i
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
m
Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía Ae oespacial
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as
de un sis ema de na egación po sa éli e
Au o : Fe nando Sole Lanag án
Tu o : Ra ael Vázquez Valenzuela
Dep. Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2015
ii
iii
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía Ae oespacial
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y
cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Au o :
Fe nando Sole Lanag án
Tu o :
Ra ael Vázquez Valenzuela
P o eso i ula
Dep. Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2015
i
P oyec o Fin de Ca e a: He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po
sa éli e
Au o :
Fe nando Sole Lanag án
Tu o :
Ra ael Vázquez Valenzuela
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2015
El Sec e a io del T ibunal

i
ii
A mi amilia
A mis maes os
iii
Índice
Índice iii
No ación x
1 In oducción 11
1.1 Con ex ualización 11
1.2 Jus i icación del p oyec o 12
1.3 Obje i os 12
1.4 Es uc u a del abajo 13
2 Sis emas de e e encia 14
2.1 Concep os p e ios y obse aciones 14
2.2 Sis ema Geocén ico Ecua o ial 15
2.3 Sis ema Geog á ico 15
2.4 Sis ema Topocén ico 16
2.5 T ans o maciones 17
2.5.1 T ans o mación de a 17
2.5.2 T ans o mación de a 17
3 Elemen os o bi ales 19
4 Ob ención de las e emé ides de los sa éli es 22
4.1 P opagación de ó bi as 22
4.1.1 Con e siones en e dis in as ep esen aciones ma emá icas de una ó bi a. 22
4.1.2 C eación de un algo i mo de p opagación 27
4.2 Ob ención de las e emé ides eales de la cons elación GPS 36
4.2.1 GPS Week (“Semana GPS”) 36
4.2.2 Accede a da os IGS con el núme o GPSweek 38
4.2.3 Descomp imi a chi o .Z 38
4.2.4 Lec u a e in e p e ación de los a chi os .sp3 39
4.2.5 P ocesado de los da os p oceden es de los a chi os .sp3 40
4.3 In e polación de los da os de las ó bi as 42
4.3.1 Análisis del in e polado 43
5 Calidad del se icio de posicionamien o 48
5.1 Visibilidad de los sa éli es. Ángulo de másca a. 48
5.1.1 Cálculo del núme o de sa éli es isibles 49
5.2 Cálculo de la posición con cua o sa éli es. 50
5.2.1 Linealización de las ecuaciones 51
5.2.2 Inicio del sis ema de posicionamien o. Tipos de a anque. 52
5.3 Algo i mo de mínimos cuad ados pa a GPS. 52
5.4 Fac o es PDOP y cálculo de e o es. 54
5.5 Pa áme os de medida de la calidad del se icio 57
6 Cálculo de u as 59
6.1 Ru a o od ómica. 59
6.2 Ru a loxod ómica. 60
ix
7 Cálculo de la calidad del se icio 62
7.1 Implemen ación del cálculo de los ac o es DOP y de la disponibilidad 62
7.1.1 Es ación en ie a 62
7.1.2 Vuelo 63
7.1.3 Región 64
8 In e az de la he amien a 66
8.1 Rep esen aciones 3D y paque e M_map 66
8.2 Inicio de la he amien a 68
8.3 Análisis de es ación en ie a 69
8.4 Análisis de con inuidad en uelo 84
8.5 Análisis de una egión 88
9 P ác ica de Fundamen os de Na egación Aé ea 94
9.1 Obse aciones p e ias 94
9.2 Bole ín de la p ác ica 95
9.3 Cues iona io a los alumnos 97
9.3.1 Resul ados de la alo ación de los alumnos 98
10 Análisis con la he amien a 100
10.1 Compa ación del análisis de es ación 100
10.2 Compa ación de análisis de disponibilidad manipulando sa éli es en la cons elación 103
10.3 Disponibilidad global 105
11 Cons elación Galileo 110
12 Conclusiones 119
12.1 T abajo u u o 120
Apéndice A. Bole ín de p ác icas 121
Re e encias 127
Sis emas de e e encia
16
16
2.4 Sis ema Topocén ico
El sis ema Topocén ico es á ambién ligado a la Tie a, y iene su o igen en el pun o donde se encuen a el
obse ado ( ). El plano EXY es angen e a la supe icie de la Tie a, la di ección EX apun a al No e, la EY
al Es e, y la EZ hacia el cen o de la Tie a [5].
Las coo denadas angula es asociadas a es e sis ema son: ele ación , azimu y la dis ancia al obje o .
Figu a 2.3. Sis ema de e e encia Geog á ico.
X
Y
Z
Ecuado
D
E
N
Figu a 2.4. Sis ema de e e encia Topocén ico.

17
17
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
2.5 T ans o maciones
Pa a pasa los ec o es de un sis ema de posición a o o emplea emos ma ices de ans o mación. Pa a
simpli ica la no ación, deno a emos al sis ema de e e encia Geog á ico con un subíndice , el sis ema
Geocén ico Ecua o ial con un subídice , y el Topocén ico con una . Equa ion Chap e (Nex ) Sec ion 1
2.5.1 T ans o mación de a
La di e encia en e ambos sis emas es un gi o en o no al eje OZ de ángulo el alo de GST en un de e minado
ins an e.
cos(GST) sin(GST) 0
sin( ) cos( ) 0
0 0 1
G
I
C GST GST






(2.1)
La ans o mación in e sa consis e en mul iplica po la ma iz in e sa a la an e io , que en es e caso coincide
con su anspues a:
   
IT
I G G
G I I
C C C
(2.2)
2.5.2 T ans o mación de a
Pa a ealiza dicha ans o mación p ime o ealizamos un gi o en o no al eje de alo el ángulo pa a
pasa a un sis ema in e medio . De es a o ma alinea emos los ejes y OE. A con inuación, pa a hace
coincidi el eje X con ON y el eje Z con OD ealizamos un gi o nega i o en o no al eje de alo
.
Figu a 2.5. T ans o mación G-T.
Sis emas de e e encia
18
18
De es a o ma, la ma iz de ans o mación queda:
sin( ) 0 cos( ) cos( ) sin( ) 0 sin( )cos( ) sin( )sin( ) cos( )
0 1 0 sin( ) cos( ) 0 sin( ) cos( ) 0
cos( ) 0 sin( ) 0 0 1 cos( )cos( ) cos( )sin( ) sin( )
T
G
C
        
   
      
  
    
    
   
    
    
    
    
(2.3)
Po úl imo, si quisié amos una ans o mación en e I y T o ice e sa, podemos hace la ans o mación
mul iplicando de o ma sucesi a las ma ices an e io es, po ejemplo:
T G T
I I G
C C C
(2.4)
Equa ion Chap e (Nex ) Sec ion 1
19
19
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
3 ELEMENTOS ORBITALES
na ó bi a gené ica puede de ini se median e 6 pa áme os que de e minan de o ma o al y uní oca las
ca ac e ís icas, posición y o ien aciones de la ó bi a, así como la posición que ocupa el cue po den o de
es a en un ins an e de e minado. La e isión de concep os elacionados hecha en es e capí ulo es á
basada en el ma e ial co espondien e a la e e encia núme o [5].
Una ó bi a es una ayec o ia que sigue un cue po en o no a o o como consecuencia de la a acción
g a i a o ia. Dicha ayec o ia es siemp e una cónica. En es e p oyec o nos cen a emos en casos de ó bi as
ce adas elíp icas.
El cue po celes e en o no al cual o bi a el sa éli e ocupa el oco de la elipse. El pun o de la ó bi a más ce cano
al oco se denomina pe iapsis, y el pun o más lejano es el apoapsis. Pa icula izando pa a el caso de ó bi as en
o no a la Tie a, se les llama espec i amen e pe igeo y apogeo.
Figu a 3.1. Pa áme os geomé icos de una elipse.
La línea que une ambos pun os se denomina línea de ápsides.
Po o o lado necesi amos un plano de e e encia pa a ubica el de la ó bi a. En el caso de ó bi as en o no a la
Tie a dicho plano de e e encia es el plano del Ecuado .
Si la ó bi a es á inclinada espec o al plano del Ecuado , a lo la go de su mo imien o el sa éli e ocupa á an o
posiciones po debajo como po encima de dicho plano. El pun o en que el sa éli e c uza el plano ecua o ial en
di ección Su -No e se denomina nodo ascenden e , mien as que si lo hace en di ección No e-Su se
denomina nodo descenden e . Se de ine el ec o
en la di ección que une el oco con el nodo ascenden e,
y el ec o excen icidad iene de módulo la excen icidad de la ó bi a y de di ección la que une oco con
pe iapsis.
U
apoapsis
pe iapsis
Elemen os o bi ales
20
20
Una ez is os odos los elemen os explicados an e io men e, podemos de ini los elemen os o bi ales. Dichos
pa áme os son (conside ando exclusi amen e el caso de ó bi a elíp ica que nos a añe):
· El pa áme o (semieje mayo ) de e mina su amaño.
· La excen icidad , de e mina la o ma.
· El pa áme o , llamado el a gumen o del pe igeo (o de pe iápsis) es el ángulo medido en el plano o bi al y
en la di ección del mo imien o en e
y .
· El pa áme o es la ascensión ec a del nodo ascenden e, ambién llamado RAAN po sus siglas en inglés.
Es el ángulo medido en el sen ido con a io a las agujas del eloj en e y la di ección
.
· La inclinación mide el ángulo en e el plano de la ó bi a y el plano de e e encia.
· Un pa áme o que pe mi a localiza el cue po den o de la p opia ó bi a en un ins an e dado. Se suelen u iliza
la anomalía e dade a o un desde pe iapsis, pe o ambién o os como (anomalía media) o (anomalía
excén ica).
Como se ha explicado, los 6 pa áme os an e io es de e minan de o ma uní oca una ó bi a cualquie a, pe o
exis en casos en que dichos elemen os o bi ales no es án bien de inidos. Es os casos son impo an es po que se
dan en la p ác ica y, de hecho, algunos debe emos conside a los en es e p oyec o ( al es el caso de las ó bi as
ci cula es).
- Ó bi as elíp icas ecua o iales: no es án de inidos ni , ya que al es a con enidas en el plano
ecua o ial no exis e línea de nodos. En dicho caso se sus i uyen po el ángulo (longi ud del pe igeo)
en e y , medido en el sen ido con a io de las agujas del eloj, de mane a que .
- Ó bi as ci cula es no ecua o iales: y no es án bien de inidos (no exis e línea de ápsides). Se
sus i uyen po un ángulo llamado a gumen o de la la i ud, que mide la posición del cue po
desde el nodo ascenden e en el sen ido del mo imien o.
Plano del Ecuado
Plano de la ó bi a
Figu a 3.2. Ó bi a gené ica.
21
21
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
- Ó bi as ci cula es ecua o iales: no exis e ni línea de nodos ni línea de ápsides. Po lo an o ni , ni
ni es án bien de inidos. Se sus i uyen po , la longi ud e dade a, que es la que
o ma el cue po con , medido en el sen ido con a io de las agujas del eloj.
Equa ion Chap e (Nex ) Sec ion 1

Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
22
22
4 OBTENCIÓN DE LAS EFEMÉRIDES DE LOS
SATÉLITES
a c eación de la he amien a so wa e pa a el análisis de una cons elación po sa éli e necesi a una g an
can idad de in o mación y de cálculos in e medios a p ocesa en e las ó denes del usua io y los
esul ados que se le p opo cionan. Pa a log a lo an e io hemos de alcanza una se ie de obje i os
básicos:
1) La ob ención de la posición de los sa éli es, ya sea a pa i de una uen e ex e na de da os eales, o
median e la simulación de los mismos (p opagación de ó bi as).
2) La c eación de algo i mos y unciones que pe mi an calcula odos los pa áme os que se espe a que la
aplicación sea capaz de ob ene .
3) La implemen ación de lo an e io en una aplicación, más conc e amen e a a és de GUIDE en
MATLAB, que o ezca al usua io un en o no de abajo lo más sencillo, cla o y e icien e posible.
En es e y los siguien es capí ulos se expond án los mé odos desa ollados pa a alcanza las me as
an e io men e plan eadas.
En es e capí ulo amos a desc ibi los dos mé odos empleados pa a la ob ención de las e emé ides de los
sa éli es: la p opagación de ó bi as a pa i de sus elemen os o bi ales y la ob ención de e emé ides eales de la
cons elación GPS a a és del se icio web del IGS (In e na ional GNSS Se ice).
4.1 P opagación de ó bi as
La p opagación de ó bi as consis e en p edeci o es ima la posición u u a de los sa éli es a pa i de
e emé ides conocidas en una de e minada época.
Como se explicó an e io men e, si conocemos odos los elemen os o bi ales de un sa éli e (6 pa áme os)
conocemos su ó bi a de o ma p ecisa y podemos ealiza la p opagación empleando las leyes de la mecánica
o bi al.
4.1.1 Con e siones en e dis in as ep esen aciones ma emá icas de una ó bi a.
4.1.1.1 Función pa a ans o ma ec o es posición y elocidad en elemen os o bi ales.
Pa a el cálculo de los elemen os o bi ales a pa i de los ec o es elocidad y posición podemos emplea
las ó mulas que nos p opo ciona la mecánica o bi al [5] y la de inición de los pa áme os geomé icos de las
ó bi as que se explica on an e io men e:
En p ime luga de e minamos el pa áme o ec o ial
, que es el momen o angula especí ico:
h 
(4.1)
Y con él ob enemos el ec o excen icidad:
 
/ h
e




(4.2)
Donde el pa áme o es el Pa áme o G a i acional de las Masas Combinadas, que en nues o caso puede
ap oxima se po con la cons an e de g a i ación uni e sal y la masa de la Tie a. El alo de
pa a la Tie a es de ap oximadamen e .
L
23
23
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Calculando el módulo de ob enemos el alo de la excen icidad:
ee
(4.3)
A con inuación calculamos la ene gía especí ica :
2
2



(4.4)
Y con ello el semieje mayo :
2
a



(4.5)
Pa a ob ene empleamos:
1
cos cos
e e
e e



   

(4.6)
Pa a esol e la ambigüedad: si , el sa éli e es á iajando de apoapsis a pe iapsis. En onces
.
Sabiendo que
es pe pendicula al plano o bi al, se ob iene que:
 
cos(i) , 0,
Iz
h
hk i
hh


  
(4.7)
Po o o lado:
2 2 2 2
, ,0
I
y x y x x y
I
kh
n h h h h h h
kh

    


(4.8)
Pa a ob ene empleamos:
cos( ) nx

(4.9)
Resol iendo la ambigüedad sabiendo que: si el ec o
es á a la izquie da de , luego .
Po úl imo, es el ángulo en e
y , luego:
cos( ) e n e


(4.10)
Co egimos el cuad an e con: si el ec o excen icidad es á bajo el plano de e e encia y .
Ya hemos de e minado, con las ó mulas (4.3), (4.5), (4.6), (4.7), (4.9) y (4.10) los elemen os , , , , , y
.
Nó ese que pa a pode aplica las ó mulas an e io es es p eciso que los ec o es es én exp esados en el
sis ema de e e encia Geocén ico Ecua o ial.
Las ecuaciones an e io es, pueden se implemen adas en MATLAB pa a c ea una unción, llamada “ ael”
que p opo cione:
[a, e, inc, w, Omg, he a]= ael( , )
Sin emba go el algo i mo an e io no es á comple o si no se adap a pa a el cálculo de los casos lími e
mencionados en el capí ulo 3. Pa a ello hacemos lo siguien e:
Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
24
24
Si la ó bi a es ci cula no ecua o ial, cambiamos po y dejamos inde inido como NaN.
Si la ó bi a es ecua o ial con excen icidad, cambiamos po y dejamos inde inido como NaN.
Si la ó bi a es ecua o ial ci cula , cambiamos po y dejamos y inde inidos como NaN.
En caso de que la ó bi a sea pa abólica, se sus i uye po . Aunque no se á necesa io en
es e p oyec o, dado que los sa éli es de na egación siguen ó bi as ce adas.
4.1.1.2 Función pa a ans o ma elemen os o bi ales en ec o es posición y elocidad.
Pa a es e caso es con enien e de ini un sis ema de e e encia auxilia , denominado pe i ocal y que
iden i ica emos con el supe índice , cuyas ca ac e ís icas son las siguien es:
Es á cen ado en el oco, con apun ando hacia pe iapsis, y el eje hacia “a iba”, pa alelo al ec o
.
Es e sis ema de e e encia se u iliza po que en él es más sencillo calcula los ec o es y :
Se puede demos a [5] que, de iniendo un sis ema de e e encia pola sob e el pe i ocal, con pa áme o y
empleando como ángulo , podemos exp esa :
cos
sin
1 cos 0
Fp
e








(4.11)
sin
cos
0
F
e
p









(4.12)
2
h
p


(4.13)
Plano del Ecuado
Plano de la ó bi a
Figu a 4.1. Sis ema de e e encia pe i ocal.
25
25
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Una ez ob enemos los ec o es y sólo nos al a hace una ans o mación pa a exp esa los en el
sis ema de e e encia Geocén ico Ecua o ial, pa a lo cual necesi amos la ma iz
. Ob end emos p ime o la
ma iz :
Realizamos un gi o en o no al eje con un ángulo y pasamos al sis ema in e medio :
Gi amos en o no al eje un ángulo pa a pasa al sis ema :
Plano del Ecuado
Plano de la ó bi a
Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
32
32
Es o signi ica que nues o p opagado nos p opo ciona ía una in o mación pob e en o no al pe igeo.
Figu a 4.5. P opagación de una ó bi a con al a excen icidad con in e alos de iempo equiespaciados.
La Figu a 4.5 nos pe mi e ilus a es e e ec o. Dicha igu a se ha ob enido con una ó bi a de elemen os
o bi ales .
2) Ob ención de la anomalía excén ica po mé odos numé icos.
O o aspec o a conside a es que la ecuación (4.23) es ácil de esol e pa a ob ene conociendo la anomalía
excén ica , ya que es conocido. Po lo an o es inmedia o ob ene la anomalía media a pa i de . Pe o
si que emos halla el alo de a pa i de es necesa io ecu i a mé odos numé icos pa a ob ene la
solución.
En gene al los mé odos numé icos empleados pa a esol e es e ipo de ecuaciones equie en un alo inicial
pa a i e a . El alo de es adecuado pa a ello, y la solución con e ge. El p oblema es que la esolución
numé ica inc emen a no ablemen e el iempo de cálculo, lo cual debemos ene en cuen a a la ho a de c ea un
algo i mo de cálculo ya que con mayo núme o de pun os calculados el e ec o de es a alen ización se hace
más no able.
Repi iendo la simulación de la Figu a 4.5 en un sc ip “Un i led” empleando el empo izado , ob enemos los
da os de la siguien e abla:

33
33
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Figu a 4.6. Tempo izado aplicado a la unción de p opagación con in e alos de iempo equiespaciados.
De la abla an e io nos in e esa el iempo de “ ze o”, que esuel e la ecuación (4.23), espec o al iempo de
ejecución de “p opagado _n_d ” que es la unción p incipal. Se obse a que el iempo consumido po la
esolución numé ica de es el del o al, con i mando así el impo an e peso de es e paso del algo i mo
espec o al iempo de cálculo o al.
4.1.2.4 Op imización de la unción “p opagado ”
Vamos a es udia de qué o ma se puede op imiza la espues a de la unción an e las dos obse aciones
ealizadas en el apa ado an e io .
1)
La o ma más e iden e de sol en a es e p oblema es ealiza la disc e ización de los pun os en que se calculan
los elemen os con o a a iable que dé luga a una disc e ización más uni o me en el espacio. Dado que la
elación en e el iempo y la anomalía media es lineal, emplea nos p opo ciona ía el mismo esul ado que
eníamos an e io men e.
Las o as dos opciones son la anomalía e dade a y la anomalía excén ica.
Sin emba go el uso de cualquie a de es as dos a iables supone igualmen e un p oblema: aho a enemos
in e alos de iempo i egula es, y las épocas pasan a se una a iable que calcula .
2)
Dado que calcula a pa i de (o ) equie e el empleo de mé odos numé icos compu acionalmen e y
empo almen e más cos osos, ealiza la disc e ización en base a o esuel e es e p oblema. Aunque de
nue o el iempo se ía una a iable que calcula (pe o ya con ecuaciones que sí ienen una esolución di ec a
sin necesidad de mé odos numé icos).
De es o se deduce que, en un p incipio, emplea disc e ización en o educe el iempo de cálculo
( esol emos el pun o 2) y, además, pe mi e calcula pun os de la ó bi a en el espacio con o a dis ibución.
Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
34
34
P obemos p ime o empleando una dis ibución equiespaciada de la anomalía e dade a . Repe imos la
simulación de la Figu a 4.5. y ob enemos lo siguien e:
Figu a 4.7. P opagación de una ó bi a con al a excen icidad con in e alos de equiespaciados.
Cu iosamen e sucede el enómeno con a io. Sin emba go e a de espe a , ya que si empleamos la anomalía
e dade a pa a el cálculo con in e alos equiespaciados, el a co que se eco e sob e la ó bi a es mayo cuan o
mayo sea el adio. Es deci , en el pe igeo, donde el adio es meno , hay una mayo concen ación de pun os
que en el apogeo, donde el adio es máximo.
Respec o al iempo de cálculo:
Figu a 4.8. Tempo izado aplicado a la unción de p opagación con in e alos de equiespaciados.
E ec i amen e el iempo de cálculo se ha educido d ás icamen e: en e a . Y e iden emen e
es a di e encia es mayo cuan os más pun os se calculen. Es a solución esuel e el segundo de los p oblemas,
pe o no el p ime o.
35
35
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
A con inuación p obamos con una dis ibución equiespaciada de . Repe imos el análisis de los casos
an e io es, ob eniendo lo siguien e:
Figu a 4.9. P opagación de una ó bi a con al a excen icidad con in e alos de equiespaciados.
Como emos, la anomalía excén ica p opo ciona pun os equiespaciados. Además ambién soluciona el
p oblema del iempo de cómpu o:
Figu a 4.10. Tempo izado aplicado a la unción de p opagación con in e alos de equiespaciados.
Po lo an o se llega ácilmen e a la conclusión de que si p e endemos op imiza la concen ación de pun os a
lo la go de la ó bi a y educi el iempo de cálculo, la solución es u iliza una disc e ización en los alo es de la
anomalía excén ica .
Sin emba go es e p oceso ha sido aplicado pa a una única ó bi a. Aho a oca plan ea se qué sucede si
que emos que el algo i mo calcule a ias ó bi as a la ez.
Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
36
36
La en aja de u iliza el in e polado o iginal con un ec o de iempo eside en que p opo ciona alo es pa a
odas las ó bi as en unas épocas de e minadas y conocidas a p io i. Es deci , pa a cada ins an e de iempo del
ec o , enemos las posiciones co espondien es de odos los sa éli es.
Si p opagamos con alo es de equiespaciados ob end emos pun os de las ó bi as en ins an es de iempo
a bi a ios unos espec o a o os. Además, mien as que con el ec o de iempo las ó bi as se p opagan has a
donde lo ha ían en el iempo especi icado po el ec o (es deci , si una ó bi a es más ápida que o a, es
posible que es a haya dado una uel a en e a en su ó bi a mien as la o a aún no ha comple ado una uel a a la
suya), si el ec o de alo es de llega has a, po ejemplo , la p opagación mues a odas las ó bi as con
una uel a comple a.
Po lo an o, es e ipo de in e polación iene ambién sus des en ajas. Dado que pa a es e p oyec o in e esa
p opaga a ios sa éli es a la ez y ene dichos da os pa a un conjun o de épocas conocidas, con iene
conse a el p opagado o iginal.
Aún así, si la ó bi a es ci cula , podemos simpli ica los cálculos ya que la ecuación (4.23) queda:
ME
4.2 Ob ención de las e emé ides eales de la cons elación GPS
El IGS (In e na ional GNSS Se ice) es un se icio que p opo ciona, en e o as cosas, in o mación de
dis in os sis emas de na egación po sa éli es a a és de in e ne . En e sus bases de da os es posible encon a
po ejemplo las e emé ides eales de la cons elación GPS (o GLONASS) en cualquie época. Exis en es ipos
de da os: “Ul aRapid”, p opo cionados cua o eces al día y que o ecen in o mación basada en obse ación y
p edicción de las ó bi as; “Rapid”, disponibles con 17 ho as de e aso espec o al la época co espondien e, y
“Final”, disponibles con 12 días de e aso [6]. Los úl imos son los da os más p ecisos.
El in e és de es a base de da os pa a el p esen e p oyec o es e iden e: ob eniendo de ella los da os de las ó bi as
y p ocesando dicha in o mación, podemos ealiza los análisis con la cons elación eal sin la necesidad de
ealiza una p opagación. Nos cen a emos en ob ene los da os ipo “Final” pa a una echa deseada.
4.2.1 GPS Week (“Semana GPS”)
En e las pa icula idades del sis ema GPS es á el hecho de que cuen a con un calenda io p opio, que o ganiza
el iempo en días y semanas con lo que se conoce como GPS Week.
A cada semana le co esponde un núme o, siendo po ejemplo la p ime a semana de 1994 la núme o 729. Es a
semana es, de hecho, la p ime a semana de la que exis en da os de la cons elación. Dado que no ue decla ada
con capacidad ope acional inicial has a diciemb e de 1993, no es de ex aña que la base de da os comience
poco después, el 1 de ene o de 1994, que dio comienzo a su p ime año con capacidad ope a i a econocida
(más adelan e en ab il de 1995 ue decla ada con capacidad ope acional o al)[2].
La segunda semana de 1994 es po an o la 730, y así sucesi amen e.
Hay además o a peculia idad, y es que el con eo de días de una semana no se ealiza como se acos umb a en
la mayo ía de países de habla hispana, que es como es ablece el es ánda in e nacional ISO 8601 [7] de
ep esen ación de echas y ho as: el lunes es conside ado p ime día de la semana y es a anscu e has a llega
al domingo.
Una semana GPS comienza en un día domingo y llega al p óximo sábado, que e mina dicha semana GPS
pa a da comienzo a la siguien e en el domingo pos e io .
De acue do con lo an e io , los días se nume an del 0 al 6, siendo 0 el domingo, 1 el lunes, y así has a el 6
sábado. Es e núme o se suele pone a con inuación del núme o de la semana a la que co esponde.
Po ejemplo, el sábado 1 de ene o de 1994 end ía el núme o: 7296. El domingo 2 de ene o de 1994 es el 7300.
37
37
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
4.2.1.1 Con e i echa a GPS Week
Los da os de la base de da os es án o ganizados po días siguiendo es e o ma o, po lo que necesi amos se
capaces de hace la con e sión en e el o ma o usual de echa “día/mes/año” y GPS Week.
La o ma más sencilla es oma de e e encia un día del cual conozcamos su núme o GPS Week, con a los
días a pa i de él, y con ello, ob ene el núme o GPS Week de la echa que que emos.
Pa a ealiza la cuen a de días anscu idos lo idóneo es ecu i a la echa juliana o días julianos JD, que
consis en en una cuen a de días y acción anscu idos desde el mediodía del 1 de ene o del año 4713 a.C.
Es a escala empo al ue c eada en el año 1582 po Joseph Scalige de Leyden pa a pode echa enómenos
as onómicos o his ó icos lejanos en el iempo e i ando ambigüedades como años bisies os o cambios de
calenda ios [9].
Pa a calcula el día juliano (JD) co espondien e a una echa, podemos emplea la ó mula [5]:
9
77 275
12
367 1721013.5
49
M
A INT M
JD A INT INT D
  



 


    





(4.30)
Donde la unción deno a la pa e en e a de un núme o eal, ep esen a el año, el mes y el día.
La ó mula an e io p opo ciona el da o a las 00:00 del día co espondien e. Pa a ob ene lo a o a ho a bas a
con suma la ho a UT di idida po 24. A noso os nos bas a con la ecuación (4.30).
Toma emos de e e encia el día 2 de ene o de 1994 (02/01/1994), al que co esponde la semana GPS 730, y el
día 0. Deno amos su día juliano como .
El día juliano de la echa que deseamos con e i es .
El núme o de semanas anscu idas se puede halla como:
0
7
e
w
JD JD
N INT 



(4.31)
Y el día como:
00
7
77
ee
w
JD JD JD JD
D INT
   
   
  



   

(4.32)
Po an o la semana GPS co espondien e es:
730 w
GPSweek N
(4.33)
Po lo que el núme o GPSweek podemos o ma lo como:
10 w
Núme oGPSweek GPSweek D  
(4.34)

Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
38
38
4.2.2 Accede a da os IGS con el núme o GPSweek
Si conocemos el núme o GPSweek de la echa que que emos simula , podemos gene a un enlace web pa a
desca ga el a chi o.
El o ma o gene al de dicho enlace es el siguien e:
p://igscb.jpl.nasa.go /igscb/p oduc /*GPSWeek*/igs*núme oGPSweek*.sp3.Z
Donde los elemen os en e as e iscos deben se sus i uidos po el co espondien e núme o. Si la semana GPS
co espondien e es meno de 1000, debe i p ecedida po un 0, de modo que siemp e sea un núme o de 4
dígi os. Po ejemplo, pa a el 2 de ene o de 1994 el enlace queda ía:
p://igscb.jpl.nasa.go /igscb/p oduc /0730/igs07300.sp3.Z
Con los algo i mos desa ollados has a aho a ya nos es posible halla la semana GPS de una echa conc e a y
desca ga el a chi o co espondien e de la base de da os IGS.
4.2.3 Descomp imi a chi o .Z
Los a chi os de la base de da os IGS es án comp imidos en un o ma o de comp esión “.Z”.
La he amien a se á implemen ada en MATLAB, y dicho o ma o de comp esión no es econocido po el
p og ama, luego aunque podamos c ea líneas de código pa a desca ga los a chi os, aun necesi amos se
capaces de ealiza la descomp esión de o ma au omá ica, pa a lo que necesi amos pode hace lo median e
ejecución de comandos ex e nos a MATLAB a a és de ins ucciones al p opio MATLAB en el wo kspace.
Lo p ime o que necesi amos es encon a un p og ama que uncione en línea de comandos. En es e p oyec o se
emplea á “Una chi e ” [9]. Una ez enemos el p og ama, necesi amos que se encuen e en el mismo di ec o io
que el a chi o a descomp imi . Si es o se cumple podemos da a MATLAB la o den de ejecu a el comando
ex e no y hab emos descomp imido con éxi o el a chi o.
Los a chi os de la base de da os del IGS se encuen an en o ma o “.sp3”, que puede se leído con iso es de
a chi os de ex o.
39
39
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
4.2.4 Lec u a e in e p e ación de los a chi os .sp3
El a chi o .sp3 o iginal iene la siguien e apa iencia ( omando las p ime as 30 ilas):
Figu a 4.11. Da os con enidos en un a chi o .sp3.
Las p ime as dos ilas mues an in o mación ela i a a la echa, (en la p ime a ila enemos la echa, en el
ejemplo es el 17 de junio de 1997, en la segunda ila apa ecen la semana GPS que es 910 y el día juliano
co espondien e 50616).
En la e ce a y cua a ila enemos una lis a de los sa éli es disponibles. En la echa del ejemplo hay
disponibles 25 sa éli es y se de alla el núme o co espondien e a cada uno de ellos.
En la ila 23 podemos obse a de nue o la echa en o ma o año/mes/día seguido de dos ce os, que
ep esen an el p ime o la ho a, y el segundo los minu os. Si a anzamos más en el documen o, es as épocas an
a anzando en sal os de cua os de ho a: 0 15, 0 30, 0 45, 1 0, 1 15, e c, has a llega a 23 45.
Figu a 4.12. Cabece a de los da os co espondien es a las 01:15 am del 17/06/1997.
Ob ención de las e emé ides de los sa éli es
40
40
La in o mación co espondien e a las 00:00 del día siguien e es a ía en su co espondien e a chi o .sp3. Es o
signi ica que los da os que ob enemos del IGS es án espaciados empo almen e 15 minu os unos de o os. Más
adelan e abo da emos cómo consegui in o mación con una disc e ización en el iempo más ina.
A pa i de la línea 23 (y las análogas a lo la go del documen o, al y como la 153 en la Figu a 4.12) comienza
la lis a de da os de los sa éli es pa a cada ho a. Los núme os de la segunda columna iden i ican a qué sa éli e
co esponden los da os. La e ce a columna es la coo denada en el sis ema de e e encia Geog á ico, según
nues a no ación: . La cua a y la quin a columna son espec i amen e y . Es os da os es án dados en
km. La úl ima columna hace e e encia a la des iación del eloj del sa éli e en mic osegundos [11].
Pa a pode abaja con los da os necesi amos con e i los a o ma o ma icial a a és de un sc ip que ome
como en ada el a chi o sp3 [12].
Los da os que ob enemos con ello apa ecen en una ma iz de sie e columnas y una can idad a iable de ilas
(depende del núme o de sa éli es disponibles en la echa):
Figu a 4.13. Da os “en b u o” en o ma o ma icial ob enidos del a chi o sp3.
En la p ime a columna enemos la GPSweek, la segunda son los segundos anscu idos desde el inicio de
dicha semana GPS has a el momen o al que co esponden los da os, la columna 3 con iene el núme o del
sa éli e, las columnas de 4 a 6 las componen es del ec o posición y la columna 7 la des iación del
eloj.
4.2.5 P ocesado de los da os p oceden es de los a chi os .sp3
Llegados a es e pun o ya hemos ob enido sa is ac o iamen e la in o mación de la cons elación pa a la echa
deseada.
Sin emba go lo ideal es p ocesa es os da os pa a que coincidan con el o ma o que u ilizamos en la
p opagación, es deci :
[xI, yI, zI, xG, yG, zG, GST, lambda, phi]
41
41
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Reco demos que el o ma o que hemos decidido u iliza en la he amien a es de la o ma:
1 0 1 1 1 1 1
2 0 2 1 2 2 1
0 1 1
0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
jM
jM
i i i j i M
N N N N M
xG xG xG xG
xG xG xG xG
xG xG xG xG xG
xG xG xG xG














Pa a c ea es a ma iz debemos eco e la columna 4 de la ma iz de da os del IGS a endiendo a la nume ación
de sa éli es de la columna 1, de modo que podamos eo dena los da os en la nue a ma iz que que emos
gene a .
Po ejemplo, en la Figu a 4.11 la cabece a de la línea 23 nos dice que esos da os co esponden a las 00:00, que
omamos como . De modo que esos da os los asignamos al elemen o , donde es o
según co esponda.
Pa a ob ene y seguimos el mismo p ocedimien o que empleamos en la p opagación con las ecuaciones
(4.28) y (4.29).
Pa a ob ene los ec o es posición en el sis ema de e e encia Geocén ico Ecua o ial necesi amos conoce
GST, que debemos calcula lo.
En p ime luga necesi amos conoce . Exis e una ó mula que pe mi e calcula con bas an e p ecisión el
pa a un día dado en días julianos a las 00:00, que es p ecisamen e el que necesi amos:
P ime o calculamos el “Siglo Juliano” :
0
2451545
36525
JD
T

(4.35)
A pa i de ello se ob iene , en g ados, como [5]:
2 8 3
0 0 0 0
100.4606184 36000.77004 0.000387933 2.583 10GST T T T

    
(4.36)
A con inuación ob enemos el con (4.26) y calculamos el ec o posición en el sis ema de e e encia
Geocén ico Ecua o ial de la siguien e mane a:
 
 
1
I
IG
IG
Ij
I
x
y C GST
z







(4.37)
Con es o hemos ob enido los da os que nos al aban. Sin emba go en es a ocasión p opo ciona emos una salida
más, que es la lis a de cuáles de los sa éli es de la cons elación es án disponibles, ya que nos se á de u ilidad
más adelan e.
[lis a_sa , gx, gy, gz, xI, yI, zI, lambda, phi] =
Da os_GPS_IGS(Dia, Mes, Año, GPS_week)
Calidad del se icio de posicionamien o
48
48
5 CALIDAD DEL SERVICIO DE POSICIONAMIENTO
n es e capí ulo se an a explica algunos concep os elacionados con la calidad del se icio de
posicionamien o que o ece una cons elación como la GPS, así como los p ocedimien os pa a calcula
algunos pa áme os impo an es elacionados. Va ias pa es de es e capí ulo se basan en la e e encia [3].
5.1 Visibilidad de los sa éli es. Ángulo de másca a.
El empleo de la cons elación GPS como sis ema de posicionamien o se basa en la posibilidad de de e mina la
posición de un obse ado conocidas las posiciones de los sa éli es y empleando señales de adio.
Po lo an o, pa a que el sis ema uncione co ec amen e necesi amos un núme o su icien e de sa éli es y que
es os sean isibles po el obse ado .
En gene al, si un sa éli e es á bajo el ho izon e implica que el obse ado no puede ecibi su co espondien e
señal. Pe o conside a un sa éli e isible desde el momen o en que c uza el ho izon e es poco ealis a (sal o
casos como un uelo o un ba co en al a ma ) ya que en gene al los elemen os del en o no (edi icios, acciden es
geog á icos…) impiden e los sa éli es has a que es os se ele en un poco más en el cielo.
Al ángulo mínimo que deben ele a se los sa éli es desde el ho izon e hacia el ceni se le llama ángulo de
másca a. Gene almen e es e ángulo es unción del azimu , ya que los mencionados obje os que obs aculizan la
ecepción de la señal pueden ene cualquie ipo de disposición al ededo del obse ado . Sin emba go es o
complica los cálculos y necesi a íamos conoce la dis ibución de es os elemen os pa a cada caso conc e o. En
es e es udio asumi emos un ángulo de másca a cons an e en odas las di ecciones. Es e pa áme o nos
de e mina á el núme o de sa éli es isibles pa a el obse ado en una época de e minada.
No obs an e, se ía posible ene en cuen a un ángulo de másca a a iable dado que los algo i mos que
desa olla emos en es e capí ulo nos p opo ciona án pa a cada sa éli e y época el co espondien e azimu y
ele ación.
Bas a ía con p opo ciona a la he amien a la unción que elacione el ángulo de másca a pa a cada azimu , de
modo que en cada época la he amien a e alúe la isibilidad de los sa éli es según si la ele ación que ienen es
o no supe io al ángulo de másca a co espondien e a su azimu .
Dicha implemen ación es sencilla, pe o no se ha ealizado po que solici a al usua io la unción de ángulo de
másca a en unción del azimu es más p opio de un análisis a anzado, y el obje i o de es a he amien a es se
de empleo sencillo e ilus a i o. Con un ángulo de másca a cons an e es su icien e en una p ime a e sión
didác ica. Sin emba go más adelan e se explica á cómo se ía el p oceso pa a ello.
E

49
49
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
5.1.1 Cálculo del núme o de sa éli es isibles
La o ma de de e mina si un sa éli e es isible o no en una de e minada época desde una posición sob e la
Tie a consis e en e i ica si su ele ación espec o al ho izon e es mayo que el ángulo de másca a.
Pa a hace es o p ime o necesi amos conoce la posición del sa éli e espec o a la es ación en Tie a
si uada en
. A dicho ec o lo llama emos . El ec o posición del sa éli e lo llama emos .
Si conocemos las coo denadas y de la es ación que que emos analiza , podemos ap oxima el ec o
posición de la es ación como: (
R
el adio de la Tie a)
cos cos
cos sin
sin
ee
G
e e e
e
R









(5.1)
El ec o lo ob u imos en el capí ulo an e io , luego sólo nos queda hace :
G G G
e
s 
(5.2)
Y ans o mamos el ec o al sis ema de e e encia Topog á ico cen ado en la es ación con la ma iz (2.3):
TG
T
G
s C s
(5.3)
El ec o se puede exp esa como:
cos(h)cos(Az)
cos(h)sin(Az)
sin(h)
N
TE
D
s
s s s
s
 
 

 
 



(5.4)
Figu a 5.1. Vec o en sis emas de e e encia Geog á ico y Topocén ico.
Calidad del se icio de posicionamien o
50
50
Po lo que las coo denadas angula es y podemos ob ene las haciendo:

1
sin D
s
hs


(5.5)

1
an E
N
s
Az s


(5.6)
Con
y .
Ya podemos impone que la condición pa a que un sa éli e sea isible en una época es que cumpla:
min
hh
(5.7)
Donde es el ángulo de másca a.
Es a in o mación hemos de ene la en cuen a ya que aquellos sa éli es no isibles en una época no apo a án
nada al se icio de posicionamien o y po lo an o no deben se enidos en cuen a.
5.2 Cálculo de la posición con cua o sa éli es.
Las medidas del ecep o GPS se denominan obse ables, y con ellas se puede de e mina la posición del
obse ado .
A pa i de la señal en iada po un sa éli e es posible de e mina el iempo en que se en ia on. Compa ando
con el iempo de ecepción, ob enemos la di e encia de iempos Sin emba go los elojes de
cua zo empleados po los ecep o es ienen e o es, que llama emos , de modo que .
Llamando a la dis ancia en e el obse ado y el sa éli e, y siendo la elocidad de la luz, podemos deci
que:
uu
c c c

    
(5.8)
Donde es la pseudodis ancia. Si llamamos al ec o posición del sa éli e y
al ec o posición del
ecep o , se cumple que:
s u
(5.9)
Po lo an o, pa a cada sa éli e isible en una época enemos una ecucación del ipo:
i u i
c s u

  
(5.10)
Donde se conside a conocido ya que los sa éli es ansmi en sus e emé ides al ecep o con su icien e
p ecisión.
De es a o ma, pa a cada sa éli e enemos una es e a en la que puede encon a se el obse ado , de e minada
po la dis ancia al sa éli e.
Dado que la in e sección de dos es e as de e mina una ci cun e encia, y la in e sección de dos ci cun e encias
de e mina en gene al dos pun os, necesi amos al menos es sa éli es pa a de e mina la posición. Además el
alo de es desconocido, po lo que el núme o mínimo de sa éli es necesa ios es de cua o.
Tenemos las siguien es ecuaciones:
11
22
33
44
u
u
u
u
c s u
c s u
c s u
c s u




  
  
  
  
(5.11)
51
51
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
5.2.1 Linealización de las ecuaciones
Si de inimos
ui
u i i
ui
xx
u y s y
zz
   
   

   
   
   
(5.12)
enemos que
2 2 2
(x x ) (y y ) (z z ) (x ,y ,z , )
i i u i u i u u i u u u u
c

       
(5.13)
Supongamos que conocemos una es imación inicial de
u
y
u
, deno adas po
ˆ
u
y
ˆu
, que deben es a
su icien emen e ce ca de la posición eal. De inimos:
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
,,
u
u u u u i i u
u
x
u u u y s u c
z

   



       



(5.14)
Si linealizamos las unciones en o no a la es imación inicial end emos que:
 
 
     
   
ˆ
ˆˆˆ
, , , , , ,
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
, , , , , ,
ˆ
ˆˆˆ
, , ,
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
, , , , , ,
i i u u u u i u u u u u u u u
i u u u u i u u u u
i u u u u u u
uu
i u u u u i u u u u
uu
uu
x y z x x y y z z
x y z x y z
x y z x y
xy
x y z x y z
z
z
    


     

  




(5.15)
Po an o, la linealización queda:
ˆHx
  
    
(5.16)
Donde:
1 1 1
11
2 2 2
22
3 3 3
33
4 4 4
44
ˆ1
ˆ1
,,
ˆ1
ˆ1
x y z
u
x y z
u
x y z
u
x y z
u
a a a
x
a a a
y
xH
a a a
z
a a a
c






  
 

 
     
 

 


 
(5.17)
El alo es la es imación de la pseudodis ancia y los alo es p ecedidos de son des iaciones espec o a un
alo de e e encia es imado de
. Los coe icien es , y son de la o ma:
2 2 2
ˆ
(x x )
ˆˆ ˆ ˆ
(x x ) (y y ) (z z )
i i u
xi
ui u i u i u
ax

  
    
(5.18)
Y análogamen e con y .
Calidad del se icio de posicionamien o
52
52
Po an o pa a de e mina
x
simplemen e bas a con hace
1
xH


  
(5.19)
y se ob ienen los e o es espec o a la es imación inicial.
5.2.2 Inicio del sis ema de posicionamien o. Tipos de a anque.
Gene almen e pa a la es imación inicial que se emplea en la linealización se puede oma la posición calculada
inmedia amen e an es ya que se á p óxima a la posición eal en la época. Si no disponemos de un alo inicial
no enemos en o no a qué linealiza .
Es o sucede si el ecep o , du an e el iempo que ha es ado inac i o, ha cambiado su localización
signi ica i amen e espec o a la úl ima posición que calculó, o si dicha in o mación se pie de po ejemplo po
al a de una uen e de alimen ación. En dicho caso se necesi a ob ene de algún modo in o mación su icien e
pa a esol e las ecuaciones (5.11) y comenza a p opo ciona la posición del usua io. A es e p oceso se le
llama “GPS lock”.
Exis en a ios ipos de a anque, que se án más o menos ápidos en unción de la in o mación de la que
disponemos.
El más ápido (“ho s a ”) se ealiza cuando el ecep o conse a la in o mación de la úl ima posición
calculada y los sa éli es isibles, el almanaque empleado (in o mación ap oximada de las ó bi as y el es ado de
los sa éli es de la cons elación), el iempo UTC y basándose en es a in o mación se in en a ob ene la posición
con los mismos sa éli es. Es e mé odo sólo unciona si la posición es ap oximadamen e la misma que se enía
la úl ima ez que se desac i ó el disposi i o.
El p oceso es algo más len o (“wa m s a ”) cuando el disposi i o conse a la úl ima posición calculada, los
da os del almanaque y el iempo UTC pe o no sabe cuáles son los sa éli es isibles desde su posición (po
ejemplo, po que es a ha cambiado). En dicho caso ealiza un ese de la posición y a a de calcula qué
sa éli es son isibles en base a los da os del almanaque y ob ene las señales de los sa éli es pa a calcula una
nue a posición.
Finalmen e el p oceso más len o (“cold s a ”) se da cuando el disposi i o GPS no dispone de ninguna
in o mación y po lo an o iene que ob ene oda la in o mación de la que ca ece y p ocesa la, si ua los
sa éli es y comenza a es ima la posición sin in o mación o cálculos p e ios de e e encia [14].
5.3 Algo i mo de mínimos cuad ados pa a GPS.
El p oceso de allado en el apa ado 5.2 es aplicable cuando disponemos de in o mación de cua o sa éli es. En
la p ác ica se emplean los da os de más de cua o sa éli es, ya que si con amos con más in o mación podemos
consegui esul ados más p ecisos. En onces hay que esol e un p oblema sob ede e minado, pa a lo que se
emplea no malmen e el algo i mo de mínimos cuad ados.
Además, dado que las medidas con ienen e o , se pod ía usa un modelo del e o del ipo
Hx

   
(5.20)
Donde pa a el caso gene al de sa éli es se iene que


es ,
H
es ,
x
es y

es un
modelo de e o pa a la pseudodis ancia que cumple que sigue una dis ibución no mal
(0, )
n
N
.
Es e modelo es ap o pa a se esuel o con el algo i mo de mínimos cuad ados, que además pe mi i á es ima el
e o que se es á come iendo en
x
a pa i del alo de
H
y de

.
Una in e p e ación geomé ica del mé odo de mínimos cuad ados es la búsqueda de la mejo ap oximación al
ec o


median e ec o es gene ados po las columnas de la ma iz
H
. Es a mejo ap oximación es la
p oyección o ogonal de


sob e el espacio columna de
H
.
53
53
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Pa a ilus a lo g á icamen e:
Como emos, consis e en oma la solución disponible lo más ce cana a


, y el ec o es el que nos da
al solución.
Pa a halla lo bas a con ene en cuen a que es pe pendicula al espacio columna de , ya que
es la p oyección o ogonal sob e dicho espacio.
Po lo an o:
 
ˆˆ
0,
T T T
H H x H H H x

      
(5.21)
Lo que nos lle a a [15]:
 
1
ˆTT
x H H H


  
(5.22)
Respec o al modelo de e o

, es azonable supone que la ma iz de co a ianza

iene la siguien e o ma:
2
1
2
2
2
n










(5.23)
Donde
2
i

es la a ianza del e o de cada pseudodis ancia. No obs an e es usual desp ecia la di e encia de
e o es en e sa éli es. Asumimos que el e o sigue una dis ibución con la misma a ianza en odos ellos, de
modo que se oma
22
i UERE


.
El é mino “UERE” p ocede de “Use Equi alen Range E o ”, una es imación cuyo alo ípico es
27 1.5
UERE m


según si el sis ema de posicionamien o es el s anda d (SPS) o el sis ema de
posicionamien o p eciso (PPS) y p ocede de las siguien es uen es de e o , sumadas con RSS:
2 2 2
12UERE causa causa
  
  
:
- Segmen o espacial: e o del eloj (1.1 m), cálculo de la ó bi a (0.8 m).
- Segmen o usua io: e ec os a mos é icos, uido del ecep o y esolución, e ec os mul icamino: 7-1.4 m
(SPS - PPS).
Espacio columna de la ma iz
Figu a 5.2. Ilus ación geomé ica simple pa a caso del mé odo de mínimos cuad ados.

Calidad del se icio de posicionamien o
54
54
De modo que en p ime a ap oximación, la ecuación (5.23) queda:
2
UERE n
I


(5.24)
Con la ma iz iden idad de o den .
Po lo an o la co a ianza del esul ado se á:
 
1 2 1 2 1
ˆ(H H) H (H H) (H H)
T T T T
UERE n UERE
Co x I H

  
  
(5.25)
De inimos:
1
(H H)
T
G

(5.26)
Y llegamos a:
 
2
ˆUERE
Co x G


(5.27)
El signi icado ísico de es e é mino es el que sigue:
 
     
     
     
     
2
2
2
2
ˆ
u u u u u u u
u u u u u u u
u u u u u u u
u u u u u u u
Va x Co x y Co x z Co x
Co y x Va y Co y z Co y
Co x Co z x Co z y Va z Co z
Co x Co y Co z Va
      
      
      
      

















(5.28)
Es as a ianzas son el p oduc o de dos ac o es:
2
UERE

, que depende de la señal, y , que depende de , la
cual es a su ez unción de la geome ía, y nos pe mi en es ima el e o come ido.
5.4 Fac o es PDOP y cálculo de e o es.
De la an e io ma iz nos in e esan los alo es de la diagonal, ya que nos dicen la a ianza en las di e en es
di ecciones y el iempo.
De es o se saca la conclusión de que los e o es come idos po la señal (
UERE

) son mul iplicados a su ez po
ac o es que dependen de la geome ía ( ). Es os ac o es son llamados ac o es DOP (dilu ion o p ecision).
Los alo es usados ípicamen e son:
GDOP (Geome ic Dilu ion o P ecision)=
11 22 33 44
G G G G  
.
PDOP (Posi ion Dilu ion o P ecision)=
11 22 33
G G G
.
HDOP (Ho izon al Dilu ion o P ecision)=
11 22
GG
.
VDOP (Ve ical Dilu ion o P ecision)=
33
G
TDOP (Time Dilu ion o P ecision)=
44
G
Median e es os ac o es DOP podemos halla ápidamen e una es imación de la p ecisión de nues o GPS:
/
Z UERE
UERE
VDOP
TDOP c




(5.29)
55
55
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
O a medida comúnmen e usada es el 2DRMS: cí culo que con iene del 95% al 98% de los pun os de la
dis ibución es adís ica que sigue la posición es imada en el plano ho izon al. Se ob iene como un cí culo de
adio 2DRMS:
22 UERE
DRMS HDOP


(5.30)
Veamos cómo ob ene ambién in e alos de con ianza pa a los alo es en la di ección e ical.
Dado que es amos asumiendo que la dis ibución del e o sigue una no mal, la p obabilidad de in e alos pa a
es a dis ibución puede consul a se en cualquie lib o de es adís ica, ya que apa ecen abuladas.
Podemos asumi que en o no al 68% de los alo es es án a una dis ancia
UERE
VDOP


del alo es imado,
al ededo del 95.4% es án a dos des iaciones ípicas
2UERE
VDOP


de la media y al ededo del 99.7%
es án a
3UERE
VDOP


.
Los ac o es PDOP son ac o es que mul iplican el e o , po lo que es con enien e que sean lo más pequeños
posible.
Es os ac o es son unción de la geome ía, cuyo e ec o depende de las posiciones de los sa éli es en la época.
Desde un pun o de is a ma emá ico, si los sa éli es no cub en bien el cielo la ma iz H (cuyas componen es
son unción de las posiciones de los sa éli es, como e emos a con inuación) se uel e una ma iz mal
condicionada al ene ec o es en su in e io que son p ác icamen e unos combinaciones lineales de o os. Es o
implica que al hace la in e sión de H necesa ia pa a ob ene la ma iz G es a emos di idiendo po un
de e minan e p óximo a 0, con lo que la ma iz G end á componen es con un alo ele ado, lo que signi ica
que se dispa an los e o es.
Si odos los sa éli es se encuen an p óximos unos a o os en el cielo la in o mación que p opo cionan es pob e
y edundan e, pe o si es án si uados de o ma espaciada p opo cionan in o mación su icien e pa a de e mina
la posición del ecep o con buena p ecisión.
Figu a 5.3. Ilus ación ace ca del ac o PDOP.
Calidad del se icio de posicionamien o
56
56
Has a aho a se ha hablado de di ecciones pa a el cálculo de la posición, pe o sin especi ica en qué
sis ema de e e encia. Los coe icien es , y pueden calcula se en cualquie a de ellos.
Sin emba go si se calculan en, po ejemplo, el sis ema Geocén ico Ecua o ial, ob end íamos unas ma ices
y que nos da ían un "HDOP" pa a el plano ecua o ial (que es el que hab íamos usado). Sin emba go, si
usamos el sis ema de e e encia Topocén ico nos asegu amos de que el HDOP ob enido es pa a un plano
que coincide con la supe icie de la ie a pa a el obse ado .
En algunas e e encias [4], no hacen es o úl imo, sino que calculan las ma ices H y G di ec amen e con los
da os de las e emé ides en el sis ema Geocén ico Ecua o ial y luego las ans o man con ma ices de o ación
pa a pode ob ene los ac o es HDOP y VDOP. En es e p oyec o se ha decidido emplea di ec amen e el
sis ema de e e encia Topocén ico, ya que aho a la necesidad de ans o ma ma ices y acili a el cálculo de
los coe icien es , y , como e emos a con inuación.
Si es o es así y llamamos a
su
al y como en los apa ados an e io es, enemos que:
iu
i i u
iu
xx
y y
zz








(5.31)
Si el ec o es á exp esado en el sis ema de e e encia Topog á ico, mi ando la Figu a 5.1:
cos(h)cos(Az)
cos(h)sin(Az)
sin(h)
iu
i i u
iu
xx
y y
zz

   
   
  
   
   

   
(5.32)
Po lo que los elemen os , y se pueden calcula ácilmen e como:
222
222
222
( ) ( ) cos(h)cos(Az)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) cos(h)sin(Az)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) sin(h)
( ) ( ) ( )
i u i u
xi
i
i u i u i u
i u i u
yi
i
i u i u i u
i u i u
zi
i
i u i u i u
x x x x
a
x x y y y y
y y y y
a
x x y y y y
z z z z
a
x x y y y y

  
    

  
    

   
    
(5.33)
Conocidos los alo es de y (cuya ob ención desc ibimos en el apa ado 5.1.1) de los N sa éli es que
sean isibles en una época podemos calcula la ma iz co espondien e como:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
cos(h )cos(Az ) cos(h )sin(Az ) sin(h ) 1
cos(h )cos(Az ) cos(h )sin(Az ) sin(h ) 1
cos(h )cos(Az ) cos(h )sin(Az ) sin(h ) 1
cos(h )cos(Az ) cos(h )sin(Az ) sin(h ) 1
i i i i i
N N N N N
H














(5.34)
Y de ahí median e la ecuación (5.26).
57
57
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
E ec i amen e la ma iz H es unción de la geome ía, y emos que sus componen es son unción de las
posiciones de los sa éli es, po lo que como se comen ó an e io men e si es os no se encuen an sepa ados
cub iendo bien el cielo, sus ilas son p ác icamen e combinaciones lineales y la ma iz es á mal condicionada.
5.5 Pa áme os de medida de la calidad del se icio
La calidad del se icio que o ece un sis ema de posicionamien o po sa éli e no solo depende de la p ecisión
que puede alcanza , sino que se de ine en base a una se ie de pa áme os que en conjun o dan una idea de la
calidad global que posee.
Algunos de ellos son la disponibilidad, la capacidad, la con inuidad, la cobe u a y la in eg idad.
La capacidad es el núme o de usua ios que pueden usa el sis ema simul áneamen e. En el caso de la
cons elación GPS es en p incipio ilimi ada, ya que los sa éli es son pasi os, es deci , simplemen e emi en sus
co espondien es señales de adio, po lo que cualquie ecep o que las eciba puede u iliza el sis ema.
La cobe u a es la supe icie o el espacio en gene al donde la calidad del se icio es su icien e pa a que un
usua io pueda de e mina su posición con una p ecisión de e minada. En el caso de la cons elación GPS la
cobe u a es idealmen e global.
La disponibilidad es el po cen aje de iempo que el sis ema es “u ilizable”, den o de su á ea especi icada de
cobe u a. Es o signi ica que debe cumpli unos equisi os mínimos p e iamen e especi icados. Una de inición
ípica de es os equisi os pa a la cons elación GPS es que el usua io enga un . Un ejemplo a ni el
global en la Figu a 5.3.
Es e concep o ambién puede de ini se a ni el local, de modo que pa a una es ación en ie a con unas
coo denadas conc e as se conside e en qué momen os el se icio es á o no disponible.
La con inuidad de un sis ema de na egación espec o a una misión u ope ación se de ine como la
p obabilidad de que dicho sis ema sea “u ilizable” de o ma con inua du an e oda la du ación de dicha misión
u ope ación.
Es a de inición lle ada al caso que nos a añe equi ald ía a po ejemplo impone un lími e máximo en el PDOP
du an e la misión.
Po úl imo, se de ine in eg idad de un sis ema de na egación como la capacidad de dicho sis ema pa a
ad e i que el sis ema no debe se u ilizado (debido a que no es á ope a i o o a que con iene e o es). El
sis ema GPS no p opo ciona po sí mismo ningún ipo de mecanismo de in eg idad.
Debido a que el sis ema GPS es muy suscep ible a allos no espe ados, y a la a iabilidad de la p ecisión po
los ac o es DOP, es e sis ema no es admisible pa a aplicaciones de na egación aé ea, pe o sí puede emplea se
hib idado con o os sis emas como las IMU, además es ampliamen e empleado en o os sec o es como los
ehículos no ipulados.
Cálculo de la calidad del se icio
64
64
También podemos combina (7.4) con la ecuación (6.15) pa a ob ene la dis ancia angula en la u a
loxod ómica, que queda de la misma o ma:
j
lox
V
R




(7.6)
De nue o los pun os de pa ida son conocidos: , , y . Con ello las ecuaciones (6.10) a (6.13),
según co esponda, nos p opo cionan el cu so inicial.
Ya podemos emplea las ecuaciones de (6.16) y (6.17) pa a calcula la posición de la ae ona e en el ins an e
, eniendo en cuen a que pa a cada época debemos esol e las con el co espondien e alo de
ob enido con (7.6).
7.1.3 Región
Po úl imo cabe plan ea se cómo amplia es os algo i mos al caso de una egión.
En p ime luga se disc e iza una zona delimi ada po unos alo es mínimos y máximos de la i ud y longi ud
de inidos po el usua io.
Figu a 7.1. Disc e ización de Eu opa en 81 ec ángulos.
Dicha egión se disc e iza con un ni el de disc e ización seleccionable po el usua io. Pa a cada ec ángulo se
selecciona su pun o medio, de modo que enemos una lis a de alo es de la i ud y una lis a de alo es de
longi ud. Si D es el núme o de ilas y columnas:
1,2...,D; 1,2...,
ij
i j D


De modo que cada ecuad o iene de inidos sus alo es y . Con ello podemos ealiza los análisis
de núme o de sa éli es isibles y PDOP pa a cada pun o de la disc e ización del mismo modo que lo
ealizamos pa a una es ación ija en la supe icie.
Sin emba go, al ene dos índices pa a iden i ica a cada ecuad o (i y j) seguimos necesi ando o o índice
pa a de e mina a qué época pe enece la in o mación. Es deci , el PDOP del ecuad o el la época es:
( )
i j k
PDOP

65
65
He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Con es a no ación no podemos almacena la in o mación en o ma o ma icial ya que necesi amos es índices
pa a deno a un elemen o.
Pa a soluciona lo cambia emos la no ación a una no ación de un índice :
(i 1) D jI   
(7.7)
De es a mane a el o ma o de los da os se ía:
1 0 1 1 1
2 0 2 1 2 1
0 1 1
( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
M
M
D D D D D D M
PDOP PDOP PDOP
PDOP PDOP PDOP
PDOP
PDOP PDOP PDOP


   






Donde el núme o de ila co esponde al índice .
Pa a pasa a no ación de nue o, podemos hace :
I
iD



(7.8)
(i 1) DjI   
(7.9)
Donde la unción


deno a di isión con edondeo hacia el núme o en e o mayo .
Si ya enemos los alo es de PDOP pa a los pun os de la egión en odas las épocas, podemos hace cálculos
como los mayo es alo es de PDOP en la egión, mayo es lapsos de iempo sin disponibilidad sabiendo dónde
se p oducen, calcula la disponibilidad pa a dis in os alo es máximos de PDOP, e c.
Todas es as opciones se mos a án en el capí ulo siguien e.
Equa ion Chap e (Nex ) Sec ion 1
In e az de la he amien a
66
66
8 INTERFAZ DE LA HERRAMIENTA
n el p esen e capí ulo se a a ealiza una explicación de la he amien a implemen ada con una in e az
en GUIDE, MATLAB. Ve emos an o la in e az (desa ollada con ayudas de ma hwo ks [17]) como las
opciones que o ece pa a modi ica pa áme os. Así mismo se explica á la in o mación que p opo ciona
al usua io como esul ado de los análisis.
8.1 Rep esen aciones 3D y paque e M_map
Pa a que la he amien a quede comple a es necesa io dispone de medios pa a ep esen a g á icamen e las
posiciones de los sa éli es, de modo que sea ácil ap ecia las ca ac e ís icas de las ó bi as y que el usua io
disponga de un medio in ui i o pa a ap ecia po dónde pasa cada sa éli e y sus posiciones, ya que es o es á
es echamen e ligado con la isibilidad y la calidad del se icio en un momen o dado.
Lo p ime o que necesi amos es la capacidad de ep esen a las azas de las ó bi as, que son los pun os de la
supe icie sob e los cuales pasan los sa éli es.
Pa a ello se ha empleado un paque e lib e de mapeado, llamado M_map. Es e paque e o ece múl iples
opciones, en e ellas la posibilidad de ealiza mapas e es es con di e en es ipos de p oyecciones. A
noso os nos in e esa la p oyección de ipo cilínd ica equidis an e, ya que pe mi e ep esen a oda la ie a en
una supe icie ini a.
Sin emba go es e ipo de p oyección de o ma la imagen de la supe icie, más no ablemen e cuan o más nos
ace camos a los polos, de al modo que es os pun os se ans o man en ec as. Nó ese que en la Figu a 8.1 oda
la línea con la i ud 90º No e co esponde al Polo No e, mien as que el Polo Su es la línea de la i ud 90º Su .
Figu a 8.1. P oyección Cilínd ica Equidis an e ealizada con M_Map.
Sin emba go la i ud y longi ud siguen una escala lineal y uni o me en la igu a.
Una ez disponemos de una ep esen ación de la supe icie, con las azas empleamos las ma ices y
ob enidas en el capí ulo 4 pa a ep esen a las posiciones de los sa éli es sob e la Tie a. Dado que
conocemos los alo es de odos los sa éli es pa a cada época podemos ep esen a an o las cu as
comple as como las posiciones en una época dada.
E
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Po o o lado, necesi amos una isualización 3D de las ó bi as. En p ime luga ealizamos una isualización
de la Tie a en 3D a la que añadimos un mapa de los con inen es [18].
A con inuación, empleando las ma ices ambién ob enidas en el capí ulo 4,
hacemos la ep esen ación en sis ema Geocén ico Ecua o ial de las ó bi as. De nue o al dispone de los da os
pa a odas las épocas podemos hace ep esen ación de las ó bi as comple as y de la posición de cada sa éli e
en una época dada.
Figu a 8.2. Rep esen ación de dos ó bi as ci cula es en el sis ema de e e encia Geocén ico Ecua o ial.
O o obje i o in e esan e es la ealización de animaciones, de modo que podamos obse a la e olución de las
posiciones de los sa éli es en sus ó bi as y en sus azas, apo ando al usua o in o mación pa a conoce qué
sa éli e es isible y en qué momen o, ya que las animaciones incluyen in o mación de la ho a a la que
co esponden las imágenes. El usua io pod á impone un ángulo de másca a y la he amien a calcula la
ele ación de cada sa éli e, así que bas a con comp oba la isibilidad de cada sa éli e du an e la animación, de
modo que se señale con algún ipo de signo aquellos sa éli es que sean isibles po el obse ado . Es e signo
se á una línea que una al obse ado con aquellos sa éli es que es án siendo isibles en un momen o
de e minado.
A cada sa éli e le co esponde á un colo alea o io, de modo que puedan dis ingui se unos de o os, y al mismo
iempo cada uno lle a á una e ique a con su co espondien e núme o, que lo iden i ica y pe mi e ambién sabe
cuál es cuál y di e encia uno del es o. La línea de unión que empleamos pa a señala la isibilidad ambién
se á del colo co espondien e al sa éli e isible.
Po o o lado, dado que la disc e ización en el iempo puede se del o den de un minu o pa a esul ados de
buena esolución, y eniendo en cuen a que el iempo de la simulación es de un día, es ecomendable pode
acele a la animación. Es a opción es á disponible pa a el usua io como se explica á más adelan e.
In e az de la he amien a
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8.2 Inicio de la he amien a
La he amien a p e ende o ece al usua io un análisis de la cons elación GPS pa a la echa que se desee. De
modo que lo p ime o que necesi a la he amien a es conoce la echa que el usua io desea analiza . Una ez se
conoce, median e los p ocedimien os explicados en el apa ado 4.2, la aplicación desca ga y p ocesa de o ma
au omá ica los da os co espondien es a dicha echa. Pa a ello hab ía que pulsa (Figu a 8.3) el bo ón
“Desca ga da os e inicia ”.
Figu a 8.3. Ven ana de Inicio de la he amien a.
También debemos conside a la posibilidad de que el usua io no disponga de acceso a in e ne pe o ya posea
los da os de la cons elación pa a una echa. Es e caso se puede da de hecho en el aula, si el equipo de alguno
de los alumnos no dispone de conexión a in e ne . En dicho caso bas a con que un compañe o le p opo cione
el a chi o .sp3 de la echa co espondien e. Se indica al p og ama la echa de la simulación y se pulsa la
opción “Inicia sin desca ga”.
Cuando la he amien a e mina de ob ene los da os de la cons elación, ab e au omá icamen e el módulo de
análisis.
Figu a 8.4. Ven ana del menú del módulo de análisis.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Es a en ana da paso a los di e en es ipos de análisis que puede ealiza la he amien a. En caso de que e
selecciona una echa nue a, bas a con pulsa la opción “Vol e ”. En es e caso se ab e la en ana de inicio y el
usua io puede selecciona una nue a echa pa a el es udio.
8.3 Análisis de es ación en ie a
Figu a 8.5. Ven ana de análisis de una es ación en ie a.
En p ime luga con amos con una isualización 3D de las ó bi as:
Figu a 8.6. Visualización 3D de las ó bi as.

In e az de la he amien a
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Es a isualización nos pe mi e po ejemplo obse a los planos o bi ales y qué dis ibución ienen los sa éli es
en ellos. Dicha isualización puede o a se pa a acili a la isión de los núme os de los sa éli es y pa a pode
e las ó bi as desde di e en es pe spec i as.
Al lado apa ece una isualización de las azas de la cons elación, que ep esen an los pun os de la supe icie
sob e los que pasan los sa éli es.
Figu a 8.7. T aza de la cons elación GPS.
Es a imagen nos pe mi e obse a sob e qué pun os pasa cada sa éli e, así como la posición exac a de cada uno
de ellos a la ho a que desee el usua io. Pa a es o exis e una ba a deslizan e que pe mi e al usua io modi ica la
ho a. Es a se encuen a bajo la isualización 3D.
Figu a 8.8. Ba a deslizan e pa a modi ica la ho a de la isualización de sa éli es en las azas.
Del mismo modo, podemos obse a en una imagen 3D la disposición de los sa éli es en sus ó bi as pa a la
ho a que desee el usua io, así como una indicación de si son o no isibles con una línea de unión en e la
es ación y los sa éli es isibles. Pa a ello se ija la ho a en la ba a deslizan e y se pulsa la opción “3D”.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Figu a 8.9. Sa éli es isibles desde Se illa el 12/12/2012 con ángulo de másca a de 10º a las 06:08.
Dado que el obje i o de es e apa ado es ealiza el análisis pa a una es ación en ie a, se debe pe mi i al
usua io la opción de in oduci las coo denadas de la localización que desee.
Figu a 8.10. Pe sonalización de pa áme os de la es ación y de la simulación.
Como se e en la Figu a 8.10 el usua io puede in oduci las coo denadas de la es ación (po de ec o apa ecen
las co espondien es a Se illa, isibles en la imagen). Exis e una lis a desplegable pa a indica las di ecciones
no e, su , es e y oes e.
In e az de la he amien a
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La localización de la es ación en el mapa se indica con una c uz oja sob e un ombo neg o.
Figu a 8.11. Señalización de la es ación.
Aunque se de la opción de in oduci g ados, minu os y segundos pa a da mayo p ecisión, es pe ec amen e
posible in oduci alo es como y deja en blanco las demás casillas, lo cual se ía equi alen e, en ese
ejemplo, a habe in oducido y .
O o pa áme o impo an e es el ángulo de másca a. Es e pa áme o se puede pe sonaliza , como se e en la
Figu a 8.10.
En el capí ulo 4 se explicó el in e polado p og amado en la he amien a. Como se dijo, an o la disc e ización
del iempo como el g ado de in e polación son seleccionables po el usua io. La disc e ización en el iempo
pe mi e ob ene mayo esolución en los esul ados ob enidos. Pa a el g ado de in e polación se ecomiendan
alo es de 3 o 5.
Pa a más in o mación e Apa ado 4.3.1.
O a opción in e esan e es la in o mación del núme o de sa éli es disponibles en una echa.
En el capí ulo 4 explicamos cómo ob ene la in o mación de los sa éli es de la cons elación. De en e los da os
que la he amien a ob iene a pa i de ellos es á la lis a de los sa éli es disponibles, que pe mi e a la aplicación
mos a una lis a de “checkbox” co espondien es a dichos sa éli es:
Figu a 8.12. Panel de sa éli es disponibles en la echa.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
En caso de que algún sa éli e no es u ie a disponible no apa ece ía en la lis a. Un ejemplo:
Figu a 8.13. Sa éli es de la cons elación nominal. Sólo 24 de 32 disponibles.
Es e ejemplo ha sido ob enido pulsando la opción de “Ca ga cons elación nominal”, que e pe mi e calcula la
cons elación con los 24 sa éli es nominales pa a pode ealiza compa aciones en e la cons elación eal en una
echa y la nominal. En echas ac uales en gene al hay en o no a 32 sa éli es disponibles. Sin emba go si el
usua io selecciona echas años a ás sucede que hay menos sa éli es disponibles (po que es os no habían sido
aún pues os en ó bi a). También puede se que en una de e minada echa no haya algún sa éli e disponible po
o as azones. En dicho caso el sa éli e desapa ece á de la lis a.
Pa a ol e a ca ga la cons elación eal en la echa después de habe ca gado la nominal, se puede pulsa el
bo ón “Ca ga cons elación eal”.
Además de ca ga los sa éli es disponibles, la he amien a o ece la opción de desac i a los, y ealiza los
análisis con dichos sa éli es ue a de se icio. De es a mane a podemos obse a de qué modo empeo a po
ejemplo el PDOP pa a una es ación de e minada según qué sa éli es es én o no ac i os.
O o pa áme o impo an e incluido en es e ecuad o (Figu a 8.12-13) es el de PDOP máximo. Más adelan e se
ha án obse aciones al espec o.
Po úl imo el panel de esul ados da acceso a la ep esen ación del esul ado de los análisis ealizados:
Figu a 8.14. Panel de esul ados pa a el análisis de una es ación.
El p ime bo ón si e pa a hace e ec i as las modi icaciones impues as en la con igu ación del análisis po el
usua io (cambios en la localización de la es ación, en el ángulo de másca a, sa éli es desac i ados, PDOP
máximo…).
In e az de la he amien a
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Si animamos las azas de es e análisis sucede lo siguien e:
Figu a 8.27. Visibilidad de los sa éli es en la animación de las azas pa a Sydney.
La igu a pa ecie a da in o mación e ónea. Hay líneas que enlazan la es ación con sa éli es que pa ecen es a
alejados, y la supues a línea de isión a a iesa el globo de lado a lado pa a llega de la es ación al sa éli e.
Sin emba go los sa éli es que mues a como isibles e ec i amen e lo son, ya que aunque pa ezcan es a
“lejos”, ealmen e es án ce ca de la es ación, pues los me idianos 180ºE y 180ºW son el mismo. El p oblema
es que si únicamen e indicamos a MATLAB que c ee una línea de unión, es a c uza odo el mapa, ya que
conec a pun os con longi udes nega i as y pun os con longi udes posi i as, con lo que las ec as de unión
a a iesan el me idiano de G eenwich. E iden emen e MATLAB desconoce la con inuidad que exis e en los
me idianos 180º, y que ese es el camino más co o.

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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Pa a a egla lo simplemen e enemos que hace una co ección si el sa éli e isible en la época cumple que
( )
e i j
  

. El esul ado ob enido en onces es el siguien e:
Figu a 8.28. Co ección de la animación pa a el caso de la Figu a 8.23.
Aho a las ec as ep esen adas son más ieles a línea isual en e cada sa éli e y la es ación.
En es as igu as se puede obse a ambién la indicación del iempo, que apa ece en la pa e supe io . En la
Figu a 8.28, la imagen co esponde a las 00:34.
Si en la Figu a 8.14 pulsamos la opción “Anima 3D” se ob iene una imagen del globo e áqueo y las ó bi as
de los sa éli es. En dicha isión 3D la Tie a o a, al y como debe, espec o al sis ema de e e encia
Geocén ico Ecua o ial, que es en el que es á hecha la animación, y se obse an los sa éli es o bi ando.
En caso de que el usua io seleccione un ángulo de másca a, apa ece á un cono ubicado con su é ice en la
es ación, que ma ca la egión del espacio sob e es a de la que iene isibilidad. Así mismo, aquellos sa éli es
que en una de e minada época sean isibles po la es ación es a án unidos a ella con una línea que en es e caso
sí que ep esen a la línea eal de isión. Es po es o que es a línea apa ece pa a aquellos sa éli es que en en en
el cono de isibilidad ( egión con ele ación mayo que el ángulo de másca a) y desapa ece cuando un sa éli e
abandona dicha egión y deja de se isible.
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Figu a 8.29. Animación 3D de la isibilidad de los sa éli es.
El cono de isibilidad po supues o ha de es a siemp e si uado con su é ice en la localización de la es ación,
po lo que se mue e solida io a la o ación de la Tie a.
Además, como se ap ecia en la Figu a 8.29, los sa éli es apa ecen nume ados pa a pe mi i su iden i icación.
Po úl imo, hay una e ique a en la que se mues a la ho a co espondien e du an e la animación, del mismo
modo que sucede con la animación de la aza.
Es a ep esen ación puede o a se, amplia se o educi se como el usua io desee pa a acili a una isualización
lo más cómoda posible.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Figu a 8.30. Animación 3D de las ó bi as, con indicación de la isibilidad y ho a.
De es a mane a, empleando las animaciones podemos obse a de o ma muy in ui i a qué sa éli es son
isibles en cada época. Así mismo la ep esen ación g á ica del his o ial de isibilidad de cada sa éli e (Figu a
8.21) pe mi e e de o ma p ecisa e inmedia a qué sa éli es son isibles y cuáles no, en qué épocas, e c.
Además la ba a deslizan e (Figu a 8.9) nos pe mi e obse a las posiciones de los sa éli es en sus azas de
o ma es á ica pa a la época que desee el usua io, así como su disposición en el espacio pulsando la
isualización 3D.
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8.4 Análisis de con inuidad en uelo
Figu a 8.31. Ven ana de análisis de con inuidad en uelo.
En p ime luga enemos una isualización de las azas de la cons elación, así como la ep esen ación de la
ayec o ia que segui á la posición de la ae ona e.
Figu a 8.32. T aza de la cons elación GPS y ayec o ia del a ión.
La ayec o ia se ep esen a con una línea más g uesa de colo azul. Los pun os de o igen y des ino se ma can
con c uces azul cla o y ojo espec i amen e. La posición de la ae ona e se ep esen a con un ombo de colo
neg o.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Figu a 8.33. Visualización del uelo. En la igu a, en e Se illa y Hambu go.
Es a imagen nos pe mi e obse a sob e qué pun os pasa cada sa éli e, así como la posición exac a de cada uno
de ellos a la ho a que desee el usua io. Lo mismo sucede con la ayec o ia de la ae ona e. Pa a es o exis e una
ba a deslizan e que pe mi e al usua io modi ica la ho a, de modo que se puedan isualiza las posiciones de
odos los elemen os de o ma es á ica en la época que se desee. Es a ba a se encuen a a la de echa de la
imagen de las azas (Figu a 8.31).
Los pun os de o igen y des ino son modi icables, así como la elocidad de uelo.
Figu a 8.34. Modi icaciones de los pa áme os del uelo.
El ipo de u a (Capí ulo 6) es seleccionable con una lis a desplegable: o od ómica o loxod ómica.
Po úl imo, del mismo modo que se explicó en el apa ado an e io , se puede selecciona la cons elación
nominal y la cons elación eal.
Un panel simila al de las Figu as 8.12-13 apa ece en es a en ana, que nos pe mi e desac i a o ac i a los
sa éli es disponibles pa a pe sonaliza el análisis.

In e az de la he amien a
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El alo de la disc e ización en el iempo así como el g ado de la in e polación se pueden edi a al igual que en
el análisis de la es ación en ie a.
Figu a 8.35. Edición de pa áme os pa a el in e polado . Edi o de ho a de pa ida pa a el uelo.
En es a igu a obse amos un nue o panel, llamado “ho a de pa ida”. Dado que simula emos un uelo, la
he amien a nos a a p opo ciona la in o mación de la disponibilidad du an e el iempo que du e, po lo que
podemos selecciona ambién la ho a a la que es e uelo comienza. Las posiciones de los sa éli es du an e el
uelo depende án de la anja ho a ia du an e la que anscu a. Fijada la ho a de salida, el iempo de llegada
iene de e minado po la elocidad del uelo y la ayec o ia a segui .
El panel de esul ados iene un aspec o simila al de la Figu a 8.13.
Figu a 8.36. Panel de esul ados pa a el análisis en uelo.
En la pa e supe io ap eciamos la casilla de edición del PDOP máximo deseado po el usua io pa a los análisis
de disponibilidad. La unción de los bo ones “Núme o de sa éli es disponibles”, “PDOP” y “Visibilidad de los
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
sa éli es” es la misma que en el análisis pa a una es ación ija. Sin emba go aho a los análisis se mues an pa a
el iempo del uelo, du an e el cual que emos conoce la disponibilidad.
Po ejemplo, pa a el análisis Se illa-Hambu go de las igu as an e io es, con salida a las 04:27, usando la
cons elación nominal con 4 sa éli es menos e imponiendo un PDOP máximo de 2, ob enemos lo siguien e:
Figu a 8.37. E olución del PDOP pa a un caso de uelo.
Figu a 8.38. Análisis de la disponibilidad pa a el caso de la Figu a 8.27 con PDOP máximo de alo 2.
In e az de la he amien a
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Po úl imo, la opción “Anima azas” de la igu a 8.36 nos pe mi e anima las azas. La di e encia con el
análisis en ie a es que la posición de la ae ona e cambia con el iempo. De nue o, se nos da la opción de
acele a la elocidad de la animación.
Figu a 8.39. Animación de las azas pa a el análisis en uelo.
8.5 Análisis de una egión
Figu a 8.40. Ven ana de análisis de una egión.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
En es a ocasión no disponemos de un mapa con las azas, ya que es e puede consul a se ácilmen e en los dos
módulos an e io es, además, si se quie e sabe con exac i ud que sa éli es son más o menos iempo isibles en
la egión, más adelan e e emos que exis e la opción de e el his o ial de isibilidad de cada uno de ellos,
como en los análisis en ie a y uelo. En es e modulo el mapa se mues a pa a pe mi i al usua io isualiza la
egión seleccionada.
Figu a 8.41. Mapa con la egión de Eu opa seleccionada.
Los lími es de la egión son seleccionables, así como el ni el de disc e ización del mismo. Como enimos
comen ando en los an e io es capí ulos, la p oyección u ilizada pa a el mapa de o ma la imagen. Es o signi ica
que pun os con mayo es la i udes apa ecen ampliados en cuan o a longi ud se e ie e. Po lo an o dichas zonas
ienen una disc e ización más ina en cuan o a pun os sob e la supe icie eal, ya que la disc e ización se es á
ealizando en alo es de la i ud y longi ud, que sí gua dan una escala lineal y uni o me en la p oyección
cilínd ica equidis an e.
P ác ica de Fundamen os de Na egación Aé ea
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se edioso y con uso. Es o podía di icul a la p ác ica, ala ga la, y des ia la concen ación de los alumnos en
los esul ados debido a las con igu aciones que de debían ealiza en e cada análisis.
A con inuación un ejemplo de la con igu ación de STK pa a analiza acceso y cobe u a pa a una egión:
Figu a 9.3. Pá a os ex aídos del bole ín de la p ác ica pa a STK [19].
En la igu a emos una explicación cla a y paso a paso del p oceso a segui pa a ealiza los análisis necesa ios
pa a alcanza los obje i os de la p ác ica con STK. Sin emba go se ap ecia a simple is a la g an can idad de
manipulación de opciones y pasos necesa ios.
El bole ín de la he amien a desa ollada en es e p oyec o busca se más sencillo (dado que la he amien a es á
más di ec amen e en ocada a cumpli los obje i os de la p ác ica). Se puede consul a en el Apéndice A.

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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
9.3 Cues iona io a los alumnos
Pa a alo a la opinión de los alumnos, comp oba la acilidad de uso y e icacia de la aplicación, y po
supues o ecauda p opues as de mejo as, ecomendaciones, de ección de allos, y cualquie o a aliosa
apo ación po pa e de los alumnos (que son el usua io obje i o de la he amien a) se elabo ó un cues iona io
pa a que los alumnos lo ellena an al inaliza la p ác ica.
El o ma o e a el siguien e:
Figu a 9.4. Fo ma o de cues iona io de opinión pa a los alumnos.
P ác ica de Fundamen os de Na egación Aé ea
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9.3.1 Resul ados de la alo ación de los alumnos
A con inuación amos a analiza los esul ados del cues iona io y mos a los comen a ios más impo an es de
los alumnos.
El cues iona io ue espondido po 45 alumnos.
Facilidad de uso
de la aplicación
In e és de la
p ác ica
Cla idad del
bole ín
Media
4,62
4,28
4,40
Des iación
ípica
0,61
0,82
0,65
En gene al los esul ados ob enidos son bas an e op imis as. Los alumnos es án sa is echos con la acilidad de
uso de la aplicación y la cla idad del bole ín. Lo mismo sucede con el in e és de la p ác ica, que es sin emba go
el pun o más dado a a iedad de opiniones, como se e en su mayo alo de la des iación, ya que el in e és en
el ema de la p ác ica es algo más subje i o.
El pun o que en gene al ha ecibido mayo pun uación es la acilidad de uso.
Teniendo en cuen a que los alumnos se en en a on a la p ác ica y la he amien a en un es ado aun sin puli
(Apa ado 9.1), los esul ados ob enidos son sa is ac o ios.
Algunos de los comen a ios más impo an es (po se los más epe idos o po el con enido en sí) son:
1) Fal a de espacio en el bole ín pa a esc ibi las soluciones. Un alumno p opone una abla.
2) Fal a de eloj que indique la ho a en la animación. Ausencia de una opción pa a pausa la animación y
e la disposición de los sa éli es en un momen o dado, o la posibilidad de manipula el iempo de la
animación.
3) En el módulo de egión, no hay opción de hace zoom pa a e mejo los lími es de la egión. Además
no se puede sabe qué sa éli es sob e uelan la egión ya que no hay his o ial de isibilidad pa a cada
sa éli e (aún no se había implemen ado pa a la egión).
4) Al amplia la isualización 3D en el panel de pa áme os del análisis de es ación en ie a, la imagen
sale de su ecuad o.
Como se e, g an pa e de los comen a ios hacen e e encia a las limi aciones comen adas en el Apa ado 9.1.
Apa e de es os comen a ios, había muchos alo ando posi i amen e la he amien a, que en gene al se
conside a ácil e in ui i a. Conside an la p ác ica in e esan e y a i man que les ha ayudado a comp ende los
concep os is os en la asigna u a, y que los esul ados g á icos son áciles de in e p e a
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
A con inuación se a a explica cómo se han esuel o las obse aciones hechas po los alumnos:
1) Es e p oblema es de ácil solución. Po ejemplo elabo a una abla como p opone uno de los alumnos
es una buena opción. En cualquie caso an solo se debe edi a el bole ín.
2) Como se ha explicado en el capí ulo 8, odas las isualizaciones de azas u ó bi as cuen an ya con un
eloj, así como una nume ación de los sa éli es pa a acili a su iden i icación. Además, se ha
implemen ado la opción de manipula el iempo de las isualizaciones con la ba a deslizan e de
iempo, que pe mi e e azas y ó bi as en 3D en la época que desee el usua io de o ma es á ica.
Además se ha mejo ado la animación 3D, que aho a ambién cuen a con nume ación de los sa éli es e
indicación de la isibilidad.
3) En el módulo de egión se ha añadido la opción de hace zoom pa a e de ce ca el mapa y los lími es
de la egión. Además como se explicó en el capí ulo 8, aho a se puede accede ácilmen e a la
in o mación de qué sa éli es son isibles desde la egión.
4) Respec o a es e pun o, es una limi ación p opia de la in e az GUIDE de MATLAB.
Las obse aciones de los alumnos han sido enidas en cuen a en la mejo a de la he amien a has a su es ado
inal, y se han implemen ado más mejo as explicadas en el Capí ulo 8.
Se espe a po an o que en el u u o se alcancen mayo es ni eles de sa is acción po pa e de los alumnos.
Análisis con la he amien a
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10 ANÁLISIS CON LA HERRAMIENTA
n es e capí ulo se an a ealiza a ios análisis con la he amien a, pa a in en a ep oduci g á icas de
in e és de algunas e e encias [3] y compa a esul ados pa a p oba la exac i ud, lógica y cohe encia de
los esul ados que p opo ciona la he amien a.
10.1 Compa ación del análisis de es ación
La siguien e igu a, ob enida con el so wa e come cial STK, mues a un análisis local pa a Bos on,
co espondien e a la echa 23/12/1994. Se ha empleado un ángulo de másca a de 7º, y se ha impues o un
PDOP máximo de 6. Es os da os y las coo denadas de la ciudad pueden consul a se en la esquina supe io
de echa de la igu a.
Figu a 10.1 Análisis de la cons elación nominal pa a Bos on empleando STK.
Vamos a in en a ep oduci dichos análisis empleando la he amien a.
Hace lo es muy sencillo. En p ime luga acudimos al inicio de la he amien a y ijamos la echa a 23/12/1994,
y en amos al módulo de análisis de es ación en ie a.
Fijamos las coo denadas a 42.35ºN, 71.08ºW. Fijamos el ángulo de másca a a 7º, y es ablecemos un PDOP
máximo de 6.
E
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Figu a 10.2. Con igu ación en la he amien a pa a ep oduci el análisis de la Figu a 10.1.
Solo queda pulsa “Ac ualiza da os”. Veamos los esul ados ob enidos.
Visibilidad de los sa éli es:
Figu a 10.3. Visibilidad de los sa éli es pa a el análisis de la Figu a 10.2.
Compa emos sa éli e a sa éli e con los esul ados de la e e encia. Se ha gi ado espec o a un eje ho izon al la
Figu a 10.8 pa a que coincida el o den de los sa éli e, ya que nues a g á ica los o dena en o den ascenden e y
la que p opo ciona el STK los o dena en o den descenden e.

Análisis con la he amien a
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Figu a 10.4. Compa a i a de isibilidad de sa éli es en e STK y la he amien a desa ollada.
Obse amos que no hay apenas di e encia en e ambas g á icas, más allá de las sepa aciones e icales en e
los da os de cada sa éli e ya que nues a g á ica deja un espacio en blanco y la ob enida con STK elimina el
espacio. Pe o la in o mación de disponibilidad es exac amen e igual pa a odos los sa éli es, lo cual nos si e
pa a con i ma la e acidad de los análisis ealizados po la he amien a desa ollada en el p oyec o en cuan o
a es e ipo de análisis se e ie e.
Puede comp oba se ambién mi ando los da os de cada sa éli e en las Figu as 10.6 y 10.8.
Si es a g á ica es idén ica, ambién lo se á la de “Núme o de sa éli es isibles”, pues es la suma pa a cada
época.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
10.2 Compa ación de análisis de disponibilidad manipulando sa éli es en la
cons elación
Aho a amos a in en a hace una compa ación más in e esan e: la disponibilidad en una si uación más
des a o able (desac i ando sa éli es).
Pa a ello emplea emos la siguien e igu a:
Figu a 10.5. Análisis de la cons elación nominal pa a Bos on, con los sa éli es 16, 25 y 26 ue a de se icio.
Ponemos a p ueba una ez más la he amien a, no solo en cuan o al núme o de sa éli es isibles, sino en
cuan o a las simulaciones de PDOP y disponibilidad con sa éli es desac i ados (16, 25 y 26 ue a de se icio).
Además en es a ocación el so wa e STK de ec a dos gaps en los que el se icio no es á disponible: uno a las
12:00 y o o poco an es de las 21:00. T a a emos ambién de compa a la o ma de PDOP en unción del
iempo.
P ime o con igu amos nues a he amien a pa a la si uación especi icada:
Figu a 10.6. Con igu ación de la he amien a con los sa éli es 16, 25 y 26 desac i ados.
Análisis con la he amien a
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Veamos los esul ados ob enidos:
De nue o la g á ica de la isibilidad de los sa éli es es idén ica: se han eliminado los co espondien es 3
sa éli es.
En cuando al PDOP y los gaps:
Figu a 10.7. Compa ación de espacios sin disponibilidad según análisis con la he amien a y STK.
La he amien a de ec a ambién dos gaps. Uno cen ado en las 12:00 y o o que inaliza a las 20:50 (jus o an es
de las 21:00). De nue o la he amien a nos p opo ciona unos esul ados idén icos a los ob enidos con el
so wa e come cial STK.
Respec o al PDOP:
Figu a 10.8. Compa ación de la e olución del PDOP con STK y con la he amien a.
Las di e encias, de nue o son mínimas.
Los análisis y compa aciones ealizados en es e apa ado nos dejan e , en p ime luga , la p ecisión de los
cálculos y análisis que ealiza la he amien a.
Además nos pe mi en con ia en las con igu aciones ealizadas con la he amien a: los ajus es ealizados en las
coo denadas de la es ación, ángulo de másca a, sa éli es ue a de se icio, o lími e de PDOP máximo nos han
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
dado unos esul ados idén icos a los ob enidos con STK, a pesa del núme o de es icciones que es ábamos
imponiendo a la simulación.
Además, se obse a que ep oduci es e ipo de análisis es sumamen e sencillo, ya que la he amien a
p opo ciona una in e az in ui i a pa a ealiza las modi icaciones. La lis a con los sa éli es disponibles
indicando el núme o co espondien e a cada uno ha pe mi ido selecciona co ec amen e aquellos que se
debían desac i a .
10.3 Disponibilidad global
Pa a con inua p obando la calidad de los análisis de la he amien a amos a in en a ep oduci una nue a
g á ica. Pa a ello se a a emplea la he amien a, más conc e amen e el módulo de análisis de egión, pa a
analiza la disponibilidad del se icio de posicionamien o a ni el global con la cons elación nominal.
El obje i o es ec ea la siguien e g á ica:
Figu a 10.9. Disponibilidad global pa a dis in od alo es de PDOP.
Pa a ello empleamos el módulo de análisis de egión y disc e izamos el mapa comple o. Empleamos una
disc e ización de 50 (2401 pun os), un “d ” de 5 minu os y g ado de in e polaión 5 con la cons elación
nominal.
Realizamos los cálculos pa a ángulo de másca a 0º, 2.5º, 5º y 7.5º.
Las g á icas las ob enemos con la opción “Disponibilidad Región” en el panel de esul ados, ya que
p opo ciona los alo es de la disponibilidad pa a di e en es PDOP.
Cons elación Galileo
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Empleando el p opagado pa a ep oduci las ó bi as y el in e polado pa a manipula la disc e ización del
iempo como hicimos con la aplicación GPS, ob enemos las e emé ides de la cons elación y las usamos pa a
ec ea una aplicación de análisis de la cons elación nominal Galileo.
Vamos a ealiza a ios análisis y compa a con la cons elación GPS.
Figu a 11.1. A la izquie da la cons elación Galileo. A la de echa la cons elación GPS.
Mien as que los da os ob enidos con el p opagado nos dan planos exac amen e coinciden es al habe sido
ob enidos ma emá icamen e, los da os de la cons elación GPS, ob enidos de la base de da os de IGS mues an
ó bi as ap oximadamen e en el mismo plano, ya que en la ealidad hay pequeñas des iaciones y es imposible
posiciona los sa éli es en los planos o bi ales de o ma exac a, además a lo la go del iempo las pe u baciones
modi ican las ó bi as, que se ienen que co egi .
Las e emé ides de las ó bi as GPS en 1994 se encuen an mejo con enidas en los 6 planos co espondien es:
Figu a 111.2. Cons elación GPS nominal en 1994.

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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Figu a 11.3. A iba cons elación Galileo. Abajo cons elación GPS.
Respec o a las azas, emos que an o la cons elación Galileo como la GPS consiguen una dis ibución que
cub e oda la supe icie (has a las la i udes co espondien es de 55º y 56º). Sin emba go la cons elación Galileo
iene una dis ibución mucho más uni o me que la GPS, debido a que es a úl ima sigue la dis ibución no
uni o me comen ada an e io men e.
Cons elación Galileo
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Pa a compa a los alo es de PDOP empleamos, po ejemplo, un análisis de es ación pa a Se illa:
Figu a 11.4. PDOP con Galileo (a iba), GPS nominal (cen o) y GPS eal con 32 sa éli es (abajo).
Los alo es de PDOP son muy simila es en ambas cons elaciones. Tan o la cons elación GPS nominal como la
Galileo ienen alo es de PDOP en o no a 1.5, aunque la Galileo es más “es able”, ya que al se egula se
epi e el mismo pa ón, mien as que la GPS mues a algunos picos con máximos más al os. Sin emba go
eniendo en cuen a que la GPS nominal iene 3 sa éli es menos, log a un endimien o bueno en es e caso.
La cons elación GPS eal es la que iene meno es PDOP, lo cual es azonable ya que iene mayo núme o de
sa éli es.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Pa a el núme o de sa éli es isibles:
Figu a 11.5. Sa éli es isibles con Galileo (a iba), GPS nominal (cen o) y GPS eal con 32 sa éli es (abajo).
De nue o an o la cons ea lación Galileo como la GPS ienen alo es simila es pa a la nominal, aunque la
cons elación Galileo alcanza alo es de 12 y no baja de 7, mien as que la GPS alcanza 6 en un de e minado
momen o y no alcanza alo es supe io es a 11. Ambas cons elaciones uncionan de o ma simila , des acando
la GPS si enemos en cuen a que son 24 sa éli es. La cons elación GPS eal log a isibilidad de más sa éli es
debido al mayo núme o de ellos en es a cons elación.
Po lo an o, a ni el local en Se illa ambas ienen un uncionamien o muy pa ecido. Pe o es e ipo de análisis
puede cambia no ablemen e el esul ado dependiendo de la localización.
Cons elación Galileo
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Pa a compa a con un en oque más gene al, amos a analiza globalmen e empleando el módulo de análisis de
egión.
Pa a un ángulo de másca a de 7.5º:
Figu a 11.6. Disponibilidad global en unción de PDOP pa a Galileo (izquie da) y GPS (de echa) nominales.
GPS nominal
Galileo nominal
Disponibilidad
PDOP
~ 0
1.8
1.5
~ 50
1.88
1.55
~70
2
1.66
~ 90
2.5
1.85
100
-
2.9
La cons elación GPS nominal no alcanza disponibilidad del 100% (anque se queda en o no al 99%) pa a los
alo es conside ados de PDOP, además emos que iene mayo es alo es de PDOP pa a la misma
disponibilidad.
De es e análisis se desp ende que la cons elación Galileo iene mejo calidad que la GPS nominal a ni el
global.
Figu a 11.7. Gaps pa a GPS nominal, PDOP máximo 5. Pa a Galileo la disponibilidad es 100% (sin gaps).
117
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
Pa a un ángulo de másca a de 10º:
Figu a 11.8. Disponibilidad global en unción de PDOP pa a Galileo (izquie da) y GPS (de echa) nominales.
GPS nominal
Galileo nominal
Disponibilidad
PDOP
~ 0
1.9
1.8
~ 50
2
1.85
~70
2.1
1.85
~ 90
2.65
1.95
100
-
3.3
E iden emen e al aumen a el ángulo de másca a la cons elación GPS nominal no alcanza disponibilidad del
100% pa a los alo es conside ados de PDOP, además emos que sigue eniendo mayo es alo es de PDOP
pa a la misma disponibilidad.
Figu a 11.9. Gaps pa a GPS nominal, PDOP máximo 5. Pa a Galileo la disponibilidad es 100% (sin gaps).

Cons elación Galileo
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Con es os análisis podemos comp oba que la cons elación Galileo nominal o ece (idealmen e) un sis ema de
posicionamien o con mayo p ecisión y disponibilidad, a ni el global, que el GPS nominal.
Dicho es o, un análisis más in e esan e se ía obse a cómo se e a ec ada la calidad del se icio en cada
cons elación an e allo de sa éli es, sin emba go es e ipo de es udio no es i ial, ya que depende del sa éli e
que se desee desac i a , (sob e odo en la cons elación GPS, que iene una dis ibución i egula ) y el e ec o de
es as modi icaciones es más no able en egiones conc e as que a ni el global.
Pe o los esul ados ob enidos aquí nos pe mi en espe a buena calidad del se icio de Galileo en el momen o
en que es é disponible. Es impo an e ambién comen a que una de las p incipales ca ac e ís icas de Galileo es
que se á capaz de p opo ciona in o mación en iempo eal sob e la in eg idad del sis ema [4], lo que pe mi i á
ene más con ianza en él.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
12 CONCLUSIONES
n es e el úl imo capí ulo se an a mos a las conclusiones ex aídas de la ealización del abajo:
- Empleando los conocimien os adecuados, es posible c ea he amien as de so wa e lib e capaces de
p opo ciona la misma calidad en los esul ados que la ob enida po so wa e come cial. La
p og amación en MATLAB y sus paque es de c eación de in e az (GUIDE) o ecen buenas
posibilidades pa a ello.
- La p incipal en aja de las he amien as de es e ipo es que es án o almen e abie as a modi icaciones
po pa e del usua io. Se pueden añadi uncionalidades en un u u o y mejo a o modi ica las
ac uales, así como cambia la o ma de mos a los esul ados.
- Una ez desa ollados los algo i mos, ambién es c ucial abaja la implemen ación, eniendo en
cuen a las limi aciones de la in e az y de la pla a o ma en que se es é p og amando (en es e caso
MATLAB).
- Con el empleo de la he amien a se pueden obse a cla amen e concep os elacionados con el
se icio de posicionamien o, como la dependencia del PDOP con el núme o de sa éli es:
Cuando aumen a el núme o de sa éli es disminuye el PDOP, si el núme o de sa éli es isibles disminuye,
aumen a el PDOP. Como se ap ecia en la igu a, los “escalones” coinciden.
E
Conclusiones
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- A la ho a de ob ene in o mación undamen al, como en es e caso han sido las e emé ides de la
cons elación, podemos op a po la simulación o po oma la de una base de da os, lo que nos
ga an iza unos da os más ce canos a la ealidad. Sin emba go con es o úl imo no bas a. En ocasiones
debemos combina las uen es con o as he amien as pa a ob ene in o mación más ú il pa a la
aplicación que deseamos alcanza , como ue en es e caso la in e polación pa a aumen a la esolución
en el iempo de los da os.
- De nue o, elacionado con los da os ob enidos de las e emé ides desde el se icio IGS, es impo an e
in e p e a co ec amen e la in o mación de la uen e y adap a la a los o ma os con los que se ha
decidido abaja , c eando los algo i mos que nos pe mi an pasa de unos o ma os a o os.
- La geome ía de las ó bi as y la dis ibución de los sa éli es en ellas es ealmen e un aspec o
undamen al a la ho a de diseña una cons elación de na egación po sa éli es. Dicha geome ía a ec a
an o a la calidad del se icio como a la ulne abilidad an e allos de sa éli es. Pa a es o es impo an e
ene en cuen a an o el se icio a ni el local (es ación) como global ( egión).
- El empleo de es e ipo de he amien as puede se muy ú il pa a ayuda a los alumnos en su
ap endizaje, como con i man los esul ados de las encues as ealizadas. Además la e aluación y
c í ica de la he amien a que ealiza on los alumnos as p ác ica ha sido undamen al a la ho a de
mejo a la y de busca una in e az lo más ú il e in ui i a posible.
- Ac ualmen e se sigue a anzando en los sis emas de na egación po sa éli e. Finalizada la cons elación
Galileo, si se ga an iza la in e ope abilidad con o as cons elaciones (capacidad de emplea a ios
sis emas jun os pa a alcanza mejo es esul ados) mejo a á el se icio y quizá su uso pueda ex ende se
a aplicaciones que equie an mayo p ecisión. Además, la capacidad de p opo ciona in o mación de
la in eg idad de Galileo pe mi i á aumen a la con ianza en es e sis ema.
12.1 T abajo u u o
En es e p oyec o se han a ado concep os básicos elacionados con cons elaciones de na egación po sa éli e y
se ha implemen ado una he amien a que pe mi a cumpli los obje i os de inidos en el inicio de es e p oyec o.
Dichos obje i os se han alcanzado sa is ac o iamen e, pe o cabe plan ea se nue as posibilidades pa a mejo a
y con inua la he amien a con abajo u u o.
- Implemen a ángulo de másca a a iable con el azimu pa a pe mi i análisis más a anzados, como se
explica en el apa ado 7.1.1.
- Añadi selección de o os ac o es DOP como HDOP o VDOP.
- Mejo a la p opagación conside ando las pe u baciones.
- Elimina la hipó esis de Tie a es é ica implemen ando un modelo como puede se el WGS-84.
- Mejo a el análisis de uelo eliminando las hipó esis aplicadas ( elocidad cons an e, al i ud nula…).
- Del mismo modo que se ha implemen ado la cons elación Galileo, ex ende la he amien a pa a
analiza más casos, como el aumen o de cons elaciones con sa éli es ex a geoes aciona ios, análisis
de o as cons elaciones como GLONASS, e c.
- En elación con el pun o an e io , añadi análisis de la in e ope abilidad, pudiendo analiza
combinaciones de a ias cons elaciones.
- Añadi nue as g á icas y opciones de mues a de esul ados de los análisis. Un ejemplo pueden se los
“sky plo s”, que mues an la posición de los sa éli es en el cielo desde el pun o de is a del
obse ado , o la señalización en el mapa de la cobe u a de cada sa éli e.
- Es udia la aplicación a sis emas como el GPS di e encial.
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He amen a pa a el cálculo de p ecisión y cobe u as de un sis ema de na egación po sa éli e
APÉNDICE A. BOLETÍN DE PRÁCTICAS
FUNDAMENTOS DE NAVEGACIÓN AÉREA
P ác ica 5: Disponibilidad global y egional del sis ema GPS. Con inuidad.
Nomb e del alumno:
En es a p ác ica se p e ende es udia los concep os de disponibilidad y con inuidad del sis ema
GPS.
E aluación: Se pide ellena el bole ín de p ác icas con cie os esul ados obse ados u ob enidos
de la aplicación de análisis en MATLAB.
In oducción: Concep os de PDOP, disponibilidad y con inuidad del sis ema GPS.
El empleo de la cons elación GPS en la na egación aé ea se basa en la posibilidad de de e mina la
posición de un obse ado conocidas las posiciones de los sa éli es y empleando señales de adio.
Po lo an o, pa a que el sis ema uncione co ec amen e necesi amos un núme o su icien e de
sa éli es y que es os sean isibles po el obse ado .
En gene al, si un sa éli e es á bajo el ho izon e implica que el obse ado no puede ecibi su
co espondien e señal. Pe o conside a un sa éli e isible desde que se encuen a en el ho izon e es poco
ealis a, ya que en gene al los elemen os del en o no (edi icios, acciden es geog á icos) impiden e los
sa éli es has a que es os se ele en un poco más en el cielo (concep o de ángulo de másca a). Es o nos
de e mina el núme o de sa éli es isibles po el obse ado en un de e minado momen o en el iempo.
Pe o apa e de ene isibles un núme o su icien e de sa éli es, necesi amos que la in o mación que
es os p opo cionan sea ú il pa a de e mina nues a posición con su icien e p ecisión.