 5. Simulaciones y esul ados
La can idad de da os se debe a que en es e a ículo el p ocedimien o de op imización abo dado es
dis in o, y equie e de un mallado en los iempos de uelo y ba ido sob e el mismo. Lanzando el
algo i mo gené ico c eado en conjun o al e inado , se ob iene el F en e de Pa e o de la Figu a 5.52.
Figu a 5.52 Op imización Global de una misión Tie a-Ma e.
Si se compa an las Figu as 5.52 y 5.51 pueden comp oba se las simili udes, pe o ambién di-
e encias en el amo inal del F en e de Pa e o. Es as di e encias no deben so p ende , se deben
p incipalmen e a la di e encia en e las ó bi as iniciales y inales (p incipalmen e po la no necesidad
de ealiza un cambio de plano en la llegada), sumadas a la libe ad en la simulación ealizada de
elegi cualquie Tiempo de Vuelo To al en el ango pe mi ido. En [
6
], los au o es exp esan que
Because we sea ch in a g id, ins ead o andomly e alua ing poin , he poin s on Figu e 5.51 seem
ac ually o de ed. The e is howe e li le chance we miss good poin s in his sea ch space acco ding
o he smoo h shape o he Pa e o on . (Dado que hemos buscado en un espacio disc e o, en luga
de e alua alea o iamen e pun os, los da os en la Figu a 5.51 pa ecen e dade amen e o denados.
Hay sin emba go poca p obabilidad de habe pe dido buenas soluciones en el espacio de búsqueda
aco de a la o ma sua e del F en e de Pa e o.). No obs an e, du an e el desa ollo de es e abajo
ya se ha demos ado que el Tiempo de Vuelo juega un papel c ucial en el cos e o al de la misión,
aunque pocas di e encias en es e iempo no supongan cambios en el esul ado del o den del óp imo,
sí que pueden p o oca lo del o den de las di e encias ap eciadas.
Pasando a analiza qué soluciones componen es e nue o F en e de Pa e o, en la Figu a 5.53 puede
ap ecia se que du an e un ango conside able de echas las soluciones sin MEP dominan, pe o que
du an e las p ime as echas quedan muy po encima de las soluciones de 2 MEP. Du an e es e amo
ambién las soluciones de un único impulso in e medio mejo an a las ans e encias sin MEP.

5.6 In luencia de la echa de salida. Compa ación con o os au o es 97
Figu a 5.53 F en e de Pa e o en en ando Fecha de Salida y Cos e To al (Tie a-Ma e, 3D).
Pa a da inaliza el capí ulo de simulaciones, esul a in e esan e ep esen a el mismo F en e de
Pa e o en en ando de nue o Fecha de Lanzamien o y Tiempo To al de Vuelo.
Figu a 5.54
F en e de Pa e o en en ando Fecha de Salida y Tiempo de Vuelo To al (Tie a-Ma e,
3D).
En la Figu a 5.54 se puede comp oba que las opciones que minimizan cos es con el uso de MEP
ala gan los iempos de misión, esul ado que concue da con las simulaciones con Fecha de Salida
lib e y Tiempo de Vuelo ijado.
6 Conclusiones y abajo u u o
6.1 Conclusiones
T as el desa ollo del abajo cabe e lexiona sob e los dos in e eses p incipales del mismo: la
u ilidad de los algo i mos gené icos en el ámbi o aplicado, y la in luencia de las Maniob as de
Espacio P o undo en las ayec o ias in e plane a ias.
Respec o al p ime pun o, no cabe duda que el uso de algo i mos gené icos o ece buenos esul-
ados, que sumado a un mé odo de e minis a auxilia pa a mejo a la explo ación supe a o como
mínimo iguala a los mé odos de op imización adicionales. En cuan o a la cues ión de si me ece
la pena en cuan o a iempos de p ocesamien o y complejidad de p og amación la espues a puede
conlle a con o e sia. Si bien el mé odo pa ece complejo en su desc ipción, su p og amación en
un lenguaje de al o ni el como puede se
MATLAB
es asequible pa iendo de unos conocimien os
básicos, y su g an adap abilidad y obus ez en abilizan el es ue zo. Los iempos de cómpu o, po
o o lado, es cie o que son ele ados, y o os mé odos pueden llega a o ece los mismos esul ados
más ápidamen e. La en aja p incipal del uso del algo i mo gené ico eside sin emba go en la no
necesidad de conoce a ondo el p oblema pa a esol e lo. Mien as la mayo ía de es os mé odos
al e na i os equie en de una es imación inicial su icien emen e buena que equie e la esolución
(al menos pa cial) del p oblema o uno simila , el uso de algo i mos gené icos no equie e más que
la Función Obje i o y las es icciones pa a de o ma au ónoma alcanza el óp imo global (como
siemp e, con la iabilidad que pe mi e asegu a que se ha encon ado). La he amien a en cues ión
que se ha pues o a p ueba en es e abajo iene aún mucho po encial que mos a , el iempo es
el cos e de su uso pe o el alcance de la misma es mucho menos limi ado que el de los mé odos
de e minis as, pe mi iendo añadi g an complejidad al p oblema plan eado sin eque i g andes
cambios en su manejo (más allá del eajus e de los Pa áme os de Con ol).
En cuan o al uso de Maniob as de Espacio P o undo, queda demos ado que su pueden esul a
una g an en aja, pe o son si uacionales y en ningún caso de los es udiados suponen una mejo a
en iempos y cos es a la ez a la ans e encia sin impulsos in e medios (siemp e y cuando, cómo
se ha hecho én asis, la Fecha de Salida no sea una es icción limi an e). Suponen sin emba go
una solución idónea pa a la educción de cos es pa a Tiempos de Vuelo To ales la gos, pa a una
g an ho quilla de Fechas de Lanzamien o, y pa a gene a ayec o ias que pudie an saca una mayo
en abilidad cien í ica a la misión. Exis en o a se ie de escena ios capaces de saca a eluci la
en aja de uso de las MEP que no se han analizado en es e abajo, como po ejemplo el Rendez ous
en una misma ó bi a, una ans e encia esqui ando obs áculos du an e el ayec o, pa a ó bi as de
apa camien o inicial y inal con una inclinación de e minada, pa a enlaza plane as y busca una
99
100 Capí ulo 6. Conclusiones y abajo u u o
ayec o ia apoyada en el uso de Maniob as Asis idas po G a edad...
En esumen, los obje i os de in es igación del p oyec o se han cumplido sa is ac o iamen e,
aunque siendo c í ico se pod ía habe espe ado una mayo mejo a del P oblema de Op imización
con el uso de MEP y la u ilización del algo i mo gené ico, lo cie o es que los esul ados mos ados
con i man el buen uncionamien o de los p og amas c eados y plan eamien o del p oblema, y
además de o ece un abanico de soluciones sob e el que decidi , ab en un mundo de posibilidades
en la op imización de las ayec o ias in e plane a ias en es a p ime a e apa de op imización bajo
hipó esis.
6.2 T abajo u u o
Lo que en es e abajo se ha ealizado sien a unas bases sólidas sob e las que segui cons uyendo en
pos de alcanza una ayec o ia (o un mapa de posibilidades de ellas) que cumpla odos los equisi os
que se es ablezcan pa a ella. Quedan muchas posibilidades a añadi y ene en conside ación de
ca a a log a es e obje i o, en es a línea las p opues as u u as de ca a a mejo a el p opio P oblema
de Op imización se ían:
•
Inclusión en el p oblema de Maniob as Asis idas po G a edad. Es e ipo de maniob as en el
que no se ha en ado en de alle du an e la memo ia (pues quedan ue a del alcance del p oyec o)
o ecen posibilidades de mejo a en
∆VT
mucho mayo es a las alcanzadas con Maniob as de
Espacio P o undo. Su uso, sin emba go, es limi ado y equie e de con igu aciones iniciales
idóneas, y es en es e escena io donde las Maniob as de Espacio P o undo cob an un papel
p o agonis a ampliando la en ana de lanzamien o y las posibilidades exis en es.
•
Mayo es es icciones en las ó bi as de apa camien o inal e inicial. La p opues a de una misión
eal mejo de inida que las simulaciones que se han hecho pa a in es iga los obje i os del
p oyec o pod ían a oja nue os e in e esan es esul ados, po ejemplo ijando una inclinación
conc e a en alguna de es as ó bi as.
•
Modelización de la ase de lanzamien o. Es cie o y como ya se ha comen ado que es e
p oblema cons i uye o o P oblema de Op imización en sí mismo, pe o es innegable la
necesidad de educción de cos es en es a e apa. Se ía in e esan e pode op imiza pa a cada
si uación ambos p oblemas que es án elacionados al unísono.
•
Conside ación del p oblema con bajo empuje. Los mo o es eléc icos son ya en la ac ualidad
una al e na i a más que p ome edo a, pe o su uso no pe mi e una modelización del p oblema
con impulsos ins an áneos.
Po o o lado, el algo i mo gené ico c eado si bien ha esul ado se e icien e, obus o, y a oja
buenos esul ados, aún iene ma gen de mejo a. P opues as u u as pa a mejo a el p og ama se ían:
•
Reducción del núme o de Pa áme os de Con ol. El ajus e puede esul a un p oceso la go po
la in e elación en e las a iables. Siguiendo el camino de
NSGA-II
, se ía in e esan e educi
el núme o de pa áme os que in e ienen en el algo i mo de ca a a hace lo más manejable y
pe mi i un ajus e más ápido an e un cambio de Función Obje i o.
•
Reducción de iempos. Si bien se ha log ado un algo i mo ápido en compa ación al gené ico
de e e encia (
@ga
), aún es posible educi más los iempos. El uso de la he amien a
pa o
de MATLAB puede se in e esan e de implemen a , pe o eque i ía cambios en el algo i mo.
•
Cambia el algo i mo de esolución del P oblema de Lambe u ilizado. Se ha comp obado
que g an pa e del iempo de p ocesamien o se consume en la esolución del P oblema de
Lambe , po lo que escoge o o más ápido es una opción más que con enien e.
Apéndice A
Código Algo i mo Gené ico
Desa ollo del algo i mo gené ico en MALTAB
1%Algo i mo Gene ico
2%--------------------------------------------------------------------------
3 unc ion [xsol,Jsol,Summa y]=GA_nDSM_TFG(PC,nPop,n a s,Fobj,A,b,UB,LB)
4%PC ecoge los pa ame os de con ol del algo i mo, son sus opciones
5%-PC(1)=Nume o maximo de gene aciones
6%-PC(2)=Tole ancia en la solucion op ima
7%-PC(3)=E núme o de eli es
8%-PC(4)=P obabilidad de con e i se en p ogeni o
9%-PC(5)=P obabilidad de mu a
10 %-PC(6)=Pa ame o e a_c
11 %-PC(7)= , pa icipan es del o neo
12 %-PC(8)=sigma, a ianza de la No mal en Mu acion
13 %-PC(9)=P obabilidad de que mu e un gen
14 %-PC(10)=Nume o de c uces alea o ios
15 %--------------------------------------------------------------------------
16 %Decla acion de a iables pa a acele a p oceso:
17 Eli e(PC(3),1:n a s+1)=0;
18
19 %Gene acion y e aluacion de poblacion alea o ia inicial:
20 %(la ul ima columna almacena el alo de la uncion obje i o pa a el
21 %indi iduo que con o ma la ila)
22 PopX=GenAlea o io(nPop,n a s,A,b,UB,LB,Fobj);
23 Summa y=PopX;
24 %Eli e inicial:
25 PopN=PopX;
26 o ii=1:PC(3)
27 [~,ind]=min(PopN(:,end));
28 Eli e(ii,:)=PopN(ind,:);
29 PopN(ind,:)=[];
30 end
31 %--------------------------------------------------------------------------
32 %Comienza p oceso i e a i o:
33 N=1; TOL=100;
34 while N<PC(1) && TOL>PC(2)
35 %C uce:
36 p =0; %Bande a auxilia
37 dd=0; %Nume o de descendien es
38 PopD(1:nPop,1:n a s+1)=0; %Espacio pa a descendien es (po apidez)
39 o ii=1:nPop
40 i and<=PC(4)
41 i p ==0
42 p o1=PopX(ii,1:n a s);
101

102 Apéndice A. Código Algo i mo Gené ico
43 p =1;
44 else
45 p o2=PopX(ii,1:n a s);
46 p =0;
47 PopD(dd+1:dd+2,1:n a s)=C uce(p o1,p o2,PC(6),A,b,LB,UB);
48 dd=dd+2;
49 end
50 end
51 end
52
53 %C uce ex a en e alea o ios
54 o jj=1:PC(10)
55 ind1= andi(nPop,1);
56 ind2= andi(nPop,1);
57 while ind2==ind1
58 ind2= andi(nPop,1);
59 end
60 p o1=PopX(ind1,1:n a s);
61 p o2=PopX(ind2,1:n a s);
62 PopD(dd+1:dd+2,1:n a s)=C uce(p o1,p o2,PC(6),A,b,LB,UB);
63 dd=dd+2;
64 end
65
66 %Mu acion:
67 %Espacio pa a mu an es p o inien es de e aluados(po apidez)
68 PopM(1:nPop-PC(3),1:n a s+1)=0;
69 PopE al=PopN; %Almacena los indi iduos que no es necesa io ol e a e alua
70 mm=0; %auxilia pa a elimina de los e aluados los que mu an (n de mu ados)
71 o ii=1:nPop-PC(3)
72 i and<=PC(5)
73 PopM(mm+1,1:n a s)=Mu acion(PopN(ii,1:n a s),PC(9),PC(8),A,b,LB,UB);
74 PopE al(ii-mm,:)=[];
75 mm=mm+1;
76 end
77 end
78 o ii=1:dd
79 i and<=PC(5)
80 PopD(ii,1:n a s)=Mu acion(PopD(ii,1:n a s),PC(9),PC(8),A,b,LB,UB);
81 end
82 end
83 %Mu acion comple a de indi iduo alea o io
84 Elegido= andi(dd+nPop-PC(3),1,1);
85 i Elegido<=leng h(PopE al(:,1))
86 PopM(mm+1,1:n a s)=Mu acion(PopE al(Elegido,1:n a s),1,PC(8),A,b,LB,UB);
87 mm=mm+1;
88 PopE al(Elegido,:)=[];
89 elsei Elegido>leng h(PopE al(:,1)) && Elegido<=nPop-PC(3)
90 PopM(Elegido-leng h(PopE al(:,1)),1:n a s)=...
91 Mu acion(PopM(Elegido-leng h(PopE al(:,1)),1:n a s),1,PC(8),A,b,LB,UB);
92 else
93 PopD(Elegido-nPop+PC(3),1:n a s)=...
94 Mu acion(PopD(Elegido-nPop+PC(3),1:n a s),1,PC(8),A,b,LB,UB);
95 end
96
97 %E aluacion de los nue os mienb os ( odos menos PopE al y Eli e):
98 o ii=1:dd
99 PopD(ii,end)=Fobj(PopD(ii,1:n a s));
100 end
101 o ii=1:mm
102 PopM(ii,end)=Fobj(PopM(ii,1:n a s));
103 end
104
103
105 %Eli ismo:
106 PopT=[PopE al;PopM(1:mm,:);PopD(1:dd,:);Eli e];
107 o ii=1:PC(3)
108 [~,ind]=min(PopT(:,end));
109 Eli e(ii,:)=PopT(ind,:);
110 PopT(ind,:)=[];
111 end
112
113 %Seleccion:
114 %1-Se ealizan nPop-PC(3) o neos sob e PopT
115 o ii=1:nPop-PC(3)
116 [PopN(ii,1:n a s+1),ind]=To neo(PopT,PC(7));
117 PopT(ind,:)=[];
118 end
119
120 %2-O denados, a o ece c uce en e mejo es
121 [~,s]=so (PopN(:,end));B=PopN(s,:);PopX=[Eli e;B];
122
123 [Jsol,indsol]=min(Eli e(:,end));
124 xsol=Eli e(indsol,1:n a s);
125 TOL=sum(PopX(1:nPop- ound(nPop/5),end))/(nPop- ound(nPop/5))-Jsol;
126 % i n a s>2
127 % igu e(1)
128 % hold on;
129 % plo (N,Jsol,’o ’,’Ma ke Size’,4);
130 % plo (N,sum(PopX(1:nPop- ound(nPop/5),end))/(nPop- ound(nPop/5)),...
131 % ’ok’,’Ma ke Size’,4);
132 % hold o ;
133 % Summa y=[Summa y;[N,ze os(1,n a s-3),dd,0,mm];PopX];
134 % end
135 N=N+1;
136 %Ayuda a la con e gencia en e apa inal
137 i abs(TOL-PC(2))<=1.5*PC(2) || N>PC(1)*4/5
138 PC(7)= 7;
139 end
140 end
141 end
142 %--------------------------------------------------------------------------
143 %--------------------------------------------------------------------------
144 %GENERACION DE POBLACION ALEATORIA:
145 %-Se asume que odas las a iables es an aco adas en e maximos y minimos
146 unc ion PopX=GenAlea o io(nPop,n a s,A,b,UB,LB,Fobj)
147 PopX(1:nPop,1:n a s+1)=0;
148 o ii=1:nPop
149 PopX(ii,1:n a s)=LB+(UB-LB)*diag( and(n a s,1))’;
150 %Comp obacion den o de es icciones
151 while any(A*PopX(ii,1:n a s)’>=b)==1
152 PopX(ii,1:n a s)=LB+(UB-LB)*diag( and(n a s,1))’;
153 end
154 %E aluacion con uncion obje i o
155 PopX(ii,end)=Fobj(PopX(ii,1:n a s));
156 end
157 end
158 %--------------------------------------------------------------------------
159 %--------------------------------------------------------------------------
160 %CRUCE
161 unc ion Desc = C uce(p o1,p o2,e ac,A,b,LB,UB)
162 Desc=2*UB(1)*ones(2,leng h(p o1)); %Fue za en a a i e a
163 con =0;
164 % n a s=leng h(p o1);
165 while (any(A*Desc(1,:)’>=b)==1 || any(A*Desc(2,:)’>=b)==1 || ...
166 any(Desc(1,:)<LB)==1 || any(Desc(2,:)<LB)==1 || any(Desc(1,:)>UB)==1 ||...
104 Apéndice A. Código Algo i mo Gené ico
167 any(Desc(2,:)>UB)==1) && con <1000
168 %-
169 u= and;
170 i u<=0.5
171 be a=(2*u)^(1/(e ac+1));
172 else
173 be a=(1/2/(1-u))^(1/(e ac+1));
174 end
175 Desc=[0.5*((1+be a)*p o1+(1-be a)*p o2);...
176 0.5*((1-be a)*p o1+(1+be a)*p o2)];
177 con =con +1;
178 end
179 i con ==1000 %No se ha encon ado descendien e
180 %Igual a p ogeni o es
181 be a=1;
182 Desc=[0.5*((1+be a)*p o1+(1-be a)*p o2);...
183 0.5*((1-be a)*p o1+(1+be a)*p o2)];
184 end
185 end
186 %--------------------------------------------------------------------------
187 %--------------------------------------------------------------------------
188 %MUTACION
189 unc ion Mu ado=Mu acion(Indi ,pm,sigma,A,b,LB,UB)
190 mu =0; %Va iable bande a, se obliga a al menos una mu acion
191 Mu ado=Indi ;
192 o ii=1:leng h(Indi )
193 u= and;
194 i pm>=u
195 n=no m nd(0,(UB(ii)-LB(ii))/sigma);
196 Mu ado(ii)=Indi (ii)+n;
197 con =0;
198 while (Mu ado(ii)>UB(ii) || Indi (ii)+n<LB(ii) || ...
199 any(A*Mu ado’>=b)==1) && con <1000
200 % n=no m nd(0,sigma);
201 n=no m nd(0,(UB(ii)-LB(ii))/sigma);
202 con =con +1;
203 Mu ado(ii)=Indi (ii)+n;
204 end
205 i con ==1000
206 Mu ado(ii)=Indi (ii);
207 end
208 mu =1;
209 end
210 end
211 i mu ==0
212 con =0;
213 ii= andi(leng h(Indi ),1,1);
214 n=no m nd(0,(UB(ii)-LB(ii))/sigma);
215 Mu ado(ii)=Indi (ii)+n;
216 while (Mu ado(ii)>UB(ii) || Indi (ii)+n<LB(ii) || ...
217 any(A*Mu ado’>=b)==1) && con <1000
218 n=no m nd(0,(UB(ii)-LB(ii))/sigma);
219 Mu ado(ii)=Indi (ii)+n;
220 con =con +1;
221 end
222 i con ==1000
223 Mu ado(ii)=Indi (ii);
224 end
225 end
226 end
227 %--------------------------------------------------------------------------
228 %--------------------------------------------------------------------------
105
229 %SELECCION POR TORNEO
230 unc ion [Sel,ind]=To neo(PopT, )
231 [m,~]=size(PopT);
232 Candida os=so ( andi(m,1, ));
233 o ii=1: -1
234 i Candida os(ii)==Candida os(ii+1)
235 Candida os(ii+1)=Candida os(ii+1)+1;
236 end
237 end
238 while Candida os( )>m || ...
239 any(Candida os( )*ones(1, -1)==Candida os(1: -1))==1
240 Candida os( )= andi(m,1,1);
241 Candida os=so (Candida os);
242 end
243 [~,ind]=min(PopT(Candida os,end));
244 Sel=PopT(ind,:);
245 end
112 Capí ulo B. He amien as de modelización del p oblema
183 %de salida|impulsos, excep o el impulso n|Inc V o al
184
185 i ga_op ~=0
186 %Op imos sacados po el algo i mo gene ico:
187 Da osga(1:AA*(n+1-n_in ),1:3*n+7)=NaN;
188 o ii=1:(n+1-n_in )*AA
189 [Da osga(ii,3),Da osga(ii,2),Da osga(ii,1),~]=Jda e_in (Xga(ii,1));
190 [Da osga(ii,6),Da osga(ii,5),Da osga(ii,4),~]=Jda e_in (Xga(ii,1)+T );
191 o kk=2:n+1
192 Da osga(ii,kk+5)=sum(Xga(ii,2:kk));
193 end
194 end
195 Da osga(:,n+7:3*n+6)=Xga(:,n+2:3*n+1);
196 Da osga(:,3*n+7)=Jga’;
197 end
198
199 %Los op imos e inados
200 Da os(1:AA*(n+1-n_in ),1:3*n+7)=NaN;
201 o ii=1:(n+1-n_in )*AA
202 [Da os(ii,3),Da os(ii,2),Da os(ii,1),~]=Jda e_in (X(ii,1));
203 [Da os(ii,6),Da os(ii,5),Da os(ii,4),~]=Jda e_in (X(ii,1)+T );
204 o kk=2:n+1
205 Da os(ii,kk+5)=sum(X(ii,2:kk));
206 end
207 end
208 Da os(:,n+7:3*n+6)=X(:,n+2:3*n+1);
209 Da os(:,3*n+7)=J’;
210 oc
211
212 %--------------------------------------------------------------------------
213 %C eacion del F en e de Pa e o con las soluciones e inadas:
214 i AA>1
215 igu e;hold on;
216 Dibn=[’*’,’o’,’+’,’^’,’x’];
217 o aa=1:AA
218 plo (TV(aa),Jmin(aa),Dibn(Ind(aa)),’colo ’,’ ’,’Ma ke Size’,8);
219 i Ind(aa)==1
220 o jj=2:n-n_in +1
221 plo (TV(aa),J(jj+(aa-1)*(n-n_in +1)),Dibn(jj),’colo ’,’k’,’Ma ke Size’,6);
222 end
223 else
224 o jj=[1:Ind(aa)-1,Ind(aa)+1:n-n_in +1]
225 plo (TV(aa),J(jj+(aa-1)*(n-n_in +1)),Dibn(jj),’colo ’,’k’,’Ma ke Size’,6);
226 end
227 end
228 end
229 end
230 %--------------------------------------------------------------------------
231 %--------------------------------------------------------------------------
232
233 %--------------------------------------------------------------------------
234 %Funcion Obje i o
235
236 unc ion J = Fobje i o_nDSM(x)
237 global hi; global plane ; global R ; global T ;
238 n=(leng h(x)-1)/3;
239 mu=[22032 324859 398600.4 42828 126711995.4 37931187 5793939 ...
240 6836529 871];
241 %x(1) es echa de salida
242 %x(2:n+1) son las acciones de iempo de uelo en e maniob as
243 %x(n+2:3*n+1) son las componen es de elocidad inicial y de las n-1
244 %maniob as

B.3 Código del P oblema de Op imización y Función Obje i o 113
245 IV(1:n+2)=NaN;% ec o de inc emen os de elocidad
246 %Si uacion inicial y inal:
247 [ 0, 0] = e eme ide(3,x(1));
248 [ , ] = e eme ide(plane ,x(1)+T );
249 %--------------------------------------------------------------------------
250 %Caso sin maniob as:
251 %--------------------------------------------------------------------------
252 i n==0
253 [ 1, 2, lag]=Lambe V2(T , 0, ,10000);
254 [~,~,~,~,e,~,~,~,~]=Elemen os( 0, 1,1);
255 i imag( 1(1))~=0 || imag( 1(2))~=0 || imag( 2(1))~=0 || imag( 2(2))~=0
256 Inc V =NaN;
257 elsei isnan(e)==1 || lag==10000
258 Inc V =NaN;
259 else
260 C3i=no m( 1- 0)^2;
261 IV(1)=sq (2*398600.4/(6378.14+hi)+29.7847^2*C3i)-sq (398600.4/(6378.14+hi));
262 C3 =no m( 2- )^2;
263 IV(2)=sq (2*mu(plane )/R +29.7847^2*C3 )-sq (mu(plane )/R );
264 Inc V =abs(IV(1))+abs(IV(2));
265 end
266 %--------------------------------------------------------------------------
267 %Caso con maniob as:
268 %--------------------------------------------------------------------------
269 else
270 %Ac ualmen e in e p e acion de 1 como elocidad de escape de la ie a
271 gamma=x(n+3);
272 C3i=x(n+2)^2;
273 1=x(n+2)* 0./no m( 0); %Es a se ia la elocidad angen e
274 C=[cos(gamma),sin(gamma),0;-sin(gamma),cos(gamma),0;0,0,1];
275 1=(C* 1’)’;
276 i= 1+ 0; %SIEMPRE EN UNIDADES CANONICAS
277 IV(1)=sq (2*398600.4/(6378.14+hi)+29.7847^2*C3i)-sq (398600.4/(6378.14+hi));
278 %A pa i de es e pun o i se ac ualiza como la posicion al inicio de conica
279 %y i como su elocidad en es e pun o.
280 i= 0;
281 o kk=1:n
282 [RAAN,w,i,p1,e1, he a1,w_,u,lambda1]=Elemen os( i, i,1);
283 %----------------------------------------------------
284 %Calculo de la posicion as el iempo de uelo has a DSM
285 i he a1>=0
286 T1= uelo(0, he a1,p1,e1);
287 T=x(1+kk)*T +T1;
288 he a2=LeyHo a ia(p1,e1,T);
289 elsei he a1<0
290 T1= uelo( he a1,0,p1,e1);
291 i T1<x(1+kk)*T
292 T=x(1+kk)*T -T1;
293 he a2=LeyHo a ia(p1,e1,T);
294 else
295 T=T1-x(1+kk)*T ; %en es e caso el angulo ob enido se a - he a2
296 he a2=LeyHo a ia(p1,e1,T);
297 he a2=2*pi- he a2;
298 end
299 end
300 lambda2=[];
301 i isemp y( he a1)==1 %Es ci cula
302 Inc lambda=LeyHo a ia(p1,e1,x(1+kk)*T );
303 lambda2=lambda1+Inc lambda;
304 lambda2=lambda2-2*pi* loo (lambda2/2/pi); %po si die a mas de una uel a
305 he a2=[];
306 end
114 Capí ulo B. He amien as de modelización del p oblema
307 [ i, 2]=pos el(RAAN,w,i,p1,e1, he a2,w_,u,lambda2,1);
308 %si aun no se ha llegado a la ul ima maniob a:
309 i kk<n
310 i= 2+[x(n+2+2*kk),x(n+3+2*kk),0]./29.7847; %se le suma la DSM en UVsol
311 IV(kk+1)=no m([x(n+2+2*kk),x(n+3+2*kk),0]); %en km/s
312 end
313 end
314 %La ul ima DSM es a ijada po el p oblema de Lambe pa a asegu a llegada
315 %El iempo de uelo de es a maniob a es el es an e has a la echa de
316 %llegada, se pone en absolu o pa a que no de allos el p og ama, en las
317 %cons ain se comp ueba que el iempo has a en onces no ha supe ado el
318 % o al
319 T in=abs(1-sum(x(2:n+1)))*T ;
320 [ 3, 4, lag]=Lambe V2(T in, i, ,5000);
321 i lag<5000
322 IV(n+1)=29.7847*no m( 3- 2); %inc emen o de elocidad de la DSM, en km/s
323 else
324 IV(n+1)=In ;%no ha encon ado solucion
325 end
326 %Po ul imo la llegada a la o bi a de apa camien o
327 C3 =no m( 4- )^2; %en UVsol
328 IV(n+2)=abs(sq (2*mu(plane )/R +29.7847^2*C3 )-sq (mu(plane )/R ));
329 Inc V =sum(IV);
330 %--------------------------------------------------------------------------
331 clc
332 end
333 J = Inc V ; %en km/s
334 end
335 %--------------------------------------------------------------------------
336 %--------------------------------------------------------------------------
Índice de Figu as
1.1 Misiones de espacio p o undo de mayo ele ancia den o del Sis ema Sola , an e io es
al año 2003 1
1.2 Misiones de espacio p o undo de mayo ele ancia den o del Sis ema Sola , pos e io es
al año 2003 y p oyec adas has a 2018 2
2.1 Sis ema de e e encia gené ico pa a ó bi a 8
2.2 Esquema de ó bi a elíp ica en plano pe i ocal, ex aída de [12] 9
2.3 Esquema de ó bi a pa abólica en plano pe i ocal, ex aída de [12] 10
2.4 Esquema de ó bi a hipe bólica en plano pe i ocal, ex aída de [12] 10
2.5 De inición g á ica de la Anomalía Excén ica (E) 14
2.6 Rep esen ación geomé ica del Ángulo Hipe bólico (H) 15
2.7 P opagación en ó bi a elíp ica 15
2.8 Esquema del p oblema de Lambe , ex aída de [2] 17
2.9 Sis ema de Re e encia Heliocén ico Eclíp ico 19
2.10 Esquema de Maniob a de Espacio P o undo 21
2.11 Velocidad de salida del plane a de salida 22
3.1 Clasi icación de p oblemas según su complejidad 28
3.2 Simulación de iempos de compu ación de la unción obje i o dada la solución, has a 50
Maniob as de Espacio P o undo 29
3.3 Di e encia en e explo ación y explo ación 31
3.4 Diag ama de p oceso de Selección po To neo 33
3.5 Diag ama de p oceso de C uce 35
3.6 Diag ama de p oceso de Mu ación 36
3.7 Diag ama de lujo del p oceso del algo i mo gené ico 38
3.8 Ejemplo de Pa e o Dominancia, ex aído de [9] 40
3.9 Ejemplo de F en e de Pa e o, ex aído de [9] 40
3.10 Ejemplo de dis in as o mas de F en e de Pa e o, ex aído de [9] 41
3.11 Ejemplo de F en e de Pa e o ob enido po NSGA-II en e a mé odo al e na i o (PAES),
sob e un p oblema ípico usado pa a p oba op imizado es conocido como ZTD4, ex aí-
do de [3] 42
3.12 Esquema de p ocedimien o de NSGA-II, ex aído de [3] 42
3.13 Ejemplo de F en e de Pa e o ob enido po NSGA-II ajus ado sob e un p oblema ípico
usado pa a p oba op imizado es conocido como ZTD4, ex aído de [3] 43
4.1 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y X=50 50
4.2 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y X=100 51
115
116 Índice de Figu as
4.3 Zoom a mejo a del óp imo en p ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol
iniciales (4.1) y X=50 51
4.4 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y N=100.
Compá ese con la Figu a 4.1 53
4.5 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1) y TOL =1.
Compá ese con la Figu a 4.1 54
4.6 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1), =5yE=7.
Compá ese con la Figu a 4.1 55
4.7 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1), pc=0.4,
ηc=3, y nc=2. Compá ese con la Figu a 4.1 55
4.8 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol iniciales (4.1), pmu =0.15,
pm=0.3, y σc=30. Compá ese con la Figu a 4.1 56
4.9 P ocedimien o del algo i mo con los Pa áme os de Con ol inales 57
4.10 P ocedimien o del algo i mo en análisis de de alle 58
4.11 Zoom en p ocedimien o del algo i mo en análisis de de alle 59
4.12 Solución alcanzada po algo i mo gené ico 60
4.13 Solución alcanzada as e inado 60
4.14 P ocedimien o del algo i mo en e i icación del p oblema 3D 61
4.15 P ocedimien o del algo i mo en e i icación del p oblema 3D. Mejo indi iduo de cada gen ación 62
5.1 Ejemplo (ex aído) de Po kChop plo pa a misión Tie a-Ma e, caso idimensional 64
5.2 Po kchop plo de misión Tie a-Sa u no, ep esen ando C3T64
5.3 Solución minimizando ∆VT65
5.4 Solución minimizando C3T65
5.5 F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no 66
5.6 Zoom a F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no 67
5.7 F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no 68
5.8 Tendencia de misiones sin MEP en F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no 68
5.9 Zoom a F en e de Pa e o pa a una misión Tie a Sa u no con echa de lanzamien o en e
el 1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025 69
5.10 Solución con 2 MEP pa a TV=6935 JD. Salida el 6 de No iemb e de 2024 69
5.11 Solución con 4 MEP pa a TV=8760 JD. Salida el 3 de Ene o de 2024 70
5.12 Solución con 1 MEP pa a TV=4015 JD. Salida el 3 de Agos o de 2024 71
5.13 Solución con 2 MEP pa a TV=5840 JD. Salida el 22 de Sep iemb e de 2024 71
5.14 Di e encias en e soluciones alcanzadas po uso único de algo i mo gené ico y las e i-
nadas (Tie a-Sa u no) 72
5.15 F en e de Pa e o pa a una misión Tie a-Me cu io con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025 73
5.16 Zoom a F en e de Pa e o pa a una misión Tie a-Me cu io con echa de lanzamien o en e
el 1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025 74
5.17 Solución con 1 MEP pa a TV=1237 JD. Salida el 9 de Junio de 2024 75
5.18 Solución con 4 MEP pa a TV=1689 JD. Salida el 23 de Mayo de 2024 75
5.19 Solución con 1 MEP pa a TV=181 JD. Salida el 24 de Mayo de 2024 76
5.20 Solución con 4 MEP pa a TV=633 JD. Salida el 22 de Mayo de 2024 76
5.21 Solución con 3 MEP pa a TV=2141 JD. Salida el 23 de Diciemb e de 2024 77
5.22 F en e de Pa e o pa a una misión Tie a-Me cu io con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025 78
5.23 Di e encias en e soluciones alcanzadas po uso único de algo i mo gené ico y las e i-
nadas (Tie a-Me cu io) 78
Índice de Figu as 117
5.24 F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025. Tendencia de misiones con 0 MEP des acada 79
5.25 Po kchop plo del C3Tpa a una misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el 1
de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025 80
5.26 Solución con 0 MEP pa a TV=307 JD. Salida el 3 de Oc ub e de 2024 80
5.27 Zoom a F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el
1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025 81
5.28 F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025, con TOL =181
5.29 Solución con 2 MEP pa a TV=846 JD. Salida el 29 de Julio de 2024 82
5.30 Solución con 1 MEP pa a TV=556 JD. Salida el 27 de Agos o de 2024 83
5.31 Solución con 4 MEP pa a TV=1012 JD. Salida el 21 de Agos o de 2024 83
5.32 Di e encias en e soluciones alcanzadas po uso único de algo i mo gené ico y las e i-
nadas (Tie a-Ma e) 84
5.33 Po kchop plo de misión Tie a-Ma e, ep esen ando C3T85
5.34 T ans e encia Tipo I, con echa de salida el 29 de Oc ub e de 2024, TV=270 días 86
5.35 T ans e encia Tipo II, con echa de salida el 29 de Sep iemb e de 2024, TV=350 días 86
5.36 F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el 1 de
Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025, p oblema idimensional 87
5.37 Zoom a F en e de Pa e o pa a la misión Tie a-Ma e con echa de lanzamien o en e el
1 de Ene o de 2024 y el 1 de Ene o de 2025, p oblema idimensional 87
5.38 Solución con 1 MEP pa a TV=519 JD. Salida el 2 de Ma zo de 2024 88
5.39 Solución con 1 MEP pa a TV=624 JD. Salida el 1 de Ene o de 2024 89
5.40 Solución con 3 MEP pa a TV=728 JD. Salida el 8 de Ma zo de 2024 89
5.41 Solución con 2 MEP pa a TV=928 JD. Salida el 16 de Julio de 2024 90
5.42 Solución con 4 MEP pa a TV=1043 JD. Salida el 5 de Ma zo de 2024 90
5.43 Di e encias en e soluciones alcanzadas po uso único de algo i mo gené ico y las e i-
nadas (Tie a-Ma e, 3D) 91
5.44 Compa a i a en e cu a de soluciones no dominadas (Tie a-Ma e, 3D) 91
5.45 Compa a i a en e F en es de Pa e o (Tie a-Ma e, 3D) 92
5.46 Zoom a compa a i a en e F en es de Pa e o (Tie a-Ma e, 3D) 92
5.47 F en e de Pa e o en es dimensiones, incluyendo echa de salida (Tie a-Ma e, 3D) 93
5.48 F en e de Pa e o en en ando echa de salida y iempo de uelo (Tie a-Ma e, 3D) 93
5.49 F en e de Pa e o conside ando como obje i o echa de salida (Tie a-Ma e, 3D) 94
5.50 F en e de Pa e o conside ando como obje i o echa de salida (Tie a-Ma e, 3D) 94
5.51 Op imización Global de una misión Tie a-Ma e, ex aído de [6] 95
5.52 Op imización Global de una misión Tie a-Ma e 96
5.53 F en e de Pa e o en en ando Fecha de Salida y Cos e To al (Tie a-Ma e, 3D) 97
5.54 F en e de Pa e o en en ando Fecha de Salida y Tiempo de Vuelo To al (Tie a-Ma e, 3D) 97

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