Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
P oyec o T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía en Tecnologías Indus iales
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo
con olado po con ol emo o en es dimensiones
Au o : Albe o González González
Tu o : Juana Ma ía Mayo Nuñez
Dp o. Ingenie ía Mecánica y Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2018
P oyec o T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía en Tecnologías Indus iales
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo
con olado po con ol emo o en es dimensiones
Au o : Albe o González González
Tu o : Juana Ma ía Mayo Nuñez
ii
iii
P oyec o T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía en Tecnologías Indus iales
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo
con olado po con ol emo o en es dimensiones
Au o :
Albe o González González
Tu o :
Juana Ma ía Mayo Nuñez
Ca ed á ica
Dp o. de Ingenie ía Mecánica y Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2018
i
P oyec o T abajo de Fin de G ado: Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol
emo o en es dimensiones
Au o :
Albe o González González
Tu o :
Juana Ma ía Mayo Nuñez
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2018
El Sec e a io del T ibunal

i
ii
A mi amilia
A mis maes os
iii
ix
Ag adecimien os
Me gus a ía ag adece a Dª Juana Ma ía Mayo Nuñez po da me la opo unidad de ealiza el p esen e abajo
de in de g ado con ella, así como po habe me ayudado y guiado a lo la go de odo el p oceso.
A la pa me gus a ía ag adece a mi amilia, po el apoyo que he ecibido du an e oda la ca e a ya no hab ía
sido posible si no ue a po ellos.
x i
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Compa a i a coo denadas y ecuaciones en el modelo comple o.
Tabla 2. Compa a i a coo denadas y ecuaciones del modelo simpli icado.
Tabla 3. E o ángulo ayec o ia e ical espec o ángulo ca e e a.
Tabla 4. E o es ángulo cabeceo espec o ángulo ca e e a.

x ii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figu a 1. Ángulo de Eule .!!
Figu a 2. Modelo Ro e en 3D.!
Figu a 3. Dimensiones ca ac e ís icas del Ro e .!
Figu a 4. Supe icie pa ame izada.!
Figu a 5. T ayec o ias e icales modelo simpli icado.
Figu a 6. Ángulos de cabeceo modelo simpli icado.
Figu a 7. T ayec o ias sob e plano XY modelo simpli icado.
Figu a 8. T ayec o ias sob e plano XY modelo comple o.
Figu a 9. T ayec o ias e icales modelo comple o.
Figu a 10. Ángulos de cabeceo modelo comple o
Figu a 11. Ángulos de balanceo modelo comple o
Figu a 12. T ayec o ia e ical con es amos a pendien es di e en es
Figu a 13. Ro e y con ol emo o
Figu a 14. Ángulos gi ados po las uedas
Figu a 15. Velocidades de las uedas
Figu a 16. Acele aciones de las uedas
Figu a 17. Rampa u ilizada pa a la simulación
Figu a 18. T ayec o ia e ical expe imen al
Figu a 19. Ángulo cabeceo expe imen al
Figu a 20. Ángulo balanceo expe imen al
Figu a 21. T ayec o ia sob e el plano XY expe imen al
Figu a 22. Velocidades angula es de las uedas
Figu a 23. Velocidad angula IMU en e a la calculada
Figu a 24. Acele ación IMU en e calculada
x iii
xix
No ación
XYZ
Sis ema de coo denadas globales
q
Coo denadas gene alizadas
q
Velocidades gene alizadas
q
Acele aciones gene alizadas
A!!
In e sa de la ma iz A
A!
T aspues a de la ma iz A
dep
dependien es
ind
independien es
C
Ecuaciones de es icción
Cq
Jacobiano de las ecuaciones de es icción holónomas
C
De i ada pa cial de las ecuaciones de es icción holónomas con espec o al iempo
B
Jacobiano de las ecuaciones de es icción no holónomas
D
Ma iz de los jacobianos de las ecuaciones de es icción no holónomas y
holónomas
E
Ma iz de las de i adas pa ciales de las ecuaciones de es icción no holónomas y
holónomas con espec o al iempo
𝑓(x)
De i ada pa cial de la unción espec o a x
𝑓(x)
De i ada empo al de la unción
𝐹!
Fue zas aplicadas sob e el sólido i
𝑚!
Masa del sólido i
𝑟!
Posición del cen o de g a edad del sólido i
𝑣!
Velocidad del cen o de g a edad del sólido i
a!
!
Acele ación del cen o de g a edad del sólido i
𝑥
Vec o x en coo denadas locales
𝑀!
Momen os aplicados sob e el sólido i
𝐿
Momen o ciné ico
𝑤
Velocidad angula
𝛼
Acele ación angula
𝐼!
Tenso de ine cias aplicado en el cen o de g a edad
𝑅!
Radio uedas delan e as
𝑅!
Radio ueda ase a
𝑡!!
Tangen e sob e la supe icie de la ca e e a en di ección x
𝑡!!
Tangen e sob e la supe icie de la ca e e a en di ección y
𝑥
Módulo de x
×
P oduc o escala
sen
Función seno
xx
cos
Función coseno
1
1 INTRODUCCIÓN
a cinemá ica y dinámica de ehículos a a con las ecuaciones que pe mi en desc ibi los mo imien os
ealizados po los ehículos conside ando las ue zas que los p oducen. Median e la simulación se
pueden ob ene es os mo imien os en ins an es sucesi os de iempo.
El uso de la simulación de ehículos ha ganado impo ancia a lo la go de los años debido a la g an
compe encia exis en e ac ualmen e den o de la indus ia au omo ilís ica, así como los complejos p ocesos de
calidad que cada ehículo iene que supe a con el obje i o de pode se pues os a la en a. Dado es as
condiciones, la indus ia au omo ilís ica in ie e en la c eación de sis emas de so wa e pa a la simulación de
p o o ipos con los que consiguen educi en g an pa e los cos es de p ueba y e o . [1]
El o igen de es e abajo se si úa en las p ác icas de la asigna u a de Cinemá ica y Dinámica de máquinas en
las que ealizamos la simulación de un ehículo mo o izado, conocido con el nomb e de Ro e , con la
singula idad de se en el caso plano. El p ocedimien o p opues o pa a su desa ollo cons aba de es ases: a)
p ocesado de los da os ob enidos po el conjun o de senso es y la iden i icación del cen o de g a edad del
ehículo, b) simulación cinemá ica del ehículo y c) simulación dinámica in e sa jun o con una se ie de
comp obaciones que pusie an en elación los da os ob enidos con los senso es con los alo es de la simulación
dinámica.
En el modelo de dos dimensiones explicado con an e io idad, las únicas ecuaciones de es icción de las que
disponía el sis ema e an las ecuaciones debido a la condición de no deslizamien o de las uedas, siendo és as
es icciones no holónomas. Es e conocimien o de base nos ha se ido pa a el desa ollo del modelo de es
dimensiones p opues o; incluyendo un mayo núme o de coo denadas y de ecuaciones de es icción,
man eniendo el mismo núme o de g ados de libe ad, es deci , los da os de en ada a nues o p oblema, siendo
en es e caso los ángulos gi ados po las uedas mo o as.
Las limi aciones de nues o abajo esiden en los g ados de libe ad de los que dispone el Ro e , y de las
limi aciones que nos p opo cionan el núme o de sólidos y las uniones ígidas en e sólidos, ya que el uso de un
ehículo con un mayo núme o de sólidos y uniones no ígidas en e uedas y chasis nos pe mi i ía ob ene
esul ados cuyo compo amien o se asimila á mejo al de un ehículo ac ual. Po ello, pa a u u os abajos se
p opone la elabo ación de un Ro e con cua o uedas y un eje de gi o de las uedas independien es al chasis.
1.1 Obje i os
El obje i o p incipal que se p e ende consegui con es e T abajo de Fin de G ado es la simulación cinemá ica y
dinámica del compo amien o dinámico del o e en es dimensiones. Pa a ello, se a a hace uso de las
ecuaciones u ilizadas pa a la simulación de sis emas mul icue pos y se an a analiza los esul ados ob enidos
en la simulación con los ayec os ealizados expe imen almen e.
Tan o los pa áme os dimensionales como los pa áme os de masa, ine cia y cen os de g a edad de cada uno
de los sólidos han sido ob enidos del es udio p e io ealizado en la asigna u a desc i a con an e io idad, de
o ma que la explicación de cómo se han ob enido esos esul ados no o ma pa e de los obje i os del p esen e
abajo.
La simulación y los cálculos co espondien es se an a ealiza con el p og ama de cálculo ma emá ico Ma lab
L

In oducción
2
2
e sión R2016a.
1.2 Es uc u a
En es e abajo se p esen a en p ime luga un bloque eó ico, en el que se abo dan los concep os
undamen ales sob e sis emas mul icue pos u ilizados pa a la esolución del p oblema.
A con inuación, se desa olla la cinemá ica y dinámica de los dis in os modelos u ilizados en el Ro e , un
modelo comple o y un modelo simpli icado, basándose en las ecuaciones desc i as en el bloque an e io .
Con mayo conc eción en el e ce capí ulo se desc iben los p og amas gene ados pa a la simulación jun o con
un análisis de los esul ados analí icos ob enidos an es de la expe imen ación con el Ro e que iene como
obje i o se i como comp obación pa a asegu a los esul ados expe imen ales.
Finalmen e un úl imo capi ulo en el que se p esen a el a amien o de los da os egis ados y los esul ados de
la expe imen ación ealizada con el Ro e .Los esul ados ob enidos nos pe mi en es ablece las conclusiones
del abajo desa ollado así como plan ea en un sen ido p ospec i o nue os desa ollos den o de es e campo.
3
2 SISTEMAS MULTICUERPO
2.1 In oducción
Un sis ema mul icue po puede de ini se como un conjun o de solidos ígidos o de o mables unidos en e sí po
pa es cinemá icos y ac uado es, pe mi iendo el mo imien o ela i o en e ellos.[2] Es a de inición ambién
pod ía aplica se a la de un mecanismo, sin emba go, en es e caso es u ilizada pa a e e i se a sis emas de
mayo complejidad como pude se un p opio ehículo.[3]
Los sólidos ígidos de un sis ema mul icue po se ca ac e izan po su masa y momen o de ine cia, y los pun os
ca ac e ís icos son su cen o de g a edad y los pun os en los que ue zas o momen os es án aplicados, así como
los pun os de unión con el es o de los sólidos. [4]
Los algo i mos y ecuaciones u ilizados pa a la esolución es án pensados pa a se esuel os
compu acionalmen e, en caso de no se así, és as ecuaciones cambia ían o almen e. A su ez, a la ho a de
en ende el desa ollo de las ecuaciones es impo an e conoce que el uncionamien o de un o denado di ie e
con el de un ce eb o humano y que el éxi o de la esolución de es e sis ema eside en que el p oceso sea
sis emá ico.[3]
2.2 Tipos de coo denadas
La selección del ipo de coo denadas es un pa áme o esencial en é minos de la sis ema icidad de la que an a
dispone nues os algo i mos. Po ello, podemos de ini los siguien es ipos de coo denadas:
• Coo denadas Lag angianas: Son un conjun o de magni udes geomé icas, dis ancias o ángulos que
indican la posición u o ien ación de cada uno de los sólidos con espec o de la ba a ija. [3]
• Coo denadas ela i as: La posición u o ien ación de los sólidos es án de inidos espec o al miemb o
con iguo, de o ma que conocida las coo denadas de uno de ellos espec o al sis ema global, podemos
ob ene la posición del es o de sólidos de nues o sis ema. Po an o, se puede deci que las
coo denadas ela i as es án asociadas a los pa es cinemá icos del sis ema.[3]
• Coo denadas de e e encia: Consis e en la iden i icación del cen o de g a edad de cada uno de los
sólidos con espec o al sis ema global XYZ y la o ien ación de cada uno de los ejes locales con
espec o al sis ema global. De o ma que end íamos 6 coo denadas (3 posiciones y 3 ángulos) po
cada sólido en el caso en es dimensiones, y 3 coo denadas en el caso plano (2 posiciones y 1 ángulo)
• Coo denadas na u ales: Su gen como e olución de las coo denadas de e e encia en las que en luga
de se in oducidas en los cen os de g a edad de cada sólido, és as coo denadas son ijadas con la
posición de los pun os ca ac e ís icos del sis ema, de o ma que queda pe ec amen e de inida la
posición y o ien ación de odos los sólidos. [5]
Además de es a clasi icación, podemos de ini las coo denadas en independien es o dependien es. Po
coo denadas independien es se en iende aquellas que no dependen la una de la o a. Hab á an as coo denadas
Sis emas mul icue po
4
4
independien es como g ados de libe ad enga nues o sis ema.[6] En el caso de que se es é u ilizando un
mayo núme o de coo denadas que g ados de libe ad, la di e encia en e es os dos núme os nos da á la
can idad de coo denadas dependien es, así como el núme o de es icciones necesa ias pa a de ini
co ec amen e el sis ema.
2.3 P oblema de posición
El p oblema de posición a a de a e igua la posición y o ien ación de odos los sólidos de un sis ema
mul icue po conocidos an os alo es como g ados de libe ad de los que disponga dicho sis ema.[3] Es deci ,
si se di ide el p oblema en coo denadas independien es y dependien es
𝑞=𝑞!"#
𝑞!"#
y un sis ema dispone de n g ados de libe ad y m ecuaciones de es icción, el núme o de coo denadas
independien es iene de e minado po :
𝑔=𝑛−𝑚
Si se in oducen aho a unos alo es de e minados a las coo denadas independien es y se di e encian las
ecuaciones de es icción en dependien es e independien es, se dispone de un sis ema de ecuaciones con m
incógni as y m ecuaciones. De modo que conocidos los alo es de las coo denadas independien es, se pueden
conoce los alo es de las dependien es y de es a o ma, queda esuel o el p oblema de posición.
En un sis ema de ecuaciones lineales, 𝑨𝒙 =𝒃, si se dispone del mismo núme o de incógni as que de
ecuaciones y la ma iz de coe icien es A no es singula , en onces se ob iene la solución única como 𝒙=𝑨!𝟏𝒃.
En un sis ema de ecuaciones no lineales, no se puede ob ene siguiendo es e mé odo y equie e de mé odos
i e a i os como el mé odo de New on-Raphson.[3]
Es e mé odo se basa en la es imación inicial de un alo de la a iable independien e, que se ap oxime al alo
buscado, y se calcula an o el alo de la unción como la de i ada en ese pun o, de modo que la p óxima
i e ación se ob iene como:
𝑥!!!=𝑥!−𝑓(𝑥!)
𝑓′(𝑥!)
Es a ó mula es aplicada has a que la di e encia en e ambos é minos de la es a es muy pequeña.
Dependiendo de la es imación inicial puede que el sis ema no con e ja o que el núme o de i e aciones sea
mayo del espe ado.[3]
Adap ando la ecuación del mé odo New on-Raphson a un sis ema múl icue po con qdep coo denadas
dependien es y C ecuaciones de es icción se llega a la siguien e exp esión [3]:
𝑞!!!
!"# =𝑞!
!"# −
𝜕𝐶
𝜕𝑞!"#
−1
𝑞!
!"# 𝐶(𝑞!
!"#)
Iniciándose el mé odo con una i e ación inicial de 𝑞!
!"#. El jacobiano de las ecuaciones de es icción se suele
esc ibi como 𝐶!!"#, de modo que la ecuación pasa a esc ibi se de la siguien e o ma [3]:
5
5
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
𝑞!!!
!"# =𝑞!
!"# −𝐶!!"#
!!∙𝐶(𝑞!
!"#)
2.4 Simulación cinemá ica de sis emas mul icue po
La simulación cinemá ica no es más que el p oblema de posición en un conjun o sucesi o de ins an es de
iempo muy ce canos en e sí den o de un in e alo especi icado.[3]
Conocidas las ecuaciones de es icción de un sis ema:
𝐶𝑞,𝑡=0 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞=𝑞!"# 𝑞!"#
se pueden calcula las acele aciones y elocidades en la simulación cinemá ica de un sis ema mul icue po.
Pa a ello, pa imos de las siguien es ecuaciones:
𝑑𝐶(𝑞,𝑡)
𝑑𝑡 =0
𝑑𝐶(𝑞,𝑡)
𝑑𝑡 =0
Que aplicando la egla de la cadena, pasan a se [3]:
𝐶𝑞,𝑡=
𝜕𝐶
𝜕𝑞 𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
𝜕𝐶
𝜕𝑡 =𝐶!∙𝑞+𝐶!=0
𝐶𝑞,𝑡=𝐶!∙𝑞+𝐶!∙𝑞+𝐶!=0
Cq ep esen a el jacobiano de las ecuaciones de es icción y C la de i ada pa cial de las ecuaciones de
es icción con espec o al iempo.
Sepa ando es as ecuaciones en independien es y dependien es, llegamos a las siguien es exp esiones [3]:
𝐶!!"# ∙𝑞!"# +𝐶!!"# ∙𝑞!"# +𝐶!=0 → 𝑞!"# =−𝐶!!"#
!!(𝐶!!"# ∙𝑞!"# +𝐶!)
𝐶!!"# ∙𝑞!"# +𝐶!!"# ∙𝑞!"# +𝐶!∙𝑞+𝐶!=0 → 𝑞!"# =−𝐶!!"#
!!(𝐶!!"# ∙𝑞!"# + 𝐶!∙𝑞+𝐶!)
De modo que conocidos los alo es de 𝑞!"# ,𝑞!"# y los alo es de Cq, C y sus espec i as de i adas
empo ales, podemos calcula las elocidades y acele aciones de las coo denadas dependien es, esol iendo de
es a o ma el p oblema de elocidades y de acele aciones.[3]
2.5 Simulación dinámica de sis emas mul icue po
Las ecuaciones del mo imien o de un sis ema se pueden ob ene aplicando las ecuaciones de New on-Eule a
cada uno de los pun os ma e iales pe enecien es a dicho sis ema. Dado que un sólido ígido se puede
conside a como un conjun o de pun os ma e iales cuyas dis ancias mu uas se man ienen in a iables, el
mo imien o del cen o de masa G de un sólido end á dado po la segunda ley de New on.[4]
𝐹!=𝑚!𝑎!
! 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐹!=𝐹!
!
𝑦 𝑎!
! 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎.
Dicha ecuación se puede descompone según sus componen es:
Cinemá ica y dinámica del ehículo
12
12
A4 A5 A6) ep esen an los componen es uni a ios 𝚤 ,𝚥 ,𝑘 locales con espec o al sis ema de e e encia global
XYZ.
3.1.3 Posición y elocidades de los sólidos
La posición del cen o de g a edad del chasis (sólido 2) iene de e minada po :
𝑟
!=𝑥!𝑦!𝑧!
La posición de chasis del o e nos si e de e e encia pa a calcula la posición del es o de los sólidos. Pa a
ello, enemos que de ini los siguien es ec o es locales:
𝑢!!=𝑑𝑥!𝑑𝑦!−𝑑𝑧!
𝑢!!=𝑑𝑥!−𝑑𝑦!−𝑑𝑧!
𝑢!!=𝑑𝑥!− 𝑑𝑥!0(𝑅!+𝑑𝑧!)−(𝑅!+𝑑𝑧!)
𝑢!!=−𝑑𝑥!0−𝑑𝑧!
Figu a 3. Dimensiones ca ac e ís icas del Ro e .

13
13
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
Una ez que son conocidos la posición en coo denadas locales de dichos pun os, se ob iene en coo denadas
globales:
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!!
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!!
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!!
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!!
Conocida la posición del cen o de g a edad de los sólidos, calculamos sus elocidades a pa i de los
jacobianos de la posición de dichos pun os.
𝑣!=!!!
!" !"
!"
=𝐻!∙𝑞 𝑣!=!!!
!" !"
!"
=𝐻!∙𝑞 𝑣!=!!!
!" !"
!"
=𝐻!∙𝑞
𝑣!=!!!
!" !"
!"
=𝐻!∙𝑞 𝑣!=!!!
!" !"
!"
=𝐻!∙𝑞
Además de es as elocidades, necesi amos calcula las elocidades de o ación de los sólidos. Dichas
elocidades se ob ienen a pa i de las ma ices de o ación y sus de i adas empo ales. Pa a ello, se de i a
cada ma iz de o ación con espec o a odos los ángulos del sis ema de coo denadas:
𝐴!=
𝜕𝐴!
𝜕𝜓!
𝜓!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜑!
𝜑!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜓!
𝜓!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!
Una ez conocidas dichas ma ices, se calculan las elocidades angula es en coo denadas locales:
𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴!
La esolución de dicha ecuación p opo ciona una ma iz con las siguien es componen es:
𝑊
!=
0−𝑤!
!𝑤!
!
𝑤!
!0−𝑤!
!
−𝑤!
!𝑤!
!0
𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑤!=𝑊𝑖(3,2)𝑊𝑖(1,3)𝑊𝑖(2,1)
𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!3,2𝑊
!1,3𝑊
!2,1
𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!3,2𝑊
!1,3𝑊
!2,1
Cinemá ica y dinámica del ehículo
14
14
𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
3.1.4 Ecuaciones de es icción
Tal y como se ha dicho con an e io idad, pa a hace que nues o sis ema sea compa ible necesi amos 17
ecuaciones, es deci , an as como coo denadas dependien es dispone nues o sis ema.
Se puede di e encia dos ipos de ecuaciones: a) odadu a sin deslizamien o y b) del con ac o ígido en e las
uedas y la supe icie de la ca e e a.
3.1.4.1 Rodadu a sin deslizamien o
Las ecuaciones de odadu a sin deslizamien o son ecuaciones de es icción no holónomas, es deci , que
dependen de la elocidad. A es as ecuaciones se les exige que sean in eg ables con el obje i o de que sea
posible halla la posición.[7]
Es as ecuaciones exigen que las componen es x e y de la elocidad de las uedas en los pun os de con ac os
sean nulas en odo momen o. La componen e z de la elocidad siemp e es nula ya que el o e no se despega
del suelo. Es as es icciones implican la o mulación de 6 ecuaciones:
𝑉
!=
𝑉
!
!
𝑉
!
!
=0
𝑉
!=
𝑉
!!
𝑉
!!
=0
𝑉
!=
𝑉
!!
𝑉
!!
=0
Sin emba go, las elocidades 𝑉
!! 𝑦 𝑉
!! son las mismas debido al pa alelismo exis en e en e ambas uedas, de
modo que se iene una ecuación edundan e, quedando en es e caso es ingida a 5 ecuaciones debido a la
odadu a sin deslizamien o.
Las elocidades de dichos pun os se ob ienen a pa i de las elocidades de los cen os de g a edad de los
sólidos, las posiciones en coo denadas locales de los pun os de con ac o y las elocidades angula es de los
sólidos.
𝑢!=𝑅!sin (𝜃!)0−cos(𝜃!)
𝑢!=𝑅!sin (𝜃!)0−cos (𝜃!)
𝑢!=𝑅!sin (𝜃!)0−cos(𝜃!)
Una ez conocida la posición de es os pun os se calcula la elocidad de los pun os de con ac o median e las
siguien es ecuaciones:
𝑣!=𝑣!+𝐴!𝑤!×𝑢!=0
15
15
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
𝑣!=𝑣!+𝐴!𝑤!×𝑢!=0
𝑣!=𝑣!+𝐴!𝑤!×𝑢!=0
Además, debido a que el o e puede ene las uedas delan e as en una pendien e, y la ueda ase a en o a
pendien e, es necesa io p oyec a las elocidades con espec o a la angen es en di ecciones x e y de la
supe icie po la que el o e ci cula.
𝑉
!
!=𝑉
!∙!"!!
!"!!
𝑉
!
!=𝑉
!∙
!"!!
!"!!
𝑉
!!=𝑉
!∙!"!!
!"!!
𝑉
!!=𝑉
!∙
!"!!
!"!!
𝑉
!!=𝑉
!∙!"!!
!"!!
𝑉
!!=𝑉
!∙
!"!!
!"!!
Los cálculos de las angen es sob e la supe icie se án explicados en el apa ado siguien e.
3.1.4.2 Con ac o ígido
El p ime paso a ealiza es de ini dos pa áme os supe iciales pa a cada uno de los sólidos en cada pun o de
con ac o, es deci , necesi amos 12 pa áme os supe iciales.[8] Sin emba go, dado que se ha supues o que el
g oso de las uedas es desp eciable, solo se necesi a un pa áme o supe icial en el caso de las uedas, de
modo que enemos 9 pa áme os supe iciales.
𝑆=𝑠! 𝑠!"! 𝑠!"! 𝑠! 𝑠!"! 𝑠!"! 𝑠! 𝑠!"! 𝑠!"!
Es os pa áme os se conside an coo denadas no gene alizadas ya que no ienen ni ine cias ni ue zas ex e nas
asociadas a ellas [8]. Se ob end án esol iendo las ecuaciones di e enciales no lineales de es icción.
Una ez de inidos los pa áme os supe iciales, se necesi a pa ame iza las supe icies de con ac o. Pa a ello,
se u ilizan los siguien es ec o es de posición en coo denadas locales pa a las uedas:
𝑢!
!= 𝑅!sin (𝑠!)0−cos(𝑠!)
𝑢!!= 𝑅!sin (𝑠!)0−cos(𝑠!)
𝑢!!= 𝑅!sin (𝑠!)0−cos(𝑠!)
y es os ec o es pa a la ca e e a:
𝑢!!=𝑠!"!𝑠!"!0
Cinemá ica y dinámica del ehículo
16
16
𝑢!!=𝑠!"!𝑠!"!0
𝑢!!=𝑠!"!𝑠!"!0
Además, se necesi an las angen es en el pun o de con ac o, en ambas di ecciones, las cuales calculamos como:
𝑡!
!=
!!!!
!!!
= 𝑅!
cos (𝑠!)
0
sin (𝑠!)
𝑡!"
!=
!!!!
!!!"!
=
1
0
0
𝑡!"
!=
!!!!
!!!"!
=
0
1
0
𝑡!!=!!!!
!!!
= 𝑅!
cos (𝑠!)
0
sin (𝑠!)
𝑡!"!=
!!!!
!!!"!
=
1
0
0
𝑡!"!=
!!!!
!!!"!
=
0
1
0
𝑡!!=
!!!!
!!!
= 𝑅!
cos (𝑠!)
0
sin (𝑠!)
𝑡!"!=
!!!!
!!!"!
=
1
0
0
𝑡!"!=
!!!!
!!!"!
=
0
1
0
Las no males en los pun os se calculan con el p oduc o escala de las dos componen es angenciales.
En cuan o a las ecuaciones de es icción, se pueden dis ingui dos ipos:
• Los pun os de con ac o coinciden, es deci , la posición en coo denadas globales usando es os
pa áme os de un sólido espec o al o o debe se la misma.[8]
• Las no males de las dos supe icies en el pun o de con ac o deben se pa alelas.[8]
Es as condiciones implican que necesi amos ene an o la posición de los pun os de con ac o, como las
angen es en coo denadas globales.
𝑟
!
!=𝑟
!+𝐴!𝑢!
! 𝑟
!!=𝑟
!+𝐴!𝑢!!
𝑟
!!=𝑟
!+𝐴!𝑢!! 𝑟
!!=𝑟
!+𝐴!𝑢!!
𝑟
!!=𝑟
!+𝐴!𝑢!! 𝑟
!!=𝑟
!+𝐴!𝑢!!
Siendo 𝑟
! la posición en globales del o igen de la ca e e a y 𝐴! la ma iz de o ien ación de la ca e e a. A su
ez, las angen es en coo denadas globales:
𝑡!
!=𝐴!𝑡!
! 𝑡!"
!=𝐴!𝑡!"
! 𝑡!"
!=𝐴!𝑡!"
! 𝑛!!=𝑡!"
!× 𝑡!"
!
𝑡!!=𝐴!𝑡!! 𝑡!"!=𝐴!𝑡!"! 𝑡!"!=𝐴!𝑡!"! 𝑛!!=𝑡!"!× 𝑡!"!
𝑡!!=𝐴!𝑡!! 𝑡!"!=𝐴!𝑡!"! 𝑡!"!=𝐴!𝑡!"! 𝑛!!=𝑡!"!× 𝑡!"!
De modo, que conocidos odos es os alo es, se pueden plan ea las ecuaciones de es icción:
• Pun o P:
o 𝑟
!
!−𝑟
!!=0
17
17
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
o 𝑛!!∙𝑡!
!=0
• Pun o Q:
o 𝑟
!!−𝑟
!!=0
o 𝑛!!∙𝑡!!=0
• Pun o S:
o 𝑟
!!−𝑟
!!=0
o 𝑛!!∙𝑡!!=0
Es as ecuaciones implican un o al de 12 ecuaciones de es icción.
A con inuación se p esen a en la abla I un esumen del sis ema comple o.
Tabla 1. Compa a i a coo denadas y ecuaciones en el modelo comple o.
MODELO COMPLETO
TOTAL
Coo denadas
Dependien es 𝑥! 𝑦! 𝑧! 𝜓! 𝜃! 𝜑! 𝑠! 𝑠! 𝜓! 𝜃! 𝑠! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑠! 𝑠𝑐𝑠!
19
Independien es 𝜃! 𝜃!
Ecuaciones
Rodadu a sin deslizamien o: 5 ecuaciones
17
Con ac o ígido uedas-ca e e a: 12 ecuaciones
De o ma, que al y como hemos exp esado con an e io idad, pa a pode esol e el sis ema se ienen que ene
an as ecuaciones como coo denadas dependien es, y la di e encia en e coo denadas y ecuaciones, son los
g ados de libe ad del sis ema, en es e caso dos g ados de libe ad.
3.1.5 Dinámica del ehículo
Con iene comenza con la de inición de las ma ices que se an a u iliza pa a el cálculo de las ecuaciones del
mo imien o del o e .
𝑀!"!!" =𝑚!1!!!0
0𝐼! 𝑖=2,3,4,5,6.
𝑄!"!!=𝐹!
𝑀! 𝑄!
!"!!=0
−𝑤!×(𝐼!𝑤!)
𝐿!"!!" =𝐻!
𝐺! 𝑙!"!!" =ℎ!
𝑔!
Una ez conocidas es as ma ices, se pueden ealiza los cálculos necesa ios pa a ans o ma el sis ema de
modo que se u ilicen coo denadas gene alizas y sus de i adas empo ales.
𝑀!"!!" =𝐿!"!!"
!𝑀!"!!" 𝐿!"!!"

Cinemá ica y dinámica del ehículo
18
18
𝑄!"!!=𝑄!"#!"!!+𝑄!"#$!"!! 𝑄!
!"!!=𝐿!"!!"
!(𝑄!
!"!!−𝑀!"!!"𝑙!"!!"𝑞!"!!)
𝑄!"#!"!!=𝐿!"!!"
!𝑄!"#!"!! 𝑄!"#$!"!!= 𝐷!"!!"
!𝜆!"!! 𝐷!"!!" =
𝐶!!"!!!
𝐵!!!"
Las ecuaciones de mo imien o del sis ema son las siguien es:
𝑀!"!!"𝑞!"!!+𝐷!"!!"
!𝜆!"!! =𝑄!"#!"!!+𝑄!
!"!!
𝐷!"!!"𝑞!"!!+𝐷!"!!"𝑞!"!!=0
→𝑀𝐷!
𝐷0
𝑞
𝜆=𝑄!"# +𝑄!
−𝐷𝑞
En es e caso, el é mino debido a la de i ada espec o al iempo de las es icciones holónomas es nulo, es
deci , E=0. Las ue zas gene alizadas aplicadas sob e el sólido son, las g a i a o ias y las p o ocadas po las
uedas mo ices.
𝑄!"#$!"!!=−𝑚!𝑔
0
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑔:𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
𝑄!"#!"!!=𝐺!!"!!
!
0
𝑃𝑎𝑟
!!
0
+𝐺!!"!!
!
0
𝑃𝑎𝑟
!!
0
Sin emba go, dado que se desconocen el alo de los pa es en las uedas, se incluyen es os é minos como
incógni as adicionales del p oblema. Además, di idimos el p oblema en é minos dependien es e
independien es, dado que ya se conocen los independien es.
𝑇!!!=𝑃𝑎𝑟
!!
𝑃𝑎𝑟
!!
𝑆!"!!=𝐺!!"!!
!(2)𝐺!!"!!
!(2) 𝐺!!"!!
!2:𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧
𝑀!"#!"!!" −𝑆!"!!𝐷!"!!"
!
𝐷!"#!"!!" 0!"!!0!"!!"
𝑞!"#!"!!
𝑇!!!
𝜆!"!!
=
𝑄!"#$!"!!+𝑄!
!"!!−𝑀!"#!"!!𝑞!"#!!!
−𝐷!"!!"𝑞!"!!−𝐷!"#!"!!𝑞!"#!!!
Sis ema que podemos con e i en:
𝐴36𝑥36 =𝑥36𝑥1𝑏36𝑥1
Sis ema que se pod á esol e como x=A b siemp e que la ma iz A no sea singula .
19
19
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
3.2 Modelo simpli icado
3.2.1 Selección de coo denadas
Dado que se ha eliminado el ángulo de balanceo del o e , debido a las ca ac e ís icas de la ca e e a po la que
a a ci cula , las coo denadas del o e pasan a se las siguien es:
𝑞= 𝑥! 𝑦! 𝑧! 𝜓! 𝜃! 𝜃! 𝑠! 𝜃! 𝑠! 𝜓! 𝜃! 𝑠! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑠! 𝑠𝑐𝑠!
De modo que en es e modelo, disponemos de 18 coo denadas, 2 coo denadas independien es y 16
dependien es.
𝑞!"# = 𝑥! 𝑦! 𝑧! 𝜓! 𝜃! 𝑠! 𝑠! 𝜓! 𝜃! 𝑠! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑠! 𝑠𝑐𝑠!
𝑞!"# = 𝜃! 𝜃!
3.2.2 Ma ices de o ación
Mismas ma ices que en el caso del modelo comple o, con la a iación de la ma iz de o ación del chasis
(sólido 2) que in e ie e en el es o de ma ices.
𝐴!= 𝐴!!∙ 𝐴!!
𝐴!= 𝐴!∙ 𝐴!!
𝐴!= 𝐴!∙ 𝐴!!
𝐴!= 𝐴!∙ 𝐴!!
𝐴!= 𝐴!∙ 𝐴!!
3.2.3 Posición y elocidades de los sólidos
Las ecuaciones pa a ob ene la posición de odos los sólidos y sus elocidades son las mismas que en el
modelo comple o, con la única di e encia de que desapa ece el ángulo de balanceo, simpli icando de es a
o ma los cálculos.
𝑟
!=𝑥!𝑦!𝑧! 𝑣!=𝐻!∙𝑞 𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!! 𝑣!=𝐻!∙𝑞 𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!! 𝑣!=𝐻!∙𝑞 𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!! 𝑣!=𝐻!∙𝑞 𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
𝑟
!= 𝑟
!+ 𝐴!∙𝑢!! 𝑣!=𝐻!∙𝑞 𝑊
!=𝐴!
!∙𝐴! → 𝑤!=𝑊
!(3,2)𝑊
!(1,3)𝑊
!(2,1)
donde 𝐴! han sido calculados con la siguien e ecuación:
Cinemá ica y dinámica del ehículo
20
20
𝐴!=
𝜕𝐴!
𝜕𝜓!
𝜓!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜓!
𝜓!+
𝜕𝐴!
𝜕𝜃!
𝜃!
3.2.4 Ecuaciones de es icción
Igual que en el modelo comple o, se p oponen ecuaciones po la odadu a sin deslizamien o y po el con ac o
ígido exis en e en e las uedas y la ca e e a.
3.2.4.1 Rodadu a sin deslizamien o
Es as ecuaciones son exac amen e igual que en el modelo comple o.
𝑉
!
!= 𝑉
!∙!"!!
!"!!
=0 𝑉
!
!= 𝑉
!∙
!"!!
!"!!
=0
𝑉
!!=𝑉
!∙!"!!
!"!!
=0
𝑉
!!=𝑉
!∙!"!!
!"!!
=0 𝑉
!!=𝑉
!∙
!"!!
!"!!
=0
Como se puede obse a , en el modelo simpli icado ambién se man iene el pa alelismo de las uedas
delan e as, de modo que la ecuación de la 𝑉
!!=0 es edundan e.
3.2.4.2 Con ac o ígido
En es e caso, exis e una pequeña a iación con espec o al caso del modelo comple o, ya que una de las
ecuaciones es edundan e. Las no males de las uedas delan e as son las mismas, ya que el adio de ambas
uedas es el mismo, de o ma que lo que hace que a íen las ecuaciónes son las angen es en los pun os de
con ac o P y Q de la ca e e a.
Dado que la supe icie po la que el ehículo a a ci cula es o almen e plana y a a ci cula en línea ec a, las
angen es en ambos pun os son ambién las mismas, de modo que ya se conoce la ecuación edundan e del
sis ema. En es e caso, las ecuaciones son las siguien es:
• Pun o P:
o 𝑟
!
!−𝑟
!!=0
o 𝑛!!∙𝑡!
!=0
• Pun o Q:
o 𝑟
!!−𝑟
!!=0
• Pun o S:
o 𝑟
!!−𝑟
!!=0
o 𝑛!!∙𝑡!!=0
En es e caso, disponemos de un o al de 11 ecuaciones del con ac o ígido, siendo es a la p incipal di e encia
con espec o al caso an e io . Nues o sis ema es compa ible, al y como se puede obse a en la siguien e
21
21
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
abla, dado que se ha eliminado una coo denada y una ecuación, man eniendo los dos g ados de libe ad del
sis ema.
Tabla 2. Compa a i a coo denadas y ecuaciones del modelo simpli icado.
MODELO SIMPLIFICADO
TOTAL
Coo denadas
Dependien es 𝑥! 𝑦! 𝑧! 𝜓! 𝜃! 𝑠! 𝑠! 𝜓! 𝜃! 𝑠! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑝! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑞! 𝑠𝑐𝑠! 𝑠𝑐𝑠!
18
Independien es 𝜃! 𝜃!
Ecuaciones
Rodadu a sin deslizamien o: 5 ecuaciones
16
Con ac o ígido uedas-ca e e a: 11 ecuaciones
3.2.5 Dinámica del ehículo
En es e caso, las ia iaciones exis en es den o de las ecuaciones del mo imien o es án p o ocadas po la
coo denada que se ha eliminado y la ecuación edundan e exis en e en el caso del con ac o ígido en e los
sólidos.
En es e caso, las ecuaciones del mo imien o son las siguien es:
𝑀!"#!"!!" −𝑆!"!!𝐷!"!!"
!
𝐷!"#!"!!" 0!"!!0!"!!"
𝑞!"#!"!!
𝑇!!!
𝜆!"!!
=
𝑄!"#$!"!!+𝑄!
!"!!−𝑀!"#!"!!𝑞!"#!!!
−𝐷!"!!"𝑞!"!!−𝐷!"#!"!!𝑞!"#!!!
𝐴!"!!" 𝑥!"!!=𝑏!"!!
Como se puede obse a , la di e encia en e las dimensiones del modelo comple o y el modelo simpli icado
coinciden con la educción de una coo denada gene alizada y una ecuación de es icción.
3.3 Supe icie pa ame izada
A la ho a de ealiza los cálculos necesa ios pa a la simulación dinámica del ehículo, p e ios a los análisis
expe mien ales, se ha pa ame izado la ca e e a po la que el o e a a ci cula como un plano inclinado. A
pesa de que las dimensiones de es as se suponen in ini as pa a su cálculo, se ha ep esen ado el plano con
unas dimensiones aco adas pa a que uese posible su ep esen ación.
P og amas u ilizados pa a la simulación
28
28
Figu a 5. T ayec o ias e icales modelo simpli icado.
Es os esul ados indican que la ayec o ia ealizada po el o e , medida como la elación exis en e en e las
coo denadas del chasis (x2,z2), concue dan con los ángulos in oducidos de las pendien es. Los e o es
ob enidos de los ángulos del o e espec o al ángulo de la ca e e a han sido los siguien es:
Tabla 3. E o ángulo ayec o ia e ical espec o ángulo ca e e a.
Velocidad [ ad/s]
Ángulo ca e e a
E o absolu o
10
10º
3.7836 ∙10!!"
10
20º
6.029 ∙10!!"
10
30º
5.2224 ∙10!!"
El e o que se in oduce en la simulación se debe al p oceso de in eg ación. Es e e o depende de la elocidad
que sea in oducida en las uedas mo o as, el paso de iempo que se u ilice en la in eg ación, y las dimensiones
del ec o iempo, es deci , la du ación de la simulación.
Además de la posición del chasis (x2,z2), se puede u iliza el ángulo de cabeceo (𝜃!) y el eco ido sob e el
plano XY como comp obación. En es e caso, el eco ido debe ía de se una línea ec a y es e ángulo (𝜃!)
debe ía coincidi con el ángulo de la pendien e de la ca e e a.
Rep esen ación g á ica del ángulo de cabeceo de Ro e a lo la go de odo el eco ido.

29
29
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
Figu a 6. Ángulos de cabeceo modelo simpli icado.
Se han calculado los e o es de és e ángulo con espec o al ángulo de la pendien e, en los es casos an e io es,
y el esul ado es el siguien e:
Tabla 4. E o es ángulo cabeceo espec o ángulo ca e e a.
Ángulo ca e e a
E o absol u o
10º
5.1366 ∙10!!"
20º
2.8974 ∙10!!!
30º
1.6645 ∙10!!!
Rep esen ación g á ica de la ayec o ia sob e el plano XY global.
P og amas u ilizados pa a la simulación
30
30
Figu a 7. T ayec o ias sob e plano XY modelo simpli icado
Como podemos obse a , los esul ados ob enidos an o con los ángulos de cabeceo del Ro e como con la
ayec o ia sob e el plano XY coinciden con los espe ados, man eniendo un e o absolu o del mismo o den
que el calculado siguiendo la ayec o ia (x2,z2).
4.6.2 Modelo comple o
Es e modelo pe mi e que el ehículo gi e al subi la pendien e ya que le hemos p opo cionado el ángulo de
balanceo que an e io men e hemos eliminado.
Al igual que en el caso an e io , se ha analizado la ayec o ia del ehículo en es pendien es di e en es, pe o
con la a iación de in oduci le elocidades di e en es pe o cons an es a cada ueda, de o ma que debe ía
ealiza una ayec o ia ci cula .
Den o de és e análisis, se ha ep esen ado g á icamen e la ayec o ia sob e el plano XY global del sis ema, la
ayec o ia seguida po el chasis (x2,z2), y los espec i os ángulos de cabeceo y balanceo del ehículo.
Los esul ados ob enidos son los siguien es:
31
31
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
Figu a 8. T ayec o ias sob e plano XY modelo comple o.
Figu a 9. T ayec o ias e icales modelo comple o.
Es as ep esen aciones nos indican que a p io i an o la ayec o ia e ical como la ayec o ia sob e el plano
XY coincide con lo espe ado, ya que la elocidad in oducida pa a la ueda de echa e a le emen e supe io a la
izquie da, p oduciendo de es a o ma el gi o hacia la izquie da deseado.
P og amas u ilizados pa a la simulación
32
32
Figu a 10. Ángulos de cabeceo modelo comple o
Figu a 11. Ángulos de balanceo modelo comple o
Los esul ados ob enidos en es as ep esen aciones ambién concue dan con lo espe ado, ya que el ángulo de
cabeceo inicial coincide con el de la pendien e de la ca e e a y es e disminuye has a llega a se nulo en el
pun o en el que la ayec o ia es o almen e pe pendicula a la di ección de subida de la pendien e.
33
33
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
Simul áneamen e, el alo del ángulo de balanceo aumen a desde un alo inicial nulo has a el máximo en el
mismo ins an e en el que el ángulo de cabeceo es nulo, siendo es e ins an e en o no a =80 s.
Apa e de es a simulación, dado que siemp e se ha iniciado la simulación di ec amen e sob e la ampa, hemos
decidido di idi lo en es amos, los amos iniciales y inales sin pendien e y el amo de en medio con una
pendien e de 20º. Ob eniendo esul ados de la igu a 12. Es os esul ados nos indican que la p oyección de las
elocidades de los pun os en las angen es supe iciales nos han sido de u ilidad pa a que uese posible ene
las uedas delan e as en una pendien e y la ase a en o a di e en e, de o ma que no uesen pa alelos al eje
local del chasis.
Figu a 12. T ayec o ia e ical con es amos a pendien es di e en es
El obje i o de es e apa ado e a la comp obación con di e sas si uaciones de que los p og amas gene ados nos
p opo cionaban las soluciones adecuadas, de o ma que a expensas de ealiza la simulación con los da os
expe imen ales pa ece que los esul ados que ob enemos con los di e en es p og amas coinciden con lo
espe ado y podemos pasa al siguien e apa ado en el que in oducimos como alo es de en ada los
egis ados po los senso es del Ro e .

Resul ados expe imen ales de la simulación
34
34
5 RESULTADOS EXPERIMENTALES DE LA
SIMULACIÓN
s e capí ulo es á o mado po los esul ados ob enidos de la simulación que se ha ealizado con los
da os ex aidos di ec amen e del Ro e cuando és e ealiza un ayec o po una cues a con cie a
pendien e.
5.1 Regis o de señales digi ales
El ayec o ealizado po el Ro e queda egis ado po el conjun o de senso es que és e incluye, siendo es os
senso es dos encode s, un gi oscopio y un acele óme o. Ob eniendo de es a o ma los siguien es da os:
• Columna 1. Ins an e de iempo [s].
• Columna 2. Acele ación en di ección X [𝑚𝑠!].
• Columna 3. Acele ación en di ección Y [𝑚𝑠!].
• Columna 4. Acele ación en di ección Z [𝑚𝑠!].
• Columna 5. Velocidad angula en di ección X [g ados/s].
• Columna 6. Velocidad angula en di ección Y [g ados/s].
• Columna 7. Velocidad angula en di ección Z [g ados/s].
• Columna 8. Pulsos de encode ueda de echa con signo nega i o.
• Columna 9. Pulsos de encode ueda izquie da.
Figu a 13. Ro e y con ol emo o.
E
35
35
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
5.2 T a amien o de señales digi ales
Los encode s ienen una esolución de 960 pulsos po e olución, de modo que el paso inicial es con e i los
pulsos de los encode s en adianes.[7] Una ez conocidos los ángulos gi ados po ambas uedas, en adianes,
hay que ob ene las elocidades y acele aciones ángula es de las uedas. Es os esul ados se han ob enidos
median e el mé odo di e encial de di e encias ini as cen adas.
En cuan o a las señales egis adas, con el obje i o de conoce digi almen e el espec o de una señal has a una
de e minada ecuencia máxima (𝑓
!"#), se equie e ealiza el mues eo a una ecuencia (𝑓
!) al menos el
doble de la ecuencia máxima, dado que sino no se pod ían conoce los a mónicos supe io es a la mi ad de la
ecuencia de mues eo. Además, si exis en ecuencias iguales o supe io es a 𝑓
!/2, es as ecuencias
pe u ba ían el esul ado ob enido. Es a condición es conocida con el nomb e de c i e io de Nyquis . [9]
Como no es siemp e ealiza el mues eo a la ecuencia an e io , la señal debe il a se con el obje i o de
elimina odas las ecuencias supe io es a la de Nyquis , es deci , la mi ad de la ecuencia de mues eo. Es os
il os son los denominados il os de paso bajo, que eliminan odas aquellas ecuencias supe io es a la de
Nyquis y se pe mi e el paso en ecuencias in e io es, ga an izando de es a o ma que el espec o ob enido es
su icien emen e ap oximado has a esa ecuencia.[9] Los il os se ca ac e izan po su unción de ans e encia,
de o ma que el ipo de il o depende á de dicha unción.
En es e caso, se han il ado las señales de los ángulos, elocidades y acele aciones angula es de las uedas con
un il o de bu e wo h de segundo o den a una ecuencia de co e de 4 Hz.[7] Dicho il o se ha ealizado
median e la unción de ma lab “bu e (N,Wn,'low')” siendo N el o den del il o y Wn la ecuencia de co e.
Figu a 14. Ángulos gi ados po las uedas
Resul ados expe imen ales de la simulación
36
36
Figu a 15. Velocidades de las uedas
Figu a 16. Acele aciones de las uedas
Es as señales son los da os de en ada pa a la esolución del sis ema.
𝑞!"# =𝜃!
𝜃!
𝑞!"# =𝜃!
𝜃!
𝑞!"# =𝜃!
𝜃!
37
37
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
5.3 Supe icie pa ame izada
La supe icie u ilizada pa a la ayec o ia eco ida po el Ro e es una de las ampas de la escuela. Pa a su
simulación, necesi amos conoce el alo de su pendien e, po ello, hemos omado la posición en la di ección
X y Z de es pun os de la ampa y la pendien e ob enida ha sido de 4.5º.
Figu a 17. Rampa u ilizada pa a la simulación
5.4 Resul ados
Al igual que en los esul ados análi icos op enidos en el apa ado 4.5, se han ealizado ep esen aciones de una
se ie de alo es que nos p opo cionan la in o mación necesa ia pa a pode con i ma que los esul ados
analí icos ob enidos con los da os egis ados expe imen almen e coinciden con lo espe ado. Po ello, como
pun o de pa ida, se ha ep esen ado la ayec o ia e ical seguida po el Ro e (Figu a 16).
Anexos
44
44
A7(1,:) = [ cos( e c) 0 -sin( e c)];
A7(2,:) = [ 0 1 0];
A7(3,:) = [sin( e c) 0 cos( e c)];
A2=A2_1*A2_2*A2_3;
A3 = A2*A23;
A4 = A2*A24;
A5 = A2*A25;
A6 = A5*A56;
%ma labFunc ion(A2,' ile', 'Ro Ma Solido2');
%ma labFunc ion(A3,' ile', 'Ro Ma Solido3');
%ma labFunc ion(A4,' ile', 'Ro Ma Solido4');
%ma labFunc ion(A5,' ile', 'Ro Ma Solido5');
%ma labFunc ion(A6,' ile', 'Ro Ma Solido6');
dA2 =
diff(A2,psi2)*dpsi2+diff(A2, e 2)*d e 2+diff(A2,phi2)*dphi2+diff(A2, e 3)*d e 3+diff(A2, e
4)*d e 4+diff(A2,psi5)*dpsi5+diff(A2, e 6)*d e 6;
dA3 =
diff(A3,psi2)*dpsi2+diff(A3, e 2)*d e 2+diff(A3,phi2)*dphi2+diff(A3, e 3)*d e 3+diff(A3, e
4)*d e 4+diff(A3,psi5)*dpsi5+diff(A3, e 6)*d e 6;
dA4 =
diff(A4,psi2)*dpsi2+diff(A4, e 2)*d e 2+diff(A4,phi2)*dphi2+diff(A4, e 3)*d e 3+diff(A4, e
4)*d e 4+diff(A4,psi5)*dpsi5+diff(A4, e 6)*d e 6;
dA5 =
diff(A5,psi2)*dpsi2+diff(A5, e 2)*d e 2+diff(A5,phi2)*dphi2+diff(A5, e 3)*d e 3+diff(A5, e
4)*d e 4+diff(A5,psi5)*dpsi5+diff(A5, e 6)*d e 6;
dA6 =
diff(A6,psi2)*dpsi2+diff(A6, e 2)*d e 2+diff(A6,phi2)*dphi2+diff(A6, e 3)*d e 3+diff(A6, e
4)*d e 4+diff(A6,psi5)*dpsi5+diff(A6, e 6)*d e 6;
% PosiciÛn en locales de pun os ca ac e Ìs icos
uG3 = [dx3 dy3 -dz3]';
uG4 = [dx3 -dy3 -dz3]';
uG5 = [dx3-dx5 0 (R +dz3)-(R +dz6)]';
uG6 = [-dx6 0 -dz6]';
uP = R *[sin( e 3) 0 -cos( e 3)]';
uQ = R *[sin( e 4) 0 -cos( e 4)]';
uS = R *[sin( e 6) 0 -cos( e 6)]';
%Posiciones de los solidos en globales
R2=[x2 y2 z2]';
R3 = R2 + A2*uG3;
R4 = R2 + A2*uG4;
R5 = R2 + A2*uG5;
R6 = R5 + A5*uG6;
R7=[0 0 0]';
%Velocidades angula es en locales
w4Lsk = simpli y(A4'*dA4);
w4L = [-w4Lsk(2,3) w4Lsk(1,3) -w4Lsk(1,2)]';
w3Lsk = simpli y(A3'*dA3);
w3L = [-w3Lsk(2,3) w3Lsk(1,3) -w3Lsk(1,2)]';
w2Lsk = simpli y(A2'*dA2);
w2L = [-w2Lsk(2,3) w2Lsk(1,3) -w2Lsk(1,2)]';
w5Lsk = simpli y(A5'*dA5);
w5L = [-w5Lsk(2,3) w5Lsk(1,3) -w5Lsk(1,2)]';

45
45
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
w6Lsk = simpli y(A6'*dA6);
w6L = [-w6Lsk(2,3) w6Lsk(1,3) -w6Lsk(1,2)]';
% T aslaciones o acionales
H2 = jacobian(R2,q); h2 = jacobian(H2*dq,q);
H3 = jacobian(R3,q); h3 = jacobian(H3*dq,q);
H4 = jacobian(R4,q); h4 = jacobian(H4*dq,q);
H5 = jacobian(R5,q); h5 = jacobian(H5*dq,q);
H6 = jacobian(R6,q); h6 = jacobian(H6*dq,q);
G2 = (jacobian(w2L,dq)); g2 = (jacobian(w2L,q));
G3 = (jacobian(w3L,dq)); g3 = (jacobian(w3L,q));
G4 = (jacobian(w4L,dq)); g4 = (jacobian(w4L,q));
G5 = (jacobian(w5L,dq)); g5 = (jacobian(w5L,q));
G6 = (jacobian(w6L,dq)); g6 = (jacobian(w6L,q));
%ma labFunc ion(G3,' ile', 'Ma izG3' );
%ma labFunc ion(G4,' ile', 'Ma izG4' );
%Res icciones con ac o posicion
ucp=[scpx scpy 0]';
ucq=[scqx scqy 0]';
ucs=[scsx scsy 0]';
Rcp=R7+A7*ucp;
Rcq=R7+A7*ucq;
Rcs=R7+A7*ucs;
u3P = R *[sin(s3) 0 -cos(s3)]';
u4Q = R *[sin(s4) 0 -cos(s4)]';
u6S = R *[sin(s6) 0 -cos(s6)]';
R3p=R3+A3*u3P;
R4q=R4+A4*u4Q;
R6s=R6+A6*u6S;
% es icciones con ac o no males
cpx=jacobian(Rcp,scpx);
cpy=jacobian(Rcp,scpy);
Ncp=simpli y(c oss( cpx, cpy));
cqx=jacobian(Rcq,scqx);
cqy=jacobian(Rcq,scqy);
Ncq=simpli y(c oss( cqx, cqy));
csx=jacobian(Rcs,scsx);
csy=jacobian(Rcs,scsy);
Ncs=simpli y(c oss( csx, csy));
3p=jacobian(R3p,s3);
2=[0 1 0]';
N3p=simpli y(c oss( 3p, 2));
4q=jacobian(R4q,s4);
2=[0 1 0]';
N4q=simpli y(c oss( 4q, 2));
6s=jacobian(R6s,s6);
2=[0 1 0]';
N6s=simpli y(c oss( 6s, 2));
Ch=[Rcp(1)-R3p(1) Rcp(2)-R3p(2) Rcp(3)-R3p(3) do (Ncp, 3p) Rcq(1)-R4q(1) Rcq(2)-R4q(2)
Rcq(3)-R4q(3) do (Ncq, 4q) Rcs(1)-R6s(1) Rcs(2)-R6s(2) Rcs(3)-R6s(3) do (Ncs, 6s)]';
Cqh=jacobian(Ch,q);
Anexos
46
46
dCqh = jacobian(Cqh*dq,q);
%ma labFunc ion(Ch,' ile', 'Ma izCh' );
%ma labFunc ion(Cqh,' ile', 'Ma izCqh' );
%ma labFunc ion(dCqh,' ile', 'Ma izdCqh' );
% Velocidades de los cen os de g a edad
V2 = H2*dq;
V3 = H3*dq;
V4 = H4*dq;
V5 = H5*dq;
V6 = H6*dq;
% Res icciones de odadu a sin deslizamien o
VP = simpli y(V3 + A3*c oss(w3L,uP));
VQ = simpli y(V4 + A4*c oss(w4L,uQ));
VS = simpli y(V6 + A6*c oss(w6L,uS));
VPx=do (VP, cpx/no m( cpx));
VPy=do (VP, cpy/no m( cpy));
VQx=do (VQ, cqx/no m( cqx));
VSx=do (VS, csx/no m( csx));
VSy=do (VS, csy/no m( csy));
Cnh = [VPx VPy VQx VSx VSy]';
B = jacobian(Cnh,dq);
dB = jacobian(B*dq,q);
%ma labFunc ion(Cnh,' ile','Ma izCnh');
%ma labFunc ion(B,' ile', 'Ma izB' );
%ma labFunc ion(dB,' ile', 'Ma izdB' );
%Ma iz es icciones
D=[Cqh;B];
dD=[dCqh;dB];
%ma labFunc ion(D,' ile', 'Ma izD' );
%ma labFunc ion(dD,' ile', 'Ma izdD' );
% Ma ices de masas e ine cias
M2 = m2*eye(3);
M3 = m3*eye(3);
M4 = m4*eye(3);
M5 = m5*eye(3);
M6 = m6*eye(3);
I2(1,:) = [I2xx I2xy I2xz];
I2(2,:) = [I2xy I2yy I2yz];
I2(3,:) = [I2xz I2yz I2zz];
I3(1,:) = [I3xx I3xy I3xz];
I3(2,:) = [I3xy I3yy I3yz];
I3(3,:) = [I3xz I3yz I3zz];
I4(1,:) = [I4xx I4xy I4xz];
I4(2,:) = [I4xy I4yy I4yz];
I4(3,:) = [I4xz I4yz I4zz];
I5(1,:) = [I5xx I5xy I5xz];
I5(2,:) = [I5xy I5yy I5yz];
I5(3,:) = [I5xz I5yz I5zz];
I6(1,:) = [I6xx I6xy I6xz];
I6(2,:) = [I6xy I6yy I6yz];
I6(3,:) = [I6xz I6yz I6zz];
47
47
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
Z0 = ze os(3,3);
MM(1:3,:) = [M2 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0];
MM(4:6,:) = [Z0 M3 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0];
MM(7:9,:) = [Z0 Z0 M4 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0];
MM(10:12,:) = [Z0 Z0 Z0 M5 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0];
MM(13:15,:) = [Z0 Z0 Z0 Z0 M6 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0];
MM(16:18,:) = [Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 I2 Z0 Z0 Z0 Z0];
MM(19:21,:) = [Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 I3 Z0 Z0 Z0];
MM(22:24,:) = [Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 I4 Z0 Z0];
MM(25:27,:) = [Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 I5 Z0];
MM(28:30,:) = [Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 I6];
% Fue zas gene alizadas cuad · icas en elocidad
Z0 = ze os(3,1);
QQ (16:18,:) = -c oss(w2L,I2*w2L);
QQ (19:21,:) = -c oss(w3L,I3*w3L);
QQ (22:24,:) = -c oss(w4L,I4*w4L);
QQ (25:27,:) = -c oss(w5L,I5*w5L);
QQ (28:30,:) = -c oss(w6L,I6*w6L);
QQ (1:3,:) = Z0;
QQ (4:6,:) = Z0;
QQ (7:9,:) = Z0;
QQ (10:12,:) = Z0;
QQ (13:15,:) = Z0;
% Fue zas g a i a o ias
QQg a (1:3,1) = [0 0 -m2*g]';
QQg a (4:6,1) = [0 0 -m3*g]';
QQg a (7:9,1) = [0 0 -m4*g]';
QQg a (10:12,1) = [0 0 -m5*g]';
QQg a (13:15,1) = [0 0 -m6*g]';
QQg a (16:30,1) = ze os(15,1);
% Ma ices de ans o maciÛn cinem· ica
L = [H2' H3' H4' H5' H6' G2' G3' G4' G5' G6']';
l = [h2' h3' h4' h5' h6' g2' g3' g4' g5' g6']';
M = L'*MM*L;
Q = L'*(QQ -MM*l*dq);
Qg a = L'*QQg a ;
Qmo = G3'*[0 Pa M3 0]' + G4'*[0 Pa M4 0]';
Ma MasaFue zas = [M Q Qg a Qmo ];
%ma labFunc ion(Ma MasaFue zas,' ile', 'Ma MasaFue zas');
oc
Anexos
48
48
7.2 Anexo B. Simulación Dinámica In e sa
%SIMULACION DINAMICA
clea ;clc
ic
global Pa am
Pa am = Pa ame osRo e ;
Ind = Pa am.Ind;
Dep = Pa am.Dep;
nn = Pa am.nn;
e c= Pa am. e c;
%EXTRACCION DATOS
load DATOS_1.ma ;
= DATOS_1(:,1);
e 3 = DATOS_1(:,2);
d e 3 = DATOS_1(:,3);
dd e 3 = DATOS_1(:,4);
e 4 = DATOS_1(:,5);
d e 4 = DATOS_1(:,6);
dd e 4 = DATOS_1(:,7);
wx = DATOS_1(:,8);
wy = DATOS_1(:,9);
wz = DATOS_1(:,10);
ax = DATOS_1(:,11);
ay = DATOS_1(:,12);
az = DATOS_1(:,13);
%CONDICIONES INICIALES 1
A = ( (end) - (end-1));
ci=condicionesIniciales( e c);
q0 = [0 e c 0 0 0 0 0.2 0.08 0.2 -0.08 0 0]';
[q_0, al]= sol e(@Ma izCh,q0,op imop ions(' sol e','Display','off'));
x2_0 = ci(1);
y2_0 = q_0(1);
z2_0 = ci(2);
psi2_0 = 0;
e 2_0 = e c;
phi2_0 = 0;
s3_0 = q_0(3);
s4_0 = q_0(4);
psi5_0 = 0;
e 6_0 = 0;
s6_0 = q_0(5);
scpx_0 = q_0(6);
scpy_0 = q_0(7);
scqx_0 = q_0(8);
scqy_0 = q_0(9);
scsx_0 = q_0(10);
scsy_0 = q_0(11);
qdep_0 = [x2_0 y2_0 z2_0 psi2_0 e 2_0 phi2_0 s3_0 s4_0 psi5_0 e 6_0 s6_0 scpx_0
scpy_0 scqx_0 scqy_0 scsx_0 scsy_0]';
q = ze os(nn,leng h( ));
dq = ze os(nn,leng h( ));
49
49
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
ddq = ze os(nn,leng h( ));
Pa M3 = ze os(leng h( ),1);
Pa M4 = ze os(leng h( ),1);
o i = 1 : leng h( )
%DATOS COORDENADAS INDEPENDIENTES
qind = [ e 3(i) e 4(i)]';
dqind = [d e 3(i) d e 4(i)]';
ddqind = [dd e 3(i) dd e 4(i)]';
i (i) == 0.0
qdep = qdep_0;
end
q(:,i) = Reo denaCoo d(qind,qdep);
%CALCULO MATRIZ D
D = Ma izD(q(:,i), e c);
Dind = D(:,Ind);
Ddep = D(:,Dep);
%CALCULO VELOCIDADES DEPENDIENTES
dqdep=-Ddep Dind*dqind;
dq(:,i) = Reo denaCoo d(dqind,dqdep);
%Ch=Ma izCh(q(:,i), e c);
%Cnh=Ma izCnh(q(:,i),dq(:,i), e c);
%CALCULO MATRIZ dD
dD = Ma izdD(q(:,i),dq(:,i), e c);
%CALCULO MATRIZ DE MASA Y FUERZAS GENERALIZADAS
MMF = Ma MasaFue zas(q(:,i),dq(:,i),0,0);
M = MMF(:,1:nn);
Q = MMF(:,nn+1);
Qg a = MMF(:,nn+2);
%CALCULO MATRIZ FUERZAS MOTORAS
G3 = Ma izG3(q(:,i));
G4 = Ma izG4(q(:,i));
S = [G3(2,:)' G4(2,:)'];
M_dep = [M(:,1) M(:,2) M(:,3) M(:,4) M(:,5) M(:,6) M(:,8) M(:,10) M(:,11) M(:,12)
M(:,13) M(:,14) M(:,15) M(:,16) M(:,17) M(:,18) M(:,19)];
M_ind = [M(:,7) M(:,9)];
D_dep = [D(:,1) D(:,2) D(:,3) D(:,4) D(:,5) D(:,6) D(:,8) D(:,10) D(:,11) D(:,12)
D(:,13) D(:,14) D(:,15) D(:,16) D(:,17) D(:,18) D(:,19)];
D_ind = [D(:,7) D(:,9)];
%RESOLUCION Ax=b
AA = ze os(36,36);
bb = ze os(36,1);
AA(1:19,1:17) = M_dep;
AA(1:19,18:19) = -S;
AA(1:19,20:36) = D';
AA(20:36,1:17) = D_dep;
AA(20:36,18:19) = ze os(17,2);
AA(20:36,20:36) = ze os(17,17);
bb(1:19) = -M_ind*ddqind + Qg a + Q ;

Anexos
50
50
bb(20:36) = -dD*dq(:,i) - D_ind*ddqind;
x=AA bb;
Pa M3(i) = x(18);
Pa M4(i) = x(19);
Lambdas(:,i) = x(20:36);
ddqdep = x(1:17,1);
%VELOCIDADADES Y ACELERACIONES
dx2 = dqdep(1); ddx2 = ddqdep(1);
dy2 = dqdep(2); ddy2 = ddqdep(2);
dz2 = dqdep(3); ddz2 = ddqdep(3);
dpsi2 = dqdep(4); ddpsi2 = ddqdep(4);
d e 2 = dqdep(5); dd e 2 = ddqdep(5);
dphi2 = dqdep(6); ddphi2 = ddqdep(6);
ds3 = dqdep(7); dds3 = ddqdep(7);
ds4 = dqdep(8); dds4 = ddqdep(8);
dpsi5 = dqdep(9); ddpsi5 = ddqdep(9);
d e 6 = dqdep(10); dd e 6 = ddqdep(10);
ds6 = dqdep(11); dds6 = ddqdep(11);
dscpx = dqdep(12); ddscpx = ddqdep(12);
dscpy = dqdep(13); ddscpy = ddqdep(13);
dscqx = dqdep(14); ddscqx = ddqdep(14);
dscqy = dqdep(15); ddscqy = ddqdep(15);
dscsx = dqdep(16); ddscsx = ddqdep(16);
dscsy = dqdep(17); ddscsy = ddqdep(17);
%INTEGRACION NUMERICA
x2 = x2_0 + dx2*A + 0.5*A ^2*ddx2;
y2 = y2_0 + dy2*A + 0.5*A ^2*ddy2;
z2 = z2_0 + dz2*A + 0.5*A ^2*ddz2;
psi2 = psi2_0 + dpsi2*A + 0.5*A ^2*ddpsi2;
e 2 = e 2_0 + d e 2*A + 0.5*A ^2*dd e 2;
phi2 = phi2_0 + dphi2*A + 0.5*A ^2*ddphi2;
s3 = s3_0 + ds3*A + 0.5*A ^2*dds3;
s4 = s4_0 + ds4*A + 0.5*A ^2*dds4;
psi5 = psi5_0 + dpsi5*A + 0.5*A ^2*ddpsi5;
e 6 = e 6_0 + d e 6*A + 0.5*A ^2*dd e 6;
s6 = s6_0 + ds6*A + 0.5*A ^2*dds6;
scpx = scpx_0 + dscpx*A + 0.5*A ^2*ddscpx;
scpy = scpy_0 + dscpy*A + 0.5*A ^2*ddscpy;
scqx = scqx_0 + dscqx*A + 0.5*A ^2*ddscqx;
scqy = scqy_0 + dscqy*A + 0.5*A ^2*ddscqy;
scsx = scsx_0 + dscsx*A + 0.5*A ^2*ddscsx;
scsy = scsy_0 + dscsy*A + 0.5*A ^2*ddscsy;
%CAMBIO VALORES INICIALES
x2_0 = x2;
y2_0 = y2;
z2_0 = z2;
psi2_0 = psi2;
e 2_0 = e 2;
phi2_0 = phi2;
s3_0 = s3;
s4_0 = s4;
psi5_0 = psi5;
e 6_0 = e 6;
s6_0 = s6;
scpx_0 = scpx;
scpy_0 = scpy;
scqx_0 = scqx;
scqy_0 = scqy;
scsx_0 = scsx;
scsy_0 = scsy;
q(:,i) = [x2 y2 z2 psi2 e 2 phi2 e 3(i) s3 e 4(i) s4 psi5 e 6 s6 scpx scpy
51
51
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
scqx scqy scsx scsy]';
qdep = [x2 y2 z2 psi2 e 2 phi2 s3 s4 psi5 e 6 s6 scpx scpy scqx scqy scsx
scsy]';
end
%Animacion
AnimaRo e (q, e c)
Anexos
52
52
7.3 Anexo C. AnimaRo e
unc ion AnimaRo e (q, e c)
global Pa am
R = Pa am.R ;
R = Pa am.R ;
La = Pa am.La ;
Anc = Pa am.Anc;
Al = Pa am.Al ;
cdgx = Pa am.cdgx;
cdgz = Pa am.cdgz;
C1 = Pa am.C1;
C2 = Pa am.C2;
C3 = Pa am.C3;
C4 = Pa am.C4;
% Chasis Ro e
uAA1ba = [La -cdgx Anc/2 cdgz]';
uAA2ba = [La -cdgx -Anc/2 cdgz]';
uAA3ba = [-cdgx -Anc/2 cdgz]';
uAA4ba = [-cdgx Anc/2 cdgz]';
uBB1ba = [-cdgx C3/2 cdgz]';
uBB2ba = [-cdgx -C3/2 cdgz]';
uBB3ba = [-cdgx-C3 -C3/2 cdgz]';
uBB4ba = [-cdgx-C3 C3/2 cdgz]';
uDD1ba = [La -cdgx Anc/2 -cdgz]';
uDD2ba = [La -cdgx -Anc/2 -cdgz]';
uDD3ba = [-cdgx -Anc/2 -cdgz]';
uDD4ba = [-cdgx Anc/2 -cdgz]';
uEE1ba = [La -C1 -Anc/2 -cdgz]';
uEE2ba = [La -C1 -Anc/2-C2 -cdgz]';
uFF1ba = [La -C1 Anc/2 -cdgz]';
uFF2ba = [La -C1 Anc/2+C2 -cdgz]';
uGG2ba = [0 0 -(Al +R -R )]';
al a = 0 : pi/8 : 2*pi;
[~,col] = size(q);
o i = 1 : col
A2 = Ro Ma Solido2(q(:,i));
R2 = [q(1,i) q(2,i) q(3,i)]';
% Rueda de echa
u3ba = [La -C1 -Anc/2-C2 -cdgz]';
R3 = R2 + A2*u3ba ;
A3 = Ro Ma Solido3(q(:,i));
RP = ze os(3,18);
o j = 1 : leng h(al a)
RP(:,j) = R3 + R *A3*[cos(al a(j)) 0 sin(al a(j))]';
53
53
Simulación cinemá ica y dinámica de un ehículo con olado po con ol emo o en es dimensiones
end
RP(:,18) = R3;
% Rueda izquie da
u4ba = [La -C1 Anc/2+C2 -cdgz]';
R4 = R2 + A2*u4ba ;
A4 = Ro Ma Solido4(q(:,i));
RQ = ze os(3,18);
o j = 1 : leng h(al a)
RQ(:,j) = R4 + R *A4*[cos(al a(j)) 0 sin(al a(j))]';
end
RQ(:,18) = R4;
% Rueda ase a
A5 = Ro Ma Solido5(q(:,i));
u5ba = [-cdgx-C3/2 0 cdgz]';
R5 = R2 + A2*u5ba ;
u6ba = [-C4 0 -(Al +R -R )]';
R6 = R5 + A5*u6ba ;
A6 = Ro Ma Solido6(q(:,i));
RS = ze os(3,18);
o j = 1 : leng h(al a)
RS(:,j) = R6 + R *A6*[cos(al a(j)) 0 sin(al a(j))]';
end
RS(:,18) = R6;
%Plo eo Chasis Ro e
RAA1 = R2 + A2*uAA1ba ;
RAA2 = R2 + A2*uAA2ba ;
RAA3 = R2 + A2*uAA3ba ;
RAA4 = R2 + A2*uAA4ba ;
RBB1 = R2 + A2*uBB1ba ;
RBB2 = R2 + A2*uBB2ba ;
RBB3 = R2 + A2*uBB3ba ;
RBB4 = R2 + A2*uBB4ba ;
RDD1 = R2 + A2*uDD1ba ;
RDD2 = R2 + A2*uDD2ba ;
RDD3 = R2 + A2*uDD3ba ;
RDD4 = R2 + A2*uDD4ba ;
REE1 = R2 + A2*uEE1ba ;
REE2 = R2 + A2*uEE2ba ;
RFF1 = R2 + A2*uFF1ba ;
RFF2 = R2 + A2*uFF2ba ;
RGG2 = R5 + A5*uGG2ba ;
Chasis = [RAA1 RAA2 RAA3 RAA4 RAA1 RDD1 RDD2 RAA2 RDD2 RDD3 RAA3...
RDD3 RDD4 RAA4 RDD4 RDD1];
x = Chasis(1,:);
y = Chasis(2,:);
z = Chasis(3,:);
igu e(1000)
g id on
plo 3(x,y,z,'y');
hold on