Estudio experimental y modelización numérica de flujo en canal horizontal sobre vertedero Creager

i Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Autor: Pablo Castillo Falcón Tutor: Dr. Javier Dávila Mártín Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 ii iii Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Autor: Pablo Castillo Falcón Tutor: Dr. Javier Dávila Martín Profesor titular Dep. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 iv Trabajo Fin de Máster: Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Autor: Pablo Castillo Falcón Tutor: Dr. Javier Dávila Martín El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal v A mi familia. vi Agradecimientos Este trabajo pone punto y final no a un máster de dos cursos, sino a un proyecto que inicié hace ya seis años, cuando en 2010 tuve la suerte de entrar en la primera promoción del Grado en Ingeniería Civil en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sevilla. El Máster en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos ha supuesto la última etapa de este gran proyecto y el paso previo al salto al mundo laboral, en el que trataré de aplicar los conocimientos adquiridos y la capacidad de trabajo desarrollada durante estos años. No puedo ni quiero cerrar esta etapa sin dejar constancia de mi profundo agradecimiento a las muchas personas que me han acompañado en este camino y, muy en especial, a mis padres: Antonio y Adoración. Por haber dado absolutamente todo lo que han tenido para que sus ocho hijos tuviesen la oportunidad de estudiar pese a los humildes ingresos que sostenían el hogar. Por enseñarme desde pequeño que el trabajo y el esfuerzo son los motores necesarios para avanzar. Por recalcarme tantas veces la diferencia entre aptitud y actitud, y recordarme que la primera carece de sentido sin la segunda. Por inculcarme desde pequeño que los valores siempre deben ir por delante. A Esther, David, Adoración, María, Antonio, Marta y José Manuel, por haberme ayudado a crecer diariamente, por no faltar nunca, por esos maravillosos sobrinos. A Patricia, por ser mi pilar en los momentos difíciles y mi alegría de cada día, mi compañera, mi mejor amiga. A mis amigos, por proporcionarme tantos momentos de evasión a lo largo de estos años. Por hacer que los ataques de risa formen parte de mi día a día. A mis compañeros de promoción, por enseñarme el significado de la palabra compañerismo, por no dejar nunca que la mala competitividad se instalase en nuestro grupo, por ayudarme de forma desinteresada siempre que lo he necesitado. También quería mostrar mi agradecimiento a las personas que han hecho posible el desarrollo de este Trabajo Fin de Máster. En primer lugar a mi tutor, Javier, por su gran labor de seguimiento y guía de los trabajos. A Alonso, por su inestimable y desinteresada ayuda con Fluent. A los trabajadores de taller, por construir el vertedero necesario para el desarrollo de las pruebas. Al Departamento de Mecánica de Fluidos en general, por proporcionarme los recursos computacionales necesarios para llevar a cabo las simulaciones numéricas y abrirme las puertas del laboratorio para desarrollar las pruebas experimentales. Pablo Castillo Falcón Sevilla, 2016 vii Resumen A lo largo de este estudio se ha realizado el análisis de un flujo sobre un vertedero de tipo Creager situado en un canal horizontal. Para el análisis se han realizado pruebas experimentales en laboratorio y un modelo numérico. Para llevar a cabo las pruebas en el laboratorio se ha diseñado y construido un vertedero y se ha introducido dentro del canal de ensayos del laboratorio. Allí se han tomado medidas de nivel en cuatro puntos y se ha estimado el caudal utilizando la literatura existente para calibrar el vertedero como caudalímetro. Se ha diferenciado entre la fase transitoria, que comprende el arranque de la bomba, y la fase estacionaria, una vez que las condiciones ya se han estabilizado. Para desarrollar el modelo numérico se ha utilizado un software comercial de CFD (Computational Fluid Dynamics), que resuelve las ecuaciones promediadas de Reynolds de las ecuaciones generales de Navier-Stokes utilizando el método de los volúmenes finitos. Finalmente, se ha realizado una comparativa entre las pruebas experimentales y la simulación numérica en términos de calado, velocidad, caudal, número de Froude y energía, obteniéndose resultados muy satisfactorios. Las técnicas CFD están avanzando con fuerza en el mundo de la hidráulica y son una herramienta potente de gran aplicación en la ingeniería civil. viii Abstract Along this study, a flow over a Creager weir inside a horizontal open channel has been analysed. In order to carry out the analysis, laboratory tests and a numerical model have been used. To perform the laboratory tests, a weir has been designed, built, and put into the channel test. During the tests, water level has been monitored at four points along the channel. Nomographs from the literature have been utilized to calibrate the weir as a flowmeter. Two different phases have been considered: the transient phase (pump start) and the steady state. A commercial CFD (Computational Fluid Dynamics) software, which solves the Reynolds-averaged NavierStokes equations (RANS) by means of the finite volume method, has been used to carry out the numerical simulation. Finally, water level, velocity, flow rate, Froude number and energy have been compared at different points. It is shown that there is a quite good agreement between the laboratory tests and the numerical model. Numerical methods are constantly progressing and provide civil engineers with a very powerful and useful tool. ix Índice Índice de Tablas xi Índice de Figuras xiii 1. Introducción 1 2. Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 5 2.1. Introducción 5 Conceptos iniciales 5 Principios de la mecánica de fluidos 6 Método Euleriano y método lagrangiano 7 2.2. Ecuaciones básicas de la hidráulica 8 Continuidad 8 Conservación de cantidad de movimiento 9 Energía 12 2.3. Hidráulica de canales abiertos 14 Introducción 14 Clasificación de flujo en canales abiertos 15 Energía específica 17 Flujo permanente y uniforme. Fórmula de Chézy-Manning. 20 Flujo gradualmente variado 22 Flujo rápidamente variado 26 Ecuaciones de Saint-Venant: ecuaciones unidimensionales a caudal variable 31 2.4. Planteamiento del problema en estudio 32 3. Vertedero de perfil Creager 35 3.1. Introducción 35 3.2. Perfil del vertedero 37 3.3. Medición de caudales 40 Carga hidráulica distinta a la de diseño 40 Sumersión del vertedero 41 Interferencia de la plataforma de descarga 42 4. Pruebas experimentales en laboratorio 43 4.1. Introducción 43 4.2. Características del túnel de ensayos 44 4.3. Toma de medidas 46 4.4. Diseño del vertedero Creager 49 4.5. Datos obtenidos en las pruebas experimentales por observación directa 50 4.6. Cálculos derivados de los datos experimentales 53 Caudal 53 Velocidad media, energía, Fr y Re 55 Resalto hidráulico 59 4.7. Observaciones cualitativas 61 5. Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 63 5.1. Introducción 63 CFD 63 xvi Figura 6-23. Número de Froude estimado en laboratorio y obtenido en la simulación. Punto 2. 111 Figura 6-24. Número de Froude estimado en laboratorio y obtenido en la simulación. Punto 3. 112 Figura 6-25. Número de Froude estimado en laboratorio y obtenido en la simulación. Sección de salida. 113 Figura 6-26. Resalto hidráulico en la simulación. 116 Figura 6-27. Elevaciones de la lámina de agua en el contacto con las paredes a su paso por el vertedero. 117 Figura 6-28. Estelas romboidales en el tramo en régimen supercrítico 118 Figura 6-29. Presiones totales sobre las paredes del vertedero y el suelo en las inmediaciones del mismo. 118 Figura 6-30. Distribución de velocidad en una sección del modelo. 119 Figura 6-31. Trayectoria de las partículas de agua de la lámina libre coloreadas según velocidad. 120 Figura 7-1. Desarrollo de la simulación. 122 Figura 7-2. Caudal en la sección de entrada. 122 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 1 1. INTRODUCCIÓN a hidráulica de lámina libre tiene en la ingeniería civil su campo de mayor aplicación. Flujo en canales, ríos, aliviaderos de presas, obras de drenaje transversal, oleaje, etc., son ejemplos de las muchas aplicaciones del ámbito de la ingeniería civil en que el agua se presenta junto con el aire, con una interfase a presión atmosférica entre los dos fluidos. En este trabajo se estudia tanto desde el punto de vista experimental como numérico el flujo en un canal horizontal de sección rectangular en el que se introduce un obstáculo con forma de vertedero de perfil Creager sobre el que pasa el flujo. Figura 1-1. Imagen del experimento en laboratorio. En canales abiertos, cuando se puede asumir la hipótesis de distribución de presiones hidrostáticas, las ecuaciones del movimiento son relativamente sencillas de integrar numéricamente (al menos con caudal L “[To] mechanical progress there is apparently no end: for as in the past so in the future, each step in any direction will remove limits and bring in past barriers which have till then blocked the way in other directions; and so what for the time may appear to be a visible or practical limit will turn out to be but a bend in the road”. Osborne Reynolds. Introducción 2 constante), con un coste computacional relativamente bajo. No obstante, cuando la hipótesis de presiones hidrostáticas no es asumible y, más aún, el caudal se hace variable con el tiempo, la metodología de cálculo se complica, obligando a recurrir a modelos físicos o modelos numéricos avanzados y costosos computacionalmente. En el experimento desarrollado se ha buscado precisamente eso, el estudio de un fenómeno relacionado con la ingeniería civil que requiera de métodos de cálculos avanzados, para llevar a cabo una comparación entre la solución obtenida a través de métodos de integración numérica y la solución obtenida en laboratorio. El flujo sobre el vertedero cumple estas premisas y, además, proporciona un resalto hidráulico aguas abajo cuyo cálculo también requiere de métodos avanzados de cálculo. Los métodos numéricos que se han utilizado son los que se engloban dentro de las técnicas CFD (Computational Fluid Dynamics). Se trata de una serie de complejos algoritmos de integración espacial y temporal de las ecuaciones completas de Navier-Stokes o las ecuaciones de Reynolds en el caso de flujos turbulentos, ecuaciones que, en la mayoría de los casos, no tienen solución analítica. Figura 1-2. Fotograma extraído del modelo numérico desarrollado. Por otro lado, es necesario destacar que las capacidades de realizar medidas en laboratorio son reducidas, ya que sólo se ha dispuesto de cuatro puntos de medida de nivel de agua, con bajas precisiones en los tramos donde el flujo está más alterado. Además, el propio vertedero se ha debido calibrar como caudalímetro, dado que no se dispone de uno regulado para el canal. Estas limitaciones en la toma de medidas han hecho que la comparación entre el modelo numérico y el experimental no haya podido ser, en ciertas ocasiones, más que una comparación cualitativa. La elección del perfil de vertedero como perfil Creager tiene su razón en la voluntad de que el estudio esté estrechamente relacionado con la ingeniería civil. La curva de Creager es una de las más utilizadas a nivel mundial para definir el perfil inicial de aliviaderos de presa. Su forma parte de la imitación de la lámina inferior de una vena líquida que pasa sobre un vertedero de pared delgada, que es el más eficiente a la hora de pasar un caudal pero es excesivamente débil estructuralmente para colocarse en una presa. En la siguiente figura se muestra cómo se adapta el paramento de la presa (triangular en este ejemplo) para encajar el perfil del vertedero (curva EOLTC), obteniendo el paramento final (EOLTD). 3 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 3 Figura 1-3. Encaje del perfil de vertedero en el paramento de la presa Hasta hace pocos años este tipo de elementos hidráulicos se estudiaban únicamente con modelos físicos, y todavía en la actualidad los modelos reducidos son el método de cálculo más extendido y proporcionan la solución de referencia que se utiliza para calibrar los modelos numéricos. Figura 1-4. Modelo reducido de un aliviadero descargando. En los últimos años, conforme los algoritmos y los recursos computacionales van avanzando, los modelos numéricos van ganando peso por las muchas ventajas que presentan y por su versatilidad, aunque aún dependen de un modelo físico para su calibración. Introducción 4 Figura 1-5. Modelo numérico de una presa. Este trabajo comienza con una contextualización del problema dentro de la hidráulica de canales, lo que permite comprender los fenómenos físicos del flujo que aparecen en el experimento y por qué las ecuaciones que se aplican para el cálculo de canales no pueden resolver el flujo en las inmediaciones de cambios bruscos como son el vertedero o el resalto hidráulico. El conocimiento de la física del problema es fundamental para desarrollar el modelo numérico. Posteriormente se expone la teoría sobre el vertedero de perfil Creager, que tiene su base en numerosos experimentos de laboratorio. Una vez realizado este repaso general por la teoría de canales y vertederos, se pasa a la descripción de los modelos experimentales y numéricos desarrollados. En el capítulo 4 se incluyen los detalles de las pruebas de laboratorio, el diseño del vertedero y los resultados obtenidos. En el capítulo 5 se hace un recorrido por todas las fases del desarrollo del modelo numérico, profundizando en aquellos aspectos teóricos más relevantes y estableciendo las condiciones de contorno y los criterios de convergencia. En el capítulo 6 se lleva a cabo la comparación de resultados entre el experimento y el modelo numérico. Una vez con el modelo calibrado, se utiliza para realizar una simulación adicional que por sus características no era posible llevar a cabo en el laboratorio. Finalmente, las conclusiones principales y más relevantes sacadas de todo el desarrollo del trabajo se sintetizan en el último capítulo. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 5 2. CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA EN TEORÍA DE HIDRÁULICA DE CANALES tapa ineludible para el desarrollo de este trabajo ha sido el estudio cualitativo primario del problema a resolver, planteando los grandes rasgos del flujo en estudio. Se expone en este capítulo la teoría básica unidimensional del flujo en lámina libre con aplicación al problema estudiado, de tal modo que se alcance un grado de comprensión importante del problema previamente al proceso de modelización numérica. 2.1. Introducción Conceptos iniciales Para el estudio y carácterización del flujo se utilizan algunos números adimensionales representativos del problema. Se incluyen a continuación los más importantes para el caso, siendo especialmente relevantes los dos primeros: Número de Reynolds1 𝑅𝑅𝑅𝑅=𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜇𝜇 =𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑣𝑣𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 (flujos viscosos) Número de Froude2 𝐹𝐹𝑓𝑓=𝜌𝜌 �𝑔𝑔𝜌𝜌 =�𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓𝑓𝑣𝑣𝑅𝑅𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔�1 2 (flujos en superficie libre) Número de Weber3 𝑊𝑊𝑅𝑅=𝜌𝜌𝜌𝜌2𝜌𝜌 𝜎𝜎 =𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑅𝑅𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖ó𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓𝑠𝑠 (tensión superficial) 1 Osborne Reynolds (1842-1912): Designado primer Profesor de Ingeniería en la Universidad de Owens (actual Universidad de Manchester). 2 William Froude (1810-1879): Ingeniero naval británico, desarrolló leyes de escala para modelos reducidos de barcos. 3 Moritz Weber (1871-1951): Nacido en Leipzig, contribuyó al desarrollo del análisis dimensional moderno. Fue realmente quien dio nombre a los números Re y Fr. E “(…) se dedica la máxima atención a los conceptos y principios básicos, con la convicción de que, teniéndolos claros, cualquier aplicación o ampliación de doctrina o detalles será fácil, mientras que será ineficaz sin esa base conceptual. (…) Este enfoque puede (…) prolongar la vigencia temporal de esta obra, pues si las tecnologías cambian, los principios son permanentes”. Eugenio Vallarino. Preámbulo del libro Tratado Básico de Presas (1990). Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 6 Número de Mach4 𝑀𝑀𝑓𝑓=𝜌𝜌 𝑖𝑖 =�𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑠𝑠𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔�1 2 (flujos compresibles) 𝜌𝜌 y 𝜌𝜌 son una longitud y velocidad, respectivamente, representativas del problema. Por otro lado, se incluyen las definiciones de fluido ideal y fluido newtoniano, hipótesis que se utilizan en apartados posteriores. Fluido ideal: Fluido no viscoso. Aunque no existe fluido sin viscosidad, puede ser una buena aproximación. Fluido newtoniano: Fluido para el que los esfuerzos viscosos son proporcionales al gradiente de velocidad. La mayoría de los fluidos de interés son newotnianos, como el agua o el aire. Se expresa con la siguiente ecuación, cuya nomenclatura va acorde a la figura inferior. 𝜏𝜏=𝜇𝜇·𝑔𝑔𝑣𝑣 𝑔𝑔𝑓𝑓 (2–1) Figura 2-1. Representación de fluido newtoniano. Por último, conviene remarcar que toda la mecánica de fluido se basa en la hipótesis del medio continuo. Esta hipótesis considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a ésta. Bajo esta hipótesis es posible considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas. Principios de la mecánica de fluidos La mecánica de fluidos en general, y la hidráulica de canales abiertos en partircular, se basan en los siguientes principios:  Continuidad (conservación de la masa): Se conserva la masa. Si el flujo es estacionario: 𝑄𝑄𝑚𝑚á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝑄𝑄𝑚𝑚á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒  Conservación de la cantidad de movimiento: 𝐹𝐹𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓=𝑣𝑣𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖ó𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡𝑣𝑣. Si el flujo es estacionario: F = cantidad moviento sale – cantidad movimiento entra 4 Ernst Mach (1838-1916): Físico y filósofo austriaco. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 7  Energía: 𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑅𝑅𝑓𝑓 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑅𝑅𝑓𝑓𝑔𝑔é𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓=𝑖𝑖𝑓𝑓𝑠𝑠𝑣𝑣𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓𝑡𝑡𝑓𝑓𝑓𝑓𝑔𝑔𝑣𝑣+𝑡𝑡𝑓𝑓𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑡𝑡𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑠𝑠𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓𝑔𝑔𝑣𝑣. Si el flujo es incompresible: 𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖ó𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐é𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡=𝑡𝑡𝑓𝑓𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑡𝑡𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑅𝑅𝑓𝑓𝑠𝑠𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓𝑔𝑔𝑣𝑣 2.1.2.1 Otras ecuaciones de interés Hidrostática En situación de fluido en reposo, las fuerzas de presión compensan el peso, por lo que la presión aumenta con la profundidad:  Ley de presiones hidrostáticas: Δp = −𝜌𝜌𝑔𝑔Δ𝑓𝑓 (2–2) Las presiones también varían del mismo modo con la profundidad en un fluido en movimiento si no hay componente vertical de aceleración o, como aproximación, si la aceleración vertical es despreciable frente a la aceleración de la gravedad. Ecuación de conservación de la energía Para un fluido incompresible, la ecuación de la energía es una ecuación puramente mecánica y se puede derivar de la conservación de cantidad de movimiento. La ecuación que refleja esto es la ecuación de Bernoulli.  Ec. de Bernoulli para flujo estacionario, incompresible y sin pérdidas: 𝑠𝑠+𝜌𝜌𝑔𝑔𝑓𝑓+1 2𝛼𝛼𝜌𝜌𝜌𝜌2=𝑖𝑖𝑡𝑡𝑅𝑅 (2–3)  Ec de Bernoulli para flujo estacionario e incompresible: Δ�𝑠𝑠 𝜌𝜌+𝑔𝑔𝑓𝑓+1 2𝛼𝛼𝜌𝜌2�=𝑊𝑊𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑡𝑡𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠 (2–4) El término 𝜶𝜶 es el coeficiente corrector de la energía cinética. Se aplica para tener en cuenta que, en general, la velocidad en la sección no es constante, por lo que si <𝜌𝜌> representa la velocidad media en la sección, no es lo mismo la media de la velocidad al cuadrado <𝜌𝜌2> que el cuadrado de la velocidad media <𝜌𝜌>2. No obstante, en flujos turbulentos completamente desarrollados 𝛼𝛼~1.02, por lo que se suele tomar como 1. Método Euleriano y método lagrangiano El movimiento de los fluidos se ha estudiado en la literatura clásica siguiendo dos métodos diferenciados:  Método Lagrangiano: Constitutye una generalización directa de la mecánica del punto material. Se sigue el movimiento de cada partícula de un fluido en el tiempo a través de la ecuación que define su trayectoria.  Método Euleriano: Se especifica el movimiento del fluido através de la densidad y velocidad de las partículas en un punto específico del espacio como una función de espacio y tiempo. Las herramientas de trabajo son las típicas de teoría de campos. Por facilidades matemáticas en las que no se profundizará, el método euleriano es el más utilizado en la mecánica de fluidos y el que se sigue a lo largo de todo este trabajo. Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 8 2.2. Ecuaciones básicas de la hidráulica Continuidad Bajo la hipótesis de velocidad constante en la sección (𝑓𝑓), se definen los conceptos de caudal y caudal másico como: Caudal 𝑄𝑄=𝑓𝑓𝑢𝑢 (𝑐𝑐3/𝑓𝑓) Caudal másico 𝑄𝑄𝑚𝑚=𝜌𝜌𝑓𝑓𝑢𝑢 (𝑘𝑘𝑔𝑔/𝑓𝑓) Siendo 𝑢𝑢 el área de la sección de paso. Tomando en consideración un volumen de control arbitrario del que sale y entra masa, la ecuación de conservación de la masa general sería: 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡(𝑐𝑐) = 𝑄𝑄𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒−𝑄𝑄𝑚𝑚𝑜𝑜𝑜𝑜𝑒𝑒 (2–5) En situación estacionaria: 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡(𝑐𝑐)= 0 →𝑄𝑄𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒 =𝑄𝑄𝑚𝑚𝑜𝑜𝑜𝑜𝑒𝑒 (2–6) Si se considera densidad constante en el tiempo y uniforme en el espacio (fluido incompresible), algo muy factible para el agua, las mismas ecuaciones pueden ser reformuladas en función del volumen en vez de la masa. Se incluyen las ecuaciones en función del volumen (𝑉𝑉) para flujo no estacionario y estacionario, respectivamente: 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑉𝑉=𝑄𝑄𝑠𝑠𝑐𝑐−𝑄𝑄𝑜𝑜𝑓𝑓𝑡𝑡 (2–7) 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡(𝑉𝑉)= 0 →𝑄𝑄𝑠𝑠𝑐𝑐=𝑄𝑄𝑜𝑜𝑓𝑓𝑡𝑡 (2–8) Si además se trabaja en teoría unidimensional, el volumen de control se asemeja a un tubo de corriente por el que sólo entra o sale caudal a través de las secciones de paso, y no por los laterales (ver siguiente figura), las ecuaciones quedan de la siguiente forma: Figura 2-2. Tubo de corriente. 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑉𝑉=𝑄𝑄1−𝑄𝑄2 (2–9) 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡(𝑉𝑉)= 0 →𝑄𝑄1=𝑄𝑄2 (2–10) Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 9 2.2.1.1 Velocidad variable en la sección y concepto de velocidad media El principio de continuidad se puede extender a los casos en que la velocidad sea variable en la sección transversal. Figura 2-3. Ejemplos de velocidad variable en la sección. En estos casos, el caudal en la sección se calcula a partir de la integral de velocidad en el área de paso: 𝑄𝑄=�𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑢𝑢 (2–11) A partir del caudal total que atraviesa una sección se define la velocidad media en la sección como la velocidad constante que daría el mismo caudal para la sección concreta: 𝑓𝑓𝑚𝑚=𝑄𝑄 𝑢𝑢→𝑄𝑄=𝑓𝑓𝑚𝑚𝑢𝑢 (2–12) Conservación de cantidad de movimiento El principio de conservación de cantidad de movimiento (𝑠𝑠) parte de la 2ª Ley de Newton: �𝐹𝐹=𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑡𝑡=𝑔𝑔(𝑐𝑐𝑣𝑣) 𝑔𝑔𝑡𝑡 (2–13) Derivando el término de la derecha, se obtiene la ecuación equivalente desarrollada: �𝐹𝐹=𝑔𝑔(𝑐𝑐𝑣𝑣) 𝑔𝑔𝑡𝑡 =𝜌𝜌·�𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑡𝑡+(𝑣𝑣·∇)·𝑣𝑣�·𝑔𝑔𝑑𝑑·𝑔𝑔𝑑𝑑·𝑔𝑔𝑓𝑓 (2–14) Donde 𝑣𝑣= (𝑓𝑓,𝑣𝑣,𝑤𝑤) y el operador ∇= (𝜕𝜕/𝜕𝜕𝑑𝑑,𝜕𝜕/𝜕𝜕𝑑𝑑,𝜕𝜕/𝜕𝜕𝑓𝑓). Las fuerzas externas pueden ser de diversa naturaleza. En un volumen de control, éstas se pueden clasificar como:  Fuerzas de volumen (proporcional al volumen): • Peso. • Fuerzas centrífugas y de Coriolis.  Fuerzas de superficie (ejercidas por el fluido adjacente y proporcionales al área): • Fuerzas de presión. • Fuerzas viscosas.  Reacciones (por contornos sólidos). Para el problema que aquí se trata son especialmente relevantes las siguientes:  Fuerzas gravitatorias. Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 16 Figura 2-9. Ejemplos de flujo no permanente. Figura 2-10. Flujo rápidamente variado (RVF) y gradualmente variado (GVF). 2.3.2.2 Estado de flujo El estado o comportamiento del flujo en canales abiertos está gobernado básicamente por los efectos de la viscosidad y gravedad en relación con las fuerzas inerciales del flujo. La tensión superficial del agua puede afectar el comportamiento del flujo bajo ciertas circunstancias, pero no juega un papel significativo en la mayor parte de los problemas de canales abiertos que se presentan en la ingeniería civil. A. Flujo laminar, turbulento y transicional (efectos de la viscosidad en relación con la inercia). El flujo es laminar si las fuerzas viscosas son muy fuertes en relación con las fuerzas inerciales, de tal manera que la viscosidad juega un papel importante en determinar el comportamiento del flujo. En el flujo laminar, las partículas de agua se mueven con trayectorias suaves definidas (líneas de corriente), y las capas de fluido con espesor infinitesimal parecen deslizarse sobre capas adyacentes. El flujo es turbulento si las fuerzas viscosas son débiles en relación con las fuerzas inerciales. En flujo turbulento, las partículas del agua se mueven en trayectorias irregulares, que no son suaves ni fijas, pero que en conjunto todavía representan el movimiento hacia delante de la corriente. Para llevar a cabo la comparación entre los efectos de la viscosidad e inercia se utiliza el número de Reynolds, introducido al inicio de este capítulo. Así, para número de Reynolds altos se dará un flujo turbulento, mientras que para 𝑅𝑅𝑅𝑅 bajos se produce un flujo laminar. 𝑅𝑅𝑅𝑅=𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜇𝜇 (2–34) Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 17 Para el cálculo del número de Reynolds en canales se adopta frecuentemente como dimensión lineal carácterísticas el diámetro hidráulico9 (𝐷𝐷ℎ). Utilizando esta magnitud como longitud carácterística, se acepta que la zona de transición se encuentra en 500 −600 <𝑅𝑅𝑅𝑅<2000, [3] [4]. En la mayor parte de los canales abiertos el flujo laminar ocurre con muy poca frecuentcia. B. Flujo subcrítico, crítico y supercrítico (efectos de la gravedad en relación con la inercia). El efecto de la gravedad sobre el estado de flujo se representa por la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales. Esta relación es la que se recoge en el número de Froude: Fr =U �gL (2–35) La longitud carácterística 𝜌𝜌 que se toma en canales abiertos es el calado medio en la sección (ℎ�= área / anchura en superficie), que en un canal rectangular es directamente la altura de la lámina de agua, nombrada con la letra ℎ. En función del número de Froude se distinguen tres estados de flujo:  𝐹𝐹𝑓𝑓< 1 →U < �gh �: Flujo subcrítico o lento.  𝐹𝐹𝑓𝑓= 1 →𝜌𝜌=�𝑔𝑔h �: Flujo crítico.  𝐹𝐹𝑓𝑓< 1 →𝜌𝜌>�𝑔𝑔h �: Flujo supercrítico o rápido. La magnitud �𝒈𝒈𝒈𝒈 corresponde a la celeridad de ondas gravitacionales que pueden ocurrir en aguas poco profundas en canales como resultado de cualquier cambio momentáneo en la profundidad local del agua. Un cambio de este tipo puede ser causado por perturbaciones u obstáculos en el canal, que causan un desplazamiento del agua por encima y por debajo del nivel medio de la superficie y, por consiguiente, crean ondas que ejercen peso o fuerza gravitacional. Una onda gravitacional (información sobre un obstáculo) puede propagarse hacia aguas arriba en un canal con flujo subcrítico, pero no puede hacerlo en un canal con flujo supercrítico. Esto es debido a que la celeridad es mayor que la velocidad del flujo en el primer caso y menor en el segundo. Dado lo expuesto anteriormente, se concluye que el control de una corriente en flujo subcrítico se ejerce desde aguas abajo, mientras que el de una corriente en flujo supercrítico se aplica desde aguas arriba. Figura 2-11. Efecto de un obstáculo sobre el flujo aguas arriba en estado subcrítico. Energía específica Como se expuso en apartados anteriores, la carga hidráulica (también llamada energía total) se representa de la siguiente forma: 𝐻𝐻=𝑠𝑠 𝜌𝜌𝑔𝑔+𝑓𝑓+𝑉𝑉2 2𝑔𝑔 (2–36) 9 𝐷𝐷ℎ𝑠𝑠𝑖𝑖𝑓𝑓á𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜= 4 · (𝑆𝑆𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ó𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑣𝑣)/(𝑃𝑃𝑅𝑅𝑓𝑓í𝑐𝑐𝑅𝑅𝑡𝑡𝑓𝑓𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑡𝑡𝑓𝑓𝑔𝑔𝑣𝑣) Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 18 Donde 𝑉𝑉 es la velocidad media en la sección. Si no hay aceleración vertical, la presión a lo largo de la vertical en cualquier punto de la corriente es de tipo hidrostático (𝒑𝒑+𝝆𝝆𝒈𝒈𝝆𝝆). Así, en la superficie la presión es atmosférica (nula), por lo que la altura piezométrica en la superficie es: �𝑠𝑠 𝜌𝜌𝑔𝑔+𝑓𝑓�𝑠𝑠𝑓𝑓𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑓𝑓=𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑓𝑓 (= 𝑓𝑓𝑠𝑠) (2–37) La distribución de presiones hidrostáticas se puede aceptar para canales abiertos en flujo uniforme o gradualmente variado (como se verá más adelante), por lo que en estos casos se puede afirmar que la carga hidráuilca viene dada por: 𝐻𝐻=𝑓𝑓𝑠𝑠+𝑉𝑉2 2𝑔𝑔 (2–38) Tomando 𝑓𝑓𝑏𝑏 como la cota del lecho del canal y ℎ=𝑓𝑓𝑠𝑠−𝑓𝑓𝑏𝑏 como el calado, se define la energía específica (𝐸𝐸) como: 𝑬𝑬=𝒈𝒈+𝑽𝑽𝟐𝟐 𝟐𝟐𝒈𝒈 (2–39) Este concepto es muy utilizado en hidráulica de canales y representa la carga hidráulica relativa al fondo del canal. 2.3.3.1 Energía específica en un canal rectangular En un canal rectangular (o muy ancho) se puede trabajar con las magnitudes por unidad de anchura (𝑐𝑐). De este modo, se toma 𝑞𝑞=𝑄𝑄/𝑐𝑐 y, por tanto, 𝑉𝑉=𝑞𝑞/ℎ: 𝐸𝐸=ℎ+𝑞𝑞2 2𝑔𝑔ℎ (2–40) La primera parte de la expresión corresponde a la energía potencial, mientras que la segunda corresponde a energía cinética. En este sentido, se pueden dar dos casos generales: Para valores muy altos de ℎ (flujo profundo, lento, dominado por la energía potencial): 𝐸𝐸≈ℎ Para valores muy bajos de ℎ (flujo somero, rápido, dominado por la energía cinética): 𝐸𝐸≈𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑓𝑓𝑡𝑡𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡𝑅𝑅 ℎ2 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 19 Considerando caudal fijo, se incluye a continuación el gráfico 𝐸𝐸 frente a ℎ: Figura 2-12. Gráfico de energía específica frente a calado. Se observa de forma clara en este gráfico que existe un mínimo en la energía específica que se puede calcular a partir de la expresión 𝑔𝑔𝐸𝐸/𝑔𝑔ℎ= 0. Desarrollando este cálculo se obtienen los valores de calado crítico y energía crítica: ℎ𝑠𝑠=�𝑞𝑞2 𝑔𝑔�1 3 (2–41) 𝐸𝐸𝑠𝑠=3 2ℎ𝑠𝑠 (2–42) La razón por la que se llama “crítico” a estos valores es porque es en el punto (𝐸𝐸𝑠𝑠,ℎ𝑠𝑠) en el que se da el valor de 𝐹𝐹𝑓𝑓= 1 y por tanto, el régimen crítico en la corriente. Para valores ℎ>ℎ𝑠𝑠 se da 𝐹𝐹𝑓𝑓< 1 (flujo subcrítico), mientras que para ℎ<ℎ𝑠𝑠 se da 𝐹𝐹𝑓𝑓> 1 (flujo supercrítico). A modo de conclusión, se señalan los siguientes aspectos:  Para un caudal determinado existe una energía específica mínima (𝐸𝐸𝑠𝑠) que se da para el calado crítico (ℎ𝑠𝑠), en el que 𝐹𝐹𝑓𝑓= 1.  Para cualquier valor de energía 𝐸𝐸>𝐸𝐸𝑠𝑠 hay dos valores posibles de 𝒈𝒈 con el mismo caudal y energía: • Flujo somero (ℎ<ℎ𝑠𝑠), y rápido con 𝐹𝐹𝑓𝑓> 1 (supercrítico). • Flujo profundo (ℎ𝑠𝑠<ℎ), y lento con 𝐹𝐹𝑓𝑓< 1 (subcrítico). Estos dos valores de calado se llaman conjugados. 2.3.3.2 Condición crítica y de caudal máximo En los apartados anteriores se ha analizado la relación 𝐸𝐸−ℎ para un valor fijo de caudal. Otra relación relevante es la relación 𝑄𝑄−ℎ para un valor de 𝐸𝐸=𝑖𝑖𝑡𝑡𝑅𝑅. Despejando 𝑞𝑞 de la expresión (2-40) se obtiene la siguiente ecuación: 𝑞𝑞2= 2𝑔𝑔ℎ2(𝐸𝐸−ℎ) (2–43) En el siguiente gráfico se muestra la relación de 𝑞𝑞 frente a ℎ para un valor constante de 𝐸𝐸: E h Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 20 Figura 2-13. Gráfico de caudal frente a calado. Desarrollando 𝑔𝑔𝑞𝑞/𝑔𝑔ℎ= 0, o lo que es lo mismo 𝑔𝑔𝑞𝑞2/𝑔𝑔ℎ= 0, se puede obtener el valor de ℎ para el que 𝑞𝑞 es máximo. Realizando los cálculos se obtiene que el máximo valor de descarga por unidad de anchura se da para 𝐸𝐸= 3/2 · ℎ. Comparando este resultado con la ecuación (2-42) se concluye que:  Para un valor constante de energía específica existe un valor máximo de caudal que se da en condiciones de calado crítico (𝐹𝐹𝑓𝑓= 1; ℎ=ℎ𝑠𝑠). Flujo permanente y uniforme. Fórmula de Chézy-Manning. Se llama flujo uniforme al flujo permanente y uniforme según los criterios descritos en el apartado anterior. El calado constante correspondiente se denomina calado normal (𝒈𝒈𝟎𝟎). En el flujo uniforme se dan las siguientes carácterísticas:  El calado, el área mojada, la velocidad media y el caudal en cada sección del canal son constantes.  La línea de energía, la superficie del agua y el fondo del canal son paralelos, es decir, sus pendientes son iguales. Cuando el flujo se produce a lo largo de un canal, el agua encuentra resistencia a medida que fluye aguas abajo. Esta resistencia por lo general es contrarrestada por las componentes de fuerzas gravitacionales que actúan sobre el cuerpo de agua en la dirección del movimiento. Un flujo uniforme se desarrollará si la resistencia se compensa con las fuerzas gravitacionales. Cuando los demás factores físicos del canal se mantienen constantes, la resistencia depende de la velocidad de flujo. Si el agua entra al canal con lentitud, la velocidad y, por tanto la resistencia, son pequeñas, por lo que las fuerzas de gravedad son mayores y se produce una aceleración del flujo en el tramo de aguas arriba. En este punto, la velocidad y la resistencia se incrementarán de forma gradual hasta que se alcance un equilibrio entre las fuerzas de resistencia y las fuerzas de gravedad. A partir de este momento, y de ahí en adelante, el flujo se vuelve uniforme. Este hecho es el que se representa en la siguiente figura. Figura 2-14. Flujo uniforme en canal. J: Pendiente de la línea de energía i: Pendiente geométrica h 0 q h Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 21 Como ya se ha dicho anteriormente, en el flujo uniforme la componente de peso hacia aguas abajo se equilibra la fricción que ejercen las paredes y el lecho del canal. Tanto en un canal como en una tubería parcialmente llena, esta fricción se produce a lo largo del perímetro mojado (𝑃𝑃). Figura 2-15. Área de paso y perímetro mojado. Figura 2-16. Balance de fuerzas en flujo uniforme. Nombrando como 𝜏𝜏𝑏𝑏 la fricción media del contorno, el balance de fuerzas queda: (𝜌𝜌𝑢𝑢𝜌𝜌)𝑔𝑔sin 𝜃𝜃=𝜏𝜏𝑏𝑏𝑃𝑃𝜌𝜌 → 𝜏𝜏𝑏𝑏=𝜌𝜌𝑔𝑔�𝑢𝑢 𝑃𝑃�sin 𝜃𝜃 (2–44) Se define el radio hidráulico como: 𝑅𝑅ℎ≡�𝑢𝑢 𝑃𝑃� (2–45) Teniendo en cuenta la definición de radio hidráulico y la hipótesis de pendiente pequeña (sin 𝜃𝜃~tan 𝜃𝜃~𝜃𝜃~𝑖𝑖), se obtiene la siguiente expresión de balance de fuerzas en flujo uniforme: 𝜏𝜏𝑏𝑏=𝜌𝜌𝑔𝑔𝑅𝑅ℎ𝑖𝑖 (2–46) Fórmula de Chézy-Manning Para modelizar el rozamiento de las paredes del canal se puede utilizar un coeficiente de fricción proporcional a la presión dinámica. Introduciénolo en la ecuación anterior: 𝑖𝑖𝑓𝑓�1 2𝜌𝜌𝑉𝑉2�=𝜌𝜌𝑔𝑔𝑅𝑅ℎ𝑖𝑖 (2–47) Donde 𝑉𝑉 es la velocidad media en la sección. Los factores de fricción del tipo 𝜆𝜆= 4𝑖𝑖𝑓𝑓 basados en la extendida ecuación de Colebrook-White no son válidos para el flujo en canales abiertos, ya que la fricción no es constante a lo largo del perímetro mojado. Por el contrario, se suele utilizar la fórmula más sencilla y empírica debida a Chézy10 y Manning11. La fórmula de Chézy parte de despejar la velocidad en la ecuación anterior y reagrupar parte de los términos en su coeficiente C: 𝑉𝑉=𝐶𝐶�𝑅𝑅ℎ𝑖𝑖 (2–48) Siendo 𝑪𝑪=�(𝟐𝟐𝒈𝒈/𝒄𝒄𝒇𝒇) el coeficiente de Chézy. El coeficiente 𝐶𝐶 depende de la rugosidad del canal y del radio hidráulico, por lo que no es particularmente útil para el diseño de canales. 10 Antoine Chézy (1718-1798): Ingeniero francés que llevó a cabo experimentos en el Sena y en el Canal de Courpalet. 11 Robert Manning (1816-1897): Ingeniero irlandés. Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 22 La correlación más común para el coeficiente 𝐶𝐶 es la propuesta por Manning, que basándose en datos experimentales lo expresó como función del radio hidráulico: 𝐶𝐶=1 𝑖𝑖·𝑅𝑅ℎ 1/6 (2–49) Siendo 𝑖𝑖 (número de Manning) una constante que depende de la rugosidad del canal. Aplicando este coeficiente en la ecuación (2-48) se obtiene la Fórmula de Manning: 𝑽𝑽=𝟏𝟏 𝒏𝒏𝑹𝑹𝒈𝒈 𝟐𝟐/𝟑𝟑𝒊𝒊𝟏𝟏/𝟐𝟐 (2–50) La fórmula de Manning permite, para flujo uniforme, calcular la velocidad y el caudal a partir del calado, así como el cálculo del calado conocido caudal circulante. Flujo gradualmente variado Como ya se ha comentado anteriormente, en el flujo uniforme la componente del peso hacia aguas abajo equilibra la pérdida de energía por fricción. De este modo, el calado y la velocidad son constantes y la línea de energía total (o carga hidráulica) es paralela tanto a la lámina de agua como al lecho del canal. Como resultado de perturbaciones en el flujo debidas a estructuras hidráulicas (vertederos, compuertas, etc.) o a cambios en el canal (anchura, pendiente, rugosidad, etc.) la componente aguas abajo del peso puede dejar de equilibrar las pérdidas por fricción. Así, la pendiente de la línea de energía (𝐽𝐽) y la pendiente del canal (𝑖𝑖) serán diferentes y el calado (ℎ) y la velocidad (𝑉𝑉) cambiarán a lo largo del canal. 2.3.5.1 Ecuación del flujo gradualmente variado Se deduce a continuación la ecuación del flujo gradualmente variado, que proporciona una expresión para 𝑔𝑔ℎ/𝑔𝑔𝑑𝑑 que permite calcular la variación del calado a lo largo del canal. Partiendo de la definición de la energía específica y de la ecuación de energía total en canales (2-36, 2-38), se obtiene: 𝐻𝐻=𝑓𝑓𝑏𝑏+𝐸𝐸 → 𝑔𝑔𝐻𝐻 𝑔𝑔𝑑𝑑=𝑔𝑔𝑓𝑓𝑏𝑏 𝑔𝑔𝑑𝑑+𝑔𝑔𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑑𝑑 (2–51) Siendo 𝑑𝑑 la coordenada longitudinal del canal. Por definición: 𝑔𝑔𝐻𝐻 𝑔𝑔𝑑𝑑=−𝐽𝐽 = Pendiente de la línea de energía 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑏𝑏 𝑔𝑔𝑑𝑑 =−𝑖𝑖 = Pendiente del fondo Por tanto, la variación de la energía específica a lo largo del canal se puede expresar como: 𝑔𝑔𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑑𝑑=𝑖𝑖−𝐽𝐽 (2–52) Por lo que la energía específica sólo varía si no coinciden la pendiente geométrica del fondo y la pendiente de la línea de energía. Dicho de otro modo, la energía específica sólo permanece constante si 𝑖𝑖=𝐽𝐽, lo que significa flujo uniforme. Esta ecuación se puede transformar para obtener directamente la pendiente de la superficie de la lámina libre. Para ello basta escribir la expresión de la energía específica como función del calado y la velocidad media en el canal: Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 23 𝐸𝐸=ℎ+𝑉𝑉2 2𝑔𝑔=ℎ+𝑄𝑄2 2𝑔𝑔𝑢𝑢2 → 𝑔𝑔𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑑𝑑=𝑔𝑔ℎ 𝑔𝑔𝑑𝑑−𝑄𝑄2 𝑔𝑔𝑢𝑢3·𝑔𝑔𝑢𝑢 𝑔𝑔𝑑𝑑 (2–53) Teniendo en cuenta las siguientes transformaciones (de acuerdo con la nomenclatura de la figura inferior): 𝑔𝑔𝑢𝑢=𝑐𝑐𝑠𝑠𝑔𝑔ℎ ℎ�=𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑠𝑠 Figura 2-17. Representación de la sección de un canal. Se obtiene: 𝑔𝑔𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑑𝑑=𝑔𝑔ℎ 𝑔𝑔𝑑𝑑�1−𝑄𝑄2𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑢𝑢3� → 𝑔𝑔𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑑𝑑=𝑔𝑔ℎ 𝑔𝑔𝑑𝑑�1−𝑉𝑉2 𝑔𝑔ℎ�� → 𝑔𝑔𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑑𝑑=𝑔𝑔ℎ 𝑔𝑔𝑑𝑑(1−𝐹𝐹𝑓𝑓2) (2–54) Sustituyendo la ecuación (2-52) en la anterior se llega a la ecuación del flujo gradualmente variado: 𝒅𝒅𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅=𝒊𝒊−𝑱𝑱 𝟏𝟏−𝑭𝑭𝒓𝒓𝟐𝟐 (2–55) 2.3.5.2 Cálculo de la pendiente de la línea de energía (𝑱𝑱) Dado que el flujo es gradualmente variado, la pendiente de la línea de energía se puede evaluar asumiendo que el flujo es “cuasi-uniforme”, hipótesis que permite establecer que la pérdida de energía es la misma que en un flujo uniforme con el mismo calado (𝐽𝐽≈𝑖𝑖). Partiendo de esta base se utiliza un modelo de pérdidas de flujo uniforme, como la fórmula de Manning. Sustituyendo 𝐽𝐽 por 𝑖𝑖 en dicha fórmula: 𝑉𝑉=1 𝑖𝑖𝑅𝑅ℎ 2/3𝐽𝐽1/2 → 𝐽𝐽=𝑖𝑖2𝑉𝑉2 𝑅𝑅ℎ 4/3=𝑖𝑖2𝑄𝑄2 𝑅𝑅ℎ 4/3𝑢𝑢2 (2–56) Tanto 𝑢𝑢 como 𝑅𝑅ℎse pueden expresar en función de ℎ e introducir la expresión en la ecuación (2-55). 2.3.5.3 Resolución numérica de la ecuación de F.G.V. La integración de la ecuación (2-55) con el modelo de pérdidas descrito en (2-56) sólo se puede llevar a cabo de forma numérica. Cuando el flujo es supercrítico la integración se realiza desde aguas arriba hacia aguas abajo, mientras que cuando el flujo es subcrítico es al contrario. Existen dos métodos diferenciados de integración que pueden ser más o menos beneficiosos según lo que se pretenda integrar. Se esquematizan en las siguientes figuras. Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 24 . Figura 2-18. Método de paso estándar: Calcula el calado ℎ en intervalos fijos Δ𝑑𝑑 . Figura 2-19. Método de paso directo: Calcula la distancia 𝑑𝑑 en intervalos fijos Δℎ . 2.3.5.4 Calado crítico y pendiente crítica Como se expone con más profundidad en apartados previos, existe un calado crítico (ℎ𝑠𝑠) para el que la energía específica es mínima. Este calado crítico es el que hace 𝑭𝑭𝒓𝒓=𝟏𝟏. En el caso de canal rectangular se demuestra que ℎ𝑠𝑠=(𝑄𝑄2/(𝑐𝑐2𝑔𝑔))1/3, siendo 𝑐𝑐 el ancho del canal. Por su parte, se define pendiente crítica como aquella pendiente que hace ℎ0=ℎ𝑠𝑠, siendo ℎ0 el calado normal (calculado, por ejemplo, a partir de la fórmula de Manning). En función de la pendiente y la posición relativa del calado en un punto respecto de ℎ0 y ℎ𝑠𝑠 se pueden establecer diferentes perfiles cualitativos de integración de la ecuación (2-55). Aprovechando los gráficos que se incluyen al respecto en [5], se incluye a continuación una tabla con varios casos posibles, que se nombran con el siguiente criterio:  El primer carácter designa el tipo de pendiente: S (Steep): Acentuada. C (Critical): Crítica. M (Mild): Suave. H (Horizontal): Horizontal. A (Adverse): Adversa.  El segundo carácter designa la posición relativa de ℎ respecto de ℎ𝑠𝑠 y ℎ0 (≡ℎ𝑐𝑐) y nombra como 1, 2 o 3. De estos casos toman especial importancia aquellos enmarcados en fondo horizontal, ya que el problema que se estudia a lo largo de este trabajo se desarrolla en un canal horizontal. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 25 Tabla 2–2. Ejemplos de perfiles cualitativos de integración de ℎ Tipo de pendiente Símbolo Definición Esquema Ejemplo Acentuada (el flujo normal es supercrítico) S1 ℎ>ℎ𝑠𝑠>ℎ0 Resalto hidráulico aguas arriba con la obstrucci ón de zona de agua en reposo que controla el nivel aguas abajo. S2 ℎ𝑠𝑠>ℎ>ℎ0 Cambio a una pendiente más acentuada. S3 ℎ𝑠𝑠>ℎ0>ℎ Cambio a una pendiente menos acentuada. Crítica (el flujo normal es crítico) C1 ℎ>ℎ𝑠𝑠=ℎ0 C3 ℎ𝑠𝑠=ℎ0>ℎ Suave (el flujo normal es subcrítico) M1 ℎ>ℎ0>ℎ𝑠𝑠 Obstrucción o zona de agua en reposo controlando el nivel aguas abajo. M2 ℎ0>ℎ>ℎ𝑠𝑠 Aproximación a zona de vertido libre. M3 ℎ0>ℎ𝑠𝑠>ℎ Resalto hidráulico; cambio de pendiente acentuada a suave o aguas abajo de una compuerta. Horizontal (ℎ 0 →∞ ) H2 ℎ>ℎ𝑠𝑠 Aproximación a zona de vertido libre. H3 ℎ𝑠𝑠>ℎ Resalto hidráulico aguas abajo; cambio de pendiente acentuada a horizontal o aguas abajo de una compuerta. Adversa A2 ℎ>ℎ𝑠𝑠 A3 ℎ𝑠𝑠>ℎ Contextualización del problema en teoría de hidráulica de canales 32 componente en dirección 𝑓𝑓 de la velocidad de las entradas o salidas de flujo al volumen de control. Si se asume que no hay entradas o salidas laterales de flujo y que 𝛼𝛼~1, la ecuación de cantidad de movimiento queda como: 1 𝑢𝑢𝜕𝜕𝑄𝑄 𝜕𝜕𝑡𝑡+1 𝑢𝑢𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑓𝑓�𝑄𝑄2 𝑢𝑢�+𝑔𝑔𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝑓𝑓− 𝑔𝑔(𝑖𝑖−𝐽𝐽)= 0 � � � � � � � � � 𝐹𝐹𝑢𝑢𝑓𝑓𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑡𝑡𝑓𝑓𝑠𝑠𝑜𝑜 𝑦𝑦 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓𝑚𝑚𝑓𝑓 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 𝐹𝐹𝑢𝑢𝑓𝑓𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑡𝑡𝑓𝑓𝑠𝑠𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓𝑚𝑚𝑓𝑓 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 𝐹𝐹𝑢𝑢𝑓𝑓𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑡𝑡𝑓𝑓𝑠𝑠𝑜𝑜 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓𝑚𝑚𝑓𝑓 (2–69) Según los términos de la ecuación que se consideren, se tienen tres modelos de onda de caudal en un canal: 1 𝑢𝑢𝜕𝜕𝑄𝑄 𝜕𝜕𝑡𝑡+1 𝑢𝑢𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑓𝑓�𝑄𝑄2 𝑢𝑢�+𝑔𝑔𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝑓𝑓− 𝑔𝑔(𝑖𝑖−𝐽𝐽) = 0 � � � � � � � � � 𝑶𝑶𝒏𝒏𝒅𝒅𝑶𝑶 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝒄𝒄á𝝏𝝏𝒊𝒊𝒄𝒄𝑶𝑶 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 𝑶𝑶𝒏𝒏𝒅𝒅𝑶𝑶 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒇𝒇𝒅𝒅𝒅𝒅𝒊𝒊𝒗𝒗𝑶𝑶 (𝒑𝒑𝑶𝑶𝒓𝒓𝑶𝑶𝒃𝒃ó𝒍𝒍𝒊𝒊𝒄𝒄𝑶𝑶) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒅𝒅𝒄𝒄𝒍𝒍𝑴𝑴 𝒄𝒄𝑴𝑴𝒄𝒄𝒑𝒑𝒍𝒍𝒄𝒄𝝏𝝏𝑴𝑴 (2–70) 2.4. Planteamiento del problema en estudio Una vez expuestas las bases teóricas generales de la hidráulica de canales se puede realizar un primer planteamiento del problema a estudiar que permita el entendimiento de los fenómenos que se producen. Todo lo que se plantea es para el momento en el que ya se ha alcanzado una situación estacionaria, es decir, para la situación de flujo permanente. Aparte de las secciones de entrada y salida, cuyas condiciones vienen impuestas por el funcionamiento propio del canal y la bomba, existen dos secciones críticas:  Paso por el vertedero: En esta sección se observa claramente cómo el flujo pasa de ser subcrítico a supercrítico, por lo que en ella se alcanza la condición de calado crítico (ℎ=ℎ𝑠𝑠). Ello permite la utilización del vertedero como medidor de caudales.  Resalto hidráulico: Mientras que la corriente procedente del vertedero es una corriente rápida (flujo supercrítico), el caldo impuesto en la sección de aguas abajo es subcrítico. El encuentro de estas dos corrientes se produce en un resalto hidráulico en el que se pasa de flujo supercrítico a subcrítico con la consecuente pérdida de carga. En las inmediaciones de estas dos secciones se dan las condiciones de un flujo rápidamente variado (F.R.V.), por lo que no se podría aplicar la ecuación de flujo gradualmente variado (F.G.V.) para obtener ℎ(𝑑𝑑) y habría que emplear los modelos que se han expuesto para estos casos concretos. En el resto del canal se dan condiciones de F.G.V. En la siguiente figura se muestra el esquema del planteamiento general. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 33 Figura 2-26. Planteamiento teórico y diferenciación de las secciones principales y tipos de flujos presentes en el problema en estudio. F.G.V. F.R.V F.G.V. F.R.V F.G.V. Flujo subcrítico 𝐹𝐹𝑓𝑓< 1 𝐹𝐹𝑓𝑓= 1 Flujo supercrítico 𝐹𝐹𝑓𝑓> 1 Flujo subcrítico 𝐹𝐹𝑓𝑓< 1 𝐹𝐹𝑓𝑓= 1 Vertedero de labio grueso Punto de control: ℎ=ℎ𝑠𝑠 Medida de caudal Resalto hidráulico Sección de entrada Sección de salida Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 35 3. VERTEDERO DE PERFIL CREAGER on objeto de ahondar en el funcionamiento del vertedero, así como en su calibración como aforador, se desarrolla en este capítulo la teoría básica en torno a los vertederos de pared gruesa y, en especial, con perfil tipo Creager. 3.1. Introducción Los vertederos de pared gruesa tienen su origen en las presas vertedero, es decir, en aquellas presas en las que el propio cuerpo de presa se utiliza como aliviadero, uniendo las dos funciones y ahorrando el coste suplementario de un aliviadero independiente. El vertido sobre la presa puede realizarse de dos formas distintas:  Con lámina adherida al paramento (figura 3-2).  Con lámina despegada: caída libre (figura 3-3) o lanzamiento (figura 3-4). En general, las presas de hormigón se hacen vertederos, salvo excepciones. Por ello, el estudio del vertedero como elemento hidráulico cobra gran importancia y se han desarrollado numerosos experimentos y estudios al respecto. Figura 3-1. Encaje del perfil de vertedero en el paramento de la presa C “(…) como el agua, cuando el río abajo va, y no la dejas seguir…”. Juanito Makandé. Cuando te empecé a querer. Vertedero de perfil Creager 36 Figura 3-2. Presa vertedero con lámina adherida al paramento. (Presa de Rules, provincia de Granada). Figura 3-3. Presa vertedero con lámina despegada. (Presa de José Torán, provincia de Sevilla). Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 37 Figura 3-4. Presa vertedero con lanzamiento. (Presa de Melonares, provincia de Sevilla). 3.2. Perfil del vertedero Este tipo de vertedero que se colocan en los aliviaderos son los que se conocen como vertederos de pared gruesa. Los vertederos en pared delgada son muy delicados y sólo se usan en medidas de laboratorios o como aforadores de caudales cortos. En este tipo de vertedero la vena se despega y sus caras superior e inferior están a presión atmosférica. Figura 3-5. Flujo sobre vertedero de pared delgada. La máxima descarga de caudal se produce en el vertedero de pared delgada, por lo que el vertedero de pared gruesa ideal tendrá la forma de la lámina inferior de la vena líquida sobre un vertedero de pared delgada [7]. En la fotografía anterior, tomada de [8], se aprecia la trayectoria de un flujo sobre vertedero de pared delgada. Nótese que un vertedero de pared gruesa que siga este perfil ideal tendría presiones nulas en su paramento. Vertedero de perfil Creager 38 Pero la presión cero no conviene, en principio, porque cualquier vibración, onda o discontinuidad en la lámina puede traducirse en una variación accidental de la presión y hacer que ésta oscile entre positiva y negariva, lo que sería perjudicial para el hormigón. Por ello es preferible que la lámina quede adherida con una ligera presión sobre el paramento para contrarrestar las posibles depresiones. Sobre la forma del filete inferior de la vena líquida sobre un vertedero de pared delgada se han realizado muchos experimentos. Entre los años 1886 y 1888 Bazin llevó a cabo la primera investigación completa en laboratorio sobre la forma de las láminas de la vena líquida. Posteriormente, entre 1932 y 1948 el U. S. Bureau of Reclamation realizó también importantes experimentos al respecto [3]. Con estos datos como base se desarrollaron los perfiles estándar más utilizados:  El U. S. Army Corps of Engineers desarrolló las formas estándar WES (Waterways Experiment Station) [7]. Figura 3-6. Formas estándar de vertederos WES.  El perfil Creager13, desarrollado a partir de los experimentos de Bazin [9]. Se trata de un perfil sancionado por la experiencia de muchos años en la mayor parte de las presas del mundo [10]. Por ello, y por ser la referencia absoluta en nuestro país, es éste el perfil que se ha decidio utilizar para el desarrollo de este trabajo. El perfil Creager se define por coordenadas para una carga hidráulica (Hd) de 1 m, tal como se muestra en la tabla inferior. Para cualquier otra lámina se multiplican las coordenadas por la relación con la lámina tipo. En la figura (3-7) puede verse el chorro teórico libre y el desplazamiento al que le obliga el paramento para asegurar la adherencia. 13 William Pitcher Creager: Ingeniero civil estadounidense que desarrolló trabajos muy relevantes en ingeniería de presas. Especialmente conocido por el perfil de vertedero de labio grueso que se nombra con su apellido. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 39 Figura 3-7. Representación del perfil Creager (continuo) y del chorro teórico (discontinuo). Tabla 3–1. Perfil Creager tipo para lámina de 1 metro. X (m) Y (m) Paramento Chorro teórico Cara superior Cara inferior 0.0 0.126 -0.831 0.126 0.1 0.036 -0.803 0.036 0.2 0.007 -0.772 0.007 0.3 0.000 -0.740 0.000 0.4 0.007 -0.702 0.007 0.6 0.060 -0.620 0.063 0.8 0.142 -0.511 0.153 1.0 0.257 -0.380 0.267 1.2 0.397 -0.219 0.410 1.4 0.565 -0.030 0.590 1.7 0.870 0.305 0.920 2.0 1.220 0.693 1.310 2.5 1.960 1.500 2.100 3.0 2.820 2.500 3.110 3.5 3.820 3.660 4.260 4.0 4.930 5.000 5.610 4.5 6.220 6.540 7.150 La función del vertedero en el conjunto del aliviadero es la de fijar un umbral para que el agua pueda derivarse -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 -1 -0.5 00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 Hd Vertedero de perfil Creager 40 por él a partir de un cierto nivel y materializar una sección de control de paso al régimen rápido (supercrítico). Como se expone con más detenimiento en apartado 2.3.6.2 (caso 𝐸𝐸𝑐𝑐=𝐸𝐸𝑠𝑠), esta sección influye en el flujo de aguas arriba y determina el caudal que pasa; aguas abajo de ella el flujo es ya una consecuencia y sus condiciones e incidentes no influyen hacia aguas arriba. De este modo, la sección de control divide el aliviadero en dos partes. 3.3. Medición de caudales Como se expone en el apartado 2.3.6.2 el caudal que pasa sobre un vertedero de labio ancho se puede determinar a partir de la fórmula: 𝑄𝑄=𝐶𝐶𝑖𝑖·𝑐𝑐·𝐻𝐻03/2 (3–1) Siendo: 𝑄𝑄 Caudal. 𝐶𝐶𝑖𝑖 =2 3·�2𝑔𝑔·𝐾𝐾 : Coeficiente de descarga. 𝐾𝐾 es el coeficiente de descarga adimensional que varía entre 0.578, correspondiente al vertedero ancho paralelo al lecho, y 0.75, el valor más algo que se puede alcanzar sin sobrepasar las presiones negativas permitidas en la cresta. 𝑐𝑐 Longitud de la cresta. 𝐻𝐻0 =ℎ0+𝑄𝑄2 2𝑔𝑔𝑏𝑏2ℎ1 2 : Carga hidráulica sobre vertedero, donde ℎ0 es la altura geométrica sobre vertedero (medida aguas arriba del vertedero al menos a una distancia de 3 veces la altura del vertedero), y ℎ1 es el calado total aguas arriba. El valor estándar 𝐾𝐾 para un perfil Creager con condiciones de descarga ideales se estima que está en torno a 0.711, por lo que 𝐶𝐶𝑖𝑖= 2.1 [10]. Sin embargo, este valor puede verse alterado por algunos factores:  Altura de la lámina diferente de la altura de diseño.  Cara de aguas arriba del vertedero no vertical.  Situación de la plataforma de descarga.  Sumersión del vertedero por efecto del nivel de agua aguas abajo.  Existencia de pilas, etc. Dado que son los aspectos relevantes para este problema, se estudian a continuación los posibles efectos de una altura sobre el vertedero diferente a la de diseño, la posible afección de la plataforma aguas abajo y de la sumersión del vertedero. La referencia en el estudio de estas afecciones son los numerosos estudios llevados a cabo por el USBR para los perfiles propios y los estándar WES [7]. En la literatura referencia de hidráulica de presas [10], los resultados obtenidos para los perfiles en estudio se hacen extensivos al perfil Creager, por lo que también aquí se utilizan los resultados del USBR. Carga hidráulica distinta a la de diseño Uno de los efectos más importantes que provoca un cambio en el coeficiente de descarga es el del paso de una lámina diferente a aquella de diseño. Según los estudios nombrados, la relación existente entre las variaciones de la carga hidráulica y del coeficiente de descarga es la que se indica en el gráfico y la tabla siguiente, en los que el subíndice 0 indica de diseño y r indica real. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 41 Figura 3-8. Variación del coeficiente de descarga en función de la carga hidráulica real. Tabla 3–2. Variación del coeficiente de descarga en función de la carga hidráulica real. Hr/H0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Cdr/Cd0 0.852 0.9 0.94 0.971 1 1.024 1.048 1.07 Sumersión del vertedero Para cuantificar el efecto de la sumersión del vertedero por el calado aguas abajo se utiliza el concepto de grado de sumersión: Grado de sumersión: (𝒈𝒈𝒅𝒅𝟐𝟐/𝑯𝑯𝒓𝒓) =(carga dinámica aguas abajo del vertedero) / (carga hidráulica sobre el vertedero). Nótese que la carga dinámica �ℎ𝑖𝑖2� es igual a (𝐻𝐻𝑓𝑓−ℎ2), siendo ℎ2 el calado aguas abajo del vertedero. Figura 3-9. Vertedero sumergido. Tabla 3–3. Variación del coeficiente de descarga en función del grado de sumersión. hd2/Hr 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Cdr/Cd0 0 0.65 0.86 0.93 0.97 0.98 0.99 1 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 Cdr/Cd0 Hr/H0 Hr P h2 h d2 h d1 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 48 Se asume que el nivel es constante a lo largo de la sección, ya que las variaciones de nivel dentro de la sección son muy pequeñas respecto a los niveles totales. Se observa que en los puntos 1, 2 y 3 existen reglas fijas en el canal desde las que se pueden tomar medidas. Sin embargo, en el punto 4 no hay una regla fija, por lo que se toman colocando una regla de forma manual. Por otro lado, en el tramo previo al resalto los calados pueden ser inferiores a 3 cm, por lo que también en este tramo se hace uso de una regla para medir algunos niveles. Durante las pruebas de laboratorio se realizan vídeos y fotografías con una cámara réflex Canon EOS 600D, con 18 megapíxeles de resolución y grabación de vídeos en Full HD. Esta documentación permite el posterior análisis de los datos que no se han podido tomar en laboratorio hacieno uso del programa de análisis de imágenes ImageJ (software libre perteneciente al National Institutes for Health, US). Los niveles se miden con una mayor precisión en las zonas en las que la lámina aparece poco perturbada, principalmente en la zona previa al vertedero tanto en transitorio como en estacionario y en todas las zonas en los primeros compases del transitorio. Una vez que el flujo es agitado, con lámina irregular y muchas ondas superficiales, la toma de medidas se complica por las oscilaciones de la lámina. De este modo, las precisiones que se tienen en cuanto a la medida de nivel son las siguientes:  Con lámina plana: Precisión de 1 mm.  Con lámina alterada: Se toma nivel medio con precisión de entre 5 y 10 mm, dependiendo del estado del flujo. Figura 4-5. Zonas con lámina tranquila y lámina alterada por efectos turbulentos. Zona con lámina alterada.Menor precisión en la toma de niveles. Zona con lámina plana.Mayor precisión en la toma de niveles. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 49 4.4. Diseño del vertedero Creager Como ya se ha comentado con anterioridad, el vertedero Creager se ha diseñado para este estudio, ejecutándose por parte de los técnicos de taller del laboratorio. El material utilizado es PVC. Por las medidas del canal de ensayos se decide que el vertedero tenga una altura de 15 cm, de tal modo que los fenómenos causados en el flujo por el obstáculo queden bien encuadrados en la parte vista del canal. Así, se multiplica la curva completa de Creager por el factor que hace que su altura sea de 15 cm. La carga de diseño resultante es de 2.4 cm. Tabla 4–1. Perfil Creager de diseño. Hd (cm) 2.4 X (cm) Y (cm) 0.000 0.304 0.241 0.087 0.482 0.017 0.723 0.000 0.965 0.017 1.447 0.145 1.929 0.342 2.412 0.620 2.894 0.957 3.376 1.363 4.100 2.098 4.823 2.942 6.029 4.727 7.235 6.801 8.441 9.212 9.646 11.889 10.852 15.000 Figura 4-6. Perfil Creager de diseño. De cara a la ejecución de la pieza, que se realiza por control numérico, los 17 puntos de los que consta la curva tabulada no son suficientes para obtener un perfil suave. Por ello, se utiliza el programa comercial AutoCAD® para aplicar un spline a la curva y definirla de modo mucho más suave. Una vez dibujado el perfil en AutoCAD ® se ha realizado el modelado en 3D del vertedero dividido por piezas con el software Solid Edge ®. Este modelado es el que se utiliza para ejecutar las diferentes piezas por control numérico, usando PVC como material base. El ancho del vertedero se establece para que quede encajado en el canal y se colocan juntas de neopreno en el contacto vertedero-pared. En las siguientes figuras se muestra el vertedero utilizado: -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 -4 -2 0246810 12 Y (cm) X (cm) Hd Pruebas experimentales en laboratorio 50 Figura 4-7. Vertedero utilizado para los ensayos experimentales. 4.5. Datos obtenidos en las pruebas experimentales por observación directa Como se ha comentado anteriormente, los datos tomados en laboratorio son los niveles en función del tiempo en cuatro puntos del canal. En la siguiente tabla se indican los valores obtenidos. Tabla 4–2. Tipos de transmisión y frecuencia central Punto 1 (entrada) Punto 2 Punto 3 Punto 4 (salida) X (m) -0.25 X (m) 0.35 X (m) 1 X (m) 2 t (s) h (m) t (s) h (m) t (s) h (m) t (s) h (m) 0 0.170 0 0.170 0 0.170 0 0.170 11 0.175 7 0.160 7 0.160 4 0.160 17 0.18 11 0.150 12 0.150 10 0.150 21 0.185 16 0.140 16 0.140 15 0.140 26 0.190 18 0.130 20 0.130 19 0.130 31 0.195 21 0.120 24 0.120 22 0.120 38 0.200 24 0.110 28 0.110 26 0.110 50 0.205 27 0.100 31 0.100 29 0.100 70 0.205 30 0.090 35 0.090 32 0.090 35 0.080 40 0.080 36 0.080 41 0.020 43 Resalto14 42 0.085 70 0.020 70 0.020 70 0.085 En la tabla se indican variaciones en rangos de 5 o 10 mm, lo que hace que los intervalos temporales sean variables entre unos puntos y otros. No obstante, se tienen vídeos tomados en laboratorio en los que se pueden medir los niveles en cualquier instante de tiempo. Este material grabado se utiliza más adelante cuando se hacen cálculos para intervalos fijos de tiempo. 14 El punto 3 de medidas queda dentro de la zona de resalto durante parte de la simulación. Las oscilaciones son demasiado altas para tomar medidas fiables a partir del segundo 40 y hasta que el resalto termina de pasar unos 30 segundos después. Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 51 Figura 4-8. Niveles medidos en los cuatro puntos de control. Los niveles tardan entre 40 y 50 segundos en estabilizarse, tras lo que permanecen aproximadamente constantes, salvo por las oscilaciones de la lámina de agua. Conforme la bomba se va poniendo en funcionamiento, el nivel baja rápidamente en la salida y se eleva a un ritmo más lento en la entrada. En la zona intermedia se comienza a formar la caída en el vertedero, la zona de flujo supercrítico después de éste y el resalto hidráulico en el que el flujo vuelve a estado supercrítico. En un principio el resalto aparece justo aguas abajo del vertedero, para ir alejándose posteriormente de forma progresiva. Finalmente, tras aproximadamente 60 segundos, se estabiliza a una distancia del vertedero que oscila entre 1 (laterales del canal) y 1.2 metros (parte central). En las figuras de la página siguiente se puede observar todo el proceso mediante fotogramas espaciados 10 segundos, comenzando en el instante inicial y terminando en t = 70 s, cuando ya se ha alcanzado la situación estacionaria. Figura 4-9. Desarrollo del experimento mostrado con fotogramas cada 10 segundos, desde t = 0 s hasta t = 70 s. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 010 20 30 40 50 60 70 h (m) t (s) Punto 1 (entrada) Punto 2 Punto 3 Punto 4 (salida) t=0 s t=10 s t=20 s t=30 s t=60 s t=50 s t=40 s t=70 s Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 53 4.6. Cálculos derivados de los datos experimentales A partir de las observaciones realizadas en laboratorio se pueden extraer otros valores muy útiles para el estudio del problema y su modelización numérica. El primer valor fundamental que se calcula es el caudal en cada momento, utilizando la literatura sobre el perfil Creager expuesta en el capítulo 3. Una vez obtenido el caudal y conociendo el calado se pueden obtener otros datos importantes como la velocidad media en la sección, el número de Froude y el número de Reynolds en cada parte del canal. Caudal El caudal sobre el vertedero se calcula para cada uno de los niveles medidos en el punto 1. El cálculo se realiza de forma iterativa en base a la fórmula ya expuesta en capítulos anteriores: 𝑄𝑄=𝐶𝐶𝑖𝑖·𝑐𝑐·�ℎ0+𝑄𝑄2 2𝑔𝑔𝑐𝑐2ℎ12�3/2 (4–1) En este caso concreto: 𝐶𝐶𝑖𝑖 Coeficiente de descarga a estimar en función del valor base para perfil Creager y de las posibles variaciones por diferentes factores. 𝑐𝑐 = 0.3 𝑐𝑐 . Es la anchura del canal ℎ0 =ℎ𝑃𝑃1−0.15 𝑐𝑐 : Altura geométrica sobre vertedero, que se toma como la altura medida en el punto 1 (ℎ𝑃𝑃1) menos la altura de vertedero (15 cm). ℎ1 =ℎ𝑃𝑃1 : Calado de aproximación al vertedero Para calcular el coeficiente de descarga en cada instante se analizan las afecciones expuestas en el capítulo anterior: A. Carga hidráulica diferente a la de diseño. Para estimar la afección del funcionamiento con una carga hidráulica diferente a la de diseño es necesario, en primer lugar, conocer la carga hidráulica sobre vertedero. Dado que el caudal aún no está determinado, se asume que 𝐻𝐻𝑓𝑓~ℎ015. La curva dada por el USBR para estimar la variación de 𝐶𝐶𝑖𝑖 llega hasta un valor de 𝐻𝐻𝑓𝑓/𝐻𝐻𝑖𝑖= 1.6, lo que hace necesario extrapolar la curva hasta un valor de 𝐻𝐻𝑓𝑓/𝐻𝐻𝑖𝑖= 2.3, máximo valor que se da en el experimento. En el gráfico inferior se muestra el valor del coeficiente de descarga en función de la altura sobre vertedero de la lámina de agua. B. Sumersión del vertedero. La afección de la sumersión se mide en función grado de sumersión (ℎ𝑖𝑖2/𝐻𝐻𝑓𝑓), siendo ésta despreciable cuando el parámetro es mayor de 0.7. Como se muestra más adelante, el valor del parámetro siempre es mayor de 0.7, por lo que no se considera afección por sumersión. Suponiendo que las pérdidas en el paso por el vertedero son despreciables, se toma ℎ𝑖𝑖2= ℎ𝑃𝑃1−ℎ𝑃𝑃2. C. Interferencia de la plataforma de descarga. Esta interferencia pasa a ser despreciable cuando el valor de (ℎ𝑖𝑖2+ℎ2)/𝐻𝐻𝑓𝑓 supera 1.4, siendo ℎ2=ℎ𝑃𝑃2. Al igual que en el caso anterior, se calcula que en este experimento la plataforma de descarga no interfiere en el coeficiente de descarga. Por tanto, el único factor que modifica el valor base del coeficiente de descarga es la altura de la lámina de 15 Se estima que esta hipótesis es válida cuando la altura de vertedero (𝑠𝑠= 0.15 𝑐𝑐) es mayor que 1.33·ℎ0 [6], condición que se cumple para todos los valores de ℎ0 que se estudian. Pruebas experimentales en laboratorio 54 aproximación. En base a esto, se incluye en el siguiente gráfico el valor estimado de 𝐶𝐶𝑖𝑖 en función de la altura de la lámina (ℎ0). Como ya se expueso anteriormente, el valor base 𝑪𝑪𝒅𝒅𝟎𝟎=𝟐𝟐.𝟏𝟏 en vertederos Creager. Figura 4-10. Valor del coeficiente de descarga en función de la altura sobre vertedero. Tabla 4–3. Variación del coeficiente de descarga estimado. Sumersión Plataforma Hr≠Hd t hP1 (m) H r (~h 0 ) (m) hP2 (m) h d2 (m) hd2/Hr C dr / Cd0 (h P2 +h d2 )/ Hr C dr / Cd0 Hr/ Hd C dr / Cd0 Cdr 0 0.170 0.020 0.170 0 0.00 0.00 8.50 0.00 0.833 0.0000 0.000 11 0.175 0.025 0.154 0.021 0.84 1.00 7.00 1.00 1.042 1.0050 2.111 17 0.180 0.030 0.134 0.046 1.53 1.00 6.00 1.00 1.250 1.0300 2.163 21 0.185 0.035 0.120 0.065 1.86 1.00 5.29 1.00 1.458 1.0544 2.214 26 0.190 0.040 0.100 0.090 2.25 1.00 4.75 1.00 1.667 1.0738 2.255 31 0.195 0.045 0.090 0.105 2.33 1.00 4.33 1.00 1.875 1.0851 2.279 38 0.200 0.050 0.060 0.140 2.80 1.00 4.00 1.00 2.083 1.0936 2.297 50 0.205 0.055 0.020 0.185 3.36 1.00 3.73 1.00 2.292 1.0976 2.305 Una vez obtenidos los diferentes valores del coeficiente de descarga para una serie de valores temporales (aquellos en los que se tomaron variaciones de 5 mm en ℎ𝑃𝑃1), se calcula el caudal sobre el vertedero en estos instantes con la fórmula (4-1), siendo ℎ0=ℎ𝑃𝑃1−0.15 𝑐𝑐, ℎ1=ℎ𝑃𝑃1 y 𝑐𝑐= 0.3 𝑐𝑐. Tabla 4–4. Caudal experimental sobre vertedero. t h0 (m) h1 (m) Cdr Q (m3/s) Q (l/s) 0 0.02 0.17 0.000 0.0000 0.00 11 0.025 0.175 2.111 0.0025 2.52 17 0.03 0.18 2.163 0.0034 3.41 21 0.035 0.185 2.214 0.0044 4.41 26 0.04 0.19 2.255 0.0055 5.51 31 0.045 0.195 2.279 0.0067 6.67 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 00.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Cdr h0(m) 55 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager t h0 (m) h1 (m) Cdr Q (m3/s) Q (l/s) 38 0.05 0.2 2.297 0.0079 7.91 50 0.055 0.205 2.305 0.0092 9.20 A partir de los valores anteriores en 8 puntos se obtiene una función 𝑄𝑄𝑐𝑐(𝑡𝑡) que se ajusta a las mediciones en la fase estacionaria. Se estima adecuada la curva de orden 3, que alcanza un valor de 𝑹𝑹𝟐𝟐=𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟖𝟖. Dado que los caudales son pequeños, la curva se expresa en litros por segundo. Figura 4-11. Caudal estimado sobre vertedero Por tanto, se obtiene una función temporal que proporciona el caudal sobre vertedero durante la fase transitoria. Una vez estabilizados los niveles se toma caudal constante. �𝑡𝑡<50 𝑓𝑓 → 𝑄𝑄(𝑠𝑠/𝑓𝑓) = −5.09𝐸𝐸−05𝑡𝑡3+ 2.67𝐸𝐸−03𝑡𝑡2+ 1.77𝐸𝐸−01𝑡𝑡+ 5.61𝐸𝐸−02 𝑡𝑡≥50 𝑓𝑓 → 𝑄𝑄(𝑠𝑠/𝑓𝑓) = 9.2 (4–2) Para los siguientes cálculos, en los que es necesario tener un valor de caudal en cada uno de los puntos de control, se asume que el caudal calculado mediante esta expresión es válido para todas las secciones y no sólo para la sección sobre el vertedero, ya que no se dispone de más puntos de medida de caudal. Esta simplificación es correcta en situación estacionaria, en la que el caudal debe ser el mismo en todas las secciones. Sin embargo, en la etapa transitoria el caudal varía lo largo del canal (ver apartado 2.2.1 sobre continuidad). Velocidad media, energía, 𝑭𝑭𝒓𝒓 y 𝑹𝑹𝒄𝒄 Una vez obtenido un caudal, es posible calcular distintos valores de interés. Los más importantes son: 𝑉𝑉=𝑄𝑄 𝑢𝑢 Velocidad media en la sección, siendo 𝑢𝑢 el área de la misma. 𝐻𝐻=ℎ+𝑉𝑉2 2𝑔𝑔 Energía total en un punto tomando como referencia de alturas la base del canal horizontal. 𝐹𝐹𝑓𝑓=𝑉𝑉 �𝑔𝑔ℎ Número de Froude. Clasifica el flujo en subcrítico o lento (𝐹𝐹𝑓𝑓< 1) , crítico (𝐹𝐹𝑓𝑓= 1) y supercrítico o rápido (𝐹𝐹𝑓𝑓> 1) . Q (l/s) = -5.090E-05t3+ 2.672E-03t2+ 1.770E-01t + 5.609E-02 R² = 0.998 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 010 20 30 40 50 60 Q (l/s) t (s) Caudal experimental sobre vertedero Pruebas experimentales en laboratorio 56 𝑅𝑅𝑅𝑅=𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷ℎ 𝜇𝜇 Número de Reynolds. Nótese que se toma el diámetro hidráulico como longitud característica. Con esta dimensión característica se estima que la zona de transición entre flujo laminar y turbulento se encuentra en el rango 500 ÷2000 [3], [4]. En adelante se incluyen los cálculos de estos valores desde el inicio del transitorio hasta que se alcanza el estado estacionario a los, aproximadamente, 60 segundos. A partir del segundo 40 y en adelante el punto de medida número 3 queda dentro de la longitud del resalto, lo que hace imposible una toma de niveles en el mismo. A continuación se incluyen los valores y gráficos de la variación de los parámetros en estudio a lo largo del tiempo en cada uno de los puntos de medida. 4.6.2.1 Velocidad media Tabla 4–5. Velocidad media en función del tiempo en los puntos de medida. t (s) VP1 (m/s) V P2 (m/s) V P3 (m/s) V P4 (m/s) 0 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0.019 0.020 0.021 0.021 10 0.039 0.044 0.045 0.045 15 0.059 0.076 0.074 0.075 20 0.077 0.116 0.109 0.111 25 0.095 0.164 0.151 0.159 30 0.110 0.237 0.203 0.223 35 0.123 0.306 0.267 0.306 40 0.135 1.359 0.340 0.320 45 0.144 1.446 - 0.345 50 0.150 1.533 - 0.361 55 0.150 1.533 - 0.361 70 0.150 1.533 1.533 0.361 Figura 4-12. Velocidad media en función del tiempo en los puntos de medida Se observa que la velocidad va aumentando progresivamente en todos los puntos conforme la bomba arranca. La zona previa al vertedero (P1) es donde la velocidad permanece más baja, mientras que en la corriente que se crea a los pies del mismo (P2) es donde se alcanzan mayores velocidades. 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 010 20 30 40 50 60 70 V (m/s) t (s) V1 (m/s) V2 (m/s) V3 (m/s) V4 (m/s) 57 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 4.6.2.2 Energía La energía se mide tomando el fondo del canal como cota cero. Al ser un canal horizontal, la energía horizontal y la energía específica son equivalentes. Tabla 4–6. Energía en función del tiempo en los puntos de medida. t (s) HP1 (m) HP2 (m) HP3 (m) HP4 (m) 0 0.170 0.170 0.170 0.170 5 0.171 0.167 0.162 0.158 10 0.175 0.155 0.152 0.150 15 0.179 0.138 0.142 0.140 20 0.184 0.123 0.131 0.128 25 0.189 0.110 0.119 0.113 30 0.194 0.093 0.107 0.098 35 0.199 0.085 0.095 0.085 40 0.203 0.114 0.086 0.090 45 0.205 0.129 - 0.091 50 0.206 0.140 - 0.092 55 0.206 0.140 - 0.092 70 0.206 0.140 0.140 0.092 Figura 4-13. Energía en función del tiempo en los puntos de medida Se observan dos pérdidas de carga importantes:  Paso por el vertedero: En el paso por el vertedero se produce una importante pérdida de carga, que en situación estacionaria supone una reducción de la energía total de más del 30% (𝐻𝐻𝑃𝑃1= 0.206 𝑐𝑐 → 𝐻𝐻𝑃𝑃2= 0.140 𝑐𝑐).  Resalto: También en el resalto se observa una pérdida de carga considerable. En situación estacionaria se pasa de 𝐻𝐻𝑃𝑃3= 0.140 𝑐𝑐 a 𝐻𝐻𝑃𝑃4= 0.092 𝑐𝑐, reduciéndose la energía en un 34% (~0.05 𝑐𝑐). 4.6.2.3 Número de Froude El número de Froude (𝐹𝐹𝑓𝑓) marca el régimen en que se desarrolla el flujo en cada tramo del canal: subcrítico, crítico o supercrítico. 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 010 20 30 40 50 60 70 H (m) t (s) H1 (m) H2 (m) H3 (m) H4 (m) Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 64 Desde los años 60 la industria aeroespacial ha ido introduciendo el uso de CFD en el diseño de aeronaves y motores de reacción. Posterirmente se han aplicado al diseño de motores de combustión interna, turbinas de gas, etc. De este modo, las técnicas CFD se han ido instalando progresivamente en el diseño de productos y procesos industriales. No obstante, el gran coste computacional que conlleva ha ralentizado la expansión y consolidación de las técnicas CFD. En los últimos años, la disponibilidad de sistemas informáticos suficientemente potentes y la introducción de softwares con interfaz amigable han conducido a la expansión definitiva de estas técnicas desde los años 90. En los últimos años, especialmente desde inicios de siglo, también se han empezado a aplicar en el campo de la ingeniería civil, resolviendo problemas típicos de hidráulica como el vertido por los aliviaderos de una presa o el flujo bajo compuertas. Sin emgargo, hasta hace pocos años sólo se llevaban a cabo estudios a nivel de investigación. Algunos ejemplos son los estudios llevados a cabo por Unami et al. en 1999 [12], Savage y Johnson en 2001 [11], Ho et al. en 2003 [13], Dargahi en 2006 [6], Turan et al. en 2008 [14], Morales et al. en 2012 [15], o Bhate et al. [16] en 2015. Método de los volúmenes finitos El método de resolución numérica que utiliza Fluent es el Método de los Volúmenes Finitos (MVF). De forma resumida, el MVF se basa en los siguientes puntos:  El dominio se discretiza en una serie de volúmenes de control más pequeños. Figura 5-1. Discretización de una tubería.  En cada volumen de control se resuelven las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento, energía, etc., siendo la expresión general de todas ellas la siguiente: 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 �𝜌𝜌𝜌𝜌𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑉𝑉 � � � � � � � 𝑇𝑇é𝑓𝑓𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑓𝑓𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑜𝑜𝑓𝑓𝑠𝑠𝑜𝑜 +�𝜌𝜌𝜌𝜌𝑽𝑽·𝑔𝑔𝑨𝑨 𝐴𝐴 � � � � � � � � � 𝑇𝑇é𝑓𝑓𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑓𝑓𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠𝑐𝑐𝑜𝑜 =� Γ 𝜙𝜙 ∇𝜌𝜌·𝑔𝑔𝑨𝑨 𝐴𝐴 � � � � � � � � � 𝑇𝑇é𝑓𝑓𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑐𝑐 +�𝑆𝑆 𝜙𝜙 𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑉𝑉 � � � � � 𝑇𝑇é𝑓𝑓𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑐𝑐 (5–1) Según la ecuación, la variable 𝜌𝜌 toma diversos valores: Ecuación Variable (𝝓𝝓) Continuidad 1 Cantidad de movimiento en X 𝑓𝑓 Cantidad de movimiento en Y 𝑣𝑣 Volumen de control 65 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Cantidad de movimiento en Z 𝑤𝑤 Energía ℎ Siendo: 𝜌𝜌 Densidad. Γ𝜙𝜙 Constantes de difusión. 𝑆𝑆𝜙𝜙 Términos fuente.  Las de ecuaciones diferenciales se discretizan en un sistema de ecuaciones algebraicas.  Todas las ecuaciones algebraicas se resuelven numéricamente hasta obtener el campo solución. Esquema general de trabajo El esquema de trabajo que se sigue con las técnicas CFD y, por tanto el que se sigue en este estudio, está muy definido: A lo largo de los siguientes apartados se van desarrollando los diferentes puntos de este equema general. 5.2. Identificación del problema Los objetivos que se marcan para el modelo numérico están estrechamente relacionados con los resultados Identificación del problema 1. Definición de objetivos 2. Identificación del dominio Preproceso 3. Geometría 4. Malla 5. Física del problema 6. Ajustes del solver Resolución 7. Resolución computacional Posproceso 8. Resolución computacional 9. Actualización del modelo Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 66 obtenidos en laboratorio. Así, se busca una simulación que proporcione, tanto en régimen transitorio como estacionario, las siguientes variables:  Nivel.  Velocidad.  Caudal. Fluent permite consultar estos valores tanto de manera media en una sección como en un punto concreto. Para comparar resultados con los obtenidos en laboratorio se tomarán valores medios en las secciones de medida. A partir de los valores medios en la sección se puede calcular el valor de los números adimensionales estimados en laboratorio: 𝐹𝐹𝑓𝑓 y 𝑅𝑅𝑅𝑅. Además, al haberse realizado un modelo 3D, se analizarán si se dan los efectos tridimensionales nombrados en el apartado 4.7. El dominio del modelo se corresponde con la parte vista del canal de ensayos. El vertedero se coloca 0.5 metros aguas abajo de la entrada al canal y 2 metros aguas arriba de la salida. En primer lugar se desarrolla el modelo en 2 dimensiones, ya que el coste computacional del modelo tridimensional es demasiado alto para llevar a cabo en él todo el proceso de prueba y error. Una vez que el modelo numérico bidimensional está ajustado se da el paso a 3D. 5.3. Geometría y mallado Tanto el desarrollo de la geometría como el del mallado se realizan utilizando los módulos que dispone para ello la plataforma Ansys®: Design Modeler para la geometría y Mesh para el mallado. Geometría En primer lugar se desarrolla la geometría plana del lateral del canal. Esta geometría se basa en un rectángulo con las dimensiones del canal al que se le substrae la geometría del vertedero. La introducción del vertedero se realiza por puntos. Figura 5-2. Plano base de la geometría del problema. Las dimensiones del rectángulo base con las siguientes:  2.5 metros de largo: se sitúa la entrada 0.5 m por detrás del vertedero y la salida 2 m por delante del mismo.  0.26 m de alto: se establece por compromiso entre los siguientes dos aspectos: o Cuanto más alto sea el modelo, más celdas en las que resolver el problema y más necesidad de recursos computacionales. 67 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager o Un “techo” situado muy cerca de la lámina libre puede suponer un problema de convergencia. Por tanto, se trata de alejar en la medida de lo posible las entradas y salidas de fluido (el “el techo” es una entrad/salida de aire) de las zonas relevantes del problema. Una vez dibujado el plano, la figura se extiende (extrude) a todo lo ancho del canal (0.3 m) para crear el modelo geométrico en 3 dimensiones. Figura 5-3. Geometría del modelo numérico. Mallado La malla divide la geometría en muchos elementos, los cuales se usan para construir los distintos volúmenes de control. A la hora de mallar hay dos aspectos fundamentales a tener en cuenta: la precisión de resultados requerida en cada zona y los recursos computacionales disponibles. Fluent dispone de seis tipos de elementos de mallado: dos para mallas 2D y cuatro para mallas 3D. Prism Figura 5-4. Esto es el pie de la figura. El proceso para generar la malla adecuada ha sido de fallo y error, con varias pruebas tanto en el primer modelo 2D como en el segundo en 3D. Fluent recomienda diferentes tipos y configuraciones de elementos según el problema y su geometría [17]: Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 68 A. Geometrías alineadas con el flujo:  Elementos de tipo quad/hex pueden proporcionar soluciones de mayor calidad con menor cantidad de celdas, en comparación con los de tipo tri/tet.  Las mallas de tipo quad/hex muestran una difusión numérica reducida cuando la malla está alineada con el flujo (estructurada).  El esfuerzo para generar una malla de tipo quad/hex es mayor que para generar las de tipo tri/tet. Figura 5-5. Malla estructurada. B. Geometrías complejas:  En geometrías muy complejas es imposible generar una malla estructurada (alineada con el flujo).  En estos casos se puede ahorrar esfuerzos recurriendo a mallas del tipo tri/tet o híbridas.  Fáciles de generar. Figura 5-6. Malla híbrida. Figura 5-7. Malla no estructurada. Como se ha dicho anteriormente, el proceso de generación de la malla ha sido de prueba y error. Se incluyen aquí los principales tipos de malla que se han probado. En todos ellos se han realizado numerosas pruebas incluyendo variaciones menores. En primer lugar se optó por una malla estructurada que siguiese en la medida de lo posible la dirección del flujo, aplicando refinamientos en las zonas críticas y dejando elementos más amplios en las zonas alejadas del vertedero. Sin embargo, la dirección del flujo es cambiante durante el transitorio, por lo que el flujo no se alinea con la malla en ciertas fases de cálculo. Por otro lado, la brusca transición de la malla a la salida del vertedero supone una zona crítica. Las pruebas realizadas con esta malla y pequeñas modificaciones de la misma no han sido satisfactorias. 69 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Figura 5-8. Malla 1. En la segunda malla se trató de aislar la zona con direcciones de flujo más cambiantes para establecer en ella una malla del tipo tet/hex, como se muestra en la figura inferior. No obstante, esta malla requiere de elementos muy pequeños en la zona central, lo que dificulta en gran medida el cumplimiento de la condición de Courant (ver apartado 5.5.1). Las pruebas realizadas con este tipo de malla han tenido como resultado cálculos muy inestables en los que no ha sido posible alcanzar la convergencia. Figura 5-9. Malla 2. Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 70 Finalmente, se opta por una malla híbrida de generación automática bajo las siguientes restricciones que aparecen en el siguiente cuadro. Figura 5-10. Características de la malla. Figura 5-11. Malla de cálculo. La tipología de malla es muy similar a otras utilizadas en estudios similares. Sirva de ejemplo la imagen inferior en la que se muestran las mallas de cálculo utilizadas en [15]: 71 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Figura 5-12. Mallas de cálculos utilizadas en un estudio similar [15]. Esta malla ha dado resultados satisfactorios y estables, con la precisión que se requiere y un buen grado de convergencia. 5.3.2.1 Características de la malla de cálculo Como indicadores de calidad se han utilizado los siguientes parámetros de la malla que proporciona Fluent: A. Calidad ortogonal (orthogonal quality) Se define como el mínimo de los siguientes dos productos escalares normalizados: 𝑢𝑢𝚤𝚤 � � �  ·𝑓𝑓𝚤𝚤 � �  �𝑢𝑢𝚤𝚤 � � �  ��𝑓𝑓𝚤𝚤 � �  � (5–2) 𝑢𝑢𝚤𝚤 � � �  ·𝑖𝑖𝚤𝚤 � �  �𝑢𝑢𝚤𝚤 � � �  �|𝑖𝑖𝚤𝚤 � �  | (5–3) Siendo: 𝑢𝑢𝚤𝚤 � � �  Vector área de la cara 𝑖𝑖 𝑓𝑓𝚤𝚤 � �  Vector que va desde el centroide de la celda hasta el centroide de la cara 𝑖𝑖 . 𝑖𝑖𝚤𝚤 � �  Vector que va desde el centroide de la celda hasta el centroide de la celda adyacente que comparte la cara 𝑖𝑖. Figura 5-13. Vectores utilizados para calcular la calidad ortogonal El valor mínimo que se obtiene de las expresiones anteriores se define como la calidad ortogonal de la celda. Las peores celdas tendrán un valor de calidad ortogonal cercano a 0 y las mejores tendrán un valor cercano a 1. Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 72 B. Relación de aspecto (aspect ratio) La relación de aspecto es una medida para determinar lo alargada que es una celda. Se calcula como el ratio entre el mayor y el menor valor de las siguientes distancias: distancia normal entre el centroide de la celda y el centroide de las caras, y distancia entre el centroide de la celda y los nodos. Para flujos con una fuerte componente anisótropa, relaciones de aspecto muy altas pueden proporcionar buenos resultados con un menor número de celdas. En general, es mejor evitar grandes cambios en las relaciones de aspecto en zonas donde el flujo sufre grandes cambios o fuertes gradientes. En el problema que aquí se trata se podrían utilizar celdas muy alargadas en las zonas alejadas del vertedero, pero la transición hacia la zona del mismo resulta difícil de llevar a cabo. Además, otros fenómenos como el resalto hidráulico dificultan la posibilidad de utilizar celdas muy alargadas, por lo que se opta por celdas lo más cúbicas posibles. La relación de aspecto de un cubo es de 1.73. Figura 5-14. Cálculo de la relación de aspecto en una celda. C. Distorsión (skewness) La distorsión se mide como la diferencia entre la forma de la celda y la forma de una celda equilátera con volumen equivalente. Celdas muy distorsionadas pueden reducir la precisión y la estabilidad de la simulación. Por ejemplo, una malla óptima de cuadriláteros tendrá ángulos cercanos a los 90º, mientras que una malla triangular los tendrá cercanos a los 60º y todos los ángulos inferiores a 90º. La distorsión va de 0 a 1, siendo los valores cercanos a 1 los que proporcionan peores resultados y más dificultades de convergencia. Las características de la malla de cálculo se muestran en la siguiente tabla: Tabla 5–1. Características de la malla de cálculo Número de celdas 1.844.439 Minimum orthogonal quality 0.832 Maximum aspect ratio 3.02 Maximum Skewness 0.54 73 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 5.4. Física del problema En este punto se abarcan los siguientes aspectos que se han definido en el programa para llevar a cabo la simulación: 1. Propiedades físicas de los fluidos. 2. Modelos físicos utilizados. a. Modelo de turbulencia: modelo 𝑘𝑘−𝜀𝜀 b. Modelo multifase: VOF. 3. Condiciones de contorno. 4. Condiciones iniciales. Es conveniente expresar (aunque no se entrará en su demostración) las ecuaciones generales de gobierno de un problema completo para flujo newtoniano (tanto agua como aire se pueden considerar newtonianos). Estas ecuaciones se obtienen al sustituir los valores correspondientes en la ecuación (5-1): Continuidad 𝜕𝜕𝜌𝜌 𝜕𝜕𝑡𝑡+∇·(𝜌𝜌𝒅𝒅)= 0 (5–4) Cantidad de movimiento (x) 𝜕𝜕(𝜌𝜌𝑓𝑓) 𝜕𝜕𝑡𝑡 +∇·(𝜌𝜌𝑓𝑓𝒅𝒅)=−𝜕𝜕𝑠𝑠 𝜕𝜕𝑑𝑑+∇·(𝜇𝜇∇𝑓𝑓)+𝑆𝑆𝑀𝑀𝑥𝑥 (5–5) Cantidad de movimiento (y) 𝜕𝜕(𝜌𝜌𝑣𝑣) 𝜕𝜕𝑡𝑡 +∇·(𝜌𝜌𝑣𝑣𝒅𝒅)=−𝜕𝜕𝑠𝑠 𝜕𝜕𝑑𝑑+∇·(𝜇𝜇∇𝑣𝑣)+𝑆𝑆𝑀𝑀𝑦𝑦 (5–6) Cantidad de movimiento (z) 𝜕𝜕(𝜌𝜌𝑤𝑤) 𝜕𝜕𝑡𝑡 +∇·(𝜌𝜌𝑤𝑤𝒅𝒅)=−𝜕𝜕𝑠𝑠 𝜕𝜕𝑓𝑓+∇·(𝜇𝜇∇𝑤𝑤)+𝑆𝑆𝑀𝑀𝑓𝑓 (5–7) Energía 𝜕𝜕(𝜌𝜌ℎ) 𝜕𝜕𝑡𝑡 +∇·(𝜌𝜌ℎ𝒅𝒅)=−𝑠𝑠∇·𝒅𝒅+∇·(𝑘𝑘∇𝑇𝑇)+Φ+𝑆𝑆ℎ (5–8) Ecuación de estado 𝑠𝑠=𝑠𝑠(𝜌𝜌,𝑇𝑇),ℎ=ℎ(𝜌𝜌,𝑇𝑇) (5–9) Donde, además de la presión (𝑠𝑠), densidad (𝜌𝜌), viscosidad (𝜇𝜇), y tiempo (𝑡𝑡), aparecen: 𝒅𝒅 = (𝑓𝑓,𝑣𝑣,𝑤𝑤) : Vector velocidad. 𝑆𝑆 Términos fuentes. ℎ Energía específica interna. 𝑇𝑇 Temperatura. 𝑘𝑘 Constante de difusión de temperatura. Φ =Φ(µ) : Función de disipación por efectos viscosos. Nótese que todas las simulaciones se realizan a temperatura constante y homogénea, por lo que ésta no influye en los cálculos. La notación utilizada es la que aparece en [18], que es la misma que aparece en los manuales de Fluent. Propiedades físicas de los fluidos Se han establecido las propiedades físicas del agua y el aire en condiciones de 1 atmósfera de presión y Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 80 • La primera celda debe tener un tamaño alrededor de 𝑑𝑑+= 1. • Este hecho implica un número mucho mayor de celdas de cálculo. • Se deben usar modelos de turbulencia para bajo número de Reynolds (como el 𝑘𝑘−𝜔𝜔). • En general, se toma esta opción cuando las fuerzas en las paredes son claves en el problema.  Usar un modelo de pared: • La primera celda debe estar en el entorno de 30 <𝑑𝑑+<300. • Se utilizan con modelos de alto número de Reynolds (𝑘𝑘−𝜀𝜀). • En general, se toma esta opción cuando el interés de la simulación reside más en zonas del centro del dominio que en las zonas cercanas a las paredes. Para esta simulación, en la que el análisis de la capa límite y de las presiones sobre las paredes no es el objetivo primordial, se decide utilizar el modelo de pared para contener el coste computacional. Además, esta opción va acorde al modelo de turbulencia empleado. 5.4.2.2 Modelo multifase: Volume of Fluid (VOF) Uno de los objetivos principales de este estudio es el cálculo de la posición de la superficie libre en cada momento. Ello implica tres partes: situar la superficie, definirla como una fina interfase entre agua y aire, y aplicar condiciones de contorno a esta interfase. El modelo que se ha utilizado para resolver la superficie libre y la interacción agua-aire es el llamado Volumen de Fluido (Volume of Fluid, VOF), descrito principalmente por Nichols y Hirt en los trabajos [20], [21] y [22]. La formulación VOF parte de la hipótesis de que dos o más fluidos (fases) son inmiscibles. Así, además de las ecuaciones generales del flujo, se plantea una ecuación que estima la fracción de llenado de cada volumen de control. Por cada fase adicional que se agrega al modelo se incluye una variable 𝑖𝑖 que corresponde a la fracción de volumen de la fase en la celda de cálculo. En cada celda, la suma de las fracciones debe ser igual a 1. Los campos y las propiedades de todas las variables son comunes para toda la celda, y representan valores de volumen promediado. Así, en cada celda, las variables y propiedades pueden corresponder a una única fase o a la mezcla de más de una si la celda tiene un llenado parcial. El cálculo de la interfase entre las fases presentes (la lámina libre en este caso) se realiza a través de una ecuación de continuidad para la fracción volumétrica de una de las fases [23] (o más, si fuesen más de dos). Para la fase 𝑞𝑞: 1 𝜌𝜌𝑞𝑞�𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡�𝑖𝑖𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞�+∇·�𝑖𝑖𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑓𝑓𝑞𝑞 � � � �=𝑆𝑆𝑠𝑠𝑞𝑞+��𝑐𝑐󰇗𝑝𝑝𝑞𝑞−𝑐𝑐󰇗𝑞𝑞𝑝𝑝� 𝑐𝑐 𝑝𝑝=1 � (5–20) �𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑐𝑐 𝑞𝑞=1 = 1 (5–21) Los términos 𝑐𝑐󰇗𝑝𝑝𝑞𝑞 representan la trasnferencia de masa de la fase 𝑞𝑞 a la fase 𝑠𝑠, y 𝑐𝑐󰇗𝑞𝑞𝑝𝑝 lo contrario. Por defecto, los términos fuentes (𝑆𝑆𝑠𝑠𝑞𝑞) son iguales a 0. Teniendo esto en cuenta, y que la transferencia de masa entre aire y agua no debe darse, las ecuaciones (5-20) y (5-21) para el problema que aquí se estudia quedarían: 𝜕𝜕𝑖𝑖𝑡𝑡𝑔𝑔𝑓𝑓𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑡𝑡 +𝜕𝜕�𝑓𝑓𝚥𝚥 �𝑖𝑖𝑡𝑡𝑔𝑔𝑓𝑓𝑡𝑡� 𝜕𝜕𝑑𝑑𝑖𝑖= 0 (5–22) 81 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 0≤𝑖𝑖𝑡𝑡𝑔𝑔𝑓𝑓𝑡𝑡≤1 (5–23) Las propiedades de los materiales a aplicar en cada celda en las ecuaciones generales se calculan ponderando respecto a la fracción volumétrica de cada fase. A modo de ejemplo, en un sistema bifásico como el que se estudia, la densidad en la celda se calcularía como: 𝜌𝜌𝑠𝑠𝑓𝑓𝑢𝑢𝑖𝑖𝑡𝑡=𝑖𝑖𝑡𝑡𝑔𝑔𝑓𝑓𝑡𝑡·𝜌𝜌𝑡𝑡𝑔𝑔𝑓𝑓𝑡𝑡+�1−𝑖𝑖𝑡𝑡𝑔𝑔𝑓𝑓𝑡𝑡�·𝜌𝜌𝑡𝑡𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓 (5–24) Condiciones de contorno Las condiciones de contorno a aplicar son las siguientes:  Condición de contorno de la sección de entrada.  Condición de contorno de la sección de salida.  Condición de contorno del “techo” del modelo.  Condición de contorno en las paredes del canal y el vertedero. La condición a aplicar en las paredes es la rugosidad de las mismas. Dado que el canal es de vidrio y el vertedero de PVC, se decide que lo más razonable es trabajar con paredes lisas. Se tratan a continuación las condiciones de contorno en las secciones de entrada y salida del canal y en el “techo” del modelo. Figura 5-20. Zonas de entrada y salida de flujo en el modelo. A) Condiciones de contorno en la entrada. Al aplicar el modelo multifase VOF, Fluent permite activar el modo Open Flow para entradas de tipo pressure-inlet. Al activar este modo, se pueden establecer como condiciones de contorno tres parejas de parámetro diferentes: i. Calado y velocidad. Secciones de entrada y salida del flujo “Techo” del modelo. Entrada/salida de aire a presión atmosférica Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 82 ii. Carga hidráulica y velocidad. iii. Calado y carga hidráulica. En este caso se utiliza la primera opción, por lo que se proporcionan como condiciones de contorno el calado y la velocidad a la entrada. Por otro lado, es necesario determinar también las condiciones de turbulencia, que se pueden proporcionar de cuatro formas diferentes: i. 𝑘𝑘 y 𝜀𝜀. ii. Intensidad de turbulencia y longitud de escala. iii. Intensidad de turbulencia y ratio de viscosidades. iv. Intensidad de turbulencia y diámetro hidráulico. El manual de usuario de Fluent [17] incluye expresiones para la estimación de los parámetros de turbulencia nombrados anteriormente. Intensidad turbulenta 𝐼𝐼≡𝑓𝑓′ 𝑓𝑓�= 0.16 ·𝑅𝑅𝑅𝑅1/8 (5–25) Longitud de escala turbulenta 𝑠𝑠= 0.07 ·𝜌𝜌 (5–26) Ratio de viscosidades 𝜇𝜇𝑡𝑡 𝜇𝜇=𝜌𝜌 𝜇𝜇𝐶𝐶𝜇𝜇𝑘𝑘2 𝜀𝜀 (5–27) Energía cinética turbulenta 𝑘𝑘=3 2(𝑓𝑓�·𝐼𝐼)2 (5–28) Tasa de disipación 𝜀𝜀=𝐶𝐶𝜇𝜇3/4·𝑘𝑘3/2 𝑠𝑠 (5–29) La constante 𝐶𝐶𝜇𝜇 toma el valor del modelo estándar, que es de 0.09. Por su parte, 𝜌𝜌 es una longitud característica del problema, para la que en este caso se utiliza el diámetro hidráulico (𝐷𝐷ℎ), que también se emplea para el cálculo de 𝑅𝑅𝑅𝑅. Las condiciones de turbulencia que se imponen son 𝒌𝒌 y 𝜺𝜺. En la siguiente tabla se indican las condiciones de contorno en función del tiempo a aplicar en la sección de entrada del modelo, obtenidas a partir de los datos de laboratorio. A partir del último valor puntual las condiciones permanecen constantes. Tabla 5–5. Condiciones de contorno a la entrada. t (s) hP1 (m) vP1 (m/s) kP1(m 2 /s 2 ) 𝜀𝜀P1 (m 2 /s 3 ) 0 0.170 0.000 0 0 11 0.175 0.048 8.079E-06 1.668E-07 17 0.180 0.063 1.303E-05 3.372E-07 21 0.185 0.079 1.951E-05 6.105E-07 26 0.190 0.097 2.749E-05 1.009E-06 31 0.195 0.114 3.671E-05 1.539E-06 38 0.200 0.132 4.731E-05 2.228E-06 50 0.205 0.150 5.902E-05 3.072E-06 *El subíndice P1 hace referencia al punto de medida 1 (sección de entrada) A partir de estos datos puntuales se han creado funciones para describir el comportamiento de cada variable previamente a llegar a la zona estacionaria. En los siguientes gráficos se muestran las cuatro variables y sus respectivas funciones. 83 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Figura 5-21. Condiciones de contorno a la entrada. Dado que la interfaz de Fluent no permite la introducción de forma explícita de condiciones de contorno variables, ha sido necesario el desarrollo de ficheros en lenguaje C++ en los que se especificaran las funciones de cada condición de contorno. Estos ficheros se incluyen en Fluent como una función de tipo UDF (User Defined Function). B) Condiciones de contorno en la salida. La condición de contorno del tipo Open Flow a aplicar en la salida es el nivel de agua aguas abajo. En cuanto a los parámetros de turbulencia, igual que en el caso anterior, se emplean los valores de 𝑘𝑘 y 𝜀𝜀. Tabla 5–6. Condiciones de contorno a la salida. t (s) hP4 (m) kP4(m 2 /s 2 ) 𝜀𝜀P4 (m 2 /s 3 ) 0 0.170 0 0 4 0.160 1.2788E-06 1.096E-08 10 0.150 7.3248E-06 1.551E-07 y = -0.00000054x3+ 0.00003852x2+ 0.00012629x + 0.16988661 R² = 0.9989 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 010 20 30 40 50 60 hP1 (m) - t(s) y = -0.00002986x2+ 0.00453947x - 0.00075073 R² = 0.9967 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 010 20 30 40 50 60 vP1 (m/s) -t(s) y = -0.000000000732697x3+ 0.000000060403467x20.000000011466795x + 0.000000338337580 R² = 0.9985 0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006 0.00007 010 20 30 40 50 60 kP1 (m2/s2)-t(s) y = -0.000000000001544x4+ 0.000000000113624x30.000000000788869x2+ 0.000000009703092x + 0.000000003079401 R² = 0.9996 0 0.0000005 0.000001 0.0000015 0.000002 0.0000025 0.000003 0.0000035 010 20 30 40 50 60 εP1 (m2/s3) - t(s) Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 84 t (s) hP4 (m) kP4(m 2 /s 2 ) 𝜀𝜀P4 (m 2 /s 3 ) 15 0.140 1.7548E-05 5.957E-07 19 0.130 3.0970E-05 1.452E-06 22 0.120 4.6560E-05 2.797E-06 26 0.110 7.2939E-05 5.760E-06 29 0.100 1.0381E-04 1.034E-05 32 0.090 1.4650E-04 1.850E-05 36 0.080 2.1516E-04 3.550E-05 42 0.085 2.3664E-04 3.938E-05 Figura 5-22. Condiciones de contorno a la salida. C) Condiciones de contorno en el “techo” del modelo. El objetivo es que el límite superior del modelo tenga la mínima influencia posible sobre la simulación, de modo que no sea más que una superficie a presión atmosférica por la que el aire puede entrar y salir libremente. Se establece una salida de tipo pressure-outlet, en la que se define la presión y los valores de 𝑘𝑘 y 𝜀𝜀. La presión y = -2.99951E-09x5+ 4.34971E-07x4-1.97001E-05x3+ 3.19923E-04x2-3.66563E-03x + 1.70231E-01 R² = 0.9978 0.0000 0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 hP4 (m) - t (s) y = 7.08928E-09x3-1.32792E-07x2+ 1.58977E-06x -1.38652E-06 R² = 0.9995 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0 5 10 15 20 25 30 35 40 kP4 (m2/s2) - t(s) y = 8.51206E-11x4-3.66265E-09x3+ 5.59732E-08x2-2.57086E-07x + 1.02123E-07 R² = 0.9997 0 0.000005 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003 0.000035 0.00004 0 5 10 15 20 25 30 35 40 εP4 (m2/s3) - t(s) 85 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager se establece como 0 (presión atmosférica). En cuanto a los parámetros turbulentos, se toman del orden de magnitud obtenido para dichos parámetros en zonas interiores del modelo llenas de aire. El objetivo es no crear un escalón en estos parámetros, de modo que haya un cambio brusco entre el borde y el interior del modelo. Así, se establece 𝑘𝑘= 1 · 10−6 𝑐𝑐2/𝑓𝑓2 y 𝜀𝜀=1·10−8 𝑐𝑐2/𝑓𝑓3. Condiciones iniciales de la simulación Las condiciones iniciales que se establecen son las mismas que se dan en laboratorio. Esto es:  Fluido en reposo con un nivel de agua de 17 cm sobre la base del canal. Figura 5-23. Situación inicial de la simulación: fluido en reposo con el nivel de agua 17 cm sobre la base. 5.5. Ajustes del solver y criterios de convergencia Antes de iniciar los cálculos es importante establecer los métodos y esquemas numéricos a utilizar para la realización de los mismos, así como los criterios de convergencia que indiquen si la solución numérica es aceptable. Se exponen a continuación de manera sucinta las opciones tomadas para realizar los cálculos numéricos. Ajustes del solver El objetivo principal de los ajustes del solver es encontrar un compromiso entre estabilidad de la solución, convergencia de la misma y precisión en los resultados. El primer paso consiste en la elección del tipo de solver entre los disponibles en Fluent, que son básicamente dos:  Basado en presión. Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 86  Basado en densidad. Sin embargo, el modelo VOF sólo está disponible para el solver basado en presión, por lo que se emplea el llamado pressure-based. El esquema de trabajo del mismo se incluye en el siguiente diagrama: Figura 5-24. Esto es el pie de la figura. En el esquema de resolución pressure-based se toma la cantidad de movimiento y las presiones como las variables primarias, obteniendo a partir de ellas el resto de magnitudes. Se considera aplicable para un gran rango de problemas, desde velocidades bajas en flujos incompresibles hasta flujos compresibles a altas velocidades. Es el que requiere menos memoria y proporciona más flexibilidad en el procedimiento de resolución. Las ecuaciones generales se resuelven en el centro de las celdas, por lo que se necesita un procedimiento de interpolación para obtener los valores calculados en las caras de las celdas. Estos procedimientos se conocen como métodos de resolución o solution methods y dependen de la variable a interpolar. Se muestran a continuación los métodos de resolución utilizados para cada caso:  Variables de campo (cantidad de movimiento, velocidad, etc.): • Second-Order Upwind: Método de interpolación con precisión de segundo orden. Está muy recomendado para situaciones en las que el flujo no está alineado con la malla, como puede ser el caso. En general, la convergencia es más lenta que en los métodos de primer orden.  Gradientes: • Least-Squares Cell-Based: Es el método por defecto. Se considera el mejor compromiso entre precisión y coste computacional.  Presión: • Body Force Weight: Indicado para cuando las fuerzas de volumen son importantes. Tras 87 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager varias comprobaciones se decide utilizar este método.  Acoplamiento presión-velocidad: se trata del algoritmo numérico que usa una combinación de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para derivar una ecuación para la presión en los solvers de tipo pressure-based. • PISO (Pressure-Implicit with Splitting of Operators): Recomendado para flujos no transitorios o con mallas muy distorsionadas. Por otro lado, las ecuaciones que competen al modelo VOF se pueden resolver siguiendo un esquema implícito o un esquema explícito. Mientras que el implícito es un esquema más estable, el explícito proporciona una definición mucho más clara de la lámina libre. Figura 5-25. Resolución con esquema implícito (arriba) y explícito (abajo) El hecho de utilizar un esquema explícito es fundamental a la hora de definir el paso temporal de cálculo. Así, se opta por un paso temporal variable que se ajuste a una condición de Courant17 estricta de 0.8, de tal modo que que el paso sea tan grande como pueda (con un límite superior de 0.005 s) siempre que se cumpla esta condición. El límite de 𝐶𝐶≤0.8 se aplica de forma conservadora por debajo del límite ideal que sería 1, para buscar siempre un valor estable del parámetro. Por su parte, y tras muchas pruebas, se ha observado que si se permitía un paso temporal amplio (por ejemplo, 0.01 s) aunque cumpliese en ese instante la condición de Courant, implicaba posteriormente una inestabilidad del sistema, lo que ha llevado a establecer el límite superior de 0.005 segundos. El número de Courant (𝐶𝐶) es el cociente entre el intervalo de tiempo de cálculo y el tiempo de residencia del flujo en un volumen finito. En este caso se aplica un paso temporal tal que 𝐶𝐶≤0.8: 𝐶𝐶=Δ𝑡𝑡 Δ𝑑𝑑/𝑓𝑓=𝑓𝑓Δ𝑡𝑡 Δ𝑑𝑑≤0.8 (5–30) Donde Δ𝑡𝑡 es el paso de tiempo, Δ𝑑𝑑 es la longitud de la celda que atraviesa el flujo y u es la velocidad del flujo. 17 Richard Courant (1888-1972): Matemático alemán con importantes contribuciones a los métodos numéricos. Se doctoró bajo la supervisión del influyente matemático David Hilbert y fue a su vez mentor de importantes matemáticos del siglo XX como William Feller y Hans Lewy. Desarrollo del modelo numérico con técnicas CFD 88 Se comienza el cálculo con un paso de tiempo muy pequeño (Δ𝑡𝑡0=1·10−16) que rápidamente el programa ajusta hasta el mínimo entre el valor que satisface la condición de Courant impuesta y 0.05 s (mínimo impuesto). En cuanto a la de integración en el tiempo, se utiliza el esquema de integración no iterativo (Non-Iterative Time-Advancement Scheme, NITA). La idea en la que se basa este esquema es que no es estrictamente necesario reducir el error de fraccionamiento a cero para preservar la precisión global de la simulación, sino simplemente basta con hacerlo del mismo orden que el error de truncamiento. Se trata de un esquema que, si bien puede suponer más problemas de convergencia que los esquemas iterativos convencionales, es mucho más eficiente computacionalmente y está muy recomendado para cálculos no estacionarios. Criterios de convergencia En la mayoría de los casos, los criterios de convergencia que utiliza Fluent por defecto son suficientes [17]. Esto este caso, esto es que los residuos escalados de todas las ecuaciones alcancen un orden de magnitud en torno a 10-3. Por otro lado, es importante controlar el balance de caudales que entran y salen del modelo. En la fase inicial, en la que se produce un “vaciado” del canal, el caudal saliente debe ser mayor que el entrante. Poco a poco ambos caudales se deben ir igualando hasta ser prácticamente iguales en la fase estacionaria. 5.6. Recursos computacionales y tiempo computacional Para llevar a cabo las simulaciones se utiliza un cluster del Departamento de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos con las siguientes características: Tabla 5–7. Características del cluster utilizado CPU 2× Intel Xeon X5650 2.66 GHz, turbo hasta 3.06 GHz, 12 subprocesos RAM 120 GB Disco 220 GB En total, se han simulado 90 segundos con un tiempo computacional de 205 horas (8.54 días). Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 89 6. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA Y COMPARACIÓN CON LOS DATOS EXPERIMENTALES ras obtener los resultados que proporciona el modelo numérico, es necesario llevar a cabo una interpretación cualitativa y cuantitativa de los mismo en relación al experimento en laboratorio. El objetivo es dilucidar si el modelo numérico puede alcanzar una solución lo suficientemente ajustada a la realidad como para poder considerarse herramienta fiable de cálculo hidráulico. Además, el modelo numérico proporciona un nuevo valor del coeficiente de descarga del vertedero que se puede utilizar para corregir los caudales medidos en laboratorio. 6.1. Validación numérica de los resultados En primer lugar, se analiza si la solución alcanzada es autoconsistente en base a los criterios de convergencia anteriormente expuestos y a otros valores de interés. Convergencia de la simulación Durante toda la simulación se monitorizan los residuos escalados de las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y las propias del modelo turbulento. Como se expuso en el capítulo anterior, se establece como criterio de convergencia para la simulación el hecho de que los residuos escalados de todas las ecuaciones bajen, al menos, al orden 10-3. Como se observa en el siguiente gráfico, la convergencia alcanzada cumple con los criterios establecidos. T "Remember that all models are wrong; the practical question is how wrong do they have to be to not be useful". George E. P. Box. Empirical Model-Building and Response Surfaces (1987). 96 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Comparando las secuencias de la figura (4-9) y (6-7) se observa ya, al menos de forma cualitativa, que el proceso que se desarrolla en el laboratorio y en la simulación numérica son muy parecidos. Para llevar a cabo una comparación cuantitativa de resultados se utilzan las mismas secciones intermedias que se utilizaron en laboratorio, aparte de las secciones de entrada y salida. Figura 6-8. Secciones de medida en el modelo numérico. Niveles Se realiza la comparativa en este apartado entre los niveles obtenidos en los cuatro puntos de medida en la simulación y en laboratorio. Mientras que en laboratorio en las zonas más oscilantes no había instrumentos para tomar medidas con precisión milimétrica, en la simulación sí que se obtienen los niveles exactos presentes en cada punto y en cada momento. Las tablas comparativas se incluyen para intervalos de 5 segundos, desde el inicio del experimento hasta el último segundo en que se obtienen variaciones de los niveles en laboratorio, esto es, el segundo 70 cuando el resalto hidráulico ya pasa completamente el punto de medida 3. Finalmente, se incluye una medida a la que se llama “estacionario”, en la que se comparan los valores estacionarios: a partir del segundo 70 en laboratorio y del segundo 90 en la simulación. La diferencia relativa se calcula tomando como referencia los niveles tomados en laboratorio. No se considera el llamarle “error relativo” porque prácticamente todas las diferencias están en el rango de precisión de medida de laboratorio, lo que hace que no esté claro si el error está en la simulación o en la propia toma de medida. Tabla 6–1. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Sección de entrada. hP1(m) hP1(m) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m) 0 0.170 0.170 0.000 0.00% 5 0.171 0.172 0.000 0.20% 10 0.174 0.174 0.000 -0.05% 15 0.179 0.178 0.000 -0.10% 20 0.184 0.183 0.000 -0.13% 25 0.189 0.188 0.000 -0.18% 30 0.194 0.193 0.000 -0.21% 35 0.198 0.198 0.000 -0.20% 40 0.202 0.202 0.000 -0.03% P1 P2 P3 P4 x=0 m x=0.35 m x=1 m x=2 m x=-0.5 m 97 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager hP1(m) hP1(m) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m) 45 0.204 0.204 0.000 0.11% 50 0.205 0.205 0.000 0.07% 55 0.205 0.205 0.000 0.07% 60 0.205 0.205 0.000 0.07% 65 0.205 0.205 0.000 0.07% 70 0.205 0.205 0.000 0.07% Estacionario 0.205 0.205 0.000 0.07% Figura 6-9. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Sección de entrada. Tabla 6–2. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Punto 2. hP2(m) hP2(m) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m) 0 0.170 0.170 0.000 0.00% 5 0.167 0.158 -0.010 -5.79% 10 0.154 0.152 -0.002 -1.47% 15 0.138 0.140 0.002 1.72% 20 0.123 0.126 0.004 3.20% 25 0.109 0.111 0.002 2.10% 30 0.090 0.087 -0.003 -3.28% 35 0.080 0.081 0.001 0.72% 40 0.020 0.067 0.047 234.45% 45 0.020 0.019 -0.001 -5.10% 50 0.020 0.019 -0.001 -2.54% 55 0.020 0.019 -0.001 -2.84% 60 0.020 0.019 -0.001 -2.83% 65 0.020 0.019 -0.001 -2.84% 70 0.020 0.019 -0.001 -2.84% Estacionario 0.020 0.019 -0.001 -2.83% 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) hP1 (m) h modelo h medido Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 98 Figura 6-10. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Punto 2. Tabla 6–3. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Punto 3. h P3 (m) h P3 (m) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m) 0 0.170 0.170 0.000 0.00% 5 0.162 0.158 -0.005 -2.89% 10 0.152 0.152 -0.001 -0.37% 15 0.142 0.141 0.000 -0.31% 20 0.130 0.128 -0.002 -1.41% 25 0.118 0.114 -0.004 -3.10% 30 0.105 0.098 -0.007 -6.60% 35 0.092 0.087 -0.004 -4.63% 40 0.080 0.083 0.003 4.34% 45 - 0.087 - - 50 - 0.083 - - 55 - 0.073 - - 60 - 0.052 - - 65 - 0.038 - - 70 0.020 0.028 0.008 40.27% Estacionario 0.020 0.022 0.002 10.27% Como se expuso en el capítulo 4, a partir del segundo 40 y hasta que el resalto se estabiliza justo aguas abajo del punto 3 (~ segundo 70), la toma de medidas en este punto se hace prácticamente imposible. A las grandes oscilaciones que se producen en la zona hay que sumar la forma en planta triangular del resalto, que impide la toma de un nivel medio en las secciones inmersas en el mismo. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) hP2 (m) h modelo h medido 99 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Figura 6-11. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Punto 3. Tabla 6–4. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Sección de salida. h P4 (m) h P4 (m) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m) 0 0.170 0.170 0.000 -0.06% 5 0.158 0.158 0.000 -0.21% 10 0.150 0.150 0.000 0.17% 15 0.140 0.141 0.001 0.46% 20 0.128 0.127 -0.001 -0.42% 25 0.112 0.111 -0.001 -0.75% 30 0.096 0.096 0.000 -0.07% 35 0.080 0.084 0.004 5.32% 40 0.085 0.081 -0.004 -4.80% 45 0.085 0.085 0.000 -0.17% 50 0.085 0.085 0.000 0.49% 55 0.085 0.085 0.000 0.00% 60 0.085 0.085 0.000 -0.11% 65 0.085 0.085 0.000 -0.24% 70 0.085 0.085 0.000 0.11% Estacionario 0.085 0.085 0.000 -0.09% 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) hP3 (m) h modelo h medido Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 100 Figura 6-12. Niveles medidos en laboratorio y en la simulación. Sección de salida. Se observa que los niveles obtenidos en la simulación se corresponden en buena medida con aquellos medidos en laboratorio. En situación estacionaria el error máximo es de 2 mm en el punto de medida 3, lo cual es inferior a la precisión de medida en dicho punto. En cuanto al transitorio, se puede observar que el resalto llega al punto 2 unos 2 segundos más tarde en la simulación que en el laboratorio. En el punto 3 por su parte, las fases en las que se tienen medidas de laboratorio se corresponden bastante bien con los niveles tomados en la simulación. En cuanto a las secciones de entrada y salida, los valores de laboratorio se introducen como condiciones de contorno en el modelo numérico, por lo que es coherente que las diferencias sean prácticamente inexistentes. Caudal Mientras que en el laboratorio sólo se podía estimar el caudal sobre el vertedero y era éste el que se asumía como único en todo el canal (algo que sólo ocurren en situación estacionaria), en el modelo numérico es posible medir el caudal de paso en cada uno de los cuatro puntos de medida. Sin embargo, y dado que el vertedero se encuentra entre la sección de entrada y el punto 2, no tiene mayor relevancia una comparación cuantitativa con los demás puntos durante la situación transitoria. Así, se incluyen a continuación las tablas comparativas entre el caudal estimado sobre el vertedero y los caudales obtenidos en la simulación en los puntos 1 y 2. Tabla 6–5. Comparación de caudales de laboratorio y del modelo numérico. Q(l/s) QP1(l/s) Diferencia Diferencia relativa QP2(l/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (l/s) Simulación (l/s) 0 0.00 0.00 0.000 0.00% 0.00 0.000 0.00% 5 1.00 2.01 1.004 50.05% 2.22 1.215 54.81% 10 2.04 2.49 0.447 17.96% 2.41 0.368 15.26% 15 3.14 3.33 0.190 5.70% 3.25 0.111 3.41% 20 4.26 4.32 0.065 1.50% 4.55 0.289 6.36% 25 5.36 5.47 0.118 2.15% 5.69 0.336 5.91% 30 6.40 6.67 0.269 4.04% 6.84 0.444 6.49% 35 7.34 7.80 0.462 5.93% 7.78 0.433 5.57% 40 8.15 8.80 0.642 7.30% 9.25 1.094 11.83% 45 8.79 9.40 0.608 6.47% 9.34 0.549 5.87% 50 9.20 9.55 0.354 3.71% 9.60 0.402 4.19% 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) hP4 (m) h modelo h medido 101 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Q(l/s) QP1(l/s) Diferencia Diferencia relativa QP2(l/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (l/s) Simulación (l/s) 55 9.20 9.55 0.347 3.64% 9.56 0.365 3.81% 60 9.20 9.55 0.347 3.64% 9.56 0.365 3.82% 65 9.20 9.55 0.347 3.64% 9.56 0.364 3.81% 70 9.20 9.55 0.347 3.64% 9.56 0.363 3.80% Est. 9.20 9.55 0.347 3.64% 9.56 0.365 3.81% En la siguiente figura se muestran los diferentes caudales frente al tiempo. Figura 6-13. Comparación de caudales estimados en laboratorio y obtenidos en la simulación. Se observa que durante todo el proceso los caudales de simulación se encuentran por encima de los caudales estimados en laboratorio, siendo los caudales en los puntos más cercanos al vertedero (P1 y P2) los más parejos a los de laboratorio. Por otro lado y como era de esperar, durante la fase de vaciado del canal los caudales más cercanos a la sección de salida son mayores que los cercanos a la sección de entrada. Otro hecho relevante es que, conforme se va creando el resalto y las turbulencias van aumentando, las oscilaciones en los caudales del modelo se hacen más patentes. El hecho de que, incluso una vez estabilizados, los caudales de simulación sean mayores que los estimados sobre vertedero, llevan a la conclusión de que se puede corregir el coeficiente de descarga (𝑪𝑪𝒅𝒅) con los datos del modelo (ver apartado 6.3). En cualquier caso, las diferencias en situación estacionaria no llegan al 4% de los caudales estimados en laboratorio, lo que implica que, tanto las predicciones hechas en laboratorio utilizando las curvas para calibrar el vertedero, como los caudales obtenidos en el modelo se aproximan suficientemente a la realidad. Velocidad media en la sección Otro parámetro a comparar son las velocidades medias que se obtienen en la sección. En este caso se realizará una comparación en todas las secciones, como se hizo con los niveles. No obstante, hay que tener en cuenta que las velocidades en el laboratorio se calculan utilizando para todas las seciones el caudal sobre vertedero. Por ello es de esperar que las velocidades en las secciones más aguas abajo sean mayores que las estimadas en laboratorio. 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) Q (l/s) Q laboratorio Q1 modelo Q2 modelo Q3 modelo Q4 modelo Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 102 Así, dado que la velocidad media en la sección se calcula como 𝑉𝑉=𝑄𝑄/𝑢𝑢, hay que tener en cuenta que las diferencias anteriormente descritas van a afectar al valor de la velocidad: a mayor caudal, más velocidad, a menor calado, más velocidad. Tabla 6–6. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Sección de entrada. V P1 (m/s) V P1 (m/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m/s) 0 0.000 0.000 0.000 0.00% 5 0.019 0.043 0.024 120.74% 10 0.039 0.052 0.013 32.70% 15 0.059 0.066 0.007 11.85% 20 0.077 0.081 0.004 4.59% 25 0.095 0.099 0.004 4.14% 30 0.110 0.116 0.006 5.75% 35 0.123 0.133 0.009 7.44% 40 0.135 0.146 0.011 8.29% 45 0.144 0.155 0.011 7.84% 50 0.150 0.156 0.006 4.13% 55 0.150 0.156 0.006 4.12% 60 0.150 0.156 0.006 4.12% 65 0.150 0.156 0.006 4.12% 70 0.150 0.156 0.006 4.12% Estacionario 0.150 0.156 0.006 4.12% Figura 6-14. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Sección de entrada. En la sección de entrada, en la que los niveles prácticamente coincidían entre la simulación y el laboratorio, la diferencia la marca el caudal. Se observa que, al ser éste mayor que el estimado en laboratorio, mayor es también la velocidad. No obstante, una vez estabilizada la situación, las diferencias son de 0.006 m/s, suponiendo sobre un 4% de la velocidad estimada en laboratorio. Tabla 6–7. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Punto 2. VP2(m/s) VP2(m/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m/s) 0 0.000 0.000 0.000 0.00% 5 0.020 0.048 0.028 137.99% 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) VP1 (m/s) v1 modelo v1 laboratorio 103 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager VP2(m/s) VP2(m/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m/s) 10 0.044 0.129 0.085 191.75% 15 0.076 0.182 0.106 139.49% 20 0.116 0.290 0.174 150.43% 25 0.164 0.388 0.224 136.19% 30 0.237 0.573 0.336 141.65% 35 0.306 0.549 0.243 79.50% 40 1.359 0.783 -0.576 -42.41% 45 1.466 1.639 0.173 11.82% 50 1.533 1.640 0.107 6.98% 55 1.533 1.639 0.106 6.90% 60 1.533 1.639 0.106 6.89% 65 1.533 1.639 0.106 6.89% 70 1.533 1.639 0.106 6.89% Estacionario 1.533 1.639 0.106 6.89% Figura 6-15. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Punto 2. En el punto 2 se observa la clara influencia de haber obtenido en la simulación un nivel menor que en el laboratorio. Así, la diferencia de 2 mm entre el nivel medido y calculado conlleva grandes consecuencias en la velocidad media en la sección. En cualquier caso, las diferencias no llegan al 7% de las velocidades estimadas en laboratorio. Tabla 6–8. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Punto 3. V P3 (m/s) V P3 (m/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m/s) 0 0.000 0.000 0.000 0.00% 5 0.021 0.059 0.038 186.17% 10 0.045 0.061 0.016 35.95% 15 0.074 0.084 0.010 13.44% 20 0.109 0.140 0.031 28.51% 25 0.151 0.186 0.035 22.85% 30 0.203 0.267 0.064 31.44% 35 0.267 0.311 0.043 16.15% 40 0.340 0.381 0.042 12.27% 45 - 0.393 - - 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) VP2 (m/s) v2 modelo v2 laboratorio Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 104 VP3(m/s) VP3(m/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m/s) 50 - 0.488 - - 55 - 0.709 - - 60 - 1.019 - - 65 - 1.208 - - 70 1.533 1.369 -0.164 -10.72% Estacionario 1.533 1.459 -0.074 -4.81% Figura 6-16. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Punto 3. Hasta la llegada del resalto al punto 3 (segundo 40 aprox.) la correspondencia entre las velocidades estimadas y calculadas es buena. Después del paso del resalto (a partir del segundo 70), las velocidades en la simulación son menores que las estimadas, teniendo su causa en los niveles medidos en ese punto. Al haberse medido niveles menore que los obtenidos en la simulación, el área de laboratorio es más pequña y, por tanto, la velocidad de paso es más alta. Tabla 6–9. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Sección de salida. V P4 (m/s) V P4 (m/s) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m/s) 0 0.000 0.000 0.000 0.00% 5 0.021 0.086 0.065 306.24% 10 0.045 0.080 0.034 75.57% 15 0.075 0.101 0.026 34.89% 20 0.111 0.168 0.056 50.62% 25 0.159 0.218 0.059 37.13% 30 0.223 0.293 0.070 31.55% 35 0.306 0.350 0.044 14.37% 40 0.320 0.395 0.075 23.45% 45 0.345 0.397 0.052 15.03% 50 0.361 0.415 0.054 14.92% 55 0.361 0.401 0.040 11.15% 60 0.361 0.392 0.031 8.70% 65 0.361 0.398 0.037 10.37% 70 0.361 0.395 0.035 9.62% Estacionario 0.361 0.407 0.047 12.93% 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) VP3 (m/s) v3 modelo v3 laboratorio 105 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Figura 6-17. Velocidades estimadas en laboratorio y obtenidas en la simulación. Sección de salida. En la sección de salida se ve puede observar con claridad la influencia de considerar un caudal menor en laboratorio. La velocidad estimada en laboratorio está por encima tanto en la fase transitoria como estacionaria, con diferencias en la estacionaria superiores al 10 %. Energía La energía se calcula utilizando como origen de alturas la base el canal, por lo que es equivalente hablar de energía total o de energía específica. A partir de los valores anteriores se calcula como: 𝐻𝐻=ℎ+𝑣𝑣2 2𝑔𝑔 (6–3) Se incluyen a continuación las tablas y gráficos comparativos. Tabla 6–10. Energía estimada en laboratorio y obtenida en la simulación. Sección de entrada. H P1 (m) H P1 (m) Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación (m) 0 0.170 0.170 0.000 0.00% 5 0.171 0.172 0.000 0.25% 10 0.175 0.175 0.000 -0.02% 15 0.179 0.179 0.000 -0.07% 20 0.184 0.184 0.000 -0.11% 25 0.189 0.189 0.000 -0.16% 30 0.194 0.194 0.000 -0.17% 35 0.199 0.199 0.000 -0.14% 40 0.203 0.203 0.000 0.05% 45 0.205 0.206 0.000 0.19% 50 0.206 0.206 0.000 0.12% 55 0.206 0.206 0.000 0.12% 60 0.206 0.206 0.000 0.12% 65 0.206 0.206 0.000 0.12% 70 0.206 0.206 0.000 0.12% Estacionario 0.206 0.206 0.000 0.12% 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) VP4 (m/s) v4 modelo v4 laboratorio Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 112 Figura 6-24. Número de Froude estimado en laboratorio y obtenido en la simulación. Punto 3. En el segundo 57 es en el que se pasa definitivamente de régimen sucrítico a supercrítico en el punto de medida 3. Tabla 6–17. Número de Froude estimado en laboratorio y obtenido en la simulación. Sección de salida. FrP4 FrP4 Diferencia Diferencia relativa t (s) Laboratorio Simulación 0 0.000 0.000 0.000 0.00% 5 0.017 0.069 0.052 306.66% 10 0.037 0.066 0.028 75.42% 15 0.064 0.086 0.022 34.58% 20 0.099 0.150 0.051 50.94% 25 0.152 0.209 0.057 37.65% 30 0.230 0.302 0.073 31.59% 35 0.345 0.385 0.040 11.44% 40 0.350 0.443 0.093 26.53% 45 0.378 0.435 0.057 15.13% 50 0.395 0.453 0.058 14.64% 55 0.395 0.439 0.044 11.15% 60 0.395 0.430 0.035 8.75% 65 0.395 0.437 0.041 10.50% 70 0.395 0.433 0.038 9.56% Estacionario 0.395 0.446 0.051 12.97% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) FrP3 Fr3 modelo Fr3 laboratorio Régimen subcrítico Régimen supercrítico 113 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Figura 6-25. Número de Froude estimado en laboratorio y obtenido en la simulación. Sección de salida. Al igual que el cálculo de la energía, el cálculo del número de Froude es derivado de los resultados primarios obtenidos. Si se observa la expresión 𝐹𝐹𝑓𝑓=𝑣𝑣/�𝑔𝑔ℎ, resulta evidente que la influencia de la velocidad (orden 1) es mayor que la del nivel (orden -1/2). Así, en el valor de 𝐹𝐹𝑓𝑓 priman más la diferencias entre simulación y laboratorio en el cálculo de la velocidad que las coincidencias en los cálculos de niveles. Por ello, las diferencias relativas están en el entorno del 10% en las secciones que no son la de entrada. No obstante, desde el punto de vista cualitativo la correspondencia es suficientemente buena, marcándose claramente los cambios de régimenes y el orden de magnitud de 𝐹𝐹𝑓𝑓. 6.3. Cálculo del coeficiente de descarga (𝑪𝑪𝒅𝒅) y comparación de resultados Los resultados obtenidos en la simulación permiten el cálculo del coeficiente de descarga sobre vertedero. En el apartado 4.6.1 se estima este coeficiente en base a las curvas y experimentos existentes en la bibliografía de referencia. No obstante, es un parámetro que siempre requiere de una posterior validación que adapte el valor para el caso concreto. Utilizando la fórmula de descarga sobre vertedero expuesta en dicho apartado, y conocido el caudal, el coeficiente de descarga se calcula como: 𝐶𝐶𝑖𝑖=𝑄𝑄 𝑐𝑐·�ℎ0+𝑄𝑄 2 2𝑔𝑔𝑐𝑐2ℎ12� 3 2 (6–5) Siendo: 𝐶𝐶𝑖𝑖 Coeficiente de descarga. 𝑐𝑐 = 0.3 𝑐𝑐 . Anchura del canal ℎ0 =ℎ𝑃𝑃1−0.15 𝑐𝑐 : Altura geométrica sobre vertedero, que se toma como la altura medida en el punto 1 (ℎ𝑃𝑃1) menos la altura de vertedero (15 cm). ℎ1 =ℎ𝑃𝑃1 : Calado de aproximación al vertedero Durante el transitorio se producen oscilaciones en todos los parámetros que harían difícil la estimación del coeficiente de descarga, por lo que el cálculo se realiza para la situación estacionaria en la que los parámetros ya se encuentran estabilizados. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 010 20 30 40 50 60 70 80 90 t (s) FrP4 Fr4 modelo Fr4 laboratorio Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 114 En situación estacionaria se obtiene: Tabla 6–18. Cálculo del coeficiente de descarga en la simulación. hP1 0.205 m Q 9.55 l/s Cd 2.386 El coeficiente de descarga estimado a partir de la bibliografía era de 2.305, por lo que el desvío es del 3.4 % respecto al obtenido en la simulación. Una vez obtenido el nuevo coeficiente de descarga se puede realizar la comparativa de los principales parámetros en situación estacionaria con uno y otro coeficiente. En las tablas siguientes se indican los valores más importantes. Tabla 6–19. Principales resultados en situación estacionaria obtenidos en laboratorio y modelo numérico. Laboratorio. Cd de curvas en bibliografía Q (m 3 /s) 9.20E-03 Cd 2.305 h(m) V (m/s) H (m) Fr (-) P1 0.205 0.150 0.206 0.106 P2 0.020 1.533 0.140 3.461 P3 0.020 1.533 0.140 3.461 P4 0.085 0.361 0.092 0.395 Laboratorio. Cd a partir de la simulación Q (m 3 /s) 9.54E-03 Cd 2.305 h(m) V (m/s) H (m) Fr (-) P1 0.205 0.155 0.206 0.110 P2 0.020 1.591 0.149 3.591 P3 0.020 1.591 0.149 3.591 P4 0.085 0.374 0.092 0.410 Simulación Q (m 3 /s) 9.54E-03 Cd 2.386 h(m) V (m/s) H (m) Fr (-) P1 0.205 0.155 0.206 0.110 P2 0.019 1.640 0.156 3.759 P3 0.022 1.446 0.129 3.112 P4 0.085 0.374 0.092 0.410 Al aplicar el coeficiente de descarga de la simulación a las pruebas de laboratorio, se iguala el caudal experimental y el de simulación lo que, en general, reduce las diferencias. En la siguiente tabla se indican las diferencias y errores relativos con uno y otro coeficiente de descarga en las variables primarias (h, v, Q). Los errores relativos se calculan respecto a la solución de la simulación, esto es: 𝐸𝐸𝑓𝑓𝑓𝑓=𝑋𝑋𝑢𝑢𝑡𝑡𝑏𝑏𝑜𝑜𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜𝑓𝑓𝑠𝑠𝑜𝑜−𝑋𝑋𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑓𝑓𝑢𝑢𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑐𝑐 𝑋𝑋𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑓𝑓𝑢𝑢𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑐𝑐·100 (%) (6–6) 115 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Tabla 6–20. Comparación laboratorio-simulación con ambos coeficientes de descarga. Comparación Laboratorio Cd bibliografía - Simulación Error h(m) Error h (%) Error V (m/s) Error V (%) P1 0.000 0.00% -0.006 -3.61% P2 0.001 3.09% -0.107 -6.50% P3 -0.002 -9.09% 0.087 6.03% P4 0.000 0.00% -0.014 -3.61% Error Q (l/s) -0.34 Error Q (%) -3.61% Comparación Laboratorio Cd simulación - Simulación Error h(m) Error h (%) Error V (m/s) Error V (%) P1 0.000 0.00% 0.000 0.00% P2 0.001 3.09% -0.049 -3.00% P3 -0.002 -9.09% 0.145 10.00% P4 0.000 0.00% 0.000 0.00% Error Q (l/s) 0.00 Error Q (%) 0.00% Mientras que en los niveles los errores no cambian (son independientes de Cd), las diferencias en caudales y velocidades se ven razonablemente reducidas al aplicar el Cd corregido. Así, las diferencias en velocidades se reducen considerablemente en los puntos 1, 2 y 4. Por el contrario, en el punto 3 se produce un pequeño incremento del error en la velocidad. Esto es debido a que, previamente a corregir el Cd, el error en los niveles se equilibraba en cierto modo al aplicar un caudal más bajo. Al corregir el caudal, el error relativo en la velocidad en este punto se incrementa, pero es consecuencia únicamente del error de 2 mm en la medida del nivel de agua. Como ya se ha expuesto en apartados anteriores, no se tienen instrumentos para alcanzar precisiones de 2 mm en este punto del experimento, por lo que el error queda dentro del rango de precisión. En definitiva, la concordancia entre las pruebas de laboratorio y la simulación numérica aumenta al aplicar a las medidas de laboratorio el coeficiente de descarga obtenido en los resultados del modelo numérico. 6.4. Resalto hidráulico Al igual que en el experimento en laboratorio, el resalto se va formando progresivamente a los pies del vertedero para posteriormente ir desplazándose justo hasta pasar el punto de medida 3. Igual que en la experiencia en laboratorio, el resalto que se crea tiene planta triangular, avanzando más por la parte central y menos por los laterales. Como ya se hiciera en el apartado 4.6.3, se puede realizar una comparativa de los parámetros del resalto obtenidos por diferentes vías:  Fórmulas teóricas de la bibliografía (ver apartado 2.3.6.1).  Experimento en laboratorio con 𝐶𝐶𝑖𝑖 calibrado con las curvas de la bibliografía.  Experimento en laboratorio con 𝐶𝐶𝑖𝑖 calibrado con la simulación.  Simulación numérica. Para el cálculo de los errores relativos se utiliza como referencia la solución de la simulación numérica, ya que es en la que se obtienen mediciones más precisas con las que comparar. Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 116 Figura 6-26. Resalto hidráulico en la simulación. En la siguiente tabla se incluyen las comparaciones entre los diferentes métodos de cálculo: Tabla 6–21. Comparación de los principales parámetros del resalto. Simulación Lab. Cd simulación Err abs Error rel (%) Lab. Cd bibliografía Err abs Error rel (%) Teoría resaltos Err abs Error rel (%) hP3(m) 0.022 0.020 -0.002 -9.31% 0.020 -0.002 -9.31% 0.021 -0.001 -3.75% h P4 (m) 0.085 0.085 0.000 0.09% 0.085 0.000 0.09% 0.088 0.003 4.10% V 3 (m/s) 1.446 1.591 0.145 10.00% 1.533 0.087 6.03% 1.479 0.034 2.32% V 4 (m/s) 0.374 0.374 0.000 0.00% 0.361 -0.014 -3.61% 0.348 -0.026 -6.98% Punto de medida Nº 3 117 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager Simulación Lab. Cd simulación Err abs Error rel (%) Lab. Cd bibliografía Err abs Error rel (%) Teoría resaltos Err abs Error rel (%) H 2 (m) 0.129 0.149 0.020 15.85% 0.140 0.011 8.74% - - - H 4 (m) 0.092 0.092 0.000 0.00% 0.092 -0.001 -0.55% - - - ∆H (m) -0.036 -0.057 -0.020 55.95% -0.048 -0.012 32.23% -0.040 -0.004 10.89% r 3.85 4.25 0.399 10.37% 4.25 0.399 10.37% 4.42 0.569 14.79% Los parámetros más importantes para definir el resalto son la pérdida de carga en el mismo (Δ𝐻𝐻) y el propio resalto (𝑓𝑓). En términos relativos, las diferencias entre las diferentes vías son considerables. No obstante, realizando un análisis más profundo, se observa que todas las diferencias entre la simulación y los parámetros experimentales calculados con el Cd de la simulación vienen provocadas por un error de 2 mm en el nivel de aguas arriba del resalto. Esta diferencia provoca un error del 56% en la pérdida de carga. Es decir, con la precisión que se tiene en la toma de medidas en laboratorio no es posible llevar a cabo una comparativa fiable de estos valores, sino más bien una comparación cualitativa. Desde el punto de vista cualitativo, todas las vías de cálculo llevan a unos valores razonablemente parecidos. 6.5. Observaciones cualitativas En las pruebas de laboratorio se observaron algunos efectos tridimensionales relevantes:  Ligeras elevaciones de la lámina de agua cerca de las paredes a su paso por el vertedero y justo aguas abajo del mismo.  Estelas romboidales en el tramo de flujo rápido. Este efecto es el resultado del viaje de las ondas de choque que se crean al llegar al lecho horizontal las elevaciones anteriormente citadas. Al tratarse de flujo supercrítico, las ondas sólo pueden viajar hacia adelante. Estos mismos efectos aparecen en la simulación numérica, lo que sin duda es un síntoma importante del buen desempeño del modelo numérico. Figura 6-27. Elevaciones de la lámina de agua en el contacto con las paredes a su paso por el vertedero. Elevaciones de la lámina en el contacto con la pared al paso por el vertedero y justo aguas abajo. Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 118 Figura 6-28. Estelas romboidales en el tramo en régimen supercrítico 6.6. Otros resultados Entre las principales ventajas de los modelos numéricos están sus muchas posibilidades a la hora de analizar los resultados. Mientras que en laboratorio los datos se toman en puntos concretos en los que se dispone de aparatos de medida, en el modelo numérico se pueden analizar los resultados en cualquier punto o sección del modelo. En este caso esto permite, por ejemplo, obtener la distribución de velocidades en una sección. Además, una vez calibrado el modelo, se pueden obtener parámetros de los que no se tienen medidas en laboratorio, como en este caso podrían ser las presiones. A continuación se incluyen a modo de ejemplo algunos resultados que podrían ser de interés.  Presiones totales sobre el paramento del vertedero y el suelo en las inmediaciones del mismo. Figura 6-29. Presiones totales sobre las paredes del vertedero y el suelo en las inmediaciones del mismo. Estelas oblicuas en la lámina. Puntos de creación de las ondas 119 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager  Contornos de velocidades en cualquier sección del modelo. Figura 6-30. Distribución de velocidad en una sección del modelo. Resultados de la simulación numérica y comparación con los datos experimentales 120  Path-lines: trayectorias de las partículas de agua. Figura 6-31. Trayectoria de las partículas de agua de la lámina libre coloreadas según velocidad. 121 Estudio Experimental y Modelización Numérica de Flujo en Canal Horizontal sobre Vertedero Creager 7. SIMULACIÓN ADICIONAL na vez que el modelo se ha calibrado, tiene la gran ventaja de que se puede utilizar para otras simulaciones parecidas sin necesidad de ser calibrado de nuevo con un modelo físico. En este caso, se decide utilizar el modelo desarrollado para llevar a cabo un experimento que, por las características del canal, no era posible desarrollar en laboratorio. Este experimento consiste en comenzar con el canal vacío e ir aumentando el nivel aguas arriba del vertedero hasta el rebose. Se trata de un cálculo más propio de la ingeniería de presas, ya que los aliviaderos de labio fijo funcionan de este modo. En este caso se eleva la lámina hasta la carga de diseño del perfil Creager, que es de 2.4 cm sobre el vertedero (ver apartado 4.4), es decir, hasta un nivel de 17.4 cm. En el cálculo de un aliviadero, esta cota de diseño podría coincidir con el nivel de la avenida de proyecto. No es posible desarrollar este experimento en el canal de ensayos disponible en el laboratorio pues, dado que la bomba se retroalimenta desde el final del canal, implicaría que ésta aspirase en vacío Se aplica una condición de contorno a la entrada que, durante un tiempo de 10 segundos (menos tiempo podría implicar cambios demasiado bruscos, más tiempo elevaría el tiempo de computación), va elevando el nivel a la entrada hasta llegar a 17.4 cm. La velocidad a la entrada se aplica de un orden muy bajo, de tal modo que la carga hidráulica sobre vertedero coincida básicamente con la carga geométrica. En estas condiciones se puede calcular el caudal que pasa sobre el vertedero para la carga de diseño, lo que permite obtener el coeficiente de descarga básico, que, en vertederos tipo Creager se estima 𝑪𝑪𝒅𝒅~𝟐𝟐.𝟏𝟏 (ver apartado 3.3).  Condiciones iniciales: Canal vacío.  Condiciones de contorno a la entrada: • �𝑡𝑡≥10 𝑓𝑓 → ℎ= (0.174/10) · 𝑡𝑡 (𝑐𝑐) 𝑡𝑡<10 𝑓𝑓 →ℎ= 0.174 (𝑐𝑐) • 𝑣𝑣= 0.01 𝑐𝑐/𝑓𝑓  Condiciones de contorno a la salida: • Salida libre Para esta simulación se utiliza el modelo 2D, ya que para obtener el 𝐶𝐶𝑔𝑔 no es necesaria una simulación tridimensional, y así el cálculo de 15 segundos de simulación se puede llevar a cabo en, aproximadamente, 2 U “I'm going to make a prediction: it could go either way”. Ron Atkinson. Referencias 128 [16] R. R. Bhate y G. A. Hinge, «Numerical Modelling of Two Tier Spillway,» International Journal of Science and Research, vol. 4, nº 3, pp. 1874-1877, 2015. [17] ANSYS Inc., Fluent 15.0 User's Guide, Canonsburg, PA, 2013. [18] H. K. Versteeg y W. 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