CEIG - Spanish Compu e G aphics Con e ence (2018)
I. Ga cía-Fe nández and C. U eña (Edi o s)
Modelling he Fluid–Bounda y In e ac ion in SPH
Juan J. Pe ea and Juan M. Co de o
Uni e si y o Se ille, Spain
Abs ac
Smoo hed Pa icle Hyd odynamics (SPH) is a nume ical me hod based on mu ually in e ac ing mesh ee pa icles, and has
been widely applied o luid simula ion in Compu e G aphics. O iginally SPH does no de ine he beha iou o he pa icle
sys em in he con ou , so he di e en a ian s o SPH ha e been sol ing his de iciency wi h di e en echniques. Some o
hese echniques a e based on ic i ious o ces, specula pa icles o semi–analy ic ields. Howe e , all hese p oposals p esen
a d awback, ha a e may in oduce addi ional inaccu acy as a di e gen beha iou o he pa icle dynamics o an a i icial
sepa a ion be ween he luid limi s and he con ou . To sol e hese limi a ions a his pape p esen s a new echnique based
on con ou pa icles ha a e used du ing simula ion o model he in e ac ion wi h he luid. The use o con ou pa icles had
al eady been used in o he wo ks o cons uc he con ou like a pa icle laye . Tha solu ion p esen s p oblems especially
when inc easing he complexi y o he con ou shape. In addi ion, unlike o he echniques, his pape p esen s an addi ional
ad an age, he possibili y o ob aining all he dynamic magni udes o imp o ing e iciency and e sa ili y.
CCS Concep s
•Compu ing me hodologies →Collision de ec ion; Physical simula ion;
1. In oducción
La complejidad de los enómenos que apa ecen en el lujo de un
luido, se inc emen a cuando és e in e ac úa con el con o no. Es a
in e acción suele induci la apa ición de enómenos como la up u a
del lujo o la o mación de u bulencia, que sólo se pueden cuan-
i ica median e el uso de mé odos numé icos, siendo el mé odo
SPH uno de los más u ilizados [GM77,Luc77]. Desc ip i amen e,
se a a de un mé odo Lag angiano en el que el luido es modelado
median e un sis ema de pa ículas que in e ac úan mu uamen e, in-
e acción que es ponde ada median e una unción, monó ona dec e-
cien e con la dis ancia, denominada unción ke nel. La o mulación
compac a que se ob iene al u iliza SPH, en la que se ga an iza la
conse ación de la masa, jun o con su adap abilidad y e sa ilidad,
al ope a con modelados median e pa ículas, ha con e ido a SPH
en uno de los mé odos numé icos más e ec i os pa a la simulación
de luidos.
Sin emba go, a pesa de las i udes que posee, es e mé odo
p esen a impo an es limi aciones cuando se modela la in e acción
luido–con o no [Cam89,EBT10]. La consecuencia de es as limi-
aciones, es la apa ición de p oblemas de consis encia y es abili-
dad que se aducen en e o es de simulación [EBT10,MAGC11].
Además, po lo gene al, sólo es posible la implemen ación de
condiciones de con o no ela i amen e sencillas como la de Di ich-
le [HFM12].
Analí icamen e, es as limi aciones se suelen elaciona con el
uncamien o de la unción ke nel en las p oximidades del con-
o no [MK09,KHY13,SMZ15]. La consecuencia, es que se ge-
ne an acele aciones espu ias que inducen dispe siones e óneas de
las pa ículas [AIA∗12,KHY13,SMZ15]. Pa a sol en a es e p o-
blema, se han p opues o di e en es écnicas, cuya capacidad es á
condicionada po dos es icciones: la p ime a es la complejidad de
la o ma del con o no y la segunda es la imposición de las condi-
ciones de con o no. Si la o ma del con o no es angulosa se pueden
p oduci pene aciones e óneas de las pa ículas den o del con-
o no, lo que a ec a a la simulación. Pa a e i a es e p oblema se
han desa ollado écnicas basadas en la ubicación de pa ículas en
el con o no, dispues as en un único es a o [MAC∗11], o en a ios
es a os den o de él [CL03]. De es e modo, se op imiza la o ma
del pe il del con o no y se educe la posibilidad de que las pa ícu-
las luidas a a iesen el con o no. Sin emba go, aunque su uso pe -
mi e ob ene esul ados ealis as, el espec o de condiciones de con-
o no simulables es limi ado. Además, en el caso de una dis ibu-
ción de pa ículas en a ios es a os, se pueden ob ene esul ados
sob e aluados cuando el con o no es complejo, lo que a ec a al ea-
lismo de la simulación [KHY13]. Pa a e i a es as limi aciones se
han desa ollado écnicas basadas en la eno malización del con-
o no [FLR∗12] o en su modelado semi–analí ico [MRVF13]. Con
es os mé odos, se mejo a la simulación en con o nos complejos e
incluso pe mi en impone condiciones de con o no complejas. No
obs an e, la complejidad de su o mulación los hacen poco ade-
cuado pa a su uso en el ámbi o de Compu e G aphics (CG).
Conside ando las en ajas de es as écnicas y con el obje i o
de e i a sus incon enien es, hemos desa ollado nues a écnica
c
2018 The Au ho (s)
Eu og aphics P oceedings c
2018 The Eu og aphics Associa ion.
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DOI: 10.2312/ceig.20181147
Juan J. Pe ea & Juan M. Co de o / Modelling he Fluid–Bounda y In e ac ion in SPH
pa a modela la in e acción luido–con o no. Se a a de una éc-
nica que aúna las en ajas del mé odo de pa ículas de con o no
y del mé odo del con o no semi–analí ico. Hemos seleccionado el
mé odo de pa ículas de con o no po las en ajas en lo e e en-
e a e sa ilidad y adap abilidad a con o nos complejos, como se
demues a en los es udios de [BTT09,AIA∗12]. Pe o en nues a
écnica amos a ob ene una o mulación en la que no es nece-
sa io in oduci magni udes dinámicas a i iciosas en las pa ícu-
las del con o no, ni adap a el paso de iempo. En lo e e en e a
conside a el mé odo del con o no semi–analí ico, nues o obje-
i o es p opo ciona un mé odo con el que impone condiciones
de con o no complejas. Condiciones que no son modeladas en los
mé odos pa ículas de con o no exis en es. Además, se consegui á
un en o no que a o ezca simulaciones es ables y p ecisas, como
ga an izan los mé odos semi–analí icos, pe o con una o mulación
ela i amen e menos compleja que acili e su uso en CG.
T as es a in oducción el es o del a ículo se o ganiza del si-
guien e modo. En la sección 2desc ibimos las écnicas más des a-
cables en el modelado de la in e acción luido–con o no, nos cen-
a emos en sus ca ac e ís icas más no ables, así como en las li-
mi aciones que puedan p esen a . En la sección 3desc ibi emos la
écnica que p oponemos, desglosa emos el p oceso en dos e apas y
e idencia emos las en ajas que o ece. Po o o lado, en la sección
4mos a emos los esul ados que se ob ienen al implemen a nues-
o modelo p opues o. Finalmen e, en la sección 5expond emos las
conclusiones que se pueden deduci de los esul ados ob enidos.
2. T abajo Relacionado
Pa a modela la in e acción luido–con o no, se han desa ollado
di e sas écnicas o ien adas a mejo a el ealismo de la simu-
lación, e i a los p oblemas elacionados con la o ma del con-
o no e impone condiciones de con o no desc i as median e ecua-
ciones di e enciales. En e odas ellas des acan: el mé odo del lujo
no mal [ZSMC17], la eno malización del con o no [FLR∗12],
el me odo de con o no semi–analí ico [DMMG∗11,MRVF13], la
implemen ación de ue zas lími es [MK09,AIA∗12], el uso de
pa ículas ijas en el con o no [MAC∗11] y la dis ibución de
pa ículas especula es o an asmas [CL03].
El mé odo de lujo no mal, como se desc ibe en [ZSMC17], se
basa en la o mulación in eg al de SPH pa a esol e el p oblema
de uncamien o de la unción ke nel en las p oximidades del con-
o no. En sín esis, es a écnica ope a sob e la o mulación de una
in eg al de supe icie de inida sob e el con o no. De es e modo,
e i a la up u a de sime ía de la unción ke nel, aunque plan ea
o os p oblemas elacionados con la esolución de la in eg al de
supe icie. En especial, cuando la geome ía del con o no p esen a
pe iles angulosos [LVFK14]. Además, la complejidad de la o -
mulación de inida en es e mé odo, lo hace poco adecuado pa a su
uso en CG. En es e mismo con ex o, es deci , e i a el p oblema
de uncamien o de la unción ke nel, se ha desa ollado la écnica
de eno malización del con o no [FLR∗12,HFM12,LVFK14]. En
sín esis, consis e en eno maliza la unción ke nel conside ando
la posición ela i a de las pa ículas y el con o no. Es a eno ma-
lización se puede ealiza median e mé odos ap oxima i os, cómo
p opusie on DeLe e e al. [DLTA09], o analí icos, según la des-
c ipción de Feldman y Bone [FB07]. De es e modo, la unción
eno malizada co ige la ausencia de pa ículas más allá los lími es
del con o no. No obs an e, a pesa de que esuel e, en pa e, el p o-
blema de uncamien o de la unción ke nel, y que la o mulación
ob enida es menos compleja que la del mé odo del lujo no mal,
sólo es e ec i a pa a con o no sua es. En el caso de con o nos com-
plejos, el mé odo equie e del uso de di e en es unciones ke nel
no malizadas, lo que suele induci incong uencias numé icas en los
esul ados, como se des aca en [MK09,LVFK14].
Desde o o pun o de is a y con el obje i o de pode mode-
la cualquie condición de con o no se ha desa ollado el mé odo
semi–analí ico [DMMG∗11,MRVF13]. En esencia, el mé odo con-
sis e modela el con o no como un con inuo sob e el que se de ine
la o mulación in eg al, no sólo de las condiciones de con o no,
sino ambién la conse ación de las magni udes an o dinámicas
como e modinámicas. De es e modo, se desa olla un en o no
ma emá ico que pe mi e maneja con o no complejos y cualquie
condición de con o no, independien emen e de su o den di e en-
cial. En la in es igación desa ollada po [MRVF13] se lle a a cabo
una desc ipción exhaus i a de es e mé odo. La cla e es la o mu-
lación in eg al del denominado ac o de co ección de inido sob e
el con o no. Es e ac o de co ección ponde a á las magni udes en
las p oximidades del con o no y pe mi i á modela las ecuaciones
di e enciales del con o no. De es e modo, se consigue mejo a la
simulación del luido y amplia el espec o de condiciones de con-
o no simulables. Sin emba go, p esen a el p oblema de la comple-
jidad de las ecuaciones que se ob ienen. Complejidad que se inc e-
men a pa a con o nos con o mas ela i amen e poco complejas. La
consecuencia es que, con su o mulación comple a, el mé odo no es
ap opiado pa a su uso en CG.
En o o o den, se han desa ollado écnicas que ob ian el p o-
blema del uncamien o de la unción ke nel y se han cen ado en
modela la dinámica especí icamen e en las egiones de con o no.
Las más ex endidas se basan en la implemen ación de ue zas ic i-
cias, cuyo módulo depende de la dis ancia en e las pa ículas y el
con o no. Po depende de la dis ancia ela i a, suelen se o mu-
ladas a pa i de po enciales conse a i os, como la p opues a de
Mülle e al. [MST∗04] cuyas ue zas ic icias se de i an del po-
encial de Lenna d–Jones. La p incipal en aja que o ecen es as
écnicas es su ácil implemen ación, con un cos e compu acional
ela i amen e bajo, como se des aca en [MST∗04,Mon05,MK09].
Sin emba go, pa a que los esul ados sean es ables, se equie e de
una elección especí ica de las cons an es que con olan las ue zas
ic icias [EBT10] y de pasos de iempo muy co os [AIA∗12].
Además, suelen in oduci un uido numé ico, no ísico, en la
elocidad y en la p esión de las pa ículas, como analiza on
[SCA∗11,FLR∗12]. El esul ado, son dispe siones e óneas de las
pa ículas o su sepa ación i eal del con o no [LVFK14]. O a li-
mi ación que p esen an, es que no pe mi en un con ol especí ico
del campo de p esiones ni de elocidades, según es des acado po
[HFM12,ZSMC17].
O as écnicas al e na i as, desa olladas pa a e i a los p o-
blemas de las ue zas lími es, se basan en el modelado del con-
o no median e pa ículas ic icias, bien ijando un único es a o
ijo en el con o no [MAC∗11,AIA∗12], comunmen e denomi-
nada pa ículas de con o no, bien gene ando di e sos es a os en
el con o no [CL03,HKK07], conocida como écnica de pa ícu-
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Juan J. Pe ea & Juan M. Co de o / Modelling he Fluid–Bounda y In e ac ion in SPH
las especula es o an asmas. En e e encia a la écnica de pa ícu-
las de con o no, su uso simpli ica la de ección del con o no, así
como la espues a a la in e acción luido–con o no. Sin emba go,
su aplicación es á es ingida a condiciones de con o no ela i a-
men e sencillas [ZSMC17] y puede p esen a p oblemas a la ho a
de e alua el g adien e de p esión [AIA∗12]. Aunque in es iga-
ciones ecien es han in en ado mejo a la e sa ilidad y p ecisión
de los mé odos basados en pa ículas de con o no. Especial men-
ción me ecen las écnicas p opues as po Co nelis e al. [CIPT15]
y po Te suya e al. [TYTC17]. La écnica p opues a po [CIPT15]
p esen a dos impo an es mejo as: la p ime a es que no equie e
de un p ocesamien o po sepa ado de las pa ículas luidas y las de
con o no, lo que mejo a la e iciencia en el p ocesamien o, la se-
gunda es que pe mi e la simulación de ansiciones de ase, es o
es, pe mi e la simulación de enómenos como es el de la licue ac-
ción. No obs an e, a pesa de es as en ajas, puede p esen a dos
limi aciones. La p ime a es que se equie e del uso de mallas como
paso p e io a la dis ibución de las pa ículas de con o no, lo que
a ec a a los esul ado en simulaciones con con o nos complejos. El
segundo es su o mulación, que no pe mi e simula condiciones de
con o no complejas, ni modela las ecuaciones de e modinámicas
que igen los enómenos de ansición. En e e encia a la écnica
desa ollada po [TYTC17], su p opues a dis ingue en e en e las
pa ículas del luido y las del con o no sob e, las que de ine un-
ciones ke nel dis in as. La densidad o al se calcula como una com-
posición de las densidades asociadas a las pa ículas luidas y a las
de con o no. Con es a o mulación es posible impone condiciones
de Di ichle , pa a la supe icie lib e, y de Neumann pa a la in e -
acción luido–con o no. Sin emba go, a pesa de las mejo as que
se ob ienen, el mé odo p esen a dos limi aciones: la p ime a es que
equie e una e o mulación comple a pa a impone condiciones de
con o no dis in as de las de Neumann, la segunda es que equie e
do a de magni udes dinámicas a las pa ículas de con o no, lo cual
educe la e iciencia del mé odo. Además, sólo pe mi e el con ol de
la densidad y de la p esión, lo cual impide la implemen ación de
condiciones de con o no en las que in e iene la elocidad.
Con espec o a las pa ículas especula es, o an asmas [CL03],
el mé odo consis e en gene a an os es a os, en el con o no, como
sean necesa ios pa a e i a el p oblema del uncamien o de la un-
ción ke nel. A a és de las pa ículas an asmas se ob ienen esul a-
dos es ables, el p oblema es que equie e el uso de un g an núme o
de pa ículas an asmas, lo que educe la e iciencia. Además, en
con o nos complejos, con bo des angulosos, se p oduce un sola-
pamien o de pa ículas an asma lo que induce compa amien os e-
á icos de las pa ículas [KHY13]. Pa a e i a es e p oblema de so-
lapamien o, Koschie e al. [KB17], desa ollan una écnica basada
en la o mulación de un mapa de densidad en las egiones del con-
o no. En esencia, la densidad en las p oximidades del con o no, es
modelada como la suma de la densidad de las pa ículas del lui-
do, es ablecida median e el mé odo SPH, y de la densidad de las
del con o no, o mulada median e una unción densidad con inua.
La in eg al esul an e de la composición, es ap oximada median e
unciones de in e polación en un p oceso simila al Mé odo de Ele-
men os Fini os (FEM) [ZTN14]. Aunque es a p opues a ep esen a
una impo an e mejo a espec o de los mé odos p e ios, p esen a
cie as limi aciones elacionadas con la elección de las unciones
de in e polación y con la dis o sión, p oblemas desc i os en la li e-
a u a del FEM [ZTN14].
3. Modelo P opues o
Pa a la simulación de la in e acción luido-con o no hemos desa o-
llado un modelo con el que se e i an las limi aciones de los modelos
basados en pa ículas de con o no y la complejidad de los mé o-
dos semi–analí icos, que es inge su uso en CG. Compa e simi-
li udes con los mé odos basados en pa ículas de con o no como
los desa ollados po [EBT10,AIA∗12]. Sin emba go, nues a p o-
pues a no equie e modi ica el paso de iempo, lo que ep esen a
una en aja desde el pun o de is a de la e iciencia. Además, am-
poco equie e del uso de magni udes a i iciosas de inidas sob e las
pa ículas de con o no. Po o o lado, amos a desa olla una o -
mulación, que desc ibi emos en la sección 3.2, con la que impone
cualquie condición de con o no, pe o e i ando la complejidad de
los mé odos semi–analí icos.
Como pun o de pa ida, conside amos un conjun o de pa ículas
posicionadas en el con o no, en lo sucesi o e e idas como pa ícu-
las de con o no, con las que in e ac úan las pa ículas luidas que
ep esen an al luido. A a és de la cinemá ica de las pa ículas
luidas y de su posición ela i a con las de con o no, conoce emos
no sólo si exis e in e acción luido–con o no, sino cómo se mode-
la dicha in e acción a pa i de las condiciones de con o no. En el
algo i mo 1desc ibimos los pasos seguidos pa a de ec a la in e -
acción e impone las condiciones de con o no.
Algo i hm 1 P oceso de in e acción p opues o.
Requi e: El con o no es é modelado median e pa ículas de con-
o no.
Ensu e: Las pa ículas luidas cumplen las condiciones de con-
o no.
Inpu : Lis a pa ículas luidas, Lis a de pa ículas de con o no.
1: o Cada pa ícula luidas do
2: De e mina las pa ículas luidas ecinas
3: De e mina las pa ículas de con o no ecinas
4: Calcula dinámica median e SPH según algo i mo 2
5: i 6 ∃ in e acción con pa ícula de con o no hen
6: In eg a nue a posición.
7: De ec a colisiones.
8: i ∃colisión hen
9: De e mina las pa ículas de con o no con la que in e -
ac úa.
10: Amplia la lis a de pa ículas de con o no ecinas.
11: Modi ica dinámica de pa ículas luidas según algo-
i mo 3
12: end i
13: end i
14: In eg a nue a posición, (ec. 16)
15: end o
Pa a implemen a el p oceso desc i o en el algo i mo 1, amos a
dis ingui dos e apas: la e apa de in e acción y la e apa de es ic-
ción. En la e apa de in e acción, e aluamos si exis e in e acción
luido–con o no. En la e apa de es icción, imponemos las condi-
ciones de con o no sob e las pa ículas luidas que in e ac úan con
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Juan J. Pe ea & Juan M. Co de o / Modelling he Fluid–Bounda y In e ac ion in SPH
i
(a)
i
(b)
i
(c)
Figu a 1: Casuís ica en la e apa de in e acción. En odas ellas, las pa ículas de con o no ecinas es án colo eadas en e de y la pa ícula
de in e acción se mues a con núcleo blanco. La pa ícula oja, Figu as 1b y1c, ep esen a la colisión de la pa ícula luida con el con o no,
lo que equie e el uso del p oceso al e na i o.
Algo i hm 2
Ensu e: La dinámica de la pa ícula luida queda ac ualizada.
Ensu e: Si exis e in e acción
Inpu : Pa ícula luida, lis a de pa ículas luidas ecinas, lis a
de pa ículas de con o no ecinas.
1: Calcula dinámica median e SPH: ρi, i,Pi
2: o Cada pa ícula de con o no ecina do
3: Calcula o ien ación ela i a, pa áme o θk(ec. 1).
4: i ∃θk≃1 hen
5: Se de ec a in e acción.
6: Calcula elocidad es ingida (ec. 9).
7: Calcula la asa de a ance (ec. 17).
8: Calcula p esión es ingida (ec. 20).
9: Calcula densidad es ingida (ec. 22).
10: end i
11: end o
Algo i hm 3
Ensu e: La dinámica de la pa ícula luida queda ac ualizada.
Inpu : Pa ícula luida, lis a de pa ículas luidas ecinas, lis a
de pa ículas de con o no ecinas.
1: o Cada pa ícula de con o no ecina do
2: Calcula é mino de deslizamien o (ec. 8).
3: Calcula la asa de a ance (ec. 17).
4: Calcula p esión es ingida (ec. 20).
5: Calcula densidad es ingida (ec. 22).
6: end o
el con o no. Tan o el p oceso seguido pa a de ec a la in e acción,
como el modelado de las ecuaciones de con o no pa a impone las
es icciones, se desc ibi án a con inuación.
3.1. E apa de In e acción
Pa a de ec a si exis e in e acción luido–con o no, conside amos
la posición ela i a en e las pa ículas luidas y las de con o no,
así como la elocidad de las pa ículas luidas. Con la p ime a de-
ec amos la p oximidad en e ambas, con la segunda si esa p o-
ximidad es compa ible con la condición de in e acción. De modo
análogo a o os es udios [BTT09,EBT10], amos a conside a que
el con o no se encuen a inmó il. Ello no ep esen a una pé dida
de gene alidad, ya que las ecuaciones que se ob end án se án áli-
das pa a con o nos que se desplazan, simplemen e conside ando la
elocidad ela i a, en luga de la elocidad de las pa ículas luidas
exclusi amen e.
Dependiendo de la elocidad y de la posición ela i a en e las
pa ículas luidas y las de con o no, pueden da se es si uaciones:
la p ime a, es cuando la pa ícula luida iene pa ículas de con o no
ecinas e in e ac úa con algunas de ellas, Figu a 1a, la segunda es
cuando, aún eniendo pa ículas de con o no ecinas, no in e ac úa
con ninguna de ellas, Figu a 1b, y la e ce a es cuando no iene
pa ículas de con o no ecinas, pe o la pa ícula luida acaba coli-
sionando con el con o no, Figu a 1c.
La condición necesa ia pa a que una pa ícula luida in e ac úe
con el con o no, es que su elocidad y su posición ela i a, espec o
a las de con o no, sean pa alelas. Cuan i a i amen e, es a condición
la de inimos median e la ecuación 1:
θk=~ i·(~ ck−~ i)
|~ ck−~ i||~ i|≃1 (1)
donde θklo denominamos pa áme o de o ien ación,~ ies la eloci-
dad de la pa ícula luida i,~ ies su posición y~ ckes la posición de
la pa ícula de con o no k.
En la in e acción luido–con o no, el caso más habi ual es el
p ime o (Figu a 1a) es o es, la pa ícula luida iene pa ículas de
con o no den o de su dominio sopo ado con las que in e ac úa.
En es a si uación, odas las pa ículas de con o no ecinas pa ici-
pa án a la ho a de impone la condición de con o no. En es e caso,
el p oceso seguido pa a la calcula la dinámica de las pa ículas
luidas es el desc i o en e los pun os 4y10 del algo i mo 2.
Pa a las o as dos si uaciones en las que exis e in e acción, pe o
és a no se de ec a; bien po que la pa ícula luida iene pa ículas
de con o no ecinas, pe o con ninguna se cumple la condición 1
(Figu a 1b), o bien po que la pa ícula luida no iene pa ículas
de con o no ecinas (Figu a 1c); enemos que u iliza un p oceso
al e na i o ya que la pa ícula luida no “conoce á” la ubicación del
con o no y acaba á colisionando. Es e p oceso al e na i o consis e
en localiza en e odas las pa ículas de con o no, cuales sa is acen
la condición 1. Una ez encon adas, se las conside an pa ículas
de con o no ecinas aunque no se encuen e den o del dominio
sopo ado de la pa ícula luida. El p oceso seguido pa a calcula la
dinámica de es as pa ículas luidas es el desc i o en e los pun os
5y13 del algo i mo 1.
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T as la e apa de in e acción, conocemos cuales son las pa ícu-
las de con o no ecinas de las pa ículas luidas. A pa i de es a
elación, desa olla emos la e apa de es icción que desc ibi emos
en la sección 3.2.
3.2. E apa de Res icción
Una ez de e minado que el luido in e ac úa con el con o no, el
siguien e paso es impone las condiciones de con o no que es in-
gen su dinámica. Nues a p opues a iene es obje i os p incipales:
1. Desa olla una o mulación gene al, con la que se pueda im-
pone cualquie condición de con o no, independien emen e de
su complejidad.
2. Sa is ace la conse ación del momen o.
3. Op imiza las ecuaciones ob enidas pa a su uso en modelados
de con o nos median e pa ículas.
A lo la go de la desc ipción, amos a ene en cuen a que
el con o no es ígido. Como pun o de pa ida, conside amos la
ecuación que elaciona la elocidad an es y después de la in e -
acción, ecuación 2, y, a pa i de ella, amos a ob ene la ecuación
p opues a pa a calcula la elocidad es ingida.
~ i
0=−α~ ni+β~ τi(2)
donde el supe índice p ima hace e e encia a la elocidad es in-
gida po la condición de con o no, αyβson pa áme os de in-
e acción y los subíndices nyτhacen e e encia a las di ecciones
no mal y angencial de la supe icie del con o no. Cabe des aca
que el signo nega i o con el que apa ece α, es el modo habi ual de
compac a la condición cinemá ica no mal y la impene abilidad
del con o no.
El p ime p oblema que plan ea la ecuación 2es que se o mula
sob e la p emisa de una di ección no mal y una angencial, y en
nues o modelo basado en pa ículas de con o no, es di ícil es able-
ce una di ección no mal y una angencial, ya que de ellas sólo
conocemos su posición. Di e sas p opues as, como las desa olla-
das po [BTT09,AIA∗12], asignan las di ecciones no mal y an-
gencial pa i de la disc e ización iangula del con o no. El p o-
blema que ello plan ea, es que se equie e de esa malla de ián-
gulos. Además, el mé odo pie de capacidad ya que las pa ículas
se adap an mejo al pe il del con o no. Pa a e i a el uso de di ec-
ciones no mal y angencial, amos a e o mula la ecuación 2de
modo que sólo dependa de la elocidad de las pa ículas luidas y
de la posición ela i a en e és as y las de con o no. Pa a ello, en
p ime luga , eliminamos la dependencia, en la ecuación 2, de la
componen e no mal, con lo que ob enemos:
~ i
0=−α~ i+ (α+β)~ τi(3)
Aunque en la ecuación 3se ha eliminado la componen e no mal,
oda ía apa ece la angencial. Así pues, el siguien e paso es exp e-
sa la componen e angencial, ambién llamada de deslizamien o,
en unción de la elocidad ~ iy de las posiciones ela i as. Pa a
lle a a cabo es a a ea, amos a conside a la o mulación es able-
cida po SPH. No obs an e, la o mulación es ánda de SPH pa a la
elocidad, iola la conse ación del momen o [Mon92]. Pa a e i a
es e p oblema, Monaghan [Mon92] desa olla un mé odo basado en
elaciones de iden idad asociadas al cálculo di e encial. Con es a
o mulación, se pueden ob ene ecuaciones simé icas en las que
in e ienen los alo es ela i os de las magni udes dinámicas. Pa a
ello, la ecuación gene al de pa ida es:
∇ ( ) = 1
ρ(∇(ρ ( ))− ( ))
Pa icula izando pa a el caso de la elocidad se ob iene:
∇~ i=1
ρi∑
j~ j−~ i∇W(~ j−~ i,h)
A pa i de es a ecuación, se puede ob ene una exp esión
simé ica en la que ambién in e engan las densidades ela i as.
La exp esión que se ob iene es:
∇~ i=ρi∑
j ~ j
ρ2
j
−~ i
ρ2
i!∇W(~ j−~ i,h)(4)
donde ρi,ρj,~ iy~ json las densidades y elocidades de las pa ícu-
las luidas iyj espec i amen e.
La ecuación 4, pe mi i ía calcula el g adien e de la elocidad.
Sin emba go, nues o obje i o no es el g adien e sino la elocidad.
Pa a ello, u iliza emos la o mulación gene al de SPH [Mon92].
Según es a o mulación, la de i ada de cualquie magni ud se
puede ap oxima cómo:
∇l ( i) = ∑
j
mj
j
ρj
∇lW( j− i,h),(5)
donde lhace e e encia al o den di e encial.
A pa i de la ecuación 5, pa a el caso de l=0, la ecuación 4
puede exp esa se en é minos de é minos:
~ i=ρi∑
j
mj ~ j
ρ2
j
−~ i
ρ2
i!W(~ j−~ i,h)(6)
Con lo que hemos ob enido una exp esión simé ica que sa is a á
la conse ación del momen o.
Seguidamen e, a pa i de 6, o mulamos nues a p opues a pa a
la elocidad de deslizamien o,~ τi. Dicha ecuación es:
~ τi=mi
2ρi∑
s
(~ i−~ s)W(~ s−~ i,h)(7)
donde ~ sjuga ía el papel de la elocidad de deslizamien o de las
pa ículas de con o no. Sin emba go, es a conside ación es a i i-
ciosa, ya que las pa ículas de con o no no pueden ene una e-
locidad de deslizamien o sob e sí mismas. Pa a e i a es a incon-
g uencia amos a a modi ica la ecuación 7, de modo que no in-
e enga~ s. Es o lo log amos u ilizando la elación ec o ial en e
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elocidades, ~ s=~ −~ n, y conside ando que ~ n≃p oy~ i(~ ck−~ i).
La exp esión ob enida es:
~ τi=mi
2ρi∑
k i−~ i·(~ ck−~ i)
|~ ck−~ i|(~ ck−~ i)W(~ ck−~ i,h)(8)
donde hemos conseguido que la elocidad de deslizamien o sólo
dependa de la elocidad de las pa ículas luidas y de sus posi-
ciones ela i as espec o del con o no. Según la ecuación 8, es a
componen e de la elocidad se á máxima cuando posición ela i a
pa ículas luida–con o no y elocidad sean pa alelas, lo cual es co-
he en e con la condición impues a po 1.
Finalmen e, sus i uyendo las ecuaciones 6y8en la exp esión
2, ob enemos la o mulación pa a la elocidad es ingida po el
con o no, en la que no in e iene, explíci amen e, ni la di ección
no mal ni la angencial.
~ i
0=−αρi∑
j
mj ~ j
ρ2
j
−~ i
ρ2
i!W(~ j−~ i,h)
+(α+β)mi
2ρi∑
k~ i−~ i·(~ ck−~ i)
|~ ck−~ i|(~ ck−~ i)W(~ ck−~ i,h)(9)
Con la ecuación 9, hemos log ado dos de los es obje i os ini-
ciales, el p ime o es la conse ación del momen o y el segundo es
que que sólo dependa de la elocidad de la pa ícula luida y de
la posición ela i a en e las pa ículas luidas y las de con o no.
Además, e i amos asigna magni udes dinámicas a i iciales sob e
las pa ículas de con o no, como se ope a en me odos de simila-
es ca ac e ís ica [AIA∗12,ZSMC17]. También, asegu amos que
cuan o más pa alela sea la elocidad de la pa ícula luida a la
posición ela i a,~ ck−~ i, mayo se á la pa icipación del con o no
sob e el luido, lo cual es cohe en e con las es icciones dinámi-
cas asociadas a la in e acción luido–con o no, según se des aca
en [ZTN14].
3.2.1. Imposición de la condición de con o no
Conseguido dos de los obje i os plan eados, queda gene aliza la
ecuación 9pa a pode impone condiciones de con o no más com-
plejas. Nues o obje i o es es ablece una elación en e los pa á-
me os αyβde la ecuación 9, que habi ualmen e ienen alo es
cons an es, y las ecuaciones en de i adas pa ciales con las que se
desc iben las condiciones de con o no. En nues a desc ipción, nos
amos a cen a en el pa áme o α, que en dinámica de luidos suele
elaciona se con la componen e no mal y és a es ele an e en la in-
e acción con el con o no [ZTN14]. No obs an e, el p oceso que
desc ibi emos es ex apolable pa a el pa áme o β, simplemen e
conside ando la di ección angencial.
La condición de Robin es la o mulación más gene al de la
condición de con o no [ZTN14]. Se a a de la composición de las
condiciones de con o no de Di ichle y de Neumann. En é minos
gene ales, la condición de Robin se o mula como:
γ∂l
∂χlζ+σζ =ζδΩ (10)
donde γ,σson con an es de inidas en la o mulación, ζes la mag-
ni ud dinámica que debe sa is ace la condición de con o no, ζδΩ
es el alo de dicha magni ud en el con o no δΩ,les el o den di e-
encial, que siemp e debe se in e io al de la ecuación dinámica y
χes la di ección del espacio donde se aplica la es icción.
Analí icamen e, pa a impone es a es icción, se sus i uye la
solución gene al, asociada al lujo lib e, en las ecuaciones de con-
o no y se esuel en. La solución ob enida, sa is a á las condiciones
de con o no [ZTN14]. Tomando como pun o de pa ida es e p o-
ceso, desa ollamos nues a p opues a. Pa a ello, ijamos la hipó e-
sis de que las magni udes dinámicas son mul iplicadas po un
pa áme o, que pos e io men e denomina emos cómo pa áme o de
in e acción, a a és del cual, la condición de con o no es mode-
lada. Es a hipó esis no es es ic i a, ya que el pa áme o end á un
alo de 1 pa a las pa ículas luidas que no in e ac úan con el con-
o no y dis in o de 1 en caso con a io. Además, es a hipó esis es á
aco de con los undamen os de la dinámica de luidos [ZTN14]. En
base a es a hipó esis, la elocidad de la pa ícula luida queda ía
de inida cómo:
~ 0
i=AδΩ~ i(11)
donde~ 0
ise ía la elocidad es ingida po el con o no,~ ies la e-
locidad de lujo lib e y AδΩ es el pa áme o de in e acción. Es e
pa áme o se á el esponsable de “modi ica ” la elocidad del lui-
do lib e pa a que se sa is aga la condición de con o no.
Cómo ~ ies la elocidad de lujo lib e, es o es, la elocidad
ob enida di ec amen e de la ecuación dinámica, podemos de nue o
u iliza la o mulación de la elocidad ob enida a pa i de la p o-
pues a po Monaghan [Mon92]. Según es a a i mación, la eloci-
dad es ingida se de ini ía a pa i de la 6. Así, la ecuación 11 se
exp esa en é minos de:
~ 0
i=AδΩρi∑
j
mj ~ j
ρ2
j
−~ i
ρ2
i!W(~ j−~ i,h)(12)
El siguien e paso es elaciona la ecuación 12 con la o mulación
de la condición de con o no, ecuación 10. Dicha ecuación, pa icu-
la izada pa a el campo de elocidades, se exp esa en é minos de la
ecuación
γ∇n~ 0
i+σ~ 0
i=~ iδΩ (13)
donde ∇nse e ie e a la componen e no mal del g adien e y~ iδΩ es
el alo de la elocidad en el con o no.
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Así pues, al sus i ui la ecuación 12, en la ecuación 13 se iene:
AδΩρi∑
j
mj~ el [γ∇ ck iW(~ ck−~ i,h)+σW(~ ck−~ i,h)] =~ iδΩ
(14)
donde ~ el hace e e encia al é mino de elocidad ela i a de la
ecuación 12, y donde hemos conside amos que ∇n≃ ∇ ck idonde
∇ ck ies la p oyección del ope ado ∇en la di ección~ ck−~ i.
Despejando el pa áme o de in e acción, AδΩ, de la ecuación 14,
ob enemos:
A i
δΩ =~ iδΩ 
ρi∑jmj|~ el|(γ|∇ ck iW(~ ck−~ i,h)|+σW(~ ck−~ i,h))
(15)
donde se ha conside ado el módulo de las magni udes ec o iales,
ya que A i
δΩ es una magni ud escala .
Sus i uyendo la ecuación 15, en la ecuación 12, y compa ando
con la ecuación 9, se puede conclui que AδΩ ≡α. Así somos ca-
paces de impone cualquie condición de con o no, sin que se iole
la conse ación del momen o y e i ando las complejidades de los
mé odos semi–analí icos.
3.2.2. Posición es ingida
Conocida la elocidad que cumple la condición de con o no, el
siguien e paso es conoce la posición es ingida de la pa ícula.
La hipó esis undamen al que conside amos es que, independien e
del momen o en el que se p oduzca la colisión, den o del paso
de iempo, la colisión se p oduci á al inal del paso de iempo. No
obs an e, amos a e i a que el iempo apa ezca explíci amen e en
nues a ecuación. Po o o lado, en la ecuación de la posición que
p oponemos e i amos que dependa de las di ecciones no mal o an-
gencial, ya que, como mencionamos con an e io idad, el obje i o
en oda la o mulación de nues o modelo, es que sólo in e engan
las posiciones ela i as en e pa ículas de con o no y las luidas y
la elocidad de és as. Con es as p emisas, la ecuación que o mu-
lamos es:
~ i
0=~ i+ˆ
~ c0
ki(1−λ)(16)
donde ˆ
~ c0
ki, que designamos como asa de a ance, sa is ace:
ˆ
~ c0
ki=1
j0 ∑
ck0~ ck0−~ i!(17)
donde el subíndice ck0hace e e encia a las pa ículas de con o no
que sa is acen la condición 1,j0es el núme o de pa ículas de con-
o nos ecinas de la pa ícula luida ique cumplen dicha condición
yλ, que denominamos asa de in e acción, es λ=R +Rc+δcon
R yRcel adio de la pa ícula luida y de la pa ícula de con o no
espec i amen e, y δel espeso de con ac o que pe mi i á con ola
la ap oximación al con o no de la pa ícula luida. Po lo gene al, el
alo de es a magni ud es in e io al 10% del adio de la pa ícula
luida.
3.2.3. P esión y densidad es ingida
Ob enida la elocidad es ingida po la condición de con o no,
según ecuaciones 9y15, es necesa io calcula la nue a p esión y
densidad. Ambas magni udes se calcula án a pa i de la elocidad.
Pa a el caso de la p esión, nos basa emos en la hipó esis unda-
men al sob e la que se desa olla el mé odo PCISPH, ideada po
Solen hale e al. [SP09]. Po o o lado, pa a calcula la densidad
nos basa emos en la ecuación de Ven u i, en la que se elacionan
las magni udes p esión, elocidad y densidad.
En p ime luga , amos a o mula la ecuación pa a calcula la
p esión asociada a la elocidad es ingida. Pa a ello conside amos
la hipó esis es ablecida po Solen hale e al. [SP09] en su mode-
lo PCISPH. Según es a hipó esis, en el cambio de la posición de
la pa ícula luida, la ue za más ele an e es la ue za de p esión,
~
Fp
i, po lo que el es o de ue zas pueden desp ecia se. Cuan i a i-
amen e, es a a i mación indica que:
∆~ i=∆ 2~
Fp
i
mi
(18)
Exp esando la ecuación 18, en é minos de la elocidad, ob ene-
mos:
∆~ i=∆
~
Fp
i
mi
(19)
donde ∆~ ies el cambio de la elocidad debido a la in e acción con
el con o no, ∆ es el paso de iempo de in eg ación y ~
Fp
ies la ue za
de p esión.
Pa a calcula la p esión, es necesa io elaciona la con la ue za
de p esión. Pa a ello, ol emos a conside a la hipó esis de So-
len hale e al. [SP09], según la cual, la ue za de p esión de la
pa ícula luida y la de sus ecinas es muy simila , con lo que, jun o
con la o mulación conse a i a de la ue za de p esión, desa olla-
da po Monaghan [Mon92], pe mi e o mula :
|∆~ i|
∆ =mi
2P0
i
ρ2
0
∑
j
∇W(~ j−~ i,h)
⇒
P0
i=ρ2
0|∆~ i|
2mi∑j∇W(~ j−~ i,h)
(20)
Finalmen e, conocida la elocidad,~ 0
i, y la p esión, P0
i, es ingi-
das, queda conoce la nue a densidad ρ0
i. El pun o de pa ida que
amos a conside a es la ecuación de Ven u i. En sín esis, es a
ecuación pe mi e a i ma que la elocidad, la p esión y densidad
en un luido es án elacionadas, de modo que un cambio en alguna
de ellas, en dos egiones dis in as del luido, a ec a a las o as. En
o ma compac a, la ecuación de Ven u i es:
Pi
ρig+~ i+ 2
i
g=P0
i
ρ0
ig+~ 0
i+ 0
i2
g(21)
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Ope ando sob e la ecuación 21, ob enemos la densidad es in-
gida. La ecuación ob enida es:
ρ0
i=ρiP0
i
Pi+ρig+∆~ i+∆ 2
i(22)
Así pues, con las ecuaciones 9,16,20 y22 podemos calcula las
magni udes del luido al in e ac ua con el con o no.
4. Resul ados y Discusión
En es a sección, amos lle a a cabo la implemen ación de nues a
p opues a jun o con o as es écnicas basadas en la disc e ización
del con o no median e pa ículas. De es e modo, se á posible de-
sa olla un es udio compa a i o en e cada una de ellas. Así,
se pod á isualiza las capacidades que nues a p opues a o ece.
Las es écnicas seleccionadas son: la desa ollada po Oge e
al. [ODAF06], la p opues a po Becke e al. [BTT09] y la éc-
nica de Akinci e al. [AIA∗12]. Hemos seleccionado es as écnicas
po que p esen an cie as semejanzas con nues o modelo, como son
el a amien o del con o no median e pa ículas y la de ección de la
in e acción luido-con o no a a és de écnicas geomé icas. Sin
emba go, a pesa de las semejanzas con es as me odologías, exis-
en di e encias que deben se implemen adas “ad–hoc”. Es e es el
caso de las densidad asociada a las pa ículas de con o no, que no
es necesa io u iliza en nues a p opues a, el núme o de i e aciones
máxima en el p oceso p edic o –co ec o de la écnica p opues a
po [BTT09] o la unción ke nel u ilizada po [AIA∗12] pa a cal-
cula la densidad de las pa ículas de con o no. Pa a lle a a cabo
la implemen ación de es as di e encias, hemos u ilizado los alo es
y ecomendaciones dada po los au o es de cada écnica.
Pa a las simulaciones hemos u ilizado un p ocesado In el Co e
i3-4130, con 16 GB de memo ia RAM y una a je a g á ica
NVIDIA GTX780. En cada implemen ación, amos a conside a
un luido incomp esible con una asa de incomp esibilidad de η=
1% y con una densidad es á ica ρ0=1000. Pa a ello amos a u i-
liza la p opues a desa ollada po [PC16], que e i a los p oblemas
de ines abilidad asociados al g adien e de p esión y pe mi e im-
pone la condición de incomp esibilidad.
Como mé odo de in eg ación empo al hemos seleccionado un
mé odo semi–implíci o desa ollado po Modak y So elino [MS02]
que o ece un o den de p ecisión O(n5), sin un aumen o signi ica-
i o en los cos es de compu ación. Los alo es de los pa áme os de
in eg ación que in e ienen en el mé odo son β0=1, β1=0.757,
β2=1.101. El paso de iempo que u iliza emos es ∆ =0.025.
En cuan o a la disc e ización de nues o con o no, hemos con-
side ado una dis ibución pa ículas, cuyo adio es el doble del que
poseen las pa ículas luidas. Además, hemos impues o la condi-
ción de que es én solapadas un 5%, es deci , que la dis ancia en e
el cen o de dos pa ículas de con o no con iguas es 1.9R , con R
el adio de la pa ícula luida. Así, conseguimos un ecub imien o
comple o del con o no.
En e e encia a la busqueda de pa ículas ecinas, an o luidas
como de con o no, hemos u ilizado la écnica basada en el e ique-
ado median e unción hash y de segmen ación del espacio desa o-
llada po [PC17]. Pa a la simulación hemos u ilizado 50k pa ículas
luidas odas ellas de igual masa m=0.03, en cada una de las cuales
hemos u ilizado una spline cúbico [Mon05] como unción ke nel,
ya que di e sos es udios [BTT09,AIA∗12] demues an su idonei-
dad en la simulación de la in e acción luido–con o no. El adio de
dominio sopo ado pa a esa unción ke nel es h=0.38.
Con es as condiciones hemos ob enido los esul ados, pa a cada
una de las écnicas implemen adas, mos ados en la Figu a 2, odos
ellos co espondien e al mismo ins an e de simulación. Las posi-
bles di e encias son debidas a las dis in as ca ac e ís icas de cada
écnica. Analizando es as imágenes, se puede deduci que la écnica
p opues a, Figu a 2d, o ece unos buenos esul ados desde el pun o
de is a de es abilidada y adap abilidad al con o no. Analizando
cada imagen, se puede a i ma que el esul ado ob enido a pa i
de la écnica p opues a po [ODAF06], Figu a 2a, si bien e i a el
compo amien o e á ico de las pa ículas, que es uno de los p o-
blemas más des acable en la in e acción luido–con o no en simu-
laciones median e SPH, p esen a dos impo an es limi aciones: la
p ime a es que mues a un sob e–amo iguamien o a i icial, la se-
gunda es que se p oduce una lige a pene ación en el con o no. Ello
se debe a que el modelo de [ODAF06] necesi a del uso de ue zas
de icción no simé icas, cuya elección condiciona el ealismo de
la simulación. Po o o lado, en el esul ado ob enido a pa i de
la p opues a de Becke e al. [BTT09], Figu a 2b, se sol en a es e
p oblema, es deci , no se mues a sob e–amo iguamien o, ni pe-
ne ación en el con o no. Sin emba go, mues a dispe sión de las
pa ículas y cie a sepa ación del con o no. Es e compo amien o se
debe a que, aunque con ola la ue za de p esión, algunas ue zas
dinámicas son desp eciadas, como po ejemplo la iscosidad, lo
que a ec a a la es abilidad y a o ece a la dispe sion. Con espec o
al esul ado ob enido a pa i de la écnica p opues a po Akinci e
al. [AIA∗12], Figu a 2c, se puede a i ma que mejo a los esul ados
de la écnica an e io . No obs an e, p esen a el mismo p oblema de
la sepa ación del con o no, limi ación que es sol en ada en el e-
sul ado que se ha ob enido con nues a p opues a, como se puede
e en la Figu a 2d.
5. Conclusiones
En es e a ículo hemos lle ado a cabo una e isión de las écnicas
más impo an es en la simulación de la in e acción luido–con o no.
Nos hemos cen ado en las ca ac e ís icas que in luyen en la e sa-
ilidad y e iciencia. A pa i de es as ca ac e ís icas, hemos p opues-
o una écnica que aúna las i udes de dos de los mejo es mé o-
dos, es os son, el mé odo de pa ículas de con o no y el mé odo de
con o no semi–analí ico, pe o e i ando sus limi aciones. Pa icula -
men e hemos log ado:
•Un mé odo op imizado pa a con o nos modelados median e
pa ículas. Es a a i mación queda con i mada po las ecuaciones
9,20 y22 que sólo dependen de la elocidad de la pa ícula lui-
da y de la posición ela i a en e los dos ipos de pa ículas.
•Ob ene un conjun o de ecuaciones que pe mi en calcula no sólo
la elocidad es ingida po el con o no, sino ambién las o as
magni udes que in e ienen en la dinámica del luido, es as son:
la p esión, ecuación 20, y la densidad, ecuación 22. Especial-
men e des acable es la ecuación 16, con la que se ob iene la
posición, ya que pe mi e con ola , e icien emen e, la posición
g acias a la asa de in e acción.
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2018 The Au ho (s)
Eu og aphics P oceedings c
2018 The Eu og aphics Associa ion.
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Juan J. Pe ea & Juan M. Co de o / Modelling he Fluid–Bounda y In e ac ion in SPH
(a) (b)
(c) (d)
Figu a 2: Compa a i a de los esul ados ob enidos con di e en es écnicas basadas en pa ículas de con o no. En la Figu a 2a, se mues a
el esul ado de la écnica p opues a po [BTT09]. En la Figu a 2b, el ob enido a pa i del modelo de [ODAF06]. En la Figu a 2c, el de
la p opues a de [AIA∗12]. Finalmen e, en la Figu a 2d, se mues a el esul ado ob enido con nues a p opues a. En cada imagen, se ha
des acado la egión donde mejo se mues a la capacidad de cada écnica.
•Desa olla un mé odo que mejo a la espues a a la in e acción
luido–con o no. Es a a i mación es a undamen ada en las imá-
genes de la Figu a 2, donde los mejo es esul ados se ob ienen a
pa i de nues a écnica.
•Un mé odo que no equie e adap a el paso de iempo, lo
que a o ece su e iciencia ni del uso de p ocesos p edicción–
co ección.
•Un mé odo es able que pe mi e ob ene simulaciones ealis as
con un al o con ol de la in e acción luido–con o no, como se
puede deduci de la Figu a 2.
6. Ag adecimien os
Es a in es igación ha sido apoyada po el p oyec o Pololas
(TIN2016-76953-C3-2-R) del Minis e io de Economía y Compe i-
i idad de España.
Re e ences
[AIA∗12] AKINCI N., IHMSEN M., AKINCI G., SOLENTHALER B.,
TESCHNER M.: Ve sa ile igid– luid coupling o incomp essible sph.
ACM T ans. G aph. 31, 4 (Jul 2012), 62:1–62:8. doi:10.1145/
2185520.2185558.1,2,3,5,6,8,9
[BTT09] BECKER M., TESSENDORF H., TESCHNER M.: Di ec o cing
o lag angian igid– luid coupling. IEEE T ansac ions on Visualiza ion
and Compu e G aphics 15, 3 (May 2009), 493–503. doi:10.1109/
TVCG.2008.107.2,4,5,8,9
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Eu og aphics P oceedings c
2018 The Eu og aphics Associa ion.
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