P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
P oyec o Fin de Más e
Más e en Ingenie ía Indus ial
Analisis Dinámico In e so de la Ma cha
Humana
Au o : Edua do Maza O ega
Tu o : Joaquín Ojeda G anja
Dep. Ingenie ía Mecánica y Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2019
P oyec o Fin de Más e
Más e en Ingenie ía Indus ial
Analisis Dinámico In e so de la Ma cha
Humana
Au o :
Edua do Maza O ega
Tu o :
Joaquín Ojeda G anja
P o eso Con a ado Doc o In e ino
Dep. Ingenie ía Mecánica y Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2019
P oyec o Fin de Más e : Analisis Dinámico In e so de la Ma cha Humana
Au o : Edua do Maza O ega
Tu o : Joaquín Ojeda G anja
El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es:
P esiden e:
Vocal/es:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

Ag adecimien os
Es
e abajo no ha sido ácil y no hubie a sido posible comple a lo sin el apoyo de mi amilia
y mis amigos. A odos ellos, g acias.
I
Resumen
En
el p esen e abajo se desa olla un p og ama en Ma lab pa a esol e un p oblema dinámico
in e so aplicado a la ma cha humana. El obje i o de es e p oblema es ob ene el alo de
los momen os en cade a, odilla y obillo du an e la ma cha. Pa a ello se oma como e e encia el
so wa e de OpenSim pe o in en ando lle a a cabo un código mas sencillo y que pe mi a al usua io
libe ad pa a modi ica lo sin necesidad de amplios conocimien os de p og amación. Des acan el
uso de calculo simbólico en Ma lab y de un conjun o mínimo de coo denadas de mane a que no
exis an es icciones algeb aicas sob e ellas [18].
En los dos p ime os capí ulos se desa olla el as ondo eó ico necesa io pa a comp ende el
p oblema. En el e ce capí ulo se explica el modelo dinámico u ilizado. Los capí ulos cua o y
quin o suponen el núcleo del abajo ya que desa ollan el p oblema cinemá ico y dinámico in e so
p esen ando los esul ados ob enidos en Ma lab y su compa ación con OpenSim. Po úl imo, en el
sex o capi ulo se ob ienen conclusiones y se comen an aspec os a mejo a .
III
2Capí ulo 1. In oducción
New on-Eule pa a esol e el p oblema dinámico in e so. La p incipal inno ación de es e abajo
adica en que p esen a una écnica gene al que pe mi e no ene que de i a manualmen e las
ecuaciones del mo imien o como se había hecho has a aho a, po ejemplo, en el abajo de Win e
[
20
]. En es e sen ido ambién hay que des aca el a ículo de Rieme e al. [
15
], en el que se modela
el cue po humano como un conjun o de ece segmen os a iculados en e sí pa a calcula los
momen os en el plano sagi al de las di e en es a iculaciones. Pa a ello se esuel en las ecuaciones
de equilib io de cada segmen o de o ma sucesi a, empezando po el pie, po lo que es necesa io
conoce las ue zas de eacción con el suelo. Una de las p incipales limi aciones de es e modelo es
que es bidimensional y po an o solo pe mi e calcula los momen os de lexión-ex ensión.
En el abajo de Damsgaa d e al. [
4
] se hace una e isión del so wa e de simulación AnyBody
Modeling Sys em, el cual se u iliza pa a esol e el p oblema dinámico in e so de modelos muscu-
loesquelé icos del cue po humano. Pa a ello se hace uso de una o mulación gene al basada en la
dinámica de sis emas mul icue po en la que se usan coo denadas ca esianas y pa áme os de Eule
como coo denadas gene alizadas. Dichas coo denadas es án suje as a ecuaciones de es icción que
es necesa io esol e an es de plan ea las ecuaciones de equilib io.
El a ículo de Delp e al. [
6
] p esen a un modelo g á ico del miemb o in e io y se puede conside a
el an eceso de OpenSim. En el se modela el miemb o in e io como un sis ema mul icue po o mado
po sie e segmen os. Es más a de, en 2007, cuando Delp e al. [
5
] p esen a p opiamen e OpenSim
en o o a ículo. OpenSim es una pla a o ma de so wa e pa a modela humanos, animales, obo s y
el ambien e, y simula su in e acción y mo imien o. OpenSim dispone de una in e az g á ica de
usua io (GUI po sus siglas en ingles) pa a isualiza modelos y gene a y analiza simulaciones.
Una cap u a del aspec o de es a GUI se puede obse a en la Figu a 1.1. De es a mane a, OpenSim
cons i uye una he amien a de ácil manejo pa a ealiza análisis dinámicos in e sos de modelos del
cue po humano. Simbody es el código de ás de OpenSim y su ge de la necesidad de la in es igación
biomédica de ene un so wa e de dinámica mul icue po o ien ado especí icamen e a la simulación
de sis emas biomecánicos como el cue po humano. Se a a de un mo o dinámico pensado pa a
p og amado es o desa ollado es de aplicaciones que no necesa iamen e ienen que se expe os en
dinámica [
19
]. El código es de acceso lib e y se puede encon a en h ps://sim k.o g/home/simbody.
Con es e úl imo abajo se llega a la apa ición de es e so wa e, que supone el pun o de pa ida del
p esen e abajo.
Figu a 1.1 Aspec o de la GUI de OpenSim.
F en e a es os abajos, el p esen e u iliza un modelo idimensional del apa a o locomo o
humano basado en el uso de un conjun o mínimo de coo denadas ela i as. Es o pe mi e que es as
coo denadas no es én suje as a ecuaciones de es icción, lo que p o oca un aho o compu acional
ya que no hay que esol e las. Po o a pa e, al plan ea el p oblema de o ma gene al, es deci ,

1.2 Obje i os 3
aplicando las ecuaciones de equilib io sob e el conjun o de sólidos que con o man el sis ema no es
necesa io conoce el alo de las ue zas de eacción con el suelo.
Los dos códigos de Ma lab p og amados esuel en el p oblema dinámico in e so emulando a
OpenSim pe o median e un código mas sencillo y que pe mi e una mayo pe sonalización po pa e
del usua io. Aunque el código de OpenSim es á publicado y se puede accede a el pa a modi ica lo,
es á esc i o usando lenguaje C++, que es a muy op imizado pa a mejo a el endimien o pe o puede
esul a di ícil pa a un ingenie o que no es e especializado en el. Po ello el p esen e abajo se
plan ea el obje i o de emula a OpenSim pe o esc ibiendo el código en Ma lab, un lenguaje de
p og amación mas o ien ado a la ingenie ía y que se impa e y u iliza ampliamen e en la ESI. Uno
de los e os que se plan ean es hace compa able la elocidad de ejecución del código en Ma lab
con el código en C++ que u iliza OpenSim y que a p io i es mas ápido Es o se debe a que C++ es
un lenguaje de p og amación compilado en e a M (el lenguaje de p og amación de Ma lab), que
es un lenguaje in e p e ado. La di e encia en e ambos es que en el lenguaje compilado el código
se aduce a lenguaje maquina en un paso p e io, mien as que en el in e p e ado es e paso se a
haciendo a medida que se ejecu a el código. La en aja del lenguaje compilado es que cuando se
ejecu a el código ya es a en lenguaje maquina, po lo que la ejecución es mucho mas ápida. La
des en aja del uso de lenguaje compilado es que hay que compila el código cada ez que es e cambia.
1.2 Obje i os
El obje i o p incipal de es e abajo es esol e un p oblema dinámico in e so de la ma cha humana.
Pa a ello se gene an dos códigos de Ma lab que esuel en la cinemá ica y la dinámica in e sa.
En el p ime o de ellos se ob iene el alo de los ángulos en las a iculaciones; los esul ados
ob enidos se usan en el segundo pa a ob ene el alo de los momen os en ellas. El esquema gene al
del abajo se mues a en la Figu a 1.2. Desde el pun o de is a compu acional, la esolución del
p oblema cinemá ico in e so usa calculo numé ico pa a esol e un p oblema de op imización. Po
su pa e, el p oblema dinámico in e so consis e en úl ima ins ancia en la esolución de un sis ema
de ecuaciones lineal (mas sencillo que una op imización) pe o con la di icul ad añadida del uso de
calculo simbólico pa a la ob ención de las ma ices dinámicas. El modelo biomecánico u ilizado es
el conocido como gai 2392 y se p esen a á en el e ce capí ulo. Es e modelo se encuen a den o
del paque e de desca gas de OpenSim. Como da os de pa ida se ienen odos los pa áme os del
modelo y un iche o ambién p esen e en el paque e de desca gas de OpenSim con los esul ados de
un expe imen o de análisis de la ma cha humana.
CINEMÁTICA
INVERSA DINÁMICA
INVERSA
𝑞 𝑇
pa áme os del modelo
coo denadas de los ma cado es
Figu a 1.2 Esquema global.
2 Concep os Teó icos
En
es e capi ulo se explican algunos concep os impo an es de los que se ha á uso a lo la go de
es e abajo y que con iene ene cla os pa a una buena comp ensión del mismo.
2.1 Ejes y planos ana ómicos
An es de nada, al hace e e encia con inua al mo imien o del cue po humano y pun os ana ómicos
de es e, es con enien e in oduci los ejes y planos ana ómicos que es ablecen una base pa a pode
habla de la disposición de los miemb os del cue po. En la Figu a 2.1 se obse an los ejes y planos
ana ómicos que de inen la geome ía del cue po, así como los ejes de coo denadas globales ( ijos
en el espacio) que se an a u iliza a lo la go de odo el abajo:
•Eje X: en la di ección de la ma cha.
•Eje Y: eje e ical hacia a iba.
•Eje Z: p oduc o ec o ial de los an e io es.
Los es planos ana ómicos p incipales son:
•Plano co onal o on al: di ide al cue po en las mi ades pos e io y an e io .
•
Plano sagi al: di ide al cue po en las mi ades de echa e izquie da. En es e plano se dan los
mo imien os p incipales elacionados con la ma cha.
•Plano ans e sal o axial: di ide al cue po en las mi ades c aneal y caudal.
Es os planos se co an en e si dando luga a los ejes p incipales. Las di ecciones de es os ejes
se i án pa a desc ibi las o aciones que se p oducen en las di e en es a iculaciones del cue po.
•Eje an e opos e io : es el co e de los planos sagi al y ans e sal.
•Eje c aneocaudal: es el co e de los planos sagi al y co onal.
•Eje la e o-la e al: es el co e de los planos co onal y ans e sal.
En la Figu a 2.2 se p esen an algunos é minos que de inen las posiciones de los pun os ana ómicos
espec o a los planos ana ómicos Así, a lo la go del eje c aneocaudal un pun o es p oximal en e a
uno dis al po es a mas ce ca del cen o del cue po, es deci , del plano ans e sal al y como es a
ep esen ado en la igu a Figu a 2.1. Así, la ibia es un hueso mas dis al que el ému , po ejemplo.
Si nos e e imos aho a al eje la e o-la e al, un pun o es medial en e a uno la e al si es a mas ce ca
del plano sagi al. Así, el dedo go do del pie es á en una posición medial en e al pequeño, que es a
en una posición la e al. Po ul imo, pa a la pa eja an e io -pos e io nos enemos que ija en si el
5
6Capí ulo 2. Concep os Teó icos
Figu a 2.1 Ejes ana ómicos.
Figu a 2.2 Té minos ana ómicos.
pun o ana ómico es a delan e o de ás del plano co onal. Si es á delan e, como el pecho, la posición
es an e io . Po el con a io, si se encuen a de ás, como la espalda, la posición es pos e io . O a
pa eja de é minos que se a a u iliza a lo la go del abajo es la de do sal/ plan a . Do sal hace
e e encia al empeine del pie en e a plan a que hace e e encia a la plan a del pie.
2.2 Ecuaciones cinemá icas 7
X
Y
Z ≡z
x
y
z
x ≡ x'
y
z'
y'
x'
x''
z'
y'≡ y''
z''
Figu a 2.3 Secuencia de o aciones.
2.2 Ecuaciones cinemá icas
2.2.1 Mo imien o de un sólido
En cinemá ica se de ine un sis ema de coo denadas global, ijo en el espacio, que si e como
e e encia. A cada solido se le acopla un sis ema de coo denadas que se denomina local. La posición
y o ien ación de dicho sis ema local en e al global es lo que pe mi e desc ibi el mo imien o del
solido. Todo mo imien o esul a de una combinación de un mo imien o de aslación con uno de
o ación. El mo imien o de aslación hace e e encia a como cambia la posición del o igen de
coo denadas local espec o al global. El de o ación, po su pa e, hace e e encia a como a ia la
o ien ación de los ejes locales espec o a los globales.
Si se piensa en dos dimensiones, desc ibi el mo imien o esul a sencillo: la aslación iene luga
en un plano y la o ación consis e en un gi o al ededo de un eje pe pendicula al plano. Si bien el
mo imien o de aslación en es dimensiones es homologo al caso idimensional, la de inición de
la o ien ación es algo mas complicado. Aunque exis en di e en es mé odos pa a es a de inición, a lo
la go de es e abajo se han u ilizado dos de ellos: ángulos de Tai -B yan y pa áme os de Eule .
Ángulos de Tai -B yan
Los ángulos de Tai -B yan desc iben es gi os sucesi os que pe mi en pasa de la o ien ación del
sis ema global a la del sis ema local.
El p ime gi o se ealiza a lo la go del eje Z global, como se ap ecia en la Figu a 2.3
Realizando es e gi o se ob iene un sis ema de coo denadas in e medio
x0−y0−z0
. El siguien e
gi o se p oduce al ededo del eje x0, como se ap ecia en la Figu a 2.3
El ul imo gi o se p oduce al ededo del eje
y00
, como se ap ecia en la Figu a 2.3 Es e ipo de
o aciones se denominan in ínsecas ya que se p oducen de o ma sucesi a al ededo de los ejes que
ya se han o ado p e iamen e. En el modelo u ilizado odas las o aciones desc i as con ángulos de
Tai -B yan se ealizan de la mane a desc i a, es deci , al ededo de los ejes
z−x0−y00
. En ningún
caso las o aciones se p oducen al ededo de los ejes sin gi a del sis ema de coo denadas o iginal.
Pa áme os de Eule
O o de los mé odos u ilizados pa a halla la o ien ación de un solido en es e abajo es a basado en
los pa áme os de Eule . En es e caso el paso de un sis ema de coo denadas a o o se lle a a cabo
median e la o ación al ededo de un único eje. Pa a desc ibi es a o ación es necesa io conoce la

8Capí ulo 2. Concep os Teó icos
di ección de dicho eje:
1, 2, 3
son las coo denadas de un ec o uni a io en la di ección de dicho
eje; po o a pa e, el angulo de o ación se deno a como
α
. Con es os alo es se cons uyen los
cua o pa áme os de Eule :
θ=



θ1
θ2
θ3
θ4



=



cos(α
2)
1sin(α
2)
2sin(α
2)
3sin(α
2)



(2.1)
Figu a 2.4 Pa áme os de Eule .
Ecuación cinemá ica undamen al
A pa i de los ángulos de Tai -B yan o de los pa áme os de Eule se cons uye la ma iz de
o ien ación del sólido. Pa a ob ene el ec o con las coo denadas de un pun o cualquie a del solido
exp esadas en el sis ema global hace al a conoce es a ma iz de o ien ación y la posición del o igen
de coo denadas locales exp esado en el sis ema de coo denadas global:
=R+Au (2.2)
Siendo
u
el ec o de posición del pun o exp esado en el sis ema de coo denadas locales,
A
la
ma iz de o ien ación del solido,
R
la posición del o igen de coo denadas locales exp esado en
coo denadas globales y
el ec o de posición de dicho pun o exp esado en el sis ema de e e encia
ine cial (coo denadas globales).
2.2.2 Mo imien o de un conjun o de sólidos
Has a aho a se ha es ado cen ado en conoce la posición y o ien ación de un solido en pa icula ,
sin emba go, el apa a o locomo o humano se a a como un conjun o de sólidos a iculados en e sí.
Pa a pode ob ene la posición de cada uno de es os sólidos se u iliza á un conjun o de coo denadas
ela i as. Es e ipo de coo denadas desc iben la posición y o ien ación de cada cue po espec o al
cue po que le p ecede en la cadena cinemá ica. La en aja del uso de es as coo denadas adica en
que no se imponen es icciones sob e ellas, lo que pe mi e no ene que esol e ningún ipo de
ecuaciones de es icción.
2.3 Ecuaciones dinámicas 9
En el modelo u ilizado en es e abajo el o igen de la cadena cinemá ica es la pel is. La cinemá ica
de es e cue po se de ine a pa i de la posición del o igen del sis ema de coo denadas asociado a él
y de los es ángulos de Tai -B yan que de inen su ma iz de o ación asociada. A pa i de es os
da os se puede ob ene la posición de cualquie pun o que se encuen e en la pel is:
pel is =Rpel is +Apel isupel is (2.3)
Como se ha dicho, la exp esión de
Rpel is
y
Apel is
se ob ienen a pa i de la posición del o igen
del sis ema de coo denadas asociado a él y de los es ángulos de Tai -B yan, que cons i uyen las
coo denadas gene alizadas asociadas a la pel is. Po an o, la ecuación (2.3) se esc ibe como:
pel is(q) = Rpel is(q)+Apel is(q)upel is (2.4)
La ma iz de o ación del ému , el siguien e en la cadena cinemá ica, se de ine a pa i de la
o ien ación ela i a de es e solido espec o a la pel is. Es a o ien ación se de ine a pa i de la ma iz
de gi o de la cade a, que es la a iculación en e ambos sólidos. Po an o la ma iz de o ación del
ému se calcula de la siguien e mane a:
A emu =Apel isAcade a (2.5)
El o igen del sis ema de coo denadas asociado al ému ambién se de ine de mane a ela i a al
de la pel is, ya que se encuen a en la cade a, la a iculación que une ambos sólidos. Con la posición
y la ma iz de o ación asociada se puede calcula la posición de cualquie pun o pe enecien e al
ému :
emu =R emu +A emu u emu (2.6)
Es o se a haciendo sucesi amen e pa a cada solido del modelo, desde el más p oximal al más
dis al. Es e esul a el p incipal incon enien e del uso de coo denadas ela i as, ya que la posición
de los segmen os mas dis ales se de ine en unción de la posición de odos los segmen os que le
an eceden en la cadena cinemá ica. De es a mane a se complican las exp esiones de las ma ices
de o ación de es os segmen os más dis ales, ya que dependen de un g an nume o de coo denadas
gene alizadas.
2.3 Ecuaciones dinámicas
Si en el apa ado an e io se explicó la cinemá ica del modelo, es deci , como se desc iben los
mo imien os del mismo, en el p esen e se explica como se hallan las ue zas que p oducen dicho
mo imien o. La dinámica del modelo se esuel e aplicando las ecuaciones de New on-Eule al
conjun o de sólidos que componen el modelo, como se mues a en la ecuación (2.7)










mi1
...
mi1
¯
Ii
...
¯
Ii










| {z }
ˆ
M










ai
G
.
.
.
ai
G
¯
αi
.
.
.
¯
αi










=










Fi
.
.
.
Fi
¯
Mi
.
.
.
¯
Mi










| {z }
ˆ
Q
+










0
.
.
.
0
−¯
ωi∧¯
Ii¯
ωi
.
.
.
−¯
ωi∧¯
Ii¯
ωi










| {z }
ˆ
Q
(2.7)
10 Capí ulo 2. Concep os Teó icos
A con inuación se explica el desa ollo ma emá ico que pe mi e esc ibi la ecuación
(2.7)
en
unción de las coo denadas gene alizadas del modelo al y como explica en el documen o del
p o eso Escalona [
7
]. El p ime paso consis e en exp esa el ec o de acele aciones lineales y
angula es en unción de las coo denadas gene alizadas, como mues a la ecuación (2.8).










ai
G
.
.
.
ai
G
¯
αi
.
.
.
¯
αi










=










Hi
.
.
.
Hi
¯
Gi
.
.
.
¯
Gi










|{z}
L
¨
q+










hi
.
.
.
hi
¯
gi
.
.
.
¯
gi










|{z}
l
˙
q(2.8)
Pa a pode esc ibi es a ecuación los alo es de las coo denadas gene alizadas ob enidos en la
cinemá ica in e sa se de i an de o ma numé ica pa a ob ene
˙
q
y
¨
q
. La cons ucción de las ma ices
L
y
l
equie e de los alo es de
Ri
G
y de
ωi
. La posición del cen o de g a edad de los segmen os del
modelo se ex ae del modelo de cinemá ica in e sa. Pa a las elocidades angula es, en un p incipio
se siguió el documen o del p o eso Escalona [
7
], que p esen a una o ma gene al pa a ealiza es e
cálculo a pa i de las ma ices de o ación:
˜
¯
ωi=AiT˙
Ai(2.9)
Sin emba go, al usa coo denadas ela i as, la exp esión de las ma ices de o ación de los
segmen os dis ales puede complica se bas an e. Po ejemplo:
A ibia =Apel isAcade aA odilla (2.10)
Es ácil en ende la di icul ad de ene que de i a una ma iz de es e ipo. La solución pasa po
u iliza es a o mulación an solo pa a la pel is y la combinación de elocidades angula es pa a el
es os de segmen os. De es a mane a se calcula la elocidad angula de cada segmen o a pa i de la
elocidad angula del segmen o an e io :
ωi1=ωi i−1+ωi−1 1 (2.11)
Donde
ωi1
es la elocidad angula absolu a del sólido i,
ωi−1 1
la elocidad angula absolu a del
sólido i-1 y
ωi i−1
es la elocidad angula ela i a del sólido i espec o al sólido i-1. Es a elocidad
angula es la asociada a la a iculación que une los dos segmen os consecu i os. Su exp esión es
ácil de consegui debido al uso de coo denadas ela i as en el modelo. De es a mane a, una ez
ob enida la elocidad angula de la pel is, la exp esión de las elocidades angula es asociadas a
espalda y cade a es inmedia a ya que ienen la misma exp esión pe o con el conjun o de coo denadas
gene alizadas asociado a la a iculación.
A pa i de Ri
Gyωise ob ienen las siguien es ma ices:
Hi=∂Ri
G
∂q,
¯
Gi=∂¯
ωi
∂˙
q(2.12)
hi=∂Hi˙
q
∂q,
¯
gi=∂¯
ωi
∂q(2.13)
Con es as ecuaciones ya se pueden cons ui las ma ices Lylde la ecuación (2.8)
Sus i uyendo la ecuación 2.8 en la (2.7) queda
ˆ
M(L¨
q+l˙
q) = ˆ
Q+ˆ
Q (2.14)
2.4 El ciclo de ma cha 11
P emul iplicando po LT
M¨
q=Q+Q (2.15)
Donde
M=LTˆ
ML,Q=LTˆ
Q,Q=LTˆ
Q,Q =LT(ˆ
Q −ˆ
Ml˙
q)(2.16)
De la o ma en que es a de inido el p oblema no exis en ue zas de eacción como al ya que no se
de inen ecuaciones de es icción sob e las coo denadas gene alizadas. Po an o, las únicas ue zas
exis en es son las asociadas a las coo denadas gene alizadas y las g a i a o ias:
Q=Qgdl +Qg a (2.17)
Po an o, la ecuación (2.15) se puede esc ibi de la siguien e mane a:
M¨
q=Qgdl +Qg a +Q (2.18)
Despejando Qgdl en la an e io ecuación se llega a la ecuación (2.19)
Qgdl =M(q)¨
q−Q (q,˙
q)−Qg a (q)(2.19)
Donde:
•Qgdl es el ec o de ue zas gene alizadas asociadas a las coo denadas gene alizadas
•M(q)es la ma iz de masas del sis ema
•¨
qes la de i ada segunda de las coo denadas gene alizadas
•Q (q,˙
q)es el ec o de ue zas cuad á icas en elocidad
•Qg a (q)es el ec o de ue zas g a i a o ias
En la ecuación
(2.19)
odos los é minos del segundo miemb o son conocidos ya que el mo imien-
o es conocido y se a a de ob ene Qgdl. Al exis i una ue za gene alizadas po cada coo denada
gene alizada (
¨q
y
Qgdl
ienen en mismo amaño) se ienen el mismo nume o de ecuaciones que de
incógni as. Una ez ob enido
Qgdl
no queda mas que calcula la ma iz con los ec o es de posición
de los pun os de aplicación de las ue zas
S
pa a ob ene el ec o de momen os en las a iculaciones
T:
T=S Qgdl (2.20)
2.4 El ciclo de ma cha
La ma cha humana se di ide en dos ases p incipales:
•Fase de apoyo, en la que el pie de e e encia es á en con ac o con el suelo. Ocupa ap oxima-
damen e el 60% del iempo de un ciclo.
18 Capí ulo 3. Modelo U ilizado
Figu a 3.5 Mo imien o del obillo.
pa a cada a iculación se es ablece un nume o de coo denadas gene alizadas igual al núme o de
g ados de libe ad que pe mi e la a iculación. Es as coo denadas, po an o, desc iben el mo imien o
ela i o en e los sólidos. Las coo denadas cons i uyen una o ma ma emá ica de ca ac e iza los
mo imien os de las a iculaciones desc i os en el apa ado an e io . En o al se iene un conjun o de
23 coo denadas gene alizadas se deno a po q
q
q
q=











































pel is_ x
pel is_ y
pel is_ z
pel is_ il
pel is_lis
pel is_ o a ion
hip_ lexion_
hip_adduc ion_
hip_ o a ion_
knee_angle_
ankle_angle_
sub ala _angle_
m p_angle_
hip_ lexion_l
hip_adduc ion_l
hip_ o a ion_l
knee_angle_l
ankle_angle_l
sub ala _angle_l
m p_angle_l
lumba _ex ension
lumba _bending
lumba _ o a ion











































(3.1)
•
Pel is: las coo denadas pel is x, pel is y y pel is z desc iben la aslación en los ejes X,
Y y Z globales, espec i amen e. Se miden en me os. Las coo denadas pel is il , pel is
lis y pel is o a ion son los es ángulos de Tai -B yan que pe mi en pasa del sis ema de
coo denadas global al sis ema de coo denadas local de la pel is.

3.1 Modelo O iginal 19
•
Espalda: es a a iculación se modela como un pa es é ico, po lo que pe mi e es o aciones
y las es coo denadas gene alizadas son lumba ex ensión, lumba bending y lumba o a ion,
que cons i uyen los es ángulos de Tai -B yan con los que se puede cons ui la ma iz de
o ación de es a a iculación. Es a ma iz de o ación pe mi e pasa del sis ema de coo denadas
de la pel is al del o so.
•
Cade a: se es ablece un pa es é ico, que pe mi e es o aciones y al que se le asocian las
es coo denadas gene alizadas hip lexion, hip adduc ion y hip o a ion, que cons i uyen
los es ángulos de Tai -B yan con los que se puede cons ui la ma iz de o ación de es a
a iculación. Es a ma iz de o ación pe mi e pasa del sis ema de coo denadas de la pel is al
del ému .
•
Rodilla: en ella se p oduce una o ación en e ému y ibia, pe o el cen o de o ación
ins an áneo no se man iene ijo du an e el mo imien o. Se a a de un mo imien o plano
(en el plano que o man los ejes x y locales de la ibia) del cen o de o ación ins an áneo
que depende del alo de la coo denada knee angle, como se mues a en la Figu a 3.6. Más
conc e amen e se u ilizan splines que en unción del alo de la coo denada knee angle dan
los alo es del mo imien o en el plano. La o ación se p oduce al ededo del eje z del ému .
Es a a iculación pe mi e un g ado de libe ad, ya que conociendo el alo de la coo denada
gene alizada asociada (knee angle) se conoce an o el mo imien o del eje ins an áneo de
o ación como la o ación en sí.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
cm
-48
-47.5
-47
-46.5
-46
-45.5
cm
O igen de la ibia
Con spline
Sin spline
Figu a 3.6 O igen de la ibia en el plano sagi al.
•
Tobillo: es a a iculación se modela como un pa de e olución en e ibia y alón cuya
coo denada gene alizada asociada es ankle angle. La ma iz de o ación de es a a iculación
se cons uye a pa i de pa áme os de Eule donde la di ección del eje de e olución es un
pa áme o omado del modelo y el ángulo de o ación es la coo denada gene alizada ankle
angle.
•
A iculación sub ala : simila a la a iculación del obillo pe o en e alón y calcáneo. La
coo denada gene alizada asociada es sub ala angle.
20 Capí ulo 3. Modelo U ilizado
•
A iculación me a a so- alángica: simila a la a iculación del obillo pe o en e calcáneo y
dedos. La coo denada gene alizada asociada es m p angle. Las o aciones asociadas a las
coo denadas gene alizadas ankle angle, sub ala angle y m p angle (me a a sophalangeal
angle) son al ededo de unos ejes que especi ica el modelo y que se ap ecian en la igu a 3.7
Figu a 3.7 Ejes a iculaciones del pie.
Conociendo el alo de las 23 coo denadas gene alizadas queda de inido la posición de cualquie
pun o del modelo. Ademas es as 23 coo denadas son independien es en e si, no es án suje as
a ninguna es icción. Po an o se iene un modelo de 23 g ados de libe ad. Como se ha is o
en el apa ado de o ien ación de sólidos en el espacio, la p incipal des en aja del uso de es as
coo denadas es la exp esión di ícil de los úl imos segmen os de la cadena cinemá ica; sin emba go,
es as coo denadas pe mi en desc ibi de mane a uni oca la posición de un sis ema mul icue po
y son independien es en e sí. Como se e a en el capi ulo dedicado a la cinemá ica in e sa, es o
pe mi e esol e el p oblema sin ene que impone ninguna es icción sob e ellas.
3.1.4 Da os de en ada del modelo
Ma cado es
Se iene un o al de 31 ma cado es que se u iliza an en la esolución de la cinemá ica y la dinámica
in e sa.
•To so
–S e num
–R.Ac onium
–L.Ac onium
–TopHead
•Pel is
–R.ASIS
–L.ASIS
3.1 Modelo O iginal 21
–V.Sac al
•Fému
–Thigh.Uppe
–Thigh.F on
–Thigh.Rea
•Tibia
–Shank.Uppe
–Shank.F on
–Shank.Rea
•Calcáneo
–Heel
–Mid oo .Sup
–Mid oo .La
–Toe.La
–Toe.Med
–Toe.Tip
Figu a 3.8 Posición de los ma cado es: is a an e io .
Con iene acla a que es os son los ma cado es cuya posición se u iliza pa a esol e la cinemá ica
in e sa. La posición de es os ma cado es apa ece ecogida en un iche o que cons i uye un da o de
pa ida pa a el modelo. Sin emba go, pa a la cons ucción del modelo se en iende que se u ilizo un
meno núme o de ellos, como se explica en el siguien e apa ado.
22 Capí ulo 3. Modelo U ilizado
Pa áme os cinemá icos
Los da os expe imen ales incluidos en el modelo se oma on siguiendo las pau as dispues as en el
abajo de Chand [
9
] pe o usando un suje o di e en e al que se desc ibe en dicho abajo. El modelo
gene al de OpenSim co esponde a un suje o de unos 1.8 me os de al u a y 75.16 kilog amos de peso.
En el abajo de Chand se ealiza on mediciones sob e 8 suje os sanos caminando a 4 elocidades
di e en es, siguiendo el abajo de Liu [
10
]. Las a iculaciones sub ala y me a a so- alángica se
bloquea on en ángulos ana ómicos neu os. El p o ocolo de oma de da os ue el mismo de inido
en el abajo de Schwa z [
16
]. En el se sigue un p o ocolo Plug-in-Gai usando cáma as Vicon.
Es e p o ocolo ue desa ollado en la Uni e sidad de Ox o d y se basa en el modelo Newing on de
ma cha [
11
]. En el se usan de un nume o mínimo de ma cado es pa a econs ui el mo imien o del
suje o. Se a a de un modelo p edic i o, lo que quie e deci que se u ilizan ecuaciones de eg esión
pa a ob ene las coo denadas de los cen os de a iculaciones en el sis ema de coo denadas local
como unción de pa áme os an opomé icos. La p incipal en aja de es e p o ocolo es que es
mínimamen e in asi o [
11
]. Se asume que median e el uso de es e p o ocolo se ob u ie on los
o ígenes de los sis emas de coo denadas asociados a cada segmen o y las coo denadas de los cen os
de las a iculaciones, que cons i uyen los pa áme os cinemá icos del modelo.
Pa áme os dinámicos
Los pa áme os dinámicos del modelo son necesa ios pa a la esolución de la dinámica in e sa. Los
da os necesa ios son las masas y momen os de ine cia de cada segmen o del modelo. Con es os
da os se cons uye la ma iz de masa que apa ece en la ecuación dinamica. En es e abajo es os
pa áme os se han omado del código de OpenSim. Es os pa áme os es án basados en da os medios
an opomé icos ob enidos de cinco suje os pa a odos los segmen os excep o pa a calcáneo y dedos.
Pa a es os úl imos los da os se ob ienen de ep esen a su olumen a pa i de la medida de una
zapa illa de enis [2].
3.2 Modelos simpli icados
La p ime a simpli icación ealizada consis e en conside a el pie como monosegmen o. Aunque,
como se ha is o, en el modelo o iginal el pie es a o mado po es cue pos ( alón, calcáneo y
oes) unidos po dos a iculaciones (sub ala y me a a so- alángica) en las opciones po de ec o de
OpenSim es as a iculaciones se ue zan a ce o, po lo que en ealidad el pie se modela como un
segmen o único. Es a simpli icación se en ende á mucho mejo as habe leído el capi ulo dedicado
a la cinemá ica in e sa.
La segunda simpli icación se omo du an e el desa ollo del modulo de dinámica in e sa debido
a la di icul ad del a amien o del spline de la odilla. De es a mane a, se elimino el desplazamien o
ela i o en e ibia y ému con i iéndose la a iculación de la odilla en un pa de o ación sencillo.
La posición de es e cen o de o ación se hizo ija y se omo como la media de las posiciones pa a
cada uno de los alo es del spline.
En la Figu a 3.6 se ep esen a el mo imien o que ealiza el o igen de la ibia en el plano sagi al
conside ando el spline pa a odos los alo es posibles de angulo de lexión de la odilla compa ado
con el eje ijo que se oma al elimina el spline.
4 Cinemá ica In e sa
En
el p esen e capí ulo se explica cómo se ha esuel o el p oblema cinemá ico in e so. El
obje i o de es e p oblema es calcula el alo de las coo denadas gene alizadas a pa i de
las coo denadas de los ma cado es del modelo. La ob ención del alo de es as coo denadas se ha
explicado en el apa ado de medidas expe imen ales y como se u ilizan pa a ob ene los pa áme os
cinemá icos del modelo se ha explicado en el apa ado co espondien e del segundo capi ulo. Con
es os da os de pa ida ya se puede plan ea el p oblema cinemá ico in e so. En es e capi ulo se
explica en p ime luga como se o mula, pa a pos e io men e desc ibi como se ha implemen ado
en Ma lab y inalmen e p esen a los esul ados ob enidos y su compa ación con los de OpenSim.
4.1 Fo mulación
De la mane a en que es á plan eado el p oblema se iene una mayo nume o de ecuaciones que
incógni as. Las ecuaciones son la posición de 31 ma cado es (de alo conocido) en unción de
las coo denadas gene alizadas. Po an o se ienen 93 ecuaciones (3 po cada ma cado ) en e a
23 incógni as (el alo de las coo denadas gene alizadas). Se es a po an o en e a un sis ema de
ecuaciones sob ede e minado. La solución pasa po an o po encon a el alo de las coo denadas
gene alizadas no que cumplan las 93 ecuaciones si no que p oduzcan el meno e o posible. Tenemos
po an o una op imizacion numé ica en la que la unción a minimiza es el e o come ido y se
de ine de la siguien e mane a [5].
min"∑
iεma cado es
ωi||xexp
i−xi(q)||2+∑
jεcoo denadas p esc i as
ωj(qexp
j−qj)2#(4.1)
Donde:
•ωies un peso asociado al ma cado i
•ωjes un peso asociado a la coo denada gene alizada j
•xexp
ies la posición en globales del ma cado i egis ada en el labo a o io
•xi(q)
es la posición en globales del ma cado i calculada analí icamen e a pa i de los
alo es de las coo denadas gene alizadas, como se ha explicado en el capí ulo dedicado a los
concep os eó icos.
•qexp
j
es el alo de la coo denada gene alizada j que el usua io puede o za a que enga un
alo de e minado (coo denada de alo p esc i o)
•qjes el alo de la coo denada gene alizada j ob enida de mane a analí ica
23

24 Capí ulo 4. Cinemá ica In e sa
Se ap ecia que es e e o iene una componen e asociada a la posición de los ma cado es y o a
asociada a las coo denadas gene alizadas. La componen e asociada a la posición de los ma cado es
es la ob ia, ya que se p e ende que la posición calculada de los ma cado es se pa ezca lo máximo
posible a la ob enida de mane a expe imen al. La con ibución del e o de cada ma cado se
con ola median e el peso asociado. En es e abajo se han u ilizado los ec o es de pesos po de ec o
de OpenSim. En cuan o al ec o de pesos
ωi
es e con iene pesos mas al os pa a los ma cado es
mas ce canos al hueso y mas bajos pa a aquellos que pueden mo e se debido al mo imien o del
ejido blando. Es o se debe a que es e mo imien o de ejido blando des i úa la hipó esis omada de
que cada cue po es un solido ígido e in oduce e o es en la econs ucción del mo imien o muy
impo an es. De es a mane a, pa a los ma cado es R.ASIS y L.ASIS, colocados en el pun o mas
an e o-supe io de la c es a iliaca (un pun o ana ómico ácilmen e econocible y muy ce cano al
hueso de la pel is), se ienen unos pesos de 10 en e a los ma cado es colocados en el muslo, que
ienen un peso asociado unidad ya que es a án some idos al mo imien o de odo la muscula u a del
muslo.
Figu a 4.1 Ma cado es de la pel is y del muslo.
En la Tabla 4.1 se ap ecia el peso ωiasociado a cada ma cado .
Po su pa e, la segunda componen e del e o an solo si e si hay alguna coo denada de alo
p esc i o. En las opciones po de ec o de OpenSim las únicas coo denadas de alo p esc i o han
sido las asociadas al mo imien o del pie, es deci , sub ala _angle y m p_angle. Ambas se ue zan a
ce o con un peso asociado de 1000. De es a mane a, aunque o iginalmen e el modelo conside a el
pie o mado po es segmen os, en la p ac ica se iene un pie monosegemen o.
En odo momen o se sigue el p o ocolo de econs ucción del mo imien o conocido como LOM
(Local Op imiza ion Me hod). Es e mé odo se cen a en minimiza el e o come ido al ob ene
la posición de los ma cado es en unción de las coo denadas gene alizadas sin impone ninguna
es icción cinemá ica sob e ellas. Es e mé odo se con apone al mé odo AM (Adap a ion Me hod),
el cual desp ecia el e o come ido limi ándose a impone sob e las posiciones de los ma cado es
las es icciones cinemá icas del modelo. [11]
En un p incipio se u ilizo la o mula p esen ada en la ecuación
(4.1)
pa a calcula el e o .
Los esul ados ob enidos usando es a o mulación se p esen an como “modelo o iginal Delp” en
la sección de esul ados. Pos e io men e, se elimino la pa e del e o asociada al alo de las
coo denadas gene alizadas y se u ilizo la es icción que pe mi e mincon
Aeqx=beq
pa a o za las
4.1 Fo mulación 25
Tabla 4.1 Peso asociado a cada ma cado .
Ma cado ωi
S e num 1
R.Ac onium 0.5
L.Ac onium 0.5
TopHead 0.1
R.ASIS 10
L.ASIS 10
V.Sac al 10
R.Thigh.Uppe 1
R.Thigh.F on 1
R.Thigh.Rea 1
R.Shank.Uppe 1
R.Shank.F on 1
R.Shank.Rea 1
R.Heel 10
R.Mid oo .Sup 1
R.Mid oo .La 1
R.Toe.La 1
R.Toe.Med 1
R.Toe.Tip 10
L.Thigh.Uppe 1
L.Thigh.F on 1
L.Thigh.Rea 1
L.Shank.Uppe 1
L.Shank.F on 1
L.Shank.Rea 1
L.Heel 10
L.Mid oo .Sup 1
L.Mid oo .La 1
L.Toe.La 1
L.Toe.Med 1
L.Toe.Tip 10
coo denadas a ce o. La unción obje i o queda como sigue:
min"∑
iεma cado es
ωi||xexp
i−xi(q)||2#(4.2)
Donde:
•ωies un peso asociado al ma cado i
•xexp
ies la posición en globales del ma cado i egis ada en el labo a o io
•xi(q)es la posición en globales del ma cado i calculada analí icamen e
Los esul ados ob enidos usando es a o mulación se p esen an como “modelo o iginal con
bloqueo” en la sección de esul ados. Tan o en es os esul ados como los siguien es que se p esen an
se ha seguido es a o mulación, ya que se consigue un meno iempo de ejecución.
26 Capí ulo 4. Cinemá ica In e sa
Una segunda mejo a en la ejecución del código se desa ollo cuando se descub e que la pa e mas
cos osa compu acionalmen e es la que co esponde a la cons ucción de los splines pa a halla la
posición del o igen de la ibia. Así, se cons uyó un modelo simila al o iginal pe o no conside ando
el desplazamien o ela i o en e ému y ibia, po lo que la odilla se modela como un pa de
o ación. Es e modelo p odujo una educción del iempo de ejecución bas an e impo an e y se
p esen a en la sección de esul ados como “modelo sin splines”.
La ul ima mejo a consis ió en elimina del modelo sin splines las coo denadas gene alizadas
asociadas a los g ados de libe ad del pie. De es a mane a, los segmen os alón, calcáneo y dedos
pasan a combina se en uno solo denominado pie. Es asumible ealiza es a simpli icación ya que
aunque el modelo o iginal del pie es mul isegmen o, en la p ác ica los g ados de libe ad asociados
a dichos segmen os se es ingen. Con es a simpli icación, al elimina se los dos úl imos segmen os
de la cadena cinemá ica, que gene an exp esiones mas complicadas, la esolución del p oblema
se uel e más sencilla. Los esul ados cinemá icos de es e modelo se p esen an en la sección de
esul ados como “modelo monosegmen o sin splines”.
4.2 Modelado en Ma lab
La op imización numé ica se ha lle ado a cabo usando la unción de Ma lab
mincon
, un algo i mo
que busca el mínimo de una unción de a ias a iables no lineal y es ingida [
1
]. Es e algo i mo
plan ea el p oblema de minimización de la siguien e o ma.
m´
ın
x (x) al que










c(x)≤0
ceq =0
Ax ≤b
Aeqx=beq
lb≤x≤ub
(4.3)
En un p ime momen o, los únicos pa áme os que se u iliza on ue on los limi es supe io e
in e io
lb
y
ub
con los mismos alo es que oma OpenSim po de ec o. Pos e io men e se uso la
es icción Aeqx=beq.
En un p ime momen o se u ilizo lenguaje simbólico pa a de ini la o mula del e o a minimiza
en el modulo. El obje i o e a calcula el g adien e del e o de o ma simbólica pa a pasa lo a la
unción mincon, mejo ando de es a mane a su endimien o. Sin emba go, aunque se consiguió
halla de o ma simbólica la o mula del e o , la ex ensión del g adien e hacia muy poco p ac ico su
uso. Los esul ados ac uales su gen de habe usado calculo numé ico en MATLAB, después de habe
ealizado una op imización del código pa a mejo a el endimien o, ya que en un p ime momen o
el modulo empleaba un iempo de unos 30 minu os, un iempo p ohibi i o. La op imización del
código se lle o a cabo usando cuando e a posible ec o ización, al se el modo en el que es a
pensado Ma lab pa a unciona y minimizando el nume o de ope aciones a ealiza . Po o a pa e
se ha u ilizado una unción ecu en e siemp e que ha sido posible. Es o consis e en ap o echa los
cálculos ya ealizados y supone una en aja cuando se hace uso de coo denadas ela i as.
En cuan o al algo i mo u ilizado, el que mejo esul ados ha dado ha sido el sqp (sequen ial
quad a ic p og amming) en e al in e io poin . Los c i e ios de con e gencia han sido TolFun 1e-4
(como OpenSim) y máximo nume o de i e aciones 400 ( en e a 1000 de OpenSim).
A con inuación se desc ibe de mane a ab e iada la es uc u a del código:
•
o _ma
,
o _pie
,
o _ odilla
: es as unciones si en pa a calcula las ma ices de
o ación empleadas en el modelo. La unción
o _ma
de uel e la ma iz de o ación asociada
a pel is, cade a y espalda dados los es ángulos de Eule en adianes; la ma iz
o _pie
de uel e la ma iz de o ación asociada a obillo, a iculación sub ala o me a a so- alángica
en unción de la coo denada gene alizada asociada; la unción
o _ odilla
de uel e la
4.3 P esen ación de esul ados 27
ma iz de o ación asociada a la odilla dado el alo de la coo denada gene alizada knee
angle.
•
calcula_globales
: es a unción de uel e la posición en coo denadas globales de un pun o
dados su posición en el sis ema de coo denadas local así como el o igen y la ma iz de
o ien ación asociados a es e.
•
cinema ica2392
: es a unción de uel e las posiciones de los ma cado es del modelo dado
el ec o de coo denadas gene alizadas q. En es a unción se llama an o a las unciones
o _ma
,
o _pie
y
o _ odilla
como a la unción
calcula_globales
.
•
sq_e
: es a unción calcula el alo de la unción obje i o pa a un ins an e de iempo dados
el ec o de coo denadas gene alizadas y las posiciones de los ma cado es medidas de o ma
expe imen al. Es a unción llama a la unción
cinema ica2392
.
•
ik_main
: es el código p incipal en el que se esuel e el p oblema cinemá ico in e so eali-
zando la op imización desc i a al p incipio del capi ulo. En es a unción se ealiza un bucle en
el que se llama a
mincon
pa a minimiza la unción
sq_e
pa a cada ins an e de iempo.
Una ez ejecu ado es e código se ob iene el alo de las coo denadas gene alizadas pa a cada
ins an e de iempo, que se analizan en el siguien e apa ado.
4.3 P esen ación de esul ados
4.3.1 Modelo o iginal Delp
De la Figu a 4.2 a la Figu a 4.5 se ep esen an los alo es ob enidos de las coo denadas gene alizadas
en e al po cen aje del ciclo de ma cha usando es a o mulación compa ados con los de OpenSim.
Se obse a que los esul ados ob enidos son casi idén icos a los de OpenSim pe o con un iempo de
ejecución mucho mayo , 73 segundos en e a an solo 2. En la Figu a 4.3 y la Figu a 4.4 se obse a
que se ob ienen alo es ce canos a ce o pa a las coo denadas sub ala angle y m p angle, pe o con
mucho uido.
El e o se ha calculado usando la ó mula p opues a po [
12
] pa a halla el e o esidual asociado
a la posición de cada ma cado :
ei=1
n
∑
j
||xexp
ij −xij(q)|| (4.4)
Donde
xexp
ij
es la posición en el ins an e j del ma cado i egis ada en el labo a o io ,
xi(q)
es
la posición en el ins an e j del ma cado i calculada analí icamen e y
n
el núme o de ins an es de
iempo conside ados.
Pos e io men e se calcula una media ponde ada de los e o es de cada ma cado :
e o =∑iωiei
∑iωi
(4.5)
Donde ωies un peso asociado al ma cado i
Tabla 4.2 Compa ación de mé odos IK.
Modelo E o (cm) Tiempo de ejecución (s)
OpenSim 0.7797 2
Modelo o iginal Delp 0.7795 73
34 Capí ulo 4. Cinemá ica In e sa
Tabla 4.6 E o asociado a cada ma cado .
Ma cado
Modelo o iginal
Delp
Modelo o iginal
con bloqueo Modelo sin splines
Modelo sin splines
monosegmen o
S e num 2.04 2.04 2.19 2.19
R.Ac onium 7.75 7.75 7.95 7.95
L.Ac onium 6.19 6.19 6.36 6.36
TopHead 3.26 3.26 3.23 3.23
R.ASIS 0.58 0.58 0.65 0.65
L.ASIS 0.72 0.72 0.77 0.77
V.Sac al 0.93 0.93 0.69 0.69
R.Thigh.Uppe 1.49 1.49 1.47 1.47
R.Thigh.F on 1.80 1.80 1.85 1.85
R.Thigh.Rea 1.31 1.31 1.36 1.36
R.Shank.Uppe 0.80 0.80 0.89 0.89
R.Shank.F on 0.95 0.95 1.14 1.14
R.Shank.Rea 0.63 0.63 0.64 0.64
R.Heel 0.46 0.46 0.56 0.56
R.Mid oo .Sup 0.71 0.71 0.58 0.58
R.Mid oo .La 0.67 0.67 0.75 0.75
R.Toe.La 0.93 0.93 0.95 0.95
R.Toe.Med 0.80 0.80 0.73 0.73
R.Toe.Tip 0.36 0.36 0.34 0.34
L.Thigh.Uppe 1.74 1.75 1.73 1.73
L.Thigh.F on 2.18 2.18 2.16 2.16
L.Thigh.Rea 1.69 1.69 1.67 1.67
L.Shank.Uppe 0.93 0.93 0.98 0.98
L.Shank.F on 0.94 0.94 0.98 0.98
L.Shank.Rea 0.78 0.78 0.79 0.79
L.Heel 0.58 0.58 0.62 0.62
L.Mid oo .Sup 1.09 1.09 0.99 0.99
L.Mid oo .La 0.62 0.62 0.69 0.69
L.Toe.La 0.72 0.72 0.78 0.78
L.Toe.Med 0.74 0.74 0.65 0.65
L.Toe.Tip 0.46 0.46 0.45 0.45

5 Dinámica In e sa
En
el p esen e capí ulo se explica cómo se ha esuel o el p oblema dinámico in e so. El obje i o
de es e p oblema es calcula el alo de las ue zas y momen os en las a iculaciones a pa i del
alo de las coo denadas gene alizadas ob enidas en la esolución del p oblema cinemá ico in e so.
En es e capi ulo se explica en p ime luga como se o mula, pa a pos e io men e desc ibi como se
ha implemen ado en Ma lab y inalmen e p esen a los esul ados ob enidos y su compa ación con
los de OpenSim.
5.1 Fo mulación
Pa a es e módulo la o mulación se educe a esol e el conjun o de ecuaciones de New on-Eule
que se han desc i o en el capí ulo dedicado a los concep os eó icos.
Qgdl =M(q)¨
q−Q (q,˙
q)−Qg a (q)(5.1)
5.2 Modelado en Ma lab
A con inuación se p esen a un ex ac o del código en el que se ap ecia que la elocidad angula de
la pel is se calcula siguiendo la o mulación del p o eso Escalona, mien as que las elocidades
angula es de espalda y cade a se de inen di ec amen e ya que su exp esión es análoga a la de la pel is.
Código 5.1 Codigo de gene acion de ma ices simbolicas.
%% De i adas de las ma ices de o acion
dA_pel is = de i a_ma iz_op imizado(A_pel is,dq);
w_pel is_sk = simpli y(A_pel is' * dA_pel is);
w_pel is = an i_skew (w_pel is_sk);
% aqui empieza lo in e esan e
w_back = [dq18*cos(q19) - dq17*cos(q18)*sin(q19);
dq19 + dq17*sin(q18);
dq18*sin(q19) + dq17*cos(q18)*cos(q19)];
% misma exp esion que
w_pel is pe o con q17,q18,q19
35
36 Capí ulo 5. Dinámica In e sa
w_hip_ = [dq8*cos(q9) - dq7*cos(q8)*sin(q9);
dq9 + dq7*sin(q8);
dq8*sin(q9) + dq7*cos(q8)*cos(q9)];
% misma exp esion que w_pel is
pe o con q7,q8,q9
w_hip_l = [dq13*cos(q14) - dq12*cos(q13)*sin(q14);
dq14 + dq12*sin(q13);
dq13*sin(q14) + dq12*cos(q13)*cos(q14)];
% misma exp esion que
w_pel is pe o con q12,q13,q14
El p oceso de c eación de las ma ices dinámicas es el siguien e: en p ime luga uso de calculo
simbólico pa a ob ene las exp esiones de odas las ma ices necesa ias. En ese mismo código, uso
de la unción ma labFunc ion pa a con e i odas las exp esiones en unciones de Ma lab. Pos e-
io men e y en o o código, llamada a dichas unciones pa a esol e el p oblema de o ma numé ica.
Código 5.2 Codigo de gene acion de ma ices simbolicas.
q = sym('q',[19 1],' eal') ;
dq = sym('dq', [19 1],' eal');
syms q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14 q15 q16 q17 q18 q19
eal
syms dq1 dq2 dq3 dq4 dq5 dq6 dq7 dq8 dq9 dq10 dq11 dq12 dq13 dq14 dq15
dq16 dq17 dq18 dq19 eal
G_pel is = jacobian(w_pel is,dq);
ma labFunc ion(G_pel is,'File','G_pel is_maza','Va s', {q,dq})
Código 5.3 Uso de ma ices simbolicas.
clea all
close all
clc
load('qop _sin_spline')
o i= 1:119
G_pel is_modelo = G_pel is_maza (q(:,i),dq(:,i));
T(:,i) = S Q_accion;
end
Con iene acla a que las coo denadas gene alizadas se han il ado u ilizando un il o pasobajo
IIR omado de OpenSim y aducido a Ma lab. La ecuencia de co e escogida han sido 6 Hz, como
hace OpenSim de mane a p ede e minada. Sin es e il o las ue zas gene alizadas ienen mucho
uido ya que son p opo cionales a la de i ada segunda de las coo denadas gene alizadas.
El iempo de ejecución del código que esc ibe las unciones es bas an e ele ado, debido a que se
hace uso de calculo simbólico. Una de las a eas mas cos osas compu acionalmen e es cuando se
ejecu a ma labFunc ion. En los casos de ma ices con una exp esión mas compleja es necesa io
5.3 P esen ación de esul ados 37
0.5 1 1.5 2 2.5
(s)
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
deg
pel is il
o iginal
il ado
Figu a 5.1 Fil ado.
0.5 1 1.5 2 2.5
(s)
-30
-20
-10
0
10
20
30
deg/s
de i ada de pel is il
o iginal
il ado
Figu a 5.2 Fil ado.
desac i a la op imización que Ma lab hace po de ec o al c ea la unción. Es o se lle a a cabo
u ilizando la opción Óp imize’, alse. Po su pa e, el iempo de ejecución del código que e alúa
numé icamen e las ma ices y ob iene el alo de los momen os pa a cada ins an e de iempo es de
unos 10 segundos.
5.3 P esen ación de esul ados
El alo de las coo denadas gene alizadas u ilizado como da o de pa ida ha sido el ob enido con
el modelo monosegmen o sin splines. De la Figu a 5.3 a la Figu a 5.6 se p esen an los esul ados
ob enidos y su compa ación con los de OpenSim. Se ap ecia que se ob ienen esul ados ap oximados
a los de OpenSim excep o pa a los momen os en la pel is y el momen o de lexión del obillo. En
ambos casos se desconoce el mo i o po el que no se ob ienen unos buenos esul ados.
En la Tabla 5.1 se p esen a el e o cuad á ico medio come ido pa a cada ue za gene alizada.
38 Capí ulo 5. Dinámica In e sa
0 50 100
% ciclo ma cha
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
N
pel is y o ce
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-150
-100
-50
0
50
100
150
N
pel is x o ce
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-150
-100
-50
0
50
100
N
pel is z o ce
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Nm
pel is il momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Nm
pel is lis momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Nm
pel is o a ion momen
calculado
opensim
Figu a 5.3 Resul ados dinámicos pa a la pel is.
0 50 100
% ciclo ma cha
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Nm
hip lexion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-15
-10
-5
0
5
10
15
Nm
hip adduc ion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Nm
hip o a ion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Nm
knee lexion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Nm
ankle lexion momen
calculado
opensim
Figu a 5.4 Resul ados dinámicos pa a la pie na de echa.
0 50 100
% ciclo ma cha
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Nm
hip l lexion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-15
-10
-5
0
5
10
15
Nm
hip l adduc ion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Nm
hip l o a ion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Nm
knee l lexion momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Nm
ankle l lexion momen
calculado
opensim
Figu a 5.5 Resul ados dinámicos pa a la pie na izquie da.
5.3 P esen ación de esul ados 39
0 50 100
% ciclo ma cha
-5
0
5
10
15
20
25
30
Nm
lumba ex ension momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Nm
lumba bending momen
calculado
opensim
0 50 100
% ciclo ma cha
-6
-4
-2
0
2
4
6
Nm
lumba o a ion momen
calculado
opensim
Figu a 5.6 Resul ados dinámicos pa a la espalda.
Tabla 5.1 E o asociado a cada ue za gene alizada.
Fue za gene alizada E o (N o Nm)
pel is_ y_ o ce 63.38
pel is_ x_ o ce 31.33
pel is_ z_ o ce 26.82
pel is_ il _momen 42.11
pel is_lis _momen 15.97
pel is_ o a ion_momen 5.55
hip_ _ lexion_momen 14.47
hip_ _adduc ion_momen 3.08
hip_ _ o a ion_momen 1.52
knee_ _ lexion_momen 5.59
ankle_ _ lexion_momen 1.96
hip_l_ lexion_momen 10.29
hip_l_adduc ion_momen 3.46
hip_l_ o a ion_momen 1.28
knee_l_ lexion_momen 5.55
ankle_l_ lexion_momen 0.36
lumba _ex ension_momen 4.06
lumba _bending_momen 9.44
lumba _ o a ion_momen 1.55

6 Conclusiones
La
s conclusiones gene ales que se pueden ex ae de la ealización de es e abajo es que se
ob ienen unos esul ados muy simila es a los ob enidos po OpenSim pe o con un iempo
de ejecución mucho mayo . Es o se debe a que OpenSim es a p og amado en C++, un lenguaje
de p og amación compilado. Ma lab mas que un lenguaje de p og amación es una he amien a de
calculo, muy po en e, pe o que no se puede en en a a o os lenguajes de p og amación. También
hay que ene en cuen a que el p og ama de OpenSim ha sido desa ollado po un equipo con
ingenie os de so wa e, lo que da una idea de la impo ancia que iene un código bien esc i o y
op imizado pa a las simulaciones cinemá icas y dinámicas.
En cuan o a los di e en es modelos plan eados, se conside a que el modelo monosegmen o sin
splines es adecuado pa a el obje i o p opues o de emula a OpenSim ya que con el se ob ienen
alo es muy simila es a los del p og ama y además pe mi e lle a a cabo el módulo de dinámica
in e sa en Ma lab. En cuan o a los esul ados ob enidos en es e úl imo módulo pa a los momen os
en la pel is y el momen o de lexión del obillo no se ob ienen alo es simila es a los de OpenSim
po alguna azón desconocida.
Una posible mejo a de es e abajo pasa ía po ob ene los esiduales dinámicos pa a e alua
el e o come ido en los esul ados dinámicos en luga del e o cuad á ico medio. O a pasa ía
po aba ca no solo el modelo gai 2392, si no muchos más y que al comienzo del p og ama se le
p egun a a al usua io que modelo quie e usa y con qué opciones. Es o pe mi i ía que usua ios sin
muchos conocimien os de p og amación pudiesen usa el p og ama y a la ez, al es a p og amado
en Ma lab, un lenguaje mas sencillo que C++, que usua ios con mayo es conocimien os de p og a-
mación pudiesen modi ica el código.
O a posible mejo a de es e abajo pasa ía po hace uso de Py hon, un lenguaje de p og amación
o ien ado a obje os que dispone de lib e ías muy in e esan es de álgeb a ma icial.
Los p incipales e os a los que se ha enido que hace en e en el desa ollo de es e abajo han
sido en p ime luga la necesa ia comp ensión del modelo gai 2392 pa a p og ama su cinemá ica.
Pos e io men e, en el modulo de dinámica in e sa Ma lab se quedaba sin memo ia al halla las ma-
ices dinámicas u ilizando los p ocedimien os desc i os en el documen o del p o eso JL Escalona.
Es e p oblema quedo sol en ado al calcula las elocidades angula es de mane a di ec a como se
explica en el capi ulo dedicado a la dinámica in e sa.
La con inuación na u al de es e abajo pasa en p ime luga po la p og amación en Ma lab del
modulo de Op imización es á ica. Es e modulo consis e en, a pa i de los alo es de los momen os
41
42 Capí ulo 6. Conclusiones
en las a iculaciones ob ene el alo de las ue zas p oducidas po cada musculo en cada ins an e
de iempo. Es as ue zas se ob ienen de una minimización de la suma de las ac i aciones de los
músculos al cuad ado. El hecho de que sea necesa ia una op imización se debe a que po cada
momen o exis e mas de un musculo que con ibuye a ealiza lo, po lo an o es necesa io un c i e io
pa a de alguna mane a epa i que musculo hace mas o menos ue za. En es e caso el c i e io es
la minimización de las ac i aciones muscula es, lo cual es una mane a de minimiza la po encia
muscula necesa ia pa a ealiza el mo imien o.
El o o p oblema de es e modulo se p oduce al de i a numé icamen e el alo de las coo denadas
gene alizadas pa a ob ene elocidades y acele aciones, ya que, como es conocido, la de i ación
hace se p oduzca uido en las señales de elocidad y acele ación.
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43