Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía de las Tecnologías
Indus iales
Con ol obus o no lineal de un sa éli e en p esencia
de pe u baciones e ince idumb e en los pa áme os
Dp o. Ingenie ía de Sis emas y Au omá ica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Au o : Miguel Díaz Cab e a
Tu o : D . Edua do Fe nández Camacho
Se illa, 2019
iii
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía de Tecnologías Indus iales
Con ol obus o no lineal de un sa éli e en p esencia
de pe u baciones e ince idumb e en los
pa áme os
Au o :
Miguel Díaz Cab e a
Tu o :
D . Edua do Fe nández Camacho
Dp o. de Ingenie ía de Sis emas y Au omá ica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2019
T abajo de in de g ado: Con ol obus o no lineal de un sa éli e en p esencia de pe u baciones e
ince idumb e en los pa áme os
Au o :
Miguel Díaz Cab e a
Tu o :
D . Edua do Fe nández Camacho
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2019
El Sec e a io del T ibunal

Con en s
1In oducción 4
1.1 His o ia .............................. 4
1.1.1 Spu nik1 ......................... 4
1.1.2 Explo e 1......................... 5
1.2 Sis emas de un sa éli e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Clasi icación de las Ó bi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Clasi icación de sa éli es po misión . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Indus ia.............................. 8
1.5.1 P oducción ........................ 9
2Tecnologíadesenso esyac uado esdeunsa éli e 10
2.1 Senso es.............................. 11
2.1.1 Gi oscopios ........................ 11
2.1.2 Senso es sola es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 De ec o es de es ella “S a acke ” . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Magne óme o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Ac uado es ............................ 12
2.2.1 P opulso es ........................ 12
2.2.2 Ruedas de eacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Velassola es........................ 13
3Concep os 13
3.1 Posición y elocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Ma iz de o ación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Cua e niones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Cinemá ica de la O ien ación: Ma iz de o ación y
cua e niones........................ 15
3.2 Concep os ma emá icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Sis ema Lineal y No Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Inme sión de un sis ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Es abilidad ............................ 17
3.5.1 Pun os de equilib io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.2 Es abilidad de pun os de equilib io . . . . . . . . . . . 17
3.5.3 Teo ema de Lyapuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.4 Teo ema de LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Teo ía del p oblema 20
4.1 Caso en que se iene in o mación plena: conocimien o del es-
ado x( )ydelape u baciónw( )............... 21
1
4.2 Caso en que solo se iene in o mación pa cial: conocimien o
de la a iable de e o e( ).................... 21
4.2.1 P oblema de con ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Solución al p oblema de con ol . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.3 Ecuaciones de egulación . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.4 P opiedad de Modelo In e no . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.5 In e p e ación geomé ica de las ecuaciones de egulación 23
5Sis emade e e encia 24
5.1 Cen ado en la Tie a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Cen ado en el sa éli e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Ó bi aLocal ........................... 25
5.4 Posición y elocidad angula espec o al sis ema de coo denadas 26
6Pe u bacionesquea ec analsis ema 27
6.1 G adien e g a i acional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.1 Fue za g a i acional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.2 To que g adien e g a i acional . . . . . . . . . . . . . . 28
7Dinámicadelsis ema 29
7.1 Física del sa éli e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Ecuaciones dinámicas del sa éli e . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3 Ecuaciones dinámicas de e o del sa éli e . . . . . . . . . . . 31
8Leydecon olNolineal 34
8.1 Acción po Modelo In e no uim ................. 34
8.2 Acción Es abilizado a us .................... 35
8.2.1 Es abilidad de la in e conexión del e o de la dinámica
yelmodeloin e no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Ley de con ol: suma de la acción po modelo in e no uim y
acción es abilizado a us ..................... 36
9SimulaciónusandoSimulink 37
9.1 Misión: Vuelo ine cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.1.1 Obje i o de la misión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.1.2 Diseño de la acción de con ol po modelo in e no uim .41
9.1.3 Es abilidad de la in e conexión . . . . . . . . . . . . . 44
9.1.4 Simulación del algo i mo de con ol en Simulink . . . . 45
9.2 Misión: Vuelo o ien ado hacia la ie a . . . . . . . . . . . . . 51
9.2.1 Obje i o de la misión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2.2 Diseño de la acción de con ol po modelo in e no uim .52
2
9.2.3 Simulación del algo i mo de con ol . . . . . . . . . . . 53
9.3 Conclusión............................. 56
3
1In oducción
En es e p oyec o se a a simula leyes de con ol de la o ien ación de un
sa éli e en una ó bi a baja. La dinámica del sa éli e se a a modela con
las ecuaciones clásicas de o ación y a a es a in luída po el e ec o de la
g a edad de la Tie a, la cual c ea una pe u bación sob e el sis ema.
El desa ollo po an o de es e p oyec o a a ene a ias pa es. Se
explica á la ecnología que hace que es o sea posible, la eo ía de con ol
sob e la que se basa la simulación, se explica á ambién las leyes de con ol.
Es e p oyec o se basa en lo desa ollado en el lib o “Robus Au onomous
Guidance”.
Figu e 1: Sa éli e
1.1 His o ia
El p ime sa éli e en en a en se icio ue el a e ac o ae oespacial Spu nik
1delaUniónSo ié icael4oc ub ede1957iniciandoelp og amaso ié ico
Spu nik. Es o ue el comienzo de la ca e a espacial en e Es ados Unidos y
la Unión So ié ica.
1.1.1 Spu nik 1
El Spu nik 1 ue un sa éli e que ue lanzado en una ó bi a elíp ica baja y que
es u o en se icio du an e es semanas has a que las ba e ías se ago a on.
Es e sa éli e enía o ma de bola me áica con un diáme o de 58 cm, con
4an enasde adiopa aemi i señales. Si iópa aes ima ladensidadde
la capa al a de la a mós e a g acias a la ue za de a as e del ai e en su
ó bi a. Adicionalmen e la p opagación de las ondas de adio p opo cionó
in o mación sob e la ionos e a.
4
Figu e 5: Space shu le
siemp e o ien ada hacia la Tie a, o que el calo y ío apo ado po la a-
diación sola se ap o eche de una mane a conc e a, o po guiado: pequeñas
maniob as a p opulsión se deben ejecu a en la co ec a di ección.
2.1 Senso es
Los senso es gene an in o mación que e leja el i mo de cambio en la o i-
en ación. Es os ienen siemp e un umb al de medida.
2.1.1 Gi oscopios
Son disposi i os que miden la o ación en un espacio idimensional sin ene
que ene una e e encia. Pa a ello se basan en el p incipio de conse ación
del momen o angula . T adicionalme ne, un gi oscopio consis e en una ueda
mon ada sob e dos o es suspensiones ca dán
Hoy en día exis en sis emas elec omecánicos (MEMS) que son gi oscopios
mini ua izados en disposi i os elec ónicos.
11

2.1.2 Senso es sola es
Es un ins umen o de na egación que de ec a la posición del Sol. Miden el
ángulo espec o al Sol y lo indican median e señales con inuas y disc e as,
espec i amen e.
2.1.3 De ec o es de es ella “S a acke ”
Es un disposi i o óp ico que mide la posición de las es ellas u ilizando cám-
as. Teniendo en cuen a que ya se conocen las posiciones de muchas es ellas
con g an p ecisión es e disposi i o mon ado sob e un sa éli e se puede u i-
liza pa a conoce la o ien ación espec o a las es ellas. Pa a es o el de ec o
de es ella iene que ob ene una imagen de las es ellas, medi la posición
espec o al sis ema e e encial del sa éli e e iden i ica las es ellas de mane a
que un p ocesado pueda compa a con la bases de da os la posición absolu a
de es as es ellas.
2.1.4 Magne óme o
Es un ins umen o que mide el campo magné ico la di ección de es e. Luego
se compa a con un mapa del campo magné ico e es e gua dado en una
memo ia a bo do. Y si sabe la posición del sa éli e se puede medi la o i-
en ación.
2.2 Ac uado es
2.2.1 P opulso es
Un p opulso es capaz de c ea un momen o espec o al cen o de g a edad del
sa éli e pa a cambia la o ien ación gi ando sob e los 3 ejes p incipales. Pa a
es o se deben dis ibui de mane a o ganizada en la es uc u a del sa éli e de
mane a que puedan gene a momen os de ue za sin gene a una anslación
del ehículo.
Las limi aciones de es os son el uso de combus ible, gas o del mo o , y
de los ciclos de las ál ualas. La e iciencia del combus ible se mide con el
meno impulso que pueda apo a el p opulso .
2.2.2 Ruedas de eacción
Es os son uedas que gi an debido a un mo o eléc ico equipado en el sa éli e.
Cuando es as uedas se ac i an hacen po el conse ación del momen o an-
gula el sa éli e empiece a gi a en el sen ido opues o.
12
Debido a su baja masa y a que son con oladas po o denado ienen una
g an p ecisión lo que pe mi e ealiza pequeños gi os.
2.2.3 Velas sola es
Son disposi i os que p oducen una ue za debido a luz que impac a con a
es as. Es e ipo de disposi i os aho a combus ible en una misión de la ga
du ación debido a que no iene un gas o ene gé ico.
3 Concep os
3.1 Posición y elocidad
3.1.1 Ma iz de o ación
Un sis ema de coo denadas Fse de ine como F={O, !i,
!j,
!k}donde se
de ine un cen o de coo denadas y una base canónica en R3,
i=0
@
1
0
01
A,j=0
@
0
1
01
A,k=0
@
0
0
11
A
Una ma iz de o ación exp esa la di e encia de posición angula u o i-
en ación en e dos sis emas de coo denadas dis in as. Se llama Fa={Oa,!ia,!ja,!
ka}
aunsis emayFb={Ob,!ib,!jb,!kb}al o o sis ema. La o ien ación de Fb
ela i a a a Fa iene exp esada po la ma iz de o ación:
Rab =0
B
@
!ib·!ia
!jb·!ia
!kb·!ia
!ib·!ja
!jb·!ja
!kb·!ja
!ib·!
ka
!jb·!
ka
!kb·!
ka
1
C
A
Es a ma iz de o ación es un elemen o del g upo especial o ogonal
SO(3) ⇢R3x3,esdeci ,elconjun o:
SO(3) = {R2R3x3:RRT=I,de (R)=1}
Y elacionados ec o esuni a iosexp esadosencadaunodees osdos
sis emas de coo denadas:
⇣!ib
!jb
!kb⌘=Rab ⇣!ia
!ja
!
ka⌘
Un ec o gené ico ! se esuel e en FayFbcomo
13
! = a
1
!ia+ a
2
!ja+ a
3
!
ka
y
! = b
1
!ib+ b
2
!jb+ b
3
!kb
La elación en e los dos ec o es:
a=0
@
a
1
a
2
a
31
A,
b=0
@
b
1
b
2
b
31
A
iene dada po la ma iz de o ación:
a=Rab b
3.1.2 Cua e niones
O a mane a de ca ac e iza la o ien ación en e dos sis emas de coo denadas
iene dado po el uso de cua e niones. Es os son un cuad uple de núme os
eales (q0,q
1,q
2,q
3)que cumple con la es icción:
Xq2
i=1
Yque ienede inidopo elconjun o:
S4={x2R4:nxn=1}
No malmen e cada cua e nión se exp esa con un núme o escala y una
pa e ec o ial de dimensión 3:
q=✓q0
q◆
donde q0es la pa e escala y
q=0
@
q1
q2
q31
A
es la pa e ec o ial.
La ma iz de o ación de inida an e io men e es sencilla de isualiza , sin
emba go, los cua e niones no son acilmen e isualizables ya que se habla de
una dimensión 4. Lo que se debe sabe es que cada conjun o de 4 núme os
14
ep esen a una o ien ación pa icula , son áciles de manipula y de a a
compu acionalmen e.
Pa a cada cua e nión qexis e una ma iz conc e a exp esada po :
R(q)=0
@
12q2
22q2
32q1q22q0q32q1q3+2q
0q2
2q1q2+2q
0q312q2
12q2
32q2q32q0q1
2q1q32q0q22q2q3+2q
0q112q2
12q2
21
A
que sa is ace RT(q)R(q)=Iyde (R(q)) = 1.De igual mane a s puede
demos a que pa a cada ma iz de o ación Rexis e un cua e nión qde
mane a que:
R=R(q)
3.1.3 Cinemá ica de la O ien ación: Ma iz de o ación y cua e -
niones
Si un sis ema de coo denadas Fb a ía en el iempo espec o a Fala ma iz
de o ación Rab a ía en el iempo. Es a elación iene dada po
˙
Rab =RabSkew(wb
ab)=Rab ⇥wb
ab
Igualmen e usando cua e niones es a elación se puede exp esa como
˙q =1
2E(q)w
donde
E(q)=✓qT
q0I+Skew(q)◆=0
B
B
@
q1q2q3
q0q3q2
q3q0q1
q2q1q0
1
C
C
A
ydondesein oduceelope ado linealSkew() po con eniencia. De
mane a que
Skew( )=0
@
0 3 2
30 1
 2 101
A
Es e ope ado es equi alen e a deci ”⇥ ”
15
3.2 Concep os ma emá icos
•Una p oposición es una decla ación que es e dade a o alsa. Es simila
aun eo emaaunqueel eo emasesueleu iliza máscomoun esul ado
p incipal.
•Una decla ación que es de in e és pa a demos a un eo ema se llama
lemma.
3.3 Sis ema Lineal y No Lineal
Un sis ema lineal iene ep esen ado po
˙x=Ax +Bu
y=Cx +Du
Un sis ema no lineal iene ep esen ado po :
˙x= (x, u)
y=k(x, u)
3.4 Inme sión de un sis ema
De inición: Dado dos sis emas con la misma salida y:
(˙x= (x),x2
y=h(x),y 2Rm
y
(˙
X=F(X),X 2X
Y=H(X),Y 2Rm
se dice que {, ,h}es á inme so den o de {X,F,H}si exis e una unción
⌧:!Xque cumple con ⌧(0) = 0 y
@⌧
@x (x)=F(⌧(x))
h(x)=H(⌧(x))
pa a odo x2
16

La azón po la que es e concep o es impo an e pa a el p oblema de
egulación que se esuel e en es e p oyec o es po que da la posibilidad de
ene el sis ema au ónomo:
˙w=s(w)
u=c(w)
inme so den o de o o sis ema:
˙
⇠='(⇠)
u=(⇠)
que enga una p opiedades deseadas.
3.5 Es abilidad
3.5.1 Pun os de equilib io
Un pun o x⇤llama pun o de equilib io si iene la p opiedad que pa a cualquie
es ado del sis ema x,concondicióninicialx(0) = x⇤pe manece en x⇤pa a
odo el .
3.5.2 Es abilidad de pun os de equilib io
Apa e del concep o del pun o de equilib io in e esa sabe el concep o de
es abilidad de ese pun o de equilib io. De mane a gene al la es abilidad del
pun o de equilib io implica que si el es ado xse encuen a ce ca del pun o
de equilib io x⇤,pe manece áce caaes epa a odoel iempo u u o >0.
Fo malmen e se de ine:
“Elpun odeequilib iox=0es
1. es able si pa a cualquie ✏>0,se puede encon a un >0de mane a
que
kx( 0)k<implica que kx( )k<✏pa a odo  0
2. ines able si no es es able
3. asin ó icamen e es able si es es able y se puede encon a un >0de
mane a que
kx( 0)k<implica que lim
!1
x( )=0
17
Figu e 6: equilib ia
4. globalmen e asin ó icamen e es able si es es able y
lim
!1
x( )=0, pa a odo x( 0)
”
La de inición 3 y 4 e leja como se aplican es os concep os a es e p oyec o.
Si se de ine la o ien ación y la elocidad angula del sa éli e como el es ado
xyexis enpe u bacionesquehacenquees ees adosealejedelpun ode
equilib io de iniendo es a dis ancia po se quie e que se uel a al equilib io.
La de inición 3 aplica al caso local, es deci pa a un pun o ce cano al equi-
lib io. La de inición 4 es mucho más es ic a y aplica pa a cualquie pun o
del en o no global.
3.5.3 Teo ema de Lyapuno
Se de ine el eo ema de es abilidad de Lyapuno como:
“Conside ando el sis ema
˙x= (x)
donde x2Rnyasumiendoqueexis esoluciónpa ax( )en un conjun o
abie o D⇢Rnque con iene el o igen (es o es 02D).Sea x=0un pun o
18
de equilib io del sis ema. Y conside ando una unción con inua di e enciable
V(x):D!Rde mane a que V(0) = 0 yV(x)>0pa a x2Dcon x6=0.
Suponiendo aho a que pa a la solución x( ),
˙
V(x)0
En onces, x=0es es able. De hecho, si
˙
V(x)0pa a x 6=0,
en las soluciones x( ),en oncesx=0es asin ó icamen e es able.”
Adicionalmen e se puede p esen a o o esul ado simila pa a demos a
es abilidad global asin ó ica:
“Suponiendoqueel eo emaan e io secumpleyquela uncióndeLya-
puno V(x) iene la p opiedad de que
kxk!1 implica que V (x)!1
Luego x=0es globalmen e asin ó icamen e es able.”
3.5.4 Teo ema de LaSalle
“Suponiendo un sis ema
˙x= (x)
donde x2Rn.Se dice que un conjun o M⇢Rnes in a ian e espec o a
es e sis ema si
x(0) 2M hace que x( )2M pa a odo 2R
”
Es o signi ica que si la solución x( )pe manece a Mpa a un ins an e de
iempo, sigue pe maneciendo en Mpa a odo .
In e esa sabe la idea de lo que se quie e exp esa cuando se dice que un
pun o se ace ca a un conjun o:
“Sedicequex( )se ace ca un conjun o Mcuando !1si pa a cada
✏>0exis e un T>0 al que
dis (x( ),M)<✏, pa a odo T,
19
donde dis (p, M)deno a la dis ancia de un pun o paunconjun oM,
que se de ine como
dis (p, M)=min kpqk
”
El Teo ema de LaSalle es simila al Teo ema de Lyapuno y pe mi e
es ablece a gumen os de es abilidad en conjun os:
“Conside ando el sis ema
˙x= (x)
yasumiendoqueexis eunasoluciónx( )alaecuacióndees adosenun
conjun o abie o D⇢Rn.Suponiendo que pa a una solución x( )se puede
encon a un conjun o ce ado y aco ado ⌦⇢Dde mane a que x( )2⌦
pa a odo 0.SeaunaV(x):D!Runa unción con inua di e enciable
de mane a que a lo la go de las ayec o ias x( )la de i ada ˙
V0en ⌦.Sea
Eel conjun o de pun os den o de ⌦donde ˙
V(x)=0,es o es E={x2⌦:
˙
V(x)=0}.Sea Mel conjun o in a ian e más g ande del sis ema con enido
en E. En onces x( )!Mcuando !1”
4 Teo ía del p oblema
Dado el sis ema:
˙x= (x, w, u)
e=h(x, w)
El p oblema de con ol que se esuel e en es e p oyec o es un p oblema
clásico de con ol de egulación de la ayec o ia. Es deci , consegui a a és
de una e oalimen ación que la salida del sis ema y( )coincida con una
e e encia deseada y e ( )al igual que echaza , si exis e, una pe u bación
no deseada w( ). En cualquie caso, el p oblema se exp esa en consegui que
el e o de egulación
e( )=y e ( )y( )
llegue a 0.
20
Figu e 10: A acción de la g a edad
6Pe u bacionesquea ec analsis ema
Acon inuaciónse eque o ma ieneloquesehallamadowyquein oduce
en el sis ema unas pe u baciones no deseadas.
6.1 G adien e g a i acional
6.1.1 Fue za g a i acional
El o que po el g adien e g a i acional se debe al hecho que la ue za de
g a edad debido a la masa de la Tie a eje cida sob e el sa éli e no es con-
s an e con la dis ancia de la dis ancia sino que c ece cuad a icamen e. En
consecuencia, la pa e del sa éli e que se encuen a más lejos de la ie a se e
menos a ec ada po la Tie a que la pa e más ce cana a es a. Es a di e encia
de ue zas c ea un momen o espec o al cen o de masas.
La ue za g a i acional sob e un elemen o di e encial de masa dm local-
izado a una dis ancia !⇢del cen o de masas del sa éli e iene dada po
d! =µ(! +!⇢)
|! +!⇢|3dm
donde ! es la posición o bi al del cen o de masas del sa éli e. Vamos a
supone que la dis ancia ⇢es mucho meno que la dis ancia es deci ⇢⌧
27

es o es que la mayo dis ancia de un pun o del sa éli e al cen o de masas es
mucho meno que la dis ancia de la Tie a al cen o de masas del sa éli e. Y
donde µ=GM.
Po an o podemos ap oxima u ilizando la expansión de las se ies de
Taylo el é mino:
|! +!⇢|3⇡1
3(1 3! ·!⇢
2)
Sus i uyendo es á exp esión en la ue za que an es hemos indicado:
d! =µ(! +!⇢)
3(1 3! ·!⇢
2)dm
6.1.2 To que g adien e g a i acional
El o que o al sob e el cen o de masas iene dado po :
!⌧g a =3µ
5ZV
!⇢⇥d! =
=ZV
!⇢⇥(µ(! +!⇢)
3)dm +ZV
!⇢⇥(3µ! ·!⇢
5(! +!⇢))dm
donde la in eg al se calcula sob e el olumen en e o del sa éli e. Teniendo
en cuen a RV
!⇢dm =0ya que el o igen es á en el cen o de masas. Y que
!⇢⇥!⇢=0,laexp esióndel o quesesimpli icaa:
!⌧g a =3µ
5ZV
!⇢⇥! (! ·!⇢)dm
Debido a la dis ibución de masas del sa éli e la ue za de la g a edad que
ac úa sob e el sa éli e eje ce mayo ue za en la pa e del sa éli e más ce cana
al sa éli e, es o c ea un o que que pueda a ec a a la posición deseada del
sa éli e.
Se puede llega a la conclusión que es e momen o iene dado po :
!⌧g a =3µ
3(!k0⇥!J·!k0)
donde !k0es el ec o uni a io de la base de ó bi a local.
Si exp esamos es e o que espec o al sis ema de coo denadas ijadas al
cen o de masas del sa éli e Fb,es e ec o uni a io se puede exp esa :
!k0=Rbo
!kb=RT
ob
!kb
28
donde Rob es la ma iz de o ien ación que elacióna la base F0con Fb.
Po an o es e o que espec o a es e sis ema de coo denadas mencionado
queda ía como:
!⌧b
g a =3µ
3(RT
ob
!k)⇥!J·RT
ob
!k
7Dinámicadelsis ema
7.1 Física del sa éli e
El sa éli e que se conside a en es e p oyec o es á en una ó bi a ci cula a ec-
ado po la g a edad de la Tie a y se es udia su mo imien o median e las
leyes de New on que elacionan el mo imien o de una pa ícula.
La 1ºLey dice que si no hay ninguna ue za ac uando sob e un cue po,
el cue po en eposo pe manece á en eposo y el cue po en mo imien o pe -
mance á en mo imien o cons an e en una línea ec a.
La 2ºLey dice que si se aplica una ue za hab á un cambio de elocidad,
es deci , una acele ación p opo cional a la magni ud de la ue za y en la
di ección que se aplica la ue za. Es a ley se exp esa como :
F=ma
donde Fes la ue za, mes la masa de la pa ícula, y aes la acele ación.
La 3ºLey dice que si un cue po p o oca una ue za sob e o o cue po,
es e o o cue po c ea o a ue za de igual magni ud pe o di ección opues a
sob e el cue po inicial.
En la Ley de g a i ación uni e sal Ne won exp esa que dos pa ículas
con masas m1ym2ysepa adaspo unadis ancia es án a aídas po cada
una con igual ue za y en di ección a la línea que a de una a la o a. Es a
magni ud de la ue za es:
F=Gm1m2
2
donde G=6.67259 ⇥1011Nm2
kg2es la cons an e de g a i ación.
En una ó bi a ci cula como es el caso el sa éli e se encuen a en caída
lib e. El sa éli e acele a hacia el cen o de la Tie a mien as se mue e en
una línea ec a. La elocidad de es e cambia con inuamen e en di ección pe o
no en magni ud. A pa i de las Leyes de Ne won se e que la di ección de
la elocidad es á cambiando, exis e acele ación. Es a acele ación, llamada
acele ación cen ípe a iene di ección al cen o de la Tie a y iene dada po
29
a= 2
donde es la elocidad del sa éli e y es el adio del cí culo imagina io
sob e el que gi a. Es a acele ación seegún las Leyes de New on debe se
c eada po una ue za, la ue za cen ípe a cuya magni ud iene dada po :
F=m 2
La di ección de Fen cualquie ins an e iene igual di ección que a,es o
es, hacia adialmen e hacia den o.
Aho a haciendo balances de ue zas sob e el sa éli e según la 2ºLey de
New on: ue za cen ípe a y ue za de g a edad, se puede calcula la eloci-
dad del sa éli e en equilib io:
2
=GM
2
o
= GM
Yla elocidadangula delsa éli ecomo:
w=
!w2= 2
2
Teniendo en cuen a la exp esión de la acele ación cen ípe a an e io :
w2=a
Ypo an o,
w2=GM
3
Se iene el módulo de !web que es la elocidad con la que el sa éli e gi a
al ededo de la Tie a en unción de la cons an e g a i acional, la masa de
la Tie a y de la dis ancia de la Tie a espec o al sa éli e.
30
7.2 Ecuaciones dinámicas del sa éli e
El mo imien o que sigue el sa éli e ienen desc i as po las ecuaciones de
Eule pa a un sólido ígido en o ación, las cuales se pueden encon a en
cualquie ex o es ánda de mecánica clásica:
˙
Reb =Reb Skew(wb
eb)
J˙wb
eb =wb
eb ⇥Jwb
eb +⌧b
en donde la ma iz de ine cia es exp esada en el sis ema de coo denadas
cen adas en el sa éli e, es simé ica y posi i a. Es e modelo se ha de i ado de
las ecuaciones de mo imien o de Eule pa a un sólido ígido. El é mino Reb
es la posición ela i a de los ejes de posición del cue po espec o al sis ema
e e encial de la ie a. Viene exp esada en é minos ma iciales, la podemos
llama ma iz de o ación, y iene a ias p opiedades que se se án ú iles pa a
el desa ollo del con olado . El segundo é mino wb
eb es la elocidad angula
del sá eli e espec o a los ejes de e e encia de la ie a. El ope ado Skew
es el ope ado equi alen e a Reb ⇥wb
eb.
Luego en la segunda ecuación, podemos obse a el compo amien o dinámico
del sólido implicando a las ue zas que ac úan sob e el sólido. El é mino J
en es e caso es la ma iz de ine cia del sá eli e de dimensión 3 y que depende
de la geome ía y dis ibución de masas del mismo, es á exp esada espec o
alosejesdelsa éli e,loscuales amosade ini comolosejesp incipalesde
ine cia. Es a ma iz Jse á uno de los pá ame os de diseño del sá eli e.
La ecuación dinámica depende ambién de la elocidad angula y del
o que aplicado al cue po que iene exp esado median e ⌧. Es e é mino
!⌧=!⌧dis +!ues á compues o de un é mino que ag upa los dos o ques
que an a causa pe u baciones en la dinámica del sa éli e, los cuales se án
la g a edad, la cuál a ae más a la pa e más “ce cana” del sa éli e a su
ó bi a, y el o o e ec o se án el causado po el ozamien o con las pa ículas
de ai e p esen es en la capa baja de la a mós e a que se han explicado con
an e io idad.
7.3 Ecuaciones dinámicas de e o del sa éli e
Acon inuaciónse aadeduci lasecuacionesdinámicasdele o delaposi-
ción del sa éli e. Pa a ello se a a ene en cuen a como se exp esa el e o
de la o ien ación y el e o de la elocidad angula .
Se de ine a con inuación p ime o, el e o de la o ien ación como di e encia
en e el la o ien ación eal del sa éli e espec o a la ó bi a local o la Tie a y
31
de la o ien ación deseada del sa éli e espec o a la ó bi a local o la Tie a. Y
segundo, se de ine el e o de la elocidad angula como la di e encia en e la
elocidad angula eal que iene el sa éli e espec o a la ie a y la elocidad
angula deseada del sa éli e espec o a la Tie a.
e
R( )=Rdb( )=RT
odRob =RT
edReb
ew=wb
eb wb
ed
Como se ha dicho an e io men e se a a asumi que la ley de con ol iene
conocimien o sob e el e o (e
R, ew).Desa ollandolasecuacionesdinámicas
se ob ienen las ecuaciones dinámicas del e o como:
˙
e
R=e
RSkew(ew)
J˙
ew=⌧b
0+⌧b
g a +ub
donde se sus i uye
wb
eb =ew+wb
ed
de mane a que:
⌧b
0=ew⇥Jewwb
ed ⇥Jewew⇥Jwb
ed wb
ed ⇥Jwb
ed J˙wb
ed
La elocidad angula angula deseada del sa éli e espec o a la Tie a en
el sis ema de coo denadas del cue po del sa éli e es:
wb
ed =e
RTwd
ed
Y en donde la elocidad angula deseada del sa éli e espec o a la Tie a
en el sis ema de coo denadas de la o ien ación deseada es la suma de: la
elocidad angula deseada espec o a la ó bi a local y la de la elocidad
angula de la ó bi a local espec o a la Tie a, ambas exp esadas en el sis ema
de coo denadas de la o ien ación deseada:
wd
ed =wd
od +wd
eo =wd
od +RT
odwo
eo
y eniendoencuen aquela elocidadangula delaó bi alocal espec o
ala ie aenelsis emadecoo denadasdelaó bi alocaleswo
eo =w0j.Se
iene:
wd
ed =wd
od +wd
eo =wd
od +RT
odwo
eo =wd
od w0RT
odj
32

Po an o:
wb
ed =e
RTwd
ed =e
RT[wd
od w0RT
odj]
Ylade i adadewb
ed se calcula u ilizando las p opiedades de la de i ada
del p oduc o:
˙wb
ed =d
d (e
RT[wd
od w0RT
odj])
=ew⇥e
RT[wd
od w0RT
odj]+ e
RT[˙wd
od w0˙
RT
odj]
Teniendo en cuen a que ˙wd
od =0ya que se ha dicho que el sa éli e gi a
con elocidad cons an e:
=ew⇥e
RT[wd
od w0RT
odj]+w0e
RT[wd
od ⇥RT
odj]
En de ini i a las ecuaciones dinámicas del e o quedan exp esadas:
˙
e
R=e
RSkew(ew)
J˙
ew=⌧b
0(e
R, ew, Rod,w
od,µ)+⌧b
g a (e
R, Rod,µ)+ub
en unción de las a iables de e o y de los inpu s exógenos. Po an o
si se consigue una acción de con ol ub al que sea igual a:
ub=⌧b
0(I,0,R
od,w
d
od,µ)⌧b
g a (I,Rod,µ)
En el pun o (e
R, ew)=(I,0) de la dinámica del e o exis i á un pun o de
equilib io del sis ema:
˙
e
R=e
RSkew(ew)
J˙
ew=0
En es e pun o se cumple que e
R=Iyew=0pa a odo >0.Pa aellose
debe consegui c ea un modelo in e no que eplique el compo amien o de
es e inpu deseado sin ene conocimien o del es ado de las pe u baciones
Rod,w
od,µ.
33
8Leydecon olNolineal
8.1 Acción po Modelo In e no uim
El sis ema pa a el cual se debe consegui una egulación del e o iene dado
po :
˙
e
R=e
RSkew(ew)
J˙
ew=⌧b
0+⌧b
g a +ub
donde el e o en la o ien ación y la elocidad angula se hallan así.
e
R( )=Rdb( )=RT
odRob
ew=wob wod
•La acción de con ol que cumple con las ecuaciones de egulación:
@⇡
@ws(w)= (⇡(w),c(w),w)
0=h(⇡(w),w)
iene dada po
ub=c(Rod,w
d
od,µ)=⌧b
0(I,0,R
od,w
d
od,µ)⌧b
g a (I,Rod,µ)
c(Rod,w
d
od,µ)= (wd
odw0RT
odj)⇥J(wd
odw0RT
odj)+ w0J(wd
od⇥RT
odj)3w2
0(RT
odk)⇥JRT
odk
haciendo que el pun o (e
R, ew)=(I,0) sea un equilib io del sis ema.
En es e equilib io se de ine un mapa (e
R, ew)=⇡(Rod,w
od,µ)en el cual el
es ado (e
R, ew)pe manece a lo la go del iempo cuando se aplica es a ley de
con ol:
ub=c(Rod,w
d
od,µ)
yenelcuallaposicióno bi alesequi alen ealadeseadaRob =Rod al
igual que la elocidad angula wob =wod
34
•El modelo in e no que es capaz de ec ea es a acción de con ol y
cumple con las ecuaciones de modelo in e no:
@
@ws(w)=((w),w))
c(w)=✓((w),w))
es un sis ema dinámico y se e á que o ma iene más adelan e en la pa e
de simulación.
Es e sis ema dinámico es capaz de ep oduci la acción de con ol c(Rod,w
d
od,µ)
necesa ia que cumple con las ecuaciones de egulación sin ene conocimien o
de los inpu s exógenos (Rod,w
d
od,µ)
el cual iene una o ma conc e a dependiendo de la acción de con ol
ub=c(Rod,w
d
od,µ)que p e enda ep oduci , es o es dependiendo del ipo de
misión.
8.2 Acción Es abilizado a us
La acción us es abilizado a de con ol se diseña aplicando p incipios de es-
abilidad de Lyapuno y Teo ema de La Salle. P ime o se hace un cambio
de a iable:
e
⇠=⇠(w)
z=ew+k1eq
donde k1es un pa áme o de diseño.
Luego se conside a como unción de Lyapuno según [1] a :
V(e
⇠,eq, ew+k1eq)=
2e
⇠TPe
⇠+(1eq0)2+eqTeq+1
2(ew+k1eq)TJ(ew+k1eq)
Ydespuésde a iasmanipulacionesma emá icasyeligiendolaacción
es abilizado a:
ub
s =k2(1 + n(ew+k1eq)n)( ew+k1eq)
35
Se llega la conclusión que la de i ada de la unción de Lyapuno es a
supe io men e aco ada:
˙
V(e
⇠,eq,z)
k1
2neq
2
n✏(1 + nzn)nz
2
n<0
donde ✏>0.
Es a acción de con ol po a gumen os de Lyapuno y LaSalle hace que
el sis ema en bucle ce ado sea es able.
8.2.1 Es abilidad de la in e conexión del e o de la dinámica y
el modelo in e no
Después de c ea el modelo in e no ⇠que con a es a el e ec o del sis ema
exógeno y añadi lo como una a iable más de es ado se debe asegu a la es a-
bilidad de la conexión (x, ⇠).Pa aes oseañadeel é minogs yquesediseña
con a gumen os de Lyapuno . Es e é mino ga an iza que la in e conexión
es ado xymodeloin e no⇠es es able.
˙
⇠=⇠ +gs
u=⇠
El alo de es e é mino se calcula igualmen e manipulando la unción de
Lyapuno an e io de mane a que la de i ada de es a unción sea meno que
0. Y al inal queda que es equi alen e a:
gs =1
P1Tz
donde >0es un pa áme o de diseño y Pes una ma iz de inida posi i a
yqueessolucióndeladesigualdadma icial:
P+TP0
8.3 Ley de con ol: suma de la acción po modelo in-
e no uim y acción es abilizado a us
La acción de con ol que se implemen a es suma de la acción de con ol po
modelo in e no ya acción es abilizado a:
ub=uim +us
36
⌧i:SO(3) ⇥R3⇥P!R5
igual al sis ema que se ha de inido:
⇠i( )=⌧i(Rod( ),w
d
od( ),µ( ))
yquecumpleconlaecuacióndemodeloin e no,de inidaa ibayque
ga an iza la exis encia de la acción de con ol c(w)que hace que nues o e o
sea nulo:
d
d ⌧(Rod( ),w
d
od( ),µ( )) = ⌧(Rod( ),w
d
od( ),µ( ))
c(Rod( ),w
d
od( ),µ( )) = ⌧(Rod( ),w
d
od( ),µ( ))
Po an o se ha llegado a la conclusión que implemen ado es e modelo
pa a cada uno de los ejes se puede eplica el compo amien o de la acción
de con ol c(w).
Replicando lo an e io pa a los 3 ejes i=1,2,3:
˙
⇠=⇠
u=⇠
en donde,
=0
@
S00
0S0
00S1
A
=0
@
Q00
0Q0
00Q1
A
Es o se ha implemen ado en Simulink así:
Figu e 14: Con ol modelo in e no
43

Como se e, se ha implemen ado una in eg ación de la dinámica del mod-
elo in e no “ksi”. Y donde el bloque “Dinámica del Modelo In e no Ksi” se
ha implemen ado con el siguien e código:
unc ion dksi = cn(ksi , gs )
W= 6 . 2 ∗10^3; %||w(0)|| modulo de la elocidad deseada
S=[0 1 0 0 0;
00100;
00010;
00001;
04∗W^ 4 0 5∗W^ 2 0 ] ;
phi=[S ze os (5 ,5) ze os (5 ,5);
ze os(5,5) S ze os (5 ,5);
ze os(5,5) ze os(5,5) S];
dksi = phi∗ksi + gs ;
9.1.3 Es abilidad de la in e conexión
Después de c ea el modelo in e no ⇠que con a es a el e ec o del sis ema
exógeno y añadi lo como una a iable más de es ado se debe se asegu a la
es abilidad de la conexión (x, ⇠).Pa aes oseañadeel é minogs al modelo
in e no y que se diseña con a gumen os de Lyapuno .
El é mino gs se ha implemen ado de la siguien e mane a :
gs =1
P1T(ew+k1eq)
unc ion gs = cn(k1, qe , we )
be a= 5∗10^3;
Q=[1 0 0 0 0 ] ;
gamma=[Q z e o s ( 1 , 5 ) z e o s ( 1 , 5 ) ;
ze os(1,5) Q ze os (1 ,5);
ze os(1,5) ze os(1,5) Q];
P= [ 7 . 9 5 , 96.09,694.77,2150.92,4867.73,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
96.09,1817.74,17243.04,74694.01,112765.08,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
694.77,17243.04,204788.29,1199232.40,104586.91,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
2150.92,74694.01,1199232.40,10430890.31,27944049.88,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
4867.73,112765.08,104586.91,27944049.88,536545695.41,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,7.95,96.09,694.77,2150.92,4867.73,0,0,0,0,0;
44
0,0,0,0,0,96.09,1817.74,17243.04,74694.01,112765.08,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,694.77,17243.04,204788.29,1199232.40,104586.91,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,2150.92,74694.01,1199232.40,10430890.31,27944049.88,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,4867.73,112765.08,104586.91,27944049.88,536545695.42,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,7.95,96.09,694.77,2150.92,4867.73;
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,96.09,1817.74,17243.04,74694.01,112765.08;
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,694.77,17243.04,204788.29,1199232.40,104586.91;
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2150.92,74694.01,1199232.40,10430890.31,27944049.88;
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4867.73,112765.08,104586.91,27944049.88,536545695.41]
gs = (1/be a )∗in (P)∗gamma’ ∗(we +k1∗[qe (2);qe (3);qe (4)]);
Donde P es una ma iz de dimensión 15 la cual es solución de la desigual-
dad ma icial que se ha esuel o u ilizando el código que iene en el apéndice
II.
9.1.4 Simulación del algo i mo de con ol en Simulink
La dinámica del e o de la o ien ación y elocidad angula , el modelo in e no
ylaaccióndecon oldiseñada,sumadelaacciónpo modeloin e noyacción
es abilizado a que se simula es:
˙
eq=1
2E(eq)ew
J˙
ew= (R(eq),ew, Rod,w
d
od,µ)+ub
˙
⇠=⇠1
P1T(ew+k1eq)
ub=⇠k2(1 + new+k1eqn)( ew+k1eq)
Acon inuaciónseobse acomosehaimplemen adoenSimulink.Seob-
se a como se ha dicho el bloque de de inición de los pa áme os, la e e encia
que ac úa como inpu exógeno en el sis ema y a con inuación se e el bucle
ce ado de la dinámica del e o del sa éli e y la del con olado .
45
Figu e 15: Esquema gene al del p oyec o
Acon inuaciónse e,elbloqueen e odelcon olado compues odela
acción po modelo in e no y la acción es abilizado a:
Figu e 16: Esquema gene al del Bloque “Con ol”
Se e ambién el bloque de la dinámica del sa éli e. Como se obse a ex-
is en dos bloques “ au0” y “ aug a ”, es os se co esponden con los momen os
de ue za c eados po la ine cia del sa éli e y el e ec o de la g a edad. A
su ez es os dos bloques se suman y se mul iplican po la ma iz in e sa J
pa a ob eniéndose ˙
ewla de i ada de la elocidad angula , es a a su ez se
in eg a pa a halla ew.Tambiénseobse aladinámicadelao ien acióndel
sa éli e que iene como inpu el e o de la elocidad angula . A su ez es a
se in eg a pa a halla la o ien ación eq.
46
Figu e 17: Esquema gene al del Bloque “Dinámica del E o del Sa éli e”
47
Figu e 18: E o O ien ación del Sa éli e
Los esul ados de la simulación se mues an a con inuación:
48

Acon inuaciónseobse aele o dela elocidadangula :
Figu e 19: E o de la elocidad angula ew
49
Yseobse alaaccióndecon ol:
Figu e 20: Acción de con ol ub( )
50
9.2 Misión: Vuelo o ien ado hacia la ie a
9.2.1 Obje i o de la misión
Figu e 21: Obje i o de la misión: Modo o ien ado hacia la ie a
Análogamen e a la misión an e io , las condiciones iniciales del es ado de la
e e encia son:
wd
od(0) = 0 Rod(0) = I
Yla e e enciaasegui po nues osa éli e end álasiguien e o ma:
wd
od( )=0
y
Rod( )=I
lo cual se a a como una pe u bación en el sis ema gene ado po el
sis ema dinámico:
8
>
<
>
:
˙
Rod =Rod Skew(wd
od)
˙wd
od =0
˙µ=0
51
El es ado de la ince idumb e en los pa áme os µ=✓J
w0◆se a a
como ambién como un inpu exógeno en mi sis ema.
9.2.2 Diseño de la acción de con ol po modelo in e no uim
Un ipo de misión que se puede simula con es e algo i mo de con ol es el
de man ene el sa éli e en ó bi a de mane a que siemp e es e obse ando
hacia la ie a. En es e caso la o ien ación del sa éli e siemp e iene que
es a de al mane a que es é en el mismo sis ema e e encial que el ó bi al.
De es a mane a que íamos ene la elocidad angula del sa éli e nula y la
o ien ación del sa éli e de al mane a que sea igual al sis ema o bi al:
En es e caso las ecuaciones de mo imien o del sa éli e p esen adas an es,
ya que
Rod =Iw
d
od =0
Y po an o la elocidad y acele ación angula deseada espec o a la Tie a
son:
wb
ed =e
RTwd
ed =e
RT[wd
od w0RT
odj]=)wb
ed =w0e
RTj
˙wb
ed =d
d (e
RT[wd
od w0RT
odj]) =)˙wb
ed =w0ew⇥(e
RTj)
La acción de con ol que se iene que eplica a a és del modelo in e no
queda ía:
ub=c(Rod,w
d
od,µ)=⌧b
0(I,0,R
od,w
d
od,µ)⌧b
g a (I,Rod,µ)
Donde el o que ine cial es equi alen e a:
⌧b
0(I,0,R
od,w
d
od,µ)=w2
0j⇥(Jj)=w2
00
@
Jyz
0
Jxy 1
A
Yel o quep o ocadopo lag a edadse á:
⌧b
g a (I,Rod,µ)=3w2
00
@
Jyz
Jxz
01
A
Ya que odas exp esiones son é minos cons an es. Es deci ni la o i-
en ación deseada ni la elocidad angula deseada a ía a lo la go del iempo,
se puede conclui que el con ol de p ealimen ación que hace que Rob( )=
52
APÉNDICE II
En es a pa e se hace el cálculo de la ma iz P posi i a necesa ia pa a nues a
unción de Lyapuno al que:
PA+ATP0
Es o se a a plan ea en ma lab como la solución P a la desigualdad
ma icial y que amos a calcula con el paque e especí ico de ma lab pa a
desigualdas ma iciales
PA+ATP0
0P<0
El código que se implemen a en ma lab, es el siguien e:
>>% E m p i e z a a q u í , e n g o c o m o d a o l a m a i z A
>> %C o n i g u o e l s o l u c i o n a d o d e LM Is
>> s e l m i s ( [ ] )
>> %A h o a e s p e c i i c o l a e s u c u a d e P
>>
>> P= l m i a ( 1 , [ s i z e ( A , 1 ) 1 ] )
>>% D e i n o a h o a e l L M I
>>
>> l m i e m ( [ 1 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ;
>> l m i e m ( [ 1 1 2 0 ] , 1 ) ;
>> l m i e m ( [ 1 2 2 P ] , 1, 1);
>>
>>% S o l u c i o n o
>>
>> LMISYS= g e l m i s ;
>> [ m i n , P s o l ] = e a s p ( LMISYS ) ;
>> P= d e c 2 m a ( LMISYS , P s o l , P )
59

Re e ences
[1] Robus Au onomous Guidance- Albe o Isido i, Lo enzo Ma coni and
And ea Se ani
[2] Nonlinea Con ol Sys ems - Albe o Isido i
[3] Nonlinea Con ol Sys ems II- Albe o Isido i
[4] In oduc ion o Topology- Be Mendelson
[5] Ma hema ics: I s Con en , Me hods and Meaning- A.D. Aleksand o ,
A.N. Kolmogo o , and M.A. La en ’e
[6] The Linea Oup u Regula ion P oblem- CeSOS-NTNU 2005 - And ea
Se ani
[7] Ou pu Regula ion o Nonlinea Sys ems: an O e iew- C.I. By nes,
A. Isido i
[8] The ea ly days o geome ic nonlinea con ol- Roge B ocke
[9] A ema k on he p oblem o semiglobal nonlinea ou pu egula ion
[10] Spacec a Dynamics and Con ol: An In oduc ion- An on H. de Rui e ,
Ch is ophe Dama en and James R. Fo bes
[11] h p://www.b aeunig.us/space/o bmech.h m
[12] h ps://blog. echna io.com/blog/ op-10-sa elli e-manu ac u e s-global-
space-indus y
60