MATERIALES COMPUESTOS 05 627
Cálculo de los ac o es de in ensi icación de ensiones
gene alizados en uniones adhesi as me al-composi e
A. Ba oso, P. To o, V. Man iþ, F. Pa ís y J. O iz.
G upo de Elas icidad y Resis encia de Ma e iales, Uni e sidad de Se illa, España.
RESUMEN
Las uniones adhesi as en e ma e iales me álicos y compues os gene an pun os c í icos
donde la geome ía y/o las p opiedades de los ma e iales cambian b uscamen e. El
es ado ensional que p edice la Teo ía de la Elas icidad lineal en es os pun os es
singula (el alo de las ensiones no es á aco ado). La ca ac e ización comple a de es os
es ados ensionales no aco ados se consigue con el cálculo de los exponen es
ca ac e ís icos (ó denes de singula idad de ensiones), las unciones ca ac e ís icas y los
Fac o es de In ensi icación de Tensiones Gene alizados (FITG). En es e abajo se
p esen a un p ocedimien o pa a el cálculo de los FITG basado en un ajus e po mínimos
cuad ados y el empleo de modelos numé icos de las uniones u ilizando el Mé odo de los
Elemen os de Con o no (MEC). Se p esen an compa aciones pa a p oblemas con
solución analí ica y ejemplos de aplicación.
1. INTRODUCCIÓN
Las uniones adhesi as en e ma e iales de dis in a na u aleza (p.e. me al-composi e)
gene an una se ie de pun os c í icos, en el en o no de los cuales la eo ía de la
elas icidad lineal p edice ensiones no aco adas. Es e es ado singula de ensiones se
debe an o a las geome ías de esquinas e-en an es que apa ecen como a la
discon inuidad en las p opiedades elás icas de los ma e iales. En el caso pa icula de
las uniones adhesi as en e láminas de me al y laminados de ma e ial compues o, es os
pun os c í icos se iden i ican con cla idad en la Fig.1, que ep esen a una unión
adhesi a a solape simple en e una lámina de aluminio y un laminado de ca bono.
Me al adhe en
90o
45o
0o
Aluminio
Laminado de ca bono
90o
45o
0o
Adhesi o
Me al adhe en
90o
45o
0o
Aluminio
Laminado de ca bono
90o
45o
0o
Adhesi o
1
i
N
T
0
T
N
T
i
T
i-1
x
1
x
2
1
i
N
T
0
T
N
T
i
T
i-1
x
1
x
2
Fig. 1 - Esquema de un encolado me al-composi e y el sis ema de e e encia local.
Tomando un sis ema de e e encia pola ( ,
T
) cen ado en el é ice de la esquina ( e
Fig.1), el es ado singula de ensiones en el en o no de es os pun os se puede ap oxima
median e un desa ollo en se ie de la o ma:
628 MATERIALES COMPUESTOS 05
)(),(
1
1
TTV
O
ijk
K
k
k
ij
K
k
¦

|, (i,j= ,
T
 (1)
donde
O
k son los exponen es ca ac e ís icos (0<
O
k<1), ijk(
T
) son unciones sua es
den o de cada ma e ial que con ienen la dependencia angula de la componen e
ensional
V
ij asociadas al modo singula
O
k y Kk son los Fac o es de In ensi icación de
Tensiones Gene alizados (FITG en adelan e) que miden el peso de cada é mino den o
del desa olllo en se ie asin ó ico.
La ca ac e ización del es ado ensional singula es de i al impo ancia si se conside a
que dicho es ado ensional puede se el esponsable de la apa ición de una g ie a o allo
cuya p opagación a uine globalmen e la es uc u a.
Al igual que la Mecánica de la F ac u a Elás ica Lineal (MFEL) puede p edeci con
cie a iabilidad la p opagación de una isu a cuando los FIT (Kk) alcanzan un cie o
alo admisible (la enacidad a ac u a del ma e ial), pa ece azonable conside a la
posibilidad de que el es ado singula de ensiones, en es as con igu aciones de esquinas
mul ima e iales (Fig. 1) con olado po los FITG (Kk), juegue un papel impo an e en la
iniciación del allo. Pa a analiza la iabilidad de es e en oque a a és de la Mecánica
de la F ac u a (sin g ie as) es necesa io dispone de las he amien as que pe mi an el
cálculo de los pa áme os in oluc ados en la ecuación (1):
O
k, ijk(
T
) y Kk. En el apa ado
2 se e isa á la de e minación de
O
k y ijk(
T
), en el apa ado 3 se abo da á el cálculo de
Kk., po úl imo en el apa ado 4 se e i ica á la e iciencia del p ocedimien o p opues o
con abajos p e ios y se abo da án nue os p oblemas de encolados me al-composi e.
2. CARACTERIZACIÓN DE LOS MODOS SINGULARES DE TENSIÓN
Los exponen es ca ac e ís icos
O
k y las unciones ca ac e ís icas ijk(
T
) dependen
exclusi amen e de la geome ía y condiciones de con o no locales de la esquina así
como de las p opiedades elás icas de los ma e iales.
En la ac ualidad y bajo las siguien es hipó esis: ma e iales homogéneos elás icos
lineales, adhesión pe ec a en e los ma e iales, condiciones de con o no homogéneas y
es ados planos ( ensión plana, de o mación plana o de o mación plana gene alizada) se
dispone de he amien as e sá iles y e icien es pa a el cálculo de alo es p ecisos de los
O
k, e Dempsey y Sinclai (1979, 1981), Pageau e al (1994), Ting (1997), Man iþ e al
(1997) y Poonsawa e al (1998, 2001) en e o os. En es e abajo se emplea una
he amien a semianalí ica desa ollada po los mismos au o es, Ba oso e al (2003),
que p opo ciona los ó denes de singula idad de ensiones en esquinas mul ima e iales.
3. FACTORES DE INTENSIFICACÓN DE TENSIONES GENERALIZADOS
En el cálculo de los FITG sí in luye la geome ía y condiciones de con o no globales
del p oblema, po lo an o es necesa io el uso de modelos numé icos y/o écnicas
expe imen ales pa a el cálculo de los mismos. Adicionalmen e, en la mayo ía de los
casos, es necesa io un pos p ocesado de los da os ob enidos, quedando la p ecisión inal
de los esul ados de los FITG es echamen e ligada a la "calidad" de ambos p ocesos.
Po ejemplo, dado el ca ác e asin ó ico de la ep esen ación del es ado ensional,
MATERIALES COMPUESTOS 05 629
ecuación (1), FITG ex aídos de la solución lejos del é ice de la esquina (y po lo
an o ue a del alcance de ep esen ación de dicha ap oximación asin ó ica) pueden no
se ep esen a i os del es ado ensional eal, mien as que FITG ex aídos de la solución
excesi amen e ce ca de la esquina pueden es a a ec ados po e o es numé icos de la
disc e ización del modelo.
Exis en écnicas que a an de e i a es as di icul ades, median e la e aluación de
in eg ales ealizadas en el en o no de la esquina que son eó icamen e independien es
del camino, e po ejemplo los abajos de Qian y Akisanya (1999), Wu (2001),
Banks-Sills y She e (2002) y Cisilino y O iz (2005) en e o os. Una e isión de los
p ocedimien os de cálculo de los FITG se puede encon a en Helsing y Jonsson
(2002a). En el caso pa icula de los FITG se echa en al a un mayo núme o de
p oblemas con esul ados iables que si an de e e encia pa a el ajus e de nue os
mé odos de cálculo. Comen a ios muy in e esan es ace ca de la alidez de los esul ados
numé icos publicados en la li e a u a se pueden lee en Helsing y Jonsson (2002b).
En el p esen e abajo se ha pues o a pun o un sencillo p ocedimien o de cálculo de los
FITG que es á basado en un ajus e po mínimos cuad ados. Los modelos numé icos
u ilizados se han ealizado u ilizando un código de desa ollo p opio que implemen a el
Mé odo de los Elemen os de Con o no (MEC en adelan e) dada su mayo p ecisión en
p oblemas de es a índole ( ensiones singula es y esul ados en los con o nos e
in e ca as).
3.1 Cálculo de los FITG median e un ajus e po mínimos cuad ados.
De o ma simila a la u ilizada po Yang y Munz (1995) quienes u iliza on Elemen os
Fini os, en el p esen e abajo se u iliza un p ocedimien o de cálculo de FITG basado en
un ajus e po mínimos cuad ados. Se u ilizan los alo es numé icos de los
desplazamien os u ( ,
T
) y u
T
( ,
T
) ex aídos del modelo numé ico ealizado con el MEC
(unum) y los desplazamien os de la ep esen ación asin ó ica de la ó mula (1) (use ies). Se
de ine una unción de e o J, e (2), en la que las únicas incógni as son los FITG, Kk.

>@
2
101
11 ),...,,,(),(,..., ¦¦¦

AN
j
M
n
kjn
se ies
jn
num
kKK u uKKJ
D
DD TT
(2)
En la unción J se inco po an es suma o ios: el suma o io en
D
conside a sólo una
componen e de los desplazamien os si
$
=1 y las dos componen es si
$
=2, el suma o io
en j ma ca el núme o de a is as que in e ienen en el ajus e (pa a N ma e iales exis en
N+1 ca as/in e ca as donde hay esul ados del modelo MEC) y po úl imo el suma o io
en n es ablece el conjun o de nodos en cada ca a/in e ca a que se inco po a al ajus e. El
conjun o de alo es de Kk que minimiza la unción J se ob iene de la esolución del
siguien e sis ema de ecuaciones lineales:
0
),...,( 1
w
w
i
k
K
KKJ , (i=1,...,k) (3)
La solución de es e sis ema de ecuaciones depende del alo de los índices
$
, N y M.
Algunos comen a ios espec o de es a dependencia se e án en el apa ado siguien e.
630 MATERIALES COMPUESTOS 05
4. EJEMPLOS
Pa a la e aluación de la bondad del mé odo implemen ado se han omado dos
p oblemas sencillos esuel os en abajos p e ios: una placa a acción de un ma e ial
isó opo con una en alla a 90º y una esquina bima e ial isó opa lib e-lib e.
Si bien el p ocedimien o se puede aplica a un espec o de con igu aciones más amplio,
dos son la azones po las cuales no se han omado ejemplos de mayo complejidad
(p esencia de ma e iales de compo amien o anisó opo, mayo núme o de ma e iales,
e c.): a) una ez que se dispone de la in o mación de
O
k y ijk(
T
) pa a un p oblema
conc e o, independien emen e del núme o de ma e iales, na u aleza de los mismos y las
condiciones de con o no, el mé odo de ajus e se aplica de idén ica mane a, b) las
exp esiones analí icas (si es án disponibles) de p oblemas más complejos son muy poco
manejables y no apo an di icul ad añadida al mé odo p esen ado.
4.1 Placa a acción con una en alla a 90º.
El p ime p oblema que se ha esuel o es un p oblema
sencillo de una placa de ma e ial isó opo que p esen a
una en alla a 90º en uno de sus la e ales some ida a una
acción uni o me en las ca as supe io e in e io . Se han
empleado alo es de a/w=0.5 y h/w=1, siendo a=5cm. El
modelo MEC iene 709 nodos y 709 elemen os lineales,
con un amaño de 0.1 cm en las ca as ho izon ales y
e icales. En el é ice de las ca as inclinadas el p ime
elemen o iene un amaño de 10-7 cm, los cuales c ecen
p og esi amen e, con un ac o de 1.5, has a alcanza un
amaño de 0.1cm que pe manece cons an e en el es o de
la ca a, dando un o al de 100 elemen os en dichas ca as.
a
2h
270º
w
x
y
V
V
a
2h
270º
w
x
y
V
V
Fig. 2- Placa a acción.
Es a con igu ación de ca gas simé ica, que gene a un modo I de ape u a en el en o no
del é ice, ha sido es udiado con de alle po Helsing y Jonsson (2002a) de donde se ha
omado el alo de e e encia pa a e alua los e o es: KI=4.295886967699.
U ilizando u y u
T
(
$
=2) y las dos ca as inclinadas (N=2) pa a la e aluación de J en (2),
se ep esen a en la Fig. 3 el alo absolu o del e o ela i o en e la solución ob enida y
el alo de e e encia pa a dos ap oximaciones di e en es: en la Fig. 3a) se han omado
3 é minos del desa ollo asin ó ico, k=3 en (1), pa a e alua KI, mien as que en la Fig.
3b) se han omado los p ime os 7 é minos. Se han ep esen ado odas las
combinaciones que esul an de oma un conjun o de nodos consecu i os, siendo el eje
de echo el nodo inicial desde el que se ealiza el ajus e y el eje izquie do el nodo inal
(la mi ad in e io de la g á ica ca ece de sen ido). En la Fig. 3 se ap ecian los e ec os de
bo de, con e o es signi ica i os a medida que el ajus e se ealiza u ilizando un pequeño
conjun o de nodos muy alejado del é ice (zona izquie da de las g á icas) y los e o es
asociados a la disc e ización del modelo cuando el ajus e se ealiza omando pocos
nodos muy ce ca del é ice (zona de echa de la g á ica).
A medida que se oman más é minos del desa ollo en se ie pa a ep esen a la
solución asin ó ica del p oblema en el é ice, es os e ec os de bo de son menos
acusados, po lo que de mane a e iden e se ap ecia una signi ica i a educción de los
MATERIALES COMPUESTOS 05 631
e o es en la zona izquie da de la g á ica en e a) 3 é minos y b) 7 é minos. En
cualquie caso en ambos ejemplos se obse a pa a un amplio ango de conjun os
" azonables" de nodos (e i ando g upos de nodos pequeños muy ce ca y muy lejos del
é ice) que los esul ados son, desde un pun o de is a ingenie il, bas an e azonables
(<4%). Los e o es ela i os ob enidos con el mé odo desa ollado en O iz e al (2005)
u ilizando un mé odo de in eg al conse a i a se encuen an, pa a es e p oblema,
siemp e po debajo del 1%.
20
40
60
80
NODO FINAL
20
40
60
80
100
NODO INICIAL
0
1
2
3
4
5
ERROR
20
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NODO FINAL
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NODO FINAL
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1
2
3
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5
ERROR
a) b)
Fig. 3- E o es ela i os (en %) con: a) 3 é minos y b) 7 é minos.
4.2 Esquina bima e ial isó opa.
La he amien a desa ollada se ha e i icado ambién
en una esquina bima e ial isó opa es udiada po
Qian y Akisanya (1999) y que se mues a en la Fig.
4. La solución de e e encia dada po Qian y
Akisanya se ob u o pa a unos pa áme os de
Dundu s
D
=0.8 y
E
=0.2 lo que hace que el ma e ial
de la pa e supe io de la Fig. 4 sea unas 10 eces
más ígido que el si uado en la pa e in e io . Las
exp esiones u ilizadas po Qian y Akisanya pa a
ensiones y desplazamien os son:
V
90º
120º
h
h
h
V
90º
120º
h
h
h
Fig. 4- Esquina bima e ial.
)(),(
1
1
TTV
O
m
ijk
N
k
k
m
ij H k
¦

)(),(
1
TT
O
m
ik
N
k
k
m
ig H u k
¦
(4)
),,,,(· 21
1
TTOEDV
O
kkk ahH k

(5)
donde m es el ma e ial, Hk es el FITG asociado a
O
k, ak es el FITG adimensional (igual a
Hk si h=1 y
V
=1) y (
T
) y g(
T
) son unciones conocidas, e Qian y Akisanya (1999).
U ilizando in eg ales de con o no independien es del camino, inalmen e ans o madas
en in eg ales de dominio, Qian y Akisanya ob ienen pa a los es p ime os modos (sólo
el p ime o de ellos singula ) los siguien es alo es de
O
k y ak:
O
1=0.6747 (a1=0.6301),
O
2=1.1637 (a2=-0.3671) y
O
3=1.5938 (a2=0.5443).
Se ha ealizado un modelo MEC del p oblema con un amaño de elemen os 0.025h lejos

632 MATERIALES COMPUESTOS 05
del é ice y 10-8h en el é ice usando elemen os lineales. Los ó denes de singula idad
de ensiones se calcula on u ilizando la he amien a desa ollada en Ba oso e al (2003)
ob eniéndose:
O
1=0.673473,
O
2=1.167477,
O
3=1.589147 muy simila es a los de Qian y
Akisanya. El cálculo de los FITG se ha lle ado a cabo u ilizando (2) y (3) con u y u
T
(A=2), las es a is as que con luyen al é ice (N=3) y un g upo de nodos " azonable",
es deci , e i ando nodos muy ce canos y muy lejanos a la esquina. Conside ando es
é minos del desa ollo asin ó ico y un g upo de nodos en e el 15 y el 55, que se
co esponde con la zona más "plana" de la ep esen ación, se ob u o a1=0.673688 que
di ie e un 6.92% del esul ado de Qian y Akisanya. O iz e al (2005) con una écnica
de in eg al conse a i a, han ob enido un alo medio de a1=0.67829, que di ie e un
7.65% del esul ado de Qian y Akisanya y un 0.68% del alo ob enido en el p esen e
abajo.
4.3 Unión adhesi a me al-composi e.
T as la e i icación de la bondad del mé odo desa ollado, se ha analizado una unión
encolada me al-composi e como la que se mues a en la Fig. 5. Se a a de una unión de
doble solape en e una chapa de aluminio (de 3.2 mm de espeso ) y un laminado
unidi eccional de ib a de ca bono de 8 capas a 0º (de 1.6 mm de espeso ) u ilizando un
adhesi o epoxy que as el cu ado en p ensa a 180ºC p esen a un espeso de 0.1 mm.
La unión se a a some e a un es ado de co adu a a acción. El modelo MEC de la
unión u iliza el plano de sime ía y se p esen a pa cialmen e (sólo apa ece la zona de
solape) en la Fig. 5 incluyendo ya la geome ía de o mada (ampli icada x50). En las
esquinas mul ima e iales del modelo se ha u ilizado un amaño de 10-8 mm y un ac o
de c ecimien o de 1.5, de o ma que el modelo comple o iene un o al de 1484 nodos.
50 mm 50 mm
12.5 mm
Aluminio espeso =3.2 mm
[0º]8espeso = 1.6 mm
[0º]8espeso = 1.6 mm
V
Espeso de la capa de adhesi o = 0.1 mm
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
42.00 47.00 52.00 57.00 62.00
geome ía
de o mada
(X 50)
geome ía
inde o mada CFRP 8 láminas 0º
Aluminio
Fig. 5- Geome ía y modelo MEC de la unión adhesi a me al-composi e.
Con la he amien a desa ollada en Ba oso e al (2003) se han ob enido los ó denes de
singula idad de ensiones
O
k y las unciones (
T
) y g(
T
) de odas las esquinas
mul ima e iales que apa ecen en es e modelo. Los FITG se han calculado u ilizando las
exp esiones (2) y (3) una ez esuel o el modelo numé ico. En la Fig. 6 se mues an los
alo es del p ime modo singula pa a dos de las esquinas del modelo, mos ándose en
azo con inuo la geome ía inde o mada y con pun os la de o mada (x10).
MATERIALES COMPUESTOS 05 633
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
47.00 47.50 48.00 48.50 49.00 49.50 50.00 50.50 51.00
Esquina 1
Esquina 2
ALUMINIO
ADHESIVO
LAMINADO
DE CARBONO
De o mada (x10)
Inde o mada
Esquina 1:
1-
O
1 = 0.236764
K1 = 0.01576
Esquina 2:
1-
O
1 = 0.0210332
K1 = -0.003086
Fig. 6- De alle de dos esquinas del modelo y los esul ados ob enidos.
La esquina 1 la o ma el laminado de ca bono en con ac o con el adhesi o, mien as que
la esquina 2 es la que o ma el ebose de adhesi o con la chapa de aluminio. Los
alo es de K que se p esen an en la Fig. 6 es án no malizados, de o ma que
VTT
_
T
=0º=K/(2
S
)1-O. En el caso de la esquina 1 y dado el pequeño espeso de adhesi o
(0.1 mm) se ha ealizado el ajus e en e =10-6 y =0.03 mm (medidos desde la esquina)
de o ma que se e i an aquellos nodos muy ce ca de la esquina (en e 10-8 y 10-6 mm) y
aquellos nodos muy lejos del campo asin ó ico (>1/3 del espeso de adhesi o).
Tomando o os g upos de nodos en el en o no ( =10-6, =0.03 mm) los alo es de K
ob enidos son azonablemen e simila es (<4%). En el caso de la esquina 2, cua o
g upos de nodos di e en es en e 10-7 y 0.33 mm han dado a iaciones de K in e io es al
2%. En ambos casos se han omado los es p ime os é minos del desa ollo asin ó ico
además del é mino de gi o como sólido ígido, que es un é mino independien e de ,
con
O
k=1 en la ó mula (1).
5. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
En el p esen e abajo se ha desa ollado un p ocedimien o de cálculo de los Fac o es de
In ensi icación de Tensiones Gene alizado (FITG) en esquinas mul ima e iales
anisó opas basado en un ajus e de mínimos cuad ados. Se han u ilizado en dicho ajus e
los desplazamien os de la solución asin ó ica y la solución numé ica de un modelo de
Elemen os de Con o no. La he amien a se ha mos ado e icien e y obus a en
p oblemas ya esuel os po o os au o es y sencilla de uso en p oblemas nue os.
El p ocedimien o desa ollado, jun o con o o abajo p e io de los mismos au o es (que
pe mi e la ob ención de los ó denes de singula idad de ensiones en esquinas
mul ima e iales anisó opas) comple a una po en e he amien a pa a la comple a
ca ac e ización de esquinas mul ima e iales anisó opas. Con el es ado ensional
singula ca ac e izado en de alle se puede de ini a medida un p og ama de ensayos
expe imen ales pa a e alua si el alo de los FITG juega algún papel en una posible
p opues a de allo de es e ipo de uniones.
AGRADECIMIENTOS
Es udio inanciado po el Minis e io de Ciencia y Tecnología (MAT2003-03315).
634 MATERIALES COMPUESTOS 05
REFERENCIAS
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s ess in ensi y ac o s o a bima e ial no ch, In . J. F ac u e 115, 1-26.
BARROSO, A., MANTIý, V. AND PARÍS, F. (2003) Singula i y analysis o
aniso opic mul ima e ial co ne s, In . J. F ac u e, 119/1, 1-23.
CISILINO, A.P. Y ORTIZ, J. (2005) Bounda y elemen analysis o h ee-dimensional
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