XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mee,
3. CONCLUSIONES.
En es e abajo se ha p esen ado la solución enso ial y de desplazamien os pa a
una g ie a semiin ini a si uada en e un ma e ial elás ico anisó opo y un sólido
ígido. Se ha desc i o y aplicado un mé odo -denominado modelo de zona de
con ac o -pa a e i a la singula idad oscila o ia en la pun a de la g ie a. Se ha
demos ado que inalmen e es e modelo p opo ciona esul ados cong uen es.
4. BIBLIOGRAFIA.
ATKINSON, C. (1982) "Toe In e acial C ack wi h a Con ac Zone (an analy ical
ea men )". In . J. F ac ., ol 18, pg.161-177.
COMNINOU, M. (1977) "The In e acial C ack". J. Appl. Mech., pg.631-636.
COMNINOU, M. (1977) "In e acial C ack wi h F ic ion in he Con ac Zone", J.
Appl. Mech., pg. 780-781.
STROH, A.N., (1958) "Disloca ions and c acks in aniso opic elas ici y". Philos.
Mag., ol 3, pg.625-646.
52
1
XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
, ,
COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SOLIDOS
TRANSVERSALMENTEISÓTROPOS
Sáez, A. y Domínguez, J.
Escuela Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa
Resumen
La o mulación del p oblema dinámico en medios homogéneos y elás icolineales se educe a un
conjun o de Ecuaciones In eg ales de Con o no. & as ecuaciones se esuel en numé icamen e, en el
dominio de la ecuencia, median e el Mé odo de los Elemen os de Con o no. Pa a ello esul a necesa io
el conocimien o de una solución undamen al (i.e., espues a de un medio in ini o a la aplicación de
una ca ga concen ada a mónica) que pueda se e icien emen e implemen ada en un p og ama de
Elemen os de Con o no. En es e abajo se p esen an esul ados, co espondien es a la di acción
de ondas po una ca idad i une sa en un sólido ans e salmen e isó opo, ob enidos empleando la
solución undamen al de Wang y Achenb.lch (1995) y las exp esiones asin ó icas de Buchwald (1959)
pa a campo lejano.
In oducción
El análisis de p oblemas dinámicos en sólidos elás ic.olineales es únicamen e abo dable en é minos ge-
ne ales median e el empleo de écnicas numé icas. En e es as écnicas, la educción del p oblema a un
conjun o de Ecuaciones In eg ales de Con o no (EJC) y su pos e io esolución median e el Mé odo de
los Elemen os de Con o no (MEC) se ha mos ado como una al e na i a compe i i a (Domínguez, 1993)
en e al más di undido Mé odo de los Elemen os Fini os.
En es e sen ido, el MEC esul a especialmen e a ac i o pa a el es udio de p oblemas de di acción de
ondas en medios in ini os, ya que an sólo los con o nos in e nos del p oblema ienen que se disc e izados
y las condiciones de adiación se sa is acen au omá ic.amen e. Los p oblemas de di acción de ondas juegan
un papel cla e en muchas amas de la ingenie ía, ales como el ensayo no des uc i o de componen es
mecánicos.
A su ez, el desa ollo de nue os ma e iales, undamen almen e los ma e iales compues os o "compos-
i es", ha conlle ado la necesidad de conside a leyes de compo amien o no isó opas.
La aplicación del MEC pasa po la disposición de una solución undamen al (i.e., campos de mo imien-
os y ensiones en un sólido in ini o gene ados po la aplicación de una ca ga pun ual) en una o ma ela-
i amen e sencilla, que acili e su implemen ación numé ica. Pe o si bien la solución undamen al isó opa
cons i uye un esul ado clásico en elas odinámica ( éase, e.g., Achenbach, 1973), no sucede lo mismo con
casos de aniso opía más gene ales, a pesa de la amplia a ención que ha ecibido es e ópico (bas e ci a
los abajos de Buchwald (1959), Ligh hill (19GO), Musg a e (1970), Pay on (1983) o Zhu (1992) en e
o os).
En es e a ículo, se emplea la solución undamen al ;1-D en el dominio de la ecuencia p opues a
po Wang y Achenbach (1995) pa a el caso de los ma e iales ans e salmen e isó opos, debidamen e
ans o mada pa a pe mi i su e icien e e aluación numé ica (Sáez y Domínguez, 1996). Sin emba go, dicha
solución se mues a inadecuada pa a la ob ención de esul ados de campo lejano, po lo que en al caso se
p opone la u ilización de las exp esiones asin ó icas ob enidas aquí empleando écnicas desa olladas po
Buchwald (1959) y Ligh hill (1960).
53
XII
Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
2 Ecuaciones básicas de la p opagación de ondas en sólidos
ans e salmen e isó opos
Sea un cue po n (
de con o no )
elás icolineal, homogéneo y ans e salmen e isó opo, lib e de ue zas de
olumen y some ido a una exci ación a mónica de ecuencia
w,
si bien el é mino exp(-iw ) se sup imi á en
el siguien e análisis. Las ecuaciones de Na ie del equilib io dinámico ienen dad
as
po
(1)
donde
Ui
son l
as
componen es de los desplazamien os, pes la densidad y
Cijkl
son las cons an es elás icas
que elacionan ensiones y de o maciones en la ley de Hooke.
Un ma e ial ans e salmen e isó opo se ca ac e iza po p esen a p opiedades simé icas en odos
los planos no males a un di ección dada, que escoge emos coinciden e con el eje x3 del sis ema ca esiano
global de e e encia. En al caso, la ley de Hooke se exp esa en unción de cinco cons an es elás icas
independien es como
ª11 Cu C12 C13
oo o
cu
a22
C12 C11 C13
oo o
c22
CT33 C13 C¡3 C33
oo o
é33 (2)
=
<123
oo o
C44
oo
2c23
a31
oo oo
C44
o
2c31
ª12
oo oo o
(
Cu -c
l
2)
/2 2c12
donde
Cij
son las cons an es elás icas en no ación condensada: (11)=1; (22)=2; (33)=3; (23)=4.
Conside emos a con inuación la exp esión de una onda a mónica plana
u (x)
=
Ud
exp
{ik
(x
·
n
-e
(n)
)}
(3)
donde U es la ampli ud escala , des
el ec o uni a io que de ine la di ección del mo imien o que el en e
de onda deja
as
de sí, k =
w/c
es el núme o de onda, n de ine la di ección de p opagación del en e y
e
(n)
es la elocidad de ase asociada a dicha di ección. Al e na i amen e, (3) puede exp esa se en unción
de un ec o de e a do s como
u (x) = Udexp {iw (x
· s -
)}
Sus i uyendo (3) en las ecuaciones de Na ie (I) se ob iene
donde
Las soluciones no i iales de (5), i.e. d
k
=/ O, se ob ienen pa a
(4)
(5)
(6)
De es a ecuación, cúbica en pc
2
,
se ob ienen es aíces eales posi i as (c;, n=l, 2, 3) dado que, al
igual que el enso
Cijkl,
I';
k
es eal, simé ico y de inido posi i o. Los es au o ec o es d asociados a c;
son o ogonales en e sí, aunque an sólo uno de ellos esul a pe pendicula a la di ección de p opagación
n, es ando
as
ociado po an o a un desplazamien o pu amen e ans e sal (Tl). En gene al, ninguno
de los o os dos au o ec o es esul a á pa alelo o pe pendicula a n, po lo que es a án asociados a
desplazamien os cuasi- ans e sales (T2) y cuasi-longi udinales (L) espec i amen e. En la i
gu
a l(a) se
mues a la supe icie de elocidades de ase V, de inida po la ecuación (6), pa a un composi e g a i o-
epoxy.
54
XII
Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
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L
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210'
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330"
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:
210·
.-
240'
300•
no·
o·
(a) (b)
Figu a 1: Sección de la supe icie de (a) elocidades de ase y (b) e a do pa a un composi e g a i
o-
epoxy
Análogamen e, sus i uyendo (4) en las ecuaciones de Na ie (1) ob end emos
(7)
ob eniéndose así la ecuación de sex o g ado que de ine la denominada supe icie de e a do S. Es a supe i-
cie ha jugado adicionalmen e un papel cla e en la eo ía de p opagación de ondas en medios anisó opos.
En gene al, S cons a de es hojas, cada una de ellas asociada a una de las aíces c,. de (6). En la igu a
l(b) se mues a la supe icie de e a do S pa a un composi e g a i
o-
epoxy.
Las ecuaciones de sex o g ado que de inen V y S es án o madas po la supe posición de las ecuaciones
de un elipsoide sepa able
as
ociado a los mo imien os pu amen e ans e sales (Tl), y una cuá ica de dos
hojas asociada a los mo imien os cuasi ans e sales (T2) y cuasilongi udinal
es
(L).
Un es udio más de allado de la p opagación de ondas elás icas en ma e iales ans e salmen e isó opos
puede encon a se en los lib os de Musg a e (1970) y Pay on (1983).
3 Fo mulación del p oblema en é minos de EIC. El MEC
Sea n un sólido ans e salmen e isó opo de con o no ,
some ido a condiciones de ca ga a móni
ca
. La
aplicación del eo ema de ecip ocidad en e el es ado elas odinámico bajo es udio y la solución undamen-
al cuando la ca ga concen ada se aplica en un pun o"i", en di ección l, da como esul ado la Ecuación
In eg al de Con o no (EIC)
c k
u
i +
l
Tik
uk
dI' =
l
U1
k
kd (8)
que elaciona los desplazamien os en el pun o "i", ui, con los desplazamien os, uk, y l
as
acciones,
k
,
en el con o no y con los desplazamien os, U
k
(
desplazamien o en di ección
k
o iginado po la aplicación
de una ca ga pun ual en el pun o "i" en di ección Z), y las acciones, T
k
, de la solución undamen al en
e! con o no
.
El é mino lib e c)
k
= 61k cuando "i" es un pun o in e no, c
k
= O pa a pun os ex e nos y
c¡k = 1/261
k
pa a pun os si uados sob e un con o no sua e. Las in eg ales en (8) deben en ende se en el
sen ido de un Valo P incipal de Cauchy.
En casos de geome ía y ca ga gene ales la ecuación (8) sólo pod á se esuel a numé icamen e, y
es aquí donde su ge el MEC. A con inuación se esumen las ideas básic.as de es e mé odo. Pa a un
a amien o de allado del mismo, puede consul a se el lib o de Domínguez (1993).
El con o no
se subdi ide en NE elemen os sob e los cuales se in e polan desplazamien os y acciones
a pa i de sus -alo es nodales. Así, pa a un elemen o "j"
55
XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
Figu a 2: Geome ia de la es e a unidad y los ec o es x, n y
d
(9)
donde los ec o es ui y i con ienen los alo es de desplazamien os y acciones, espec i amen e, en los
nodos del elemen o "j" y es la ma iz de las unciones de o ma.
De es a o ma se ob iene la e sión disc e izada de la ecuación (8) como
c'u'+
{l,
TM}ui = {!,,
UM } i {10)
en no ación ma icial. Plan eando (10) en odos los nodos del con o no se ob iene el sis ema de ecuaciones
algeb aicas
Hu=G
que jun o con las condiciones de con o no p opo cionan la solución del p oblema.
4 Solución undamen al pa a ma e iales ans e salmen e
isó opos
(11)
En es e a ículo se emplea la solución undamen al ob enida po Wang y Achenbach {1995) median e el
uso de la ans o mada de Radon. Dicha solución puede exp esa se como
Uu., (x,w) = U¡!(x) + U1 (x,w) {12)
donde U11 --+ O cuando w --+ O es una unción egula y U¡l es singula y co esponde a la solución
undamen al es á ica. Las acciones sob e una supe icie de no mal ¡ se ob ienen a pa i de las de i adas
de los mo imien os median e la ley de Hooke
DU1p (x,w)
T¡k (x, w) = Cjkpq O 1/j
Xq
{13)
La pa e singula (es á ica) de la solución de Wang y Achenbach {1995) iene exp esada en o ma de
una in eg al sob e la ci cun e encia del cí culo unidad de inido en el plano no mal al ec o de posición
56
XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
U¡5k(x) = "1 {A k(d)dL(d)
o7 T J
l
dJ
=
l
donde d es la no mal ex e io al cí culo unidad en su plano.
= lxl {14)
La pa e egula de la solución iene exp esada en o ma de in eg ales sob e la supe icie de una es e a
de adio unidad
U{
.,
(x ,w) =
1
Bik(n,w)e
ik
,,,lnxldS(n)
l61 lnl=l m=l
(15)
donde
n
es la no mal ex e io a la es e a unidad, k,,. = wc
m
es el núme o de onda y C.n (m = 1, 2, 3) son
las elocidades de
as
e. L
as
exp esiones de los núcleosA1k(d) y B1í:(n,w) pueden consul a se en Wang y
Achenbach {1995). En la igu a 2 se puede obse a la geome ía de
x,
n
y d.
La e aluación numé ica di ec a de las in eg ales en {14) y {15) se mues a cos osa en lo que a iempo
de compu ación se e ie e (Wang, Sáez y Achenbach, 1995), po lo que se hace necesa ia la ans o mación
de (14) y (1,5) de ca a a su óp ima implemen ación en un código de elemen os de con o no. En Sáez
y Domínguez {1996) se p oponen una se ie de simpli icaciones que educen no ablemen e el p oceso de
cálculo. Aho a bien, el ca ác e oscila o io del in eg ado en {15) hace que la solución de Wang y Achenbach
(199,5) no sea ap opiada pa a la e aluación de la solución undamen al en el campo lejano, siendo és a una
aplicación de ex ao dina ia impo ancia en p oblemas de di acción de ondas. Desde el pun o de is a
numé ico, la ob ención de un desa ollo asin ó ico de {15) esul a ía cos osa, po lo que en es e abajo
se p opone el empleo de las exp esiones asin ó icas de Buchwald (1959), quien aplicó a la el
as
odinámica
el mé odo de es imación asin ó ica de in eg ales de Fou ie desa ollado po Ligh hill (1960). De es a
mane a, se ob iene una solución undamen al de campo lejano en la o ma
4
2
N,
U1k
,...,
l:I ;Í k(s
,w)e;•
x{16)
donde el suma o io se ex iende a los N
s
pun os s
de la supe icie de e a do S (ecuación (7)) en los que
x Y la no mal a la supe icie S son pa alelos y s'· · x > O. Los coe icien es
1
k
dependen de ca ac e ís icas
geomé icas de la supe icie S ales como su cu a u a de Gauss o su con exidad. Dado que en el caso
ans e salmen e isó opo la supe icie de e a do p esen a sime ía de e olución en o no al eje s3, la
ob ención de los pun os s'· se simpli ic-11 educiéndose a un p oblema 2-D. Fal a ía po ca ac e iza el
núme o de pun os s
exis en e en cada caso. Como ya se ha mencionado, la supe icie S se de ine como
QL T2 = Ü (17)
donde En
==
O es la ecuación de un elipsoide, de iniendo así una hoja sepa able asociada a los mo imien os
pu amen e ans e sales {Tl). Sob e es a hoja sólo pod á exis i un pun o s
en el que la no mal al
elipsoide sea pa alela a una di ección dada x y s
· x > O. Q
L
, 2 = O es la ecuación de una cuá ica,
asociada a los mo imien os cuasilongi udinales (L) y cuasi ans e sales (T2). Pues o que la hoja más
in e io de dicha cuá ic.a {
Q
L) es con exa, sólo pod á exis i sob e ella un pun o del ipo s
. En cuan o
a la hoja Q 2, pod á o no se con exa dependiendo de las cons an es elás icas del ma e ial, pudiendo
xis i en e uno y es pun os del ipo s
, ya que una cuá ica no puede p esen a más de ocho pun o de
in lexión y adicionalmen e Q L,T2 p esen a sime ías espec o del eje sa y del plano s1-s2.
5 Aplicaciones
A con inuación se p esen an los esul ados numé icos co espondien es a la di acción de ondas elás icas
po una ca idad es é ica, lib e de acciones supe iciales e inme sa en un sólido ans e salmen e isó opo
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XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
Figu a 3: Disc e ización de la ca idad: 3 elemen os cuad á icos po oc an e
in ini o. El campo de desplazamien os o al se exp esa como la supe posición de un campo inciden e
conocido uin y un e.ampo di ac ado us e
(18)
En es e caso la ep esen ación in eg al del campo o al de desplazamien os adop a la o ma
(19)
donde
e
es el con o no de la ca idad.
Pa a la solución del p nblema de con o no se ha empleado la solución undamen al de Wang y Achen-
bach (1995), mien as que pa a la ob ención ele los e nl ados de campo lejano se ha u ilizado la de
Buchwald (19.59).
Pa a ca ac e iza las ecuencias en es udio se ha escogido el núme o de onda adimensional akL =aw/cL,
donde a es el adio de la ca idad y CL la elocidad de ase de las ondas cuasilongi udinales. La ca idad
se ha modelado median e 24 elemen os cuad á icos ( igu a 3).
Pa a alida la o mulación an e io men e p opues a se conside a en p ime luga un ma e ial cuasi-
isó opo, ele ca ac e ís icas simila es al ace o (en
=
320, C33
=
280, c12
=
120, c13
=
150; c44
=
74.5 en
GPa y densidad p
=
7800 Kg/m3
).
Se conside a como mo imien o inciden e una onda plana longi udinal
que iaja en la di ección del eje
X3
ele sime ía del ma e ial (n
=
(0,0, 1)). La solución numé ica ob enida
median e el MEC se compa a con la solución analí ica p opues a po Pao y Mow (1973), exis iendo en
odos los casos buen acue do en e ambas. Así, en las igu as 4.(a) y 4.(b) se mues an los desplazamien os
o ales en di ecciones adial y ci cun e encial, e;pec i amen e, sob e la supe icie de la e.a iciad pa a
núme os de onda aKL
=
0.4 y aKL
=
1.0. Tales esul ados co esponden a una sección de la ca idad po
un plano con eniendo al eje
X3,
ya que p esen an sime ía de e olución en o no a dicho eje. En la igu a
5 se mues a la e olución con el núme o de onda del campo (lejano) di ac ado en dos pun os si uados
sob e la di ección X3 de p opagación del en e de onda, con coo denadas X3
=
300a y X3
=
-300a.
A con inuación se conside a un ma e ial ans e salmen e isó opo, cuyas cons an es elás icas ep e-
sen an un composi e g a i o-epoxy (en
=
13.92, c33 = 160.7, c1:2
=
6.92, c13
=
6.44; c44 = 7.07 en GPa y
densidad p
=
1700 Kg/m3
).
A e:,,- e ma e ial co esponden las supe icies de elocidades de ase y e a do
de la igu a l. Se conside an dos mo imien os inciden es. El p ime o es de nue o una onda longi udinal
en la di ección del eje
X3.
El segundo co esponde a una onda longi udinal que iaja según la di ección
del eje X1 (n
=
(1,0,0)).
En las igu as 6.(a) y 6.(b) se mues an los desplazamien os o ales en di ecciones adial y ci cun e en-
cial sob e la supe icie de la ca idad, en una sección que con iene al eje x
3
según el cual incide el en e
58
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121)'
90'
270'
(a)
XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
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•
X
·< ..... 3
330•
300•
,o•
120·
-Pao &
Mow (1973)
60' o Quad a ic
,···
24-0• 300'
(b)
30•
330•
X
3
Figu a 4: Desplazamien os en di ección (a) adial y (b) ci cun e encial sob e la supe icie de la ca idad.
Ma e ial cuasi-isó opo
U/U.
, "'
180'
,o•
240'
no·
(a)
•.----------------,
3 -
-Pao & Mow (1973)
o Quad a ic (8 =i )
• Quad a ic (8=0)
o.s
0.7
03
.aK
L
1.1
l.J 1.5
Figu a 5: Campo di ac ado. Ma e ial cuasi-isó opo
j<>Quad a ic 1
U,/U
ia ,o•
uo·
30' uo·
o-
•180'
X
3
330' 210·
300•
zio·
(b)
60'
l<>Quad alic
j
·
o·
•
X
)
330•
Figu a 6: Desplazamien os en di ección (a) adial y (b) ci cun e encial sob e la supe icie de la ca idad.
Onda inciden e según X3. G a i o-epoxy
59
U/U
• 111
XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
16 -----------------,
12
4
,o.Quad a ic (1 =1 )
-Quad a ic (I
=O}
=I200a
o..__
_ __. __ ......_ __ ..._
___ ------'
03 0.5 O. 7 0.9 1.1 1.3 1.5
aK
Figu a 7: Campo di ac ado. Onda inciden e según X3. G a i o-epoxy
!<>Quad a ici 90•
90•
iO•
30•
l<>Ouad a icj
30•
JIIOº l--&-,4i:...4..:.:;;ii;;:;....i - - 0" •
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.
··········· .
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- 300•
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(a) (b)
330"
X 1
Figu a 8: Desplazamien os en di ección (a) adial y (b) ci cun e encial sob e la supe icie de la ca idad.
Onda inciden e según x1. G a i o-epoxy
de onda. Es os esul ados siguen man eniendo la sime ía de e olución en o no al eje x3, ya que el
mo imien o inciden e es pu amen e longi udinal. En la igu a 7 se mues a la e olución en ecuencia del
campo di ac ado en dos pun os si uados sob e el eje X3 en co as x3 = ±1200a.
Las i gu as 8 y 9 co esponden a la onda longi udinal según el eje X1. Así, en 1 igu as 8.(a) Y 8.( )
se pueden obse a los desplazamien os o ales en di ecciones adial y cu cun e enc1al sob e la supe icie
de la ca idad pa a núme os de onda al{L = 0.4 y al{L = 1.0, en una sección po el plano x1-x2. Es os
esul ados a sólo son simé ico.s espec o del eje x1 y, dado que el plano x1 -x2 es de íso opía, su aspec o
esul a muy simila a los ob enidos pa a un ma e ial isó opo. Finalmen e, en la igu a 9 se mues a la
e olución con el núme o de onda del campo di ac ado en dos pun os si uados sob e el eje x1 en co as
X¡= ±1200a.
6 Conclusiones
El p oblema elas odinámico en sólidos ans e salmen e isó opos se ha educido a un conjun o de EIC.
Es as ecuaciones se han esuel o median e el MEC en el dominio ele la ecuencia. Pa a ello ha esul ado
cla e e alua en la mane a más e icien e posible, la solución undamen al. Aquí se ha empleado la solución
de Wang y A
1
chenbach (1995) -debidamen e ans o mada pa a op imiza el iempo de compu ación (Sáez
y Domínguez, 1996)- pa a esol e el p oblema de con o no; y las exp esiones asin ó icas de Buchwald
(1959) pa a la ob ención de esul ados de campo lejano.
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XII
Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica
,...-----------------
,o.Quad a ic (,=•)
-ouad a ic (;=O)
o
.._ _ __. __ _._
__ ...._ __ ..__
_ __. __ _.
0.3
0.7
0.9
aK
1.1
Figu a 9: Campo di ac ado. Onda inciden e según x
1
.
G a i o-epoxy
A modo de aplicación se han p esen ado esul ados pa a la di acción de ondas longi udinales po
una ca idad es é ica inme sa en un composi e g a i o-epoxy. O as geome ías y condiciones de con o no
pueden es udia se sinn p oblema alguno.
Debe insis i se en el g an po encial del MEC en es e ipo de p oblemas: sólo los con o nos in e io es
necesi an se modelados y las condiciones ele adiación se sa is acen au omá icamen e.
El análisis de ma e iales anisó opos más gene ales ambién se ía posible empleando las soluciones de
Wang y Achenbach (1995) y Buchwald (1959). Sin emba go, de nue o esul a ía necesa io ans o ma
dichas exp esiones pa a que su implan ación en un código de elemen os de con o no esul ase e icien e.
7 Re e encias
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