Detección y monitorización virtual del crecimiento de grietas en paneles de nanocompuestos reforzados con nanotubos de carbono usando XFEM

Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
Dp o. Mecánica de Medios Con inuos y
Teo ía de Es uc u as
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
T abajo Fin de Más e
Más e en Ingenie ía Indus ial
Se illa, 2020
Au o : José Va gas C uz
Tu o : Luis Rod íguez de Tembleque Solano
De ección y moni o ización i ual del c ecimien o de
g ie as en paneles de nanocompues os e o zados con
nano ubos de ca bono usando XFEM
iii
T abajo Fin de Más e
Más e en Ingenie ía Indus ial
De ección y moni o ización i ual del c ecimien o
de g ie as en paneles de nanocompues os e o zados
con nano ubos de ca bono usando XFEM
Au o :
José Va gas C uz
Tu o :
Luis Rod íguez de Tembleque Solano
P o eso Ti ula de Uni e sidad
Dp o. de Mecánica de Medios Con inuos y Teo ía de Es uc u as
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2020
T abajo Fin de Más e : De ección y moni o ización i ual del c ecimien o de g ie as en paneles de
nanocompues os e o zados con nano ubos de ca bono usando XFEM
Au o :
José Va gas C uz
Tu o :
Luis Rod íguez de Tembleque Solano
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2020

El Sec e a io del T ibunal
ii
A mis pad es y a mi he mano
A Ma ía
A B u
ix
Ag adecimien os
Po que solo con cons ancia y abajo se consiguen las cosas. Se e mina una la ga e apa. T as seis años de
es ue zo se e la luz al inal del únel. Y nada de es o pod ía habe sido posible sin ues a ayuda. G acias mamá,
po que g acias a i he ap endido lo que es sabe lucha , po que e es el mejo ejemplo de muje luchado a que
puede exis i . G acias papá, po u apoyo y po habe me enseñado desde pequeño que con cons ancia y es ue zo
se consiguen las cosas mas dí iciles de es a ida. G acias he mano, po habe alcanzado an as me as jun os y
po supe a cualquie obs áculo que se nos haya p esen ado en el camino. Po eso y mucho más, g acias.
G acías Ma ía, po se uno de los pila es más impo an es de mi ida. Po el sac i icio que has hecho po mi en
muchos momen os, po esos domingos de queda nos en casa po mis abajos. Simplemen e g acias po se
como e es conmigo. Es a é e e namen e ag adecido.
No podía deja a ás a mi B uno, po que me ha ayudado en los momen os mas di íciles de mi ida. Simplemen e
con mi a me e das cuen a de como me sien o, y me o eces esos ab aci os y esos besos que an o me gus an.
G acias B u.
Po úl imo, g acias al equipo de abajo de es e p oyec o. G acias po acoge me desde el p ime día como un
miemb o más del equipo, po ansmi i me ues a sabidu ía y conocimien os y po habe me dado es a magní ica
opo unidad de abaja codo con codo con oso os. G acias Luis.
José Va gas C uz
Se illa, 2020
4.1.2 Análisis elec oes á ico ..................................................................................................................... 39
4.1.2.1 In luencia del amaño de g ie a pa a a ias o ien aciones. G ie a impe meable ................ 40
4.1.2.2 In luencia de la pe mi i idad eléc ica de la g ie a pa a a ias o ien aciones. G ie a
pe meable 43
4.1.2.3 Medición y de ección de a ias g ie as.................................................................................... 45
4.1.3 Análisis piezo esis i o ...................................................................................................................... 50
4.2 Moni o ización i ual del c ecimien o de g ie as .................................................................................. 50
4.2.1 Placa con g ie a in e na .................................................................................................................... 51
4.2.1.1 Análisis mecánico ...................................................................................................................... 51
4.2.1.2 Análisis elec oes á ico ............................................................................................................. 56
4.2.1.3 Análisis piezo esis i o .............................................................................................................. 59
4.2.2 Viga a lexión en es pun os con de ec o de bo de ....................................................................... 59
4.2.2.1 Análisis mecánico ...................................................................................................................... 59
4.2.2.2 Análisis elec oes á ico ............................................................................................................. 63
4.2.2.3 Análisis de la a iación de la esis encia eléc ica en e a la lecha en el caso de iga
apoyada some ida a lexión en es pun os ................................................................................................ 67
5 Resumen, conclusiones y abajos u u os ........................................................................................... 69
5.1 Resumen ..................................................................................................................................................... 69
5.2 Conclusiones .............................................................................................................................................. 69
5.3 Fu u os abajos ........................................................................................................................................ 70
Re e encias.................................................................................................................................................. 71
Anexo A. Códigos de ANSYS ........................................................................................................................ 73
Anexo B. Códigos de MATLAB ..................................................................................................................... 75

x ii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figu a 1; Clasi icación gene al de ma e iales compues os [2] 1
Figu a 2: Rep esen ación de la sección longi udinal de una iga de ma e ial compues o con capacidad pa a
de ec a delaminación y de o maciones [4] 3
Figu a 3: Esquema de sis ema SHM en un ma e ial mul i uncional compues o con CNTs [5] 3
Figu a 4: Es uc u as de nano ubos de pa ed simple y múl iple [8]. 6
Figu a 5: Resis encia a acción (a), esis encia a lexión (b) y módulo de Young (c) pa a dis in os po cen ajes
de ib as en MWCNT/epoxy [8]. 7
Figu a 6: Rep esen ación de los mecanismos de sal o elec ónico (a) y ed conduc o a (b). 8
Figu a 7: Va iación de la conduc i idad eléc ica de un nanocompues o polimé ico en uncón de la acción
olumé ica de ib as [10] 8
Figu a 8: Rep esen ación de modos de ca ga I (a), II (b) y III (c) [11]. 11
Figu a 9: Coo denadas pola es ligadas al é ice de la g ie a [11]. 12
Figu a 10: E olución de la enacidad en unción de la empe a u a en ace os [11]. 14
Figu a 11: Valo es ípicos de 𝐾𝐼𝐶 y lími e elás ico pa a di e en es ma e iales [11]. 14
Figu a 12: G ie a cen ada en placa in ini a en modo I (a), en modo II (b) y en modo III (c) [11]. 15
Figu a 13: G ie a inicial (a) y g ie a p opagada (b) [11]. 15
Figu a 14: Esquema de modo de ca ga mix o [11]. 18
Figu a 15: Rep esen ación de una placa in ini a some ida a un modo de ca ga mix o [11]. 20
Figu a 16: E olución de la ensión ci cun e encial espec o al ángulo de p opagación [11]. 20
Figu a 17: SIFs en el é ice de g ie a an es (a) y después (b) de la p opagación [11]. 21
Figu a 18: Geome ía del dominio 𝛺 con una discon inuidad Г𝑐 [12]. 22
Figu a 19: Rep esen ación esquemá ica de los di e en es nodos y elemen os en la disc e ización [12]. 23
Figu a 20: Vé ice de g ie a den o del elemen o (izq) y en el bo de del elemen o (de ) [13]. 24
Figu a 21: Nodos en el mé odo Phan om-Node [13]. 25
Figu a 22: Cálculo y de inición de los alo es 𝜓 y 𝜙 [13]. 26
Figu a 23: De inición del adio de en iquecimien o [13]. 27
Figu a 24: De inición de snap- ole ance [13]. 27
Figu a 25: E aluación de los c i ge ios STTMAX y PSMAX en o no al é ice de g ie a [13]. 28
Figu a 26: Ley cohesi a ígida lineal [13]. 28
Figu a 27: Esquema gene al de moni o ización del c ecimien o de g ie a. 32
Figu a 28: Diag ama de lujo de la esolución del p oblema mecánico con ANSYS. 33
Figu a 29: Diag ama de lujo de la esolución del p oblema elec oes á ico y piezo esis i o con ANSYS.
34
Figu a 30: Esquema p oblema mecánico de placa con g ie a cen ada inclinada bajo es ue zo uni o me (𝜎𝑦𝑦).
36
Figu a 31: De alle del mallado de la placa pa a análisis es á ico usando XFEM. 37
Figu a 32: Es udio de con e gencia de los alo es analí icos 𝐾𝐼 y 𝐾𝐼𝐼. 37
Figu a 33: In luencia de la o ien ación de la g ie a (α) en los SIFs. 38
Figu a 34: In luencia amaño de g ie a en el cálculo de los SIFs KI (a) y KII (b). 38
Figu a 35: : Esquema p oblema eléc ico de placa con g ie a cen ada inclinada some ida a di e encia de
po encial (∆ϕ). 39
Figu a 36: In luencia del amaño de la g ie a (𝐿/𝑎) y o ien ación de la g ie a (𝛼) en la a iación de la esis encia
eléc ica. 40
Figu a 37: In luencia del amaño de g ie a sob e la dis ibución de po encial eléc ico pa a 𝛼=0 º. 41
Figu a 38: In luencia del amaño de g ie a sob e la dis ibución de po encial eléc ico pa a 𝛼=45 º 42
Figu a 39: In luencia de las condiciones de pe mi i idad eléc ica en la g ie a (𝜅𝑐/𝜅𝑚) y la o ien ación (𝛼) en
la a iación de la esis encia eléc ica (𝑅). 43
Figu a 40: In luencia de la pe mi idad sob e la dis ibución de po encial eléc ico pa a 𝛼=0 º y 𝐿/𝑎=1.5.
44
Figu a 41: In luencia de la pe mi idad sob e la dis ibucuión de po encial eléc ico pa a 𝛼=45 º y 𝐿/𝑎=1.5.
45
Figu a 42: Esquema p oblema eléc ico pa a la medición y de ección de dos g ie as equi alen es a la o iginal.
46
Figu a 43: In luencia de la sepa ación 𝛿𝑥 y 𝛿𝑦 en la a iación de la esis encia eléc ica del p oblema con g ie a
equi alen e. 46
Figu a 44: Po encial eléc ico pa a 𝛿𝑦/𝑎2=0 (a) y 𝛿𝑦/𝑎2=0.05 (b). 47
Figu a 45: Po encial eléc ico pa a 𝛿𝑦/𝑎2=0.1 (a) y 𝛿𝑦/𝑎2=0.5 (b). 48
Figu a 46: Po encial eléc ico pa a 𝛿𝑦/𝑎2=1 (a) y 𝛿𝑦/𝑎2=2 (b). 49
Figu a 47: Compa ación en e análisis piezo esis i o y elec oes á ico. 50
Figu a 48: Esquema p oblema mecánico de placa con g ie a inclinada bajo desplazamien o uni o me (𝑢𝑦).
52
Figu a 49: De inición de á eas en p oblema mecánico de placa accionada pa a 𝛼=45 º. 52
Figu a 50: Mallado de placa some ida a acción pa a 𝛼=45 º. 53
Figu a 51: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 (a) y ensión equi alen e Von Mises 𝜎𝑒𝑞 (b) pa a 𝛼=0 º.
54
Figu a 52: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y 𝛼=0 º pa a 𝑎/𝑎0=3 (a), 𝑎/𝑎0=6 (b) y 𝑎/𝑎0=9 (c).
54
Figu a 53: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 (a) y ensión equi alen e Von Mises 𝜎𝑒𝑞 (b) pa a 𝛼=45 º.
55
Figu a 54: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y 𝛼=45 º pa a 𝑎/𝑎0=3 (a), 𝑎/𝑎0=6 (b), 𝑎/𝑎0=9 (c)
y 𝑎/𝑎0=12 (d). 55
Figu a 55: Esquema p oblema eléc ico de placa con g ie a inclinada gené ica some ida a acción. 56
Figu a 56: Po encial eléc ico pa a (a) 𝛼=0 º y (b) 𝛼=45 º el p oblema de placa con g ie a in e na. 57
Figu a 57: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a acción pa a 𝛼=0 º. 57
Figu a 58: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a acción pa a 𝛼=45 º. 58
Figu a 59: Análisis de la in luencia del amaño de g ie a en la a iación de la esis encia eléc ica en el caso de
placa some ida a acción pa a 𝛼=[0,15,30,45,60,75] º. 58
Figu a 60: Compa ación análisis piezo esis i o y elec oes á ico pa a placa con g ie a in e na. 59
Figu a 61 Esquema p oblema mecánico de placa con g ie a inclinada some ida a lexión. 60
xix
Figu a 62: De inición de á eas en p oblema mecánico de placa some ida a lexión pa a 𝛼=45 º. 60
Figu a 63: Mallado de placa some ida a lexión pa a 𝛼=45 º. 61
Figu a 64: (a) Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y (b) ensión equi alen e Von Mises 𝜎𝑒𝑞 pa a 𝛼=0 º.
61
Figu a 65: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y 𝛼=0 º pa a (a) 𝑎/𝑎0=1 , (b) 𝑎/𝑎0=2 , (c) 𝑎/𝑎0=3
y (d) 𝑎/𝑎0=4 . 62
Figu a 66: (a) Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y (b) ensión equi alen e Von Mises 𝜎𝑒𝑞 pa a 𝛼=45 º.
62
Figu a 67: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y 𝛼=45 º pa a (a) 𝑎/𝑎0=2, (b) 𝑎/𝑎0=3 y (c) 𝑎/𝑎0=4,
63
Figu a 68: Esquema p oblema eléc ico de placa con g ie a inclinada gené ica some ida a lexión. 64
Figu a 69: Dis ibución de po encial eléc ico pa a el p oblema de placa some ida a lexión. 64
Figu a 70: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a lexión pa a 𝛼=0 º. 65
Figu a 71: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a lexión pa a 𝛼=45 º. 66
Figu a 72: Análisis de la in luencia del amaño de g ie a en la a iación de la esis encia eléc ica en el caso de
iga some ida a lexión en es pun os pa a (a) 𝛼=0 º y (b) dis in os alo es de 𝛼. 67
Figu a 73: Va iación de la esis encia eléc ica en unción del desplazamien o e ical de la iga. 67
xxi
No ación
A
Supe icie de la g ie a
A*
Semiancho de la g ie a
𝑎𝑖
Vec o desplazamien o asociado al dominio de la g ie a
𝐶
Vec o qui al
dA
Inc emen o de supe icie de g ie a
E
Módulo elás ico
𝐸𝑠
Ene gía pa a c ea nue a supe icie de g ie a
∆𝐸𝑖𝑛𝑡
Ene gía in e na
Vec o de ue zas ex e nas
𝐹𝑏
Fue zas po unidad de olumen aplicadas en el sis ema
𝐹𝑗 (𝑥)
Funciones de singula idad
G
Tasa de libe ación de ene gía
𝐺𝑐
Tasa de libe ación de ene gía c í ica
H (x)
Funciones Hea iside
I
In ensidad de co ien e
J
Densidad de co ien e
K
Fac o de in ensidad de ensiones
𝐾𝑐
Fac o de in ensidad de ensiones c í ico
L
Semila go de la placa
𝑁𝑖(𝑥)
Funciones de o ma asociadas a cada nodo
𝑛ℎ
Núme o de nodos asociados a los elemen os de la supe icie de la g ie a
𝑛𝑡
Núme o de nodos asociados al dominio del é ice de la g ie a
R
Resis encia eléc ica
𝑅0
Resis encia eléc ica de la placa sin de o ma

Tenso de cambio ela i o en la esis i idad
Espeso de la placa
𝑡𝑖1
Vec o desplazamien o asociado a los elemen os del é ice de g ie a
𝑇1
Funciones de en iquecimien o del é ice de g ie a
𝑢𝑥
Desplazamien o en el plano de la placa en di ección “X”
𝑢𝑦
Desplazamien o en el plano de la placa en di ección “Y”
W
Semiancho de la placa
𝛼
Ángulo de inclinación de la g ie a
Г
Con o no del p oblema gene alizado
Г𝑢
Con o no de desplazamien os
Г𝑡
Con o no de ensiones
Г𝑐
Con o no de la g ie a
𝛾𝑠
Ene gía supe icial
𝜅
Pe mi i idad eléc ica
𝜅𝑐
Pe mi i idad eléc ica de la g ie a
𝜅𝑚
Pe mi i idad eléc ica del medio
𝜆𝑖𝑗
Componen es de la ma iz piezo esis i a
𝜈
Coe icien e de Poisson
Π
Ma iz piezo esis i a
𝜌𝑒𝑓𝑓
Ma iz esis i idad e ec i a
𝜌𝑒𝑓𝑓
0
Ma iz esis i idad e ec i a de la placa sin de o ma
ϕ
Po encial eléc ico
Ω
Dominio del p oblema gene alizado
𝜎
Tenso de ensiones de Cauchy
𝜎𝑥𝑥
Tensión axial di ección “X”
𝜎𝑦𝑦
Tensión axial di ección “Y”
𝜎𝑥𝑦
Tensión angencial plano “XY”
𝜎𝜃𝜃
Tensión ci cun e encial
𝜎𝑟𝜃
Tensión angencial ci cun e encial
1
1 INTRODUCCIÓN
1.1 Mo i ación
De o ma gene al, un ma e ial compues o puede de ini se como un sis ema in eg ado po una combinación de
dos o más ma e iales que di ie en en o ma y composición química, y que además son insoluble en e sí. Los
ma e iales compues os se han con e ido en el p incipal oco de in e és en la ingenie ía ya que combinan
p opiedades y p es aciones de los ma e iales cons i uyen es, p esen ando no ables mejo as. La mayo pa e de
los ma e iales compues os es án o mados po una ma iz con inu que odea y aglome a las ases dispe sas,
ambién conocidas como e ue zos. De es a o ma, en unción de la na u aleza de los e ue zos, los ma e iales
compues os se pueden clasi ica en es g andes g upos: compues os con pa ículas como e ue zos, e o zados
con ib as y compues os es uc u ales. Sin emba go, los ma e iales compues os ambién pueden clasi ica se en
unción de la na u aleza de la ma iz, exis iendo los siguien es ipos: MMC (Me alic Ma ix Composi es, po sus
siglas en inglés), CMC (Ce amic Ma ix Composi es) y PMC (Polyme ic Ma ix Composi es) [1].
Figu a 1; Clasi icación gene al de ma e iales compues os [2]
Po o o lado, exis e un concep o que se a a ianzando cada ez más en la ac ualidad, y es el de ma e iales
mul i uncionales o ma e iales in eligen es. Es e ipo de ma e iales se de inen como una combinación de
ma e iales que desa ollan sus unciones de una o ma in eligen e en unción de los cambios que expe imen e el
medio que los odea. En la ac ualidad, exis e una in inidad de aplicaciones ecnológicas que equie en el uso de
dis in os ipos de senso es. Es as aplicaciones equie en que se lle e a cabo un desa ollo y es udio exhaus i o
de es os ma e iales mul i uncionales que p esen an capacidades senso iales.
2
El ápido c ecimien o de es as ecnologías y su in e és en la indus ia se ha is o e lejada en el su gimien o de
nue as amas de in es igación y ecnologías que ienen un g an impac o en di e sas á eas cien í icas. Se a a
de la nano ecnología. Es a ciencia pe sigue c ea nue os ma e iales que engan capacidad pa a log a desa íos
ecnológicos que han ido su giendo en los úl imos años debido al inc emen o de la necesidad ecnológica ac ual.
Gene almen e los sis emas in eligen es es án o mados po senso es, ac uado es y con olado es. En el caso de
la ib a óp ica, es a es capaz de eacciona an e cambios de empe a u a, de o mación, p esión e incluso campos
eléc icos, lo que la con ie e en un excelen e senso pa a se u ilizado en el sec o de las elecomunicaciones.
Las aleaciones con memo ia de o ma (AMF) son los ma e iales más comúnmen e usados como ac uado es,
des acando su uso en ins umen os qui ú gicos.
Sin emba go, exis en casos pa icula es como los compues os de ma iz polimé ica con nano ubos de ca bono
como e ue zo, que se ag upan den o de lo que se conoce como es uc u as in ínsecamen e in eligen es [3]. La
p incipal ca ac e ís ica de es os ma e iales es que no equie en de disposi i os como senso es y ac uado es, ya
que se combinan las p opiedades mecánicas, é micas, eléc icas y piezo esis i as de mane a que son capaces
de de ec a po sí solas daños mecánicos o é micos, es ue zos y de o maciones. Cuando se añaden en pequeñas
concen aciones y su dispe sión es adecuada, se ha podido comp oba que suponen una mejo a en é minos
mecánicos, así como mejo an p opiedades mul i uncionales como la conduc i idad eléc ica. Es os ma e iales
se han con e ido en el epicen o de nume osos es udios cien í icos y aplicaciones indus iales, debido a las
excelen es y peculia es p opiedades eléc icas, é micas y mecánicas que p esen an, en e las cuales des aca su
p opiedad piezo esis i a.
La piezo esis i idad es una p opiedad que ienen cie os ma e iales po la cual se gene a una espues a eléc ica
an e un es ímulo mecánico, al y como se e á de alladamen e en el p ime capí ulo del p esen e p oyec o. Una
al e na i a po encial pa a el desa ollo de ma e iales piezo esis i os es la u ilización de nanocompues os
o mados una ma iz epoxy y nano ubos como e ue zos. La cues ión es que en la ac ualidad exis en muchos
ma e iales me álicos y polimé icos que no cumplen con los equisi os pa a las aplicaciones que se demandan.
Dicha p opiedad piezo esis i a de es e ipo de nanocompues os hace posible plan ea se su u ilización pa a
aplicaciones que aba quen indus ias como la ae oná ica, au omo iz o incluso el sec o ene gé ico. Es a
p opiedad puede ap o echa se de o ma que se u ilicen como senso es pa a la de ección de daño, ya que un
componen e ab icado con es e ipo de ma e ial, al es a some ido a una se ie de solici aciones mecánicas
expe imen a á unas de o maciones que se aduci án inalmen e en una a iación de la esis encia eléc ica. Si
ue a posible elaciona dicha a iación de la esis encia eléc ica con enómenos ísicos como de ec os en el
componen e u o o ipo de daño, se ía posible es ablece c i e ios y mé odos que pe mi ie an ob ene in o mación
ace ca del es ado de dicho componen e o es uc u a.
Ac ualmen e exis e una disciplina llamada SHM (S uc u al Heal h Moni o ing, po sus siglas en inglés) que
cons i u ye una p ác ica común en mú iples ac i idades indus iales. Es a disciplina aba ca la aplicación de
ensayos no des uc i os (NDT, po sus siglas en inglés) y de ección de daño pa a e alua la solidez de
in aes uc u as y el compo amien o del man enimien o basado en condición que pe mi e aumen a su espe anza
de ida. Pa icula men e, la mayo ía de las in es igaciones han cen ado sus es ue zos en de ec a daño en
es uc u as a a és de a iaciones en la igidez de los componen es es uc u ales. Dichas a iaciones a menudo
se o iginan po p ocesos de deg adación po en ejecimien o, co osión, a iga, exis encia de g ie as o po sucesos
acciden ales. Sin emba go, el núme o de es udios en la aplicación de écnicas SHM son escasos [5]. Los nue os
ma e iales mul i uncionales, como el ho migón “in eligen e” o ma e iales compues os “au osensi i os”, o ecen
una inno ado a al e na i a pa a moni o ea el es ado de las es uc u as den o del campo de la SHM [5].
En es e con ex o, el p esen e p oyec o se desa olla como una es a egia de moni o ización de la in eg idad de
es uc u as o madas po nanocompues os con nano ubos de ca bono como e ue zos, pe siguiendo el obje i o
de es ablece un p ocedimien o que pe mi a e alua el daño en es uc u as ab icadas con es e ma e ial.
3
Figu a 2: Rep esen ación de la sección longi udinal de una iga de ma e ial compues o con capacidad pa a
de ec a delaminación y de o maciones [4].
Figu a 3: Esquema de sis ema SHM en un ma e ial mul i uncional compues o con CNTs [5].
1.2 Desc ipción del p oblema y obje i os
En es e p oyec o se p e ende es udia el compo amien o de MWCNTs como e ue zos en nanocompues os, así
como in e p e a los esul ados ob enidos pa a loga llega a conclusiones que pe mi an desa olla una
me odología de alidación y con ol de paneles ab icados con nanocompues os e o zados con nano ubos de
ca bono. Pa a ello se p opone una simulación numé ica que pe mi a ealiza una moni o ización i ual del daño
en es uc u as ipo panel, poniendo en juego el e ec o piezo esis i o que p esen a es e ipo de nanocompues os.
Se a a de un mé odo no in asi o que pod ía implemen a se en nume osas aplicaciones indus iales,
pe mi iendo no solo de ec a de ec os en es os componen es, sino ambién es ablece una moni o ización en
iempo eal de dichos de ec os. De es a o ma se pod ía dispone de un eg is o cons an e de la e olución de
dichos de ec os en la es uc u a, pudiéndose de e mina c i e ios pa a p ocede a su epa ación o decla ación de
no con o midad pa a su uso.

11
3 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS PARA
LA DETECCIÓN Y MONITORIZACIÓN DE
GRIETAS EN PANELES DE NANOCOMPUESTOS
REFORZADOS CON NANOTUBOS DE CARBONO
s e e ce capí ulo se cen a en el desa ollo de la o mulación de elemen os ini os o ien ada a la de ección
y moni o ización de g ie as. Po un lado, se a a á la o mulación del p oblema mecánico, an ando
concep os ípicos de la Mecánica de la F ac u a a anzada como la enacidad y ene gía de ac u a, modo
de ac u a, mé odos analí icos pa a es ablece c i e ios de c ecimien o de g ie a, cómo se desa olla la
o mulación XFEM y cómo el so wa e ANSYS modela es e ipo de p oblemas. Po o o lado, se a a la
o mulación y esolución del p oblema eléc ico median e el so wa e de simulación ANSYS, aba cando cómo
se ealiza el cálculo de la espues a piezo esis i a, cómo se esuel e el campo eléc ico y el cálculo de la
esis encia eléc ica en paneles con p esencia de g ie as o daños.
3.1 Fo mulación del p oblema mecánico
En p ime luga , se da á paso al desa ollo de la o mulación del p oblema mecánico, en el cuál se aba ca án
aspec os como la ene gía de ac u a, enacidad de ac u a, la o mulación del p oblema median e la
me odología XFEM y la implemen ación de oda la o mulación en el so wa e ANSYS.
3.1.1 Ene gía de ac u a y enacidad a ac u a
Con el obje i o de esol e el caso de una placa con una g ie a inicial, I win es udió es modos de ca ga dis in os:
 Modo I: ambién llamado modo de ape u a, ya que iende a ab i los bo des de la g ie a.
 Modo II: ambién llamado modo de deslizamien o, ya que iende a desliza los bo des de la g ie a uno
sob e o o.
 Modo III: ambién conocido como modo de cizallamien o, desplazando la g ie a ue a de su plano.
(a)
(b)
(c)
Figu a 8: Rep esen ación de modos de ca ga I (a), II (b) y III (c) [11].
E
12
La mecánica de sólidos clásica puede se aplicada a cada uno de los modos an e io es pa a calcula el campo de
ensiones y de o maciones. Pa a ello, se u iliza án coo denadas pola es inculadas al é ice de la g ie a. Los
es modos de ac u a an e io es se di e encian en las condiciones de con o no impues as. A con inuación, se
mues an las exp esiones del campo de ensiones pa a cada uno de los modos desc i os:
MODO I
𝜎𝑥𝑥=𝐶
√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2[1−𝑠𝑖𝑛3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2]+𝑓(𝑟0)
𝜎𝑦𝑦=𝐶
√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2[1+𝑠𝑖𝑛3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2]+𝑓(𝑟0)
𝜎𝑥𝑦=𝐶
√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑐𝑜𝑠3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2+𝑓(𝑟0)
𝑢𝑥=𝐶(1+𝜈)
𝐸√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2[𝜅−1+2𝑠𝑖𝑛2𝜃2]+𝑓(𝑟)
𝑢𝑦=𝐶(1+𝜈)
𝐸√𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2[𝜅+1+2𝑐𝑜𝑠2𝜃2]+𝑓(𝑟)
(3 – 1)
donde 𝜅 es una exp esión del coe icien e de Poisson 𝜈 y es igual a 3−𝜈
1+𝜈 en el caso de de o mación plana e igual
a 3−4𝜈 pa a de o mación plana.
Figu a 9: Coo denadas pola es ligadas al é ice de la g ie a [11].
MODO II
𝜎𝑥𝑥=−𝐶
√𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2[2+𝑐𝑜𝑠3𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃2]+𝑓(𝑟0)
𝜎𝑦𝑦=𝐶
√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑐𝑜𝑠3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2+𝑓(𝑟0)
𝜎𝑥𝑦=𝐶
√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2[1−𝑠𝑖𝑛3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2]+𝑓(𝑟0)
𝑢𝑥=𝐶(1+𝜈)
𝐸√𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2[𝜅+1+2𝑐𝑜𝑠2𝜃2]+𝑓(𝑟)
𝑢𝑦=𝐶(1+𝜈)
𝐸√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2[𝜅−1+2𝑠𝑖𝑛2𝜃2]+𝑓(𝑟)
(3 – 2)
13
MODO III
𝜎𝑥𝑧=−𝐶
√𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2+𝑓(𝑟0)
𝜎𝑦𝑧=𝐶
√𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃2+𝑓(𝑟0)
𝑢𝑥=4𝐶(1+𝜈)
𝐸√𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2+𝑓(𝑟)
(3 – 3)
Una ez desa ollada la o mulación del campo de ensiones y de o maciones de los es modos de ac u a, nos
cen a emos en el modo I y amos a analiza el é mino 𝜎𝑦𝑦 ( é mino dominan e), que es el campo de ensiones
que ca ac e iza la concen ación de ensiones en una placa some ida a acción. El é mino dominan e ce ca del
é ice de la g ie a es 𝐶
√𝑟, que ep esen a que exis e una singula idad en el é ice de la g ie a. Po es a azón el
alo de la ensión no puede usa se pa a de e mina si una de e minada g ie a inicial a a p opa ga se o no. I win
plan eó conside a “cómo de ápido la ensión ienda a in ini o” ce ca del é ice de la g ie a, pa a lo cual de inió
el ac o de in ensidad de ensiones (SIF).
𝐾𝐼=𝑙𝑖𝑚𝑟→0(√2𝜋𝑟𝜎𝑦𝑦
𝑚𝑜𝑑𝑜 𝐼⎹ 𝜃=0)=𝐶√2𝜋
𝐾𝐼𝐼=𝑙𝑖𝑚𝑟→0(√2𝜋𝑟𝜎𝑥𝑦
𝑚𝑜𝑑𝑜 𝐼𝐼⎹ 𝜃=0)=𝐶√2𝜋
𝐾𝐼𝐼𝐼=𝑙𝑖𝑚𝑟→0(√2𝜋𝑟𝜎𝑦𝑧
𝑚𝑜𝑑𝑜 𝐼𝐼𝐼⎹ 𝜃=0)=𝐶√2𝜋
(3 – 4)
De es a o ma, se puede desa olla la o mulación gené ica de la e olución de ensiones y desplazamien os
ce ca del é ice de g ie a a pa i de un SIF exp esado en unidades 𝑀𝑃𝑎∙√𝑚 :
𝜎𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖=𝐾𝑖
√2𝜋𝑟𝑓𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖(𝜃)
𝑢𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖=𝐾𝑖√𝑟
2𝜋𝑔𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖(𝜃)
(3 – 5)
donde 𝑓 y 𝑔 son unciones de inidas pa a cada modo independien es de la ca ga y geome ía. De es a o ma
I win u o la idea de conside a el alo de los SIFs pa a analiza y de ec a la p opagación de las g ie as. De
hecho, expe imen almen e se puede demos a que pa a un de e minado ma e ial que obedezca las hipó esis de
LEFM (Linea Elas ic F ac u e Mechanics), la g ie a se p opaga si el alo del SIF co espondien e alcanza un
cie o alo c í ico 𝐾𝐶 llamado enacidad de ac u a.
Con odo lo desc i o an e io men e se puede es ablece un c i e io de p opagación de g ie a pa a el modo I:
𝐾𝐼<𝐾𝐼𝐶 : la g ie a no se p opaga
𝐾𝐼>𝐾𝐼𝐶 : la g ie a se p opaga
(3 – 6)
El é mino 𝐾𝐼𝐶 ep esen a la enacidad de ac u a. Cabe des aca que bajo las hipó esis de LEFM, 𝐾𝐼 depende
exclusi amen e de la geome ía y las condiciones de ca ga, mien as que 𝐾𝐼𝐶 depende solamen e del ma e ial.
Po o o lado, hay que señala que los ma e iales dúc iles ienen una enacidad de ac u a mayo , aunque
14
no malmen e las hipó esis de LEFM no se cumplen debido a que su compo amien o no es elás ico. Algunos
ma e iales ienen un compo amien o ágil a bajas empe a u as y un compo amien o dúc il a al as
empe a u as. Pa a dichos ma e iales la enacidad depende de la empe a u a y exis e una zona de ansición, al
y como se mues a en la Figu a 10.
Figu a 10: E olución de la enacidad en unción de la empe a u a en ace os [11].
Figu a 11: Valo es ípicos de 𝐾𝐼𝐶 y lími e elás ico pa a di e en es ma e iales [11].
O a cues ión in e esan e es cómo se puede de e mina el alo de los SIFs, los cuales es án asociados a la
enacidad del ma e ial. Tal y como se comen ó p e iamen e, es os ac o es dependen de la geome ía y de las
condiciones de ca ga. En la p ác ica, exis en dis in os mé odos en e los que se encuen an el mé odo analí ico,
el mé odo de supe posición, manuales especí icos, mé odo de elemen os ini ios (FEM) y el mé odo de en oque
ene gé ico.
El mé odo analí ico solamen e puede u iliza se en cass simples en los cuales exis a una g ie a de amaño 2𝑎 en
una placa in ini a. En es os casos los esul ados analí icos pa a los di e en es SIFs son los que se mues an a
con inuación.
𝐾𝐼=𝜎∞√𝜋𝑎
𝐾𝐼𝐼=𝜏∞√𝜋𝑎
𝐾𝐼𝐼𝐼=𝜏∞√𝜋𝑎
(3 – 7)
Pa a casos mas complejos, se u ilizan o as exp esiones pa a el cálculo de los SIFs al y como se mues a a
con inuación.
𝐾𝐼=𝛽𝐼𝜎∞√𝜋𝑎
𝐾𝐼𝐼=𝛽𝐼𝐼𝜏∞√𝜋𝑎
𝐾𝐼𝐼𝐼=𝛽𝐼𝐼𝐼𝜏∞√𝜋𝑎
(3 – 8)
donde 𝛽𝑖 son alo es que dependen de la geome ía y del amaño de la g ie a.
15
(a)
(b)
(c)
Figu a 12: G ie a cen ada en placa in ini a en modo I (a), en modo II (b) y en modo III (c) [11].
Tal y como se ha is o p e iamen e, el amaño de g ie a c í ico es a elacionado con la ene gía de ac u a.
Conside emos un caso de una placa in ini o con una g ie a cen ada de longi ud 2𝑎, y omemos un sis ema de
coo denadas pola en uno de los é ice de la g ie a en el es ado inicial, es deci , an es de que la g ie a se haya
p opagado ( e Figu a 13). El campo de ensiones y desplazamien os pueden calcula se omando los alo es de
𝜃=0º y 𝑥=𝑟+𝑎:
𝜎𝑦𝑦
0(𝜃=0;𝑟=𝑥−𝑎)=𝜎∞√𝑎
√2(𝑥−𝑎)
𝑢𝑦0(𝜃=0;𝑟=𝑥−𝑎)=0
(3 – 9)
Aho a conside emos que la g ie a ha c ecido y ha alcanzado una longi ud 2(𝑎+∆𝑎). El campo de ensiones y
desplazamien o a iba y debajo de los bo des de g ie a se pueden calcula conside ando alo es 𝜃 y x ales que
𝜃=±𝜋 y 𝑥=𝑎+∆𝑎−𝑟:
𝜎𝑦𝑦
0(𝜃=𝜋 ; 𝑟=𝑎+∆𝑎−𝑥)=0
𝑢𝑦0(𝜃=±𝜋 ; 𝑟=𝑎+∆𝑎−𝑥)=±𝜎∞(1+𝜈)(𝜅+1)
𝐸√2√𝑎+∆𝑎√𝑎+∆𝑎−𝑥
(3 – 10)
(a)
(b)
Figu a 13: G ie a inicial (a) y g ie a p opagada (b) [11].

16
De las exp esiones an e io es se puede deduci que an es de la p opagación exis e un campo de desplazamien o
𝜎𝑦𝑦
0 dis in o de ce o pe o un desplazamien o nulo, mien as que as la p opagación exis e un desplazamien o 𝑢𝑦0
asociado a la ape u a de la g ie a pe o la zona en cues ión es á lib e de ensiones. Po an o, la es uc u a libe a
ene gía cuando el enso de ensiones exhibe un abajo du an e la p opagación de la g ie a. Es a ene gía se
calcula como se mues a a con inuación:
∆𝐸𝑖𝑛𝑡=−4𝑑𝑧∫ ∫ 𝜎𝑦𝑦𝑑𝑢𝑦𝑑𝑥
𝑢𝑦
1
𝑢𝑦
0
𝑎+∆𝑎
𝑎
(3 – 11)
donde el ac o de 4 iene de conside a que exis e una doble sime ía al ededo de los ejes 𝑥 e 𝑦. Hay que
des aca que exis e un inc emen o de g ie a de amaño ∆𝑎 en cada lado de la g ie a. Conside ando un ma e ial
elás ico lineal, en el p oceso de ape u a de la g ie a la ensión 𝜎𝑦𝑦 debe dec emen a se linealmen e con el
desplazamien o 𝑢𝑦. La exp esión una ez simpli icada queda ía de la siguien e o ma:
∆𝐸𝑖𝑛𝑡=−2𝑑𝑧∫ 𝜎𝑦𝑦
0𝑢𝑦1𝑑𝑥
𝑎+∆𝑎
𝑎
(3 – 12)
A con inuación se aplica el cambio de a iable 𝑥=𝑎+∆𝑎𝑐𝑜𝑠2𝜃, con lo que la exp esión de la ene gía libe ada
queda:
∆𝐸𝑖𝑛𝑡=−𝑑𝑧𝜎∞
2√𝑎(𝑎+∆𝑎)(1+𝜈)(1+𝜅)
2𝐸 𝜋∆𝑎
(3 – 13)
Es a ene gía se puede elaciona con el inc emen o de la supe icie de la g ie a al que 𝑑𝐴=2∆𝑎𝑑𝑧. De es a
o ma se ob iene un concep o muy impo an e en la Mecánica de la F ac u a, la asa de libe ación de ene gía 𝐺:
𝐺=−𝑑𝐸𝑖𝑛𝑡
𝑑𝐴
(3 – 14)
Es a ene gía co esponde a la ene gía libe ada po la es uc u a po unidad de inc emen o de supe icie de la
g ie a. La an e io exp esión puede modi ica se al que:
𝐺=−𝑑𝐸𝑖𝑛𝑡
𝑑𝐴 =lim
∆𝑎→0∆𝐸𝑖𝑛𝑡
2∆𝑎𝑑𝑧=𝜋𝑎𝜎∞
2
4𝐸 (1+𝜈)(𝜅+1)=𝜋𝑎𝜎∞
2
𝐸′=𝐾𝐼2
𝐸′
(3 – 15)
𝐸′=𝐸 pa a un es ado de ensión plana
𝐸′=𝐸
1−𝜈2 pa a un es ado de de o mación plana
Conside ando un es ado de ensión plana, es posible elaciona los SIFs con la asa de libe ación de ene gía 𝐺 ,
de o ma que:
𝐺=𝐾𝐼2
𝐸′+𝐾𝐼𝐼2
𝐸′+𝐾𝐼𝐼𝐼
2(1+𝜈)
𝐸′
(3 – 16)
17
Po o o lado, la ene gía o al puede asumi se como la suma de la ene gía elás ica in e na del ma e ial 𝐸𝑖𝑛𝑡 y la
ene gía necesa ia 𝐸𝑠 pa a c ea una nue a supe icie de g ie a A:
𝐸=𝐸𝑖𝑛𝑡+𝐸𝑠
(3 – 20)
Si se de i a la exp esión an e io espec o a la supe icie de g ie a A y se conside a que la ene gía o al se
conse a (no se conside a disipación de ene gía):
𝜕𝐸
𝜕𝐴=𝜕𝐸𝑖𝑛𝑡
𝜕𝐴 +𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐴=0
(3 – 21)
Teniendo en cuen a la exp esión de la asa de libe ación de ene gía 𝐺, la exp esión an e io pasa a se :
𝐺=−𝜕𝐸𝑖𝑛𝑡
𝜕𝐴 =𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐴
(3 – 22)
Si asumimos que la g ie a es á c eciendo, el é mino 𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐴 co esponde p ecisamen e con el doble de la ene gía
supe icial 𝛾𝑠.
𝐺=−𝜕𝐸𝑖𝑛𝑡
𝜕𝐴 =𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐴=2𝛾𝑠=𝐺𝑐
(3 – 23)
La an e io exp esión signi ica que pa a que una g ie a c ezca la es uc u a iene que libe a una ene gía mayo
o igual a la ene gía eque ida pa a o ma o ma una g ie a. Pa a ma e iales ágiles el alo de 𝐺𝑐 es dos eces
la ene gía supe icial y co esponden con la ene gía eque ida pa a que se p oduzca cli aje. Po an o, el c i e io
pa a que una g ie a c ezca se puede exp esa en é minos de SIF o en é minos ene gé icos, al y como se mues a
a con inuación:
𝐾𝐼≥𝐾𝐼𝐶
𝐺≥𝐺𝐶
(3 – 24)
3.1.1.1 C ecimien o de g ie a. Modo de ac u a mix o
Una cues ión in e esan e que debe plan ea se es: ¿en qué di ección c ece la g ie a? En los pun os siguien es se
e án aspec os undamen ales a ene en cuen a como combinación de modos de ca ga, mé odos de cálculo del
ángulo de p opagación de la g ie a y elación en e la ley cohesi a y pa áme os ca ac e ís icos de la Mecánica
de ac u a.
3.1.1.1.1 Combinación de modos I y II
An e io men e se ha de e minado si la g ie a c ece o no cuando es á ca gada en modo I. En ese caso, po sime ñia
la g ie a se p opaga en línea ec a. Pe o, ¿qué ocu i ía si el modo de ca ga es mix o? ¿Cuál es la condición pa a
que la g ie a c ezca? ¿En que di ección lo hace?
Pa a da espues a a las p egun as an e io es, conside emos un caso de ca ga mix o al y como se mues a en la
Figu a 14, en la cual la ca ga es á o ien ada según una di ección que o ma un ángulo 𝛽 espec o al plano de la
g ie a (un ángulo 𝛽=𝜋/2 co esponde ía al caso de modo I pu o). Bajo es as condiciones de ca ga, la g ie a se
p opaga según un ángulo 𝜃.
18
Figu a 14: Esquema de modo de ca ga mix o [11].
A con inuación, se a a es ablece la o mulación necesa ia pa a e alua los SIFs pa a las condiciones de ca ga
p e iamen e mencionadas. El enso de ensiones es conocido en la di ección de la ca ga y puede exp esa se
e e enciándolo a la g ie a u ilizando una ma iz de o ación:
(𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦)=(cos𝛽 sin𝛽
−sin𝛽 cos𝛽)𝑇(𝜎∞0
0 0)(cos𝛽 sin𝛽
−sin𝛽 cos𝛽)
{ 𝜎𝑥𝑥=𝜎∞ 𝑐𝑜𝑠2𝛽
𝜎𝑥𝑦=𝜎∞sin𝛽cos𝛽
𝜎𝑦𝑦=𝜎∞ 𝑠𝑖𝑛2𝛽
(3 – 25)
Si se asume que la placa es in ini a, los SIFs co espondien es a los modos I y II se ob ienen a pa i del campo
de ensiones yy y xy. La de e minación del ángulo de p opagación de la g ie a se puede lle a a cabo median e
dos mé odos que se e án más adelan e.
{𝐾𝐼=𝜎∞ 𝑠𝑖𝑛2𝛽 √𝜋𝑎
𝐾𝐼𝐼=𝜎∞sin𝛽cos𝛽 √𝜋𝑎
(3 – 26)
3.1.1.1.2 Mé odo de la ensión máxima ci cun e encial
El mé odo de la ensión ci cun e encial máxima ue p opues o po E dogan y Sih en 1963 y es á basado en las
siguien es dos hipó esis:
1. La g ie a c ece en la di ección pa a la cual el SIF elacionado con el modo I es máxima.
2. La g ie a c ece solo si el SIF es mayo que la enacidad medida pa a el modo I pu o.
Como el modo I en la nue a es uc u a es á ca ac e izada po la nue a ensión 𝜎𝑦𝑦, po ejemplo 𝜎𝜃𝜃, el c i e io
de p opagación de la g ie a es el siguien e:
(√2𝜋𝑟𝜎𝜃𝜃(𝑟,𝜃∗))≥𝐾𝐼𝐶
(3 – 27)
19
El alo de la di ección de p opagación 𝜃∗ se ob iene del siguien e sis ema:
{𝜕𝜎𝜃𝜃
𝜕𝜃 ⎹𝜃∗=0
𝜕2𝜎𝜃𝜃
𝜕𝜃2⎹𝜃∗<0
(3 – 28)
A pa i de las exp esiones del campo de ensiones pa a un p oblema 2D y modos I y II, aplicando el p incipio
de supe posición se ob ienen las exp esiones del campo de ensiones pa a modo mix o:
𝜎𝑥𝑥=1
√2𝜋𝑟[𝐾𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃2−𝐾𝐼
2𝑠𝑖𝑛3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2−2𝐾𝐼𝐼𝑠𝑖𝑛𝜃2−𝐾𝐼𝐼
2𝑐𝑜𝑠3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2]
𝜎𝑦𝑦=1
√2𝜋𝑟[𝐾𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃2+𝐾𝐼
2𝑠𝑖𝑛3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2+𝐾𝐼𝐼
2𝑐𝑜𝑠3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2]
𝜎𝑥𝑦=1
√2𝜋𝑟[𝐾𝐼
2𝑐𝑜𝑠3𝜃
2sin𝜃+𝐾𝐼𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃2−𝐾𝐼𝐼
2𝑠𝑖𝑛3𝜃
2𝑠𝑖𝑛𝜃2]
(3 – 29)
Aplicando una o ación pa a exp esa el enso de ensiones en coo denadas pola es, se ob iene la exp esión de
la ensión ci cun e encial 𝜎𝜃𝜃:
𝜎𝜃𝜃(𝜃=𝛽)=𝜎𝑦𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝛽+𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝛽−2𝜎𝑥𝑦sin𝛽cos𝛽
(3 – 30)
Sus i uyendo las exp esiones del campo de ensiones en coo denadas ca esianas y ealizando las con enien es
ag upaciones, se puede exp esa 𝜎𝜃𝜃 como se mues a a con inuación:
𝜎𝜃𝜃=𝐾𝐼
√2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠3𝜃2−3𝐾𝐼𝐼
2√2𝜋𝑟sin𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃2
(3 – 31)
Si aho a se in oduce el a io de ca ga mix a co 𝛽∗=𝐾𝐼𝐼
𝐾𝐼, la exp esión de la ensión ci cun e encial queda de la
siguien e o ma:
𝜎𝜃𝜃=𝐾𝐼
√2𝜋𝑟 [𝑐𝑜𝑠3𝜃2−3co 𝛽∗
2sin𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃2]
(3 – 32)
Conside emos un caso de una placa in ini a some ida a un modo de ca ga mix o ca ac e izado po el a io 𝛽∗
al y como se mues a en la Figu a 15. Se puede conclui que pa a el caso en que 𝛽∗=90 º la ensión
ci cun e encial es máxima pa a 𝜃=0 º y la g ie a se p opaga á en línea ec a, co espondiendo a un modo I
pu o. Pa a 𝛽∗>0 la ensión ci cun e encial es máxima cuando 𝜃<0, lo que signi ica que la g ie a se p opaga
en una di ección más ce ca a la pe pendicula con la ca ga. El ángulo de p opagación de la g ie a puede ob ene se
de acue do a la siguien e exp esión:
0=𝜕𝜎𝜃𝜃
𝜕𝜃 ⎹𝜃∗=𝐾𝐼
√2𝜋𝑟[−32𝑐𝑜𝑠2𝜃∗
2sin𝜃∗
2−3co 𝛽∗
2𝑐𝑜𝑠3𝜃∗
2+3co 𝛽∗𝑠𝑖𝑛2𝜃∗
2cos𝜃∗
2]
(3 – 33)
26
Como se ió an e io men e, la unción de desplazamien o que u iliza el mé odo Singula i y-Based y las
unciones de singula idad 𝐹𝑗(𝑥) son las siguien es:
𝑢(𝑥)=𝑁𝐼(𝑥)∙𝑢𝐼+𝐻(𝑥)∙𝑁𝐼(𝑥)∙𝑎𝐼+𝑁𝐼(𝑥)∙∑𝐹𝑗(𝑥)∙𝑏𝐼𝑗
4
𝑗=1
𝐹𝑗(𝑥)=[√𝑟∙sin𝜃2,√𝑟∙cos𝜃2,√𝑟∙sin𝜃sin𝜃2,√𝑟∙sin𝜃cos𝜃2]
(3 – 53)
donde (𝑟,𝜃) ep esen a las coo denadas de un sis ema de coo denadas pola es con el o igen en el é ice
de la g ie a. Po o o lado, el conjun o de alo es (𝜙,𝜓) pe mi en ca ac e iza las ensiones en el é ice
de la g ie a y el campo de desplazamien os en luga de u iliza las coo denadas locales (𝑟,𝜃). La
elación en e las a iables an e io es se mues a a con inuación:
𝑟=√𝜙2+𝜓2
𝜃=𝑡𝑎𝑛−1𝜓
𝜙
(3 – 54)
Pa a comp ende mejo que ep esen an los alo es 𝜓 y 𝜙 se mues an a con inuación dos
ep esen aciones g á icas que lo cla i ican.
(a)
(b)
Figu a 22: Cálculo y de inición de los alo es 𝜓 y 𝜙 [13].
3.1.3.3 Análisis quasi-es á ico de c ecimien o de g ie a
Con el mé odo XFEM se asume que la simulación de c ecimien o de g ie as es quasi-es á ico. Pa a es e análisis
el mé odo que se u iliza es el Phan om-Node, ya que ANSYS no pe mi e ealiza es e ipo de análisis con el
mé odo Singula i y-Based. Es e mé odo equie e lle a a cabo una se ie de pasos de mane a o denada, los cuales
se explican de alladamen e a con inuación.

27
1. De inición del modelo
Es e paso es común a los dos mé odos. En e las a eas in oluc adas des acan:
a) De inición de los pa áme os de en iquecimien o de la g ie a, con el obje i o de de ini la zona
del modelo en la cual se localiza la g ie a. Es a zona es mejo ada u ilizando nodos in e nos
adicionales. Cabe des aca que es posible de ini a ias g ie as en una misma zona de
en iquecimien o. En es e pun o es necesa io de ini qué mé odo que emos u iliza pa a el
análisis de la g ie a, Phan om-Node o Singula i y-Based [13].
b) De inición del adio de mejo a pa a ene en cuan o los e ec os de las singula idades del é ice
de g ie a. Es e pun o e iden emen e solo se á u ilizado en el mé odo Singula i y-Based. Es e
paso es necesa io debido a que, po de ec o, las unciones de singula idad solo se aplican al
elemen o donde se encuen a el é ice de la g ie a, po lo que si que emos que los e ec os de
dicha singula idad se engan en cuen a en los elemen os de al ededo , debe emos de ini es e
adio [13].
Figu a 23: De inición del adio de en iquecimien o [13].
c) De inición de snap- ole ance. Es e e ce paso solamen e iene aplicabilidad en el mé odo
Singula i y-Based. Es necesa io de ini es a ole ancia debido a que, en un análisis ípico con
es e mé odo, es una buena p ác ica coloca el é ice de g ie a en algún pun o de la zona media
del elemen o [13].
Figu a 24: De inición de snap- ole ance [13].
d) De inición de la g ie a inicial. En es e cua o paso se de inen los alo es 𝜓 y 𝜙. En el caso de
u iliza el mé odo Phan om-Node solamen e se de ini á el alo 𝜙, ya que es e mé odo equie e
in ínsecamen e que el é ice de g ie a se encuen e en el bo de o ca a del elemen o [13].
28
2. De inición del c i e io de c ecimien o de g ie a
ANSYS iene implemen ado los dos siguien es c i e ios de c ecimien o de g ie a:
 STTMAX (C i e io de máxima ensión ci cun e encial)
Es e c i e io se basa en la e aluación del máximo alo de la ensión ci cun e encial 𝜎𝜃𝜃 cuando el
é ice de g ie a cambia de posición [13].
 PSMAX (C i e io de ensión ci cun e encial basado en 𝜎𝑟𝜃=0)
Es e c i e io en una al e na i a al c i e io STTMAX, que consis e en e alua la ensión ci cun e encial
en el pun o donde 𝜎𝑟𝜃=0. Idealmen e ambos c i e ios deben de a oja los mismos esul ados, pe o
debido a la disc e ización en elemen os ini ios, los esul ados pueden di e i un poco [13].
Figu a 25: E aluación de los c i ge ios STTMAX y PSMAX en o no al é ice de g ie a [13].
3. De inición del dec emen o de ensiones en los segmen os de g ie as c eados
Cuando la g ie a comienza a ab i se, las ensiones cohesi as en los segme os de g ie a disminuyen
g adualmen e has a ce o con o me la de o mación aumen a. Dicha disminución de las ensiones se
modela de acue do a una ley cohesi a ígida lineal [13].
Figu a 26: Ley cohesi a ígida lineal [13].
Cuando el desplazamien o pe pendicula en e las dos supe icies de los segmen os de g ie a aumen a,
las ensiones disminuyen linealmen e desde el pun o A has a el pun o B. Mien as la ensión no alcance
el máximo alo especi icado en el c i e io de c ecimien o, la g ie a no c ece á. Cabe des aca ambién
que el á ea ence ada bajo la cu a co esponde a la asa de libe ación de ene gía c í ica 𝐺𝐶, de mane a
que se puede elaciona dicho pa áme o con el alo STTMAX al que 𝐺𝐶=12𝛿𝑛∙𝑆𝑇𝑇𝑀𝐴𝑋
29
4. Especi icación del compo amien o de la zona cohesi a en la g ie a inicial
Las g ie as iniciales en el modelo pueden o no ene un compo amien o cohesi o. En caso de la g ie a
o g ie as iniciales equie an dicho compo amien o, hay que especi ica lo. Es impo an e ene en cuen a
que XFEM solo admi e un compo amien o de la zona cohesi a bilineal.
Además, po de ec o la in e acción en e las supe icies de la g ie a se iene en cuen a usando una
o mulación de sanción de con ac o sencilla en la di ección no mal. Las ca as de la g ie a se asumen
que es án en con ac o lib e de icción [13].
5. E aluación del c i e io de c ecimien o de g ie a
Una ez de inido el c i e io, es necesa io implemen a lo pa a que se pueda lle a a cabo la e aluación
de la ensión ci cun e encial mñaxima en el é ice de g ie a [13].
6. Cálculo del c ecimien o de g ie a
Po úl imo, se p ocede a calcula el c i e io de c ecimien o en la ase de solución, una ez que el análisis
ha con e gido [13].
3.1.3.3.1 Hipó esis en la simulación XFEM de c ecimien o de g ie a
A con inuación, se exponen las hipó esis más ele an es a ene en cuen a en es e ipo de análisis.
 Se asume que el ma e ial p esen a un compo amien o elás ico lineal.
 El análisis se conside a que es quasi-es á ico, sin se posible ealiza o os ipos de análisis.
 Debido a que los e ec os de la singula idad del é ice de g ie a no se ienen en cuen a en es e ipo de
análisis, el campo de ensiones y de o maciones en o no al é ice de g ie a son ap oximados.
3.2 Fo mulación y esolución del p oblema eléc ico con ANSYS
Re omando el obje i o del p oyec o, se a a de ealiza un análisis numé ico pa a se capaces de de ec a y
moni o iza g ie as de dis in os amaños en una placa de composi es compues o po epoxy y MWCNT (Mul i
Walled Ca bon Nano ube). Es e ipo de ma e ial p esen a un compo amien o piezo esis i o, es o es, su
esis i idad eléc ica su e cambios debido a la con ibución de dos ac o es: de o mación de la placa al es a
some ida a unos es ue zos mecánico y la p esencia y c ecimien o de g ie as. Po an o, en es e pun o se a a
es udia la o mulación y como se esuel e el p oblema eléc ico con el so wa e come cial ANSYS.
3.2.1 Cálculo de la espues a piezo esis i a
Modela el compo amien o piezo esis i o de un ma e ial compues o po una ma iz epoxy y MWCNT equie e
combina las ecuaciones que gobie nan su compo amien o eléc ico con aquellas que desc iben el es ado de
de o maciones mecánicas. Pa a ello el enso de esis i idad eléc ica 𝜌𝑒𝑓𝑓 se calcla como la in e sa del enso
conduc i idad eléc ica 𝜎𝑒𝑓𝑓. El enso esis i idad eléc ica puede esc ibi se en o ma ma icial de la siguien e
mane a:
𝜌𝑒𝑓𝑓=[𝜌1𝜌6𝜌5
𝜌6𝜌1𝜌4
𝜌5𝜌4𝜌3]
(3 – 55)
30
Cuando el ma e ial no es á some ido a de o mación, MWCNTs es án o ien ados de mane a alea o ia a lo la go
del ma e ial y el enso de esis i idad eléc ica oma la o ma de una ma iz escala con los é minos de la
diagonal 𝜌0 [14]. Una ez que el ma e ial es á some ido a de o mación mecánica, las componen es de la ma iz
esis i a cambian de acue do a la siguien e exp esión:
[
𝜌1
𝜌2
𝜌3
𝜌4
𝜌5
𝜌6
]
=
[
𝜌0
𝜌0
𝜌0
000
]
+
[
∆𝜌1
∆𝜌2
∆𝜌3
∆𝜌4
∆𝜌5
∆𝜌6
]
o esc i o más compac o, 𝝆𝑒𝑓𝑓=𝝆𝑒𝑓𝑓
0(𝑰+𝒓)
(3 – 56)
donde 𝜌𝑒𝑓𝑓
0 hace e e encia al enso de esis i idad cuando el ma e ial no es á de o mado. El é mino 𝒓 de ine
el enso de cambio ela i o en la esis i idad y puede elaciona se con el enso de de o mación mecánica como
𝒓=𝜫∙ɛ , siendo 𝜫 la ma iz piezo esis i a [14]. Si asumimos que la ma iz piezo esis i a de un compues o
con CNT posee una sime ía c is alina cúbica, se puede esc ibi :
[
∆𝜌1/𝜌0
∆𝜌2/𝜌0
∆𝜌3/𝜌0
∆𝜌4/𝜌0
∆𝜌5/𝜌0
∆𝜌6/𝜌0
]
=
[
𝜆11 𝜆12 𝜆12
𝜆12 𝜆11 𝜆12
𝜆12 𝜆12 𝜆11 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 𝜆44 0 0
0 𝜆44 0
0 0 𝜆44
]
∙
[
ɛ1
ɛ2
ɛ3
2ɛ23
2ɛ13
2ɛ12
]
(3 – 57)
Los é minos 𝜆𝑖𝑗 son las componen es de la ma iz piezo esis i a, po lo que 𝜆11 hace e e encia al e ec o
piezo esis i o a lo la go de un eje c is alino p incipal pa a de o maciones aplicadas en ese eje (e ec o
piezo esis i o longi udinal), 𝜆12 se e ie e al e ec o piezo esis i o a lo la go de un eje c is alino p incipal pa a
de o maciones aplicadas en un eje pe pendicula (e ec o piezo esis i o ans e sal) y 𝜆44 desc ibe el e ec o
piezo esis i o en un campo eléc ico ue a del plano debido al cambio de la co ien e inducida en el plano po
la de o mación co an e. Pa a calcula las componen es de 𝜫, se necesi an dos expe imen os i uales: ensayo
de dila ación unila e al es ingida y ensayo de dis o sión [14]:
[∆𝜌1/𝜌0
∆𝜌2/𝜌0
∆𝜌3/𝜌0]=[𝜆11 𝜆12 𝜆12
𝜆12 𝜆11 𝜆12
𝜆12 𝜆12 𝜆11]∙[00
ɛ3]=𝜫𝑑𝑖𝑙∙[00
ɛ3]
[∆𝜌4/𝜌0
∆𝜌5/𝜌0
∆𝜌6/𝜌0]=[𝜆44 0 0
0 𝜆44 0
0 0 𝜆44]∙[00
2ɛ12]=𝜫𝑑𝑖𝑠∙[00
2ɛ12]
(3 – 58)
3.2.2 Resolución del campo eléc ico
Tal y como se ha comen ado p e iamen e, el obje i o es ob ene los cambios que su e la esis encia eléc ica
de la placa cuando es á some ida a una se ie de es ue zos mecánicos y exis e una g ie a que c ece a lo la go del
iempo. Pa a ealiza dicho cálculo, el p ocedimien o consis e en coloca es a égicamen e unos elec odos en
31
los bo des de la placa, al y como se mues a en el cua o capí ulo. Uno de esos elec odos suminis a á un ol aje
de alo conocido ∆𝜙 mien as que el o o elec odo es a á conec ado a ie a.
Dichos elec odos hacen que se induzca un campo eléc ico en la placa, ci culando una co ien e de in ensidad
𝐼 a a és del ma e ial. De acue do a la ley de Ohm, exis e una elación di ec a en e la in esidad y la esis encia,
de o ma que ∆𝜙=𝑅∙𝐼. Si el po encial ∆𝜙 se man iene cons an e y eniendo en cuen a que la esis encia 𝑅 de
la placa a ia á debido a la p esencia de la g ie a y a las de o maciones mecánicas del ma e ial, la in ensidad I
ambién a ia á. Dicho con o as palab as, exis i á una densidad de co ien e 𝐽 en e los bo des en los cuales han
sido colocados los elec odos. El enso de la conduc i idad eléc ica 𝜿 se puede ob ene eniendo en cuen a que
se de ine como la in e sa de la esis i idad, al que 𝛋=𝝆−1 [14]. Po an o, exis e una elación di ec a en e la
densidad de co ien e 𝐽 y el po encial eléc ico ∆𝜙 al que:
𝐉=−𝛋∙∇𝜙
(3 – 59)
Po úl imo, queda ía plan ea la ecuación que esuel e el po encial. La dis ibución del po encial eléc ico 𝜙 en
un dominio Ω ca ac e izado po el enso de conduc i idad eléc ica 𝛋 puede calcula se a endiendo a la ecuación
(3 - 60) como se mues a a con inuación:
∇(𝛋∙∇𝜙)=0
(3 – 60)
Finalmen e, el p oblema consis i á en esol e el campo eléc ico, o la densidad de co ien e 𝐽, y pos e io men e
p ocede al cálculo de la co ien e eléc ica 𝐼, ya que la in ensidad de co ien e no es mas que la suma de las
densidad de la densidad de co ien e que a a iesa una o a ias secciones que engan como ec o es no males a
la supe icie 𝑑𝑠 [14] :
𝐼=∫𝐉∙𝐧
𝑆∙𝑑𝑠
(3 – 61)
3.2.3 Cálculo de la esis encia eléc ica en el panel dañado
Teniendo en cuen a las o mulaciones desc i as en los dos pun os an e io es, si somos capaces de cap u a la
densidad de co ien e que a a iesa cada uno de los elemen os ini os as la disc e ización, se pod á ob ene la
in esidad eléc ica que a a iesa el panel y po ende la esis encia eléc ica de la placa.
Además, en el caso de un análisis quasi-es á ico de c ecimien o de g ie a, el p oblema adica en ob ene el alo
de la densidad de co ien e en cada i e ación del p oceso, es deci , cada ez que la g ie a aumen e su amaño. De
es a o ma, y eniendo en cuen a la ley de Ohm, se pod á ob ene una e olución de la esis encia eléc ica de la
placa en unción del amaño de la g ie a, quedando esuel o el obje i o del p oblema de de ec a y moni o iza
el amaño de la g ie a en odo momen o.
Pa a ealiza el cálculo an e io , es necesa io dispone de las p opiedades elec omecánicas del ma e ial que se
a a ensaya , ales como las componen es de la ma iz piezo esis i a, la conduc i idad eléc ica del ma e ial, el
módulo de elas icidad y el coe icien e de Poisson. Los alo es de dichas p opiedades, ela i as a un ma e ial
compues o po ib a epoxy y MWCNT con un po cen aje de 0,5 𝑤𝑡% se mues an en la siguien e abla.
Componen es de la ma iz piezo esis i a 𝜫
𝜎 (𝑆∙𝑚−1)
𝐸 (𝐺𝑃𝑎)
𝜈
𝜆11
𝜆12
𝜆44
6.84
7.99
1.19
1.22∙10−2
2.86
0.28
Tabla 1: P opiedades elec omecánicas e ec i as de MWCNT/epoxy [15]

32
3.3 Esquema de moni o ización del c ecimien o de g ie a implemen ado con ANSYS
En es e úl imo pun o del e ce capí ulo se an a inclui dos diag amas de lujo que pe mi an in e p e a y da a
conoce al lec o los pasos que se han seguido pa a esol e los p oblemas mecánicos y eléc icos que se abo dan
en es e p oyec o con el so wa e come cial ANSYS.
Figu a 27: Esquema gene al de moni o ización del c ecimien o de g ie a.
En la Figu a 27 se ha esumido de o ma esquemá ica el p oceso que se ha seguido pa a ealiza la moni o ización
i ual del c ecimien o de g ie a con ANSYS. Tal y como puede ap ecia se, el p oceso comienza con un análisis
mecánico, cuypo p ocedimien o se especi ica de alladamen e en la Figu a 28. El análisis mecánico iene como
ou pu un documen o . x con oda la in o mación ela i a a las coo denadas del é ice de g ie a con o me es a
a a anzando en el modelo c eado.
El documen o . x con con las coo denadas del é ice de g ie a si e como inpu pa a el análisis elec oes á ico
y piezo esis i o que se ealiza pos e io men e. Cabe des aca que ambos análisis es án ín imamen e
elacionados. La di e encia en e ellos adica en que, en el análisis piezo esis i o se imponen condiciones de
con o no eléc icas y mecánicas, mien as que en el análisis elec oes á ico solo se u ilizan condiciones de
con o no eléc icas.
Con el análisis elec oes á ico y piezo esis i o se p e ende ob ene la densidad de co ien e en cada uno de los
pasos de ca ga, es deci , el análisis se ealiza an as eces como posiciones nue as alcancen los é ices de g ie a
del p oblema mecánico, ob eniendo de es a o ma un alo de la densidad de co ien e en cada uno de los a ances
de la g ie a. Es a in o mación se esc ibe en un documen o . x que se á el ou pu del análisis elec oes á ico y
piezo esis i o, que se i á a su ez como inpu pa a el pos e io a amien o de da os que se ealiza á en
MATLAB pa a ob ene inalmen e los esul ados que se mos a án en el capí ulo cua o. Aunque en el esquema
an e io no se ha ep esen ado, el documen o con las coo denadas del é ice de g ie a son ambién inpu pa a el
pos p ocesado de da os. El p ocedimien o seguido pa a el análisis elec oes á ico y piezo esis i o se de alla en
la Figu a 29.
33
Figu a 28: Diag ama de lujo de la esolución del p oblema mecánico con ANSYS.
34
Figu a 29: Diag ama de lujo de la esolución del p oblema elec oes á ico y piezo esis i o con ANSYS.
35
4 ESTUDIOS NUMÉRICOS
n es e cua o capí ulo se a a abo da los es udios numé icos del p oyec o, los cuales aba can los
p ocedimien os ealizados an o pa a la de ección de g ie as como pa a la moni o ización del c ecimien o
de las mismas.
En la p ime a pa e, e e en e a la de ección de g ie as, se es udia á el caso de una placa cuad ada some ida a una
ca ga de acción con una g ie a cen al ya exis en e. En es a pa e se ha á un es udio es á ico y se abo da án
dis in as con igu aciones y casuís icas que se de alla án mas adelan e.
Po o a pa e, en cuan o a la moni o ización del c ecimien o de g ie as, se es udia án pa alelamen e dos casos.
El p ime o de ellos hace e e encia al mismo p oblema es udiado en la p ime a pa e de es e capí ulo. El segundo
de ellos, abo da á el caso de una placa ec angula some ida a lexión en dos pun os con una g ie a inicial si uada
en el bo de de la placa. En ambos casos, se es udia á el c ecimien o de g ie as p ede inidas con dis in as
o ien aciones y la elación exis en e en e dicho c ecimien o y la esis i idad de la placa.
4.1 De ección de g ie as: análisis es á ico
Tal y como se comen ó p e iamen e en la desc ipción de es e capí ulo, en es e pun o se a a abo da el p oblema
de una placa cuad ada con una g ie a p ede inida con dis in as o ien aciones. A pa i de es a con igu ación, se
ealiza án dos análisis:
 Análisis mecánico
Llamamos análisis mecánico al es udio elacionado con el cálculo de pa áme os ca ac e ís icos de la
Mecánica de F ac u a Lineal. En es e p ime es udio se calcula á analí icamen e los alo es de los SIF,
an o KI como KII, y se compa a án los alo es ob enidos con los alo es eó icos.
 Análisis eléc ico
El análisis eléc ico hace e e encia al cálculo de la esis encia eléc ica de la placa en unción del ángulo
de inclinación de la g ie a espec o a la ho izon al. En es e pun o se es udia á la a iación de la
esis encia eléc ica pa a dis in as o ien aciones con elación al caso de ausencia de g ie a incial
Los dos es udios an e io es se acompaña án de o os es udios secunda ios:
 Es udio de la in luencia del amaño de la g ie a al cálculo de los SIFs.
 Es udio de la in luencia en la esis i idad de la placa de conside a o no conduc ancia en la g ie a.
 Medición y de ección de a ias g ie as en la placa.
E
42
L/a=10
L/a=5
L/a=2.5
L/a=1.5
Figu a 38: In luencia del amaño de g ie a sob e la dis ibución de po encial eléc ico pa a 𝛼=45 º

43
4.1.2.2 In luencia de la pe mi i idad eléc ica de la g ie a pa a a ias o ien aciones. G ie a pe meable
Los esul ados mos ados an e io men e son ela i os al caso de una g ie a impe meable, es deci , aquella con
una elación 𝜅𝑐/𝜅𝑚 nula. A con inuación, se a a ealiza un es udio de la in luencia de las condiciones de
pe mi i idad eléc ica en la g ie a (𝜅𝑐/𝜅𝑚) y la o ien ación de la misma (𝛼) en la a iación de la esis encia
eléc ica. Los esul ados se mues an en la Figu a 39, y son ela i os al caso conc e o de L/a=1.5.
Figu a 39: In luencia de las condiciones de pe mi i idad eléc ica en la g ie a (𝜅𝑐/𝜅𝑚) y la o ien ación (𝛼) en
la a iación de la esis encia eléc ica (𝑅).
En la Figu a 39 puede obse a se que la pe mi i idad eléc ica de la g ie a es un pa áme o que de e mina la
esis encia eléc ica de la placa. Cuan o meno sea el alo de la elación 𝜅𝑐/𝜅𝑚, es deci , cuan o mas p óximo
es e 𝜅𝑐 del alo nulo (caso de g ie a eléc icamen e impe meable), mayo es la esis encia eléc ica de la placa.
A con inuación, en las Figu as 40 y 41 se mues a la dis ibución del po encial eléc ica pa a el caso 𝐿/𝑎=1.5
y alo es de o ien ación de la g ie a 𝛼=0 º y 𝛼=45 º pa a dis in as elaciones 𝜅𝑐/𝜅𝑚. Obsé ese en la Figu a
41 la di e encia en e la dis ibuciñon de po encial eléc ico pa a
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.001 y 𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.5, si uaciones opues ass lo más simila posible al caso de g ie a impe meable y
pe meable, espec i amen e.
44
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.001
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.01
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.1
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.5
Figu a 40: In luencia de la pe mi idad sob e la dis ibución de po encial eléc ico pa a 𝛼=0 º y 𝐿/𝑎=1.5.
45
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.001
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.01
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.1
𝜅𝑐/𝜅𝑚=0.5
Figu a 41: In luencia de la pe mi idad sob e la dis ibucuión de po encial eléc ico pa a 𝛼=45 º y 𝐿/𝑎=1.5.
4.1.2.3 Medición y de ección de a ias g ie as
En es e úl imo p oblema se a a u iliza la misma geome ía pa a la placa e iguales condiciones de con o no
eléc ica que en los casos an e io es. Conc e amen e se an a modela dos g ie as ho izon ales impe mables
(𝜅𝑐=0) cuyos amaños se án la mi ad de la g ie a o iginal, es deci , si el semiancho de g ie a inicial lo
llamamos 𝑎1 y al semiancho de las g ie a nue a como 𝑎2, se ob iene la elación 𝑎1=2𝑎2.
Con es e es udio se p e ende analiza si los esul ados ob enidos son iguales al caso de que exis ie a una g ie a
equi alen e de amaño 𝑎1. Pa a la localización de dichas g ie as se u iliza án dos pa áme os: 𝛿𝑥 y 𝛿𝑦. En el caso
de 𝛿𝑥, ep esen a la dis ancia en e los é ices de g ie a más p óximos de ambas g ie as. Po o o lado 𝛿𝑦
ep esen a la dis ancia en e los ejes de las dos g ie as.
Con la desc ipción an e io , pa ece azonable de ini dos sis emas de coo denadas locales pa a cada una de las
g ie as. El sis ema x’ - y’ (g ie a 1) end á su o igen en el pun o (−𝛿𝑥/2 ,𝛿𝑦/2). Po o o lado, el o igen del
sis ema x’’ - y’’ se encon a á en el pun o (𝛿𝑥/2 ,−𝛿𝑦/2).
Una ez desc i o los pa áme os a u iliza y la geome ía de la placa, se p ocede á a u iliza di e en es elaciones
𝛿𝑦/𝑎2 pa a simula dis in os casos en los que las g ie as se encuen en a mayo o meno dis ancia en e sí.
46
Conc e amen e se simula án los casos 𝛿𝑦/𝑎2=[0,0.1,0.5,1]. Como esul a lógico, ambas g ie as es á an
alineadas en di ección x cuando 𝛿𝑦/𝑎2=0. Pa a comp ende un poco mejo la iloso ía de es e p oblema, se
mues a en la Figu a 42 un esquema. Una ez comp endido el p oblema, se p ocede a ealiza el análisis
eléc ico. Los esul ados del mismo se mues an a con inuación en la Figu a 43.
Figu a 42: Esquema p oblema eléc ico pa a la medición y de ección de dos g ie as equi alen es a la o iginal.
Figu a 43: In luencia de la sepa ación 𝛿𝑥 y 𝛿𝑦 en la a iación de la esis encia eléc ica del p oblema con
g ie a equi alen e.
De la igu a an e io puede deduci se que los meno es alo es de esis encia eléc ica de la placa se alcanzan
cuando las g ie as es án sepa adas en di ección x un alo nega i o de 0.01 m, es deci , cuando las g ie as es án
47
solapadas. Po o a pa e, los alo es más al os de esis encia eléc ica se alcanzan pa a alo es de 𝛿𝑥=0.
Po úl imo cabe des aca el esul ado ob enido pa a 𝛿𝑥=0 y 𝛿𝑦/𝑎2=0. Es os alo es ep esen an la si uación
en la que las dos g ie as se encuen an alineadas según su eje mayo y en la que los é ices de echo e izquie do
de las g ie as 1 y 2 coinciden, lo que es equi alen e al caso de una sola g ie a cuya amaño sea
2𝑎1. Se puede comp oba la cohe encia del esul ado, ya que la elación 𝑅2/𝑅1 oma un alo p ác icamen e
igual a la unidad. A con inuación, las Figu as 44-46 mues an la dis ibución del po encial eléc ico pa a las
dis in as elaciones 𝛿𝑦/𝑎2 y pa a alo es 𝛿𝑥/𝑎2=[−0.5 0 0.5], ep esen ando ísicamen e es os alo es los
casos de g ie a “enmasca ada” y g ie as sepa adas en la di ección longi udinal de la g ie a.
a)
b)
Figu a 44: Po encial eléc ico pa a 𝛿𝑦/𝑎2=0 (a) y 𝛿𝑦/𝑎2=0.05 (b).

48
a)
b)
Figu a 45: Po encial eléc ico pa a 𝛿𝑦/𝑎2=0.1 (a) y 𝛿𝑦/𝑎2=0.5 (b).
49
a)
b)
Figu a 46: Po encial eléc ico pa a 𝛿𝑦/𝑎2=1 (a) y 𝛿𝑦/𝑎2=2 (b).
50
4.1.3 Análisis piezo esis i o
El modelo que se ha simulado co esponde a un ma e ial compues o po una ma iz epoxy y MWCNTs como
e ue zos. Como se comen ó en el capí ulo e ce o, es e ma e ial p esen a un compo amien o piezo esis i o, de
o ma que la esis encia eléc ica de la placa expe imen a una a iación al de o ma se. Has a aho a, solo se ha
ealizado un análisis elec oes á ico, en el cual se ha analizado la a iación que expe iemen a la esis encia
eléc ica de la placa cuando exis e una g ie a inicial, independien emen e de la con igu ación y ca ac e ís icas de
dicha g ie a. En es e pun o se a a ealiza un análisis piezo esis i o pa a e si exis e di e encia en e ealiza
un análisis pu amen e eléc ico y un análisis in oduciendo dicho compo amien o piezo esis i o del ma e ial.
Pa a ello el análisis se ha ealizado conside ando el caso de una g ie a impe meable, mos ándose los esul ados
ob enidos en la Figu a 47.
Figu a 47: Compa ación en e análisis piezo esis i o y elec oes á ico.
De la Figu a 47 puede conclui se que, pa a un caso de g ie a es á ica como el analizado, a penas exis en
di e encias en e los esul ados ob enidos al conside a el e ec o piezo esis i o o no, quedando jus i icado que
los esul ados ob enidos en el análisis elec oes á ico son álidos pa a el caso de g ie a es á ica.
4.2 Moni o ización i ual del c ecimien o de g ie as
En es e segundo pun o del capí ulo cua o, se abo da á el ema de la moni o ización i ual de g ie as dinámicas,
es deci , g ie as que an c eciendo p og esi amen e al es a some ida la placa en cues ión a unos es ue zos
de e minados.
Al igual que se hizo en el pun o an e io , pa a ealiza el es udio co ec amen e se a a lle a a cabo un análisis
mecánico y un análisis eléc ico.
 Análisis mecánico
El análisis mecánico iene po obje i o de ini la geome ía del p oblema, la con igu ación de ca gas y
condiciones de con o no, la de inición de una g ie a inicial y inalmen e analiza el c ecimien o de la
misma. A a és de es e análisis se emos capaces de conoce el es ado de la g ie a y su amaño en cada
momen o.
51
 Análisis elec oes á ico
Una ez ealizado el análisis mecánico, se p ocede á a diseña el p oblema elec oes á ico A a és de
es e p oblema se p e ende analiza la a iación de la esis i idad de la placa con o me la g ie a a
alcanzado una nue a posición a lo la go de su p oceso de c ecimien o. De es a o ma se emos capaces
de e alua la esis encia eléc ica de la placa pa a cada amaño de g ie a con o me es a a c eciendo a
lo la go del plano de la placa.
Pa a abo da es e pun o se han p oyec ado dos p oblemas dis in os. Uno de ellos es o almen e indén ico al
p oblema abo dado en el caso de g ie a es á ica, es deci , el p oblema es a á compues o po una placa cuad ada
some ida a acción. La única di e encia es que en es e caso no se impond án es ue zos en el bo de supe io de
la placa, sino que se impond á un desplazamien o 𝑢𝑦.
El segundo p oblema consis e en una placa ec angula apoyada en dos pun os some ida a lexión. Pa a ello el
p oblema se ha modelado aplicando un desplazamien o 𝑢𝑦 en di ección y nega i a aplicado en el pun o cen al
del bo de supe io de la placa.
Tal y como se comen ó p e iamen e, el obje i o es moni o iza el c ecimien o de la g ie a y se capaces de
analiza la in luencia que iene dicho c ecimien o en la a iación de la esis encia eléc ica de la placa. Ambos
es udios, an o el mecánico como el eléc ico, se ejecu a án pa a los dos p oblemas mencionados.
Po úl imo, cabe des aca que los análisis se ealiza an pa a dis in as con igu aciones de g ie a, es deci , la g ie a
se de ini á inicialmen e con dis in os ángulos de o ien ación y pos e io men e la g ie a c ece á en la di ección
que enga que hace lo po la na u aleza del p oblema.
4.2.1 Placa con g ie a in e na
4.2.1.1 Análisis mecánico
Pa a desa olla como se ha lle ado a cabo el análisis y la ob ención de los esul ados de la pa e mecánica, se
ha á una dis inción en e los dos p oblemas comen ados p e iamen e, ya que cada uno de ellos p esen a una
con igu ación dis in a.
En p ime luga , se a a desc ibi la geome ía de la placa, con igu ación de ca gas y condiciones de con o no y
la de inición de la g ie a inicial. Pos e io men e se da á paso a la jus i icación del mallado y elemen os u ilizados.
Po úl imo, se inaliza á con el análisis de los esul ados ob enidos.
Respec o a la geome ía, se a a de una placa cuad ada (2L x 2L x ; L=100mm y =2 mm), la cuál es a á
some ida a un desplazamien o uni o me aplicado en el bo de supe io de la placa (𝑢𝑦=0,0025 𝑚). Además,
se impond án unas condiciones de con o no en el bo de in e io de la placa, de mane a que los desplazamien os
en di ección y es á an impedidos en odo el bo de in e io y el desplazamien o en di ección x sólo es a á
impedido en el pun o cen al del bo de in e io ( e Figu a 48).
La placa p esen a una g ie a ec a cen ada con una o ien ación que i á a iando en cada una de las
con igu aciones. Los dis in os ángulos adop ados pa a el análisis son 0 º, 15 º, 30 º, 45 º, 60 º y 75 º. En la Figu a
48 se mues a un esquema que ep esen a la con igu ación adop ada pa a el análisis mecánico.
Pa a el mallado de la placa se han u ilizado elemen os ipo PLANE182. Con el obe i o de acili a la de inición
de la g ie a inicial y ob ene unos esul ados cohe en es de c ecimien o, la placa se ha di idido en sie e á eas
dis in as al y como puede e se en la Figu a 49.
58
(a)
(b)
(c)
(d)
Figu a 58: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a acción pa a 𝛼=45 º.
Figu a 59: Análisis de la in luencia del amaño de g ie a en la a iación de la esis encia eléc ica en el caso de
placa some ida a acción pa a 𝛼=[0,15,30,45,60,75] º.

59
4.2.1.3 Análisis piezo esis i o
Al igual que se hizo en el análisis es á ico de g ie as, se a ealiza un análisis piezo esis i o pa a e si exis en
di e encias al conside a el e ec o piezo esis i o del ma e ial o no. La Figu a 60 mues a los esul ados ob enidos
de es e análisis, pudiéndose es ablece una compa ación en e los esul ados del análisis elec oes á ico ejecu ado
p e iamen e y el análisis piezo esis i o.
Figu a 60: Compa ación análisis piezo esis i o y elec oes á ico pa a placa con g ie a in e na.
Tal y como puede obse a se en la igu a an e io , al in oduci el e ec o piezo esis i o la esis encia eléc ica
de la placa aumen a pa a odas las inclinaciones de g ie a analizadas. Sin emba go, hay que des aca que la
in luencia de inclui o no el e ec o piezo esis i o en el análisis es mínimo. El e o de consida o no el e ec o
esis i o se encuen a en un ango del 4 % y 6 %. Po an o, puede llega se a la conclusión de que los análisis
p e iamen e ealizados sin conside a el e ec o piezo esis i o son o almen e álidos.
4.2.2 Viga a lexión en es pun os con de ec o de bo de
4.2.2.1 Análisis mecánico
Al igual que se hizo con el p oblema an e io , p ime o a a ealiza se una desc ipción de la geome ía de la placa,
con igu ación de ca gas y condiciones de con o no y de la g ie a inicial. Luego se jus i ica á la malla y elemen os
u ilizados. Finalmen e se ha á un análisis de los esul ados ob enidos.
Se a a de una placa plana ec angula (𝐿 𝑥 𝑊 𝑥 𝑡 ; 𝐿=100𝑚𝑚,𝑊=30 𝑚𝑚 𝑦 𝑡=2 𝑚𝑚), la cuál es a á
some ida a un desplazamien o aplicado en el pun o cen al del bo de supe io de la placa (𝑢𝑦=−0,003 𝑚).
Además, se impond án unas condiciones de con o no en las esquinas in e io es de echa e izquie da de la placa,
de o ma que los desplazamien os en di ección y quedan impedidos ( e Figu a 61).
La placa p esen a una g ie a ec a localizada en el cen o del bo de in e io de la placa, con una o ien ación que
i á a iando en cada una de las con igu aciones. Los dis in os ángulos seleccionados pa a ejecu a el análisis son
0 º, 15 º, 30 º, 45 º y 60 º.
Dicha g ie a cuen a con un sis ema de coo denadas local que no coincide con el sis ema de coo denadas global.
El sis ema de coo denadas global iene su o igen en el bo de in e io izquie do de la placa. Po o a pa e, el
sis ema de coo denadas global es á o ien ado según la g ie a, de o ma que el eje x’ iene la di ección del eje de
60
la g ie a y el eje y’ es pe pendicula a la misma. Al es a ligado dicho sis ema de coo denadas a la g ie a, el eje
x’ o ma á un ángulo 𝛼+ 𝜋/2 espec o al eje x global, siendo 𝛼 el ángulo de o ien ación de la g ie a espec o
a la e ical.
En la Figu a 61 se mues a un esquema que ep esen a la con igu ación adop ada pa a el análisis mecánico. Pa a
el mallado de la placa se han u ilizado elemen os ipo PLANE182. Al igual que en el ejemplo an e io , esul ó
con enien e es udia la dis ibución de á eas pa a pos e io men e malla cada una de ellas y acili a el cálculo y
análisis de esul ados En la Figu a 62 se puede ap ecia la dis ibución elegida.
Figu a 61 Esquema p oblema mecánico de placa con g ie a inclinada some ida a lexión.
Figu a 62: De inición de á eas en p oblema mecánico de placa some ida a lexión pa a 𝛼=45 º.
A con inuación, se jus i ica la dis ibución y de inición de las á eas mos adas en la Figu a 62 al y como se hizo
en el caso an e io :
 Las á eas A2 y A3 se malla án median e “ ee meshing”. En es as á eas no es i al que los elemen os
sean egula es, ya que la g ie a no a a esa á dichas zonas. Sin emba go, al y como se e á más
adelan e, los elemen os adjun os a los bo des de echo e izquie do de la placa son egula es con el
obje i o de ob ene con exac i ud unos esul ados cohe en es pos e io men e en el p oblema eléc ico.
 En las á eas A5 y A6 se u iliza á ambién “mapped meshing” ya que son egula es. Aún asi, es as á eas
pod ían habe sido malladas median e “ ee meshing” ya que la g ie a ampoco pasa á po ellas.
 Las á eas A7 y A8 es a án malladas u ilizando “ ee meshing” al se i egula es. A p io i la g ie a no
a a esa á dichas zonas, aunque en caso de que lo hicie an se ía un eco ido muy co o que no a ec a ía
a los cálculos y ob ención de esul ados.
 En el á ea 4 se á po donde la g ie a a ance en su inmensa mayo ía. Sin emba go, no ha sido posible
u iliza “mapped meshing” al se un á ea i egula . Aún así los elemen os se án lo mas egula es posible
y end án o ma cud ilá e a, lo que acili a á el pos -p ocesado de los esul ados.
61
 Po úl imo, el á ea A1 es el más impo an e de odas ya que en ella se de ini á la g ie a inicial. Es a á ea
se malla á median e “mapped meshing”, con el obje i o de de ini los elemen os con la mayo exac i ud
posible y ene con olado la dis ibución de los mismos. Dicha á ea es a á de inida de acue do al
sis ema de coo denadas local x’ – y’ con o me a la o ien ación de la g ie a (𝛼).
A con inuación, se mues a el mallado u ilizado en la placa pa a el caso de 𝛼=45 º. El p oceso es análogo pa a
el es o de o ien aciones. En la Figu a 63 puede ap ecia se el a ance de la g ie a po cada una de las zonas,
quedando de es a o ma jus icado el mallado u ilizado.
Figu a 63: Mallado de placa some ida a lexión pa a 𝛼=45 º.
Una ez expues o odo lo ela i o a la geome ía y mallado del p oblema, se da á paso al análisis de los
esul ados. La Figu a 64 mues a los isocon o nos de desplazamien o (𝑢𝑦) y la ensión equi alen e de Von
Misses (𝜎𝑒𝑞) pa a el caso de 𝛼=0 º una ez que la g ie a ha alcanzado su amaño inal. Tal y como se hizo en
el p oblema de la placa some ida a acción, se a a mos a una e olución de los isocon o nos de desplazamien o
(𝑢𝑦) pa a di e en es amaño de g ie a. Conc e amen e se mos a án las elaciones 𝑎/𝑎0=[1,2,3,4], donde 𝑎
es el alo de la g ie a en un ins an e 𝑡 y 𝑎0 es el amaño de la g ie a inicial.
Po o o lado, se an a mos a los esul ados ob enidos en cuan o a isocon o nos de desplazamien o (𝑢𝑦) y
ensión equi alen e de Von Misses (𝜎𝑒𝑞) se e ie e, pa a el caso de 𝛼=45 º ( e Figu a 66). En la Figu a 67
se puede e la e olución de los isocon o nos de desplazamien o pa a dis in os amaños de g ie a 𝑎/𝑎0=
[2,3,4].
(a)
(b)
Figu a 64: (a) Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y (b) ensión equi alen e Von Mises 𝜎𝑒𝑞 pa a 𝛼=0 º.
62
(a)
(b)
(c)
(d)
Figu a 65: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y 𝛼=0 º pa a (a) 𝑎/𝑎0=1 , (b) 𝑎/𝑎0=2 , (c) 𝑎/𝑎0=3
y (d) 𝑎/𝑎0=4 .
(a)
(b)
Figu a 66: (a) Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y (b) ensión equi alen e Von Mises 𝜎𝑒𝑞 pa a 𝛼=45 º.
63
(a)
(b)
(c)
Figu a 67: Isocon o nos de desplazamien os 𝑢𝑦 y 𝛼=45 º pa a (a) 𝑎/𝑎0=2, (b) 𝑎/𝑎0=3 y (c) 𝑎/𝑎0=4,
4.2.2.2 Análisis elec oes á ico
En es e pun o abo da emos el análisis elec oes á ico pa a el caso de una placa apoyada en dos pun os some ida
a lexión, cuya geome ía es la misma que la desc i a en el apa ado de análisis mecánico co espondien e.
En es e caso, se coloca en la placa un elec odo que suminis a 10 V en el bo de izquie do de la placa y el bo de
de echo se conec a á a ie a. Pa a el análisis eléc ico se ha u ilizado la misma malla que en el p oblema
mecánico. Cabe des aca que los bo des supe io e in e io de la placa se encuen an aislados eléc icamen e, es
deci , la densidad del lujo eléc ico es nula. A con inuación, en la Figu a 68 se mues a una ep esen ación del
p oblema eléc ico plan eado.
Una ez desc i o el modelo del p oblema eléc ico aplicado a la placa apoyada en dos pun os some ida a lexión,
se da á paso al análisis de esul ados. En la Figu a 69 se mues a la dis ibución del po encial eléc ico
conc e amen e pa a una o ien ación de la g ie a de 𝛼=0 º y 𝛼=45 º.

64
Figu a 68: Esquema p oblema eléc ico de placa con g ie a inclinada gené ica some ida a lexión.
(a)
(b)
Figu a 69: Dis ibución de po encial eléc ico pa a el p oblema de placa some ida a lexión.
Po o o lado, en las Figu as 70 y 71 se mues an los esul ados ela i os a la e olución de la dis ibución del
po encial eléc ico pa a o ien aciones de g ie a 𝛼=0 º y 𝛼=45 º. Pa a ambas o ien aciones se mos a á dicha
e olución pa a un amaño de g ie a 𝑎/𝑎0= [2,3,4].
65
(a)
(b)
(c)
Figu a 70: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a lexión pa a 𝛼=0 º.
66
(a)
(b)
(c)
Figu a 71: E olución de dis ibución del po encial eléc ico placa a lexión pa a 𝛼=45 º.
Po úl imo, se ep esen a á la e olución de cambios de la esis encia eléc ica de la placa (𝑅/𝑅0) en unción del
amaño de longi ud de g ie a (𝑎/𝑎0). Dicha e olución se mos a á pa a o ien aciones de g ie a ales que 𝛼=
[0,15,30,45,60] º ( éase Figu a 72).
67
(a)
(b)
Figu a 72: Análisis de la in luencia del amaño de g ie a en la a iación de la esis encia eléc ica en el caso de
iga some ida a lexión en es pun os pa a (a) 𝛼=0 º y (b) dis in os alo es de 𝛼.
4.2.2.3 Análisis de la a iación de la esis encia eléc ica en e a la lecha en el caso de iga apoyada
some ida a lexión en es pun os
El úl imo análisis lle ado a cabo en el p oyec o consis e en e como a ía la esis encia eléc ica de la iga
some ida a lexión en es pun os con o me la lecha aumen a. Pa a es e análisis se ha u ilizado una o ien ación
de g ie a 𝛼=0 º y conside ando odos y cada uno de los pasos de ca ga que u iliza ANSYS pa a esol e . De
es a o ma, podemos analiza si la esis encia eléc ica a ía linealmen e con o me la lecha aumen a o si po el
con a io en algunos momen os pe manece cons an e ya que, a pesa de exis i un desplazamien o e ical de la
iga, la g ie a no c ece.
Figu a 73: Va iación de la esis encia eléc ica en unción del desplazamien o e ical de la iga.
74
Moni o ización i ual del c ecimien o de g ie as
Código ANSYS: Mecánico g ie a in e na. x
Es e código modela el caso de una g ie a inicial con una inclinación 𝜶 que ha de se in oducida po el
usua io. El p og ama calcula las coo denadas de los é ices de g ie a en cada paso de ca ga y il a
aquellos en los cuales la g ie a c ece. De es a o ma, se almacenan en un a chi o . x que se gene a
au omá ica las coo denadas X e Y de los dos é ices de g ie a.
Código ANSYS: Elec oes á ico g ie a in e na. x
Es e código u iliza como inpu el a chi o . x gene ado an e io men e con los é ices de g ie a y ealiza
un análisis elec oes á ico pa a calcula la densidad de co ien e que a a iesa la placa. Pa a ello, el
p og ama ha sido diseñado de o ma que los elemen os en los cuales se encuen e la g ie a se án anulados,
simulando que en esos elemen os no exis e ma e ial. Gene a á un a chi o. x con los alo es de la
densidad de co ien e o al en cada paso de ca ga.
Código ANSYS: Piezo esis i o g ie a in e na. x
Es e código es simila al an e io , con la di e encia de que se le a ibuyen al ma e ial las p opiedades
eléc icas, mecánicas y piezo esis i as pa a simula el e ec o esis i o del mismo.
Código ANSYS: Mecánico iga lexión. x
Es e código modela el caso de una g ie a inicial con una inclinación 𝜶 que ha de se in oducida po el
usua io. El p og ama calcula las coo denadas de los é ices de g ie a en cada paso de ca ga y las il a
al igual que el código de análisis mecánico de g ie a in e na. Es e código gene a un a chi o . x con los
alo es de la densidad de co ien e en cada paso de ca ga y o o a chi o con la lecha que expe imen a la
iga en cada paso de ca ga.
Código ANSYS: Elec oes á ico iga lexión. x
El código ha sido diseñado pa a ealiza un análisis elec oes á ico al igual que en el caso de g ie a in e na,
con los mismos inpu s y ou pu s.
Código ANSYS: Piezo esis i o iga lexión. x
Igual que el código an e io pe o eniendo en cuen a el e ec o piezo esis i o.

75
Anexo B. Códigos de MATLAB
De ección de g ie as
Código MATLAB: SIFs.m
Es e código ecibe como en ada el alo de los ac o es de in ensidad de ensiones ob enidos en las
simulaciones de ANSYS pa a di e en es ángulos de o ien ación de las g ie as y calcula la con e gencia de
dichos alo es a la solución analí ica.
Código MATLAB: Es a ico_Va iación_Resis encia.m
Es e código u iliza como inpu el alo del lujo eléc ico ob enido en ANSYS pa a di e en es elaciones
L/a y calcula la a iación que expe imen a la esis encia eléc ica de la placa pa a las di e en es elaciones
L/a y o ien aciones de la g ie a.
Código MATLAB: Es a ico_Va iación_Resis encia_Piezo esis i o.m
Es e código es simila al an e io , con la di e encia de que calcula la esis encia eléc ica de la placa
cuando se iene en cuen a el e ec o piezo esis i o, mos ando g á icamen e la di e encia que exis e en e
ejecu a un análisis pu amen e elec oes á ico y un análisis piezo esis i o.
Código MATLAB: Es a ico_G ie a_Pe meable.m
Es e código mues a la di e encia que exis e en la a iación de la esis encia eléc ica de la placa pa a
di e en es o ien aciones de la g ie a y di e en es elaciones 𝜿𝒄/𝜿𝒎.
Código MATLAB: Es a ico_Va ias_G ie as.m
Es e código calcula la a iación de la esis encia eléc ica que expe imen a la placa cuando exis e una
g ie a de amaño a y dos g ie s cuyo amaño es la mi ad de la p ime a. Así mismo se e alúa dicha
di e encia pa a dis in as posiciones y ubicaciones de las g ie as, a iando la dis ancia en di ección X en e
ambas g ie as y la dis ancia en di ección Y en e ellas.
76
Moni o ización i ual del c ecimien o de g ie as
Código MATLAB: G ie a_In e na_C ecimien o.m
Es e código ecibe como inpu el lujo de densidad de co ien e pa a dis in as o ien aciones de g ie a y la
posición del é ice de g ie a en cada paso de ca ga que la g ie a c ece. Con es os da os, calcula la
a iación de la esis encia eléc ica con o me la g ie a a c eciendo.
Código MATLAB: Viga_Flexión_C ecimien o.m
El código es simila al an e io pe o diseñado pa a el p oblema de iga a lexión. La di e encia
undamen al es que en el código an e io exis ían dos é ices de g ie a y en es e p oblema solo uno, po
lo que el código debe se adap ado pa a cap u a es e c ecimien o de g ie a.
Código MATLAB: G ie a_In e na_C ecimien o_Piezo esis i o.m
Es e código pe mi e ealiza una compa ación en e la a iación que expe imen a la esis encia eléc ica
de la placa en el caso de análisis elec oes á ico y análisis piezo esis i o, pa a o ien aciones de g ie a 𝜶=
𝟎 º y 𝜶=𝟒𝟓 º.
Código MATLAB: Viga_Flexión_C ecimien o_Piezo esis i o.m
Es e código ealiza la misma compa ación que el código an e io pe o pa a el caso de iga a lexión.
Código MATLAB: Viga_Flexión_C ecimien o_Flecha.m
Es e código ecibe como inpu el lujo de densidad de co ien e, la posición del é ice de g ie a du an e
el p oceso de c ecimien o y el desplazamien o en di ección Y ( lecha) en cada paso de ca ga. De es a
mane a, se ep esen a la a iación que expe imen a la esis encia eléc ica en unción del desplazamien o
expe imen ado.